ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ-ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

ΠΑΝΑΓΙΩΤΟΥ ΚΩΝ/ΝΟΣ

p q p q

p q p q

( ) ( ) ( )p q r p q p r

( ) ( ) ( )p q r p q p r

( ) ( )p q q p

0, ( ) , ( )x A p x x A p x

( ) ) ( ) ( )p q r p r q r

Προτασιακός Λογισμός

Όριο

πραγματικός

>0

<0

=0+∞

-∞

δεν υπάρχει

𝑥→𝑥0 ,𝑥0+¿ , 𝑥0

− ,+∞,−∞ ¿

Όρια Παραγοντοποίηση

Συζυγής παράσταση

Αλλαγή μεταβλητής

De l’ Hospital

Κριτήριο παρεμβολής

Βοηθητική συνάρτηση

Πλευρικά όρια

3 3 2 2( )( )a

Όριο πολυωνυμικής συνάρτησης

++

=++

=

,𝛼𝑣≠0

Όριο ρητής συνάρτησης στο

𝑓 (𝑥 )=𝛼𝑣𝑥

𝜈+𝑎𝜈−1 𝑥𝜈− 1+ ∙∙ ∙+𝑎1𝑥 +𝛼0  

𝛽𝜇𝑥𝜇+𝛽𝜈− 1𝑥

𝜇−1 +∙ ∙ ∙+𝛽1𝑥+ 𝛽0

=𝛼𝑣 𝑥

𝑣

𝛽𝜇𝑥𝜇

𝛼𝜈 , 𝛽𝜇≠0

Όριο της συνάρτησης

στο 𝒙𝟎

𝛼𝛽, β ≠0

00

𝛼0,𝛼≠0

Όριο άρρητης συνάρτησης

Κοινός παράγοντας

Συζυγής παράσταση

Αλλαγή μεταβλητής

3 3 2 2( )( )a

00,∞∞

Παραγοντοποίηση

De l’ Hospital

Απροσδιόριστες μορφές

𝑎0

=𝑎10=¿

+∞

-∞

δεν υπάρχει

Αν α≠0

0∙

0∙

∙

Απροσδιόριστες μορφές

∞−∞=∞(1−∞∞

)

Παραμετρικά

όρια

Άρρητη

συνάρτηση Κοινός παράγοντας και Συζυγής

Ρητή συνάρτηση

Πηλίκο μεγιστοβάθμιων

𝑓 (𝑥 )=𝛼𝑣𝑥

𝜈+𝑎𝜈−1 𝑥𝜈− 1+ ∙∙ ∙+𝑎1𝑥 +𝛼0  

𝛽𝜇𝑥𝜇+𝛽𝜈− 1𝑥

𝜇−1 +∙ ∙ ∙+𝛽1𝑥+ 𝛽0

Ρητή συνάρτηση

α(λ,μ)

>0

>0

=0

δεν ορίζεται

Παραμετρικά Όρια Περιπτώσεις με μία παράσταση

Υπολογισμός ορίου με βοηθητική συνάρτηση

Θέτουμε

Λύνουμε ως προς

lim𝑥→𝜎

𝛼( 𝑓 (𝑥 ))=𝐿

Αλλαγή μεταβλητής σε όριο

1

lim ( ( )) lim ( )x u

f g x f u

0 01

( )

lim lim ( ( ))x x x x

u g x

u f g x

00

( ) ( 1)x

x xx

0 0( ) ( ) 0x x x x

Αλλαγή μεταβλητής σε όριο

00

1 1( ) ( ), 0

1 1( 0 ) ( ), ( 0 ) ( ),

1 1( ) ( 0 ), ( ) ( 0 )

x x xx x

x xx x

x xx x

Προσπαθούμε να εγκλωβίσουμε μία συνάρτηση f(x) ανάμεσα σε δύο αλλλες που έχουν το ίδιο όριο.Εργαζόμαστε:

Με διαδοχικές αυξήσεις

Συνθετικά

( ) ( )f x g x

2 2 2

1 1x

x x x x

Κριτήριο παρεμβολής

Έστω οι συναρτήσεις f, g, h. Αν

  ●  h(x) ≤ f(x) ≤ g(x) κοντά στο x0 και

  ●  

τότε

0 0

lim ( ) lim ( )x x x x

h x g x l

0

lim ( )x x

f x l

Κριτήριο παρεμβολής

Εφαρμογή Κριτηρίου Παρεμβολής

Διαδοχικές αυξήσεις

Συνθετικά

( ) ( )f x g x

2 2 2

1 1x

x x x x

Προσπαθούμε να εγκλωβίσουμε τη συνάρτηση f(x) ανάμεσα σε δύο αλλλες που έχουν το ίδιο όριο

Όρια με φραγμένες συναρτήσεις

(Μηδενική) (Φραγμένη)

=(Μηδενική)

(Θετικά απειριζόμενη)( Κάτω φραγμένη από θετικό αριθμό)

= (Θετικά Απειριζόμενη)

(Αρνητικά Απειριζόμενη)( Άνω φραγμένη από αρνητικό αριθμό)

=Θετικά Απειριζόμενη

(Απειριζόμενη)+ (Φραγμένη)

=(Απειριζόμενη)

1

( ) ( ) ln ( )lim ( ) lim

lim

g x g x f x

x x

u

u

f x e

e

1

( ) ln ( )

limx

u g x f x

u

Εκθετικά όρια

Ασύμπτωτες

Κατακόρυφες

Οριζόντιες λ=0

Πλάγιες λ≠0

y x

0x x

Ασύμπτωτες Κατακόρυφες

Οριζόντιες-Πλάγιες

Οριζόντιες

lim ( )ox xf x

0x x

y x

( )limx

f x

x

lim ( ( ) )

xf x x

lim [ ( ) ( )]x

f x x

lim ( )x

f x l

Ασύμπτωτες αναζητούμε

Στα ανοιχτά και πεπερασμένα άκρα του πεδίου ορισμού

Στα σημεία του πεδίου ορισμού όπου η f δεν είναι συνεχής

Στο +∞ και στο -∞

Αν η f(x) είναι συνεχής και f(x) ≠0 τότε

f(x)>0 ή f(x)<0

'x x x'x

Συνέχεια

Σημείο Ορισμός

Διάστημα Ιδιότητες

Παράγωγος

Σημείο Ορισμός

Διάστημα Ιδιότητες

Πίνακας Προσήμου της f(x) σε ένα διάστημα Δ

Άκρα του Δ

Σημεία όπου η f μηδενίζεται

Σημεία όπου η f δεν ορίζεται

Σημεία όπου η συνάρτηση αλλάζει τύπο

Πρόσημο συνεχούς συνάρτησης f(x) εκατέρωθεν ρίζας

Δοκιμές

Μονοτονία

Λύνω αλγεβρικά την ανίσωση f(x)>0

Πρόσημο πολυωνυμικής συνάρτησης

Βρίσκω τις ρίζες

Κατασκευάζω πίνακα

Βρίσκω το πρόσημο δεξιά της μεγαλύτερης ρίζας

Αλλάζω πρόσημο εκατέρωθεν ριζών περιττής πολλαπλότητας

• Ρίζες • Πρόσημο

• Επίλυση ως προς f(x)

Εύρεση τύπου συνεχούς συνάρτησης f(x)

Πιθανές θέσεις τοπικών ακροτάτων συνεχούς συνάρτησης σε ένα διάστημα Δ

Εσωτερικά σημεία του Δ όπου η παράγωγος μηδενίζεται

Εσωτερικά σημεία του Δ όπου η f δεν παραγωγίζεται

Τα άκρα του Δ

Πιθανές θέσεις σημείων καμπής συνεχούς συνάρτησης σε ένα διάστημα Δ

Εσωτερικά σημεία του Δ όπου η δεύτερη παράγωγος μηδενίζεται

Εσωτερικά σημεία του Δ όπου η δεύτερη παράγωγος δεν υπάρχει

Μονοτονία Ορισμός

Πρόσημο της

1-1

Μονοτονία

𝑓 (𝑥1 )= 𝑓 (𝑥2 )⇒ 𝑥1=𝑥2∀ 𝑥∈𝐴

Ακρότατο συνάρτησης f σε εσωτερικό σημείο

Αλλαγή μονοτονίας της f

Αλλαγή προσήμου της

Κυρτότητα Μονοτονία της (Ορισμός)

Πρόσημο της

Σημείο καμπής Αλλαγή μονοτονίας της

Αλλαγή προσήμου της

Πίνακας Μονοτονίας

Άκρα πεδιου ορισμού

Σημεία όπου η πρώτη παράγωγος μηδενίζεται

Σημεία όπου η συνάρτηση αλλάζει τύπο και ενδεχομένως η πρώτη παράγωγος δεν υπάρχει

• Συνέχεια • Μονοτονία

• Τιμές στα κλειστά άκρα των διαστημάτων μονοτονίας• Οριακές τιμές στα ανοιχτά άκρα

των διαστημάτων μονοτονίας

Σύνολο Τιμών –Πλήθος Ριζών

• Βρίσκω το πεδίο ορισμού της f • Εξετάζω τη συνέχεια της f

• Βρίσκω την f'• Βρίσκω τις ρίζες της f'

• Κατασκευάζω πίνακα προσήμου

Μονοτονία –Ακρότατα

Πίνακας Κυρτότητας

Άκρα πεδιου ορισμού

Σημεία όπου η δεύτερη παράγωγος μηδενίζεται

Σημεία όπου η συνάρτηση αλλάζει τύπο και ενδεχομένως η δεύτερη παράγωγος δεν υπάρχει

• Βρίσκω το πεδίο ορισμού της f • Εξετάζω τη συνέχεια f

• Βρίσκω την f'• Βρίσκω την f''

• Βρίσκω τις ρίζες της f'' • Κατασκευάζω πίνακα προσήμου

Κυρτότητα –Σημεία καμπής

Aπόδειξη ανισοτήτων

Μονοτονία-Ακρότατα

Θ.Μ.Τ

Κυρτότητα

Πως θα δείξω ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει μία τουλάχιστον ριζα στο Δ=(α,β)

Βρίσκω προφανή ρίζα

Λύνω αλγεβρικά την εξίσωση

Εφαρμόζω Θ. Bolzano για την f

Εφαρμόζω Θ. Rolle για την F, παράγουσα της f

Βρίσκω την εικόνα f(Δ) του Δ με την f και δείχνω ότι 0 f(Δ)

Πως θα δείξω ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει μία τουλάχιστον ριζα στο Δ=[α,β]

Ελέγχω το α

Ελέγχω το β

Ελέγχω το (α,β)

Η ρίζα της f μπορεί να είναι το α, ή το β ή κάποιο

Πλήθος ριζών της εξίσωσης f(x)=α

Βρίσκω τα διαστήματα μονοτονίας κ.τ.λ της f

Ελέγχω αν α,ακ.τ.λ

η εξίσωση f(x)=α έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο Δ με

Έστω μια συνάρτηση f , ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]. Αν:

●η f είναι συνεχής στο [α, β] και

●f(α) ≠ f(β)

τότε, για κάθε αριθμό  η  μεταξύ των f(α)  και  f(β) υπάρχει ένας, τουλάχιστον x0ϵ (α, β) τέτοιος, ώστε

f(x0) = η

ΘΕΩΡΗΜΑ (Ενδιάμεσων τιμών)

Έστω μια συνάρτηση f , ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]. Αν:

● η f είναι συνεχής στο [α, β] και, επιπλέον, ισχύει

● f(α) • f(β) < 0 .

τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, x0ϵ (α, β) τέτοιο, ώστε 

f(x0) = 0 .

Δηλαδή, υπάρχει μια, τουλάχιστον, ρίζα της εξίσωσης  f(x) = 0  στο ανοικτό διάστημα (α, β) .

ΘΕΩΡΗΜΑ (Bolzano)

Αν μια συνάρτηση f είναι :

  ●  συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β]

  ●  παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α, β) και

●  f(α) = f(β)

τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ϵ (α, β) τέτοιο, ώστε :

f ʹ(ξ) = 0

ΘΕΩΡΗΜΑ (Rolle)

Αν μια συνάρτηση f είναι :

  ●  συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β]

  ●  παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α, β) και

τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ϵ (α, β) τέτοιο, ώστε :

ΘΕΩΡΗΜΑ (Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού Θ.Μ.Τ.)

Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ' ένα διάστημα Δ και x0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε :

f ʹ(x0) = 0

ΘΕΩΡΗΜΑ (Fermat)

Θ.Β Θ.Ε.Τ

ΘΜΤ

ROLLE

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO

ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT

Κυρτότητα και ανισοτικές σχέσεις

2

( ) ( ), ( , )

2 2

f a ff x a

Κυρτή συνάρτηση

2

( ) ( )( , )

2 2

f a ff x a

Κοίλη συνάρτηση

0x

0 0 0( ) ( )( )y f x f x x x

0 0( ) ( ) '( )( )f x f x f x x a

0 0( , ( ))A x f x

Κυρτή συνάρτηση

0x

0 0( , ( ))A x f x

0 0 0( ) ( )( )y f x f x x x

0 0 0( ) ( ) '( )( )f x f x f x x x

Κοίλη συνάρτηση

Εφαπτομένη της

0x

0 0 0( ) ( )( )y f x f x x x

f 0 0Eφαπτομένη της C σε σημείο της A(x ,f(x )

0 0( , ( )A x f x

fEφαπτομένη της C από σημείο M(α,β)

0x

0 0 0( ) ( )( )y f x f x x x

( , ( ))o oA x f x ( , )M a

0 0 0( ) ( )( )f x f x x

fHευθεία y=λx+β είναι εφαπτομένη της C

0

0 0

( )

( )

f x

f x x

0x

y x 0 0( , ( ))A x f x

fC

f παράλληλη

στην

Eφαπτομένη της Cευθεία y=λx+β

0( )f x

0x

y x

0 0( , ( ))A x f x

fC

1x 2x

2 11 2 1 2

2 1

( ) ( )'( ) '( ) ,

f x f xf x f x x x

x x

2 2( , ( ))B x f x

1 1( , ( ))x f x

Εφαπτομένη σε δύο σημεία της

x x

fC

fC

0 0Kοινή εφαπτομένη σε κοινόσημείο Α(x ,f(x )

0 0

0 0

( ) ( )

( ) ( )

f x g x

f x g x

0x

0 0( , ( ))A x f x

fC

gC

0 0 0( ) '( )( )y f x f x x x

'x x

2x

f gKοινή εφαπτομένη των C και C

fCgC

2 11 2 1 2

2 1

( ) ( )'( ) '( ) ,

g x f xf x g x x x

x x

1 1( , ( ))x f x

2 2( , ( ))B x g x

'x x1x

1 1( ( )) ( )( )f f x f f x x

Παράγωγος της αντίστροφης

𝑓 ( 𝑓 − 1 (𝑦 ) )=𝑦

( 𝑓 ( 𝑓 −1 (𝑦 ) ) )′=1

𝑓 ′ ( 𝑓 −1 (𝑦 ) ) ( 𝑓 −1 )′ (𝑦 )=1

𝑓 ′ (𝑥 ) ( 𝑓 −1 )′ (𝑦 )=1

( 𝑓 − 1 )′ ( 𝑦 )= 1𝑓 (𝑥 ) με

Κοινά σημεία των και

⇔

⇔

⇔

Η τελευταία ισοδυναμία ισχύει μόνο αν η f είναι γνησίως αύξουσα

Διαφορικές Εξισώσεις(1)

Κανόνας γινομένου

Κανόνας πηλίκου

Εκθετική συνάρτηση

( ) ( ) ( ) '( ) ( ( ) ( )) 'f x g x f x g x f x g x

'( ) ( ) ( ) xf x f x f x ce

'

2

( ) ( ) ( ) '( ) ( )

( ( )) ( )

f x g x f x g x f x

g x g x

Διαφορικές Εξισώσεις(2)

Χωριζόμενες μεταβλητές

Γραμμική πρώτης τάξης

( ( )) ( ) ( )f x f x x

( ) ( ) ( ) ( )f x x f x x

min

max

, ( )

, ( )

x A f x a f a

x A f x a f a

3

4

, 1( ) 3 7

( 2) , 14 4

x xf x

x x

2

3

3 1'( )

3( 2) 1

x xf x

x x

2

6 1''( )

9( 2) 1

x xf x

x x

2

3

1 , 0( )

1 , 0

x x xf x

x x x

1y x

2

2 1 , 0'( )

3 1 , 0

x xf x

x x

2 , 0''( )

6 , 0

xf x

x x

''( ) 0H f x ά

6 4 2( ) 1f x x x x x 1y x

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )af x g x

f x h x dx f x g x dx

f x g x dx

Παραγοντική Ολοκλήρωση

'( ) ( )g x h x

H g είναι παράγουσα της h

Βασικές περιπτώσεις για την h(x) στο γινόμενο f(x)h(x)=f(x)g'(x) στην παραγοντική ολοκλήρωση

Εκθετική συνάρτηση

Πολυωνυμική

Τριγωνομετρική συνάρτηση

Λογαριθμική

Αλλαγή Μεταβλητής

2

1

( ( )) ( ) ( )u

a u

f g x g x dx f u du

1 2

( )

'( )

( ) , ( )

u g x

du g x dx

u g a u g

Η εσωτερική συνάρτηση g(x)=u στην αλλαγή μεταβλητής μπορεί να είναι

Παρονομαστής

Βάση δύναμης

Υπόρριζο

Λογαριθμιζόμενος

Εκθέτης

Τόξο

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x g x f x g x dx

Αλλαγή μεταβλητής στην αντίστροφη

1( ) ( )

( )

( )

( )

a

f y dy xf x dx

y f x

f a

f

Πεδίο ορισμού της Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού Α της f και τα ευρύτερα διαστήματα

όπου αυτή είναι συνεχής

Βρίσκουμε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων και την τομή τους

Για κάθε και για κάθε απαιτούμε

( )

( )

( )x

u x

f t dt

1 2, ,...

uD D

ux D D

( ) ( )i iu x x

,u

1,2..,i

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x g x f x g x dx

Παράγωγος της

( )

( )

( )x

u x

f t dt

( )

( )

( ) ( ( )) '( ) ( ( )) '( )x

u x

f t dt f x x f u x u x

Παράγωγος της Θέτουμε

και κάνουμε

αλλαγή μεταβλητής

Καταλήγουμε στην μορφή

1

1

( )

( )

( ) ( )x

u x

x f u du

( , )g x t u( )

( )

( , ) ( ( , ))x

u x

h x t f g x t dt