FORMULAIRE MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

- 1 -

ε : Exprime la déformation (en µm/m) σ : Exprime la contrainte

Formule changement de base (TD) : Rosette 60°/45° (45°=4

π, 60°=

3

π, 120° =

3

2π)

θεθεεεεεεθ 2sin2cos22 12

2211221111 +−++==

Exemple rosette à 45° : °=⇒ 01 θεθ , °=⇒ 452 θεθ , °=⇒ 9023 θεθ

Déformations principales (TD) :

θεθεεεεε 2sin2cos22 12

22112211 +−++=i

θεθεεε 2cos2sin2

0 122211

12 +−−==

Changement de base ε (Cours): θεθεθεε 2sinsincos' 12

222

21111 ++=

θεθεθεε 2sincossin' 122

222

1122 −+=

θεθεεε 2cos2sin2

' 122211

12 +−−=

Changement de base σ (Cours): θσθσθσσ 2sinsincos' 12

222

21111 ++=

θσθσθσσ 2sincossin' 122

222

1122 −+=

θσθσσσ 2cos2sin2

' 122211

12 +−−=

Directions principales

2211

12221

εεεθ+

= Arctg

Equations statiques de l'équilibre :

0

0

0

33

33

2

32

1

31

23

23

2

22

1

21

13

13

2

12

1

11

=+∂

∂+∂

∂+∂

∂

=+∂

∂+∂

∂+∂

∂

=+∂

∂+∂

∂+∂

∂

Fxxx

Fxxx

Fxxx

σσσ

σσσ

σσσ

FORMULAIRE MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

- 2 -

RELATION DEFORMATIONS > CONTRAINTES :

RELATION CONTRAINTES > DEFORMATIONS : Loi de Hooke généralisée :

ijijkkij Gεδλεσ 2+= avec )21)(1( νν

νλ−+

= E et 332211 εεεε ++=kk

[ ]

[ ]

[ ]

232323

131313

121212

22113333

33112222

33221111

2

112

112

11

)(1

)(1

)(1

σσνε

σσνε

σσνε

σσνσε

σσνσε

σσνσε

GE

GE

GE

E

E

E

=+=

=+=

=+=

+−=

+−=

+−=

Avec : )1(2 ν+= E

G

ν : Coefficient de poisson (Compris entre -1 et 0,5. Matériaux quelconque ν = 0.3, matériaux auxétiques ν < 0) E : Module d'Young (Pa)

( )( ) ( )[ ]

( )( ) ( )[ ]

( )( ) ( )[ ]

232323

131313

121212

22113333

33112222

33221111

21

21

21

)(1211

)(1211

)(1211

εεν

σ

εεν

σ

εεν

σ

εενεννν

σ

εενεννν

σ

εενεννν

σ

GE

GE

GE

E

E

E

=+

=

=+

=

=+

=

+++−+

=

+++−+

=

+++−+

=

Avec : )1(2 ν+= E

G Module de

cisaillement (Pa) ν : Coefficient de poisson (Compris entre -1 et 0,5. Matériaux quelconque ν = 0.3, matériaux auxétiques ν < 0) E : Module d'Young (Pa)

FORMULAIRE MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

- 3 -

Déformations en fonction du déplacement :

3

333

2

222

1

111

x

u

x

u

x

u

∂∂=

∂∂=

∂∂=

ε

ε

ε

)(2

1

)(2

1

)(2

1

2

3

3

23223

1

3

3

13113

1

2

2

12112

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

∂∂+

∂∂==

∂∂+

∂∂==

∂∂+

∂∂==

εε

εε

εε

Vecteur contrainte :

[ ] nT ijn •= σ

TENSEURS DES DEFORMATIONS :

Green - Lagrange (description matérielle) :

∂∂

×∂∂

+∂∂

+∂∂=

iji

j

j

iij a

uk

a

uk

a

u

a

uE

2

1

Application (pour k allant de 1 à 2 donc 033 =ε ) :

∂×∂∂×∂

×

∂×∂∂×∂

+∂∂

+∂∂

=

∂∂×

∂∂+

∂∂+

∂∂=

∂∂×

∂∂+

∂∂+

∂∂=

21

22

21

11

1

2

2

112

2

2

2

2

2

1

2

2

2

222

2

1

2

2

1

1

1

1

1

111

2

1

2

1

2

1

aa

uu

aa

uu

a

u

a

u

a

u

a

u

a

u

a

u

a

u

a

u

a

u

a

u

ε

ε

ε

Euler (description spatiale) :

∂∂×

∂∂−

∂∂

+∂∂=

iji

j

j

iij x

uk

x

uk

x

u

x

uE

2

1

Tenseur des déformations de cauchy

Terme du second ordre négligé en hypothèse des petites perturbations

Terme du second ordre négligé en

Terme du second ordre négligé en hypothèse des petites perturbations

FORMULAIRE MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

- 4 -

FORMULATION EN COORDONNEES CYLINDRIQUES :

Lorsque le problème est indépendant de la variable z : on formule en ( )θ,r Fonction d'Airy :

01111

2

2

22

2

2

2

22

2

=

∂Φ∂⋅

∂Φ∂⋅+

∂Φ∂×

∂∂⋅+

∂∂⋅+

∂∂

θθ rrrrrrrr

Relations des contraintes :

∂Φ∂⋅⋅

∂∂−=

∂Φ∂=

∂Φ∂⋅+

∂Φ∂⋅=

θσ

σ

θσ

θθ

rr

r

rrr

rr

rr

1

11

2

2

2

2

2

Exemples de solutions pour Φ :

21 anneau en traction et

41 anneau en flexion :

θcosln 11

311

+++=Φr

DrCrBrrA

Plaque trouée en traction :

( ) θ2coslnln 24

2222

202

02

00

+++++++=Φ DrCr

BrADrCrrBrrA

FORMULATION EN COORDONNEES POLAIRES :

Fonction d'Airy :

042

4

22

21

4

41

4

=∂

Φ∂+∂∂Φ∂+

∂Φ∂

xxxx

Relations des contraintes :

21

2

21

2

22

22

2

11

xx

x

x

rr ∂∂Φ∂−=

∂Φ∂=

∂Φ∂=

σ

σ

σ