Διανυσματικός λογισμός

Διανυσματικός λογισμός

19

Διανυσματικός λογισμόςΔιανυσματικές πράξεις και καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων

Rene Descartes

1596 - 1650

Γάλλος φιλόσοφος και μαθηματικός . Γεννήθηκε στην πόλη Τουρέν και σπούδασε έως το 1612 στο κολέγιο των ιησουιτών Λα Φλές. Από την οικογένειά του προορίζονταν για το στρατιωτικό επάγγελμα γι΄αυτό στρατεύτηκε στην υπηρεσία του ηγεμόνα του Νασσάου και του εκλέκτορα της Βαυαρίας. Ταξίδεψε στην Ολλανδία , Γερμανία Βοημία και Ουγγαρία.

Αργότερα εγκατέλειψε την στρατιωτική ζωή , εγκαταστάθηκε στο Παρίσι και μετά στην Ολλανδία , όπου το φιλελεύθερο περιβάλλον ευνοούσε τις μελέτες.

Το 1637 δημοσίευσε το έργο του «Λόγος περί μεθόδου» , το 1641 δημοσίευσε στα λατινικά τους «στοχασμούς» , που προκάλεσαν σειρά κριτικών και το 1644 δημοσίευσε επίσης στα λατινικά τις «Αρχές Φιλοσοφίας».

Το 1649 παρέδωσε για δημοσίευση την «Διατριβή για τα πάθη της ψυχής» και κατόπιν πήγε , ύστερα από πρόσκληση της βασίλισσας Χριστίνας , στην Σουηδία , όπου τον άλλο χρόνο πέθανε στην Στοκχόλμη.

Ανήσυχο πνεύμα ( σε αυτόν οφείλουμε την περίφημη φράση «σκέφτομαι άρα υπάρχω» ) προσπάθησε να εξορθολογήσει ακόμα και θέματα που έχουν σχέση με τον Θεό. Δώρισε στην ανθρωπότητα την επαναστατική σύλληψη του συστήματος συντεταγμένων, ανοίγοντας τον δρόμο για ένα ολόκληρο κλάδο των μαθηματικών , την αναλυτική γεωμετρία , με την οποία λύνουμε γεωμετρικά προβλήματα με την βοήθεια της άλγεβρας.

Ε ι σ α γ ω γ ή

Η έννοια του διανύσματος είναι γνωστή από την Φυσική. Τα διάφορα μεγέθη χωρίζονται σε δύο κατηγορίες : τα μονόμετρα και τα διανυσματικά.

Τα μονόμετρα μεγέθη είναι αυτά που με μία αριθμητική τιμή περιγράφουμε ακριβώς την κατάσταση. Για παράδειγμα μονόμετρο μέγεθος είναι η θερμοκρασία. Όταν λέμε «η θερμοκρασία του δωματίου είναι 25 0C» περιγράφουμε ακριβώς την θερμοκρασία.

Υπάρχουν όμως μεγέθη που δεν αρκεί μια αριθμητική τιμή για να περιγράψει το μέγεθος. Αν για παράδειγμα πω : «κινούμαι στην εθνική οδό Αθήνας – Θεσσαλονίκης με ταχύτητα 120 Km/h» περιγράφω ακριβώς το μέγεθος ; Όχι γιατί μπορεί να περιγράφω πόσο γρήγορα κινούμαι , αλλά δεν διευκρινίζω αν κινούμαι από Αθήνα προς Θεσσαλονίκη ή αντίστροφα. Η ταχύτητα είναι ένα τυπικό παράδειγμα διανυσματικού μεγέθους , που εκτός από μια αριθμητική τιμή (μέτρο) πρέπει να καθορίσω και την διεύθυνση και φορά (κατεύθυνση).

Ο διανυσματικός λογισμός εξετάζει λοιπόν την έννοια του διανύσματος με αφαιρετικό τρόπο (χωρίς δηλαδή να μας ενδιαφέρει αν εκφράζει ταχύτητα, δύναμη ή οτιδήποτε άλλο). Στις σελίδες που ακολουθούν θα ξετυλίξουμε από την αρχή την μελέτη των διανυσμάτων και θα διαπιστώσουμε ότι το σύνολο των γνώσεων και εμπειριών που έχουμε αποκομίσει για τα διανύσματα από την Φυσική δεν είναι παρά κάποια κομμάτια και εφαρμογές μιας γενικότερης μαθηματικής θεωρίας που στεγάζεται κάτω από τον τίτλο «Διανυσματικός Λογισμός»

Ορισμοί και βασικές έννοιες

1 Ορισμός – συμβολισμοί – χαρακτηριστικά διανύσματος

· Ορισμός διανύσματος

Διάνυσμα ονομάζουμε ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα. Είναι δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο έχουμε το ένα άκρο ως αρχή και το άλλο ως τέλος ( ή πέρας)

· Συμβολισμοί

Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε ότι στο ευθύγραμμο τμήμα σημειώνουμε το άκρο , που ορίζουμε ως τέλος με ένα βέλος. Το διάνυσμα συμβολίζεται : . Εάν θέλαμε στο ίδιο ευθύγραμμο τμήμα να ορίσουμε ως τέλος το Α θα γράφαμε : , δηλαδή πάντα στον συμβολισμό του διανύσματος το πρώτο γράμμα δηλώνει την αρχή και το δεύτερο γράμμα το τέλος. Ένας άλλος τρόπος να γράψουμε ένα διάνυσμα ( αν δεν μας ενδιαφέρουν τα άκρα ) είναι με ένα μικρό γράμμα : π.χ .

Σημείωση : από τον ορισμό φαίνεται ότι η διαφορά μεταξύ διανύσματος και ευθυγράμμου τμήματος είναι πολύ μικρή. Καθώς αναπτύσσουμε την υπόλοιπη θεωρία θα βλέπουμε συνεχώς ότι το διάνυσμα διαφέρει αρκετά από το απλό ευθύγραμμο τμήμα. Από την αρχή λοιπόν φροντίστε να μην παραλείπετε το … βελάκι πάνω από το ΑΒ ή το v. Είναι θέμα ουσίας και όχι τύπου.

· Τα χαρακτηριστικά του διανύσματος

Σε ένα διάνυσμα ξεχωρίζουμε τα παρακάτω χαρακτηριστικά :

Α) Μέτρο διανύσματος

Είναι το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος. Συμβολίζεται ή και επειδή εκφράζει μήκος προφανώς ισχύει : .

Β) Διεύθυνση (ή φορέας) διανύσματος

Είναι η μοναδική ευθεία που διέρχεται από τα άκρα του διανύσματος.

Ας δούμε δύο ορισμούς :

· Διάνυσμα παράλληλο σε ευθεία :

Ένα διάνυσμα είναι παράλληλο σε μια ευθεία ε αν και μόνο αν ο φορέας του διανύσματος είναι παράλληλος με την ευθεία ε ή συμπίπτει με την ευθεία ε.

Τότε γράφουμε :

· Παράλληλα ή συγγραμμικά διανύσματα :

Δύο διανύσματα και λέγονται παράλληλα αν και μόνο αν οι φορείς τους είναι παράλληλες ευθείες ή συμπίπτουν.

Τότε γράφουμε : .

Παράδειγμα :

Στο διπλανό σχήμα οι ευθείες ε (φορέας των ) και ζ (φορέας των ) είναι παράλληλες. Σύμφωνα λοιπόν με τους παραπάνω ορισμούς ισχύει ότι τα διανύσματα είναι παράλληλα (ή συγγραμμικά) και επίσης όλα τα παραπάνω διανύσματα είναι παράλληλα και στην ευθεία ε και στην ευθεία ζ.

Γ) Φορά διανύσματος (έχει νόημα μόνο σε παράλληλα διανύσματα)

Στο σχήμα 2 παρατηρούμε ότι και επίσης , αλλά όμως τα διανύσματα «πάνε προς την ίδια μεριά» , ενώ τα διανύσματα «πάνε σε αντίθετες μεριές». Αυτή ακριβώς η διάκριση σε διανύσματα που είναι παράλληλα περιγράφει την έννοια της φοράς. Συγκεκριμένα :

· Ομόρροπα διανύσματα :

Δύο παράλληλα διανύσματα λέγονται ομόρροπα όταν έχοντας παράλληλους φορείς η ευθεία που διέρχεται από τις αρχές των διανυσμάτων αφήνει στο ίδιο ημιεπίπεδο τα τέλη τους ή έχοντας τον ίδιο φορέα η ημιευθεία που ορίζεται από το ένα διάνυσμα περιέχει την ημιευθεία που ορίζεται από το άλλο. Τότε γράφουμε : .

· Αντίρροπα διανύσματα

Δύο παράλληλα διανύσματα λέγονται αντίρροπα όταν δεν είναι ομόρροπα και τότε γράφουμε : .

Παράδειγμα :

Αναφερόμενοι στο σχήμα 2 έχουμε : , , .

Επισημάνσεις :

1) Η διεύθυνση και η φορά ενός διανύσματος λέγεται κατεύθυνση.

2) Αν και τότε ισχύει .

3) Αν και τότε ισχύει

4) Αν και τότε ισχύει .

2 Μηδενικό διάνυσμα – Μοναδιαίο διάνυσμα

· Μοναδιαίο διάνυσμα λέγεται το διάνυσμα που έχει μέτρο ίσο με την μονάδα μέτρησης και σημειώνουμε

· Μηδενικό διάνυσμα λέγεται το διάνυσμα του οποίου η αρχή και το τέλος συμπίπτουν. Συμβολίζεται : .

Για το μηδενικό διάνυσμα επισημαίνουμε τα εξής :

·

· Το μηδενικό διάνυσμα έχει άπειρους φορείς , συνεπώς το θεωρούμε ομόρροπο με οποιοδήποτε διάνυσμα .

·

· Γενικά ισχύει επομένως .

3 Ίσα διανύσματα– Αντίθετα διανύσματα

· Ίσα διανύσματα λέγονται τα διανύσματα που έχουν ίσα μέτρα , ίδια διεύθυνση και ίδια φορά. Δηλαδή :

· Αντίθετα διανύσματα λέγονται τα διανύσματα που έχουν ίσα μέτρα , ίδια διεύθυνση , αλλά αντίθετη φορά. Το αντίθετο του διανύσματος συμβολίζεται : . Δηλαδή :

Επισημάνσεις :

1) Είναι σημαντικό να μην ξεχνάμε ότι η ισότητα διανυσμάτων δεν σημαίνει μόνο ίσα μέτρα. Όταν βλέπουμε το «=» ανάμεσα σε δυο διανύσματα μην ξεχνάμε ότι η ισότητα περιέχει και την πληροφορία της παραλληλίας.

2) Άμεση συνέπεια της παραπάνω επισήμανσης είναι ότι η ισότητα

διανυσμάτων ορίζει παραλληλόγραμμο και αντίστροφα.

Δηλαδή :

3) Τα αντίθετα διανύσματα είναι πάντα αντίρροπα , όμως τα αντίρροπα δεν είναι απαραίτητα αντίθετα.

4) Για τα αντίθετα διανύσματα ισχύουν και

Παράδειγμα :

Το διπλανό σχήμα είναι ένα τετράγωνο.

( τα διανύσματα είναι ίσα)

( τα διανύσματα είναι αντίθετα)Οι διαγώνιοι του τετραγώνου είναι ίσες , αλλά τα δεν είναι ίσα , γιατί δεν είναι παράλληλα . Ισχύει : , αλλά .

4 Προσδιορισμός θέσης σημείου με την βοήθεια ενός διανύσματος

Ακολουθεί ένα πρόβλημα , το οποίο είναι χρήσιμο για δυο λόγους : από την μια θα δούμε την διαφορά ανάμεσα στο ευθύγραμμο τμήμα και το διάνυσμα και από την άλλη ο τρόπος που θα λυθεί το πρόβλημα διανυσματικά είναι και μια μέθοδος για τα προβλήματα , που ακολουθούν.

Πρόβλημα 1 (ευθ. τμήμα)

Δίνεται σταθερό σημείο Ο και γνωστό ευθύγραμμο τμήμα α. Να προσδιοριστεί η θέση ενός σημείου Κ , για το οποίο ισχύει : (ΟΚ)=α.

Η επίλυση είναι αρκετά εύκολη … Αναζητάμε σημείο Κ το οποίο απέχει από το Ο απόσταση α. Όλα τα σημεία με την ιδιότητα αυτή είναι τα σημεία του κύκλου με κέντρο το σημείο Ο και ακτίνα ίση με α.

Βλέπουμε όμως ότι δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε την θέση του σημείου Κ με μοναδικό τρόπο. Το πρόβλημα έχει άπειρες λύσεις. Στην συνέχεια θα επαναδιατυπώσουμε το πρόβλημα με διανυσματικό τρόπο και θα δούμε ότι έτσι η θέση του σημείου Κ είναι μοναδική , δηλαδή το πρόβλημα έχει μοναδική λύση.

Πρόβλημα 2 (διάνυσμα)

Δίνεται σταθερό σημείο Ο και γνωστό διάνυσμα . Να προσδιοριστεί η θέση ενός σημείου Κ , για το οποίο ισχύει :

Εδώ τα πράγματα είναι διαφορετικά. Επειδή ισχύει προφανώς επομένως το Κ βρίσκεται αναγκαστικά στην μοναδική παράλληλη ευθεία χχ’ στο που διέρχεται από το Ο. Μην ξεχνάμε επίσης ότι τα παραπάνω διανύσματα είναι και ομόρροπα , άρα το Κ θα βρίσκεται στην ημιευθεία Οχ Τέλος για να έχουν ίσα μέτρα πρέπει το Κ να ανήκει στην παράλληλη στο ημιευθεία Οχ και να απέχει από το Ο απόσταση ίση με .

Έτσι η θέση του σημείου Κ είναι στην περίπτωση αυτή μοναδική.

5 Συνευθειακά σημεία-μέσο ευθ.τμήματος.

· Συνευθειακά σημεία

Πως μπορούμε να εξασφαλίσουμε ότι τρία σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά ; Από την γεωμετρία γνωρίζουμε ότι αρκεί η γωνία να είναι ίση με 1800 (υπό την προϋπόθεση ότι το μεσαίο σημείο είναι το Β).

Πως αντιμετωπίζουμε το ίδιο πρόβλημα διανυσματικά ; Θυμίζουμε ότι όταν δύο διανύσματα είναι παράλληλα τότε ή βρίσκονται σε παράλληλους φορείς ή στον ίδιο φορέα. Όταν όμως τα παραπάνω διανύσματα έχουν κοινό σημείο , τότε αποκλείεται η περίπτωση των παραλλήλων φορέων , άρα τα σημεία θα είναι συνευθειακά.

Επομένως για να είναι τρία σημεία συνευθειακά αρκεί και πρέπει δύο οποιαδήποτε διανύσματα με άκρα τα σημεία αυτά να είναι παράλληλα. Δηλαδή :

Α,Β,Γ συνευθειακά ή ή …

· Μέσο ευθύγραμμου τμήματος

Αν διαβάσετε «για τα σημεία Α,Μ,Β ισχύει ΑΜ=ΜΒ» συμπεραίνετε ότι το Μ είναι μέσο του ΑΒ ; Μη βιαστείτε να απαντήσετε «ναι!» … Θυμηθείτε ότι οποιοδήποτε σημείο της μεσοκαθέτου ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ ισαπέχει από τα άκρα του ! Γιατί λοιπόν το Μ να μην είναι κάποιο σημείο της μεσοκαθέτου ;;; Για να εξασφαλίσουμε ότι το Μ είναι πράγματι μέσο του ΑΒ θα πρέπει να γνωρίζουμε επιπλέον ότι τα Α,Μ,Β είναι συνευθειακά. Δείτε με την βοήθεια των διανυσμάτων πως εξασφαλίζουμε και τις δύο συνθήκες ταυτόχρονα .

Μ μέσο ΑΒ Εφόσον τα διανύσματα είναι ίσα ισχύει , άρα ΑΜ=ΜΒ και επιπλέον αφού εξασφαλίζουμε ότι τα Α,Μ,Β είναι συνευθειακά.

Ας δούμε πως μπορούμε να εφαρμόσουμε τα παραπάνω.

Παράδειγμα 1

Δίνονται τρία μη συνευθειακά σημεία Α,Β,Γ . Ορίζουμε τα σημεία Δ,Ε τέτοια , ώστε : και . Δείξτε ότι το Γ είναι μέσο του ΔΕ.

Τα σημεία Δ,Ε βρίσκονται με μοναδικό τρόπο όπως εργαστήκαμε στην παράγραφο 4. Θυμίζουμε επίσης ότι «ισότητα διανυσμάτων ορίζει παραλληλόγραμμο και αντίστροφα». Επομένως

, άρα το ΑΔΓΒ είναι παραλληλόγραμμο και κατά συνέπεια . , άρα το ΑΓΕΒ είναι παραλληλόγραμμο και κατά συνέπεια . Από τις παραπάνω σχέσεις συμπεραίνουμε ότι : . Η σχέση αυτή μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι το Γ είναι μέσο ΔΕ.

Παράδειγμα 2

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Μ το μέσο του ΑΓ. Ορίζουμε σημεία Ε,Δ τέτοια , ώστε : και . Δείξτε ότι το Α είναι μέσο του ΔΕ.

Ακολουθούμε την ίδια μέθοδο :

, άρα ΓΜΔΒ # , άρα (1)

, άρα ΑΕΜΒ # , άρα (2)

Μ μέσο ΑΓ , άρα : (3)

Από (1) , (3) προκύπτει : , άρα ΔΑΜΒ # άρα (4)

Από (2) , (4) προκύπτει : επομένως το Α είναι μέσο του ΔΕ.

6 Γωνία διανυσμάτων.

Ορισμός

Γωνία δύο μη μηδενικών διανυσμάτων ονομάζουμε την κυρτή γωνία που σχηματίζουν οι φορείς τους , όταν αυτά τεθούν με κοινή αρχή. Συμβολίζεται : Στο παράδειγμα που ακολουθεί προσέξτε ότι για να «διαβάσουμε» την γωνία δυο διανυσμάτων πρέπει τα διανύσματα οπωσδήποτε να έχουν κοινή αρχή.

Παράδειγμα :

Το τρίγωνο στο διπλανό σχήμα είναι ισόπλευρο επομένως κάθε γωνία του είναι ίση με 600.

· Αναζητάμε την γωνία Τα διανύσματα έχουν κοινή αρχή την Α επομένως η γωνία των διανυσμάτων είναι η γωνία των φορέων τους , δηλαδή η γωνία του τριγώνου. Επομένως :

· Ποιο είναι το μέτρο της γωνίας ;

Εδώ η απάντηση δεν είναι η προφανής (600) , γιατί τα διανύσματα δεν έχουν κοινή αρχή. Για να το πετύχουμε αυτό παίρνουμε διάνυσμα . Έτσι η ζητούμενη γωνία είναι : .

Επισημάνσεις :

1. Αφού η γωνία δύο μη μηδενικών διανυσμάτων είναι κυρτή ισχύει :

2. Αν ή τότε ως γωνία τους θεωρούμε οποιαδήποτε γωνία θ με 00θ1800

3. (σχ.13)

4. (σχ.14)

5.

Κάθετα ή ορθογώνια διανύσματα

Δύο μη μηδενικά διανύσματα λέγονται κάθετα ή ορθογώνια αν και μόνον αν η γωνία τους είναι ορθή. Η καθετότητα συμβολίζεται : .

Δηλαδή :

Μέχρι τώρα δώσαμε τον ορισμό του διανύσματος , είδαμε τα χαρακτηριστικά του και τέλος καταγράψαμε κάποιες πρώτες βασικές έννοιες που πρέπει να συνοδεύουν τα διανύσματα.

Προχωράμε τώρα στο δεύτερο μέρος του διανυσματικού λογισμού. Θα ασχοληθούμε την άλγεβρα των διανυσμάτων , δηλαδή θα ορίσουμε πράξεις μεταξύ των διανυσμάτων.

Οι διανυσματικές πράξεις είναι : πρόσθεση διανυσμάτων , αφαίρεση διανυσμάτων , πολλαπλασιασμός αριθμού επί διάνυσμα και εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων.

Σε πρώτη φάση θα μελετήσουμε τις τρεις πρώτες πράξεις. Την τελευταία πράξη (εσωτερικό γινόμενο) θα την μελετήσουμε λίγο αργότερα , αφού πρώτα «αλγεβρικοποιήσουμε» το διάνυσμα με την βοήθεια του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων. Με την μελέτη του εσωτερικού γινομένου θα ολοκληρώσουμε τον διανυσματικό λογισμό.

Διανυσματικές πράξεις

7 Διανυσματική πρόσθεση.

· Ορισμός διανυσματικής πρόσθεσης

Η πρόσθεση δύο μηδενικών διανυσμάτων συμβολίζεται : και ορίζεται ως εξής : είναι το διάνυσμα που έχει ως αρχή την αρχή του πρώτου και ως τέλος το τέλος του δεύτερου όταν τα διανύσματα γίνουν διαδοχικά. Η διαδικασία που περιγράψαμε φαίνεται στο διπλανό σχήμα.

· Εναλλακτικός ορισμός (κανόνας παραλληλογράμμου)

Εάν τα δύο διανύσματα δεν είναι διαδοχικά , αλλά έχουν κοινή αρχή , τότε μπορούμε να σχηματίσουμε το παραλληλόγραμμο που ορίζεται από τους φορείς των διανυσμάτων και το άθροισμα είναι το διάνυσμα που έχει αρχή την κοινή αρχή και φορέα τον φορέα της αντίστοιχης διαγωνίου.Είναι ο γνωστός κανόνας παραλληλογράμμου που έχουμε δει στην φυσική. Η σύνθεση των δυνάμεων δεν είναι τίποτα άλλο , παρά διανυσματική πρόσθεση. Η διαδικασία αυτή δεν είναι λειτουργική αν πρέπει να προσθέσουμε περισσότερα από δύο διανύσματα , όπως θα δούμε σε ένα παράδειγμα λίγο αργότερα.

· Πρόσθεση παραλλήλων διανυσμάτων

Αν τα διανύσματα που προσθέτουμε είναι παράλληλα (ομόρροπα ή αντίρροπα) ο κανόνας δεν αλλάζει : τα κάνουμε διαδοχικά και το άθροισμα έχει ως αρχή την αρχή του πρώτου και ως τέλος το τέλος του δεύτερου. Στα σχήματα που ακολουθούν φαίνεται πως κάνουμε πρόσθεση στα παράλληλα διανύσματα. Αν η πρόσθεση στα αντίρροπα διανύσματα σας φανεί περίεργη ξανασκεφτείτε τον παραπάνω κανόνα.

Ομόρροπα διανύσματα :

Αντίρροπα διανύσματα :

· Πρόσθεση περισσοτέρων των δύο διανυσμάτων

Όταν θέλουμε να προσθέσουμε περισσότερα των δύο διανύσματα τα κάνουμε διαδοχικά και πάλι το άθροισμα όλων των διανυσμάτων «ξεκινά» από την αρχή του πρώτου και «καταλήγει» στο τέλος του τελευταίου. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται μια τέτοια πρόσθεση , την οποία σημειώνουμε ως εξής : .Παράδειγμα :

Στο διπλανό σχήμα έχουμε ένα υλικό σημείο Ο στο οποίο ασκούνται οι δυνάμεις . Ποια επιπλέον δύναμη πρέπει να ασκηθεί στο σημείο Ο έτσι , ώστε αυτό να ισορροπεί ;Γνωρίζουμε από την Φυσική ότι για να ισορροπεί ένα υλικό σημείο θα πρέπει η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται σε αυτό να ισούται με μηδέν. Θα βρούμε λοιπόν πρώτα την συνισταμένη δύναμη των τριών δυνάμεων , κάνουμε δηλαδή την διανυσματική τους πρόσθεση , όπως στο σχ.20 . Στην συνέχεια η ζητούμενη δύναμη θα είναι η αντίθετη της , δηλαδή για την ζητούμενη δύναμη ισχύει : . Στο σχήμα που ακολουθεί φαίνεται ο σχεδιασμός των δυνάμεων.

· Ιδιότητες της διανυσματικής πρόσθεσης

Η πρόσθεση διανυσμάτων έτσι , όπως ορίστηκε υπακούει σε κάποιες ιδιότητες που μοιάζουν με τις ιδιότητες της πρόσθεσης των πραγματικών αριθμών. Έτσι η διανυσματική πρόσθεση είναι πράξη :

· Αντιμεταθετική :

· Προσεταιριστική :

· Ουδετέρου στοιχείου :

· Συμμετρικού στοιχείου :

· Διαγραφής στοιχείου :

Για οποιαδήποτε διανύσματα και βέβαια είναι το μηδενικό διάνυσμα και το αντίθετο διάνυσμα του διανύσματος .

Οι παραπάνω είναι οι κύριες ιδιότητες της πρόσθεσης. Εκτός από αυτές υπάρχει και μια ιδιότητα σχετική με τα μέτρα των διανυσμάτων. Η ιδιότητα αυτή λέγεται τριγωνική ανισότητα και είναι η παρακάτω για οποιαδήποτε διανύσματα :

Για την παραπάνω ανισότητα να διευκρινίσουμε τα εξής :

· Η ισότητα ισχύει όταν τα διανύσματα είναι αντίρροπα (δείτε σχήμα 19)

· Η ισότητα ισχύει όταν τα διανύσματα είναι ομόρροπα (δείτε σχήμα 18)

· «Τυφλή» … πρόσθεση

Πολλές φορές μπορούμε να βρούμε το αποτέλεσμα της πρόσθεσης διανυσμάτων χωρίς να έχουμε μπροστά μας το σχήμα. Αυτό μπορεί να συμβεί αν τα διανύσματα … «κάνουν αλυσίδα» δηλαδή το τέλος του ενός να είναι η αρχή του άλλου. Στην περίπτωση αυτή το πρώτο γράμμα είναι η αρχή και το τελευταίο γράμμα είναι το τέλος του αθροίσματος. Ας δούμε δυο παραδείγματα :

1)

2)

Την διαδικασία αυτή την ονομάσαμε «τυφλή» , γιατί το αποτέλεσμά της είναι ανεξάρτητο από το σχήμα. Είναι μια πολύ χρήσιμη διαδικασία όπως θα δούμε σε παραδείγματα παρακάτω.

8 Διανυσματική αφαίρεση.

· Ορισμός διανυσματικής αφαίρεσης

Η διανυσματική αφαίρεση είναι ουσιαστικά μια πρόσθεση . Για να αφαιρέσουμε ένα διάνυσμα από ένα άλλο προσθέτουμε στο πρώτο το αντίθετο διάνυσμα του δεύτερου , δηλαδή :

Επειδή η αφαίρεση δύο διανυσμάτων είναι ουσιαστικά πρόσθεση στο σχήμα δίπλα σχεδιάσαμε και το διάνυσμα και το διάνυσμα για να δούμε καθαρότερα την διαφορά των δύο πράξεων.

· Διάνυσμα θέσης ( ή διανυσματική ακτίνα ) σημείου

Έστω Ο ένα σταθερό σημείο , το οποίο ονομάζουμε σημείο αναφοράς. Τότε για οποιοδήποτε σημείο Μ ορίζουμε ως διάνυσμα θέσης του Μ ως προς το Ο ( ή διανυσματική ακτίνα του Μ ως προς το Ο ) το διάνυσμα .

· Έκφραση ενός διανύσματος ως προς ένα σημείο αναφοράς

Παρακολουθήστε τον παρακάτω συλλογισμό :

(«τυφλή» πρόσθεση).

Καταλήγουμε λοιπόν στην σχέση : «». Η σχέση αυτή ισχύει πάντα και αν θεωρήσουμε ότι το σημείο Ο είναι ένα σημείο αναφοράς τότε μπορούμε περιφραστικά να διατυπώσουμε την σχέση αυτή ως εξής :

«διάνυσμα» = «διάνυσμα θέσης τέλους» - «διάνυσμα θέσης αρχής»

Θα δούμε σε λίγο πόσο σπουδαία και κρίσιμη είναι η παραπάνω ιδιότητα. Προς το παρόν ας εξοικειωθούμε με τις έννοιες που μόλις ορίσαμε η περιγράψαμε.

Παράδειγμα :

Το ΑΒΓΔ είναι ένα τυχαίο τετράπλευρο και Κ είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του. Για να δούμε στο σχήμα αυτό την έννοια του διανύσματος θέσης (ή της διανυσματικής ακτίνας) και την έκφραση ενός διανύσματος ως προς ένα σημείο αναφοράς

· Διάνυσμα θέσης του Κ ως προς το Δ ;

· Διανυσματική ακτίνα του Α ως προς Γ ;

· Διανυσματική θέσης του Β ως προς Κ ;

· Διανυσματική ακτίνα του Β ως προς Β ; !!!

· Να γραφεί το με σημείο αναφοράς το Κ :

· Να γραφεί το με σημείο αναφοράς το Γ :

· Να γραφεί το με σημείο αναφοράς το Α :

· Να γραφεί το με σημείο αναφοράς το Δ : !!!

· Να γραφεί το με σημείο αναφοράς το Β : !!!

Η έκφραση ενός διανύσματος με σημείο αναφοράς γίνεται ανεξάρτητα του σχήματος : όταν θέλουμε να εκφράσουμε ένα οποιοδήποτε διάνυσμα ως προς ένα οποιοδήποτε σημείο αναφοράς γράφουμε την διαφορά δύο διανυσμάτων με κοινή αρχή το σημείο αναφοράς και τέλος στο πρώτο διάνυσμα το τέλος του διανύσματος και στο δεύτερο διάνυσμα την αρχή του διανύσματος. Ας επιχειρήσουμε λοιπόν να κάνουμε το ίδιο χωρίς σχήμα .

Να γραφεί το με σημείο αναφοράς το σημείο Ρ :

Να γραφεί το με σημείο αναφοράς το σημείο Ε :

Να γραφεί το με σημείο αναφοράς το σημείο Ν :

· «Τυφλή» … αφαίρεση

Όπως και στην πρόσθεση έτσι και εδώ έχουμε μια τυφλή αφαίρεση που προκύπτει από την σχέση :

«διάνυσμα» = «διάνυσμα θέσης τέλους» - «διάνυσμα θέσης αρχής»

Όταν βλέπουμε διαφορά διανυσμάτων με κοινή αρχή το αποτέλεσμα είναι το διάνυσμα που σχηματίζεται από τα μη κοινά γράμματα … ανάποδα γραμμένα.

Παράδειγμα :

, , κ.λ.π

Η τυφλή πρόσθεση και η τυφλή αφαίρεση μπορούν να εφαρμοστούν ταυτόχρονα στην ίδια διανυσματική παράσταση. Δείτε παράδειγμα :

Να υπολογιστεί η παράσταση :

Θα υπολογίσουμε την παραπάνω παράσταση με διάφορους τρόπους , χωρίς σχήμα αλλά με χρήση τυφλών πράξεων .

ή …

Προφανώς όπως και να γίνει καταλήγουμε στο ίδιο αποτέλεσμα.

· Χρήση του σημείου αναφοράς

Όταν θέλουμε να αποδείξουμε μια διανυσματική ισότητα πολλές φορές μας … «λύνει τα χέρια» η χρήση του σημείου αναφοράς. Αυτό σημαίνει ότι εκφράζουμε όλα τα διανύσματα με κοινό σημείο αναφοράς. Κατά προτίμηση επιλέγουμε ως σημείο αναφοράς ένα από τα υπάρχοντα σημεία.

Παραδείγματα :

1) Για οποιαδήποτε τέσσερα σημεία Α,Β,Γ,Δ δείξτε ότι ισχύει :

Επιλέγουμε ως σημείο αναφοράς π.χ το σημείο Β :

Τα δεύτερα μέλη είναι ίσα , άρα και τα πρώτα.

Να σημειώσετε ότι θα καταλήγαμε σε ανάλογο συμπέρασμα οποιοδήποτε σημείο αναφοράς και αν επιλέγαμε . Ακόμα και αν επιλέγαμε ένα τυχαίο σημείο Ρ … δοκιμάστε το !

2) Έστω τετράπλευρο ΑΒΓΔ και ένα σημείο Ο για το οποίο ισχύει : . Δείξτε ότι τα σημεία Ο,Α συμπίπτουν.

Για να δείξουμε ότι τα σημεία Ο,Α συμπίπτουν αρκεί να δείξουμε ότι : ή . Για να το πετύχουμε αυτό θα μετατρέψουμε όλα τα διανύσματα με αρχή το σημείο Ο. Ο στόχος αυτός επιτυγχάνεται αν εκφράσουμε όλα τα διανύσματα με σημείο αναφοράς το Ο. Παρατηρήστε την διαδικασία :

και επομένως το σημείο Α ταυτίζεται με το σημείο Ο.

· Επίλυση διανυσματικής εξίσωσης

Διανυσματικές εξισώσεις με άθροισμα ή διαφορά διανυσμάτων επιλύονται όπως οι αλγεβρικές εξισώσεις . Πιο συγκεκριμένα :

, ,

· Κλειστή γραμμή

Πως μπορώ να εκφράσω το διάνυσμα ως συνάρτηση των διανυσμάτων ;

Ξεκινώ από την αρχή του και καταλήγω στο τέλος του «χαράζοντας» μια πορεία βάζοντας «συν» αν κινούμαι κατά την διεύθυνση του διανύσματος που σημειώνεται και «πλήν» αν κινούμαι ανάποδα.

Δηλαδή :

Ας δούμε κάποιους τρόπους με τους οποίους μπορώ να εκφράσω στο διπλανό σχήμα το ;

ή ή

κ.λ.π

9 Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα.

· Ορισμός του πολλαπλασιασμού αριθμού επί διάνυσμα

Έστω διάνυσμα και λ0 . Ορίζω το διάνυσμα ως εξής :

έχει μέτρο

έχει κατεύθυνση

Αν τότε

Αν λ=0 τότε

Σημείωση : από τον ορισμό της πράξης φαίνεται ότι ένα διάνυσμα και οποιοδήποτε πολλαπλάσιό του είναι οπωσδήποτε παράλληλα διανύσματα

Ας δούμε με δύο παραδείγματα πως ορίζεται η πράξη και μάλιστα στο δεύτερο πως συνδυάζεται με την πρόσθεση ή την αφαίρεση.

Παραδείγματα :

Στο διπλανό σχήμα τα διανύσματα είναι παράλληλα , το δεύτερο έχει διπλάσιο μήκος και το τρίτο έχει τριπλάσιο μήκος , γι αυτό ισχύει : και

Στο διπλανό σχήμα ισχύει :

· Γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων

Τα διανύσματα αποτελούν γραμμικό συνδυασμό του διανύσματος αν και μόνο αν υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί έτσι , ώστε :

· Ιδιότητες του πολλαπλασιασμού αριθμού επί διάνυσμα

Ο πολλαπλασιασμός αριθμού επί διάνυσμα υπακούει στις παρακάτω ιδιότητες για οποιαδήποτε διανύσματα και οποιουσδήποτε πραγματικούς λ,μ :

·

·

·

·

·

·

·

· Επίλυση διανυσματικής εξίσωσης

Για τα διανύσματα και τον πραγματικό αριθμό λ η εξίσωση επιλύεται ως εξής :

Αν λ0 , τότε :

Αν λ=0 τότε η εξίσωση παίρνει την μορφή : οπότε :

αν τότε η εξίσωση είναι αδύνατη ενώ

αν τότε η εξίσωση είναι αόριστη .

Σημείωση : πολλές φορές αντί να γράφουμε γράφουμε πιο σύντομα

Παράδειγμα :

Να επιλυθεί η εξίσωση :

· Συνθήκη παραλληλίας

Θα δούμε τώρα ένα τρόπο να αποδεικνύουμε ότι δύο διανύσματα είναι παράλληλα «απαλλαγμένο» αρκετά από την κλασική γεωμετρία. Μέχρι τώρα για να αποδείξουμε ότι δύο διανύσματα είναι παράλληλα έπρεπε να είναι απέναντι πλευρές παραλληλογράμμου. Δείτε μια διαφορετική προσέγγιση της παραλληλίας διανυσμάτων .

Για οποιαδήποτε διανύσματα με ισχύει :

,

Απόδειξη

· Ευθύ

Αν και , τότε ορίζουμε τον αριθμό . Προφανώς κ0 και φυσικά ισχύει : .

Αν , τότε , όπου λ=κ (λ0)

Αν , τότε , όπου λ=-κ (λ<0)

Αν , τότε , όπου λ=0

· Αντίστροφο

Από τον ορισμό γινομένου αριθμού επί διάνυσμα γνωρίζουμε ότι τα διανύσματα είναι παράλληλα και αφού καταλήγουμε ότι .

Σημείωση : από την παραπάνω πρόταση προκύπτει ότι για να αποδείξουμε την παραλληλία δύο διανυσμάτων αρκεί να αποδείξουμε ότι το ένα είναι πολλαπλάσιο του άλλου και μάλιστα αν είναι θετικό πολλαπλάσιο είναι ομόρροπα , ενώ αν είναι αρνητικό πολλαπλάσιο είναι αντίρροπα.

Παράδειγμα :

Στο διπλανό σχήμα να αποδείξετε ότι τα σημεία Α,Γ,Ε είναι συνευθειακά. και

Καταλήξαμε ότι : επομένως από την συνθήκη παραλληλίας προκύπτει ότι : , που σημαίνει ότι τα Α,Γ,Ε είναι συνευθειακά.

· Διάνυσμα θέσης μέσου ευθυγράμμου τμήματος

Αν Μ είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ και Ο ένα οποιοδήποτε σημείο , τότε ισχύει :

Απόδειξη

Αφού το Μ είναι το μέσο του ΑΒ θα ισχύει : . Αν στην παραπάνω σχέση εκφράσουμε και τα δύο μέλη με σημείο αναφοράς κάποιο σημείο Ο έχουμε :

Παράδειγμα :

Στο τρίγωνο ΑΒΓ οι ΑΔ , ΒΕ , ΓΖ είναι οι διάμεσοί του.

Δείξτε ότι :

Το Δ είναι το μέσον της ΒΓ οπότε με σημείο αναφοράς το Α : .

Το Ε είναι το μέσον της ΑΓ οπότε με σημείο αναφοράς το Β : .

Το Ζ είναι το μέσον της ΑΒ οπότε με σημείο αναφοράς το Γ : .

Αντικαθιστώντας έχουμε :

· «Τυφλή» πρόσθεση - 2

Αν την σχέση που μόλις αποδείξαμε την γράψουμε διαφορετικά παίρνει την μορφή : όπου Μ το μέσο του ΑΒ. Δηλαδή το άθροισμα διανυσμάτων με κοινή αρχή ισούται με το διπλάσιο του διανύσματος με αρχή την κοινή αρχή και τέλος το μέσον του ευθύγραμμου τμήματος , που ορίζουν τα τέλη των διανυσμάτων.

Παράδειγμα :

Στο τετράπλευρο ΑΒΓΔ του διπλανού σχήματος το Μ είναι το μέσον της διαγωνίου ΑΓ και το Ν είναι το μέσον της διαγωνίου ΒΔ.

Να αποδείξετε ότι :

Παρατηρούμε ότι έχουμε αθροίσματα διανυσμάτων με κοινή αρχή «» και «». Αυτό μας οδηγεί στην παραπάνω «τυφλή» πρόσθεση υπό την προϋπόθεση ότι γνωρίζουμε κάτι για το μέσον του ευθύγραμμου τμήματος που ορίζεται από τα μη κοινά γράμματα , δηλαδή το μέσον του ΒΔ (σημείο Ν).

και . Προσθέτουμε κατά μέλη τις ισότητες και προκύπτει :

. Η τελευταία «κίνηση» έγινε για να προκύψει πάλι άθροισμα διανυσμάτων με κοινή αρχή. Έχουμε διαθέσιμο το μέσο του ΑΓ ; Ναι ! είναι το σημείο Μ. Επομένως :

.

Στο σημείο αυτό ας ανακεφαλαιώσουμε τις «τυφλές» πράξεις.

«Τυφλή» πρόσθεση -1 :

( πρόσθεση διανυσμάτων που τα άκρα τους κάνουν «αλυσίδα» : το αποτέλεσμα είναι το διάνυσμα με αρχή το πρώτο γράμμα και τέλος το τελευταίο γράμμα )

· «Τυφλή» αφαίρεση :

( αφαίρεση διανυσμάτων με κοινή αρχή : το αποτέλεσμα είναι το διάνυσμα που ορίζεται από τα μη κοινά γράμματα «ανάποδα» γραμμένα. )

· «Τυφλή» πρόσθεση -2 : , Α το μέσον του ΛΜ

( πρόσθεση διανυσμάτων με κοινή αρχή : το αποτέλεσμα είναι το διπλάσιο του διανύσματος με αρχή την κοινή αρχή και τέλος το μέσον του ευθύγραμμου τμήματος των μη κοινών γραμμάτων )

Θα δούμε τώρα πως μπορούμε να εφαρμόσουμε όλα αυτά , που είδαμε από την αρχή , σε ασκήσεις.

Μεθοδολογία διανυσματικών πράξεων

10 Μελέτη και διερεύνηση συνευθειακών

σημείων.

Όταν θέλουμε να αποδείξουμε ότι τρία σημεία είναι συνευθειακά πρέπει να αποδείξουμε ότι δύο διανύσματα με άκρα κάποια από τα σημεία αυτά είναι παράλληλα. Δηλαδή πρέπει να αποδείξουμε ότι το ένα διάνυσμα είναι πολλαπλάσιο του άλλου. Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις.

Α) Γεωμετρικό σχήμα

Παράδειγμα :

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάμεσός του ΑΜ. Πάνω στα τμήματα ΑΒ , ΑΜ , ΑΓ παίρνουμε τα σημεία Δ , Ε , Ζ αντίστοιχα τέτοια , ώστε : , , . Να αποδείξετε ότι τα σημεία Δ,Ε,Ζ είναι συνευθειακά.

Θα προσπαθήσουμε να αποδείξουμε ότι για παράδειγμα τα διανύσματα είναι παράλληλα , δηλαδή θα αποδείξουμε ότι το ένα διάνυσμα είναι πολλαπλάσιο του άλλου. Για να το πετύχουμε αυτό , θα εκφράσουμε καθένα από τα διανύσματα αυτά ως γραμμικό συνδυασμό διανυσμάτων που ορίζονται από τις κορυφές του αρχικού σχήματος. Για παράδειγμα θα εκφράσουμε τα διανύσματα ως γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων Συγκεκριμένα :

Καταλήξαμε λοιπόν ότι : (1).

Επομένως : (2).

Παρατηρώντας τις σχέσεις (1) , (2) προσπαθούμε να ανακαλύψουμε τι σχέση πολλαπλασίων έχουν. Παρατηρούμε ότι :

Άρα καταλήγουμε στην σχέση : , επομένως δηλαδή τα σημεία Ε,Ζ,Δ είναι συνευθειακά.

Επισημάνσεις :

1. Αν δεν μπορούμε με … «το μάτι» να βρούμε το πολλαπλάσιο του διανύσματος , τότε για τους συντελεστές π.χ. του λύνουμε την εξίσωση και ελέγχουμε αν ο συντελεστής αυτός λειτουργεί στο ( δηλαδή ελέγχουμε ότι )

2. Αν σε άσκηση δούμε ως δεδομένο ένα αρνητικό πολλαπλάσιο τότε να

θυμηθούμε τα διανύσματα είναι αντίρροπα.

Για παράδειγμα : αν σε τρίγωνο ΑΒΓ πρέπει να πάρουμε σημείο Ε τέτοιο , ώστε τότε θα πρέπει το ΑΕ να έχει το μισό μήκος του ΑΒ θα βρίσκεται στην προέκταση του ΑΒ προς το Α , όπως φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί.

.

Β) Διανυσματική ισότητα

Παράδειγμα :

Αν για τα σημεία Ο,Α,Β,Γ ισχύει : , τότε δείξτε ότι τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά και βρείτε την σχετική θέση των σημείων αυτών.

Για να δείξουμε ότι τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά , αρκεί να εκφράσουμε κάθε διάνυσμα στην δοσμένη διανυσματική ισότητα με σημείο αναφοράς ένα από τα σημεία Α,Β,Γ. Για παράδειγμα ας πάρουμε σημείο αναφοράς το σημείο Β. Θα έχουμε :

Άρα ισχύει και επομένως τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά.

Για την σχετική θέση των σημείων έχουμε να πούμε τα εξής : εφόσον το είναι αρνητικό πολλαπλάσιο του συμπεραίνουμε ότι τα διανύσματα είναι αντίρροπα , επομένως το σημείο Β είναι ανάμεσα στα σημεία Α,Γ. Σε ποια θέση όμως ; Ισχύει ότι άρα άρα . Για να μπορέσουμε να εντοπίσουμε την θέση του Β θα πρέπει να βρούμε την σχέση ανάμεσα στο ΑΒ και το ΑΓ. Αυτό γίνεται ως εξής :

. Επομένως η σχετική θέση των Α,Β,Γ μπορεί να είναι μία από τις παρακάτω :

11 Εύρεση θέσης σημείου

Για να βρω την θέση ενός σημείου Μ από μια διανυσματική ισότητα εκφράζω όλα τα διανύσματα με σημείο αναφοράς ένα σταθερό σημείο και προκύπτει έτσι ένα διάνυσμα με αρχή το επιλεγμένο σημείο αναφοράς και τέλος το σημείο Μ ως γραμμικός συνδυασμός γνωστών διανυσμάτων.

Αν Α,Β,Γ γνωστά , σταθερά σημεία και Μ ένα σημείο του οποίου ψάχνω την θέση συνήθως καταλήγω σε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις :

· , άρα συμπεραίνω ότι το σημείο Μ ταυτίζεται με το σημείο Α.

· , επομένως συμπεραίνω ότι το Μ ταυτίζεται με το σημείο Β.

· , επομένως η θέση του σημείου Μ προσδιορίζεται με μοναδικό τρόπο , αλλά δεν ταυτίζεται με κάποιο από τα δοσμένα σημεία. Ακολουθεί ένα ενδεικτικό σχήμα :

Παραδείγματα :

1) Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. Να βρεθεί η θέση του σημείου Μ , για το οποίο ισχύει :

Την δοσμένη διανυσματική σχέση την εκφράζουμε με σημείο αναφοράς το Β (τυχαία επιλογή από τα Α,Β,Γ,Δ) και έχουμε :

. Επομένως το σημείο Μ ταυτίζεται με το Β.

2) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ . Να βρεθεί σημείο Μ για το οποίο ισχύει :

Στην δοσμένη σχέση παίρνουμε σημείο αναφοράς το Α :

. Εφόσον το διάνυσμα εκφράστηκε ως γραμμικός συνδυασμός γνωστών διανυσμάτων η θέση του σημείου Μ προσδιορίζεται με μοναδικό τρόπο , όπως φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί .

12 Σταθερό διάνυσμα

Για να αποδείξουμε ότι ένα διάνυσμα , που ορίζεται από σταθερά σημεία και κάποιο μεταβλητό σημείο , είναι σταθερό το εκφράζουμε το διάνυσμα αυτό με σημείο αναφοράς κάποιο σταθερό σημείο και έτσι απαλείφουμε το μεταβλητό σημείο.

Παράδειγμα :

Για το τετράπλευρο ΑΒΓΔ να αποδείξετε ότι το διάνυσμα

είναι σταθερό για οποιοδήποτε σημείο Μ.

Παίρνουμε σημείο αναφοράς π.χ το σημείο Γ και η δοσμένη σχέση γίνεται :

. Επομένως : , δηλαδή το είναι σταθερό , ανεξάρτητο του μεταβλητού σημείου Μ.

13 Υπολογισμός παραμέτρου

Σε αυτή την κατηγορία ασκήσεων δίνεται κάποια διανυσματική ισότητα που ισχύει και περιέχει κάποια (ή κάποιες) παραμέτρους , οι οποίες ζητούνται να υπολογιστούν. Ο υπολογισμός αυτών των παραμέτρων επιτυγχάνεται συνήθως με δύο τεχνικές :

Α) Διαγραφή του διανυσματικού παράγοντα

Προσπαθούμε να φέρουμε την δοσμένη σχέση στην μορφή : , οπότε αν έχουμε εξασφαλίσει ότι τότε από την γνωστή ιδιότητα συμπεραίνουμε ότι λ=μ και από κεί υπολογίζουμε την παράμετρο.

Παράδειγμα

Αν τα σημεία Γ,Δ είναι διαφορετικά και ισχύουν οι σχέσεις και , Να υπολογιστεί η παράμετρος χ.

Για να εκμεταλλευτούμε την σχέση (1) στην ισότητα με την παράμετρο θα πρέπει να εμφανίσουμε στην σχέση αυτή το διάνυσμα . Για το λόγο αυτό θα εκφράσουμε τα διανύσματα , αθροίσματα που να εμφανίζουν τα , αλλά δεν θα «πειράξουμε» το γιατί το δεδομένο «τα σημεία Γ,Δ είναι διαφορετικά» οδηγεί στο συμπέρασμα ότι , στοιχείο απαραίτητο για την ιδιότητα της διαγραφής. Με αυτές λοιπόν τις σκέψεις οδηγούμαστε στον εξής δρόμο :

Επειδή τα Γ,Δ είναι διαφορετικά προκύπτει ότι και επομένως σύμφωνα με την ιδιότητα της διαγραφής προκύπτει :

Β) Μηδενικός γραμμικός συνδυασμός

Ας αποδείξουμε ένα ισχυρισμό :

Αν για τα διανύσματα ισχύουν : , , και , τότε λ=μ=0.

Απόδειξη

· Ας υποθέσουμε ότι λ0 . Τότε

. Αυτό όμως σημαίνει ότι το οποίο είναι άτοπο! Άρα λ=0.

· Ας υποθέσουμε ότι μ0 . Τότε

. Αυτό όμως σημαίνει ότι το οποίο είναι άτοπο! Άρα μ=0.

Επομένως λ=μ=0.

Παράδειγμα :

Ας χρησιμοποιήσουμε πάλι το σχήμα 30. Στο σχήμα αυτό έχουμε το τρίγωνο ΑΟΒ και την διάμεσό του ΟΜ. Αν ισχύει να υπολογιστούν οι τιμές των κ,λ

Θα εκφράσουμε το με σημείο αναφοράς το Ο και το ως διάνυσμα θέσης του μέσου. Ο σκοπός είναι να δημιουργήσουμε ένα γραμμικό συνδυασμό των , τα οποία προφανώς δεν είναι παράλληλα , για να εφαρμόσουμε την παραπάνω πρόταση. Για να το δούμε στην πράξη :

. (1)

Όμως τα διανύσματα προφανώς δεν είναι συνευθειακά αφού ορίζουν το τρίγωνο ΟΑΒ. Έχουμε λοιπόν τα μη μηδενικά διανύσματα

που δεν είναι συγγραμικά και για τα οποία ισχύει η σχέση (1). Σύμφωνα με την πρόταση , που διατυπώσαμε παραπάνω θα ισχύει :

.

14 Διανυσματικοί γεωμετρικοί τόποι (Ι)

Λέμε ότι ένα σύνολο σημείων ορίζουν γεωμετρικό τόπο , όταν όλα τα σημεία και μόνο αυτά έχουν μια κοινή ιδιότητα. Για παράδειγμα λέμε «κύκλος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από ένα σταθερό σημείο Ο» και εννοούμε ότι : όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν το ίδιο από ένα σταθερό σημείο Ο σχηματίζουν ένα κύκλο με κέντρο Ο και επίσης οποιοδήποτε σημείο που δεν ανήκει στον κύκλο (είναι δηλαδή «μέσα» ή «έξω» από τον κύκλο) δεν απέχει αυτή την σταθερή απόσταση από το Ο.

Θα δούμε στην συνέχεια κάποιους διανυσματικούς γεωμετρικούς τόπους. Θα καταγράψουμε δηλαδή κάποιες διανυσματικές σχέσεις που περιγράφουν την θέση των σημείων για τα οποία ισχύουν. Συγκεκριμένα :

Το σύνολο των σημείων Μ , για τα οποία ισχύει …

… ορίζουν :

1.

( Α σταθερό σημείο και γνωστό διάνυσμα)

ευθεία που διέρχεται από το Α και είναι παράλληλη στο

2.

( Κ σταθερό σημείο και γνωστό διάνυσμα)

κύκλο με κέντρο το σημείο Κ και ακτίνα μήκους ίση με το

3.

( όπου Α,Β δύο σταθερά σημεία)

την μεσοκάθετη ευθεία του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ

Παραδείγματα :

1) Έστω και δύο μη μηδενικά διανύσματα . Να βρείτε

τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ , για τα οποία ισχύει όπου λ.

. Θα «αλλάξουμε» την σχέση με σκοπό να εντοπίσουμε «τυφλή» πράξη. Έτσι αν φέρουμε το διάνυσμα στο πρώτο μέλος θα έχουμε διαφορά διανυσμάτων με κοινή αρχή («τυφλή αφαίρεση»)

Έτσι η σχέση που έχουμε παίρνει την μορφή :

. Η σχέση , στην οποία καταλήξαμε , σημαίνει ότι . Με δεδομένο ότι τα σημεία Α,Ο,Β είναι γνωστά προκύπτει ότι το σημείο Μ θα βρίσκεται στην ευθεία , που είναι παράλληλη στην ευθεία που ορίζουν τα Ο,Β και διέρχεται από το Α. Αυτός είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ.

2) Δίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των

σημείων Μ , για τα οποία ισχύει .

Οι σχέσεις των διανυσμάτων μέσα στα μέτρα είναι αθροίσματα διανυσμάτων με κοινή αρχή. Αυτό μας θυμίζει την «τυφλή πρόσθεση 2» , δηλαδή

,όπου Μ είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ.

Με την λογική αυτή παίρνουμε το μέσο Κ της πλευράς ΑΒ και το μέσο Λ της πλευράς ΓΔ και προκύπτει :

. Η σχέση στην οποία καταλήξαμε ότι το σημείο Μ ισαπέχει από τα σημεία Κ,Λ δηλαδή το σημείο Μ ανήκει στην μεσοκάθετη του ευθύγραμμου τμήματος ΚΛ. Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η μεσοκάθετη του ευθύγραμμου τμήματος του ενώνει τα μέσα των απέναντι πλευρών ΑΒ , ΓΔ του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ.

3) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και η διάμεσός του ΓΚ με Να βρεθεί

ο γεωμετρικός τόπος των σημείων για τα οποία ισχύει :

Προσπαθούμε να … «ανακαλύψουμε» τυφλές πράξεις . Παρατηρούμε τα εξής: στο πρώτο μέλος αν πάρουμε το αντίθετο του προκύπτουν διαδοχικά διανύσματα. Επίσης στο δεύτερο μέλος έχουμε άθροισμα διανυσμάτων με κοινή αρχή , που σχετίζεται και με το μέσον Κ του ΑΒ αφού η ΓΚ είναι διάμεσος. Δείτε προσεκτικά πως εφαρμόζουμε τις παραπάνω παρατηρήσεις :

.

Άρα ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι ο κύκλος με κέντρο το σημείο Α και ακτίνα .

15 Χρήση της τριγωνικής ανισότητας

Ας θυμηθούμε ξανά την τριγωνική ανισότητα , μια ιδιότητα της πρόσθεσης σχετική με το μέτρο :

Ακολουθούν κάποια παραδείγματα , ενδεικτικά για τον τρόπο που μπορούμε να την χρησιμοποιήσουμε.

Παραδείγματα

1) Για τα διανύσματα ισχύουν και δείξτε ότι η ποσότητα έχει ελάχιστη τιμή το -4 και μέγιστη τιμή το 4.

Πρέπει να δείξουμε ότι : ή ότι .

Με την βοήθεια της τριγωνικής ανισότητας έχουμε :

(*)

Είναι προφανές ότι :

(**)

Από τις σχέσεις (*) και (**) προκύπτει μεταβατικά το συμπέρασμα :

. Επομένως η μέγιστη τιμή της ποσότητας είναι το 4 , ενώ η ελάχιστη το -4.

( *** περίεργη άσκηση έ ;;; *** )

2) Αν γνωρίζουμε ότι : , και να αποδείξετε ότι :

Θα χρησιμοποιήσουμε απαγωγή σε άτοπο .

Υποθέτουμε ότι : . Επομένως αφού τα διανύσματα είναι ίσα θα είναι και τα μέτρα τους. Συνεπώς έχουμε :

Επομένως : , το οποίο είναι άτοπο αφού . Στο άτοπο καταλήξαμε , γιατί υποθέσαμε ότι , άρα

Στο σημείο αυτό φτάσαμε στο τέλος του πρώτου μέρους του διανυσματικού λογισμού. Ορίσαμε το διάνυσμα και το εφοδιάσαμε με πράξεις. Είδαμε ακόμα τον τρόπο που μπορούμε να εφαρμόσουμε τις πράξεις και τις ιδιότητές τους.

Τώρα θα περάσουμε σε άλλο επίπεδο. Μέχρι τώρα το διάνυσμα ήταν ένα γεωμετρικό εργαλείο. Με την βοήθεια της καταπληκτικής επινόησης του Καρτέσιου , το ομώνυμο σύστημα συντεταγμένων, θα δώσουμε στο διάνυσμα μία αλγεβρική μορφή. Έτσι … «ξεφεύγει» από τα στενά γεωμετρικά πλαίσια , γίνεται πιο αφηρημένη έννοια με αποτέλεσμα να διευρύνονται και οι εφαρμογές του.

Για να δούμε λοιπόν το διάνυσμα από μια άλλη οπτική γωνία.

Συντεταγμένες διανύσματος

16 Άξονας – Σύστημα συντεταγμένων.

· Άξονας

Έστω μια ευθεία ε και ένα σημείο της Ο. Θεωρούμε ένα διάνυσμα το οποίο ανήκει στην ευθεία ε και έχει αρχή το σημείο Ο. Θεωρούμε δε ότι το διάνυσμα αυτό είναι μοναδιαίο , δηλαδή Μια τέτοια ευθεία εφοδιασμένη με το παραπάνω διάνυσμα ονομάζεται άξονας.Ο άξονας έχει την ιδιότητα κάθε σημείο της ευθείας να αντιστοιχίζεται σε ένα και μόνο ένα πραγματικό αριθμό με μια διαδικασία που περιγράφουμε παρακάτω :

Στο παραπάνω σχήμα ισχύει , επομένως με λ>0 . Η απόλυτη τιμή λ δείχνει πόσες φορές το μήκος του «χωράει» στο μήκος του . Δηλαδή ισχύει τελικά . Έτσι το σημείο Α της ευθείας ε αντιστοιχίζεται με μοναδικό τρόπο στον πραγματικό αριθμό 3.

Στο παραπάνω σχήμα ισχύει , επομένως με λ<0 . Η απόλυτη τιμή λ δείχνει πόσες φορές το μήκος του «χωράει» στο μήκος του . Δηλαδή ισχύει τελικά . Έτσι το σημείο Β της ευθείας ε αντιστοιχίζεται με μοναδικό τρόπο στον πραγματικό αριθμό -2.

Με την διαδικασία αυτή κάθε σημείο της ευθείας ε αντιστοιχίζεται σε ένα και μόνο ένα πραγματικό αριθμό. Παρατηρούμε τέλος τα εξής :

Το σημείο Ο αντιστοιχίζεται στον αριθμό 0 (μηδέν).

Όλα τα σημεία της ημιευθείας που έχει αρχή το Ο και περιέχει το μοναδιαίο διάνυσμα αντιστοιχίζονται σε θετικούς αριθμούς , γι΄αυτό λέγεται θετικός ημιάξονας.

Όλα τα σημεία της ημιευθείας που έχει αρχή το Ο και δεν περιέχει το μοναδιαίο διάνυσμα αντιστοιχίζονται σε αρνητικούς αριθμούς , γι΄αυτό λέγεται αρνητικός ημιάξονας.

· Σύστημα συντεταγμένων

Επεκτείνουμε τώρα την έννοια του άξονα. Παίρνουμε δύο ευθείες που τέμνονται στο σημείο Ο. Την μία ευθεία την «εφοδιάζουμε» με το μοναδιαίο διάνυσμα και στην άλλη θεωρούμε ένα άλλο διάνυσμα ως μοναδιαίο. ‘Ετσι μετατρέψαμε και τις δύο ευθείες σε άξονες και δημιουργήσαμε ένα σύστημα συντεταγμένων. Σε αυτό το νέο περιβάλλον κάθε σημείο Α του επιπέδου , που ορίζουν οι δύο ευθείες αντιστοιχίζεται σε ένα ζεύγος αριθμών ως εξής :

Από το Α φέρουμε παράλληλη στον άξονα του διανύσματος , που τέμνει τον άξονα του διανύσματος σε κάποιο σημείο. Το σημείο αυτό , ως σημείο άξονα , αντιστοιχίζεται σε ένα αριθμό χ , που λέγεται τετμημένη του Α.

Από το Α φέρουμε παράλληλη στον άξονα του διανύσματος , που τέμνει τον άξονα του διανύσματος σε κάποιο σημείο. Το σημείο αυτό , ως σημείο άξονα , αντιστοιχίζεται σε ένα αριθμό ψ , που λέγεται τεταγμένη του Α.

Με τον τρόπο αυτό αντιστοιχίζουμε το σημείο Α του επιπέδου με μοναδικό τρόπο σε ένα διατεταγμένο ζεύγος (χ,ψ) πραγματικών αριθμών (πάντα ο πρώτος αριθμός είναι το σημείο του άξονα και ο δεύτερος αριθμός είναι το σημείο του άξονα ). Το διατεταγμένο αυτό ζεύγος λέγεται συντεταγμένες του σημείου Α και το σημειώνουμε ως εξής : Α(χ,ψ).

Μερικές επισημάνσεις :

1) Το σημείο Ο έχει συντεταγμένες Ο(0,0).

2) Όλα τα σημεία του άξονα έχουν συντεταγμένες της μορφής (χ,0) ενώ όλα τα σημεία του άξονα έχουν συντεταγμένες της μορφής (0,ψ).

3) Αν οι δύο άξονες του συστήματος συντεταγμένων είναι κάθετοι , τότε το σύστημα λέγεται ορθό. Αν τα διανύσματα έχουν ίσα μέτρα , τότε το σύστημα λέγεται κανονικό. Αν πληρούνται και οι δύο παραπάνω προϋποθέσεις , τότε λέγεται ορθοκανονικό.

17 Αναλυτική έκφραση του διανύσματος

Για να δούμε τώρα τι γίνεται όταν τοποθετήσουμε ένα διάνυσμα στο καινούργιο περιβάλλον που κατασκευάσαμε δηλαδή σε ένα σύστημα συντεταγμένων.

Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε ένα σύστημα συντεταγμένων και ένα διάνυσμα . Για τεχνικούς λόγους παίρνουμε το διάνυσμα που είναι ίσο με το και έχει ως αρχή το Ο. Έτσι έχουμε . Το σημείο Α τώρα με την σειρά του έχει κάποιες συντεταγμένες Α(χ,ψ). Ας αποδείξουμε το παρακάτω θεώρημα :

Θεώρημα

Οποιοδήποτε διάνυσμα γράφεται με μοναδικό τρόπο ως γραμμικός συνδυασμός των μοναδιαίων διανυσμάτων ενός συστήματος συντεταγμένων.

Απόδειξη

Έστω διάνυσμα σε ένα σύστημα συντεταγμένων με αρχή το Ο και μοναδιαία διανύσματα . Παίρνουμε το μοναδικό διάνυσμα .

Πρώτα θα δείξουμε ότι το γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των . Δείτε : (αφού το σημείο Α έχει συντεταγμένες Α(χ,ψ) ).

Είναι όμως αυτός ο γραμμικός συνδυασμός μοναδικός ;

Έστω ότι υπάρχουν χ’χ και ψ’ψ τέτοια , ώστε : . Τότε θα ισχύει :

, το οποίο είναι προφανώς άτοπο , αφού οι άξονες τέμνονται . Άρα τα χ,ψ για τα οποία ισχύει είναι μοναδικά.

Επειδή λοιπόν για κάθε διάνυσμα μέσα σε οποιοδήποτε σύστημα συντεταγμένων με μοναδιαία διανύσματα η ισότητα είναι μονοσήμαντα ορισμένη , μπορούμε να πούμε ότι οι αριθμοί χ,ψ χαρακτηρίζουν μοναδικά το διάνυσμα και λέγονται συντεταγμένες του διανύσματος. Έτσι γράφουμε ή πιο απλά .

Επισημάνσεις :

1) Όταν αναφερόμαστε σε συντεταγμένες διανύσματος τότε στο συμβολισμό χρησιμοποιούμε το σύμβολο της ισότητας , πράγμα που δεν κάνουμε όταν αναφερόμαστε σε συντεταγμένες σημείου. Έτσι για παράδειγμα γράφουμε = (-2,1) και Α(-2,1).

2) Όταν για παράδειγμα έχουμε ότι ή πιο απλά εννοούμε ότι αν πάρουμε ένα διάνυσμα (δηλαδή το αναγκάσουμε να έχει ως αρχή , την αρχή των αξόνων) , τότε το τέλος Κ θα έχει συντεταγμένες .

3) Με τον τρόπο που ορίσαμε τις συντεταγμένες του διανύσματος θα πρέπει για να «διαβάσουμε» τις συντεταγμένες του να το … «καρφώσουμε» στην αρχή των αξόνων. Αυτό , όπως θα δούμε παρακάτω , δεν θα είναι απαραίτητο.

4) Όταν εκφράζουμε ένα διάνυσμα με την βοήθεια των συντεταγμένων του , τότε λέμε ότι το «εκφράζουμε αναλυτικά». Η τελευταία αυτή επισήμανση εξηγεί και τον τίτλο της παραγράφου.

18 Άλγεβρα διανυσμάτων με συντεταγμένες

Αφού εφοδιάσαμε με συντεταγμένες το διάνυσμα θα δούμε τώρα πως ορίζεται η ισότητα διανυσμάτων και πως κάνουμε πράξεις με συντεταγμένες.

Έστω διανύσματα , και .

· ΙΣΟΤΗΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

· ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

Απόδειξη

· ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

Απόδειξη

· ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

Απόδειξη

Για να δούμε τώρα πως εφαρμόζουμε πρακτικά τα παραπάνω.

Παραδείγματα

1) Αν και . Να βρεθεί το διάνυσμα

Όταν ζητείται να βρούμε το διάνυσμα εννοούμε ότι ψάχνουμε τις συντεταγμένες του. Γράφουμε πρώτα το πιο απλά και στην συνέχεια :

Γεωμετρική ερμηνεία : Θα δούμε αμέσως τώρα την γεωμετρική ερμηνεία της παραπάνω πράξης. Δεν είναι απαραίτητη , ούτε θα την παρουσιάσουμε ξανά. Ο λόγος που την παραθέτουμε εδώ είναι απλά για να καταλάβουμε ότι οι πράξεις διανυσμάτων που μάθαμε και τις κάναμε γεωμετρικά (π.χ κανόνας παραλληλογράμμου) και οι πράξεις διανυσμάτων με την βοήθεια συντεταγμένων είναι «οι δύο όψεις ενός νομίσματος».

Για να αποτυπώσουμε το παίρνουμε ένα διάνυσμα με αρχή , την αρχή των αξόνων και τέλος το σημείο Α(3,-2). Με τον ίδιο τρόπο αποτυπώνουμε το διάνυσμα . Στην συνέχεια προεκτείναμε το έτσι, ώστε να διπλασιάσουμε το μήκος του και έτσι πήραμε το διάνυσμα . Τέλος μεταφέραμε παράλληλα το διάνυσμα με σκοπό να το κάνουμε διαδοχικό του . Έτσι παίρνουμε το διάνυσμα , όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν τώρα η όλη διαδικασία έχει γίνει με γεωμετρική ακρίβεια , τότε το τέλος του διανύσματος θα είναι το σημείο Β με συντεταγμένες Β(5,4). Θυμίζουμε ότι λίγο πριν βρήκαμε . Είναι λοιπόν φανερό ότι όταν κάνουμε πράξεις διανυσμάτων με συντεταγμένες ουσιαστικά πραγματοποιούμε γεωμετρικές πράξεις , χωρίς όμως να νοιαζόμαστε για την γεωμετρική ακρίβεια !!!

2) Αν και , λ. Να βρεθεί η πραγματικός αριθμός λ έτσι , ώστε : .

Στο παράδειγμα αυτό θα δούμε πως εφαρμόζουμε την ισότητα διανυσμάτων με συντεταγμένες.

. Επειδή θέλουμε οι δύο σχέσεις να ισχύουν ταυτόχρονα καταλήγουμε ότι η ζητούμενη τιμή είναι λ=-1.

19 Αναλυτική μελέτη διανυσμάτων

Στην παράγραφο αυτή θα δούμε κάποιες ιδιότητες και έννοιες διανυσμάτων , που γνωρίζουμε ήδη , αλλά από την «οπτική γωνία» των συντεταγμένων. Θα δούμε ακόμα και την τεχνική με την οποία μπορούμε να διαβάσουμε τις συντεταγμένες ενός διανύσματος , χωρίς απαραίτητα να έχει το διάνυσμά μας ως αρχή την αρχή των αξόνων.

· Μέτρο διανύσματος

Άν τότε

Απόδειξη

Επειδή το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο ισχύει (ΟΑ)2=(ΟΒ)2 + (ΑΒ)2 (1)

Παράδειγμα

Αν και να υπολογιστεί το μέτρο του διανύσματος .

Καταρχήν είναι ευκολότερη η άλλη γραφή των διανυσμάτων με συντεταγμένες. Έτσι έχουμε : και . Υπολογίζουμε το μέτρο του ζητούμενου διανύσματος ως εξής :

.

· Μέσο ευθύγραμμου τμήματος

Αν ΑΒ είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα με Α(χ1,ψ1) και Β(χ2,ψ2) , τότε το μέσον Μ του ΑΒ έχει συντεταγμένες :

Απόδειξη

Ας θυμηθούμε ότι το διάνυσμα θέσης του μέσου Μ ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ως προς σημείο αναφοράς το σημείο Ο είναι το διάνυσμα .

Αν σε ένα ορθοκανονικό σύστημα το σημείο Α έχει συντεταγμένες Α(χ1,ψ1) , τότε . Αντίστοιχα αν για το σημείο Β έχουμε Β(χ2,ψ2) , τότε . Ας δούμε τώρα τις συντεταγμένες του : . Επομένως και αφού το διάνυσμα αυτό έχει ως αρχή την αρχή των αξόνων οι συντεταγμένες του διανύσματος ταυτίζονται με τις συντεταγμένες του τέλους. Άρα :

· Ελεύθερο διάνυσμα

Αν ένα διάνυσμα έχει αρχή το σημείο Α(χ1,ψ1) και τέλος το σημείο Β(χ2,ψ2) τότε το διάνυσμα έχει συντεταγμένες :

Απόδειξη

Αν ισχύει Α(χ1,ψ1) , τότε και αντίστοιχα για το Β(χ2,ψ2) έχουμε : . Για το διάνυσμα παίρνουμε σημείο αναφοράς την αρχή των αξόνων : .

· Συνθήκη παραλληλίας

Για τα διανύσματα και ορίζουμε ως ΟΡΙΖΟΥΖΑ ΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ και την συμβολίζουμε τον πραγματικό αριθμό : .

Θα αποδείξουμε τώρα μια ακόμα συνθήκη παραλληλίας :

Απόδειξη

.

Σημείωση : αν χ2=0 τότε και χ1=0 οπότε η ορίζουσα θα είναι μηδενική. Ανάλογα αν ψ2=0 τότε και ψ1=0 , άρα πάλι η ορίζουσα θα είναι μηδενική.

Ακολουθούν παραδείγματα για να δούμε πως πρακτικά εφαρμόζουμε όλα αυτά που αναπτύξαμε στην αναλυτική μελέτη του διανύσματος.

1) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(-1,2) , Β(7,0) , Γ(1,4). Δ είναι το μέσον της διαμέσου ΑΜ και Ε ένα σημείο της ΑΓ τέτοιο ,ώστε : . Δείξτε ότι τα σημεία Β,Δ,Ε είναι συνευθειακά.

Για να αποδείξουμε ότι τα Β,Δ,Ε είναι συνευθειακά αρκεί π.χ. να αποδείξουμε ότι τα είναι παράλληλα. Για τον λόγο αυτό θα βρούμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων και θα αποδείξουμε ότι έχουν μηδενική ορίζουσα. Για να βρούμε όμως τις συντεταγμένες των διανυσμάτων πρέπει να βρούμε τις συντεταγμένες των άκρων τους. Αναζητούμε επομένως τις συντεταγμένες των σημείων Δ,Ε (αφού οι συντεταγμένες του Β είναι δοσμένες).

Το σημείο Μ είναι το μέσο της ΒΓ , επομένως έχει συντεταγμένες :

Το σημείο Δ είναι το μέσο της ΑΜ , επομένως έχει συντεταγμένες :

Έστω ότι το σημείο Ε έχει συντεταγμένες Ε(α,β). Από την δοσμένη διανυσματική σχέση έχουμε :

. Επομένως :

Υπολογίζουμε τώρα τις συντεταγμένες των :

Ελέγχουμε την παραλληλία των διανυσμάτων με την ορίζουσα :

Αφού η ορίζουσα των διανυσμάτων είναι μηδενική συμπεραίνουμε ότι , το οποίο μας οδηγεί στο τελικό συμπέρασμα ότι τα σημεία Β,Δ,Ε είναι συνευθειακά.

2) Για ποιες τιμές της παραμέτρου λ τα διανύσματα και είναι συγγραμικά (παράλληλα) ;

3) Να βρεθεί το μοναδιαίο διάνυσμα στην κατεύθυνση του

Εννοούμε ότι αναζητάμε ένα διάνυσμα με μέτρο ίσο με ένα , το οποίο εχει την ίδια κατεύθυνση , δηλαδή είναι ομόρροπο του . Αν καλέσουμε , το ζητούμενο διάνυσμα θα πρέπει

. Αρκεί λοιπόν να βρούμε το λ , για να βρούμε το . Επειδη θέλουμε το διάνυσμά μας να είναι μοναδιαίο απαιτούμε :

. Επειδή θέλουμε �