Διαστήματα Εμπιστοσύνης

%100 1 Διαστήματα Εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή ενός πληθυσμού

Κατανομή Διασπορά 2 Μέγεθος δείγματος Διάστημα Εμπιστοσύνης

Κανονική Γνωστή Οποιοδήποτε

2

1aZn

Οποιαδήποτε Γνωστή Μεγάλο n 30

Οποιαδήποτε Άγνωστη Μεγάλο n 30 2

2a

sZ

n

Κανονική Άγνωστη Μικρό n 30 2; 1

3n

st

n

. . .. , . , .Z Z Z 0 005 0 025 0 052 58 1 96 1 65

Σφάλμα Εκτίμησης: Error X

Επιλογή μεγέθους δείγματος για σφάλμα εκτίμησης X e : Z

ne

2

2

Παράδειγμα 1

Από ένα δείγμα 100 τυχαία επιλεγμένων σημείων της ΒΙ.ΠΕ.Θ., βρέθηκε ότι το μέσο πλήθος

αιωρούμενων σωματιδίων είναι 109 σωματίδια/lit και η τυπική απόκλιση είναι 15

σωματίδια/1lit.

( α ) Ποιός ο πληθυσμός και ποιά η μεταβλητή που μελετάμε;

( β ) Να υπολογιστεί και να ερμηνευτεί το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για το μέσο

πλήθος των αιωρούμενων σωματιδίων στη ΒΙ.ΠΕ.Θ.

(γ ) Να υπολογιστεί το μέγεθος του δείγματος που πρέπει να πάρουμε, ώστε το

σφάλμα εκτίμησης να είναι το πολύ 2 σωματίδια/lit.

Λύση

( α ) Πληθυσμός: Η περιοχή της ΒΙ.ΠΕ.Θ

Μεταβλητή: Το πλήθος των αιωρούμενων σωματιδίων (σωματίδια / lit)

( β ) Η διασπορά 2 και η Κατανομή του πληθυσμού είναι άγνωστες, αλλά το δείγμα

μεγάλο. Μπορούμε επομένως να υπολογίσουμε το δ.ε. εμπιστοσύνης από τον

τύπο ( 2 )

Διαστήματα Εμπιστοσύνης

Μαρίνα Σύρπη

2

% . .δ.ε. 95 1 0 95 0 05

. . .Z Z Z 0 052 2

0 025 1 96

2

15109 1.96 109 106.06, 111.92.94 4

100a

sZ

n

Με πιθανότητα σφάλματος . 0 05 , εκτιμούμε ότι το μέσο πλήθος αιωρούμενων

σωματιδίων στη ΒΙ.ΠΕ.Θ βρίσκεται εντός των ορίων 106.06 σωματίδια/lit και

111.94 σωματίδια/lit.

( γ ) Επειδή η τυπική απόκλιση είναι άγνωστη, θα χρησιμοποιήσουμε την

δειγματική τυπική απόκλιση, δηλαδή s 15 .

.

.nZ

e

2

22

15 1 96

2216 09

Επομένως, θα πρέπει να επιλέξουμε τυχαίο δείγμα μεγέθους n 216

Παράδειγμα 2

Τα κέρδη των μονάδων τυποποίησης προϊόντων στην περιοχή της Μακεδονίας ακολουθούν

την Κανονική Κατανομή. Από ένα δείγμα 16 τυχαία επιλεγμένων μονάδων εκτιμήθηκε το

μέσο ετήσιο κέρδος σε �̅� = 150000 € και η τυπική απόκλιση σε 𝑠 = 15000 €.

( α ) Ποιός είναι ο πληθυσμός και ποια η μεταβλητή που ερευνούμε;

( β ) Να βρεθεί και να ερμηνευτεί το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για το πραγματικό

μέσο ετήσιο κέρδος των μονάδων τυποποίησης προϊόντων στην περιοχή της

Μακεδονίας, με την προϋπόθεση ότι ακολουθούν Κανονική Κατανομή.

Λύση

( α ) Πληθυσμός: Οι μονάδες τυποποίησης προϊόντων της Μακεδονίας.

Μεταβλητή: Ετήσιο κέρδος (σε €)

( β ) Η διασπορά 2 είναι άγνωστη και ο πληθυσμός Κανονικός. Το δείγμα είναι μικρό,

επομένως το δ.ε. θα υπολογιστεί από τον τύπο ( 3 )

% . .δ.ε. 95 1 0 95 0 05

. . ;;;

.n

t t t

2

0 05 0 025 151 16 12

2 131

Τύποι και παραδείγματα 3

Σημειώσεις Στατιστικής

2; 1

15000150000 2.131 150000 7991. 142008.8 , 157991.2525

16n

st

n

Με πιθανότητα σφάλματος . 0 05 , εκτιμούμε ότι το μέσο κέρδος για τις μονάδες

τυποποίησης προϊόντων της Μακεδονίας βρίσκεται εντός των ορίων 142.008,8 € και

157.991,25 €

Παράδειγμα 3

Μια εταιρεία εμπορίας καυσίμων πρόκειται να παραλάβει μια μεγάλη ποσότητα καυσίμων.

Για τον έλεγχο της ποιότητας των καυσίμων, πάρθηκαν 36 τυχαίες μετρήσεις από την

παραπάνω ποσότητα και μετρήθηκε η περιεκτικότητα σε θείο. Βρέθηκε ότι η

περιεκτικότητα σε θείο του πετρελαίου κίνησης ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με

δειγματική μέση τιμή 12.9 % και η δειγματική τυπική απόκλιση 4 %.

( α ) Ποιός ο πληθυσμός και ποιά η μεταβλητή που μελετούμε;

( β ) Να βρεθεί και να ερμηνευτεί το 90% διάστημα για τη μέση περιεκτικότητα σε θείο

του πετρελαίου κίνησης.

Λύση

( α ) Πληθυσμός: Η ποσότητα πετρελαίου κίνησης, που πρόκειται να παραλάβει η

εταιρεία εμπορίας καυσίμων.

Μεταβλητή: Η περιεκτικότητα σε θείο (%)

( β ) Η διασπορά 2 του πληθυσμού είναι άγνωστη, και η Κατανομή Κανονική.

Μέγεθος δείγματος, μεγάλο. Θα υπολογίσουμε το δ.ε. από τον τύπο ( 2 )

% . .δ.ε. 90 1 0 90 0 10

. . .Z Z Z 0 102 2

0 05 1 65

2

412.9 1.65 12.9 11.81.1

3, 14

6a

sZ

n

Με πιθανότητα σφάλματος . 0 10 , εκτιμούμε ότι η μέση περιεκτικότητα σε θείο της

ποσότητας καυσίμων που πρόκειται να παραλάβει η εταιρεία, βρίσκεται εντός των ορίων

11.8 % και 14 %.

Διαστήματα Εμπιστοσύνης

Μαρίνα Σύρπη

4

%100 1 Διάστημα Εμπιστοσύνης για την αναλογία p σε έναν πληθυσμό

ˆ ˆˆ ˆ ˆ, ,

p pp Z np n p

n

2

15 1 5

ˆx

pn

ο σημειακός εκτιμητής της αναλογίας p .

x το πλήθος των αντικειμένων του δείγματος που ανήκουν στην κατηγορία

που μας ενδιαφέρει

n το μέγεθος του δείγματος.

. . .. , . , .Z Z Z 0 005 0 025 0 052 58 1 96 1 65

Σφάλμα Εκτίμησης: ˆError p p

Επιλογή μεγέθους δείγματος για σφάλμα εκτίμησης p̂ p e : Z p p

ne

2

2

2

1

Επειδή η αναλογία p είναι κατά κανόνα άγνωστη, στον υπολογισμό του μεγέθους δείγματος

χρησιμοποιούμε είτε μια προγενέστερη εκτίμηση της αναλογίας p, είτε δίνουμε την τιμή

.p 0 5 .

Παράδειγμα 4

Ένας διευθυντής Μάρκετινκ θέλει να εκτιμήσει το ποσσοτό των πελατών που προτιμούν τη

νέα συσκευασία ενός προϊόντος σε σχέση με την παλιά. Από ένα δείγμα 50 τυχαία

επιλεγμένων ατόμων, τα 30 απάντησαν ότι προτιμούν τη νέα συσκευασία.

( α ) Να εκτιμηθεί και να ερμηνευτεί το 95 % διάστημα εμπιστοσύνης για το ποσοστό

των πελατών που προτιμούν τη νέα συσκευασία.

( β ) Ποιό είναι το ελάχιστο απαιτούμενο μέγεθος δείγματος, εάν θέλει να υπολογίσει

το παραπάνω ποσοστό με ακρίβεια 5%;

Λύση

( α ) % . .δ.ε. 95 1 0 95 0 05

. . .Z Z Z 0 052 2

0 025 1 96

ˆ . , . . και x

p np n pn

30

0 6 50 0 6 30 5 1 50 0 4 20 550

Επομένως, μπορούμε να εκτιμήσουμε το διάστημα εμπιστοσύνης

Τύποι και παραδείγματα 5

Σημειώσεις Στατιστικής

ˆ ˆˆ

. , .

. .. . . . .

. .

p pp Z

n

2

0 6 0 40 6 1 96 0 6 1 96 0 069282

50

0 6 0

1

0 46420135 7 0 7793 35793

Με πιθανότητα σφάλματος . 0 05 , εκτιμούμε ότι το ποσοστό των πελατών που

προτιμούν τη νέα συσκευασία βρίσκεται εντός των ορίων 46,42 % και 73,58 %.

( β )

Επειδή δεν γνωρίζουμε την τιμή της αναλογίας p , θα χρησιμοποιοήσουμε τη δειγματική

τιμή, δηλαδή ˆ .p p 0 6

. . ..

.

Z p p

en

2

22

2 2

1 1 96 0 6 0 4

05368

079

Θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί τυχαίο δείγμα, μεγέθους 400 ατόμων.

Διαστήματα Εμπιστοσύνης

Μαρίνα Σύρπη

6

%100 1 Διαστήματα Εμπιστοσύνης τη διαφορά 1 2 των μέσων

τιμών δύο πληθυσμών – δείγματα ανεξάρτητα.

Κατανομές των

πληθυσμών

Διασπορές

, 2 21 2

Μεγέθη

Δειγμάτων Διάστημα Εμπιστοσύνης

Κανονικές Γνωστές Οποιαδήποτε

X X Zn n

2

2 21 2

1 2

1 2

1

Οποιεσδήποτε Γνωστές

Μεγάλα

n

n

1

2

30

30

Οποιεσδήποτε ‘Αγνωστες

Μεγάλα

n

n

1

2

30

30

s s

X X Zn n

2

2 21 2

1 2

1 2

2

Κανονικές

Άγνωστες αλλά

ίσες

2 2 21 2

Οποιαδήποτε

; pn n

s sX X t s

n n

1 22

2 21 2

1 2 21 2

3

p

n s n ss

n n

2 21 1 2 2

1 2

1 1

2

Παράδειγμα 5

Δύο διαφορετικές συνθέσεις ενός οξυγονωμένου καυσίμου πρόκειται να ελεγχθούν,

προκειμένου να μελετηθεί ο αριθμός των οκτανίων τους. Η διασπορά για την πρώτη

σύνθεση είναι . 21 1 2 ενώ για τη δεύτερη . 22 1 5 . Επελέγησαν δύο τυχαία δείγματα

μεγέθους n 1 20 , n 2 15 , και οι μέσοι αριθμοί οκτανίων βρέθηκαν .X 1 92 5 και

.X 1 89 6 . Υποθέτοντας Κανονική Κατανομή να εκτιμήσετε και να ερμηνεύσετε το 95%

διάστημα εμπιστοσύνης για τη διαφορά του μέσου αριθμού οκτανίων στις δύο συνθέσεις.

Τύποι και παραδείγματα 7

Σημειώσεις Στατιστικής

Λύση

Επειδή υποθέτουμε Κανονικότητα και οι διασπορές των πληθυσμών είναι γνωστές, θα

χρησιμοποιήσουμε τον τύπο ( 1 )

% . .δ.ε. 95 1 0 95 0 05

. . .Z Z Z 0 052 2

0 025 1 96

.

. .. . .

. , ..

X X Zn n

2

2 21 2

1 2

1 2

1 2 1 592 5 89 6 1 96

2 11

20 15

2 6 39 0 784 684

Με πιθανότητα σφάλματος . 0 05 , εκτιμούμε ότι η διαφορά για τον μέσο αριθμό

οκτανίων στις δύο συνθέσεις βρίσκεται εντός των ορίων 2.116 οκτάνια και 3.684 οκτάνια.

%100 1 Διαστήματα Εμπιστοσύνης τη διαφορά p p1 2 των αναλογιών

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ, ,i i i i

p p p pp p Z n p n p

n n

2

1 1 2 21 2

1 2

1 15 1 5

ˆ ii

i

xp

n οι σημειακοί εκτιμητές των αναλογιών ip .

ix το πλήθος των αντικειμένων του δείγματος που ανήκουν στην κατηγορία

που μας ενδιαφέρει

in τα μεγέθη των δειγμάτων.

. . .. , . , .Z Z Z 0 005 0 025 0 052 58 1 96 1 65

Παράδειγμα 6

Σε μία έρευνα που έγινε σε δείγμα 100 ατόμων, οι 63 απάντησαν για τις συναλλαγές τους

προτιμούν να χρησιμοποιούν την πιστωτική τους κάρτα και οι 37 ότι προτιμούν να

χρησιμιποιούν την χρεωστική τους κάρτα. Να εκτιμηθεί και να ερμηνευτεί το 90% διάστημα

εμπιστοσύνης για τη διαφορά του ποσοστού μεταξύ των ατόμων που προτιμούν την

πιστωτική κάρτα και αυτών που προτιμούν την χρεωστική.

Διαστήματα Εμπιστοσύνης

Μαρίνα Σύρπη

8

Λύση

% . .δ.ε. 90 1 0 90 0 10

. . .Z Z Z 0 102 2

0 05 1 65

ˆ ˆ ˆ. , . και x

p n p n pn

11 1 1 1 1

1

630 63 100 0 63 63 5 1 100 37 20 5

100

ˆ ˆ ˆ. , . . και x

p n p n pn

22 2 2 2 2

2

370 37 100 0 37 37 5 1 100 0 63 63 5

100

Επομένως, μπορούμε να εκτιμήσουμε το διάστημα εμπιστοσύνης

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

. . . ..

. . , .

. .

.

p p p pp p Z

n n

2

1 1 2 21 2

1 2

0 63 0 37 0 37 0 630 63 0 37 1 65

10

1 1

0

0 100

0 26 0 133 01 39

Με πιθανότητα σφάλματος . 0 10 , εκτιμούμε ότι η διαφορά μεταξύ της αναλογίας των

ατόμων που προτιμούν για τις συναλλαγές τους την πιστωτική κάρτα και των ατόμων που

προτιμούν την χρεωστική, βρίσκεται εντός των ορίων 13 % και 39%.

Τύποι και παραδείγματα 9

Σημειώσεις Στατιστικής

Πίνακας της Κατανομής t - Student

ν – οι βαθμοί ελευθερίας

Παράδειγμα

0.10 0.05;15; 1 ;16 1

2 2

1.753 a

nt t t