TD n5

Milieux magnetiques

I Plaque magnetique

Une plaque d’epaisseur e est constituee d’un materiau magnetique lineaire, homogene isotrope (l.h.i.) desusceptibilite χ. Elle est placee dans un champ magnetique exterieur

−→B0 uniforme. On note

−→B 0|| et

−→B 0⊥ les

composantes de−→B0 parallele et perpendiculaire a la plaque.

1. On suppose que la plaque s’aimante uniformement. Dans quel plan est l’aimantation−→M ?

2. Calculer−→M ,−→B et

−→H dans la plaque.

3. Tracer les lignes de champ dans les cas :

(a) d’un milieu diamagnetique.(b) d’un milieu paramagnetique.(c) d’un ferromagnetique lineaire.

II L’Electro-aimant

Il est constitue d’un barreau de ferromagnetique doux appele fer, de section constante S, replie sur lui-memede facon que les deux extremites planes soient en regard l’une de l’autre a la distance d. L’espace vide entre lesextremites est appele entrefer. On donne la longueur de la ligne mediane du barreau (en pointille) l = 1,5 m, d= 5 cm, la permeabilite relative du fer µr = 4000. Un enroulement de N spires est bobine sur une partie du fer.Il est traverse par le courant I. On admet que dans le fer les lignes de champ sont paralleles a la ligne medianedonc a la surface du barreau et que la norme de

−→B dans le fer notee B1 est constante sur une section droite.

1. Montrer que B1 est constante dans tout le fer. Calcu-ler H1 norme de

−→H dans le fer en fonction de B1 en

regime lineaire.

2. On admet aussi que les lignes de champ dans l’en-trefer sont perpendiculaires aux faces. Montrer que lechamp B2 dans l’entrefer est uniforme. Calculer B2

en fonction de B1. En deduire H2 dans l’entrefer.

3. E l’aide du theoreme d’Ampere, calculer H1, H2, B1

et B2 en fonction de µ0, µr, l, d, N et I.A.N. : B2 = 1 T pour I = 100 A. Calculer N .

4. Refaire le calcul de B2 quand le fer est sature : Ms

= 1,2 ×106 A.m−1. Quel champ peut-on obtenir dansl’entrefer avec le courant maximum de 180 A ?

entrefer

fer

I

III Aimant permanent

Une fois aimante, un materiau ferromagnetique dur conserve son aimantation, dansla mesure ou on ne le soumet pas a des champs trop intenses. Cette propriete peutetre utilisee pour fabriquer des aimants permanents. Le but ici est d’etudier un typeparticulier d’aimant permanent. En positionnant toute une serie d’elements aimantesles uns a cotes des autres, on realise un cylindre creux d’axe Oz, de rayon interieura, de rayon exterieur b, de longueur tres grande (du point de vue des symetries et desinvariance, on pourra considerer le cylindre infini) et presentant l’aimantation suivante(on utilise les coordonnees cylindriques usuelles) :

1

−→M = M0(cos θ−→ur + sin θ−→uθ) ou M0 est une constante.

Par ailleurs, on donne qu’un cylindre creux d’epaisseur negligeable, portant des courants surfaciques−→js =

js−→uz, cree un champ

−→B = µ0js

2sinθ−→ux.

1. Etude de l’aimant permanent.

(a) Determiner la distribution totale de courant du systeme. Quelle est la nature de ces courants (courantslibres, d’aimantation ou de polarisation) ? On fera attention a bien prendre en compte les courantssurfaciques et volumiques.

(b) Calculer le champ−→B a l’interieur du cylindre de rayon a. On exprimera

−→B en fonction de µ0, M0, a

et b.

(c) En admettant que−→B est colineaire a

−→M lorsque r ∈]a, b[, determiner les lignes de champ pour

r < b (pour le cas ou r ∈]a, b[, on commencera par chercher r(θ), puis on passera en coordonneescartesiennes, si necessaire, pour trouver la nature de ces lignes de champ).

2. Etude de l’homogeneite du champ cree par l’aimant permanent.En pratique il n’est pas possible de realiser un cylindre infini. On note h la hauteur reelle du cylindre.

(a) On veut evaluer l’homogeneite de−→B au voisinage du centre O. Pour cela on utilise un developpement

a l’ordre 2 des differentes composantes de−→B (x, y, z), valable dans la mesure ou x, y et z sont

tres inferieurs a a et h. Ecrire les dix termes du developpement a l’ordre 2 de Bx(x, y, z). Par desconsiderations de symetrie, simplifier ce developpement (on rappelle qu’un plan de symetrie pour ladistribution d’aimantation

−→M correspond a un plan d’antisymetrie pour la distribution de courant,

et inversement un plan d’antisymetrie pour la distribution d’aimantation correspond a un plan desymetrie pour la distribution de courant).

(b) Pour les composantes By et Bz, on peut montrer que les seuls termes non nuls des developpementslimites a l’ordre deux sont :

By = βxy et Bz = γxz.

Exprimer le developpement limite de Bx(x, y, z) en fonction de Bx(0, 0, 0), β et γ. On suppose qu’enO, Bx(0, 0, 0) a sensiblement la valeur trouvee pour le cylindre infini, et qu’a l’extremite du cylindre(c’est-a-dire pour z = h/2), sur l’axe Oz, on a la moitie de cette valeur. En outre, on suppose que ledeveloppement limite etabli precedemment reste valable jusqu’en z = h/2. Calculer le coefficient γen fonction de h et Bx(0, 0, 0).

(c) Application numerique.Pour pouvoir realiser un spectrometre, on voudrait un champ magnetique verifiant les specificationssuivantes : on a besoin d’un champ superieur ou egal a 1,2 T, avec une homogeneite de 10−4 dansun volume spherique centre en O, de rayon 5 mm (c’est-a-dire que la variation maximale de champmagnetique δB doit etre inferieure a 10−4 fois la valeur du champ en O). Un fabricant propose unaimant permanent du type etudie ici, fabrique avec un alliage de NdFeB. L’aimantation a saturationde cet alliage vaut Ms = 8× 105 A.m−1, les dimensions proposees sont a = 50 mm, b = 200 mm eth = 105 mm. On donne µ0 = 4π × 10−7 N.A−2. Cette proposition peut-elle convenir ?

IV Chaıne de gouttelettes d’une emulsion ferrofluide

Un ferrofluide s’obtient en dispersant dans de l’huile de petites particules solides aimantees (voir figure (a)).On obtient alors un fluide aux proprietes particulieres. En particulier, les particules ont tendance a s’aligner lelong des lignes de champ ce qui genere des pointes tout a fait inhabituelles dans les liquides (voir figures (b) et(c)).

Une emulsion ferrofluide est une suspension diluee de gouttelettes de ce fluide dans l’eau. Des techniquesphysico-chimiques permettent de controler la taille des gouttelettes et la stabilite de cette suspension. La tailledes gouttelette est d’environ un micrometre. Sous l’effet d’un champ magnetique exterieur, les gouttelettess’organisent en longues chaınes paralleles au champ.

2

(a) (b) (c)

1. Deux dipoles magnetiques ~m identiques sont paralleles et de meme sens.On rappelle qu’un dipole cree un champ magnetique, en coordonnees polaires,

~B =µ0

4π(2m cos θ

r3~ur +

m sin θr3

~uθ)

L’energie potentielle d’interaction d’un dipole ~m soumis a un champ magnetique ~B est

Ep = −~m. ~B

om1

Q rP

m2ur

uQ

(a) Donner l’expression de l’energie potentielle d’interaction W lorsque le dipole (1) est place a l’origineet le dipole (2) au point de coordonnees polaires (r, θ). En deduire l’expression de la force ~F exerceepar (1) sur (2).

(b) Pour une distance r fixee, pour quel direction θ l’energie est-elle minimale ? La force d’interactionest-elle repulsive ou attractive ?

2. Chaque particule solide aimantee du ferrofluide porte un moment magnetique permanent ~µ et possede unvolume v. On note Φ la fraction volumique en particules dans le fluide (Φ 1).

(a) Expliquer qualitativement pourquoi, en l’absence de champ exterieur, cette assemblee de particulesaimantees ne possede aucune propriete magnetique macroscopique.

(b) On considere maintenant une goutte spherique unique de ferrofluide de rayon R plongee dans l’eau.Sous l’effet d’un champ magnetique exterieur ~B, cette goutte acquiert une aimantation uniforme~M . Pour des valeurs du champ pas trop elevees, cette aimantation lui est proportionnelle ; on pose

alors ~M = χ~Bµ0

. Quelle est la dimension de χ ? Quelle nom peut-on lui donner ? Quel est le momentmagnetique ~m de la goutte ?

3. On considere une emulsion diluee de ces gouttelettes dans l’eau. Chaque gouttelette de rayonR est assimileea un dipole magnetique ~m. Sous l’action d’un champ exterieur uniforme ~B = B0~uz, les moments s’alignentet forment des chaınes d’une trentaine de gouttelettes environ, paralleles au champ applique. On negligetoute interaction entre chaınes. Dans une chaıne isolee, supposee infinie, d designe la distance supposeeconstante entre deux gouttelettes successives.

(a) Expliquer pourquoi les moments s’alignent.

(b) Soit une gouttelette quelconque de la chaıne. Calculer le champ ~B1 cree par les autres gouttelettessur celle-ci. Exprimer ce champ en fonction de ~m, de d et de la constante α =

∑∞p=1 1/p3 ≈ 1, 202.

(c) Exprimer alors ~m en fonction de ~B0, χ, R et d.

4. Pour calculer la force attractive d’origine magnetique qui s’exerce a l’interieur d’une chaıne, on divise parla pensee, la chaıne en deux parties.

3

(a) calculer la force qu’exercent les dipoles de l’une des moities (la partie inferieure) sur les dipoles del’autre. Montrer qu’elle s’exprime sous la forme :

~Fch = −3µ0αm2

2πd4~uz

(b) Comparer cette force avec la force ~Fp entre deux gouttelettes lorsque la chaıne n’en contient quedeux. Exprimer Fch

Fpen fonction de χ, R et d.

(c) Calculer Fch, Fp et Fch

Fppour χ = 0, 11, R = 98 nm, d =200 nm et B0 = 6, 3.10−2T . Commenter.

5. Les gouttelettes d’une chaıne, toutes de rayon R, sont supposees incompressibles et indeformables. Enl’absence d’interaction entre gouttelettes autre que l’interaction magnetique, quelle est la distance d` entreelles ?

(a) En realite, il existe une force repulsive d’origine electrostatique de sorte qu’a l’equilibre, d > dell.L’emulsion est eclairee par un faisceau parallele de lumiere blanche se propageant selon ~uz. Chaquegouttelette de ferrofluide absorbe une partie de la lumiere qu’elle recoit et diffracte l’autre dans toutesles directions. La distribution spectrale I(λ) de la lumiere retrodiffusee (dans la direction −~uz) estanalysee par un spectrographe (λ est la longueur d’onde dans le vide). Elle presente un maximumtres prononce pour une longueur d’onde λ0 dans le spectre visible associee a une coloration tres nette.

i. Interpreter qualitativement ce phenomene de coloration.

ii. Exprimer d en fonction de λ0 et de l’indice n de l’eau. Calculer numeriquement λ0 pour d = 220nm et n = 1, 33. De quelle couleur apparaıt l’echantillon ?

iii. Decrire la sequence de couleurs observees en retrodiffusion lorsque le champ exterieur applique~B0 augmente. Quelle est la longueur d’onde limite λ` observable. Donner sa valeur numeriqueainsi que la couleur correspondante pour R =98 nm.

4

TD n6

Lien thermodynamique-electromagnetisme

I Lame piezoelectrique

Le phenomene de piezoelectricite consiste en l’apparition d’une polarisation electrique dans certains dielec-triques sous l’effet d’une force exercee dans une direction convenable , ici Oz. Une paire d’armatures conductricesdeposees sur les faces opposees d’une lame dielectrique d’epaisseur e et de surface S forme un condensateur plan,l’ensemble constituant un capteur piezoelectrique. Les trois vecteurs ~P , ~E et ~D sont consideres comme etantcolineaires et paralleles a ~uz.

eO

u z

Pendant tout l’exercice, on ne tiendra pas compte des variations d’epaisseur de la lame.

1. Question preliminaire :(a) Condensateur polarise uniformement :

On considere un condensateur dont l’entrefer est un milieu dielectrique polarise uniformement :~P = P~uz. Determiner les champs ~E et ~D. Quelle est la difference de potentiel entre les armatures ?Quelle sont les charges de polarisation a la surface des armatures ?

(b) Condensateur charge :Soit un condensateur dont les armatures sont chargees, respectivement q et −q. Calculez le champ al’interieur du condensateur en fonction de q, ε et S.

2. Nous considerons maintenant un materiau piezoelectrique en prenant en compte le fait que le materiauest elastique. On suppose que la face z = 0 est fixe et qu’une force ~F = F~uz appliquee sur la face z = ecree un petit deplacement s = F

K suivant l’axe Oz, ou K est une constante. Comme l’echantillon estpiezoelectrique, ce deplacement s engendre une polarisation uniforme ~P = P~uz avec P = ε0αs

e ou α estune constante caracterisant l’effet piezoelectrique du materiau.

(a) Les armatures ont maintenant les charges q en z = e et −q en z = 0 dues a un generateur externe.On applique une force ~F variable permettant de maintenir une deformation s constante.L’origine de la polarisation du milieu est double. D’une part, la deformation cree une polarisationdependant de s qui cree un champ ~E1. Par ailleurs, la charge presente sur les armatures cree, elle aussi,une polarisation classique a l’origine d’un champ ~E2. On note ~E le champ total dans le dielectrique.– Quel est, en fonction de s, le champ electrique ~E1 cree dans le materiau par les charges de polari-

sation ?– Determinez le champ electrique cree par la charge des armatures.– En deduire le champ total ~E et la difference de potentiel entre les deux faces du condensateur.

(b) – Donnez l’expression du travail mecanique Wm(s) recu par le materiau elastique pour induire unedeformation s a q = 0.

– Donnez l’expression du travail electrique recu par l’echantillon pour charger le condensateur.– Deduire de ce qui precede l’energie interne U(s, q) de l’echantillon et, a partir de la relation dU =Fds+ V dq, trouvez l’expression de F en fonction de s et q.

(c) Donnez l’expression de s et q pour une difference de potentiel V et une force F quelconques.

5

II Tube de Quincke

Un liquide paramagnetique (χ > 0) ou diamagnetique (χ < 0) remplit un tube en U tel que l’interfaceair/liquide dans une des branches verticales soit dans l’entrefer d’un electroaimant creant un champ magne-tique

−→B . On constate que le niveau monte lorsque l’on etablit le courant dans l’electroaimant si le liquide est

paramagnetique (par exemple une solution de chlorure ferrique dans de l’eau) alors qu’il baisse si le liquide estdiamagnetique (eau pure). Interpreter. Determiner la relation entre la hauteur d’elevation du liquide h et B al’equilibre.

6

TD n7

Induction electromagnetique

I Couplage entre un solenoıde et une bobine

Un solenoıde de tres grande longueur par rapport a son rayon note a, comporte n spires jointives par unite delongueur. Celles ci sont parcourues par un courant I. Une bobine circulaire plate de resistance R et comportantN spires de rayon b (b > a) est coaxiale au solenoıde.

1. Calculer le coefficient d’inductance mutuelle M des deux circuits.

2. Le courant I est un courant alternatif I = I0 sin(ωt). En admettant que l’approximation des regimes quasipermanents est valable :

(a) Calculer la f.e.m. e et le courant induit i dans la bobine plate.

(b) Quel est le champ electrique−→E associe a e ?

3. Determination du potentiel-vecteur−→A

(a) Sachant que−→A est un vecteur polaire, determinez sa direction en utilisant les proprietes de symetrie

du systeme.

(b) Determiner l’expression de−→A a l’interieur puis a l’exterieur du solenoıde (on choisira

−→A =

−→0 en O).

(c) Verifier que−→E = −∂

−→A

∂t.

II Levitation magnetique

Un long solenoıde vertical (semi-infini) a section circulaire, de rayon a et ayant n spires jointives par unitede longueur, est parcouru par un courant i1 = i1m cosωt. Une bobine circulaire constituee de N spires de rayonb (b a), de resistance R, d’inductance L et de masse m, est placee au dessus du solenoıde, a une distance zde son extremite. La position de la bobine est reperee par l’angle θ.

θ

z

z

b

a

FIG.1 - Schema du dispositif. FIG.2 -Levitation d’une grenouille. Pour plusd’information, voir

http ://www.hfml.ru.nl/phystod.html.

7

1. Determiner le flux du champ B1 cree par le solenoıde a travers la bobine (on considere le champ B1

constant au voisinage de l’axe Oz). En deduire le coefficient d’inductance mutuelle M qui caracterise lecouplage entre les deux circuits.

2. Determiner le courant i induit dans la bobine.

3. On assimile la bobine a un dipole magnetique. Calculer la force magnetique moyenne 〈F 〉 appliquee a labobine. Pour quelle valeur ilim de i1m la spire peut-elle leviter juste au dessus du solenoıde ? L’equilibreest-il stable ?

4. Quelle est alors la puissance dissipee par effet Joule dans la bobine ?

III Induction et moment cinetique

On considere un solenoıde tres long, de rayon R, possedant n spires par metre, parcouru par un courantI. Deux couches chargees cylindriques de longueur ` sont coaxiales avec le solenoıde. L’une a l’interieur dusolenoıde, de rayon a < R et de charge totale +Q et l’autre a l’exterieur de rayon b > R et de charge −Q. Onsupposera que les charges sont uniformement reparties sur les couches cylindriques et que a, b `. Les cylindrescharges peuvent tourner librement autour de leur axe.

1. On diminue progressivement le courant I jusqu’a ce qu’il devienne nul. On observe que les cylindres semettent a tourner. Expliquer precisement le phenomene.

2. Calculer les couples Γa et Γb qui s’exercent sur chacun des cylindres.

3. En deduire les moment cinetiques ~La et ~Lb de chacun des cylindres une fois que le courant est nul.

4. Comment la conservation du moment cinetique est-elle satisfaite ?

IV Principe de la plaque de cuisson par induction

1. Une plaque conductrice plane, d’epaisseur d, est parcourue par un courant de densite volumique uniformeet constante

−→J0. Ses dimensions sont tres grandes devant les longueurs intervenant dans le probleme et du

point de vue des symetries et des invariances, on peut les considerer comme infinies.(a) Choisir un systeme de coordonnees adaptees. Detailler les symetries et invariances. En deduire la

direction du champ magnetique−→B0(M) en tout point M de l’espace et les variables dont il depend.

(b) Calculer le champ sur le plan mediateur de la plaque.

(c) Calculer le champ−→B0(M) partout. Commentaire.

2. Un milieu conducteur de conductivite γ, de permeabilite relative µr, occupe le demi-espace z > 0. Uneplaque analogue a celle de la question 1, parcourue par un courant sinusoidal de pulsation ω, produit dansl’air, pres de la surface du milieu, un champ magnetique uniforme B1 cos(ωt)−→ux. On fait dans toute lasuite les approximations suivantes :* La pulsation ω est suffisamment faible pour que le regime soit quasi-stationnaire.* Le milieu est un conducteur ohmique, sa conductivite γ ne depend pas de ω.* Les dimensions sont telles que le systeme est invariant par toute translation parallele au plan xOy.

(a) Comment faut-il disposer la plaque produisant le champ−→B1 ? Il est inutile de relier

−→J0 a

−→B1.

(b) Montrer que dans le milieu, les champs magnetique et electrique ont une seule composante non nulleet qu’elle ne depend que de z et de t. On les note B(z, t) et E(z, t) .

3. En regime permanent, B(z, t) et E(z, t) sont des fonctions sinusoidales du temps de pulsation ω. On utilisepour les calculs la notation complexe : le champ magnetique exterieur s’ecrit alors B1e

−iωt−→ux et on poseB(z, t) = f(z)e−iωt et E(z, t) = g(z)e−iωt ou f et g sont des fonctions complexes de la variable z qu’oncherche a calculer.(a) ecrire les quatre equations de Maxwell dans le milieu ainsi que la loi d’Ohm. On utilisera le fait que

dans un conducteur en regime quasi-stationnaire la densite volumique de charge est nulle et le cou-rant de deplacement est negligeable. Montrer que deux equations de Maxwell sont automatiquementverifiees.

(b) En deduire l’equation differentielle satisfaite par f(z).

8

4. (a) On pose δ =√

2µ0µrγω

. Calculer f(z) en fonction de B1, δ et µr en tenant compte de sa valeur en

z = 0 et sachant que B ne peut pas devenir infini dans le milieu.

(b) Quelle est la dimension de δ et sa signification physique ?

(c) Calculer g(z). En deduire l’expression reelle de E(z, t) .

5. Calculer la puissance par unite de volume degagee en chaleur dans le milieu. En deduire la puissancemoyenne de chauffage par unite de surface en fonction de B1, µ0, µr, γ et ω.

6. A.N. On donne pour le cuivre γ = 6×107 Ω−1.m−1 , µr = 1. Pour l’acier , γ = 6×106 Ω−1.m−1, µr = 1000.La pulsation est ω = 1000 rad.s−1.

(a) Calculer δ pour le cuivre et pour l’acier. Commentaire.

(b) La puissance de chauffage desiree est de 104 W.m−2. En deduire le champ B1 necessaire dans les deuxcas. Expliquer le choix de l’acier pour realiser des casseroles fonctionnant sur une plaque a induction.Donner une valeur minimale de l’epaisseur du fond de la casserole en acier.

9

TD n8

Propagation

Rappels

Derivee particulaire

On cherche a decrire la vitesse d’un fluide c’est-a-dire, la vitesse des particules de fluide qui le composent.Deux descriptions sont possibles.

a) Description lagrangienne

Dans cette description, un observateur est lie a chaque particule de fluide et determine au cours du temps lavitesse de la particule fluide le long de la trajectoire effectuee. L’ensemble des observateurs lies aux particulesde fluides permet de determiner la vitesse du fluide.

Pour imager ceci, imaginons qu’on veuille decrire une trafic autoroutier. Dans la description lagrangienne,un helicoptere suit les voitures au cours de leur trajet et determine leur vitesse en fonction du temps.

b) Description eulerienne

Dans cette description, un observateur est fixe en un point M et determine la vitesse du fluide en ce point aucours du temps. L’ensemble des observateurs aux differents points de l’espace defini le champ de vitesse ~v(M, t).

Dans la description eulerienne du trafic, on dispose des gendarmes sur un pont qui restent fixent et mesurentla vitesse des voitures qui passent.

Remarques :on definit egalement le champ des pressions p(M, t), des temperatures T (M, t)...le champ est uniforme s’il ne depend pas de la variable d’espace.un ecoulement est stationnaire si l’ensemble des champs euleriens (~v(M, t), p(M, t), T (M, t). . . ) est inde-pendant du temps t. Dans ce cas, la situation vue par un observateur en un point M donne ne varie pasau cours du temps. En revanche, la vitesse d’une particule fluide n’est pas necessairement constante aucours du temps (imaginer un tuyau de section variable en regime stationnaire).

c) Derivee particulaire

Lorsqu’on derive temporellement un champ eulerien, il faut tenir compte bien sur de la variation purementtemporelle de ce champ (derivee temporelle) mais egalement de la variation de cette grandeur due au deplacementde la particule de fluide (derivee convective).

Cette derivee d’un champ eulerien s’appelle derivee particulaire. Voyons comment elle s’exprime mathema-tiquement en choisissant un champ scalaire (par exemple le champ de temperature).

On considere une particule fluide qui s’est deplacee de−−→dM pendant dt :

−−→dM = −→v dt.

10

La temperature T (x, y, z, t) a varie de

dT =∂T

∂xdx+

∂T

∂ydy +

∂T

∂zdz +

∂T

∂tdt

La variation de temperature est alors :

dT

dt=∂T

∂xvx +

∂T

∂yvy +

∂T

∂zvz +

∂T

∂t

soitdT

dt= −→v ·

−−→gradT +

∂T

∂t

La derivee particulaire est souvent notee DT∂x . Le deuxieme terme est appele variation temporelle locale de

T . Il est nul si l’ecoulement est stationnaire. Le premier terme est appele ”derivee convective”. Il rend comptede l’influence du deplacement de la particule de fluide sur la variation de T . Il est nul pour un champ uniforme.

d) Application simple

En guise d’illustration, on considere un parachutiste en chute a la vitesse −→v = v−→u z avec v < 0. Celui-cirepresente l’observateur lie a la particule de fluide. Il veut mesurer l’evolution temporelle de la temperature.

Le champ de temperature est stationnaire et de la forme :

T (z) = T0 + αz avec α < 0

Determiner la loi de variation T (t) mesuree par le parachutiste qui touche le sol z = 0 a t = tf .– en raisonnant simplement ;– en utilisant la formule de derivee particulaire.

e) Acceleration convective

En mecanique des fluides, un champ eulerien essentiel est celui representant la vitesse. Le champ des acce-lerations est alors la variation temporelle de la vitesse eulerienne quand on suit une particule fluide c’est-a-direla derivee particulaire de la vitesse.

En coordonnees cartesiennes, on peut appliquer la methode precedente pour chaque composante de la vitesse :

Dvx =∂vx∂x

dx+∂vx∂x

dy +∂vx∂x

dz +∂vx∂x

dt

Dvxdt

=∂vx∂x

vx +∂vx∂x

vy +∂vx∂x

vz +∂vx∂x

Ceci est valable pour chaque composante de sorte qu’on a : D−→vDt =

(−→v .−−→grad)−→v + ∂−→v∂t

On distingue :– L’acceleration locale ∂−→v

∂t liee qu caractere instationnaire de l’ecoulement.

11

– L’acceleration convective(−→v .−−→grad)−→v liee au caractere non uniforme de l’ecoulement.

Pour un ecoulement stationnaire convergent, l’acceleration n’est pas nulle puisque la vitesse augmente et estdue au caractere non uniforme du systeme.

Remarque : autre expression de l’acceleration

D−→vDt

=∂−→v∂t

+−−→grad

(v2

2

)+−→rot−→v ∧ −→v

I Reflexion d’onde en incidence oblique sur un conducteur parfait

On considere une surface plane separant le vide d’un conducteur metallique parfait. Une onde plane electro-magnetique incidente se propage dans le vide. Son champ electrique en M(x, y, z) a l’instant t est :

−→Ei =

−→E0 cos(

−→ki .−→r − ωt)

Cette onde rencontre le metal sous l’angle d’incidence θ et se reflechit. Le plan Oxz est choisi de facon acontenir le vecteur d’onde incident

−→ki . On prend l’origine O sur la surface du metal. L’onde incidente est

polarisee rectilignement et perpendiculairement au plan d’incidence (−→Ei ⊥ Oxz).

Videθ

Onde incidente

Metal

Onde réfléchie

z

θ x

1. Determiner les champs (−→Ei,−→Bi) de l’onde incidente et (

−→Er,−→Br) de l’onde reflechie.

2. Determiner les champs (−→E ,−→B ) de l’onde resultante dans le vide.

3. Quelle est la vitesse de phase vφ de l’onde resultante ?

4. Que deviennent−→E et

−→B au voisinage immediat de la surface du metal ?

5. Determiner les densites surfaciques de charge σ et de courant−→js sur la surface metallique.

6. Quelle est la pression de radiation moyenne de l’onde sur le metal ? L’exprimer en fonction de l’intensiteincidente.

II Effet Faraday dans un dielectrique

Un milieu dielectrique isolant est modelise par un reseau d’ions positifs de charge +e, immobiles, en nombren par unite de volume. Autour de chaque ion tourne un electron qui est soumis a une force de rappel dirigeevers le centre de l’ion. Cette force tient compte de toutes les interactions de l’electron avec toutes les autresparticules composant le dielectrique. Elle est donnee par −mω2

0

−→R ou

−→R est le vecteur joignant le centre de l’ion

a l’electron et ω0 une pulsation caracteristique du milieu. Chaque couple electron-ion forme un dipole electrique.On note m la masse de l’electron,

−→V sa vitesse, e la charge elementaire, µ0 la permeabilite du vide. Le but

de ce probleme est d’etudier l’influence d’un champ magnetique statique−→Bs = Bs

−→uz sur la propagation d’uneonde electromagnetique transverse plane. On suppose que les differentes grandeurs (

−→E ,−→B ,−→R , etc...) associees

a l’onde sont de la forme : G = G0 exp[i(−→k .−→r − ωt)] ou −→r represente le vecteur position a partir d’une origine

12

fixe O. Du point de vue microscopique, l’onde electromagnetique se propage dans le vide en presence de chargeset de courants.

A. Equation de propagation des ondes.

1. E partir des equations de Maxwell, etablir l’equation de propagation de−→E sous sa forme la plus generale.

2. Montrer que pour une onde transverse plane div−→E = 0. Reecrire l’equation de propagation en tenant

compte de ce resultat et de la forme de−→E .

B. Determination des caracteristiques du milieu.

On utilise dans les calculs la pulsation cyclotron ωc =eBsm

et la pulsation plasma ωp telle que ω2p =

ne2

mε0.

1. (a) Ecrire le principe fondamental de la dynamique pour un electron en presence d’une onde electroma-gnetique de champs

−→E et

−→B et du champ magnetique

−→Bs lorsque l’electron est non relativiste.

2. Dans le cas ou−→Bs =

−→0 , determiner la susceptibilite et la permittivite dielectriques du milieu dans le cas

dynamique (ω 6= 0) puis dans le cas statique (ω = 0).

3. Dans le cas general ou−→Bs est non nul, calculer les composantes cartesiennes de

−→R en fonction de Ex, Ey, Ez,

ω, ωc, ω0, e et m.

4. En deduire la vitesse de l’electron, puis la densite de courant−→j puis enfin

∂−→j

∂ten fonction de

−→E , µ0,

ω2/c2 et d’un tenseur ¯σ dont on exprimera les coefficients a l’aide des nombres α, β, γ suivants :

α =ω2p

ω20 − ω2

β =ω2pωωc

(ω20 − ω2)2 − ω2ω2

c

γ =ω2p(ω2

0 − ω2)(ω2

0 − ω2)2 − ω2ω2c

5. En utilisant l’equation de propagation des ondes obtenue a la question A.2., deduire une relation entre−→E

et ¯σ.

C. Determination des modes propres de propagation.

1. 1er cas : on suppose que−→E est vecteur propre de ¯σ avec la valeur propre α. Quelle est la direction de−→

E ? Quelles sont les directions possibles pour le vecteur d’onde−→k ? Le champ

−→Bs a-t-il une influence sur

l’onde ? Calculer la vitesse de phase dans ce cas.

2. 2e cas :−→E est vecteur propre de ¯σ avec une valeur propre differente de α. Determiner les valeurs propres

possibles. Determiner la direction de−→k pour une onde transverse. Calculer les normes k1 et k2 des vecteurs

d’ondes des ondes associees aux deux valeurs propres (modes propres). Etudier la polarisation de chaquemode propre.

D. Effet Faraday.

On emet dans le vide en z = −∞ une onde plane transverse polarisee rectilignement selon Ox. Elle traverseune tranche du milieu etudie situee entre les plans z = 0 et z = L, dans laquelle regne un champ magnetiquestatique

−→Bs parallele a la direction de propagation Oz. Les regions z < 0 et z > L sont vides. On suppose que

ωc et ωp sont ω ≈√|ω2

0 − ω2|.1. Verifier que α, β, γ sont 1.

2. Dans le milieu, pour 0 < z < L, on essaie la solution−→E = E0 cos(kz − ωt)−→ux. Montrer que cette solution

est impossible si Bs 6= 0.3. On cherche maintenant une solution qui est une combinaison lineaire des modes propres trouves en C.2.

Decomposer l’onde incidente−→E i(z = 0, t) = E0 cos(ωt)−→ux en somme d’une onde a polarisation circulaire

droite et une onde a polarisation circulaire gauche. Dans le milieu on cherche une solution−→E (z, t) =

−→E 1(z, t)+

−→E 2(z, t) ou l’indice 1 (respectivement 2) est relatif a une onde a polarisation circulaire

gauche (respectivement droite).

4. En deduire−→E 1,2(z, t) puis

−→E (z, t) dans le milieu. Calculer

−→E (z = L, t) .

13

5. Dans le vide en z > L, on etudie la polarisation de l’onde transmise. De quelle polarisation s’agit-il ? Onnote θ l’angle entre

−→E et l’axe Ox. Calculer θ en fonction de L, k1, k2 puis en fonction des donnees du

probleme.

III Reflexion totale et onde evanescente

Une ondes electromagnetique plane progressive arrive sur la surface de separation plane (plan y = 0) entredeux dielectriques parfaits c’est a dire transparents d’indices n1 et n2 < n1.

z

y

mi

n1

n2 < n1

1. A partir de quel angle limite θ` de l’angle d’incidence θi se produit le phenomene de reflexion totale ?

2. La suite de l’exercice concerne le cas ou θi > θ` (avec (n2 < n1).

3. (a) Justifier la continuite de la composante tangentielle du vecteur d’onde. En deduire l’expression dektz composante selon z de ~kt. Constater que cette composante est superieure a la norme de ~kt et endeduire que la composante selon y, kty est imaginaire pure. Expliciter sa valeur en fonction de ω, c,n1, n2 et θi.

(b) Expliciter le champ transmis ~Et = ~E0

t ei(ωt−~k.~r) en fonction de y, z, θi, n1, n2 et λ0 = 2πc/ω. Quel

signe faut-il choisir dans l’expression de kty = ±im ?Quelles sont les caracteristiques de ce type d’onde suivant Oz ? Suivant Oy ?

(c) Pour quelle valeur δ de y, l’amplitude du champ transmis est-elle divisee par e ?

(d) Determiner le champ magnetique ~Bt associe a cette onde en supposant ~Et polarise rectilignementselon ~ux.

(e) En deduire la valeur moyenne du vecteur de Poynting transmis en fonction de n1, θi, ~E0t

2et δ.

Commenter.

IV Rayonnement d’une antenne

On considere une portion de conducteur rectiligne MN de longueur l, dirigee selon l’axe Oz. Ce conducteurest parcouru par un courant I = I0 cos (ωt).

1. On suppose qu’a l’exterieur du troncon MN , la densite de courant est nulle. En utilisant la fonction deHeaviside (voir a la fin de l’enonce) et la distribution de Dirac, donner l’expression de la densite de courant−→j dans tout l’espace.

2. En utilisant la conservation de la charge, montrer que ce systeme peut etre assimile a un dipole oscil-lant constitue de deux charges opposees placees en M et N et dont la valeur varie de facon sinusoıdale(±q sinωt).

3. En deduire la densite de courant complexe−→j (−→r , t) dans tout l’espace, ainsi que la densite de charge

complexe ρ(−→r , t).4. On cherche tout d’abord a calculer a l’instant t les potentiels en un point P de coordonnees spheriques (r,θ, φ).

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(a) En utilisant l’expression des potentiels retardes, exprimer le potentiel scalaire V (en notation com-plexe) au point P en fonction des distances r1 = MP et r2 = NP .

(b) On note λ la longueur d’onde du champ electromagnetique rayonne par le dipole. On suppose r λ l (approximations dipolaire et champ lointain). Montrer que le potentiel scalaire complexe peuts’ecrire en ne gardant que le terme principal du DL en l/λ et en l/r :

V = − 14πε0

iω

crp cos (θ)

en fonction du moment dipolaire complexe retarde p = i q l e−iω(t− r/c).

(c) Montrer que la seule composante non nulle du potentiel-vecteur−→A s’ecrit :

Az = − µ0

4πiω

rp

5. Calculer les composantes non nulles des champs−→E et

−→B au point P en ne gardant que les termes principaux

des DL en λ/r. Montrer que Er Eθ. Calculer ‖−→E ‖/‖

−→B‖. Faire un schema montrant O, P ,

−→E ,−→B et le

vecteur d’onde−→k .

6. On se propose maintenant de calculer la puissance rayonnee a grande distance par cette antenne dipolaireen fonction de l’amplitude I0 du courant circulant dans le conducteur MN . Montrer que la puissancetotale peut s’exprimer par :

P =12Rr I

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ou Rr est la resistance de rayonnement de l’antenne dont on donnera l’expression en fonction de l et λ.

La fonction de Heaviside est definie par :

Θ(x) = 1 si x > 0

= 0 sinon

On remarque qued

dxΘ(x) = δ(x).

V Interaction onde electromagnetique-electron

Premiere partie : Cas de l’atome d’hydrogene

Dans un modele classique, chaque electron (de masse m et de charge −e) d’une molecule d’hydrogene soumisa l’attraction electrostatique du noyau, est rappele vers sa position d’equilibre par une force de rappel ~fr =− m ω2

0 ~r lorsqu’il est ecarte de ~r de sa position d’equilibre.L’electron est soumis a l’action d’une onde electromagnetique plane de pulsation ω se propageant suivant Ozdont l’expression complexe du champ electrique ~E polarise suivant Ox est :

~E = E0 eiω(t− z

c)~ex

On notera x(t) = A ei(ωt+φ) la projection sur l’axe Ox de la position de l’electron, ou A et φ sont des constantesdu probleme. On supposera E0 > 0. On fixe l’origine du repere ( ~ex, ~ey, ~ez) ou (~eρ, ~eθ, ~eφ) sur la position del’electron au repos.

1. Ecrire le principe fondamental de la dynamique applique a un electron en appelant ~V sa vitesse. Pourquoipeut-on negliger l’effet du champ ~B de l’onde devant celui du champ ~E ?

2. A quelle condition peut-on remplacer d~V /dt par ∂~V /∂t ?

3. En deduire l’equation differentielle du mouvement d’un electron selon Ox.

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4. En utilisant les notations complexes pour le champ electrique ~E et l’abscisse de l’electron x(t), resoudrecette equation differentielle pour montrer qu’en notation reelle on peut ecrire :

x(t) =e E0 cos(ωt+ φ)m |ω2

0 − ω2|

En deduire l’expression de l’amplitude X0 du mouvement de l’electron. Quelles sont les valeurs possiblespour φ ?

5. L’electron ainsi mis en mouvement constitue avec le proton un dipole oscillant. On rappelle que ce dernierproduit au point M(ρ, θ, φ), eloigne de la molecule et repere par ~ρ = ~OM et θ = ( ~ex, ~ρ), les champselectriques ~E et magnetiques ~B tels que :

~E = Eθ ~eθ = −k2p0

4πε0sin(θ)ρ

cos (ωt− kρ) ~eθ et ~B = Bφ ~eφ =Eθc

~eφ

ou k = ω/c et p0 est l’amplitude du moment dipolaire ~p produit par le mouvement de l’electron.

(a) Calculer l’amplitude p0 en fonction de X0.

(b) Calculer l’acceleration γ de l’electron et son amplitude γ0. Montrer que les amplitudes des champs~E et ~B en M sont proportionnelles a γ0.

(c) Exprimer la puissance moyenne < P > diffusee par le dipole dans tout l’espace en fonction de ω etX0.

6. Exprimer la puissance < P > en fonction de e, c, E0, µ0, m et eventuellement ω et ω0, dans les deux caslimites suivants :

(a) l’electron est pratiquement libre (c’est a dire qu’il est tres faiblement lie au proton).

(b) l’electron est tres fortement lie au proton.

Deuxieme partie : Generalisations

1. On generalise desormais ce qu’on a obtenu pour l’atome d’hydrogene a toutes les molecules de l’atmosphereterrestre. Les electrons de ces molecules sont tres fortement lies a leur noyau. Sachant que le spectre visibles’etend de 0,4 µm (bleu) a 0,8 µm (rouge), deduire de la question precedente :– une explication a la couleur bleue du ciel dans la journee.– une explication a la couleur rouge du ciel le soir.Quel est l’emetteur des ondes electromagnetiques excitatrices des molecules atmospheriques ?

2. On considere desormais l’onde excitatrice incidente dans le cas de l’electron pratiquement libre.

(a) Quelle est la valeur moyenne < || ~N || > du module du vecteur de Poynting ~N de l’onde incidente enfonction de l’amplitude E0 du champ electrique.

(b) En utilisant la question 6), exprimer en fonction de µ0, e et m la section efficace σ de diffusion del’electron libre , definie par :

σ =< P >< || ~N || >

Quelle est la dimension de σ ? Quelle est sa signification physique ?

Application numerique :On donne µ0 = 4π× 10−7 SI, e = 1,6× 10−19 C et m = 9,1× 10−31 kg. Donner un ordre de grandeurde σ.

VI Etude d’un mode ”siffleur” ou ”helicon” dans un plasma

On appelle plasma un ensemble d’ions immobiles de charge e (e>0), de densite numerique n (nombre d’ionspar unite de volume), et d’electrons mobiles de charge−e et de massem, ensemble situe dans le vide. En l’absencede champ electromagnetique, la densite electronique est egale a n, de sorte que le plasma est, localement,

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electriquement neutre. Les interactions d’un electron avec les autres electrons et avec les ions sont decrites parune force de frottement visqueux de la forme :

−→f v = −m−→v /τ (1)

ou −→v est la vitesse de l’electron et τ une constante caracteristique du plasma. On notera ωp = e√n/mε0 la

pulsation plasma.

1. Une onde electromagnetique plane, transverse, de pulsation ω, de vecteur d’onde−→k , se propage dans le

plasma dans la direction de Oz. Soient−→E et

−→B ses champs electrique et magnetique.

−→E s’ecrit en notation

complexe−→E =

−→E 0exp[i(kz − ωt)].

(a) Quelle est la dimension de τ ?

(b) Montrer qu’en tout point, la densite volumique totale de charge dans le plasma est nulle.

(c) Donner l’equation du mouvement d’un electron en presence de l’onde. A quelle condition peut-onnegliger la force d’origine magnetique devant la force d’origine electrique ? On se place dans la suitedu 1. dans le cadre de cette approximation.

(d) On cherche la solution de l’equation du mouvement en regime permanent sous la forme : −→v =−→v 0exp[i(kz − ωt)]. A quelle condition peut-on ecrire que :

d−→vdt

=∂−→v∂t

(2)

Cette condition est-elle remplie ? En deduire l’expression de −→v en fonction de−→E .

(e) En deduire l’expression de la densite de courant−→j (ω) en fonction de

−→E et celle de la conductivite

σ(ω). Donner l’expression de la conductivite σ0 a frequence nulle.

(f) Etablir l’equation de propagation pour le champ−→E a partir des equations de Maxwell (on tiendra

compte du courant de conduction et du courant de deplacement). En deduire l’equation de dispersionk(ω).

(g) Que se passe-t-il si le frottement devient negligeable ? Dans cette approximation, a quoi correspondentles deux regimes ω < ωp et ω > ωp ?

2. Le plasma est desormais soumis a un champ magnetique exterieur−→B s statique, uniforme, et parallele a

l’axe Oz. On note ωc = eBs/m la pulsation cyclotron des electrons. On etudie la propagation dans lemilieu d’ondes electromagnetiques planes transverses de pulsation ω, de vecteur d’onde

−→k parallele et de

meme sens que−→B s.

(a) Montrer que la vitesse −→v des electrons dans le milieu est solution de l’equation (3) :

md−→vdt

= −e[−→E +−→v ∧

(−→B +

−→B s

)]− m

τ−→v (3)

(b) On continue, dans toute la suite, de negliger la force magnetique −e−→v ∧−→B devant la force electrique

−e−→E exercees par l’onde sur l’electron. Quelles sont les composantes non nulles de

−→E ? En deduire

qu’en regime permanent le mouvement de l’electron a lieu exclusivement dans le plan Oxy.

(c) Projeter l’equation (3) sur Ox et Oy. On pose v± = vx ± ivy et de meme E± = Ex ± iEy. Montrerqu’en regime permanent, on peut ecrire :

v± =−ieE±

m(ω ± ωc + i

τ

) (4)

(d) Donner l’expression des densites de courant j±(ω) puis des conductivites σ±(ω). Quelle differencequalitative peut-on observer dans les expressions de σ+(ω) et de σ−(ω) ? On rappelle qu’une ondedont les composantes (reelles) s’ecrivent : Ex = ReE0exp[i(kz − ωt)] et Ey = ReiE0exp[i(kz − ωt)],avec E0 reel, est une onde polarisee circulaire gauche. En deduire que la reponse du milieu a uneonde circulaire se propageant selon

−→B s est differente selon que sa polarisation est gauche ou droite.

17

(e) Donner, sans la demontrer, l’equation de propagation pour le champ E±. Montrer que l’equation dedispersion peut se mettre sous la forme :

k2± =

(ωc

)2[

1−ω2p

ω(ω ± ωc + i

τ

)] (5)

Que se passe-t-il si ω est tres grand devant ωc ? Dans quelle gamme de frequences l’influence duchamp

−→B s est-elle sensible ?

(f) On suppose desormais que ω ωc et que ωcτ 1.

i. Que devient l’equation de dispersion ?

ii. Quelle condition doit remplir ω pour que 2 ondes circulaires puissent se propager ? On les noteE+ et E− : montrer que E+ n’apparaıt qu’au-dela d’une certaine valeur Bm(ω) de Bs qu’ondeterminera.

iii. Calculer la vitesse de phase vφ et la longueur d’onde λ de l’onde E− (mode siffleur).

iv. Applications numeriques :- Donner l’ordre de grandeur de la vitesse de phase d’un siffleur se propageant dans le sodium

pour lequel ω2p/ωωc

∼= 1018. En deduire la vitesse de groupe vg. Les resultats numeriques vousparaissent-ils justifier les approximations faites plus haut ?

- Donner l’ordre de grandeur de la vitesse de phase d’un siffleur ionospherique pour lequelω2p/ωωc

∼= 104. Quel est l’ordre de grandeur du temps mis par le siffleur pour aller d’un poleterrestre a un autre (le perimetre terrestre vaut 40000 km) ?

VII Duree de vie semi-classique d’un atome excite

1. On modelise un atome excite par un proton fixe et un electron en mouvement rectiligne sinusoıdal z(t) =a cos(ω0t). Exprimer son energie mecanique E en fonction des donnees.

2. Cet atome rayonne une puissance P = µ0p2/6πc. Determiner l’evolution de a(t) supposee a priori lente

par rapport a une periode et definir un temps caracteristique τ . En deduire la longueur de coherence l∗

du paquet d’ondes emis par l’atome. Application numerique pour λ0 = 600 nm et commentaires.

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TD n9

Electromagnetisme et relativite

I Force entre des electrons qui se deplacent cote a cote

Dans le referentiel R, deux electrons M1 et M2 se deplacent cote a cote a vitesse constante v sur deuxdroites paralleles distantes de d. Soit E leur energie cinetique commune et R′ le referentiel dans lequel ils sontimmobiles. Faire les applications numeriques avec d = 1 mm, E = 1 eV et E = 1 MeV.

1. Calculer dans R′ les champs−→E ′ et

−→B ′ crees par M1 sur M2. En deduire la force qui s’exerce sur M2.

Quelle est la force qui s’exerce sur M1 ?

2. Repondre aux memes questions dans R.

II Fil charge

Dans le referentiel R du laboratoire, un fil cylindrique infini d’axe Oz, de section S se deplace a la vitesse−→u = u−→e z. Soit R′ le referentiel propre du fil. Dans R′, le fil est charge uniformement en volume de sorte quesa charge lineique est λ0. Les charges sont immobiles dans R′. On pose β = u/c et γ = (1− β2)−1/2

1. Calculs dans R′.Calculer dans R′, la charge volumique ρ′, la densite de courant

−→j ′, les champs electrique

−→E ′ et magnetique−→

B ′ en un point M situe a la distance D′ de O′z′.

2. Calculs dans R.a) On considere une portion du fil de longueur L’ et de section S′ dans R′. Calculer sa longueur L et sa

section S dans R. En deduire la charge volumique ρ et le vecteur densite de courant−→j dans R. Verifier

que le 4-vecteur−→J = (

−→j , ρc) est un quadrivecteur de Lorentz.

b) Calculer a partir de ρ et−→j les champs electriques

−→E (M) et magnetique

−→B (M) dans R.

3. Transformation des champs.a) Verifier dans ce cas particulier les formules de transformation relativiste du champ electromagnetique.

b) Verifier que−→E .−→B est un invariant de Lorentz.

c) Verifier que E2 −B2c2 est un invariant de Lorentz.

III Particule chargee dans un champ magnetique uniforme

Une particule de charge q, de masse m, est lancee avec la vitesse initiale −→v 0 dans une region ou regne unchamp magnetique constant, uniforme

−→B = B−→e z. Le lagrangien relativiste de la particule est :

L = −mc2√

1− v2/c2 + q−→v .−→A (x, y, z)

ou−→A est un potentiel vecteur de

−→B , v est la norme de la vitesse de la particule. On pose γ = (1− v2/c2)−1/2.

γ depend a priori du temps.

1. Calculer l’impulsion generalisee −→p de la particule et son energie E . E est-elle constante ? En deduire quele mouvement est uniforme et calculer γ.

2. Montrer que les equations du mouvement s’ecrivent :

d

dt(γm−→v ) = q−→v ×

−→B

En comparant a la mecanique non relativiste, decrire la trajectoire de la particule.On suppose dans la suite que −→v 0 est perpendiculaire a

−→B .

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3. La particule rayonne une puissance donnee par la formule d’Abraham :

Pr =q2

6πε0c3γ6

[−→a 2 −

(1c−→v ×−→a

)2]

ou −→a est l’acceleration. Determiner l’energie rayonnee par tour. Etudier le cas d’une particule ultra-relativiste.

4. Etablir l’equation differentielle verifiee par γ(t) en faisant l’approximation qu’a chaque instant la trajectoireest un cercle. En deduire la variation de l’energie E de la particule en fonction du temps. Quelle est lalimite de E quand t tend vers l’infini ? Decrire qualitativement le mouvement de la particule en tenantcompte du rayonnement d’acceleration.

IV Particule chargee dans des champs electrique et magnetique per-pendiculaires

Dans le referentiel R du laboratoire, une particule de charge q, de masse m, est lachee sans vitesse initiale aupoint O dans une region ou regnent un champ electrique constant, uniforme

−→E = E−→e y et un champ magnetique

constant, uniforme−→B = B−→e z avec Bc > E.

Montrer qu’il existe un referentiel R′ en translation uniforme parallele a −→e x ou le champ electrique estnul. Calculer la vitesse −→u de R′ par rapport a R. On pose βe = u/c et γe = (1− β2

e )−1/2. Calculer le champmagnetique

−→B ′ dans R′ et en deduire la trajectoire et le mouvement de la particule dans R′.

V Effet Doppler-Fizeau longitudinal

Un vaisseau spatial s’eloigne de la Terre avec une vitesse constante u. Il emet des impulsions lumineuses tresbreves, periodiques de periode T ′ dans son referentiel propre R′.

1. Calculer la periode T des impulsions observees sur la Terre en fonction de T ′ et u. Conclusion.

2. Un physicien est arrete pour avoir brule un feu rouge. Au tribunal, il pretend qu’il a vu le feu vert. Le juge,diplome en physique requalifie le delit en exces de vitesse et condamne l’accuse a une amende de 1 euro parkm/h au-dessus de la vitesse autorisee de 50 km/h. Quel est le montant de l’amende ? (λvert = 5,3×10−7m,λrouge = 6,5× 10−7m).

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