Ch10 : Gomtrie dans lespace (TS)

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GEOMETRIE DANS LESPACE

I. RAPPELS SUR LE PRODUIT SCALAIRE DANS LE PLAN

a) Diffrentes expressions du produit scalaire

Soient

u et

v deux vecteurs du plan. Si lun des vecteurs est nul alors le produit scalaire est nul. Si ces deux vecteurs sont non nuls, le produit scalaire de u

et v

est le rel :

u .

v =

AB .

AC = AB AC cos(

AB;

AC)

AB et

AC tant deux reprsentants respectifs de

u et

v. Remarque : Ce produit scalaire est indpendant des reprsentants. On peut donc choisir des reprsentants de mme origine. Proprits : Si H est le projet orthogonal de C sur (AB) et K le projet orthogonal de B sur (AC), on a :

AB .

AC = AB AH = AC AK

u et vr r

sont orthogonaux si, et seulement si,

u .

v = 0

Exercice n1 : Soit ABCD un rectangle tel que AB = 4 et AD = 3. Soient A et C les projets orthogonaux respectifs de A et C sur (BD).

1. Calculer

BA .

BD

2. En dduire cos(ABD) puis une valeur approche de

ABD

3. Calculer.

AC .

BD et en dduire AC. Exercice n2 : Soit ABC un triangle rectangle et isocle en A.

I et J sont les points tels que

AI = 13

AB et

AJ = 13

AC et K le milieu de [IC].

Dmontrer que les droites (AK) et (JB) sont perpendiculaires.

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Avec des coordonnes :

Dans un repre orthonorm, si

u et

v ont respectivement pour coordonnes (x ; y) et (x ; y),

alors

u .

v = xx + yy | |

u| | = x2 + y2 Si A et B sont deux points du plan de coordonnes respectives A (xA ; yA ) et B (xB ; yB ) alors

( ) ( )22B A B AAB x x y y= +

b) quations de droites et cercles dans un plan Dfinition : Un vecteur normal dune droite est un vecteur non nul orthogonal tout vecteur directeur de cette droite. Proprits :

Si

n (a ; b) est un vecteur normal de la droite d, alors une quation de d scrit sous la forme ax + by + c = 0

Rciproquement, si a et b sont deux rels non nuls, lquation ax + by + c = 0 est lquation dune droite dont le vecteur de coordonnes (a ; b) est un vecteur normal.

Le cercle de centre I (a ; b) et de rayon R est lensemble des points M(x ; y) tels que : IM = R

Une quation de ce cercle est (x a)2 + (y b)2 = R2

Le cercle de diamtre [AB] est lensemble des points M du plan tels que :

MA .

MB = 0

Exercice n3 : Dans un repre orthonorm, on donne les points : A( 1 ; 3 ) B( 2 ; 5 ) C( 1 ; 4)

1. Dmontrer que le triangle ABC est rectangle et isocle en A. 2. Dterminer une quation du cercle circonscrit au triangle ABC. 3. Dterminer une quation de la mdiatrice de [BC].

c) Distance dun point une droite dans le plan Dfinition : Soit d une droite du plan et M un point quelconque du plan. On appelle distance du point M la droite d la distance MH o H est le projet orthogonal de M sur d. Proprit : Soient d une droite dquation ax + by + c = 0 avec a et b deux rels non nuls et A(xA ; yA) un

point du plan. La distance du point A la droite d est gale axA + byA + c

a2 + b2

Exercice n4 : Dans un repre orthonorm, on donne la droite d dquation 3x 4y + 7 = 0 et le point A( 2 ; 1)

1. Dterminer la distance de A la droite d. 2. Vrifier que les points B( 1 ; 1) et C( 1 ; 2,5) appartiennent la droite d. 3. Dterminer laire du triangle ABC et en dduire la distance h de B la droite (AC).

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II. PRODUIT SCALAIRE DE LESPACE

a) Expressions du produit scalaire

b) Orthogonalit dans lespace

Deux vecteurs

u et

v sont orthogonaux si et seulement si

u .

v = 0

Deux droites (D) et (D) de vecteurs directeurs respectifs

u et

v sont orthogonales si et seulement si

u .

v = 0

Une droite (D) de vecteur directeur u et un plan (P) de base (

v ;,

w) sont perpendiculaires si et

seulement si

u .

v = 0 et

u .

w = 0

Exercice n5 : Soit ABCDEFGH un cube. Dmontrer que la droite (AG) est orthogonale au plan (CFH).

c) Vecteur normal Par dfinition, un vecteur directeur dune droite perpendiculaire au plan (P) est appel vecteur normal (P).

Soit A un point de lespace et

n un vecteur non nul.

Lensemble des points M de lespace tel que

AM .

n =0 est le plan passant par A et de vecteur normal

n.

Exercice n6 :

Soient O un point de lespace,

n un vecteur unitaire et (P) le plan passant par O et orthogonal

n. On dsigne par H le projet orthogonal dun point M sur le plan (P).

Exprimer

OH laide des vecteurs

OM et

n

Normes et angles Projection orthogonale

Si

u et

v sont non nuls

u .

v =

u

v cos(

BAC)

Si

u est non nul

u .

v = AB AH

o H est le projet orthogonal de C sur (AB)

A

B

C

C H

B

(P)

u

v u

A

v

A

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III. GEOMETRIE ANALYTIQUE DANS LESPACE

Une base (

i ;

j ;

k) de lespace est une base orthonorme si les vecteurs sont unitaires et orthogonaux deux deux.

Avec

u (x ;y ; z), alors

u = x2 + y2 + z2

Avec A (xA ; yA ; zA) et B (xB ; yB ; zB) : ( ) ( ) ( )2AB2AB2AB zzyyxxAB ++= .

Exercice n7 : Dans le repre orthonorm on considre les points : A(3 ; 1 ; 5) , B(3 ; 5 ; 1) et C(1 ; 5 ; 5). Dmontrer que le triangle ABC est quilatral.

a) quation cartsienne dun plan Proprit : Dans un repre orthonorm, tout plan admet une quation de la forme ax + by + cz + d = 0 o a, b, c et d sont des rels tels que a, b et c ne sont pas tous nuls.

Le vecteur

n(a ; b ; c) est un vecteur normal ce plan. Rciproquement, soient a, b, c et d quatre rels tels que a, b et c ne sont pas tous nuls. Dans un repre orthonorm, lensemble (E) des points M(x ; y ; z) de lespace vrifiant ax + by + cz + d = 0

est un plan de vecteur normal

n(a ; b ; c)

Exercice n8 :

Lespace est muni dun repre orthonorm (O ;

i ;

j ;

k). Donner une quation cartsienne du plan (P) passant par le point A(2 ; 1 ; 3) et orthogonal (BC) avec B(1 ; 2 ; 2) et C(4 ; 1 ; 1)

b) Distance dun point un plan Soient (P) le plan dquation ax + by + cz + d = 0 et M0 (x0 ; y0 ; z0) un point de lespace.

La distance de M0 (P) est donne par d(M0 ; P) = ax0 + by0 + cz0 + d

a2 + b2 + c2

Exercice n9 : Calculer la distance du point A(5 ; 2 ; 3) au plan (P) dquation : x + 4y + 8z + 2 = 0

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IV. Caractrisations barycentriques

a) Rappels Proprit Dfinition : Soit A , B et C trois points de lespace, a , b et c trois rels tels que a + b + c 0 . Il existe un unique point G vrifiant : a

GA + b

GB + c

GC =

0

Ce point G est appel barycentre de ( A , a ) , ( B , b ) , ( C , c )

Homognit : Le barycentre ne change pas lorsquon multiplie les coefficients par un mme nombre non nul Iso barycentre : Si a = b = c ( 0 ) , G est encore appel isobarycentre de A , B et C Proprit fondamentale : pour tout point M du plan : a

MA + b

MB + c

MC = (a + b + c )

MG

Coordonnes : Dans un repre ( O;

i ,

j ) , on dduit facilement de la formule ci-dessus les coordonnes de G

xG = 1

a + b + c ( ax A + bx B + cxc ) et yG =

1a + b + c

( ay A + by B + cyc )

Barycentre : Si on remplace deux points pondrs ( A , a ) et ( B , b ) ( avec a + b 0 ) par leur barycentre H affect du coefficient a + b , alors le barycentre de ( A , a ) , ( B , b ) , ( C , c ) est aussi le barycentre de ( C , c ) , ( H , a + b ) .

b) Droites, plans et barycentre La droite (AB) est lensemble des barycentres des points A et B. Le segment [AB] est lensemble des barycentres des points A et B affects de coefficients de mme signe. Le plan (ABC) est lensemble des barycentres des points A, B et C. Lintrieur du triangle, cts compris, est lensemble des barycentres des points A, B et C affects de coefficients de mme signe.

V. REPRESENTATION PARAMETRIQUE DUNE DROITE

Dfinition : La droite (D) passant par A(x0 ; y0 ; z0) et de vecteur directeur

u ( ; ; ) est lensemble des

points M(x ; y ; z) tels que : ( )0

0

0

x t x

S y t y t .

z t z

= + = + = +

Le systme (S) est appel une reprsentation paramtrique de la droite (D) dans le repre (O ;

i ;

j ;

k) et on dit que t est le paramtre.

Exercice n10 : Donner une reprsentation paramtrique de la droite passant par les point A( 1 ; 2 ; 3) et B(1 ; 1 ; 1) Exercice n11 :

Considrons les droites : (d)

x t 1

y 2t 3 t

z t 2

= + = = +

et (d)

x 3t 2

y t 1 t

z t 1

= + = = +

.

tudier lintersection des deux droites (d) et (d), si elle existe.

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(P)

VI. Intersections de droites et de plans

a) Intersection de deux plans Le point de vue gomtrique : 2 plans sont parallles ssi leurs vecteurs normaux sont parallles.

(P1) et (P2) confondus (P1) et (P2) strictement parallles (P1) et (P2) scants

Le point de vue algbrique : Lorsque (a ; b ; c) et (a ; b ; c) ne sont pas proportionnels, lensemble des points M(x ; y ; z) de lespace tels

que : ( )ax by cz d 0

Sa'x b'y c'z d' 0

+ + + = + + + =

est une droite que lon dit dfinie par le systme (S) des deux

quations

Exercice n12 : Considrons les plans dquations : (P) : 2x + y z 2 = 0 et (P) : x + 3y + 7z 11 = 0

1. Dmontrer que les deux plans sont scants. 2. Donner une reprsentation paramtrique de la droite (d), intersection de ces deux plans.

Exercice n13 :

Dans un repre orthonorm (O ;

i :

j ;

k) ; les plans (P), (Q) et (R) ont respectivement pour quations cartsiennes x + y + z + 3 = 0 ; 2x + 2y + 2z + 7 = 0 ; 3x y + 2 = 0

1. Dterminer un vecteur normal chaque plan. 2. tudier lintersection des plans (P) et (Q). 3. tudier lintersection des plans (P) et (R).

b) Intersection dun plan (P) et dune droite ( )

() est contenue dans (P) () est strictement parallle (P) () et (P) sont scants

()

(P)

()

x A

(P1)

(P2)

(P)

()

(P1) = (P2) (P1)

(P2)

(d)

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Exercice n14 :

Dans un repre orthonorm (O ;

i :

j ;

k) , le plan (P) a pour quation : 5x + y z + 3 = 0 et la droite (d)

pour reprsentation paramtrique :

x t

y 1 6t t

z 3 t

= = =

.

1. tudier lintersection de la droite (d) et du plan (P).

2. tudier lintersection de la droite (d) passant par A(2 ; 1 ; 4) de vecteur directeur

u(2 ; 2 ; 4) et du plan (P) dquation : x + 2y z + 2 = 0

c) Intersection de trois plans Le point de vue gomtrique : (P), (Q) et (R) sont trois plans de lespace. Ils ont un seul point commun

Leur intersection est une droite Leur intersection est un plan

Le point de vue algbrique :

Dans un repre orthonorm (O ;

i :

j ;

k) , les plans (P), (Q) et (R) ont respectivement pour quations cartsiennes : ax + by + cz + d = 0 ; ax + by + cz + d = 0 et a x + b y + c z + d = 0, o a, b, c puis a, b, c puis a, b, c ne sont pas tous les trois nuls.

Pour tudier lintersection des trois plans, on peut rsoudre le systme :

ax by cz d 0

a'x b'y c'z d' 0

a"x b"y c"z d" 0

+ + + = + + + = + + + =

.

Ce systme, daprs le point de vue gomtrique, a soit aucun triplet solution, soit un triplet solution, soit une infinit de triplets solutions.

Ils nont pas de point commun

(R) (Q)

(d)

(P)

(P)

(Q)

(d)

(R)

A

(P)

(Q)

(R)

(R)

(R)

(P)

(Q)

(d) (d)

(R)

(P)

(Q)

(d) (d)

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Exercice n15 :

1. Dans un repre orthonorm (O ;

i :

j ;

k) , le plan (P) a pour quation : 2x y + z 7 = 0, le plan (Q) a pour quation : x + 2y z 6 = 0, le plan (R) a pour quation : x + y + 2z 11 = 0. tudier lintersection de ces trois plans.

2. Dans un repre orthonorm (O ;

i :

j ;

k) ,le plan (P) a pour quation : 2x + 3y 2z 2 = 0, le plan (Q) a pour quation : 4x 3y + z 4 = 0, le plan (R) a pour quation : 2x + 12y 7z 2 = 0. tudier lintersection de ces trois plans.