FormulariodiMatematica v.5.201ﬁ - pitzalisnet.it · Unaproposizonesidice complessa...

Formulario di Matematicav.5.201α

Daniele [email protected]

07/05/2005

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0.1 PrefazionePrimo: La Biblioteca esiste ab aeterno. Di questa verità, il cuicorollario immediato è l'eternità futura del mondo, nessuna menteragionevole può dubitare. L'uomo, questo imperfetto bibliotecario,può essere opera del caso o di demiurghi malevoli; l'universo, con lasua elegante dotazione di scaali, di tomi enigmatici, di infaticabiliscale per il viaggiatore e di latrine per il bibliotecario seduto, nonpuò essere che l'opera di un dio. [. . . ]Secondo: Il numero dei simboli ortograci è di venticinque(1). Que-sta constatazione permise, or sono tre secoli, di formulare una teoriagenerale della Biblioteca e di risolvere soddisfacentemente il proble-ma che nessuna congettura aveva permesso di decifrare: la naturainforme e caotica di quasi tutti i libri.

J.L. Borges, La Biblioteca di Babele

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Ogni commento, suggerimento o correzzione è ben accetto.Grazie a chi mi ha aiutato nella correzione e dato utili consigli (Daniele Marconi([email protected]), Leonardo Ferro ([email protected]),Luigi Amedeo Bianchi, ing. Francesco Pio Placentino) e soprattutto a chi miha insegnato (e fatto piacere) la matematica!

In copertina: Luigi Poletti (Pontremoli 1864-1967). Grazie a Marco Angella.1II manoscritto originale non contiene cifre né maiuscole. La punteggiatura è limitata

alla virgola e al punto. Questi due segni, lo spazio, e le ventidue lettere d'alfabeto, sono iventicinque simboli sucienti che enumera lo sconosciuto [N. d. E.].

Parte I

Formulario

3

Capitolo 1

Logica e Insiemistica

1.1 Logica1.1.1 DenizioniDenizione 1 (Proposizione, Enunciato) Si dice proposizione (o enuncia-to) un'espressione del linguaggio naturale per cui sia possibile attribuire un valo-re di verità (vero=T=1=>; falso=F=0=⊥). Una proposizone si dice complessase é composta da proposizioni semplici collegate tra loro da connettivi logici.

Denizione 2 (Predicato) Si dice predicato una frase contenente variabiliche diventi una proposizione qualora si specichi il valore delle variabili stesse.

1.1.2 Connettivi Logici• non ¬ (oppure: ¬p ≡ p); unario; complementare; ¬p ha valore vero sse p

ha valore falso;

• e ∧; binario; intersezione; p ∧ q ha valore vero sse p e q hanno entrambivalore vero;

• o ∨; binario; unione; p∨ q ha valore vero se almeno uno tra p e q ha valorevero;

• se ... allora, implica, condizione suciente anchè q..., condi-zione necessaria anchè p... =⇒; binario; p =⇒ q ha valore vero se pha valore falso o se sia p che q hanno valore vero;

• se e solo se (sse, i), coimplica, condizione necessaria e sucien-te (cnes) ⇐⇒; binario; p ⇐⇒ q ha valore vero se p ha lo stesso valore diverità di q.

5

6 CAPITOLO 1. LOGICA E INSIEMISTICA

1.1.3 Tabelle di Verità

p q ¬p p ∧ q p ∨ q p =⇒ q p ⇐⇒ q

1 1 0 1 1 1 11 0 0 0 1 0 00 1 1 0 1 1 00 0 1 0 0 1 1

Tabella 1.1: Tavole di Verità

1.1.4 Leggi logiche notevoli* Tabella 1.2 a pag.7

1.2 InsiemisticaDenizione 3 (Insieme) A = x1, x2, . . . , xn = x|P(x).

Denizione 4 (Intersezione) A ∩B = x|x ∈ A ∧ x ∈ B

Denizione 5 (Unione) A ∪B = x|x ∈ A ∨ x ∈ B

Denizione 6 (Dierenza) A \B = x|x ∈ A ∧ ¬(x ∈ B)

Denizione 7 (Dierenza simmetrica) A∆B = A \B ∪B \A

Denizione 8 (Complementare) Detto U l'insieme universo, Ac =cA = A = x|x ∈ U \A = x|¬(x ∈ A)

Denizione 9 (Insieme (potenza) delle parti) P(A) = 2A = E|E ⊆AP(A) = 2A

Denizione 10 (Coppie ordinate) (x, y) = 〈x, y〉 = x, x, y

Denizione 11 (Prodotto cartesiano) A×B = (x, y)|x ∈ A∧y ∈ BA1 ×A2 × · · · ×An = (x1, x2, · · · , xn)|xi ∈ Ai∀i = 1, 2, · · · , n

Proposizione 1 (Leggi di de Morgan) (E ∪ F )c = Ec ∩ F c

(E ∩ F )c = Ec ∪ F c

1.2. INSIEMISTICA 7

A ⇒ A legge dell'identitàA ⇔ ¬¬A legge della doppia negazioneA ∧B ⇔ B ∧A commutatività di ∧(A ∧B) ∧ C ⇔ A ∧ (B ∧ C) associatività di ∧A ∨B ⇔ B ∨A commutatività di ∨(A ∨B) ∨ C ⇔ A ∨ (B ∨ C) associatività di ∨A ∧A ⇔ A idempotenza di ∧A ∨A ⇔ A idempotenza di ∨A ∧B ⇔ A eliminazione di ∧A ⇔ A ∨B introduzione di ∨A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧B) ∨ (A ∧ C) distributivitàA ∨ (B ∧ C) ⇔ (A ∨B) ∧ (A ∨ C) distributivitàA ∧ (A ∨B) ⇔ A legge di assorbimentoA ∨ (A ∧B) ⇔ A legge di assorbimento¬(A ∧B) ⇔ ¬A ∨ ¬B legge di de Morgan¬(A ∨B) ⇔ ¬A ∧ ¬B legge di de Morgan¬A ∨A ⇔ > legge del terzo escluso¬(A ∧ ¬A) ⇔ > legge di non contraddizione(A ⇒ B) ⇔ (B ∨ ¬A) denizione di implicazione(A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A) legge di contrapposizione (contronominale)A ∧ ¬A Lewis (ex falso quodlibet)A ⇒ (B ⇒ A) aermazione del conseguente¬A ⇒ (A ⇒ B) negazione dell'antecedente((A ⇒ B) ∧ ¬B) ⇒ ¬A legge di riduzione all'assurdo(A ⇒ ¬A) ⇒ ¬A riduzione all'assurdo debole(¬A ⇒ A) ⇒ A consequentia mirabilis((A ⇒ B) ⇒ A) ⇒ A legge di Peirce((A ⇒ B) ∨ (B ⇒ A)) ⇒ > legge di DummettA ⇒ ((A ⇒ B) ⇒ B) modus ponens(A ⇒ (B ⇒ C)) ⇔ (B ⇒ (A ⇒ C)) scambio antecedenti((A ⇒ C) ∧ (B ⇒ C)) ⇔ (A ∨B ⇒ C) distinzione di casi((A ⇒ B) ∧ (¬A ⇒ B)) ⇒ B distinzione di casi(A ⇒ (B ⇒ C)) ⇒ ((A ⇒ B) ⇒ (A ⇒ C)) distributività di ⇒((A ⇒ B) ∧ (B ⇒ C)) ⇒ (A ⇒ C) transitività di ⇒(A ⇒ (B ⇒ C)) ⇔ ((A ∧B) ⇒ C) importazione/esportazione delle premesse

Tabella 1.2: Leggi Logiche Notevoli

8 CAPITOLO 1. LOGICA E INSIEMISTICA

Capitolo 2

Algebra Elementare

2.1 Denizione di RLa struttura [R, +, ·] è un anello. Si denisce una relazione d'ordine totale≤. I primi 4 assiomi deniscono [R, +] come gruppo, [R\0] come gruppo,inoltre vale l'assioma di continuità in una delle sue 4 forme.R è quindi denito assiomaticamente da:

S1 la somma è associativa;

S2 la somma è commutativa;

S3 esiste l'elemento neutro della somma (zero, 0);

S4 ogni elemento (x) di R ha inverso (opposto, −x);

P1 il prodotto è associativo;

P2 il prodotto è commutativo;

P3 esiste l'elemento neutro del prodotto (uno, 1);

P4 ogni elemento (x) di R \ 0 ha elemento inverso (reciproco, 1x = 1/x =

x−1);

SP il prodotto è distributivo rispetto alla somma;

OS x ≤ y⇒x+z≤ y + z∀z ∈ R;

OP x ≤ y⇒xz ≤ yz∀z ∈ R, z ≥ 0;

9

10 CAPITOLO 2. ALGEBRA ELEMENTARE

Dedekind siano A e B due insiemi separati, cioè tali che ∀a ∈ A, ∀b ∈B, a ≤ b; allora ∃c ∈ R : a ≤ b ≤ c.

Denizione 12 (Retta reale estesa) Si denisce l'insieme R = R ∪±∞ detto estensione dell'insieme dei reali.

2.2 Scomposizioni Notevoli

2.2.1 Potenza di un polinomio

(a± b)n =n∑

k=0

(nk

)an−kbk

Casi particolari: (a± b)2 = a2 ± 2ab + b2;(a± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3;(a± b± c)2 = a2 ± 2ab + b2 ± 2bc + c2 ± 2ca.

2.2.2 Fattorizzazione

P(x) = an ·n∏

i=0

(x− xi) =n∑

i=0

ai · xi

P(x) = a(x− x1) · (x− x2) · · · · · (x− xn)∀n ∈ N : xn − yn = (x− y) · (xn−1 + xn.2y + · · ·+ xyn−2 + yn−1)∀n = 2k+1, k ∈ Z : xn +yn = (x+y) ·(xn−1−xn−2y+ · · ·−xyn−2 +yn−1)

Casi particolari: a2 − b2 = (a− b)(a + b);a3 ± b3 = (a± b)(a2 ∓ ab + b2).

2.2.3 Risoluzione di equazioni di secondo grado in unaincognita

P(x) = ax2 + bx + c: x1,2 = −b±√b2−4ac2a ;

x1,2 = −β±√

β2−ac

a con β := b2

2.3 Radicali doppi√A±√B =

√A+

√A2−B2 ±

√A−√A2−B

2

2.4. DISEQUAZIONI IRRAZIONALI 11

2.4 Disequazioni irrazionali

√f(x) ≥ g(x)

g(x) ≥ 0f(x) ≥ g2(x) ∪

g(x) < 0f(x) ≥ 0

√

f(x) < g(x)

f(x) ≥ 0g(x) > 0f(x) < g2(x)

2.5 Potenze2.5.1 DenizioneDenizione 13 (Logaritmo) ∀y ≥ 0, ∀n ∈ N, si denisce la radice n-esima di y come:n√y = y1/n = supx ∈ R : xn < y = infx ∈ R : xn > y

2.5.2 Proprietàa0 = 1a1 = aam+n = am · an

am−n = am

an

(am)n = am·n

am = em·log a

a1n =n

√a

a−m = 1am

2.6 Logaritmi2.6.1 DenizioneDenizione 14 (Logaritmo) a = logb c ⇔ ba = c

2.6.2 Proprietàloga 1 = 0loga a = 1loga(m · n) = loga m + loga nloga

mn = loga m− loga n

loga mα = α · loga m con α ∈ R

loga b = logc blogc a

loga b = 1logb a


2.7 Modulo o Valore Assoluto

2.7.1 DenizioneDenizione 15 (Modulo, Valore Assoluto) Si denisce modulo p va-lore assoluto la funzione:f : R→ R+

0 = [0, +∞]f(x) = |x| = mod(x) = maxx,−x =

√x2.

2.7.2 Proprietà (Spazi Metrici)M1 ∀a ∈ R, |a| ≥ 0

M2 |a| = 0 ⇔ a = 0

M3, omogeneità ∀ ∈ R, ∀a ∈ R, |λ · a| = |λ| · |a|

M4, disuguaglianza triangolare ∀a, b ∈ R, |a + b| ≤ |a|+ |b|,||a| − |b|| ≤ |a− b|

La M4 in generale assume la forma:

|n∑

i=1

ai| ≤n∑

i=1

|ai|

2.8 Altre funzioni

2.8.1 Fattoriale, SemifattorialeDenizione 16 (Fattoriale) ∀n ∈ N, n! = fatt(n) =

∏ni=1 i = 1 · 2 · · · · ·

(n− 1) · n.É denito ricorsivamente da:

0!=1n!=n·(n− 1)!

Denizione 17 (Semifattoriale) ∀k ∈ N, (2k + 1)!! =∏k

i=0(2i + 1);

(2k)!!= 1 se k=0∏k

i=1 se k>0Sidefinisceinoltre(-1)!!=1.

2.8.2 SegnoDenizione 18 (Segno) ∀x ∈ R \ 0, signum(x) = sign(x) = sgn(x) =x|x| = |x|

x =

1 se x > 0-1 se x < 0

2.8. ALTRE FUNZIONI 13

2.8.3 Parte intera, parte decimale

Denizione 19 (Parte Intera) xdef= maxk ∈ Z : k ≤ x

Denizione 20 (Parte Decimale) x def= x− x

2.8.4 Parte positiva, Parte negativaDenizione 21 (Parte positiva, f+) f+ = maxf, 0

Denizione 22 (Parte negativa, f−) f− = minf, 0

Osservazione 1 |f | = f+ − f−

f = f+ + f−

maxf, g = (f − g)+ + gminf, g = (f − g)− + g

Osservazione 2 a, b ∈ R : a < b,b+ − a+ ≤ b− a;b− − a− ≤ b− a

2.8.5 Funzione di Dirichlet

Denizione 23 (Funzione di Dirichlet) f(x) =

1 se x ∈ Q0 se x ∈ R \Q

2.8.6 Funzioni iperbolicheDenizione 24 (Seno iperbolico) : R→ Rsinhx = shx = ex−e−x

2

Denizione 25 (Coseno iperbolico) cosh : R→ [1, +∞)cosh x = chx = ex+e−x

2

Osservazione 3 sinh2 x− cosh2 x = 1.

Denizione 26 (Tangente iperbolica) tanh : R→ Rtanh x = thx = sinh x

cosh x

Denizione 27 (Cotangente iperbolica) coth : R \ 0 → Rcothx = cthx = cosh x

sinh x

Denizione 28 (Arcoseno iperbolico, Settore Seno iperbolico) ash :R→ Rsett sinhy = ashy = log(y +

√y2 + 1)


Denizione 29 (Arcocoseno iperbolico, Settore Coseno iperbolico)ach : R→ Rsett coshy = achy = log(y +

√y2 − 1)

Denizione 30 (Arcotangente iperbolica, Settore Tangente iperbolica)ath : R→ Rsett tanhx = athy = 1

2 · log 1+x1−x

2.8.7 Funzione Esponenziale, ex = exp(x)

Teorema 1 (Esistenza ed Unicità della funzione esponenziale) ∃!la funzione f : R→ R che verichi le proprietà:

1. ∀x1, x2 ∈ R, f(x1 + x2) = f(x1) · f(x2);

2. f(1) = e (dove e è il numero di Nepero);

ed è la funzione esponenziale denita ∀x ∈ R da f(x) = ex = exp(x).

Denizione 31 Si denisce f(x) = ax = ex log a.

2.9 Serie

2.9.1 Serie Aritmetiche

an = a1 + (n− 1)d

Sn =n∑

i=1

ai =n(a1 + an)

2=

n(2a1 + (n− 1)d)2

2.9.2 Serie Geometriche

an = a1 · qn−1

Sn =n∑

i=1

ai = a1 · 1− qn

1− qcon q 6= 1

Se q = 1 si ha Sn =n∑

i=1

ai = n · a1

Sk,n =n∑

i=k

ai = qk · 1− qn−k+1

1− qcon q 6= 1

2.9. SERIE 15

2.9.3 Disuguaglianze Notevoli ∀x ∈ [−π

2 , π2 ], | sin x| ≤ |x|

∀n ∈ N,∀a ≥ −1, (1+a)n ≥ 1+a·n (disuguaglianza di Bernoulli)

∀x ∈ R, ex ≥ x + 1

∀x > −1, log(x + 1) ≤ x

∀a, b > 0, p, q > 1 : 1p + 1

q = 1, a · b ≤ 1p · ap + 1

q · bq (disuguaglianzadi Young)

2.9.4 Sommatorie Classichen∑

i=1

i =n(n + 1)

2n∑

i=1

i2 =n(n + 1)(2n + 1)

6n∑

i=1

i3 = (n(n + 1)

2)2

n∑

i=0

(ni

)= (1 + 1)n = 2n

n∑

i=0

(−1)i

(ni

)= 0

Capitolo 3

Geometria

3.1 Goniometria

3.1.1 Relazione Fondamentalesin2 x + cos2 x = 1

3.1.2 Tangente e Cotangente: DenizioniDenizione 32 (Tangente) tanx = sin x

cos x∀x 6= π2 + kπ

Denizione 33 (Cotangente 1) cot x = cos xsin x∀x 6= kπ

Denizione 34 (Cotangente 2) cot x = 1tan x∀x 6= k π

2

3.1.3 Secante e Cosecante: DenizioniDenizione 35 (Secante) sec α = 1

cos α

sec : R \ pi2 + kπ, k ∈ Z → R

Denizione 36 (Cosecante) csc α = 1sin α

csc : R \ kπ, k ∈ Z → R

3.1.4 Formule di Addizionesin(α± β) = sin α cosβ ± cosα sin βcos(α± β) = cosα cos β ∓ sin α sin βtan(α± β) = tan α±tan β

1∓tan α tan β

cot(α± β) = cot α cot β∓1cot α±cot β

17

18 CAPITOLO 3. GEOMETRIA

3.1.5 Formule di Duplicazione e di Triplicazione

sin(2α) = 2 sin α cos αcos(2α) = cos2 α− sin2 α = 1− 2 sin2 α = 2 cos2 α− 1tan(2α) = 2 tan α

1−tan2 α

sin(3α) = 3 sin α− 4 sin3 αcos(3α) = 4 cos3 α− 3 cos α

tan(3α) = 3 tan α−tan3 α1−3 tan2 α

3.1.6 Formule di Bisezione

sin(α2 ) = ±

√1−cos α

2

cos(α2 ) = ±

√1+cos α

2

tan(α2 ) = ±

√1−cos α1+cos α = sin α

1+cos α = 1−cos αsin α

3.1.7 Formule Parametriche

tdef= tan α

2 −→

sin α = 2t1+t2

cos α = 1−t2

1+t2

tan α = 2t1−t2

3.1.8 Formule di Prostaferesi

sin p + sin q = 2 sin p+q2 cos p−q

2

sin p− sin q = 2 cos p+q2 sin p−q

2

cos p + cos q = 2 cos p+q2 cos p−q

2

cos p− cos q = −2 sin p+q2 sin p−q

2

3.1.9 Formule di Werner sin α · cos β = 1

2 (sin(α + β) + sin(α− β) )

cos α · sin β = 12 (sin(α + β)− sin(α− β) )

cos α · cos β = 12 (cos(α + β) + cos(α− β) )

sin α · sin β = − 12 (cos(α + β)− cos(α− β) )

3.1.10 Formule di Conversione

* Tabella 3.1 a pag.19

3.2. TRIGONOMETRIA 19

Sin Cos Tan

sinα sin α ±√1− cos2 α ± tan α√1+tan2 α

cos α ±√1− sin2α cos α ± 1√1+tan2 α

tanα ± sin α√1−sin2 α

±√

1−cos2 αcos α tanα

cot α ±√

1−sin2 α

sin α ± cos α√1−cos2 α

1tan α

sec α ± 1√1−sin2 α

1cos α ±

√1 + tan2 α

csc α 1sin α ± 1√

1−cos2 α±√

1+tan2 αtan α

Tabella 3.1: Formule di Conversione

3.1.11 Archi Noti* Tabella 3.2 a pag.19

Rad Deg Sin Cos Tan Cot0 0 0 1 0 n.e.π12 15

√6−√24

√6+√

24 2−√3 2 +

√3

π8 2230′

√2−√22

√2+√

22

√2− 1

√2 + 1

π6 30 1

2

√3

2

√3

3

√3

π4 45

√2

2

√2

2 1 1π3 60

√3

212

√3

√3

3

38π 6730′

√2+√

22

√2−√22

√2 + 1

√2− 1

512π 75

√6+√

24

√6−√24 2 +

√3 2−√3

π2 90 1 0 n.e. 0

Tabella 3.2: Archi noti

3.1.12 Archi Associati* Tabella 3.3 a pag.20

3.2 Trigonometria3.2.1 Triangolo QualsiasiArea: S = 1

2ab sin γ = 12bc sinα = 1

2ac sin β

S = 12a2 sin β sin γ

sin(β+γ) = 12b2 sin α sin γ

sin(α+γ) = 12c2 sin α sin β

sin(α+β)

Teorema 2 (Formula di Erone) S =√

p(p− a)(p− b)(p− c)


Rad Sin Cos Tan Cotx sin x cosx tanx cot x

π − x sin x − cos x − tanx − cot xπ + x − sin x − cos x tanx cot x−x − sin x cosx − tanx − cot x

2π − x − sin x cosx − tanx − cot xπ2 − x cos x sin x cot x tan xπ2 + x cos x − sinx − cot x − tanx

32π − x − cosx − sinx cot x tan x32π + x − cosx sin x − cot x − tanx

Tabella 3.3: Archi associati

Teorema 3 (Formula di Brahmagupta o di Erone per quadrilateri ciclici)Dato un quadrilatero ciclico (cioè inscrivibile in una circonferenza) di latia, b, c, d e semiperimetro p = a+b+c+d

2 , l'area vale S =√

(p− a)(p− b)(p− c)(p− d);per d = 0, in particolare, si ottiene la formula di Erone per il triangolo.

Teorema 4 (delle Corde) : AB = 2r sin α

Teorema 5 (dei Seni) : asin α = a

sin α = asin α = 2R = abc

4S

Proiezioni: a = b cos γ + c cosβ;b = a cos γ + c cosα;c = a cos β + b cosα.

Teorema 6 (di Carnot o del Coseno) :a2 = b2 + c2 − 2bc cosα;b2 = a2 + c2 − 2ac cosβ;c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ.

3.2.2 Triangolo RettangoloSe a,b e c sono le misure rispettivamente dell'ipotenusa e dei cateti di untriangolo rettangolo e α , β e γ sono le misure degli angoli opposti, sussi-stono le seguenti relazioni:

b = a sin β = a cos γc = a sin γ = a cos βb = c tanβ = c cot γc = b tan γ = b cot β

3.3 Geometria Analitica3.3.1 Punto e Rettar: y = mx + n (forma implicita)

3.3. GEOMETRIA ANALITICA 21

y = ax + by + c (forma esplicita); m = − ba , n = − c

a

P1(x1, y1)P2(x2, y2)P3(x3, y3)

rP1 : (y − y1) = m(x− x1)s ‖ rP1 :y1 = mconstx1 + nrP1P2 : y−y1

y2−y1= x−x1

x2−x1

mr = y2−y1x2−x1

r ‖ s ↔ mr = ms

r ⊥ s ↔ mr = − 1ms

¯P1P2 = dist(P1, P2) =√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2

dist(P1, r) = |ax1+by1+c|√a2+b2

Punto medio di P1P2 = (x1+x22 ; y1+y2

2 )Baricentro del triangolo P1P2P3 = (x1+x2+x3

3 ; y1+y2+y33 )

3.3.2 Coniche 1: Circonferenza

γ : x2 + y2 + ax + by + c = 0

C(x0, y0) r2 = x20 + y2

0 − c ≥ 0P (x′, y′) ∈ γ ↔ (PC) = rγ : (x− x0)2 + (y − y0)2 = r2

a = −2x0

b = −2y0

c = x20 + y2

0 − r2−→

x0 = −a2

y0 = − b2

r =√

a2

4 + b2

4 − c

3.3.3 Coniche 2.1: Parabola con asse parallelo all'assey

P : y = ax2 + bx + c

F (x0, y0); d : y = kP (x′, y′) ∈ P ↔ dist(P, F ) = dist(P, d)⟨

y0 > k → a > 0 → ^y0 < k → a < 0 → _

a = 12y0−2k

b = x0k−y0

c = x20+y2

0−k2

2y0−2k

−→

x0 = − b2a

y0 = 1−∆4a

k = −1−∆4a

F (− b2a , 1−∆

4a )d : y = −1−∆

4a )F (− b

2a ,− ∆4a )


a : x = − b2a

∆ = b2 − 4ac

3.3.4 Coniche 2.2: Parabola con asse parallelo all'assex

P : x = ay2 + by + c

F (x0, y0); d : y = kP (x′, y′) ∈ P ↔ dist(P, F ) = dist(P, d)⟨

x0 > k → a > 0 → ⊂x0 < k → a < 0 → ⊃

a = 12x0−2k

b = y0k−x0

c = x20+y2

0−k2

2x0−2k

−→

x0 = 1−∆4a

y0 = − b2a

k = −1−∆4a

F ( 1−∆4a ,− b

2a )d : y = −1−∆

4a )F (− ∆

4a ,− b2a )

a : y = − b2a

∆ = b2 − 4ac

3.3.5 Coniche 3: Ellisse

E :x2

a2+

y2

b2= 1

c2 =

a2 − b2 se a > b → e = ca < 1 → F1(−c, 0), f2(c, 0)

b2 − a2 se b > a → e = cb < 1 → F1(0,−c), f2(0, c)

E ∩ x ≡ A(−a, 0) B(a, 0)E ∩ y ≡ C(0,−b) D(0, b)P (x′, y′) ∈ E ↔ PF1 + PF2 = 2a

3.3.6 Coniche 4.1.1: Iperbole riferita ai suoi assi disimmetria con fuochi sull'asse x

I :x2

a2− y2

b2= 1

c2 = a2 + b2, c ≥ 0I ∩ x ≡ V1(−a, 0) V2(a, 0)F1(−c, 0) F2(c, 0); F1, F2 ∈ xP (x′, y′) ∈ I ↔ |PF1 − PF2| = 2aa1 : y = b

ax

a2 : y = − bax

e = ca > 1

3.3. GEOMETRIA ANALITICA 23

3.3.7 Coniche 4.1.2: Iperbole riferita ai suoi assi disimmetria con fuochi sull'asse y

I :x2

a2− y2

b2= −1

c2 = a2 + b2, c ≥ 0I ∩ x ≡ V1(0,−b) V2(0, b)F1(0,−c) F2(0, c); F1, F2 ∈ yP (x′, y′) ∈ I ↔ |PF1 − PF2| = 2aa1 : y = b

ax

a2 : y = − bax

e = cb > 1

3.3.8 Coniche 4.2.1: Iperbole equilatera riferita ai suoiassi di simmetria con fuochi sull'asse x

I : x2 − y2 = a2

c = a√

2 a = bI ∩ x ≡ V1(−a, 0) V2(a, 0)F1(−a

√2, 0) F2(a

√2, 0); F1, F2 ∈ x

P (x′, y′) ∈ I ↔ |PF1 − PF2| = 2aa1 : y = xa2 : y = −xe =

√2

3.3.9 Coniche 4.2.2: Iperbole equilatera riferita ai suoiassi di simmetria con fuochi sull'asse y

I : x2 − y2 = −a2

c = a√

2 a = bI ∩ y ≡ V1(0,−a) V2(0, a)F1(0,−a

√2) F2(0, a

√2); F1, F2 ∈ y

P (x′, y′) ∈ I ↔ |PF1 − PF2| = 2aa1 : y = xa2 : y = −xe =

√2

3.3.10 Coniche 4.3: Iperbole equilatera riferita ai suoiasintoti

I : xy = k


k > 0 → I ∩ bI,III : y = x ≡ V1(

√k,√

k) V2(−√

k,−√

k)k > 0 → I ∩ bII,IV : y = −x ≡ V1(

√|k|,−

√|k|) V2(−

√|k|,

√|k|)

leftrightarrow |PF1 − PF2| = 2aa1 : x = 0a2 : y = 0e =

√2

3.3.11 Coniche 4.4: Iperbole equilatera traslata o Fun-zione omograca

I : y =ax + b

cx + d

∃I ↔

c 6= 0ad− bc 6= 0

a1 : x = −dc

a2 : y = ac

e =√

2

3.3.12 Coniche 5: Conica generica

C : a11x2 + a22y

2 + a12xy + a13x + a23y + a33 = 0

A =

a1112a21

12a13

12a12 a22

12a23

12a13

12a23 a33

A =(

a1112a21

12a12 a22

)

⟨ |A| = 0 −→ Conica Degenere|A| 6= 0 −→ Conica Non Degenere

|A| > 0 |A| = 0 |A| < 0|A| = 0 retta immaginaria rette reali o immaginarie parallele retta reale|A| 6= 0 ellisse parabola iperbole

Tabella 3.4: Conica Generica

3.4. TRASFORMAZIONI: AFFINITÀ 25

3.4 Trasformazioni: Anità1

T :R× R→ R× R(x, y) → (x′, y′)

x=ax+by+py=cx+dy+q

A =(

a bc d

)

|A| 6= 0

T −1 :R× R→ R× R(x′, y′) → (x, y)

S′S = |A|

x=d |A|x′+ −b|A|y

′+−d|A|p+ b

|A| q

y=-c |A|x′+ a|A|y

′+ c|A|p+−a

|A| q

A−1 =

(d|A|

−b|A|

−c|A|

a|A|

)

Denizione 37 (Punto Unito) Punti uniti sono i punti che coincidono coni trasformati.

Denizione 38 (Retta Unita) Rette unite sono le rette che coincidono conle trasformate.

3.4.1 Prodotto di AnitàIl prodotto di due anità T e T ′ è una anità (indicata con T ∗ T ′, dove siapplica per prima T ′ e successivamente T ) la cui matrice è pari al prodottodelle matrici delle anità di partenza.

3.4.2 Casi Particolari di AnitàL'eetto geometrico di un'anità coincide con la composizione di• inclinazioni;• simmetrie;• dilatazioni/compressioni;• traslazioni.1prof.ssa Letizia Lorenzini


IsometriaDenizione 39 (Isometria) L' isometria è un'anità che conserva le distan-ze.

Traslazione x'=x+py'=y+q

A =(

1 00 1

)

|A| = 1

Rotazione x'=xcos θ − y sin θy'=xsin θ + y cos θ

x=x'cos θ + y′ sin θy=-x'sin θ + y′ cos θ

A =(

cos θ − sin θsin θ cos θ

)

|A| = cos2 θ + sin2 θ = 1

A−1 =(

cos θ sin θ− sin θ cos θ

)

|A−1| = cos2 θ + sin2 θ = 1

x'=ax-byy'=bx+ay → a2 + b2 = 1

Rototraslazione

ρ : x'=xcos θ − y sin θy'=xsin θ + y cos θ

τ : x'=x+py'=y+q

τ ∗ ρ : x'=xcos θ − y sin θ + py'=xsin θ + y cos θ + q

Simmetria Centrale x'=2x0 − xy'=2y0 − y

con (x0, y0) centro di simmetria.

Simmetria AssialeSimmetria Assiale con asse parallelo all'asse x

Asse: y = y0 →

x'=xy'=2y0 − y

|A| =∣∣∣∣

1 00 −1

∣∣∣∣ = −1

3.4. TRASFORMAZIONI: AFFINITÀ 27

Simmetria Assiale con asse parallelo all'asse y

Asse: x = x0 →

x'=2x0 − xy'=y |A| =

∣∣∣∣−1 00 1

∣∣∣∣ = −1

Simmetria Assiale con asse qualsiasi

Asse:

y = mx + q →

x′ = (1−m2)x+2my−2mq1+m2

y′ = 2mx+(m2−1)x+2q1+m2

|A| =∣∣∣∣∣

1−m2

1+m22m

1+m2

2m1+m2

m2−11+m2

∣∣∣∣∣ = −1

Omotetiax'=ax+hy'=ay+k |A| =

∣∣∣∣a 00 a

∣∣∣∣ = a2 > 0

Similitudine

Isometria * Omotetia = Similitudine

Similitudine Direttax'=ax-by+py'=bx+ay+q |A| =

∣∣∣∣a −bb a

∣∣∣∣ = a2 + b2 > 0

Similitudine Inversax'=ax+by+py'=bx-ay+q |A| =

∣∣∣∣a bb −a

∣∣∣∣ = a2 − b2 < 0

Dilatazione e Compressione

|k| > 1 → dilatazione|k| < 1 → compressione

Dilatazione/Compressione lungo l'asse xx'=kxy'=y

Dilatazione/Compressione lungo l'asse yx'=xy'=ky


InclinazioneInclinazione lungo l'asse xx'=x+kyy'=y

Inclinazione lungo l'asse yx'=xy'=y+kx

3.4.3 Proprietà Invarianti delle Anità• Un'anità trasforma rette in rette;• se due rette si intersecano in un punto P allora le rette trasformate si

intersecano in T (P );• un'anità trasfrorma triangoli in triangoli;• un'anità trasforma rette parallele in rette parallele;• i punti del segmento PQ vengono trasformati in punti del segmento T (P )T (Q);• il punto medio del segmento PQ viene trasformato nel punto medio del

segmento T (P )T (Q);• un triangolo di area S viene trasformato in un triangolo di area S ·|det(A)|;• un'anità trasforma coniche in coniche: ellissi in ellissi, parabole in para-

bole, iperboli in iperboli, circonferenze in ellissi;• la retta tangente ad una conica si trasforma in un'altra retta tangente alla

conica trasformata.

Capitolo 4

Analisi

4.1 Topologia: IntervalliDenizione 40 (Maggiorante ‖Minorante‖) M‖m‖ si dice maggiorante ‖minorante‖dell'insieme A se ∀a ∈ A,M‖m‖; si denisce quindi l'insieme MA = M ∈ R :∀a ∈ A,M ≥ a‖mA = m ∈ R : ∀a ∈ A,m ≤ a‖Denizione 41 (Estremo superiore (sup) ‖ Inferiore (inf)‖) Si denisceestremo superiore (sup))‖ inferiore (inf) ‖ di A il più piccolo ‖grande‖ dei mag-gioranti ‖minoranti‖, ovvero valgono: ∀a ∈ A, supA∀ε > 0, ∃a ∈ A : supA− ε ≤ a ≤ supA

e, analogamente: ∀a ∈ A, infA ≤ a∀ε > 0, ∃a ∈ A : infA ≤ a ≤ infA + ε

Per denizione, se A è illimitato superiormente ‖inferioremente‖ allora si ponesupA = +∞‖infA = −∞‖Denizione 42 (Insieme limitato/illimitato) L'insieme A si dice limitatosuperiormente ‖inferiormente‖ se esiste l'estremo superiore ‖inferiore‖; si dicelimitato se è limitato sia superiormente che inferiormente; si dice illimitatosuperiormente ‖inferiore‖ se non è limitato superiormente ‖inferiore‖, ossia se∀x ∈ R, ∃a ∈ A : a ≥ x‖∀x ∈ R,∃a ∈ A : a ≤ x‖; si dice illimitato se è illimitatosia superiormente che inferiormente.Osservazione 4 Sia A ⊂ R. Allora A è limitato sse ∃M ≥ 0 : ∀x ∈ A|x| ≤ M .Denizione 43 (Massimo (max) ‖minimo (min)‖) Si denisce massimo(max) ‖minimo (min)‖ l'estremo superiore ‖inferiore‖ qualora appartenga al-l'insieme A. Valgono quindi: ∀a ∈ A,maxA ≥ a

maxA ∈ Ae, analogamente: ∀a ∈ A,minA ≤ a

minA ∈ A

Denizione 44 (Intervallo) A ⊂ R si dice intervallo se, dati x, y : x < y,allora ∀z : x < z < y, z ∈ A.

29

30 CAPITOLO 4. ANALISI

Teorema 7 (Intervalli) Se A è un intervallo, è necessariamente di uno deiseguenti quattro tipi:

aperto (a, b) =]a, b[= x ∈ R : a < x < b, con a, b ∈ R;

aperto a sx, chiuso a dx (a, b] =]a, b] = x ∈ R : a < x ≤ b, con a ∈ R, b ∈R;

chiuso a sx, aperto a dx [a, b) = [a, b[= x ∈ R : a ≤ x < b, con a ∈ R, b ∈R;

chiuso, compatto [a, b] = x ∈ R : a ≤ x ≤ b, con a, b ∈ R.

Notazione 1 (-A, λ ·A,A + B) Dato A insieme, si denisce −A = −y ∈ R :y ∈ A.Dato A insieme, λ ∈ R, si denisce λ ·A = λ · x : x ∈ A.Dati A e B insiemi, si denisce A + B = x ∈ R : x = a + b, a ∈ A, b ∈ B.Osservazione 5 (Operazioni su inf e sup) sup(A+B) = supA+supB, inf(A+B) = infA + infBsup(−A) = −infA, inf(−A) = −supAλ ≥ 0 : sup(λ ·A) = λ · supA, inf(λ ·A) = λ · infAλ ≤ 0 : sup(λ ·A) = −λ · infA, inf(λ ·A) = −λ · supA

Teorema 8 (Principio di Archimede) ∀a > 0,∀b ∈ R,∃n ∈ N : na > b

Teorema 9 (Principio del minimo intero) Sia A ⊆ N non vuoto; allora Aammette minimo (* Principio di Induzione).

Teorema 10 (Densità di Q) Q è denso in R, ovvero:∀a, b ∈ R, a < b, (a, b)Q 6= ∅, dove con (a, b)Q si indica l'insieme x ∈ Q : a <x < b.Denizione 45 (Intorno, Palla) Sia x0 ∈ A; ssato δ > 0 si dice intorno dix0 l'intervallo (x0 − δ, x0 + δ), la cui ampiezza vale 2 · δ.Denizione 46 (Punto interno) Sia A ⊂ R e x0 ∈ A; x0 si dice puntointerno di A se ∃δ > 0 : (x0 − δ, x0 + δ) ⊂ A, ovvero se (x0 − δ, x0 + δ)∩A 6= ∅.Notazione 2 (Å, intA) Si pone = intA ⊂ A l'insieme dei punti interni di A.

Denizione 47 (Punto di frontiera) Sia A ⊂ R e x0 ∈ R; x0 si dice puntodi frontiera di A se ∀δ > 0, (x0 − δ, x0 + δ) ∩A 6= ∅ ∧ (x0 − δ, x0 + δ) ∩Ac 6= ∅.Denizione 48 (Punto di accumulazione) Sia A ⊂ R e x0 ∈ R; x0 si dicepunto di accumulazione di A se ∀δ > 0, (x0− δ, x0 + δ)∩A \ x 6= ∅, ovvero se∀r > 0,∃y ∈ A : y 6= x : y ∈ (x− r, x + r).

Notazione 3 (σA, frontiera di A) Si pone σA l'insieme dei punti di frontie-ra di A, e si dice frontiera di A.

4.2. RELAZIONI E FUNZIONI 31

Denizione 49 (Punto isolato) Sia A ⊂ R e x0 ∈ R; x0 si dice punto isolatodi A se x0 non è punto di accumulazione per A, ossia se ∃δ > 0 : (x0 − δ, x0 +δ) ∩A \ x = ∅.Notazione 4 (A, chiusura di A) Si pone A = A ∪ σA l'insieme dei puntiinterni o di frontiera di A, e si dice chiusura di A.

Denizione 50 (Insieme aperto) L'insieme A si dice aperto se A = , ovve-ro se ogni elemento di A è interno, ovvero se ∀x0 ∈ A, A è intorno di x0, cioè∀x0 ∈ A, ∃r > 0 : (x− r, x + r) ⊂ A.

Denizione 51 (Insieme chiuso) L'insieme A si dice chiuso se Ac è aperto,ovvero se A = A.

Teorema 11 ∀A ⊆ R, l'insieme A è chiuso.

Osservazione 6 Gli unici insiemi contemporaneamente aperti e chiusi sono Re ∅.Teorema 12 L'unione di insiemi aperti è aperto.

4.2 Relazioni e Funzioni4.2.1 RelazioniDenizione 52 (Relazione) Dati A,B insiemi, si denisce R ⊆ A × B e sidice che R è una relazione da A (dominio) a B ( codominio o immagine di A).Se 〈x, y〉 ∈ R si dice che x è in relazione con y e si scrive xRy.Una relazione R può essere:

R1, riessiva ∀x ∈ A, xRx;

R2, simmetrica ∀x ∈ A,∀y ∈ B, xRy ⇔ yRx;

R2*, antisimmetrica ∀x ∈ A, ∀y ∈ B, (xRy) ∧ (yRx) ⇒ x = y;

R3, riessiva ∀x ∈ A, ∀y ∈ (A ∪B), ∀z ∈ B, (xRy) ∧ (yRz) ⇒ (xRz);

Una relazione R soddisfacente le R1, R2 e R3 si dice d'equivalenza.Una relazione R soddisfacente le R1, R2* e R3 si dice d'ordine. Se inoltre vale la:

R4, ordine totale ∀x ∈ A,∀y ∈ B, (xRy) ∨ (yRx) ⇒ >

allora la relazione si dice di ordine totale. Se non è vericata la R1 si parla direlazione di ordine stretto.

Osservazione 7 (Relazione d'ordine totale ≤) Si può denire su R la re-lazione d'ordine totale ≤ denendo un insieme P (dei numeri positivi o nulli)vericante le proprietà:


1. (x ∈ P ) ∨ (−x ∈ P ) ⇒ >;

2. (x, y ∈ P ) ⇒ (x + y, x · y ∈ P );

e denendo quindi x ≥ y ⇔ x− y ∈ P .Da questa relazione si ricavano le altre relazioni d'ordine ≤ (x ≤ y ⇔ y ≥ x), >(strettamente maggiore, x > y ⇔ (x ≥ y) ∧ (x 6= y)) e < (strettamente nimore,x < y ⇔ (y ≥ x) ∧ (x 6= y)).

4.2.2 FunzioniDenizione 53 (Funzione 1) Data f relazione da A a B, f si dice funzioneo applicazione da A in B sse ∀a ∈ A, ∃!b ∈ B : afb e si scrive:f : A → B;f : a ∈ A → b ∈ B, f(a)=b.Se afb si dice che b è immagine di a secondo f e si scrive b = f(a), o che a ècontroimmagine di b secondo f e si scrive a = f−1(b).

Denizione 54 (Funzione 2) Una funzione è una terna di oggetti: l'insiemeA detto dominio, l'insieme B detto codominio e una legge f che associ ad ognielemento di A uno ed un solo elemento di B.

Denizione 55 (Iniettività) Una funzione f si dice iniettiva sse ∀b ∈ B, ∃!!a ∈A : f(a) = b, ovvero se ∀a1, a2 ∈ A, f(a1) = f(a2) ⇒ a1 = a2, ovvero se∀a1, a2 ∈ A : a1 6= a2 ⇒ f(a1) 6= f(a2).

Denizione 56 (Suriettività, Surgettività) Una funzione f si dice suriet-tiva o surgettiva sse ∀b ∈ B, ∃a ∈ A : f(a) = b.

Denizione 57 (Biiniettività, Bigettività, Biunivocità) Una funzione fsi dice biiettiva o bigettiva o biunivoca sse f è sia iniettiva che suriettivà,ovvero sse ∀b ∈ B, ∃!a ∈ A : f(a) = b. Si parla anche di funzione invertibile,in quanto si può denire f−1 tale che f f−1 = IdB , f−1 f = IdA, dove conIdA e IdB si intendono le funzioni identiche denite rispettivemente su A e B,ovvero IdA : A → A, x → x e IdB : B → B, x → x .

Denizione 58 (Monotonia) Una funzione f : A → B si dice monotòna severica una delle seguenti (e allora in particolare è come descritto):

monotòna crescente in senso stretto ∀x, y ∈ A, x < y ⇔ f(x) < f(y);

monotòna crescente in senso debole o largo ∀x, y ∈ A, x < y ⇔ f(x) ≤f(y);

monotòna decrescente in senso stretto ∀x, y ∈ A, x < y ⇔ f(x) > f(y);

monotòna decrescente in senso debole o largo ∀x, y ∈ A, x < y ⇔ f(x) ≥f(y).

4.3. LIMITI E FORME INDETERMINATE 33

Teorema 13 Sia f : I → R, con I intervallo; allora f è iniettiva (e invertibile)sse è monòtona in senso stretto.

Notazione 5 (f + g, f · g, fg , λ · f , f g) Date f e g due funzioni denite su

dominio A ⊆ R e codominio R, si deniscono:

• (f + g)(x) : A → R, x → f(x) + g(x);

• (f · g)(x) : A → R, x → f(x) · g(x);

• ( fg )(x) : x ∈ A : g(x) 6= 0 ⇒ R, x → f(x)

g(x) ;

• ∀λ ∈ R, (λ)(x) : A → R, x → λ · f(x).

Date f : A → B, g : B → C, si denisce:

• (g f)(x) : A → C, x → g(f(x)),

e si dice che la funzione g f è la composizione delle funzioni g e f .

Denizione 59 (Funzione Lipschitziana) f : I → R : ∃L > 0 : ∀x, y ∈I, |f(x) − f(y)| ≤ L · |x − y|, f è detta Lipschitziana. Il minimo L che vericala denizione è detta costante di Lpschitz e f si dice L-Lipschitziana.

Denizione 60 (Funzione Hölderiana) f : I → R : ∃L ≥ 0 : ∀x, y ∈I, |f(x) − f(y)| ≤ L · |x − y|α, f è detta Hölderiana di esponente α > 0. Siscrive: f ∈ C0,α(I).

4.3 Limiti e Forme Indeterminate4.3.1 DenizioneDenizione 61 (Limite 1)

limx→x0

f(x) = `def= ∀ε > 0,

∃Iε(x0)︷︸︸︷∃δε > 0 t.c. ∀x, |x− x0| < δε ⇒ |f(x)− `| < ε

Denizione 62 (Limite 2)

limx→x0

f(x) = ∞ def= ∀M > 0,

∃IM (x0)︷︸︸︷∃δM > 0 t.c. ∀x, |x− x0| < δM ⇒ |f(x) > M


limx→∞

f(x) = `def= ∀ε > 0,

∃Iε(∞)︷︸︸︷∃Nε > 0 t.c. ∀x, |x| > Nε ⇒ |f(x)− `| < ε



limx→∞

f(x) = ∞ def= ∀M > 0,

∃IM (∞)︷︸︸︷∃NM > 0 t.c. ∀x, |x| > NM ⇒ |f(x)| > M

Notazione 6 (Limite destro, Limite sinistro) e quanto sopra vale solo perl'intervallo (x0, x0 + δ)‖(x0 − δ, x0)‖, allora si parla di limite destro ‖sinistro‖.

Teorema 14 Cnes anchè esiste il limite di una funzione in un punto, è cheesistano in quel punto limite destro e sinistro e coincidano, ovvero:

limx→x0

f(x) = limx→x+

0

f(x) = limx→x−0

f(x)

4.3.2 Forme Indeterminate00∞∞0 · ∞+∞−∞00

∞0

1∞

4.3.3 Limiti Notevoli

limx→0

sin x

x= 1

limx→+∞

(1 +1x

)x = e

limx→∞P(n)Q(n)

=

+∞ se p > q ∧ ab > 0

−∞ se p > q ∧ ab < 0

ab se p = q0 se p < q

dove P(n) = apnp +ap−1n

p−1 + · · ·+a1n+a0 e Q(n) = bqnq + bq−1n

q−1 + · · ·+b1n + b0

4.3.4 Altri Limiti ricavabili dai Limiti Fondamentali

limx→0

1− cos x

x2=

12

limx→0

tanx

x= 1


limx→0

x + sin x

x= 2

limx→0

x− sin x

x2= 0

limx→0

x− sinx

x3=

16

limx→0

arcsin x

x= 1

limx→0

arctanx

x= 1

limx→0

(1 + x)x 1x

= e

limx→0

log(1 + x)x

= 1

limx→0

loga(1 + x)x

=1

log a

limx→0

log(1 + αx)x

= α

limx→0

ex − 1x

= 1

limx→0

ax − 1x

= log a

limx→0

(1 + x)α − 1x

= α, α ∈ R

limx→+∞

αx

xβ= +∞ se α > 1 con α, β ∈ R


limx→0+

xα log x = 0 se α > 0 con α ∈ R

limx→+∞

(1 +n

x)x = en con n ∈ R

limx→+∞

log x

xα= 0 se α > 0 con α ∈ R

limx→+∞

xx

xα= +∞ con α ∈ R

limx→+∞

n!np

= +∞,∀p ∈ R

limx→+∞

n!an

= +∞,∀a ∈ R+0

limx→+∞

n!nn

= 0

limx→+∞

n!nn · e−n · √2 · π · n = 1 Formula di Stirling

limx→+∞

(2n)!!(2n− 1)!! · √2 · π · n = 1 Formula di Wallis

4.3.5 Operazioni su ±∞+∞+∞ = +∞−∞−∞ = −∞∞ ·∞ = ∞

Sia ` ∈ R.` +∞ = +∞`−∞ = −∞` · ∞ = ∞ con ` 6= 0`∞ = 0∞` = 0 con ` 6= 0

+∞` = +∞ se ` > 0+∞` = 0 se ` < 0`+∞ = 0 se 0 < ` < 1


`+∞ = +∞ se ` > 1`−∞ = +∞ se 0 < ` < 1`−∞ = 0 se ` > 1

4.3.6 Teoremi sui LimitiSiano: f : A = (a, b) ⊂ R→ R, x0 punto di accumulazione per A, ` = limx→x0 f(x); `′ =limx→x0 f(x); `1 = limx→x0 g(x); `2 = limx→x0 h(x) tali che `, `′, `1, `2 ∈ R.

Teorema 15 (dell'Unicità del Limite) ` = `′, ovvero ∃` −→ ∃!`.Teorema 16 (della Permanenza del Segno) Sia A = (a, b), x0 ∈ [a, b]. Se ∃` 6=0 allora esiste I(x0)in cui f(x) ha lo stesso segno di ` (escluso al più x0).Teorema 17 (∃δ > 0 : ∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) \ x0, f(x) = g(x)) ⇒ (∃` ⇔∃`1 ∧ ` = `1).Teorema 18 (del Confronto o dei Carabinieri) ∀x ∈ (a, b) \ x0, f(x) ≤g(x) ≤ h(x) ∧ ` = `2 −→ `1 = ` = `2.Teorema 19 (del Confronto) ∀x ∈ (a, b) \ x0, f(x) ≤ g(x)∧ ` = +∞‖`1 =−∞‖ −→ `1 = +∞‖` = −∞‖.Teorema 20 (Limite della Composizione di Funzioni) Sia denita gf .Se∃ limy→` g(y) = `1 e vale una delle seguenti:

1. ∃δ > 0 : ∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) \ x0, f(x) 6= `;

2. g(`) = `1 (continuità di g);allora ∃ limx→x0 g f(x) = `1.

4.3.7 Teoremi di de l'HôpitalTeorema 21 (di de l'Hôpital 1) Sia f, g : (a, b) → R, x0 ∈ [a, b]. Siano vali-de le ipotesi:

1. f, g derivabili in (a, b);

2. ∀x ∈ (a, b) \ x0, g′(x) 6= 0;

3. f(x0) = g(x0) = 0;

4. ∃ limx→x0f ′(x)g′(x) = ` ∈ R.

Allora:

∃ limx→x0

f(x)g(x)

= `

Eventualmente, si considera l'unico limite calcolabile.


Teorema 22 (di de l'Hôpital 2) Sia f, g : (a, b) → R, a, b ∈ R. Siano validele ipotesi:

1. f, g derivabili in (a, b);

2. ∀x ∈ (a, b), g′(x) 6= 0;

3. ∃ limx→a+ f(x) = ±∞;∃ limx→a+ g(x) = ±∞;

4. ∃ limx→a+f ′(x)g′(x) = ` ∈ R.

Allora:

∃ limx→a+

f(x)g(x)

= `

Lo stesso risultato vale per x → b−.

4.3.8 Proprietà sui LimitiSiano ` = lim x → x0f(x); `1 = lim x → x0g(x); `2 = limx → x0h(x) tali che`, `1, `2 ∈ R.Siano: α, λ, µ,∈ R; a ∈ R+

0 \ 1; b ∈ R+0 ; n ∈ N

Sia: x0 =∈ R oppure x0 = ±∞. Allora:

• limx→x0 [f(x) + g(x)] = ` + `1

• limx→x0 [λf(x) + µ · g(x)] = λ · ` + µ · `1

• limx→x0 [f(x)]n = `n con ` > 0

• limx→x01

f(x) = 1` ⇔ ` 6= 0

• limx→x01

f(x) = 0 ⇔ limx→x0 f(x) = ±∞

• limx→x0f(x)g(x) = `

`1⇔ `1 6= 0

• limx→x0 |f(x)| = |`|

• limx→x0 loga f(x) = loga `

• limx→x0 bf (x) = b`

• limx→x0 [f(x)]g(x) = ``1 con ` > 0


4.3.9 Limiti di Funzioni MonotòneTeorema 23 Sia f : (a, b) → R, a, b ∈ R, a < b, una funzione monotòna cre-scente ‖ decrescente‖, s0 ∈ (a, b); allora:

∃ limx→x−0

f(x) = supf(y) : y < x0‖ = inff(y) : y < x0‖ = supf((a, x0))‖ = supf((a, x0))‖

e:

∃ limx→x+

0

f(x) = inff(y) : y > x0‖ = supf(y) : y > x0‖ = inff((x0, b))‖ = inff((x0, b))‖

Se x0 ∈ σ(a, b), allora il teorema è vero per l'unico limite che si può calcolare.

4.3.10 InnitesimiDenizione 65 (Innitesimo) Sia x0 ∈ R, siano f, g due funzioni denite inun intorno di x0 escluso al più x0 tali che f(x) = limx→x0 g(x) = 0. Si dice chef è innitesima di ordine superiore a g per x → x0 o che f è un o piccolo di gper x → x0 e si scrive f = o(g, x0) o semplicemente f = o(g) se:

limx→x0

f(x)g(x)

= 0

Notazione 7 (Funzioni Innitesime) Funzioni che hanno limite uguale a 0per x → x0 si dicono innitesime e si indicano con o(1, x0).

Denizione 66 (Innitesimi di ordine α) Sia limx→x0 f(x) = 0; se ∃α >

0 : limx→x0f(x)

(x−x0)α = ` ∈ R \ 0, si dice che f è un innitesimo di ordine α

per x → x0 e che la sua parte principale è (x− x0)α. Analogamente per limitesx e per limite dx.

Osservazione 8 (Proprietà o piccoli) Se f1 = o(g, x0), f2 = o(g, x0), allo-ra:

1 f1 + f2 = o(g, x);

2 ∀k ∈ R, kf = o(kg, x0) = o(g, x0).

Se f1 = o(g1, x0), f2 = o(g2, x0), allora:

3 f1+g1f2+g2

= g1g2

in un intorno di x0, cioè esiste un limite sse esiste l'altro, e sonouguali.

4 ∀x, l > 0, xk = o(xl, x0) = o(xl+k, xo);

5 f1 · f2 = o(g1 · g2, x0);

inoltre, se f = o(g, x0), g = 0o(h, x0), allora:


6 f = o(h, x0);

Teorema 24 Sia x0 ∈ R, f continua in x0 e invertibile in un intorno di x0

tale che f(x) = f(x0) + a · (x − x0) + o(x − xo, x0), a 6= 0. Allora f−1(y) =x0 + 1

a · (y − y0) + o(y − y0, y0) dove y0 = f(x0).

Denizione 67 Siano f, g denite in un intorno di x0 ∈ R : f, g 6= 0 in taleintorno ad eccezione al più di x0. Si dice che f è asintotica a g per x → x0 se∃ limx→x0

f(x)g(x) = ` ∈ R \ 0 e si indica con f ∼ g.

Osservazione 9 (Proprietà funzioni asintotiche) 1 f ∼ g ∼ f

2 f ∼ g ∧ g ∼ h ⇒ f ∼ h

Osservazione 10 f ∼ g ⇒ (∃ limx→x0 f(x) ⇔ ∃ limx→x0 g(x)).

4.4 Funzioni Continue4.4.1 DenizioneDenizione 68 (Funzione Continua) y = f(x) si dice continua in x0 se limx → x0f(x) =f(x0) o,il che è lo stesso, se ∀ε > 0∃δ > 0 t.c. ∀x, |x− x0| < δ ⇒ |f(x)− f(x0)| < ε

Teorema 25 Siano f, g continue in x0, λ ∈ R. Allora f + g, f · g, λ · f sonocontinue in x0.Se è denita g f , anch'essa è continua in x0.Se è denita f−1, anch'essa è continua in x0.

Teorema 26 Sia f : I → R, allora se f(x0) > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ)in cui f(x)>0.

Teorema 27 (di Weierstrass) Ogni funzione continua in un intervallo chiu-so [a, b] con a, b ∈ R è dotata di massimo e minimo assoluti nell'intervallo,ovvero:

f([a, b]) = [inf

x ∈ [a, b] f(x),sup

x ∈ [a, b] f(x)]

e in particolare ∃c1, c2 ∈ [a, b] :

f(c1) =inf

x ∈ [a, b] f(x), f(c2) =sup

x ∈ [a, b] f(x)

Teorema 28 (dei Valori Intermedî) Una funzione continua in un interval-lo I assume nell'intervallo tutti i valori compresi tra il minimo m e il mas-simo M , ovvero, dati x, y : f(x) < f(y), λ ∈ R : f(x) < λ < f(y), allora∀λ,∃z ∈ I : f(z) = λ.

4.5. DERIVATE 41

Teorema 29 (dell'Esistenza degli Zeri o di Bolzano) Se una funzione con-tinua su un intervallo assume valori di segno opposto in due punti x − 1 e x2

dell'intervallo, allora esiste almeno un punto interno all'intervallo ]x1, x2[ incui f(x) = 0, ovvero, data f : [a, b) → R, continua in [a, b], a, b ∈ R, a < b :f(a) · f(b) < 0, allora ∃c ∈ (a, b) : f(c) = 0.

4.5 Derivate4.5.1 DenizioneDenizione 69 (Rapporto Incrementale) Sia I intervallo con x0 punto in-terno di I; si dice rapporto incrementale in x0 la funzione:

Rx0f(x) =f(x)− f(x0)

x− x0

denita in I \ 0.

Denizione 70 (Derivata) f è derivabile in x0 se ∃ lim x → x0Rx0f(x) ∈ Re si denota con:

f ′(x) = D[f(x)] =df

dx= f(x) = lim

h→0

f(x + h)− f(x)h

= limx→x0

Rx0f(x).

Analogamente si deniscono le derivate destra e sinistra. Se possono calcolarsiderivata destra e sinistra, allora esiste la derivata e coincide con derivata dx esx.

Teorema 30 Se f : I → R è derivabile in x0, allora f è continua in x0, manon viceversa.

Notazione 8 (Dierenziabilità) f(x)−f(x0)x−x0

0f ′)x0) + o(1, x0)f(x)− f(x0) = f ′(x0) · (x− x0) + (x− x0) · o(1, x0)

f(x) = f(x0) + f ′(x0) · (x− x0) + o(x− x0, x0)

Denizione 71 (Dierenziabilità) Sia fI → R, x0 punto interno di I; f sidice dierenziabile in x0 se ∀x ∈ I, ∃L > 0 : f(x) = f(x=)+L · (x−x0)+ o(x−x0, x0).

Denizione 72 (Derivata Seconda, k-esima) f ′′(x0) = d2

dx2 = ˙f(x) = d

dxf ′(x).f (k)(x0) = dk

dxk = ddxf (k−1).

Notazione 9 (Classe Ck) f ∈ Ck, k ∈ N, k ≥ 1 sta ad indicare che f è deri-vabile k volte in I con derivate continue in I (in particolare, è continua f (k).In particolare, C0(I) = C(I) denota lo spazio vettoriale delle funzioni continuein I; C+∞(I) denota l'insieme delle funzioni che ammettono derivate di ogniordine in I e tali che ∀k, dk

dxk f ∈ C(I).


Osservazione 11 I polinomî appartengono a C+∞(R) con la proprietà dk

dxk P =0 se k > degP .ex ∈ C+∞(R).

Teorema 31 La funzione f : I → R è dierenziabile in x0 punto interno di Isse è derivabile in x0 e in tal caso L = f ′(x).

Teorema 32 Siano f, g : IrightarrowmathbbR, x0 punto interno di I, f ≡ g in un intorno di x0; allora fè derivabile in x0 sse lo è g e in tal caso f ′(x0) = g′(x0).

4.5.2 Proprietà locali di una funzioneOsservazione 12 (Derivata prima e monotonia) Sia f : I → R derivabilein x0 e debolmente crescente ‖decrescente‖ in un intorno di x0. Allora f ′(x0) ≥0‖ ≤ 0‖.Denizione 73 (Punto di Massimo ‖Minimo‖ relativo debole (locale))Sia f : I → R derivabile in x0 ∈ I; x0 si dice punto di massimo ‖minimo‖ rela-tivo debole (locale) di f se ∀x ∈ I ∩ (x0 − δ, x0 + δ), ∃δ > 0 : f(x) ≤ f(x0)‖ ≥f(x0)‖.Denizione 74 (Punto di Massimo ‖Minimo‖ relativo forte (stretto))Sia f : I → R derivabile in x0 ∈ I; x0 si dice punto di massimo ‖minimo‖ re-lativo forte (stretto) di f se ∀x ∈ I ∩ (x0 − δ, x0 + δ), ∃δ > 0 : f(x) < f(x0)‖ >f(x0)‖.Denizione 75 (Punto di Massimo ‖Minimo‖ assoluto) x0 di dice pun-to di massimo ‖minimo‖ assoluto di f se ∀x ∈ I, f(x) ≤ ‖ ≥ ‖f(x0).

Denizione 76 (Punto stazionario) Se x0 è tale che f ′(xo) allora x0 è dettopunto stazionario di f .

Teorema 33 (Fermat) Sia f : I → R derivabile in x0, sia x0 ∈ I estremorelativo, allora f ′(x0) = 0.

Teorema 34 (Conseguenza 1 Teorema di Lagrange) Sia f : I → R con-tinua in I e derivabile nei punti interni di I, con derivata prima positiva (stret-tamente positiva, negativa, strett. negativa) in tali punti. Allora f è crescente(decrescente, str. crescente, str. decrescente) in tale intervallo.

Teorema 35 (Conseguenza 2 Teorema di Lagrange) Sia f : I → R con-tinua in I e derivabile nei punti interni di I, con derivata prima nulla in talipunti. Allora f è costante in tale intervallo.

Criterio 1 (Massimi, minimi relativi) Se ∃δ > 0 : f ′(x) ≤ 0(≥) in (x0 −δ, x0) e f ′(x) ≥ 0(≤ 0) in (x0, x0+δ) allora x0 è un punto di minimo (massimo)relativo di f . Se le disuguaglianze valgono con i segni forti, allora x0 è puntodi minimo (massimo) relativo stretto.

Teorema 36 Sia f : I → R ∈ C2, f ′(x0) = 0, f ′′(x0) > 0(<), x0 punto internodi I. Allora x0 è punto di minimo (massimo) relativo forte di f , e viceversacondizione necessaria anchè x0 sia punto di minimo (massimo) relativo forteè che f ′′(x0) ≥ (≤)0.

4.5. DERIVATE 43

4.5.3 ConvessitàDenizione 77 (Funzione Convessa) f : I → R si dice convessa se:∀x0, x1 ∈ I : x0 < x1, ∀t ∈ [0, 1], f(t ·x0 +(1− t) ·x1) ≤ t · f(x0)+ (1− t) · f(x1).

Denizione 78 (Funzione Concava) f si dice concava se −f è convessa.

Teorema 37 Sia f convessa in I; allora:∀x > x0, f(x) ≥ f(x0) + f ′+(x0) · (x− x0);∀x < x0, f(x) ≥ f(x0) + f ′−(x0) · (x− x0).

Denizione 79 (Punto di esso) f : (a, b) → R, x : 0 punto interno di I : fconvessa (concava): in (a, x0) e concava (convessa) in (x0, b). x0 si dice puntodi esso per f . x0 si dice esso ascendente (discendente) se f è localmentecrescente (decrescente) in un intorno di x0.

Denizione 80 (Asintoto obliquo) f : (a,+∞) → R ha asintoto obliquo a+∞ se limx→+∞ = ±∞ e:

limx→+∞

f(x)x

= a ∈ R \ 0;

limx→+∞

f(x)− a · x = b ∈ R.In questo caso l'asintoto obliquo è y : a · x + b.

Osservazione 13 f, g convesse in I ⇒ f + g convessa in I.

4.5.4 TeoremiTeorema 38 (di Rolle) Sia f : [a, b] → R continua in [a, b] e derivabile su(a, b) e sia f(a) = f(b); allora ∃x0 ∈ (a, b) t.c. f ′(x0) = 0.

Teorema 39 (di Lagrange o del Valor Medio) Sia f : [a, b] → R continuain [a, b] e derivabile in (a, b); allora ∃x0 ∈]a, b[ t.c. f(b)−f(a)

b−a = f ′(x0).

Teorema 40 (di Cauchy) Siano f(x) e g(x) due funzioni continue su [a, b]e derivabili su ]a, b[ e sia g′(x) 6= 0∀x ∈ [a, b]; allora 0 ∈]a, b[ t.c. f(b)−f(a)

g(b)−g(a) =f ′(x0)g′(x0)

.

4.5.5 Teoremi Funzioni ConvesseTeorema 41 (1) Sia f : I → R convessa; siano x0, x1 ∈ I : x0 < x1. Allora∀x ∈ [x0, x1], f(x) ≤ f(x0) + f(x1)−f(x0)

x1−x0· (x− x0)

def= rx0x1(x);

∀x 6∈ [x0, x1], f(x) ≥ rx0x1(x).


Teorema 42 (2) Siano f : I → R convessa in I, r una retta; Se ∃x0 < x1 <x2 ∈ I : f(xj) = r(xj), j = 0, 1, 2 allora ∀x ∈ [x0, x2], f(x) = r(x).

Teorema 43 (3) Sia f : I → R, sia x0 ∈ I. Sia:Rx0f : I \ x0 → R,

Rx0f(x) = f(x)−f(x0)x−x0

,allora f è convessa in I sse Rx0f è crescente in I \ x0. Eventualmente, siconsidera l'unico rapporto incrementale calcolabile.

Teorema 44 Sia f convessa in I; allora è continua in tutti i punti interni diI in quanto ∃ lim Rx0f(x).

Teorema 45 (Convessità-derivabilità) Sia f : (a, b) → R derivabile in (a, b);f è convessa (concava) in (a, b) sse f ′ è crescente (decrescente) in (a, b), èstrettamente convessa (concava) se f ′ è str. crescente (decrescente).

4.5.6 Derivate Fondamentali

f(x) f ′(x)k 0xn nxn−1

sin x cosxcos x − sin xtanx 1 + tan2 xtanx 1

cos2 xcot x −1− cot2 xcot x − 1

sin2 xex ex

ax ax log alog x 1

x

loga x logaex

arcsin x 1√1−x2

arccosx − 1√1−x2

arctan x 11+x2

arccotx − 11+x2

Tabella 4.1: Derivate Fondamentali

4.5.7 Regole di DerivazioneSiano f, g : I → R derivabili in x0, x0 punto interno di I, λ ∈ R; allora valgonoi seguenti teoremi algebrici o regole di derivazione.pag.45

Osservazione 14 (Conseguenza) I polinomî sono derivabili in R e la deri-vata di un polinomio di grado n è un polinomio di grado n− 1.

4.6. INTEGRALI 45

y = f(x)± g(x) y′ = f ′(x)± g′(x)y = k · f(x) y′ = k · f ′(x)y = f(x) · g(x) y′ = f ′(x) · g(x) + f(cx) · g′(x)y = f(x)

g(x) y′ = f ′(x)·g(x)−f(cx)·g′(x)g2(x)

y = f(g(h(x))) y′ = f ′(g(h(x))) · g′(h(x)) · h′(x)y = [f(x)]g(x) y′ = [f(x)]g(x) · [g′(x) · log f(x) + g(x) · f ′(x)

f(x) ]

Tabella 4.2: Regole di Derivazione

Teorema 46 (Derivabilità della funzione inversa) Sia f strettamente mo-notòna denita in I e ivi continua, derivabile in x0 punto interno di I tale chef ′(x0) 6= 0, allora f è invertibile e la sua inversa è derivabile in f(x0). Inoltre:(f−1)′(f(x0)) = 1

f ′(x0)

(f−1)′(y) = 1f ′(f−1(y))

4.6 Integrali4.6.1 DenizioneDenizione 81 (Integrale)

∫f(x) dx = F (x) + c ⇔ F ′(x) = f(x)

F (x) si dice primitiva di f(x).

Teorema 47 (di Torricelli-Barrow)∫ b

af(x) dx = F (b)− F (a)

4.6.2 Integrale di RiemannDenizione 82 (Partizione) Si dice partizione di [a, b] ogni insieme di puntia = t0 < t1 < · · · < tn = b. Data δ partizione di [a, b], si ha:

[a, b] =n−1⋃

j=0

[tj , tj+1

]

Notazione 10 (Somme superiori e inferiori)

s(f, δ) = n−1∑

j=0

inft ∈ [tj , tj+1 f(t) · (tj+1 − tj)

S(f, δ) = n−1∑

j=0

supt ∈ [tj , tj+1 f(t) · (tj+1 − tj)

Denizione 83 (Funzione Riemann-integrabile) f è integrabile se esisteunico l'elemento separatore tra s(f) e S(f) ovvero se sups(f) = infS(f). Tale


elemento separatore si dice integrale di f in [a, b] e si scrive:∫ b

a

f(x) dx = sups(f) = infS(f)

ovvero f : [a, b] → R limitata è integrabile in [a, b] se ∀ε > 0, ∃δ : S(f, δ) −s(f, δ) ≤ ε.

Osservazione 15 (Conseguenza) f monotòna è integrabile.f continua è integrabile.Lo spazio R delle funzioni integrabili è vettoriale e l'applicazione R → R, f →∫ b

1f(t) dt è lineare.

Notazione 11∫ b

af(x) dx = − ∫ a

bf(x) dx∫ a

af(x) dx = 0

Denizione 84 (Funzione integrale) f : [a, b] → R R-integrabile in [a, b],c ∈ [a, b] ssato; la funzione F : [a, b] → R denita da:

F (x) =∫ x

c

f(t) dt

si dice funzione integrale di f .

4.6.3 Teoremi

Teorema 48 (della Media)inf

[a, b] f ≤ 1b−a ·

∫ b

af(x) dx ≤

sup

[a, b] f

∃c ∈ [a, b] t.c. f(c) =

∫ b

af(x) dx

b− a

Teorema 49 (fondamentale del Calcolo Integrale) f : [a, b] → R R-integrabilein [a, b]; allora:

1. ∀c ∈ [a, b], F (x) =∫ x

cf(t) dt è lipschitziana e |F (x) − F (y)| ≤

supt ∈ [a, b]

|f(t)| · |y − x|;

2. se f è continua in x0 ∈ (a, b), allora F è derivabile in x0 e F ′(x0) = f(x0);

3. se f è continua in a (b), allora F è derivabile a dx (sx) in a (b) e F ′+(a) =f(a)(F ′−(b) = f(b));

4. ∀α, β ∈ [a, b] : α ≤ β,∫ β

αf(x) dx = F (β)− F (α)

4.6. INTEGRALI 47

4.6.4 Integrali Notevoli Fondamentali

∫xn dx =

xn+1

n + 1+ c con n 6= −1

∫1x

dx = log |x|+ c

∫sin x dx = − cos x + c

∫cos x dx = sin x + c

∫1

cos2 xdx = tan x + c

∫(1 + tan2 x) dx = tanx + c

∫1

sin2 xdx = − cot x + c

∫(1 + cot2 x) dx = − tanx + c

∫ex dx = ex + c

∫ax dx = ax · logae + c

∫dx√

1− x2= arcsin x + c

∫dx

1 + x2= arctan x + c


4.6.5 Regole di Integrazione

1a∫

k · f(x) dx = k ·∫

f(x) dx

1b∫

[f1(x)+f2(x)+· · ·+fn(x)] dx =∫

f1(x) dx+∫

f2(x) dx+· · ·+∫

fn(x) dx

2, monotonia ∀x ∈ [a, b], f(x) ≤ g(x) ⇒ ∫ b

af(x) dx ≤ ∫ b

ag(x) dx

2bis ∀x ∈ [a, b], g(x) ≥ 0 ⇒ ∫ b

ag(x) dx ≥ 0

3, spezzamento∫ b

af(x) dx =

∫ c

af(x) dx +

∫ b

cf(x) dx

4.6.6 Altri Integrali Notevoli∫ √

a2 − x2 dx =x

2

√a2 − x2 +

a2

2arcsin

x

a+ c

∫ √a2 + x2 dx =

x

2· log(x +

√a2 + x2) +

x

2·√

a2 + x2 + c∫

1√a2 + x2

dx = log |x +√

a2 + x2|+ c∫

1√a2 − x2

dx = arcsinx

a+ c

∫1√

x2 ± a2dx = log |x +

√x2 ± a2|+ c

∫1

x2 − a2dx =

12a· log |x− a

x + a|+ c

∫1√

x2 + px + qdx = log |x +

p

2+

√(x +

p

2)2 + q − p2

4|+ c

∫cos αx cosβx dx =

sin(α + β)x2(α + β)

+sin(−β)x2(α− β)

+ c∫

ex · sin x dx = −12ex(sin x− cos x) + c

∫ex · cosx dx = −1

2ex(sinx + cosx) + c

4.6.7 Integrali per Serie

In =∫

sin2n x dx =12n

[− sin2n−1 x cos x + (2n− 1)In−1] con I0 = x + c; I1 =

−12

sin x cos x +12x + c

In =∫

logn x dx = x logn x− n · In−1 con I0 = x + c; I1 = x log x− x + c

In =∫

xn · ex dx = xn · ex − n · In−1 con I0 = ex + c; I1 = xex − x + c

In+1 =∫

1(1 + x2)n+1

dx =x

2n · (1 + x2n)+

2n− 12n

In−1 con I0 = arctan x +

c; I1 =x

2(1 + x2)+ frac12 arctan x + c

4.6. INTEGRALI 49

4.6.8 Integrazione di Funzioni Goniometriche∫

sin2k+1 x dx =∫

sin2k x · sin x dx = −∫

(1− cos2 x)k d cosx∫

sin2k x dx =12

∫(1− cos 2x

2)k d2x

4.6.9 Integrazione di Funzioni Razionali

f(x) =P (x)Q(x)

= S(x)+R(x)Q(x)

= S(x)+A1

(x− x1)+

A2

(x− x1)2+ · · ·+ Ar1

(x− x1)r1+

+B1

(x− x2)+

B2

(x− x2)2+ · · ·+ Rr2

(x− x2)r2+ · · ·+ α1 · x + β1

(x2 + a1 · x + b1)+ · · ·+

+αl1 · x + βl1

(x2 + al1 · x + bl1)+

γ1 · x + δ1

(x2 + a1 · x + b1)+ · · ·+ γl2 · x + δl2

(x2 + al2 · x + bl2)+ · · ·

I =∫

P1(x)P2(x)

dx =∫

Q(x) dx +∫

R(x)P2(x)

dx dove vale P1(x) = P2(x) · Q(x) +

R(x) ed è %R(x) < %P2(x)Considerato il caso in cui %P2(x) = 2 e quindi %R(x) = 0 ∨ 1, essendo P2(x) =ax2 + bx + c con a, b, c costanti assegnate, dette α1, α2 le radici di P2(x) = 0,denito ∆ = b2 − 4ac, considerati A e B costanti in R, si hanno i seguenti trecasi, a seconda del segno di ∆:1. ∆P2(x) > 0 −→ I = 1

a

∫A

x−α1dx+ 1

a

∫B

x−α2dx = A

a log |x−α1|+ Ba log |x−

α2|+ c

2. ∆P2(x) = 0 −→ I = 1a

∫A

x−α dx+ 1a

∫B

(x−α)2 dx = 1aA log |x−α|− Aα+B

a(x−α) +c

3. ∆P2(x) < 0 −→ I =∫

gx+hax2+bx+c dx = gs

∫ d(ax2+bx+c)x2+bx+c + ht

∫dx

(kx+j)2+1 =gs log |ax2 + bx + c|+ ht arctan(kx + j) + c

4.6.10 Tecniche di IntegrazioneIntegrazione per Sostituzione: x = g(t) −→ ∫

f(x) dx =∫

f(g(t)) · g′(t) dtIntegrazione per Parti:

∫f ′(x)g(x) dx = f(x)g(x)− (x)g′(x) dx

4.6.11 Integrazione Numerica 1

Metodo 1 (dei rettangoli) Si approssima l'area sottesa alla curva alla som-ma di n rettangoli la cui base tende a 0 tendendo l'errore e a 0 e la cui altezzaè pari al valore della funzione all'estremo sinistro o destro della base.∫ b

a

f(x) dx ' b− a

n· [f(x0) + f(x1) + · · ·+ f(xn−1)]

1Marcello Pedone, Integrazione Numerica e Valutazione dell'errore,http://www.matematicamente.it


e ≤ (b− a)2

2n·M con |f ′(x)| ≤ M

Metodo 2 (dei trapezî) Si approssima l'area sottesa alla curva alla sommadi n trapezi la cui altezza tende a 0 tendendo l'errore e a 0 e le cui basi sono ivalori della funzione all'estremo destro e sinistro della base.∫ b

a

f(x) dx ' b− a

2n· [f(x0) + f(xn) + 2 · [f(x1) + · · ·+ f(xn−1)]]

e ≤ (b− a)3

12n2·M con |f ′′(x)| ≤ M

Metodo 3 (di Cavalieri-Simpson)∫ b

a

f(x) dx ' b− a

3n· [f(x0) + f(xn) + 4 ·

[f(x1) + f(x3) + · · ·] + 2 · [f(x2) + f(x4) + · · ·]]e ≤ (b− a)5

180n4·M con |f iv(x)| ≤ M

4.6.12 Lunghezze di Archi di Curva, Volumi e Superci diSolidi di Rotazione

` =∫ x2

x1

√1 + [f ′(x)]2 dx

x = x(t)y = y(t) → ` =

∫ t2

t1

√[x′(t)]2 + [y′(t)]2 dt

V = π ·∫ b

a

[f(x)]2 dx

Teorema 50 (di Guldino) Il volume di un solido generato da una superciepiana S che compie una rotazione completa intorno ad una retta del suo pianoche non l'attraversa è dato dal prodotto dell'area di S per la lunghezza dellacirconferenza descritta dal baricentro di S.

Teorema 51 (Regola di Archimede) L'area di un segmento parabolico è i23 dell'area del rettangolo in cui è inscritto.

Slaterale = 2 · π∫ b

a

f(x) ·√

1 + [f ′(x)]2 dx

4.7 Polinomio di TaylorTeorema 52 n ∈ N, δP = δQ = n : f(x) = P (x) + o((x − x0)n, x0) =Q(x)o((x− x0)n, x0) ⇒ P ≡ Q

Teorema 53 (Polinomio e Formula di Taylor, Polinomio di Mac Laurin)f : (a, b) → R, x0 ∈ (a, b), f derivabile n−1 volte in (a, b) e n volte in x0. Allorala seguente è una approssimazione di f :

f(x) =n∑

k=0

f (k)(x0)k!

· (x− x0)k + o((x− x0)n, x0)

4.7. POLINOMIO DI TAYLOR 51

e si dice polinomio di Taylor di grado n centrato in x0 il seguente:

Pn,x0f =n∑

k=0

f (k)(x0)k!

· (x− x0)k

Per x0 = 0 si ha il polinomio di Mac Laurin.

4.7.1 Formula di Taylor con resto di LagrangeTeorema 54 Sia f : (a, b) → R, x0 ∈ (a, b), f derivabile n+1 volte in x0; allora∃c = c(x) ∈ (minx0, x,maxx0, x) :

f(x) = Pn,x0f(x) +f (n+1)(c(x))

(n + 1)!· (x− x0)n+1

4.7.2 Formula di Taylor con resto di integralef : I → R, x0 ∈ I, f ∈ Cn(I):

f(x)− P x0n f(x) =

1n!·∫ x

x0

f (n+1)(t)·(x−t)n dt

4.7.3 Sviluppi di Taylor

f(x) = Pn,0f + o(xn, 0) =n∑

k=0

f (k)(x0)k!

· (x− x0)k + o(xn, 0)

ex = 1 + x +x2

2+ · · ·+ xn

n!+ o(xn, 0)

log(1 + x) = x− x2

2+

x3

3+ · · ·+ (−1)n−1 · xn

n+ o(xn, 0)

sinx = x− x3

3!+

x5

5!+ · · ·+ (−1)n x2n+1

(2n + 1)!+ o(x2n+2, 0)

cosx = 1− x2

2+

x4

4!+ · · ·+ (−1)n x2n

(2n)!+ o(x2n+1, 0)

tanx = P6,0 tan+o(x6, 0) = x +x3

3+

2 · x5

15+ o(x6, 0)

arcsin x = x +12· x3

3+

38· x5

5+ · · ·+ (2n− 1)!!

(2n)!!x2n+1

2n + 1+ o(x2n+2, 0)


arccosx =π

2− x− 1

2· x3

3+ · · · − (2n− 1)!!

(2n)!!x2n+1

2n + 1+ o(x2n+2, 0)

arctanx = x− x3

3+

x5

5+ · · ·+ (−1)n · x2n+1

2n + 1+ o(x2n+2, 0)

sinhx = x +x3

3!+

x5

5!+ · · ·+ x2n+1

(2n + 1)!+ o(x2n+2, 0)

cosh x = 1 +x2

2+

x4

4!+ · · ·+ x2n

(2n)!+ o(x2n+1, 0)

tanh x = P6,0 tanh+o(x6, 0) = x− x3

3+

2 · x5

15+ o(x6, 0)

arcsinhx = x− 12· x3

3+

38· x5

5+ · · ·+ (−1)n · (2n− 1)!!

(2n)!!x2n+1

2n + 1+ o(x2n+2, 0)

arctanhx =12· log

1 + x

1− x= x +

x3

3+

x5

5+ · · ·+ x2n+1

2n + 1+ o(x2n+2, 0)

(1 + x)α = 1 + α · x +α · (α− 1)

2· x2 + · · ·+ α!

(α− n)! · n!· xn + o(xn, 0)

11 + x

= 1− x + x2 + · · ·+ (−1)n · xn + o(xn, 0)

4.8 Studio di Funzione1. Dominio;

2. Intersezione con gli assi;

3. Segno;

4. Limite (asintoti):

4.9. APPROSSIMAZIONE DI RADICI REALI 53

(a) Asintoto Verticale: limx→x0 f(x) = ∞;

(b) Asintoto Orizzontale: limx→∞ f(x) = `: %den = %num;

(c) Asintoto Obliquo: limx→∞ f(x) = ∞: %den = %num− 1:m = limx→∞

f(x)x

n = limx→∞[f(x)−mx]A.Ob. : y = mx + n

5. Derivata Prima: Crescenza+/decrescenza−; Punti di Massimo e MinimoRelativi0;

6. Derivata Seconda: Concavità verso l'alto+/basso−; Punti di Flesso0.

4.9 Approssimazione di Radici RealiMetodo 1 (di Bisezione o Dicotomico) Sia f(x) una funzione continua in[a, b] t.c. f(a)·f(b) < 0. Allora f(x) si annulla in almeno un punto x0 ∈]a, b[ (*Teorema 29 a pag.41). Considerato il nuovo punto f(a+b

2 ), la radice si troveràtra ]a, a+b

2 [[⇔ f(a) · a+b2 < 0, oppure tra ]a+b

2 , b[[⇔ a+b2 · f(b) < 0. Iteran-

do il procedimento, si ottengono intervalli di soluzione con un'approssimazionesempre minore.

Metodo 2 (della Secante) Sia f(x) una funzione continua in [a, b] t.c. f(a) ·f(b) < 0. Allora f(x) si annulla in almeno un punto x0 ∈]a, b[ (* Teorema 29a pag.41). Per determinare questo valore, si consideri la retta passante per i duepunti (a, f(a)) e (b, f(b)); questa retta intersecherà l'asse x : y = 0 in un punto ca cui corrisponderà f(c). La radice si troverà tra ]a, c[[⇔ f(a) ·f(c) < 0, oppuretra ]c, b[[⇔ f(c) · f(b) < 0. Iterando il procedimento, si ottengono intervalli disoluzione con un'approssimazione sempre minore.

Metodo 3 (della Tangenteo di Newton) Sia f(x) una funzione continuain [a, b] t.c. f(a) ·f(b) < 0. Allora f(x) si annulla in almeno un punto x0 ∈]a, b[(* Teorema 29 a pag.41). Per determinare questo valore, si consideri la rettatangente alla curva in (a, f(a)) o (b, f(b)) e t.c. intersechi l'asse x : y = 0 inun punto c ∈]a, b[ a cui corrisponderà f(c). La radice si troverà tra ]a, c[[⇔f(a) · f(c) < 0, oppure tra ]c, b[[⇔ f(c) · f(b) < 0. Iterando il procedimento, siottengono intervalli di soluzione con un'approssimazione sempre minore.

Capitolo 5

Campo complesso

5.1 RappresentazioneDenizione 85 (C) La struttura [R2; +, ·] dove si denisce:

+ : 〈x1, y1〉+ 〈x2, y2〉 = 〈x1 + x2, y1 + y2〉

· : 〈x1, y1〉 · 〈x2, y2〉 = 〈x1 · x2 − y1 · y2, x1 · y2 + x2 · y1〉è un campo ed è detto campo dei numeri complessi, ed indicato con C.

5.1.1 Rappresentazione AlgebricaSe con 〈1, 0〉 (unità reale) e 〈0, 1〉 (unità immaginaria, indicata anche con i)indichiamo i vettori della base canonica, allora abbiamo 〈x, y〉 = x · 〈1, 0〉 +y · 〈0, 1〉, e la moltiplicazione si denisce in modo che 〈0, 1〉 · 〈0, 1〉 = 〈−1, 0〉.L'elemento 〈a, 0〉 si indica semplicemente con a e l'elemento 〈0, b〉 si indica conbi o anche semplicemente b. Spesso z = 〈a, b〉 ∈ C si indica anche come x + iy,e x = <(z) si dice parte reale, y = =(z) si dice parte immaginaria.Si rappresentano su un piano detto piano di Gauss, dove l'asse delle ascisse èl'asse reale ed è un sottocorpo commutativo di C, l'asse delle ordinate è l'asseimmaginario (ed è uno spazio vettoriale unidimensionale con base i su campo R(??)). Si chiama coniugio l'isomorsmo (la biiezione) che associa al complessoz = a+ ib il complesso z = a− ib (come biiezione, il coniugio conserva la sommae il prodotto). Se x ∈ R, allora x = x.

É preferibile per le operazioni di somma.Il modulo del rapporto è il rapporto tra i moduli;

il modulo del prodotto è il prodotto dei i moduli;il modulo del coniugato è il modulo stesso.

5.1.2 Rappresentazione Polare/TrigonometricaIn riferimento al piano di Gauss, possiamo identicare z = a + ib indicandonel'angolo formato dalla semiretta per l'origine e per z rispetto al semiasse positivodelle ascisse (detto argomento di z, θ = arg(z)) e con la distanza dall'origine

55

56 CAPITOLO 5. CAMPO COMPLESSO

(norma, ρ =√

a2 + b2 =√

(a + ib) · (a− ib)). Si ha:

ρ = |z| = √a2 + b2 = (z · z)

12

θ =

arctan ba se z ∈ Iq

arctan ba + π se z ∈ II/IIIq

arctan ba + 2π se z ∈ IV q

Osservazione 16 x + iy:

θ0 = arctanx

y+

+0 x > 0 y > 0+2π x > 0 y < 0+π x < 0 y > 0+π x < 0 y < 0

In particolare, notiamo che a = ρ cos θ e b = ρ sin θ. Possiamo quindi scriverez = ρ(cos θ + i sin θ), notando che cos θ + i sin θ è un punto della circonferenzaunitaria z ∈ C : |z| = 1 (che costituisce un sottogruppo moltiplicativo). Seabbiamo z1 = ρ1(cos θ1 + i sin θ1) e z1 = ρ2(cos θ2 + i sin θ2) allora z1z2 =ρ1ρ2(cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2)): si ha |z1z2| = |z1| · |z2|.

5.1.3 Rappresentazione esponenzialeDenizione 86 Per ogni t ∈ R deniamo eit def

= cos t + i sin t.

Osserviamo che |eit| = 1.Allora z = ρeiθ.

É preferibile per le operazioni di prodotto.

5.2 Radici n-esime

zn = a ⇔ ρnenit = (ρeit)n = a = |a|eiθ ⇔

ρn = |a|nt = θ + 2kπ

⇔ z = |a| 1n ·ei( θn + 2

n kπ)

Abbiamo n soluzioni, per k = 0, 1, . . . , n− 1.

5.3 Polinomi a valori complessiPn(x) =

∑nj=0 ajx

j , n = 2k + 1, k ∈ Z; P(x) ha n soluzioni per il teoremafondamentale dell'algebra. Sia z ∈ C una soluzione; allora z è una soluzione,perché:

0 = Pn(z) ⇒ 0 = 0 = Pn(z) =n∑

j=0

ajzj =n∑

j=0

ajzj =n∑

j=0

ajzj .

Quindi le radici complesse sono in numero pari.

Capitolo 6

Successioni e Serie

Denizione 87 Sia X 6= ∅ un insieme non vuoto; la funzione a : N → X èdetta successione con valori in X (spesso X = R). Eventualmente, al posto si Nsi considera M ⊆ N, per esempio M = n ∈ N : n ≥ n0. Si indica con an∀n ∈N o con ann∈N (o semplicemente an) o con (an)n∈N (o semplicemente (an)).

Una successione può essere denita in modo esplicito (in funzione di n) oper ricorrenza (dato a0 = α e an = f(an−1); eventualmente, si denisce perricorrenza con f : N×X → X, dando a0 = α e an = f(n, an)).

Denizione 88 (Successione geometrica) La successione (X = R, q, α ∈ Rassegnati):

a0 = αan+1 = q · an

o anche:an = α + qn∀n ∈ N

è detta successione geometrica di ragione (argomento) q.

Denizione 89 (Successione aritmetica) La successione (X = R, q, α ∈ Rassegnati):

a0 = αan+1 = q + an

o anche:an = α + q · n∀n ∈ N

è detta successione aritmetica.

Osservazione 17 Data a : N→ R successione, si può costruire una successionea partire da essa denendo:

x0 = a0

xn+1 = an+1 + xn

di termine generale:

xn =n∑

i=0

ai.

57

58 CAPITOLO 6. SUCCESSIONI E SERIE

Osservazione 18 Data a : N→ R successione, si può costruire una successionea partire da essa denendo:

x0 = a0

xn+1 = an+1 · xn

di termine generale:

xn =n∏

i=0

ai.

6.1 Limiti di successioni reali per n → +∞Denizione 90 (Limite 1) Dati a : N → R successione e ` ∈ R, diciamoche limn→+∞ an = ` oppure che an tende a ` per n tendente a +∞ se:

∀ε > 0,∃n ∈ N : ∀n ≥ n, |an − `| ≤ ε

(cioè se per ogni ε positivo la successione è denitivamente vicina a `).

Denizione 91 (Limite 2) Dati a : N→ R successione, diciamo che limn→+∞ an =+∞ oppure che an tende a +∞ per n tendente a +∞ se:

∀M > 0, ∃n ∈ N : ∀n ≥ n, an ≥ M

e si dice che an diverge a +∞ per n → +∞ o che diverge positivamente.

Denizione 92 (Limite 3) Dati a : N→ R successione, diciamo che limn→+∞ an =−∞ oppure che an tende a −∞ per n tendente a +∞ se:

∀M > 0, ∃n ∈ N : ∀n ≥ n, an ≤ −M

e si dice che an diverge a −∞ per n → +∞ o che diverge negativamente.

Non tutte le successioni hanno limite:

an = (−1)n =

1se n è dispari−1se n è pari

non ha limite per n → +∞.

Osservazione 19 (Limite funzioni→Limite successioni) Se φ : [0,+∞) →R è tale che limx→+∞ φ(x) = ` ∈ R, allora φbN : N → R ha limite `, e quindiha limite ` la successione an denita da an = φ(n).

Teorema 55 (di Collegamento) Sia f : I → R e x0 punto di accumulazionedi f .Allora ∃ limx→x0 f(x)0` ∈ R ∪ +∞,−∞ sse ∀xnn∈N ⊂ I, xn 6= x0∀n e taleche lim n→+∞xn = x0, si ha lim n→+∞f(xn) = `.

6.1. LIMITI DI SUCCESSIONI REALI PER N → +∞ 59

Teoremi sui limiti di successioniPer i limiti di successioni valgono gli stessi teoremi che per i limiti di funzionireali a variabile reale.Sia a : N→ R una successione.

Teorema 56 (1. Unicità del limite) Se a ha limite, questo è unico.

Denizione 93 a : N→ R è detta limitata se ∃M > 0 tale che

|an| ≤ M, ∀n ∈ N

cioè sse −M ≤ an ≤ M, ∀n ∈ N ⇔ an : n ∈ N ⊆ [−M, M ] ⇔ an è limitatasia superiormente che inferiormente.a si dice limitata superiormente se supan : n ∈ N < +∞, ossia se ∃M ∈ Rtc an ≤ M, ∀n ∈ N.a si dice limitata inferiormente se infan : n ∈ N > −∞, ossia se ∃m ∈ R tcan ≥ m, ∀n ∈ N.

Teorema 57 (2. Limitatezza) Se ∃ limn→+∞ an = ` ∈ R allora la successio-ne a è limitata

Teorema 58 (3. Permanenza del segno) Se a : N → R è tale che an ≥ 0(risp. an ≤ 0) denitivamente (cioè ∃n : ∀n <≥ n, an ≥ 0 (risp. an ≤ 0)):se ∃ limn→+∞ an = ` allora l ≥ 0 (risp. ` ≤ 0);viceversa, se a : N→ R ha limite `,se ` > 0 (risp. ` < 0) allora an > 0 (risp. an < 0) denitivamente.

Teorema 59 (4. Confronto-1) Date a, b : N→ R,se limn→+∞ an = +∞ e bn ≥ an denitivamente allora limn→+∞ bn = +∞.

Teorema 60 (5. Confronto-2) Date a, b : N→ R,se limn→+∞ an = −∞ e bn ≤ an denitivamente allora limn→+∞ bn = −∞.

Teorema 61 (6. Confronto-3 (due Carabinieri)) Date a, b, c : N→ R,se limn→+∞ an = limn→+∞ = ` e an ≤ bn ≤ cn denitivamente allora limn→+∞ bn =`.

Teorema 62 (7. Somma, Prodotto, Rapporto) Date a, b : N→ R tali che∃ limn→+∞ an = `, ∃ limn→+∞ bn = m, `,m ∈ R ∪+∞, +∞ = R, allora:• se m + ` è denito1, allora ∃ limn→+∞ an + bn = ` + m;

• se m · ` è denito, allora ∃ limn→+∞ an · bn = ` ·m;

• se m` è denito2, allora ∃ limn→+∞ an

bn= `

m ;

• se l = 0 e an > 0 (risp. an < 0) denitivamente allora limn→+∞ 1an

= +∞(risp. −∞).

1cioè non sono uno +∞ e l'altro −∞2cioè ` 6= 0


Teorema 63 (Bolzano, Weierstrass) Ogni successione di numeri reali limi-tata ha almeno una (innite) sottosuccessione convergente a un limite reale.Denizione 94 (Compatto) K ⊆ R è detto compatto se ogni successione→ K ha una sottosuccessione convergente a un elemento di K.

compatto ⇒ limitatoTeorema 64 (Weierstrass) f : [a, b] → R continua ha massimo e minimo.

6.2 MonotoniaDenizione 95 ((Strettamente) Crescente) a : N → R è crescente (risp.strettamente crescente) se an2 ≥ an1 (risp. an2 > an1) se n2 > n1, ovvero sen2 > n1 ⇒ an2 ≥ an1 (risp. an2 > an1).Osservazione 20 ((Strettamente) Crescente) a è crescente (risp. stretta-mente crescente) se ∀n ∈ N si ha an+1 ≥ an (risp. an+1 > an).Denizione 96 ((Strettamente) Decrescente) a : N → R è decrescente(risp. strettamente decrescente) se an2 ≤ an1 (risp. an2 < an1) se n2 > n1,ovvero se n2 > n1 ⇒ an2 ≤ an1 (risp. an2 < an1).Osservazione 21 ((Strettamente) Crescente) a è crescente (risp. stretta-mente crescente) se ∀n ∈ N si ha an+1 ≤ an (risp. an+1 < an).Denizione 97 ((Strettamente) Monotòna) Una successione è detta mo-notòna (risp. strttamente monotòna) se è crescente o decrescente (risp. stret-tamente crescente o strettamente decrescente).Osservazione 22 (Limite monotòne) Le successioni monotòne hanno limi-te.Se la successione è crescente, limn→+∞ an = supan : n ∈ N;se la successione è decrescente, limn→+∞ an = infan : n ∈ N.Corollario 1 (Lim def. mon.) Se una successione è denitivamente mono-tòna, allora ha limite.

6.3 SottosuccessioniDenizione 98 (Sottosuccessione) Data a : N→ R e una successione stret-tamente crescente k : N→ N la successione costruita da:

b : N→ R, b(n) = ak(n)

viene chiamata sottosuccessione della successione di partenza a o successioneestratta dalla successione di partenza a.

Se k è l'identità, la sottosuccessione è la successione a stessa.Se k(n) = 2n, si parla di sottosuccessione dei termini di posto pari.Se k(n) = 2n + 1, si parla di sottosuccessione dei termini di posto dispari.

Osservazione 23 (lim. sottosucc.) Se a ha limite `, tutte le successioni estrat-te da a hanno limite `.

6.4. SUCCESSIONI NOTEVOLI 61

6.4 Successioni NotevoliSuccessione Geometrica

Sia x ∈ R, poniamo an = xn:

a0 = 1an+1 = x · an

.

x > 1: an ≥ 1∀n, a è strettamente crescente, limn→+∞ an = +∞

x = 1: an = 1∀n, a è una successione costante, limn→+∞ an = 1

−1x < 1, x 6= 0: |an| = |x|n = 1

| 1x |n → 0, limn→+∞ an = 0

x = 0: an = 0∀n, limn→+∞ an = 0

x = −1: an = (−1)n, bn = a2n = 1∀n, cn = a2n+1 = −1∀n,⇒6 ∃ limn→+∞ an =0

x < −1: bn = a2n = x2n = |x|2n → +∞, cn = a2n+1 = x2n+1 = −|x|2n → −∞,⇒6 ∃ limn→+∞ an = 0

Serie Geometrica

Denizione 99 (Serie Geometrica) Le successioni del tipo an = α·∑nk=0 xk

sono dette serie geometriche.

an =n∑

k=0

xk = 1 + x + x2 + · · ·+ xn =a− xn+1

1− x

x ≥ 1: an > 0∀n, limn→+∞ an = +∞

x ≤ 1: 6 ∃ limn→+∞ an

Altre

Esempio 1 Fissato x ∈ R, la successione

an =xn

n!

ha limite:lim

n→+∞an = 0.


Esempio 2 Fissato x ∈ R, x > 0, la successione

an = n√

x

ha limite:lim

n→+∞an = 1.

Esempio 3 La successionean = n

√n

ha limite:lim

n→+∞an = 1.

Esempio 4 Per ogni k ∈ R, la successione

an = n√

nk

ha limite:lim

n→+∞an = 1.

Esempio 5 La successione

an = n√

n!

ha limite:lim

n→+∞an = +∞.

Esempio 6 La successione

an =(

1 +1n

)n

ha limite:lim

n→+∞an = `

con 2 < ` < 3; si denisce:e

def= `.

Si dimostra inoltre che e ∈ R \Q.

Algoritmo di Erone

Dato x > 0 e ssato α > 0, la successione:

an =

a1 = α

an+1 = 12

(an + x

an

)

ha limite:lim

n→+∞an =

√x.

6.5. TECNICHE 63

6.5 Tecniche1. Se si ha una successione a denita per ricorrenza, si prova a porre

limn→+∞ an+1 = `, e anche limn→+∞ f(an) = ` con an`pern→ +∞,

quindi controllare i valori che può assumere `, facendo particolare at-tenzione ai casi ` = 0 o ` = +∞ o ` = −∞ (alcuni casi si possonoscartare se la successione assume solo valori positivi, . . . ); eventual-mente, si possono considerare le due sottosuccessioni pari e dispari, eporre `p e `d rispettivamente i lori limiti, e ragionare con questi.

2. Si prova a scrivere la formula chiusa (intuendola partendo dal bassoo dall'alto e dimostrandola per induzione) e a studiarla come fun-zione, eventualmente usando gli sviluppi asintotici (utile soprattuttose è an = f(n), è però dicile trovare la formula chiusa se si haan+1 = f(an)).

3. Si guarda se an è monotòna (nel qual caso ha limite, reale o innito),studiando il segno di an+1−an e trovando così l'intervallo a cui appar-tiene il limite (si può dimostrare la decrescenza usando maggiorazionidimostrabili per esempio per induzione);

4. sfruttando maggiorazioni e minorazioni (ma non se si devono trovaregli intervalli di un parametro);

5. usando i criteri di confronto, della radice e del rapporto.

6.6 Massimo/Minimo LimiteOsservazione 24 Sia x : N→ R; ∀n ∈ N poniamo An = xk : k ≥ n e

`n = inf An; `n ∈ R ∪ −∞,

Ln = sup An; Ln ∈ R ∪ +∞.Allora si ha:

`n ≤ xn ≤ Ln∀n ∈ Ne le successioni `n e Ln sono successioni monotòne (An+1 ∪ xn = An).

Osservazione 25 Se una successione è illimitata superiormente, alloraLn = +∞.Gli insiemi Ai sono inscatolati uno nell'altro: An+1 = An ∪ xn, quindiAn ⊇ An+1∀n, da cui `n ≤ `n+1 ∧ Ln ≥ Ln+1, ∀n:1. se (xn) è limitata inferiormente, (`n) è monotòna crescente;

2. se (xn) è illimitata inferiormente, `n = −∞, ∀n;

3. se (xn) è limitata superiormente, (Ln) è monotòna decrescente;


4. se (xn) è illimitata superiormente, Ln = +∞, ∀n;

5. si costruiscono due sottosuccessioni che tendono a limiti diversi perdimostrare che la successione non ha limite.

Essendo monotòne, hanno limite.

Denizione 100 (Minimo limite) Se la successione è limitata inferior-mente (*(1)), poniamo:

lim infx→+∞

xndef= lim

n→+∞`n = lim

n→+∞

(infk≥n

xk

)

e si dice minimo limite (indicato anche con limn→+∞xn).Se la successione è illimitata inferiormente (*(2)), poniamo:

lim infx→+∞

xndef= −∞.

Denizione 101 (Massimo limite) Se la successione è limitata supe-riormente (*(3)), poniamo:

lim supx→+∞

xndef= lim

n→+∞Ln = lim

n→+∞

(supk≥n

xk

)

e si dice massimo limite (indicato anche con limn→+∞xn).Se la successione è illimitata superiormente (*(4)), poniamo:

lim infx→+∞

xndef= +∞.

Osservazione 26 (Caratterizzazione) Sia lim sup n→+∞xn = L ∈ R ∪+∞,−∞, lim inf n→+∞xn = ` ∈ R ∪ +∞,−∞;allora L è il più grande fra tutti i limiti di sottosuccessioni di (xk) aventilimite;allora ` è il più piccolo fra tutti i limiti di sottosuccessioni di (xk) aventilimite.Ovvero:1. se una successione ha limite, ` ≤ L;

2. esiste almeno una sottosuccessione con L come limite.

Osservazione 27

∃ limn→+∞

xn = x ⇔ lim supn→+∞

xn = lim infn→+∞

xn = x

Osservazione 28 ∀ε > 0, 0 ≤ Ln − `n ≤ 2ε,∀n ≥ n, da cui:

lim supn→+∞

xn − lim infn→+∞

xn ≤ 2ε.

6.7. SUCCESSIONE DI CAUCHY 65

6.7 Successione di CauchyDenizione 102 (Successione di Cauchy) x : N → R è detta succes-sione di Cauchy se

∀ε > 0, ∃n :,m ≥ n, |xn − x ≤ ε.

Osservazione 29 (Cauchy limitata) Ogni successione di Cauchy è li-mitata.

Osservazione 30 (limite reale→Cauchy) Se ∃ limn→+∞ xn = ` ∈ R,allora (xn) è successione di Cauchy,e viceversa se (xn) è di Cauchy, allora ha limite reale.Quindi: le successioni di Cauchy sono tutte e sole le successioni con limitereale.

Proposizione 2 (Criterio di Cauchy per le successioni) Una succes-sione con valori reali converge a un limite reale per n → +∞ sse è diCauchy.

6.8 SerieDenizione 103 (Serie) Data a : N→ R successione, poniamo:

sn =n∑

k=0

ak = a0 + a1 + · · ·+ an.

sn : N → N è detta successione delle somme parziali di (ak) o serie ditermine generale ak.

Denizione 104 (Convergente/Divergente) Se ∃ lim n→+∞sn ∈ R laserie è detta convergente;se ∃ lim n→+∞sn ∈ +∞,−∞ la serie è detta divergente;se 6 ∃ lim n→+∞sn la serie è detta indeterminata.

Osservazione 31 (Serie geometrica) Dati a 6= 0, q ∈ R, la successionegeometrica ak = a · qk dà origine alla serie geometrica di ragione q:

sn =n∑

k=0

a · qk = a ·n∑

k=0

qk =

a · 1−qn+1

1−q , se q 6= 1a · (n + 1) , se q = 1

.

Se |q| = 1, lim n→+∞sn = a1−q , quindi la serie converge;

se q ≥ 1, lim n→+∞sn =

+∞ , se a > 0−∞ , se a < 0 , quindi la serie diverge;

se q ≤ 1, 6 ∃ lim n→+∞sn, quindi la serie è indeterminata.

Denizione 105 (Somma della serie) Se lim n→+∞sn = ` ∈ R ponia-mo ` =

∑∞k=0 ak; ` è detto somma della serie.

Se lim n→+∞sn = +∞ (risp. −∞) poniamo∑∞

k=0 ak = +∞ (risp. −∞).


Osservazione 32 (Conv. serie → lim succ.) Se (sn) converge, alloralim k→+∞ak = 0.Infatti:

sn − sn−1 =∑n

k=0 ak −∑n−1

k=0 ak = an −→ n→+∞0↓ ↓` `

.

Ovvero: la serie converge solo se la successione è innitesima, ma nonviceversa:

serie convergente ⇒6⇐ successione innitesima.

Osservazione 33 (Criterio di Cauchy)

(sn) converge⇔ ∀ε > 0∃n : ∀n,m ≥ n, |sn−sm| ≤ ε((sn) è una successione di Cauchy).

Osservazione 34 (Criterio di Cauchy per le serie)

(sn) converge⇔ ∀ε > 0∃n0 : ∀n,m ≥ n0,

∣∣∣∣∣n∑

k=m

ak

∣∣∣∣∣ ≤ ε ⇔

⇔ ∀ε > 0n0 : ∀n ≥ n0,∀p ∈ N,

∣∣∣∣∣n+p∑

k=n

ak ≤ ε|.

Esempio 7 (Serie Armonica) La serie armonica:

sn =n∑

k=0

1k

= 1 + frac12 + frac13 + · · ·+ 1n

tende a +∞ per n → +∞.Si osservi che lim k→+∞ 1

k = 0.

Esempio 8 (Serie Armonica Generalizzata)∞∑

n=1

1nα

=

+∞ se α ≤ 1< +∞ se α > 1 .

(Per α = 1 si ha la serie armonica.)

Esempio 9 (Serie Telescopica) Dalla successione:

ak = bk+1 − bk, ∀k ∈ Nsi ricava la serie telescopica:

sn =n∑

k=0

ak =n∑

k=0

(bk+1 − bk) = bn+1 − b0:

s0 = a0

sn+1 = sn + an.

Se ∃ lim n→+∞bn = ` allora ∃ lim n→+∞sn = `− b0;se 6 ∃ lim n→+∞bn allora 6 ∃ lim n→+∞sn.

6.8. SERIE 67

Esempio 10 (Serie Esponenziale) Dato x ∈ R poniamo:

sn =n∑

k=0

xk

k!.

sn converge assolutamente cioè σn =∑n

k=0

∣∣∣xk

k!

∣∣∣ =∑n

k=0|x|kk! converge.

Osservazione 35 (Serie a termini positivi) Sia an ≥ 0 denitivamen-te; allora:

sn =n∑

k=0

ak

da cui:sn − sn−1 = an ≥ 0 denitivamente

quindi la successione delle somme parziali (sn) è denitivamente crescentequindi (sn) ha limite ` ∈ R.

Corollario 2 (Confronto Asintotico) Siano an ≥ 0, bn > 0;se ∃ lim n→+∞ an

bn= ` ∈ R allora se σn =

∑nk=0 bk converge allora converge

anche sn =∑

k=0∗nak.

Criterio 3 (Criterio della radice) Sia ak ≥ 0∀k ∈ N;1. se lim sup k→+∞ k

√ak < 1 allora la serie sn =

∑nk=0 ak converge;

2. se lim sup k→+∞ k√

ak > 1 allora la serie sn =∑n

k=0 ak diverge.Ovvero, data una serie

∑n

k=0 a termini positivi (an ≥ 0) si ha:

lim n→+∞ n√

n ∈

[0, 1) la serie converge1 ?

(1, +∞) laseriediverge.

Eventualmente, si può rendere più forte quanto detto mettendo lim sup n→+∞ n√

nal posto di lim n→+∞ n

√n.

Osservazione 36 • Se lim sup n→+∞ n√|an| ∈ [0, 1) (o lim n→+∞ n

√|an| ∈

[0, 1)) allora an → n→+∞0.

• Se an ≥ 0 e n√|an| → ` ∈ (1,+∞] allora an → +∞.

• Se ` > 1 ⇒ n√

an > l+12 > 1 denitivamente ⇒ an > l+1

2

n.

Teorema 65 Sia an > 0 e supponiamo che an+1an

→ L ∈ R∪+∞,−∞;allora n

√an → n→+∞L.

Criterio 4 (Criterio del rapporto) Sia ann∈N ⊂ R una successionetale che an > 0∀n ∈ N.Supponiamo:

lim sup n→+∞an+1

an= ` ∈ [0, 1)


; allora:∞∑

n=0

an converge.

Se invece:lim inf n→+∞

an+1

an= ` ∈ (1, +∞]

; allora:∞∑

n=0

an diverge positivamente.

Osservazione 37 Dire che lim sup n→+∞an+1an

< 1 signica dire che ∃q <

1, ∃n0 ∈ N tali che an+1an

< q < 1∀n ≥ n0 cioè an è denitivamente decre-scente.Analogamente: se lim inf n→+∞

an+1an

> 1 allora denitivamente ∃r > 1∃n1 ∈N tali che an+1

an> 1∀n ≥ n1 cioè an è denitivamente crescente.

6.9 RiordinamentoDenizione 106 (Riordinamento) Sia k : N→ N biunivoca;data la successione an diciamo che la successione ak(n) è un riordina-mento di an.Teorema 66 (di Riordinamento) Se an ≥ 0 allora le serie

∑∞n=0 an e∑∞

n=0 ak(n) hanno lo stesso carattere, cioè∑∞

n=0 an converse sse∑∞

n=0 ak(n)

converge, e in tal caso le somme coincidono.

6.10 Convergenza AssolutaDenizione 107 (Convergenza Assoluta) Sia an ⊂ R;si dice che

∑∞n=0 an converge assolutamente se converge la serie dei moduli∑∞

n=0 |an|.Teorema 67 Se

∑∞n=0 an converge assolutamente allora converge anche

ordinariamento (cioè converge∑∞

n=0 an).

Corollario 3 Se∑∞

k=0 |ak| < +∞ allora |∑∞k=0 ak| ≤

∑∞k=0 |ak|.

6.11 Serie e IntegraliCriterio 5 (del Confronto tra Serie e Integrali) Sia g : [1,+∞) →R decrescente con valori ≥ 0, integrabile in ogni intervallo [1, a] con a > 1;allora ∃ lima→+∞

∫ a

1g(x) dx ∈ [0,+∞]. Infatti è F (a) =

R a1 g(x) dx decrescente.

Il limite è detto: ∫ +∞

1

g(x) dx.

Proposizione 3 1. (sn) è convergente ⇔ ∫ +∞1

g(x) dx < +∞;

6.12. SERIE A SEGNI ALTERNI 69

2. (sn) è divergente ⇔ ∫ +∞1

g(x) dx = +∞.

Esempio 11 Dato α > 0, la serie sn =∑n

k=11

kα :• per α = 1 diverge (* serie armonica);

• per α ∈ (0, 1) diverge per confronto con la serie armonica, perché1

kα ≥ 1k∀k ∈ N, k ≥ 1;

• per α = 2 converge per confronto con la serie telescopica;

• per α < 2 diverge perché 1kα ≤ 1

k2 ∀k ∈ N;

• per α ∈ (1, 2) converge per confronto con l'integrale di g(x) = 1xα :

∫ a

1

1xα

dx =[

1−α + 1

· x−α+1

]a

1

=a−α+1

−α + 1− 1−α + 1

→a→+∞1

α− 1.

Osservazione 38 (Parti positiva e negativa) (sn) converge assoluta-mente sse convergono sia (s+

n ) che (s−n ).Se (sn) converge ma non converge assolutamente, allora entrambe le (s+

n )e (s−n ) divergono a +∞.

Proposizione 4 Se (sn) converge assolutamente, ogni suo riordinamentoconverge, e convergono allo stesso limite di (sn).

6.12 Serie a segni alterniDenizione 108 (Serie a segni alterni) Sia ak ≥ 0∀k ∈ N una succes-sione;allora

sn =n∑

k=0

(−1)kak

si dice serie a segni alterni.

Criterio 6 (di Liebniz) Se limk→+∞ ak = 0 e (ak) è decrescenteallora (sn) converge.

Corollario 4 Se limk→+∞ ak = 0 e (ak) è denitivamente decrescenteallora (sn) converge.

Esempio 12 (Serie armonica a segni alterni) Data la successione ak =1k :

sn =n∑

k=1

(−1)k+1

k= −

n∑

k=1

(−1)k+1

k

si denisce serie armonica a segni alterni, e converde. Non abbiamo conver-genza assoluta.Per determinare di quanto converge, occorre ridurla a serie di Tatylor: log(2).


6.13 Integrali Generalizzati o ImpropriSia f : [a,+∞) → R integrabile su ogni [a, b] con b > a, f(x) ≥ 0∀x ≥ a.La funzione F (x) =

∫ x

af(t) dt è crescente: se x2 > x1 allora F (x2)− F (x1) =R x2

x1f(t) dt ≥ 0. Quindi ∃ limx→+∞ F (x), che indichiamo con:

∫ +∞

a

f(t) dt.

Denizione 109 (Integrale Improprio o Generalizzato, Sommabilità)Se il limite è reale, diciamo che f è integrabile in senso generalizzato oimproprio o che f è sommabile sulla semiretta [a,+∞):

ϕ ≥ 0∀x è somm. su [a,+∞⇔ limb→+∞

∫ b

a

ϕ(x) dx ∈ R.

In modo analogo per f : (−∞, a] → R.

Osservazione 39∫ b

a

f(t) dt =∞∑

n=0

an, an =∫ a+n+1

a+n

f(t) dt.

Osservazione 40 (Confronto) Siano f, g : [a,+∞) → [0, +∞) integra-bili su ogni [a, b] con b > a, e 0 ≤ f(x) ≤ g(x)∀x ≥ a;allora:• se g è sommabile lo è anche f ;

• se f non è sommabile non lo è neanche g.Infatti si ha F (x) =

R xa f(t) dt ≤ R x

a g(t) dt = G(x) ⇒ limx→+∞ F (x) ≤ limx→+∞G(x).

6.13.1 Uso del teorema di confronto con le funzionicampioneFunzioni campione:

ϕ(x) =1xα

.

f(x) ≥ 0 ≥ a > 0, f integrabile su ogni [a, b], ∃α > 0 tale che limx→+∞ f(x)·xα = `.Si confronta con ϕ(x) = 1

xα per cui:

` = limx→+∞

g(x)ϕ(x)

⇒ ∃x0 tc ∀x ≥ x0 si ha f(x)ϕ(x)

≤ ` + 1.

Se α > 1 e ` ∈ R allora si usa il teorema di confronto con la funzione g(x) =ϕ(x)·(l+1) sulla semiretta [x0, +∞) quindi f è sommabile su [x0,∞) quindilo è anche su [a, +∞) dato che

∫ b

af(x) dx =

∫ x0

af(x) dx +

∫ b

af(x) dx.

Se α < 1 e ` > 0 (anche ` = +∞) allora f non è sommabile dato chelimx→+∞

f(x)ϕ(x) = ` > 0 allora ∃c > 0 tale che denitivamente f(x)

ϕ(x) ≥ c. Se

6.13. INTEGRALI GENERALIZZATI O IMPROPRI 71

` ∈ R possiamo prendere `2 ; se ` = +∞ possiamo prendere c qualuque, per

esempio c = 1, e confrontiamo con la funzione ψ(x) = c·ϕ(x) sulla semiretta[x0,+∞) con x0 grande tc f(x)

ϕ(x) ≥ c∀x ≥ x0, quindi f(x) ≥ c ·ϕ(x)∀x ≥ x0

quindi f non è sommabile su [x0, +∞) quindi non è sommabile su [a,+∞).

6.13.2 Integrali GeneralizzatiSia f : [a, b) → R, f(x) ≥ 0∀x ∈ [a, b), f integrabile su ogni [a, x] conx ∈ (a, b);la funzione F (x) =

∫ x

af(t) dt è crescente, quindi ∃ limx→b− F (x) = `; se

` < +∞ si dice che f è sommabile su (a, b) e si pone ` =∫ b

af(t) dt; ` è

detto integrale generalizzato o improprio di f su [a, b).Sia f : (a, b] → R, f(x) ≥ 0∀x ∈ (a, b], f integrabile su ogni [x, b] conx ∈ (a, b);la funzione G(x) =

∫ b

xf(t) dt è decrescente, quindi ∃ limx→a+ G(x) = `; se

` < +∞ si dice che f è sommabile su (a, b) e si pone ` =∫ b

af(t) dt; ` è

detto integrale generalizzato o improprio di f su (a, b].Signicato geometrico: area illimitata, nita (se sommabile) o innita (senon sommabile).

Teorema 68 Se 0 ≤ f(x) ≤ g(x)∀x ∈ (a, b) allora:• se g è sommabile lo è anche f ;

• se f non è sommabile non lo è neanche g.

Denizione 110 Sia f : (a,+∞) → R, f integrabile su ogni [x1, x2] ⊂(a,+∞), f(x) ≥ 0∀x > a;f è detta sommabile su (a,+∞) se le restrizioni fb[a,a+1) e fb[a+1,+∞)

sono sommabili su (a, a + 1] e [a + 1,+∞) rispettivamente; si pone allora∫ +∞a

f(t) dt =∫ a+1

af(t) dt +

∫ +∞a+1

f(t) dt.

Osservazione 41 f è sommabile su (a,+∞) sse per ogni x0 > a, fb(a,x0]

e fb[x0,+∞) sono sommabili sse per qualche x0 > a, fb(a,x0] e fb[x0,+∞)

sono sommabili.

. . .

Denizione 111 (Funzione Gamma di Eulero) La funzione:

Γ(α) =∫ +∞

0

e−t·tα−1 dt,∀α>0

si dice funzione Gamma di Eulero.Si ha: Γ(α + 1) = α · Γ(alpha), Γ(1) = 1.Quindi, per induzione: Γ(n) = (n− 1)!, n ∈ N.Osservazione 42 Sia f : [a,+∞) → R integrabile su ogni [a, b] con b > a;diciamo che f è sommabile su [a,+∞) se |f | è sommabile su [a,+∞) cioèse limM→+∞ RM

a|f(t)| dt∈R.

Osservazione 43 f è sommabile su [a,+∞) sse lo sono f+ e f−.


Osservazione 44 Se ϕ1, ϕ2 ≥ 0 sono sommabili su [a,+∞) lo è ancheϕ = ϕ1+ϕ2 dato che

∫ M

aϕ(x) dx =

∫ M

a(ϕ1(x) + ϕ2(x)) dx =

∫ M

aϕ1(x) dx+∫ M

aϕ2(x) dx → l1 + l2 ∈ R.

Osservazione 45 Se f1 e f2 sono sommabili, lo è anche f(x) = f1(x) +f2(x) essendo |f(x)| ≤ |f1(x)| + |f2(x)|, |f1, |f2| sommabili (come fun-zioni positive), quindi |f1| + |f2| è sommabile, quindi per confronto |f | èsommabile.

Osservazione 46 Se f è sommabile e c ∈ R, allora anche g(x) = c · f8x)è sommabile, essendo |g(x)| = |c| · |f(x)|.

Capitolo 7

Combinatoria e Probabilità

7.1 Combinatoria7.1.1 Fattoriale

Denizione 112 (Fattoriale) n! = 1 · 2 · · · · · (n− 1) · n =n∏

i=1

i

0 !=1n !=n·(n− 1) ! per n ≥ 1

7.1.2 Coecienti Binomiali

Denizione 113 (Coeciente Binomiale)(

nk

)= n !

(n−k) ! k !

(nk

)=

(nn-k

)

(nk

)=

(n-1k-1

)+

(n-1k

)

7.1.3 Combinazioni• Natura.

Pn,k = n!(n−k)!k! =

(nk

)

C′n,k =(

n + k − 1k

)

7.1.4 Permutazioni• Ordine.

Pn = n!D′nk1,k2,···,kn = n!

k1!·k2!· ··· ·kn!

73

74 CAPITOLO 7. COMBINATORIA E PROBABILITÀ

7.1.5 Disposizioni• Natura;• ordine.

Dn,k = Cn,k · Pk = n!(n−k)!

D′n,k = nk

7.2 Probabilità7.2.1 Denizioni

1. Denizione Classica (Laplace): per casi equiprobabili è p = fn ;

2. Denizione Frequentista (Legge dei Grandi Numeri o LeggeEmpirica del Caso: p = lim

n→∞f

n;

3. Denizione Soggettivista;4. Denizione Assiomatica:

(a) p() = 0

(b) p(Ω) = 1

(c) 0 ≤ f ≤ n → 0 ≤ fn ≤ 1 → 0 ≤ p ≤ 1

(d) p(Ac) = p(A) = 1− p(A)0

7.2.2 Probabilità Condizionatap(A \B) = p(A∩B)

p(B)

7.2.3 Somma• Per eventi incompatibili (tali cioè che A ∩ B = ): p(A ∪ B) = p(A) +

p(B).

• Per eventi compatibili (tali cioè che A ∩ B 6= ): p(A ∪ B) = p(A) +p(B)− p(A ∪B).

7.2.4 Prodotto• Per eventi stocasticamente indipendenti (tali cioè che p(A) = p(A\B):

p(A ∩B) = p(A) · p(B).

• Per eventi stocasticamente dipendenti (tali cioè che p(A) 6= p(A \ B):p(A ∪B) = p(A) · p(B \A).

7.2. PROBABILITÀ 75

7.2.5 Formula di Bayes

p(Hi \ E) =p(Hi) · p(E \Hi)

n∑1

p(Hi) · p(E \Hi)

7.2.6 Distribuzione Binomiale di Bernoulli

pn,k =(

nk

)· pk · (1− p)n−k

7.2.7 Speranza Matematica o Valor Medio

M(X) =n∑1

xipi

76 CAPITOLO 7. COMBINATORIA E PROBABILITÀ

Capitolo 8

Cenni di Algebra Astratta

Deniamo algebra una struttura [G; ∗1, ∗2, · · · , ∗k] dove G è un insieme (dettoinsieme sostegno, nito (nel qual caso della forma G = g1, g2, · · · , gn) o in-nito) e le ∗i (con i intero da 1 a k ∈ N) sono operazioni ri-arie, ovvero funzionidenite:

∗i : Gri → G

con la convenzione che la successione ri sia decrescente (andrebbe precisato chei simboli delle operazioni sono elementi di un denito alfabeto di algebra). ri èdetta arietà della funzione ∗i, e ∗i è detta operazione ri-aria; in tal caso, anco-ra, ∗i si scrive in funzione di ri elementi di G: ∗i(g1, g2, · · · , gri) = g ∈ G.Solitamente, si considerano operazioni binarie, ovvero di arità 2 (in tal ca-so, si utilizzano le seguenti notazioni: pressa (∗i(g1, g2) = ∗1g1g2), inssa(∗i(g1, g2) = g1 ∗i g2) o sussa (∗i(g1, g2) = g1g2∗i)), o ternarie (di arietà 3),oppure ancora unarie (di arità 1: per esempio, l'identità, o l'inverso); a volte,si considerano anche operazioni nullarie o zerarie denite da ∅ → G, cheequivalgono a ssare un elemento (una costante) in G (per esempio, lo zero,o l'unità). Si denisce gruppoide un'algebra avente struttura [G; ·], dove · èun'operazione binaria (cioè: · : G2 → G) in notazione additiva (eventualmenteindicata da ∗); analogamente, si utilizza [G; +] in notazione additiva; l'opera-zione si indica spesso anche con altri simboli. Un'algebra spesso, se ciò nonporta ad ambiguità, è indicata semplicemente facendo riferimento al suo soste-gno (specie se le operazioni vi sono denite naturalmente).In una struttura algebrica di sostegno G, in riferimento ad una operazione ∗, sideniscono le proprietà (spesso attribuite al sostegno stesso o alla struttura):

associativa ∀a, b, c ∈ G, (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)

commutativa a sinistra ∀a, b, c ∈ G, a ∗ (b ∗ c) = a ∗ (c ∗ b)

commutativa a destra ∀a, b, c ∈ G, (a ∗ b) ∗ c) = (b ∗ a) ∗ c

commutativa ∀a, b ∈ G, a ∗ b = b ∗ a

idempotente ∀a ∈ G, a2 def= a ∗ a = a

77

78 CAPITOLO 8. CENNI DI ALGEBRA ASTRATTA

mediale ∀a, b, c, d ∈ G, (a ∗ b) ∗ (c ∗ d) = (a ∗ c) ∗ (b ∗ d)

In riferimento a due operazioni ∗ e +, si deniscono le proprietà:distributiva a sinistra di ∗ rispetto a + ∀a, b, c ∈ G, a ∗ (b + c) = (a ∗

b) + (a ∗ c)

distributiva a destra di ∗ rispetto a + ∀a, b, c ∈ G, (a + b) ∗ c = (a ∗c) + (b ∗ c)

Un gruppoide associativo è detto semigruppo; una struttura commutativa è de-notata con l'aggettivo abeliano.Strutture con due operazioni sono denite analogamente bigruppoidi (con levarie proprietà); tra le due operazioni, in particolare, esisterà un collegamento,spesso rappresentato dalla proprietà distributiva. Chiamiamo anello un bigrup-poide [S; +, ·] dove [S; +] è un gruppo, [S; ·] un semigruppo e vale la distributivadi + rispetto a ·. Chiamiamo corpo una struttura come sopra dove [S; +] è ungruppo abeliano, [S \ 0; ·] un gruppo e vale la distributiva (con 0 si intende lozero di S rispetto a ·); se [S \ 0; ·] è un gruppo abeliano, parliamo di campo.Introduciamo quindi una struttura del tipo [K,S; +, ·], dove sia [S; +] un grup-poide e sia denita una operazione esterna (detta moltiplicazione per scala-re) come: · : K × S → S, 〈k, s〉 7→ ks. Se [S; +] è un gruppo abeliano,valgono le distributive (cioè ∀k, k′ ∈ K, ∀s ∈ S, (k + k′) · s = ks + ks′ e∀k ∈ K, ∀s, s′ ∈ S, k · (s + s′) = ks + ks′), e vale la ∀s ∈ S, 1 · s = s, allora siparla di spazio vettoriale.Con Zn denotiamo l'insieme quoziente Z/ ∼, dove la relazione di equivalenza∼, ssato m ∈ Z è denita tra a e b se a− b = km per un certo k ∈ Z.

8.1 Principio di Induzione8.1.1 Induzione CompletaProposizione 5 (Induzione Completa) Sia P(n) un predicato in n, n ∈ Ω,Ω insieme totalmente ordinato (?), e sia m = min(Ω);

base P(m)

passo P(n) ⇒ P(n + 1)

allora:∀n ∈ Ω,P(n)

Proposizione 6 (Altre forme) Sia M un sottoinsieme di N contenente tuttigli elementi che soddisfano alla P, dove P è un predicato denito su N. Allora,se 0 ∈ M e la n ∈ M implica la n + 1 ∈ M , allora M = N.

8.1.2 Induzione TrascendenteProposizione 7 (Induzione trascendente) Sia M un insieme ben ordinato(con una relazione di ordine totale e tale che ogni suo sottoinsieme abbia mini-mo); allora, se ∀n < n,P(n) ⇒ P(n) allora ∀n ∈ MP(n), dove P è un predicatoa variabile in M .

Capitolo 9

Alfabeto Greco

A α alfa/alpha angoli pianiB β beta angoli pianiΓ γ gamma angoli piani∆ δ delta area; ∆ = b2 − 4ac (discriminante)E ε/ε epsilonZ ζ zetaH η etaΘ θ/ϑ theta angoliI ι iotaK κ kappaΛ λ lambda scalare di un vettoreM µ mu/mi [SI]: micro (10−6)N ν ni/nu ν: frequenzaΞ ξ xiO omicronΠ π/$ pi/pi greco Π: produttoria; π ' 3, 141592653589793238462643383279...P ρ/% rhoΣ σ/ς sigma Σ: sommatoria; σ: deviazione standardT τ tau τ : sezione aurea (1, 618...)Υ υ upsilonΦ φ/ϕ phi φ: sezione aurea (1, 618...); φ(n): funzione di Eulero; Φ(~V ): ussoX χ chiΨ ψ psiΩ ω omega angoli solidi

Tabella 9.1: Alfabeto Greco

79

80 CAPITOLO 9. ALFABETO GRECO

Capitolo 10

Alfabeto Cirillico1

1tratto da it.wikipedia.org

81

82 CAPITOLO 10. ALFABETO CIRILLICO2

Parte II

Bibliograa

83

Bibliograa

[1] Richard Courant, Herbert Robbins, Che cos'è la Matematica?, BollatiBoringhieri, 2002, Seconda Edizione riveduta da Ian Stewart.

[2] Massimo Gobbino, Schede Olimpiche, Pitagora, 2003, Prima Edizione.[3] Emilio Acerbi, Giuseppe Buttazzo, Primo Corso di Analisi Matematica,

Pitagora Editrice, 1997, Prima Edizione.[4] Emilio Acerbi, Matematica Preuniversitaria di Base, Pitagora Editrice,

1997, Prima Edizione.[5] Enrico Giusti, Analisi Matematica 1, Bollati Boringhieri, 2002, Terza

Edizione.

85

86 BIBLIOGRAFIA

Parte III

Indici

87

Elenco delle tabelle

1.1 Tavole di Verità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Leggi Logiche Notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.1 Formule di Conversione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Archi noti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3 Archi associati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.4 Conica Generica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.1 Derivate Fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.2 Regole di Derivazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

9.1 Alfabeto Greco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

89

90 ELENCO DELLE TABELLE

Indice

0.1 Prefazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

I Formulario 3

1 Logica e Insiemistica 51.1 Logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Denizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Connettivi Logici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3 Tabelle di Verità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.4 Leggi logiche notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Insiemistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Algebra Elementare 92.1 Denizione di R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Scomposizioni Notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.1 Potenza di un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.2 Fattorizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.3 Risoluzione di equazioni di secondo grado in una incognita 10

2.3 Radicali doppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4 Disequazioni irrazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.5 Potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.5.1 Denizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.5.2 Proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.6 Logaritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.6.1 Denizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.6.2 Proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.7 Modulo o Valore Assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.7.1 Denizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.7.2 Proprietà (Spazi Metrici) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.8 Altre funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.8.1 Fattoriale, Semifattoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.8.2 Segno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.8.3 Parte intera, parte decimale . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

91

92 INDICE

2.8.4 Parte positiva, Parte negativa . . . . . . . . . . . . . . . . 132.8.5 Funzione di Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.8.6 Funzioni iperboliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.8.7 Funzione Esponenziale, ex = exp(x) . . . . . . . . . . . . 14

2.9 Serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.9.1 Serie Aritmetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.9.2 Serie Geometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.9.3 Disuguaglianze Notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.9.4 Sommatorie Classiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Geometria 173.1 Goniometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1.1 Relazione Fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.1.2 Tangente e Cotangente: Denizioni . . . . . . . . . . . . . 173.1.3 Secante e Cosecante: Denizioni . . . . . . . . . . . . . . 173.1.4 Formule di Addizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.1.5 Formule di Duplicazione e di Triplicazione . . . . . . . . . 183.1.6 Formule di Bisezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.1.7 Formule Parametriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.1.8 Formule di Prostaferesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.1.9 Formule di Werner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.1.10 Formule di Conversione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.1.11 Archi Noti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.1.12 Archi Associati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2 Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2.1 Triangolo Qualsiasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2.2 Triangolo Rettangolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3 Geometria Analitica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3.1 Punto e Retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3.2 Coniche 1: Circonferenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3.3 Coniche 2.1: Parabola con asse parallelo all'asse y . . . . 213.3.4 Coniche 2.2: Parabola con asse parallelo all'asse x . . . . 223.3.5 Coniche 3: Ellisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3.6 Coniche 4.1.1: Iperbole riferita ai suoi assi di simmetria

con fuochi sull'asse x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3.7 Coniche 4.1.2: Iperbole riferita ai suoi assi di simmetria

con fuochi sull'asse y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3.8 Coniche 4.2.1: Iperbole equilatera riferita ai suoi assi di

simmetria con fuochi sull'asse x . . . . . . . . . . . . . . . 233.3.9 Coniche 4.2.2: Iperbole equilatera riferita ai suoi assi di

simmetria con fuochi sull'asse y . . . . . . . . . . . . . . . 233.3.10 Coniche 4.3: Iperbole equilatera riferita ai suoi asintoti . . 233.3.11 Coniche 4.4: Iperbole equilatera traslata o Funzione omo-

graca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

INDICE 93

3.3.12 Coniche 5: Conica generica . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.4 Trasformazioni: Anità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.4.1 Prodotto di Anità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.4.2 Casi Particolari di Anità . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.4.3 Proprietà Invarianti delle Anità . . . . . . . . . . . . . . 28

4 Analisi 294.1 Topologia: Intervalli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2 Relazioni e Funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2.1 Relazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2.2 Funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.3 Limiti e Forme Indeterminate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.3.1 Denizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.3.2 Forme Indeterminate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.3.3 Limiti Notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.3.4 Altri Limiti ricavabili dai Limiti Fondamentali . . . . . . 344.3.5 Operazioni su ±∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.3.6 Teoremi sui Limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.3.7 Teoremi di de l'Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.3.8 Proprietà sui Limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.3.9 Limiti di Funzioni Monotòne . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3.10 Innitesimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.4 Funzioni Continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.4.1 Denizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.5 Derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.5.1 Denizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.5.2 Proprietà locali di una funzione . . . . . . . . . . . . . . . 424.5.3 Convessità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.5.4 Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.5.5 Teoremi Funzioni Convesse . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.5.6 Derivate Fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.5.7 Regole di Derivazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.6 Integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.6.1 Denizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.6.2 Integrale di Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.6.3 Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.6.4 Integrali Notevoli Fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . 474.6.5 Regole di Integrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.6.6 Altri Integrali Notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.6.7 Integrali per Serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.6.8 Integrazione di Funzioni Goniometriche . . . . . . . . . . 494.6.9 Integrazione di Funzioni Razionali . . . . . . . . . . . . . 494.6.10 Tecniche di Integrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

94 INDICE

494.6.12 Lunghezze di Archi di Curva, Volumi e Superci di Solidi

di Rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.7 Polinomio di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.7.1 Formula di Taylor con resto di Lagrange . . . . . . . . . . 514.7.2 Formula di Taylor con resto di integrale . . . . . . . . . . 514.7.3 Sviluppi di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.8 Studio di Funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.9 Approssimazione di Radici Reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5 Campo complesso 555.1 Rappresentazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.1.1 Rappresentazione Algebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.1.2 Rappresentazione Polare/Trigonometrica . . . . . . . . . 555.1.3 Rappresentazione esponenziale . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.2 Radici n-esime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.3 Polinomi a valori complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6 Successioni e Serie 576.1 Limiti di successioni reali per n → +∞ . . . . . . . . . . . . . . . 586.2 Monotonia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.3 Sottosuccessioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.4 Successioni Notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.5 Tecniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.6 Massimo/Minimo Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.7 Successione di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.8 Serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.9 Riordinamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.10 Convergenza Assoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.11 Serie e Integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.12 Serie a segni alterni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.13 Integrali Generalizzati o Impropri . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.13.1 Uso del teorema di confronto con le funzioni campione . . 706.13.2 Integrali Generalizzati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

7 Combinatoria e Probabilità 737.1 Combinatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7.1.1 Fattoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.1.2 Coecienti Binomiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.1.3 Combinazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.1.4 Permutazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.1.5 Disposizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

7.2 Probabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747.2.1 Denizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

INDICE 95

7.2.2 Probabilità Condizionata . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747.2.3 Somma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747.2.4 Prodotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747.2.5 Formula di Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757.2.6 Distribuzione Binomiale di Bernoulli . . . . . . . . . . . . 757.2.7 Speranza Matematica o Valor Medio . . . . . . . . . . . . 75

8 Cenni di Algebra Astratta 778.1 Principio di Induzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

8.1.1 Induzione Completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 788.1.2 Induzione Trascendente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

9 Alfabeto Greco 79

10 Alfabeto Cirillico3 81

II Bibliograa 83

Bibliograa 85

III Indici 87

Elenco delle Tabelle 89

Indice 91

3tratto da it.wikipedia.org

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