πράξεις με ρητές

ΜΕΡΟΣ Α΄1.10 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 133

1. 10 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ

Πολλαπλασιασμός-Διαίρεση ρητών παραστάσεων Πολλαπλασιασμός

Για να πολλαπλασιάσουμε έναν ακέραιο αριθμό με ένα κλάσμα ή για να πολλαπλασιάσουμε δύο κλάσματα, χρησιμοποιούμε τους εξής κανόνες

. γαβ

γβ.α = και

βδαγ

δγ.

βα

=

Οι ίδιες ενέργειες γίνονται και όταν έχουμε να πολλαπλασιάσουμε μια ακέ-ραια με μια ρητή παράσταση ή δύο ρητές παραστάσεις.

Για παράδειγμα, y5x6

y5x3.x2

32 = και ( )

( ) 5xy

y1y51yxy

y1y.

5y5xy 233

=−−

=−

−

Διαίρεση Για να διαιρέσουμε δύο κλάσματα χρησιμοποιούμε τον παρακάτω κανόνα

βγαδ

γδ.

βα

δγ:

βα

==

Με τον ίδιο τρόπο διαιρούμε και δύο ρητές παραστάσεις . Για παράδειγμα ,

( )( )( ) ( )1xx3

1xx1x1xx3

1xx3.

x1x

x31x:

x1x 2

332

3

2

−=+

−+=

+−

=+−

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω ισότητες με (Σ) ,αν είναι σωστές ή με ( Λ ) , αν είναι λανθασμένες

α) yx

xy1x =⋅ …… β)

yx

y1x =⋅ ………

γ) 23

x2:3x = ………… δ)

23x

x2:3x

2

=


ε) y5

1x5

y1x

=−

⋅−

…… στ) 2x2xα

x2x

xα −

=−

⋅ ………

ζ) 0α

1α1α

α 2

2 =+

⋅+

…… … η) 12β

α:2β

α=

++…

ΑΠΑΝΤΗΣΗ Η α είναι λάθος (Λ) γιατί δεν πολλαπλασιάζουμε το x με τον παρονομαστή. .

Η β είναι σωστή (Σ) γιατί εφαρμόζουμε την ιδιότητα γαβ

γβ.α =

Η γ είναι λάθος (Λ) γιατί 2x3

2x.x3

x2:x3

2

==

Η δ είναι σωστή (Σ) γιατί 2x3

2x.x3

2

=

Η ε είναι σωστή (Σ) γιατί απλοποιείται το x-1 από τον αριθμητή και τον πα-ρονομαστή.

Η στ είναι λάθος (Λ) γιατί ( )2x2α-αx

x.x2-xα

x2x.

xα

==− .

Η ζ είναι λάθος (Λ) γιατί ( )( ) 1

1αα1αα

α1α.

1αα

2

22

2 =++

=+

+

Η η είναι σωστή (Σ) γιατί ( )( ) 1

2βα2βα

α2β.

2βα

2βα:

2βα

=++

=+

+=

++

2. Να συμπληρώσετε τις ισότητες

α) yx6

y........3x

2

=⋅ β) 2y1

.......1

yx

=⋅ γ) yω

ω.........:

y4x

=

δ) 1...................

1x2x

=⋅−+ ε) 1

...................:

1x2x

=−+ στ)

2xx

...........2x:

yx

+=

+

ΑΠΑΝΤΗΣΗ


α) yx6

y2x3x

2

=⋅

β) 2y1

xy1

yx

=⋅

γ) yω

ω4x:

y4x

==x4ω

yx4

δ) 12x1-x

1x2x

=+

⋅−+

ε) 12x1x

1x2x

1x2x:

1x2x

=+−

−+

=−+

−+

στ) 2x

xyx

y2x:

yx

+=

+=

+2x

y

α) Για να προκύψει αριθμητής το 6x2 πρέπει το 3x να πολλαπλασιαστεί με το 2x. β) Πρέπει ταυτόχρονα να απλοποιηθεί το x και το y να γίνει y2 άρα πρέπει να βάλουμε xy. . γ) Μετατρέπουμε την διαίρεση σε πολλαπλασια-σμό και παρατηρούμε ότι πρέπει να απλοποιηθεί το 4x το οποίο και βάζουμε. δ) Για να προκύψει μονάδα πρέπει να πολλα-πλασιάσουμε με το αντίστροφο κλάσμα. ε) Για να προκύψει μονάδα πρέπει επειδή η διαί-ρεση αντιστρέφει το κλάσμα να διαιρέσουμε με την ίδια κλασματική παράσταση. στ) Επειδή με την διαίρεση αντιστρέφεται το κλάσμα πρέπει να βάλουμε y στον παρονομαστή ώστε με την αντιστροφή να απλοποιήσει το y..

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Να υπολογίσετε τα γινόμενα ΑΣΚΗΣΗ 1

α) yx

x1

2 ⋅ β) 3x1

4y9x

⋅ γ) 9x112x 2 ⋅

δ) 22

3

4α6β

3β2α

⋅ ε) ( )10ω

35ω2 ⋅− στ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 2α

42ββ3α

ΛΥΣΗ

α) yx

x1

2 ⋅ = xy1

β) 3x1

4y9x

⋅ =y4

3

γ)9x112x 2 ⋅ =

3x4

δ) 22

3

4α6β

3β2α

⋅ = 22

3

βα12βα12 =

βα

ε) ( )10ω

35ω2 ⋅− = −ωω

1015 2

= −2ω3

στ) α6

βα2αβ12

α4

2βαβ3

22 ==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

α) Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα βδ

αγ

δ

γ.

β

α=

β) Ομοίως και απλοποιούμε. .

γ) Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα γ

αβ

γ

β.α = .

δ) Χρησιμοποιούμε την ιδιότηταβδ

αγ

δ

γ.

β

α= .

ε) Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα γ

αβ

γ

β.α = .

στ) Χρησιμοποιούμε την ιδιότηταβδ

αγ

δ

γ.

β

α=


Να κάνετε τις διαιρέσεις ΑΣΚΗΣΗ 2

α) x6:8x β) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

y3:

y1

2 γ) 23

2

3α:βα

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− δ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 2

23

4ωx:

2ωx

ΛΥΣΗ

α) x6:8x = 8x⋅

6x

=3x4 2

β) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

y3:

y1

2 = y31

y3y

2 −=−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅

3y

y1

2

γ) 23

2

3α:βα

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− = 332

2

β31

βα3α

−=−=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 23

2

3α1

βα

δ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 2

23

4ωx:

2ωx

=

= ωx2ωx2ωx42

23

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 2

23

x4ω

2ωx

α) Μετατρέπουμε την διαίρεση σε πολλαπλασι-ασμό και κατόπιν εφαρ-μόζουμε την ιδιότητα

γ

αβ

γ

β.α = .

β) Μετατρέπουμε την διαίρεση σε πολλαπλασι-ασμό και κατόπιν εφαρ-μόζουμε την ιδιότητα

βδ

αγ

δ

γ.

β

α= .

γ) Ομοίως δ) Ομοίως .

ΑΣΚΗΣΗ 3

Να υπολογίσετε τα γινόμενα

α) 3x

4xx

62x2 +

⋅+ β)

y5y2

2y5y

−+

⋅+− γ)

22

23

32 ωxωx

ωxωx

−⋅

− ..

δ)2αα3α

6αα4α

22

2

++

⋅−+

− ε) 3xx

65xx4xxx

2

2

2

2

+++

⋅−+ στ)

3y2y3yy

912y4y94y

2

2

2

2

++

⋅+−

−

α) =+

⋅+

3x4x

x62x

2

=x8

)3x(x)3x(x8

2 =++

=+

⋅+

3x4x

x3)2(x

2

β) y5y2

2y5y

−+

⋅+−

= 1)( −=+

−⋅+−

5-y2y

2y5y

γ) 22

23

32 ωxωx

ωxωx

−⋅

−.=

α) Παραγοντοποιούμε τον αριθ-μητή του πρώτου κλάσματος και κατόπιν χρησιμοποιούμε την

ιδιότητα βδ

αγ

δ

γ.

β

α= και απλο-

ποιούμε. β) Αλλάζουμε το πρόσημο στο δεύτερο κλάσμα και κατόπιν χρησιμοποιούμε την ιδιότητα

ΛΥΣΗ

βδ

αγ

δ

γ.

β

α= και απλοποιούμε.


=+

⋅−

)ωω)(x-(xωx

ωxωx 23

32

=+

−)ω

)ωx(ω)(x-(xωχ

ωx32

23

=)ω+ω(x

x

δ)2αα3α

6αα4α

22

2

++

⋅−+

−=

= )2α(α +

+⋅

++ 3α

2)-3)(α(α2)-2)(α(α

=α1

ε) 3xx

65xx4xxx

2

2

2

2

+++

⋅−+

=

=3)x(x

2)3)(x(x2)-2)(x(x

1)x(x+++

⋅+

+=

2-x1x +

στ) 3y2y3yy

912y4y94y

2

2

2

2

++

⋅+−

− =

=3)y(2y

3)y(y3)-(2y

3)-3)(2y(2y2 +

+⋅

+=

32y3y−+

γ) Παραγοντοποιούμε τον παρο-νομαστή του δεύτερου κλάσματος και χρησιμοποιούμε την ιδιότητα

βδ

αγ

δ

γ.

β

α= και απλοποιούμε.

δ) Παραγοντοποιούμε τους όρους των κλασμάτων και κατόπιν χρη-σιμοποιούμε την ιδιότητα

βδ

αγ

δ

γ.

β

α= και απλοποιούμε .

ε) Παραγοντοποιούμε τους όρους των κλασμάτων και κατόπιν χρη-σιμοποιούμε την ιδιότητα

βδ

αγ

δ

γ.

β

α= και απλοποιούμε

στ) Παραγοντοποιούμε τους ό-ρους των κλασμάτων και κατόπιν χρησιμοποιούμε την ιδιότητα

βδ

αγ

δ

γ.

β


Να κάνετε τις διαιρέσεις ΑΣΚΗΣΗ 4

α) 15

4x:5

4x ++ β) y1

2y1:1y12y

+−

+− γ) ( )2ω:

ω2ω

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

δ) ( )β

1α:β

1α 2

2

++ ε) yxxyx:

xyxyx 2

2 −+

−+ στ)

42xx2x:

8x4x

23

2

+−−

+−

α) 15

4x:5

4x ++ = 3=+

⋅+

4x15

54x

β)y1

2y1:1y12y

+−

+− =

y12y1:

1y12y

+−

+− =

= )2 1-y

1y(-1y12y +⋅

+− = −1

γ) ( )2ω:ω

2ω+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +− =

2ω1+

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

ω2ω =

ω1

−

α) Μετατρέπουμε την διαίρε-ση σε πολλαπλασιασμό και κατόπιν χρησιμοποιούμε την ιδιότητα και απλοποιούμε β) Ομοίως γ) Ομοίως δ) Ομοίως ε) Μετατρέπουμε την διαίρε-ση σε πολλαπλασιασμό ταυ-τόχρονα παραγοντοποιούμε τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος και τον παρονο-μαστή του δεύτερου κατόπιν

ΛΥΣΗ


δ) ( )β

1α:β

1α 2

2

++ = 22 1)(αβ1α

+⋅

+ β = ( )1α +β1

ε)yxxyx:

xyxyx 2

2 −+

−+ =

y)x(xy-x

y)x(xyx

+⋅

−+ = 2x

1

στ) =+−

−+−

42xx2x:

8x4x

23

2

=2-x

42xx2)(x(x

2)-2)(x(x 2

2

+−⋅

+−++

)2x2 2 = 1

χρησιμοποιούμε την ιδιότητα

βδ

αγ

δ

γ.

β


στ) Μετατρέπουμε την διαί-ρεση σε πολλαπλασιασμό ταυτόχρονα παραγοντοποιώ-ντας τους όρους των κλασμά-των κατόπιν κάνουμε τον πολλαπλασιασμό και απλο-ποιούμε

ΑΣΚΗΣΗ 5

Να υπολογίσετε τις παραστάσεις

α)2x88x:

2x44x

1x2x

+−

++

⋅+− β) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

++

⋅−+

−+

3x2x

1x62x:

1x2x

γ)3x2x

1x62x:

1x2x

++

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

−+

ΛΥΣΗ

α) 2x88x:

2x44x

1x2x

+−

++

⋅+−

=

=1)-8(x2x

2x1)4(x

1x2x +

⋅++

⋅+−

=1)2(x2x−−

β) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

⋅−+

−+

3x2x

1x62x:

1x2x

=

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

⋅−+

−+

3x2x

1x3)2(x:

1x2x

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

−+

1x2)x:

1x2x (2

=

=2)2(x

1x1x2x

+−

⋅−+

= 21

γ)3x2x

1x62x:

1x2x

++

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

−+

=

3x2x

62x1x

1x2x

++

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

⋅−+

= 3)2(x1x

1x2x

+−

⋅−+

3x2x

++

⋅ =

= 2

2

3)2(x2)(x++

α) Μετατρέπουμε την διαίρεση σε πολλαπλασιασμό. Ταυτόχρονα παραγοντοποιούμε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος και τον παρονομαστή του τρίτου κλάσμα-τος και απλοποιούμε. β) Πολλαπλασιάζουμε πρώτα τα κλάσματα μέσα στην παρένθεση παραγοντοποιώντας ταυτόχρονα τον αριθμητή του πρώτου κλάσμα-τος .Κατόπιν μετατρέπουμε την διαίρεση σε πολλαπλασιασμό. Κάνουμε τον πολλαπλασιασμό και μετά απλοποιούμε. γ) Μετατρέπουμε την διαίρεση σε πολλαπλασιασμό μέσα στην πα-ρένθεση. Κατόπιν κάνουμε τους πολλαπλασιασμούς εφαρμόζοντας

την ιδιότητα ζ.δ.β

ε.γ.α

ζ

ε.

δ

γ.

β

α=


Πρόσθεση- Αφαίρεση ρητών παραστάσεων Για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε κλασματικές αλγεβρικές παραστά-σεις ακολουθούμε την ίδια διαδικασία με αυτήν της πρόσθεσης και της α-φαίρεσης ομωνύμων ή ετερωνύμων κλασμάτων δηλαδή:

• Έστω ότι έχουμε τις αλγεβρικές παραστάσεις βγ και

βα τότε :

βγα

βγ

βα και

βγ+α

βγ

βα −

=−=+ .

• Όταν οι αλγεβρικές παραστάσεις έχουν διαφορετικό παρονομαστή δηλαδή:

δγ και

βα τότε τις μετατρέπουμε σε κλασματικές αλγεβρικές παραστάσεις

με τον ίδιο παρονομαστή όπως ακριβώς και στα κλάσματα

βδαδβγ

βδβγ

βδαδ

δγ

βα και

βδβγ+αδ

βδβγ

βδαδ

δγ

βα

=−=−=+=+

Για να μετατραπούν οι κλασματικές αλγεβρικές παραστάσεις σε παραστά-σεις με τον ίδιο παρονομαστή πρέπει να βρούμε το Ε.Κ.Π των παρονομα-στών ακολουθώντας την εξής διαδικασία:

• Παραγοντοποιούμε τους παρονομαστές αναλύοντας τους αριθμη-τικούς συντελεστές και τα πολυώνυμα σε γινόμενα πρώτων παρα-γόντων.

• Σχηματίζουμε το γινόμενο από τους κοινούς και μη κοινούς παρά-γοντες παίρνοντας τον καθέναν απ’ αυτούς με τον μεγαλύτερο εκ-θέτη.

• Διαιρούμε το Ε.Κ.Π των παρονομαστών(το γινόμενο που βρήκαμε πιο πάνω) με κάθε παρονομαστή.

• Πολλαπλασιάζουμε τους όρους κάθε κλασματικής παράστασης με το αντίστοιχο πηλίκο.

Οι κλασματικές αλγεβρικές παραστάσεις τώρα έχουν μετατραπεί σε κλα-σματικές αλγεβρικές παραστάσεις με τον ίδιο παρονομαστή και τις προ-σθέτουμε ή τις αφαιρούμε κατά περίπτωση.

π. χ 61

3x31x

1x2xx

2

2

−+−

+++


• Παραγοντοποιούμε τους παρανομαστές ( ) ( ) 32=6 , 1+x3=3+3x , 1 2 ⋅

( )21x32 +⋅⋅

( )( )

x1x2x 2 +=++

• Σχηματίζουμε το γινόμενο από τους κοινούς και μη κοινούς παράγοντες παίρνοντας τον καθέναν απ’ αυτούς με τον μεγαλύτερο εκθέτη.

(Το οποίο είναι το Ε.Κ.Π των παρονομαστών)

• Βρίσκουμε τα πηλίκα του Ε.Κ.Π με κάθε παρονομαστή

( )( )

( ) ( ) ( )2

22

2

2

1x3.2

1+x32 , 1x21x31+x32 , 6

1x1

+=⋅⋅

+=+

⋅⋅=

+

x32 +⋅

Πολλαπλασιάζουμε τους όρους κάθε κλασματικής αλγεβρικής παράστασης με το αντίστοιχο πηλίκο και έχουμε διαδοχικά:

( ) ( )

( )( )( )( )

( )( )

( )( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )

2

2

2

222

2

222

2

22

2

2

22

2

2

2

1x63x2x7

1x61x2x2x2x6

1x61x2x1x2x6

1x61x1x1x2x6

1x6

1x1x6

1x1x21x6

x6

61

1x31x

1xx

+

−−=

+

−−−−+=

+

++−−+=

+

+−−++=

+

+−

+

−++

+=

−+−

++

=

2

2

61

3x31x

1x2xx

=−+−

+++

Παραγοντοποιούμε τους παρονο-μαστές. Το Ε.Κ.Π[(x+1)2,3(x+1),6]=6(x+1)2. Πολλαπλασιάζουμε τους όρους με τα πηλίκα του Ε.Κ.Π με κάθε πα-ρονομαστή. Προσθέτουμε τις παραστάσεις. Κάνουμε πράξεις στον αριθμητή. Κάνουμε πράξεις στον αριθμητή. Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων στον αριθμητή.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω ισότητες με (Σ) ,αν είναι σωστές ή με


( Λ ) , αν είναι λανθασμένες

α) 11x=

++

+ 1x1x

β) yxyx

211+

=+

γ) 144α=−

+αα

δ) 0βαβα

=−+αββα

+−+

ε) ωω

x1x1+

=+ στ) xxx

22αα=

+−

ΑΠΑΝΤΗΣΗ Η α είναι σωστή (Σ) γιατί επειδή οι παραστάσεις έχουν κοινό παρονομαστή προσθέτουμε τους αριθμητές και παρονομαστή αφήνουμε τον ίδιο οπότε προκύπτει κλάσμα με ίδιο αριθμητή και παρονομαστή.

Η β είναι λάθος (Λ) γιατί xyxyxyyx

yxxy11 +=+=+

Η γ είναι σωστή (Σ) γιατί 1α44α44α==

+ −αααα

=−+

Η δ είναι σωστή (Σ) γιατί

00βαβαβαβαβαβα==

+ − −βαβαβαβααββα −−

=+

−+

=+

++

−−−−

Η ε είναι λάθος (Λ) γιατίωωωω

xωxωx1 +=+=+ .

Η στ είναι λάθος (Λ) γιατί x2

x2αα

x2α

xα

−=+ − − − =

2. Ένας μαθητής έγραψε τις παρακάτω ισότητες και ο καηγητής τού εί-

πε ότι σε κάποιο σημείο έκανε ένα λάθος. Μπορείτε να εντοπίσετε το λάθος αυτό;

α) 1βαβα

βαβ

βαα

αββ

βαα

=−− =

−−

−=

−+

−

β) 11x1x

1x12x23x

1x12x

1x23x

=++

=+

−−+=

+−

−++

ΑΠΑΝΤΗΣΗ


1x3x

1x12x23x

1x12x

1x23x

++

=+

+−+=

=+−

−++

Το λάθος έγινε στο ερώτημα β. γιατί δεν άλλαξε το πρόσημο στον δεύτερο όρο του αριθ-μητή ,δηλαδή -(-1)=1

3. Να συμπληρώσετε τις ισότητες

α) 0..........6x

x=−

+ β) 1.........

6xx

=++

γ) 1x

2x1x

x........+

=+

+

…..

δ) 2x

12x

5........+

=+

− ε) 2........x

12x=+

− στ) 3........x

83x=−

+

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

α) 06x

x=

+−

+ 6xx

β) 16x

6=

++

+ 6xx

γ) 1x

2x1x

x1x

x+

=+

++

δ) 2x

12x

5+

=+

−+ 2x6

ε) 2x

12x=+

−x1

στ) 3x

83x=−

+x8

α) Για να προκύψει το μηδέν πρέπει να προσθέσουμε το αντίθετο κλάσμα. β) Για να προκύψει μονάδα πρέπει να προσθέσουμε ένα κλάσμα με αριθμητή που να συμπληρώνει τον παρονομαστή και να έχει τον ίδιο παρονομαστή . γ) Για να προκύψει κλάσμα με ίδιο παρονομαστή και διπλά-σιο αριθμητή πρέπει να προσθέσου το ίδιο κλάσμα . δ) Για να προκύψει κλάσμα με ίδιο παρονομαστή και αριθ-μητή μονάδα εφόσον ο αριθμητής του δεύτερου κλάσματος είναι 5 το πρώτο κλάσμα θα έχει ίδιο παρονομαστή και α-ριθμητή 6 . ε) Προσθέτουμε ένα κλάσμα με αριθμητή την μονάδα για να φύγει το -1 και παρονομαστή τον ίδιο στ) Αφαιρούμε ένα κλάσμα με αριθμητή το 8 για να φύγει το 8 και παρονομαστή τον ίδιο

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Να υπολογίσετε τις παραστάσεις ΑΣΚΗΣΗ 1

α) y1

x1+ β) γ)

y1

y1

2 − δ) 1ω

2ω1

22 +−

ΛΥΣΗ


α) y1

x1+ =

xyyx +

=+xyx

xyy

x2

1x3

−+

β) =

)1x(x2x

)1x(x2x2x3

)1x(x)1x(2x3

+−

=+−−

=++−

=

=++

−+

=1)x(x1)2(x

1)x(x3x

γ) y1

y1

2 − = 2yy1−

=− 22 yy

y1

1ω2

ω1

22 +− δ) =

)1ω(ωω1

)1ω(ωω21ω)1ω(

1

22

2

22

22

2

2

+−

=+

−+=

=+

−+

+=

1)(ωω2ω

ωω

22

2

2

α) Το Ε.Κ.Π. είναι το xy Μετατρέπουμε τα κλάσματα σε ομώνυμα Εκτελούμε τις πράξεις και κάνουμε τις απλοποιήσεις β) Το Ε.Κ.Π. είναι το x(x+1) και έχου-με: Μετατρέπουμε τα κλάσματα σε ομώνυμα Εκτελούμε τις πράξεις και κάνουμε τις απλοποιήσεις γ) Το Ε.Κ.Π. είναι το y2 Μετατρέπουμε τα κλάσματα σε ομώνυμα Εκτελούμε τις πράξεις και κάνουμε τις απλοποιήσεις δ) Το Ε.Κ.Π. είναι το ω2(ω2+1) Μετατρέπουμε τα κλάσματα σε ομώνυμα Εκτελούμε τις πράξεις και κάνουμε τις απλοποιήσεις

Να υπολογίσετε τις παραστάσεις ΑΣΚΗΣΗ 2

α) 3x

362x

2x−

−−

β) 2y

42yy6y

2 +−

+− γ)

42ω4

4ω63ω

2 −−

−+

δ) 2x36x

122x1

−+

+ ε)

xωω3ω

xωx9x

22 −+

− στ)

1α3

34αα7α

2 +−

+++

ΛΥΣΗ

α) 3x

362x

2x−

−−

= 3x

33)2(x

2x−

−−

=

= 3x

33x

x−

−−

= 1=−−

3x3x

β) 2y

42yy6y

2 +−

+−

=2y

42)y(y6y

+−

+−

=

= =+

−+−

2)y(y4y

2)y(y6y

=+−−

2)y(yy6y 4

α) Παραγοντοποιούμε τον παρο-νομαστή του πρώτου κλάσματος και κάνουμε απλοποίηση και κατό-πιν τις πράξεις. β) Παραγοντοποιούμε τον παρο-νομαστή : y2+2y = y(y+2) Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π των παρονο-μαστών, που είναι: y(y+2) Κάνουμε ομώνυμα τα κλάσματα και τις πράξεις :


=( )

y33 −

=++−

=+−

2)y(y2y

2)y(y63y-

γ)

42ω4

4ω63ω

2 −−

−+

=2)2(ω

42)2)(ω(ω

2)3(ω−

−+−

+=

2)2)(ω2(ω2)4(ω

2)2)(ω2(ω2)6(ω

+−+

−+−

+=

=2)2)(ω2(ω

2)4(ω2)6(ω+−+−+

=2)2)(ω2(ω

2)(ω+−

+2=

2ω1−

42ω4

4ω63ω

2 −−

−+

=2)2(ω

42)2)(ω(ω

2)3(ω−

−+−

+=

=2ω

22ω

3−

−−

=2ω

1−

δ) 2x36x

122x1

−+

+=

36−−

+ 2xx

122x1

=

=)6−+

−+ 6)(x(x

x6)2(x

1

=)6)6

6−+

−−+

−6)(x2(x2x

6)(x2(xx

=

= =−+

−−)6

x266)(x2(x

x=

−+−−

)66

6)(x2(xx

=)

1)

1)6

)6(62(x62(x6)(x2(x

x+

−=+−

=−+

+−

( ) ( )

( ) ( )

ωx6

ωx39

ω-x3

ωx9

ω-xωω3

ωxxx9

x-ωωω3

ωxxx9 ε)

−=

−−

=

=−−

=−−

=

=+−

=−

+− xωω

3ωxωx

9x22

( )( )

( )( )( )

( )( ) =+++

−++

+=

=+

−++

+=

+−

+++

3α1α3α3

3α1α7α

1α3

3α1α7α )στ

1α3

34αα7α

2

γ) Παραγοντοποιούμε τους παρο-νομαστές : ω2−4 = (ω+2)(ω−2) 2ω−4 = 2(ω−2) Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π, των παρο-νομαστών που είναι: 2(ω+2)(ω−2) Κάνουμε ομώνυμα τα κλάσματα και τις πράξεις : Σε αυτήν την άσκηση θα μπο-ρούσαμε να εργασθούμε και ως εξής κάνοντας απλοποιήσεις : δ) Αλλάζουμε το πρόσημο του δεύτερου κλάσματος. Παραγοντοποιούμε τους παρονο-μαστές : 2x+12=2(x+6) x2−36 =(x+6)(x−6) Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π, των παρο-νομαστών που είναι: 2(x+6)(x−6) Κάνουμε ομώνυμα τα κλάσματα και τις πράξεις. Τροποποιούμε τον αριθμητή έτσι ώστε να απλοποιηθεί το κλάσμα. ε) Παραγοντοποιούμε τους παρο-νομαστές Αλλάζουμε το πρόσημο του δεύτε-ρου κλάσματος. Απλοποιούμε τα κλάσματα. Προσθέτουμε τα ομώνυμα κλά-σματα. στ) Παραγοντοποιούμε τον πρώτο παρονομαστή. Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π, των παρο-νομαστών που είναι: (α+1)(α+3) Κάνουμε ομώνυμα τα κλάσματα και τις πράξεις.


( )( ) ( )( ) 3α2

3α1α2α2

3α1α93α7α

+−

=++

−−=

++−−+

= Παραγοντοποιούμε τον αριθμητή που προκύπτει και κάνουμε την απλοποίηση.

ΑΣΚΗΣΗ 3

Να απλοποιήσετε τα κλάσματα

α)

x11

x1x

+

− β)

y1y

y12y

−

+− γ)

3ω11

ω11ω

−

++ δ)

βα

αβ

β1

α1

−

−

ΛΥΣΗ

α)

x11x1x

+

−= ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

x1x : ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

x11 = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

x1

xx 2

: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

x1

xx =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −x

x 2 1: ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

x1x = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −x

x 2 1⋅ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+1xx =

=x

1)(x(x )1−+⋅

1xx+

= x−1

β)

y1y

y12y

−

+−= ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

y12y : ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

y1y =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=

y1

y2)y(y

: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

y1

yy2

=y

1yy2 +− 2:

yy2 1− =

=y1)(y 2−

:y

1)y(y +− )(1 =y1)(y 2−

⋅1)y(y

y+− )(1

=1y1y

+−

γ)

3ω11

ω11ω

−

++ = ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++ 3ω

11:ω11ω =

α) Κάνουμε τις πρά-ξεις στον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος ώστε να έχουμε ομώνυμα κλάσματα. Μετατρέ-πουμε την διαίρεση σε πολλαπλασιασμό κάνοντας ταυτόχρονα παραγοντοποίηση και τέλος απλοποιούμε β) Κάνουμε τις πρά-ξεις στον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος ώστε να έχουμε ομώνυμα κλάσματα. Μετατρέ-πουμε την διαίρεση σε πολλαπλασιασμό κάνοντας ταυτόχρονα παραγοντοποίηση και τέλος απλοποιούμε. γ) Κάνουμε τις πρά-ξεις στον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος ώστε να έχουμε ομώνυμα κλάσματα. Μετατρέ-πουμε την διαίρεση σε πολλαπλασιασμό κάνοντας ταυτόχρονα παραγοντοποίηση και


= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+ω1

ω1)ω(ω

: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 33

3

ω1

ωω = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++ω

ω2 1ω: ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −3

3

ωω 1 =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++ω

ω2 1ω: ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++−3

2

ωω(ω )1ω)(1 =

=ω

ω2 1ω ++⋅

)1)(1 ++− ω2

3

ω(ωω =

1−ωω 2

δ)

βα

αβ

β1

α1

−

−= ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−β1

α1

: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−βα

αβ = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−αβα

αββ

: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−αβα

αββ 22

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −αβαβ

: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −αβαβ 22

=

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −αβαβ

: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−αβ

α)α)(β(β =αβαβ −⋅

α)α)(β(βαβ

+− αβ +1

τέλος απλοποιούμε. δ) Ομοίως

Να υπολογίσετε τις παραστάσεις ΑΣΚΗΣΗ 4

α) 2xx

82x

4x

2x2 −

−−

+− β) 22 4yx

16y2x2yx

22yx

3−+

+−

−+

γ) 3y

32y

265yy

6y2

2

−+

−−

+−− δ) 22

222

yx2xy

yxy

yxx

−−

++

−

α)

2xx

82x

4x

2x2 −

−−

+− =

2)x(x8

2x4

x2x

−−

−+

− =

=2)x(x

82)x(x

4x2)x(x

2)(x 2

−−

−+

−− =

2)x(x8x2)(x 2

−−+− 4 =

= 2)x(x

8x4xx 2

−−++− 44 =

2)x(x4x 2

−− =

2)x(x2)2)(x(x

−+− =

x2x +

β)

22 4yx16y2x

2yx2

2yx3

−+

+−

−+

=

α) Παραγοντοποι-ούμε τον παρο-νομαστή : x2−2x = x(x−2) Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π, των πα-ρονομαστών που είναι: x(x−2) Κάνουμε ομώνυ-μα τα κλάσματα και τις πράξεις

ΛΥΣΗ


=y)

16y2x2yx

22yx

322y)(x(x −+

++

−−

+=

y)16y2x

2y)2y)(x(x2y)2(x

2y)2y)(x(x2y)3(x

22y)(x(x −++

++−

+−

−+− =

=2y)2y)(x(x

16y2x2y)2(x2y)3(x−+

+++−− =

2y)2y)(x(x16y2x4y2x6y3x

−+++−−− =

2y)2y)(x(x6y3x−+

+ =

=2y)2y)(x(x

2y)3(x−+

+ =2yx

3−

γ)

3y3

2y2

65yy6y

2

2

−+

−−

+−− =

=)2(y

)2(y)3y(

)3y()3y)(2(y −−

−+

−−−

−−−

−3)(y

32)(y

26y2

=

)3y)(2(y)2(y)3y(

−−−+−−− 326y2

=)3y)(2(y

6y6y−−

−++−− 326y2

=

)3y)(2(y6y6y

−−−++−− 326y2

=)3y)(2(y

y−−−+ 6y2

=3y3y

−+

δ) 22

222

yx2xy

yxy

yxx

−−

++

−=

=y)

2xyy)y)(x

y)yy)(x

x 222

−+−

−+−

++−

+y)(x(x(x

(xy)(x

y)(x =

y)(x(xy)(x+−

−−++y)(x

2xyy)yx 222

=y)(x

xy+−

−−++y)(x

2xyyyxx 23223

=

y)(xy

+−−−+

y)(xyxyxx 3223

=y)(x

)y(+−

+−+y)(x

y)(xyxx 22

=

=y)(x

)(y(+−−+

y)(x)yxx 22

=y)(x

y)(x)y(+−

+−+y)(x

y)(xx =x+y

β) Παραγοντοποι-ούμε τον παρο-νομαστή :

24y2x − =(x+2y)(x−2y) Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π, των πα-ρονομαστών που είναι: (x+2y)(x−2y) Κάνουμε ομώνυ-μα τα κλάσματα και τις πράξεις γ) Παραγοντοποι-ούμε τον παρο-νομαστή :

65y2y +− =

(y−2)끸y−3) Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π, των πα-ρονομαστών που είναι: (y−2)(y−3) Κάνουμε ομώνυ-μα τα κλάσματα και τις πράξεις δ) Παραγοντοποι-ούμε τον παρο-νομαστή :x2−y2 =(x+y)(x−y) Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π, των πα-ρονομαστών που είναι : (x+y)(x−y) Κάνουμε ομώνυ-μα τα κλάσματα και τις πράξεις :


ΑΣΚΗΣΗ 5

Να υπολογίσετε τις παραστάσεις

α) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

++

34x11

12xx

12x3x β)

( ) ( )22

22 1x3x:

1x3x

1x3x

−−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

+−+

γ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−βαβα

βα

βαβ2α

1 22 δ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

αβ

βα:1

αβ

βα 22

ΛΥΣΗ

α) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

++

34x11

12xx

12x3x

=

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

+−

−+−+

34x1

34x34x

1)1)(2x(2x1)x(2x

1)1)(2x(2x1)3)(2x(x

=

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

+−−+34x

134x1)1)(2x(2x

1)x(2x1)3)(2x(x=

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

−−−+−34x24x

1)1)(2x(2xx2x6xx2x 22 3

=

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

−34x24x

1)1)(2x(2x4x 3

=1)1)(2x(2x

4x−+

−3⋅

34x1)2(2x

−−

=12x +

2

β) ( ) ( )2

2

22 1x3x:

1x3x

1x3x

−−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

+−+

=( )

( )3x

1x1x3x

1)1)(x(x3x

2

2

2 −−

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

++−

+

=( )

( )3x

1x1)(x1x1)3)(x(x

1)(x1)(x1)3)(x(x

2

2

22 −−

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−+−

++−−+

=

=1)(x1)(x

1)3)(x(x1)3)(x(x2 +−

+−+−+ ( )3x

1x2

2

−−

⋅ =

=1)(x1)(x

3xxx3xxx2

22

+−−−++−+− 33 ( )

3x1x

2

2

−−

⋅ =

=1)(x1)(x

2x2

2

+−− 6 ( )

3x1x

2

2

−−

⋅ =1)(x1)(x

2(x2

2

+−− )3 ( )

3x1x

2

2

−−

⋅ =1x +

2

α) Κάνουμε ομώνυμα τα κλάσματα μέσα στις παρενθέ-σεις και προ-σθέτουμε. Κά-νουμε τις πρά-ξεις και τις ανα-γωγές ομοίων όρων. Τέλος μετά τον πολ-λαπλασιασμό των τελευταίων κλασμάτων απλοποιούμε. β Κάνουμε ο-μώνυμα τα κλάσματα μέσα στις παρενθέ-σεις αφού πα-ραγοντοποιή-σουμε τους παρονομαστές και προσθέτου-με. Κάνουμε τις πράξεις και τις αναγωγές ομοί-ων όρων. Τέλος μετά τον πολ-λαπλασιασμό των τελευταίων κλασμάτων απλοποιούμε.


γ)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−βαβα

βα

βαβ2α

1 22 =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

+−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−++

β)β(αβ)β(α

β)β(αβ)α(α

βαβ2α

βαβα

2222

22

=

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+

β)β(αβ)β(αβ)α(α

βαβ2αβα

22

22

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

β)β(αβα

βαβ)(α 22

22

2

=

= 22

2

βαβ)(α+−

⋅β)β(α −

+ 22 βα=

ββα −

δ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

αβ

βα:1

αβ

βα 22

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

αββ

αβα:

αβαβ

αββ

αβα 3322

=

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+αββα:

αβαββα 3322

=αβ

αββα 22 −+⋅ 33 βα

αβ+

=

=αβ

βαβα 22 +−⋅

)22 βαββ)(α(ααβ

+−+=

βα1+

γ) Ομοίως δ) Ομοίως

ΑΣΚΗΣΗ 6

α) Να αποδείξετε ότι ( 233

yxxyyxyx

+=+−− ) . ….

β) Να υπολογίσετε την παράσταση 445612

4456 33

⋅+−

ΛΥΣΗ

α) =+−− xy

yxyx 33

=+−

++− xyyx

yxyy)(x(x 22 )

= +xy =x2+2xy+y2 = (x+y)2 22 yxyx ++

β) 445612

4456 33

⋅+− = (56+44)2 =1002=10000

α) Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα της διαφοράς κύβων οπότε απλο-ποιείται το πρώτο κλάσμα. Κατό-πιν κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων και προκύπτει ανάπτυγμα τετρα-γώνου. β) Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα που αποδείξαμε για x=56 και y =44


ΑΣΚΗΣΗ 7

α) Αν Α = 1x

2x2 +

και Β = 1x1x

2

2

+− , να αποδείξετε ότι 122 =Β+Α .

β) Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί 1 , 001.10

9999,001.10

200 αποτελούν μήκη πλευ-

ρών ορθογωνίου τριγώνου. ΛΥΣΗ

α) Είναι :Α2+Β2 =(1x

2x2 +

)2+(1x1x

2

2

+− )2 =

22 1)(x4x+

2

+ 22

22

1)(x1)(x

+− = 22

22

1)(x1)(x4x

+−+2

=

= 22

24

1)(x1xx4x

++−+ 22

= 22

24

1)(x1xx

+++ 2 = 22

22

1)(x1)(x

++ =1

β) Επειδή :

11001100

11000110000

001.109999,

11001002

110001002

001.10200

2

2

2 +−

=+−

=+

⋅=

+⋅

=

Με βάση την περίπτωση α είναι: 2

2 11001002

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+⋅ +

2

2

2

11001100⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+− = 1 Επομένως οι αριθμοί αυτοί

είναι πλευρές ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές

τις 10001

200 , 100019999 και υποτείνουσα 1

α) Αντικαθι-στούμε τις πα-ραστάσεις Α και Β . Εφαρμόζου-με τις ιδιότητες των δυνάμεων και τις ταυτότη-τες . Μετά από πράξεις προκύ-πτει μονάδα. β) Φέρνουμε τα δύο κλάσματα στην μορφή των παραστάσεων Α και Β και χρη-σιμοποιούμε το συμπέρασμα του προηγουμέ-νου ερωτήματος


ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ 1Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Να βρείτε την τιμή της παράστασης

Κ=α3–(1 + α ) –2+4020041

2004αβ

21

αβ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−

,αν είναι α =–23 και β = 3

…………… (Διαγωνισμός «Θαλής» Ε.Μ.Ε.2002) ΛΥΣΗ

Είναι : Κ= α3 – (1 + α ) –2 +4020041

2004αβ

21

αβ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−

=

= α3 – (1 + α ) –2 +41

21

αβ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + +1=α3−(1 + α ) –2 +4

1

2αα

2α2β −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + +1=

=α3−(1 + α ) –2 +41

2αα2β −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + +1= α3−(1 + α ) –2 +4 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ αβα

22 =

=(−23 )3−(1−

23 )−2+4

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

2332

232

+1= −827

−(−21 )−2+4

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−

293 +1=

= −827

−(−2)2+4 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

96 +1= −

827

−4+4 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

96 +1= −

827

−4-924 +1=

=−827

−3-924 =

24217

72651

72192216243

−=−=−−−

2. Για κάθε θετικό ακέραιο ν να αποδείξετε ότι α) (α – β + 3γ)2ν+1 + (β – α – 3γ)2ν+1 = 0 β) (x – y – ω)2ν – (y + ω – x)2ν = 0. ΛΥΣΗ Επειδή για κάθε θετικό ακέραιο ν ο αριθμός 2ν+1 είναι περιττός και ο 2ν άρτιος έχουμε : α) (α – β + 3γ)2ν+1 + (β – α – 3γ)2ν+1 = (α – β + 3γ)2ν+1 + [−(α−β+3γ)]2ν+1= = (α – β + 3γ)2ν+1 −(α−β+3γ)2ν+1 = 0 β) (x – y – ω)2ν – (y + ω – x)2ν = (x – y – ω)2ν – [−(x−y −ω)]2ν = (x – y – ω)2ν – (x−y −ω)2ν = 0


3. Αν ισχύει 21

yx

−= , να βρείτε την αριθμητική τιμή των παραστάσεων

Α = 22

22

yxy6xy4x

++− Β = 32

323

yyx3y2xy2x

++− .

ΛΥΣΗ Γνωρίζουμε ότι αν διαιρέσουμε τους όρους ενός κλάσματος δια του ίδιου αριθμού το κλάσμα δεν μεταβάλλεται . Επομένως έχουμε:

Α = 22

22

yxy6xy4x

++− =

2

22

2

22

yyx

yy6xy4x

+

+−

= =+

+−

2

2

2

2

yy

yy6

2

2

22

2

yx

yxy

y4x

=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

1yx

16yx4

2

2

yx

1

21

1216

214

2

2

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

=1

41

13414

+

++⋅ =

455 =

4515

= 520 = 4

Β = 32

323

yyx3y2xy2x

++− =

3

32

3

323

yyyx

y3y2xy2x

+

+−

=

3

3

3

2

3

3

3

2

3

3

yy

yyx

yy

yxy

yx

+

+−322

=

=

1

322

2

3

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

yx

yx

yx

= 1

21

3212

212

2

3

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

= 1

41

31812

+

++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=

45

441+−

=

454

15

= 2060 = 3

4. Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = – 2x2 + 2x + 800. α) Να αποδείξετε ότι Ρ(1– x ) = Ρ(x). β) Να βρείτε την αριθμητική τιμή Ρ(100) και Ρ(– 99).


ΛΥΣΗ α) Αντικαθιστούμε το x με το 1− x και έχουμε : P (1−x) = −2(1− x)2 + 2(1− x) +800 = −2(1−2x +x 2) + 2(1− x ) +800 = = −2x 2+4x−2 −2x+2 +800 = −2x 2+2x + 800 β) Επειδή Ρ(– 99) = P(1− 100) = P(100) αρκεί να βρούμε την μία από τις ζητούμενες τιμές . P (100) = − 2⋅1002 +2⋅100 + 800 = = − 20000 +200 + 800 = − 19000. 5. α) Να αποδείξετε ότι: α3+β3+γ3 – 3α β γ = (α + β + γ) (α2 + β2 + γ2 –α β – β γ –γ α).

(Ταυτότητα του Εuler) β) Αν α + β + γ = 0, να αποδείξετε ότι α3 + β3 + γ3 = 3α β γ. γ) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση (x – y)3 + (y – ω)3 + (ω – x)3. ΛΥΣΗ α) Θεωρούμε το 2ο μέλος της παραπάνω ταυτότητας και αφού κάνου-με τις πράξεις έχουμε : (α + β + γ) (α2 + β2 + γ2 –α β – β γ –γ α) = =α3+αβ2+αγ2−α2β−αβγ−γα2+α2β+β3+βγ2−αβ2−β2γ−αβγ+α2γ+β2γ+γ3−αβγ−βγ2−αγ2 = = α3+β3+γ3−3αβγ. β) Εάν α+β+γ = 0 , τότε το 2ο μέλος της ταυτότητας ισούται με το μηδέν . Επομένως α3+β3+γ3−3αβγ = 0 ή α3+β3+γ3 = 3αβγ γ) Επειδή (x – y) + (y – ω) + (ω – x) = x – y + y – ω + ω – x = 0 από τα παραπάνω έχουμε : (x – y)3 + (y – ω)3 + (ω – x)3 = 3(x – y) (y – ω) (ω – x) .

6. Αν α + β = 31

− και α β = 37

− , τότε να αποδείξετε ότι

α) α2 + β2 = 943 β) (3α + 1)2 + (3β + 1)2 + 9 (α + β) = 40.

ΛΥΣΗ

α) Είναι : α2 + β2 = (α + β)2 −2αβ = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

372

31 2

= 3

1491+ =

942

91+ =

943

β) Είναι : (3α + 1)2 + (3β + 1)2 + 9 (α + β) = 9α2 +6α+1 +9β2 +6β+1+9α+9β =9(α2+β2) +15(α+β) +2=


= 9⋅943 +15 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

37 +2 = 43 − 35 +2 = 10

7. Αν για τους αριθμούς x, y ισχύει μια από τις παρακάτω ισότητες να απο-

δείξετε ότι οι αριθμοί x, y είναι ίσοι ή αντίθετοι . α) x4 – 2y2 = x2(y2 – 2) β) x3 + y3 = x2y + xy2. ΛΥΣΗ α) Εάν είναι x4 – 2y2 = x2(y2 – 2) τότε : x4 – 2y2 = x2y2 – 2x2 ή x4 – 2y2 −x2y2 +2x2=0 ή (x4 −x2y2)+(2x2−2y2) = 0 ή x2(x2−y2)+2(x2−y2) = 0 ή (x2−y2)(x2+2) = 0 Επειδή η ποσότητα x2+2 για κάθε τιμή του x είναι θετικός αριθμός η ισότητα (x2−y2)(x2+2) = 0 ισχύει μόνο αν x2−y2 = 0 ή x2 = y2 . Η σχέση αυτή όμως ισχύει εάν οι αριθμοί x , y είναι ίσοι ή αντίθετοι . β) Εάν είναι x3 + y3 = x2y + xy2 ή x3 + y3 −x2y − xy2 = 0 ή (x3 −x2y)−( xy2−y3) = 0 ή x2(x −y)− y2( x− y) = 0 ή ( x− y)( x2− y2) = 0 ή ( x− y)( x− y)(x+y) = 0 ή (x− y)2(x+y)= 0 . Για να είναι το γινόμενο αυτό μηδέν πρέπει ο ένας τουλάχιστον από τους όρους να είναι μηδέν .Εάν (x− y)2 τότε x−y =0 οπότε x = y . Εάν x+y =0 τότε x = − y 8. α) Να παραγοντοποιήσετε τα τριώνυμα x2 + 4x + 3 , x2 + 2x – 3 . β) Να υπολογίσετε την παράσταση

3 2x x

1 1 x

1 3 4x x

1Α 222 −++

−+

++= .

ΛΥΣΗ α) Είναι x2 + 4x + 3 = (x+3)(x+1) και x2 + 2x – 3 = (x+3)(x−1)

β) 3 2x x

1 1 x

1 3 4x x

1Α 222 −++

−+

++= =

= 1)3)(x(x

1++

+ 1)-1)(x(x

1+

+)13)(x(x

1−+

=

= )11)(x3)(x(x

1x−++

− + 1)-1)(x3)(x(x

3x+++ +

)11)(x3)(x(x1x

−+++ =


= )11)(x3)(x(x1x3x1x

−++++++− =

)11)(x3)(x(x33x

−+++ =

)11)(x+3)(x+(x1)+3(x

=

= )13)(x(x

3−+

9. Δίνονται οι παραστάσεις Α = x (x + 3) και B = (x + 1)(x + 2). α) Να αποδείξετε ότι Β = Α + 2 και Α Β + 1 = (Α + 1)2. β) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση x (x+1)(x+2)(x+3)+1. ΛΥΣΗ α) Είναι Α + 2 = x (x + 3) +2 = x2 +3x +2 = (x + 1)(x + 2) =B Έχουμε λοιπόν Β = Α + 2 πολλαπλασιάζοντας τα μέλη της ισότητας αυτής επί Α έχουμε : ΑΒ = Α(Α+2) ή ΑΒ = Α2+2Α ή ΑΒ+1 = Α2 +2Α +1 = (Α + 1)2 β) Παρατηρούμε ότι x (x+1)(x+2)(x+3)+1 = [x(x+3)][ (x+1)(x+2)]+1= =ΑΒ+1 = (Α +1)2 = [x (x + 3) +1]2 = (x2 +3x+1)2 . 10. α) Το εμβαδόν ενός κύκλου είναι 16πx4 + 8πx2 + π. Να βρείτε την α-

κτίνα του. β) Να βρείτε την ακτίνα ενός κύκλου που έχει εμβαδόν ίσο με το ά-θροισμα των εμβαδών δυο κύκλων με ακτίνες 4x και 4x2 – 1

ΛΥΣΗ α) Είναι Ε = 16πx4 + 8πx2 + π = π(16x4 +8x2 +1) = π(4x2 +1)2 Άρα η ακτίνα είναι: ρ = 4x2 +1 β) Εάν Ε1 και Ε2 είναι τα εμβαδά των δύο κύκλων με ακτίνες 4x και 4x2 – 1 αντίστοιχα τότε : Ε1 + Ε2 = π(4x)2 +π(4x2 – 1)2 = =π(16x2) +π(16x4−8x2+1) = π(16x2 + 16x4−8x2+1) = π(16x4 +8x2+1) = =π(4x2 +1)2 = Ε . Η ζητούμενη ακτίνα είναι η ρ = 4x2 +1 11. α) Αν ο αριθμός κ είναι ακέραιος , να αποδείξετε ότι ο αριθμός κ2 + κ

είναι άρτιος . β) Να αποδείξετε ότι η διαφορά κύβων δύο διαδοχικών ακέραιων, αν διαι-ρεθεί με το 6, δίνει υπόλοιπο 1. γ) Να αποδείξετε ότι η διαφορά τετραγώνων δύο περιττών ακέραιων είναι πολλαπλάσιο του 8. ΛΥΣΗ α) Θεωρούμε τον αριθμό κ2+κ ο οποίος παραγοντοποιούμενος γράφεται : κ2+κ = = κ(κ+1) . Οι ακέραιοι όμως αριθμοί κ και κ+1 είναι διαδοχι-κοί και ο ένας από αυτούς υποχρεωτικά άρτιος . Άρα και το γινόμενό


τους κ(κ+1) = κ2+κ είναι άρτιος αριθμός, και γράφεται κ2+κ = = κ(κ+1) = 2α , σαν άρτιος β) Θεωρούμε τους διαδοχικούς ακεραίους κ+1 και κ οπότε η διαφορά των κύβων τους είναι : (κ+1)3 − κ3 = [(κ+1) − κ]⋅[(κ+1)2 +(κ+1)κ + κ2] = = (κ+1−κ)(κ2+2κ+1+κ2+κ+κ2) = 3κ2 +3κ +1 = 3κ(κ+1) +1. Τότε με βάση τα παραπάνω (κ+1)3 − κ3 = 3κ(κ+1) +1 =3⋅2α +1 = 6α +1. Από την τελευταία ισότητα διαπιστώνουμε ότι διαιρούμενος ο αριθμός (κ+1)3 − κ3 δια του 6 δίνει υπόλοιπο 1 . γ) Κάθε περιττός έχει τη μορφή 2λ+1. Έστω 2κ+1 και 2λ+1 οι δύο περιττοί αριθμοί , όπου κ, λ είναι ακέραιοι. Τότε θα είναι: Διαφορά=(2κ+1)2-(2λ+1)2=(4κ2+4κ+1)- (4λ2+4λ+1)= =4κ2+4κ+1- 4λ2-4λ-1=4κ2+4κ-4λ2+4λ=4κ(κ+1)-4λ(λ+1) Όμως οι αριθμοί κ(κ+1), λ(λ+1) είναι άρτιοι, δηλαδή κ(κ+1)=2α και λ(λ+1)=2β , όπου α και β ακέραιοι . Άρα Διαφορά=4κ(κ+1)-4λ(λ+1)=4.2α-4.2β=8α-8β=8(α-β)=8ρ όπου ρ ο ακέραιος α-β επομένως η διαφορά είναι πολλαπλάσιο του 8. 12. α) Να κάνετε την διαίρεση (x6-1)(x-1) και χρησιμοποιώντας την ταυ-

τότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης να αποδείξετε ότι ο αριθμός 76-1 είναι πολλαπλάσιο του 6.

β) Να κάνετε την διαίρεση (x5+1)(x+1) και χρησιμοποιώντας την ταυ-τότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης να αποδείξετε ότι ο αριθμός 215+1 είναι πολλαπλάσιο του 9.

ΛΥΣΗ α)

x6 0.x5 0x4 0.x3 0x2 0.x -1 x -1 -x6 +x5 x5 +x4 +x3 +x2 +x +1 +x5 0x4 0x3 0x2 0x -1 -x5 +x4 0x3 +x4 0x3 0x2 0x -1 -x4 +x3 +x3 0x2 0x -1 -x3 +x2 +x2 0x -1 -x2 +x +x -1 -x +1 0

Η ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης είναι:


x6-1 = (x -1) (x5 +x4+x3 +x2+x +1) (Διαιρετέος ) = (διαιρέτης)⋅(πηλίκο) οπότε 76-1 = (7 -1) (75 +74+73 +72+7 +1)=6. (75 +74+73 +72+7 +1) άρα είναι φανερό ότι είναι πολλαπλάσιο του 6. β)

x5 0x4 0.x3 0x2 0.x +1 x +1 -x5 -x4 x4 -x3 +x2 -x +1+x5 -x4 0.x3 0x2 0.x +1 -x4 +x3 +x3 0x2 0x +1 -x3 -x2 -x2 0x +1 +x2 +x +x +1 -x -1 0

Η ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης είναι: x5+1 = (x +1) (x4-x3 +x2-x +1) (Διαιρετέος ) = (διαιρέτης)⋅(πηλίκο) οπότε 215 +1 =(23)5 +1=( 23+1) [(23) 4-(23) 3 +(23) 2-23 +1)= =9. [(23) 4-(23) 3 +(23) 2-23 +1) άρα είναι φανερό ότι είναι πολλαπλάσιο του 9.

13. α) Να αποδείξετε ότι x1

1x1

1)x(x1

−−

=−

.

β) Στην προηγούμενη ισότητα να αντικαταστήσετε το x διαδοχικά με τις τιμές 2, 3, 4, … ,2005 και να αποδείξετε ότι

.20052004

200520041...

431

321

211

=⋅

++⋅

+⋅

+⋅

ΛΥΣΗ α) Θεωρούμε την διαφορά των κλασμάτων :

=−−

−−

=−− 1)x(x

1x1)x(x

xx1

1x1

1)x(x1

1)x(x1xx

1)x(x1)(xx

−=

−+−

=−−− .

Άρα : x1

1x1

1)x(x1

−−

=−

β) Αντικαθιστώντας διαδοχικά έχουμε :


21

1⋅

= 11−

21 Παρατηρούμε ότι ο δεύτερος όρος κάθε κλασματικής

32

1⋅

= 21 −

31 διαφοράς είναι αντίθετος του πρώτου της επόμενης

43

1⋅

= 31 −

41 διαφοράς . Εάν αθροίσουμε τις ισότητες κατά μέλη θα

έχουμε στο 2ο μέλος τον 1ο όρο της 1ης διαφοράς από τον οποίο θα

αφαιρείται ο 2ος της τελευταίας 2005

1 2004

12003

120042003

1−=

⋅

20051

20041

200520041

−=⋅

Αθροίζοντας λοιπόν κατά μέλη τις ισότητες έχουμε :

20052004

20051

20052005

20051

11

200520041...

431

321

211

=−=−=⋅

++⋅

+⋅

+⋅

ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

1. Να χαρακτηρίσετε κάθε μια από τις παρακάτω ισότητες με (Σ) αν είναι σωστή ή με (Λ) αν είναι λανθασμένη.

xy

yx:

yx στ) ,

5xωy

xyω5x

ε) ,y

1ω.x1ω

y: x)δ

,y3

x21

x3

y21

γ),4x

74x

x.x7 β) ,

y32x.x

y2x.

3x α)

2

2

2 ==+

=+

+=

+

+=

++

=+

ΛΥΣΗ ( )

( )

( ) (Λ)είναι άρα ,y3

2yx

x3y

2y

x3

y21

γ)

(Σ)είναι άρα ,4x

74xx

x74x

x.x7 β)

,(Λ)είναι άρα y3

x2xy3

2x.xy

2x.3x α)

2

+=

+

=+

+=

+=

+

+=

+=

+


(Σ)είναι άρα , xy

yxxy

xy.

yx

yx:

yx στ)

(Λ)είναι άρα , ωyx5

xyω5x

ε)

(Λ)είναι άρα ,y

xωxy

1ω.x1ω

y: x)δ

2

2

2

2

2

2

2

===

=

+=

+=

+

2. Αν μεταξύ των πλευρών α, β, γ τριγώνου ΑΒΓ ισχύει 0βα

γγα

β=

+−

+,

να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές. ΛΥΣΗ

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( ) ( )( )

( )( ) γβ0γβ0γβαγβ0γβγβγβα

0γαγβαβ0βαγαγαγβαβ

0βαγα

γαγβαγα

βαβ

0βα

γγα

β

2222

=→=−→=++−→=+−+−

→=−−+→=++−−+

→=++

+−

+++

→=+

−+

3. Να αποδείξετε ότι: 2

2

22

xy1

xy2

xyx

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+

+ .

ΛΥΣΗ

( ) 22

2

2

2

22

22

22

2

22

xy1

xyx

xyx

xyxy2x

xyx2

xyx

xy2

xyx

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=+

=

=++

=++

=++


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ( ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ) ΠΡΟΧΕΙΡΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ 1ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ α. Να γίνουν οι πράξεις: 1. (x- )3 (x+ )3 (x2+3)-(2x2+1)2+(x-2)2= 2. (3α3-2)3-(3+2α2)3-(3α+2)(3α-4)= β. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις 1. α2x2+β2x2-α2y2-β2x2 = 2. x4+2x2y2+y4_α4 = γ. Εάν ο ένας παράγοντας του πολυωνύμου x4+10x3+37x2+60x+36 είναι ο (x+2)2 να βρείτε τον άλλο παράγοντα και να παραγοντοποιήσετε το πολυώνυμο αυτό. δ. Να γίνουν οι πράξεις:

1.

αβ1

βαβαβα

βα22

22

1

11

2 −

++

+−−

2.6xx2xx 22 ++

++− 5

131

ΠΡΟΧΕΙΡΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ 1ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ α. Να γίνουν οι πράξεις: 1. (α- )5 (α+ )5 (α2+5)-(α2-2)2+(2α+1)2= 2. (x2+2)3-(3+2x3)2-(5x-2)(5x+3)= β. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις 1.α4-2α2β2+β4-α2-2αβ-β2 = 2. x2 + 2xy + y2 _ 9 = γ. Εάν ο ένας παράγοντας του πολυωνύμου x4+4x3-2x2-12x+9 είναι ο (x+3)2 να βρείτε τον άλλο παράγοντα και να παραγοντοποιήσετε το πολυώνυμο αυτό. δ. Να γίνουν οι πράξεις:

1. =−+

−)11(:

1 αββα

1αβ

βα

2.6xx2xx 22 ++

+++ 5

131


ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ: 1ο Κεφάλαιο Α΄ Μέρους ΤΕΣΤ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ 1. Οι ακέραιες αλγεβρικές παραστάσεις, στις οποίες μεταξύ των μεταβλη-τών σημειώνεται μόνο η πράξη του …………………….. λέγονται ……………………. 2. Καλείται βαθμός ενός μονωνύμου ως προς ….... μεταβλητή ο ………………... εκθέτης της μεταβλητής αυτής 3. Το γινόμενο δύο μονωνύμων έχει συντελεστή …………………………….. των …………………………….. των μονω-νύμων αυτών. 4. Κάθε μονώνυμο που περιέχεται σε ένα πολυώνυμο λέγεται ……………… του πολυωνύμου. 5. Για να πολλαπλασιάσουμε μονώνυμο επί πολυώνυμο ………………………. το μονώνυμο με κάθε όρο του πολυωνύμου και ………………………… τα γινόμενα που προκύπτουν. 6. Βαθμός ενός πολυωνύμου ως προς μία ή περισσότερες μεταβλητές του, είναι ο …………………….. από τους βαθμούς των όρων του . 7. Ταυτότητα λέγεται κάθε ………………….. που περιέχει ………………… που αληθεύουν για όλες τις τιμές των μεταβλητών της. 8. Να συμπληρώσετε τις ισότητες : (α + β)2 = α… + 2αβ + ……. (α − β)2 = α2 - …….. + β…. (α + β)(α − β) = …… − β2 (α + β)3 = α3 + …….+ 3αβ2 + ……. (α − β)3 = α3 ………………………….− β3 α3 + β3 = (……….)(α2 – αβ + β2) α3 − β3 = (α − β)(…………………………) 9. Ένα πολυώνυμο δ είναι ……………….. ή παράγοντας ενός πολυωνύμου Δ αν η διαίρεση Δ:δ είναι ……………..,δηλαδή αν υπάρχει ……………….. τέτοιο ώστε :Δ=δ⋅π 10. Μία αλγεβρική παράσταση που είναι κλάσμα και οι ………………….. της είναι …………………… λέγεται ………….. ρητή αλγεβρική παράσταση ή απλώς ρητή παράσταση.

ΜΕΡΟΣ Α΄1.10 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 162 ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ: 1ο Κεφάλαιο Α΄ Μέρους

ΤΕΣΤ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΠΙΛΟΓΩΝ

1. Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς είναι ο βαθμός του μονωνύμου -5x3y2z4 ως προς όλες τις μεταβλητές του; 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 9 2. Ποιο από τα παρακάτω μονώνυμα είναι το γινόμενο των μονωνύμων +3α2x3z και - 2αx4z2y ; +6α3x6z3y , +1α3x7z3y , -6α3x7z3y , -6α3x7z3y0 3. Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς είναι ο βαθμός του πολυωνύμου : 5x2 - 6x + +3x3 – 2x – 2x3 +1 – x3 + x . 3 , 2 , 1 , 4 4. Ποιο είναι το αποτέλεσμα των πράξεων : (α+2β)2-(2α-β)2 = -3α2 +3β2 , 4αβ , 0 , 8αβ , -8αβ 5. Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς, είναι ο βαθμός του πηλίκου Π, εάν ο βαθμός του διαιρετέου Δ είναι 5 και ο βαθμός του διαιρέτη είναι 2; 7 , 5 , 3 , 2 , 1 6. Το ανάπτυγμα του (α2 + 2β)2 είναι το : 1) α4 + 4β2 , 2)α4 + 4αβ + 4β2 , 3)α2 + 4αβ + 4β2 ΤΕΣΤ ΔΙΑΖΕΥΚΤΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΗΣ ή ΤΥΠΟΥ ‘’ΣΩΣΤΟ – ΛΑΘΟΣ’’ Στις παρακάτω προτάσεις άλλες είναι σωστές και άλλες λάθος. Βάλτε σε κύκλο το Σ για τις σωστές και το Λ για τις λάθος . 1. Το άθροισμα δύο μονωνύμων είναι πάντα όμοιο μα αυτά. Σ Λ 2. Το άθροισμα δύο αντιθέτων μονωνύμων είναι μη μηδενικό μονώ-νυμο

Σ Λ

3. Το πηλίκο δύο μονωνύμων είναι πάντα μονώνυμο Σ Λ 4. Εάν P(x) και Q(x) είναι πολυώνυμα με μεταβλητή x τότε ισχύει πά-ντοτε : βαθμός [P(x)⋅Q(x)] = βαθμός[P(x)]+βαθμός[Q(x)]

Σ Λ

5. Εάν (α+β)2 = α2 + β2 τότε τουλάχιστον ένας από τους α, β είναι μηδέν Σ Λ 6. Εάν (α+β)3 = α3 + β3 τότε τουλάχιστον ένας από τους α, β είναι μηδέν είτε οι α και β είναι αντίθετοι .

Σ Λ

7. Εάν ο βαθμός του υπολοίπου υ(x) της διαίρεσης Δ(x) = δ(x)⋅π(x)+υ(x) είναι είναι μηδέν τότε η διαίρεση είναι τέλεια .

Σ Λ

8. Εάν ο βαθμός του υπολοίπου υ(x) της διαίρεσης Δ(x) = δ(x)⋅π(x)+υ(x) είναι είναι 2 τότε και ο βαθμός του διαιρέτη δ(x) είναι 2

Σ Λ

πράξεις με ρητές

Documents

Transcript of πράξεις με ρητές