Fractal, Αυτά τα άγνωστα γεωμετρικά σχήματα

τάξη Α’2

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

FRACTALS

Οµάδα Δ.Ι.Κ

Δανάη Παληογιάννη

Ιωάννα Παλµπά

Κώστας Ντάλας

Νίκος Γεωργαλής

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ........................................................................................................2

Τι είναι fractal? ..........................................................................................................2

Ποιος είναι ο Mandel brot?......................................................................................3

Υπάρχουν στη φύση?.....................................................................................................4

Τι εργαλείο έχω για να σχεδιάσω fractal? ............................................................4

Δηµιουργίες fractal, εικόνες δικές µας, από το Internet..................................4

Ποια fractals σχεδιάσαµε? .......................................................................................5

Τι είναι fractal?

Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. µορφόκλασµα ή

µορφοκλασµατικό σύνολο) στα Μαθηµατικά, τη Φυσική αλλά και σε

πολλές επιστήµες ονοµάζεται ένα γεωµετρικό σχήµα που

επαναλαµβάνεται αυτούσιο σε άπειρο βαθµό µεγέθυνσηςΤα

φράκταλ σε πολλές περιπτώσεις µπορεί να προκύψουν από τύπο

που δηλώνει αριθµητική, µαθηµατική ή λογική επαναληπτική

διαδικασία ή συνδυασµό αυτών. Η πιο χαρακτηριστική ιδιότητα των

φράκταλ είναι ότι είναι γενικά περίπλοκα ως προς τη µορφή τους,

δηλαδή εµφανίζουν ανωµαλίες στη µορφή σε σχέση µε τα

συµβατικά γεωµετρικά σχήµατα. Κατά συνέπεια δεν είναι

αντικείµενα τα οποία µπορούν να οριστούν µε τη βοήθεια της

ευκλείδειας γεωµετρίας. Αυτό υποδεικνύεται από το ότι τα

φράκταλ, όπως έχει αναφερθεί παραπάνω, έχουν λεπτοµέρειες, οι

οποίες όµως γίνονται ορατές µόνο µετά από µεγέθυνσή τους σε

κάποια κλίµακα. Για να γίνει αντιληπτός αυτός ο διαχωρισµός των

φράκταλ σε σχέση µε την ευκλείδεια γεωµετρία, αναφέρουµε ότι,

αν µεγεθύνουµε κάποιο αντικείµενο το οποίο µπορεί να οριστεί µε

την ευκλείδεια γεωµετρία, παραδείγµατος χάριν την περιφέρεια

µιας έλλειψης, αυτή µετά από αλλεπάλληλες µεγεθύνσεις θα

εµφανίζεται απλά ως ευθύγραµµο τµήµα. Η συµβατική ιδέα της

καµπυλότητας η οποία αντιπροσωπεύει το αντίστροφο της ακτίνας

ενός προσεγγίζοντος κύκλου, δεν µπορεί ωφέλιµα να ισχύσει στα

φράκταλ επειδή αυτή εξαφανίζεται κατά τη µεγέθυνση. Αντίθετα,

σε ένα φράκταλ, θα εµφανίζονται κατόπιν µεγεθύνσεων

λεπτοµέρειες που δεν ήταν ορατές σε µικρότερη κλίµακα

µεγέθυνσης.

Ποιος είναι ο Mandel brot?

Ο όρος προτάθηκε από τον Μπενουά Μάντελµπροτ (Benoît Mandelbrot) το 1975 και προέρχεται από τη λατινική λέξη

fractus, που σηµαίνει "σπασµένος", "κατακερµατισµένος".Ο

Mandel Brot ήταν Γαλλοαµερικανός µαθηµατικός. Γεννηµένος

στην Πολωνία, µετακόµισε στη Γαλλία µε την οικογένειά του όντας

ακόµη σε παιδική ηλικία. Πέρασε µεγάλο µέρος της ζωής του

διαµένοντας και δουλεύοντας στις Ηνωµένες Πολιτείες,

αποκτώντας διπλή γαλλική και αµερικανική υπηκοότητα. Ωστόσο

είναι περισσότερο γνωστός ως ο «πατέρας» της γεωµετρίας των

φράκταλ. Καθιέρωσε τον όρο φράκταλ για να περιγράψει µια

κατηγορία µαθηµατικών αντικειµένων µε ακανόνιστα

περιγράµµατα, τα οποία µιµούνται τα ακανόνιστα σχήµατα που

απαντώνται στη φύση.[1] Το γνωστότερο από αυτά, που ονοµάστηκε

προς τιµήν του «Σύνολο Μάντελµπροτ», έχει εκτυπωθεί σε

αφίσες, λευκώµατα, ακόµη και σε µπλουζάκια.[2] Ο ίδιος φρόντισε

για τη διάδοση των ευρηµάτων του στο ευρύ κοινό, γράφοντας

βιβλία και δίδοντας πολλές διαλέξεις.

Υπάρχουν στη φύση?

Πολλά στοιχεία δείχνουν ότι η φύση έχει πιθανόν τέτοια

χαρακτηριστικά. Θα γίνει αναφορά εδώ στους βιολογικούς

οργανισµούς, δηλαδή στο βιολογικό επίπεδο οργάνωσης της φύσης,

όπου παρατηρούµε τέτοια χαρακτηριστικά, πριν µιλήσουµε για την

υπόλοιπη φύση.Οι βιολογικοί οργανισµοί αναπαράγονται µε βάση

τις πληροφορίες που περιέχονται στο γενετικό τους υλικό που

είναι αποτυπωµένο στο DNA.

Τι εργαλείο έχω για να σχεδιάσω fractal?

Υπάρχει µεγάλος αριθµός προγραµµατιστικών εργαλείων για τη

σχεδίαση φράκταλ. Επιλέξαµε µια γνωστή για τους περισσότερους

προγραµµατιστική γλώσσα για τη σχεδίαση φράκταλ, τη logo. H

logo είναι γνωστή σε όλους από την επαφή που είχαµε µαζί της

στο µάθηµα της πληροφορικής στη Γ Γυµνασίου.

Δηµιουργίες fractal, εικόνες δικές µας, από το

Internet.

Ποια fractals σχεδιάσαµε?

TO SQUARE.FRACTAL :SLENGTH :SDEPTH

IF :SDEPTH = 0 [ STOP ]

REPEAT 4 [

FORWARD :SLENGTH

RIGHT 90

SQUARE.FRACTAL :SLENGTH * 0.4 :SDEPTH - 1

]

END SQUARE.FRACTAL 200 4

TO PLANT :SIZE :ANGLE

IF :SIZE < 1 [ STOP ]

RIGHT :ANGLE

FORWARD :SIZE

REPEAT 4 [

PLANT :SIZE / 2 DIFFERENCE

RANDOM 160 80

]

BACK :SIZE

LEFT :ANGLE

END

PLANT 60 0

PROJECT Α΄ ΕΠΑΛ

ΒΟΝΙΤΣΑΣ

FRACTAL

ΟΜΑ∆Α ΠΥΡΑΥΛΟΣ:

ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΠΙΝΤΖΟΣ

ΕΝΚΕΛΜΙΡ ΧΑΛΙΛΙ

ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΠΑΛΟΥΚΗΣ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΜΗΤΣΟΥΡΑΣ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ...........................................................................................................7

1) Τι είναι fractal ........................................................................................................7

2) Ποιος είναι ο mαndelbrot.......................................................................................7

3) Υπάρχουν στην φύση.............................................................................................8

4) Τι εργαλείο έχω για να σχεδιάσω fractal ...............................................................8

5)Ποια φρακταλ σχεδιασαµε .........................................................................................8

6) ∆ηµιουργίες φράκταλ, εικόνες δικές µας από το διαδίκτυο???.................................9

1) Τι είναι fractal

Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. µορφόκλασµα ή µορφοκλασµατικό

σύνολο) στα Μαθηµατικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήµες ονοµάζεται ένα

γεωµετρικό σχήµα που επαναλαµβάνεται αυτούσιο σε άπειρο βαθµό µεγέθυνσης, κι

έτσι συχνά αναφέρεται σαν "απείρως περίπλοκο". Το φράκταλ παρουσιάζεται ως

"µαγική εικόνα" που όσες φορές και να µεγεθυνθεί οποιοδήποτε τµήµα του θα

συνεχίζει να παρουσιάζει ένα εξίσου περίπλοκο σχέδιο µε µερική ή ολική επανάληψη

του αρχικού. Χαρακτηριστικό εποµένως των φράκταλ είναι η λεγόµενη αυτο-

οµοιότητα (self-similarity) σε κάποιες δοµές τους, η οποία εµφανίζεται σε

διαφορετικά επίπεδα µεγέθυνσης.

Τα φράκταλ σε πολλές περιπτώσεις µπορεί να προκύψουν από τύπο που δηλώνει

αριθµητική, µαθηµατική ή λογική επαναληπτική διαδικασία ή συνδυασµό αυτών. Η

πιο χαρακτηριστική ιδιότητα των φράκταλ είναι ότι είναι γενικά περίπλοκα ως προς

τη µορφή τους, δηλαδή εµφανίζουν ανωµαλίες στη µορφή σε σχέση µε τα συµβατικά

γεωµετρικά σχήµατα. Κατά συνέπεια δεν είναι αντικείµενα τα οποία µπορούν να

οριστούν µε τη βοήθεια της ευκλείδειας γεωµετρίας. Αυτό υποδεικνύεται από το ότι

τα φράκταλ, όπως έχει αναφερθεί παραπάνω, έχουν λεπτοµέρειες, οι οποίες όµως

γίνονται ορατές µόνο µετά από µεγέθυνσή τους σε κάποια κλίµακα.

2) Ποιος είναι ο mαndelbrot

Ο Μπενουά Μάντελµπροτ[σηµ. 1]

(Benoît B. Mandelbrot, 20 Νοεµβρίου 1924 - 14

Οκτωβρίου 2010) ήταν Γαλλοαµερικανός µαθηµατικός. Γεννηµένος στην Πολωνία,

µετακόµισε στη Γαλλία µε την οικογένειά του όντας ακόµη σε παιδική ηλικία.

Πέρασε µεγάλο µέρος της ζωής του διαµένοντας και δουλεύοντας στις Ηνωµένες

Πολιτείες, αποκτώντας διπλή γαλλική και αµερικανική υπηκοότητα.

Ο Μάντελµπροτ εργάστηκε σε ευρύ φάσµα πεδίων των µαθηµατικών, ανάµεσα στα

οποία συναντούµε τα µαθηµατικά φυσικών επιστηµών και την ποσοτική

χρηµατοοικονοµική. Ωστόσο είναι περισσότερο γνωστός ως ο «πατέρας» της

γεωµετρίας των φράκταλ. Καθιέρωσε τον όρο φράκταλ για να περιγράψει µια

κατηγορία µαθηµατικών αντικειµένων µε ακανόνιστα περιγράµµατα, τα οποία

µιµούνται τα ακανόνιστα σχήµατα που απαντώνται στη φύση.[1]

Το γνωστότερο από

αυτά, που ονοµάστηκε προς τιµήν του «Σύνολο Μάντελµπροτ», έχει εκτυπωθεί σε

αφίσες, λευκώµατα, ακόµη και σε µπλουζάκια.[2]

Ο ίδιος φρόντισε για τη διάδοση

των ευρηµάτων του στο ευρύ κοινό, γράφοντας βιβλία και δίδοντας πολλές διαλέξεις.

Οι ανακαλύψεις του Μάντελµπροτ εφαρµόζονται σε τοµείς όπως όπως η γεωλογία, η

ιατρική, η αστρονοµία, η µηχανολογία, η µετεωρολογία, καθώς και τα οικονοµικά και

η ανατοµία.

3) Υπάρχουν στην φύση . Φράκταλ απαντώνται και στη φύση, χωρίς όµως να υπάρχει άπειρη λεπτοµέρεια στη

µεγέθυνση όπως στα φράκταλ που προκύπτουν από µαθηµατικές σχέσεις. Ως

παραδείγµατα φράκταλ στη φύση, αναφέρονται το σχέδιο των νιφάδων του χιονιού,

τα φύλλα των φυτών ή οι διακλαδώσεις των αιµοφόρων αγγείων.

4) Τι εργαλείο έχω για να σχεδιάσω fractal

Επιλέξαµε µια γνωστή για τους περισσότερους προγραµµατιστική γλώσσα για τη

σχεδίαση φράκταλ, τη logo. H logo είναι γνωστή σε όλους από την επαφή που είχαµε

µαζί της στο µάθηµα της πληροφορικής στη Γ Γυµνασίου.

Ένα εξελληνισµένο προγραµµατιστικό περιβάλλον της logo, κατάλληλο να

χρησιµοποιηθεί στο σχολικό εργαστήριο, είναι αυτό της Fmslogo.

5) Ποια φρακταλ σχεδιασαµε Το φρακταλ του Koch, το τρίγωνο sierpinski , το φρακταλ Cesaro και το

φτακταλ δέντρο. Για παράδειγµα:



REPEAT 4 [

FORWARD :SLENGTH

RIGHT 90


]

END

SQUARE.FRACTAL 200 4



RIGHT :ANGLE

FORWARD :SIZE

REPEAT 4 [

PLANT :SIZE / 2 DIFFERENCE RANDOM 160 80

]

BACK :SIZE

LEFT :ANGLE

END

PLANT 60 0

6) ∆ηµιουργίες φράκταλ, εικόνες δικές µας από το διαδίκτυο???

Α ΤΑΞΗ ΕΠΑΛ ΒΟΝΙΤΣΑΣ

ΣΧΕ∆ΙΑΣΜΟΣ FRACTAL

ΟΝΟΜΑΤΑ ΟΜΑ∆ΑΣ KTM:

ΜΑΚΗΣ ΚΑΒΟΥΝΟΣ

ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΠΑΙΛΗΣ

ΝΙΚΟΣ ΒΑΡ∆ΗΣ

ΕΛΙΣΙΟΝ ΣΠΕΡ∆ΕΑ

20/11/2012 ΒΟΝΙΤΣΑΣ

ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΦΡΑΚΤΑΛ.

Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. µορφόκλασµα ή µορφοκλασµατικό σύνολο)

στα Μαθηµατικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήµες ονοµάζεται ένα













οριστούν µε τη βοήθεια της ευκλείδειας γεωµετρίας. Αυτό υποδεικνύεται από το ότι

τα φράκταλ, όπως έχει αναφερθεί παραπάνω, έχουν λεπτοµέρειες, οι οποίες όµως


Το σύνορο του συνόλου Μάντελµπροτ έχει κι αυτό φράκταλ δοµή.

Για να γίνει αντιληπτός αυτός ο διαχωρισµός των φράκταλ σε σχέση µε την

ευκλείδεια γεωµετρία, αναφέρουµε ότι, αν µεγεθύνουµε κάποιο αντικείµενο το οποίο

µπορεί να οριστεί µε την ευκλείδεια γεωµετρία, παραδείγµατος χάριν την περιφέρεια

µιας έλλειψης, αυτή µετά από αλλεπάλληλες µεγεθύνσεις θα εµφανίζεται απλά ως

ευθύγραµµο τµήµα. Η συµβατική ιδέα της καµπυλότητας η οποία αντιπροσωπεύει το

αντίστροφο της ακτίνας ενός προσεγγίζοντος κύκλου, δεν µπορεί ωφέλιµα να ισχύσει

στα φράκταλ επειδή αυτή εξαφανίζεται κατά τη µεγέθυνση. Αντίθετα, σε ένα

φράκταλ, θα εµφανίζονται κατόπιν µεγεθύνσεων λεπτοµέρειες που δεν ήταν ορατές

σε µικρότερη κλίµακα µεγέθυνσης.

Φράκταλ απαντώνται και στη φύση, χωρίς όµως να υπάρχει άπειρη λεπτοµέρεια στη

µεγέθυνση όπως στα φράκταλ που προκύπτουν από µαθηµατικές σχέσεις. Ως

παραδείγµατα φράκταλ στη φύση, αναφέρονται το σχέδιο των νιφάδων του χιονιού,

τα φύλλα των φυτών ή οι διακλαδώσεις των αιµοφόρων αγγείων.

Ο όρος προτάθηκε από τον Μπενουά Μάντελµπροτ (Benoît Mandelbrot) το 1975 και

προέρχεται από τη λατινική λέξη fractus, που σηµαίνει "σπασµένος",

"κατακερµατισµένος".

Για να κατανοήσουµε καλύτερα την αναγκαιότητα εισαγωγής των φράκταλ

αναφέρουµε το εξής παράδειγµα:

Η περίµετρος ενός νησιού εννοείται ότι είναι ορισµένη. Ωστόσο, αν

χρησιµοποιήσουµε ακρίβεια ενός µέτρου για να την µετρήσουµε, θα την βρούµε

µικρότερη από ότι πραγµατικά είναι γιατί δεν θα µπορέσουµε να µετρήσουµε τις

κοιλότητες που είναι µικρότερες του ενός µέτρου. Αν µετρήσουµε µε ακρίβεια ενός

εκατοστού, πάλι θα χάσουµε ορισµένες κοιλότητες. Έτσι καταλήγουµε σε απειροστά

µικρή µονάδα µέτρησης και η περίµετρος του νησιού θα γίνει άπειρη. Η επιφάνεια

όµως του νησιού, η έκτασή του δηλαδή, είναι ορισµένη. Το παράδοξο αυτό, το οποίο

η Ευκλείδεια Γεωµετρία αδυνατεί να εξηγήσει, αντιµετωπίζεται µε τα φράκταλ.

ΠΟΙΟΣ ΕΙΝΑΙ Ο MANDELBROT.

Ο Benoit Mandelbrot γεννήθηκε στις 20 Νοεµβρίου

του 1924 στη Βαρσοβία (Πολωνία). Θεωρείται ότι

είναι σε µεγάλο βαθµό υπεύθυνος για το ενδιαφέρον

που υπάρχει στην εποχή µας για τη φρακταλική

γεωµετρία. Κατάφερε να επιδείξει το πώς τα

Φράκταλς εµφανίζονται σε διάφορα πεδία, εκτός των

µαθηµατικών, σχεδόν σε κάθε έκφραση της φύσης.

Γεννήθηκε σε µία οικογένεια µε µεγάλη ακαδηµαϊκή

παράδοση. Ο πατέρας του, είχε ως επάγγελµα την

αγοραπωλησία ρούχων, ενώ η µητέρα του ήταν

γιατρός. Σαν µικρό παιδί ο Mandelbrot έκανε την

γνωριµία µε τα µαθηµατικά µέσω των δύο θείων του.

Η οικογένειά του µετανάστευσε στη Γαλλία το 1936

και ο θείος του Szolem Mandelbrot, που ήταν καθηγητής Μαθηµατικών στο Γαλλικό

Κολλέγιο και διάδοχος του Hadamard σε αυτό το πόστο, πήρε την ευθύνη για τη

µόρφωσή του. Στην πραγµατικότητα η επιρροή του Szolem Mandelbrot ήταν

ταυτόχρονα θετική και αρνητική, καθώς υπήρξε µεγάλος θαυµαστής του Hardy και

της Φιλοσοφίας του περί Μαθηµατικών. Αυτό δηµιούργησε µία αντίδραση στον

Mandelbrot για τα Καθαρά Μαθηµατικά, αν και, τώρα πλέον, ο ίδιος λέει ότι

κατανοεί πως ο βαθύς ειρηνισµός του Hardy τον έκανε να φοβάται ότι τα

Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά, στα λάθος χέρια, µπορεί να χρησιµοποιούνταν για κακό

σε καιρό πολέµου.

Ο Mandelbrot φοίτησε στο Λύκειο Rolin στο Παρίσι µέχρι την έναρξη του 2ου

παγκοσµίου πολέµου, όταν η οικογένειά του µετακόµισε στην Tulle στην κεντρική

Γαλλία. Αυτή ήταν µία εποχή εξαιρετικής δυσκολίας για τον Mandelbrot που

φοβήθηκε για την ζωή του σε πολλές περιπτώσεις. Ο πόλεµος, η συνεχής απειλή της

φτώχιας και η ανάγκη επιβίωσης τον κράτησαν µακριά από το σχολείο και το κολέγιο

και, παρότι αναγνωρίζει τους δασκάλους του της δευτεροβάθµιας εκπαίδευσης ως

«θαυµάσιους», ο ίδιος ήταν σε µεγάλο βαθµό αυτοδίδακτος.

Ο Mandelbrot τώρα αποδίδει µεγάλο µέρος της επιτυχίας του στη µη συµβατική του

εκπαίδευση. Του επέτρεψε να σκέφτεται µε τρόπους που µπορεί να ήταν δύσκολοι

για κάποιον που µέσω της συµβατικής εκπαίδευσης ενθαρρύνεται σθεναρά να

σκέφτεται µε δεδοµένους τρόπους. Επίσης του επέτρεψε να αναπτύξει µία υψηλά

γεωµετρική προσέγγιση των µαθηµατικών, και η αξιοσηµείωτη γεωµετρική του

διαίσθηση και οπτική άρχισε να του δίνει µοναδικές ενοράσεις πάνω σε µαθηµατικά

προβλήµατα.

Μετά τη φοίτησή του στη Λυών, ο Mandelbrot µπήκε στην Ecole Normale στο

Παρίσι. Μάλλον ήταν µία από τις πιο σύντοµες φοιτήσεις εκεί, αφού έφυγε µετά από

µία µόλις ηµέρα! Μετά από µία πολύ επιτυχηµένη απόδοση στις εξετάσεις εισαγωγής

στην Ecole Polytechnique, ο Mandelbrot ξεκίνησε τις σπουδές του εκεί το 1944.

Φοίτησε υπό την καθοδήγηση του Paul Levy, που ήταν άλλος ένας άνθρωπος µε

ισχυρή επίδραση πάνω του.

Μετά τη συµπλήρωση των σπουδών του εκεί, πήγε στις Η.Π.Α., όπου επισκέφθηκε το

Ινστιτούτο Τεχνολογίας στην Καλιφόρνια. Μετά από ένα διδακτορικό από το

Πανεπιστήµιου του Παρισιού, πήγε στο Ινστιτούτο Προωθηµένων Σπουδών στο

Princeton, όπου µπήκε υπό την επίβλεψη του John von Neumann.

Επέστρεψε στη Γαλλία το 1955 και εργάστηκε στο Εθνικό Κέντρο Επιστηµονικής

Έρευνας. Παντρεύτηκε την Aliette Kagan κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου όπου

διέµενε στη Γαλλία και στη Γενεύη, αλλά δεν του πήρε µεγάλο χρονικό διάστηµα για

να επιστρέψει στις Ηνωµένες Πολιτείες. Ο Clark αναφέρει τις αιτίες για την

απογοήτευσή του µε το στυλ Μαθηµατικών στην Γαλλία εκείνη την εποχή:

ΥΠΑΡΧΟΥΝ FRACTAL ΣΤΗ ΦΥΣΗ;

Υπάρχουν πολλά παραδείγµατα στην φύση όπως τα βουνά , δέντρα, κοχύλια και

άλλα. Τα βουνά δηµιουργούν fractal από διάφορες σεισµούς παραµορφώνονται και

µας κάνουν fractal.τα δένδρα µας κάνουν fractal από τα διάφορα κλαδιά που το ένα

φεύγει από εδώ και το άλλο από κει..

ΤΙ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΕΧΩ ΓΙΑ ΝΑ ΣΧΕ∆ΙΑΣΩ FRACTAL.. Σχεδιάσαµε fractal στον υπολογιστή µε το πρόγραµµα fms logo που βρίσκεται στην

παρακάτω ιστοσελίδα http://sourceforge.net/projects/fmslogo/ και είναι δωρεάν..

Παρακάτω αναφέρονται 2 παραδείγµατα fractal

∆ηµιουργίες fractal ,εικόνες δικές µας , από το διαδίκτυο

ΠΩΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΖΟΥΜΕ FRACTAL

ΤΟ ΚΑΝΟΥΜΕ ΜΕ ΤΗΝ LOGO ΓΙΑ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΗ ΕΥΚΟΛΙΑ…..

Το κάνουµε µε την logo αλλά υπάρχουν πoλλοί τρόποι να σχεδιάσουµε.

ΠΟΙΑ FRACTAL ΣΧΕ∆ΙΑΣΑΜΕ



REPEAT 4 [

FORWARD :SLENGTH

RIGHT 90


]

END

SQUARE.FRACTAL 200 4



RIGHT :ANGLE

FORWARD :SIZE

REPEAT 4 [

PLANT :SIZE / 2 DIFFERENCE RANDOM 160 80

]

BACK :SIZE

LEFT :ANGLE

END

PLANT 60 0

ΕΠΑΛ ΒΟΝΙΤΣΑΣ

Α ΤΑΞΗ

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ 1ου

ΤΕΤΡΑΜΗΝΟΥ

ΟΜΑ∆Α ΜΑΘΗΤΩΝ:TAKEGAWA

ΝΤΟΥΡΑΝΤΩΝΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΤΡΙΑΝΤΑΚΩΝΣΤΑΝΤΗΣ ΓΕΡΑΣΙΜΟΣ

ΦΟΥΡΛΗΣ ΑΝΤΩΝΗΣ

20/11/2012 ΒΟΝΙΤΣΑ

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ

Τι ονοµάζουµε φράκταλ ; ............................................................................................20

Ποιος είναι ο µαθηµατικός που τα ανακάλυψε ; .........................................................20

Είναι τα φράκταλ δηµιουργήµατα του ανθρώπινου µυαλού ή µπορούµε να τα

απαντήσουµε και γύρω µας στη φύση ; .......................................................................20

Ποια είναι τα βασικά γνωρίσµατα των φράκταλ ; .......................................................21

Αναζήτηση προγραµµάτων ή εφαρµογών που θα µας επιτρέψουν να σχεδιάσουµε τα

δικά µας φράκταλ?.......................................................................................................21

Παρουσίαση γνωστών φράκταλ. .................................................................................21

Παρουσίαση των δικών µας κατασκευασµένων φράκταλ.......................................22

Εξήγηση των εργαλείων και των µεθόδων που χρησιµοποιήσαµε για να σχεδιάσουµε

φράκταλ στον υπολογιστή. ..........................................................................................23

Τι ονοµάζουµε φράκταλ ;






οριστούν µε τη βοήθεια της ευκλείδειας γεωµετρίας. Αυτό υποδεικνύεται από το ότι τα

φράκταλ, όπως έχει αναφερθεί παραπάνω, έχουν λεπτοµέρειες, οι οποίες όµως


Ποιος είναι ο µαθηµατικός που τα ανακάλυψε ;

Ο Μάντελµπροτ εργάστηκε σε ευρύ φάσµα πεδίων των µαθηµατικών, ανάµεσα στα

οποία συναντούµε τα µαθηµατικά φυσικών επιστηµών και την ποσοτική

χρηµατοοικονοµική. Ωστόσο είναι περισσότερο γνωστός ως ο «πατέρας» της

γεωµετρίας των φράκταλ. Καθιέρωσε τον όρο φράκταλ για να περιγράψει µια

κατηγορία µαθηµατικών αντικειµένων µε ακανόνιστα περιγράµµατα, τα οποία

µιµούνται τα ακανόνιστα σχήµατα που απαντώνται στη φύση. Το γνωστότερο από

αυτά, που ονοµάστηκε προς τιµήν του «Σύνολο Μάντελµπροτ», έχει εκτυπωθεί σε

αφίσες, λευκώµατα, ακόµη και σε µπλουζάκια. Ο ίδιος φρόντισε για τη διάδοση των

ευρηµάτων του στο ευρύ κοινό, γράφοντας βιβλία και δίδοντας πολλές διαλέξεις.

Είναι τα φράκταλ δηµιουργήµατα του ανθρώπινου µυαλού ή µπορούµε να τα απαντήσουµε και γύρω µας στη φύση ;

Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. µορφόκλασµα ή µορφοκλασµατικό σύνολο)









Ποια είναι τα βασικά γνωρίσµατα των φράκταλ ; Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. µορφόκλασµα ή µορφοκλασµατικό σύνολο)









Αναζήτηση προγραµµάτων ή εφαρµογών που θα µας επιτρέψουν να σχεδιάσουµε τα δικά µας φράκταλ?

Επιλέξαµε µια γνωστή για τους περισσότερους προγραµµατιστική γλώσσα για τη

σχεδίαση φράκταλ, τη logo. H logo είναι γνωστή σε όλους από την επαφή που είχαµε

µαζί της στο µάθηµα της πληροφορικής στη Γ Γυµνασίου.

Ένα εξελληνισµένο προγραµµατιστικό περιβάλλον της logo, κατάλληλο να

χρησιµοποιηθεί στο σχολικό εργαστήριο, είναι αυτό της Fmslogo.

Παρουσίαση γνωστών φράκταλ.

K. Hokusai, Το µεγάλο κύµα στη Kanagawa

To fractal του Mandelbrot

Παρουσίαση των δικών µας κατασκευασµένων φράκταλ.



RIGHT :ANGLE

FORWARD :SIZE

REPEAT 4 [

PLANT :SIZE / 2 DIFFERENCE RANDOM

160 80

]

BACK :SIZE

LEFT :ANGLE

END

PLANT 100 0

Εξήγηση των εργαλείων και των µεθόδων που χρησιµοποιήσαµε για να σχεδιάσουµε φράκταλ στον υπολογιστή.

• Σχεδιάσαµε στο logo φράκταλ και πιο συγκεκριµένα ατην fmslogo

• Ψάξαµε στο Mozilla χρησιµοποιώντας τη σελίδα της google για εικόνες και

αλλά διάφορες πληροφορίες σε σχέση µε τα φράκταλ.

• Χρησιµοποιήσαµε το microsoft Word για να γράψουµε την εργασία

Fractal, Αυτά τα άγνωστα γεωμετρικά σχήματα

Documents

Transcript of Fractal, Αυτά τα άγνωστα γεωμετρικά σχήματα