Pedro M. M. de Paula (092636)

Novembro 2011

ResumoDesde 1744, Leonhard Euler já havia demonstrado que o número e é irracional, mas

somente depois de 100 anos, em 1873, Charles Hermite demonstrou em seu trabalho Sur quelques applications des fonctions elliptiques que o número e é transcendente. O caso do número π foi semelhante, desde 1762 Johann Heinrich Lambert já havia demonstrado em seu trabalho Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logarithmiques que o número π é irracional, mas só em 1882, Carl Louis Ferdinand von Lindemann publicou que o número π é transcendente utilizando métodos similares aos de Charles Hermite na prova da transcendência de e. A partir dos métodos utilizados nas demonstrações de que π e e são transcendentes Karl Weierstrass provou um teorema muito geral que exibia a transcendência de πe e como corolário.

O número e é transcendenteDemonstraremos aqui a transcendência do número e, para isso utilizaremos um método

sugerido por David Hilbert e Adolf Hurwitz.

Teorema: O número e é transcendente.

Dem: Seja f ( x)∈ℝ[ x ] com grau ( f )=m e tome

onde t é um número complexo e a integral é tomada sobre a linha ligando 0 a t .

Integrando por partes nós obtemos

continuando o processo m vezes obtemos

onde f ( j) é a j−ésima derivada de f .

Se f (x)=∑i=0

m

a i x i , tome F ( x)=∑i=0

m

∣a i∣xi , assim temos

Suponha que e é algébrico . Então existe b0 , ... , bn∈ℤ tal que b0≠0 e

Compararemos agora estimativas para

onde I (t) é definido como acima com

p denotando um número primo suficientemente grande .

I ( t)=∫0

t

et−u f (u )du

I ( t)=(−et−u f (u))∣0t +∫

0

t

et−u du=et f (0)− f ( t)+∫0

t

e t−u f ´ (u)du

I ( t)=e t∑j=0

m

f ( j)(0)−∑j=0

m

f ( j )(t)

∣I (t)∣≤∫0

t

∣e t−u f (u)∣du≤∣t∣e∣t∣ F (∣t∣)

b0+b1 e+b2e2+...+bn en=0

J =b0 I (0)+b1 I (1)+...+bn I (n)

f (x )=x p−1(x−1)p ...(x−n)p

De (1) e (3) temos

onde m=(n+1) p−1.

Se j<p−1 temos que f ( j )(k )=0 para todo k , e se j= p−1 temos f ( j )(k )=0 para k>0 .No caso j=p−1 e k=0 o único termo diferente de 0é o termo diferenciado de x p−1 ,isto resulta que

Se j≥p , então os termos não nulos de f ( j)(k ) são os termos em que ( x−k )p foidiferenciado ; nesses casos os termos tem um coeficiente multiplo de p!.

Se assumirmos p>n ; então f ( p−1)(0) é múltiplo de ( p−1)! mas não de p!. Logo temos

onde M , N são inteiros e p∤M .

Assumimos também que p>b0 ; então Np+b0 M ≠0 e ∣J∣≥( p−1)!.

Por outro lado , F (k )≤(2n)m e assim por (2) temos

onde a=max (∣b0∣,... ,∣bn∣) e c é independente de p .

Mas para p grande o suficiente , ( p−1)!≥c p. Logo os limitantes de J são contraditórios .

J =∑k =0

n

bk I (k )=∑k=0

n

bk [ek ∑

j=0

m

f ( j)(0)−∑j=0

m

f ( j )(k )]=−∑j=0

m

∑k=0

n

bk f ( j)(k )

f ( p−1)(0)=( p−1)!(−1)np(n!)p

J =N p!+b0 M ( p−1)!=( p−1)!( Np+b0 M )

∣J∣≤∣b1∣e F (1)+...+∣bn∣n en F (n)≤a n en(2n )(n+1) p−1=a en

2(2n)(n+1) p≤c p

O número π é transcendenteDemonstraremos aqui a transcendência do número π, para isso utilizaremos o mesmo

método utilizado para a demonstração da transcendência de e.

Teorema: O número π é transcendente.

Dem: Suponha que π é algébrico , então i π também é algébrico . Seja f (x)=∑i=0

d

a i x i o

polinômio minimal de i π com a0≠0 e sejam w1=i π , w2 ,... ,w d as outras raízes de f ( x) .Como ei π=−1 temos

Este produto pode ser escrito como uma soma de 2d termos eW c1 , ... ,c d , onde

e ci=0 ou 1 ; suponhamos que n dos números

não são zero , denotemos estes por u1 , ... , un. Temos assim

onde q=2d −n .

Compararemos agora estimativas para

onde I (t) é definido como no teorema anterior com

p denotando um primo suficientemente grande . De (1) e (4) temos

com m=grau ( f )=(n+1) p−1 .

(1+ew1)...(1+ewd)=0

W c 1 ,... ,cd=c1 w1+...+cd wd

c1 w1+...+cd wd

q+eu1+...+eud=0

J =I (u1)+...+I (un)

f (x )=adnp x p−1( x−u1)

p ...( x−un)p

J =∑k =1

n

I (uk )=∑k=1

n

[eu k∑j=0

m

f ( j )(0)−∑j=0

m

f ( j)(uk)]=−q∑j=0

m

f ( j)(0)−∑j=0

m

∑k =1

n

f ( j)(uk )

A soma sobre k é um polinômio simétrico em ad u1 , ... , ad un com coeficientes nos inteiros.Temos que ad u i são algébricos pois ad wi são algébricos . Peloteorema fundamental dospolinômios simétricos , temos que a soma em k é um polinômio em funções simétricas emad u i . Como ui são elementos não nulos de W c1 ,... , cd

, vemos que a soma também é umpolinômio em funções elementares simétricas de ad W c1 ,... ,cd

, então é um polinômiosimétrico com coeficientes inteiros em ad wi . Aplicando novamente o teorema fundamentaldos polinômios simétricos , vemos que a soma sobre k é um polinômio nas funçõessimétricas elementares de ad wi . Mas essas funções simétricas elementares são oscoeficientes do polinômio minimal de ad i π , que é inteiro . Logo a soma é um inteiro .

Por argumentos identicos ao do teorema anterior , temos f ( j)(uk)=0 quando j<p e entãof ( j )(uk ) é um múltiplo de p!; e f ( j)(0)é um múltiplo de p! se j≠p−1. Temos que

é múltiplo de ( p−1)! mas não é divisível por p se p é maior que ad u1...un. Ainda maisse p>q temos que J é não nulo e divisível por ( p−1)! e então ∣J∣≥( p−1)!. Mas temos

Logo para p suficientemente grande temos uma contradição .

Bibliografia1. I.N. Herstein, Topics in Algebra, John Wiley & Sons, 1975.

2. David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract Algebra, John Wiley & Sons, 2004.

3. Alan Baker, Transcendenttal Number Theory, Cambridge University Press, 1975.

f ( p−1)(0)=( p−1)!(−ad)np(u1 ... un)

p

∣J∣≤∣u1∣e∣u1∣F (∣u1∣)+...+∣un∣e∣un∣F (∣un∣)≤c p