S

E

ϕ

α

ESERCIZIOPIEGAMENTI SULLE BRACCIA

Un atleta compie una serie di piegamenti sulle braccia, mantenendo il movimento dei segmenti del braccio (omero ed avambraccio) paralleli al piano sagittale. La distanza SF tra il punto di contatto del piede con il terreno e l’articolazione della spalla è di 160cm, la lunghezza dell’omero SE e dell’avambraccio WE sono

WF

h

βψ

WF

terreno e l’articolazione della spalla è di 160cm, la lunghezza dell’omero SE e dell’avambraccio WE sono rispettivamente 34 e 26cm, il tempo impiegato a raggiungere la posizione di massima estensione dell’avambraccio è di 0.5s. Si consideri il complesso busto-gambe come un singolo segmento rigido. Si assuma la posizione di partenza con angolo ψ = 0.

• Si determini la posizione angolare ψ dell’avambraccio e ϕ dell’omero come indicati in figura, quando l’angolo tra omero ed avambraccio α = 90°.• Nella medesima configurazione si trovi la posizione e velocità angolare (β e β‘) del busto (Si assuma la velocità angolare nella configurazione indicata pari a 1.5 volte la velocità angolare media)• Si calcoli la velocità del centro dell’articolazione del gomito (punto E)

Determinazione della posizione del polso (punto W):

ESERCIZIOPIEGAMENTI SULLE BRACCIA

Lunghezza omero = 0.34 mLunghezza avambraccio = 0.26 mDistanza piede-spalla = 1.60mΔT da posizione min a posizione max = 0.5 sAngolo omero-avambraccio α= 90°β’ (in posiz. attuale)/ βm’ (media) = β ‘/ β’m = 1.5

Determinazione della posizione del polso (punto W):Si considera la posizione iniziale, con ψ = 0 e ϕ = 90

WF = SF – SE + EW = 1.6 – 0.26 + 0.34 = 1.52m

Nella posizione iniziale β = 0

Configurazione di massima estensione:Omero ed avambraccio sono allineati, la lunghezza del segmento SW vale:

SW = EW + SE = 0.26 + 0.34 = 0.6mSW = EW + SE = 0.26 + 0.34 = 0.6m

Sono noti i lati del triangolo WSF in posizione di massima estensione. Applicando il teorema del coseno si trova:

SW2 = WF2+SF2 - 2∙WF ∙ SF ∙cos(βmax)cos(βmax) = [SW2 – (WF2+SF2)]/(- 2∙WF ∙ SF ) =

= [0.62 – (1.522 + 1.602)]/(- 2∙1.52 ∙ 1.60) cos(βmax) = 0.9273βmax = acos(0.9273)=21.98°βmax = acos(0.9273)=(21.98/180) ∙π= 0.3836 rad

La velocità angolare media del segmento SF si trova dividendo la escursione angolare massima per il tempo impiegato a percorrerla:

β’m = Δβ /Δt = (βmax - βiniz)/Δt = 0.3836/0.5 == 0.7672 rad/s

La velocità angolare nella config. considerata è

Applicando il teorema del seno si trova l’angolo FWSβ’ = β’m ∙1.5 = 0.7672 ∙1.5 = 1.15 rad/s

Configurazione geometrica quando α = 90°Si calcola dapprima la distanza WS

SW2 = SE2+WE2 d= 0.342 + 0.262 = 0.1156 + 0.0676 = 0.1832SW = 0.428m

Si conoscono tutti i lati del triangolo WSF, applicando il teorema del coseno…

Applicando il teorema del seno si trova l’angolo FWS

SF/sin(FWS) =SW/sin(β)sin(FWS) = (SF/SW) ∙sin(β) = (1.6/0.428) ∙sin(15.495) = 0.9987

FWS = arcsin(0.9987) = 87.07°oppure FWS = 180 – 87.07 = 92.93°ATTENZIONE! Occorre verificare quale dei due è corretto. In questo caso il secondo.il teorema del coseno…

SW2 = WF2+SF2 - 2∙WF ∙ SF ∙cos(β)cos(β) = [SW2 – (WF2+SF2)]/(- 2∙WF ∙ SF ) =

= [0.4282 – (1.522 + 1.602)]/(- 2∙1.52 ∙ 1.60) == – 4.6872/ – 4.864

cos(β) = 0.96365β = arccos(0.96365)=15.495°β = (15.49 /180) ∙π= 0.27 rad

corretto. In questo caso il secondo.

Applicando il teorema del seno al triangolo SWE si trova:

SW/sin(α) = SE/sin(SWF – ψ)sin(SWF– ψ) = (SE/SW) ∙sin(α) = (0.34/0.428)∙1= 0.7944SWF – ψ = arcsin(0.7944) = 52.59°ψψψψ = SWF – 52.59 = 92.93 – 52.59 = 40.34°ϕϕϕϕ = ψ = 40.34° poiché α = 90°

A questo punto è nota completamente la geometria nella configurazione data.Dalla legge fondamentale della cinematica si sa che

.84m/sv

da dipende che con verso ,a ortogonale è v

entrante figura,della pianoal ortogonale è

terreno al vincolatosupposto poichènullo è v

vv v v

s

F

S/FS/FFs

16.11509.1

.

=⋅=

∧==+=

r

&rr

&r

r

&rrrrr

β

β

β

FS

FS

.84m/svs 16.11509.1 =⋅=

.β

ψψ

&rr

&r

&rrrrr

da dipende che con verso ,a ortogonale è v

uscentefigura,della pianoal ortogonale è

vv v v

E

E/WE/WWE

WE

WE∧==+=

°+=+=

ES. lungo opriodiretta pr è ,90 è WE e SEtra angolol'

v vv v v

valeES, segmento il doconsideran

S/EES/EES

rrrrr

1.522m/scos(34.18)1.84 cosv v

1.03m/ssin(34.18)1.84 sinv v

valeES, segmento il doconsideran

SSa

=⋅=⋅=

=⋅=⋅=rr

rr

ϑϑ

°=−−=−−=

°

18.3433.4049.159090

.

ϕβϑϑ. edeterminar occorre

normalesua la e ES lungo v scomporre Per

v propriocioè

ES, lungo v di componentealla pariessere

deve ES assel' lungo v di componentela

ile,indeformab oconsiderat è segmento il Poichè

ES. lungo opriodiretta pr è ,90 è WE e SEtra angolol'

S

E

E

S

r

r

r

r

3.96rad/s0.26

1.03

WE

v

WEvv

1.522m/scos(34.18)1.84 cosv v

Sa

ESa

SSt

===

⋅==

=⋅=⋅=

r

&

&rr

ϕ

ϕϑ

ELEMENTI DI DINAMICA

Mentre la cinematica si limita allo studio delle possibilità di movimento di un certo

sistema ed alla relativa descrizione matematica, la dinamica si occupa delle cause che

determinano il moto stesso.

Il legame tra le grandezze dinamiche (forze, momenti, proprietà inerziali dei corpi etc.)

ed il moto che ne consegue è regolato dalle leggi di Newton.

Lo studio di un sistema dinamico è articolato in diverse fasi:

• Definizione di un modello fisico del sistema in esame

• Definizione del diagramma di corpo libero

• Definizione del modello matematico e soluzione

• Confronto con le evidenze sperimentali.• Confronto con le evidenze sperimentali.

FORZE

Forza: azione di un corpo su un’altro corpo (unità di misura: Newton [N]) e tende a

spostare il corpo lungo la direzione in cui agisce.

La forza è una grandezza vettoriale, pertanto essa possiede• modulo• direzione• verso• verso• punto di applicazione

Nel caso di forze applicate ai corpi rigidi ci si può svincolare dal punto di applicazione e si può considerare la forza come applicata in un punto qualsiasi della sua retta d’azione (pricipio di trasmissibilità): considerare la forza F come applicata in A o in B non cambia nulla dal punto di vista delle reazioni sui vincoli in C e D

OPERAZIONI SULLE FORZE

Composizione di due forze:Date due forze F1 ed F2 agenti sullo stesso

punto di un corpo rigido, esse possono

essere composte secondo la regola del

parallelogramma. La risultante R della

Scomposizione di due forze:

composizione ha sul corpo il medesimo

effetto del sistema di forze.

Analogamente una forza R può

essere sostituita dalla

scomposizione nelle sue

componenti F1 ed F2 lungo due

direzioni, facendo attenzione che

le rette d’azione passino per il

punto di applicazione di R

La forza F1 è applicata nel punto A1 e la forza F2 è applicata al punto A2. F1 ed F2 sono parallele. La risultante R delle due forze ha direzione

OPERAZIONI SULLE FORZE

Composizione di due forze parallele:

A11Fr

2Fr

A

Fr

Fr 2Rr

1Rr

1Rr

2Rr

Rr

A

La risultante R delle due forze ha direzione parallela alla direzione di F1 ed F2 .La retta di applicazione di R passa per il punto A.Il punto A si trova sommando e sottraendo una forza ausiliaria F diretta lungo la congiungente i punti A1 e A2.Una forza F è applicata in A1 e la forza opposta –Fin A2. Si determinano le risultanti R1 ed R2 nei punti A1

e A2 e si determina la risultante R= R1 + R2 con il metodo già visto. 2F

A2

2 1 2

metodo già visto.

Per determinare analiticamente la posizione geometrica della retta di azione r della risultante R, si consideri che la retta r interseca il segmento A1A2 nel punto AR. I triangoli A1ARA e il triangolo F-F -R costruito in A sono simili, così

OPERAZIONI SULLE FORZE

Composizione di due forze parallele:

RR2

1

RR1

F

AA

F

AA

F

AA

F

AA

=

=

A1A2 nel punto AR. I triangoli A1ARA e il triangolo F-F1-R1 costruito in A sono simili, così come sono simili i triangoli A2ARA ed il triangolo F-F2-R2. Pertanto si può scrivere: A1

1Fr

2Fr

A

Fr

Fr

1Rr

2Rr

1Rr2R

r Rr

A

Fr

Fr

AR 1F

2F

r

r

1

2

R

2

1

R

R2

R1

2

F

F

AA

F

F

AA

AA

AA

FF

=⋅=

2FA2

MOMENTO DI UNA FORZA

Misura la tendenza di una forza applicato ad un corpo a far ruotare il corpo stesso attorno a un

punto (nel piano) o ad un’asse (nello spazio). Se F è la forza applicata al punto A del corpo, il

momento di F rispetto al generico punto O è dato dal prodotto vettoriale:

Il momento della forza può essere espresso in funzione delle componenti della forza stessa.

Teorema di Varignon: il momento di una forza intorno ad un punto qualsiasi è pari alla somma

dei momenti delle componenti della forza intorno allo stesso punto.

kFbk)sin(FrFrMO

rrrrr⋅⋅=⋅⋅⋅=∧= α

OQOPOR MMQrPr)QPrRrMrrrrrrrrrrrr

+=∧+∧=+∧=∧= (

PrMOP

rrr∧=

QrMOQ

rrr∧=

momento di P rispetto ad O

momento di Q rispetto ad O

COPPIA DI FORZE

Coppia di forze: insieme di due forze uguali in modulo e direzione, verso opposto e non allineate.

La risultante della coppia di forze è nulla.

Il momento della coppia di forze non dipende dal punto intorno al quale lo si calcola (vettore

libero):

FrFr-rM

FrFrFr)FrM

BAO

ABABOrrrrrr

rrrrrrrrr

∧=∧=

=∧+∧−=∧+−∧=

)(

(

Il momento della coppia di forze (o semplicemente coppia), dipende solamente dal modulo delle forze e dalla distanza d tra le rette di applicazione detto braccio della coppia

kFdkF]aFd)aMrrr

⋅⋅=⋅⋅−⋅+= [(

coppia

TRASPOSIZIONE DI UNA FORZA

In generale, una forza

1) tende sempre a spostare il corpo a cui è applicata nella sua direzione e verso

2) tende a far ruotare il corpo a cui è applicata intorno ad un punto non appartenente

alla sua retta d’azione

Sistema iniziale: forza applicata in A con momento

rispetto a B non nullo

Si aggiunge e sottrae una forza in B, pari alla

forza iniziale in A

Il sistema finale: l’effetto è quello di una “trasposizione” della forza nel punto di interesse.

La forza F applicata in A può essere trasportata in B a patto di aggiungere al sistema una coppia (momento di trasposizione) pari al momento che F applicata in A ha rispetto a B.

rispetto a B non nullo forza iniziale in A forza nel punto di interesse.

RISULTANTE DI UN SISTEMA DI FORZE

Se su un corpo agiscono diverse forze, il sistema può essere semplificato mediante il calcolo della risultante. Occorre determinare sia la somma R delle forze che il suo punto di applicazione

Il calcolo della risultante di un sistema di forze agenti su un corpo si può eseguire mediante la successiva applicazione della regola del parallelogramma.Può risultare un metodo laborioso.

RISULTANTE DI UN SISTEMA DI FORZESe su un corpo agiscono diverse forze, il sistema può essere semplificato mediante il calcolo della risultante. Occorre determinare sia la somma R delle forze che il suo punto di applicazione

1 - Si sceglie un punto arbitrario O

2 - Si portano tutte le forze in O e si calcola la 2 - Si portano tutte le forze in O e si calcola la somma R

3 - Si calcolano tutti i momenti delle forze rispetto ad O

4 - Si sostituisce al sistema originario la somma Rdelle forze in O più una coppia MO pari alla somma dei momenti delle singole forze rispetto ad O.ad O.

5 – Si sposta R in un punto generico Baggiungendo il momento di trasporto.

6 – Si determina la distanza d del punto B da Oimponendo l’uguaglianza del momento di trasporto M con MO

Tipi di forze

Le forze possono essere classificate secondo diversi criteri. Alcuni esempi:

• Forze concentrate: la zona su cui sono applicate si può ritenere puntiformerispetto alle dimensioni del corpo.• Forze distribuite: la zona su cui sono applicate non può essere trascurata rispettoalle dimensioni geometriche del corpoalle dimensioni geometriche del corpo

• Forze esterne: sono applicate al corpo (o al sistema di corpi) dall’esterno• Forze interne: sono forze scambiate tra gli elementi del sistema considerato

• Forze di contatto: dovute all’interazione diretta (contatto fisico) tra due corpi• Forze di massa: sono correlate alle proprietà di massa del corpo (es: forza peso,forze elettromagnetiche, forze di inerzia)

Nello studio di un sistema meccanico è importante identificare le forze in giocoNello studio di un sistema meccanico è importante identificare le forze in giocosulla base della natura dei fenomeni fisici coinvolti, della modalità con cui le forzeche ne derivano sono applicate.È altresì importante impostare il problema coerentemente con i modelli meccaniciscelti per la rappresentazione del fenomeno in esame.