Formelsammlung Aktive Filter - krucker.ch · ür Technik und Architektur Bern ....

Ausgabe: 27.11.01, G. Krucker

1Filter Anhang A Elektronik

Hochschule für Technik und Architektur Bern

A. Formelsammlung Aktive Filter Tiefpass-Schaltungen Grundglied 1. Ordnung

R

Cu1

u2

1 1(R gegeben) ( )

1

1(C gegeben)

12

12

P C

P C

P P C P C

PP

C C

C G sR RC s

RC

fRC

f RC

ω

ω

ω ω π

ωω π

= =Ω ⋅ ⋅ + ⋅

=Ω ⋅ ⋅

= Ω ⋅ = Ω ⋅ ⋅ =

Ω = =⋅ ⋅

Abgleich: R → ωP

R C

u1 u2

Sallen-Key Tiefpass 2.Ordnung (Einfach-Mitkopplung, SK) (Einsetzbar für QP < 20)

R1

C4u1

u2

C2R3

R6R5

( )( )

( )( )( )

( )( )( )

ω

ω

ω

+ −< ≠ −

− + −= ⋅

Ω − −

=Ω

± − + −=

Ω

∓

2 4 0

22 0

4 4 2 02

2 22 2 2 4 2 0

12 4 2 0

23 2 4

2 22 2 2 4 2 0

32 4

, , :

1 4 1( 1) (Bedingungen)

4

4 11(nur pos. reelle Lsg. verwenden)

2 ( 1)

1

4 11(nur pos. r

2

P

P

P

C P P

C P

P

C P P

C C A vorgegeben

C Q AC C C A

Q

C C Q C C C AR

Q C C C A

R C C

C C Q C C C AR

Q C C

( )

( ) ( )

ω

ω

=Ω

= = −+ + −

Ω =

21 2 4

1 3 2 4P 6 5 0

4 1 3 1 2 0

1 3 2 4

eelle Lsg. verwenden)

1

Q 1(1 )

1

C P

P

C

R C C

R R C CR R A

C R R R C A

R R C C

Abgleich: R1 → ωP , R4 →QP

( )=

+ + + − +

= +

02

1 4 3 4 0 1 2 1 3 2 4

60

5

( )1 1

1

AG s

R C R C A R C s R R C C s

RA

R

krucker

Notiz

Beispiele zur Verwendung:Siehe Skript Elektronik II, Kapitel 3.




Spezialfall A0=1: (Einsetzbar für QP <5 und ωP<0.05ωT/QP)

R1

C4u1

u2

C2R3

Dimensionierung mit Vorgabe der Kondensatoren (Regelfall):

( )

ω ω

ω ω

ωωπ π π

<

± − ⋅ ⋅= =

⋅ ⋅ ⋅Ω ⋅ ⋅ ⋅ ⋅Ω ⋅

− ⋅ ⋅= =

⋅ ⋅ ⋅Ω ⋅ ⋅ ⋅ ⋅Ω ⋅

Ω ⋅= = = Ω ⋅ =⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅= =+

∓

4

24 2

2 22 2 2 4

1 2 22 4 3 2 4

2 22 2 2 4

3 2 22 4 1 2 4

1 3 2 4

1 3 202

1 3 4

:

( )4

4 12

4 12

12 2 2

( 1)

P

P

P P C P C

P

P P C P C

P CPP P C P

P

Wahl C

CC Bedingung

Q

C C Q C CR

C C Q R C C

C C Q C CR

C C Q R C C

f f fR R C C

R R CQ A

R R C

Abgleich: R1 → ωP , C2 →QP

( ) 21 3 4 1 3 2 4

1( )

1G s

R R C s R R C C s=

+ + +




Dimensionierung mit Vorgabe der Widerstände: Man wählt 1 3R R R= = .

R1

C4u1

u2

C2R3

1 3

24 2 4

2

42 4

:

214

2

1 122

PP

P P C P C

P P C P

Wahl R R R

QC C Q C

R Q R

Cf f Q

CR C C

ω ω

π

= =

= = = ⋅⋅ ⋅Ω ⋅ ⋅Ω ⋅

= Ω ⋅ = =⋅

Abgleich: R1 → ωP , C2 →QP Tiefpass 2. Ordnung mit Mehrfach-Gegenkopplung (MGK) (Einsetzbar für QP < 10)

R1

C3u1

u2

C5

R4

R2


( )( )

( )( )

ω ω

ω ωωω

π π π

≥ −

± − −= =

Ω Ω

− −−= = =Ω − −Ω

Ω ⋅= = = Ω ⋅ =

=+ +

∓

5

23 0 5

2 23 3 3 5 0

2 2 23 5 4 3 5

2 23 3 3 5 0 2

4 12 23 5 0 02 3 5

2 4 3 5

1 2 4 3 5

5 1 2 1 4

:

4 1 ( )

4 11 12

4 11 12 1

12 2 2

P

P

P C P P C

P

P C P P C

P CPP P C P

P

Wahl C

C Q A C Bedingung

C C C C A QR

Q C C R C C

C C C C A Q RR R

Q C C A AR C C

f f fR R C C

R R R C CQ

C R R R R( )−= 2

02 4 1

RA

R R R

Abgleich: R4 → ωP , R1 →QP (Gute Ableichmöglichkeit da, nur Widerstände verändert werden müssen)

2 24 2 4

1( )

1 2G s

RC s R C C s=

+ +

20

1

0

22 42 4 5 2 4 3 5

1

( )

1

RA

R

AG s

R RR R C s R R C C s

R

−=

=

+ + + ⋅ +




Dimensionierung mit Vorgabe der Widerstände: Man wählt 1 2 4R R R R= = = .

R

C3u1

u2

C5

R

R

25 3 5

3 5

30

5

:

319

3

12 2 2

11

3

PP

P P C P C

P CPP P C P

P

Wahl R

QC C Q C

R Q R

f f fR C C

CQ A

C

ω ωωω

π π π

= = = ⋅⋅ ⋅Ω ⋅ ⋅Ω ⋅

Ω ⋅= = = Ω ⋅ =⋅

= = −

Abgleich: wie bei Vorgabe der Kondensatoren

2 25 3 5

1( )

1 3G s

RC s R C C s−=

+ ⋅ +




Hochpass-Schaltungen Grundglied 1. Ordnung

RCu1

u2

1(R gegeben) ( )

1

1(C gegeben)

12

12

P C

P C

P P C P C

PP

C C

R C sC G s

R R C s

RC

fRC

f RC

ω

ω

ω ω π

ωω π

⋅ ⋅= =Ω ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

=Ω ⋅ ⋅

= Ω ⋅ = Ω ⋅ ⋅ =

Ω = =⋅ ⋅

Abgleich: R → ωP Sallen-Key Hochpass 2.Ordnung (Einfach-Mitkopplung, SK) (Einsetzbar für QP < 20)

C1

R4u1

u2

R2C3

R6R5

( )( )( )( )

( )( )( )

( )

( )

1 3 5

2 21 1 1 1 3

21 3 1

2 21 1 1 1 3

41 3

22 1 3

2 4 1 3P

2 1 3 4 3

, ,


2


2 (1 )

1

Q

P

C P P

P

C P P

C P

C C R vorgegeben

C C Q C C C AR

Q C C C

C C Q C C C AR

Q C C A

R C C

R R C C

R C C R C

ω

ω

ω

∞

∞

∞

± + + −=

Ω +

+ + −= ⋅

Ω −

=Ω

=+ +

∓

( )6 5

2 4 1 3

1(1 )

1P

C

R R AA

R R C Cω

∞∞

= −−

Ω =

Abgleich: R2 → ωP , R6 →QP Spezialfall A∝ =1: (Einsetzbar für QP <5 und ωP<0.05ωT/QP)

C1

R4u1

u2

R2C3

Abgleich: C1 → ωP , R2 →QP Dimensionierung mit Vorgabe der Kondensatoren (Regelfall):

( ) ( )

6

5

22 4 1 3

22 1 3 4 3 2 4 1 3

1

( )1 1

RA

R

A R R C C sG s

R C C A R C s R R C C s

∞

∞

∞

= +

=+ + + − +

( )2

2 4 1 32

2 1 3 2 4 1 3

( )1

R R C C sG s

R C C s R R C C s=

+ + +




( )( )

( )

ω ω

ωπ π π

∞

+= =

Ω + Ω

Ω= = = Ω ⋅ =

= =+

1 3

1 32 4

1 3 1 3

2 4 1 3

2 4 1 3

1 3 2

: ,

1

12 2 2

( 1)

PH

C PH PH PH C

P PP P C P

P

Wahl C C

Q C CR R

Q C C C C

f f fR R C C

R R C CQ A

C C R

Abgleich: C1 → ωP , R1 →QP

Dimensionierung mit Vorgabe der Widerstände: Macht keinen Sinn.




Hochpass 2. Ordnung mit Mehrfach-Gegenkopplung (MGK)

C1

R3u1

u2

R5

C4

C2


( )( )( )( )

( ) ( )

ω

ω

π

∞∞

∞

∞

= =−− +

− +=

= = =− + + +

2 4

23 1

2 4

2 45

2 4

3 5 2 4 3 5 2 4

3 2 3 4 3 1 2 4 3 5 2 4

, :

11

1

11 2

P P

P

P

P P

C C vorgegeben

CR C

AQ C A C

Q C A CR

C C

R R C C R R C CQ f

R C A R C R C C C R R C C

1 2 4

23 5 3

3 5

3 5

3

:

319

3

12 2 2

13

PHPH

PH PH C PH C

P CPP P C P

P

Wahl C C C C

QR R Q R

Q C C

f f fC R R

R RQ A

R

ω ωωω

π π π

∞

= = =

= = = ⋅Ω ⋅ ⋅ ⋅ Ω ⋅ ⋅

Ω ⋅= = = Ω ⋅ =

= = −

Abgleich: R3 → ωP , C1 →QP

Dimensionierung mit Vorgabe der Widerstände: Macht keinen Sinn.

( )2

3 5 1 42

3 1 2 4 3 5 2 4

( )1

R R C C sG s

R C C C s R R C C s−=

+ + + +




Bandpass Schaltungen Bandpass nach Sallen-Key

R1 C4u1

u2

C3

R2

R7R6

R5

Bedingung: AM>1

( ) ( ) ( )( )( )( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( )

13

2 23 3 3 3 4

23 3 4

2 2 23 3 3 3 4 3 4

52 2

4 3 3 3 3 4

1 2 5 3 4 1 2

1 2 3 4 1 5 4

1 1 2 4 112

1 1 2 4 1 2

1 1 2 4 1

1

PP M PB

P

M M M P M

P P

M M M P M P

P P M M M P M

PM

QR

C

C A C C A A Q C C AR

Q C C C

C A C C A A Q C C A Q C CR

Q C C A C C A A Q C C A

R R R C C R RQ

R R C C R R C A R

ω ωω

ω

ω

= = Ω

− + − + + + −=

+

− + − + + + − + +=

− + − + + + −

+=

+ + − + 2 5 4

1 2

1 2 5 3 4

P

M

R C

R R

R R R C Cω+

Ω =

Bandpass mit Mehrfach-Gegenkopplung (MGK)

R1

R3u1

u2

R5

C4

C2

( )1 3 22 2 4 2

2 45

2 4

( )

( )

PB PB

PB M PB PB M

PB

PB

Q QR R

A C Q C C C A

Q C CR

C C

ω ω

ω

−= =+ +

+=

( )( )

5 1 3 2 41 32

1 3 5 2 4 1 3 2 4

1P P

M

R R R C CR RQ

R R R C C R R C Cω++Ω = =

+

Vereinfachte Dimensionierung für Wahl C2=C4=C:

( )

3 54

1 3

21 3 1 3 52 4 2 4

1 3 1 3

( )1

R RC s

R RG s

R R R R RC C s C C s

R R R R

−+=

+ + ++ +

( ) ( )

2 54

1 2

1 5 4 1 2 3 4 2 5 4 21 25 3 4

1 2 1 2

7

6

( )1

1

1

M

M

M

R RC A s

R RG s

R R C A R R C C R R C R Rs R C C s

R R R R

RA

R

⋅+=

− + + ++ ⋅ + ⋅

+ +

= +




( )

( )

1 3 2

5

53

1 5

5 1 3 1 3

1 3 1 3 5

2

2

22

1 12

PB PB

PB M M PB M PB M

PB

PB M

M dB

PB PBM

Q QR R

C A C Q A

QR

C

RA

R R C

R R R R RQ

R R C R R R

ω ω

ω

ω

ω

= =Ω Ω −

=Ω ⋅−= ∆ =

+ += Ω =

Abgleich: C4 → ωP , R5 →QP

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