Teorema celor trei perpendiculare Prof. D. CatanaTeorema celor trei perpendiculare Fie αun plan, A...

of 19/19
Teorema celor trei perpendiculare Prof. D. Catana
  • date post

    10-Jul-2021
  • Category

    Documents

  • view

    4
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Teorema celor trei perpendiculare Prof. D. CatanaTeorema celor trei perpendiculare Fie αun plan, A...

Slide 1dreptunghic în B,
Teorema celor trei perpendiculare
Fie α un plan, A un punct exterior planului i a o dreapt inclus în plan.
Dac AA’ α i A’B a atunci AB a
α
A
A’
a
B
1
2
3
Deoarece a AA’ i a A’B
concurente în A’ a ( AA’B) cum a orice dreapt din (AA’B)
avem si c a AB
Aplicatii
Dac MA (ABC),
Identificai segmentele ale cror lungimi
reprezint d(M,BC), d(M,BD), d(M,CD),
atunci demonstrai c
D’OAC,
D’A AB
2
3
3
3. În centrul A al unui dreptunghi se ridic perpendiculara pe
planul dreptunghiului, pe care se ia punctul K.
Laturile dreptunghiului au lungimile de 10cm,
respectiv de 18cm,iar KA=12cm.
Calculai distanele de la K la laturile dreptunghiului.
E O
P S
unde I i U sunt mijloacele laterilor EO i OP
9
5
PS
F
I
A
18
10
1
2
3
3
4 Pe planul trapezului isoscel SONY, cu baza mare SO=25 cm si baza
mica NY=7 cm, se ridica perpendiculara AS=15 cm. Daca trapezul are
proprietatea ca SN NO, determinati distanta de la A la NO.
S O
Dac AA’ α i AB a atunci A’B a
Fie α un plan, A un punct exterior planului i a o dreapt inclus în plan.
Perp 1 Perp 2 Perp 3
A
A’
B
a
1
2
3
Observaie:
s-au inversat perpendiculara 2 cu perpendiculara 3 fa de teorema celor trei perpendiculare
α
5. Se consider triunghiul ABC i AM bisectoarea unghiului BAC(M situat pe BC).
Pe perpendiculara în A pe planul triunghiului ABC se consider punctul S
astfel încât SM BC.Demonstrai c triunghiul ABC este isoscel.
A
B
C
M
S
1
2
3
Se aplic reciproca 1 a T3P
De unde AM este i înlime
6. Pe planul triunghiului dreptunghic ABC,m(<A)=90°,în vârful A se ridic perpendiculara DA.
Dac DA=5 cm,AB=15cm i AC=20cm,atunci calculai distana de la D la BC.
D
A
B
C
Se calculeaz BC,apoi , AE ca fiind înlime în triunghiul ABC-dreptunghic
Se calculeaz DE din triunghiul DAE-cu T.Pitagora.
7. Pe planul rombului ABCD,AB=6cm,se ridic perpendiculara AM= 8cm .
Aflai distanele de la M la BC i BD dac a) m(<A)=90°; b) m(<A)=60°;c) m(<A)=30°;d) m(<A)=45°
A
M
B
C
D
6
O
6
6
8. În figura alturat,ABCD este dreptunghi,AE (ABC),AF EB,AG EC,AH ED.
Demonstrai c: a) EB BC;ED DC
b) AF (EBC);AH (EDC)
c) GF EC;HG EC
C
D
E
F
G
1
9 Fie H un punct în planul triunghiului ABC i M un punct exterior planului (ABC),
astfel încât MH(ABC) i MBAC.Demonstrai c BHAC.
A
B
C
H
M
D
deci pe orice dreapt din (BMH)
atunci i pe BH
10 Fie ABCD un tetraedru astfel încât ABCD i ADBC.
Demonstrai c ACBD. A
B
C
D
H
E
F
Se arat ca BD pe 2 drepte concurente din (ACH)
Se aplic T3P
DA (ABC),AE DB i AF DC.
Demonstrai c: a) DB BC
b) AE (DBC)
c) EF DC
AE pe 2 drepte concurente din (DBC)
F
DC pe 2 drepte concurente din (AEF)
12 Dac ABCDA’B’C’D’ este paralelipiped dreptunghic,demonstrai c :D’CBC;BC’D’C’
A B
C D
A’ B’
C’D’
Se aplic T3P
13. Dac ABCDA’B’C’D’ este cub,demonstrai c A’D DC i A’B BC
A B
(reciproca întrit)
Fie α un plan, A un punct exterior planului i a o dreapt inclus în plan.
Dac AA’ A’B i A’B a atunci AA’ α
AB a
în Reciproca 2
s-a adugat perpendiculara 3 i perpendiculara 4 fa de Reciproca 1
1
2
3
4
14 Fie ABC un triunghi isoscel (AB=AC=6cm)
i M un punct nesituat în planul ABC astfel încât distanele de la M la laturile triunghiului ABC sunt egale cu
10cm.
Aflai distana de la M la planul ABC în cazurile:
a) m(<A)=60°; b) m(<A)=90°.
A
B
C
M
I
10
10
ID = IE = IF = r –raza cercului înscris în triunghiul ABC
trusemiperime