PARTE 4 LÓGICA Y CONJUNTOS

Lógica: Estudio de las proposiciones simples, compuestas y sus combinaciones. Proposición: Enunciado o juicio del cual podemos afirmar que es falso o verdadero. Ejemplos: a) El hombre es un ser vivo (V) b) El agua es un mineral (V) c) 5 + 7 = 13 (F) d) 8 < 12 (V) Conjunción: Es la unión de dos proposiciones con el conectivo “Λ” se lee “y”. Una conjunción es verdadera cuando ambas proposiciones son verdaderas. Ejemplo: “8 es mayor que 3 y es impar”. Esta proposición es falsa porque 8 es mayor que 3 pero no es impar. La tabla de la conjunción es:

p q p Λ q V V F F

V F V F

V F F F

Disyunción: Es la unión de dos proposiciones con el conectivo “V” se lee “O”. Una disyunción es falsa únicamente cuando ambas proposiciones son falsas. Ejemplo: “7 es menor que 4 o es impar”, es una proposición verdadera ya que aunque 7 no es menor que 4, si es impar.

p q p V q V V V

V F F

F V F

V V F

Implicación: Es la unión de dos proposiciones con el conectivo “ ⇒ “ Se lee “entonces”. La tabla es:

p q p ⇒ q V V F F

V F V F

V F V V

Consecuente

Antecedente Ejemplo: Sea p: Está lloviendo q: El suelo está mojado En p ⇒ q p se denomina antecedente y q consecuente. Si p es falso, q puede ser falso o verdadero y la proposición se cumple. Si p es verdadero y q es falso la proposición no se cumple. Si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, la implicación es falsa. Doble implicación o equivalencia: Es la unión de dos proposiciones con el conectivo “⇔”. Se lee “si y solo si”. La doble implicación es verdadera cuando ambas proposiciones son verdaderas o ambas son falsas.

P q p ⇔ q V V F F

V F V F

V F F V

Negación de una proposición: Se denota “~p” y se lee “no p”. Si una proposición es verdadera su negación es falsa y viceversa.

Ejemplo: p : 10 = 10, es verdadera ~p será 10 ≠ 10 y es falsa.

p ~p V F

F V

Proposición compuesta: Es la combinación de 2 o más operaciones como Λ, V, ⇒ y ⇔. Para construir su tabla se utilizan las tablas de cada operación vista. Dependiendo del número de proposiciones que se utilicen para conocer cuántas filas tendrá, se utiliza la fórmula “2n” donde n es el número de proposiciones diferentes. Ejemplo: a) (p ⇒ q) V (p Λ s) Solución: Observe, se utilizan 3 proposiciones, al aplicar la fórmula 2n y reemplazar “n” por 3 resulta 2³ = 8, es decir en la tabla se tendrán 8 filas. Para construir las 8 filas la primera proposición (p) tendrá 4 filas de verdadero y 4 de falso; la segunda (q) 2 filas de verdadero, dos de falso y nuevamente dos de verdadero y dos de falso; y la última (s) tendrá una verdadera, una falsa, una verdadera, una falsa, una verdadera, una falsa y así sucesivamente hasta completar 8. Veamos:

P q s p ⇒ q p Λ s (p ⇒ q) V (p Λ s) V V V V V V V V S V V V V F V F F F V F S F F F F V V V F V F V S V F V F F V V F V F F S V F V

RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS

Si X es un elemento del conjunto A se escribe “X ∈ A” y se lee “X pertenece a A”. Si B está contenido en A, siendo A y B conjuntos se denota B C A y se lee B es subconjunto de A. Ejemplo: Dados A = {a, e, i, o, u} B = {a, i, o} Se puede afirmar: a) a ∈ A b) a ∈ B c) B C A d) A C B (A no está incluido en B) e) O ∈ A f) e ∉ B (e no pertenece a B OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Unión: Dados dos conjuntos A y B se define A U B = { X/X ∈ A V X ∈ B}, se lee “A unión B es igual al conjunto de los x tal que x pertenece a A o x pertenece a B”.

Se utiliza la tabla de implicación y se comparan las proposiciones p y q.

Se utiliza la tabla de conjunción con las proposiciones p y s.

Para finalizar se utiliza la tabla de disyunción con las proposiciones de las dos columnas anteriores, es decir (p ⇒ q) y (p Λ s). Si toda la columna fuera verdadera la proposición compuesta se llamaría TAUTOLOGÍA. Si toda fuera falsa se llamaría contradicción.

Ejemplo: Dados A = {1, 3, 5, 7, 9} y B = {1, 2, 3, 4, 5} hallar A U B. Solución: A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9} Gráficamente: A B 2. 7. 1. 3. 4. 9. 5.

A U B = Intersección: Dados dos conjuntos A y B se define A ∩ B = {X/X ∈ A Λ X ∈ B}, se lee “A intersección B es igual al conjunto de los x tal que x pertenece a A y x pertenece a B”. Ejemplo: Dados A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} B = {2, 3, 4, 6, 8, 10} hallar A ∩ B. Solución: A ∩ B = {2, 3, 4, 6} observe que 2, 3, 4 y 6 pertenecen tanto al conjunto A como al conjunto B. Gráficamente A B 1. 2. 8. 5. 3. 7. 4. 10.

6.

A ∩ B Complemento de un conjunto: Dado el conjunto universal “u” y el conjunto A, A C u, se define como el conjunto de los elementos que no pertenecen a A, pero pertenecen a u, y se denota A’ (A complemento).

A’ = {X/X ∉ A Λ X ∈ u}

Ejemplo: Dados u = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A = {1, 5, 7, 8, 10} hallar A’

Solución: A’ = {2, 3, 4, 6, 9} Gráficamente u A

2 1. 6.

3 5.

10. 8. 7.

4 9.

A’

Diferencia entre conjuntos: Dados dos conjuntos A y B se define A – B = {X/X ∈ A Λ X ∉ B}, se lee “A menos B es igual al conjunto de las x tales que x pertenece a A y x no pertenece a B”. Ejemplo: Dados A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} B = {2, 5, 6, 7, 9, 11} hallar A – B. Solución: A – B = {1, 3, 4} observe 1, 3 y 4 pertenece a A y no pertenecen a B. Gráficamente A B 1. 2. 7. 3. 5. 9. 4. 6. 11.

A - B =

APLICACIONES

1. Dados los conjuntos: u = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ,11, 12, 13} A = {2, 3, 5, 8, 11, 12} B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 10}

C = {1, 2, 3, 6, 8, 9}

Graficar: Solución:

Observe la ubicación de cada elemento.

Con base en el gráfico anterior, hallar y graficar: a) A U B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10 ,11 ,12} b) A ∩ B ∩ C = {3, 8} c) B’ = {1, 2, 9, 11, 12, 13}

TALLER

1. Elabore las tablas de las siguientes proposiciones: a) ~r

b) (p V q) ⇔ (q V r)

c) (p Λ q) ⇒ (r V s)

d) p V (q Λ r)

e) (~p V q) Λ (r V s)

f) (p V q) V (r V s)

2. Dados los conjuntos u = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m} A = {a, c, d, f, h, l} B = {b, c, e, f, h, i, k} C = {a, c, d, e, f, g, h, i, j} Graficar en diagramas de Venn y hallar: a) A U B U C b) A U C c) A ∩ C d) (A U B)’ e) B’ f) A ∩ B ∩ C g) A – C h) (A U C) ∩ B i) (A U B U C) – (A ∩ B ∩ C)

SÍMBOLOS MATEMÁTICOS

/ tal que ∈ pertenece ∉ no pertenece C incluido C incluido o igual Λ y V o ⇒ entonces ⇔ si y solo si < menor que < menor o igual que > mayor que > mayor o igual que V para todo ∃ existe algún U unión ∩ intersección = igual ≠ diferente ∅ conjunto vacío { } conjunto vacío

CONJUNTOS NUMÉRICOS

1. Números naturales = IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5...} 2. Números enteros = = {...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...]

3. Números racionales = Q = {X/X = ba a, b ∈ Λ b ≠ 0} se lee “el

conjunto de los racionales son los x tal que x es igual a “a sobre b” a,b pertenecen a los números enteros y b es diferente de cero”.

Ejemplo: , 53 ,

25 ,

43 − 8 , -5 , 6

Observe que los números enteros también son racionales.

Ejemplo: 7 = 17

Por otra parte los números racionales se caracterizan por tener un número de decimales exacto, o tiene decimales periódicos, es decir que un grupo de decimales se repite en forma periódica infinitamente. Ejemplos: a)

27 = 3.5

b) 31 = 0.333333 = 0,3

c) 43 = 0.75

d) 7

15 = 2.142857142857142857 = 2.142857

4. Números irracionales = II = {X/X ∉ Q} Ejemplos: = π ,7 ,2 5. Números reales: R = IN U U Q U 6. Números complejos: C = {X/X = a + bi, i² = -1} Ejemplo: 16− no tiene respuesta en los reales i4²)i(16)1(1616 ==−=− Todo número real “a” es complejo ya que se puede escribir como a+oi. Ejemplo: 7 se puede escribir como 7 + oi. En diagramas de Venn se observa la inclusión de los conjuntos numéricos así:

Observe: Los números naturales están incluidos en el conjunto de números enteros. Los números enteros están incluidos en el conjunto de números racionales. Los números racionales están incluidos en el conjunto de los números reales. Los números Irracionales están incluidos en el conjunto de los números reales. Los números reales están incluidos en el conjunto de números complejos.

IN C C Q C R C C II C R C C Otra forma de representar la inclusión de los conjuntos numéricos es:

Complejos C

Reales IR

Racionales Q Irracionales

Enteros

Naturales IN EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Para el estudio de temas como inecuaciones, límites, continuidad y derivación, es necesario recordar los siguientes casos de factorización y/o productos notables: 1. ax + ay = a (x + y) 2. a² - b² = (a – b) (a + b) 3. a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²) 4. a³ - b³ = (a – b) (a² + ab + b²) 5. (a + b)² = a² + 2 ab + b² 6. (a – b)² = a² - 2 ab + b² 7. (a + b)³ = a³ + 3 a²b + 3 ab² + b³ 8. (a – b)³ = a³ - 3 a²b + 3 ab² - b³

9. x² + b x + c = (x + m) (x + n) siendo a, b, c, m y n pertenecen a los números reales.

10. ax² + bx + c = 0 x = a2

ac4²b b −±−

Ejemplo: Factorización o resolver: a) 3 x 4 y² - 9 x³ y5 Solución: 3 x³ y² (x – 3y³) se aplicó el caso (1) b) 16 m4 n6 – 64 x8 y10 Solución: (4m² n³ - 8 x4 y5) (4m² n³ + 8 x4 y5) se aplicó el caso (2) c) 27 a6 + 8 b9

Solución: (3a² + 2b³) ((3a²)² - (3a²) (2b³) + (2b³)²) (3a² + 2b³) (9a4 – 6a² b³ + 4b6) se aplicó el caso (3) d) (5x³ y² - 4x4 y6)² Solución: (5x³ y²)² - 2 (5x³ y²) (4x4 y6) + (4x4 y6)² 25x6 y4 – 40 x7 y8 + 16 x8 y12 se aplicó el caso (6) Observe el coeficiente al cuadrado se multiplica por sí mismo; si dos términos con la misma variable se multiplican, se suman sus exponentes; si una variable se encuentra con un exponente y a su vez está elevada a otro exponente, se multiplica exponente por exponente. e) (4w² + 3y4)³ Solución: (4w²)³ + 3 (4w²)² (3y4) + 3 (4w²) (3y4)² + (3y4)³ 64w6 + 3 (16w4) (3y4) + 3 (4w²) (9y8) + 27 y12 64w6 + 144w4 y4 + 108w² y8 + 27y12 Se aplicó el caso (7) f) x² + 5x – 36 Solución: (x + 9) (x – 4) Se aplicó el caso (9). Recuerde se buscan dos números cuyo producto sea igual a –36 y su suma sea 5. En este caso los números son 9 y –4.

DESIGUALDADES

Una desigualdad es una expresión en la cual se utiliza uno de los siguientes conectivos: < (menor que); < (menor o igual que), > (mayor que); > (mayor o igual que). Ejemplo: Escriba en frente falso (F) o verdadero (V). a) 7 < 13 (V)

b) –5 < - 5 (V)

c) –8 < - 3 (V) porque –8 está a la izquierda de –3 en la recta

real.

d) 10 > -21 (V)

e) 5 > 5 (F)

f) 5 > 5 (V)

g) 125

23> (V) porque al multiplicar en cruz se tiene 3 · 12 > 2 · 5

36 > 10

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

1. Si a < b ⇒ a + c < b + c a, b, c, ∈ R Ejemplo: 5 < 8 ⇒ 5 + 7 < 8 + 7 12 < 15

2. Si a < b ⇒ a – c < b – c a, b, c, ∈ R Ejemplo: 4 < 7 ⇒ 4 – 3 < 7 – 3 1 < 4

3. Si a < b ⇒ a . c < b . c a, b, c, ∈ R Λ c > o Ejemplo: 12 < 15 ⇒ 12 . 3 < 15 . 3

36 < 45

4. Si a < b ⇒

cb

ca< a, b, c, ∈ R Λ c > o

Ejemplo: 15 < 20 ⇒ 520

515

<

3 < 4

5. Si a < b ⇒ a . c > b . c a, b, c, ∈ R Λ c > o Ejemplo: 8 < 10 ⇒ 8 (-3) > 10 (-3) - 24 > - 30

6. Si a < b ⇒ cb

ca> a, b, c, ∈ R Λ c > o

Ejemplo: 40 < 90 ⇒ 10

9010

40−

<−

-4 > -9

7. Si a < b Λ c < d ⇒ a + c < b + d a, b, c, d, ∈ R Ejemplo: 5 < 7 Λ 4 < 9 ⇒ 5 + 4 < 7 + 9 9 < 16 Recuerde: Según las propiedades (5) y (6), una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplica o divide por un número negativo.

REPASO DE INTERVALOS

Un intervalo es un subconjunto de números reales consecutivos. Los intervalos se denotan con letras mayúsculas.

CLASES DE INTERVALOS

1) Intervalo cerrado: Se caracteriza porque los valores de los extremos del intervalo hacen parte del conjunto.

Si los extremos son a y b [a,b] = {X/X ∈ IR Λ a < x < b} Ejemplo: Representar gráfica y analíticamente: A = {X/X ∈ IR Λ - 3 < X < 5} Observe por ser intervalo cerrado se

utiliza el conectivo <. Se lee “x tal que x pertenece a los números reales y x es mayor o igual a –3 y menor o igual a 5”. Solución: Observe por ser intervalo cerrado los óvalos se sombrean (•).

[-3, 5] Observe por ser intervalo cerrado se utilizan corchetes [ ] 2) Intervalo abierto: Se caracteriza porque los extremos no hacen

parte del conjunto. (a,b) = {X/X ∈ IR Λ a < x < b}

Ejemplo: Representar gráfica y analíticamente B = {X/X ∈ IR Λ -2 < x < 3} Observe por ser intervalo abierto se

utiliza el conectivo <. Solución: Observe por ser intervalo abierto los óvalos no se sombrean.

(-2,3) Observe por ser intervalo abierto se utilizan paréntesis ( ).

3) Intervalo semiabierto: Se caracteriza porque uno de los extremos no hace parte del conjunto.

(a, b] = {X/X ∈ IR Λ 9 < x < b} ó [a, b) = {X/X ∈ IR Λ 9 < x < b}

Ejemplo: Representar gráfica y analíticamente. C = { X/X ∈ IR Λ -4 < x < 6} Se lee “x tal que x pertenece a los

reales y x es mayor que –4 y menor o igual que 6”.

Solución:

(- 4, 6]

4) Intervalo infinito: Se caracteriza porque su representación gráfica es una semirecta.

(a, ∞) = {X/X ∈ IR Λ x > a} “x mayor que a” (-∞, a) = {X/X ∈ IR Λ x < a} “x menor que a” [a, ∞) = {X/X ∈ IR Λ x > a} “x mayor o igual a a” (-∞, a] = {X/X ∈ IR Λ x < a} “x menor o igual a a” Ejemplo: Representar gráfica y analíticamente D = {X/X ∈ IR Λ x < 5} Solución:

(-∞, 5]

OPERACIONES ENTRE INTERVALOS

1) Unión entre intervalos: Está formado por todos los elementos de los conjuntos.

2) Intersección entre intervalos: Está formado por los elementos

que se repiten en los conjuntos. Es decir pertenecen simultáneamente a ambos intervalos.

Ejemplo: Dados los intervalos A = {X/X ∈ IR Λ -3 < x < 6} y

B = {X/X ∈ IR Λ 1< x < 10} Hallar: A U B y A ∩ B. Solución: Basta representar en una misma recta real los dos intervalos en donde toda la parte sombreada es la unión. La intersección será la parte doblemente sombreada.

A U B

A ∩ B A U B = [-3, 10) A U B = {X/X ∈ IR Λ -3 < x < 10} A ∩ B = (1,6) A ∩ B = {X/X ∈ IR Λ 1< x < 6}

INECUACIONES

Una inecuación es una desigualdad en donde intervienen variables. Ejemplo: 3 x – 10 < 5 x + 18 Para resolver una inecuación se tienen en cuenta las propiedades de las desigualdades. Ejemplo: Resolver a) 5x – 13 > -15 x + 47 Solución: Se despeja la inecuación de tal manera que los términos con la variable x queden al lado izquierdo y los valores sin variable queden al lado derecho de la desigualdad. Tener en cuenta el término que cambia de miembro en la desigualdad, cambia de signo. Veamos:

5 x –13 > -15 x + 47

5 x + 15x > 47 + 13 20x > 60

X > 2060

X > 3 [3, ∞)

b) –28x – 11 + 4x < 6x + 26

-28x + 4 x –6 x < 26 – 11 Observe: Los términos que no cambian de lugar conservan su signo.

-30 x < 15 En este caso al reducir términos semejantes el

término de la variable quedó negativo, por tanto es necesario multiplicar la desigualdad por (-1).

(-1) –30x < 15

La desigualdad resultante es 30x > -15 Observe la desigualdad

cambió de sentido.

X > 3015−

X > - 21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∞− ,

21

INECUACIONES CUADRÁTICAS

Veremos inecuaciones de la forma X² + bx + c < 0, o con los conectivos <, >, >. Para este fin, basta factorizar el trinomio y aplicar las posibilidades correspondientes. Ejemplo: Resolver 1) X² + 3 x – 40 < 0

Observe –15x pasa al lado izquierdo como 15,x y –13 pasa al lado derecho como 13.

Observe 20 pasa a dividir al miembro derecho.

Solución: Factorizamos el trinomio buscando dos números cuyo producto sea igual a –40 y su suma a 3. En este caso los números son 8 y –5.

(x + 8) (x – 5) < 0 Como han quedado dos factores, las posibilidades para obtener en su producto un número menor que cero son: que un factor sea menor que cero y el otro mayor que cero y viceversa. Veamos:

X + 8 < 0 Λ x – 5 > 0 V x + 8 > 0 Λ x – 5 < 0

Resolviendo tenemos:

X < - 8 Λ x > 5 V x > - 8 Λ x < 5

∅ U (-8 , 5)

La solución es donde se cruzan las partes sombreadas (-8, 5).

-8 < x < 5

2) X² - 13 x + 36 > 0 Solución: Los números que multiplicados y sumados dan como resultado 36 y –13 respectivamente. Son –9 y –4.

(x – 9) (x – 4) > 0

Para que un producto de dos factores de mayor que cero, deben ser ambos mayores que cero, ó ambos menores que cero. Veamos:

X – 9 > 0 Λ x – 4 > 0 V x – 9 < 0 Λ x – 4 < 0 X > 9 Λ x > 4 V x < 9 Λ x < 4

(9, ∞) U (-∞, 4)

Respuesta: (-∞, 4) U (9, ∞)

TALLER

1. Conecte falso (F) o verdadero (V): a) IN C Q ( )

b) IN U = IR ( )

c) U Q = IR ( )

d) Q U II = IR ( )

e) IR C C ( )

2. Conteste falso (F) o verdadero (V): a) 3 < 7 ( )

b) 5 > - 1 ( )

c) 7 < 7 ( )

d) –8 < - 8 ( )

e) 45

53> ( )

f) 31

63

−≤− ( )

g) 67

98 −> ( )

h) 351− < - 20 ( )

i) 35 ∈ IR ( )

j) 23 ∈ ( )

k) –2 ∈ Q ( )

l) 65− ∈ IN ( )

m) 56 ∈ II ( )

n) 5 ∈ II ( )

3. Representar gráfica y analíticamente:

A = {X/X ∈ IR Λ -3 < x < 7}

B = {X/X ∈ IR Λ x < - 4}

C = {X/X ∈ IR Λ -5 < x < 2}

D = {X/X ∈ IR Λ -9 < x < 4}

E = {X/X ∈ IR Λ x > 1}

F = {X/X ∈ IR Λ x > -3}

G = {X/X ∈ IR Λ -3 < x < 5}

H = {X/X ∈ IR Λ x > 0}

I = {X/X ∈ IR Λ x < -6}

J = {X/X ∈ IR Λ 0 < x < 7}

4. Representar gráficamente y como conjunto por compresión: A = (-∞, 3) B = (-3, ∞) C = [-4, 8] D = (-6, 3) E = (-7, 2) F = (-∞, 1] G = [3, 6] H = (8, 13] I = (-2, 5) J ) [-6, ∞) 5. Dados los conjuntos:

A = {X/X ∈ IR Λ -6 < x < 3} B = {X/X ∈ IR Λ -1 < x < 11}

C = {X/X ∈ IR Λ 3 < x < 10} D = {X/X ∈ IR Λ x > 0}

E = {X/X ∈ IR Λ x < 2}

Hallar: a) A U B b) A U C c) A U D d) A U E e) B U C f) B U D A ∩ B b) A ∩ C c) A ∩ D d) A ∩ E e) B ∩ C f) B ∩ D g) B U E h) C U E j) D U E

B ∩ E h) C ∩ E j) D ∩ E

6. Resolver:

a) (5x² y – 3x4 y³)²

b) (8x² y² + 5x4 y²)³

c) (7x w² + 5w³ z6)²

d) (3x² y4 – 9x³ y³ w³)³

e) 5a³ b² (4 a² b² c² - 5 a³ b5 d6 + 7 a³ c4 d²)

f) (4x³ y² - 5x4 y³) (4x³ y² + 5x4 y³)

7. Factorizar

a) 15 a² b³ c5 d² - 10 a² b c³ e4 + 20 a4 b 4 e³

b) 81x6 y12 – 121 x8 z6

c) 27 a³ b6 c9 – 8x6 y9 z12

d) 125 x18 + 64 y12

RELACIONES Y FUNCIONES

Producto Cartesiano: Dados dos conjuntos A y B se define el producto cartesiano A x B = {(x,y) / X ∈ A Λ y ∈ B} Ejemplo: Dados A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} B = {2, 4, 6, 8, 10} Hallar: a) A x B b) B x A a) A x B = { (1,2), (1,4), (1,6), (1,8), (1,10)

(2,2), (2,4), (2,6), (2,8), (2,10) (3,2), (3,4), (3,6), (3,8), (3,10) (4,2), (4,4), (4,6), (4,8), (4,10) (5,2), (5,4), (5,6), (5,8), (5,10) (6,2), (6,4), (6,6), (6,8), (6,10) } Observe: Cada elemento del conjunto A se relacionó con todos los elementos del conjunto B. Como el conjunto A tiene 6 elementos y el conjunto B tiene 5 elementos, el producto cartesiano A x B tiene 30 elementos. b) B x A = { (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6) (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6) (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) (8,1), (8,2), (8,3), (8,4), (8,5), (8,6) (10,1), (10,2), (10,3), (10,4), (10,5), (10,6) } Observe: Cada elemento del conjunto B se relacionó con todos los elementos del conjunto A. Representación gráfica: Se utilizan diagramas sagitales o el plano cartesiano. Veamos:

Diagrama sagital Plano cartesiano

Relación: Dados dos conjuntos A y B, se define una relación de A en B como un subconjunto del producto cartesiano A x B. Ejemplo: Dados los conjuntos A = {1, 3, 5, 6, 7, 8} B = {2, 3, 4, 5, 6, 9, 10} hallar el producto cartesiano A x B y con base en él determinar y graficar las siguientes relaciones: R1 = { (x,y) / x > y } R2 = { (x,y) / x = y } R3 = { (x,y) / x, y son pares } Solución: En primer lugar hallamos el producto cartesiano A x B.

A x B = { (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (1,9), (1,10) (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (3,9), (3,10)

(5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (5,9), (5,10) (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6), (6,9), (6,10) (7,2), (7,3), (7,4), (7,5), (7,6), (7,9), (7,10) (8,2), (8,3), (8,4), (8,5), (8,6), (8,9), (8,10) } Ahora bien, con base al anterior conjunto A x B seleccionamos las parejas que cumplan la características de cada relación. R1 = { (x,y) / x > y } Parejas en las cuales el valor de la primera

componente (x), sea mayor que la segunda componente (y).

R1 = { (3,2), (5,2), (5,3), (5,4), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (7,2), (7,3), (7,4), (7,5), (7,6), (8,2), (8,3), (8,4), (8,5), (8,6)}

R2 = { (x,y) / x = y } Parejas en las cuales el valor de la primera componente

(x), es igual al valor de la segunda componente (y).

R2 = { (3,3), (5,5), (6,6) } R3 = { (x,y) / x,y son pares} Parejas en las cuales tanto x como y

son números pares.

R3 = { (6,2), (6,4), (6,6), (6,10), (8,2), (8,4), (8,6), (8,10) } Función: Dados dos conjuntos A y B, se define una función de A en B a la relación en la cual a cada elemento del conjunto de partida, le corresponde un elemento en el conjunto de llegada. Al conjunto de partida se le denomina dominio.

Al conjunto de llegada se le denomina codominio. Al conjunto de elementos (imágenes) del codominio relacionados con los elementos del dominio se le denomina rango. Ejemplo: 1) A = { 1, 3, 5, 7 } B = {2, 3, 9, 11, 12}

Es función porque cada elemento del conjunto A está relacionado con un solo elemento del conjunto B. No afecta que sobren elementos en el conjunto B (9, 11), o que haya un elemento en el conjunto B que sea imagen o esté relacionado con dos o más elementos del conjunto A.

Dominio = {1, 3, 5, 7} Codominio = {2, 3, 9, 11, 12} Rango = {2, 3, 12} 2) B = {2, 4, 6, 8} C = {1, 2, 3, 6, 9}

En este caso esta relación no es función porque el elemento “2” del conjunto A tiene dos imágenes (1,3), debería tener solo una imagen. Además el elemento “8” del conjunto A no tiene imagen y debería tener una imagen.

Clases de funciones: Las funciones se clasifican en: 1) Inyectiva o uno a uno: Una función es inyectiva o uno a uno,

cuando a cada elemento del dominio le corresponde una imagen distinta en el codominio. f (a) ≠ f (b)

Ejemplo:

Observe: Cada elemento del conjunto de partida tiene una imagen distinta en el conjunto de llegada.

B C

2) Sobreyectiva: Una función es sobreyectiva cuando todos los elementos del conjunto de llegada son imágenes. Es decir el codominio es igual al rango.

Ejemplo:

Observe: En el conjunto de llegada todos los elementos son imágenes.

3) Biyectiva: Una función es biyectiva cuando es inyectiva y

sobreyectiva a la vez. Ejemplo:

FUNCIONES POLINÓMICAS

1) Función lineal: Es de la forma y = mx + b, donde m es la pendiente y b es el término independiente. La función lineal es inyectiva.

Ejemplo: Graficar y = 3x – 2

Solución: Para graficar basta dar a “x” algunos valores al azar, y encontrar de esta forma los valores en y. Finalmente se grafican las parejas formadas y se unen por medio de una línea recta.

x y 0 1 -1 2 -2

-2 1 -5 4 -8

y = 3 (0) – 2 y = 0 – 2 = - 2 y = 3 (1) – 2 y = 3 – 2 = 1 y = 3 (-1) – 2 y = -3 – 2 = - 5 y = 3 (2) – 2 y = 6 – 2 = 4 y = 3 (-2) – 2 y = -6 – 2 = - 8

2) Función constante: Es de la forma y = k, donde k es un número

real. Su gráfica en el plano cartesiano es una recta horizontal, paralela al eje x.

Ejemplo: Graficar y = 4 Solución: Para todo valor que tome x, y siempre será igual a cuatro.

x y 0 1 -1 2 -2 3 -3

4 4 4 4 4 4 4

3) Función cuadrática: Se caracteriza por ser de la forma y ) ax² +

bx + c (tiene variable (x) elevada al cuadrado (x²). Su gráfica es una parábola. Su punto mínimo o máximo está dado por

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

a4²bac4,

a2b .

Ejemplo: Graficar y = 3x² - 2x – 4

Solución: Se reemplaza la variable x por algunos valores al azar.

X y 0 1 -1 2 -2 3 -3 3 2

-4 -3 1 4

12 17 29

41

−

y = 3 (0)² – 2 (0) – 4 y = 3 (0) – 0 – 4 = 0 – 0 – 4 = - 4 y = 3 (1)² – 2 (1) – 4 y = 3 (1) – 2 – 4 = 3 – 2 – 4 = - 3 y = 3 (-1)² – 2 (-1) – 4 y = 3 (1) + 2 – 4 = 3 + 2 – 4 = 1 y = 3 (2)² – 2 (2) – 4 y = 3 (4) – 4 – 4 = 12 – 4 – 4 = 4 y = 3 (-2)² – 2 (-2) – 4 y = 3 (4) + 4 – 4 = 12 + 4 – 4 = 12 y = 3 (3)² – 2 (3) – 4 y = 3 (9) – 6 – 4 = 27 – 6 – 4 = 17 y = 3 (-3)² – 2 (-3) – 4 y = 3 (9) + 6 – 4 = 27 + 6 – 4 = 29

y = 3 2

23⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ - 2 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

23 - 4 y=3 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

49 -

26 -4=

41

4161227

14

26

427 −

=−−

=−−

Recuerde un número negativo su cuadrado es positivo

Mirando la ecuación y = 3 x² + 2x – 4 a = 3 ; b = -2 ; c = -4, por

tanto aplicamos ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

a4²bac4,

a2b para hallar el punto mínimo.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−−−−

)3(4)²2()4)(3(4,

)3(2)2(

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−−

12448,

6)2(

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−

1252,

6)2( simplificando queda ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

313,

31

Ubicando los puntos, la gráfica es:

La función cuadrática no es inyectiva.

Función cúbica: La variable se encuentra elevada al cubo. Ejemplo: Graficar y = 2x³ + 1 Solución

x y 0 1 -1 2 -2

1 3 -1 9

-15

y = 2 (0)³ + 1 y = 2 (0) + 1 = 0 + 1 = 1 y = 2 (1)³ + 1 y = 2 (1) + 1 = 2 + 1 = 3 y = 2 (-1)³ + 1 y = 2 (-1) + 1 = -2 + 1 = -1 y = 2 (2)³ + 1 y = 2 (8) + 1 = 16 + 1 = 17 y = 2 (-2)³ + 1 y = -2 (-8) + 1 = -16 + 1 = -15

El dominio o conjunto de partida de un polinomio es el conjunto de los números reales. Entre otra función no polinómicas tenemos: 1) Función valor absoluto: Es de la forma y = | x | las dos barras

paralelas hacen que el valor siempre sea positivo. Ejemplo: Graficar y = | 2x – 5 |

X y 0 1 -1 2 -2 3 -3

5 3 7 1 9 1

11

y = | 2 (0) – 5 | y = | 0 – 5 | = | -5 | = 5 y = | 2 (1) – 5 | y = | 2 – 5 | = | -3 | = 3 y = | 2 (-1) – 5 | y = | -2 – 5 | = | -7 | = 7 y = | 2 (2) – 5 | y = | 4 – 5 | = | -1 | = 1 y = | 2 (-2) – 5 | y = | -4 – 5 | = | -9 | = 9 y = | 2 (3) – 5 | y = | 6 – 5 | = | 1 | = 1 y = | 2 (-3) – 5 | y = | -6 – 5 | = | -11 | = 11

X y 4 5 6

3 5 7

y = | 2 (4) – 5 | y = | 8 – 5 | = | 3 | = 2 y = | 2 (5) – 5 | y = |10 – 5 | = | 5 | = 5 y = | 2 (5) – 5 | y = |12 – 5 | = | 7 | = 7

Su gráfica es: 2) Función exponencial: En este caso la variable es un

exponente. Ejemplo graficar y = 2x

X y 0 1 2 3 -1

-2

-3

1 2 4 8

21

41

81

20 = 1 Recuerde “todo número o variable elevado a la cero es igual a 1 21 = 2 22 = 4 23 = 8

2-1 = 21 Recuerde: a-n =

na1

2-2 = ²2

1 = 41

2-3 = ³2

1 = 81

3) Función Logarítmica: En este caso a la función polinómica o

variable se le halla el logaritmo. Ejemplo: Graficar y = Log2 X (se lee y igual a logaritmo en base dos

de X). Recuerde: El logaritmo de cero o de números

negativos no existe.

x y 1 2 4 8

21

41

81

0 1 2 3 -1

-2

-3

y = Log2 1 = 0 por que 20 = 1 y = Log2 2 = 1 por que 21 = 2 y = Log2 4 = 2 por que 22 = 4 y = Log2 8 = 3 por que 23 = 8

y = Log2 21 = -1 por que 2-1 =

21

y = Log2 41 = -2 por que 2-2 =

²21 =

41

y = Log2 81 = -3 por que 2-3 =

³21 =

81

Para hallar el logaritmo de un número (x) en cualquier base b, se aplica la fórmula.

Logb x = bInx In

Ejemplo 1 Log2 64 = 2 In46 In

= 6 en calculadora In 64 ÷ In 2 =

16

Ejemplo 2 Log2 25 = 3 In52 In = 2.929

TALLER

1. Dados los conjuntos: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} B = {1, 3, 4, 7, 9}

C = {2, 4, 6, 8, 10, 12}

Hallar los siguientes productos cartesianos.

a. A x B b. B x A c. A x C d. C x A e. B x C f. C x B

2. Dados los conjuntos: A = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 13}

B = {2, 4, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13}

Hallar A x B y con base en este producto cartesiano, hallar y graficar en diagrama sagital y plano cartesiano, las siguientes relaciones. R1 = {(x, y) / x < y} R2 = {(x, y) / x ≥ y} R3 = {(x, y) / x = y} R4 = {(x, y) / x, y son pares} R5 = {(x, y) / x, y son impares} R6 = {(x, y) / x, y son números primos} R7 = {(x, y) / 2x = y}

3. Determine en cada caso la clase de función:

a) A B 2 4 5 6 ________________________ 8 7

b) A B 1 2 2 4 3 6 4 8 5 10 ________________________ 12

c) A B a m e n i p o r u s ________________________ d) A B 2 1 4 7 5 9 6 11 13 ________________________ e) y = x² - 3 ________________________ f) y = 5x – 4 ________________________ g) y = 3x + 4 ________________________ h) y = Log3 x ________________________ i) y = 5x ________________________ j) y = |x² - 5| ________________________

k) y = 7 ________________________ 4. Graficar las siguientes funciones:

a) y = -5

b) y = 3x² - 4

c) y = x³ - 2

d) y = x² + 2x – 3

e) y = 2x³ + 2

f) y = 5x – 4

g) y = |4x – 7|

h) y = 3x

i) y = Log3 x

SUCESIONES

Una sucesión es una función en la cual el dominio es el conjunto de enteros positivos ( Ζ+) y el rango es un subconjunto de números reales. Las sucesiones se denotan an, bn, cn... Los términos de una sucesión an se determinan reemplazando “n” por los números enteros positivos en el término denominado n – esimo o general. Ejemplo: hallar y graficar los 4 primeros términos de las siguientes sucesiones: 1) an = {n²}n = Solución reemplazando n por 1, 2, 3 y 4 tenemos: n² = 1² = 1 2² = 4 3² = 9 4² = 16 Por tanto an = {n²}n = {1, 4, 9, 16...}

2) bn = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧n1

= ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ....

41,

31,

21,

11

3) Cn = { 2n + 3 }n = {5, 7, 9, 11...} 2 (1) + 3 = 2 + 3 = 5 2 (2) + 3 = 4 + 3 = 7 2 (3) + 3 = 6 + 3 = 9 2 (4) + 3 = 8 + 3 = 11 4) dn = { (-1)n 2n}n = { -2, 4, -8, 16...}

n

5) Cn = {(-1)n+1 3n}n = {3, -9, 27, -81....} Las sucesiones se pueden graficar también en el plano cartesiano. Con base en los primeros términos de una sucesión, es posible hallar el término n – esimo o término general. Ejemplo: Dados los primeros términos de la sucesión hallar el término n – esimo o general. 1) an = {2, 4, 6, 8...} Solución: Recuerde que los términos de la sucesión han sido hallados reemplazando la “n” por 1, 2, 3, 4... Por tanto en este caso se puede observar que cada término es el doble del valor reemplazado. Luego el término general es:

an = {2n} 2) bn = {1, 4, 9, 16....} Solución: Observe que cada término es el valor de n al cuadrado. 1² = 1 ; 2² = 4 ; 3² = 9 ; 4² = 16. Por tanto el término general es:

bn = {n²} 3) Cn = {-1, 4, -9, 16...} Solución: A diferencia de la sucesión anterior, los términos tienen signos alternados por tanto basta agregar en el término general (-1)n, lo cual hace que los términos de la sucesión tengan signos alternados.

Cn {(-1)n n²}

4) dn = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ...

8116,

278,

94,

32

Solución: En este caso se puede observar que el término del numerador es 2n, y el término del denominador es 3n. Por tanto el término general es:

dn = ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

n

n

32

CLASES DE SUCESIONES 1) Sucesión creciente: Toma este nombre cuando al aumentar el

valor de n, el valor del término también aumenta. En otras palabras, cada término es mayor que el anterior.

Ejemplo: an {n²} = {1, 4, 9, 16...} 2) Sucesión decreciente: Toma este nombre cuando al aumentar

el valor de n, el valor del término disminuye. En otras palabras, cada término es menor que el anterior.

Ejemplo: bn = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧n1 =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ....

41,

31,

21,

11

3) Sucesión monótona: Toma este nombre cuando los términos

de la sucesión es creciente o decreciente. 4) Sucesión alternante: Toma este nombre cuando los términos

de la sucesión tienen signos alternados. Ejemplo: Cn = {(-1)n 3n}n = {-3, 6, -9, 12...} 5) Sucesión acotada: Una sucesión an es acotada inferiormente si

existe un término “b” que es menor o igual a todos los términos de la sucesión. Se escribe Inf (an) = b. b es la cota inferior de an.

Ejemplo: an = {2n} = {2, 4, 8, 16...} Inf (an) = 2 Una sucesión an es acotada superiormente si existe un término “b” que es mayor o igual que todos los términos de la sucesión. Se escribe Sup (an) = b. b es la cota superior de an.

Ejemplo: an = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ....

43,

33,

23,

13

n3

n

n

Sup (an) = 3

LÍMITE DE UNA SUCESIÓN

El límite de una sucesión {an} es L∈ IR, lo cual se escribe

∞→

=

nLa lim n (se lee: límite de an cuando n tiende a infinito es L), si la

diferencia entre an y L, en valor absoluto, es tan pequeña como se desee cuando n es muy grande. Simbólicamente: lim an = L si |an – L| < m, m es una cantidad muy pequeña. Nota: Las sucesiones que tienen límite se denominan convergente, de lo contrario son divergentes. Ejemplos: 1)

α→n lim

n1 = 0 Porque mirando los términos de la sucesión y

su ubicación en la recta real se acerca a cero.

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧n1 =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ....

61,

51,

41,

31,

21,

11

2) ∞→n

lim n³ = ∞ Porque al reemplazar la n el valor se hace

cada vez mayor.

3) α→n lim

o5n7²n5³n47n2²n8³n5

+−+−+−

Solución: Para este fin se dividen los términos del numerador y el denominador por la n con mayor exponente. Si en la fracción el numerador tiene mayor exponente tenderá a α, si el denominador tiene mayor exponente, tenderá a cero. Veamos.

º º º

∞→n lim

o5n7²n5³n47n2²n8³n5

+−+−+− =

∞→n lim

45

³nº 50

³nº n7

³nº ²n5

³n³n4

³n7

³nn2

³n²n8

³n³n5

=+−+

−+−

º º

4) ∞→n

lim 5n2³n7

n2³n4n2 5

+−+−

∞→n lim

02

nº 5

nº n2

nº ³n7

nn2

n³n4

nn2

555

555

5

=+−

+− = ∞

º º º º

º

5) ∞→n

lim n5n7n3

4n5n2n2n429

238

+−

+−+− ∞→n lim

99

2

9

9

999

2

9

3

9

8

nº n5

nº n7

nn3

n4

nn5

nn2

nn2

nn4

+−

+−+−=

30 =0

LÍMITE DE FUNCIONES POLINÓMICAS

Es el valor al cual se acerca la función polinómica cuando x tiende a

un valor a por izquierda y por derecha. Se escribe: ax

L(x)f lim →

= .

Ejemplo: 2x

lim →

x² + 1

Solución: Para mejor comprensión observe que sucede cuando reemplazamos la x por un valor cercano a 2 tanto por la izquierda como por la derecha.

(La división entre cero no tiene solución)

x y 1.9

1.99 1.999

2.1 2.01

2.001

4.61 4.96 4.99 5.41 5.04

5.004

se acerca a 5 por la izquierda por tanto

2x lim

→ x² + 1 = 5

se acerca a 5 por la derecha

ÁLGEBRA DE LÍMITES

1) Cuando x tiende a infinito su procedimiento es igual que el límite de una sucesión.

Ejemplo: º º º

α→x lim

18x5x7x511x2x8x3

34

34

+−+

++−− = α→x lim

444

3

4

4

444

3

4

4

xº 18

xº x5

xº x7

xx5

x11

xx2

xx8

xx3

+−+

++−−

=

53−

2) Si

axL(x)f lim

→= y

axM(x)g lim

→=

a)

axMLg(x)) (x)f ( lim

→+=+

b)

axM·Lg(x) · (x)f lim

→=

c) ax

0m mL g(x)

(x)f lim

→

≠=

d)

axR C L· C · (x)f C lim

→∈=

Ejemplo: 1)

2x lim

→ 3x² + 2 x – 7 = 3(2)² + 2(2) – 7 = 3(4) + 2(2) – 7 = 12 + 4 –

7 = 9 (Observe se reemplazó la x por 2.)

2) 3x

lim −→

10)²3(4

11)3(5)²3(8)³3(2 10²x4

11x5²x8³x2−−

+−−−+−=

−+−+ =

1322

2644

103611157254

10)9(41115)9(8)27(2

==−

+++−=

−+++−

3) Tomando en cuenta que

x0x xSen lim

→ = 1

x0x xCos lim

→ =

0 Se puede resolver:

Ejemplo: 4x Sen 0x xSen lim

→ =

4x 4x .4x Sen 0x

x lim x. x Sen

→ =

41

x4 · ·1x · ·1

=

Observe tanto en el numerador como en el denominador se multiplica por el mismo término.

4) xx

)(x Cos lim α→

π= 0

α→x lim

IR P 1 ∈=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + p

x

exp

α→x

lim xp/x = 1 P ∈

IR

Ejemplo 1 ∞→x lim 5

xe

x51 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + Ejemplo 2

∞→x lim x3/x = 1