Problema estimării frecvenţelor unor semnale

sinusoidale în prezenţa zgomotului

Modelul semnalului. Caracteristici spectrale şi

de corelaţie

Să considerăm cazul unor exponenţiale complexe în prezenţa unui zgomot alb,

necorelat cu semnalul, de valoare medie nulă şi dispersie σw2:

( ) ( ) ( ) ( )1 1

ii

P Pj j n

i

i ii

y n = + w n n + w ne eA xφ ω

= =

=∑ ∑

• Amplitudinile [ )∞∈ ,0iA şi frecvenţele unghiulare [ ]ππω ,−∈i se

presupun deterministe, dar necunoscute;

• fazele iϕ sunt variabile aleatoare necorelate, uniform distribuite în [ ]ππ ,− .

Modelul ARMA

( ) ii jnjii eeAnx

ωϕ=

( ) ( )1−= nxenx ij

iiω

sau introducând operatorul “întârziere cu un tact” 1−q , sau introducând operatorul “întârziere cu un tact” q ,

( ) ( ) ( ) ( ) 01 11 =−⇒= −− nxqenxqenx ij

ij

iii ωω

Pentru P=1

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )nwnxny

nwnxny

i

i

+=

−+−=− 111

Înmulţind prima ecuaţie cu ije

ω şi scăzând-o din a doua se elimină ( )nxi :

( ) ( ) ( ) ( )nwqenyqe ii jj 11 11 −− −=− ωω ( ) ( ) ( ) ( )nwqenyqe ii 11 −=−

În cazul general a P componente se obţine deci

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∏=

−−==P

i

jqeqAnwqAnyqA i

1

11unde ω

Observații

-Este o formă particulară de model ARMA (model ARMA degenerat)

-Polinomul ( )qA poartă informaţia completă asupra frecvenţelor { }Pii 1=ω ,

deoarece rădăcinile sale sunt

Pieq iji ,,1⋯== ω

-Scriind

( ) 1, 00

== −

=∑ aqaqA iP

ii

rezultă

( ) ( )∑∑==

−=−P

ii

P

ii inwainya

00

Funcţia de autocorelaţie

Evaluăm mai întâi

( ) ( ) ( ){ } { }( ) { }lili

llii

jjnjli

njjl

njjili

eeeAA

eeAeeAnxnxliF

ϕϕωω

ωϕωϕ

−−

−−∗

=

===

E

EE,

Pentru li = ,

{ } 1E =− li jjee

ϕϕ { } 1E =ee

iar pentru li ≠

{ } { } { } 0d2

1d

2

1EEE =

== ∫∫

−

−

−

−− ϕπ

ϕπ

π

π

ϕπ

π

ϕϕϕϕϕ jjjjjjeeeeee lili

deci

( )

≠

==li

liAliF i

0

,,

2

La fel se deduce că

( ) ( ){ }

≠

==−∗

li

lieAknxnxE

ijki

li0

,2 ω

aşa încât rezultă

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ){ }P P = − = − + − =∑ ∑

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ){ }

( ) ( ){ } ( ) ( )i

1 1

2 2w w

1 1 1

E E

E +

l

l

P P

yy ii l

P P Pjk2

iii l i

k y n y n k x n x n k E w n w n kr

x n x n k k keAωδ δσ σ

∗ ∗ ∗

= =

∗

= = =

= − = − + − =

= − + =

∑ ∑

∑∑ ∑

Densitatea spectrală de putere

Se calculează ca transformată Fourier în timp discret a funcţiei de autocorelaţie.

( ) ( ){ } ( ) 2

1

22TFTD w

P

iiiyy

jyy AkreP σωωδπω +−== ∑

=

( )ωjyy eP

2π

222 Aπ

232 Aπ

2w

σ

π π−

1ω 2ω 3ω

212 Aπ

Vectorul de date

( ) ( ) ( ) ( )[ ]T'nynynyn 1,,1, +−−= ⋯y

Vectorii frecvenţă

( )[ ] PieeeT'jjj

iiii ,,1,,,,,1 12

⋯⋯ == −−−− ωωωe

Matricea de autocorelaţie R asociată vectorului de date este Matricea de autocorelaţie R asociată vectorului de date este

( ) ( ){ }

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )

−−−−

−−

−

==

021

201

110

E

xxxxxx

xxxxxx

yyyyyy

H

r'r'r

'rrr

'rrr

nn

⋯

⋮⋱⋮⋮

⋮⋱⋮⋮

⋯

⋯

yyR

( ) ( ) ( ) ( )[ ]nxnxnxn Pc ,,, 21 ⋯=x

( ) ( ) ( )[ ]nnn PeeeA ,,, 21 ⋯=

Deoarece

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∑=

−

=−+=−+−=−

P

i

jki

P

ii knwenxknwknxkny i

11

ω

( ) ( ) ( )nnn c wAxy +=

( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }( ) ( ){ } IAxxA

wwAxAxyyR

2E

EEE

wHH

cc

HHHcc

H

nn

nnnnnn

σ+=

=+==

( ) ( ){ } { }2 2 21 2diag , , ,H

c c PE n n A A A=P x x≜ ⋯

( ) ( ){ } ( ) ( ){ } 2E EH H H

c c wn n n n σ= = +R y y A x x A I

IAPAR 2v

H σ+= v

( ) ( ) ,=}{E= 2w

1i

2 IeeyyR σ+∑=

Hii

P

iH

Ann

Dar

∑=

==P

i

HHiiiS A

1

2 APAeeR

este matricea de autocorelaţie a semnalului, iar

IR 2σ= IR 2wW σ=

este matricea de autocorelaţie a zgomotului, deci:

WS RRR +=

Valori proprii, vectori proprii

Vom presupune '>P.

Rangul matricei SR este P, iar al matricelor WR deci şi R, este '.

In consecinţă, matricea SR are P valori proprii PiSi ,,1, ⋯=λ nenule

(pozitive), iar restul de '-P sunt nule.

Vectorii proprii vi asociaţi valorilor proprii nenule poartă numele de

vectori proprii principali. În consecinţă, SR poate fi exprimat sub forma:

∑=

=P

i

HiiSiS

1vvR λ

Vectorii vi definesc acelaşi subspaţiu al semnalelor P-dimensional ca şi vectorii ei.

Într-adevăr, ei sunt ortogonali şi satisfac relaţia:

iSiiS vvR λ=

iSii

P

k

Hkkk

A vvee λ=∑=1

2

�� =���2��

�=1���� �� =����2�� �� ���

�=1�� =����

�=1��

∑=

='

i

Hii

1vvI

deci

( ) Hi

'

iii

Hi

'

Piiw

Hi

P

iiwSi

Hi

'

iiw

Hi

P

iiSi vvvvvvvvvvR ∑∑∑∑∑

=+=====++=+=

11

2

1

2

1

2

1λσσλσλ

Din relaţia de mai sus rezultă că se pot împărţi vectorii proprii λ ai matricei de Din relaţia de mai sus rezultă că se pot împărţi vectorii proprii iλ ai matricei de

autocorelaţie în două categorii

-vectorii proprii principali, v1,...,vP, care corespund valorilor proprii

PiwSii ,,1,2⋯=+= σλλ

(cele mai mari); ei sunt în acelaşi timp vectori proprii ai matricei de autocorelaţie

a semnalului; vom spune că aceştia generează subspaţiul semnal şi îi vom nota

Piii ,,1, ⋯== vs Piii ,,1, ⋯==

Cu aceştia se formează matricea

[ ] ( )P'P ×= sssS ,,, 21 ⋯

-vectorii proprii vP+1,...,vN, corespund toţi valorilor proprii 221 ,,, w'PP σλλλ =++ ⋯ ; ei

generează subspaţiul zgomot. Aceşti vectori se vor nota

P'iiPi −== + ,,1, ⋯vg

şi cu ei se formează matricea

[ ] ( )( )P'' −×= gggG ,,, ⋯ [ ] ( )( )P''P' −×= −gggG ,,, 21 ⋯

[ ]1 2, , ,'

Q v v v≜ ⋯

=RQ QΛ

{ }

==

2

11,diag

Λ0

0ΛΛ 'λλ ⋯

{ }Pλλ ,,diag 11 ⋯=Λ { }'P λλ ,,diag 12 ⋯+=Λ

=RQ QΛ

[ ] [ ]

=

2

1

Λ0

0ΛGSGSR

[ ] [ ]

=

2

1

Λ0

0ΛGSGSR

2

1

GΛRG

SΛRS

=

=

Din ultima relaţie

01Pλ

+ ⋯

GGAPAG

0

GRG 221

wH

w

'

P

σσλ

+==

=

+

⋯

⋮⋱⋮

⋯

de unde

0GAPA =H

Dar P este o matrice diagonală cu elemente nenule pe diagonală, iar A este de tip

Vandermonde, deci are rangul egal cu numărul de coloane, aşa încât rezultă

0GA =H

ceea ce implică

P'kPikikHi −==∀= ,,1,,,1,,,0 ⋯⋯ge

deci

PiHi ,,1, ⋯== 0Ge

Totodată, relaţia de mai sus implică

P'kkH −== ,,1, ⋯0gA

ceea ce înseamnă că vectorii kg aparţin spaţiului nul al matricei HA :

( )Hk Ag Ν∈

sau spaţiul coloană al matricei G este identic cu spaţiul nul al matricei HA : sau spaţiul coloană al matricei G este identic cu spaţiul nul al matricei A :

( ) ( )HAG NC =

Dar din ortogonalitatea vectorilor proprii rezultă

( ) ( )HSG NC =

Din ultimele două relaţii

( ) ( )HH AS NN =

În mod asemănător se deduce că

( ) ( )AS CC =

În consecinţă vectorii ei generează acelaşi subspaţiu ca şi vectorii proprii principali şi

sunt ortogonali pe subspaţiul zgomot. sunt ortogonali pe subspaţiul zgomot.

Pornind de la observaţiile de mai sus există două categorii de metode de estimare

a frecvenţelor. Unele se bazează pe subspaţiul semnal, celelalte pe subspaţiul zgomot.