Fyrirlestranótur í grannfræði

1. hluti: Almenn grannfræði

1 Grannrúm

Skilgreining 1.1. Grannmynstur á mengi X er safn T af hlutmengjum í X sem uppfyllir eftir-farandi skilyrði:

(i) ∅ og X eru í T .

(ii) Ef (Xα)α∈I er fjölskylda af mengjum úr T er⋃

α∈I Xα ∈ T .

(iii) Ef (Xα)α∈I er endanleg fjölskylda af mengjum úr T er⋂

α∈I Xα ∈ T .

Tvenndin (X,T ) kallast grannrúm. Ef ekki fer á milli mála við hvaða T er átt tölum við umX sem grannrúm. Köllum stökin í X oft punkta og stökin í T opin mengi.

Athugasemd 1.2. Skilyrði (ii) og (iii) hafa (i) í för með sér:

⋂

α∈∅Xα = x ∈ X | x ∈ Xα fyrir öll α ∈ ∅ = X

⋃

α∈∅Xα = x ∈ X | til er α ∈ ∅ þ.a. x ∈ Xα = ∅.og

Dæmi 1.3. (1) Látum (M,d) vera firðrúm. Þá mynda d-opnu mengin grannmynstur á M . Skoðumt.d. firðrúmin (−1, 1) og (−2, 2) með venjulegu firðinni. Vörpunin (−1, 1) → (−2, 2); x 7→ 2xvarðveitir grannmynstrið en ekki firðina því allar fjarlægðir tvöfaldast. Þrátt fyrir að firðrúminséu ólík eru þau grannfræðilega eins.

(2) Látum X vera mengi. Grannmynstrið sem samanstendur eingöngu af ∅ og X kallast grófagrannmynstrið (á X). Grannmynstrið sem samanstendur af öllum hlutmengjum X kallastdreifða grannmynstrið (á X) (þá eru allir einstökungar x í X opin mengi).

Skilgreining 1.4. Látum T og T ′ vera tvö grannmynstur á mengi X. Segjum að T ′ sé fínna enT ef T ′ ⊇ T . Segjum þá líka að T sé grófara en T ′.

Skilgreining 1.5. Látum X vera grannrúm og A ⊆ X. Við segjum að V ⊆ X sé grennd um A eftil er opið mengi U í X þ.a. A ⊆ U ⊆ V . Grenndir um einstökunga x kallast líka grenndirum x.

Skilgreining 1.6. Safn B af hlutmengjum í X kallast grunnur fyrir grannmynstur á X ef þaðuppfyllir eftirfarandi skilyrði:

(i) Fyrir öll x ∈ X er til B ∈ B þ.a. x ∈ B.

1

(ii) Ef B1, B2 ∈ B og x ∈ B1 ∩B2 er til B3 ∈ B þ.a.

x ∈ B3 ⊆ B1 ∩B2.

Setning 1.7. Látum B vera grunn og TB vera safn allra hlutmengja U í X sem fullnægja eftir-farandi skilyrði:

Fyrir sérhvert x ∈ U er til B ∈ B þ.a. x ∈ B ⊆ U .

Þá er TB grannmynstur á X og við köllum það grannmynstrið sem B framleiðir.

Sönnun. Sýnum að TB sé grannmynstur á X með því að fara gegnum skilyrðin í skilgreiningunni:

(i) Augljóst er að ∅ ∈ TB. Skv. (i) úr síðustu skilgreiningu er fyrir sérhvert x ∈ X til B ∈ Bþ.a. x ∈ B ⊆ X, svo X ∈ TB.

(ii) Látum Uαα∈J vera fjölskyldu í TB og setjum U :=⋃

α∈J Uα. Ef x ∈ U er til α ∈ Jþ.a. x ∈ Uα og þá er til B ∈ B þ.a. x ∈ B ⊆ Uα ⊆ U . Því er U ∈ TB.

(iii) Látum U1, U2 ∈ TB og x ∈ U1 ∩U2. Þá eru til B1, B2 ∈ B þ.a. x ∈ B1 ⊆ U1 og x ∈ B2 ⊆ U2.Skv. (ii) úr síðustu skilgreiningu er þá til B3 ∈ B þ.a. x ∈ B3 ⊆ B1 ∩ B2 ⊆ U1 ∩ U2. Því erU1 ∩ U2 ∈ TB.

Dæmi 1.8. (1) Ef T er grannmynstur á X er T grunnur fyrir T .

(2) Safn allra einstökunga x í X er grunnur fyrir dreifða grannmynstrið á X.

(3) Látum (M,d) vera firðrúm og Td grannmynstrið sem d skilgreinir (þ.e. safn d-opnu mengjanna).Setjum

Bε(x) := y ∈M | d(x, y) < ε

fyrir öll ε > 0 og x ∈M . Þá er

B := Bε(x) | ε ∈ (0,+∞), x ∈M

grunnur fyrir Td.

Setning 1.9. Látum B vera grunn fyrir grannmynstur T á mengi X. Þá er T jafnt safni allrasammengja af mengjum í B, þ.e.

T =

⋃

B ∈B′

B

∣∣∣∣B′ ⊆ B

.

Sönnun. Ef Bαα∈J er fjölskylda í B er hún jafnframt fjölskylda í T og þar sem T er grannmynsturer þá

⋃

α∈J Bα ∈ T . Öfugt, ef U ∈ T er fyrir sérhvert x ∈ U til Bx ∈ B þ.a. x ∈ Bx ⊆ U . Þarmeð er U =

⋃

x∈U Bx.

2

Setning 1.10. Látum B og B′ vera grunna fyrir grannmynstur á mengi X. Þá eru eftirfarandiskilyrði jafngild:

(i) TB′ er fínna en TB.

(ii) Fyrir sérhvert x ∈ X og B ∈ B sem inniheldur x er til B′ ∈ B′ þ.a. x ∈ B′ ⊆ B.

Sönnun. • (i) ⇒ (ii): Látum x ∈ X og B ∈ B með x ∈ B vera gefin. Nú er

B ∈ B ⊆ TB(i)

⊆ TB′ ,

svo þar sem B′ framleiðir TB′ er til B′ ∈ B′ þ.a. x ∈ B′ ⊆ B.

• (ii) ⇒ (i): Látum U ∈ TB vera gefið; viljum sýna að U ∈ TB′ . Ef x ∈ U er til B ∈ Bþ.a. x ∈ B ⊆ U og skv. (ii) er þá til B′ ∈ B′ þ.a. x ∈ B′ ⊆ B ⊆ U . En það þýðir aðU ∈ TB′ .

Athugasemd 1.11. Oft er hagstæðara að vinna með grunnana en grannmynstrin sjálf.

Setning 1.12. Látum (X,T ) vera grannrúm og C ⊆ T þ.a. fyrir sérhvert U ∈ T og sérhvertx ∈ U sé til C ∈ C þ.a. x ∈ C ⊆ U . Þá er C grunnur fyrir grannmynstrið T .

Sönnun. Sýnum fyrst að C sé grunnur fyrir grannmynstur á X:

(i) Látum x ∈ X. Viljum sýna að til sé C ∈ C þ.a. x ∈ C. En X ∈ T svo til er C ∈ Cþ.a. x ∈ C ⊆ X.

(ii) Látum C1, C2 ∈ C og x ∈ C1 ∩ C2. Viljum sýna að til sé C3 ∈ C þ.a. x ∈ C3 ⊆ C1 ∩ C2. EnC1 og C2 eru í T og því C1 ∩C2 líka. Þar með er til C3 ∈ C þ.a. x ∈ C3 ⊆ C1 ∩ C2.

Tökum nú eftir að T = TT svo skv. síðustu setningu er TC fínna en T og ljóst er að T = TT erfínna en TC því C ⊆ T . Þar með er T = TC .

Dæmi 1.13 (Æfing). Látum B vera safn allra opinna bila (a, b) í R og B′ vera safn allra hálf-opinnabila [a, b) í R. Þá eru B og B′ grunnar fyrir grannmynstur á R. TB er venjulega grannmynstrið áR en TB′ er stranglega fínna en TB, þ.e. TB $ TB′ .

Skilgreining 1.14. Látum X vera mengi. Safn S ⊆ P(X) sem þekur X kallast hlutgrunnur fyrirgrannmynstur á X.

Setning 1.15. Látum S vera hlutgrunn fyrir grannmynstur á X og B vera safn allra endanlegrasniðmengja af mengjum í S, þ.e.

B =

⋂

S∈S′

S

∣∣∣∣S ′ ⊆ S og #S ′ < +∞

.

Þá er B grunnur fyrir grannmynstur á X og við segjum að S framleiði TB.

3

Sönnun. Förum gegnum skilyrðin:

(i) Ef x ∈ X er til S ∈ S ⊆ B þ.a. x ∈ S.

(ii) Ef B1, B2 ∈ B eru til S1, . . . , Sm og S′1, . . . , S

′n úr S þ.a.

B1 =

m⋂

j=1

Sj og B2 =

n⋂

j=1

S′j.

En þá er B1 ∩B2 = S1 ∩ · · · ∩ Sm ∩ S′1 ∩ · · · ∩ S′

n líka í B.

2 Röðunargrannmynstur

Látum (X,<) vera línulega raðað mengi og a, b ∈ X. Þá kallast

(i) (a, b) = x ∈ X | a < x < b opið bil.

(ii) [a, b) = x ∈ X | a ≤ x < b og (a, b] = x ∈ X | a < x ≤ b hálfopin bil.

(iii) [a, b] = x ∈ X | a ≤ x ≤ b lokað bil.

(iv) (a,+∞) = x ∈ X | a < x og (−∞, a) = x ∈ X | x < a opnir geislar.

(v) [a,+∞) = x ∈ X | a ≤ x og (−∞, a] = x ∈ X | x ≤ a lokaðir geislar.

Skilgreining 2.1. Látum (X,<) vera línulega raðað mengi. Látum B vera safn allra mengja afeftirfarandi gerðum:

(i) Opin bil í X.

(ii) Hálfopin bil [a0, b) þar sem a0 = minX (ef til er).

(iii) Hálfopin bil (a, b0] þar sem b0 = maxX (ef til er).

B er greinilega grunnur fyrir grannmynstur á X. Við köllum TB röðunargrannmynstur línulegaraðaða mengisins (X,<).

Dæmi 2.2. (1) R×R með orðabókarröðinni (þ.e. (a, b) < (c, d) þ.þ.a.a. a < c eða a = c og b < d).

-

6

(a, b) (c, d)

-

6

(a, b)

(c, d)

(2) Röðunargrannmynstrið á N = 0, 1, 2, . . . er dreifða grannmynstrið.

4

(3) Setjum X = 1, 2 × N með orðabókarröðinni. Dreifða grannmynstrið er fínna en röðunar-grannmynstrið, vegna þess að 2× 0 er ekki opið.

(4) Opnir geislar eru opin mengi í röðunargrannmynstrinu.

3 Faldgrannmynstur

Skilgreining 3.1. Látum X og Y vera grannrúm. Mengi af gerðinni U×V , þar sem U er opið í Xog V er opið í Y , mynda grunn fyrir grannmynstur á X × Y sem við köllum faldgrannmynstriðá X × Y .

Setning 3.2. Ef B er grunnur fyrir grannmynstrið á X og C er grunnur fyrir grannmynstrið á Yer safnið

D := B × C | B ∈ B og C ∈ C

grunnur fyrir faldgrannmynstrið á X × Y .

Sönnun. Látum W vera opið í X × Y og (x, y) ∈ W . Þá eru til opin mengi U í X og V í Yþ.a. (x, y) ∈ U × V ⊆ W . Þar sem B er grunnur fyrir TX og C er grunnur fyrir TY eru til B ∈ Bog C ∈ C þ.a. x ∈ B ⊆ U og y ∈ C ⊆ V og þar með

(x, y) ∈ B × C ⊆ U × V ⊆W.

Dæmi 3.3 (Ganga vel úr skugga um það!). Faldgrannmynstrið á R2 = R × R er venjulega grann-mynstrið.

Setning 3.4. Táknum ofanvörpin π1 : X × Y → X; (x, y) 7→ x og π2 : X × Y → Y ; (x, y) 7→ y.Safnið

S := π−11 (U)

︸ ︷︷ ︸

=U×Y

| U opið í X ∪ π−12 (V )

︸ ︷︷ ︸

=X×V

| V opið í Y

er hlutgrunnur fyrir faldgrannmynstrið.

Sönnun. Leiðir beint af því að π−11 (U) ∩ π−1

2 (V ) = U × V .

4 Hlutrúmsgrannmynstur

Skilgreining 4.1. Látum (X,T ) vera grannrúm og Y ⊆ X. Safnið

TY := Y ∩ U | U ∈ T

er grannmynstur á Y sem kallast hlutrúmsgrannmynstrið á Y . Hlutmengi í X með hlutrúms-grannmynstrinu kallast hlutrúm í X.

5

Setning 4.2. Ef B er grunnur fyrir grannmynstrið á X og Y ⊆ X er

BY := B ∩ Y | B ∈ B

grunnur fyrir hlutrúmsgrannmynstrið á Y .

Sönnun. Augljóst.

Setning 4.3. Látum Y vera hlutrúm í X. Ef U er opið í Y og Y er opið í X, þá er U opið í X.

Sönnun. Augljóst.

Dæmi 4.4. Lítum á hlutmengin Y1 = [0, 1] og Y2 = [0, 1)∪2 í R. Þá eru hlutrúmsgrannmynstrið(í R) og röðunargrannmynstrið (í R) eins á Y1, en ekki á Y2 (2 er ekki opið í röðunargrann-mynstrinu).

Athugasemd 4.5 (Dæmi 6 á bls. 91 í Munkres). Á bili eða geisla í línulega röðuðu mengi eru röð-unargrannmynstrið og hlutrúmsgrannmynstrið eins. (Sjá einnig almennari útgáfu: Setning 16.4.)

Setning 4.6. Látum A vera hlutrúm í grannrúmi X og B vera hlutrúm í grannrúmi Y . Þá erfaldgrannmynstrið á A×B það sama og hlutrúmsgrannmynstrið sem A×B erfir frá X × Y .

Sönnun. Látum U vera opið í X og V vera opið í Y . Þá er

(U × V ) ∩ (A×B) = (U ∩A)× (V ∩B),

sem gefur okkur gagntæka samsvörun milli grunnstaka hlutrúmsgrannmynstursins og faldgrann-mynstursins.

5 Lokuð mengi og þéttipunktar

Skilgreining 5.1. Hlutmengi A í grannrúmi X er sagt vera lokað ef X \ A er opið.

Setning 5.2. Látum X vera grannrúm. Þá gildir:

(i) ∅ og X eru lokuð.

(ii) Sniðmengi lokaðra mengja í X er lokað.

(iii) Endanlegt sammengi lokaðra mengja í X er lokað.

Sönnun. Nú er ∅ = X \ X og X = X \ ∅ sem gefur (i) en (ii) og (iii) leiðir beint af reglum deMorgans og samsvarandi reglum fyrir opin mengi.

6

Dæmi 5.3. Í dreifðu grannmynstri eru öll mengi bæði opin og lokuð.

Setning 5.4. Látum Y vera hlutrúm í grannrúmi X. Hlutmengi í Y er lokað í Y þ.þ.a.a. það sésniðmengi Y og lokaðs mengis í X.

Sönnun. Látum A ⊆ Y . Ef A = C ∩ Y með C lokað í X, þá er X \ C opið í X og því Y \ A =(X \ C) ∩ Y opið í Y . Þar með er A lokað í Y . Öfugt, ef A er lokað í Y , þá er Y \ A opið í Yog því er Y \ A = U ∩ Y þar sem U er opið í X. Mengið X \ U er þá lokað í X og við höfumA = (X \ U) ∩ Y .

Setning 5.5. Látum Y vera hlutrúm í grannrúmi X. Ef A er lokað í Y og Y er lokað í X, þá erA lokað í X.

Sönnun. Augljóst.

6 Lokanir og innri mengi

Skilgreining 6.1. Látum A vera hlutmengi í grannrúmi X.

(i) Sammengi allra opinna mengja sem eru innihaldin í A er stærsta opna mengið sem Ainniheldur og kallast innra mengi (eða innmengi) A. Þetta mengi er táknað A eða int(A).

(ii) Sniðmengi allra lokaðra mengja sem innihalda A er minnsta lokaða mengið sem inniheldurA og kallast lokun (eða lokunarhringur) A. Þetta mengi er táknað A.

Athugasemd 6.2. Við höfum A ⊆ A ⊆ A.

Dæmi 6.3. Setjum X = R2, Y = [0, 1) × 0 og A = (0, 1) × 0.

• Lokun A í Y er Y , þ.e. AY= Y .

• Lokun A í X er jöfn lokun Y í X, þ.e. AX= Y

X= [0, 1] × 0.

• Innmengi A í Y er A.

• Innmengi A í X er ∅.

Setning 6.4. Látum Y vera hlutrúm í grannrúmi X og A ⊆ Y . Látum A tákna lokun A í X.Þá er A ∩ Y lokun A í Y .

Sönnun. Látum B tákna lokun A í Y . Þar sem A ∩ Y er lokað í Y er B ⊆ A ∩ Y . En þarsem B er lokað í Y er til lokað mengi C í X þ.a. B = C ∩ Y og því A ⊆ C. Þetta gefur aðA ∩ Y ⊆ C ∩ Y = B.

7

Setning 6.5. Látum A vera hlutmengi í grannrúmi X.

(i) x ∈ A þ.þ.a.a. sérhver grennd U um x skeri A.

(ii) Ef B er grunnur fyrir TX , þá gildir:

x ∈ A þ.þ.a.a. B ∩A 6= ∅ fyrir öll B ∈ B þ.a. x ∈ B.

Sönnun. (i) Við athugum að x ∈ X \ A þ.þ.a.a. til sé opin grennd U um x þ.a. x ∈ U ⊆ X \ A.

(ii) Augljóst.

7 Þéttipunktar

Skilgreining 7.1. Látum A vera hlutmengi í grannrúmi X. Punktur x úr X er kallaður þétti-punktur A ef (A \ x) ∩ U 6= ∅ fyrir allar grenndir U um x.

Athugasemd 7.2. Þéttipunktur A getur hvort sem er tilheyrt A eða ekki og A getur haft punktasem eru ekki þéttipunktar.

-︸ ︷︷ ︸

allt þéttipunktar

ekki þéttipunktur

Setning 7.3. Látum A vera hlutmengi í grannrúmi X og A′ vera mengi allra þéttipunkta A. Þáer A = A ∪A′.

Sönnun. Ef x ∈ A′ gildir um sérhverja grennd U um x að (A \ x) ∩ U 6= ∅ og því A ∩ U 6= ∅.Skv. (i) í síðustu setningu er þá x ∈ A. Við höfum því sýnt að A′ ⊆ A og þar sem A ⊆ Askv. skilgreiningu er A ∪A′ ⊆ A.

Öfugt, sýnum að A ⊆ A ∪ A′. Látum x ∈ A. Ef x ∈ A er ekkert að sanna. Ef hins vegarx ∈ A \ A gildir um sérhverja grennd U um x að ∅ 6= A ∩ U = (A \ x) ∩ U og þar með erx ∈ A′.

Fylgisetning 7.4. Hlutmengi í grannrúmi er lokað þ.þ.a.a. það innihaldi alla þéttipunkta sína.

Sönnun. Við athugum að A er lokað þ.þ.a.a. A = A þ.þ.a.a. A′ ⊆ A.

8

8 T1-rúm og Hausdorff-rúm

Skilgreining 8.1. Við segjum að grannrúm X sé

(i) T1-rúm (eða uppfylli T1-frumsenduna) ef fyrir sérhverja ólíka punkta x, y ∈ X eru tilgrenndir Ux um x og Uy um y þ.a. y /∈ Ux og x /∈ Uy.

(ii) Hausdorff-rúm (eða uppfylli T2-frumsenduna) ef fyrir sérhverja ólíka punkta x, y ∈ X erutil grenndir Ux um x og Uy um y þ.a. Ux ∩ Uy = ∅.

Setning 8.2. Endanleg mengi í T1-rúmi X eru lokuð.

Sönnun. Látum A ⊆ X vera endanlegt og x ∈ X \A. Þá er fyrir sérhvert a ∈ A til grennd Ua umx þ.a. a /∈ Ua og þar með er

⋂

a∈A Ua grennd um x í X \A. Mengið X \A er því opið og þar meðer A lokað.

Setning 8.3. Látum A vera hlutmengi í T1-rúmi X. Þá er x þéttipunktur A þ.þ.a.a. sérhvergrennd um x skeri A í óendanlega mörgum punktum.

Sönnun. Ef sérhver grennd um x sker A í óendanlega mörgum punktum sker hún A \ x og þarmeð er x þéttipunktur A. Öfugt, g.r.f. að x ∈ X þ.a. til sé grennd U um x sem sker A í aðeinsendanlega mörgum punktum. Þá fæst:

(A \ x) ∩ U = x1, . . . , xm.

En skv. síðustu setningu er X \ x1, . . . , xm opið mengi í X og þar með grennd um x. Af þvíleiðir að U \ x1, . . . , xm = U ∩ (X \ x1, . . . , xm) er grennd um x sem ekki sker A \ x og þvíer x ekki þéttipunktur A.

Setning 8.4. (i) Línulega raðað mengi er Hausdorff-rúm m.t.t. röðunargrannmynstursins.

(ii) Faldrúm tveggja Hausdorff-rúma er Hausdorff-rúm.

(iii) Hlutrúm í Hausdorff-rúmi eru Hausdorff.

Sönnun. Dæmi 10, 11 og 12 á bls. 101 í Munkres.

9 Samfelldar varpanir

Skilgreining 9.1. Vörpun f : X → Y milli grannrúma er sögð vera samfelld ef fyrir sérhvert opiðmengi U í Y gildir að f−1(U) er opið í X.

Athugasemd 9.2. (i) Vörpun f : X → Y er samfelld þ.þ.a.a. vörpunin P(Y ) → P(X); Z 7→f−1(Z) varpi TY á TX .

9

(ii) Ef B er grunnur fyrir TY , þá er f : X → Y samfelld þ.þ.a.a. f−1(B) sé opið í X fyrirsérhvert B ∈ B: Ef V er opið í Y má rita V =

⋃

i∈I Bi með Bi ∈ B fyrir öll i ∈ I ogf−1(V ) =

⋃

i∈I f−1(Bi).

(iii) Ef S er hlutgrunnur fyrir TY , þá er f : X → Y samfelld þ.þ.a.a. f−1(S) sé opið í X fyrirsérhvert S ∈ S: Látum B vera grunninn sem S framleiðir. Ef B ∈ B má rita B = S1∩· · ·∩Smmeð Sj ∈ S fyrir j = 1, . . . ,m og f−1(B) = f−1(S1) ∩ · · · ∩ f−1(Sm).

Dæmi 9.3. Látum (X, dX ) og (Y, dY ) vera firðrúm. Vörpun f : X → Y er samfelld í firðrúma-skilningnum þ.þ.a.a. f sé samfelld í grannrúmaskilningnum.

Athugasemd 9.4. Látum X vera mengi og T ,T ′ vera tvö grannmynstur á X. Þá er vörpuninidX : (X,T ′) → (X,T ); x 7→ x samfelld þ.þ.a.a. T ⊆ T ′, þ.e. T ′ er fínna en T .

Setning 9.5. Látum X og Y vera grannrúm og f : X → Y vera vörpun. Þá eru eftirfarandiskilyrði jafngild:

(i) f er samfelld.

(ii) Fyrir öll A ⊆ X er f(A) ⊆ f(A).

(iii) Fyrir sérhvert lokað hlutmengi B í Y er f−1(B) lokað í X.

Sönnun. • (i) ⇒ (ii): Látum A ⊆ X og x ∈ A. Viljum sýna að f(x) ∈ f(A). Ef V er grenndum f(x) í Y , þá er f−1(V ) grennd um x í X (því f er samfelld) svo að f−1(V )∩A 6= ∅ (vegnaþess að x ∈ A). Veljum punkt y úr f−1(V )∩A. Þá er f(y) ∈ f(f−1(V )∩A) = V ∩ f(A) ogþar með er V ∩ f(A) 6= ∅. Við höfum þá sýnt að f(x) ∈ f(A).

• Látum B vera lokað í Y og sýnum að f−1(B) ⊆ f−1(B). Ljóst er að f(f−1(B)) ⊆ B svo efx ∈ f−1(B) gildir:

f(x) ∈ f(f−1(B)) ⊆ f(f−1(B)) ⊆ B = B.

Þar með er x ∈ f−1(B).

• Látum V vera opið í Y . Viljum sýna að f−1(V ) sé opið í X. Nú er Y \ V lokað í Y svo

X \ f−1(V ) = f−1(Y ) \ f−1(V ) = f−1(Y \ V )

er lokað í X og því f−1(V ) opið í X.

Skilgreining 9.6. Látum X og Y vera grannrúm og f : X → Y vera vörpun. Við segjum að fsé samfelld í punkti x0 ∈ X ef fyrir sérhverja grennd V um f(x0) í Y er til grennd U um x0 íX þ.a. f(U) ⊆ V .

Dæmi 9.7 (Æfing). Látum X og Y vera grannrúm og f : X → Y vörpun. Sýnið að f sé samfelldþ.þ.a.a. f sé samfelld í sérhverjum punkti úr X.

10

10 Grannmótanir

Skilgreining 10.1. Látum X og Y vera grannrúm og f : X → Y vera gagntæka vörpun. Ef bæðif og f−1 eru samfelldar kallast f grannmótun (þ.e. einsmótun milli grannrúma).

Dæmi 10.2. (1) Vörpunin R → R; x 7→ xn er grannmótun ef n er oddatala.

(2) Vörpunin arctan : R → (−π/2, π/2) er grannmótun.

Skilgreining 10.3. Látum X og Y vera grannrúm og f : X → Y vera eintæka og samfelldavörpun. Þá fæst gagntæk og samfelld vörpun f : X → f(X). Ef hún er auk þess grann-mótun kallast f greyping og við segjum að f greypi X í Y . (Hér er f(X) að sjálfsögðu meðhlutrúmsgrannmynstrið.)

Dæmi 10.4. (1) Vörpunin f : (0, 2π) → R2; f(t) = (cos t, sin t) er greyping.

0 2π

j

f

-

6

(2) Vörpunin g : [0, 2π) → R2; g(t) = (cos t, sin t) er ekki greyping. Hægt er að rökstyðja það meðfirðrúmsrökum annars vegar og grannfræðilegum rökum hins vegar:

• g([0, 2π)) er þjappað mengi en [0, 2π) ekki.

• [0, π) er opið í [0, 2π) en g([0, π)) er ekki opið í g([0, 2π)).

0 2π

-

6

j

g

11 Nokkrar reglur um samfelldni

Setning 11.1. Látum X, Y og Z vera grannrúm.

(i) Ef y0 ∈ Y er vörpunin f : X → Y ; f(x) = y0 fyrir öll x ∈ X samfelld.

(ii) Ef A er hlutrúm í X er ívarpið ι : A → X; a 7→ a samfellt.

11

(iii) Ef f : X → Y og g : Y → Z eru samfelldar er samskeytingin g f : X → Z samfelld.

(iv) Ef f : X → Y er samfelld og A er hlutrúm í X er einskorðunin f |A : A→ Y samfelld.

(v) Ef f : X → Y er samfelld og B er hlutrúm í Y þ.a. f(X) ⊆ B er vörpunin g : X → B;g(x) = f(x) samfelld.

(v’) Ef f : X → Y er samfelld og Y er hlutrúm í Z er vörpunin h : X → Z, h(x) = f(x)samfelld.

(vi) Vörpun f : X → Y er samfelld þ.þ.a.a. til sé opin þakning Uαα∈I áX þ.a. f |Uα : Uα → Ysé samfelld fyrir öll α ∈ I.

Sönnun. (i) Ef V er opið í Y , þá fæst:

f−1(V ) =

∅ ef y0 /∈ V ,

X ef y0 ∈ V .

(ii) Fyrir sérhver opið U í X er ι−1(U) = A ∩ U opið í A skv. skilgreiningu á hlutrúmsgrann-mynstrinu.

(iii) Látum V vera opið í Z. Þá fæst:

(g f)−1(V ) = f−1(g−1(V ))

sem er opið í X því f og g eru samfelldar.

(iv) Skv. (ii) er ívarpið ιA : A → X samfelld vörpun svo skv. (iii) er f |A = f ιA samfelld.

(v) Fyrir opið mengi U í B er til opið mengi V í Y þ.a. U = B ∩V . En þar sem f(X) ⊆ B gildirað

g−1(U) = g−1(B ∩ V ) = f−1(B ∩ V ) = f−1(V )

sem er opið í X.

(v’) Nú er h = ιY f þar sem ιY : Y → Z er ívarpið. Þar með er h samfelld skv. (iii).

(vi) Vitum að ef f er samfelld og Uαα∈I er opin þakning er f |Uα : Uα → Y samfelld fyrir öllα ∈ I. Öfugt, látum Uαα∈I vera opna þakningu á X og sýnum að f sé samfelld ef f |Uα ersamfelld fyrir öll α ∈ I. Skoðum tvær ólíkar sannanir á þessu:

• Látum x ∈ X og V vera grennd um f(x) í Y . Til er α ∈ I þ.a. x ∈ Uα og þar sem f |Uα

er samfelld er til opin grennd W um x í Uα þ.a. f |Uα(W ) ⊆ V . En Uα er opið í X svoW er opin grennd um x í X og f |Uα(W ) = f(W ).

• Látum V vera opið mengi í Y . Þá fæst:

f−1(V ) = f−1(V ) ∩

(⋃

α∈IUα

)

=⋃

α∈I(f−1(V ) ∩ Uα) =

⋃

α∈I(f |Uα)

−1(V )︸ ︷︷ ︸

opið í Uα og því opið í X

sem er opið í X.

12

Setning 11.2 (Samlíming). Látum X vera grannrúm og A,B vera lokuð hlutmengi í X þ.a. X =A ∪ B. Látum Y vera grannrúm og f : A → Y , g : B → Y vera samfelldar varpanir. Eff |A∩B = g|A∩B er vörpunin

h : X → Y ; h(x) =

f(x) ef x ∈ A,

g(x) ef x ∈ B,

samfelld.

Sönnun. Fyrir sérhvert lokað mengi C í Y er

h−1(C) = h−1(C) ∩ (A ∪B) = (h−1(C) ∩A) ∪ (h−1(C) ∩B)

= (h|A)−1(C) ∪ (h|B)

−1(C) = f−1(C) ∪ g−1(C)

sem er lokað í X því f−1(C) er lokað í A sem er lokað í X og g−1(C) er lokað í B sem er lokað íX.

Setning 11.3. Látum A, X og Y vera grannrúm, π1 : X × Y → X og π2 : X × Y → Y veravenjulegu ofanvörpin. Vörpun f : A→ X ×Y er samfelld þ.þ.a.a. π1 f og π2 f séu samfelld.

Sönnun. Ef f er samfelld er π1 f og π2 f samfelldar vegna þess að π1 og π2 eru samfelldar.Öfugt, ef π1 f og π2 f eru samfelldar gildir um sérhvert grunnmengi U × V þar sem U er opiðí X og V er opið í Y að

f−1(U × V ) = (π1 f)−1(U) ∩ (π2 f)

−1(V )

sem er opið í A.

12 Kartesísk margfeldi grannrúma

Rifjum upp skilgreiningu á faldmengi fjölskyldunnar (Xα)α∈J :

∏

α∈JXα = θ : J →

⋃

α∈JXα | θ(α) ∈ Xα.

Skilgreining 12.1. Látum (Xα)α∈J vera fjölskyldu af grannrúmum.

(i) Mengin∏

α∈J Uα þar sem Uα er opið í Xα mynda grunn fyrir grannmynstur á∏

α∈J Xα.Umrætt grannmynstur kallast kassagrannmynstrið á

∏

α∈J Xα.

(ii) Setjum fyrir sérhvert β ∈ J

Sβ := π−1β (Uβ) | Uβ opið í Xβ og S :=

⋃

β∈JSβ.

Grannmynstrið sem framleitt er af hlutgrunninum S kallast faldgrannmynstrið á∏

α∈J Xα.Mengið

∏

α∈J Xα með þessu grannmynstri kallast faldrúm grannrúmanna Xα (eða fjöl-skyldunnar (Xα)α∈J ).

13

Athugasemd 12.2. (i) Þar sem grunnur er búinn til út frá hlutgrunni með því að taka öll endanlegsniðmengi fæst:

• Grunnur fyrir kassagrannmynstrið samanstendur af öllum hlutmengjum af gerðinni∏

α∈JUα

þar sem Uα er opið í Xα.

• Grunnur fyrir faldgrannmynstrið samanstendur af öllum hlutmengjum af gerðinni∏

α∈JUα

þar sem Uα er opið í Xα og Uα = Xα fyrir öll nema endanlega mörg α ∈ J (m.ö.o. fyrirnæstum öll α).

(ii) Kassagrannmynstrið og faldgrannmynstrið eru eins ef J er endanlegt mengi.

(iii) Til þess að ofanvarpið πβ :∏

α∈J Xα → Xβ sé samfellt þurfa öll mengin í Sβ að vera opin.Faldgrannmynstrið er því minnsta grannmynstrið sem gerir öll ofanvörpin πβ samfelld.

Setning 12.3. Látum (Xα)α∈J vera fjölskyldu af grannrúmum og Bα vera grunn fyrir grann-mynstrið á Xα fyrir sérhvert α ∈ J .

(i) Mengin∏

α∈J Bα þar sem Bα ∈ Bα fyrir öll α ∈ J mynda grunn fyrir kassagrannmystriðá∏

α∈J Xα.

(ii) Mengin∏

α∈J Bα þar sem Bα ∈ Bα ∪ Xα fyrir öll α ∈ J og Bα = Xα fyrir næstum öllα ∈ J mynda grunn fyrir faldgrannmynstrið á

∏

α∈J Xα.

Sönnun. Æfing.

Setning 12.4. (i) Látum (Xi)i∈I vera fjölskyldu af grannrúmum. Látum∏

i∈I Xi tákna fald-rúm fjölskyldunnar og πj :

∏

i∈I Xi → Xj tákna náttúrulega ofanvarpið á Xj fyrir sérhvertj ∈ I. Spyrðan

(∏

i∈I Xi, (πi)i∈I)

fullnægir eftirfarandi skilyrði:

• Ef Y er grannrúm og fyrir sérhvert i ∈ I er fi : Y → Xi samfelld vörpun, þá er tilnákvæmlega ein samfelld vörpun f : Y →

∏

i∈I Xi sem uppfyllir fi = πi f fyrir ölli ∈ I.

(ii) Látum P vera grannrúm og gerum ráð fyrir að fyrir sérhvert i ∈ I sé til samfelld vörpungi : P → Xi þannig að spyrðan

(P, (gi)i∈I

)fullnægi eftirfarandi skilyrði:

• Ef Y er grannrúm og fyrir sérhvert i ∈ I er fi : Y → Xi samfelld vörpun, þá er tilnákvæmlega ein samfelld vörpun f : Y → P sem uppfyllir fi = gi f fyrir öll i ∈ I.

Þá er til nákvæmlega ein grannmótun h : P →∏

i∈I Xi sem uppfyllir gi = πi h fyrir ölli ∈ I.

Sönnun. Æfing.

Athugasemd 12.5. Sá eiginleiki faldrúmsins∏

i∈I Xi sem lýst er í síðustu setningu kallast allsherjar-eiginleiki þess. Með allsherjareiginleika fyrirbrigðis er átt við eiginleika sem ákvarðar það burtséðfrá ótvírætt ákvarðaðri einsmótun.

14

Setning 12.6. Látum Aα vera hlutrúm í Xα fyrir sérhvert α ∈ J .

(i)∏

α∈J Aα með kassagrannmynstrinu er hlutrúm í∏

α∈J Xα með kassagrannmynstrinu.

(ii) Faldrúmið∏

α∈J Aα er hlutrúm í faldrúminu∏

α∈J Xα.

Sönnun. Æfing.

Setning 12.7. Látum (Xα)α∈J vera fjölskyldu af Hausdorff-rúmum. Þá er∏

α∈J Xα Hausdorff-rúm hvort sem er í kassa- eða faldgrannmynstrinu.

Sönnun. Æfing.

Dæmi 12.8. Setjum Rω :=∏

n∈NXn með Xn = R fyrir öll n og skilgreinum vörpunina

f : R → Rω; t 7→ (t, t, t, . . .),

þ.e. f = (fn)n∈N∗ með fn(t) = t fyrir öll n ∈ N∗ og öll t ∈ R. Ljóst er að f er samfelld ef Rω

er með faldgrannmynstrið en hún er hins vegar ekki samfelld ef Rω er með kassagrannmynstrið:V =

∏

n≥1(−1/n, 1/n) er opið í kassagrannmynstrinu en

f−1(V ) =⋂

n≥1

(−1/n, 1/n) = 0

er ekki opið í R.

13 Grannfræði firðrúma

Látum (X, d) vera firðrúm. Munum að opnu mengin í X (í firðrúmsskilningnum) mynda grann-mynstur á X þar sem opnu kúlurnar mynda grunn. Það kallast grannmynstrið sem d framleiðir.

Skilgreining 13.1. Grannrúm X er sagt firðanlegt ef til er firð á X sem framleiðir grannmynstrið.

Skilgreining 13.2. Látum (X, d) vera firðrúm. Hlutmengi A í X er sagt vera takmarkað ef

diam(A) = supd(a, b) | a, b ∈ A < +∞.

Athugasemd 13.3. „Takmörkun“ er ekki grannfræðilegt hugtak, þ.e. grannmynstur á tilteknu mengigetur verið framleitt af ólíkum firðum þ.a. ákveðið hlutmengi sé takmarkað í sumum þeirra enöðrum ekki.

Setning 13.4. Látum (X, d) vera firðrúm og skilgreinum vörpunina

d : X ×X → R+; d(x, y) := mind(x, y), 1.

Þá er d firð á X sem framleiðir sama grannmynstur og d á X.

15

Skilgreining 13.5. Firðin d kallast staðlaða takmarkaða firðin sem tilheyrir d.

Sönnun. Ljóst er að d(x, y) ≥ 0 og d(x, y) = d(y, x) fyrir öll x, y ∈ X. Sýnum nú að d uppfylliþríhyrningsójöfnuna. Látum x, y, z ∈ X og athugum að ef d(x, y) ≥ 1 eða d(y, z) ≥ 1 er

d(x, z) ≤ 1 ≤ d(x, y) + d(y, z).

Ef hins vegar d(x, y) < 1 eða d(y, z) < 1 fæst:

d(x, z) ≤ d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) = d(x, y) + d(y, z).

Ennfremur gildir: Ef ε > 0 er Bd(x, ε) ⊆ Bd(x, ε) og Bd(x, δ) ⊆ Bd(x, ε) ef δ ≤ minε, 1. Þar meðer sýnt að firðirnar framleiða sama grannmynstrið.

Skilgreining 13.6. Látum (V, || · ||) vera staðlað vigurrúm og skilgreinum firð á V með

d : V × V → [0,+∞); (x, y) 7→ ||x− y||.

Við segjum að grannmynstrið sem þessi firð framleiðir sé framleitt af staðlinum. Segjum jafn-framt að tveir staðlar séu jafngildir ef þeir framleiða sama grannmynstrið.

Setning 13.7. Látum (V, || · ||) vera staðlað vigurrúm.

(i) Línuleg vörpun L : V → V er samfelld þ.þ.a.a. til sé fasti k > 0 þ.a. ||L(x)|| ≤ k||x|| fyriröll x ∈ V .

(ii) Staðall || · ||1 á V er jafngildur || · || þ.þ.a.a. til séu fastar m > 0 og M > 0 þ.a.

m||x|| ≤ ||x||1 ≤M ||x||

fyrir öll x ∈ V .

(iii) Allir staðlar á endanlega víðu vigurrúmi eru jafngildir.

Sönnun. Æfing.

Setning 13.8. Sérhver staðall á Rn framleiðir faldgrannmynstrið.

Sönnun. Nóg er að sanna niðurstöðuna fyrir staðalinn ||x|| := max|x1|, . . . , |xn| fyrir sérhvertx = (x1, . . . , xn) ∈ Rn skv. (iii) í síðustu setningu. Látum nú ρ : Rn × Rn → [0,+∞) veratilheyrandi firð. Þá gildir fyrir sérhvert x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn og sérhvert ε > 0 að

Bρ(x, ε) = (x1 − ε, x1 + ε)× · · · × (xn − ε, xn + ε)

tilheyrir grunninum sem framleiðir faldgrannmynstrið. Hins vegar gildir fyrir sérhvert hlutmengiB = (a1, b1)×· · · × (an, bn) úr umræddum grunni og x = (x1, . . . , xn) ∈ B að til eru ε1, . . . , εn > 0þ.a.

(xi − εi, xi + εi) ⊆ (ai, bi) fyrir öll i = 1, . . . , n.

Setjum ε := minε1, . . . , εn og fáum Bρ(x, ε) ⊆ B.

16

Skilgreining 13.9. Látum d vera venjulegu firðina á R og d vera tilheyrandi staðlaða takmarkaðafirð. Fyrir mengi J skilgreinum við firðina ρ á RJ með

ρ(x, y) := supd(xα, yα) | α ∈ J þar sem x = (xα)α∈J og y = (yα)α∈J .

Köllum þessa firð jafnmælisfirðina á RJ og tilheyrandi grannmynstur jafnmælisgrannmynstriðá RJ .

Setning 13.10. Janfmælisgrannmynstrið á RJ er stranglega fínna en faldgrannmynstrið ef J eróendanlegt mengi.

Sönnun. Látum∏

α∈J Uα vera grunnmengi fyrir faldgrannmynstrið og x = (xα)α∈J ∈∏

α∈J Uα.Látum α1, . . . , αn vera þau stök úr J þ.a. Uα 6= R. Þá eru til ε1, . . . , εn > 0 þ.a. Bd(xαi

, εi) ⊆ Uαi

fyrir i = 1, . . . , n. Setjum ε := minε1, . . . , εn og fáum að Bρ(x, ε) ⊆∏

α∈J Uα. Hins vegar erljóst að Bρ(x, 1/2) getur ekki innihaldið mengi af gerðinni

∏

α∈J Uα þar sem Uα = R fyrir eitthvertα ∈ J .

Setning 13.11. Látum d vera stöðluðu takmörkuðu firðina á R og skilgreinum vörpunina

D : Rω × Rω → R; D(x, y) := sup

d(xi, yi)

i

∣∣∣∣i ∈ N∗

,

þar sem x = (xi)i∈N∗ og y = (yi)i∈N∗ . Þá er D firð sem framleiðir faldgrannmynstrið á Rω.

Sönnun. Sýnum fyrst að D sé firð á Rω. Ljóst er að D(x, y) ≥ 0, D(x, y) = 0 þ.þ.a.a. x = y ogD(x, y) = D(y, x) fyrir öll x, y ∈ Rω. Látum nú x = (xi)i∈N∗ , y = (yi)i∈N∗ , z = (zi)i∈N∗ ∈ Rω. Þágildir fyrir sérhvert i ∈ N∗ að

d(xi, zi)

i≤d(xi, yi)

i+d(yi, zi)

i≤ D(x, y) +D(y, z)

og þar með

D(x, z) = supi∈N∗

d(xi, zi)

i≤ D(x, y) +D(y, z).

Sýnum nú að D framleiði faldgrannmynstrið. Látum þá U vera opið í firðgrannmynstrinu ogx = (xi)i∈N∗ ∈ U . Sýnum að til sé opið mengi V í faldgrannmynstrinu þ.a. x ∈ V ⊆ U . Veljumε-kúlu BD(x, ε) og veljum svo N ∈ N∗ þ.a. 1/N < ε. Setjum

V := (x1 − ε, x1 + ε)× · · · × (xN − ε, xN + ε)× R× R× · · · .

Fyrir öll y = (yi)i∈N∗ ∈ Rω gildir að d(xi,yi)i ≥ 1

N fyrir öll i ≤ N svo að

D(x, y) ≤ max

d(x1, y1)

1,d(x2, y2)

2, . . . ,

d(xN , yN )

N,1

N

.

Þar með er D(x, y) < ε fyrir öll y ∈ V og því V ⊆ BD(x, ε).

17

Öfugt, látum U =∏

n∈N∗ Un vera grunnmengi fyrir faldgrannmynstrið á Rω og x = (xn)n∈N∗ ∈U . Viljum sýna að til sé opið mengi V í firðgrannmynstrinu þ.a. x ∈ V ⊆ U . Látum I veraendanlegt hlutmengi í N∗ þ.a. Un = R ef n /∈ I. Fyrir sérhvert n ∈ I veljum við εn þ.a. 0 < εn ≤ 1og (xn − εn, xn + εn) ⊆ Un. Setjum svo

ε := min

εnn

∣∣∣∣n ∈ I

.

Þá er fljótséð að BD(x, ε) ⊆ U .

Skilgreining 13.12. Runa (xn) í grannrúmi X er sögð samleitin að punkti x ∈ X ef fyrir sérhverjagrennd U um x er til jákvæð heiltala N þ.a. xn ∈ U fyrir öll n ≥ N . Köllum x þá markgildirununnar.

Athugasemd 13.13. Að (xn) sé samleitin að x táknum við ýmist með xn → x eða limn→∞ xn = x.

Athugasemd 13.14. Í Hausdorff-rúmi getur runa í mesta lagi haft eitt markgildi.

Skilgreining 13.15. Látum X vera grannrúm og x ∈ X.

(i) Segjum að x hafi teljanlegan grenndagrunn í X eða að X hafi teljanlegan grenndagrunnum x ef til er safn (Un)n∈N af grenndum um x þ.a. sérhver grennd U um x innihaldia.m.k. eitt Un.

(ii) Segjum að X fullnægi fyrstu teljanleikafrumsendunni (f.t.f.) ef X hefur teljanlegangrenndagrunn um sérhvern punkt sinn.

Athugasemd 13.16. Firðrúm fullnægja f.t.f.

Setning 13.17. Látum X vera grannrúm, A ⊆ X og x ∈ X.

(i) Ef til er runa (xn) í A þ.a. xn → x, þá er x ∈ A.

(ii) Ef X fullnægir f.t.f., þá gildir öfugt að ef x ∈ A er til runa (xn) í A þ.a. xn → x.

Sönnun. (i) Látum (xn) vera runu í A þ.a. xn → x. Þá inniheldur sérhver grennd um x punktúr A svo x ∈ A.

(ii) Gerum ráð fyrir að X uppfylli f.t.f. og látum x ∈ A. Látum (Un)n≥1 vera teljanlegangrenndagrunn um x í X og setjum U ′

n := U1 ∩ · · · ∩ Un fyrir öll n ≥ 1. Veljum svo fyrirsérhvert n punkt xn úr A ∩ U ′

n. Þá er ljóst að xn → x.

Setning 13.18. Látum X og Y vera grannrúm og g.r.f. að X fullnægi f.t.f. Vörpun f : X → Yer samfelld þ.þ.a.a. um sérhverja samleitna runu (xn) í X gildi að

limn→∞

f(xn) = f

(

limn→∞

xn

)

. (∗)

18

Sönnun. Gerum ráð fyrir að f sé samfelld, xn → x og V sé grennd um f(x) í Y . Þá er f−1(V )grennd um x (því f er samfelld) svo til er N þ.a. xn ∈ f−1(V ) fyrir öll n ≥ N . Þar með erf(xn) ∈ V fyrir öll n ≥ N . Öfugt, gerum ráð fyrir að um allar samleitnar runur (xn) í X gildi (∗).Látum C vera lokað mengi í Y og x ∈ f−1(C). Viljum sýna að x ∈ f−1(C). Veljum runu (xn) úrf−1(C) þ.a. xn → x. Þá gildir að f(xn) → f(x) og þar með er f(x) ∈ C því C er lokað. Því erx ∈ f−1(C).

Setning 13.19. Látum V vera staðlað rúm (yfir R). Þá eru varpanirnar

R× V → V ; (λ, x) 7→ λx og V × V → V ; (x, y) 7→ x+ y

samfelldar. (R× V og V × V hafa faldgrannmynstrið.)

Sönnun. Æfing.

Setning 13.20. Látum X vera grannrúm og f, g : X → R vera samfelldar. Þá eru f + g, f − gog f · g frá X til R líka samfelldar.

Sönnun. Vörpunin h : X → R× R með h(x) := (f(x), g(x)) er samfelld. Notum svo annars vegarað samskeyting samfelldra varpana er samfelld og hins vegar síðustu setningu.

Skilgreining 13.21. Látum X vera mengi, (Y, d) vera firðrúm og (fn) vera runu af vörpunum fráX í Y . Við segjum að runan (fn) sé samleitin í jöfnum mæli (j.m.) að vörpun f : X → Y effyrir sérhvert ε > 0 er til jákvæð heiltala N þ.a. d(fn(x), f(x)) < ε fyrir öll x ∈ X og öll n ≥ N .

Setning 13.22. Látum (fn) vera runu af samfelldum vörpunum frá grannrúmi X yfir í firðrúmY . Ef (fn) er samleitin í j.m. að vörpun f : X → Y er f samfelld.

Sönnun. Æfing.

Dæmi 13.23. (1) Rω með kassagrannmynstrinu er ekki firðanlegt: Setjum

A := (x1, x2, . . .) ∈ Rω | xn > 0 fyrir öll n ∈ N∗.

Þá er 0 = (0, 0, . . .) ∈ A vegna þess að sé 0 ∈ B = (a1, b1)× (a2, b2)× · · · , þá er(b12,b22, . . .

)

∈ B ∩A þ.e. B ∩A 6= ∅.

Hins vegar er ekki til nein runa í A sem hefur 0 sem markgildi: Látum (an) vera runu í A ogskrifum an = (a1n, a2n, . . . , ain, . . .) með ain > 0 fyrir öll i og n. Mengið

B′ := (−a11, a11)× (−a22, a22)× · · ·

er þá grennd um 0 sem inniheldur ekki neitt an-anna því ann /∈ (−ann, ann) fyrir sérhvert n.

19

(2) RJ með faldgrannmynstrinu er ekki firðanlegt ef J er óteljanlegt: Látum J vera óteljanlegt ogA vera hlutmengi allra (xα)α∈J úr RJ þ.a. xα = 0 fyrir endanlega mörg α og xα = 1 fyrir hin α.

Þá er 0 ∈ A: Ef∏

α∈J Uα er grunngrennd um 0 með Uα = R fyrir öll α ∈ J \ I, þar sem I erendanlegt hlutmengi í J , þá eru allir punktar (xα)α∈J ∈ A sem uppfylla xα = 0 ef α ∈ I líkaí∏

α∈J Uα.

Sýnum nú að engin runa í A hafi 0 sem markgildi: Látum (an) vera runu í A og skrifuman = (anα)α∈J . Skilgreinum mengin Jn := α ∈ J | anα = 0. Þá er Jn endanlegt og því er⋃

n Jn teljanlegt og þar með er J \⋃

n Jn 6= ∅. Veljum β ∈ J \⋃

n Jn og fáum anβ = 1 fyriröll n. Þar með inniheldur opna grenndin π−1

β (−1, 1) ekkert an.

Skilgreining 13.24. Látum X vera grannrúm og R vera jafngildisvensl á X. Látum π : X →X/R; x 7→ [x]R vera ofanvarpið á deildamengið sem R skilgreinir. Skilgreinum grannmynsturá X/R með því að segja að U ⊆ X/R sé opið þ.þ.a.a. π−1(U) sé opið í X. Köllum þettadeildagrannmynstrið á X/R og segjum að X/R sé deildagrannrúm X með tilliti til R.

Athugasemd 13.25. Deildagrannmynstrið á X/R er fínasta grannmynstrið á X/R þ.a. π : X →X/R sé samfelld.

Setning 13.26. Látum X og Y vera grannrúm, R vera jafngildisvensl á X og π : X → X/R veraofanvarpið. Vörpun f : X/R→ Y er samfelld þ.þ.a.a. f π : X → Y sé samfelld.

Xf π

//

π

Y

X/R

f

>>||||||||||||||||

Sönnun. Ef V er opið í Y , þá er f−1(V ) opið í X/R þ.þ.a.a. (f π)−1(V ) = π−1(f−1(V )) sé opiðí X.

Fylgisetning 13.27. Látum X og Y vera grannrúm, R vera jafngildisvensl á X og π : X → X/Rvera ofanvarpið. Ef f : X → Y er samfelld og föst á trefjum π (þ.e. ef xRy, þá f(x) = f(y)),þá er ótvírætt ákvarðaða vörpunin f : X/R → Y líka samfelld.

Xf

//

π

Y

X/R

∃!f

>>

20

Sönnun. Leiðir beint af síðustu setningu.

Setning 13.28. Látum X og Y vera grannrúm og R vera jafngildisvensl á X. Ef f : X → Y ersamfelld og föst á trefjum ofanvarpsins π : X → X/R, þá getum við skrifað f sem samskeytinguþriggja samfelldra varpana:

Xofanvarpið

π // X/R[x] 7→ f(x)

g// f(X)

ívarpið

ι // Y

Ennfremur gildir að vörpunin g er grannmótun þ.þ.a.a.

(i) f(x) = f(y) þ.þ.a.a. xRy (g gagntæk).

(ii) V ⊆ f(X) er opið í f(X) (með hlutrúmsgrannmynstrinu) þ.þ.a.a. f−1(V ) sé opið í X(þ.þ.a.a. g−1(V ) er opið í X/R, vegna f−1(V ) = (g π)−1(V )).

Sönnun. Vörpunin g er ótvírætt ákvörðuð og samfelld. Skilyrði (i) þýðir að g sé gagntæk og skilyrði(ii) að g sé opin vörpun.

Skilgreining 13.29. Látum X og Y vera grannrúm og f : X → Y vera vörpun. Skilgreinumjafngildisvensl R á X með x1Rx2 þ.þ.a.a. f(x1) = f(x2). Við segjum að f sé deildavörpun eff er samfelld og átæk og g-ið úr síðustu setningu er grannmótun, m.ö.o. ótvírætt ákvarðaðavörpunin f : X/R → Y er grannmótun.

Skilgreining 13.30. Hlutmengi U í X er sagt vera mettað (e. saturated) m.t.t. jafngildisvensla Rá X ef eftirfarandi gildir:

• Ef x ∈ U og xRy, þá y ∈ U .

Athugasemd 13.31. (i) Mengi U í X er mettað þ.þ.a.a. π−1(π(U)) = U þar sem π : X → X/R.

(ii) Látum X og Y vera grannrúm og f : X → Y vera átæka vörpun. Þá er f deildavörpunþ.þ.a.a. f sé samfelld og varpi opnum mettuðum mengjum á opin mengi (jafngilt því að Vsé opið í Y þ.þ.a.a. f−1(V ) sé opið í X).

Dæmi 13.32. (1) Látum X og Y vera grannrúm, A vera hlutmengi í Y og f : A → X vera sam-fellda vörpun. Á sundurlæga sammenginu X ⊔Y skilgreinum við vensl R með því að tilgreinadeildirnar y ef y ∈ Y \A, x∪f−1(x) ef x ∈ f(A) og x ef x ∈ X\f(A). Deildagrannrúmið(X ⊔ Y )/R er táknað X ∪f Y . Við segjum að X ∪f Y fáist með því að líma Y við X með f .

Setjum t.d. X = R2, Y = D, S1 = (x, y) ∈ Y : x2 + y2 = 1 og látum f : S1 → R2;(x, y) 7→ (x, y) vera ívarpið. Deildagrannrúmið X ∪f Y er grannmóta hlutrúminu í R3 semsamanstendur af planinu með álímdu einingarhálfkúluhvelinu.

(2) Ef X = ∗ er einn punktur skrifum við ∗∪A Y í stað ∗∪f Y og segjum að ∗∪A Y fáistmeð því að draga A saman í einn punkt. Dæmi:

21

• Tökum Y = [0, 1] og A = 0, 1 og athugum að þá er

∗ ∪A Y ∼= S1

vegna þess að Y → S1; t 7→ e2πi·t er deildavörpun.

• Tökum D = (x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ 1 og A = S1 = ∂D og athugum að þá er (sjáumþað síðar)

∗ ∪S1 D ∼= S2.

14 Samanhangandi rúm

Skilgreining 14.1. (1) Strjált rúm er grannrúm með strjála grannmynstrinu.

(2) Opin tvískipting á grannrúmi X er safn U, V þar sem U og V eru opin í X, X = U ∪ V ,U ∩ V = ∅ og U, V 6= ∅.

Setning 14.2. Eftirfarandi skilyrði eru jafngild fyrir grannrúm X:

(i) X á sér enga opna tvískiptingu.

(ii) Einu hlutmengin í X sem eru bæði opin og lokuð eru ∅ og X.

(iii) Sérhver samfelld vörpun frá X inn í strjált grannrúm er föst (þ.e. tekur bara eitt gildi).

Grannrúm sem fullnægir skilyrðum (i), (ii) og (iii) er sagt samanhangandi.

Sönnun. • (i) ⇒ (ii): Ef U er opið og lokað í X, þá er X \U líka opið og lokað í X. Þá er ljóstað U,X \ U er opin tvískipting á X nema U = ∅ eða U = X.

• (ii) ⇒ (iii): Ef Y er strjált grannrúm, f : X → Y er samfelld vörpun og x ∈ X, þá erf−1(f(x)) bæði opið og lokað í X. Þar með er f−1(f(x)) = X vegna þess að x ∈ f−1(f(x)).

• (iii) ⇒ (i): Gerum ráð fyrir að X = U ∪ V þar sem U og V eru opin og U ∩ V = ∅. Þá ervörpunin

f : X → 0, 1︸ ︷︷ ︸

strjált

; f(x) =

0 ef x ∈ U ,

1 ef x ∈ V ,

samfelld og því fasti. Þar með gildir að U = ∅ eða V = ∅.

Dæmi 14.3. (1) Grannrúm sem inniheldur bara einn punkt er samanhangandi.

(2) Strjált rúm er samanhangandi þ.þ.a.a. það innihaldi bara einn eða engan punkt.

(3) Samanhangandi hlutrúm í R er bil (∅ og R meðtalin).

(4) Samanhangandi hlutrúm í Q er ∅ eða einstökungur.

22

Setning 14.4. Látum X vera grannrúm.

(i) Látum Y vera grannrúm og f : X → Y vera samfellda vörpun. Ef X er samanhangandi,þá er f(X) samanhangandi.

(ii) Ef A ⊆ X er samanhangandi og A ⊆ B ⊆ A, þá er B samanhangandi.

(iii) Ef X =⋃

i∈I Ai með Ai samanhangandi fyrir öll i ∈ I og⋂

i∈I Ai 6= ∅, þá er X saman-hangandi.

Sönnun. (i) Ef U, V er opin tvískipting á f(X), þá er f−1(U), f−1(V ) opin tvískipting á X.

(ii) Ef f : B → Y er samfelld og Y er strjált, þá er f föst á A og því einnig á B vegna þess aðf(B) ⊆ f(A) ⊆ f(A) = ∗ = ∗.

(iii) Ef f er samfelld vörpun frá X inn í strjált rúm, þá er f föst á sérhverju Ai og því einnig áX.

Dæmi 14.5. MengiðA := (x, y) ∈ R2 | x > 0 og sin(1/x) = y

er samanhangandi vegna þess að A er mynd samfelldu vörpunarinnar

(0,+∞) → R2; x 7→ (x, sin(1/x)).

Þar með er lokun A í R2

A = A ∪ (0, y) ∈ R2 | − 1 ≤ y ≤ 1

líka samanhangandi.

Setning 14.6. Látum A 6= ∅ vera samanhangandi hlutrúm í grannrúmi X. Sammengi allrasamanhangandi hlutrúma í X sem innihalda A er lokað og samanhangandi hlutrúm í X.

Sönnun. Sammengi þessara rúma er samanhangandi vegna þess að sniðmengi þeirra er ekki tómtog þar sem lokun samanhangandi hlutrúms er samanhangandi er það lokað.

Skilgreining 14.7. Ef x er punktur í grannrúmi X táknum við sammengi allra samanhangandihlutmengja í X sem hafa x sem stak með Cx. Köllum Cx samhengisþátt x í X.

Athugasemd 14.8. (i) Samhengisþættir X eru hástök í safni allra samanhangandi hlutmengja íX (m.t.t. íveruröðunarinnar).

(ii) Samhengisþættir eru lokuð hlutmengi en ekki endilega opin. Dæmi:

X := 0 ∪ 1/n | n ∈ N∗

sem hlutrúm í R. Hér er C1/n = 1/n bæði opið og lokað en C0 = 0 er ekki opið.

23

Skilgreining 14.9. Grannrúm X er sagt vera algerlega ósamanhangandi ef Cx = x fyrir öllx ∈ X.

Dæmi 14.10. (1) Strjál grannrúm eru algerlega ósamanhangandi. Hins vegar þurfa algerlega ó-samanhangandi grannrúm ekki að vera strjál, t.d. er X úr (ii) í síðustu athugasemd ekkistrjált.

(2) Ef A ⊆ R hefur þann eiginleika að fyrir sérhver x og y úr A er til z úr R \ A þ.a. x < z < y,þá er A algerlega ósamahangandi. Þetta hefur meðal annars í för með sér að Q er algerlegaósamanhangandi.

Setning 14.11. Á grannrúmi X eru venslin x ∼ y þ.þ.a.a. x ∈ Cy jafngildisvensl og deildarúmiðX/∼ er algerlega ósamanhangandi.

Sönnun. Æfing.

Skilgreining 14.12. Vegur í grannrúmi X er samfelld vörpun γ : [0, 1] → X. Segjum að γ tengi(saman) punktana γ(0)

︸︷︷︸

upphafspkt.

og γ(1)︸︷︷︸

lokapkt.

; þeir kallast endapunktar γ.

Skilgreining 14.13. Grannrúm X er sagt vera vegsamanhangandi ef sérhverja punkta í X er unntað tengja með vegi í X.

Setning 14.14. Vegsamanhangandi grannrúm X er samanhangandi.

Sönnun. Látum a ∈ X. Fyrir sérhvert x ∈ X veljum við veg γx frá a til x. Þá er

X =⋃

x∈Xγx([0, 1])

samanhangandi því γx er samfelld fyrir sérhvert x og a ∈⋂

x∈X γx([0, 1]).

Skilgreining 14.15. Vegsamhengisþáttur punkts x í grannrúmi X er mengi allra punkta í X semunnt er að tengja við x með vegi í X.

Athugasemd 14.16. (i) Vegsamhengisþáttur x er innihaldinn í Cx en getur verið ólíkur og þarfekki að vera lokaður.

(ii) Vegsamhengisþættir grannrúms X mynda deildaskiptingu á X.

24

Dæmi 14.17 (Æfing). Mengið

A = (x, y) ∈ R2 | x > 0 og y = sin(1/x)

er vegsamanhangandi en A er ekki vegsamanhangandi.

Skilgreining 14.18. Segjum að grannrúm sé staðsamanhangandi [staðvegsamanhangandi] ef þaðhefur grunn af samanhangandi [vegsamanhangandi] opnum mengjum. Þetta þýðir að fyrirsérhvert opið mengi U og sérhvert x ∈ U er til [veg]samanhangandi opið mengi V þ.a. x ∈ V ⊆U .

Dæmi 14.19. (1) Fyrir öll n ≥ 0 er Rn vegsamanhangandi og staðvegsamanhangandi.

(2) R \ 0 er staðvegsamanhangandi en ekki samanhangandi.

(3) Setjum A = 0 ∪ 1/n | n ∈ N∗. Hlutmengið

(A× [0, 1]) ∪ ([0, 1] × 0)

í R2 kallast hárgreiðan. Það er vegsamanhangandi en ekki staðsamanhangandi.

Athugasemd 14.20. (i) Í staðsamanhangandi grannrúmi eru samhengisþættirnir bæði opin oglokuð hlutmengi.

(ii) Í staðvegsamanhangandi grannrúmi eru vegsamhengisþættirnir opin mengi. En þar sem þeirmynda skiptingu eru þeir líka lokaðir (fyllimengi sérhvers vegsamhengisþáttar er sammengivegsamhengisþátta sem hver um sig er opinn).

Setning 14.21. Grannrúm sem er samanhangandi og staðvegsamanhangandi er vegsaman-hangandi.

Sönnun. Sérhver vegsamhengisþátur er bæði opið og lokað hlutmengi í samahangandi rúmi. Þarmeð er hann allt rúmið.

Fylgisetning 14.22. Í staðvegsamanhangandi grannrúmi eru vegsamhengisþættirnir og sam-hengisþættirnir þeir sömu.

Sönnun. Ljóst.

Setning 14.23. Látum (Xα)α∈I vera fjölskyldu af grannrúmum.

(i) Ef Xα er samanhangandi fyrir öll α ∈ I er∏

α∈I Xα samanhangandi.

(ii) Ef Xα er vegsamanhangandi fyrir öll α ∈ I er∏

α∈I Xα vegsamanhangandi.

Sönnun. (i) Sjá dæmi 10 á bls. 152.

(ii) Létt æfing.

25

15 Pólska martröðin

Upprifjun.

• Ef (X, d) er firðrúm kallast talan

diam(X) := supd(x, y) | (x, y) ∈ X ×X

þvermál X.

• Firðrúm er sagt vera fullkomið ef sérhver Cauchy-runa í því er samleitin.

• Setning. Ef (Xn)n≥0 er minnkandi runa af ekki tómum og lokuðum hlutmengjum í fullkomnufirðrúmi X þ.a.

limn→∞

diam(Xn) = 0,

þá inniheldur⋂

n≥0Xn nákvæmlega einn punkt.

Sönnun. Fyrir sérhvert n ∈ N tökum við an ∈ Xn. Sýnum að (an)n≥0 sé Cauchy-runa. Efε > 0 er til N þ.a. diam(Xn) < ε fyrir öll n ≥ N . Ef n,m ≥ N eru an, am ∈ XN og þvíd(an, am) < ε. Setjum a := limn→∞ an og fáum auðveldlega að a ∈

⋂

n≥0Xn vegna þess aðXn-in eru lokuð.

Setning 15.1 (Baire). Látum X vera fullkomið firðrúm og (An)n≥0 vera teljanlega fjölskyldu aflokuðum mengjum sem hvert um sig hefur engan innri punkt, þ.e. A

n = ∅ fyrir öll n ≥ 0. Þáhefur

⋃

n≥0An engan innri punkt, þ.e. int(⋃

n≥0An) = ∅.

Sönnun. Nú er int(⋃

n≥0An) = ∅ jafngilt því að X \⋃

n≥0An sé þétt í X, þ.e. skeri sérhvert ekkitómt opið mengi í X. Látum U vera ekki tómt opið mengi í X. Þá er U * A0 og því U \A0 6= ∅.Þar sem U \A0 er opið er til opin kúla B1 í X með B1 ⊆ U \A0 og diam(B1) < 1. Nú er B1 * A1

svo að B1 \ A 6= ∅ og því er til opin kúla B2 með B2 ⊆ B1 \ A1 og diam(B2) <12 . Með þrepun

fæst minnkandi runa af kúlum B0 ⊇ B1 ⊇ · · · þ.a. Bn+1 ∩ An = ∅ og diam(Bn) <1n fyrir öll

n ≥ 0. Skv. síðustu setningu er til x ∈ X þ.a. x =⋂

n≥0 Bn. Þá er x ∈ U og x /∈ An fyrir ölln ≥ 0, svo að x ∈ U ∩ (X \

⋃

n≥0An).

Skilgreining 15.2. Grannrúm X er sagt vera Baire-rúm eða fullnægja Baire-eiginleikanum efsérhver teljanleg fjölskylda af lokuðum hlutmengjum án innri punkts í X hefur sammengi semhefur engan innri punkt.

Athugasemd 15.3. (i) Baire-eiginleikinn er oft orðaður svona: „Ef (An)n≥0 er runa af hlut-mengjum í X þ.a. int(An) = ∅ fyrir öll n ≥ 0, þá er X \

⋃

n≥0An þétt í X.“ Mengi Bsem uppfyllir int(B) = ∅ kallast hvergi þétt.

(ii) Jafngild framsetning á Baire-setningunni fæst með því að skoða fyllimengi: „Ef (Un)n≥0 erruna af opnum þéttum hlutmengjum í X, þá er

⋂

n≥0 Un líka þétt.“

Fylgisetning 15.4. Látum X vera fullkomið firðrúm og X =⋃

n≥0An þar sem An er lokað fyriröll n ≥ 0. Þá er til n ∈ N þ.a. A

n 6= ∅.

26

Látum C nú tákna Cantor-mengið með hlutrúmsgrannmynsrinu. Það er búið til með því aðtaka burt opna miðþriðjunginn úr [0, 1] og síðan opnu miðþriðjungana úr bilunum sem eftir verðao.s.frv. Sérhverja tölu úr [0, 1] er unnt að setja fram sem

∑∞n=1

an3n með an ∈ 0, 1, 2. Cantor-

mengið er myndað úr þeim tölum þar sem öll an-in eru annaðhvort 0 eða 2.

Endapunktar allra miðþriðjunganna sem numdir eru burt mynda þétt hlutmengi í C; táknumþað CA og setjum CÓ = C \ CA. (Hér stendur A fyrir „aðgengilegir“ og Ó fyrir „óaðgengilegir“.)Látum XA vera keiluna yfir CA með topppunkt (1/2, 1), þ.e. mengi allra línustrika frá (1/2, 1) tilpunktanna í CA. Eins látum við XÓ tákna keiluna yfir CÓ með topppunkt (1/2, 1). Látum YAvera mengi allra punkta (x, y) ∈ XA þ.a. y sé ræð og YÓ vera mengi allra punkta (x, y) ∈ XÓþ.a. y sé óræð eða 0 eða 1.

Setjum nú Y := YA ∪ YÓ.

Setning 15.5. Mengið Y er samanhangandi en Y \ (1/2, 1) er algerlega ósamanhangandi.

Fylgisetning 15.6. Mengið Y er samanhangandi en allir vegsamhengisþættir Y eru einstökungar.

Hjálparsetning 15.7. Látum Y vera hlutmengi í firðrúmi X. Ef Y er ekki samanhangandi eru tilopin mengi U og V í X þ.a. Y ⊆ U ∪ V , U ∩ Y 6= ∅, V ∩ Y 6= ∅ og U ∩ V = ∅.

Sönnun. Æfing

Þessi niðurstaða er almennt ekki rétt í grannrúmum: Ef X er grannrúm og Y er hlutrúm í Xsem er ekki samanhangandi má rita Y = W1 ∪W2 þar sem W1 og W2 eru opin og ekki tóm í Yog W1 ∩W2 = ∅. Þá má rita W1 = Y ∩ U og W2 = Y ∩ V þar sem U og V eru opin í X. Ekki ertryggt að velja megi U og V þ.a. U ∩ V = ∅ í X.

Sönnun (Setning 15.5). Beitum óbeinni sönnun og gerum ráð fyrir að til séu opin mengi U og Ví R2 þ.a. (1/2, 1) ∈ U , Y ⊆ U ∪ V , U ∩ V = ∅ og V ∩ Y 6= ∅. Fyrir sérhvert r > 0 setjum viðW (r) := (x, y) ∈ R2 | y > r og fyrir sérhvert x ∈ C látum við ℓ(x) vera lokaða línustrikið semtengir (x, 0) og (1/2, 1). Skilgreinum (aðgreiningar)fall f : C → [0, 1] með

f(x) := infr |W (r) ∩ ℓ(x) ⊆ U.

Til hagræðis skilgreinum við svo fall g : C → [0, 1] þannig að (g(x), f(x)) ∈ ℓ(x) [þ.e. g(t) =pr1((x, y) ∈ R2 | y = f(t) ∩ ℓ(t))]. Tökum eftir:

(g(x), f(x)) =

hæsti punktur á ℓ(x) sem er ekki í U ef ℓ(x) * U ,

(x, 0) ef ℓ(x) ⊆ U .

Þar með er (g(x), f(x)) hvorki í U né V ef f(x) 6= 0. Tökum einnig eftir að f(x) > 0 þ.þ.a.a. ℓ(x′)∩V 6= ∅ fyrir öll x′ í grennd við x. Þetta þýðir að til er opið bil í [0, 1] þ.a. f(x) > 0 fyrir öll x úrbilinu. Nú er C búið til með því að endurtaka í sífellu sömu aðgerðina (þ.e. brottnám miðþriðjun-ga) svo umrætt opið bil inniheldur mengi C ′ sem er „eins“ og C. Við getum því einfaldlega gertráð fyrir að f(x) > 0 fyrir öll x ∈ C.

Setjum Z := (g(x), f(x)) | x ∈ CÓ. Nú er Z ∩ (U ∪ V ) = ∅ og því er Z ∩ (U ∪ V ) = ∅ vegnaþess að U ∪ V er opið; sér í lagi er Z ∩ Y = ∅. Einnig er ljóst að Z ⊆ XA ∪XÓ vegna þess aðXA ∪XÓ er keila yfir C og því lokuð. Af þessu leiðir að fyrir öll (a, b) ∈ Z gildir:

27

• Ef b er óræð er (a, b) ∈ ℓ(x) með x ∈ CA.

• Ef b er ræð er (a, b) ∈ ℓ(x) með x ∈ CÓ.

Fyrir sérhverja ræða tölu q er mengið Z ∩y = q lokað og því er keiluofanvarp þess á x-ásinn líkalokað, þ.e. mengið

Z(q) := x ∈ C | ℓ(x) ∩ y = q ∩ Z 6= ∅

er lokað. Fyrir x ∈ CÓ er f(x) ræð svo x ∈ Z(f(x)) og þar með er CÓ =⋃

q∈Q0≤q<1

Z(q). Fáum því:

C = CÓ ⊔ CA =

(⋃

q∈QZ(q)

)

∪

(⋃

a∈CA

a

)

.

︸ ︷︷ ︸

teljanlegt sammengi lokaðra hlutmengja í C

Skv. Baire setningunni er til q ∈ Q þ.a. Z(q), og þar með CÓ, innihaldi opið mengi í C (C erþjappað firðrúm og því fullkomið), en það er í mótsögn við að CA sé þétt í C og CA ∩ CÓ = ∅.

Sýnum nú að Y \(1/2, 1) sé algerlega ósamanhangandi. Keiluofanvarpið π : Y \(1/2, 1) → Rer samfelld vörpun. Látum B vera samanhangandi og ekki tómt hlutmengi í Y \ (1/2, 1). Þáer π(B) samanhangandi. En þar sem C er algerlega ósamanhangandi er til x ∈ C þ.a. π(B) =x, þ.e. B ⊆ ℓ(x). Látum p2 : R2 → R vera venjulega ofanvarpið á y-hnitið. Þá er p2(B)samanhangandi og tilheyrandi vörpunin B → p2(B) ⊆ [0, 1) gagntæk. Fáum loks:

• Ef x ∈ CA er p2(B) ⊆ Q og þar með er p2(B) einstökungur.

• Ef x ∈ CÓ er p2(B) ⊆ (R \Q) ∪ 0 og þar með er p2(B) einstökungur.

16 Þjöppuð rúm

Skilgreining 16.1. Grannrúm X er sagt þjappað ef sérhver opin þakning á X hefur endanlegahlutþakningu.

Athugasemd 16.2. Víða í stærðfræðiritum er hálfþjappað (e. quasi-compact) notað í stað þjappaðog þau rúm sögð „þjöppuð“ sem bæði eru hálfþjöppuð og Hausdorff.

Setning 16.3. (i) Hlutrúm Y í grannrúmi X er þjappað þ.þ.a.a. sérhver þakning á Y meðopnum mengjum í X hefur endanlega hlutþakningu.

(ii) Lokuð hlutmengi í þjöppuðum rúmum eru þjöppuð.

Sönnun. (Næsta augljós) æfing.

Setning 16.4. Þjappað hlutrúm Y í Hausdorff-rúmi X er lokað.

28

Sönnun. Sýnum að X \ Y sé opið. Látum x0 ∈ X \ Y . Fyrir sérhvert y ∈ Y eru til opnar grenndirWy um x0 og Vy um y í X þ.a. Wy ∩ Vy = ∅ því X er Hausdorff. Þá er Y ⊆

⋃

y∈Y Vy svo til eruy1, . . . , yℓ ∈ Y þ.a. Y ⊆ Vy1 ∪ · · · ∪ Vyℓ því Y er þjappað. Af því leiðir að

Y ∩ (Wy1 ∩ · · · ∩Wyℓ) ⊆ (Vy1 ∪ · · · ∪ Vyℓ) ∩ (Wy1 ∩ · · · ∩Wyℓ) = ∅

svo að Wy1 ∩ · · · ∩Wyℓ er grennd um x0 í X \ Y .

Setning 16.5. Látum X vera þjappað grannrúm og f : X → Y vera samfellda vörpun yfir ígrannrúm Y . Þá er f(X) þjappað.

Sönnun. Ef (Uα)α∈I er opin þakning á f(X), þá er (f−1(Uα))α∈I opin þakning á X. Þar með ertil endanlegt hlutmengi J úr I þ.a. X ⊆

⋃

α∈J f−1(Uα) og því

f(X) ⊆ f

(⋃

α∈Jf−1(Uα)

)

⊆⋃

α∈JUα,

þ.e. (Uα)α∈J er endanleg hlutþakning á f(X).

Setning 16.6. Látum f : X → Y vera gagntæka og samfellda vörpun. Ef X er þjappað og Y erHausdorff, þá er f grannmótun.

Sönnun. Okkur nægir að sýna að f sé lokuð vörpun. Ef A er lokað í X, þá er A þjappað og þarmeð er f(A) þjappað í Y . En Y er Hausdorff svo f(A) er lokað.

Hjálparsetning 16.7. Látum X og Y vera grannrúm og Y þjappað. Ef x0 ∈ X og W er opingrennd um x0 × Y í X × Y , þá er til grennd U um x0 í X þ.a. U × Y ⊆W .

Sönnun. Fyrir sérhvert y ∈ Y veljum við opin mengi Uy í X og Vy í Y þ.a. (x0, y) ∈ Uy ×Vy ⊆W .Þá er (Vy)y∈Y opin þakning á Y . Tökum endanlega hlutþakningu Vy1 , . . . , Vyk og setjum U :=⋂k

i=1 Uyi . Þá fæst að

x0 × Y ⊆ U × Y = U ×

( k⋃

i=1

Vyi

)

=

k⋃

i=1

(U × Vyi) ⊆

k⋃

i=1

(Uyi × Vyi) ⊆W.

Setning 16.8. Faldrúm endanlega margra þjappaðra rúma er þjappað.

Sönnun. Nóg að sanna setninguna fyrir tvö þjöppuð rúm og beita svo þrepun. Látum X og Y veraþjöppuð og A vera opna þakningu á X×Y . Ef x ∈ X er x×Y þjappað og því til A1, . . . , Aℓ ∈ Aþ.a. x × Y ⊆ A1 ∪ · · · ∪ Aℓ. Skv. hjálparsetningunni er þá til opin grennd Wx um x í X semuppfyllir Wx×Y ⊆ A1 ∪ · · · ∪Aℓ. Nú er Wx | x ∈ X opin þakning á X svo hún hefur endanlegahlutþakningu W1, . . . ,Wk. Þar með er

X × Y =

( k⋃

j=1

Wj

)

× Y =k⋃

j=1

(Wj × Y )

og sérhvert Wj × Y er þakið með endanlega mörgum stökum úr A.

29

Athugasemd 16.9. Almennt gildir að faldrúm hvaða fjölskyldu sem er af þjöppuðum grannrúmumer þjappað. Þetta er hin svokallað Tychonoff-setning, sem verður sönnuð síðar.

Setning 16.10. Grannrúm X er þjappað þ.þ.a.a. það fullnægi eftirfarandi skilyrði:

(∗) Ef (Aα)α∈I er fjölskylda af lokuðum mengjum þ.a.⋂

α∈J Aα 6= ∅ fyrir öll endanleg hlut-mengi J í I, þá er

⋂

α∈I Aα 6= ∅.

Sönnun. Gerum ráð fyrir að X sé þjappað og (Aα)α∈I sé fjölskylda af lokuðum hlutmengjum í Xþ.a.

⋂

α∈I Aα = ∅. Þá er⋃

α∈I(X \Aα) = X \

⋂

α∈IAα = X.

Þar sem X er þjappað hefur opna þakningin X \Aα | α ∈ I endanlega hlutþakningu, þ.e. til erendanlegt hlutmengi J í I þ.a.

⋃

α∈J(X \ Aα) = X og því⋂

α∈J Aα = ∅ skv. de Morgan.

Öfugt, gerum ráð fyrir að X fullnægi (∗) og látum (Uα)α∈I vera opna þakningu á X. SetjumAα := X \ Uα. Þá er

⋂

α∈I Aα = ∅ skv. de Morgan og þar með er til endanleg hlutmengi J í Iþ.a.

⋂

α∈J Aα = ∅ en það jafngildir því að⋃

α∈J Uα = X.

Fylgisetning 16.11. Ef (Cn)n∈N er minnkandi runa (þ.e. Cn ⊇ Cn+1 fyrir öll n) af lokuðumhlutmengjum í þjöppuðu rúmi þ.a. Cn 6= ∅ fyrir öll n ∈ N, þá er

⋂

n∈NCn 6= ∅.

17 Langa (hálf)línan og langa bilið

Skilgreining 17.1. Látum (X,<) vera línulega raðað mengi og A ⊆ X. Stak b ∈ X þ.a. a ≤ bfyrir öll a ∈ A kallast yfirstak A. Ef mengi allra yfirstaka mengisins A á sér minnsta stak kallastþað efra mark A, táknað supA.

Dæmi 17.2. (1) Vitum að sérhvert hlutmengi í R, sem er takmarkað að ofan, á sér efra mark.

(2) Hlutmengið A := r ∈ Q | r > 0 og r2 < 2 í Q á sér ekki efra mark í Q.

Athugasemd 17.3. Fáum samsvarandi skilgreiningu fyrir neðra mark, táknað inf A.

Setning 17.4. Látum X vera línulega raðað mengi þar sem sérhvert hlutmengi, sem er tak-markað að ofan (þ.e. á sér yfirtölu), hefur efra mark í X. Þá er sérhvert lokað bil í X þjappað(í röðunargrannmynstrinu).

Sönnun. Látum a, b ∈ X og A vera opna þakningu á [a, b]. Sýnum að unnt sé að þekja [a, b] meðendanlega mörgum mengjum úr A.

(1) Sýnum fyrst: Ef x ∈ [a, b] og x 6= b, þá er til y > x í [a, b] og mengi A,B ∈ A þ.a. [x, y] ⊆ A∪B.

• Ef (x, b] hefur minnsta stak y er [x, y] = x, y. Veljum þá A og B úr A þ.a. x ∈ A ogy ∈ B.

30

• Ef (x, b] hefur ekki minnsta stak veljum við eitthvert A ∈ A þ.a. x ∈ A. Þar sem x 6= bog A er opið er til c > x þ.a. [x, c) ⊆ A. Veljum síðan y ∈ [x, c) og fáum að [x, y] ⊆ A;tökum svo B = A.

(2) Setjum

C := y ∈ (a, b] | hægt er að þekja [a, y] með endanlega mörgum mengjum úr A.

Setjum c := supC. Þá skv. (1) er a < c ≤ b. Sýnum að c ∈ C, þ.e. að hægt sé að þekja[a, c] með endanlega mörgum mengjum úr A. Veljum A ∈ A þ.a. c ∈ A. Þar sem A eropið er til d < c úr [a, b] sem uppfyllir (d, c] ⊆ A. Þar sem c er efra mark C er til c′ ∈ Cþ.a. d < c′ ≤ c og því [c′, c] ⊆ A. Nú eru til A1, . . . , Am ∈ A þ.a. [a, c′] ⊆ A1 ∪ · · · ∪Am og þarmeð [a, c] = [a, c′] ∪ [c′, c] ⊆ A1 ∪ · · · ∪Am ∪A.

Ljúkum nú sönnuninni með því að sýna að c = b: Ef ekki, þá er skv. (1) til y > c úr [a, b] þ.a. [c, y] séhægt að þekja með endanlega mörgum mengjum úr A. Það sama gildir þá um [a, y] = [a, c]∪ [c, y]og það þýðir að y ∈ C, í mótsögn við að y > c = supC.

Fylgisetning 17.5. Lokuð bil í R eru þjöppuð.

Sönnun. Augljóst.

Setning 17.6 (Heine-Borel). Hlutmengi í Rn er þjappað þ.þ.a.a. það sé lokað og takmarkað.

Sönnun. Látum A ⊆ Rn.

• Ef A er þjappað, þá er A lokað vegna þess að Rn er Hausdorff. Nú er R =⋃

r>0 Br(0), svotil eru r1, . . . , rk > 0 þ.a. A ⊆ Br1(0) ∪ · · · ∪ Brk(0) = Br0(0) þar sem r0 = max1≤i≤k ri. Þarmeð er A takmarkað.

• Öfugt, gerum ráð fyrir að A sé lokað og takmarkað. Þá er til r > 0 þ.a. A ⊆ Br(0) ⊆[−r, r]× · · · × [−r, r], sem er þjappað því endanlegt faldrúm þjappaðra rúma er þjappað. Afþessu sést að A er lokað hlutmengi í þjöppuðu rúmi og því þjappað.

Setning 17.7. Látum f : X → Y vera samfellda vörpun þar sem Y er línulega raðað meðröðunargrannmynstrinu. Ef X er þjappað, þá eru til c, d ∈ X þ.a. f(c) ≤ f(x) ≤ f(d) fyrir öllx ∈ X.

Sönnun. Ef f(X) hefur ekkert stærsta stak mynda mengin (−∞, y) með y ∈ f(X) opna þakninguá f(X). En f(X) er þjappað svo til eru y1, . . . , yℓ ∈ f(X) þ.a.

f(X) ⊆ (−∞, y1) ∪ · · · ∪ (−∞, yℓ) = (−∞, y0)

þar sem y0 = max1≤i≤ℓ yi, í mótsögn við að y0 ∈ f(X). Sýna má fram á tilvist minnsta staks íf(X) á hliðstæðan hátt.

31

Setning 17.8. Látum X vera þjappað og ekki tómt Hausdorff-rúm. Ef sérhver punktur úr X erþéttipunktur, þá er X óteljanlegt.

Sönnun. Gerum ráð fyrir að f : N → X sé átæk og setjum xn := f(n). Veljum ekki tómt opiðmengi V1 í X þ.a. x1 /∈ V1. Almennt veljum við ekki tómt opið mengi Vn í X þ.a. Vn ⊆ Vn−1 ogxn /∈ Vn. Þar sem X er þjappað er

⋂

n≥1 Vn 6= ∅. En ljóst er að f(N) ∩ (⋂

n≥1 Vn) = ∅ svo aðf(N) 6= X.

Fylgisetning 17.9. Látum a, b ∈ R þ.a. a < b. Þá er [a, b] óteljanlegt.

Sönnun. Leiðir beint af setningu.

Upprifjun.

• Línulega raðað mengi er sagt velraðað ef sérhvert ekki tómt hlutmengi þess hefur minnstastak. Segjum þá að röðunin sé velröðun.

• Velröðunarfrumsendan segir að sérhverju mengi megi velraða. Af henni leiðir að til er vel-raðað óteljanlegt mengi.

• Látum X vera línulega raðað mengi og α ∈ X. Hlutmengið Sα := x ∈ X | x < α kallastsnið (í X).

Setning 17.10. Til er óteljanlegt velraðað mengi þar sem sérhvert snið er teljanlegt.

Sönnun. Sýnum fyrst að til sé velraðað mengi sem hefur óteljanlegt snið. Látum X vera óteljanlegtog velraðað. Þá er 1, 2 ×X velraðað með orðabókarröðuninni og sérhvert snið af gerðinni S(2,x)er óteljanlegt. Látum nú Y vera eitthvert velraðað mengi sem hefur óteljanlegt snið og setjum

Ω := minα ∈ Y | Sα er óteljanlegt.

Þá er SΩ óteljanlegt og velraðað og sérhvert snið í því er teljanlegt.

Ritháttur. SΩ = SΩ ∪ Ω.

Fylgisetning 17.11. Ef A er teljanlegt hlutmengi í SΩ er A takmarkað að ofan.

Sönnun. Mengið B :=⋃

a∈A Sa er teljanlegt svo B $ SΩ og ef x /∈ B er a ≤ x fyrir öll a ∈ A.

Setning 17.12. Táknum minnsta stakið í SΩ með 0.

(i) Sérhvert takmarkað hlutmengi í SΩ hefur efra mark (í SΩ).

(ii) Sérhvert hlutmengi í SΩ á sér efra mark (í SΩ).

(iii) SΩ er þjappað og SΩ er þétt í SΩ.

(iv) Sérhver runa í SΩ hefur samleitna hlutrunu.

32

Sönnun. (i) Látum A ⊆ SΩ vera takmarkað. Þá er B := b ∈ SΩ | a ≤ b fyrir öll a ∈ A ekkitómt og supA = minB.

(ii) Ef A ⊆ SΩ er supA = minb ∈ SΩ | a ≤ b fyrir öll a ∈ A.

(iii) Þar sem öll hlutmengi í SΩ hafa efra mark er SΩ = [0,Ω] þjappað.

(iv) Æfing.

Dæmi 17.13. Látum X tákna N× [0, 1) með orðabókargrannmynstrinu. Sýnið að X sé grannmóta[0,+∞).

Skilgreining 17.14. Mengið L := SΩ× [0, 1) með orðabókarröðuninni kallast langa (hálf)línan ogL+ := (SΩ × [0, 1)) ∪ (Ω, 0) kallast langa bilið.

Unnt er að sýna: Fyrir sérhvert α ∈ L er Sα einsmóta [0, 1) ∼= [0,+∞) en L er ekki grannmóta[0, 1). Skoðum þetta rúm nánar í heimadæmum.

18 Runulegur þjappleiki (eða runuþjappleiki)

Setning 18.1. Látum X vera firðanlegt grannrúm. Þá eru eftirfarandi skilyrði jafngild:

(i) X er þjappað.

(ii) Sérhvert óendanlegt hlutmengi í X hefur þéttipunkt.

(iii) Sérhver runa í X hefur samleitna hlutrunu.

Sönnun. Sjá Kaplansky.

Skilgreining 18.2. Grannrúm sem uppfyllir (iii) kallast runuþjappað.

Athugasemd 18.3. Mengið SΩ er ekki þjappað vegna þess að SΩ er ekki lokað í SΩ og SΩ er Haus-dorff. Hins vegar er SΩ runuþjappað. Sér í lagi er SΩ ekki firðanlegt.

Setning 18.4. Fyrir grannrúm X gildir að (i) ⇒ (ii) og (iii) ⇒ (ii).

• (iii) ⇒ (ii): Látum A vera óendanlegt mengi í X. Þá er til eintæk vörpun N → A, þ.e. til erruna (xn) í A þ.a. xn 6= xm ef n ≥ m. Skv. (iii) hefur hún samleitna hlutrunu og markgildihennar er bersýnilega þéttipunktur A.

• (i) ⇒ (ii): Ef A hefur engan þéttipunkt í X er A lokað í X og því þjappað í strjála grann-mynstrinu. Þar með er það endanlegt.

33

Athugasemd 18.5. Grannrúmið X = 0, 1 ⊆ R er greinilega þjappað, svo skv. setningu Tychonoffs(verður sönnuð síðar) er X [0,1] líka þjappað. Minnumst þess að sérhver tala t ∈ [0, 1] hefurnákvæmlega eina framsetningu í tvíundarkerfinu, þ.e. t =

∑∞n=1

an2n þar sem an ∈ 0, 1 og sérhver

ræð tala er gefin með „óendanlegri summu“. Skilgreinum ϕn : [0, 1] → 0, 1 = X þ.a. ϕn(t) = anef t =

∑∞n=1

an2n . Sýnum að (ϕn)n≥1 eigi sér enga samleitna hlutrunu.

Ef (ϕnk)k≥0 væri slík hlutruna, þá gilti sér í lagi að (ϕnk

(t))k≥0 væri samleitin fyrir sérhvertt ∈ [0, 1]. Skilgreinum runu (an)n≥1 með því að setja an = 0 ef n /∈ nk | k ≥ 0, an2k

= 1 ogan2k+1

= 0 og setjum t0 =∑∞

n=1an2n . Þá fæst:

ϕnk(t0) =

1 ef k er slétt tala

0 ef k er oddatala=

(1

2+

(−1)k

2

)

,

sem er ekki samleitin og því höfum við fengið mótsögn.

Athugasemd 18.6. Við höfum sýnt að (i) ; (iii) og (iii) ; (i) og þar með gildir einnig að (ii) ;(i) og (ii) ; (iii).

19 Staðþjöppuð rúm

Skilgreining 19.1. Látum X vera grannrúm og x ∈ X. Ef til er þjöppuð grennd um x ∈ X, þáer sagt að X sé staðþjappað í x. Segjum að X sé staðþjappað ef það er staðþjappað í öllumpunktum sínum.

Athugasemd 19.2. Víða í stærðfræðibókum þýðir „staðþjappað“ það sem við köllum „staðþjappað“og Haudsdorff.

Setning 19.3. Ef Hausdorff-rúm X er staðþjappað í x, þá mynda þjöppuðu grenndirnar gren-ndagrunn um x. Nánar tiltekið: Ef U er grennd um x í X, þá er til þjöppuð grennd B um xþ.a. B ⊆ U .

Sönnun. Látum C vera þjappaða grennd um x í X og U vera opna grennd um x í X. Þá erC ∩ (X \U) lokað mengi í C og þar með þjappað. Þar sem x /∈ C ∩ (X \U) eru til opin sundurlægmengi V ′ og W ′ þ.a. x ∈ V ′ og C ∩ (X \ U) ⊆ W ′. Af þessu leiðir að V ′ ∩ C ∩ (X \ U) = ∅.Setjum nú V := V ′ ∩ C og fáum að V ⊆ C og því V ∩ (X \ U) = V ∩ (X \ U) ∩ C = ∅ og þarmeð V ⊆ U .

Setning 19.4. Látum X vera staðþjappað grannrúm og veljum punkt ∞X /∈ X. SetjumX := X ⊔ ∞X og skilgreinum grannmynstur á X með því að kalla hlutmengi U í X opið efannaðhvort eftirtalinna skilyrða er uppfyllt:

(a) U ⊆ X og U er opið í X.

(b) ∞X ∈ U og U ∩X = X \K er opið í X þar sem K er þjappað í X.

[Skilyrði (b) segir að grenndirnar um ∞X séu fyllimengi lokaðra þjappaðra hlutmengja í X.]Þá gildir:

(i) X er þjappað og X er hlutrúm í X (þ.e. hlutrúmsgrannmynstur X er upphaflega grann-mynstrið á X).

34

(ii) Ef X er ekki þjappað, þá er X þétt í X .

(iii) Ef X er þjappað, þá er ∞X einangraður punktur í X.

(iv) Ef X er Hausdorff, þá er X Hausdorff.

Sönnun. Til þess að sýna að (a) og (b) ákvarði grannmynstur á X nægir að sýna að endanlegtsniðmengi opinna grennda um ∞X sé opin grennd um ∞X (sjá vikublað 1). En ef K1 og K2 eruþjöppuð í X er K1 ∪K2 þjappað í X og (X \K1) ∩ (X \K2) = X \ (K1 ∪K2).

(i) Látum U vera opna þakningu á X og veljum V ∈ U þ.a. ∞X ∈ V . Þá er til þjappað hlutmengiK í X þ.a. X∩V = X \K og safnið X∩U | U ∈ U er opin þakning á X \(V ∩X) = K. Þarmeð eru til U1, . . . , Uℓ ∈ X ∩ U | U ∈ U þ.a. K ⊆ U1 ∪ · · · ∪ Uℓ. En það hefur bersýnilegaí för með sér að X ⊆ V ∪ U1 ∪ · · · ∪ Uℓ.

(iii) Fáum:

∞X er einangraður í X þ.þ.a.a. ∞X er opið í X

þ.þ.a.a. ∅ = ∞X ∩X = X \K þar sem K er þjappað

þ.þ.a.a. X er þjappað.

(ii) Sjá (iii).

(iv) Látum x, y ∈ X. Ef x = ∞X tökum við þjappaða grennd C um y og setjum U := X \ C.Þá eru U og C sundurlægar opnar grenndir um ∞X og y.

Skilgreining 19.5. Rúmið X kallast Alexandroff-þjöppun (eða einspunktsþjöppun) grannrúmsinsX.

Athugasemd 19.6. Þó svo X sé ekki staðþjappað má búa X til á sama hátt og áður. Hins vegar erX Hausdorff ef og aðeins ef X er staðþjappað Hausdorff.

Ýmis dæmi og skilgreiningar:

(1) Zariski-grannmynstur á kn, þar sem k er kroppur/svið: Segjum að A ⊆ kn sé algebrulegt ef tiler mengi M af margliðum í k[x1, . . . , xn] þ.a.

A = N(M) := x ∈ kn | f(x) = 0 fyrir öll f ∈M.

Fáum:

(i) kn = N(0) og ∅ = N(k[x1, . . . , xn]) = N(1).

(ii) Ef A = N(M) og B = N(L) er A ∪B = N(M · L), þar sem

M · L = p · q | p ∈M og q ∈ L :

Ef x ∈ A er p(x) = 0 fyrir öll p ∈M og (p ·q)(x) = 0 fyrir öll p ∈M og q ∈ L og þar meðer x ∈ N(M · L). Þar með er sýnt að A ⊆ N(M · L) og á sama hátt er B ⊆ N(M · L).Öfugt, ef x /∈ A∪B eru til p ∈M og q ∈M þ.a. p(x) 6= 0, q(x) 6= 0 og því (p · q)(x) 6= 0og þar með x /∈ N(M · L).

35

(iii) Ef Aα = N(Mα), α ∈ I, þá gildir að

⋂

α∈IAα = N

(⋃

α∈IMα

)

.

Skilyrðin (i), (ii) og (iii) hafa í för með sér að algebrulegu mengin í kn eru lokuðu menginí grannmynstri á kn, svokölluðu Zariski-grannmynstri. Almennt er þetta grannmynstur ekkiHausdorff (m.ö.o. T2), en það er T1. Algebrulegu mengin í k eru bara endanlegu mengin í ksvo Zariski-grannmynstrið á k er Hausdorff þ.þ.a.a. k sé endanlegur kroppur.

(2) (Grannfræðilegar) víðáttur: Grannrúm X kallast n-víð víðátta (e. manifold) ef sérhver punkturx úr X hefur opna grennd U , sem er grannmóta opnu mengi í Rn. [Aths. Aðeins eitt slíkt nkemur til greina því unnt er að sýna fram á með algebrulegri grannfræði að ef opið mengi í Rn

er grannmóta opnu mengi í Rk, þá sé n = k.] Af skilgreiningunni leiðir strax:

(i) Víðáttur eru staðvegsamanhangandi og þar með staðsamanhangandi.

(ii) Samanhangandi víðáttur eru vegsamanhangandi.

(iii) Víðáttur eru staðþjappaðar.

(a) Algebrulega mengiðA := (x, y) ∈ R2 | x · y = 0

er ekki víðátta. Hins vegar er A \ (0, 0) einvíð víðátta sem hefur 4 samhengisþætti.

(b) Algebrulegt mengi

A := x ∈ Rn | f1(x) = · · · = fk(x) = 0 (k ≤ n)

er (n − k)–víð víðátta ef Jacobi-fylkið J(f1, . . . , fk) hefur metorðið k, skv. setningunni umfólgin föll.

(c) Í skilgreiningu á víðáttu er þess oftast krafist að X sé Hausdorff. Þó svo víðátta sé „stað-Hausdorff“, þá kemur ekki af sjálfu sér að hún sé Hausdorff.

Dæmi: (R ⊔ R)/(x ∼ x ef x 6= 0) [R með „tveimur núllpunktum“]. Þessi víðátta er T1.

Héðan í frá munum við alltaf gera ráð fyrir að víðáttur séu Hausdorff.

(d) Kleinuhringurinn er víðátta sem er grannmóta S1 × S1 (sanna það).

(e) Langa línan (þ.e. langa hálflínan án upphafspunkts) er víðátta.

Skilgreining. Tvívíðar víðáttur kallast yfirleitt fletir og einvíðir ferlar.

(3) Varprúm (yfir R): Látum Pn(R) tákna mengi allra lína gegnum núllpunktinn í Rn+1. Fyrirx ∈ Rn+1 \ 0 látum við 0x tákna línuna gegnum 0 og x og skilgreinum átæka vörpun

π : Rn+1 \ 0 → Pn(R); x 7→ 0x.

Setjum deildagrannmynstrið á Pn(R) og köllum grannrúmið Pn(R) n-víða varprúmið yfir R.Sýnum að Pn(R) sé n-víð víðátta.

Táknum einingarkúluhvelið í Rn+1 með Sn. Vörpunin π|Sn : Sn → Pn(R) er átæk og hefurtrefjarnar x,−x. Skilgreinum vensl ∼ á Sn með x ∼ y þ.þ.a.a. y = ±x. Þá fæst samfelldog gagntæk vörpun π : Sn/ ∼→ Pn(R). En Sn/ ∼ er þjappað og Pn(R) er Hausdorff (sannaþað), svo að π er grannmótun. Hins vegar er ljóst að Sn/ ∼ er n-víð víðátta: Ef x ∈ Sn og Uer opið hálfhvel sem inniheldur x, þá er π|U : U → π(U) grannmótun og π(U) er opin grenndum π(x).

36

Skilgreining 19.7. Verkun granngrúpu G á grannrúm X er samfelld vörpun

G×X → X; (g, x) 7→ gx

þ.a. fyrir öll x ∈ X og g, h ∈ G gildi:

eGx = x og (gh)x = g(hx).

Fáum jafngildisvensl á X með x ∼ y þ.þ.a.a. til sé g ∈ G með gx = y. Jafngildisflokkur staksx ∈ X er Gx := gx | g ∈ G og kallast braut staksins x (m.t.t. verkunarinnar). SetjumX/G := X/ ∼ með deildagrannmynstrinu og köllum X/G brautarúm verkunarinnar.

Sértilfelli: Ef G = (R,+) kallast grannrúm X sem R verkar á hreyfikerfi (e. dynamical system).Í þessu tilfelli er litið á X sem mengi af „ástöndum“ einhvers kerfis. Fyrir sérhvert ástand x erákveðið hvert ástandið verður eftir t tímaeiningar; táknum það ástand tx. Höfum 0x = x og(t+ s)x = t(sx).

Athugasemd 19.8. Fyrir sérhvert g ∈ G er vörpunin

ϕg : X → X; ϕg(x) = gx

grannmótun; andhverfan er ϕg−1.

Dæmi 19.9. (1) U × C → C; (u,w) 7→ uw. Brautirnar eru annars vegar hringir með miðju 0 oghins vegar 0. Deildarúmið C/U er grannmóta [0,+∞).

(2) Z2 ×R2 → R2;((m,n), (x, y)

)7→ (x+m, y +m). Brautarúmið er grannmóta S1 × S1 (sanna

það).

20 Teljanleikaskilyrði

Upprifjun. Grenndagrunnur fyrir punkt x í grannrúmi er mengi U(x) af (opnum) grenndum um xþ.a. sérhver grennd um x innihaldi stak úr U(x).

Dæmi 20.1. Ef (X, d) er firðrúm, þá er

U(x) := Bd(x,1n) | n ∈ N∗

grenndagrunnur fyrir x úr X.

Skilgreining 20.2. Segjum að grannrúm X

(i) fullnægi fyrsta teljanleikaskilyrðinu ef sérhver punktur úr X hefur teljanlegan grennda-grunn.

(ii) fullnægi öðru teljanleikaskilyrðinu ef TX hefur teljanlegan grunn.

(iii) sé Lindelöf-rúm ef sérhver opin þakning á X hefur teljanlega hlutþakningu.

(iv) sé sundurgreinanlegt ef það hefur teljanlegt þétt hlutmengi.

37

Setning 20.3. Annað teljanleikaskilyrðið hefur öll hin í för með sér (en almennt ekki öfugt). EfX er firðanlegt, þá er (i) alltaf uppfyllt og hin þrjú eru jafngild.

Sönnun. Einföld æfing, sjá bls. 191 og dæmi 30.5.

Setning 20.4. (i) Látum X vera grannrúm og Y ⊆ X. Ef X fullnægir fyrsta [öðru] teljan-leikaskilyrðinu, þá gerir Y það einnig.

(ii) Ef X1, . . . ,Xn eru grannrúm sem uppfylla fyrsta [annað] teljanleikaskilyrðið, þá gerir∏n

i=1Xi það líka.

Sönnun. Næsta ljóst, sjá bls. 191.

Dæmi 20.5. (1) Látum Rℓ vera R með grannmynstrinu sem grunnurinn [a, b) | a, b ∈ R, a < bframleiðir.

(i) Rℓ fullnægir fyrsta teljanleikaskilyrðinu: Ef x ∈ Rℓ, þá er [x, x+ 1n) | n ∈ N∗ teljanlegur

grenndagrunnur fyrir x.

(ii) Rℓ er sundurgreinanlegt vegna þess að Q er þétt í Rℓ.

(iii) Rℓ fullnægir ekki öðru teljanleikaskilyrðinu: Látum B vera grunn fyrir Rℓ. Fyrir sérhvertx ∈ Rℓ veljum við Bx ∈ B þ.a. x ∈ Bx ⊆ [x, x + 1). Þá er auðséð að Bx 6= By ef x 6= yog þar með er B ekki teljanlegur grunnur. Mótsögn.

(iv) Rℓ er Lindelöf: Látum A vera opna þakningu á Rℓ. Þá er til fínni þakning á Rℓ afgrunnstökum og við getum því gert ráð fyrir að A = [aα, bα) | α ∈ J. Setjum C :=⋃

α∈J(aα, bα) og lítum á C sem hlutrúm í R (með venjulega grannmynstrinu). Þarsem (aα, bα) | α ∈ J er opin þakning á C hefur hún teljanlega hlutþakningu A′ =(aαi

, bαi) | i ∈ N. Okkur nægir því að sýna að R \C sé teljanlegt. Ef x ∈ R \C, þá er

til α ∈ J þ.a. x = aα. Veljum qx ∈ (aα, bα) ∩Q og fáum að (x, qx) ⊆ (aα, bα) ⊆ C. Fyrirx, y ∈ R \ C þ.a. x < y gildir að qx < qy því annars væri y ∈ (x, qx) ⊆ C. Þetta gefurstranglega vaxandi fall R \ C → Q, svo að R \ C er teljanlegt.

(2) Faldrúm tveggja Lindelöf-rúma þarf ekki að vera Lindelöf. Rℓ er Lindelöf en R2ℓ = Rℓ × Rℓ

(svokölluð Sorgenfrey-slétta) er ekki Lindelöf:

• L := x× (−x) | x ∈ Rℓ er lokað í R2ℓ .

• Þekjum R2ℓ með öllum mengjum af gerðinni [a, b)×[−a, d) og R2

ℓ \L. Sýnum að þessi opnaþakning eigi sér enga teljanlega hlutþakningu: L∩ (R2

ℓ \L) = ∅ og L∩ ([a, b)× [−a, d)) =a× (−a) og L er óteljanlegt.

(3) Hlutrúm í sundurgreinanlegu grannrúmi þarf ekki að vera sundurgreinanlegt: Q er þétt í Rℓ

svo Q2 er þétt í R2ℓ , en hlutrúmið L er strjált óteljanlegt grannrúm, svo það hefur ekkert þétt

teljanlegt hlutmengi.

(4) Hlutrúm í Lindelöf-rúmi þarf ekki að vera Lindelöf: [0, 1]2 = [0, 1]× [0, 1] með orðabókargrann-mynstrinu er þjappað og þar með Lindelöf-rúm. Hlutrúmið [0, 1]× (0, 1) í [0, 1]2 er hins vegarekki Lindelöf-rúm því opna þakningin t×(0, 1) | t ∈ [0, 1] á sér enga teljanlega hlutþakningu(þetta er skipting).

38

21 Aðskilnaðarskilyrði

Skilgreining 21.1. (i) Grannrúm X er sagt vera reglulegt eða T3 ef það er T1 (þ.e. einstök-ungarnir eru lokuð mengi) og fyrir sérhvert lokað mengi A ⊆ X og sérhvert b ∈ X \A erutil sundurlægar opnar grenndir U um A og V um b.

(ii) Grannrúm X er sagt vera normlegt eða T4 ef það er T1 og fyrir öll sundurlæg og lokuðmengi A og B í X eru til sundurlægar opnar grenndir U um A og V um B.

Setning 21.2. Látum X vera T1-rúm.

(i) X er reglulegt þ.þ.a.a. fyrir sérhvert x ∈ X og sérhverja grennd U um x er til grennd Vum x þ.a. V ⊆ U .

(ii) X er normlegt þ.þ.a.a. fyrir sérhvert lokað mengi A í X og sérhverja grennd U um A ertil grennd V um A þ.a. V ⊆ U .

Sönnun. Auðséð (sjá bls. 196).

Setning 21.3. (i) Hlutrúm í Hausdorff-rúmi [reglulegu rúmi] er Hausdorff [reglulegt].

(ii) Faldrúm Hausdorff-rúma [reglulegra rúma] er Hausdorff [reglulegt].

Sönnun. Höfum þegar séð Hausdorff-tilfellin svo við látum okkur nægja að sanna fullyrðingarnarfyrir regluleg rúm.

(i) Látum Y vera hlutrúm í reglulegu rúmi X, B vera lokað mengi í Y og x ∈ Y \B. Þar semB ∩ Y = B, þá er x /∈ B og því eru til sundurlægar opnar grenndir U um B og V um x í X.Þar með eru U ∩ Y og V ∩ Y sundurlægar opnar grenndir um B og x í Y .

(ii) Látum (Xα)α∈I vera fjölskyldu af reglulegum grannrúmum og x = (xα)α∈I ∈∏

α∈I Xα.Látum U vera opna grennd um x og sýnum að x eigi sér lokaða grennd í

∏

α∈I Xα sem séinnihaldin í U (sjá síðustu setningu). Veljum grunngrennd

∏

α∈I Uα um x í U . Ef Uα 6= Xα

veljum við grennd Vα um xα í Xα þ.a. Vα ⊆ Uα. Ef hins vegar Uα = Xα setjum við Vα = Xα.Þá er

∏

α∈I Vα grennd um x og∏

α∈I Vα =∏

α∈I Vα ⊆∏

α∈I Uα ⊆ U .

Dæmi 21.4. (1) RK er Hausdorff en ekki reglulegt. Mengið K = 1/n : n ∈ N∗ er lokað íRK . Sýnum að ekki séu til opnar sundurlægar grenndir um 0 og K. Ef U er opin grenndum 0 og V opin grennd um K, þá er til grunngrennd (a, b) \ K um 0 sem er innihaldin íU . Tökum 1/n ∈ (a, b) og veljum c, d ∈ R þ.a. 0 < c < d og 1/n ∈ (c, d) ⊆ V . Þá er(c, d) ∩

((a, b) \K

)6= ∅.

(2) Rℓ er normlegt. Látum A og B vera sundurlæg lokuð mengi í Rℓ. Fyrir sérhvert a ∈ A veljumvið xa > a þ.a. [a, xa) ∩B = ∅ og fyrir sérhvert b ∈ B veljum við xb > b þ.a. [b, xb) ∩A = ∅.Þá er U :=

⋃

a∈A[a, xa) opin grennd um A og V =⋃

b∈B [b, xb) opin grennd um B og U∩V = ∅því [a, xa) ∩ [b, xb) = ∅ fyrir öll a ∈ A og b ∈ B.

39

Setning 21.5. (i) Firðanleg grannrúm eru normleg.

(ii) Þjöppuð Hausdorff-rúm eru normleg.

(iii) Regluleg Lindelöf-rúm eru normleg.

Sönnun. (i) Látum A og B vera sundurlæg lokuð mengi í firðrúmi (X, d). Fyrir sérhvert x ∈ Aveljum við εx > 0 þ.a. Bd(x, εx) ∩ B = ∅ og fyrir sérhvert y ∈ B veljum við εy > 0þ.a. Bd(y, εy) ∩ A = ∅. Þá eru U :=

⋃

x∈ABd(x, εx/2) og V :=⋃

y∈B Bd(y, εy/2) opnarsundurlægar grenndir um A og B í X.

(ii) Látum A og B vera sundurlæg lokuð mengi í þjöppuðu Hausdorff-rúmi X. Þá eru A og Bþjöppuð svo fyrir sérhvert x ∈ B eru til sundurlægar opnar grenndir Ux um A og Vx um x.Nú er Vx | x ∈ B opin þakning á B, svo til eru x1, . . . , xk ∈ B þ.a. B ⊆ Vx1 ∪ · · · ∪ Vxk

.Setjum U := Ux1 ∩· · ·∩Uxk

og V := Vx1∪· · ·∪Vxk. Þá fæst að B ⊆ V , A ⊆ U og V ∩U = ∅.

(iii) Tökum fyrst eftir að þó svo hlutrúm í Lindelöf-rúmi þurfi ekki að vera Lindelöf, þá er lokaðhlutrúm í Lindelöf-rúmi alltaf Lindelöf [bætum bara fyllimengi þess við þakninguna]. LátumA og B vera sundurlæg lokuð hlutmengi í reglulegu Lindelöf-rúmi X. Fyrir sérhvert x ∈ Aveljum við opnar sundurlægar grenndir Ux um x og Wx um B. Þá er Ux ⊆ X \Wx sem erlokað svo að Ux ⊆ X \Wx og þar með Ux ∩ B = ∅. Safnið (Ux)x∈A er opin þakning á Aog hefur því teljanlega hlutþakningu (Un)n∈N vegna þess að A er lokað. Með því að setjaU0 ∪ · · · ∪ Un í stað Un getum við gert ráð fyrir að (Un)n∈N sé vaxandi. Með sama hættifáum við opna vaxandi þakningu (Vn)n∈N á B þ.a. Vn ∩ A = ∅ fyrir öll n ∈ N. Setjum núU ′n := Un \ Vn og V ′

n := Vn \ Un. Setjum síðan U :=⋃

n∈N U′n og V :=

⋃

n∈N V′n. Þá er A ⊆ U

og B ⊆ V . Sýnum að U ∩ V = ∅. Ef x ∈ U ∩ V eru til n,m ∈ N með x ∈ U ′n og x ∈ V ′

n.Segjum t.d. að n ≤ m. Þá er x ∈ Vm \ Um og x ∈ U ′

n ⊆ Un ⊆ Um, sem er mótsögn.

Fylgisetning 21.6. Staðþjöppuð Hausdorff-rúm eru regluleg.

Sönnun. Látum X vera staðþjappað Hausdorff-rúm. Þá er Alexandroff-þjöppunin X þjappaðHausdorff-rúm svo skv. (ii) í síðustu sentingu er það normlegt. Af því leiðir að X er reglulegt ogþar með er X reglulegt sem hlutrúm í reglulegu rúmi.

Fylgisetning 21.7. Staðþjöppuð Hausdorff-rúm eru Baire-rúm.

Sönnun. Látum X vera staðþjappað Hausdorff-rúm. Látum (Un)n∈N vera fjölskyldu af opnummengjum í X þ.a. Un = X fyrir sérhvert n ∈ N og sýnum að

⋂

n≥0 Un = X. Látum V vera opiðekki tómt hlutmengi í X. Skilgreinum runu (Vn)n≥0 af ekki tómum opnum mengjum í X meðeftirfarandi hætti:

• V0 = V .

• Gerum ráð fyrir að við höfum valið opið ekki tómt mengi Vn. Þar sem Un er þétt í X, þáer Un ∩ Vn 6= ∅ og þar sem X er reglulegt skv. fylgisetningu 21.6, þá er til opið ekki tómthlutmengi Vn+1 í X þ.a. Vn+1 ⊆ Un ∩ Vn.

40

Þar sem X er staðþjappað getum við valið V1 þ.a. V1 sé þjappað og fáum þá minnkandi runu aflokuðum ekki tómum hlutmengjum V1 ⊇ V2 ⊇ V3 ⊇ · · · í þjappaða rúminu V1 og þar með

∅ 6=⋂

n≥1

Vn ⊆ V ∩

(⋂

n≥0

Un

)

.

Setning 21.8. Velröðuð mengi eru normleg m.t.t. röðunargrannmynstursins.

Sönnun. Látum X vera velraðað mengi. Tökum fyrst eftir að sérhvert bil af gerðinni (x, y] er opiðí X. Látum A og B vera lokuð sundurlæg hlutmengi í X. Fyrir sérhvert a ∈ A látum við Ia veraopið mengi af gerðinni (xa, a] þ.a. Ia ∩B = ∅ ef a 6= minX; ef a = minX látum við Ia vera opnamengið a = (−∞, a+) (a+ er næsti eftirfari a). Á samsvarandi hátt skilgreinum við Ib fyrir öllb ∈ B. Þá er fljótséð að U :=

⋃

a∈A Ia og V :=⋃

b∈B Ib eru opnar sundurlægar grenndir um A ogB.

Dæmi 21.9. SΩ × SΩ er ekki normlegt rúm. Áður en við sýnum fram á þetta skulum við veitanokkrum atriðum eftirtekt:

• SΩ og SΩ eru normleg skv. síðustu setningu og því regluleg. Hér er því dæmi um reglulegtrúm sem er ekki normlegt. Jafnframt sýnir þetta að faldrúm normlegra rúma þarf ekki aðvera normlegt.

• SΩ × SΩ er þjappað Hausdorff-rúm og þar með normlegt svo þetta dæmi sýnir að hlutrúm ínormlegu rúmi er ekki endilega normlegt.

Nú: Látum ∆ tákna hornalínuna í SΩ× SΩ. Þá er ∆ lokað í SΩ× SΩ vegna þess að SΩ er Hausdorffog þar með er A = ∆∩ (SΩ× SΩ) = ∆ \ (Ω×Ω) lokað í SΩ× SΩ. Einnig er ljóst að B = SΩ×Ωer lokað í SΩ× SΩ því SΩ er T1. A og B eru því sundurlæg lokuð mengi í SΩ× SΩ. Sýnum að þaueigi sér ekki sundurlægar opnar grenndir. Beitum óbeinni sönnun og gerum ráð fyrir að til séusundurlæg opin mengi U og V í SΩ × SΩ þ.a. A ⊆ U og B ⊆ V . Fyrir sérhvert x ∈ SΩ setjum við

β(x) := minβ ∈ SΩ | x < β og x× β /∈ U,

sem er vel skilgreint því x×Ω /∈ U og þar sem V ∩U = ∅ er β(x) ∈ SΩ. Skilgreinum runu (xn)n≥0

í SΩ svona:

• x0 er einhver punktur í SΩ,

• xn+1 = β(xn) fyrir öll n ≥ 0.

Þá er runan stranglega vaxandi. Setjum b := supn xn (alltaf til í SΩ) og fáum limn→∞ xn = b. Þvígildir að β(xn) = xn+1 → b og þar með xn × β(xn) → b × b, í mótsögn við að U er opin grenndum b× b og xn × β(xn) /∈ U fyrir öll n ≥ 0.

Skilgreining 21.10. Látum A og B vera lokuð sundurlæg hlutmengi í grannrúmi X. Við segjumað unnt sé að aðskilja A og B með samfelldu falli ef til er samfellt fall f : X → [0, 1] þ.a. f |A = 0og f |B = 1.

41

Skilgreining 21.11. Grannrúm X er sagt fullkomlega reglulegt ef það er T1 og unnt er að aðskiljasérhvert lokað hlutmengi A í X og sérhvern einstökung x þar sem x /∈ A með samfelldu falli.

Setning 21.12 (Hjálparsetning Urysohns). Tvö lokuð og sundurlæg hlutmengi í normlegu rúmi erunnt að aðskilja með samfelldu falli.

Sönnun. Látum A og B vera sundurlæg lokuð mengi í normlegu rúmi X. Segjum að endanlegruna af opnum mengjum C = (C0, C1, . . . , Cm) sé (leyfileg) keðja af lengd m ef

A ⊆ C0 ⊆ C1 ⊆ · · · ⊆ Cm ⊆ X \B

og Ck−1 ⊆ Ck fyrir k = 1, . . . ,m. Setjum C−1 = ∅ og Cm+1 = X og köllum opnu menginCk+1 \ Ck−1 opna stalla keðjunnar C fyrir k = 0, . . . ,m. Tökum eftir að opnu stallarnir myndaopna þakningu á X. Fyrir slíkt C skilgreinum við χC : X → [0, 1] með því að setja fyrir sérhvertk ∈ 0, . . . ,m:

χC(x) =

km ef x ∈ Ck \ Ck−1,

1 ef x ∈ X \ Cm.

Tökum eftir að á stallinum Ck+1 \ Ck−1 tekur χC bara gildin k/m og (k + 1)/m og munur þeirraer 1/m. Búum til runu (C(n))n≥1 af leyfilegum keðjum, þar sem C(n) er af lengd 2n:

• C(1) = (C0, C1) þar sem C1 = X \B og C0 er valið þ.a. A ⊆ C0 ⊆ C0 ⊆ C1.

• Eftir að hafa búið til leyfilega keðju C(n) af lengd 2n búum við til leyfilega keðju C(n+1) aflengd 2n+1 með eftirfarandi hætti:

– Fyrir sérhvert k ∈ 1, . . . , 2n veljum við opið mengi C ′ þ.a.

C(n)k−1 ⊆ C ′ ⊆ C ′ ⊆ C

(n)k

og bætum því við keðjuna, tölusetjum síðan upp á nýtt í vaxandi röð. Ljóst er aðC(n+1) er af lengd 2n+1.

Setjum χn := χC(n) og fáum minnkandi runu af föllum X → [0, 1]. Hún hefur markgildi f :=limn→∞ χn. Ljóst er að f |A = 0 og f |B = 1. Sýnum að f sé samfellt. Fljótséð er að

0 ≤ χn − f =∞∑

k=n

(χk − χk+1) ≤∞∑

k=n

1

2k+1=

1

2n

og þar með χn−12n ≤ f ≤ χn. Munurinn á stærsta og minnsta gildi χn á opnum stöllum keðjunnar

C(n) er 1/2n svo munurinn á gildum f í tveimur punktum úr sama stalli C(n) er ≤ 1/2n +1/2n =1/2n−1. Látum x ∈ X og ε > 0. Veljum n þ.a. 1/2n−1 < ε. Opnu stallar keðjunnar C(n) myndaopna þakningu á X. Tökum stall sem inniheldur x. Hann er opin grennd um x í X og fyrir öll yúr stallinum gildir að

|f(x)− f(y)| ≤1

2n−1< ε.

Upprifjun. Látum X vera mengi, f : X → R vera takmarkað fall og A ⊆ X. Setjum

||f ||A := sup|f(x)| | x ∈ A.

Þá er ||·||X staðall á vigurrúmi allra takmarkaðra falla áX. Ef X er grannrúm, þá er vigurrúm allrasamfelldra takmarkaðra falla X → R með staðlinum || · ||X fullkomið staðalrúm (þ.e. Banach-rúm).

42

Setning 21.13 (Framlengingarsetning Tietze-Urysohns). Fyrir grannrúm X eru eftirfarandi skil-yrði jafngild:

(i) X er normlegt.

(ii) Fyrir sérhvert lokað mengi A í X og sérhvert samfellt fall f : A→ [0, 1] er til samfellt fallF : X → [0, 1] með F |A = f .

Hjálparsetning 21.14. Látum X vera normlegt rúm, A vera lokað í X og f : A → R veratakmarkað og samfellt. Þá er til samfellt fall F : X → R með

||f − F ||A ≤2

3||f ||A og ||F ||X =

1

3||f ||A.

Athugasemd 21.15. Ef A og B eru lokuð í grannrúmi X og unnt er að aðskilja A og B með samfelldufalli f : X → [0, 1], þ.e. f |A = 0 og f |B = 1, þá er unnt að finna samfellt fall g : X → [a, b]þ.a. g|A = a og g|B = b fyrir öll a, b ∈ R þ.a. a < b. Okkur nægir t.d. að setja g(x) = a+(b−a)f(x).

Sönnun (á hjálparsetningu). Setjum r := ||f ||A. Mengin

B := f−1([r/3, r]) og C := f−1([−r,−r/3])

eru lokuð og sundurlæg í A og þar með í X. Skv. hjálparsetningu Urysohns er þá til F : X →[−r/3, r/3] með F |B = r/3 og F |C = −r/3. Fljótséð er að F fullnægir umbeðnum skilyrðum.

Sönnun (á framlengingarsetningunni). • (ii) ⇒ (i): Látum A og B vera lokuð og sundurlæg íX. Þá er f : A ∪ B → [0, 1] með f |A = 0 og f |B = 1 samfellt fall. Það framlengist því ísamfellt fall F : X → [0, 1] skv. (ii) og F−1([0, 1/2)) og F−1((1/2, 1]) eru opnar sundurlægargrenndir um A og B.

• (i) ⇒ (ii): Með þrepun búum við til runu (Fn)n≥1 af samfelldum föllum Fn : X → R þ.a.

(I)

∥∥∥∥∥f −

n∑

k=1

Fk

∥∥∥∥∥A

≤

(2

3

)n

||f ||A

︸ ︷︷ ︸

(∗)

og ||Fn||X ≤1

3

(2

3

)n−1

||f ||A︸ ︷︷ ︸

(∗∗)

.

Út frá (∗∗) fæst þá að

∞∑

n=1

||Fn||X ≤

∞∑

n=1

1

3

(2

3

)n−1

||f ||A = ||f ||A < +∞

og þar með er∑∞

n=1 Fn samleitin í jöfnum mæli á X og hefur samfellt fall F sem markgildi.Út frá (∗) fæst svo að

||f − F ||A = limn→∞

∥∥∥∥∥f −

n∑

k=1

Fk

∥∥∥∥∥A

= 0.

Við eigum bara eftir að sanna (I). Skv. síðustu hjálparsetningu er til samfellt fall F1 : X → Rþ.a. ||f − F1||A ≤ 2

3 ||f ||A og ||F1||X = 13 ||f ||A. Þegar F1, . . . , FN eru fengin getum við beitt

hjálparsetningunni á fallið g := f −∑n

k=1 Fk til að finna samfellt fall Fn+1 : X → R þ.a.∥∥∥∥∥f −

n+1∑

k=1

Fk

∥∥∥∥∥A

= ||g − Fn+1||A ≤2

3||g||A ≤

2

3

(2

3

)n

||f ||A =

(2

3

)n+1

||f ||A

43

og

||Fn+1||X =1

3||g||A ≤

1

3

(2

3

)n

||f ||A.

Viðbót við setningu. Skilyrðin (i) og (ii) í síðustu setningu eru jafngild eftirfarandi skilyrði:

(iii) Fyrir sérhvert lokað mengi A í X og sérhvert samfellt fall f : A → R er til samfellt fallF : X → R með F |A = f .

Sönnun. • (iii) ⇒ (i): Ef A og B eru lokuð sundurlæg hlutmengi í X, þá er fallið f : A∪B → Rmeð f |A = 0 og f |B = 1 samfellt svo skv. (iii) framlengist það í samfellt fall F : X → R. Þáeru F−1((−∞, 1/2)) og F−1((1/2,+∞)) opnar sundurlægar grenndir um A og B.

• (ii) ⇒ (iii): Látum A vera lokað í X og f : A→ R vera samfellt fall. Þá er g : A→ (−1, 1)með g := 2

π arctan f samfellt og hefur samfellda framlengingu G : X → [−1, 1]. MengiðB := G−1(−1, 1) er lokað og A ∩ B = ∅. Skv. (ii) er þá til samfellt fall ϕ : X → [0, 1]þ.a. ϕ|A = 1 og ϕ|B = 0. Þá er ϕG : X → (−1, 1) og ϕG|A = G|A = g, svo falliðF := tan (π2 ϕG) : X → R er samfellt og F |A = f .

Setning 21.16 (Greypingarsetning). Látum X vera grannrúm og fα : X → Yα | α ∈ I verafjölskyldu af samfelldum vörpunum þ.a.

(i) Ef x, y ∈ X og x 6= y er til α ∈ I þ.a. fα(x) 6= fα(y) (sagt er að „fjölskyldan (fα)α∈Iaðgreini punktana í X“).

(ii) Ef A er lokað í X og x ∈ X \ A er til α ∈ I þ.a. fα(x) /∈ fα(A).

Þá er vörpunin f = (fα)α∈I : X →∏

α∈I Yα greyping.

Sönnun. Vörpunin f : X →∏

α∈I Yα er samfelld og skv. (i) er hún eintæk. Viljum sýna að húngefi af sér grannmótun X → f(X) en til þess nægir að sýna að f(U) sé opið í f(X) fyrir sérhvertopið mengi U í X. Látum því U vera opið mengi í X og y ∈ f(U). Veljum x ∈ U þ.a. f(x) = y.Þar sem X \ U er lokað og x /∈ X \ U er skv. (ii) til α ∈ I þ.a. fα(x) /∈ fα(X \ U). Mengið

V := π−1α (Yα \ fα(X \ U)) = (yα)α∈I | yα /∈ fα(X \ U)

er opið í∏

α∈I Yα. Sýnum að V ∩ f(X) ⊆ f(U). Ef z ∈ X og f(z) ∈ V , þá er fα(z) /∈ fα(X \ U)og því z /∈ X \ U sem þýðir að z ∈ U . Þar með er sýnt að f(U) sé opið í f(X).

Athugasemd 21.17. Ef X er T1-rúm hefur skilyrði (ii) skilyrði (i) í för með sér.

Setning 21.18 (Firðanleikasetning Urysohns). Reglulegt grannrúm sem hefur teljanlegan grunn erfirðanlegt.

Sönnun. Látum X vera reglulegt grannrúm þ.a. TX eigi sér teljanlegan grunn B. Þar sem X erreglulegt Lindelöf-rúm er það normlegt. Fyrir sérhvert (B,C) ∈ B×B sem uppfyllir B ⊆ C getumvið fundið samfellt fall f : X → [0, 1] þ.a. f |B = 0 og f |X\C = 1. Fjöldi slíkra spyrða er teljanlegur;látum (fn)n≥0 vera númeringu á tilheyrandi föllum. Sýnum að safnið fn : X → [0, 1] | n ∈ Nfullnægi skilyrði (ii) og þar með einnig skilyrði (i) úr Greypingarsetningunni.

44

Ef A er lokað í X og x ∈ X \ A, þá er til C ∈ B með x ∈ C ⊆ X \ A. Finnum opna grenndV um x með V ⊆ C og síðan B ∈ B þ.a. x ∈ B ⊆ V . Þá er x ∈ B ⊆ B ⊆ C. Látum fn verafallið sem tilheyrir (B,C). Ljóst er að fn(x) = 0 og fn|A = 1 svo sýnt er að fn fullnægi forsendumGreypingarsetningarinnar.

Fáum því greypingu f = (fn)n∈N : X → [0, 1]ω . En [0, 1]ω er firðanlegt því það er hlutrúm íRω, sem er firðanlegt.

22 Hlutun á einum

Skilgreining 22.1. Látum (Uα)α∈I vera opna þakningu á grannrúmi X. Hlutun á einum (á X)m.t.t. þakningarinnar (Uα)α∈I er fjölskylda af samfelldum föllum ϕα : X → [0, 1]α∈I semfullnægir eftirfarandi skilyrðum:

(i) suppϕα ⊆ Uα fyrir öll α ∈ I [þar sem suppϕα = x ∈ X | ϕα(x) 6= 0].

(ii) Mengjafjölskyldan (suppϕα)α∈I er staðendanleg [þ.e. sérhver punktur x ∈ X á sér grenndsem sker aðeins endanlega mörg mengi úr fjölskyldunni].

(iii)∑

α∈I ϕα(x) = 1 fyrir sérhvert x ∈ X [þetta hefur merkingu vegna skilyrðis (ii)].

Setning 22.2. Látum U1, . . . , Un vera opna þakningu á normlegu rúmi X. Þá er til hlutun áeinum m.t.t. þakningarinnar.

Sönnun. Sýnum fyrst með þrepun að X eigi sér opna þakningu V1, . . . , Vn þ.a. Vi ⊆ Ui fyriri = 1, . . . , n.

• Mengið A := X \ (U2 ∪ · · · ∪ Un) er lokað í X og innihaldið í U1 svo til er opin grennd V1um A þ.a. V1 ⊆ U1 því X er normlegt. Ljóst er að V1, U2, . . . , Un er opin þakning á X.

• Gerum ráð fyrir að við höfum valið opin mengi V1, . . . , Vk−1 þ.a. V1, . . . , Vk−1, Uk, . . . , Un

þeki X og Vi ⊆ Ui fyrir i = 1, . . . , k − 1. Þá er A := X \ (V1 ∪ · · · ∪ Vk−1 ∪ Uk+1 ∪ · · · ∪ Un)lokað í X og innihaldið í Uk. Veljum þá opna grennd Vk um A þ.a. Vk ⊆ Uk og fáum opnaþakningu V1, . . . , Vk, Uk+1, . . . , Un með Vi ⊆ Ui fyrir i = 1, . . . , k.

Sýnum nú fram á tilvist hlutunarinnar. Athugum að skilyrði (ii) er sjálfkrafa uppfyllt. Veljumopna þakningu W1, . . . ,Wn á X þ.a. Wi ⊆ Vi fyrir i = 1, . . . , n. Skv. hjálparsetningu Urysohns er,fyrir sérhvert i ∈ 1, . . . , n, til samfellt fall ψi : X → [0, 1] þ.a. ψi|Wi

= 1 og ψi|X\Vi= 0. Þar sem

ψi er núll alls staðar utan lokaða mengisins Vi, þá er suppψi ⊆ Vi ⊆ Ui. Skilgreinum samfellt fallΨ : X → R með Ψ(x) :=

∑ni=1 ψi(x) fyrir öll x ∈ X. Þar eð X = W1 ∪ · · · ∪Wn, þá er Ψ(x) > 0

fyrir öll x ∈ X. Föllin ϕ1, . . . , ϕn sem skilgreind eru með ϕi(x) := ψi(x)/Ψ(x) fyrir öll x ∈ Xmynda því bersýnilega hlutun á einum m.t.t. U1, . . . , Un.

Fylgisetning 22.3. Á þjappaðri víðáttu er til hlutun á einum m.t.t. hvaða endanlegu opnuþakningar sem er.

Sönnun. Þjöppuð víðátta er normleg.

45

Athugasemd 22.4. Reyndar er unnt að sýna fram á sterkari niðurstöðu:

• Á víðáttu sem er teljanleg í óendanlegu [þ.e. ∞ hefur teljanlegan grenndagrunn í Alexandroff-þjöppuninni] eru alltaf til hlutanir á einum.

Dæmi 22.5. Látum X vera þjappaða m-víða víðáttu. Sýnum að unnt sé að greypa X inn í RN

fyrir náttúrulega tölu N :

Þar sem X er þjöppuð eru til opin mengi U1, . . . , Un í X þ.a. X = U1∪ · · · ∪Un og fyrir sérhverti er til grannmótun gi : Ui → g(Ui) þar sem g(Ui) er opið í Rm. Veljum hlutun á einum ϕ1, . . . , ϕn

m.t.t. U1, . . . , Un og skilgreinum fyrir sérhvert i ∈ 1, . . . , n samfellda vörpun hi : X → Rm meðþví að setja

hi(x) :=

ϕi(x)gi(x) ef x ∈ Ui,

0Rm ef x ∈ X \ suppϕi.

Sýnum að vörpunin F : X → (R × · · · × R)︸ ︷︷ ︸

n sinnum

× (Rm × · · · ×Rm)︸ ︷︷ ︸

n sinnum

sem skilgreind er með

F (x) := (ϕ1(x), . . . , ϕn(x), h1(x), . . . , hn(x))

sé greyping. Ljóst er að F er samfelld svo okkur nægir að sýna að F sé eintæk vegna þessað X er þjappað. Gerum ráð fyrir að F (x) = F (y). Þar sem

∑ni=1 ϕi(x) = 1, þá er til i

þ.a. ϕi(x) = ϕi(y) > 0 svo að x, y ∈ Ui. Þá fæst að

ϕi(x)gi(x) = hi(x) = hi(y) = ϕi(y)gi(y)

og því gi(x) = gi(y). En gi er eintæk svo að x = y.

23 Tychonoff-setningin

Skilgreining 23.1. Segjum að safn hlutmengja í tilteknu mengi hafi ekki tóm endanleg snið(skammstafað e.e.s.) ef sniðmengi sérhvers endanlegs hlutsafns er ekki tómt.

Upprifjun. Grannrúm X er þjappað þ.þ.a.a. um sérhvert safn C ⊆ P(X) sem hefur e.e.s. gildir að⋂

C∈C C 6= ∅.

Athugasemd 23.2. Taka verður sniðmengið yfir lokanirnar á C. Dæmi: Cn = (0, 1/n) í X = [0, 1].

Hjálparsetning 23.3. Látum X vera mengi og A ⊆ P(X) sem hefur e.e.s. Þá er til D ⊆ P(X)þ.a. A ⊆ D, D hefur e.e.s. og D er óstækkanlegt m.t.t. þessara eiginleika, þ.e. ef D′ hefure.e.s. og D ⊆ D′, þá er D = D′.

Sönnun. Látum A vera mengi allra safna B í P(X) þ.a. A ⊆ B og B hefur e.e.s. og röðum stökunumí A með íveruröðuninni $. Viljum sýna að A hafi óstækkanlegt stak. Skv. hjálparsetningu Zornsnægir að sýna að sérhvert línulega raðað hlutmengi (þ.e. keðja) í A sé takmarkað að ofan.

Látum B vera línulega raðað hlutmengi í A. Setjum C :=⋃

B∈B B og sýnum að C ∈ B (þá er Cstærsta stak í B og þar með er B takmarkað að ofan).

• A ⊆ C: Augljóst.

46

• C hefur e.e.s.: Látum C1, . . . , Cn ∈ C. Þá gildir um sérhvert i að til er Bi ∈ B þ.a. Ci ∈ Bi.Nú er B1, . . . ,Bn endanlegt hlutmengi í línulega raðaða menginu B og hefur því stærstastak, m.ö.o. er til k ∈ 1, . . . , n þ.a. Bi ⊆ Bk fyrir öll i = 1, . . . , n. Þar með eru C1, . . . , Cn

stök úr Bk og Bk hefur e.e.s. svo að C1 ∩ · · · ∩ Cn 6= ∅.

Hjálparsetning 23.4. Látum X vera mengi og D vera safn hlutmengja í X sem hefur e.e.s. og eróstækkanlegt m.t.t. þess eiginleika. Þá gildir:

(a) Endanlegt sniðmengi af stökum úr D er stak í D.

(b) Ef A ⊆ X og A sker sérhvert stak úr D, þá er A í D.

Sönnun. (a) Látum B vera sniðmengi endanlega margra staka úr D og setjum E := D∪B. Okkurnægir að sýna að E hafi e.e.s. því þá er D = E og þar með B ∈ D. Skrifum B =

⋂

C∈C′ C þarsem C′ er endanlegt hlutmengi í D. Látum nú C vera endanlegt hlutmengi í E . Ef B /∈ C erC ⊆ D og því

⋂

C∈C C 6= ∅ vegna þess að D hefur e.e.s. Ef B ∈ C setjum við C′′ := (C\B)∪C′

og fáum að C′′ er endanlegt hlutmengi í D og þar með

∅ 6=⋂

C∈C′′

C =

(⋂

C∈C\BC

)

∩

(⋂

C∈C′

C

)

=

(⋂

C∈C\BC

)

∩B =⋂

C∈CC.

(b) Setjum E := D ∪ A. Ef D1, . . . ,Dn ∈ D, þá er D1 ∩ · · · ∩Dn ∈ D skv. (a) og því

D1 ∩ · · · ∩Dn ∩A 6= ∅.

Þar með hefur E e.e.s. svo E = D og því A ∈ D.

Setning 23.5 (Tychonoff). Faldrúm þjappaðra grannrúma er þjappað.

Sönnun. Setjum X :=∏

α∈J Xα með Xα þjappað fyrir öll α ∈ J . Látum A vera safn hlutmengjaí X þ.a. A hafi e.e.s. Sýnum að

⋂

A∈A A 6= ∅. Skv. hjálparsetningu 23.3 er til óstækkanlegtD þ.a. A ⊆ D. Látum α ∈ J og látum πα : X → Xα vera náttúrulega ofanvarpið. Safniðπα(D) | D ∈ D í P(Xα) hefur e.e.s. svo að

⋂

D∈D πα(D) 6= ∅ vegna þess að Xα er þjappað.Fyrir sérhvert α ∈ J veljum við xα ∈

⋂

D∈D πα(D) og setjum x := (xα)α∈J ∈ X. Okkur nægir aðsýna að x ∈ D fyrir öll D ∈ D.

Látum D ∈ D. Þá gildir um sérhvert α ∈ J og sérhverja grennd Uα um xα að Uα ∩ πα(D) 6= ∅.Þar með er πα(π−1

α (Uα) ∩D) = Uα ∩ πα(D) 6= ∅ og því π−1α (Uα) ∩D 6= ∅. Skv. hjálparsetningu

23.4(b) er því π−1α (Uα) ∈ D fyrir sérhverja grennd Uα um xα. Skv. hjálparsetningu 23.4(a) sker

sérhver grunngrennd um x öll D ∈ D [því slík grennd er endanlegt sniðmengi mengja af gerðinniπ−1α (Uα)]. Af því leiðir að x ∈ D fyrir öll D ∈ D.

Athugasemd 23.6. Almennt gildir að f(f−1(V ) ∩ U) = V ∩ f(U). Hins vegar gildir ekki almenntað f−1(f(V ) ∩ U) = V ∩ f−1(U).

47

24 Grannmynstur á faldmengjum

Skilgreining 24.1. Látum X vera mengi og Y vera grannrúm. Fyrir sérhvert x ∈ X og sérhvertopið mengi U í Y setjum við

S(x,U) := f ∈ Y X | f(x) ∈ U.

Mengin S(x,U) mynda hlutgrunn fyrir grannmynstur á Y X sem kallast grannmynstur venju-legrar samleitni.

Athugasemd 24.2. Umrætt grannmynstur er bara faldgrannmynstrið á Y X .

Setning 24.3. Látum X vera mengi og Y vera grannrúm. Fallaruna (fn : X → Y )n∈N stefnir áfall f : X → Y í ofangreindu grannmynstri þ.þ.a.a. fn(x) → f(x) fyrir öll x ∈ X.

Sönnun. Létt æfing.

Dæmi 24.4 (Æfing). Látum X vera grannrúm og (Y, d) vera firðrúm. Fyrir sérhvert f ∈ Y X ,sérhvert þjappað mengi C í X og sérhvert ε > 0 setjum við

BC(f, ε) := g ∈ Y X | supx∈C

d(f(x), g(x)) < ε.

Sýnið að mengin BC(f, ε) myndi grunn fyrir grannmynstur á Y X .

Skilgreining 24.5. Þetta grannmynstur kallast grannmynstur þjappaðrar samleitni.

Setning 24.6. Látum X vera grannrúm og (Y, d) vera firðrúm. Runa (fn) í Y X stefnir á fí grannmynstri þjappaðrar samleitni þ.þ.a.a. (fn|C) stefni í jöfnum mæli á f |C fyrir sérhvertþjappað mengi C í X.

Sönnun. Augljóst.

Skilgreining 24.7. Grannrúm X er sagt vera þjapplega framleitt ef það fullnægir eftirfarandiskilyrði:

(∗) Hlutmengi A í X er opið [lokað] þ.þ.a.a. A ∩ C sé opið [lokað] í C fyrir sérhvert þjappaðmengi C í X.

Hjálparsetning 24.8. Grannrúm X er þjapplega framleitt ef það fullnægir öðru hvoru eftirfarandiskilyrða:

(i) X er staðþjappað.

(ii) Sérhver punktur í X á sér teljanlegan grenndagrunn.

48

Sönnun. (i) Látum A ⊆ X þ.a. A ∩ C sé opið fyrir sérhvert þjappað C í X. Ef x ∈ A, þá er tilopin grennd U um x í X þ.a. U sé þjappað. Þá er A ∩ U opið í U og þar með er A ∩U opiðí U og því einnig í X. Punkturinn x er þá innri punktur í A.

(ii) Látum A ⊆ X þ.a. A ∩C sé lokað í C fyrir sérhvert þjappað mengi C í X. Látum x ∈ A ogsýnum að x ∈ A. Til er runa (xn)n≥0 í A þ.a. xn → x (í X). Þar með er

C = x ∪ xn | n ∈ N

þjappað í X svo að A ∩ C er lokað í C og inniheldur þar með x.

Hjálparsetning 24.9. Látum X og Y vera grannrúm og gerum ráð fyrir að X sé þjapplega fram-leitt. Þá er vörpun f : X → Y samfelld þ.þ.a.a. f |C : C → Y er samfelld fyrir sérhvert þjappaðmengi C í X.

Sönnun. Ef f : X → Y er samfelld, þá er f |C : C → Y samfelld fyrir sérhvert þjappað hlutmengiC í X. Öfugt, gerum ráð fyrir að f : X → Y sé vörpun þ.a. f |C : C → Y sé samfelld fyrir sérhvertþjappað mengi C í X. Látum V vera opið í Y . Fyrir sérhvert þjappað mengi C í X fæst þá aðf−1(V ) ∩ C = (f |C)

−1(V ) er opið í C og þar með er f−1(V ) opið.

Athugasemd 24.10. Fyrir grannrúm X og Y táknum við mengi allra samfelldra varpana frá X tilY með C(X,Y ).

Setning 24.11. Látum X vera þjapplega framleitt grannrúm og (Y, d) vera firðrúm. Þá erC(X,Y ) lokað í Y X í grannmynstri þjappaðrar samleitni.

Sönnun. Látum f vera þéttipunkt C(X,Y ) í Y X og sýnum að f ∈ C(X,Y ). Til þess nægir að sýnaað f |C : C → Y sé samfelld fyrir sérhvert þjappað mengi C í X. Látum C vera þjappað mengi íX. Veljum fn ∈ BC(f, 1/n)∩C(X,Y ) fyrir sérhvert n ∈ N∗. Þá er auðséð að fn|C → f |C í jöfnummæli og þar með er f |C samfelld.

Fylgisetning 24.12. Látum X vera þjapplega framleitt grannrúm og (Y, d) vera firðrúm. Ef runaaf samfelldum vörpunum (fn : X → Y )n≥0 stefnir á f í grannmynstri þjappaðrar samleitni áY X , þá er f samfelld.

Sönnun. Augljóst.

Dæmi 24.13 (Æfing). Látum X vera grannrúm og (Y, d) vera firðrúm. Þá gildir:

grannmynstur venjulegrar samleitni á Y X(∗)⊆ grannmynstur þjappaðrar samleitni á Y X

(∗∗)⊆ jafnmælisgrannmynstur á Y X .

Ef X er strjált, þá er (∗) jafnaðarmerki og sé X þjappað, þá er (∗∗) jafnaðarmerki.

49

Látum X og Y vera grannrúm. Fyrir sérhvert þjappað hlutmengi C í X og sérhvert opið mengiU í Y setjum við

S(C,U) := f ∈ C(X,Y ) | f(C) ⊆ U.

Ljóst er að mengin S(C,U) þekja C(X,Y ) og mynda því hlutgrunn fyrir grannmynstur á C(X,Y ).

Skilgreining 24.14. Umrætt grannmynstur kallast þjappað-opna (eða þjopna) grannmynstrið áC(X,Y ).

Setning 24.15. Látum X vera grannrúm og (Y, d) vera firðrúm. Þá er þjappað-opna grann-mynstrið á C(X,Y ) jafnt grannmynstri þjappaðrar samleitni.

Sönnun. Fyrir sérhvert A í Y og sérhvert ε > 0 setjum við

U(A, ε) = y ∈ Y | d(y,A) < ε.

Tökum eftir: Ef A er þjappað og V er opin grennd um A, þá er til ε > 0 þ.a. U(A, ε) ⊆ V [milliþjappaðs mengis og lokaðs mengis er alltaf jákvæð fjarlægð, þ.e. ef A er þjappað og B er lokað erd(A,B) > 0].

• Látum S(C,U) vera eitt af hlutgrunnsstökum þjappaðs-opna grannmynstursins og f ∈S(C,U). Þá er f(C) þjappað hlutmengi í U svo til er ε > 0 þ.a. U(f(C), ε) ⊆ U . Fyrirsérhvert g ∈ BC(f, ε) gildir ljóslega að g(x) ∈ U(f(C), ε) fyrir öll x ∈ C svo að g(C) ⊆ U ogþar með BC(f, ε) ⊆ S(C,U). Af þessu sést að grannmynstur þjappaðrar samleitni er fínnaen þjappað-opna grannmynstrið.

• Öfugt, látum f ∈ C(X,Y ), C vera þjappað í X og ε > 0. Sérhver punktur x ∈ X á sér opnagrennd Vx þ.a.

f(Vx) ⊆ B(f(x), ε/3).

Þar sem C er þjappað eru til x1, . . . , xn ∈ C þ.a. C ⊆ Vx1 ∪ · · · ∪ Vxn . Setjum Cj := Vxj∩C

fyrir j = 1, . . . , n. Þá eru Cj-in þjöppuð og fljótséð er að

f ∈ S(C1, B(f(x1), ε/3)) ∩ · · · ∩ S(Cn, B(f(xn), ε/3)) ⊆ BC(f, ε).

Þar með er sýnt að þjappað-opna grannmynstrið er fínna en grannmynstur þjappaðrar sam-leitni.

Athugasemd 24.16. Látum X vera grannrúm og Y vera firðanlegt rúm. Þá segir síðasta setning aðgrannmynstur þjappaðrar samleitni á C(X,Y ) er óháð valinu á firð sem skilgreinir grannmynstriðá Y . Sér í lagi gildir þetta þegar X er þjappað, þ.e. jafnmælisgrannmynstrið er óháð valinu á firðsem skilgreinir grannmynstrið á Y .

Setning 24.17. Látum X vera staðþjappað Hausdorff-rúm og Y vera grannrúm. Þá er vörpunin

e : X × C(X,Y ) → Y ; e(x, f) := f(x)

samfelld þegar C(X,Y ) er með þjappað-opna grannmynstrið.

50

Skilgreining 24.18. Vörpunin e kallast gildistökuvörpunin.

Sönnun. Látum (x, f) ∈ X × C(X,Y ) og V vera opna grennd um f(x) = e(x, f) í Y . Þarsem f er samfelld og X er staðþjappað Hausdorff, þá er til opin grennd U um x í X þ.a. U séþjappað og f(U) ⊆ V . Þá er U × S(U , V ) opin grennd um (x, f) í X × C(X,Y ) og fyrir sérhvert(x′, f ′) ∈ U × S(U , V ) gildir augljóslega að e(x′, f ′) = f ′(x′) ∈ V . Þar með er sýnt að e ersamfelld.

Sérhver vörpun f : X × Z → Y gefur af sér vörpun F : Z → Y X sem skilgreind er með(F (z))(x) := f(x, z), m.ö.o. F (z) = f(·, z). Öfugt, sérhver vörpun F : Z → Y X gefur af sérvörpun f : X × Z → Y sem skilgreind er með f(x, z) := (F (z))(x). Þessar varpanir eru sagðartilheyra hvor annarri. Takið eftir að ef f : X × Z → Y er samfelld tekur F gildi sín í C(X,Y ) ogþá lítum við ávallt á F sem vörpun frá Z inn í C(X,Y ).

Setning 24.19. Látum X, Y og Z vera grannrúm og setjum þjappað-opna grannmynstrið áC(X,Y ).

(i) Ef f : X × Z → Y er samfelld, þá er tilheyrandi vörpun F : Z → C(X,Y ) líka samfelld.

(ii) G.r.f. að X sé staðþjappað Hausdorff. Ef F : Z → C(X,Y ) er samfelld, þá er tilheyrandivörpun f : X × Z → Y líka samfelld.

Sönnun. (i) G.r.f. að f : X ×Z → Y sé samfelld og látum z0 ∈ Z. Til að sýna að F sé samfelldí z0 nægir að sýna að fyrir sérhvert hlutmengi af gerðinni S(C,U) í C(X,Y ) sem inniheldurF (z0) sé til opin grennd W um z0 í Z þ.a. F (W ) ⊆ S(C,U). Nú þýðir F (z0) ∈ S(C,U) að(F (z0))(C) ⊆ U en það jafngildir því að f(x, z0) ∈ U fyrir öll x ∈ C, m.ö.o. f(C×z0) ⊆ U .Þar sem f er samfelld er f−1(U) opin grennd um C × z0 í C × Z. Skv. hólkasetningunnier þá til opin grennd W um z0 í Z þ.a. C ×W ⊆ f−1(U) vegna þess að C er þjappað. Þaðþýðir að (F (z))(x) = f(x, z) ∈ U fyrir öll x ∈ C og öll z ∈ W , en það jafngildir því aðF (W ) ⊆ S(C,U).

(ii) Við getum skrifað f sem samskeytingu tveggja samfelldra varpana á eftirfarandi hátt:

X × ZidX×F

//

f

&&X × C(X,Y )

e // Y

51

2. hluti: Algebruleg grannfræði

25 Ýmis verkefni úr grannfræði

Ritháttur: fyrir x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn setjum við

||x|| :=√

x21 + · · ·+ x2n,

Bn := x ∈ Rn | ||x|| ≤ 1

Sn := x ∈ Rn | ||x|| = 1.og

Skilgreining 25.1. Látum X vera grannrúm og A ⊆ X. Samfelld vörpun r : X → A þ.a. r(a) = afyrir öll a ∈ A kallast inndráttur og ef slík vörpun er til er sagt að A sé inndragi (af X).

Skilgreining 25.2. Látum S vera hlutvíðáttu í Rn og fyrir öll x ∈ S látum við TxS vera snerti-sléttu S í x. Vigursvið er samfelld vörpun F : S → Rn þ.a. F (x) ∈ TxS fyrir öll x ∈ S.

(1) Er til samfelld vörpun f : Bn → Bn sem hefur engan kyrrapunkt? (n = 0 og n = 1 eruauðveld tilfelli.)

(2) Er til samfelld vörpun f : Bn → Sn−1 þ.a. f(x) = x fyrir öll x ∈ Sn−1? (Tilfellið n = 1 ereinfalt.)

(3) Er til samfellt vigursvið á Sn sem verður hvergi núll? M.ö.o.: Er til samfelld vörpun f : Sn →Rn+1 þ.a. f(x) · x = 0 fyrir öll x ∈ Sn? (Svarið er greinilega já ef n = 1.)

(4) Er fyrir öll ε > 0 til samfelld vörpun γ : Sn → Sn sem hefur engan kyrrapunkt og fullnægirskilyrðinu ||γ(x)− x|| < ε fyrir öll x ∈ Sn?

(5) Getur Rn verið grannmóta Rm ef n 6= m? (n = 1 og m ≥ 2 er einfalt.)

(6) Er S2 grannmóta hringfeldinu S1 × S1?

(7) Er hringfeldið S1 × S1 (þ.e. kleinuhringur) grannmóta kleinuhring með tveimur götum?

26 Samtoganir

Skilgreining 26.1. Samfelldar varpanir f, g : X → Y eru sagðar samtoga, táknað f ≃ g, ef tiler samfelld vörpun F : X × I → Y (I = [0, 1]) þ.a. F (x, 0) = f(x) og F (x, 1) = g(x) fyrir öllx ∈ X. Vörpunin F kallast samtogun frá f til g.

Almennar: Látum A ⊆ X. Segjum að F sé samtogun frá f til g m.t.t. A (og þá að f sé samtogag m.t.t. A) ef F : X × I → Y er samtogun frá f til g og F (a, t) = f(a) fyrir öll t ∈ I ef a ∈ A.Táknum þetta með f ≃ g (m.t.t. A).

52

Setning 26.2. f ≃ g (m.t.t. A) eru jafngildisvensl á Y X .

Sönnun. • Sjálfhverfa: f ≃ f (m.t.t. A) vegna þess að F : X × [0, 1] → Y ; F (x, t) = f(x) ersamtogun frá f til f m.t.t. A.

• Samhverfa: Ef H : X × [0, 1] → Y er samtogun frá f til g m.t.t. A, þá er G : X × [0, 1] → Y ;G(x, t) := H(x, 1 − t) samtogun frá g til f m.t.t. A.

• Gegnvirkni: Ef F : f ≃ g (m.t.t. A) og G : g ≃ h (m.t.t. A), þá fæst H : f ≃ h (m.t.t. A)með því að setja

H(x, t) :=

F (x, 2t) ef 0 ≤ t ≤ 1/2,

G(x, 2t − 1) ef 1/2 ≤ t ≤ 1.

Dæmi 26.3. (1) Til er inndráttur f : Bn → Sn−1 þ.þ.a.a. id : Sn−1 → Sn−1 sé samtoga fastrivörpun.

Sönnun. Ef f : Bn → Sn−1 er inndráttur, þá setjum við H : Sn−1 × [0, 1] → Sn−1; (x, t) 7→f(tx). Þá er H(x, 1) = f(x) = x fyrir öll x ∈ Sn−1 og H(x, 0) = f(0), þ.e. H : f(0) ≃ idSn−1 .Öfugt, ef H : Sn−1 × [0, 1] → Sn−1 er samfelld með H(x, 0) = c og H(x, 1) = x fyrir öllx ∈ Sn−1, þá skilgreinum við inndrátt f : Bn → Sn−1 með

f(x) :=

H(

x||x|| , ||x||

)ef x 6= 0,

c ef x = 0.

Fljótséð er að f er samfelld (æfing).

(2) Köllum an : Sn → Sn; x 7→ −x andfætisvörpunina. Ef til er samfellt vigursvið á Sn sem erhvergi 0, þá er an ≃ idSn .

Sönnun. Gerum ráð fyrir að f : Sn → Rn+1 sé samfelld og uppfylli f(x) 6= 0 og f(x) · x = 0fyrir öll x ∈ Sn. Setjum H(x, t) := a(t) ·x+b(t, x) ·f(x). Til þess að H sé vörpun frá Sn× [0, 1]yfir í Sn, þá þarf að gilda að ||H(x, t)|| = 1, þ.e. (því f(x) og x eru hornréttir):

1 = ||a(t) · b+ b(t, x) · f(x)||2 = a(t)2||x||2 + b(t, x)2||f ||2 = a(t)2 + b(t, x)2||f(x)||2.

Tökum a(t) = 1− 2t og þá b(t, x) = 2√t−t2

||f(x)|| .

Setning 26.4. Látum f1, f2 : X → Y og g1, g2 : Y → Z vera samfelldar og A ⊆ X. Ef f1 ≃ f2(m.t.t. A) og g1 ≃ g2 (m.t.t. f1(A) = f2(A)), þá er g1 f1 ≃ g2 f2 (m.t.t. A).

Sönnun. Látum F : f1 ≃ f2 (m.t.t. A) og G : g1 ≃ g2 (m.t.t. A). Skilgreinum H : X × [0, 1] → Zmeð H(x, t) := G(F (x, t), t). Þá er H : g1 f1 ≃ g2 f2 (m.t.t. A).

53

27 Ríkjafræði

Skilgreining 27.1. Ríki C samanstendur af

(i) Safni, Ob C, af hlutum.

(ii) Fyrir sérhverja raðspyrðu (X,Y ) af hlutum úr Ob C er gefið mengið Hom(X,Y ) (eðaHomC(X,Y )). Stökin í Hom(X,Y ) nefnast mótanir frá X til Y .

(iii) Fyrir sérhverja raðaða þrennd (X,Y,Z) af hlutum úr Ob C er gefin vörpun Hom(X,Y )×Hom(Y,Z) → Hom(X,Z); (f, g) 7→ g f sem við köllum samskeytingu.

Jafnframt er þess krafist að eftirfarandi gildi:

• Tengiregla: Ef f : X → Y , g : Y → Z og h : Z →W , þá er h (g f) = (h g) f .

• Tilvist hlutleysu: Fyrir sérhvert Y ∈ Ob C er til mótun 1Y ∈ Hom(Y, Y ) þ.a. fyrir öllf ∈ Hom(X,Y ) og öll g ∈ Hom(Y,Z) gildi að 1Y f = f og g 1Y = g.

Við segjum að f ∈ Hom(X,Y ) sé einsmótun ef til er g ∈ Hom(Y,X) þ.a. g f = 1X ogf g = 1Y .

Athugasemd 27.2. (i) Skrifum oft f : X → Y eða Xf−→ Y í stað f ∈ Hom(X,Y ).

(ii) Skrifum oft idY í stað 1Y . Tökum eftir að 1Y er ótvírætt ákvarðað.

Dæmi 27.3. (1) Mengjaríkið Men:

• Ob Men er safn allra mengja.

• HomMen(X,Y ) = Y X .

(2) Grúpuríkið Grp:

• Ob Grp er safn allra grúpa.

• HomGrp(X,Y ) er mengi allra grúpumótana X → Y .

(3) Mótlaríkið MótR, þar sem R er baugur.

• Ob MótR er safn allra (vinstri) R-mótla.

• HomMótR(X,Y ) er mengi allra R-línulegra varpana (R-mótlamótana) X → Y .

(4) Grannrúmaríkið Top:

• Ob Top er safn allra grannrúma.

• HomTop(X,Y ) = C(X,Y ).

(5) Látum X og Y vera grannrúm og f : X → Y vera samfellda vörpun. Látum [f ] vera samtog-unarflokk f , þ.e. jafngildisflokk f m.t.t. venslanna ≃. Þá getum við skilgreint [g] [f ] := [g f ](óháð vali á fulltrúum).

Samtogunarríkið Hot:

• Ob Hot er safn allra grannrúma.

• HomHot(X,Y ) er mengi allra samtogunarflokka samfelldra varpana X → Y .

54

Skilgreining 27.4. Látum C og C′ vera tvö ríki.

(1) Varpi (e. functor) F : C → C′ er vörpun sem úthlutar séhverjum hlut X ∈ Ob Cákveðnum hlut F (X) ∈ Ob C′ og sérhverri mótun f ∈ HomC(X,Y ) ákveðinni mótunF (f) ∈ HomC′(F (X), F (Y )) þ.a. eftirfarandi skilyrði séu uppfyllt:

(i) Ef f : X → Y og g : Y → Z eru mótanir í C, þá er F (g f) = F (g) F (f).

(ii) Fyrir öll X ∈ Ob C er F (1X ) = 1F (X).

(2) Hjávarpi (e. cofunctor) f : C → C′ er vörpun sem úthlutar sérhverjum hlut X ∈ Ob Cákveðnum hlut F (X) ∈ Ob C′ og sérhverri mótun f ∈ HomC(X,Y ) ákveðinni mótunF (f) ∈ HomC′(F (Y ), F (X)) þ.a. eftirfarandi skilyrði séu uppfyllt:

(i) Ef f : X → Y og g : Y → Z eru mótanir í C, þá er F (g f) = F (f) F (g).

(ii) Fyrir öll X ∈ Ob C er F (1X ) = 1F (X).

Dæmi 27.5. (1) Látum R vera víxlbaug. Fyrir R-mótul M setjum við M∗ := HomR(M,R)(svokallaður nykurmótull M). Setjum D : MótR → MótR; D(M) := M∗ og fyrir f : M → Nsetjum við D(f) : N∗ →M∗; D(f) := f∗. Þá er D hjávarpi.

(2) Fyrir grannrúm X setjum við F (X) := X og fyrir f : X → Y setjum við F (f) := [f ]. Þá erF : Top → Hot varpi.

(3) Gleymskuvarpar:

(i) MótR → MótZ.

(ii) MótZ → Grp

(iii) Grp → Men.

28 Vegsamtoganir

Skrifum I := [0, 1]. Vegur í grannrúmi X er samfelld vörpun I → X.

Skilgreining 28.1. (i) Látum X vera grannrúm og α, β : I → X vera vegi. Við segjum að αog β séu vegsamtoga ef α ≃ β (m.t.t. 0, 1). Skrifum þá α ≃p β.

(ii) Látum α, β : I → X vera vegi þ.a. α(1) = β(0) og skilgreinum α ∗ β : I → X með

α ∗ β(t) :=

α(2t) ef 0 ≤ t ≤ 1/2,

β(2t− 1) ef 1/2 ≤ t ≤ 1.

Við köllum þennan nýja veg samsetningu α og β.

Setning 28.2. Ef α1 ≃p α2 og β1 ≃p β2 og α1(1) = β1(0) (og þar með einnig α2(1) = β2(0)), þágildir að α1 ∗ β1 ≃p α2 ∗ β2.

55

Sönnun. Fyrir H1 : α1 ≃p α2 og H2 : β1 ≃p β2 setjum við

H(t, s) :=

H1(2t, s) ef 0 ≤ t ≤ 1/2,

H2(2t− 1, s) ef 1/2 ≤ t ≤ 1.

Þá er H : α1 ∗ β1 ≃p α2 ∗ β2.

Athugasemd 28.3. Látum [α] tákna jafngildisflokk α m.t.t. jafngildisvenslanna ≃p.

Skilgreining 28.4 (Byggir á setningunni hér að ofan). Ef α(1) = β(0), þá setjum við [α] ∗ [β] :=[α ∗ β].

Setning 28.5. Fyrir sérhvert grannrúm X getum við skilgreint ríki Π(X) þ.a. hlutirnir í Π(X)séu punktarnir í X og mótanir frá x til y séu jafngildisflokkarnir [α] þar sem α er vegur frá xtil y. Um mótanir þessa ríkis gildir að þær eru allar einsmótanir.

Athugasemd 28.6. (i) Skrifum Π(x, y) í stað HomΠ(X)(x, y).

(ii) Um Π(X) gildir að Ob Π(X) = X er mengi og allar mótanirnar eru einsmótanir. Slík ríkikallast grýpi (e. groupoid) og sér í lagi köllum við Π(X) undirstöðugrýpi X.

Sönnun. Sýnum fyrst að Π(X) sé ríki.

• Tengiregla: Látum α, β og γ vera vegi í X þ.a. α(1) = β(0) og β(1) = γ(0). Viljum sýna að(α ∗ β) ∗ γ ≃p α ∗ (β ∗ γ). Nú gildir að

(α ∗ β) ∗ γ =

α(4t) ef 0 ≤ t ≤ 1/4,

β(4t− 1) ef 1/4 ≤ t ≤ 1/2,

γ(2t− 1) ef 1/2 ≤ t ≤ 1,

og

α ∗ (β ∗ γ) =

α(2t) ef 0 ≤ t ≤ 1/2,

β(4t− 2) ef 1/2 ≤ t ≤ 3/4,

γ(4t− 3) ef 3/4 ≤ t ≤ 1.

(Æfing: Finnið H : (α ∗ β) ∗ γ ≃p α ∗ (β ∗ γ) með hjálp myndar.)

Fullyrðing: Ef α : I → X er vegur í X, h : I → I er samfellt fall þ.a. h(0) = 0 og h(1) = 1og β = α h : I → X, þá er α ≃p β.

Sönnun. Vörpunin H : I × I → X; H(t, s) := α(sh(t) + (1− s)t) er vegsamtogun frá α til β.

• Tilvist hlutleysu: Fyrir x ∈ X setjum við ex : I → X; t 7→ x (fastavegur). Látum α : I → Xvera veg þ.a. α(0) = x og α(1) = y. Þá er

ex ∗ α ≃p α og α ∗ ey ≃p α

skv. fullyrðingunni hér að ofan. Þar með er [ex] hlutleysan í Π(x, x).

56

Sýnt er að Π(X) sé ríki. Sýnum nú að allar mótanirnar séu einsmótanir: Ef α er vegur frá x til yí X, þá er α : I → X; t 7→ α(1− t) vegur frá y til x í X og

H : I × I → X; H(t, s) :=

α(2st) ef 0 ≤ t ≤ 1/2,

α(2s(1 − t)) ef 1/2 ≤ t ≤ 1.

er vegsamtogun frá ex til α ∗ α. En það þýðir að [α] ∗ [α] = [ex] og þar með er [α] einsmótun.

Athugasemd 28.7. Fyrir sérhvert x ∈ X er Π(x, x) grúpa m.t.t. aðgerðarinnar ∗.

Skilgreining 28.8. Látum X vera grannrúm og x0 ∈ X. Setjum π1(X,x0) := Π(x0, x0) og köllumundirstöðugrúpu (eða Poincaré-grúpa) X í punktinum x0 (eða með grunnpunkt x0).

Athugasemd 28.9. π1(X,x0) er grúpa jafngildisflokka vega sem byrja og enda í x0.

Setning 28.10. Látum α vera veg frá x0 til x1 í grannrúmi X. Vörpunin

α : π1(X,x0) → π1(X,x1); α([β]) := [α ∗ β ∗ α] = [α] ∗ [β] ∗ [α]

er grúpueinsmótun. Ef α1 er annar vegur frá x0 til x1, þá eru einsmótanirnar α og α1 samoka.

Sönnun. Fáum að

α([β] ∗ [β′]) = [α] ∗ [β] ∗ [β′] ∗ [α]

= [α] ∗ [β] ∗ [α] ∗ [α] ∗ [β′] ∗ [α]

= α([β]) ∗ α([β′]).

Þar með er sýnt að α er grúpumótun. En ljóst er að ˆα er andhverfa α svo að α er einsmótun.Fáum loks:

α1([β]) = [α1] ∗ [β] ∗ [α1]

= [α1] ∗ [α] ∗ [α] ∗ [β] ∗ [α] ∗ [α] ∗ [α1]

= [α1 ∗ α] ∗ [α] ∗ [β] ∗ [α] ∗ [α ∗ α1]

= [α1 ∗ α] ∗ α([β]) ∗ [α1 ∗ α]−1

Athugasemd 28.11. Setningin sýnir að munurinn á α og α1 er innri mótun: α1 = ι[α1∗α] α.

Fylgisetning 28.12. Ef x0 og x1 eru í sama vegsamhengisþætti, þá eru π1(X,x0) og π1(X,x1)einsmóta.

Sönnun. Augljóst.

Skilgreining 28.13. Grannrúm X er sagt einfaldlega samanhangandi ef það er vegsamanhangandiog π1(X,x0) er einstökungur (bara hlutleysa) fyrir eitthvert (og þar með öll) x0 ∈ X. Skrifumoft π1(X,x0) = 0.

57

Setning 28.14. Í einfaldlega samanhangandi grannrúmi X eru sérhverjir vegir í X sem hafa samaupphafspunkt og endapunkt vegsamtoga.

Sönnun. Látum α, β : I → X með α(0) = β(0) = x0 og α(1) = β(1) = x1. Þá er [α ∗ β] = [ex1 ] ogþar með

[β] = [ex0 ∗ β] = [(α ∗ α) ∗ β] = [α ∗ (α ∗ β)] = [α ∗ ex1 ] = [α].

29 Undirstöðugrúpan og samfelldar varpanir

Látum f : X → Y vera samfellda vörpun. Ef α er vegur frá x til y í X, þá er f α vegur frá f(x)til f(y) í Y . Jafnframt gildir:

(i) Ef [α] = [β], þá er [f α] = [f β].

(ii) Ef α(1) = β(0), þá er f (α ∗ β) = (f α) ∗ (f β).

Af þessu sést að f getur af sér vörpun

f∗ : Π(X) → Π(Y ); f∗([α] ∗ [β]) = f∗([α]) ∗ f∗([β]) ef α(1) = β(0).

Setning 29.1. Látum f : X → Y vera samfellda vörpun.

(i) f skilgreinir grúpumótun f∗ : π1(X,x0) → π1(Y, f(x0)).

(ii) Ef f = idX , þá er f∗ = idπ1(X,x0).

(iii) Ef g : Y → Z er samfelld vörpun, þá er (g f)∗ = g∗ f∗.

Sönnun. Augljóst.

Fylgisetning 29.2. Ef f : X → Y er grannmótun, þá er f∗ : π1(X,x0) → π1(Y, f(x0)) grúpueins-mótun fyrir hvaða x0 ∈ X sem er. Ennfremur gildir að (f∗)−1 = (f−1)∗.

Sönnun. Augljóst.

Athugasemd 29.3. Ofangreint er unnt að setja fram á máli ríkjafræðinnar með eftirfarandi hætti:

(1) Π : Top → Grýpi, sem tekur X í Π(X) og f í Π(f) er varpi.

(2) Látum Top∗ vera ríki allra tvennda (X,x) þar sem X er grannrúm og x ∈ X og mótunf : (X,x) → (Y, y) er samfelld vörpun X → Y þ.a. f(x) = y [stundum kallað ríki punktaðrarúma]. Fáum þá varpa π1 : Top∗ → Grp; (X,x) 7→ π1(X,x) og

((X,x)

f−→ (Y, y)

)7→

(π1(X,x)

f∗−→ π1(Y, y)

).

58

Setning 29.4. Ef f, g : (X,x0) → (Y, y0) eru samfelldar varpanir (mótanir í Top∗) og f ≃ g(m.t.t. x0), þá er f∗ = g∗ : π1(X,x0) → π1(Y, y0).

Sönnun. Höfum f∗([α]) = [f α] = [g α] = g∗([α]).

Athugasemd 29.5. Skilgreinum ríkið Hot∗ þar sem hlutirnir eru punktuð rúm (X,x) og mótun(X,x) → (Y, y) er samtogunarflokkur af samfelldum vörpunum (X,x) → (Y, y) m.t.t. venslanna≃ (m.t.t. x). Skv. síðustu setningu fæst þá varpi π1 : Hot∗ → Grp. Fáum víxlið örvarit

Top∗π1 //

sjálfgefna vörpunin

Grp

Hot∗

π1

==

Skilgreining 29.6. Grannrúm X er sagt vera samdraganlegt ef idX er samtoga fastri vörpunX → X.

Setning 29.7. Ef X er samdraganlegt, þá er π1(X,x0) = 0 fyrir öll x0 ∈ X.

Sönnun. Ljóst.

Dæmi 29.8. π1(Rn, 0) = 0 og almennt er π1(X,x) = 0 ef X er ∗-laga hlutmengi í Rn.

Upprifjun: Látum X vera grannrúm og Y vera hlutrúm í X og i : Y → X vera ívarpið. Segjum aðY sé inndragi (af) X ef til er samfelld vörpun r : X → Y þ.a. r i = idY . Þá kallast r inndráttur.

Setning 29.9. Ef Y er inndragi X og x0 ∈ Y og i : Y → X er ívarpið, þá er i∗ : π1(Y, x0) →π1(X,x0) eintæk.

Sönnun. Látum r : X → Y vera inndrátt. Þá er r i = idY og því

π1(Y, x0)i∗ //

id

''π1(X,x0)

r∗ // π1(Y, x0),

svo að i∗ er eintæk (og r∗ er átæk).

Skilgreining 29.10. Látum Y vera hlutrúm í grannrúmi X og i : Y → X vera ívarpið. Segjumað vörpun r : X → Y sé inndráttur með samtogun ef i r ≃ idX (m.t.t. Y ). Segjum þá að Ysé inndragi með samtogun af X.

59

Athugasemd 29.11. (1) Inndráttur með samtogun er inndráttur.

(2) r : X → Y er inndráttur með samtogun ef til er samtogun H : X × I → X þ.a.

(i) H(x, 0) = x fyrir öll x ∈ X.

(ii) H(x, 1) = r(x) fyrir öll x ∈ X.

(iii) H(y, t) = y fyrir öll y ∈ Y og t ∈ I.

Dæmi 29.12. (1) Sn er inndragi með samtogun af Rn+1 \ 0: Skilgreinum

H : (Rn+1 \ 0) × I → Rn+1 \ 0; H(x, t) := tx+ (1− t)x

||x||.

(2) 0 → Rn er inndragi með samtogun: Setjum H(x, t) := t · x.

Setning 29.13. Látum X og Y vera grannrúm og pX : X × Y → X, pY : X × Y → Y veraofanvörpin. Ef (x0, y0) ∈ X × Y , þá er

((pX)∗, (pY )∗

): π1

(X × Y, (x0, y0)

)→ π1(X,x0)× π1(Y, y0)

einsmótun.

Sönnun. Ef [α] ∈ π1(X,x0) og [b] ∈ π1(Y, y0), þá er α × β vegur í X × Y sem byrjar og endar í(x0, y0) og

((pX)∗, (pY )∗

)([α× β]) = ([α], [β]).

Þar með er sýnt að((pX)∗, (pY )∗

)er átæk. Sýnum að

((pX)∗, (pY )∗

)sé eintæk. Ef α er vegur í

X × Y með (x0, y0) sem upphafs- og endapunkt og HX : pX α ≃p ex0 , HY : pY α ≃p ey0 , þá erHX ×HY : α = (pX α)× (pY α) ≃p e(x0,y0).

Fylgisetning 29.14. Ef Y er einfaldlega samanhangandi, þá getur ofanvarpið pX : X × Y → Xaf sér grúpueinsmótun

(pX)∗ : π1(X × Y, (x0, y0)

)→ π1(X,x0)

fyrir öll (x0, y0) ∈ X × Y .

Sönnun. Augljóst.

Fylgisetning 29.15. Ef X og Y eru einfaldlega samanhangandi, þá er X × Y það líka.

Sönnun. Ljóst.

Setning 29.16. EfX er grannrúm og i : Y → X er inndragi með samtogun, þá er i∗ : π1(Y, x0) →π1(X,x0) einsmótun fyrir sérhvert x0 ∈ Y .

60

Sönnun. Vitum að i∗ er eintæk. Nú er

(idX)∗ = (i r)∗ = i∗ r∗

svo að i∗ er líka átæk.

Dæmi 29.17. (1) Setjum X := S1 × S1 og látum y0 ∈ S1. Setjum Y := S1 × y0. Þá er Yinndragi af X vegna þess að

S1 × S1 → S1 × y0; (x, y) 7→ (x, y0)

er samfelld. Hér er hins vegar ekki um inndrátt með samtogun að ræða því π1(S1, y0) 6= 0[sjáum það síðar].

(2) π1(Sn, x) er einsmóta π1(Rn+1 \ 0, x) fyrir öll x ∈ Sn.

(3) Ef 0 ≤ n < m, þá er Rm \Rn grannmóta Rn× (Rm−n \0) svo að π1(Rm \Rn, x) er einsmótaπ1(S

m−n−1, x) fyrir öll x ∈ 0 × Sm−n−1.

(4) π1(C2 \ C, x) er einsmóta π1(S1, x).

30 Þekjurúm

Skilgreining 30.1. Látum B vera grannrúm. Þekjurúm yfir B er grannrúm E ásamt átækrisamfelldri vörpun („ofanvarpi“) π : E → B (sem kallast þekjuvörpun) sem uppfyllir eftirfarandiskilyrði:

(∗) Fyrir sérhvert b ∈ B er til opin grennd U um b í B þ.a. π−1(U) =⋃

α∈J Vα með Vα∩Vβ = ∅ef α 6= β og π|Vα : Vα → U er grannmótun fyrir sérhvert α ∈ J .

Athugasemd 30.2. (i) Skilyrðið (∗) má einnig orða svona: Fyrir sérhvert b ∈ B er til opin grenndU um b í B, strjált rúm F og grannmótun Φ : π−1(U) → U × F þ.a. örvaritið

π−1(U)Φ //

π|π−1(U)

!!DDDDD

DDDD

DDDD

DDDD

U × F

pU

U

sé víxlið.

(ii) Segjum að þekjuvörpun π : E → B sé lausblaða (e. trivial) ef við höfum víxlið örvarit

Egrannmótun

//

π

???

????

????

????

? B × F

pB

zzzzz

zzzzz

zzzzz

zz

B

þar sem F er strjált.

Samfelld vörpun π : E → B er því þekjuvörpun þ.þ.a.a. sérhvert b ∈ B eigi sér opna grenndU þ.a. vörpunin π−1(U) → U ; y 7→ π(y) sé lausblaða þekjuvörpun.

61

Dæmi 30.3 (Æfing). Ef π : E → B er þekjuvörpun og A ⊆ B, þá er π−1(A) → A; y 7→ π(y)þekjuvörpun.

Dæmi 30.4. (1) Veldisvísisfallið exp : C → C∗ er þekjuvörpun.

(2) R → S1; t 7→ eit er þekjuvörpun (skv. æfingunni hér að ofan). (Hér er S1 = z ∈ C | |z| = 1.)

(3) Fyrir sérhverja heiltölu n > 0 er C∗ → C∗; z 7→ zn þekjuvörpun.

(4) Sn 7→ Pn(R); x 7→ [x] ([x] er línan gegnum 0 og x) er þekjuvörpun. (Hér er Pn(R) mengi línagegnum núllpunktinn í Rn+1 og ∼ eru jafngildisvenslin á Rn+1 \ 0 sem skilgreind eru meðx ∼ y þ.þ.a.a. x og y liggi á sömu línu gegnum núllpunktinn. Setjum deildagrannmynstriðsem ∼ skilgreinir á Pn(R). Þá er Sn → Pn(R) grannmótun því Sn er þjappað og Pn(R) erHausdorff.)

Æfing. Látum π : E → B vera þekjuvörpun. Ef B er samanhangandi, þá hefur π−1(b) sömufjöldatölu fyrir öll b ∈ B. Þessi tala kallast blaðafjöldi π.

(5) Ef π1 : E1 → B1 og π2 : E2 → B2 eru þekjuvarpanir, þá er π1 × π2 : E1 × E2 → B1 ×B2 líkaþekjuvörpun.

Skilgreining 30.5. Látum π : E → B vera þekjuvörpun og f : X → B vera samfellda vörpun.Lyfting á f (m.t.t. π) er samfelld vörpun f : X → E þ.a. π f = f .

E

π

X

f

??~~~~~~~~~~~~~~~~ f// B

Athugasemd 30.6. Þegar þekjuvörpunin sem um ræðir er exp : C → C∗, þá kallast f (samfelldur)

logri af f (þ.e. ef = f).

Setning 30.7. Látum π : E → B vera þekjuvörpun, f : X → B vera samfellda vörpun og f1, f2vera lyftingar á f m.t.t. π. Ef X er samanhangandi og til er x0 ∈ X þ.a. f1(x0) = f2(x0), þáer f1 = f2.

Sönnun. Setjum X1 := x ∈ X | f1(x) = f2(x) og sýnum að X1 sé bæði opið og lokað í X. Af þvíleiðir að X1 = X (og þar með f1 = f2) vegna þess að X er samanhangandi og x0 ∈ X1. Látumx ∈ X og veljum opna grennd U um f(x) í B þ.a. til sé grannmótun Φ : π−1(U) → U × F þarsem F er strjált grannrúm og örvaritið

π−1(U)Φ //

π|π−1(U)

!!DDDD

DDDDD

DDDD

DDDD

U × F

pU

U

62

sé víxlið. Þá eru til α, β ∈ F þ.a. Φ(f1(x)) = (f(x), α) og Φ(f2(x)) = (f(x), β). Þá er til opingrennd V um x í X þ.a. (Φ f1)(V ) ⊆ U ×α og (Φ f2)(V ) ⊆ U ×β. Ef x /∈ X1, þá er α 6= βog því f1(V ) ∩ f2(V ) = ∅ og þar með V ⊆ X \X1. Ef x ∈ X1, þá er α = β og því f1(y) = f2(y)fyrir öll y ∈ V og þar með V ⊆ X1. Við höfum því sýnt að bæði X1 og X \X1 eru opin, en þaðþýðir að X1 er bæði opið og lokað.

Setning 30.8 (Samtogunarlyftingarsetningin). Látum π : E → B vera þekjuvörpun, H : Y × I →B vera samfellda vörpun (samtogun) með H(y, 0) = f(y) fyrir öll y ∈ Y . Ef f : Y → E erlyfting á f : Y → B m.t.t. π, þá er til nákvæmlega ein lyfting H : Y × I → E á H m.t.t. πþ.a. H(y, 0) = f(y) fyrir öll y ∈ Y .

Sönnun. Fyrir sérhvert y ∈ Y þekjum viðH(y×I) með opnum mengjum (Uj)j∈J þ.a. π−1(Uj) →Uj ; x 7→ π(x) sé lausblaða fyrir sérhvert j ∈ J . Mengin (H−1(Uj))j∈J mynda opna þakningu áy × I svo til er skipting 0 = t0 < t1 < · · · < tm = 1 þ.a. fyrir sérhvert k ∈ 1, . . . ,m séy × [tk−1, tk] innihaldið í H−1(Uj(k)) fyrir eitthvert j(k) ∈ J . Þar eð [tk−1, tk] er þjappað er tilopin grennd Vy um y í Y þ.a. Vy × [tk−1, tk] ⊆ H−1(Uj(k)) fyrir k ∈ 1, . . . ,m. Setjum U := Uj(1)

og veljum grannmótun Φ : π−1(U) → U × F þar sem F er strjált þ.a. örvaritið

π−1(U)Φ //

π|π−1(U)

!!DDDD

DDDDD

DDDD

DDDD

U × F

pU

U

verði víxlið. Nú er H(Vy × [t0, t1]) ⊆ U svo að f(Vy) ⊆ U og þar með er Φ(f(x)) = (f(x), j0) fyrireitthvert j0 ∈ J og öll x ∈ Vy [með því hugsanlega að minnka grenndina Vy]. Skilgreinum lyftinguH1 á H|Vy×[t0,t1] með H1(x, t) = Φ−1(H(x, t), j0). Þá er H1(x, 0) = f(x) fyrir öll x ∈ Vy. Lítum

nú á x 7→ H(x, t1) í stað f og x 7→ H1(x, t1) í stað f og fáum lyftingu á H|Vy×[t1,t2] m.t.t. π. Meðþessum hætti fæst eftirfarandi niðurstaða: Fyrir sérhvert y ∈ Y er til opin grennd Vy og lyftingHy : Vy × I → E á H|Vy×I m.t.t. π þ.a. Hy(x, 0) = f(x) fyrir öll x ∈ Vy. Látum y1 og y2 veraólíka punkta úr Y og z ∈ Vy1 ∩ Vy2 . Þá er t 7→ H(z, t) þ.a. Hy1(z, 0) = Hy2(z, 0) = f(z) svoskv. síðustu setningu er Hy1(z, t) = Hy2(z, t) fyrir öll t ∈ I. Þetta þýðir að einskorðanir Hy1 ogHy2 við (Vy1 ∩ Vy2)× I = (Vy1 × I) ∩ (Vy2 × I) eru eins og þar sem (Vy × I)y∈Y er opin þakning áY × I límast varpanirnar Hy saman í lyftingu H : Y × I → E þ.a. H(y, 0) = f(y) fyrir öll y ∈ Y .

Ef H1 : Y × I → E er önnur slík lyfting, þá eru t 7→ H(y, t) og t 7→ H1(y, t) lyftingar á ferlinumt 7→ H(y, t) fyrir sérhvert y ∈ Y og þar með er H(y, t) = H1(y, t) fyrir öll t ∈ I skv. síðustusetningu.

Fylgisetning 30.9. Ef p : E → B er þekjurúm, f : In → B er samfelld vörpun og e ∈ Eþ.a. p(e) = f(0, . . . , 0), þá er til nákvæmlega ein lyfting f á f m.t.t. p sem uppfyllir f(0, . . . , 0) =e. Sér í lagi er alltaf hægt að lyfta vegi (n = 1) og vegsamtogun (n = 2).

Sönnun. Augljóst fyrir n = 0. Beitum svo síðustu setningu og þrepun.

63

Fylgisetning 30.10. Látum p : E → B vera þekjurúm og α og β vera vegsamtoga vegi í B. Efα og β eru lyftingar á α og β m.t.t. p með α(0) = β(0), þá eru α og β vegsamtoga. Sér í lagigildir að α(1) = β(1).

Sönnun. Látum H : α ≃p β og H : I×I → E vera lyftingu á H m.t.t. p þ.a. H(0, 0) = α(0) = β(0).Nú er H(0, s) = α(0) = β(0) fyrir öll s ∈ I svo að H(0, s) ∈ p−1(α(0)). En p−1(α(0)) er strjáltrúm og því er H(0, s) fast [I er samanhangandi], þ.e. H(0, s) = α(0) fyrir öll s ∈ I. Á sama háttfæst að H(1, s) er fast. Varpanirnar t 7→ H(t, 0) og t 7→ α(t) eru lyftingar á α og H(0, 0) = α(0)svo að H(t, 0) = α(t) fyrir öll t ∈ I. Á sama hátt fæst að H(t, 1) = β(t) fyrir öll t ∈ I. Þar meðfæst H : α ≃p β.

Athugasemd 30.11. Lyfting á lykkju (þ.e.a.s. lokuðum vegi) þarf alls ekki að vera lykkja.

Setning 30.12. π1(S1, ∗) ∼= Z.

Sönnun. Lítum á S1 sem einingarhringinn í C og reiknum út π1(S1, ∗). Höfum þekjuvörpun

p : R → S1; t 7→ exp(2πi · t).

Ljóst er að p−1(1) = Z. Fyrir [α] ∈ π1(S1, 1) veljum við lyftingu α á α með α(0) = 0. Vitum að

α(1) er óháð valinu á α úr [α] svo við fáum vörpun

ϕ : π1(S1, 1) → Z; [α] 7→ α(1).

Sýnum að ϕ sé einsmótun.

• ϕ er grúpumótun: Ef α og β eru lykkjur í S1 sem byrja í 1 og α og β eru lyftingar á α og βmeð α(0) = β(0) = 0, þá er

β1 : I → R; β1(t) = α(1) + β(t)

lyfting á β sem uppfyllir β1(0) = α(1). Þar með er α ∗ β1 vel skilgreindur vegur og ljóst erað α ∗ β1 er lyfting á α ∗ β með (α ∗ β1)(0) = α(0) = 0. Fáum þá:

ϕ([α] ∗ [β]) = (α ∗ β1)(1) = β1(1) = α(1) + β(1) = ϕ([α]) + ϕ([β]).

• ϕ er eintæk: Ef α er lykkja með endapunkt 1 í S1, α er lyfting á α með α(0) = 0 ogϕ([α]) = 0, þ.e. α(1) = 0, þá er α lykkja í R með endapunkt 0. Þar með er til vegsamtogunH : 0 ≃p α sem gefur af sér vegsamtogun p H : 1 ≃p α og því er [α] hlutleysan í π1(S1, 1).

• ϕ er átæk: Viljum sýna að fyrir sérhvert n ∈ Z sé til [α] ∈ π1(S1, 1) þ.a. ϕ([α]) = n. Nú:

α : I → R; t 7→ nt er vegur frá 0 til n í R og p α er lykkja í S1 með endapunkt 1. Þar meðer ϕ([p α]) = n.

Fylgisetning 30.13. S1 er ekki inndragi af B2.

Sönnun. Ef svo væri fengist eintæk grúpumótun π1(S1, 1) → π1(B

2, 1) sem er í mótsögn við aðπ1(S

1, 1) ∼= Z en π1(B2, 1) = 0.

64

Fylgisetning 30.14. π1(S1 × S1, (1, 1)) ∼= Z× Z.

Sönnun. Augljóst.

Fylgisetning 30.15. π1(C∗, 1) ∼= Z.

Sönnun. S1 er inndragi með samtogun af C∗ og því π1(S1, 1) ∼= π1(C∗, 1).

Fylgisetning 30.16 (Brouwer). Sérhver samfelld vörpun B2 → B2 hefur kyrrapunkt.

Sönnun. Leiðir af fylgisetningu 30.13 og dæmi 33 af vikublaði 13.

Athugasemd 30.17. Látum Y vera grannrúm. Fastalykkja sem hefur grunnpunkt y ∈ Y táknasthér eftir með 1y. Lykkja α í Y með grunnpunkt y er sögð núllsamtoga ef [α] = [1y].

Setning 30.18. Látum p : E → B vera þekjurúm og b ∈ B.

(i) Ef e ∈ p−1(b), þá er p∗ : π1(E, e) → π1(B, b) eintæk.

(ii) Ef E er vegsamanhangandi, þá mynda hlutgrúpurnar p∗(π1(E, e)) fyrir e ∈ p−1(b) sam-okunarflokk af hlutgrúpum í π1(B, b).

Sönnun. (i) Ef [γ] ∈ π1(E, e) og p([γ]) = [p γ] = [1b], þá er til H : p γ ≃p 1b. LátumH : I × I → E vera lyftingu á H þ.a. H(0, 0) = e. Þá er H : γ ≃p 1e og því [γ] = [1e] íπ1(E, e).

(ii) Látum e1, e2 ∈ p−1(b) og ω vera veg frá e1 til e2 í E. Þá fæst einsmótun

ω : π1(E, e2) → π1(E, e1); ω([α]) = [ω ∗ α ∗ ω]

Nú er p ω lykkja í (B, b) svo að

p∗([ω ∗ α ∗ ω]) = p∗([ω]) ∗ p∗([α]) ∗ p∗([ω])−1

og þar meðp∗([ω]) ∗ p∗

(π1(E, e2)

)∗ p∗([ω])

−1 = p∗(π1(E, e1)

).

Nú þarf bara að taka eftir að sérhvert [α] ∈ π1(B, b) er af gerðinni p∗([α]) þar sem α er lyftingá α. Þar með er sýnt að grúpurnar

(p∗(π1(E, e))

)

e∈p−1(b)mynda heilan samokunarflokk í

π1(B, b).

Athugasemd 30.19. Ef p : E → B er þekjurúm, þá verkar π1(B, b) á p−1(b) með eftirfarandi hætti:Fyrir e ∈ p−1(b) og [α] ∈ π1(B, b) látum við αe vera lyftinguna á α sem uppfyllir αe(0) = e.Setjum svo

e[α] := αe(1) (vel skilgreint).

65

Fáum greinilega að e[1b] = e og e([α] ∗ [β]) = e[α ∗ β] = (e[α])[β].

Öll [α] ∈ π1(B, b) sem halda ákveðnu e ∈ p−1(b) föstu, þ.e. e[α] = e, mynda hlutgrúpu í π1(B, b)sem við köllum stöðugleikagrúpu e. Auðséð er að hún er engin önnur en p∗

(π1(E, e)

).

Ef E er vegsamanhangandi, þá er verkun π1(B, b) á p−1(b) gegnvirk, þ.e. e π1(B, b) = p−1(b).M.ö.o. hefur verkunin aðeins eina braut.

Fylgisetning 30.20. Látum p : E → B vera þekjuvörpun, E vera vegsamanhangandi, e ∈ E ogb = p(e). Þá er #p−1(b) = [π1(B, b) : p∗

(π1(E, e)

)].

Sönnun. Ljóst.

Fylgisetning 30.21. Látum p : E → B vera þekjuvörpun, B og E vera vegsamanhangandi, e ∈ Eog b = p(e). Eftirfarandi skilyrði eru jafngild:

(i) p er grannmótun.

(ii) p∗ : π1(E, e) → π1(B, b) er einsmótun.

(iii) p∗ er átæk.

Sönnun. • (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii): Ljóst.

• (iii) ⇒ (i): Skv. síðustu fylgisetningu er #p−1(b) = 1. Þar sem B er vegsamanhangandi er#p−1(x) = 1 fyrir öll x ∈ B. En það hefur í för með sér að p er gagntæk, samfelld og opin,þ.e. grannmótun.

Fylgisetning 30.22. Ef p : E → B er þekjuvörpun, E er vegsamanhangandi og B er einfaldlegasamanhangandi, þá er p grannmótun.

Sönnun. Augljóst út frá síðustu fylgisetningu.

Fylgisetning 30.23. Ef B er einfaldlega samanhangandi og staðvegsamanhangandi er sérhvertþekjurúm yfir B lausblaða.

Sönnun. Ef p : E → B er þekjuvörpun gildir um sérhvern (veg)samhengisþátt C í E að p|C : C →B er þekjuvörpun. En þá er p|C : C → B grannmótun skv. síðustu fylgisetningu.

66