1 Curs MEF A. Pascu
v̂,ŷ
x̂
22 v̂,ˆ yF
22 ,θM
11 v̂,ˆ yF
L
1 2
11,θM
Elementul de bar` 2D supusnumai la [ncovoiere (grinda)
ŷ,x̂ sistemul de coordonate local
Ipoteze:• deplas`ri mici• material omogen,izotrop, comportare elastic` liniar`• rigiditate axial` infinit`.
2 grade de libertatela nivelul unui nod:•deplasarea trans-versal` v ]i• rota\ia [n jurul axeiZ- rz, notat` θ
Pasul 1: Abstractizarea
E, I
2 Curs MEF A. Pascu
dx
T T + dT
M + dMM
q(x)
EI
EI
Mˆv̂
ˆv̂
ˆv̂1M1
2
2
2
2
==
≈=
xdd
xdd
xdd
θ
ρρ23
2
2
2
x̂v̂1
x̂v̂
1
∂∂
+
∂∂
=ρ
3 Curs MEF A. Pascu
( )xqxdd
xdd ˆ
ˆv̂
ˆ 22
2
2
−=
EI
xMT
xdd
ˆˆv̂3
3
∂∂
==
0ˆv̂4
4
=
xdd
EI
{n acest caz particular se consider` EI=constant ]i q = 0
Pasul 2: Se alege func\ia pentru deplas`ri
432
23
1 ˆˆˆv̂ axaxaxa +++=
4 Curs MEF A. Pascu
31
41
ˆˆ
)0(v̂v̂)0(ˆ
axd
da
==
==
θ
v
322
12
432
23
12
23ˆ
)(v̂v̂)(v̂
aLaLaxdLd
aLaLaLaL
++==
+++==
θ
Din condi\iile la limit` se identific`:
( ) ( )
( ) ( ) 11221212
3212213
v̂ˆˆ21v̂v̂3
ˆ1v̂v̂2v̂
++
+−−−
+
++−=
xxLL
xLL
θθθ
θθ
]i rezult`:
5 Curs MEF A. Pascu
[ ] [ ]
2324
22
333
2322
22
331
4321
ˆ1ˆ1ˆ3ˆ2
ˆ1ˆ2ˆ11ˆ3ˆ2
xL
xL
NxL
xL
N
xxL
xL
NxL
xL
N
NNNNN
−=+−=
+−=+−=
=
Sub form` matricial`:
1 bis[ ]{ } { }
==
2
2
1
1
v̂
v̂
ˆˆv̂
θ
θδδ cuN
6 Curs MEF A. Pascu
( )( )( )( )223
34
2333
322332
32331
Lx̂Lx̂L1N
Lx̂3x̂2L1N
Lx̂Lx̂2Lx̂L1N
LLx̂3x̂2L1N
−=
+−=
+−=
+−=
Func\iile de form`
(continue ]i derivabile)
-0.500
0.000
0.500
1.000
N1 N3
N4
N2
7 Curs MEF A. Pascu
3
3
2
2
ˆv̂
ˆv̂)ˆ(
xddT
xddxM
EI
EI
=
=
Pasul 3 - Se definesc rela\iile constitutive func\ie dem`rimile discrete
( )
( ) 22
ˆv̂ˆˆ,ˆ
ˆv̂ˆˆ
ˆˆˆ,ˆ
xddyyxε
xddyu
xdudyxε
x
x
−=
−=
=
8 Curs MEF A. Pascu
( )
( )22113
3
3
2
22113
3
3
1
6v̂126v̂12
ˆ)(v̂ˆ
6v̂126v̂12
ˆ)0(v̂ˆ
θθ
θθ
LLLEI
xdLdEITF
LLLEI
xddEITF
y
y
−+−−=
=−=
+−+=
==
Pasul 4 - Se deduc componenetele matricei de rigiditate
9 Curs MEF A. Pascu
( )2221213
2
2
1
2v̂64v̂6
ˆ)0(v̂
θθ LLLLLEI
xddEIMM
+−+=
−=−=
( )2221213
2
2
2
4v̂62v̂6
ˆ)(v̂
θθ LLLLLEI
xdLdEIMM
+−+=
=+=
10 Curs MEF A. Pascu
Rela\ia dintre solicit`ri ]i deplas`rile din noduri este:
−−−−
−−
=
2
2
1
1
22
22
2
2
1
1
v̂
v̂
4626612612
2646612612
ˆ
ˆ
θ
θ
LLLLLLLLLLLL
MFMF
y
y
3L
EI
[ ]K 11
11 Curs MEF A. Pascu
Deducerea matricei de rigiditate pe baza formul`rii ob\inuteprin utilizarea principiului lucrului mecanic virtual
[ ] [ ] [ ][ ]dVBDBKVol
T∫= 10
{ } 22v̂ˆdxdyx −=ε
Pornind de la expresia stabilit` pentru deforma\iile specifice
{ } [ ]{ }δε ˆˆ *Byx −=se ob\ine forma:
{ } [ ]{ }δε ˆBx = scris` ca:
12 Curs MEF A. Pascu
[ ]
−+−−−= 32
33
2
3* 2ˆ66ˆ124ˆ66ˆ12
LLLx
LLx
LLLx
LLxB
unde matricea [B*] este:
Efectu@nd calculele pentru [K] :
[ ] [ ] [ ][ ]∫∫ ∫=A L
T xdAdBDBK ˆ
]i \in@nd cont c` IdAyA
=∫∫ 2ˆ
rezult` pentru [K] aceia]i expresie 11
13 Curs MEF A. Pascu
Grinda solicitat` ]i cu for\e axiale
F1x, u1
x̂
22 v,ˆ yF
22 ,θM
11 v,ˆ yF
L
1 2
11,θME, I
F2x, u2
Leg`tura dintre for\e ]i deplas`ri, [n sistemul local, este de forma:
[ ]
=
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
v̂
ˆ
v̂
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
θ
θ
u
u
K
M
F
F
M
F
F
y
x
y
x
14 Curs MEF A. Pascu
Pentru deducerea matricei de rigiditate se va utiliza principiulsuprapunerii efectelor, consider@nd acest caz ca fiind o[nsumare [ntre solicitarea axial` ]i cea de [ncovoiere
−
−
=
00ˆ00ˆ
000000000000
0000000000000000
0000
00
ˆ00
ˆ
2
1
2
1
u
u
F
F
x
x
L
EA
L
EA
L
EA
L
EA
Matricea de rigiditatepentru solicitarea axial`
15 Curs MEF A. Pascu
−
−−−
−
−
=
2
2
1
1
2
2
1
1
v̂
0
v̂
0
00
00
00000
00
00
00000
ˆ0
ˆ0
θ
θ
L
4EI
L
6EI
L
2EI
L
6EIL
6EI
L
12EI
L
6EI
L
12EI0
L
2EI
L
6EI
L
4EI
L
6EIL
6EI
L
12EI
L
6EI
L
12EI0
22
2323
22
2323
M
F
M
F
Matricea de rigiditate pentrusolicitarea de [ncovoiere
16 Curs MEF A. Pascu
Matricea de rigiditate complet` rezultat` prin [nsumare
−
−−−
−
−
−
−
=
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
v̂
ˆ
v̂
ˆ
00
00
0000
00
00
0000
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
θ
θ
u
u
M
F
F
M
F
F
y
x
y
x
L
4EI
L
6EI
L
2EI
L
6EIL
6EI
L
12EI
L
6EI
L
12EIL
EA
L
EAL
2EI
L
6EI
L
4EI
L
6EIL
6EI
L
12EI
L
6EI
L
12EIL
EA
L
EA
22
2323
22
2323
[ ]K̂
17 Curs MEF A. Pascu
Elementul de grind` [n sistemul de coordonate global
{ } [ ]{ }δKF =Se dore]te rela\ia:
x̂
2θ
ŷL
1
2
1θ
x
y
θ
F1x, u1
F2x, u2F
1y,
v1
F2y,
v2
18 Curs MEF A. Pascu
9[ ] [ ] [ ][ ]TKTK T ˆ=Matricea de rigiditate se calculeaz` cu algoritmul deja cunoscut:
Unde, matricea de transformare de coordonate este:
[ ]
−
−
=
100000
0000
0000
000100
0000
0000
CS
SC
CS
SC
T
19 Curs MEF A. Pascu
{n biblioteca de elemente a programuluiCosmos, elementul este denumit BEAM2D
^ ^
^
^
20 Curs MEF A. Pascu
Beam2D
Pentru analiza structural`, propriet`\ile de materialce trebuie indicate sunt:EX - modulul de elasticitate;NUXY - constanta lui Poisson
Elementul suport` analiz` structural`, dinamic` (frecven\eproprii), de stabilitate structural` (flambaj) ]i analiz` termic`.
Se poate apela ]i un material din bibliotec` : Aten\ie launit`\ile de m`sur` !
21 Curs MEF A. Pascu
Beam2D
22 Curs MEF A. Pascu
Tipurile de sec\iuni predefinite [n meniul BeamSection
Beam2D
23 Curs MEF A. Pascu
End release code este o combinatie de 6 cifre, corespunz`-toare gradelor de libertate ale nodului. Dac` valorile sunt 0(cazul definit implicit), valoarea corespunz`toare a for\ei nueste cunoscut`, ]i ea va fi calculat` de program. Dac` [npozi\ia respectiv` este plasat (1), atunci fo\a sau momentulsunt cunoscute ca fiind zero (datorit` prezen\ei unei articula\ii[n acel nod) iar programul nu va calcula for\a [n nodulrespectiv.
Beam2D
24 Curs MEF A. Pascu
Exemplul 1
12
Configura\ia structurii deformate Tensiunile [n elemente
P
Punctul 1 coordonate 0,0,0Punctul 2 coordonate 200,0,0
Sec\iunea dreptunghiular` B=10; H= 20
Material E= 2.1 105 MPa; P= 1000 N
Articula\ie [n punctul 1; rezemare [n punctul 2
25 Curs MEF A. Pascu
Exemplul 1 Valorile reac\iunilor
Diagrama de momente T
Valoriledeplas`rilor [nnoduri
26 Curs MEF A. Pascu
Exemplul 2
P
Punctul 1 coordonate 0,0,0Punctul 2 coordonate 200,0,0Punctul 3 coordonate 100,35,0
Sec\iunea dreptunghiular` B=10; H= 20
Material E= 2.1 105 MPa; P= 100 N
27 Curs MEF A. Pascu
Rezultate:
Configura\ia structurii deformate sub sarcin`
Valorile tensiunilor rezultante, la nivelul elementelor
Exemplul 2
28 Curs MEF A. Pascu
Exemplul 2 Diagrama de momente T
Valorile reac\iunilor
29 Curs MEF A. Pascu
Elementul de grind` Beam 3D
• Este un elementde tip linie, cudou` noduri.
• Un al treilea nodpoate fi folositpentru orientareaspa\ial` asec\iuniielementului
30 Curs MEF A. Pascu
•Pentru analiza structural` sunt considerate 6 grade de libertatepentru fiecare nod.• Se accept` sec\iuni nesimetrice, pentru care centrul de forfecarenu coincide cu centrul de greutate
Op. 1: Section type (tipul sec\iunii)= 0; simetric (op\iunea implicit`)= 1; nesimetric= 2; simetric, cu sec\iunea variabil` liniar.Op. 2 si Op. 3: NeutilizateOp. 4: Se folose]te valoarea implicit`Op. 5: Se folose]te valoarea implicit` (Linear elastic Material)Op. 6: Se folose]te valoarea implicit` (Small displacement formulation)Op. 7 ]i Op. 8 Neutilizate pentru acest tip de element
Beam3D
31 Curs MEF A. Pascu
Beam3D
Optiunea Symmetric tapered implic` o varia\ie continu`,liniar` a parametrilor sec\iunii [n lungul elementului
32 Curs MEF A. Pascu
Constantele reale se introduc din meniul RCONST, sausunt calculate direct pentru sec\iunile din bibliotecaprogramului, cu ajutorul meniului BeamSection
Beam3D
33 Curs MEF A. Pascu
Beam3D
JCTORT=maxτ Valorile constantelor ce intervin [n
calcului tensiunii maxime la r`sucire.
34 Curs MEF A. Pascu
Beam3D
Tipurile de sec\iunipredefinite, din meniulBeamSection
(simetrice ]i nesimetrice)
35 Curs MEF A. Pascu
Un caz particular de element Beam3D, simetric, esteelementul PIPE, comod de utilizat [ntruc@t num`rul deconstante reale ce trebuie definite este redus
PIPE
Outer Diameter (r1)
Wall Thickness (r2)
Internal Pressure (r3)
Top Related