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CHAPITRE 2

Formalisme des processus alatoires

2.1 - Signal dterministe et signal alatoire

2.1.1 - Signal dterministe

Les signaux dterministes sont connus par leur reprsentation temporelle etspectrale.

Dans le domaine temporel, un signal dterministe est un signal dont on peutdterminer la valeur l'instant t + , par la connaissance de sa valeur l'instant t .

Dans le domaine spectral, le spectre du signal permet par exemple, de donnerune indication sur l'nergie contenue dans le signal en fonction de la frquence.

Les signaux dterministes simples sont gnralement caractriss par un petitnombre de paramtres. Par exemple, un signal continu est totalement dtermin sil'on connat son amplitude. Un signal sinusodal est compltement dtermin sil'on connat son amplitude, sa frquence et sa phase l'origine.

2.1.2 - Signal alatoire

Par opposition aux signaux dterministes, le bruit est un signal alatoire, c'est dire que les signaux de bruit sont lis au hasard. Le bruit sera donc modlispar des fonctions alatoires et trait par les lois de la thorie des probabilits,aussi bien dans le domaine temporel (distribution en amplitude) que dans ledomaine spectral (densits spectrales).

Un signal alatoire ne peut pas tre compltement dtermin par un nombrefini de paramtres. Nous montrerons cependant que pour la plupart des signauxalatoires d'origine physique, une connaissance des proprits moyennes du signalest plus utile qu'une description exacte et dtaille de sa variation en fonction dutemps.

Nous verrons plus tard, que le bruit est un processus alatoire, souventconsidr comme stationnaire et ergodique et de valeur moyenne nulle.

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2.2 - Variables et fonctions alatoiresLes processus alatoires sont dcrits par des variables alatoires.

Gnralement, en lectronique, ces variables alatoires dpendent du temps. Onparle alors de fonctions alatoires. Lorsque le temps est chantillonn, lafonction alatoire s'exprime comme un systme de n variables alatoires, pouvantprsenter des critres de dpendance stochastique. Les variables alatoires ou lesfonctions alatoires peuvenr tre relles ou complexes.

Dans la plupart des cas, la connaissance des proprits moyennes d'un signalalatoire est plus utile et surtout plus accessible que la connaissance exacte de savariation en fonction du temps.

2.2.1 - Moyennes

On peut dfinir deux types de moyennes : la moyenne spatiale ; la moyenne temporelle.

Prenons pour variable alatoire ( )X t1 , la variation de tension du rseau dedistribution basse tension EDF, par rapport la tension nominale en un pointd'une ville. En N points diffrents de la ville, nous pouvons considrer desvariations ( ) ( ) ( )X t X t X tN2 3, , ... . Il est donc possible d'observer aux mmesinstants, diffrentes variables alatoires se reportant au mme processus alatoire.

La moyenne spatiale ou moyenne d'ensemble est dfinie par :

( ) ( )m tN

X tXN

ii

i N

01

0

1= ==lim (2.1)

On obtient ainsi une fonction qui varie avec le temps.

Pour la gestion du rseau, il est souvent plus utile de disposer de la variationde tension du rseau en un point donn de la ville, mais en fonction du temps. Ilest alors possible de dfinir la moyenne temporelle.

La moyenne temporelle d'un processus alatoire continu, est donne par :

( ) = +

X T X t ti T itt T

lim . .

1

0

0

d (2.2)

En principe, on peut obtenir une bonne estimation de la moyenne spatiale avecun grand nombre de points d'observation N , et une bonne estimation de lamoyenne temporelle avec une grande dure d'observation T .

Les moyennes spatiales ou temporelles sont souvent appeles moments dupremier ordre

Variables et fonctions alatoires 13

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2.2.2 - Variance, cart type et valeur efficace

La variance d'un ensemble de variables alatoires est dfinie comme unemoyenne spatiale :

( ) ( ) ( )[ ]var limX tN

X t m tN

i Xi

i N

0 0 0

2

1

1= == (2.3)

La variance reprsente la moyenne quadratique de l'cart la moyenne desvariables alatoires considres.

On note galement :

( )var X t X0 2= (2.4) : est l'cart type.

La valeur efficace de la variable ( )X ti 0 , est dfinie par une moyennetemporelle :

( )[ ]X XT

X t ti eff i T it

t T2 2 21

0

0

= = +

lim .

d (2.5)

Les relations (2.5) montre que la valeur efficace est gale la racine carre dela moyenne temporelle du carr du signal, que l'on appelle galement, valeurquadratique moyenne ou moment du deuxime ordre

2.3 - Proprits des variables alatoires temporelles

2.3.1 - Indpendance ou incohrence

Deux variables alatoires temporelles X Y et , sont indpendantes si lamoyenne temporelle de leur produit est gale au produit de leurs moyennestemporelles :

= X Y X Y. . (2.6)

2.3.2 - Stationnarit

Un processus alatoire est stationnaire si ses proprits statistiquesd'ensemble ne dpendent pas de l'instant choisi. La stationnarit au premierordre se traduit au niveau des moyennes par :

( ) ( ) ( ) = = : t t t m t m t m ti X X X i1 2 1 2, ,... ... (2.7)La stationnarit au deuxime ordre se traduit au niveau des variances par :

( ) ( ) ( ) = = : t t t X t X t X ti i1 2 1 2, ,... var var ...var (2.8)

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La stationnarit stricte est difficile vrifier. Par contre il est possible deconsidrer qu'un phnomne est stationnaire si ses proprits statistiquesd'ensemble ne dpendent pas de l'instant choisi sur un intervalle de temps granddevant celui du processus.

2.3.3 - Ergodisme

Un processus alatoire est ergodique, si les moyennes d'ensemble et lesmoyennes temporelles sont identiques :

( ) ( ) = ==

+ et lim dt k N X t T X t tN iii N

Tk

t

t T

0 01

1 1

0

0

, lim .

(2.9)

Remarquons que l'ergodisme implique la stationnarit.

A partir d'une observation instantane sur un grand nombre d'chantillons d'unprocessus ergodique, il est possible de faire des prdictions sur l'volution tempo-relle de ce processus.

Dans le cas d'un processus ergodique, nous pouvons confondre les moyennesd'ensemble et les moyennes temporelles.

2.3.3.1 - Relation entre valeur efficace et variance d'un processus ergodique

Sur un nombre d'chantillons relativement grand, la variance de la variablealatoire temporelle ( )X t , stationnaire et ergodique s'crit sous la forme :

( ) Xi

i N

NX X2

2

1

1= =

= (2.10)Dveloppons la relation (2.10) :

Xi

i N

i

i N

i

i N

NX X

NX

NX2 2

1 1

2

1

12

1 1= + =

=

=

=

=

= . . (2.11)En considrant les relations (2.5), (2.1) et (2.9), nous obtenons :

X eff XX X X m2 2 2 2 2= = (2.12)

2.3.3.2 - Addition de deux processus indpendants ergodiques

Considrons deux processus alatoires indpendants ergodiques X Y et , devaleurs moyennes nulles :

= =X Y 0 (2.13) = =X Y X Y. . 0 (2.14)

Proprits des variables alatoires temporelles 15

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L'addition de ces deux processus conduit :

Z X Y= + (2.15)C'est dire :

Z X Y X Y2 2 2 2= + + . . (2.16)La valeur efficace, dfinie comme la valeur quadratique moyenne, conduit :

= + Z X Y2 2 2 (2.17)Z X Yeff eff eff

2 2 2= + (2.18)

2.4 - Distribution d'amplitude

2.4.1 - Fonction de rpartition ou fonction de distribution

La fonction de rpartition traduit la probabilit F x( ) qu'a l'amplitudeinstantane X t( ) d'un signal d'tre infrieure une valeur de rfrence x donne :

F x X x( ) = Prob < (2.19)

2.4.2 - Densit de probabilit

Dans bon nombre de phnomnes physiques, la probabilit de trouver lavariable X t( ) infrieure x est une quantit infinitsimale. Pour cette raison, onprfre lui associer la notion de densit de probabilit dfinie comme la drivede la fonction de rpartition par rapport x :

f xF x

x( )

( )= dd

(2.20)

La densit de probabilit caractrise la distribution d'amplitude en position eten dispersion, mais elle ne donne aucune indication sur la rapidit des sesvariations temporelles.

La densit de probabilit obit une condition de normalisation :

f x x( ).d =

+

1 (2.21)

16 Formalisme des processus alatoires

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xx

F(x)

f(x)

0

1

0

xx 0Fig. 2.1 - Exemple de fonction de distribution et densit spectrale associe.

2.4.3 - Moments

Nous pouvons dfinir les diffrents moments partir de la densit de proba-bilit.

2.4.3.1 - Moment du premier ordre ou valeur moyenne

La valeur moyenne ou moment du premier ordre ou encore esprancemathmatique d'une variable alatoire X est dfinie par :

[ ] = = =

+

X X X x f x xE d. ( ). (2.22)

2.4.3.2 - Moment du deuxime ordre ou moyenne quadratique

Le moment du deuxime ordre est dfini par :

[ ] = = =

+

X X X x f x x2 2 2 2E d. ( ). (2.23)

2.4.3.3 - Moment d'ordre n

La gnralisation des relations prcdentes conduit :

[ ] = = =

+

X X X x f x xn n n nE d. ( ). (2.24)

Covariance et fonction d'autocorrlation 17

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2.5 - Covariance et fonction d'autocorrlation

2.5.1 - Covariance

2.5.1.1 - Dfinition

Considrons une fonction alatoire ( )X t et la valeur de deux chantillons( )X t1 et ( )2X t , aux instants 1 2 et t t .La covariance est dfinie par :

( ) ( ) ( )1 2 1 2, E .XXC t t X t X t= (2.25)Introduisons le dcalage entre les instants d'observation :

2 1t t = (2.26)La covariance s'exprime alors par :

( ) ( ) ( )1 1 1, E .XXC t X t X t = + (2.27)Considrons maintenant le cas o la fonction alatoire ( )X t est complexe,

c'est dire qu'elle peut s'crire sous la forme :

( ) ( ) ( )X t A t B t= + j. (2.28) ( ) ( ) et A t B t : sont des fonctions alatoires relles.

Dans ce cas, la covariance s'exprime sous la forme :

( ) ( ) ( )1 1 1, E .XXC t X t X t = + (2.29) X : est le complexe conjugu de la fonction alatoire X .

2.5.1.2 - Proprits

Si le dcalage entre les instants d'observation s'accrot indfiniment, lesvaleurs des deux chantillons deviennent indpendantes. La relation (2.27) serduit au produit des esprances mathmatiques :

( ) ( )[ ] ( )[ ]lim , . = +C t X t X tXX 1 1 1 E E (2.30)Lorsque l'cart de temps entre les deux observations diminue, la covariance

atteint sa valeur maximum. C'est ainsi que :

( ) ( )C t C tXX XX1 10, , > (2.31)2.5.2 - Fonction d'autocorrlation

2.5.2.1 - Dfinition

La fonction d'autocorrlation est la covariance d'une fonction alatoire station-naire au deuxime ordre :

18 Formalisme des processus alatoires

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C X t X tXX ( ) ( ). ( ) = +E (2.32)En tenant compte de la relation (2.2) :

CT

X t X t tXXT

t

t T

( ) lim . ( ). ( ). = ++

1

0

0

d (2.33)

Dans le cas d'une fonction alatoire complexe, la fonction d'autocorrlationse dduit de la relation (2.29) :

( ) E ( ). ( )XXC X t X t = + (2.34)

2.5.2.2 - Proprits

Lorsque = 0, les relations (2.32) et (2.5) conduisent :( )[ ]C X t X XXX eff( ) ( )0 2 2 2= = =E (2.35)

En raison de la stationnarit au deuxime ordre, la fonction d'autocorrlationest paire. En remplaant dans la relation (2.32), ( )t t par , nous obtenons :

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]E E EX t X t X t X t X t X t. . .+ = = (2.36)Soit :

( ) ( )C CXX XX = (2.37)Compte tenu de la relation (2.28), et dans la cas d'un processus ergodique,

nous avons :

( ) ( )[ ]( )lim = =C X t mXX XE 2 2 (2.38)( )[ ]C X t X X mXX eff X X( ) ( )0 2 2 2 2 2= = = = +E (2.39)

CXX( )

2 + m XX 2

mX2

0

Fig. 2.2 - Fonction d'autocorrlation d'un processus stationnaire et ergodique.

Bibliographie 19

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2.6 - Fonctions d'intercorrlation

2.6.1 - Dfinition

La liaison entre deux fonctions alatoires stationnaires X t Y t( ) ( ) et estcaractrise par les fonctions d'intercorrlation dfinies par :

C X t Y tXY ( ) ( ). ( ) = +E (2.40)C Y t X tYX ( ) ( ). ( ) = +E (2.41)

En tenant compte de la relation (2.33), nous avons :

CT

X t Y t tXYT

t

t T

( ) lim . ( ). ( ). = ++

1

0

0

d (2.42)

2.6.2 - Proprits

( ) ( )C CXY YX = (2.43)( ) ( )C CXY XY (2.44)

Bibliographie

[1] B. PICINBONO, Introduction l'tude des signaux et phnomnes alatoires Ed. Dunod,Paris, 1971.

[2] B. DEMOULIN, Processus alatoires Les techniques de l'ingnieur, R210, p. 1-23.

[3] B. DEMOULIN, Fonctions alatoires Les techniques de l'ingnieur, R220, p. 1-16.

2.1 - Signal dterministe et signal alatoire2.1.1 - Signal dterministe2.1.2 - Signal alatoire

2.2 - Variables et fonctions alatoires2.2.1 - Moyennes2.2.2 - Variance, cart type et valeur efficace

2.3 - Proprits des variables alatoires tempo2.3.1 - Indpendance ou incohrence2.3.2 - Stationnarit2.3.3 - Ergodisme2.3.3.1 - Relation entre valeur efficace et variance d'un processus ergodique2.3.3.2 - Addition de deux processus indpendant

2.4 - Distribution d'amplitude2.4.1 - Fonction de rpartition ou fonction de d2.4.2 - Densit de probabilit2.4.3 - Moments2.4.3.1 - Moment du premier ordre ou valeur moyenne2.4.3.2 - Moment du deuxime ordre ou moyenne qu2.4.3.3 - Moment d'ordre n

2.5 - Covariance et fonction d'autocorrlation2.5.1 - Covariance2.5.1.1 - Dfinition2.5.1.2 - Proprits

2.5.2 - Fonction d'autocorrlation2.5.2.1 - Dfinition2.5.2.2 - Proprits

2.6 - Fonctions d'intercorrlation2.6.1 - Dfinition2.6.2 - Proprits

Bibliographie