Teorema celor trei

perpendiculare

Prof. D. Catana

În figura alăturată ∆ABC este

dreptunghic în B,

DA ┴ (ABC).

Demonstraţi că: BC ┴(DAB)

A B

C

D

Teorema celor trei perpendiculare

Fie α un plan, A un punct exterior planului şi a o dreaptă inclusă în plan.

Dacă AA’ ┴ α şi A’B ┴ a atunci AB ┴ a

α

A

A’

a

B

1

2

3

Perp.1 Perp.2 Perp.3

Deoarece a ┴ AA’ şi a ┴ A’B

concurente în A’ a ┴ ( AA’B) cum a ┴ orice dreaptă din (AA’B)

avem si că a ┴ AB

Aplicatii

1. ABCD este un pătrat cu centrul în O.

Dacă MA ┴ (ABC),

Cercetaţi dacă

MB┴BC, MO ┴ BD, MC ┴ BC

Identificaţi segmentele ale căror lungimi

reprezintă d(M,BC), d(M,BD), d(M,CD),

d(M,AC)

Justificare.

O

A

B

C

D

M

Se aplică T3P

2. Dacă ABCDA’B’C’D’ este cub,

atunci demonstraţi că

D’O┴AC,

D’A ┴ AB

A B

CD

A’ B’

C’D’

O

Se aplică T3P1

2

3

3

3. În centrul A al unui dreptunghi se ridică perpendiculara pe

planul dreptunghiului, pe care se ia punctul K.

Laturile dreptunghiului au lungimile de 10cm,

respectiv de 18cm,iar KA=12cm.

Calculaţi distanţele de la K la laturile dreptunghiului.

E O

PS

A

K

10

18

12

U

I

Se aplică T3P

Distanţele cerute sunt KI şi KU,

unde I şi U sunt mijloacele laterilor EO şi OP

9

5

E O

PS

F

I

A

18

10

1

2

3

3

4 Pe planul trapezului isoscel SONY, cu baza mare SO=25 cm si baza

mica NY=7 cm, se ridica perpendiculara AS=15 cm. Daca trapezul are

proprietatea ca SN ┴NO, determinati distanta de la A la NO.

SO

NY

A

7

25

Reciproca 1- a teoremei celor trei perpendiculare

Dacă AA’ ┴ α şi AB ┴ a atunci A’B ┴ a

Fie α un plan, A un punct exterior planului şi a o dreaptă inclusă în plan.

Perp 1 Perp 2Perp 3

A

A’

B

a

1

2

3

Observaţie:

s-au inversat perpendiculara 2 cu perpendiculara 3 faţă de teorema celor trei perpendiculare

α

5. Se consideră triunghiul ABC şi AM bisectoarea unghiului BAC(M situat pe BC).

Pe perpendiculara în A pe planul triunghiului ABC se consideră punctul S

astfel încât SM ┴ BC.Demonstraţi că triunghiul ABC este isoscel.

A

B

C

M

S

1

2

3

Se aplică reciproca 1 a T3P

De unde AM este şi înălţime

6. Pe planul triunghiului dreptunghic ABC,m(<A)=90°,în vârful A se ridică perpendiculara DA.

Dacă DA=5 cm,AB=15cm şi AC=20cm,atunci calculaţi distanţa de la D la BC.

D

A

B

C

5 20

15

ESe aplică T3P

1

2

3

DE ┴ BC de unde AE ┴ BC

Se calculează BC,apoi , AE ca fiind înălţime în triunghiul ABC-dreptunghic

Se calculează DE din triunghiul DAE-cu T.Pitagora.

7. Pe planul rombului ABCD,AB=6cm,se ridică perpendiculara AM= 8cm .

Aflaţi distanţele de la M la BC şi BD dacă a) m(<A)=90°; b) m(<A)=60°;c) m(<A)=30°;d) m(<A)=45°

A

M

B

C

D

6

O

6

6

Se aplică T3P

1

2

3

A

B

C

D

E

E

O

8. În figura alăturată,ABCD este dreptunghi,AE ┴ (ABC),AF ┴ EB,AG ┴ EC,AH ┴ ED.

Demonstraţi că: a) EB ┴ BC;ED ┴ DC

b) AF ┴ (EBC);AH ┴ (EDC)

c) GF ┴ EC;HG ┴ EC

A B

C

D

E

F

G

1

9 Fie H un punct în planul triunghiului ABC şi M un punct exterior planului (ABC),

astfel încât MH┴(ABC) şi MB┴AC.Demonstraţi că BH┴AC.

A

B

C

H

M

D

AC ┴ MB

AC ┴ MH

concurente în M AC ┴ (BMH)

deci pe orice dreaptă din (BMH)

atunci şi pe BH

10 Fie ABCD un tetraedru astfel încât AB┴CD şi AD┴BC.

Demonstraţi că AC┴BD. A

B

C

D

H

E

F

Se arată ca BD ┴ pe 2 drepte concurente din (ACH)

Se aplică T3P

11. În figura alăturată ∆ABC este dreptunghic în B,

DA ┴ (ABC),AE ┴ DB şi AF ┴ DC.

Demonstraţi că: a) DB ┴ BC

b) AE ┴ (DBC)

c) EF ┴ DC

A B

C

D

1

2

a

3

a) Aplicăm T 3 Perp.

Eb) Se arată că

AE┴ pe 2 drepte concurente din (DBC)

F

c) Se arată că

DC ┴ pe 2 drepte concurente din (AEF)

12 Dacă ABCDA’B’C’D’ este paralelipiped dreptunghic,demonstraţi că :D’C┴BC;BC’┴D’C’

A B

CD

A’B’

C’D’

1

2

3

1

2

3

Se aplică T3P

13. Dacă ABCDA’B’C’D’ este cub,demonstraţi că A’D ┴ DC şi A’B ┴ BC

AB

CD

A’ B’

C’D’

Se aplică T3P

1

2

2

a

a

3

3

Reciproca 2 - a teoremei celor trei perpendiculare

(reciproca întărită)

Fie α un plan, A un punct exterior planului şi a o dreaptă inclusă în plan.

Dacă AA’ ┴ A’B şi A’B ┴ a atunci AA’ ┴ α

AB ┴ a

Perp.1Perp.2 Perp.3 Perp.4

α

a

A

A’

B

Observaţie:

în Reciproca 2

s-a adăugat perpendiculara 3 şi perpendiculara 4 faţă de Reciproca 1

1

2

3

4

14 Fie ABC un triunghi isoscel (AB=AC=6cm)

şi M un punct nesituat în planul ABC astfel încât distanţele de la M la laturile triunghiului ABC sunt egale cu

10cm.

Aflaţi distanţa de la M la planul ABC în cazurile:

a) m(<A)=60°; b) m(<A)=90°.

A

B

C

M

I

10

10

10A

B C

I

D

EF

D

E

F

ID = IE = IF = r –raza cercului înscris în triunghiul ABC

trusemiperime

triunghiAriar

/ şi Aria triunghiului oarecare

2

sin AABAC a)