3/30/2016

1

- 0

)( jX

)X(j

Tω2

T2

TTω ω

Fig. 2.14

Exemplul 2.3 Fie semnalul dreptunghiular periodic δT, de

perioadă T şi de suprafaţă unitară (durata τ şi amplitudine A=1/τ),

reprezentat în fig.2.15. La limită, când acest semnal reprezintă

funcţia δT -periodică (tren de impulsuri Dirac la intervale T). Coeficientul

Fourier complex va fi

0

2

2

2/

2/

2/

2/ )(

11)(

11)(

1

tjkT

T

tjkT

T

tjkk e

jkTdtet

Tdtetx

Tc

2

1

2

2sin

1

2sin

2

2

2 22

kSi

Tk

k

T

k

Tkj

ee

Tk

jkjk

(2.167)

1/

2TT t0

Tδ

Fig. 2.15

τ

τ

Deci dezvoltarea în serie Fourier va fi

k

tjkek

SiT

tx

2

1)( (2.168)

La limită, când 0 , semnalul δT periodic devine

0

)cos(211

)(kk

tjkT tk

TTe

Tt

(2.169)

Semnalul δT(t) nu este fizic realizabil. Amplitudinile componentelor

spectrale fiindT

ck

1 independente de k,

kkc2

3/30/2016

2

puterea semnalului este infinită. Funcţia Si(α) este dată de

obicei sub formă tabelată sau grafic.

Exemplul 2.4 Se consideră impulsul Dirac )(t neperiodic, definit

prin

1)(lim)(

0dttdtt (2.170)

Transformata Fourier a acestei funcţii este F{δ(t)}=1, deci

spectrul de amplitudine al impulsului este constant pe

întreaga axă a frecvenţei.

Exemplul 2.5. Se consideră funcţia treaptă unitară (Heaviside)

definită prin

0 t 1

0t 0)(t (2.171)

j

tF1

)( excluzând o vecinătate a originii deoarece )(t

nu este absolut integrabilă. Pentru a determina spectrul în întreg

domeniul frecvenţelor se poate aproxima semnalul treaptă,

conform relaţiei

; )(

)(X ;

2

2sin

2( lar triunghiuImpulsul 2/

2

A

jXje

AjX j

0 ; j

1

0 );(

][lim)]([0

teFtF (2.172)

În tabelul 2.2 se prezintă spectrele de frecvenţă ale

unor semnale neperiodice folosite în identificare.

Transformatele Fourier ale acestor semnale sunt date de

relaţiile:

; 1)( DiracImpulsul jX

;)(

)(X ;

2

2sin

)(ular dreptunghi Impulsul 2/

A

jXje

AjX j

; j

AjXidealădeaTreapta

)(

3/30/2016

3

Denumirea

semnalului

Reprezentarea functieiîn timp

Spectrul de frecvenţă

Impulsul

Dirac

x(t)

0 t 0

Impulsul

dreptunghiular

x(t)A

0 t

Impulsul

triunghiular

x(t)

Treaptă

ideală

x(t)

A

0 t

)( jX

)(* jX

/2 /4

2/

)(* jX

/2 /4

)( jX

t

Tabelul 2.2

2.5.2. Descrierea matematică a semnalelor aleatoare

2.5.2.1. Semnale de spectru larg. Aproximări ale

zgomotului alb.

Se consideră un semnal stocastic staţionar în sens larg

e(t) a cărui densitate spectrală este egal repartizată pe

diferite pulsaţii, adică

0.)( constcSee (2.173)

Semnalul cu această proprietate se numeşte zgomot alb.

Dacă e(t) este continuu, atunci funcţia sa de corelaţie ar

trebui să fie

)(2

)(2

1)( t

cdeStR tj

eeee

(2.174)

în care (t) este impulsul Dirac. Rezultă că e(t) nu este proces

stocastic de ordinul doi. Conform egalităţii Parceval, puterea

unui astfel de semnal este infinită, deci el nu poate fi realizat

practic, necesitând un generator de putere infinită.

3/30/2016

4

Aproximaţiile frecvent utilizate pentru zgomotul alb sunt

următoarele :

tt

atR

aS eeee

sin)( ;

; 0

; )( 11

tceeee e

cR

c

cS

2;)( 222

2

2

(2.175)

(2.176)

cPentru şi cele două procese e1(t) şi e2(t) tind,.

în mod formal, la zgomotul alb continuu.

Introducerea zgomotului alb discret nu comportă dificultăţi.

Dacă este un proces discret atunci condiţia din

(2.173) implică)()()( kekTete

not

,....2,1,0k 0k pentru 0

0k pentru sin)(

2

1)(

ck

k

cdeSkR kj

eeee

(2.177)

deci e(k) are funcţie de corelaţie finită c.

Considerând k=0, 1, …n matricea de covarianţă a unui

zgomot alb discret

cI

RRR

RRR

nRRR

R

eeeeee

eeeeee

eeeeee

ee

(0) . .... 1)(-n (-n)

1)-(n ..... (0) (-1)

)( . .... (1) )0(

(2.178)

Faptul că Ree(k)=0 oricare ar fi k (sau t=kT) diferit de zero

arată faptul că zgomotul alb este un proces aleator complet

nepredictibil, adică evoluţia lui la momentul k nu poate fi

dedusă pe baza istoriei sale până la următorul (k-1) inclusiv,

variabilele e(k) şi e(k-1), e(k-2)…nefiind corelate.

Utilizarea zgomotului alb ca semnal de probă simplifică mult

unele probleme de identificare. Astfel din ecuaţia Wiener-Hopf

scrisă în formă discretă

3/30/2016

5

0

)()()(i

uuuy ikRihkR (2.179)

prin deconvoluţie se obţine

,....2,1,0 ;)(

)( kc

kRkh

uy (2.180)

În rezolvarea problemelor de identificare un rol deosebit îl

au semnalele care sunt procese stocastice staţionare

ergodice de ordin doi, care sunt complet caracterizate în

domeniul timpului prin primele două momente, respectiv

valoarea medie şi matricea de covarianţă, iar în domeniul

frecvenţelor de densitatea spectrală.Pentru un astfel de proces u(t) , valoarea medie mu şi

matricea de covarianţă Ruu()

]))()()([(ˆ)(

)]([ˆ

Tuuuu

u

mtumtuE

tuEm

R(2.181)

sunt suficiente pentru caracterizare.

Un semnal determinist poate la fel să fie caracterizat.

Un semnal stocastic poate fi exprimat în funcţie de un semnal cunoscut, de

obicei zgomotul alb e(k). În timp discret există mai multe posibilităţi de

exprimare

(ARMA) )(...)1()(

)(...)1()(

(AR) )()(...)1()(

(MA) )(...)1()()(

1

1

1

1

nckeckecke

nakxakxakx

kenkxakxakx

nckeckeckekx

nc

na

ana

nc

(2.182)

Polinomul caracteristic nanaqaqa ...1 1

1

în exteriorul cercului unitar.

Generarea semnalele deterministe, nu ridică probleme deosebite.

Obţinerea unor semnale aleatoare cu caracteristici statistice

prestabilite este dificilă.

trebuie să aibă rădăcinile

Dacă ţinem seama de reprezentările unui semnal ca un proces ARMA (MA,

AR), atunci generarea lui se reduce la generarea zgomotului alb e(k) discret

şi filtrarea lui printr-un filtru cu funcţie de transfer determinată.

3/30/2016

6

În timp continuu generarea zgomotului alb presupune un

generator de putere infinită. Un semnal continuu poate fi

aproximat bine printr-un semnal discret doar când perioada de

eşantionare tinde la zero.

2.5.2.2. Semnale pseudoaleatoare binare (SPAB)

Secvenţele de zgomot alb pot fi generate utilizând

calculatoare (echipamente) numerice. Cea mai simplă

procedură de obţinere a zgomotului alb implică numai

operaţii liniare. O secvenţă bazată pe acest principiu, cu un

algoritm bine precizat este de fapt deterministă şi nu aleatoare

şi de aceea este denumită pseudoaleatoare. Dacă funcţia de

corelaţie aproximează suficient de bine funcţia de corelaţie a

zgomotului alb discret, atunci secvenţa generată poate fi

considerată o realizare a zgomotului alb.

În fig.2.16 se prezintă schema de principiu a unui generator

de semnal pseudoaleator binar (SPAB).

Generator de

tact

n n-1 12Registru de deplasare

anan-1 a1a2

Sumator

modulo 2

(GT)

x0

(RD)

u(k)xn xn-1 x2 x1

Fig. 2.16

Pentru a obţine succesiuni de semnale binare de lungime

maximă T0=NT=(2n-1)T, T – perioada tactului, se folosesc

registre de deplasare RD, cu n etaje. Semnalul de

reacţie x0 constă din suma modulo 2 a semnalelor de ieşire

de la anumite etaje ale registrului, fiind dat de relaţia

nnxaxaxax .....22110

x 1

x ,0

i

i

sumei

sumeiai

(2.183)

3/30/2016

7

ai =1, dacă ieşirea xi contribuie la formarea semnalului de

reacţie ; ai = 0, dacă ieşirea xi nu contribuie la formarea

semnalului de reacţie.

x1(k) = u(k) – semnalul de ieşire din registru de deplasare,

este un semnal periodic, a cărei variaţie în timp depinde de

modul în care se obţine semnalul de reacţie.

Funcţionarea registrului de deplasare cu reacţie prin sumatorul

modulo 2 este descrisă prin ecuaţiile de stare discrete

)(...)()()1(

)()1(

)()1(

22110

32

21

kxakxakxaxkx

kxkx

kxkx

nnn

care se pot scrie compact în forma

)(c u(k)

(mod.2) )()1(

T kx

kxAkx d

(2.184)

în care x(k) = [x1, x2, …..xn]T este vectorul de stare ale

cărui elemente reprezintă ieşirile etajelor (bistabilelor)

registrului de deplasare.

]0,.....0,1[c ;

...a . . . . a a

1 ... 0 . . . . . . 0 0

0.......... 1 0 0

..00......... 1 0

T

1-n21

n

d

a

A

ai sunt definiţi ca în (2.183).

Condiţia de amorsare a secvenţei de semnale binare este ca

starea iniţială a registrului să fie diferită de zero.

Pentru ca un registru cu n=3 etaje, dacă x0 = x1 x2

(mod.2), se obţine perioada maximă T0=N T = (2n – 1)T = 7T.

Evoluţia ieşirilor etajelor registrului sunt reprezentate în tabelul

2.3. iar semnalul x1(k) =u(k) în fig. 2.17

3/30/2016

8

Tact x0 X3 x2 x1

1 0 1 0 0

2 1 0 1 0

3 1 1 0 1

4 1 1 1 0

5 0 1 1 1

6 0 0 1 1

7 1 0 0 1

8 1 1 0 0

Tabelul 2.3

tact

x1(t)

t

t

1 2 3 4 5 6 7 8

T

1

2T T T 3T

T0=(23-1)T=7T

Fig. 2.17

În tabelul 2.4 sunt prezentate operaţiile logice de pe calea

de reacţie pentru obţinerea semnalelor pseudoaleatoare

binare de perioadă maximă, pentru diferite numere de etaje

ale registrului de deplasare. Secvenţa u(k) generată poate lua

numai două valori (0 şi 1), de aceea se numeşte semnal

pseudoaleator binar (SPAB).

Numărul

de etaje

Etajele de la care se iau semnalele

pentru reacţia modulo 2

Perioada

semnalului

2 x1 x2 3

3 x3 x1 sau x2 x1 7

4 x2 x1 sau x4 x1 15

5 x3 x1 sau x4 x1 31

6 x2 x1 63

7 x4 x1 127

8 x5 x4 sau x3 x1 255

Tabelul 2.4

Pentru a obţine un semnal SPAB centrat cu valori între –a şi a

se defineşte

3/30/2016

9

]1)(2[)( kuaky (2.185)

Dacă operaţia de sumare modulo 2 se înlocuieşte cu sumarea

modulo m, se pot obţine semnale pseudoaleatoare cu m

nivele, care nu se pot genera prin hard dar pot fi uşor generate

soft, dispunând de un calculator numeric.

Un semnal SPAB u(k) are următoarele proprietăţi [28],[76]:

1) Dacă u(k) este SPAB de perioadă maximă NT = (2n-1)T,

atunci într-o perioadă sunt conţinute secvenţe 122

1 nN

elementare de 1, şi 122

1 1 nN

secvenţe elementare de 0 .

În timpul unei perioade vectorul de stare x(k) va lua toate

valorile posibile, mai puţin valoarea zero, pentru care registrul

nu îşi schimbă starea oricare ar fi reacţia.

Din cele 2n valori ale vectorului de stare posibile, 2n-1 vor

conţine 1 pe prima poziţie (ceea ce înseamnă x1=1, u(k)=1).

Cum numărul de stări elementare este 2n –1, rezultă că

numărul de stări de zero va fi 2n-1 – 1.

2) Fie u(k) un SPAB de perioadă N=2n – 1. Atunci pentru

i = 1, 2, …, N-1, există l[1, N-1] încât

)()()( lkuikuku (2.186)

unde l depinde de i , [73].

Dacă x şi y sunt variabile binare, atunci

)]([2

1yxyxxy (2.187)

relaţie care se verifică direct cu ajutorul tabelului de adevăr.

Pe baza acestor proprietăţi se pot determina valoarea medie

mu şi matricea de covarianţă Ruu(k) ale unui SPAB de lungime

maximă.

N

iuuuu

N

ku

miumkiuN

kR

kuN

m

1

1

))()()((1

)(

)(1

(2.188)

unde kkT ˆ este întârzierea.

3/30/2016

10

2

)1( NPentru că u(k) are numai valori de 0 sau 1 iar cele de 1 sunt

în număr de rezultă

2

1

2

1

2

11)]([

N

NN

Ntumu (2.189)

Pentru a evalua funcţia de covarianţă se observă că

))(2)((1

))((1

)0(1

22

1

2N

iuu

N

iuuu miumiu

Nmiu

NR

N

i

N

i

N

i

N

iuuu

u mmiuN

mN

iuN

miu

N 1 1 1 1

2222 2)(11

)(2

)(1 2

)1()(1 22

1uuuuu

N

i

mmmmmiuN 4

1

4

1

2

11

2

12

2

N

N

N

N

N

N

(2.190)

Pentru k=1, 2, ….(N+1), ţinând seama de (2.186), (2.187),

din (2.188) rezultă

04

)1(

2

1

2

1

2

1

2

1

2)(

2

1

))()(()()(2

1)()(

1

2)()(11

)(1

)(1

)()(1

))()()((1

)(

2

2

1

2

1

2

1

2

1 1

222

1 1

11

N

N

N

N

N

N

mmmm

mmlkiuN

m

miukiuiukiuN

miukiuN

mmiukiuN

mN

iuN

kiuN

m

iukiuN

miumkiuN

kR

uuuu

u

N

iuu

N

iu

N

iu

N

i

N

iuuu

N

i

N

iu

N

i

N

iuuuu

)1,.....(2,1 ; 4

1

4

)1()(

2

Nk

NN

NkRuu (2.191)

În relaţiile anterioare s-a ţinut seama că u(i)= 0 sau u(i) =1,

u2 (i) = u(i), şi că

N

i

N

i

N

iu lkiu

Nkiu

Niu

Nm

1 11

)(1

)(1

)(1

Pentru un semnal centrat ]u(t)a[y(t) 12

3/30/2016

11

pentru valoarea medie E[y(t)], dispersia D(y) şi funcţia de

covariaţie Ryy(k) se obţin expresiile

02

)12(1)21()]([2)]([

N

a

N

Namaakuakym uy

(2.192)

;1 2)1)(4)(4(

))(2)((1

))((1

)0()(

2

2

2

1

222

22

1

22

1

22

1

2

aN

aam

N

ammiuiu

N

a

miymiyN

miyN

RyD

N

iyyy

N

i

N

iyy

N

iyyy

(2.193)

N

a

N

a

N

am

mammmamiuaN

m

ikuaN

miuaikuaN

mN

iyN

ikyN

m

iyikyN

miymikyN

kR

y

uyuuy

N

iy

N

iy

N

k

N

iy

N

i

N

iy

N

i

N

iyyyy

2

2

222

22

1

11

1

2

1 1

11

)24()142()1)(2(1

)1)(2(1

1)(21)(21

1)(

1)(

1

)()(1

)()(1

)(

(2.194)

Pentru N suficient de mare, funcţia de covarianţă devine

1)-...(N 2, 1,k ; 0

0k ;)(

2akRyy

ceea ce constituie o bună aproximare a funcţiei de covariaţie

a zgomotului alb discret.

3). În cadrul unei perioade, jumătate din stările care apar, adică

212 1 )/(N n au o durată egală cu T, un sfert din numărul

au o durată 3T etc.

stărilor, adică 2n-2, au o durată 2T, o optime din numărul stărilor

Stările corespunzătoare celor 2 valori 1, 0 sunt egale ca

număr, exceptând faptul că există o stare cu valoare 1 de

durată nT, starea corespunzătoare fiind de durată (n-1)T,

(astfel stările perechi trebuie socotite pe durate mai mici de

(n-1)T.4). La efectuarea unei permutări ciclice asupra

unei succesiuni de date se obţine un semnal

3/30/2016

12

care comparat cu cel original, prezintă un număr de coincidenţe

care este mai mic cu o unitate faţă de numărul de

necoincidenţe

Funcţia de autocorelaţie a semnalului pseudoaleator binar

centrat, prezentat în fig. 2.18, se determină cu relaţia

T NT

yy dtkTtytyNT

dtkTtytyT

kR0 0

)()(1

)()(1

)( (2.195)

Pentru un semnal centrat cu valori între +a şi –a, pentru k=0 .

NT

yy adtaNT

R0

221)0(

(2.196)

a

y(t)y(t)y(t+kT)

T

-a

t

kT

Fig. 2.18

Pentru k întreg, rezultă că semnalul decalat va fi o permutare ciclică a

semnalului iniţial. Pentru că numărul de necoincidenţe este mai mare cu

o unitate decât numărul de coincidenţe (conform proprietăţii 4). Din

(2.191) pentru k[1, N-1] se obţine

NT

TN

T T

Tyy

N

adtkTtyty

dtkTtytydtkTtytyNT

kR

)1(

2

0

2

)()(...

)()()()(1

)(

(2.197)

Pentru k [0, 1] prin translare cu kT a lui u(t), fig. 2.18, pentru fiecare

stare va exista pe intervalul kT o necoincidenţă de semn. Funcţia de

autocorelaţie va fi dată de relaţia

N

Nka

NN

kN

aikTa

NT

dtkTtytydtkTtytyNT

dtkTtytyNT

kTR

N

jj

N

j

kT Ti

kT

N

j

Ti

yy

j

j

11

2

)1(22

1

)()()()(1

)()(1

)(

2

2/)1(

1

22

2/)1(

1 0

2/)1(

1 0

(2.198)

3/30/2016

13

2/)1(

1

N

jj Ni

unde ij este numărul de intervale ale stării j.

Funcţia de corelaţie totală a semnalului z(t) formată din

succesiunea periodică a valorilor determinate mai înainte, este

m

m

Nyy

Nyy mNTtRtR )()( (2.199)

pentru m = 0, 1, 2…..şi este reprezentată în fig.2.19.a.

t

NT=T0

t

a2

NT=T0

a(t)R N

yy

2N

1Na2

4N

1)(Na2

N

a2

Fig. 2.19

(t)R Nyy

Semnalul cu valori între 0 şi +a, notat y0(t), se deduce din

semnalul centrat y(t) cu valori între .2

10 a][y(t)(t)a]: ya,[

Aceste funcţii sunt reprezentate în figurile 2.19.a şi

2.19.b. Pentru funcţiile de corelaţie se obţin valorile date

de relaţiile :

a). k = 0 22

02

1

2

1)0( aa

N

NRN

yy

b). 0 < k < 1 ]2[2

1)( 2

0 kaN

NkTRN

yy

c). 1 < k < N-1 44

1)(

22

0

aa

N

NkTRN

yy

2.5.3. Persistenţa semnalelor

Se consideră un sistem liniar stocastic descris prin modelul

discret

1

1

)()()(N

iuuuy ikRihkR (2.200)

u(k) şi y(k), k = 0, 1, 2, …, (N-1) fiind semnalele de

intrare şi respectiv de ieşire din sistem,