Getaran 1 derajat kebebasan · PDF filePersamaan gerak . Persamaan kwadrat . Akar akar ....

of 16/16
Getaran 1 derajat kebebasan Getaran Mekanik, Kuliah 2 GETARAN MEKANIK TEKNIK MESIN STT MANDALA -BANDUNG
  • date post

    07-Feb-2018
  • Category

    Documents

  • view

    268
  • download

    12

Embed Size (px)

Transcript of Getaran 1 derajat kebebasan · PDF filePersamaan gerak . Persamaan kwadrat . Akar akar ....

  • Getaran 1 derajat kebebasan

    Getaran Mekanik, Kuliah 2

    GETARAN MEKANIK TEKNIK MESIN STT MANDALA -BANDUNG

  • Recall dari kuliah sebelumnya

    Getaran Mekanik, Kuliah 2

    0)()( =+ tkxtxm Persamaan diferensial orde 2

    t

    x(t)

    x(t) = Asin(nt + )

    Solusi diasumsikan harmonik sbg fungsi sinus

  • Solusi alternatif

    Getaran Mekanik, Kuliah 2

    x(t) = Asin(nt + )x(t) = A1 sinnt + A2 cosntx(t) = a1e

    jnt + a2e jnt

    Cartesian form

    magnitude and phase form

    polar form

    22

    )(

    tan,

    212

    211

    212211

    2

    1122

    21

    jAAajAAa

    jaaAaaAAAAAA

    +=

    =

    =+=

    =+=

    1=j

  • Redaman viskos

    Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 1

    Dalam model massa pegas sebelumnya: getaran terjadi tak berhenti Dalam kenyataan, getaran akhirnya berkurang dan akhirnya berhenti, maka terdapat sesuatu yang meredam getaran tersebut (mendisipasikan energi) maka dibuatlah model redaman viskos untuk merepresentasikan pengurang getaran tsb

    )()()( txctcvtfc ==

    x

    fc

    Damper (c)

    Gaya redaman tsb

    c=konstanta redaman

  • Sistem massa-pegas-peredam

    Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 1

    M

    k x

    c

    DBB

    0)()()( =++ tkxtxctxm

    x(t) = aetSolusi untuk persamaan gerak ini adalah

    t

    t

    aetxaetx

    2)(

    )(=

    =

  • Solusi persamaan gerak (lanjutan)

    Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 1

    0)()()( =++ tkxtxctxm

    x(t) = aet

    t

    t

    aetxaetx

    2)(

    )(=

    =

    aet 0 (2 + c m +n2) = 0

    0)( 2 =++ kcmae t

    1

    0)2(2

    22,1

    22

    =

    =++

    =

    nn

    nn

    kmcRasio redaman

    Persamaan gerak Persamaan kwadrat

    Akar akar

  • Kemungkinan 1: gerak teredam kritis

    Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 1

    1,2 = 1n n 12 1 = n

    x(t) = a1ent + a2te

    nt

    nr mkmcc 221 ====

    Redaman kritis terjadi jika =1, koefisien redaman c menjadi koefisien red kritis

    Akar berulang dan real

    Solusi :

  • Gerak teredam kritis

    Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 1

    x = (a1 + a2t)ent

    a1 = x0v = (na1 na2t + a2 )e

    nt v0 = na1 + a2 a2 = v0 + nx0

    0 1 2 3 4 -0.1

    0

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    0.5

    0.6

    Time (sec)

    Dis

    plac

    emen

    t (m

    m)

    k=225N/m m=100kg and =1

    x 0 =0.4mm v 0 =1mm/s x 0 =0.4mm v 0 =0mm/s x 0 =0.4mm v 0 =-1mm/s

    a1 dan a2 dpt diperoleh dari kondisi awal

    Tidak terjadi osilasi - Mekanisme pintu, sensor analog

  • Kemungkinan 2: overdamped

    Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 1

    1,2 = n n 2 1

    x(t) = en t(a1en t

    2 1 + a2en t

    2 1)

    a1 =v0 + ( +

    2 1)nx02n

    2 1

    a2 =v0 + ( +

    2 1)nx02n

    2 10 1 2 3 4

    -0.1

    0

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    0.5

    0.6

    Time (sec)

    Dis

    plac

    emen

    t (m

    m)

    k=225N/m m=100kg and z =2

    x 0 =0.4mm v 0 =1mm/s x 0 =0.4mm v 0 =0mm/s x 0 =0.4mm v 0 =-1mm/s

    Overdamped terjadi jika >1. akar-akar persamaan real dan berbeda.

    Respon lebih lambat dibandingkan kasus redaman

    kritis

  • Kemungkinan 3: teredam

    Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 1

    1,2 = n n j 12

    x(t) = en t(a1ejn t 1

    2

    + a2e jnt 1

    2

    ) = Aen t sin (dt +)

    d = n 1 2 (1.37)

    Kasus teredam terjadi jika

  • Getaran teredam

    Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 1

    A = 1d

    (v0 +nx0)2 + (x0d)

    2

    = tan1 x0dv0 +nx0

    0 1 2 3 4 5 -1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    Time (sec)

    Dis

    plac

    emen

    t

    Menyebabkan respons berosilasi dengan penurunan exponensial

    Hampir semua sistem getaran alami respons teredam seperti ini

    Penurunan exponensial

  • 12/43

    jika c = 0.11 kg/s, tentukan rasio redaman dari sistem massa pegas peredam

    jika:

    gerak

    0085.0kg/s 12.993

    kg/s 11.0=

    kg/s 993.12 8.857102.4922

    N/m 8.857 kg, 102.493

    3

    dunderdampecc

    kmc

    km

    cr

    cr

    ==

    ===

    ==

    Contoh

  • Latihan

    Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 1

    Kaki manusia mempunyai frekuensi pribadi sekitar 20 Hz dalam keadaan kaku dalam arah longitudinal (lurus) dengan rasio redaman = 0.224. Hitunglah respons ujung kaki terhadap kecepatan awal v0 = 0.6 m/s dan perpindahan awal nol dan plot responsnya. Berapakah percepatan maksimum yang dialami oleh kaki jika diasumsikan tanpa redaman?

  • Solusi

    Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 1

    n =201

    cycless

    2 radcycles

    = 125.66 rad/s

    d =125.66 1 .224( )2 = 122.467 rad/s

    A =0.6 + 0.224( ) 125.66( ) 0( )( )2 + 0( ) 122.467( )2

    122.467= 0.005 m

    = tan-10( ) d( )

    v0 + n 0( )

    = 0

    x t( )= 0.005e28.148t sin 122.467t( )

  • Solusi

    Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 1

    ( ) ( )( ) 2222

    0

    00

    2

    020

    m/s 396.75m/s 66.1256.06.0max

    m6.0m

    0 ,6.0 ,66.125 ,

    ==

    ==

    ==

    ===

    +=

    nnn

    nn

    nn

    Ax

    vA

    xvvxA

    maximum acceleration = 75.396 m/s2

    9.81 m/s 2g = 7.68g' s

  • Plot solusi persamaan gerak

    Getaran 1 derajat kebebasanRecall dari kuliah sebelumnyaSolusi alternatifRedaman viskosSistem massa-pegas-peredamSolusi persamaan gerak (lanjutan)Kemungkinan 1: gerak teredam kritisGerak teredam kritisKemungkinan 2: overdampedKemungkinan 3: teredamGetaran teredamjika c = 0.11 kg/s, tentukan rasio redaman dari sistem massa pegas peredam jika: LatihanSolusiSolusiPlot solusi persamaan gerak