Elementul de bar` 2D supus numai la [ncovoiere (grinda) · 2002. 10. 10. · 1 Curs MEF A. Pascu...

1 Curs MEF A. Pascu

v̂,ŷ

x̂

22 v̂,ˆ yF

22 ,θM

11 v̂,ˆ yF

L

1 2

11,θM

Elementul de bar` 2D supusnumai la [ncovoiere (grinda)

ŷ,x̂ sistemul de coordonate local

Ipoteze:• deplas`ri mici• material omogen,izotrop, comportare elastic` liniar`• rigiditate axial` infinit`.

2 grade de libertatela nivelul unui nod:•deplasarea trans-versal` v ]i• rota\ia [n jurul axeiZ- rz, notat` θ

Pasul 1: Abstractizarea

E, I

2 Curs MEF A. Pascu

dx

T T + dT

M + dMM

q(x)

EI

EI

Mˆv̂

ˆv̂

ˆv̂1M1

2

2

2

2

==

≈=

xdd

xdd

xdd

θ

ρρ23

2

2

2

x̂v̂1

x̂v̂

1

∂∂

+

∂∂

=ρ

3 Curs MEF A. Pascu

( )xqxdd

xdd ˆ

ˆv̂

ˆ 22

2

2

−=

EI

xMT

xdd

ˆˆv̂3

3

∂∂

==

0ˆv̂4

4

=

xdd

EI

{n acest caz particular se consider` EI=constant ]i q = 0

Pasul 2: Se alege func\ia pentru deplas`ri

432

23

1 ˆˆˆv̂ axaxaxa +++=

4 Curs MEF A. Pascu

31

41

ˆˆ

)0(v̂v̂)0(ˆ

axd

da

==

==

θ

v

322

12

432

23

12

23ˆ

)(v̂v̂)(v̂

aLaLaxdLd

aLaLaLaL

++==

+++==

θ

Din condi\iile la limit` se identific`:

( ) ( )

( ) ( ) 11221212

3212213

v̂ˆˆ21v̂v̂3

ˆ1v̂v̂2v̂

++

+−−−

+

++−=

xxLL

xLL

θθθ

θθ

]i rezult`:

5 Curs MEF A. Pascu

[ ] [ ]

2324

22

333

2322

22

331

4321

ˆ1ˆ1ˆ3ˆ2

ˆ1ˆ2ˆ11ˆ3ˆ2

xL

xL

NxL

xL

N

xxL

xL

NxL

xL

N

NNNNN

−=+−=

+−=+−=

=

Sub form` matricial`:

1 bis[ ]{ } { }

==

2

2

1

1

v̂

v̂

ˆˆv̂

θ

θδδ cuN

6 Curs MEF A. Pascu

( )( )( )( )223

34

2333

322332

32331

Lx̂Lx̂L1N

Lx̂3x̂2L1N

Lx̂Lx̂2Lx̂L1N

LLx̂3x̂2L1N

−=

+−=

+−=

+−=

Func\iile de form`

(continue ]i derivabile)

-0.500

0.000

0.500

1.000

N1 N3

N4

N2

7 Curs MEF A. Pascu

3

3

2

2

ˆv̂

ˆv̂)ˆ(

xddT

xddxM

EI

EI

=

=

Pasul 3 - Se definesc rela\iile constitutive func\ie dem`rimile discrete

( )

( ) 22

ˆv̂ˆˆ,ˆ

ˆv̂ˆˆ

ˆˆˆ,ˆ

xddyyxε

xddyu

xdudyxε

x

x

−=

−=

=

8 Curs MEF A. Pascu

( )

( )22113

3

3

2

22113

3

3

1

6v̂126v̂12

ˆ)(v̂ˆ

6v̂126v̂12

ˆ)0(v̂ˆ

θθ

θθ

LLLEI

xdLdEITF

LLLEI

xddEITF

y

y

−+−−=

=−=

+−+=

==

Pasul 4 - Se deduc componenetele matricei de rigiditate

9 Curs MEF A. Pascu

( )2221213

2

2

1

2v̂64v̂6

ˆ)0(v̂

θθ LLLLLEI

xddEIMM

+−+=

−=−=

( )2221213

2

2

2

4v̂62v̂6

ˆ)(v̂

θθ LLLLLEI

xdLdEIMM

+−+=

=+=

10 Curs MEF A. Pascu

Rela\ia dintre solicit`ri ]i deplas`rile din noduri este:

−−−−

−−

=

2

2

1

1

22

22

2

2

1

1

v̂

v̂

4626612612

2646612612

ˆ

ˆ

θ

θ

LLLLLLLLLLLL

MFMF

y

y

3L

EI

[ ]K 11


Deducerea matricei de rigiditate pe baza formul`rii ob\inuteprin utilizarea principiului lucrului mecanic virtual

[ ] [ ] [ ][ ]dVBDBKVol

T∫= 10

{ } 22v̂ˆdxdyx −=ε

Pornind de la expresia stabilit` pentru deforma\iile specifice

{ } [ ]{ }δε ˆˆ *Byx −=se ob\ine forma:

{ } [ ]{ }δε ˆBx = scris` ca:


[ ]

−+−−−= 32

33

2

3* 2ˆ66ˆ124ˆ66ˆ12

LLLx

LLx

LLLx

LLxB

unde matricea [B*] este:

Efectu@nd calculele pentru [K] :

[ ] [ ] [ ][ ]∫∫ ∫=A L

T xdAdBDBK ˆ

]i \in@nd cont c` IdAyA

=∫∫ 2ˆ

rezult` pentru [K] aceia]i expresie 11


Grinda solicitat` ]i cu for\e axiale

F1x, u1

x̂

22 v,ˆ yF

22 ,θM

11 v,ˆ yF

L

1 2

11,θME, I

F2x, u2

Leg`tura dintre for\e ]i deplas`ri, [n sistemul local, este de forma:

[ ]

=

2

2

2

1

1

1

2

2

2

1

1

1

v̂

ˆ

v̂

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

θ

θ

u

u

K

M

F

F

M

F

F

y

x

y

x


Pentru deducerea matricei de rigiditate se va utiliza principiulsuprapunerii efectelor, consider@nd acest caz ca fiind o[nsumare [ntre solicitarea axial` ]i cea de [ncovoiere

−

−

=

00ˆ00ˆ

000000000000

0000000000000000

0000

00

ˆ00

ˆ

2

1

2

1

u

u

F

F

x

x

L

EA

L

EA

L

EA

L

EA

Matricea de rigiditatepentru solicitarea axial`


−

−−−

−

−

=

2

2

1

1

2

2

1

1

v̂

0

v̂

0

00

00

00000

00

00

00000

ˆ0

ˆ0

θ

θ

L

4EI

L

6EI

L

2EI

L

6EIL

6EI

L

12EI

L

6EI

L

12EI0

L

2EI

L

6EI

L

4EI

L

6EIL

6EI

L

12EI

L

6EI

L

12EI0

22

2323

22

2323

M

F

M

F

Matricea de rigiditate pentrusolicitarea de [ncovoiere


Matricea de rigiditate complet` rezultat` prin [nsumare

−

−−−

−

−

−

−

=

2

2

2

1

1

1

2

2

2

1

1

1

v̂

ˆ

v̂

ˆ

00

00

0000

00

00

0000

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

θ

θ

u

u

M

F

F

M

F

F

y

x

y

x

L

4EI

L

6EI

L

2EI

L

6EIL

6EI

L

12EI

L

6EI

L

12EIL

EA

L

EAL

2EI

L

6EI

L

4EI

L

6EIL

6EI

L

12EI

L

6EI

L

12EIL

EA

L

EA

22

2323

22

2323

[ ]K̂


Elementul de grind` [n sistemul de coordonate global

{ } [ ]{ }δKF =Se dore]te rela\ia:

x̂

2θ

ŷL

1

2

1θ

x

y

θ

F1x, u1

F2x, u2F

1y,

v1

F2y,

v2


9[ ] [ ] [ ][ ]TKTK T ˆ=Matricea de rigiditate se calculeaz` cu algoritmul deja cunoscut:

Unde, matricea de transformare de coordonate este:

[ ]

−

−

=

100000

0000

0000

000100

0000

0000

CS

SC

CS

SC

T


{n biblioteca de elemente a programuluiCosmos, elementul este denumit BEAM2D

^ ^

^

^


Beam2D

Pentru analiza structural`, propriet`\ile de materialce trebuie indicate sunt:EX - modulul de elasticitate;NUXY - constanta lui Poisson

Elementul suport` analiz` structural`, dinamic` (frecven\eproprii), de stabilitate structural` (flambaj) ]i analiz` termic`.

Se poate apela ]i un material din bibliotec` : Aten\ie launit`\ile de m`sur` !


Beam2D


Tipurile de sec\iuni predefinite [n meniul BeamSection

Beam2D


End release code este o combinatie de 6 cifre, corespunz`-toare gradelor de libertate ale nodului. Dac` valorile sunt 0(cazul definit implicit), valoarea corespunz`toare a for\ei nueste cunoscut`, ]i ea va fi calculat` de program. Dac` [npozi\ia respectiv` este plasat (1), atunci fo\a sau momentulsunt cunoscute ca fiind zero (datorit` prezen\ei unei articula\ii[n acel nod) iar programul nu va calcula for\a [n nodulrespectiv.

Beam2D


Exemplul 1

12

Configura\ia structurii deformate Tensiunile [n elemente

P

Punctul 1 coordonate 0,0,0Punctul 2 coordonate 200,0,0

Sec\iunea dreptunghiular` B=10; H= 20

Material E= 2.1 105 MPa; P= 1000 N

Articula\ie [n punctul 1; rezemare [n punctul 2


Exemplul 1 Valorile reac\iunilor

Diagrama de momente T

Valoriledeplas`rilor [nnoduri


Exemplul 2

P

Punctul 1 coordonate 0,0,0Punctul 2 coordonate 200,0,0Punctul 3 coordonate 100,35,0

Sec\iunea dreptunghiular` B=10; H= 20

Material E= 2.1 105 MPa; P= 100 N


Rezultate:

Configura\ia structurii deformate sub sarcin`

Valorile tensiunilor rezultante, la nivelul elementelor

Exemplul 2


Exemplul 2 Diagrama de momente T

Valorile reac\iunilor


Elementul de grind` Beam 3D

• Este un elementde tip linie, cudou` noduri.

• Un al treilea nodpoate fi folositpentru orientareaspa\ial` asec\iuniielementului


•Pentru analiza structural` sunt considerate 6 grade de libertatepentru fiecare nod.• Se accept` sec\iuni nesimetrice, pentru care centrul de forfecarenu coincide cu centrul de greutate

Op. 1: Section type (tipul sec\iunii)= 0; simetric (op\iunea implicit`)= 1; nesimetric= 2; simetric, cu sec\iunea variabil` liniar.Op. 2 si Op. 3: NeutilizateOp. 4: Se folose]te valoarea implicit`Op. 5: Se folose]te valoarea implicit` (Linear elastic Material)Op. 6: Se folose]te valoarea implicit` (Small displacement formulation)Op. 7 ]i Op. 8 Neutilizate pentru acest tip de element

Beam3D


Beam3D

Optiunea Symmetric tapered implic` o varia\ie continu`,liniar` a parametrilor sec\iunii [n lungul elementului


Constantele reale se introduc din meniul RCONST, sausunt calculate direct pentru sec\iunile din bibliotecaprogramului, cu ajutorul meniului BeamSection

Beam3D


Beam3D

JCTORT=maxτ Valorile constantelor ce intervin [n

calcului tensiunii maxime la r`sucire.


Beam3D

Tipurile de sec\iunipredefinite, din meniulBeamSection

(simetrice ]i nesimetrice)


Un caz particular de element Beam3D, simetric, esteelementul PIPE, comod de utilizat [ntruc@t num`rul deconstante reale ce trebuie definite este redus

PIPE

Outer Diameter (r1)

Wall Thickness (r2)

Internal Pressure (r3)

Elementul de bar` 2D supus numai la [ncovoiere (grinda) · 2002. 10. 10. · 1 Curs MEF A. Pascu...

Documents

Transcript of Elementul de bar` 2D supus numai la [ncovoiere (grinda) · 2002. 10. 10. · 1 Curs MEF A. Pascu...