1

Ορισmicroοί και εξισώσεις κίνησης

(δ΄ microέρος Μια απαραίτητη επισήmicroανση-ανασκόπηση των ορισmicroών laquoφάσηraquo και laquoαρχική φάσηraquo και microια εφαρmicroογή στα laquoκύmicroαταraquo)

(Θεωρώ απαραίτητο να επισηmicroάνω κάποια εδάφια από προηγούmicroενες αναρτήσεις microου προκειmicroένου όχι microόνο

να τονιστούν οι λόγοι που επιβάλλουν την επιλογή των τελικών microας στάσεων απέναντι στους ορισmicroούς laquoφάσηraquo

και laquoαρχική φάσηraquo αλλά κυρίως για να σκιαγραφηθεί ο τρόπος microε τον οποίο θα πρέπει κατά τη γνώmicroη microου του-

λάχιστον να αντιmicroετωπίζουmicroε θέmicroατα που αφορούν αυτές τις έννοιες

Αν κάποιος αναγνώστης θεωρήσει ότι η επανάληψη των εδαφίων δεν έχει κάτι να του προσθέσει ή να του ξαναθυmicroίσει microπορεί να παραλείψει το laquoΑ Θεωρητικό microέροςraquo και να περάσει στο laquoΒ Παραδείγmicroαταraquo Αν και αυτό του είναι επίπονο ας πάει κατευθείαν στο laquoΓ Συmicroπέρασmicroαraquo και ας συνεχίσει)

Α Θεωρητικό microέρος

Στην ανάρτηση laquoΟρισmicroοί και εξισώσεις κίνησης (α΄ microέρος)raquo microεταξύ άλ-

λων αναφέρονταν και τα εξής

laquoΣτην αναζήτηση (του σωστού ορισμού της φάσης και της αρχικής φάσης) επιβάλλεται να ανα-

τρέξουμε στην ξεχωριστή εκείνη εσωτερική λειτουργία των διαφορικών εξισώσεων με την οποία διάφο-

ρες ποσότητες (μεγέθη) ορίζονται καθώς αποκαλύπτονται στον φυσικό αλλά όχι στο μαθηματικό

σε microια εξίσωση κίνησης υπάρχουν microεγέθη όπως πχ η laquoαρχική θέσηraquo x0 και η laquoαρχική τα-

χύτηταraquo υ0 τα οποία προϋπάρχουν των προσδιοριστέων σταθερών (συνήθως δύο) που πάντα χρει-

άζεται microια εξίσωση κίνησης (λύση κάποιας κατάλληλης διαφορικής)

Τα microεγέθη αυτά και κατά συνέπεια και οι ορισmicroοί τους που προϋπάρχουν της διαφορικής δεν εξαρ-

τώνται ούτε από τη διαφορική ούτε από τη λύση της ή από τη microορφή λύσης που θα επιλέξουmicroε

Το κυριότερο όmicroως είναι ότι microπορούν να προσδιορίσουν τις έτσι κι αλλιώς απαραίτητες σταθερές της

εξίσωσης κίνησης αν αποτελούν δεδοmicroένες συνθήκες του προβλήmicroατος Μπορούν συνεπώς να καθορί-

σουν την τελική microορφή της εξίσωσης κίνησης

Το αντίθετο ακριβώς όπως θα δούmicroε συmicroβαίνει microε τη φάση και την αρχική φάση

Οι έννοιες φάση και αρχική φάση ορίζονται και άρα υπάρχουν σε απόλυτη εξάρτηση από τη διαφορι-

κή και από τη microορφή της συνάρτησης που θα επιλέξουmicroε ως λύση της διαφορικής microιας και εξαρτώνται

απόλυτα από τις σταθερές C1 και C2 που θα χρησιmicroοποιήσουmicroε και από τη microορφή της λύσης που θα

επιλέξουmicroε

Με τα παραπάνω θέλω να πω το εξής

Όπως υπάρχουν ορισmicroοί που προσδιορίζουν τις σταθερές της εξίσωσης κίνησης υπάρχουν και ορι-

σmicroοί που προκύπτουν από τη microορφή της εξίσωσης κίνησης που θα επιλέξουmicroε γεγονός που καθιστά όχι

microόνο την ύπαρξη τους αλλά και τη συmicroπεριφορά και τους microαθηmicroατικούς περιορισmicroούς τους απόλυτα

συνδεδεmicroένους microε την εξίσωση που θα επιλέξουmicroε και όχι microε το φαινόmicroενο

Η διαφορετικότητα αυτή των ορισmicroών πρέπει να αντανακλάται οπωσδήποτε και στην αντιmicroετώπιση

που θα τύχουν από microας επειδή οι σωστοί ορισmicroοί είναι όχι απλά απαίτηση microιας σωστής Φυσικής

αλλά απαραίτητη προϋπόθεση microιας σωστής σκέψης

2

η αποσύνδεση του ορισmicroού της φάσης και της αρχικής φάσης από την εξίσωση κίνησης και

τη microορφή της δεν είναι ασφαλής και γρήγορα αν δεν υπάρξει η κατάλληλη εmicroπειρία και η ξεχωριστή

ικανότητα θα οδηγήσει τον φυσικό και όχι microόνο σε παρανοήσεις τόσο του φαινοmicroένου όσο και του

εννοιολογικού του εξοπλισmicroού και της microαθηmicroατικής του επεξεργασίας

Τα microεγέθη πολλές φορές έχουν όχι απλά άλλη ποιότητα αλλά ακολουθούν τελείως διαφορετικές εννοιολογικές και φορmicroαλιστικές διαδροmicroές microε αποτέλεσmicroα οι ορισmicroοί τους να συνδέονται άmicroεσα microε

αυτές τις διαδροmicroές και ο χειρισmicroός τους να αντανακλά αυτές τις διαδροmicroέςraquo

Στην ανάρτηση laquoΟρισmicroοί και εξισώσεις κίνησης (β΄ microέρος)raquo προσπάθησα

να γίνω σαφέστερος microε εκτενή σχόλια και microαθηmicroατικά επιχειρήmicroατα

laquo

Αποδεικνύεται ότι οι πιο σηmicroαντικές ισοδύναmicroες microεταξύ τους microορφές microε τις

οποίες microπορεί να δοθεί αυτή η γενική λύση και κατά συνέπεια να δοθεί η εξίσωση κίνησης του απλού

αρmicroονικού ταλαντωτή(

) είναι τρεις

1η microορφή

x=C1middotηmicroωt + C2middotσυνωt t ge Rt0 isin

2η microορφή

x=C3middotηmicro(ωt + C4) t ge Rt0 isin

3η microορφή

x=C5middotσυν(ωt + C6) t ge Rt0 isin

Στις παραπάνω ισοδύναmicroες microορφές της γενικής εξίσωσης κίνησης ισχύουν ποιοτικά τα ίδια

που αναφέρθηκαν και στην ευθύγραmicromicroη οmicroαλή κίνηση (σελ2) στο α΄ microέρος της ανάρτησης

laquoΟρισmicroοί και εξισώσεις κίνησηςraquo

α) ∆εν απαιτείται καmicroιά δικιά microας εκ των υστέρων τροποποίηση στο χρόνο t να γίνει δη-

λαδή t-t0 ή κάτι άλλο παρά microόνο ο προσδιορισmicroός των σταθερών C1 C2 C3 C4 C5

και C6 συναρτήσει των συνθηκών που θα microας δώσουν

β) Οι παραπάνω σταθερές γενικά όχι microόνο δεν είναι η αρχική ταχύτητα υ0 και η αρχική

θέση x0 του υλικού σηmicroείου αλλά ούτε και συνδυασmicroοί τους

Είναι εκφράσεις αποκλειστικά των συγκεκριmicroένων συνθηκών που θα microας δώσουν και επιβάλλεται να microας δώσουν Οι συνθήκες αυτές δεν είναι κατ΄ ανάγκη οι αρχι-κές συνθήκες x0 και υ0

() Όσα ακολουθούν ισχύουν προφανώς όχι microόνο στον αατ αλλά και στην πιο γενική περίπτωση

του αρmicroονικού ταλαντωτή microιας και είναι καθαροί microαθηmicroατικοί microετασχηmicroατισmicroοί και συνέπειες

3

γ) Επίσης αποδεικνύονται τα παρακάτω πολύ σηmicroαντικά

Τα C1 και C2 θεωρητικά τουλάχιστον δε χρειάζεται να πληρούν κανένα περιο-

ρισmicroό και συνεπώς microπορεί να είναι οποιοιδήποτε πραγmicroατικοί αριθmicroοί

Για τα C3 C5 είχαmicroε microαθηmicroατικά το δικαίωmicroα και τα επιλέξαmicroε θετικά

Οι λόγοι που microας ώθησαν σε αυτή την επιλογή είναι παρόmicroοιοι microε αυτούς που microας

ώθησαν να επιλέξουmicroε θετική και την κυκλική συχνότητα ω microιας και θα microπορού-

σαmicroε το ίδιο καλά να είχαmicroε καλέσει m

Dminus=ω

(Οι λόγοι αυτοί έχουν ήδη αναφερθεί)

Εδώ υπάρχει και ένας ακόmicroη σηmicroαντικός λόγος για την επιλογή των C3 και C5 ως

θετικών ποσοτήτων να κάνουmicroε τα C3 και C5 πλάτος ταλάντωσης microέγιστη δηλα-

δή απόσταση από το ελκτικό κέντρο

Αποδεικνύεται δηλαδή ότι αν επιλέξουmicroε τα C3 και C5 θετικά τότε το πλάτος της

ταλάντωσης είναι

2

2

2

153 CCCCA +===

Με άλλα λόγια θα microπορούσαmicroε τα C3 C5 αλλά και το ω να τα είχαmicroε επιλέξει

αρνητικά Θα λειτουργούσαν όλα το ίδιο καλά απλά θα έπρεπε να προσαρmicroόσου-

microε λίγο τους ορισmicroούς microας

Τα C4 C6 microπορούν να είναι οποιοιδήποτε πραγmicroατικοί αριθmicroοί Όmicroως η περιο-

δικότητα των συναρτήσεων ηmicroίτονο και συνηmicroίτονο microας επιτρέπει να ακολουθή-

σουmicroε τη βασική φιλοσοφία που διέπει όλη τη Φυσική και που απαιτεί να την πα-

ρουσιάζουmicroε microε τον πιο οικονοmicroικό τρόπο

Έτσι microπορούmicroε επιτρέπεται και το κάνουmicroε να περιορίσουmicroε τις τιmicroές των C4 και

C6 microέσα σε έναν τριγωνοmicroετρικό κύκλο και όχι σε περισσότερους microιας και η επέ-

κταση σε περισσότερους κύκλους δεν προσφέρει τίποτε επί πλέον στη φυσική των

φαινοmicroένων που εξετάζουmicroε

Για τα C4 και C6 επιλέγουmicroε να πάρουmicroε για την κάλυψη του ενός τριγωνοmicroετρι-

κού κύκλου που χρειαζόmicroαστε και άρα ως πεδίο ορισmicroού τους το διάστηmicroα

[02π)

∆ηλαδή επιλέξαmicroε 0le C4 lt2π και 0le C6 lt2π

Θα microπορούσαmicroε για παράδειγmicroα να δεχτούmicroε ως διάστηmicroα και το [-ππ) ή ο-

ποιοδήποτε άλλο διάστηmicroα αρκεί να καλύψουmicroε έναν τριγωνοmicroετρικό κύκλο

Εποmicroένως

Η γενική microορφή της εξίσωσης κίνησης ενός υλικού σηmicroείου που εκτελεί (απλή) αρmicroονική

ταλάντωση για χρονικές στιγmicroές t ge Rt0isinisinisinisin microπορεί να δοθεί microε τρεις ισοδύναmicroες microορφές

1η microορφή

x=C1middotηmicroωt + C2middotσυνωt t ge Rt0 isin (16)

C1 και C2 πραγmicroατικοί αριθmicroοί

2η microορφή

x=Αmiddotηmicro(ωt + C4) t ge Rt0 isin (17)

Αgt0 και 0le C4 lt2π

4

3η microορφή

x=Αmiddotσυν(ωt + C6) t ge Rt0 isin (18)

Αgt0 και 0le C6 lt2π

(Όπως ήδη έχουmicroε πει σχεδόν όσα προηγήθηκαν και όσα θα ακολουθήσουν αφορούν τις συναρτήσεις και όχι το φαινόmicroενο Αποτέλεσmicroα αυτού είναι να εφαρmicroόζονται όχι microόνο στην απλή αρmicroονική ταλάντωση αλλά σε όλα σχεδόν τα microεγέθη που microεταβάλλονται αρmicroονικά microε το χρόνο που έχουν δηλαδή ίδιες εξισώσεις)

Οι έννοιες της φάσης και της αρχικής φάσης δε microπορούν να εντοπιστούν στη microορφή (16)

παρά microόνο στις εξισώσεις (17) και (18)

Είναι δηλαδή έννοιες που συνδέονται άmicroεσα microε τη microορφή της εξίσωσης κίνησης που θα

επιλέξουmicroε και όχι microε τη ταλάντωση ή γενικά microε το φαινόmicroενο

Αφήνοντας λοιπόν κατά microέρος την (16) ας δούmicroε τα πράmicroατα πιο αναλυτικά εξετάζοντας

για παράδειγmicroα τη microορφή (17) της εξίσωσης κίνησης της αρmicroονικής ταλάντωσης

Στην εξίσωση κίνησης

x=Αmiddotηmicro(ωt + C4) microε t ge Rt0 isin Αgt0 και 0le C4 lt2π (19)

microπορούmicroε να ονοmicroάσουmicroε φάση της αποmicroάκρυνσης την ποσότητα

φ=ωt+C4 microε t ge Rt0 isin

Αυτόmicroατα η ποσότητα φ0=ωt0+C4 θα πρέπει να ονοmicroαστεί αρχική φάση της αποmicroάκρυν-

σης στην παραπάνω εξίσωση κίνησης

Από τα παραπάνω βλέπουmicroε ότι ο περιορισmicroός 0le C4 lt2π είναι αδύναmicroος microιας και το γε-

γονός ότι η χρονική στιγmicroή t0 που αρχίσαmicroε να microελετάmicroε το φαινόmicroενο microπορεί θεωρητικά να

πάρει οποιαδήποτε τιmicroή επιτρέπουν στην αρχική φάση φ0=ωt0+C4 να πάρει οποιαδήποτε

τιmicroή

Επειδή όmicroως έχουmicroε συνηθίσει να συνδέουmicroε την αρχική φάση microε το laquoξεκίνηmicroαraquo της

microελέτης του φαινοmicroένου (της ταλάντωσης επί του προκειmicroένου) και συνεπώς microε το

γεγονός ότι ακόmicroη δεν έχει ολοκληρωθεί καmicroιά ταλάντωση δε θα θέλαmicroε να βλέπαmicroε

microέσα σε microια αρχική φάση αποmicroάκρυνσης τιmicroές που να περιέχουν ακόmicroη και τεράστια

πολλαπλάσια του 2π microιας και υπήρχε κίνδυνος αυτό να εκληφθεί ως πληροφορία

(λανθασmicroένη σε αυτό το καθεστώς που περιγράφουmicroε) ότι έχουν εκτελεστεί ήδη πά-

microπολλες ταλαντώσεις

Για να γλιτώσουmicroε λοιπόν τις συνήθειές microας και γιατί όχι και τη λογική microας

microπορούmicroε microαθηmicroατικά να τροποποιήσουmicroε την εξίσωση κίνησης (19)

Από τη σχέση φ0=ωt0+C4 της αρχικής φάσης προκύπτει

C4= φ0‒ωt0

και συνεπώς η εξίσωση κίνησης γίνεται

x=Αmiddotηmicro[ω(t‒t0)+ φ0 ] t ge Rt0 isin (20)

5

Συγκρίνοντας τις εξισώσεις (19 ) και (20) και βλέποντας ότι τα C4 και φ0 microπαίνουν σε laquoι-

σάξιες θέσειςraquo αντί να απαιτήσουmicroε από το C4 να παίρνει τις περιορισmicroένες τιmicroές 0le C4

lt2π οπότε το φ0 θα παίρνει αναγκαστικά οποιαδήποτε πραγmicroατική τιmicroή απαιτούmicroε από

την αρχική φάση φ0 να παίρνει τιmicroές σε ένα τριγωνοmicroετρικό κύκλο 0le φ0 lt2π οπότε το

C4 microπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιmicroή ανάλογα microε την επιλογή της αρχής των χρόνων που

κάνουmicroε (Όπως έχουmicroε ξαναπεί ένας τριγωνοmicroετρικός κύκλος καλύπτεται και microε άλλες επιλογές διαστηmicroά-

των όπως πχ -πle φ0 ltπ κλπ)

Υιοθετώντας αυτή την επιλογή για την αρχική φάση αυτόmicroατα και η συνάρτηση που δίνει

τις τιmicroές της φάσης αλλάζει από

φ= ωt+C4 microε t ge Rt0 isin και 0le C4 lt2π

σε φ=ω(t‒t0)+ φ0 microε t ge Rt0 isin και 0le φ0 lt2π

Βασικά συmicroπεράσmicroατα για τους ορισmicroούς των εννοιών laquoφάσηraquo και

laquoαρχική φάσηraquo

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι έχουmicroε δύο δυνατότητες γραφής και άρα επιλογής των

ορισmicroών laquoφάσηraquo και laquoαρχική φάσηraquo

1η δυνατότητα

Στην εξίσωση κίνησης

x=Αmiddotηmicro(ωt + C4) microε t ge Rt0 isin Αgt0 και 0le C4 lt2π (21)

ονοmicroάζουmicroε φάση της αποmicroάκρυνσης την ποσότητα

φ=ωt+C4 microε t ge Rt0 isin και 0le C4 lt2π (22)

Κατά συνέπεια ονοmicroάζουmicroε αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης την ποσότητα

φ0=ωt0+C4 Rt0 isin και 0le C4 lt2π (προφανώς R0 isinϕ ) (23)

Οι σταθερές A και C4 θα προσδιοριστούν από τις συνθήκες που microας δίνουν και οι οποίες

δεν είναι απαραίτητο να είναι οι αρχικές

2η δυνατότητα

Στην εξίσωση κίνησης

x=Amiddotηmicro(ωt + C4) microε t ge Rt0 isin Αgt0 και C4 πραγmicroατικός (24)

ονοmicroάζουmicroε φάση της αποmicroάκρυνσης την ποσότητα

φ=ωt+C4 t ge Rt0 isin (25)

Κατά συνέπεια ονοmicroάζουmicroε αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης την ποσότητα

φ0=ωt0+C4 microε τον ισχυρό περιορισmicroό 0le φ0 lt2π (26)

6

Οι σταθερές Αgt0 και C4 θα προσδιοριστούν από τις συνθήκες που microας δίνουν και οι ο-

ποίες δεν είναι απαραίτητο να είναι οι αρχικές

Ο προσδιορισmicroός όmicroως του C4 επειδή αυτή η σταθερά τώρα θεωρείται πραγmicroατικός αριθmicroός θα γίνει microε την αοριστία ακέραιων πολλαπλασίων του π Θα περιέχει δηλαδή

το 2kπ (βλέπε παραδείγmicroατα παρακάτω)

Έτσι η ακριβής τιmicroή του θα απαιτήσει οπωσδήποτε και τον ισχυρό περιορισmicroό που microετα-

τοπίσαmicroε στην αρχική φάση

0le φ0 lt2π δηλαδή τον 0le ωt0+C4 lt2π (27)

2η δυνατότητα (εναλλακτικός τρόπος προτιmicroητέος)

(Η ιδέα γι αυτή τη δυνατότητα είναι του Διονύση)

Εκmicroεταλλευόmicroενοι τη σχέση (20) την οποία χρησιmicroοποιήσαmicroε προκειmicroένου να καταλή-

ξουmicroε στη δεύτερη δυνατότητα microπορούmicroε να δούmicroε τα πράγmicroατα και microε έναν άλλο τρόπο

Στην εξίσωση κίνησης

x=Amiddotηmicro[ω(t‒t0)+φ0 ] t ge Rt0 isin Agt0 0le φ0 lt2π (28)

ονοmicroάζουmicroε φάση της αποmicroάκρυνσης την ποσότητα

φ=ω(t ‒ t0 )+φ0 t ge Rt0 isin (29)

Όmicroοια ονοmicroάζουmicroε αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης την ποσότητα

φ0 (29α)

Οι σταθερές Agt0 και φ0 θα προσδιοριστούν από τις συνθήκες που microας δίνουν και οι ο-

ποίες δεν είναι απαραίτητο να είναι οι αρχικές

Όπως εξηγήσαmicroε η πρώτη δυνατότητα δεν περιορίζει την αρχική φάση σε ένα τριγωνο-

microετρικό κύκλο δε βάζει κανένα περιορισmicroό στη φάση και στην αρχική φάση παρά microόνο σε

microια σταθερά της εξίσωσης κίνησης τη 0le C4 lt2π (βλέπε σχέση 21)

Συνεπώς είναι πολύ πιο ισχυρή από τη δεύτερη δυνατότητα Όmicroως χαλά όλες τις συνή-

θειές microας και το laquoτραγικότεροraquo είναι ότι εύκολα microπορεί να καταργήσει και τις δύο έννοιες

(φάση και αρχική φάση) αν κάποιος άρει (και έχει microαθηmicroατικά το δικαίωmicroα) το microοναδικό

περιορισmicroό 0le C4 lt2π που θέτει η οικονοmicroία της περιγραφής των φαινοmicroένων

Γι΄ αυτή και microόνο την αναστάτωση που πιθανώς να επιφέρει στις συνήθειές microας

στις εκφράσεις microας και στον τρόπο σκέψης microας πιστεύω χωρίς αυτό να είναι ούτε

απαραίτητο ούτε αναγκαίο ότι πρέπει να υιοθετήσουmicroε τη δεύτερη δυνατότητα ορι-

σmicroών laquoφάσηςraquo και laquoαρχικής φάσηςraquo και microάλιστα τον εναλλακτικό τρόπο ο οποίος θα

αποδειχτεί παρακάτω πιο laquoφιλικόςraquo

7

Β Παραδείγmicroατα εύρεσης φάσης και αρχικής φάσης στις τα-

λαντώσεις και στη συmicroβολή των κυmicroάτων

Ας ξεκινήσουmicroε ξαναθυmicroίζοντας τρία παραδείγmicroατα από την ανάρτηση laquoΟρισmicroοί και

εξισώσεις κίνησης (β΄ microέρος)raquo

1ο παράδειγmicroα

Υλικό σηmicroείο εκτελεί (απλή) αρmicroονική ταλάντωση που περιγράφεται από εξίσωση κίνησης

της microορφής x=Amiddotηmicro(ωt+C4)

Τη χρονική στιγmicroή t0=2 sec που αρχίζουmicroε να microελετάmicroε την κίνηση το υλικό σηmicroείο βρίσκε-

ται στη θέση m102

2x

10

minussdotminus= (αρχική θέση) και έχει ταχύτητα sec

m 10 2

10 πυ minus= (αρχική τα-

χύτητα) Αν η περίοδος της ταλάντωσης είναι Τ=1 sec να βρεθεί η φάση και η αρχική φά-

ση της αποmicroάκρυνσης στη δεδοmicroένη microορφή εξίσωσης κίνησης

(Στην άσκηση δίνονται δύο συγκεκριmicroένες συνθήκες οι αρχικές Θα microπορούσαν όmicroως να

είναι οποιεσδήποτε άλλες αλλά πάντα δύο)

Λύση

α΄ τρόπος Με τη χρήση των σχέσεων (24) έως (27)

Την εξίσωση κίνησης που microας δίνουν φέρνουmicroε στη microορφή και τους περιορισmicroούς

της συνάρτησης (24)

x=Amiddotηmicro(2πt + C4) microε t ge2 sec Αgt0 και C4 πραγmicroατικός αριθmicroός (30)

Τότε η φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ=2πt + C4 microε t ge2 sec και RC4 isin (30α)

και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ0=2π2+C4 microε τον ισχυρό περιορισmicroό 0le φ0 lt2π (30β)

Εποmicroένως όλο το πρόβληmicroα εντοπίζεται στον υπολογισmicroό της σταθεράς C4

Ας τον κάνουmicroε

Η ταχύτητα του υλικού σηmicroείου είναι

υ=A2πmiddotσυν(2πt + C4) microε t ge2 sec Αgt0 και C4 πραγmicroατικός (31)

Για t=t0=2 sec οι σχέσεις (30) και (31) δίνουν

110

2

2 minussdotminus =Amiddotηmicro(4π+C4) microε Αgt0 και C4 πραγmicroατικός

π110 2 minus =A2πmiddotσυν(4π+C4) microε Αgt0 και C4 πραγmicroατικός

8

Από όπου προκύπτει

Α=10-1

m 2

2C4 minus=ηmicro και

2

2C4 =συν

και τελικά

Α=10-1

m και Zk rad 4

7k2C4 isin+= microε

ππ (32)

Βλέπουmicroε καθαρά πια ότι ενώ η τιmicroή του Α της microιας δηλαδή από τις δύο σταθερές Α και

C4 που επιβάλλει η διαφορική εξίσωση έχει ήδη προσδιοριστεί από τις αρχικές συνθήκες ο

προσδιορισmicroός της ακριβούς τιmicroής του C4 απαιτεί τον ορισmicroό και τον περιορισmicroό που υιο-

θετήσαmicroε για την αρχική φάση

Αυτός είναι και ο βαθύτερος κεφαλαιώδης ποιοτικός διαχωρισmicroός των εννοιών laquoπλάτοςraquo

και laquoαρχική φάσηraquo που κάνει το πλάτος γρήγορα να ανεξαρτητοποιηθεί από τη microορφή της

εξίσωσης κίνησης που θα χρησιmicroοποιήσουmicroε για τη ταλάντωση και έτσι να γίνει έννοια που

αφορά το φαινόmicroενο και όχι τη συνάρτηση την εξίσωση κίνησης δηλαδή

Λέmicroε πλάτος ταλάντωσης αλλά ποτέ αρχική φάση ταλάντωσης

Από τη σχέση (30α) προκύπτει ότι η φάση της αποmicroάκρυνσης στη δεδοmicroένη microορφή της ε-

ξίσωσης κίνησης είναι

φ=2πt+C4=2πt+ Zk 4

7k2 isin+ microε

ππ και t ge2 sec (33)

και εποmicroένως η αρχική φάση είναι

φ0 = 4π+ Zk 4

7k2 isin+ microε

ππ (34)

Πρέπει όmicroως

0le φ0 lt2π

Αντικαθιστώντας στην παραπάνω διπλή ανίσωση την φ0 από την σχέση (34) προκύπτει

k=minus2

Τότε από σχέση (32) προκύπτει

rad 4

9π

4

74C4 minus=+minus=

ππ

και συνεπώς η εξίσωση κίνησης του υλικού σηmicroείου (30) γίνεται

x=10-1

middotηmicro(2πt 4

9πminus ) (SI) microε t ge2 sec (35)

Η φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση κίνησης (35) είναι

φ= 4

9t2

ππ minus και t ge2 sec

και η αρχική φάση

rad 4

7

4

9220

πππϕ =minus=

9

β΄ τρόπος Με τη χρήση των σχέσεων (28) έως (29α)

Την εξίσωση κίνησης που microας δίνουν φέρουmicroε στη microορφή και τους περιορισmicroούς της

συνάρτησης (28)

x=Amiddotηmicro[2π(t‒2)+ φ0 ] t ge 2 sec Agt0 0le φ0lt2π (36)

τότε η φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ=2π(t‒2)+ φ0 t ge 2 sec 0le φ0lt2π (36α)

και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ0

Εποmicroένως όλο το πρόβληmicroα εντοπίζεται στον υπολογισmicroό της φ0

Ας τον κάνουmicroε

Η ταχύτητα του υλικού σηmicroείου είναι υ=2πΑmiddotσυν[2π(t‒2)+ φ0 ] t ge 2 sec Αgt0 0le φ0 lt2π (36β)

Για t=t0=2 sec οι παραπάνω σχέσεις (36) και (36β) αποmicroάκρυνσης και ταχύτητας αντί-

στοιχα δίνουν

110

2

2 minussdotminus =Αηmicroφ0 και π110 2 minus =2πΑσυνφ0

Από όπου

Α=10-1

m 2

20 minus=ηmicroϕ και

2

2 0=συνϕ

Τελικά και microε δεδοmicroένο ότι 0le φ0 lt2π προκύπτει

Α=10-1

m και rad 4

70

πϕ =

Από τη σχέση (36) προκύπτει η εξίσωση κίνησης

x=10-1

middotηmicro[2π(t-2)4

7π+ ) microε t ge2 sec (37)

δηλαδή η

x=10-1

middotηmicro(2πt 4

9πminus ) (SI) microε t ge2 sec (38)

Κατά συνέπεια η φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση κίνησης (38) είναι

φ= 4

9t2

ππ minus microε t ge2 sec

και η αρχική φάση

rad 4

7

4

9220

πππϕ =minus=

τιmicroή την οποία εξάλλου έχουmicroε ήδη βρει

10

2ο παράδειγmicroα

Υλικό σηmicroείο εκτελεί (απλή) αρmicroονική ταλάντωση που περιγράφεται από την εξίσωση

x=10-1

middotηmicro(2πt 4

9πminus ) (SI) microε t ge2 sec (39)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης x στη δεδοmicroένη microορφή της εξίσω-

σης κίνησης στη δεδοmicroένη δηλαδή microορφή της εξίσωσης αρmicroονικής ταλάντωσης

Λύση

α΄ τρόπος Με τη χρήση των σχέσεων (24) έως (27)

Την εξίσωση κίνησης που microας δίνουν φέρνουmicroε στη microορφή και τους περιορισmicroούς

της συνάρτησης (24)

x=Amiddotηmicro(2πt + C4) microε t ge2 sec Αgt0 και C4 πραγmicroατικός (40)

Τότε η φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ=2πt+C4 t ge2 sec RC4 isin (40α)

και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ0=2π2+C4 microε τον ισχυρό περιορισmicroό 0le φ0 lt2π (40β)

Εποmicroένως όλο το πρόβληmicroα εντοπίζεται στον υπολογισmicroό της σταθεράς C4

Ας τον κάνουmicroε

Για να έχει η εξίσωση κίνησης (39) που microας δίνουν τη microορφή της σχέσης (40) για όλες

τις χρονικές στιγmicroές tge2 sec πρέπει να ισχύει

Α=10-1

m και ηmicro(2πt + C4)= ηmicro(2πt 4

9πminus )

και συνεπώς πρέπει

C4=2kπ4

9πminus (40γ)

Τότε η φάση και η αρχική φάση λόγω των σχέσεων (40α) (40β) και (40γ) θα είναι

φ=2πt+2kπ4

9πminus t ge2 sec

φ0=4π+2kπ4

9πminus

Απαιτώντας 0le φ0 lt2π προκύπτει k=0

Άρα η φάση της αποmicroάκρυνσης στην (40) και κατά συνέπεια στην εξίσωση κίνησης

(39) που microας δίνουν είναι

φ=4

π9πt2 minus microε t ge2 sec

και η αρχική φάση είναι

φ0=4

7π

11

β΄ τρόπος Με τη χρήση των σχέσεων (28) και (29)

Την εξίσωση κίνησης που microας δίνουν φέρνουmicroε στη microορφή και τους περιορισmicroούς

της συνάρτησης (28)

x=Amiddotηmicro[2π(t‒2)+ φ0 ] t ge 2 sec Agt0 0le φ0lt2π (41)

Τότε η φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ=2π(t‒2)+ φ0 (41α)

και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ0

Εποmicroένως όλο το πρόβληmicroα εντοπίζεται στον υπολογισmicroό της φ0

Ας τον κάνουmicroε

Μετασχηmicroατίζουmicroε την εξίσωση κίνησης (39) που microας δίνουν ώστε να αποκτήσει τη microορ-

φή της σχέσης (41)

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒2)+4πminus4

9π] t ge 2 sec

και τελικά

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒2)+4

7π] (SI) t ge 2 sec (42)

Άρα η φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση κίνησης (42) και κατά συνέπεια στην εξί-

σωση κίνησης (39) που microας έδωσαν είναι

φ=2π(t‒2)+4

7π=

4

π9πt2 minus microε t ge2 sec

και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ0=4

7π

Σηmicroειώσεις

α) Από το παραπάνω παράδειγmicroα φαίνεται η ευκολία microε την οποία λύνεται το πρόβληmicroα

της φάσης και της αρχικής φάσης microε τον β΄ τρόπο αν φέρουmicroε δηλαδή την εξίσωση κίνη-

σης που microας δίνουν στη microορφή της συνάρτησης (28) microε τους περιορισmicroούς όmicroως που ακο-

λουθούν αυτή τη microορφή Τον τρόπο αυτόν θα ακολουθήσουmicroε και στο επόmicroενο παράδειγmicroα Ίσως κάποιος πει γιατί να τα κάνουmicroε όλα αυτά αφού θα microπορούσαmicroε και microόνο microε παρα-

τήρηση σύγκριση και microε microια αντικατάσταση στην εξίσωση κίνησης (39) που microας δίνουν να

βρούmicroε αυτά που ζητάmicroε πολύ πιο εύκολα

Ο λόγος της ευκολίας που πιθανώς να διακρίνει κάποιος οφείλεται στο γεγονός ότι η (39)

ήταν σχέση laquomicroαγειρεmicroένηraquo Είχε ετοιmicroαστεί από το πρώτο παράδειγmicroα Τα πράmicroατα όmicroως

δε θα είναι πάντα τόσο ευδιάκριτα Θα το διαπιστώσουmicroε στο επόmicroενο παράδειγmicroα

12

β) Η εξίσωση κίνησης (39) που microας δώσανε

x=10-1

middotηmicro(2πt 4

9πminus ) (SI) microε t ge2 sec

είναι microαθηmicroατικά ισοδύναmicroη microε την

x=10-1

middotηmicro(2πt 4

πminus ) (SI) microε t ge2 sec

Κατά συνέπεια αυτή η τελευταία θα microπορούσε κάλλιστα να δοθεί στη θέση της πρώτης

Μήπως αυτό θα επηρέαζε τη φάση και την αρχική φάση που θα βρίσκαmicroε γεγονός που

θα καθιστούσε και τους ορισmicroούς και τις έννοιες άχρηστες

Η απάντηση είναι όχι Οποιαδήποτε microαθηmicroατικά ισοδύναmicroη σχέση και να χρησιmicroοποιήσουmicroε ως εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης εφό-σον ακολουθήσουmicroε microε συνέπεια όσα αναφέραmicroε θα καταλήξουmicroε στην ίδια σχέση για τη φάση και στην ίδια τιmicroή για την αρχική φά-ση

Το γεγονός αυτό δείχνει τη συνέπεια των ορισmicroών που δώσαmicroε για φάση και αρχική φάση

Συνεπώς αν τους υιοθετήσουmicroε που τουλάχιστον βουβά microέχρι τώρα το έχουmicroε ήδη κάνει

στη φυσική δεν θα έχουmicroε αντιφάσεις

γ) Ο λόγος που στην εξίσωση (39) χρησιmicroοποιήσαmicroε το 4

9πminus και όχι το ισοδύναmicroο

4

πminus

ήταν για να δείξουmicroε ότι αυτός που θα microας δώσει microια εξίσωση κίνησης δεν είναι υποχρεω-

microένος να την έχει επεξεργαστεί και να έχει υιοθετήσει κάποιες φόρmicroες ή να έχει προσέξει τις

microαθηmicroατικές ισοδυναmicroίες

Αυτός που θα microας δώσει την εξίσωση κίνησης είναι ελεύθερος να microας δώσει ότι θέλει (microαθηmicroατικά ισοδύναmicroο) αρκεί να δώσει όπως οφείλει να δώσει σε κάθε συνάρτηση το πεδίο ορισmicroού της

3ο παράδειγmicroα

Υλικό σηmicroείο εκτελεί (απλή) αρmicroονική ταλάντωση που περιγράφεται από την εξίσωση κίνη-

σης

x=10-1

middotηmicro(4

πt

3

10π+ ) (SI) microε t ge minus3 sec (41)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης στη δεδοmicroένη microορφή εξίσωσης κί-

νησης

Λύση

Μετασχηmicroατίζουmicroε τη σχέση (41) ώστε να αποκτήσει τη microορφή της σχέσης (28) δηλαδή

να αποκτήσει τη microορφή

x=Amiddotηmicro[ω(t‒t0)+φ0 ] t ge Rt0 isin Agt0 0le φ0 lt2π

13

Πράγmicroατι η (41) γίνεται

x=10-1

middotηmicro[4

π(t+3)minus

4

3π +

3

10π ] t ge -3 sec

ή x=10-1

middotηmicro[4

π(t+3)+

12

31π ] t ge -3 sec

Αφαιρώ (ή προσθέτω αν microε βολεύει) ακέραιο πολλαπλάσιο του 2π προκειmicroένου να δη-

microιουργήσω θετική αρχική φάση περιορισmicroένη σε έναν τριγωνοmicroετρικό κύκλο

x=10-1

middotηmicro[4

π(t+3)minus2π+

12

31π ] t ge -3 sec

και τελικά

x=10-1

middotηmicro[4

π(t+3)+

12

7π ] (SI) microε t ge -3 sec (42)

Άρα η φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση κίνησης (42) και κατά συνέπεια στην εξί-

σωση κίνησης (41) που microας έδωσαν είναι

φ=4

π(t+3)+

12

7π=

4

πt+

3

4π microε t ge-3 sec

και άρα η αρχική φάση θα είναι

φ0=12

7π rad

Σηmicroείωση

Θα είχαmicroε καταλήξει στην ίδια ακριβώς σχέση για τη φάση και στην ίδια τιmicroή

για την αρχική φάση ακόmicroη και αν αρχίζαmicroε από οποιαδήποτε εξίσωση microαθη-

microατικά ισοδύναmicroη microε τη δεδοmicroένη εξίσωση κίνησης όπως πχ από την

x=10-1

middotηmicro(4

πt

3

4π+ ) (SI) microε t ge minus3 sec

Αρκεί η σχέση που θα microας έδιναν να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση να

ήταν ισοδύναmicroη microαθηmicroατικά microε την (41) και κατά συνέπεια να είχε το ίδιο πε-

δίο ορισmicroού microε αυτή

raquo

14

Γ Συmicroπέρασmicroα

(ένας απλός τρόπος υπολογισmicroού φάσης και αρχικής φάσης) Με τα παραπάνω θεmicroελιώνεται microαθηmicroατικά ένας πολύ απλός τρόπος εύρεσης της φάσης

και της αρχικής φάσης σε microια τυχαία εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία microας δίνουν

ή στην οποία καταλήγουmicroε microετά από διάφορους microαθηmicroατικούς microετασχηmicroατισmicroούς

Απαίτηση όmicroως για την εφαρmicroογή αυτού του τρόπου είναι η παρουσία του πεδίου ορισmicroού

της συνάρτησης κάτι που στο κάτω-κάτω είναι και απαίτηση κάθε σοβαρής microαθηmicroατικής

αντιmicroετώπισης

Ας τον δούmicroε

Έστω για παράδειγmicroα ότι microε οποιονδήποτε microαθηmicroατικά σωστό τρόπο καταλήγουmicroε

στην εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης

χ=Αηmicro(ωt+θ) microε t ge t0 (60)

Επειδή οι microαθηmicroατικές microεθοδολογίες δεν ενδιαφέρονται για τις αγωνίες ενός φυσικού δεν είναι καθόλου υπο-χρεωmicroένες να εξασφαλίσουν ότι η ποσότητα θ θα είναι αρχική φάση ούτε ότι η ποσότητα ωt+θ θα είναι φά-ση

Αυτές οι έννοιες αφορούν τον φυσικό ο οποίος θα πρέπει πρώτα να τις ορίσει microε αυστηρότητα (και αυτό microπο-ρεί να γίνει microόνο microέσα από την ξεχωριστή εσωτερική λειτουργία των διαφορικών εξισώσεων όπως έχουmicroε ήδη επισηmicroάνει) και κατόπιν να χρησιmicroοποιήσει την εγγύηση των microαθηmicroατικών για να εξασφαλίσει ότι η αυστηρότητα των ορισmicroών του θα είναι όχι απλά συνεπέστατη λογικά αλλά κυρίως ότι θα δώσει την εγγύηση πως δεν θα προκύψουν παρανοήσεις

Έτσι λοιπόν το θ που θα προκύψει από τους microαθηmicroατικούς microετασχηmicroατισmicroούς

microπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγmicroατικός αριθmicroός

Τότε

1ο βήmicroα Στην (60) εmicroφανίζουmicroε την αρχική τιmicroή του χρόνου t0 γράφοντάς

την microε τη microορφή

x=Aηmicro[ω(t-t0)plusmnθ΄] microε t ge t0

2ο βήmicroα Αν η θ΄ στο όρισmicroα του ηmicroίτονου είναι microέσα σε ένα τριγωνοmicroε-

τρικό κύκλο αυτή είναι η αρχική φάση Αλλιώς προσθέτουmicroε ή

αφαιρούmicroε ακέραια πολλαπλάσια του 2π ώστε microετά την παρά-

σταση ω(t-t0) να εξασφαλίσουmicroε laquoγωνίαraquo φ0 η οποία να είναι

microέσα στον τριγωνοmicroετρικό κύκλο που έχουmicroε επιλέξει

Να είναι δηλαδή στο διάστηmicroα [0 2π) ή στο [-π π) κλπ

x=Aηmicro[ω(t-t0)+φ0] microε t ge t0 (60α)

3ο βήmicroα Η ποσότητα φ=ω(t-t0)+φ0 είναι η φάση και φ0 είναι η αρχική

φάση στη σχέση (60α) Άρα και στην (60) που microας έδωσαν

Τον παραπάνω τρόπο εφαρmicroόσαmicroε ήδη στο 3ο παράδειγmicroα

15

Δ Κύmicroατα

Το έχω ξαναπεί αλλά θα το ξαναπώ γιατί νοmicroίζω ότι microόνο έτσι microόνο όταν πιστέψουmicroε

στα λάθη που microας βάζουνε και διδάσκουmicroε κάποια στιγmicroή θα βρεθούν κάποιοι ικανοί που

θα βρουν τρόπο να ζητήσουν ευθύνες από όλους εκείνους που χρόνια τώρα microας βουλιάξανε

microας βουλιάζουνε και θα βουλιάξουνε γενιές ανθρώπων στα λάθη γράφοντας πανεπιστηmicroια-

κά βιβλία χωρίς ποτέ να microπουν στον κόπο να ξαναψάξουν αυτά που γράφουν

Το κεφάλαιο laquoΚύmicroαταraquo που διδάσκουmicroε είναι το λιγότερο λανθασmicroένο Λανθασmicroένο

πιο πολύ από τις ταλαντώσεις γιατί τα laquoκύmicroαταraquo κουβαλάνε όλα τα λάθη των ταλα-

ντώσεων και κάτι ακόmicroη που είναι πιο τραγικά λανθασmicroένο Τη διάδοση

Η διδασκαλία microας στο κεφάλαιο laquoΚύmicroαταraquo ΔΥΣΤΥΧΩΣ ΣΤΗΡΙΖΕΤΑΙ ΣΤΗ ΔΙΑ-

ΔΟΣΗ ΤΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ

Μα αυτά που διδάσκουmicroε ούτε laquoκύmicroαταraquo είναι ούτε διαδίδονται

Και έτσι εmicroείς οι απλοί φυσικοί της γειτονιάς γινόmicroαστε τραγικές φιγούρες microιας και microετά

από ένα κεφάλαιο γεmicroάτο λάθη όπως είναι οι laquoταλαντώσειςraquo αναγκαζόmicroαστε να λέmicroε να

βρίσκουmicroε να διδάσκουmicroε να microπαλώνουmicroε και να εmicroπλουτίζουmicroε microε ασκήσεις το δεύτερο

κεφάλαιο laquoΤα κύmicroαταraquo που είναι ακόmicroη πιο λανθασmicroένο

Η εmicroπειρία microου ως αεί υφιστάmicroενος τόσων και τόσων σε ένα Υπουργείο Παιδείας που η-

δονίζεται να αλλάζει ονόmicroατα microόνο και όχι ουσία microου λέει τούτο το απλό

Όταν τόσοι φυσικοί δυσκολευόmicroαστε κάποιες φορές να κατανοήσουmicroε αυτά που διδάσκου-

microε και που γράφει ένα σχολικό βιβλίο προορισmicroένο για microαθητές λυκείου σίγουρα κάποιοι

άλλοι κάνανε χοντρά λάθη ως laquomicroέντορεςraquo (γελοιοποίηση microιας ακόmicroη όmicroορφης αρχαίας λέ-

ξης) και microας βάλανε να διδάξουmicroε τα λάθη τους microε τέτοιο τρόπο που στο τέλος

ξεχάσαmicroε ότι ήταν δικά τους λάθη και νοmicroίσαmicroε ότι όλα ήταν δικά microας σω-

στά

Παρακάmicroπτω λοιπόν την ανύπαρκτη φυσική της συmicroβολής των laquoκυ-

microάτωνraquo που διδάσκουmicroε και χρησιmicroοποιώντας microόνο την ορολογία της θα προσπα-

θήσω microέσα από microια microατιά laquoγυmicroνάraquo microαθηmicroατική να εφαρmicroόσω στο συγκεκριmicroένο laquoφαινόmicroε-

νοraquo όσα προαναφέραmicroε Επικαλούmicroενος και ελπίζοντας microόνο στην αυστηρότητα του ορισmicroού

Αν εφαρmicroόσουmicroε microε συνέπεια τους αυστηρούς ορισmicroούς της φάσης και της αρχικής φάσης

που δώσαmicroε κι αν σε φαινόmicroενα ίδιας ποιότητας δεν αρνηθούmicroε τις microαθηmicroατικές πορείες

που καταγράψαmicroε κι ακολουθήσαmicroε στις τρεις προηγούmicroενες αναρτήσεις laquoΟρισmicroοί και

εξισώσεις κίνησης α΄ β΄ και γ΄ microέροςraquo τότε δε θα υπάρξουν συλλογιστικά αδιέξοδα

Ας το δούmicroε (τα σύmicroβολα που χρησιmicroοποιούνται θεωρούνται αυτονόητα)

Στην εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης

minus=λ

πηmicro 11

r

T

t2Ay microε

υ1rt ge (61)

16

που επιβάλλει στο τυχαίο σηmicroείο Μ το πρώτο laquoκύmicroαraquo όταν έχει διαδοθεί microόνο του οι έν-

νοιες της φάσης και της αρχικής φάσης είναι καθορισmicroένες microε απόλυτη σαφήνεια αρκεί να

microην ξεχάσουmicroε το πεδίο ορισmicroού

φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (61)

λππ

ϕ 1r2

T

t2minus= microε

υ1rt ge

αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (61)

φ0=0 rad

Στην εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης

minus=λ

πηmicro 22

r

T

t2Ay microε

υ2rt ge (62)

που επιβάλλει στο τυχαίο σηmicroείο Μ το δεύτερο laquoκύmicroαraquo όταν έχει διαδοθεί microόνο του οι έν-

νοιες της φάσης και της αρχικής φάσης είναι καθορισmicroένες microε απόλυτη σαφήνεια αρκεί να

microην ξεχάσουmicroε το πεδίο ορισmicroού

φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (62)

λππ

ϕ 2r2

T

t2minus= microε

υ2rt ge

αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (62)

φ0=0 rad

Μετά τη laquoσυmicroβολή των δύο κυmicroάτωνraquo η εξίσωση ταλάντωσης του ση-

microείου Μ είναι

minus+

minus=+=λ

πηmicroλ

πηmicro 2121

r

T

t2A

r

T

t2Ayyy microε

geυυ

21 r

rmax t (63)

Στη σχέση (63) οι έννοιες laquoφάσηraquo και laquoαρχική φάσηraquo δεν ορίζο-

νται Δεν υπάρχουν

Η κίνηση που αποδίδεται microε τη σχέση (63) είναι επαλληλία των εξισώσεων κίνησης δύο

αρmicroονικών ταλαντώσεων (επαλληλία δύο αρmicroονικών συναρτήσεων δηλαδή και όχι πραγmicroα-

τικών κινήσεων) ίδιας διεύθυνσης ίδιας συχνότητας και ίδιας laquoθέσης ισορροπίαςraquo

17

Είναι επαλληλία των συναρτήσεων y1 και y2

Η σύνθεσή τους η y δηλαδή είναι microια (πραγmicroατική) αρmicroονική ταλάντωση ίδιας διεύθυν-

σης ίδιας συχνότητας και ίδιας θέσης ισορροπίας microε τις συνιστώσες εξισώσεις κίνησης ή

καλύτερα microε τους προσθετέους της (63)

Όπως είναι γραmicromicroένη η εξίσωση (63) δεν έχουmicroε κανένα δικαίωmicroα να microιλάmicroε

ούτε για laquoφάσηraquo ούτε για laquoαρχική φάσηraquo

Για να αποκτήσουmicroε αυτό το δικαίωmicroα πρέπει να τη φέρουmicroε σε microορφή που να διαθέτει

ένα microόνο τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό και δη ή microόνο ένα ηmicroίτονο ή microόνο ένα συνηmicroίτονο

Με άλλα λόγια

αν θέλουmicroε να microιλάmicroε για φάση και αρχική φάση στην σχέση (63) εξίσωση συmicroβολής των

κυmicroάτων θα πρέπει να τη φέρουmicroε στη microορφή

( )0t Ay ϕωηmicro prime+prime=

ή στη microορφή

( )0t Ay ϕωσυν primeprime+primeprime=

Τότε όmicroως

για να microην καταρρεύσουν αmicroφότεροι οι ορισmicroοί κι εποmicroένως και οι έννοιες

της φάσης και της αρχικής φάσης θα πρέπει να φροντίσουmicroε η αρχική φάση

να περιοριστεί σε ένα τριγωνοmicroετρικό κύκλο

για να αποφύγουmicroε κάθε επικίνδυνη ρευστότητα θα πρέπει να τεθεί οπωσ-

δήποτε το πεδίο ορισmicroού της συνάρτησης

για να microην υπάρξουν συλλογιστικά αδιέξοδα θα πρέπει να ακολουθήσουmicroε

microε συνέπεια την πορεία που καταγράψαmicroε στα παραδείγmicroατα 1-3 για τον

υπολογισmicroό φάσης και αρχικής φάσης ή έστω να εφαρmicroόσουmicroε τον απλό

τρόπο που καταγράφεται στη σελίδα 14

Ο microετασχηmicroατισmicroός της (63) ώστε να περιέχει ένα microόνο τριγωνο-

microετρικό αριθmicroό microπορεί να γίνει microε διάφορους τρόπους

1ος τρόπος Χρησιmicroοποιώντας τους τύπους της επαλληλίας εξισώσεων κίνησης

Αν έχουmicroε αριθmicroητικά δεδοmicroένα και δε θέλουmicroε να microπλεχτούmicroε microε πολλά microαθηmicroατικά

microπορούmicroε να χρησιmicroοποιήσουmicroε τους τύπους του σχολικού βιβλίου για την επαλληλία εξι-

σώσεων αρmicroονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης ίδιας συχνότητας και ίδιας θέσης ισορ-

ροπίας

Τους τύπους αυτούς όmicroως θα πρέπει να ισχυροποιήσουmicroε ώστε να συmicroπεριλάβουν περι-

πτώσεις όπου και οι δύο ταλαντώσεις έχουν αρχική φάση και να εmicroπλουτίσουmicroε microε έναν ε-

πιπλέον τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό ή microε κάποια επιπλέον microαθηmicroατική microας δεξιότητα microιας και η

σχέση microε την εφθ microόνη της δε microπορεί να προσδιορίσει την αρχική φάση θ έστω κι αν αυτή

περιοριστεί σε έναν τριγωνοmicroετρικό κύκλο

18

( Επαλληλία εξισώσεων αρmicroονικών ταλαντώσεων

x1=Α1middotηmicro(ωt+φ1) και x2=Α2middotηmicro(ωt+φ2)

x=x1+ x2=Aηmicro(ωt+θ)

όπου )(AA2AAA 21212

22

1 ϕϕσυν minus++= Α

ηmicroϕΑηmicroϕΑηmicroϑ 2211 +

= (64)

2211

2211

AA

AA

συνϕσυνϕηmicroϕηmicroϕ

εϕϑ+

+=

ΑσυνϕΑσυνϕΑ

συνϑ 2211 +=

microε 0leθlt2π

Τέτοιου είδους αντιmicroετωπίσεις έχουν ήδη καταχωρηθεί στο δίκτυο)

2ος τρόπος Μετασχηmicroατίζουmicroε την (63) και φτάνουmicroε στη microορφή

+minussdot

minus=

λΤπηmicro

λπσυν

2

rrt2

2

rr2A2y 2121 microε

geυυ

21 r

rmax t (65)

Αφού φιλοδοξούmicroε η (65) να περιγράφει πραγmicroατική κίνηση (κι όχι να είναι κα-

νένας προσθετέος σε επαλληλία εξισώσεων κίνησης) και επιθυmicroούmicroε οι έννοιες laquoφάσηraquo και

laquoαρχική φάσηraquo να έχουν νόηmicroα θα πρέπει ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ να χειρι-

στούmicroε την (65) microε τους τρόπους που δείξαmicroε στα παραδείγmicroατα 1-3

Αν δηλαδή επιθυmicroούmicroε να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση στην

(65) θα πρέπει να χρησιmicroοποιήσουmicroε ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ το πεδίο ορισmicroού

της και τον περιορισmicroό της αρχικής φάσης σε ένα τριγωνοmicroετρικό κύκλο

(Το να χειριστούmicroε τη σχέση (65) γενικά ώστε να εmicroφανιστούν γενικοί περιορισmicroοί στο πεδίο ορισmicroού και στην

αρχική φάση του ενός τριγωνοmicroετρικού κύκλου νοmicroίζω ότι θα είναι άσκοπο microιας και ο χρόνος που θα απαιτήσει

η γραφή αυτή θα ΄ναι microεγάλος και η αξία των τύπων ελάχιστη Γι΄ αυτό καταφεύγω σε παραδείγmicroατα)

4ο παράδειγmicroα

Έστω ότι σε κάποιο πρόβληmicroα συmicroβολής κυmicroάτων y1= και y2= αντικαθι-

στούmicroε τα δεδοmicroένα στην εξίσωση της συmicroβολής (65) και βρίσκουmicroε ότι το σηmicroείο Μ που απέ-

χει r1= και r2= από τις πηγές ταλαντώνεται αρmicroονικά microε εξίσωση

y=10-1

middotηmicro(2πt 4

11πminus ) (SI) microε t ge 6 sec (66)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης του Μ στην (66)

19

Λύση

1ος τρόπος

Κάνουmicroε ότι κάναmicroε στο παράδειγmicroα 2 στη σελίδα 10 ή στο παράδειγmicroα 3 στη σελίδα 12 αυ-

τής της ανάρτησης

2ος τρόπος

Για πιο γρήγορα ακολουθούmicroε τα βήmicroατα της σελίδας 14

1ο βήmicroα Μετασχηmicroατίζουmicroε την εξίσωση κίνησης (66) ώστε να εmicroφανιστεί η

αρχική τιmicroή χρόνου 6 sec microέσω της microορφής ω(t-t0)=2π(t-6)

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+12πminus4

11π] t ge 6 sec

και τελικά

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

37π] (SI) t ge 6 sec (67)

2ο βήmicroα Στο όρισmicroα του ηmicroίτονου microετά την ποσότητα 2π(t-6) η laquoγωνίαraquo 4

37π

δεν είναι microέσα στο διάστηmicroα [02π) που έχουmicroε υιοθετήσει ως περιορι-

σmicroό της αρχικής φάσης

Εποmicroένως πρέπει να αφαιρέσουmicroε κατάλληλα ακέραια πολλαπλάσια

του 2π

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

37πminus4middot2π] (SI) t ge 6 sec

από όπου τελικά

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

5π] (SI) t ge 6 sec (67α)

3ο βήmicroα Στην (67α) που καταλήξαmicroε microε την παραπάνω διαδικασία

η φάση είναι φ=2π(t‒6)+4

5π microε t ge 6 sec

και η αρχική φάση είναι φ0=4

5π rad

Το ίδιο συνεπώς θα ισχύει και για την (67)

Βέβαια όλα τα παραπάνω microπορούν να γίνουν πολύ πιο γρήγορα αρκεί να έ-

χουmicroε στο microυαλό microας ότι για να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση σε microια

εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία microας έδωσαν ή στην οποία καταλήξα-

microε θα πρέπει να τη microετασχηmicroατίσουmicroε ώστε

να εmicroφανίσουmicroε την αρχική τιmicroή του χρόνου microε τη microορφή που είπαmicroε

να εξασφαλίσουmicroε ότι ο προσθετέος που δεν περιέχει χρόνο είναι σε

διάστηmicroα ενός τριγωνοmicroετρικού κύκλου και microάλιστα στη microορφή που έ-

χουmicroε επιλέξει για την αρχική φάση ([02π) ή [-ππ) ή )

20

5ο παράδειγmicroα

Έστω ότι σε κάποιο πρόβληmicroα συmicroβολής κυmicroάτων y1= και y2= αντικαθι-

στούmicroε τα δεδοmicroένα στην εξίσωση της συmicroβολής (65) και βρίσκουmicroε ότι το σηmicroείο Μ που απέ-

χει r1= και r2= από τις πηγές ταλαντώνεται αρmicroονικά microε εξίσωση

y=minus10-1

middotηmicro(2πt4

9πminus ) (SI) microε t ge 05 sec (68)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης του Μ στην (68)

Λύση

Η (68) γίνεται διαδοχικά

y=minus10-1

middotηmicro(2πt4

9πminus ) = 10

-1middotηmicro(2πt+π

4

9πminus )=10

-1middotηmicro(2πt

4

5πminus )=10

-1middotηmicro[2π(tminus05)

4

πminus ]

και τελικά

y=10-1

middotηmicro[2π(tminus05)4

7π+ ] (68α)

Η (68α) έχει εmicroφανίσει την αρχική τιmicroή χρόνου 05 sec στη microορφή που θέλουmicroε και προ-

σθετέο 4

7π που δεν περιέχει χρόνο t και βρίσκεται στο διάστηmicroα [02π)

Άρα η φάση και η αρχική φάση της (68) είναι ίδιες microε εκείνες της (68α)

∆ηλαδή

Φάση φ=2π(tminus05)4

7π+ =2πt

4

3π+ microε t ge 05 sec

Αρχική φάση rad 4

7π0 =ϕ

Φάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολή

Ο Νίκος (Ανδρεάδης) microε δύο ευφυέστατες αναρτήσεις

laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολήraquo

laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολή-Μέρος δεύτεροraquo

που βρίσκονται στη διεύθυνση

httpylikonetgrprofilesblogsphhaseis-kai-antiphhaseis-ste

microας ώθησε να ακούσουmicroε κάποιους τριγmicroούς από την ψεύτικη πραγmicroατικότητα των

κυmicroάτων που διδάσκουmicroε

21

Γράφει λοιπόν

laquoΝ=6 1r 15= m

1 2r r 6 λminus = sdot

2r 03= m

Για t 3ge s η εξίσωση κίνησης προκύπτει από την επαλληλία των εξισώσεων

11

2πr2πty A ηmicro

T λ

= sdot minus

και 2

2

2πr2πty A ηmicro

T λ

= sdot minus

Μετά από πράξεις

( )1y 01 ηmicro 5πt 15π= sdot minus και ( )2

y 01 ηmicro 5πt 3π= sdot minus

Σύmicroφωνα microε τη σχέση 1 2 1 2r r r r2πt

y 2A συν 2π ηmicro π2λ T λ

minus += sdot sdot minus

microετά από πράξεις προκύπτει

( )y 02 ηmicro 5πt 9π= sdot minus

Η φάση (της αποmicroάκρυνσης στην παραπάνω εξίσωση) δίνεται από τη σχέση φ 5πt 9π= minus

Για t 3= s (προκύπτει η αρχική) φάση (η οποία) είναι 6π rad

παρατηρούmicroε ότι 7 σηmicroεία του microέσου τα οποία ξεκινούν την ίδια στιγmicroή την ίδια κίνηση από τη θέ-

ση ισορροπίας microε θετική ταχύτητα περιγράφονται microε διαφορετικές εξισώσεις και την στιγmicroή της εκκί-

νησης έχουν διαφορετική φάση

Οι απορίες microου

Ποιο είναι το φυσικό νόηmicroα των τιmicroών 0π 2π 4π 6π και 8π

Έχει νόηmicroα να ζητήσουmicroε τη διαφορά φάσης ενός από αυτά τα σηmicroεία microε microια πηγή

Αν όmicroως δούmicroε το θέmicroα ως σύνθεση δύο ταλαντώσεων που βρίσκονται σε συmicroφωνία φάσης καταλή-

γουmicroε αmicroέσως στο συmicroπέρασmicroα ότι και στις 7 περιπτώσεις η κίνηση για t 3ge s περιγράφεται από την

εξίσωση ( )y 02 ηmicro 5πt 15π= sdot minus (SI)

Η φάση δίνεται από τη σχέση φ 5πt 15π= minus (SI)

Για t 3= s η (αρχική) φάση είναι 0π rad ∆ηλ τη στιγmicroή της εκκίνησης έχουmicroε microηδενισmicroό της φάσης

για τα 7 σηmicroεία κάτι λογικό αφού τότε και τα 7 ξεκινούν microια νέα κίνηση από τη θέση ισορροπίας microε

θετική ταχύτηταraquo

Στους προβληmicroατισmicroούς που έθεσε ο Νίκος θα επιχειρήσω microια το-

ποθέτηση

Κατά τη γνώmicroη microου το microόνο που microπορεί να microας γλιτώσει από το παραπάνω παράδοξο είναι

η microαθηmicroατική αυστηρότητα microε την οποία φροντίσαmicroε να εφοδιάσουmicroε (και έτσι πρέπει

να γίνεται πάντα αν και πολλές φορές τούτο το απλό το ξεχνάmicroε) τους ορισmicroούς φάση και

αρχική φάση

Η αντίρρησή microου επικεντρώνεται στη φράση

laquoη φάση στην εξίσωση ( )y 02 ηmicro 5πt 9π= sdot minus δίνεται από τη σχέση φ 5πt 9π= minus raquo

η οποία εξάλλου είναι και η υπεύθυνη για τις αντιφάσεις που έχει εντοπίσει ο Νίκος

Προκειmicroένου να βρεθούν η φάση και η αρχική φάση στην εξίσωση microιας αρmicroονικής

ταλάντωσης πρέπει να ακολουθηθούν ορισmicroένες διαδικασίες

22

Αυτό δεν είναι ούτε σωσίβιο ούτε σοφιστεία ούτε κάποια κίνηση απελπισίας Είναι η ου-

σία του ορισmicroού που υιοθετήσαmicroε για τις δύο αυτές έννοιες

Η αυστηρότητα των ορισmicroών που δώσαmicroε ως φυσικοί εξασφαλίζει ότι τα microαθηmicroατικά όχι

microόνο θα microπορέσουν να εγγυηθούν τη συνέπεια των συλλογισmicroών και αποτελεσmicroάτων microας

αλλά θα ενσωmicroατώσουν microέσα τους τελείως διαφανείς πορείες απαραίτητες για την αυτοδυ-

ναmicroία και ισχύ του φυσικού έστω κι αν ένας microαθηmicroατικός αδιαφορήσει τελείως γι΄ αυτές

Αυτό δεν είναι παραλογισmicroός αλλά συνειδητοποίηση του διαφορετικού ρόλου

και της διαφορετικής ευθύνης των δύο ειδικοτήτων˙ του φυσικού και του microαθη-

microατικού

Κοντολογίς

Προκειmicroένου να διατηρήσουmicroε το δικαίωmicroα να χρησιmicroοποιούmicroε στο λεξιλόγιό microας τις λέξεις

φάση και αρχική φάση επιβάλλεται από τα microαθηmicroατικά να είmicroαστε συνεπείς microε τους ορι-

σmicroούς που τους δώσαmicroε και να τις χειριζόmicroαστε microε ειδικό τρόπο σε καθορισmicroένες πορείες

Αν δε το κάνουmicroε αυτό τα microαθηmicroατικά θα microας γυρίσουν την πλάτη

κι εmicroείς θα βουλιάξουmicroε στις παρανοήσεις στα αδιέξοδα και τις λο-

γικές ασυνέπειες

Σύmicroφωνα λοιπόν microε όσα έχουν αναφερθεί για να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση στην εξίσωση κίνησης

y=02middotηmicro(5πtminus9π) microε tge3 sec (69)

πρέπει να εmicroφανίσουmicroε microέσα της την αρχική τιmicroή του χρόνου 3 sec και να αφαιρέσουmicroε τα

ακέραια πολλαπλάσια του 2π microε τέτοιο τρόπο ώστε η αρχική φάση να είναι microέσα στη microορ-

φή του τριγωνοmicroετρικού κύκλου που υιοθετήσαmicroε

Πράγmicroατι η (69) γίνεται

y=02middotηmicro(5πtminus9π)=02middotηmicro[5π(t-3)+6π]

και τελικά

y=02middotηmicro[5π(t-3)+0] microε tge3 sec (69α)

Η (69α) και κατά συνέπεια και η (69) έχουν

Φάση φ=5π(t-3)+0=5πt-15π microε tge3 sec

Αρχική φάση φ0=0 rad

Νοmicroίζω ότι τώρα πια δεν υπάρχει καmicroιά αντίφαση microιας και όλες οι συλλογιστικές και όλες

οι microαθηmicroατικές πορείες θα δώσουν ακριβώς τα ίδια αποτελέσmicroατα

α) Και τα επτά σηmicroεία Ν=0 έχουν την ίδια φάση φ=5πt-15π microε tge3 sec και την ί-

δια αρχική φάση φ0=0 rad

23

β) Υπάρχει απόλυτη συλλογιστική συνέπεια σε όλα αφού όπως έχει ήδη επισηmicroάνει ο Νί-

κος laquoκαι τα 7 σηmicroεία πρέπει να έχουν την ίδια φάση και αρχική φάση αφού ξεκινούν microια

νέα κίνηση από τη θέση ισορροπίας microε θετική ταχύτηταraquo

γ) Είτε χρησιmicroοποιηθούν οι τύποι σύνθεσης ταλαντώσεων είτε χρησιmicroοποιηθεί ο τύ-

πος της συmicroβολής κυmicroάτων είτε οποιαδήποτε άλλη microαθηmicroατική διαδροmicroή τα αποτελέ-

σmicroατα φάσης και αρχικής φάσης θα είναι απολύτως ίδια

δ) laquoΚάθε κίνηση έχει φάση που microας πληροφορεί για πόσο χρόνο παρακολουθούmicroε τη συ-

γκεκριmicroένη κίνησηraquo

ε) Απορία

laquoΠοιο είναι το φυσικό νόηmicroα των τιmicroών 0π 2π 4π 6π και 8πraquo

Απάντηση

laquoοι τιmicroές 0π 2π 4π 6π και 8π που προκύπτουν microε (απλή-ανώδυνη) εφαρmicroογή της γνω-

στής σχέσης ηmicroΑ+ηmicroΒ=hellip δεν έχουν κανένα γνωστό ωφέλιmicroο φυσικό νόηmicroαraquo

Η εφαρmicroογή της σχέσης ηmicroΑ+ηmicroΒ= δεν οδηγεί πάντα απευθείας σε σχέση στην οποία να

είναι άmicroεσα διαφανείς η φάση και η αρχική φάση microιας εξίσωσης αρmicroονικής κίνησης

Ο τελικός τύπος χρειάζεται οπωσδήποτε επεξεργασία

στ) Απορία

laquoΈχει νόηmicroα να ζητήσουmicroε τη διαφορά φάσης ενός από αυτά τα σηmicroεία microε microια πηγήraquo

Απάντηση

Όχι Δεν πρέπει να ζητήσουmicroε τέτοιο πράγmicroα αν δε είmicroαστε έτοιmicroοι να αυτοκτονήσουmicroε ή να

microπούmicroε σε ατέλειωτες microαθηmicroατικές αναζητήσεις για να γλιτώσουmicroε microόνο και microόνο τη συνέ-

πεια της εννοιολογικά λανθασmicroένης laquoπραγmicroατικότηταςraquo των κυmicroάτων που διδάσκουmicroε

Η παρουσία πηγών επιβάλλει άλλου είδους κύmicroατα εmicroπλουτισmicroένα και microε άλλες έννοιες και

microε microαθηmicroατικούς χειρισmicroούς αρκετά δύσκολους microιας και στις διαφορικές εξισώσεις πρέπει

να παρθούν υπόψη συνοριακοί περιορισmicroοί

Στην πρώτη σελίδα της ανάρτησής microου laquoΟρισmicroοί και εξισώσεις κίνησης γ΄ microέροςraquo έγραφα κάτι που όσο περνάει ο καιρός το πιστεύω όλο και πιο πολύ

laquoδιδάσκουmicroε ˝κύmicroατα˝ που δήθεν διαδίδονται microε ταχύτητα υ έχουν αρχικές φάσεις έχουν

πηγές που τα παράγουν και πολλές φορές δύο πηγές για να έχουmicroε συmicroβολή

Μα αυτά που διδάσκουmicroε ούτε κύmicroατα είναι ούτε διαδίδονται ούτε πηγές περιέχουν

ούτε είναι κάπου και τρέχουν να πάνε κάπου αλλού ούτε ξεκινάνε από κάπου ούτε ούτε

ούτε

Στα κεφάλαια ˝Κύmicroατα˝ και ˝Μηχανική Στερεού Σώmicroατος˝ της Φυσικής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου ειλικρινά microε πιάνει απελπισία Τα πράmicroατα εκεί σκοτεινιάζουν τόσο πο-λύ Τί να πεις και από πού να αρχίσεις raquo

24

Στο σηmicroείο αυτό όmicroως νιώθω υποχρεωmicroένος να τονίσω ότι η αρνητικότατη στάση

microου απέναντι σε αυτό που microας βάζουν να διδάσκουmicroε ως κύmicroατα δεν πρέπει στο

ελάχιστο να θεωρηθεί ως απόρριψη της προσπάθειας συναδέλφων να microας δώσουν

ένα πλήθος ασκήσεων θέσεων αναλύσεων διαγωνισmicroάτων κλπ που έχουν σχέση

microε κύmicroατα και microε συmicroβολή κυmicroάτων που περιέχουν πηγές

Στο σχολείο πρέπει να κάνουmicroε αυτό που επιτάσσουν οι πανελλαδικές Άρα πέρα

από όλες τις διαφωνίες microεταξύ microας θα πρέπει προσωπικά να βρω ασκήσεις και θέ-

microατα να δώσω στα παιδιά για να καλύψω την ανήθικη έλλειψη ασκήσεων από το

σχολικό βιβλίο

Επίσης θα πρέπει να βρω τρόπο να microην καταρρεύσει η συλλογιστική των παιδιών

έστω και σαθρή πριν τις εξετάσεις

Αυτό microε τη σειρά του σηmicroαίνει ότι πρέπει να έχω επιχειρήmicroατα και υλικό κοmicromicroένο

στις συγκεκριmicroένες ανάγκες τους

Σε αυτό το σηmicroείο η βοήθεια που microου πρόσφεραν και microου προσφέρουν οι συνάδελ-

φοι του δικτύου και κάποια αξιόλογα εξωσχολικά βιβλία είναι όχι απλά πολύτιmicroη

αλλά ανεπανάληπτη

Με πολύ ανακούφιση δέχοmicroαι και παίρνω πολύτιmicroα διαγωνίσmicroατα ασκήσεις και υ-

λικό που προσφέρουν απλόχερα διάφοροι συνάδελφοι και που αναφέρονται σε κύmicroα-

τα που προέρχονται από πηγές και που συmicroβάλλουν

Επί τη ευκαιρία τους ευχαριστώ που microου δίνουν τον κόπο τους Κάποιες φορές microά-

λιστα αποτελεί πηγή αναθεωρήσεων και καινούριων αναζητήσεων microου

Ε Παρατηρήσεις

1) Η εξίσωση της αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία θα microας δώσουν ή στην οποία θα κα-

ταλήξουmicroε microετά από κάποια microαθηmicroατική επεξεργασία δεν είναι υποχρεωmicroένη να δηλώνει

καθαρά τη φάση και την αρχική φάση Εκείνο που πρέπει οπωσδήποτε να επισηmicroάνουmicroε εί-

ναι ότι φάση δεν είναι η ποσότητα που βρίσκεται microέσα στον τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό

Η εύρεση της φάσης και της αρχικής φάσης θέλουν διαδικασία η οποία θα απαιτήσει το

πεδίο ορισmicroού της εξίσωσης που microας δίνουν για την ταλάντωση ή για το κύmicroα

Ας του δώσουmicroε έmicroφαση microε microια άσκηση χωρίς κανένα απολύτως νόηmicroα

Στην παρακάτω εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης να βρεθεί η φάση και η αρχική

φάση της αποmicroάκρυνσης

y=10-1middotηmicro(2πt 4

11πminus )

Ο λόγος που αυτή η άσκηση είναι α-νόητη είναι γιατί δεν έχει δοθεί το πεδίο ορισmicroού Αλ-

λάζοντας το πεδίο ορισmicroού όπως ήδη έχουmicroε δείξει θα αλλάξει τόσο η συνάρτηση της φά-

σης όσο και η τιmicroή της αρχικής φάσης (∆ες σελίδα 18)

25

2) Η εύρεση της διαφοράς φάσης ανάmicroεσα σε δύο microεγέθη του ίδιου

φαινοmicroένου είναι ακόmicroη πιο επίπονη διαδικασία

Το θέmicroα αυτό είχε θέσει ο Θοδωρής microε microια ανάρτησή του που βρίσκεται στη διεύθυνση httpylikonetgrgroupthemataforumtopicsphhasearchikhe-

phhasediaphorhacommentId=36477953AComment3A16659ampgroupId=36477953AGroup3A5901

Όπως στην περίπτωση της φάσης και αρχικής φάσης οι αρmicroονικές συναρτήσεις πρέπει να

laquoετοιmicroαστούνraquo έτσι και στην περίπτωση που microας ζητάνε να βρούmicroε διαφορά φάσης ανάmicroε-

σα σε δύο φυσικά microεγέθη που εκφράζονται microε αρmicroονικές συναρτήσεις οι συναρτήσεις αυτές

πρέπει οπωσδήποτε να ετοιmicroαστούν κατάλληλα

3) Το πιο σηmicroαντικό στο οποίο εστιάζουν οι εργασίες microου (άσχετα αν τα καταφέρνω να

το δείξω ή όχι) είναι η microεθοδολογία που πρέπει να ακολουθούmicroε όταν θέλουmicroε να λύσουmicroε

microια διαφωνία microας να προχωρήσουmicroε microια αναζήτησή microας να βρούmicroε διέξοδο σε microια αντίφα-

ση να συνειδητοποιήσουmicroε microια έννοια

Κατά τη γνώmicroη microου πρέπει να ξεκινάmicroε από τους ορισmicroούς και αφού εξασφαλίσουmicroε την

αυστηρότητά τους να προχωρήσουmicroε σε απλές έστω εννοιολογικές κατακτήσεις απαραίτη-

τες όmicroως για την αναπνοή microας ως φυσικών ή ως ενδιαφεροmicroένων για τη φυσική

laquohellipΗ αξία των ορισmicroών εντοπίζεται στη σωστή θέση που πρέπει να κατέχουν κατά τη συνεννόηση microε-

ταξύ των φυσικών και στον κορυφαίο και αναντικατάστατο ρόλο που πρέπει microε κάθε σεβασmicroό να απο-

δεχτούmicroε ότι διαδραmicroατίζουν στη διαmicroόρφωση της δοmicroής της γλώσσας που χρησιmicroοποιεί η Φυσική

∆εν γίνεται να κάνεις Φυσική αν δεν έχεις τα σωστά κατάλληλα λόγια για να περιγράψεις στους άλ-

λους το όmicroορφο

Η Φυσική έχει ορισmicroούς που δεν είναι διαπραγmicroατεύσιmicroοι και microαθηmicroατικές microεθοδολογίες που δεν

πρέπει να αγνοούνται αν θέλουmicroε να έχουmicroε συνέπεια και να εξασφαλίζουmicroε απόλυτη διαφάνεια στους

συλλογισmicroούς microας

∆εν πρέπει να χαλάmicroε τη γλώσσα γιατί αλλιώς χαλάει η σκέψη και η επικοινωνία microεταξύ microας Πρέπει να δεχτούmicroε στην ψυχή microας (όχι στα λόγια) ότι οι ορισmicroοί έχουν αξία και να συνειδητοποιή-

σουmicroε την microοναδική τους ιδιότητα Αυτή που είναι και η αιτία της ύπαρξής τους Να είναι χρήσιmicroοι

Οι ορισmicroοί ή είναι χρήσιmicroοι ή δεν υπάρχουν Τα λόγια της Φυσικής δε φτιάχτηκαν για να περιγράφουν αλλά για να έχουν συγχρόνως τη δυνατότητα και να

προφητεύουνraquo

4) Στο παράδειγmicroα του Νίκου για τις φάσεις και τις αντιφάσεις χρησιmicroοποιήθηκαν σηmicroεία

όπου είχαmicroε ενισχύσεις

Θα παρακαλούσα το Νίκο αλλά και όποιον άλλο συνάδελφο θέλει να κάνει microια άσκηση

ή microια προσοmicroοίωση microε πιο γενικά σηmicroεία στη συmicroβολή κυmicroάτων και να υπολογίσει τις

φάσεις και τις αρχικές φάσεις στην εξίσωση ταλάντωσης των σηmicroείων αυτών δίνοντας έmicro-

φαση πάντα το πεδίο ορισmicroού και στον περιορισmicroό της αρχικής φάσης σε έναν τριγωνοmicroε-

τρικό κύκλο πχ της microορφής [02π)

Πιστεύω ότι έτσι κάποια πράγmicroατα θα γίνουν πολύ πιο ευδιάκριτα πιο απλά και το κυριό-

τερο θα περάσουν πιο εύκολα στους συναδέλφους

5) Τελειώνοντας οφείλω να πω ότι η σηmicroερινή microου ανάρτηση ουσιαστικά οφείλεται

στους προβληmicroατισmicroούς που microας έθεσε ο Νίκος (Ανδρεάδης) πάνω στη συmicroβολή των κυmicroά-

των microε το laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολήraquo

Έχοντας ξεκινήσει να γράφω microια σειρά αναρτήσεων σχετικών microε τις έννοιες φάση και αρ-

χική φάση microου ήρθε ανέλπιστα η δουλειά του Νίκου η οποία microε τα ερωτήmicroατα που έθεσε

τη συζήτηση που ακολούθησε και τις γνώmicroες που διατυπώθηκαν microου έδωσε ισχυρά επιχει-

ρήmicroατα να υποστηρίξω την απόλυτη πίστη microου στην αξία των ορισmicroών όχι ως απλή λεκτική

επανάληψη microιας υποχρεωτικής αποστήθισης αλλά ως συνειδητοποίηση όλης εκείνης της

26

εσωτερικής λειτουργίας απόλυτα συγκεκριmicroένων πραγmicroάτων που κρίνουν τους ορισmicroούς

ως χρήσιmicroους και απαραίτητους και τους γεννούν για να υπάρχουν και να πλουτίζουν τη

γλώσσα microας

Τους βάζουν δίπλα microας και microας καλούν να πιστέψουmicroε στην αξία τους και ποτέ να microην

τους υποτιmicroήσουmicroε όσο απλοί και να είναι

(συνεχίζεται)

Σάββατο 29 Ιανουαρίου 2011

Θρασύβουλος Κων Μαχαίρας

Γενικό Λύκειο Αγριάς Πηλίου

s7-kmghotenetgr

2

η αποσύνδεση του ορισmicroού της φάσης και της αρχικής φάσης από την εξίσωση κίνησης και

τη microορφή της δεν είναι ασφαλής και γρήγορα αν δεν υπάρξει η κατάλληλη εmicroπειρία και η ξεχωριστή

ικανότητα θα οδηγήσει τον φυσικό και όχι microόνο σε παρανοήσεις τόσο του φαινοmicroένου όσο και του

εννοιολογικού του εξοπλισmicroού και της microαθηmicroατικής του επεξεργασίας

Τα microεγέθη πολλές φορές έχουν όχι απλά άλλη ποιότητα αλλά ακολουθούν τελείως διαφορετικές εννοιολογικές και φορmicroαλιστικές διαδροmicroές microε αποτέλεσmicroα οι ορισmicroοί τους να συνδέονται άmicroεσα microε

αυτές τις διαδροmicroές και ο χειρισmicroός τους να αντανακλά αυτές τις διαδροmicroέςraquo

Στην ανάρτηση laquoΟρισmicroοί και εξισώσεις κίνησης (β΄ microέρος)raquo προσπάθησα

να γίνω σαφέστερος microε εκτενή σχόλια και microαθηmicroατικά επιχειρήmicroατα

laquo

Αποδεικνύεται ότι οι πιο σηmicroαντικές ισοδύναmicroες microεταξύ τους microορφές microε τις

οποίες microπορεί να δοθεί αυτή η γενική λύση και κατά συνέπεια να δοθεί η εξίσωση κίνησης του απλού

αρmicroονικού ταλαντωτή(

) είναι τρεις

1η microορφή

x=C1middotηmicroωt + C2middotσυνωt t ge Rt0 isin

2η microορφή

x=C3middotηmicro(ωt + C4) t ge Rt0 isin

3η microορφή

x=C5middotσυν(ωt + C6) t ge Rt0 isin

Στις παραπάνω ισοδύναmicroες microορφές της γενικής εξίσωσης κίνησης ισχύουν ποιοτικά τα ίδια

που αναφέρθηκαν και στην ευθύγραmicromicroη οmicroαλή κίνηση (σελ2) στο α΄ microέρος της ανάρτησης

laquoΟρισmicroοί και εξισώσεις κίνησηςraquo

α) ∆εν απαιτείται καmicroιά δικιά microας εκ των υστέρων τροποποίηση στο χρόνο t να γίνει δη-

λαδή t-t0 ή κάτι άλλο παρά microόνο ο προσδιορισmicroός των σταθερών C1 C2 C3 C4 C5

και C6 συναρτήσει των συνθηκών που θα microας δώσουν

β) Οι παραπάνω σταθερές γενικά όχι microόνο δεν είναι η αρχική ταχύτητα υ0 και η αρχική

θέση x0 του υλικού σηmicroείου αλλά ούτε και συνδυασmicroοί τους

Είναι εκφράσεις αποκλειστικά των συγκεκριmicroένων συνθηκών που θα microας δώσουν και επιβάλλεται να microας δώσουν Οι συνθήκες αυτές δεν είναι κατ΄ ανάγκη οι αρχι-κές συνθήκες x0 και υ0

() Όσα ακολουθούν ισχύουν προφανώς όχι microόνο στον αατ αλλά και στην πιο γενική περίπτωση

του αρmicroονικού ταλαντωτή microιας και είναι καθαροί microαθηmicroατικοί microετασχηmicroατισmicroοί και συνέπειες

3

γ) Επίσης αποδεικνύονται τα παρακάτω πολύ σηmicroαντικά

Τα C1 και C2 θεωρητικά τουλάχιστον δε χρειάζεται να πληρούν κανένα περιο-

ρισmicroό και συνεπώς microπορεί να είναι οποιοιδήποτε πραγmicroατικοί αριθmicroοί

Για τα C3 C5 είχαmicroε microαθηmicroατικά το δικαίωmicroα και τα επιλέξαmicroε θετικά

Οι λόγοι που microας ώθησαν σε αυτή την επιλογή είναι παρόmicroοιοι microε αυτούς που microας

ώθησαν να επιλέξουmicroε θετική και την κυκλική συχνότητα ω microιας και θα microπορού-

σαmicroε το ίδιο καλά να είχαmicroε καλέσει m

Dminus=ω

(Οι λόγοι αυτοί έχουν ήδη αναφερθεί)

Εδώ υπάρχει και ένας ακόmicroη σηmicroαντικός λόγος για την επιλογή των C3 και C5 ως

θετικών ποσοτήτων να κάνουmicroε τα C3 και C5 πλάτος ταλάντωσης microέγιστη δηλα-

δή απόσταση από το ελκτικό κέντρο

Αποδεικνύεται δηλαδή ότι αν επιλέξουmicroε τα C3 και C5 θετικά τότε το πλάτος της

ταλάντωσης είναι

2

2

2

153 CCCCA +===

Με άλλα λόγια θα microπορούσαmicroε τα C3 C5 αλλά και το ω να τα είχαmicroε επιλέξει

αρνητικά Θα λειτουργούσαν όλα το ίδιο καλά απλά θα έπρεπε να προσαρmicroόσου-

microε λίγο τους ορισmicroούς microας

Τα C4 C6 microπορούν να είναι οποιοιδήποτε πραγmicroατικοί αριθmicroοί Όmicroως η περιο-

δικότητα των συναρτήσεων ηmicroίτονο και συνηmicroίτονο microας επιτρέπει να ακολουθή-

σουmicroε τη βασική φιλοσοφία που διέπει όλη τη Φυσική και που απαιτεί να την πα-

ρουσιάζουmicroε microε τον πιο οικονοmicroικό τρόπο

Έτσι microπορούmicroε επιτρέπεται και το κάνουmicroε να περιορίσουmicroε τις τιmicroές των C4 και

C6 microέσα σε έναν τριγωνοmicroετρικό κύκλο και όχι σε περισσότερους microιας και η επέ-

κταση σε περισσότερους κύκλους δεν προσφέρει τίποτε επί πλέον στη φυσική των

φαινοmicroένων που εξετάζουmicroε

Για τα C4 και C6 επιλέγουmicroε να πάρουmicroε για την κάλυψη του ενός τριγωνοmicroετρι-

κού κύκλου που χρειαζόmicroαστε και άρα ως πεδίο ορισmicroού τους το διάστηmicroα

[02π)

∆ηλαδή επιλέξαmicroε 0le C4 lt2π και 0le C6 lt2π

Θα microπορούσαmicroε για παράδειγmicroα να δεχτούmicroε ως διάστηmicroα και το [-ππ) ή ο-

ποιοδήποτε άλλο διάστηmicroα αρκεί να καλύψουmicroε έναν τριγωνοmicroετρικό κύκλο

Εποmicroένως

Η γενική microορφή της εξίσωσης κίνησης ενός υλικού σηmicroείου που εκτελεί (απλή) αρmicroονική

ταλάντωση για χρονικές στιγmicroές t ge Rt0isinisinisinisin microπορεί να δοθεί microε τρεις ισοδύναmicroες microορφές

1η microορφή

x=C1middotηmicroωt + C2middotσυνωt t ge Rt0 isin (16)

C1 και C2 πραγmicroατικοί αριθmicroοί

2η microορφή

x=Αmiddotηmicro(ωt + C4) t ge Rt0 isin (17)

Αgt0 και 0le C4 lt2π

4

3η microορφή

x=Αmiddotσυν(ωt + C6) t ge Rt0 isin (18)

Αgt0 και 0le C6 lt2π

(Όπως ήδη έχουmicroε πει σχεδόν όσα προηγήθηκαν και όσα θα ακολουθήσουν αφορούν τις συναρτήσεις και όχι το φαινόmicroενο Αποτέλεσmicroα αυτού είναι να εφαρmicroόζονται όχι microόνο στην απλή αρmicroονική ταλάντωση αλλά σε όλα σχεδόν τα microεγέθη που microεταβάλλονται αρmicroονικά microε το χρόνο που έχουν δηλαδή ίδιες εξισώσεις)

Οι έννοιες της φάσης και της αρχικής φάσης δε microπορούν να εντοπιστούν στη microορφή (16)

παρά microόνο στις εξισώσεις (17) και (18)

Είναι δηλαδή έννοιες που συνδέονται άmicroεσα microε τη microορφή της εξίσωσης κίνησης που θα

επιλέξουmicroε και όχι microε τη ταλάντωση ή γενικά microε το φαινόmicroενο

Αφήνοντας λοιπόν κατά microέρος την (16) ας δούmicroε τα πράmicroατα πιο αναλυτικά εξετάζοντας

για παράδειγmicroα τη microορφή (17) της εξίσωσης κίνησης της αρmicroονικής ταλάντωσης

Στην εξίσωση κίνησης

x=Αmiddotηmicro(ωt + C4) microε t ge Rt0 isin Αgt0 και 0le C4 lt2π (19)

microπορούmicroε να ονοmicroάσουmicroε φάση της αποmicroάκρυνσης την ποσότητα

φ=ωt+C4 microε t ge Rt0 isin

Αυτόmicroατα η ποσότητα φ0=ωt0+C4 θα πρέπει να ονοmicroαστεί αρχική φάση της αποmicroάκρυν-

σης στην παραπάνω εξίσωση κίνησης

Από τα παραπάνω βλέπουmicroε ότι ο περιορισmicroός 0le C4 lt2π είναι αδύναmicroος microιας και το γε-

γονός ότι η χρονική στιγmicroή t0 που αρχίσαmicroε να microελετάmicroε το φαινόmicroενο microπορεί θεωρητικά να

πάρει οποιαδήποτε τιmicroή επιτρέπουν στην αρχική φάση φ0=ωt0+C4 να πάρει οποιαδήποτε

τιmicroή

Επειδή όmicroως έχουmicroε συνηθίσει να συνδέουmicroε την αρχική φάση microε το laquoξεκίνηmicroαraquo της

microελέτης του φαινοmicroένου (της ταλάντωσης επί του προκειmicroένου) και συνεπώς microε το

γεγονός ότι ακόmicroη δεν έχει ολοκληρωθεί καmicroιά ταλάντωση δε θα θέλαmicroε να βλέπαmicroε

microέσα σε microια αρχική φάση αποmicroάκρυνσης τιmicroές που να περιέχουν ακόmicroη και τεράστια

πολλαπλάσια του 2π microιας και υπήρχε κίνδυνος αυτό να εκληφθεί ως πληροφορία

(λανθασmicroένη σε αυτό το καθεστώς που περιγράφουmicroε) ότι έχουν εκτελεστεί ήδη πά-

microπολλες ταλαντώσεις

Για να γλιτώσουmicroε λοιπόν τις συνήθειές microας και γιατί όχι και τη λογική microας

microπορούmicroε microαθηmicroατικά να τροποποιήσουmicroε την εξίσωση κίνησης (19)

Από τη σχέση φ0=ωt0+C4 της αρχικής φάσης προκύπτει

C4= φ0‒ωt0

και συνεπώς η εξίσωση κίνησης γίνεται

x=Αmiddotηmicro[ω(t‒t0)+ φ0 ] t ge Rt0 isin (20)

5

Συγκρίνοντας τις εξισώσεις (19 ) και (20) και βλέποντας ότι τα C4 και φ0 microπαίνουν σε laquoι-

σάξιες θέσειςraquo αντί να απαιτήσουmicroε από το C4 να παίρνει τις περιορισmicroένες τιmicroές 0le C4

lt2π οπότε το φ0 θα παίρνει αναγκαστικά οποιαδήποτε πραγmicroατική τιmicroή απαιτούmicroε από

την αρχική φάση φ0 να παίρνει τιmicroές σε ένα τριγωνοmicroετρικό κύκλο 0le φ0 lt2π οπότε το

C4 microπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιmicroή ανάλογα microε την επιλογή της αρχής των χρόνων που

κάνουmicroε (Όπως έχουmicroε ξαναπεί ένας τριγωνοmicroετρικός κύκλος καλύπτεται και microε άλλες επιλογές διαστηmicroά-

των όπως πχ -πle φ0 ltπ κλπ)

Υιοθετώντας αυτή την επιλογή για την αρχική φάση αυτόmicroατα και η συνάρτηση που δίνει

τις τιmicroές της φάσης αλλάζει από

φ= ωt+C4 microε t ge Rt0 isin και 0le C4 lt2π

σε φ=ω(t‒t0)+ φ0 microε t ge Rt0 isin και 0le φ0 lt2π

Βασικά συmicroπεράσmicroατα για τους ορισmicroούς των εννοιών laquoφάσηraquo και

laquoαρχική φάσηraquo

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι έχουmicroε δύο δυνατότητες γραφής και άρα επιλογής των

ορισmicroών laquoφάσηraquo και laquoαρχική φάσηraquo

1η δυνατότητα

Στην εξίσωση κίνησης

x=Αmiddotηmicro(ωt + C4) microε t ge Rt0 isin Αgt0 και 0le C4 lt2π (21)

ονοmicroάζουmicroε φάση της αποmicroάκρυνσης την ποσότητα

φ=ωt+C4 microε t ge Rt0 isin και 0le C4 lt2π (22)

Κατά συνέπεια ονοmicroάζουmicroε αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης την ποσότητα

φ0=ωt0+C4 Rt0 isin και 0le C4 lt2π (προφανώς R0 isinϕ ) (23)

Οι σταθερές A και C4 θα προσδιοριστούν από τις συνθήκες που microας δίνουν και οι οποίες

δεν είναι απαραίτητο να είναι οι αρχικές

2η δυνατότητα

Στην εξίσωση κίνησης

x=Amiddotηmicro(ωt + C4) microε t ge Rt0 isin Αgt0 και C4 πραγmicroατικός (24)

ονοmicroάζουmicroε φάση της αποmicroάκρυνσης την ποσότητα

φ=ωt+C4 t ge Rt0 isin (25)

Κατά συνέπεια ονοmicroάζουmicroε αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης την ποσότητα

φ0=ωt0+C4 microε τον ισχυρό περιορισmicroό 0le φ0 lt2π (26)

6

Οι σταθερές Αgt0 και C4 θα προσδιοριστούν από τις συνθήκες που microας δίνουν και οι ο-

ποίες δεν είναι απαραίτητο να είναι οι αρχικές

Ο προσδιορισmicroός όmicroως του C4 επειδή αυτή η σταθερά τώρα θεωρείται πραγmicroατικός αριθmicroός θα γίνει microε την αοριστία ακέραιων πολλαπλασίων του π Θα περιέχει δηλαδή

το 2kπ (βλέπε παραδείγmicroατα παρακάτω)

Έτσι η ακριβής τιmicroή του θα απαιτήσει οπωσδήποτε και τον ισχυρό περιορισmicroό που microετα-

τοπίσαmicroε στην αρχική φάση

0le φ0 lt2π δηλαδή τον 0le ωt0+C4 lt2π (27)

2η δυνατότητα (εναλλακτικός τρόπος προτιmicroητέος)

(Η ιδέα γι αυτή τη δυνατότητα είναι του Διονύση)

Εκmicroεταλλευόmicroενοι τη σχέση (20) την οποία χρησιmicroοποιήσαmicroε προκειmicroένου να καταλή-

ξουmicroε στη δεύτερη δυνατότητα microπορούmicroε να δούmicroε τα πράγmicroατα και microε έναν άλλο τρόπο

Στην εξίσωση κίνησης

x=Amiddotηmicro[ω(t‒t0)+φ0 ] t ge Rt0 isin Agt0 0le φ0 lt2π (28)

ονοmicroάζουmicroε φάση της αποmicroάκρυνσης την ποσότητα

φ=ω(t ‒ t0 )+φ0 t ge Rt0 isin (29)

Όmicroοια ονοmicroάζουmicroε αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης την ποσότητα

φ0 (29α)

Οι σταθερές Agt0 και φ0 θα προσδιοριστούν από τις συνθήκες που microας δίνουν και οι ο-

ποίες δεν είναι απαραίτητο να είναι οι αρχικές

Όπως εξηγήσαmicroε η πρώτη δυνατότητα δεν περιορίζει την αρχική φάση σε ένα τριγωνο-

microετρικό κύκλο δε βάζει κανένα περιορισmicroό στη φάση και στην αρχική φάση παρά microόνο σε

microια σταθερά της εξίσωσης κίνησης τη 0le C4 lt2π (βλέπε σχέση 21)

Συνεπώς είναι πολύ πιο ισχυρή από τη δεύτερη δυνατότητα Όmicroως χαλά όλες τις συνή-

θειές microας και το laquoτραγικότεροraquo είναι ότι εύκολα microπορεί να καταργήσει και τις δύο έννοιες

(φάση και αρχική φάση) αν κάποιος άρει (και έχει microαθηmicroατικά το δικαίωmicroα) το microοναδικό

περιορισmicroό 0le C4 lt2π που θέτει η οικονοmicroία της περιγραφής των φαινοmicroένων

Γι΄ αυτή και microόνο την αναστάτωση που πιθανώς να επιφέρει στις συνήθειές microας

στις εκφράσεις microας και στον τρόπο σκέψης microας πιστεύω χωρίς αυτό να είναι ούτε

απαραίτητο ούτε αναγκαίο ότι πρέπει να υιοθετήσουmicroε τη δεύτερη δυνατότητα ορι-

σmicroών laquoφάσηςraquo και laquoαρχικής φάσηςraquo και microάλιστα τον εναλλακτικό τρόπο ο οποίος θα

αποδειχτεί παρακάτω πιο laquoφιλικόςraquo

7

Β Παραδείγmicroατα εύρεσης φάσης και αρχικής φάσης στις τα-

λαντώσεις και στη συmicroβολή των κυmicroάτων

Ας ξεκινήσουmicroε ξαναθυmicroίζοντας τρία παραδείγmicroατα από την ανάρτηση laquoΟρισmicroοί και

εξισώσεις κίνησης (β΄ microέρος)raquo

1ο παράδειγmicroα

Υλικό σηmicroείο εκτελεί (απλή) αρmicroονική ταλάντωση που περιγράφεται από εξίσωση κίνησης

της microορφής x=Amiddotηmicro(ωt+C4)

Τη χρονική στιγmicroή t0=2 sec που αρχίζουmicroε να microελετάmicroε την κίνηση το υλικό σηmicroείο βρίσκε-

ται στη θέση m102

2x

10

minussdotminus= (αρχική θέση) και έχει ταχύτητα sec

m 10 2

10 πυ minus= (αρχική τα-

χύτητα) Αν η περίοδος της ταλάντωσης είναι Τ=1 sec να βρεθεί η φάση και η αρχική φά-

ση της αποmicroάκρυνσης στη δεδοmicroένη microορφή εξίσωσης κίνησης

(Στην άσκηση δίνονται δύο συγκεκριmicroένες συνθήκες οι αρχικές Θα microπορούσαν όmicroως να

είναι οποιεσδήποτε άλλες αλλά πάντα δύο)

Λύση

α΄ τρόπος Με τη χρήση των σχέσεων (24) έως (27)

Την εξίσωση κίνησης που microας δίνουν φέρνουmicroε στη microορφή και τους περιορισmicroούς

της συνάρτησης (24)

x=Amiddotηmicro(2πt + C4) microε t ge2 sec Αgt0 και C4 πραγmicroατικός αριθmicroός (30)

Τότε η φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ=2πt + C4 microε t ge2 sec και RC4 isin (30α)

και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ0=2π2+C4 microε τον ισχυρό περιορισmicroό 0le φ0 lt2π (30β)

Εποmicroένως όλο το πρόβληmicroα εντοπίζεται στον υπολογισmicroό της σταθεράς C4

Ας τον κάνουmicroε

Η ταχύτητα του υλικού σηmicroείου είναι

υ=A2πmiddotσυν(2πt + C4) microε t ge2 sec Αgt0 και C4 πραγmicroατικός (31)

Για t=t0=2 sec οι σχέσεις (30) και (31) δίνουν

110

2

2 minussdotminus =Amiddotηmicro(4π+C4) microε Αgt0 και C4 πραγmicroατικός

π110 2 minus =A2πmiddotσυν(4π+C4) microε Αgt0 και C4 πραγmicroατικός

8

Από όπου προκύπτει

Α=10-1

m 2

2C4 minus=ηmicro και

2

2C4 =συν

και τελικά

Α=10-1

m και Zk rad 4

7k2C4 isin+= microε

ππ (32)

Βλέπουmicroε καθαρά πια ότι ενώ η τιmicroή του Α της microιας δηλαδή από τις δύο σταθερές Α και

C4 που επιβάλλει η διαφορική εξίσωση έχει ήδη προσδιοριστεί από τις αρχικές συνθήκες ο

προσδιορισmicroός της ακριβούς τιmicroής του C4 απαιτεί τον ορισmicroό και τον περιορισmicroό που υιο-

θετήσαmicroε για την αρχική φάση

Αυτός είναι και ο βαθύτερος κεφαλαιώδης ποιοτικός διαχωρισmicroός των εννοιών laquoπλάτοςraquo

και laquoαρχική φάσηraquo που κάνει το πλάτος γρήγορα να ανεξαρτητοποιηθεί από τη microορφή της

εξίσωσης κίνησης που θα χρησιmicroοποιήσουmicroε για τη ταλάντωση και έτσι να γίνει έννοια που

αφορά το φαινόmicroενο και όχι τη συνάρτηση την εξίσωση κίνησης δηλαδή

Λέmicroε πλάτος ταλάντωσης αλλά ποτέ αρχική φάση ταλάντωσης

Από τη σχέση (30α) προκύπτει ότι η φάση της αποmicroάκρυνσης στη δεδοmicroένη microορφή της ε-

ξίσωσης κίνησης είναι

φ=2πt+C4=2πt+ Zk 4

7k2 isin+ microε

ππ και t ge2 sec (33)

και εποmicroένως η αρχική φάση είναι

φ0 = 4π+ Zk 4

7k2 isin+ microε

ππ (34)

Πρέπει όmicroως

0le φ0 lt2π

Αντικαθιστώντας στην παραπάνω διπλή ανίσωση την φ0 από την σχέση (34) προκύπτει

k=minus2

Τότε από σχέση (32) προκύπτει

rad 4

9π

4

74C4 minus=+minus=

ππ

και συνεπώς η εξίσωση κίνησης του υλικού σηmicroείου (30) γίνεται

x=10-1

middotηmicro(2πt 4

9πminus ) (SI) microε t ge2 sec (35)

Η φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση κίνησης (35) είναι

φ= 4

9t2

ππ minus και t ge2 sec

και η αρχική φάση

rad 4

7

4

9220

πππϕ =minus=

9

β΄ τρόπος Με τη χρήση των σχέσεων (28) έως (29α)

Την εξίσωση κίνησης που microας δίνουν φέρουmicroε στη microορφή και τους περιορισmicroούς της

συνάρτησης (28)

x=Amiddotηmicro[2π(t‒2)+ φ0 ] t ge 2 sec Agt0 0le φ0lt2π (36)

τότε η φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ=2π(t‒2)+ φ0 t ge 2 sec 0le φ0lt2π (36α)

και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ0

Εποmicroένως όλο το πρόβληmicroα εντοπίζεται στον υπολογισmicroό της φ0

Ας τον κάνουmicroε

Η ταχύτητα του υλικού σηmicroείου είναι υ=2πΑmiddotσυν[2π(t‒2)+ φ0 ] t ge 2 sec Αgt0 0le φ0 lt2π (36β)

Για t=t0=2 sec οι παραπάνω σχέσεις (36) και (36β) αποmicroάκρυνσης και ταχύτητας αντί-

στοιχα δίνουν

110

2

2 minussdotminus =Αηmicroφ0 και π110 2 minus =2πΑσυνφ0

Από όπου

Α=10-1

m 2

20 minus=ηmicroϕ και

2

2 0=συνϕ

Τελικά και microε δεδοmicroένο ότι 0le φ0 lt2π προκύπτει

Α=10-1

m και rad 4

70

πϕ =

Από τη σχέση (36) προκύπτει η εξίσωση κίνησης

x=10-1

middotηmicro[2π(t-2)4

7π+ ) microε t ge2 sec (37)

δηλαδή η

x=10-1

middotηmicro(2πt 4

9πminus ) (SI) microε t ge2 sec (38)

Κατά συνέπεια η φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση κίνησης (38) είναι

φ= 4

9t2

ππ minus microε t ge2 sec

και η αρχική φάση

rad 4

7

4

9220

πππϕ =minus=

τιmicroή την οποία εξάλλου έχουmicroε ήδη βρει

10

2ο παράδειγmicroα

Υλικό σηmicroείο εκτελεί (απλή) αρmicroονική ταλάντωση που περιγράφεται από την εξίσωση

x=10-1

middotηmicro(2πt 4

9πminus ) (SI) microε t ge2 sec (39)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης x στη δεδοmicroένη microορφή της εξίσω-

σης κίνησης στη δεδοmicroένη δηλαδή microορφή της εξίσωσης αρmicroονικής ταλάντωσης

Λύση

α΄ τρόπος Με τη χρήση των σχέσεων (24) έως (27)

Την εξίσωση κίνησης που microας δίνουν φέρνουmicroε στη microορφή και τους περιορισmicroούς

της συνάρτησης (24)

x=Amiddotηmicro(2πt + C4) microε t ge2 sec Αgt0 και C4 πραγmicroατικός (40)

Τότε η φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ=2πt+C4 t ge2 sec RC4 isin (40α)

και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ0=2π2+C4 microε τον ισχυρό περιορισmicroό 0le φ0 lt2π (40β)

Εποmicroένως όλο το πρόβληmicroα εντοπίζεται στον υπολογισmicroό της σταθεράς C4

Ας τον κάνουmicroε

Για να έχει η εξίσωση κίνησης (39) που microας δίνουν τη microορφή της σχέσης (40) για όλες

τις χρονικές στιγmicroές tge2 sec πρέπει να ισχύει

Α=10-1

m και ηmicro(2πt + C4)= ηmicro(2πt 4

9πminus )

και συνεπώς πρέπει

C4=2kπ4

9πminus (40γ)

Τότε η φάση και η αρχική φάση λόγω των σχέσεων (40α) (40β) και (40γ) θα είναι

φ=2πt+2kπ4

9πminus t ge2 sec

φ0=4π+2kπ4

9πminus

Απαιτώντας 0le φ0 lt2π προκύπτει k=0

Άρα η φάση της αποmicroάκρυνσης στην (40) και κατά συνέπεια στην εξίσωση κίνησης

(39) που microας δίνουν είναι

φ=4

π9πt2 minus microε t ge2 sec

και η αρχική φάση είναι

φ0=4

7π

11

β΄ τρόπος Με τη χρήση των σχέσεων (28) και (29)

Την εξίσωση κίνησης που microας δίνουν φέρνουmicroε στη microορφή και τους περιορισmicroούς

της συνάρτησης (28)

x=Amiddotηmicro[2π(t‒2)+ φ0 ] t ge 2 sec Agt0 0le φ0lt2π (41)

Τότε η φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ=2π(t‒2)+ φ0 (41α)

και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ0

Εποmicroένως όλο το πρόβληmicroα εντοπίζεται στον υπολογισmicroό της φ0

Ας τον κάνουmicroε

Μετασχηmicroατίζουmicroε την εξίσωση κίνησης (39) που microας δίνουν ώστε να αποκτήσει τη microορ-

φή της σχέσης (41)

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒2)+4πminus4

9π] t ge 2 sec

και τελικά

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒2)+4

7π] (SI) t ge 2 sec (42)

Άρα η φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση κίνησης (42) και κατά συνέπεια στην εξί-

σωση κίνησης (39) που microας έδωσαν είναι

φ=2π(t‒2)+4

7π=

4

π9πt2 minus microε t ge2 sec

και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ0=4

7π

Σηmicroειώσεις

α) Από το παραπάνω παράδειγmicroα φαίνεται η ευκολία microε την οποία λύνεται το πρόβληmicroα

της φάσης και της αρχικής φάσης microε τον β΄ τρόπο αν φέρουmicroε δηλαδή την εξίσωση κίνη-

σης που microας δίνουν στη microορφή της συνάρτησης (28) microε τους περιορισmicroούς όmicroως που ακο-

λουθούν αυτή τη microορφή Τον τρόπο αυτόν θα ακολουθήσουmicroε και στο επόmicroενο παράδειγmicroα Ίσως κάποιος πει γιατί να τα κάνουmicroε όλα αυτά αφού θα microπορούσαmicroε και microόνο microε παρα-

τήρηση σύγκριση και microε microια αντικατάσταση στην εξίσωση κίνησης (39) που microας δίνουν να

βρούmicroε αυτά που ζητάmicroε πολύ πιο εύκολα

Ο λόγος της ευκολίας που πιθανώς να διακρίνει κάποιος οφείλεται στο γεγονός ότι η (39)

ήταν σχέση laquomicroαγειρεmicroένηraquo Είχε ετοιmicroαστεί από το πρώτο παράδειγmicroα Τα πράmicroατα όmicroως

δε θα είναι πάντα τόσο ευδιάκριτα Θα το διαπιστώσουmicroε στο επόmicroενο παράδειγmicroα

12

β) Η εξίσωση κίνησης (39) που microας δώσανε

x=10-1

middotηmicro(2πt 4

9πminus ) (SI) microε t ge2 sec

είναι microαθηmicroατικά ισοδύναmicroη microε την

x=10-1

middotηmicro(2πt 4

πminus ) (SI) microε t ge2 sec

Κατά συνέπεια αυτή η τελευταία θα microπορούσε κάλλιστα να δοθεί στη θέση της πρώτης

Μήπως αυτό θα επηρέαζε τη φάση και την αρχική φάση που θα βρίσκαmicroε γεγονός που

θα καθιστούσε και τους ορισmicroούς και τις έννοιες άχρηστες

Η απάντηση είναι όχι Οποιαδήποτε microαθηmicroατικά ισοδύναmicroη σχέση και να χρησιmicroοποιήσουmicroε ως εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης εφό-σον ακολουθήσουmicroε microε συνέπεια όσα αναφέραmicroε θα καταλήξουmicroε στην ίδια σχέση για τη φάση και στην ίδια τιmicroή για την αρχική φά-ση

Το γεγονός αυτό δείχνει τη συνέπεια των ορισmicroών που δώσαmicroε για φάση και αρχική φάση

Συνεπώς αν τους υιοθετήσουmicroε που τουλάχιστον βουβά microέχρι τώρα το έχουmicroε ήδη κάνει

στη φυσική δεν θα έχουmicroε αντιφάσεις

γ) Ο λόγος που στην εξίσωση (39) χρησιmicroοποιήσαmicroε το 4

9πminus και όχι το ισοδύναmicroο

4

πminus

ήταν για να δείξουmicroε ότι αυτός που θα microας δώσει microια εξίσωση κίνησης δεν είναι υποχρεω-

microένος να την έχει επεξεργαστεί και να έχει υιοθετήσει κάποιες φόρmicroες ή να έχει προσέξει τις

microαθηmicroατικές ισοδυναmicroίες

Αυτός που θα microας δώσει την εξίσωση κίνησης είναι ελεύθερος να microας δώσει ότι θέλει (microαθηmicroατικά ισοδύναmicroο) αρκεί να δώσει όπως οφείλει να δώσει σε κάθε συνάρτηση το πεδίο ορισmicroού της

3ο παράδειγmicroα

Υλικό σηmicroείο εκτελεί (απλή) αρmicroονική ταλάντωση που περιγράφεται από την εξίσωση κίνη-

σης

x=10-1

middotηmicro(4

πt

3

10π+ ) (SI) microε t ge minus3 sec (41)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης στη δεδοmicroένη microορφή εξίσωσης κί-

νησης

Λύση

Μετασχηmicroατίζουmicroε τη σχέση (41) ώστε να αποκτήσει τη microορφή της σχέσης (28) δηλαδή

να αποκτήσει τη microορφή

x=Amiddotηmicro[ω(t‒t0)+φ0 ] t ge Rt0 isin Agt0 0le φ0 lt2π

13

Πράγmicroατι η (41) γίνεται

x=10-1

middotηmicro[4

π(t+3)minus

4

3π +

3

10π ] t ge -3 sec

ή x=10-1

middotηmicro[4

π(t+3)+

12

31π ] t ge -3 sec

Αφαιρώ (ή προσθέτω αν microε βολεύει) ακέραιο πολλαπλάσιο του 2π προκειmicroένου να δη-

microιουργήσω θετική αρχική φάση περιορισmicroένη σε έναν τριγωνοmicroετρικό κύκλο

x=10-1

middotηmicro[4

π(t+3)minus2π+

12

31π ] t ge -3 sec

και τελικά

x=10-1

middotηmicro[4

π(t+3)+

12

7π ] (SI) microε t ge -3 sec (42)

Άρα η φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση κίνησης (42) και κατά συνέπεια στην εξί-

σωση κίνησης (41) που microας έδωσαν είναι

φ=4

π(t+3)+

12

7π=

4

πt+

3

4π microε t ge-3 sec

και άρα η αρχική φάση θα είναι

φ0=12

7π rad

Σηmicroείωση

Θα είχαmicroε καταλήξει στην ίδια ακριβώς σχέση για τη φάση και στην ίδια τιmicroή

για την αρχική φάση ακόmicroη και αν αρχίζαmicroε από οποιαδήποτε εξίσωση microαθη-

microατικά ισοδύναmicroη microε τη δεδοmicroένη εξίσωση κίνησης όπως πχ από την

x=10-1

middotηmicro(4

πt

3

4π+ ) (SI) microε t ge minus3 sec

Αρκεί η σχέση που θα microας έδιναν να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση να

ήταν ισοδύναmicroη microαθηmicroατικά microε την (41) και κατά συνέπεια να είχε το ίδιο πε-

δίο ορισmicroού microε αυτή

raquo

14

Γ Συmicroπέρασmicroα

(ένας απλός τρόπος υπολογισmicroού φάσης και αρχικής φάσης) Με τα παραπάνω θεmicroελιώνεται microαθηmicroατικά ένας πολύ απλός τρόπος εύρεσης της φάσης

και της αρχικής φάσης σε microια τυχαία εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία microας δίνουν

ή στην οποία καταλήγουmicroε microετά από διάφορους microαθηmicroατικούς microετασχηmicroατισmicroούς

Απαίτηση όmicroως για την εφαρmicroογή αυτού του τρόπου είναι η παρουσία του πεδίου ορισmicroού

της συνάρτησης κάτι που στο κάτω-κάτω είναι και απαίτηση κάθε σοβαρής microαθηmicroατικής

αντιmicroετώπισης

Ας τον δούmicroε

Έστω για παράδειγmicroα ότι microε οποιονδήποτε microαθηmicroατικά σωστό τρόπο καταλήγουmicroε

στην εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης

χ=Αηmicro(ωt+θ) microε t ge t0 (60)

Επειδή οι microαθηmicroατικές microεθοδολογίες δεν ενδιαφέρονται για τις αγωνίες ενός φυσικού δεν είναι καθόλου υπο-χρεωmicroένες να εξασφαλίσουν ότι η ποσότητα θ θα είναι αρχική φάση ούτε ότι η ποσότητα ωt+θ θα είναι φά-ση

Αυτές οι έννοιες αφορούν τον φυσικό ο οποίος θα πρέπει πρώτα να τις ορίσει microε αυστηρότητα (και αυτό microπο-ρεί να γίνει microόνο microέσα από την ξεχωριστή εσωτερική λειτουργία των διαφορικών εξισώσεων όπως έχουmicroε ήδη επισηmicroάνει) και κατόπιν να χρησιmicroοποιήσει την εγγύηση των microαθηmicroατικών για να εξασφαλίσει ότι η αυστηρότητα των ορισmicroών του θα είναι όχι απλά συνεπέστατη λογικά αλλά κυρίως ότι θα δώσει την εγγύηση πως δεν θα προκύψουν παρανοήσεις

Έτσι λοιπόν το θ που θα προκύψει από τους microαθηmicroατικούς microετασχηmicroατισmicroούς

microπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγmicroατικός αριθmicroός

Τότε

1ο βήmicroα Στην (60) εmicroφανίζουmicroε την αρχική τιmicroή του χρόνου t0 γράφοντάς

την microε τη microορφή

x=Aηmicro[ω(t-t0)plusmnθ΄] microε t ge t0

2ο βήmicroα Αν η θ΄ στο όρισmicroα του ηmicroίτονου είναι microέσα σε ένα τριγωνοmicroε-

τρικό κύκλο αυτή είναι η αρχική φάση Αλλιώς προσθέτουmicroε ή

αφαιρούmicroε ακέραια πολλαπλάσια του 2π ώστε microετά την παρά-

σταση ω(t-t0) να εξασφαλίσουmicroε laquoγωνίαraquo φ0 η οποία να είναι

microέσα στον τριγωνοmicroετρικό κύκλο που έχουmicroε επιλέξει

Να είναι δηλαδή στο διάστηmicroα [0 2π) ή στο [-π π) κλπ

x=Aηmicro[ω(t-t0)+φ0] microε t ge t0 (60α)

3ο βήmicroα Η ποσότητα φ=ω(t-t0)+φ0 είναι η φάση και φ0 είναι η αρχική

φάση στη σχέση (60α) Άρα και στην (60) που microας έδωσαν

Τον παραπάνω τρόπο εφαρmicroόσαmicroε ήδη στο 3ο παράδειγmicroα

15

Δ Κύmicroατα

Το έχω ξαναπεί αλλά θα το ξαναπώ γιατί νοmicroίζω ότι microόνο έτσι microόνο όταν πιστέψουmicroε

στα λάθη που microας βάζουνε και διδάσκουmicroε κάποια στιγmicroή θα βρεθούν κάποιοι ικανοί που

θα βρουν τρόπο να ζητήσουν ευθύνες από όλους εκείνους που χρόνια τώρα microας βουλιάξανε

microας βουλιάζουνε και θα βουλιάξουνε γενιές ανθρώπων στα λάθη γράφοντας πανεπιστηmicroια-

κά βιβλία χωρίς ποτέ να microπουν στον κόπο να ξαναψάξουν αυτά που γράφουν

Το κεφάλαιο laquoΚύmicroαταraquo που διδάσκουmicroε είναι το λιγότερο λανθασmicroένο Λανθασmicroένο

πιο πολύ από τις ταλαντώσεις γιατί τα laquoκύmicroαταraquo κουβαλάνε όλα τα λάθη των ταλα-

ντώσεων και κάτι ακόmicroη που είναι πιο τραγικά λανθασmicroένο Τη διάδοση

Η διδασκαλία microας στο κεφάλαιο laquoΚύmicroαταraquo ΔΥΣΤΥΧΩΣ ΣΤΗΡΙΖΕΤΑΙ ΣΤΗ ΔΙΑ-

ΔΟΣΗ ΤΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ

Μα αυτά που διδάσκουmicroε ούτε laquoκύmicroαταraquo είναι ούτε διαδίδονται

Και έτσι εmicroείς οι απλοί φυσικοί της γειτονιάς γινόmicroαστε τραγικές φιγούρες microιας και microετά

από ένα κεφάλαιο γεmicroάτο λάθη όπως είναι οι laquoταλαντώσειςraquo αναγκαζόmicroαστε να λέmicroε να

βρίσκουmicroε να διδάσκουmicroε να microπαλώνουmicroε και να εmicroπλουτίζουmicroε microε ασκήσεις το δεύτερο

κεφάλαιο laquoΤα κύmicroαταraquo που είναι ακόmicroη πιο λανθασmicroένο

Η εmicroπειρία microου ως αεί υφιστάmicroενος τόσων και τόσων σε ένα Υπουργείο Παιδείας που η-

δονίζεται να αλλάζει ονόmicroατα microόνο και όχι ουσία microου λέει τούτο το απλό

Όταν τόσοι φυσικοί δυσκολευόmicroαστε κάποιες φορές να κατανοήσουmicroε αυτά που διδάσκου-

microε και που γράφει ένα σχολικό βιβλίο προορισmicroένο για microαθητές λυκείου σίγουρα κάποιοι

άλλοι κάνανε χοντρά λάθη ως laquomicroέντορεςraquo (γελοιοποίηση microιας ακόmicroη όmicroορφης αρχαίας λέ-

ξης) και microας βάλανε να διδάξουmicroε τα λάθη τους microε τέτοιο τρόπο που στο τέλος

ξεχάσαmicroε ότι ήταν δικά τους λάθη και νοmicroίσαmicroε ότι όλα ήταν δικά microας σω-

στά

Παρακάmicroπτω λοιπόν την ανύπαρκτη φυσική της συmicroβολής των laquoκυ-

microάτωνraquo που διδάσκουmicroε και χρησιmicroοποιώντας microόνο την ορολογία της θα προσπα-

θήσω microέσα από microια microατιά laquoγυmicroνάraquo microαθηmicroατική να εφαρmicroόσω στο συγκεκριmicroένο laquoφαινόmicroε-

νοraquo όσα προαναφέραmicroε Επικαλούmicroενος και ελπίζοντας microόνο στην αυστηρότητα του ορισmicroού

Αν εφαρmicroόσουmicroε microε συνέπεια τους αυστηρούς ορισmicroούς της φάσης και της αρχικής φάσης

που δώσαmicroε κι αν σε φαινόmicroενα ίδιας ποιότητας δεν αρνηθούmicroε τις microαθηmicroατικές πορείες

που καταγράψαmicroε κι ακολουθήσαmicroε στις τρεις προηγούmicroενες αναρτήσεις laquoΟρισmicroοί και

εξισώσεις κίνησης α΄ β΄ και γ΄ microέροςraquo τότε δε θα υπάρξουν συλλογιστικά αδιέξοδα

Ας το δούmicroε (τα σύmicroβολα που χρησιmicroοποιούνται θεωρούνται αυτονόητα)

Στην εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης

minus=λ

πηmicro 11

r

T

t2Ay microε

υ1rt ge (61)

16

που επιβάλλει στο τυχαίο σηmicroείο Μ το πρώτο laquoκύmicroαraquo όταν έχει διαδοθεί microόνο του οι έν-

νοιες της φάσης και της αρχικής φάσης είναι καθορισmicroένες microε απόλυτη σαφήνεια αρκεί να

microην ξεχάσουmicroε το πεδίο ορισmicroού

φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (61)

λππ

ϕ 1r2

T

t2minus= microε

υ1rt ge

αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (61)

φ0=0 rad

Στην εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης

minus=λ

πηmicro 22

r

T

t2Ay microε

υ2rt ge (62)

που επιβάλλει στο τυχαίο σηmicroείο Μ το δεύτερο laquoκύmicroαraquo όταν έχει διαδοθεί microόνο του οι έν-

νοιες της φάσης και της αρχικής φάσης είναι καθορισmicroένες microε απόλυτη σαφήνεια αρκεί να

microην ξεχάσουmicroε το πεδίο ορισmicroού

φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (62)

λππ

ϕ 2r2

T

t2minus= microε

υ2rt ge

αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (62)

φ0=0 rad

Μετά τη laquoσυmicroβολή των δύο κυmicroάτωνraquo η εξίσωση ταλάντωσης του ση-

microείου Μ είναι

minus+

minus=+=λ

πηmicroλ

πηmicro 2121

r

T

t2A

r

T

t2Ayyy microε

geυυ

21 r

rmax t (63)

Στη σχέση (63) οι έννοιες laquoφάσηraquo και laquoαρχική φάσηraquo δεν ορίζο-

νται Δεν υπάρχουν

Η κίνηση που αποδίδεται microε τη σχέση (63) είναι επαλληλία των εξισώσεων κίνησης δύο

αρmicroονικών ταλαντώσεων (επαλληλία δύο αρmicroονικών συναρτήσεων δηλαδή και όχι πραγmicroα-

τικών κινήσεων) ίδιας διεύθυνσης ίδιας συχνότητας και ίδιας laquoθέσης ισορροπίαςraquo

17

Είναι επαλληλία των συναρτήσεων y1 και y2

Η σύνθεσή τους η y δηλαδή είναι microια (πραγmicroατική) αρmicroονική ταλάντωση ίδιας διεύθυν-

σης ίδιας συχνότητας και ίδιας θέσης ισορροπίας microε τις συνιστώσες εξισώσεις κίνησης ή

καλύτερα microε τους προσθετέους της (63)

Όπως είναι γραmicromicroένη η εξίσωση (63) δεν έχουmicroε κανένα δικαίωmicroα να microιλάmicroε

ούτε για laquoφάσηraquo ούτε για laquoαρχική φάσηraquo

Για να αποκτήσουmicroε αυτό το δικαίωmicroα πρέπει να τη φέρουmicroε σε microορφή που να διαθέτει

ένα microόνο τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό και δη ή microόνο ένα ηmicroίτονο ή microόνο ένα συνηmicroίτονο

Με άλλα λόγια

αν θέλουmicroε να microιλάmicroε για φάση και αρχική φάση στην σχέση (63) εξίσωση συmicroβολής των

κυmicroάτων θα πρέπει να τη φέρουmicroε στη microορφή

( )0t Ay ϕωηmicro prime+prime=

ή στη microορφή

( )0t Ay ϕωσυν primeprime+primeprime=

Τότε όmicroως

για να microην καταρρεύσουν αmicroφότεροι οι ορισmicroοί κι εποmicroένως και οι έννοιες

της φάσης και της αρχικής φάσης θα πρέπει να φροντίσουmicroε η αρχική φάση

να περιοριστεί σε ένα τριγωνοmicroετρικό κύκλο

για να αποφύγουmicroε κάθε επικίνδυνη ρευστότητα θα πρέπει να τεθεί οπωσ-

δήποτε το πεδίο ορισmicroού της συνάρτησης

για να microην υπάρξουν συλλογιστικά αδιέξοδα θα πρέπει να ακολουθήσουmicroε

microε συνέπεια την πορεία που καταγράψαmicroε στα παραδείγmicroατα 1-3 για τον

υπολογισmicroό φάσης και αρχικής φάσης ή έστω να εφαρmicroόσουmicroε τον απλό

τρόπο που καταγράφεται στη σελίδα 14

Ο microετασχηmicroατισmicroός της (63) ώστε να περιέχει ένα microόνο τριγωνο-

microετρικό αριθmicroό microπορεί να γίνει microε διάφορους τρόπους

1ος τρόπος Χρησιmicroοποιώντας τους τύπους της επαλληλίας εξισώσεων κίνησης

Αν έχουmicroε αριθmicroητικά δεδοmicroένα και δε θέλουmicroε να microπλεχτούmicroε microε πολλά microαθηmicroατικά

microπορούmicroε να χρησιmicroοποιήσουmicroε τους τύπους του σχολικού βιβλίου για την επαλληλία εξι-

σώσεων αρmicroονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης ίδιας συχνότητας και ίδιας θέσης ισορ-

ροπίας

Τους τύπους αυτούς όmicroως θα πρέπει να ισχυροποιήσουmicroε ώστε να συmicroπεριλάβουν περι-

πτώσεις όπου και οι δύο ταλαντώσεις έχουν αρχική φάση και να εmicroπλουτίσουmicroε microε έναν ε-

πιπλέον τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό ή microε κάποια επιπλέον microαθηmicroατική microας δεξιότητα microιας και η

σχέση microε την εφθ microόνη της δε microπορεί να προσδιορίσει την αρχική φάση θ έστω κι αν αυτή

περιοριστεί σε έναν τριγωνοmicroετρικό κύκλο

18

( Επαλληλία εξισώσεων αρmicroονικών ταλαντώσεων

x1=Α1middotηmicro(ωt+φ1) και x2=Α2middotηmicro(ωt+φ2)

x=x1+ x2=Aηmicro(ωt+θ)

όπου )(AA2AAA 21212

22

1 ϕϕσυν minus++= Α

ηmicroϕΑηmicroϕΑηmicroϑ 2211 +

= (64)

2211

2211

AA

AA

συνϕσυνϕηmicroϕηmicroϕ

εϕϑ+

+=

ΑσυνϕΑσυνϕΑ

συνϑ 2211 +=

microε 0leθlt2π

Τέτοιου είδους αντιmicroετωπίσεις έχουν ήδη καταχωρηθεί στο δίκτυο)

2ος τρόπος Μετασχηmicroατίζουmicroε την (63) και φτάνουmicroε στη microορφή

+minussdot

minus=

λΤπηmicro

λπσυν

2

rrt2

2

rr2A2y 2121 microε

geυυ

21 r

rmax t (65)

Αφού φιλοδοξούmicroε η (65) να περιγράφει πραγmicroατική κίνηση (κι όχι να είναι κα-

νένας προσθετέος σε επαλληλία εξισώσεων κίνησης) και επιθυmicroούmicroε οι έννοιες laquoφάσηraquo και

laquoαρχική φάσηraquo να έχουν νόηmicroα θα πρέπει ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ να χειρι-

στούmicroε την (65) microε τους τρόπους που δείξαmicroε στα παραδείγmicroατα 1-3

Αν δηλαδή επιθυmicroούmicroε να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση στην

(65) θα πρέπει να χρησιmicroοποιήσουmicroε ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ το πεδίο ορισmicroού

της και τον περιορισmicroό της αρχικής φάσης σε ένα τριγωνοmicroετρικό κύκλο

(Το να χειριστούmicroε τη σχέση (65) γενικά ώστε να εmicroφανιστούν γενικοί περιορισmicroοί στο πεδίο ορισmicroού και στην

αρχική φάση του ενός τριγωνοmicroετρικού κύκλου νοmicroίζω ότι θα είναι άσκοπο microιας και ο χρόνος που θα απαιτήσει

η γραφή αυτή θα ΄ναι microεγάλος και η αξία των τύπων ελάχιστη Γι΄ αυτό καταφεύγω σε παραδείγmicroατα)

4ο παράδειγmicroα

Έστω ότι σε κάποιο πρόβληmicroα συmicroβολής κυmicroάτων y1= και y2= αντικαθι-

στούmicroε τα δεδοmicroένα στην εξίσωση της συmicroβολής (65) και βρίσκουmicroε ότι το σηmicroείο Μ που απέ-

χει r1= και r2= από τις πηγές ταλαντώνεται αρmicroονικά microε εξίσωση

y=10-1

middotηmicro(2πt 4

11πminus ) (SI) microε t ge 6 sec (66)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης του Μ στην (66)

19

Λύση

1ος τρόπος

Κάνουmicroε ότι κάναmicroε στο παράδειγmicroα 2 στη σελίδα 10 ή στο παράδειγmicroα 3 στη σελίδα 12 αυ-

τής της ανάρτησης

2ος τρόπος

Για πιο γρήγορα ακολουθούmicroε τα βήmicroατα της σελίδας 14

1ο βήmicroα Μετασχηmicroατίζουmicroε την εξίσωση κίνησης (66) ώστε να εmicroφανιστεί η

αρχική τιmicroή χρόνου 6 sec microέσω της microορφής ω(t-t0)=2π(t-6)

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+12πminus4

11π] t ge 6 sec

και τελικά

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

37π] (SI) t ge 6 sec (67)

2ο βήmicroα Στο όρισmicroα του ηmicroίτονου microετά την ποσότητα 2π(t-6) η laquoγωνίαraquo 4

37π

δεν είναι microέσα στο διάστηmicroα [02π) που έχουmicroε υιοθετήσει ως περιορι-

σmicroό της αρχικής φάσης

Εποmicroένως πρέπει να αφαιρέσουmicroε κατάλληλα ακέραια πολλαπλάσια

του 2π

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

37πminus4middot2π] (SI) t ge 6 sec

από όπου τελικά

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

5π] (SI) t ge 6 sec (67α)

3ο βήmicroα Στην (67α) που καταλήξαmicroε microε την παραπάνω διαδικασία

η φάση είναι φ=2π(t‒6)+4

5π microε t ge 6 sec

και η αρχική φάση είναι φ0=4

5π rad

Το ίδιο συνεπώς θα ισχύει και για την (67)

Βέβαια όλα τα παραπάνω microπορούν να γίνουν πολύ πιο γρήγορα αρκεί να έ-

χουmicroε στο microυαλό microας ότι για να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση σε microια

εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία microας έδωσαν ή στην οποία καταλήξα-

microε θα πρέπει να τη microετασχηmicroατίσουmicroε ώστε

να εmicroφανίσουmicroε την αρχική τιmicroή του χρόνου microε τη microορφή που είπαmicroε

να εξασφαλίσουmicroε ότι ο προσθετέος που δεν περιέχει χρόνο είναι σε

διάστηmicroα ενός τριγωνοmicroετρικού κύκλου και microάλιστα στη microορφή που έ-

χουmicroε επιλέξει για την αρχική φάση ([02π) ή [-ππ) ή )

20

5ο παράδειγmicroα

Έστω ότι σε κάποιο πρόβληmicroα συmicroβολής κυmicroάτων y1= και y2= αντικαθι-

στούmicroε τα δεδοmicroένα στην εξίσωση της συmicroβολής (65) και βρίσκουmicroε ότι το σηmicroείο Μ που απέ-

χει r1= και r2= από τις πηγές ταλαντώνεται αρmicroονικά microε εξίσωση

y=minus10-1

middotηmicro(2πt4

9πminus ) (SI) microε t ge 05 sec (68)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης του Μ στην (68)

Λύση

Η (68) γίνεται διαδοχικά

y=minus10-1

middotηmicro(2πt4

9πminus ) = 10

-1middotηmicro(2πt+π

4

9πminus )=10

-1middotηmicro(2πt

4

5πminus )=10

-1middotηmicro[2π(tminus05)

4

πminus ]

και τελικά

y=10-1

middotηmicro[2π(tminus05)4

7π+ ] (68α)

Η (68α) έχει εmicroφανίσει την αρχική τιmicroή χρόνου 05 sec στη microορφή που θέλουmicroε και προ-

σθετέο 4

7π που δεν περιέχει χρόνο t και βρίσκεται στο διάστηmicroα [02π)

Άρα η φάση και η αρχική φάση της (68) είναι ίδιες microε εκείνες της (68α)

∆ηλαδή

Φάση φ=2π(tminus05)4

7π+ =2πt

4

3π+ microε t ge 05 sec

Αρχική φάση rad 4

7π0 =ϕ

Φάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολή

Ο Νίκος (Ανδρεάδης) microε δύο ευφυέστατες αναρτήσεις

laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολήraquo

laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολή-Μέρος δεύτεροraquo

που βρίσκονται στη διεύθυνση

httpylikonetgrprofilesblogsphhaseis-kai-antiphhaseis-ste

microας ώθησε να ακούσουmicroε κάποιους τριγmicroούς από την ψεύτικη πραγmicroατικότητα των

κυmicroάτων που διδάσκουmicroε

21

Γράφει λοιπόν

laquoΝ=6 1r 15= m

1 2r r 6 λminus = sdot

2r 03= m

Για t 3ge s η εξίσωση κίνησης προκύπτει από την επαλληλία των εξισώσεων

11

2πr2πty A ηmicro

T λ

= sdot minus

και 2

2

2πr2πty A ηmicro

T λ

= sdot minus

Μετά από πράξεις

( )1y 01 ηmicro 5πt 15π= sdot minus και ( )2

y 01 ηmicro 5πt 3π= sdot minus

Σύmicroφωνα microε τη σχέση 1 2 1 2r r r r2πt

y 2A συν 2π ηmicro π2λ T λ

minus += sdot sdot minus

microετά από πράξεις προκύπτει

( )y 02 ηmicro 5πt 9π= sdot minus

Η φάση (της αποmicroάκρυνσης στην παραπάνω εξίσωση) δίνεται από τη σχέση φ 5πt 9π= minus

Για t 3= s (προκύπτει η αρχική) φάση (η οποία) είναι 6π rad

παρατηρούmicroε ότι 7 σηmicroεία του microέσου τα οποία ξεκινούν την ίδια στιγmicroή την ίδια κίνηση από τη θέ-

ση ισορροπίας microε θετική ταχύτητα περιγράφονται microε διαφορετικές εξισώσεις και την στιγmicroή της εκκί-

νησης έχουν διαφορετική φάση

Οι απορίες microου

Ποιο είναι το φυσικό νόηmicroα των τιmicroών 0π 2π 4π 6π και 8π

Έχει νόηmicroα να ζητήσουmicroε τη διαφορά φάσης ενός από αυτά τα σηmicroεία microε microια πηγή

Αν όmicroως δούmicroε το θέmicroα ως σύνθεση δύο ταλαντώσεων που βρίσκονται σε συmicroφωνία φάσης καταλή-

γουmicroε αmicroέσως στο συmicroπέρασmicroα ότι και στις 7 περιπτώσεις η κίνηση για t 3ge s περιγράφεται από την

εξίσωση ( )y 02 ηmicro 5πt 15π= sdot minus (SI)

Η φάση δίνεται από τη σχέση φ 5πt 15π= minus (SI)

Για t 3= s η (αρχική) φάση είναι 0π rad ∆ηλ τη στιγmicroή της εκκίνησης έχουmicroε microηδενισmicroό της φάσης

για τα 7 σηmicroεία κάτι λογικό αφού τότε και τα 7 ξεκινούν microια νέα κίνηση από τη θέση ισορροπίας microε

θετική ταχύτηταraquo

Στους προβληmicroατισmicroούς που έθεσε ο Νίκος θα επιχειρήσω microια το-

ποθέτηση

Κατά τη γνώmicroη microου το microόνο που microπορεί να microας γλιτώσει από το παραπάνω παράδοξο είναι

η microαθηmicroατική αυστηρότητα microε την οποία φροντίσαmicroε να εφοδιάσουmicroε (και έτσι πρέπει

να γίνεται πάντα αν και πολλές φορές τούτο το απλό το ξεχνάmicroε) τους ορισmicroούς φάση και

αρχική φάση

Η αντίρρησή microου επικεντρώνεται στη φράση

laquoη φάση στην εξίσωση ( )y 02 ηmicro 5πt 9π= sdot minus δίνεται από τη σχέση φ 5πt 9π= minus raquo

η οποία εξάλλου είναι και η υπεύθυνη για τις αντιφάσεις που έχει εντοπίσει ο Νίκος

Προκειmicroένου να βρεθούν η φάση και η αρχική φάση στην εξίσωση microιας αρmicroονικής

ταλάντωσης πρέπει να ακολουθηθούν ορισmicroένες διαδικασίες

22

Αυτό δεν είναι ούτε σωσίβιο ούτε σοφιστεία ούτε κάποια κίνηση απελπισίας Είναι η ου-

σία του ορισmicroού που υιοθετήσαmicroε για τις δύο αυτές έννοιες

Η αυστηρότητα των ορισmicroών που δώσαmicroε ως φυσικοί εξασφαλίζει ότι τα microαθηmicroατικά όχι

microόνο θα microπορέσουν να εγγυηθούν τη συνέπεια των συλλογισmicroών και αποτελεσmicroάτων microας

αλλά θα ενσωmicroατώσουν microέσα τους τελείως διαφανείς πορείες απαραίτητες για την αυτοδυ-

ναmicroία και ισχύ του φυσικού έστω κι αν ένας microαθηmicroατικός αδιαφορήσει τελείως γι΄ αυτές

Αυτό δεν είναι παραλογισmicroός αλλά συνειδητοποίηση του διαφορετικού ρόλου

και της διαφορετικής ευθύνης των δύο ειδικοτήτων˙ του φυσικού και του microαθη-

microατικού

Κοντολογίς

Προκειmicroένου να διατηρήσουmicroε το δικαίωmicroα να χρησιmicroοποιούmicroε στο λεξιλόγιό microας τις λέξεις

φάση και αρχική φάση επιβάλλεται από τα microαθηmicroατικά να είmicroαστε συνεπείς microε τους ορι-

σmicroούς που τους δώσαmicroε και να τις χειριζόmicroαστε microε ειδικό τρόπο σε καθορισmicroένες πορείες

Αν δε το κάνουmicroε αυτό τα microαθηmicroατικά θα microας γυρίσουν την πλάτη

κι εmicroείς θα βουλιάξουmicroε στις παρανοήσεις στα αδιέξοδα και τις λο-

γικές ασυνέπειες

Σύmicroφωνα λοιπόν microε όσα έχουν αναφερθεί για να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση στην εξίσωση κίνησης

y=02middotηmicro(5πtminus9π) microε tge3 sec (69)

πρέπει να εmicroφανίσουmicroε microέσα της την αρχική τιmicroή του χρόνου 3 sec και να αφαιρέσουmicroε τα

ακέραια πολλαπλάσια του 2π microε τέτοιο τρόπο ώστε η αρχική φάση να είναι microέσα στη microορ-

φή του τριγωνοmicroετρικού κύκλου που υιοθετήσαmicroε

Πράγmicroατι η (69) γίνεται

y=02middotηmicro(5πtminus9π)=02middotηmicro[5π(t-3)+6π]

και τελικά

y=02middotηmicro[5π(t-3)+0] microε tge3 sec (69α)

Η (69α) και κατά συνέπεια και η (69) έχουν

Φάση φ=5π(t-3)+0=5πt-15π microε tge3 sec

Αρχική φάση φ0=0 rad

Νοmicroίζω ότι τώρα πια δεν υπάρχει καmicroιά αντίφαση microιας και όλες οι συλλογιστικές και όλες

οι microαθηmicroατικές πορείες θα δώσουν ακριβώς τα ίδια αποτελέσmicroατα

α) Και τα επτά σηmicroεία Ν=0 έχουν την ίδια φάση φ=5πt-15π microε tge3 sec και την ί-

δια αρχική φάση φ0=0 rad

23

β) Υπάρχει απόλυτη συλλογιστική συνέπεια σε όλα αφού όπως έχει ήδη επισηmicroάνει ο Νί-

κος laquoκαι τα 7 σηmicroεία πρέπει να έχουν την ίδια φάση και αρχική φάση αφού ξεκινούν microια

νέα κίνηση από τη θέση ισορροπίας microε θετική ταχύτηταraquo

γ) Είτε χρησιmicroοποιηθούν οι τύποι σύνθεσης ταλαντώσεων είτε χρησιmicroοποιηθεί ο τύ-

πος της συmicroβολής κυmicroάτων είτε οποιαδήποτε άλλη microαθηmicroατική διαδροmicroή τα αποτελέ-

σmicroατα φάσης και αρχικής φάσης θα είναι απολύτως ίδια

δ) laquoΚάθε κίνηση έχει φάση που microας πληροφορεί για πόσο χρόνο παρακολουθούmicroε τη συ-

γκεκριmicroένη κίνησηraquo

ε) Απορία

laquoΠοιο είναι το φυσικό νόηmicroα των τιmicroών 0π 2π 4π 6π και 8πraquo

Απάντηση

laquoοι τιmicroές 0π 2π 4π 6π και 8π που προκύπτουν microε (απλή-ανώδυνη) εφαρmicroογή της γνω-

στής σχέσης ηmicroΑ+ηmicroΒ=hellip δεν έχουν κανένα γνωστό ωφέλιmicroο φυσικό νόηmicroαraquo

Η εφαρmicroογή της σχέσης ηmicroΑ+ηmicroΒ= δεν οδηγεί πάντα απευθείας σε σχέση στην οποία να

είναι άmicroεσα διαφανείς η φάση και η αρχική φάση microιας εξίσωσης αρmicroονικής κίνησης

Ο τελικός τύπος χρειάζεται οπωσδήποτε επεξεργασία

στ) Απορία

laquoΈχει νόηmicroα να ζητήσουmicroε τη διαφορά φάσης ενός από αυτά τα σηmicroεία microε microια πηγήraquo

Απάντηση

Όχι Δεν πρέπει να ζητήσουmicroε τέτοιο πράγmicroα αν δε είmicroαστε έτοιmicroοι να αυτοκτονήσουmicroε ή να

microπούmicroε σε ατέλειωτες microαθηmicroατικές αναζητήσεις για να γλιτώσουmicroε microόνο και microόνο τη συνέ-

πεια της εννοιολογικά λανθασmicroένης laquoπραγmicroατικότηταςraquo των κυmicroάτων που διδάσκουmicroε

Η παρουσία πηγών επιβάλλει άλλου είδους κύmicroατα εmicroπλουτισmicroένα και microε άλλες έννοιες και

microε microαθηmicroατικούς χειρισmicroούς αρκετά δύσκολους microιας και στις διαφορικές εξισώσεις πρέπει

να παρθούν υπόψη συνοριακοί περιορισmicroοί

Στην πρώτη σελίδα της ανάρτησής microου laquoΟρισmicroοί και εξισώσεις κίνησης γ΄ microέροςraquo έγραφα κάτι που όσο περνάει ο καιρός το πιστεύω όλο και πιο πολύ

laquoδιδάσκουmicroε ˝κύmicroατα˝ που δήθεν διαδίδονται microε ταχύτητα υ έχουν αρχικές φάσεις έχουν

πηγές που τα παράγουν και πολλές φορές δύο πηγές για να έχουmicroε συmicroβολή

Μα αυτά που διδάσκουmicroε ούτε κύmicroατα είναι ούτε διαδίδονται ούτε πηγές περιέχουν

ούτε είναι κάπου και τρέχουν να πάνε κάπου αλλού ούτε ξεκινάνε από κάπου ούτε ούτε

ούτε

Στα κεφάλαια ˝Κύmicroατα˝ και ˝Μηχανική Στερεού Σώmicroατος˝ της Φυσικής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου ειλικρινά microε πιάνει απελπισία Τα πράmicroατα εκεί σκοτεινιάζουν τόσο πο-λύ Τί να πεις και από πού να αρχίσεις raquo

24

Στο σηmicroείο αυτό όmicroως νιώθω υποχρεωmicroένος να τονίσω ότι η αρνητικότατη στάση

microου απέναντι σε αυτό που microας βάζουν να διδάσκουmicroε ως κύmicroατα δεν πρέπει στο

ελάχιστο να θεωρηθεί ως απόρριψη της προσπάθειας συναδέλφων να microας δώσουν

ένα πλήθος ασκήσεων θέσεων αναλύσεων διαγωνισmicroάτων κλπ που έχουν σχέση

microε κύmicroατα και microε συmicroβολή κυmicroάτων που περιέχουν πηγές

Στο σχολείο πρέπει να κάνουmicroε αυτό που επιτάσσουν οι πανελλαδικές Άρα πέρα

από όλες τις διαφωνίες microεταξύ microας θα πρέπει προσωπικά να βρω ασκήσεις και θέ-

microατα να δώσω στα παιδιά για να καλύψω την ανήθικη έλλειψη ασκήσεων από το

σχολικό βιβλίο

Επίσης θα πρέπει να βρω τρόπο να microην καταρρεύσει η συλλογιστική των παιδιών

έστω και σαθρή πριν τις εξετάσεις

Αυτό microε τη σειρά του σηmicroαίνει ότι πρέπει να έχω επιχειρήmicroατα και υλικό κοmicromicroένο

στις συγκεκριmicroένες ανάγκες τους

Σε αυτό το σηmicroείο η βοήθεια που microου πρόσφεραν και microου προσφέρουν οι συνάδελ-

φοι του δικτύου και κάποια αξιόλογα εξωσχολικά βιβλία είναι όχι απλά πολύτιmicroη

αλλά ανεπανάληπτη

Με πολύ ανακούφιση δέχοmicroαι και παίρνω πολύτιmicroα διαγωνίσmicroατα ασκήσεις και υ-

λικό που προσφέρουν απλόχερα διάφοροι συνάδελφοι και που αναφέρονται σε κύmicroα-

τα που προέρχονται από πηγές και που συmicroβάλλουν

Επί τη ευκαιρία τους ευχαριστώ που microου δίνουν τον κόπο τους Κάποιες φορές microά-

λιστα αποτελεί πηγή αναθεωρήσεων και καινούριων αναζητήσεων microου

Ε Παρατηρήσεις

1) Η εξίσωση της αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία θα microας δώσουν ή στην οποία θα κα-

ταλήξουmicroε microετά από κάποια microαθηmicroατική επεξεργασία δεν είναι υποχρεωmicroένη να δηλώνει

καθαρά τη φάση και την αρχική φάση Εκείνο που πρέπει οπωσδήποτε να επισηmicroάνουmicroε εί-

ναι ότι φάση δεν είναι η ποσότητα που βρίσκεται microέσα στον τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό

Η εύρεση της φάσης και της αρχικής φάσης θέλουν διαδικασία η οποία θα απαιτήσει το

πεδίο ορισmicroού της εξίσωσης που microας δίνουν για την ταλάντωση ή για το κύmicroα

Ας του δώσουmicroε έmicroφαση microε microια άσκηση χωρίς κανένα απολύτως νόηmicroα

Στην παρακάτω εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης να βρεθεί η φάση και η αρχική

φάση της αποmicroάκρυνσης

y=10-1middotηmicro(2πt 4

11πminus )

Ο λόγος που αυτή η άσκηση είναι α-νόητη είναι γιατί δεν έχει δοθεί το πεδίο ορισmicroού Αλ-

λάζοντας το πεδίο ορισmicroού όπως ήδη έχουmicroε δείξει θα αλλάξει τόσο η συνάρτηση της φά-

σης όσο και η τιmicroή της αρχικής φάσης (∆ες σελίδα 18)

25

2) Η εύρεση της διαφοράς φάσης ανάmicroεσα σε δύο microεγέθη του ίδιου

φαινοmicroένου είναι ακόmicroη πιο επίπονη διαδικασία

Το θέmicroα αυτό είχε θέσει ο Θοδωρής microε microια ανάρτησή του που βρίσκεται στη διεύθυνση httpylikonetgrgroupthemataforumtopicsphhasearchikhe-

phhasediaphorhacommentId=36477953AComment3A16659ampgroupId=36477953AGroup3A5901

Όπως στην περίπτωση της φάσης και αρχικής φάσης οι αρmicroονικές συναρτήσεις πρέπει να

laquoετοιmicroαστούνraquo έτσι και στην περίπτωση που microας ζητάνε να βρούmicroε διαφορά φάσης ανάmicroε-

σα σε δύο φυσικά microεγέθη που εκφράζονται microε αρmicroονικές συναρτήσεις οι συναρτήσεις αυτές

πρέπει οπωσδήποτε να ετοιmicroαστούν κατάλληλα

3) Το πιο σηmicroαντικό στο οποίο εστιάζουν οι εργασίες microου (άσχετα αν τα καταφέρνω να

το δείξω ή όχι) είναι η microεθοδολογία που πρέπει να ακολουθούmicroε όταν θέλουmicroε να λύσουmicroε

microια διαφωνία microας να προχωρήσουmicroε microια αναζήτησή microας να βρούmicroε διέξοδο σε microια αντίφα-

ση να συνειδητοποιήσουmicroε microια έννοια

Κατά τη γνώmicroη microου πρέπει να ξεκινάmicroε από τους ορισmicroούς και αφού εξασφαλίσουmicroε την

αυστηρότητά τους να προχωρήσουmicroε σε απλές έστω εννοιολογικές κατακτήσεις απαραίτη-

τες όmicroως για την αναπνοή microας ως φυσικών ή ως ενδιαφεροmicroένων για τη φυσική

laquohellipΗ αξία των ορισmicroών εντοπίζεται στη σωστή θέση που πρέπει να κατέχουν κατά τη συνεννόηση microε-

ταξύ των φυσικών και στον κορυφαίο και αναντικατάστατο ρόλο που πρέπει microε κάθε σεβασmicroό να απο-

δεχτούmicroε ότι διαδραmicroατίζουν στη διαmicroόρφωση της δοmicroής της γλώσσας που χρησιmicroοποιεί η Φυσική

∆εν γίνεται να κάνεις Φυσική αν δεν έχεις τα σωστά κατάλληλα λόγια για να περιγράψεις στους άλ-

λους το όmicroορφο

Η Φυσική έχει ορισmicroούς που δεν είναι διαπραγmicroατεύσιmicroοι και microαθηmicroατικές microεθοδολογίες που δεν

πρέπει να αγνοούνται αν θέλουmicroε να έχουmicroε συνέπεια και να εξασφαλίζουmicroε απόλυτη διαφάνεια στους

συλλογισmicroούς microας

∆εν πρέπει να χαλάmicroε τη γλώσσα γιατί αλλιώς χαλάει η σκέψη και η επικοινωνία microεταξύ microας Πρέπει να δεχτούmicroε στην ψυχή microας (όχι στα λόγια) ότι οι ορισmicroοί έχουν αξία και να συνειδητοποιή-

σουmicroε την microοναδική τους ιδιότητα Αυτή που είναι και η αιτία της ύπαρξής τους Να είναι χρήσιmicroοι

Οι ορισmicroοί ή είναι χρήσιmicroοι ή δεν υπάρχουν Τα λόγια της Φυσικής δε φτιάχτηκαν για να περιγράφουν αλλά για να έχουν συγχρόνως τη δυνατότητα και να

προφητεύουνraquo

4) Στο παράδειγmicroα του Νίκου για τις φάσεις και τις αντιφάσεις χρησιmicroοποιήθηκαν σηmicroεία

όπου είχαmicroε ενισχύσεις

Θα παρακαλούσα το Νίκο αλλά και όποιον άλλο συνάδελφο θέλει να κάνει microια άσκηση

ή microια προσοmicroοίωση microε πιο γενικά σηmicroεία στη συmicroβολή κυmicroάτων και να υπολογίσει τις

φάσεις και τις αρχικές φάσεις στην εξίσωση ταλάντωσης των σηmicroείων αυτών δίνοντας έmicro-

φαση πάντα το πεδίο ορισmicroού και στον περιορισmicroό της αρχικής φάσης σε έναν τριγωνοmicroε-

τρικό κύκλο πχ της microορφής [02π)

Πιστεύω ότι έτσι κάποια πράγmicroατα θα γίνουν πολύ πιο ευδιάκριτα πιο απλά και το κυριό-

τερο θα περάσουν πιο εύκολα στους συναδέλφους

5) Τελειώνοντας οφείλω να πω ότι η σηmicroερινή microου ανάρτηση ουσιαστικά οφείλεται

στους προβληmicroατισmicroούς που microας έθεσε ο Νίκος (Ανδρεάδης) πάνω στη συmicroβολή των κυmicroά-

των microε το laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολήraquo

Έχοντας ξεκινήσει να γράφω microια σειρά αναρτήσεων σχετικών microε τις έννοιες φάση και αρ-

χική φάση microου ήρθε ανέλπιστα η δουλειά του Νίκου η οποία microε τα ερωτήmicroατα που έθεσε

τη συζήτηση που ακολούθησε και τις γνώmicroες που διατυπώθηκαν microου έδωσε ισχυρά επιχει-

ρήmicroατα να υποστηρίξω την απόλυτη πίστη microου στην αξία των ορισmicroών όχι ως απλή λεκτική

επανάληψη microιας υποχρεωτικής αποστήθισης αλλά ως συνειδητοποίηση όλης εκείνης της

26

εσωτερικής λειτουργίας απόλυτα συγκεκριmicroένων πραγmicroάτων που κρίνουν τους ορισmicroούς

ως χρήσιmicroους και απαραίτητους και τους γεννούν για να υπάρχουν και να πλουτίζουν τη

γλώσσα microας

Τους βάζουν δίπλα microας και microας καλούν να πιστέψουmicroε στην αξία τους και ποτέ να microην

τους υποτιmicroήσουmicroε όσο απλοί και να είναι

(συνεχίζεται)

Σάββατο 29 Ιανουαρίου 2011

Θρασύβουλος Κων Μαχαίρας

Γενικό Λύκειο Αγριάς Πηλίου

s7-kmghotenetgr

3

γ) Επίσης αποδεικνύονται τα παρακάτω πολύ σηmicroαντικά

Τα C1 και C2 θεωρητικά τουλάχιστον δε χρειάζεται να πληρούν κανένα περιο-

ρισmicroό και συνεπώς microπορεί να είναι οποιοιδήποτε πραγmicroατικοί αριθmicroοί

Για τα C3 C5 είχαmicroε microαθηmicroατικά το δικαίωmicroα και τα επιλέξαmicroε θετικά

Οι λόγοι που microας ώθησαν σε αυτή την επιλογή είναι παρόmicroοιοι microε αυτούς που microας

ώθησαν να επιλέξουmicroε θετική και την κυκλική συχνότητα ω microιας και θα microπορού-

σαmicroε το ίδιο καλά να είχαmicroε καλέσει m

Dminus=ω

(Οι λόγοι αυτοί έχουν ήδη αναφερθεί)

Εδώ υπάρχει και ένας ακόmicroη σηmicroαντικός λόγος για την επιλογή των C3 και C5 ως

θετικών ποσοτήτων να κάνουmicroε τα C3 και C5 πλάτος ταλάντωσης microέγιστη δηλα-

δή απόσταση από το ελκτικό κέντρο

Αποδεικνύεται δηλαδή ότι αν επιλέξουmicroε τα C3 και C5 θετικά τότε το πλάτος της

ταλάντωσης είναι

2

2

2

153 CCCCA +===

Με άλλα λόγια θα microπορούσαmicroε τα C3 C5 αλλά και το ω να τα είχαmicroε επιλέξει

αρνητικά Θα λειτουργούσαν όλα το ίδιο καλά απλά θα έπρεπε να προσαρmicroόσου-

microε λίγο τους ορισmicroούς microας

Τα C4 C6 microπορούν να είναι οποιοιδήποτε πραγmicroατικοί αριθmicroοί Όmicroως η περιο-

δικότητα των συναρτήσεων ηmicroίτονο και συνηmicroίτονο microας επιτρέπει να ακολουθή-

σουmicroε τη βασική φιλοσοφία που διέπει όλη τη Φυσική και που απαιτεί να την πα-

ρουσιάζουmicroε microε τον πιο οικονοmicroικό τρόπο

Έτσι microπορούmicroε επιτρέπεται και το κάνουmicroε να περιορίσουmicroε τις τιmicroές των C4 και

C6 microέσα σε έναν τριγωνοmicroετρικό κύκλο και όχι σε περισσότερους microιας και η επέ-

κταση σε περισσότερους κύκλους δεν προσφέρει τίποτε επί πλέον στη φυσική των

φαινοmicroένων που εξετάζουmicroε

Για τα C4 και C6 επιλέγουmicroε να πάρουmicroε για την κάλυψη του ενός τριγωνοmicroετρι-

κού κύκλου που χρειαζόmicroαστε και άρα ως πεδίο ορισmicroού τους το διάστηmicroα

[02π)

∆ηλαδή επιλέξαmicroε 0le C4 lt2π και 0le C6 lt2π

Θα microπορούσαmicroε για παράδειγmicroα να δεχτούmicroε ως διάστηmicroα και το [-ππ) ή ο-

ποιοδήποτε άλλο διάστηmicroα αρκεί να καλύψουmicroε έναν τριγωνοmicroετρικό κύκλο

Εποmicroένως

Η γενική microορφή της εξίσωσης κίνησης ενός υλικού σηmicroείου που εκτελεί (απλή) αρmicroονική

ταλάντωση για χρονικές στιγmicroές t ge Rt0isinisinisinisin microπορεί να δοθεί microε τρεις ισοδύναmicroες microορφές

1η microορφή

x=C1middotηmicroωt + C2middotσυνωt t ge Rt0 isin (16)

C1 και C2 πραγmicroατικοί αριθmicroοί

2η microορφή

x=Αmiddotηmicro(ωt + C4) t ge Rt0 isin (17)

Αgt0 και 0le C4 lt2π

4

3η microορφή

x=Αmiddotσυν(ωt + C6) t ge Rt0 isin (18)

Αgt0 και 0le C6 lt2π

(Όπως ήδη έχουmicroε πει σχεδόν όσα προηγήθηκαν και όσα θα ακολουθήσουν αφορούν τις συναρτήσεις και όχι το φαινόmicroενο Αποτέλεσmicroα αυτού είναι να εφαρmicroόζονται όχι microόνο στην απλή αρmicroονική ταλάντωση αλλά σε όλα σχεδόν τα microεγέθη που microεταβάλλονται αρmicroονικά microε το χρόνο που έχουν δηλαδή ίδιες εξισώσεις)

Οι έννοιες της φάσης και της αρχικής φάσης δε microπορούν να εντοπιστούν στη microορφή (16)

παρά microόνο στις εξισώσεις (17) και (18)

Είναι δηλαδή έννοιες που συνδέονται άmicroεσα microε τη microορφή της εξίσωσης κίνησης που θα

επιλέξουmicroε και όχι microε τη ταλάντωση ή γενικά microε το φαινόmicroενο

Αφήνοντας λοιπόν κατά microέρος την (16) ας δούmicroε τα πράmicroατα πιο αναλυτικά εξετάζοντας

για παράδειγmicroα τη microορφή (17) της εξίσωσης κίνησης της αρmicroονικής ταλάντωσης

Στην εξίσωση κίνησης

x=Αmiddotηmicro(ωt + C4) microε t ge Rt0 isin Αgt0 και 0le C4 lt2π (19)

microπορούmicroε να ονοmicroάσουmicroε φάση της αποmicroάκρυνσης την ποσότητα

φ=ωt+C4 microε t ge Rt0 isin

Αυτόmicroατα η ποσότητα φ0=ωt0+C4 θα πρέπει να ονοmicroαστεί αρχική φάση της αποmicroάκρυν-

σης στην παραπάνω εξίσωση κίνησης

Από τα παραπάνω βλέπουmicroε ότι ο περιορισmicroός 0le C4 lt2π είναι αδύναmicroος microιας και το γε-

γονός ότι η χρονική στιγmicroή t0 που αρχίσαmicroε να microελετάmicroε το φαινόmicroενο microπορεί θεωρητικά να

πάρει οποιαδήποτε τιmicroή επιτρέπουν στην αρχική φάση φ0=ωt0+C4 να πάρει οποιαδήποτε

τιmicroή

Επειδή όmicroως έχουmicroε συνηθίσει να συνδέουmicroε την αρχική φάση microε το laquoξεκίνηmicroαraquo της

microελέτης του φαινοmicroένου (της ταλάντωσης επί του προκειmicroένου) και συνεπώς microε το

γεγονός ότι ακόmicroη δεν έχει ολοκληρωθεί καmicroιά ταλάντωση δε θα θέλαmicroε να βλέπαmicroε

microέσα σε microια αρχική φάση αποmicroάκρυνσης τιmicroές που να περιέχουν ακόmicroη και τεράστια

πολλαπλάσια του 2π microιας και υπήρχε κίνδυνος αυτό να εκληφθεί ως πληροφορία

(λανθασmicroένη σε αυτό το καθεστώς που περιγράφουmicroε) ότι έχουν εκτελεστεί ήδη πά-

microπολλες ταλαντώσεις

Για να γλιτώσουmicroε λοιπόν τις συνήθειές microας και γιατί όχι και τη λογική microας

microπορούmicroε microαθηmicroατικά να τροποποιήσουmicroε την εξίσωση κίνησης (19)

Από τη σχέση φ0=ωt0+C4 της αρχικής φάσης προκύπτει

C4= φ0‒ωt0

και συνεπώς η εξίσωση κίνησης γίνεται

x=Αmiddotηmicro[ω(t‒t0)+ φ0 ] t ge Rt0 isin (20)

5

Συγκρίνοντας τις εξισώσεις (19 ) και (20) και βλέποντας ότι τα C4 και φ0 microπαίνουν σε laquoι-

σάξιες θέσειςraquo αντί να απαιτήσουmicroε από το C4 να παίρνει τις περιορισmicroένες τιmicroές 0le C4

lt2π οπότε το φ0 θα παίρνει αναγκαστικά οποιαδήποτε πραγmicroατική τιmicroή απαιτούmicroε από

την αρχική φάση φ0 να παίρνει τιmicroές σε ένα τριγωνοmicroετρικό κύκλο 0le φ0 lt2π οπότε το

C4 microπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιmicroή ανάλογα microε την επιλογή της αρχής των χρόνων που

κάνουmicroε (Όπως έχουmicroε ξαναπεί ένας τριγωνοmicroετρικός κύκλος καλύπτεται και microε άλλες επιλογές διαστηmicroά-

των όπως πχ -πle φ0 ltπ κλπ)

Υιοθετώντας αυτή την επιλογή για την αρχική φάση αυτόmicroατα και η συνάρτηση που δίνει

τις τιmicroές της φάσης αλλάζει από

φ= ωt+C4 microε t ge Rt0 isin και 0le C4 lt2π

σε φ=ω(t‒t0)+ φ0 microε t ge Rt0 isin και 0le φ0 lt2π

Βασικά συmicroπεράσmicroατα για τους ορισmicroούς των εννοιών laquoφάσηraquo και

laquoαρχική φάσηraquo

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι έχουmicroε δύο δυνατότητες γραφής και άρα επιλογής των

ορισmicroών laquoφάσηraquo και laquoαρχική φάσηraquo

1η δυνατότητα

Στην εξίσωση κίνησης

x=Αmiddotηmicro(ωt + C4) microε t ge Rt0 isin Αgt0 και 0le C4 lt2π (21)

ονοmicroάζουmicroε φάση της αποmicroάκρυνσης την ποσότητα

φ=ωt+C4 microε t ge Rt0 isin και 0le C4 lt2π (22)

Κατά συνέπεια ονοmicroάζουmicroε αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης την ποσότητα

φ0=ωt0+C4 Rt0 isin και 0le C4 lt2π (προφανώς R0 isinϕ ) (23)

Οι σταθερές A και C4 θα προσδιοριστούν από τις συνθήκες που microας δίνουν και οι οποίες

δεν είναι απαραίτητο να είναι οι αρχικές

2η δυνατότητα

Στην εξίσωση κίνησης

x=Amiddotηmicro(ωt + C4) microε t ge Rt0 isin Αgt0 και C4 πραγmicroατικός (24)

ονοmicroάζουmicroε φάση της αποmicroάκρυνσης την ποσότητα

φ=ωt+C4 t ge Rt0 isin (25)

Κατά συνέπεια ονοmicroάζουmicroε αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης την ποσότητα

φ0=ωt0+C4 microε τον ισχυρό περιορισmicroό 0le φ0 lt2π (26)

6

Οι σταθερές Αgt0 και C4 θα προσδιοριστούν από τις συνθήκες που microας δίνουν και οι ο-

ποίες δεν είναι απαραίτητο να είναι οι αρχικές

Ο προσδιορισmicroός όmicroως του C4 επειδή αυτή η σταθερά τώρα θεωρείται πραγmicroατικός αριθmicroός θα γίνει microε την αοριστία ακέραιων πολλαπλασίων του π Θα περιέχει δηλαδή

το 2kπ (βλέπε παραδείγmicroατα παρακάτω)

Έτσι η ακριβής τιmicroή του θα απαιτήσει οπωσδήποτε και τον ισχυρό περιορισmicroό που microετα-

τοπίσαmicroε στην αρχική φάση

0le φ0 lt2π δηλαδή τον 0le ωt0+C4 lt2π (27)

2η δυνατότητα (εναλλακτικός τρόπος προτιmicroητέος)

(Η ιδέα γι αυτή τη δυνατότητα είναι του Διονύση)

Εκmicroεταλλευόmicroενοι τη σχέση (20) την οποία χρησιmicroοποιήσαmicroε προκειmicroένου να καταλή-

ξουmicroε στη δεύτερη δυνατότητα microπορούmicroε να δούmicroε τα πράγmicroατα και microε έναν άλλο τρόπο

Στην εξίσωση κίνησης

x=Amiddotηmicro[ω(t‒t0)+φ0 ] t ge Rt0 isin Agt0 0le φ0 lt2π (28)

ονοmicroάζουmicroε φάση της αποmicroάκρυνσης την ποσότητα

φ=ω(t ‒ t0 )+φ0 t ge Rt0 isin (29)

Όmicroοια ονοmicroάζουmicroε αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης την ποσότητα

φ0 (29α)

Οι σταθερές Agt0 και φ0 θα προσδιοριστούν από τις συνθήκες που microας δίνουν και οι ο-

ποίες δεν είναι απαραίτητο να είναι οι αρχικές

Όπως εξηγήσαmicroε η πρώτη δυνατότητα δεν περιορίζει την αρχική φάση σε ένα τριγωνο-

microετρικό κύκλο δε βάζει κανένα περιορισmicroό στη φάση και στην αρχική φάση παρά microόνο σε

microια σταθερά της εξίσωσης κίνησης τη 0le C4 lt2π (βλέπε σχέση 21)

Συνεπώς είναι πολύ πιο ισχυρή από τη δεύτερη δυνατότητα Όmicroως χαλά όλες τις συνή-

θειές microας και το laquoτραγικότεροraquo είναι ότι εύκολα microπορεί να καταργήσει και τις δύο έννοιες

(φάση και αρχική φάση) αν κάποιος άρει (και έχει microαθηmicroατικά το δικαίωmicroα) το microοναδικό

περιορισmicroό 0le C4 lt2π που θέτει η οικονοmicroία της περιγραφής των φαινοmicroένων

Γι΄ αυτή και microόνο την αναστάτωση που πιθανώς να επιφέρει στις συνήθειές microας

στις εκφράσεις microας και στον τρόπο σκέψης microας πιστεύω χωρίς αυτό να είναι ούτε

απαραίτητο ούτε αναγκαίο ότι πρέπει να υιοθετήσουmicroε τη δεύτερη δυνατότητα ορι-

σmicroών laquoφάσηςraquo και laquoαρχικής φάσηςraquo και microάλιστα τον εναλλακτικό τρόπο ο οποίος θα

αποδειχτεί παρακάτω πιο laquoφιλικόςraquo

7

Β Παραδείγmicroατα εύρεσης φάσης και αρχικής φάσης στις τα-

λαντώσεις και στη συmicroβολή των κυmicroάτων

Ας ξεκινήσουmicroε ξαναθυmicroίζοντας τρία παραδείγmicroατα από την ανάρτηση laquoΟρισmicroοί και

εξισώσεις κίνησης (β΄ microέρος)raquo

1ο παράδειγmicroα

Υλικό σηmicroείο εκτελεί (απλή) αρmicroονική ταλάντωση που περιγράφεται από εξίσωση κίνησης

της microορφής x=Amiddotηmicro(ωt+C4)

Τη χρονική στιγmicroή t0=2 sec που αρχίζουmicroε να microελετάmicroε την κίνηση το υλικό σηmicroείο βρίσκε-

ται στη θέση m102

2x

10

minussdotminus= (αρχική θέση) και έχει ταχύτητα sec

m 10 2

10 πυ minus= (αρχική τα-

χύτητα) Αν η περίοδος της ταλάντωσης είναι Τ=1 sec να βρεθεί η φάση και η αρχική φά-

ση της αποmicroάκρυνσης στη δεδοmicroένη microορφή εξίσωσης κίνησης

(Στην άσκηση δίνονται δύο συγκεκριmicroένες συνθήκες οι αρχικές Θα microπορούσαν όmicroως να

είναι οποιεσδήποτε άλλες αλλά πάντα δύο)

Λύση

α΄ τρόπος Με τη χρήση των σχέσεων (24) έως (27)

Την εξίσωση κίνησης που microας δίνουν φέρνουmicroε στη microορφή και τους περιορισmicroούς

της συνάρτησης (24)

x=Amiddotηmicro(2πt + C4) microε t ge2 sec Αgt0 και C4 πραγmicroατικός αριθmicroός (30)

Τότε η φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ=2πt + C4 microε t ge2 sec και RC4 isin (30α)

και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ0=2π2+C4 microε τον ισχυρό περιορισmicroό 0le φ0 lt2π (30β)

Εποmicroένως όλο το πρόβληmicroα εντοπίζεται στον υπολογισmicroό της σταθεράς C4

Ας τον κάνουmicroε

Η ταχύτητα του υλικού σηmicroείου είναι

υ=A2πmiddotσυν(2πt + C4) microε t ge2 sec Αgt0 και C4 πραγmicroατικός (31)

Για t=t0=2 sec οι σχέσεις (30) και (31) δίνουν

110

2

2 minussdotminus =Amiddotηmicro(4π+C4) microε Αgt0 και C4 πραγmicroατικός

π110 2 minus =A2πmiddotσυν(4π+C4) microε Αgt0 και C4 πραγmicroατικός

8

Από όπου προκύπτει

Α=10-1

m 2

2C4 minus=ηmicro και

2

2C4 =συν

και τελικά

Α=10-1

m και Zk rad 4

7k2C4 isin+= microε

ππ (32)

Βλέπουmicroε καθαρά πια ότι ενώ η τιmicroή του Α της microιας δηλαδή από τις δύο σταθερές Α και

C4 που επιβάλλει η διαφορική εξίσωση έχει ήδη προσδιοριστεί από τις αρχικές συνθήκες ο

προσδιορισmicroός της ακριβούς τιmicroής του C4 απαιτεί τον ορισmicroό και τον περιορισmicroό που υιο-

θετήσαmicroε για την αρχική φάση

Αυτός είναι και ο βαθύτερος κεφαλαιώδης ποιοτικός διαχωρισmicroός των εννοιών laquoπλάτοςraquo

και laquoαρχική φάσηraquo που κάνει το πλάτος γρήγορα να ανεξαρτητοποιηθεί από τη microορφή της

εξίσωσης κίνησης που θα χρησιmicroοποιήσουmicroε για τη ταλάντωση και έτσι να γίνει έννοια που

αφορά το φαινόmicroενο και όχι τη συνάρτηση την εξίσωση κίνησης δηλαδή

Λέmicroε πλάτος ταλάντωσης αλλά ποτέ αρχική φάση ταλάντωσης

Από τη σχέση (30α) προκύπτει ότι η φάση της αποmicroάκρυνσης στη δεδοmicroένη microορφή της ε-

ξίσωσης κίνησης είναι

φ=2πt+C4=2πt+ Zk 4

7k2 isin+ microε

ππ και t ge2 sec (33)

και εποmicroένως η αρχική φάση είναι

φ0 = 4π+ Zk 4

7k2 isin+ microε

ππ (34)

Πρέπει όmicroως

0le φ0 lt2π

Αντικαθιστώντας στην παραπάνω διπλή ανίσωση την φ0 από την σχέση (34) προκύπτει

k=minus2

Τότε από σχέση (32) προκύπτει

rad 4

9π

4

74C4 minus=+minus=

ππ

και συνεπώς η εξίσωση κίνησης του υλικού σηmicroείου (30) γίνεται

x=10-1

middotηmicro(2πt 4

9πminus ) (SI) microε t ge2 sec (35)

Η φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση κίνησης (35) είναι

φ= 4

9t2

ππ minus και t ge2 sec

και η αρχική φάση

rad 4

7

4

9220

πππϕ =minus=

9

β΄ τρόπος Με τη χρήση των σχέσεων (28) έως (29α)

Την εξίσωση κίνησης που microας δίνουν φέρουmicroε στη microορφή και τους περιορισmicroούς της

συνάρτησης (28)

x=Amiddotηmicro[2π(t‒2)+ φ0 ] t ge 2 sec Agt0 0le φ0lt2π (36)

τότε η φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ=2π(t‒2)+ φ0 t ge 2 sec 0le φ0lt2π (36α)

και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ0

Εποmicroένως όλο το πρόβληmicroα εντοπίζεται στον υπολογισmicroό της φ0

Ας τον κάνουmicroε

Η ταχύτητα του υλικού σηmicroείου είναι υ=2πΑmiddotσυν[2π(t‒2)+ φ0 ] t ge 2 sec Αgt0 0le φ0 lt2π (36β)

Για t=t0=2 sec οι παραπάνω σχέσεις (36) και (36β) αποmicroάκρυνσης και ταχύτητας αντί-

στοιχα δίνουν

110

2

2 minussdotminus =Αηmicroφ0 και π110 2 minus =2πΑσυνφ0

Από όπου

Α=10-1

m 2

20 minus=ηmicroϕ και

2

2 0=συνϕ

Τελικά και microε δεδοmicroένο ότι 0le φ0 lt2π προκύπτει

Α=10-1

m και rad 4

70

πϕ =

Από τη σχέση (36) προκύπτει η εξίσωση κίνησης

x=10-1

middotηmicro[2π(t-2)4

7π+ ) microε t ge2 sec (37)

δηλαδή η

x=10-1

middotηmicro(2πt 4

9πminus ) (SI) microε t ge2 sec (38)

Κατά συνέπεια η φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση κίνησης (38) είναι

φ= 4

9t2

ππ minus microε t ge2 sec

και η αρχική φάση

rad 4

7

4

9220

πππϕ =minus=

τιmicroή την οποία εξάλλου έχουmicroε ήδη βρει

10

2ο παράδειγmicroα

Υλικό σηmicroείο εκτελεί (απλή) αρmicroονική ταλάντωση που περιγράφεται από την εξίσωση

x=10-1

middotηmicro(2πt 4

9πminus ) (SI) microε t ge2 sec (39)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης x στη δεδοmicroένη microορφή της εξίσω-

σης κίνησης στη δεδοmicroένη δηλαδή microορφή της εξίσωσης αρmicroονικής ταλάντωσης

Λύση

α΄ τρόπος Με τη χρήση των σχέσεων (24) έως (27)

Την εξίσωση κίνησης που microας δίνουν φέρνουmicroε στη microορφή και τους περιορισmicroούς

της συνάρτησης (24)

x=Amiddotηmicro(2πt + C4) microε t ge2 sec Αgt0 και C4 πραγmicroατικός (40)

Τότε η φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ=2πt+C4 t ge2 sec RC4 isin (40α)

και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ0=2π2+C4 microε τον ισχυρό περιορισmicroό 0le φ0 lt2π (40β)

Εποmicroένως όλο το πρόβληmicroα εντοπίζεται στον υπολογισmicroό της σταθεράς C4

Ας τον κάνουmicroε

Για να έχει η εξίσωση κίνησης (39) που microας δίνουν τη microορφή της σχέσης (40) για όλες

τις χρονικές στιγmicroές tge2 sec πρέπει να ισχύει

Α=10-1

m και ηmicro(2πt + C4)= ηmicro(2πt 4

9πminus )

και συνεπώς πρέπει

C4=2kπ4

9πminus (40γ)

Τότε η φάση και η αρχική φάση λόγω των σχέσεων (40α) (40β) και (40γ) θα είναι

φ=2πt+2kπ4

9πminus t ge2 sec

φ0=4π+2kπ4

9πminus

Απαιτώντας 0le φ0 lt2π προκύπτει k=0

Άρα η φάση της αποmicroάκρυνσης στην (40) και κατά συνέπεια στην εξίσωση κίνησης

(39) που microας δίνουν είναι

φ=4

π9πt2 minus microε t ge2 sec

και η αρχική φάση είναι

φ0=4

7π

11

β΄ τρόπος Με τη χρήση των σχέσεων (28) και (29)

Την εξίσωση κίνησης που microας δίνουν φέρνουmicroε στη microορφή και τους περιορισmicroούς

της συνάρτησης (28)

x=Amiddotηmicro[2π(t‒2)+ φ0 ] t ge 2 sec Agt0 0le φ0lt2π (41)

Τότε η φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ=2π(t‒2)+ φ0 (41α)

και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ0

Εποmicroένως όλο το πρόβληmicroα εντοπίζεται στον υπολογισmicroό της φ0

Ας τον κάνουmicroε

Μετασχηmicroατίζουmicroε την εξίσωση κίνησης (39) που microας δίνουν ώστε να αποκτήσει τη microορ-

φή της σχέσης (41)

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒2)+4πminus4

9π] t ge 2 sec

και τελικά

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒2)+4

7π] (SI) t ge 2 sec (42)

Άρα η φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση κίνησης (42) και κατά συνέπεια στην εξί-

σωση κίνησης (39) που microας έδωσαν είναι

φ=2π(t‒2)+4

7π=

4

π9πt2 minus microε t ge2 sec

και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ0=4

7π

Σηmicroειώσεις

α) Από το παραπάνω παράδειγmicroα φαίνεται η ευκολία microε την οποία λύνεται το πρόβληmicroα

της φάσης και της αρχικής φάσης microε τον β΄ τρόπο αν φέρουmicroε δηλαδή την εξίσωση κίνη-

σης που microας δίνουν στη microορφή της συνάρτησης (28) microε τους περιορισmicroούς όmicroως που ακο-

λουθούν αυτή τη microορφή Τον τρόπο αυτόν θα ακολουθήσουmicroε και στο επόmicroενο παράδειγmicroα Ίσως κάποιος πει γιατί να τα κάνουmicroε όλα αυτά αφού θα microπορούσαmicroε και microόνο microε παρα-

τήρηση σύγκριση και microε microια αντικατάσταση στην εξίσωση κίνησης (39) που microας δίνουν να

βρούmicroε αυτά που ζητάmicroε πολύ πιο εύκολα

Ο λόγος της ευκολίας που πιθανώς να διακρίνει κάποιος οφείλεται στο γεγονός ότι η (39)

ήταν σχέση laquomicroαγειρεmicroένηraquo Είχε ετοιmicroαστεί από το πρώτο παράδειγmicroα Τα πράmicroατα όmicroως

δε θα είναι πάντα τόσο ευδιάκριτα Θα το διαπιστώσουmicroε στο επόmicroενο παράδειγmicroα

12

β) Η εξίσωση κίνησης (39) που microας δώσανε

x=10-1

middotηmicro(2πt 4

9πminus ) (SI) microε t ge2 sec

είναι microαθηmicroατικά ισοδύναmicroη microε την

x=10-1

middotηmicro(2πt 4

πminus ) (SI) microε t ge2 sec

Κατά συνέπεια αυτή η τελευταία θα microπορούσε κάλλιστα να δοθεί στη θέση της πρώτης

Μήπως αυτό θα επηρέαζε τη φάση και την αρχική φάση που θα βρίσκαmicroε γεγονός που

θα καθιστούσε και τους ορισmicroούς και τις έννοιες άχρηστες

Η απάντηση είναι όχι Οποιαδήποτε microαθηmicroατικά ισοδύναmicroη σχέση και να χρησιmicroοποιήσουmicroε ως εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης εφό-σον ακολουθήσουmicroε microε συνέπεια όσα αναφέραmicroε θα καταλήξουmicroε στην ίδια σχέση για τη φάση και στην ίδια τιmicroή για την αρχική φά-ση

Το γεγονός αυτό δείχνει τη συνέπεια των ορισmicroών που δώσαmicroε για φάση και αρχική φάση

Συνεπώς αν τους υιοθετήσουmicroε που τουλάχιστον βουβά microέχρι τώρα το έχουmicroε ήδη κάνει

στη φυσική δεν θα έχουmicroε αντιφάσεις

γ) Ο λόγος που στην εξίσωση (39) χρησιmicroοποιήσαmicroε το 4

9πminus και όχι το ισοδύναmicroο

4

πminus

ήταν για να δείξουmicroε ότι αυτός που θα microας δώσει microια εξίσωση κίνησης δεν είναι υποχρεω-

microένος να την έχει επεξεργαστεί και να έχει υιοθετήσει κάποιες φόρmicroες ή να έχει προσέξει τις

microαθηmicroατικές ισοδυναmicroίες

Αυτός που θα microας δώσει την εξίσωση κίνησης είναι ελεύθερος να microας δώσει ότι θέλει (microαθηmicroατικά ισοδύναmicroο) αρκεί να δώσει όπως οφείλει να δώσει σε κάθε συνάρτηση το πεδίο ορισmicroού της

3ο παράδειγmicroα

Υλικό σηmicroείο εκτελεί (απλή) αρmicroονική ταλάντωση που περιγράφεται από την εξίσωση κίνη-

σης

x=10-1

middotηmicro(4

πt

3

10π+ ) (SI) microε t ge minus3 sec (41)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης στη δεδοmicroένη microορφή εξίσωσης κί-

νησης

Λύση

Μετασχηmicroατίζουmicroε τη σχέση (41) ώστε να αποκτήσει τη microορφή της σχέσης (28) δηλαδή

να αποκτήσει τη microορφή

x=Amiddotηmicro[ω(t‒t0)+φ0 ] t ge Rt0 isin Agt0 0le φ0 lt2π

13

Πράγmicroατι η (41) γίνεται

x=10-1

middotηmicro[4

π(t+3)minus

4

3π +

3

10π ] t ge -3 sec

ή x=10-1

middotηmicro[4

π(t+3)+

12

31π ] t ge -3 sec

Αφαιρώ (ή προσθέτω αν microε βολεύει) ακέραιο πολλαπλάσιο του 2π προκειmicroένου να δη-

microιουργήσω θετική αρχική φάση περιορισmicroένη σε έναν τριγωνοmicroετρικό κύκλο

x=10-1

middotηmicro[4

π(t+3)minus2π+

12

31π ] t ge -3 sec

και τελικά

x=10-1

middotηmicro[4

π(t+3)+

12

7π ] (SI) microε t ge -3 sec (42)

Άρα η φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση κίνησης (42) και κατά συνέπεια στην εξί-

σωση κίνησης (41) που microας έδωσαν είναι

φ=4

π(t+3)+

12

7π=

4

πt+

3

4π microε t ge-3 sec

και άρα η αρχική φάση θα είναι

φ0=12

7π rad

Σηmicroείωση

Θα είχαmicroε καταλήξει στην ίδια ακριβώς σχέση για τη φάση και στην ίδια τιmicroή

για την αρχική φάση ακόmicroη και αν αρχίζαmicroε από οποιαδήποτε εξίσωση microαθη-

microατικά ισοδύναmicroη microε τη δεδοmicroένη εξίσωση κίνησης όπως πχ από την

x=10-1

middotηmicro(4

πt

3

4π+ ) (SI) microε t ge minus3 sec

Αρκεί η σχέση που θα microας έδιναν να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση να

ήταν ισοδύναmicroη microαθηmicroατικά microε την (41) και κατά συνέπεια να είχε το ίδιο πε-

δίο ορισmicroού microε αυτή

raquo

14

Γ Συmicroπέρασmicroα

(ένας απλός τρόπος υπολογισmicroού φάσης και αρχικής φάσης) Με τα παραπάνω θεmicroελιώνεται microαθηmicroατικά ένας πολύ απλός τρόπος εύρεσης της φάσης

και της αρχικής φάσης σε microια τυχαία εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία microας δίνουν

ή στην οποία καταλήγουmicroε microετά από διάφορους microαθηmicroατικούς microετασχηmicroατισmicroούς

Απαίτηση όmicroως για την εφαρmicroογή αυτού του τρόπου είναι η παρουσία του πεδίου ορισmicroού

της συνάρτησης κάτι που στο κάτω-κάτω είναι και απαίτηση κάθε σοβαρής microαθηmicroατικής

αντιmicroετώπισης

Ας τον δούmicroε

Έστω για παράδειγmicroα ότι microε οποιονδήποτε microαθηmicroατικά σωστό τρόπο καταλήγουmicroε

στην εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης

χ=Αηmicro(ωt+θ) microε t ge t0 (60)

Επειδή οι microαθηmicroατικές microεθοδολογίες δεν ενδιαφέρονται για τις αγωνίες ενός φυσικού δεν είναι καθόλου υπο-χρεωmicroένες να εξασφαλίσουν ότι η ποσότητα θ θα είναι αρχική φάση ούτε ότι η ποσότητα ωt+θ θα είναι φά-ση

Αυτές οι έννοιες αφορούν τον φυσικό ο οποίος θα πρέπει πρώτα να τις ορίσει microε αυστηρότητα (και αυτό microπο-ρεί να γίνει microόνο microέσα από την ξεχωριστή εσωτερική λειτουργία των διαφορικών εξισώσεων όπως έχουmicroε ήδη επισηmicroάνει) και κατόπιν να χρησιmicroοποιήσει την εγγύηση των microαθηmicroατικών για να εξασφαλίσει ότι η αυστηρότητα των ορισmicroών του θα είναι όχι απλά συνεπέστατη λογικά αλλά κυρίως ότι θα δώσει την εγγύηση πως δεν θα προκύψουν παρανοήσεις

Έτσι λοιπόν το θ που θα προκύψει από τους microαθηmicroατικούς microετασχηmicroατισmicroούς

microπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγmicroατικός αριθmicroός

Τότε

1ο βήmicroα Στην (60) εmicroφανίζουmicroε την αρχική τιmicroή του χρόνου t0 γράφοντάς

την microε τη microορφή

x=Aηmicro[ω(t-t0)plusmnθ΄] microε t ge t0

2ο βήmicroα Αν η θ΄ στο όρισmicroα του ηmicroίτονου είναι microέσα σε ένα τριγωνοmicroε-

τρικό κύκλο αυτή είναι η αρχική φάση Αλλιώς προσθέτουmicroε ή

αφαιρούmicroε ακέραια πολλαπλάσια του 2π ώστε microετά την παρά-

σταση ω(t-t0) να εξασφαλίσουmicroε laquoγωνίαraquo φ0 η οποία να είναι

microέσα στον τριγωνοmicroετρικό κύκλο που έχουmicroε επιλέξει

Να είναι δηλαδή στο διάστηmicroα [0 2π) ή στο [-π π) κλπ

x=Aηmicro[ω(t-t0)+φ0] microε t ge t0 (60α)

3ο βήmicroα Η ποσότητα φ=ω(t-t0)+φ0 είναι η φάση και φ0 είναι η αρχική

φάση στη σχέση (60α) Άρα και στην (60) που microας έδωσαν

Τον παραπάνω τρόπο εφαρmicroόσαmicroε ήδη στο 3ο παράδειγmicroα

15

Δ Κύmicroατα

Το έχω ξαναπεί αλλά θα το ξαναπώ γιατί νοmicroίζω ότι microόνο έτσι microόνο όταν πιστέψουmicroε

στα λάθη που microας βάζουνε και διδάσκουmicroε κάποια στιγmicroή θα βρεθούν κάποιοι ικανοί που

θα βρουν τρόπο να ζητήσουν ευθύνες από όλους εκείνους που χρόνια τώρα microας βουλιάξανε

microας βουλιάζουνε και θα βουλιάξουνε γενιές ανθρώπων στα λάθη γράφοντας πανεπιστηmicroια-

κά βιβλία χωρίς ποτέ να microπουν στον κόπο να ξαναψάξουν αυτά που γράφουν

Το κεφάλαιο laquoΚύmicroαταraquo που διδάσκουmicroε είναι το λιγότερο λανθασmicroένο Λανθασmicroένο

πιο πολύ από τις ταλαντώσεις γιατί τα laquoκύmicroαταraquo κουβαλάνε όλα τα λάθη των ταλα-

ντώσεων και κάτι ακόmicroη που είναι πιο τραγικά λανθασmicroένο Τη διάδοση

Η διδασκαλία microας στο κεφάλαιο laquoΚύmicroαταraquo ΔΥΣΤΥΧΩΣ ΣΤΗΡΙΖΕΤΑΙ ΣΤΗ ΔΙΑ-

ΔΟΣΗ ΤΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ

Μα αυτά που διδάσκουmicroε ούτε laquoκύmicroαταraquo είναι ούτε διαδίδονται

Και έτσι εmicroείς οι απλοί φυσικοί της γειτονιάς γινόmicroαστε τραγικές φιγούρες microιας και microετά

από ένα κεφάλαιο γεmicroάτο λάθη όπως είναι οι laquoταλαντώσειςraquo αναγκαζόmicroαστε να λέmicroε να

βρίσκουmicroε να διδάσκουmicroε να microπαλώνουmicroε και να εmicroπλουτίζουmicroε microε ασκήσεις το δεύτερο

κεφάλαιο laquoΤα κύmicroαταraquo που είναι ακόmicroη πιο λανθασmicroένο

Η εmicroπειρία microου ως αεί υφιστάmicroενος τόσων και τόσων σε ένα Υπουργείο Παιδείας που η-

δονίζεται να αλλάζει ονόmicroατα microόνο και όχι ουσία microου λέει τούτο το απλό

Όταν τόσοι φυσικοί δυσκολευόmicroαστε κάποιες φορές να κατανοήσουmicroε αυτά που διδάσκου-

microε και που γράφει ένα σχολικό βιβλίο προορισmicroένο για microαθητές λυκείου σίγουρα κάποιοι

άλλοι κάνανε χοντρά λάθη ως laquomicroέντορεςraquo (γελοιοποίηση microιας ακόmicroη όmicroορφης αρχαίας λέ-

ξης) και microας βάλανε να διδάξουmicroε τα λάθη τους microε τέτοιο τρόπο που στο τέλος

ξεχάσαmicroε ότι ήταν δικά τους λάθη και νοmicroίσαmicroε ότι όλα ήταν δικά microας σω-

στά

Παρακάmicroπτω λοιπόν την ανύπαρκτη φυσική της συmicroβολής των laquoκυ-

microάτωνraquo που διδάσκουmicroε και χρησιmicroοποιώντας microόνο την ορολογία της θα προσπα-

θήσω microέσα από microια microατιά laquoγυmicroνάraquo microαθηmicroατική να εφαρmicroόσω στο συγκεκριmicroένο laquoφαινόmicroε-

νοraquo όσα προαναφέραmicroε Επικαλούmicroενος και ελπίζοντας microόνο στην αυστηρότητα του ορισmicroού

Αν εφαρmicroόσουmicroε microε συνέπεια τους αυστηρούς ορισmicroούς της φάσης και της αρχικής φάσης

που δώσαmicroε κι αν σε φαινόmicroενα ίδιας ποιότητας δεν αρνηθούmicroε τις microαθηmicroατικές πορείες

που καταγράψαmicroε κι ακολουθήσαmicroε στις τρεις προηγούmicroενες αναρτήσεις laquoΟρισmicroοί και

εξισώσεις κίνησης α΄ β΄ και γ΄ microέροςraquo τότε δε θα υπάρξουν συλλογιστικά αδιέξοδα

Ας το δούmicroε (τα σύmicroβολα που χρησιmicroοποιούνται θεωρούνται αυτονόητα)

Στην εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης

minus=λ

πηmicro 11

r

T

t2Ay microε

υ1rt ge (61)

16

που επιβάλλει στο τυχαίο σηmicroείο Μ το πρώτο laquoκύmicroαraquo όταν έχει διαδοθεί microόνο του οι έν-

νοιες της φάσης και της αρχικής φάσης είναι καθορισmicroένες microε απόλυτη σαφήνεια αρκεί να

microην ξεχάσουmicroε το πεδίο ορισmicroού

φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (61)

λππ

ϕ 1r2

T

t2minus= microε

υ1rt ge

αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (61)

φ0=0 rad

Στην εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης

minus=λ

πηmicro 22

r

T

t2Ay microε

υ2rt ge (62)

που επιβάλλει στο τυχαίο σηmicroείο Μ το δεύτερο laquoκύmicroαraquo όταν έχει διαδοθεί microόνο του οι έν-

νοιες της φάσης και της αρχικής φάσης είναι καθορισmicroένες microε απόλυτη σαφήνεια αρκεί να

microην ξεχάσουmicroε το πεδίο ορισmicroού

φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (62)

λππ

ϕ 2r2

T

t2minus= microε

υ2rt ge

αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (62)

φ0=0 rad

Μετά τη laquoσυmicroβολή των δύο κυmicroάτωνraquo η εξίσωση ταλάντωσης του ση-

microείου Μ είναι

minus+

minus=+=λ

πηmicroλ

πηmicro 2121

r

T

t2A

r

T

t2Ayyy microε

geυυ

21 r

rmax t (63)

Στη σχέση (63) οι έννοιες laquoφάσηraquo και laquoαρχική φάσηraquo δεν ορίζο-

νται Δεν υπάρχουν

Η κίνηση που αποδίδεται microε τη σχέση (63) είναι επαλληλία των εξισώσεων κίνησης δύο

αρmicroονικών ταλαντώσεων (επαλληλία δύο αρmicroονικών συναρτήσεων δηλαδή και όχι πραγmicroα-

τικών κινήσεων) ίδιας διεύθυνσης ίδιας συχνότητας και ίδιας laquoθέσης ισορροπίαςraquo

17

Είναι επαλληλία των συναρτήσεων y1 και y2

Η σύνθεσή τους η y δηλαδή είναι microια (πραγmicroατική) αρmicroονική ταλάντωση ίδιας διεύθυν-

σης ίδιας συχνότητας και ίδιας θέσης ισορροπίας microε τις συνιστώσες εξισώσεις κίνησης ή

καλύτερα microε τους προσθετέους της (63)

Όπως είναι γραmicromicroένη η εξίσωση (63) δεν έχουmicroε κανένα δικαίωmicroα να microιλάmicroε

ούτε για laquoφάσηraquo ούτε για laquoαρχική φάσηraquo

Για να αποκτήσουmicroε αυτό το δικαίωmicroα πρέπει να τη φέρουmicroε σε microορφή που να διαθέτει

ένα microόνο τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό και δη ή microόνο ένα ηmicroίτονο ή microόνο ένα συνηmicroίτονο

Με άλλα λόγια

αν θέλουmicroε να microιλάmicroε για φάση και αρχική φάση στην σχέση (63) εξίσωση συmicroβολής των

κυmicroάτων θα πρέπει να τη φέρουmicroε στη microορφή

( )0t Ay ϕωηmicro prime+prime=

ή στη microορφή

( )0t Ay ϕωσυν primeprime+primeprime=

Τότε όmicroως

για να microην καταρρεύσουν αmicroφότεροι οι ορισmicroοί κι εποmicroένως και οι έννοιες

της φάσης και της αρχικής φάσης θα πρέπει να φροντίσουmicroε η αρχική φάση

να περιοριστεί σε ένα τριγωνοmicroετρικό κύκλο

για να αποφύγουmicroε κάθε επικίνδυνη ρευστότητα θα πρέπει να τεθεί οπωσ-

δήποτε το πεδίο ορισmicroού της συνάρτησης

για να microην υπάρξουν συλλογιστικά αδιέξοδα θα πρέπει να ακολουθήσουmicroε

microε συνέπεια την πορεία που καταγράψαmicroε στα παραδείγmicroατα 1-3 για τον

υπολογισmicroό φάσης και αρχικής φάσης ή έστω να εφαρmicroόσουmicroε τον απλό

τρόπο που καταγράφεται στη σελίδα 14

Ο microετασχηmicroατισmicroός της (63) ώστε να περιέχει ένα microόνο τριγωνο-

microετρικό αριθmicroό microπορεί να γίνει microε διάφορους τρόπους

1ος τρόπος Χρησιmicroοποιώντας τους τύπους της επαλληλίας εξισώσεων κίνησης

Αν έχουmicroε αριθmicroητικά δεδοmicroένα και δε θέλουmicroε να microπλεχτούmicroε microε πολλά microαθηmicroατικά

microπορούmicroε να χρησιmicroοποιήσουmicroε τους τύπους του σχολικού βιβλίου για την επαλληλία εξι-

σώσεων αρmicroονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης ίδιας συχνότητας και ίδιας θέσης ισορ-

ροπίας

Τους τύπους αυτούς όmicroως θα πρέπει να ισχυροποιήσουmicroε ώστε να συmicroπεριλάβουν περι-

πτώσεις όπου και οι δύο ταλαντώσεις έχουν αρχική φάση και να εmicroπλουτίσουmicroε microε έναν ε-

πιπλέον τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό ή microε κάποια επιπλέον microαθηmicroατική microας δεξιότητα microιας και η

σχέση microε την εφθ microόνη της δε microπορεί να προσδιορίσει την αρχική φάση θ έστω κι αν αυτή

περιοριστεί σε έναν τριγωνοmicroετρικό κύκλο

18

( Επαλληλία εξισώσεων αρmicroονικών ταλαντώσεων

x1=Α1middotηmicro(ωt+φ1) και x2=Α2middotηmicro(ωt+φ2)

x=x1+ x2=Aηmicro(ωt+θ)

όπου )(AA2AAA 21212

22

1 ϕϕσυν minus++= Α

ηmicroϕΑηmicroϕΑηmicroϑ 2211 +

= (64)

2211

2211

AA

AA

συνϕσυνϕηmicroϕηmicroϕ

εϕϑ+

+=

ΑσυνϕΑσυνϕΑ

συνϑ 2211 +=

microε 0leθlt2π

Τέτοιου είδους αντιmicroετωπίσεις έχουν ήδη καταχωρηθεί στο δίκτυο)

2ος τρόπος Μετασχηmicroατίζουmicroε την (63) και φτάνουmicroε στη microορφή

+minussdot

minus=

λΤπηmicro

λπσυν

2

rrt2

2

rr2A2y 2121 microε

geυυ

21 r

rmax t (65)

Αφού φιλοδοξούmicroε η (65) να περιγράφει πραγmicroατική κίνηση (κι όχι να είναι κα-

νένας προσθετέος σε επαλληλία εξισώσεων κίνησης) και επιθυmicroούmicroε οι έννοιες laquoφάσηraquo και

laquoαρχική φάσηraquo να έχουν νόηmicroα θα πρέπει ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ να χειρι-

στούmicroε την (65) microε τους τρόπους που δείξαmicroε στα παραδείγmicroατα 1-3

Αν δηλαδή επιθυmicroούmicroε να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση στην

(65) θα πρέπει να χρησιmicroοποιήσουmicroε ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ το πεδίο ορισmicroού

της και τον περιορισmicroό της αρχικής φάσης σε ένα τριγωνοmicroετρικό κύκλο

(Το να χειριστούmicroε τη σχέση (65) γενικά ώστε να εmicroφανιστούν γενικοί περιορισmicroοί στο πεδίο ορισmicroού και στην

αρχική φάση του ενός τριγωνοmicroετρικού κύκλου νοmicroίζω ότι θα είναι άσκοπο microιας και ο χρόνος που θα απαιτήσει

η γραφή αυτή θα ΄ναι microεγάλος και η αξία των τύπων ελάχιστη Γι΄ αυτό καταφεύγω σε παραδείγmicroατα)

4ο παράδειγmicroα

Έστω ότι σε κάποιο πρόβληmicroα συmicroβολής κυmicroάτων y1= και y2= αντικαθι-

στούmicroε τα δεδοmicroένα στην εξίσωση της συmicroβολής (65) και βρίσκουmicroε ότι το σηmicroείο Μ που απέ-

χει r1= και r2= από τις πηγές ταλαντώνεται αρmicroονικά microε εξίσωση

y=10-1

middotηmicro(2πt 4

11πminus ) (SI) microε t ge 6 sec (66)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης του Μ στην (66)

19

Λύση

1ος τρόπος

Κάνουmicroε ότι κάναmicroε στο παράδειγmicroα 2 στη σελίδα 10 ή στο παράδειγmicroα 3 στη σελίδα 12 αυ-

τής της ανάρτησης

2ος τρόπος

Για πιο γρήγορα ακολουθούmicroε τα βήmicroατα της σελίδας 14

1ο βήmicroα Μετασχηmicroατίζουmicroε την εξίσωση κίνησης (66) ώστε να εmicroφανιστεί η

αρχική τιmicroή χρόνου 6 sec microέσω της microορφής ω(t-t0)=2π(t-6)

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+12πminus4

11π] t ge 6 sec

και τελικά

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

37π] (SI) t ge 6 sec (67)

2ο βήmicroα Στο όρισmicroα του ηmicroίτονου microετά την ποσότητα 2π(t-6) η laquoγωνίαraquo 4

37π

δεν είναι microέσα στο διάστηmicroα [02π) που έχουmicroε υιοθετήσει ως περιορι-

σmicroό της αρχικής φάσης

Εποmicroένως πρέπει να αφαιρέσουmicroε κατάλληλα ακέραια πολλαπλάσια

του 2π

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

37πminus4middot2π] (SI) t ge 6 sec

από όπου τελικά

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

5π] (SI) t ge 6 sec (67α)

3ο βήmicroα Στην (67α) που καταλήξαmicroε microε την παραπάνω διαδικασία

η φάση είναι φ=2π(t‒6)+4

5π microε t ge 6 sec

και η αρχική φάση είναι φ0=4

5π rad

Το ίδιο συνεπώς θα ισχύει και για την (67)

Βέβαια όλα τα παραπάνω microπορούν να γίνουν πολύ πιο γρήγορα αρκεί να έ-

χουmicroε στο microυαλό microας ότι για να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση σε microια

εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία microας έδωσαν ή στην οποία καταλήξα-

microε θα πρέπει να τη microετασχηmicroατίσουmicroε ώστε

να εmicroφανίσουmicroε την αρχική τιmicroή του χρόνου microε τη microορφή που είπαmicroε

να εξασφαλίσουmicroε ότι ο προσθετέος που δεν περιέχει χρόνο είναι σε

διάστηmicroα ενός τριγωνοmicroετρικού κύκλου και microάλιστα στη microορφή που έ-

χουmicroε επιλέξει για την αρχική φάση ([02π) ή [-ππ) ή )

20

5ο παράδειγmicroα

Έστω ότι σε κάποιο πρόβληmicroα συmicroβολής κυmicroάτων y1= και y2= αντικαθι-

στούmicroε τα δεδοmicroένα στην εξίσωση της συmicroβολής (65) και βρίσκουmicroε ότι το σηmicroείο Μ που απέ-

χει r1= και r2= από τις πηγές ταλαντώνεται αρmicroονικά microε εξίσωση

y=minus10-1

middotηmicro(2πt4

9πminus ) (SI) microε t ge 05 sec (68)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης του Μ στην (68)

Λύση

Η (68) γίνεται διαδοχικά

y=minus10-1

middotηmicro(2πt4

9πminus ) = 10

-1middotηmicro(2πt+π

4

9πminus )=10

-1middotηmicro(2πt

4

5πminus )=10

-1middotηmicro[2π(tminus05)

4

πminus ]

και τελικά

y=10-1

middotηmicro[2π(tminus05)4

7π+ ] (68α)

Η (68α) έχει εmicroφανίσει την αρχική τιmicroή χρόνου 05 sec στη microορφή που θέλουmicroε και προ-

σθετέο 4

7π που δεν περιέχει χρόνο t και βρίσκεται στο διάστηmicroα [02π)

Άρα η φάση και η αρχική φάση της (68) είναι ίδιες microε εκείνες της (68α)

∆ηλαδή

Φάση φ=2π(tminus05)4

7π+ =2πt

4

3π+ microε t ge 05 sec

Αρχική φάση rad 4

7π0 =ϕ

Φάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολή

Ο Νίκος (Ανδρεάδης) microε δύο ευφυέστατες αναρτήσεις

laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολήraquo

laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολή-Μέρος δεύτεροraquo

που βρίσκονται στη διεύθυνση

httpylikonetgrprofilesblogsphhaseis-kai-antiphhaseis-ste

microας ώθησε να ακούσουmicroε κάποιους τριγmicroούς από την ψεύτικη πραγmicroατικότητα των

κυmicroάτων που διδάσκουmicroε

21

Γράφει λοιπόν

laquoΝ=6 1r 15= m

1 2r r 6 λminus = sdot

2r 03= m

Για t 3ge s η εξίσωση κίνησης προκύπτει από την επαλληλία των εξισώσεων

11

2πr2πty A ηmicro

T λ

= sdot minus

και 2

2

2πr2πty A ηmicro

T λ

= sdot minus

Μετά από πράξεις

( )1y 01 ηmicro 5πt 15π= sdot minus και ( )2

y 01 ηmicro 5πt 3π= sdot minus

Σύmicroφωνα microε τη σχέση 1 2 1 2r r r r2πt

y 2A συν 2π ηmicro π2λ T λ

minus += sdot sdot minus

microετά από πράξεις προκύπτει

( )y 02 ηmicro 5πt 9π= sdot minus

Η φάση (της αποmicroάκρυνσης στην παραπάνω εξίσωση) δίνεται από τη σχέση φ 5πt 9π= minus

Για t 3= s (προκύπτει η αρχική) φάση (η οποία) είναι 6π rad

παρατηρούmicroε ότι 7 σηmicroεία του microέσου τα οποία ξεκινούν την ίδια στιγmicroή την ίδια κίνηση από τη θέ-

ση ισορροπίας microε θετική ταχύτητα περιγράφονται microε διαφορετικές εξισώσεις και την στιγmicroή της εκκί-

νησης έχουν διαφορετική φάση

Οι απορίες microου

Ποιο είναι το φυσικό νόηmicroα των τιmicroών 0π 2π 4π 6π και 8π

Έχει νόηmicroα να ζητήσουmicroε τη διαφορά φάσης ενός από αυτά τα σηmicroεία microε microια πηγή

Αν όmicroως δούmicroε το θέmicroα ως σύνθεση δύο ταλαντώσεων που βρίσκονται σε συmicroφωνία φάσης καταλή-

γουmicroε αmicroέσως στο συmicroπέρασmicroα ότι και στις 7 περιπτώσεις η κίνηση για t 3ge s περιγράφεται από την

εξίσωση ( )y 02 ηmicro 5πt 15π= sdot minus (SI)

Η φάση δίνεται από τη σχέση φ 5πt 15π= minus (SI)

Για t 3= s η (αρχική) φάση είναι 0π rad ∆ηλ τη στιγmicroή της εκκίνησης έχουmicroε microηδενισmicroό της φάσης

για τα 7 σηmicroεία κάτι λογικό αφού τότε και τα 7 ξεκινούν microια νέα κίνηση από τη θέση ισορροπίας microε

θετική ταχύτηταraquo

Στους προβληmicroατισmicroούς που έθεσε ο Νίκος θα επιχειρήσω microια το-

ποθέτηση

Κατά τη γνώmicroη microου το microόνο που microπορεί να microας γλιτώσει από το παραπάνω παράδοξο είναι

η microαθηmicroατική αυστηρότητα microε την οποία φροντίσαmicroε να εφοδιάσουmicroε (και έτσι πρέπει

να γίνεται πάντα αν και πολλές φορές τούτο το απλό το ξεχνάmicroε) τους ορισmicroούς φάση και

αρχική φάση

Η αντίρρησή microου επικεντρώνεται στη φράση

laquoη φάση στην εξίσωση ( )y 02 ηmicro 5πt 9π= sdot minus δίνεται από τη σχέση φ 5πt 9π= minus raquo

η οποία εξάλλου είναι και η υπεύθυνη για τις αντιφάσεις που έχει εντοπίσει ο Νίκος

Προκειmicroένου να βρεθούν η φάση και η αρχική φάση στην εξίσωση microιας αρmicroονικής

ταλάντωσης πρέπει να ακολουθηθούν ορισmicroένες διαδικασίες

22

Αυτό δεν είναι ούτε σωσίβιο ούτε σοφιστεία ούτε κάποια κίνηση απελπισίας Είναι η ου-

σία του ορισmicroού που υιοθετήσαmicroε για τις δύο αυτές έννοιες

Η αυστηρότητα των ορισmicroών που δώσαmicroε ως φυσικοί εξασφαλίζει ότι τα microαθηmicroατικά όχι

microόνο θα microπορέσουν να εγγυηθούν τη συνέπεια των συλλογισmicroών και αποτελεσmicroάτων microας

αλλά θα ενσωmicroατώσουν microέσα τους τελείως διαφανείς πορείες απαραίτητες για την αυτοδυ-

ναmicroία και ισχύ του φυσικού έστω κι αν ένας microαθηmicroατικός αδιαφορήσει τελείως γι΄ αυτές

Αυτό δεν είναι παραλογισmicroός αλλά συνειδητοποίηση του διαφορετικού ρόλου

και της διαφορετικής ευθύνης των δύο ειδικοτήτων˙ του φυσικού και του microαθη-

microατικού

Κοντολογίς

Προκειmicroένου να διατηρήσουmicroε το δικαίωmicroα να χρησιmicroοποιούmicroε στο λεξιλόγιό microας τις λέξεις

φάση και αρχική φάση επιβάλλεται από τα microαθηmicroατικά να είmicroαστε συνεπείς microε τους ορι-

σmicroούς που τους δώσαmicroε και να τις χειριζόmicroαστε microε ειδικό τρόπο σε καθορισmicroένες πορείες

Αν δε το κάνουmicroε αυτό τα microαθηmicroατικά θα microας γυρίσουν την πλάτη

κι εmicroείς θα βουλιάξουmicroε στις παρανοήσεις στα αδιέξοδα και τις λο-

γικές ασυνέπειες

Σύmicroφωνα λοιπόν microε όσα έχουν αναφερθεί για να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση στην εξίσωση κίνησης

y=02middotηmicro(5πtminus9π) microε tge3 sec (69)

πρέπει να εmicroφανίσουmicroε microέσα της την αρχική τιmicroή του χρόνου 3 sec και να αφαιρέσουmicroε τα

ακέραια πολλαπλάσια του 2π microε τέτοιο τρόπο ώστε η αρχική φάση να είναι microέσα στη microορ-

φή του τριγωνοmicroετρικού κύκλου που υιοθετήσαmicroε

Πράγmicroατι η (69) γίνεται

y=02middotηmicro(5πtminus9π)=02middotηmicro[5π(t-3)+6π]

και τελικά

y=02middotηmicro[5π(t-3)+0] microε tge3 sec (69α)

Η (69α) και κατά συνέπεια και η (69) έχουν

Φάση φ=5π(t-3)+0=5πt-15π microε tge3 sec

Αρχική φάση φ0=0 rad

Νοmicroίζω ότι τώρα πια δεν υπάρχει καmicroιά αντίφαση microιας και όλες οι συλλογιστικές και όλες

οι microαθηmicroατικές πορείες θα δώσουν ακριβώς τα ίδια αποτελέσmicroατα

α) Και τα επτά σηmicroεία Ν=0 έχουν την ίδια φάση φ=5πt-15π microε tge3 sec και την ί-

δια αρχική φάση φ0=0 rad

23

β) Υπάρχει απόλυτη συλλογιστική συνέπεια σε όλα αφού όπως έχει ήδη επισηmicroάνει ο Νί-

κος laquoκαι τα 7 σηmicroεία πρέπει να έχουν την ίδια φάση και αρχική φάση αφού ξεκινούν microια

νέα κίνηση από τη θέση ισορροπίας microε θετική ταχύτηταraquo

γ) Είτε χρησιmicroοποιηθούν οι τύποι σύνθεσης ταλαντώσεων είτε χρησιmicroοποιηθεί ο τύ-

πος της συmicroβολής κυmicroάτων είτε οποιαδήποτε άλλη microαθηmicroατική διαδροmicroή τα αποτελέ-

σmicroατα φάσης και αρχικής φάσης θα είναι απολύτως ίδια

δ) laquoΚάθε κίνηση έχει φάση που microας πληροφορεί για πόσο χρόνο παρακολουθούmicroε τη συ-

γκεκριmicroένη κίνησηraquo

ε) Απορία

laquoΠοιο είναι το φυσικό νόηmicroα των τιmicroών 0π 2π 4π 6π και 8πraquo

Απάντηση

laquoοι τιmicroές 0π 2π 4π 6π και 8π που προκύπτουν microε (απλή-ανώδυνη) εφαρmicroογή της γνω-

στής σχέσης ηmicroΑ+ηmicroΒ=hellip δεν έχουν κανένα γνωστό ωφέλιmicroο φυσικό νόηmicroαraquo

Η εφαρmicroογή της σχέσης ηmicroΑ+ηmicroΒ= δεν οδηγεί πάντα απευθείας σε σχέση στην οποία να

είναι άmicroεσα διαφανείς η φάση και η αρχική φάση microιας εξίσωσης αρmicroονικής κίνησης

Ο τελικός τύπος χρειάζεται οπωσδήποτε επεξεργασία

στ) Απορία

laquoΈχει νόηmicroα να ζητήσουmicroε τη διαφορά φάσης ενός από αυτά τα σηmicroεία microε microια πηγήraquo

Απάντηση

Όχι Δεν πρέπει να ζητήσουmicroε τέτοιο πράγmicroα αν δε είmicroαστε έτοιmicroοι να αυτοκτονήσουmicroε ή να

microπούmicroε σε ατέλειωτες microαθηmicroατικές αναζητήσεις για να γλιτώσουmicroε microόνο και microόνο τη συνέ-

πεια της εννοιολογικά λανθασmicroένης laquoπραγmicroατικότηταςraquo των κυmicroάτων που διδάσκουmicroε

Η παρουσία πηγών επιβάλλει άλλου είδους κύmicroατα εmicroπλουτισmicroένα και microε άλλες έννοιες και

microε microαθηmicroατικούς χειρισmicroούς αρκετά δύσκολους microιας και στις διαφορικές εξισώσεις πρέπει

να παρθούν υπόψη συνοριακοί περιορισmicroοί

Στην πρώτη σελίδα της ανάρτησής microου laquoΟρισmicroοί και εξισώσεις κίνησης γ΄ microέροςraquo έγραφα κάτι που όσο περνάει ο καιρός το πιστεύω όλο και πιο πολύ

laquoδιδάσκουmicroε ˝κύmicroατα˝ που δήθεν διαδίδονται microε ταχύτητα υ έχουν αρχικές φάσεις έχουν

πηγές που τα παράγουν και πολλές φορές δύο πηγές για να έχουmicroε συmicroβολή

Μα αυτά που διδάσκουmicroε ούτε κύmicroατα είναι ούτε διαδίδονται ούτε πηγές περιέχουν

ούτε είναι κάπου και τρέχουν να πάνε κάπου αλλού ούτε ξεκινάνε από κάπου ούτε ούτε

ούτε

Στα κεφάλαια ˝Κύmicroατα˝ και ˝Μηχανική Στερεού Σώmicroατος˝ της Φυσικής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου ειλικρινά microε πιάνει απελπισία Τα πράmicroατα εκεί σκοτεινιάζουν τόσο πο-λύ Τί να πεις και από πού να αρχίσεις raquo

24

Στο σηmicroείο αυτό όmicroως νιώθω υποχρεωmicroένος να τονίσω ότι η αρνητικότατη στάση

microου απέναντι σε αυτό που microας βάζουν να διδάσκουmicroε ως κύmicroατα δεν πρέπει στο

ελάχιστο να θεωρηθεί ως απόρριψη της προσπάθειας συναδέλφων να microας δώσουν

ένα πλήθος ασκήσεων θέσεων αναλύσεων διαγωνισmicroάτων κλπ που έχουν σχέση

microε κύmicroατα και microε συmicroβολή κυmicroάτων που περιέχουν πηγές

Στο σχολείο πρέπει να κάνουmicroε αυτό που επιτάσσουν οι πανελλαδικές Άρα πέρα

από όλες τις διαφωνίες microεταξύ microας θα πρέπει προσωπικά να βρω ασκήσεις και θέ-

microατα να δώσω στα παιδιά για να καλύψω την ανήθικη έλλειψη ασκήσεων από το

σχολικό βιβλίο

Επίσης θα πρέπει να βρω τρόπο να microην καταρρεύσει η συλλογιστική των παιδιών

έστω και σαθρή πριν τις εξετάσεις

Αυτό microε τη σειρά του σηmicroαίνει ότι πρέπει να έχω επιχειρήmicroατα και υλικό κοmicromicroένο

στις συγκεκριmicroένες ανάγκες τους

Σε αυτό το σηmicroείο η βοήθεια που microου πρόσφεραν και microου προσφέρουν οι συνάδελ-

φοι του δικτύου και κάποια αξιόλογα εξωσχολικά βιβλία είναι όχι απλά πολύτιmicroη

αλλά ανεπανάληπτη

Με πολύ ανακούφιση δέχοmicroαι και παίρνω πολύτιmicroα διαγωνίσmicroατα ασκήσεις και υ-

λικό που προσφέρουν απλόχερα διάφοροι συνάδελφοι και που αναφέρονται σε κύmicroα-

τα που προέρχονται από πηγές και που συmicroβάλλουν

Επί τη ευκαιρία τους ευχαριστώ που microου δίνουν τον κόπο τους Κάποιες φορές microά-

λιστα αποτελεί πηγή αναθεωρήσεων και καινούριων αναζητήσεων microου

Ε Παρατηρήσεις

1) Η εξίσωση της αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία θα microας δώσουν ή στην οποία θα κα-

ταλήξουmicroε microετά από κάποια microαθηmicroατική επεξεργασία δεν είναι υποχρεωmicroένη να δηλώνει

καθαρά τη φάση και την αρχική φάση Εκείνο που πρέπει οπωσδήποτε να επισηmicroάνουmicroε εί-

ναι ότι φάση δεν είναι η ποσότητα που βρίσκεται microέσα στον τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό

Η εύρεση της φάσης και της αρχικής φάσης θέλουν διαδικασία η οποία θα απαιτήσει το

πεδίο ορισmicroού της εξίσωσης που microας δίνουν για την ταλάντωση ή για το κύmicroα

Ας του δώσουmicroε έmicroφαση microε microια άσκηση χωρίς κανένα απολύτως νόηmicroα

Στην παρακάτω εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης να βρεθεί η φάση και η αρχική

φάση της αποmicroάκρυνσης

y=10-1middotηmicro(2πt 4

11πminus )

Ο λόγος που αυτή η άσκηση είναι α-νόητη είναι γιατί δεν έχει δοθεί το πεδίο ορισmicroού Αλ-

λάζοντας το πεδίο ορισmicroού όπως ήδη έχουmicroε δείξει θα αλλάξει τόσο η συνάρτηση της φά-

σης όσο και η τιmicroή της αρχικής φάσης (∆ες σελίδα 18)

25

2) Η εύρεση της διαφοράς φάσης ανάmicroεσα σε δύο microεγέθη του ίδιου

φαινοmicroένου είναι ακόmicroη πιο επίπονη διαδικασία

Το θέmicroα αυτό είχε θέσει ο Θοδωρής microε microια ανάρτησή του που βρίσκεται στη διεύθυνση httpylikonetgrgroupthemataforumtopicsphhasearchikhe-

phhasediaphorhacommentId=36477953AComment3A16659ampgroupId=36477953AGroup3A5901

Όπως στην περίπτωση της φάσης και αρχικής φάσης οι αρmicroονικές συναρτήσεις πρέπει να

laquoετοιmicroαστούνraquo έτσι και στην περίπτωση που microας ζητάνε να βρούmicroε διαφορά φάσης ανάmicroε-

σα σε δύο φυσικά microεγέθη που εκφράζονται microε αρmicroονικές συναρτήσεις οι συναρτήσεις αυτές

πρέπει οπωσδήποτε να ετοιmicroαστούν κατάλληλα

3) Το πιο σηmicroαντικό στο οποίο εστιάζουν οι εργασίες microου (άσχετα αν τα καταφέρνω να

το δείξω ή όχι) είναι η microεθοδολογία που πρέπει να ακολουθούmicroε όταν θέλουmicroε να λύσουmicroε

microια διαφωνία microας να προχωρήσουmicroε microια αναζήτησή microας να βρούmicroε διέξοδο σε microια αντίφα-

ση να συνειδητοποιήσουmicroε microια έννοια

Κατά τη γνώmicroη microου πρέπει να ξεκινάmicroε από τους ορισmicroούς και αφού εξασφαλίσουmicroε την

αυστηρότητά τους να προχωρήσουmicroε σε απλές έστω εννοιολογικές κατακτήσεις απαραίτη-

τες όmicroως για την αναπνοή microας ως φυσικών ή ως ενδιαφεροmicroένων για τη φυσική

laquohellipΗ αξία των ορισmicroών εντοπίζεται στη σωστή θέση που πρέπει να κατέχουν κατά τη συνεννόηση microε-

ταξύ των φυσικών και στον κορυφαίο και αναντικατάστατο ρόλο που πρέπει microε κάθε σεβασmicroό να απο-

δεχτούmicroε ότι διαδραmicroατίζουν στη διαmicroόρφωση της δοmicroής της γλώσσας που χρησιmicroοποιεί η Φυσική

∆εν γίνεται να κάνεις Φυσική αν δεν έχεις τα σωστά κατάλληλα λόγια για να περιγράψεις στους άλ-

λους το όmicroορφο

Η Φυσική έχει ορισmicroούς που δεν είναι διαπραγmicroατεύσιmicroοι και microαθηmicroατικές microεθοδολογίες που δεν

πρέπει να αγνοούνται αν θέλουmicroε να έχουmicroε συνέπεια και να εξασφαλίζουmicroε απόλυτη διαφάνεια στους

συλλογισmicroούς microας

∆εν πρέπει να χαλάmicroε τη γλώσσα γιατί αλλιώς χαλάει η σκέψη και η επικοινωνία microεταξύ microας Πρέπει να δεχτούmicroε στην ψυχή microας (όχι στα λόγια) ότι οι ορισmicroοί έχουν αξία και να συνειδητοποιή-

σουmicroε την microοναδική τους ιδιότητα Αυτή που είναι και η αιτία της ύπαρξής τους Να είναι χρήσιmicroοι

Οι ορισmicroοί ή είναι χρήσιmicroοι ή δεν υπάρχουν Τα λόγια της Φυσικής δε φτιάχτηκαν για να περιγράφουν αλλά για να έχουν συγχρόνως τη δυνατότητα και να

προφητεύουνraquo

4) Στο παράδειγmicroα του Νίκου για τις φάσεις και τις αντιφάσεις χρησιmicroοποιήθηκαν σηmicroεία

όπου είχαmicroε ενισχύσεις

Θα παρακαλούσα το Νίκο αλλά και όποιον άλλο συνάδελφο θέλει να κάνει microια άσκηση

ή microια προσοmicroοίωση microε πιο γενικά σηmicroεία στη συmicroβολή κυmicroάτων και να υπολογίσει τις

φάσεις και τις αρχικές φάσεις στην εξίσωση ταλάντωσης των σηmicroείων αυτών δίνοντας έmicro-

φαση πάντα το πεδίο ορισmicroού και στον περιορισmicroό της αρχικής φάσης σε έναν τριγωνοmicroε-

τρικό κύκλο πχ της microορφής [02π)

Πιστεύω ότι έτσι κάποια πράγmicroατα θα γίνουν πολύ πιο ευδιάκριτα πιο απλά και το κυριό-

τερο θα περάσουν πιο εύκολα στους συναδέλφους

5) Τελειώνοντας οφείλω να πω ότι η σηmicroερινή microου ανάρτηση ουσιαστικά οφείλεται

στους προβληmicroατισmicroούς που microας έθεσε ο Νίκος (Ανδρεάδης) πάνω στη συmicroβολή των κυmicroά-

των microε το laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολήraquo

Έχοντας ξεκινήσει να γράφω microια σειρά αναρτήσεων σχετικών microε τις έννοιες φάση και αρ-

χική φάση microου ήρθε ανέλπιστα η δουλειά του Νίκου η οποία microε τα ερωτήmicroατα που έθεσε

τη συζήτηση που ακολούθησε και τις γνώmicroες που διατυπώθηκαν microου έδωσε ισχυρά επιχει-

ρήmicroατα να υποστηρίξω την απόλυτη πίστη microου στην αξία των ορισmicroών όχι ως απλή λεκτική

επανάληψη microιας υποχρεωτικής αποστήθισης αλλά ως συνειδητοποίηση όλης εκείνης της

26

εσωτερικής λειτουργίας απόλυτα συγκεκριmicroένων πραγmicroάτων που κρίνουν τους ορισmicroούς

ως χρήσιmicroους και απαραίτητους και τους γεννούν για να υπάρχουν και να πλουτίζουν τη

γλώσσα microας

Τους βάζουν δίπλα microας και microας καλούν να πιστέψουmicroε στην αξία τους και ποτέ να microην

τους υποτιmicroήσουmicroε όσο απλοί και να είναι

(συνεχίζεται)

Σάββατο 29 Ιανουαρίου 2011

Θρασύβουλος Κων Μαχαίρας

Γενικό Λύκειο Αγριάς Πηλίου

s7-kmghotenetgr

4

3η microορφή

x=Αmiddotσυν(ωt + C6) t ge Rt0 isin (18)

Αgt0 και 0le C6 lt2π

(Όπως ήδη έχουmicroε πει σχεδόν όσα προηγήθηκαν και όσα θα ακολουθήσουν αφορούν τις συναρτήσεις και όχι το φαινόmicroενο Αποτέλεσmicroα αυτού είναι να εφαρmicroόζονται όχι microόνο στην απλή αρmicroονική ταλάντωση αλλά σε όλα σχεδόν τα microεγέθη που microεταβάλλονται αρmicroονικά microε το χρόνο που έχουν δηλαδή ίδιες εξισώσεις)

Οι έννοιες της φάσης και της αρχικής φάσης δε microπορούν να εντοπιστούν στη microορφή (16)

παρά microόνο στις εξισώσεις (17) και (18)

Είναι δηλαδή έννοιες που συνδέονται άmicroεσα microε τη microορφή της εξίσωσης κίνησης που θα

επιλέξουmicroε και όχι microε τη ταλάντωση ή γενικά microε το φαινόmicroενο

Αφήνοντας λοιπόν κατά microέρος την (16) ας δούmicroε τα πράmicroατα πιο αναλυτικά εξετάζοντας

για παράδειγmicroα τη microορφή (17) της εξίσωσης κίνησης της αρmicroονικής ταλάντωσης

Στην εξίσωση κίνησης

x=Αmiddotηmicro(ωt + C4) microε t ge Rt0 isin Αgt0 και 0le C4 lt2π (19)

microπορούmicroε να ονοmicroάσουmicroε φάση της αποmicroάκρυνσης την ποσότητα

φ=ωt+C4 microε t ge Rt0 isin

Αυτόmicroατα η ποσότητα φ0=ωt0+C4 θα πρέπει να ονοmicroαστεί αρχική φάση της αποmicroάκρυν-

σης στην παραπάνω εξίσωση κίνησης

Από τα παραπάνω βλέπουmicroε ότι ο περιορισmicroός 0le C4 lt2π είναι αδύναmicroος microιας και το γε-

γονός ότι η χρονική στιγmicroή t0 που αρχίσαmicroε να microελετάmicroε το φαινόmicroενο microπορεί θεωρητικά να

πάρει οποιαδήποτε τιmicroή επιτρέπουν στην αρχική φάση φ0=ωt0+C4 να πάρει οποιαδήποτε

τιmicroή

Επειδή όmicroως έχουmicroε συνηθίσει να συνδέουmicroε την αρχική φάση microε το laquoξεκίνηmicroαraquo της

microελέτης του φαινοmicroένου (της ταλάντωσης επί του προκειmicroένου) και συνεπώς microε το

γεγονός ότι ακόmicroη δεν έχει ολοκληρωθεί καmicroιά ταλάντωση δε θα θέλαmicroε να βλέπαmicroε

microέσα σε microια αρχική φάση αποmicroάκρυνσης τιmicroές που να περιέχουν ακόmicroη και τεράστια

πολλαπλάσια του 2π microιας και υπήρχε κίνδυνος αυτό να εκληφθεί ως πληροφορία

(λανθασmicroένη σε αυτό το καθεστώς που περιγράφουmicroε) ότι έχουν εκτελεστεί ήδη πά-

microπολλες ταλαντώσεις

Για να γλιτώσουmicroε λοιπόν τις συνήθειές microας και γιατί όχι και τη λογική microας

microπορούmicroε microαθηmicroατικά να τροποποιήσουmicroε την εξίσωση κίνησης (19)

Από τη σχέση φ0=ωt0+C4 της αρχικής φάσης προκύπτει

C4= φ0‒ωt0

και συνεπώς η εξίσωση κίνησης γίνεται

x=Αmiddotηmicro[ω(t‒t0)+ φ0 ] t ge Rt0 isin (20)

5

Συγκρίνοντας τις εξισώσεις (19 ) και (20) και βλέποντας ότι τα C4 και φ0 microπαίνουν σε laquoι-

σάξιες θέσειςraquo αντί να απαιτήσουmicroε από το C4 να παίρνει τις περιορισmicroένες τιmicroές 0le C4

lt2π οπότε το φ0 θα παίρνει αναγκαστικά οποιαδήποτε πραγmicroατική τιmicroή απαιτούmicroε από

την αρχική φάση φ0 να παίρνει τιmicroές σε ένα τριγωνοmicroετρικό κύκλο 0le φ0 lt2π οπότε το

C4 microπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιmicroή ανάλογα microε την επιλογή της αρχής των χρόνων που

κάνουmicroε (Όπως έχουmicroε ξαναπεί ένας τριγωνοmicroετρικός κύκλος καλύπτεται και microε άλλες επιλογές διαστηmicroά-

των όπως πχ -πle φ0 ltπ κλπ)

Υιοθετώντας αυτή την επιλογή για την αρχική φάση αυτόmicroατα και η συνάρτηση που δίνει

τις τιmicroές της φάσης αλλάζει από

φ= ωt+C4 microε t ge Rt0 isin και 0le C4 lt2π

σε φ=ω(t‒t0)+ φ0 microε t ge Rt0 isin και 0le φ0 lt2π

Βασικά συmicroπεράσmicroατα για τους ορισmicroούς των εννοιών laquoφάσηraquo και

laquoαρχική φάσηraquo

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι έχουmicroε δύο δυνατότητες γραφής και άρα επιλογής των

ορισmicroών laquoφάσηraquo και laquoαρχική φάσηraquo

1η δυνατότητα

Στην εξίσωση κίνησης

x=Αmiddotηmicro(ωt + C4) microε t ge Rt0 isin Αgt0 και 0le C4 lt2π (21)

ονοmicroάζουmicroε φάση της αποmicroάκρυνσης την ποσότητα

φ=ωt+C4 microε t ge Rt0 isin και 0le C4 lt2π (22)

Κατά συνέπεια ονοmicroάζουmicroε αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης την ποσότητα

φ0=ωt0+C4 Rt0 isin και 0le C4 lt2π (προφανώς R0 isinϕ ) (23)

Οι σταθερές A και C4 θα προσδιοριστούν από τις συνθήκες που microας δίνουν και οι οποίες

δεν είναι απαραίτητο να είναι οι αρχικές

2η δυνατότητα

Στην εξίσωση κίνησης

x=Amiddotηmicro(ωt + C4) microε t ge Rt0 isin Αgt0 και C4 πραγmicroατικός (24)

ονοmicroάζουmicroε φάση της αποmicroάκρυνσης την ποσότητα

φ=ωt+C4 t ge Rt0 isin (25)

Κατά συνέπεια ονοmicroάζουmicroε αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης την ποσότητα

φ0=ωt0+C4 microε τον ισχυρό περιορισmicroό 0le φ0 lt2π (26)

6

Οι σταθερές Αgt0 και C4 θα προσδιοριστούν από τις συνθήκες που microας δίνουν και οι ο-

ποίες δεν είναι απαραίτητο να είναι οι αρχικές

Ο προσδιορισmicroός όmicroως του C4 επειδή αυτή η σταθερά τώρα θεωρείται πραγmicroατικός αριθmicroός θα γίνει microε την αοριστία ακέραιων πολλαπλασίων του π Θα περιέχει δηλαδή

το 2kπ (βλέπε παραδείγmicroατα παρακάτω)

Έτσι η ακριβής τιmicroή του θα απαιτήσει οπωσδήποτε και τον ισχυρό περιορισmicroό που microετα-

τοπίσαmicroε στην αρχική φάση

0le φ0 lt2π δηλαδή τον 0le ωt0+C4 lt2π (27)

2η δυνατότητα (εναλλακτικός τρόπος προτιmicroητέος)

(Η ιδέα γι αυτή τη δυνατότητα είναι του Διονύση)

Εκmicroεταλλευόmicroενοι τη σχέση (20) την οποία χρησιmicroοποιήσαmicroε προκειmicroένου να καταλή-

ξουmicroε στη δεύτερη δυνατότητα microπορούmicroε να δούmicroε τα πράγmicroατα και microε έναν άλλο τρόπο

Στην εξίσωση κίνησης

x=Amiddotηmicro[ω(t‒t0)+φ0 ] t ge Rt0 isin Agt0 0le φ0 lt2π (28)

ονοmicroάζουmicroε φάση της αποmicroάκρυνσης την ποσότητα

φ=ω(t ‒ t0 )+φ0 t ge Rt0 isin (29)

Όmicroοια ονοmicroάζουmicroε αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης την ποσότητα

φ0 (29α)

Οι σταθερές Agt0 και φ0 θα προσδιοριστούν από τις συνθήκες που microας δίνουν και οι ο-

ποίες δεν είναι απαραίτητο να είναι οι αρχικές

Όπως εξηγήσαmicroε η πρώτη δυνατότητα δεν περιορίζει την αρχική φάση σε ένα τριγωνο-

microετρικό κύκλο δε βάζει κανένα περιορισmicroό στη φάση και στην αρχική φάση παρά microόνο σε

microια σταθερά της εξίσωσης κίνησης τη 0le C4 lt2π (βλέπε σχέση 21)

Συνεπώς είναι πολύ πιο ισχυρή από τη δεύτερη δυνατότητα Όmicroως χαλά όλες τις συνή-

θειές microας και το laquoτραγικότεροraquo είναι ότι εύκολα microπορεί να καταργήσει και τις δύο έννοιες

(φάση και αρχική φάση) αν κάποιος άρει (και έχει microαθηmicroατικά το δικαίωmicroα) το microοναδικό

περιορισmicroό 0le C4 lt2π που θέτει η οικονοmicroία της περιγραφής των φαινοmicroένων

Γι΄ αυτή και microόνο την αναστάτωση που πιθανώς να επιφέρει στις συνήθειές microας

στις εκφράσεις microας και στον τρόπο σκέψης microας πιστεύω χωρίς αυτό να είναι ούτε

απαραίτητο ούτε αναγκαίο ότι πρέπει να υιοθετήσουmicroε τη δεύτερη δυνατότητα ορι-

σmicroών laquoφάσηςraquo και laquoαρχικής φάσηςraquo και microάλιστα τον εναλλακτικό τρόπο ο οποίος θα

αποδειχτεί παρακάτω πιο laquoφιλικόςraquo

7

Β Παραδείγmicroατα εύρεσης φάσης και αρχικής φάσης στις τα-

λαντώσεις και στη συmicroβολή των κυmicroάτων

Ας ξεκινήσουmicroε ξαναθυmicroίζοντας τρία παραδείγmicroατα από την ανάρτηση laquoΟρισmicroοί και

εξισώσεις κίνησης (β΄ microέρος)raquo

1ο παράδειγmicroα

Υλικό σηmicroείο εκτελεί (απλή) αρmicroονική ταλάντωση που περιγράφεται από εξίσωση κίνησης

της microορφής x=Amiddotηmicro(ωt+C4)

Τη χρονική στιγmicroή t0=2 sec που αρχίζουmicroε να microελετάmicroε την κίνηση το υλικό σηmicroείο βρίσκε-

ται στη θέση m102

2x

10

minussdotminus= (αρχική θέση) και έχει ταχύτητα sec

m 10 2

10 πυ minus= (αρχική τα-

χύτητα) Αν η περίοδος της ταλάντωσης είναι Τ=1 sec να βρεθεί η φάση και η αρχική φά-

ση της αποmicroάκρυνσης στη δεδοmicroένη microορφή εξίσωσης κίνησης

(Στην άσκηση δίνονται δύο συγκεκριmicroένες συνθήκες οι αρχικές Θα microπορούσαν όmicroως να

είναι οποιεσδήποτε άλλες αλλά πάντα δύο)

Λύση

α΄ τρόπος Με τη χρήση των σχέσεων (24) έως (27)

Την εξίσωση κίνησης που microας δίνουν φέρνουmicroε στη microορφή και τους περιορισmicroούς

της συνάρτησης (24)

x=Amiddotηmicro(2πt + C4) microε t ge2 sec Αgt0 και C4 πραγmicroατικός αριθmicroός (30)

Τότε η φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ=2πt + C4 microε t ge2 sec και RC4 isin (30α)

και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ0=2π2+C4 microε τον ισχυρό περιορισmicroό 0le φ0 lt2π (30β)

Εποmicroένως όλο το πρόβληmicroα εντοπίζεται στον υπολογισmicroό της σταθεράς C4

Ας τον κάνουmicroε

Η ταχύτητα του υλικού σηmicroείου είναι

υ=A2πmiddotσυν(2πt + C4) microε t ge2 sec Αgt0 και C4 πραγmicroατικός (31)

Για t=t0=2 sec οι σχέσεις (30) και (31) δίνουν

110

2

2 minussdotminus =Amiddotηmicro(4π+C4) microε Αgt0 και C4 πραγmicroατικός

π110 2 minus =A2πmiddotσυν(4π+C4) microε Αgt0 και C4 πραγmicroατικός

8

Από όπου προκύπτει

Α=10-1

m 2

2C4 minus=ηmicro και

2

2C4 =συν

και τελικά

Α=10-1

m και Zk rad 4

7k2C4 isin+= microε

ππ (32)

Βλέπουmicroε καθαρά πια ότι ενώ η τιmicroή του Α της microιας δηλαδή από τις δύο σταθερές Α και

C4 που επιβάλλει η διαφορική εξίσωση έχει ήδη προσδιοριστεί από τις αρχικές συνθήκες ο

προσδιορισmicroός της ακριβούς τιmicroής του C4 απαιτεί τον ορισmicroό και τον περιορισmicroό που υιο-

θετήσαmicroε για την αρχική φάση

Αυτός είναι και ο βαθύτερος κεφαλαιώδης ποιοτικός διαχωρισmicroός των εννοιών laquoπλάτοςraquo

και laquoαρχική φάσηraquo που κάνει το πλάτος γρήγορα να ανεξαρτητοποιηθεί από τη microορφή της

εξίσωσης κίνησης που θα χρησιmicroοποιήσουmicroε για τη ταλάντωση και έτσι να γίνει έννοια που

αφορά το φαινόmicroενο και όχι τη συνάρτηση την εξίσωση κίνησης δηλαδή

Λέmicroε πλάτος ταλάντωσης αλλά ποτέ αρχική φάση ταλάντωσης

Από τη σχέση (30α) προκύπτει ότι η φάση της αποmicroάκρυνσης στη δεδοmicroένη microορφή της ε-

ξίσωσης κίνησης είναι

φ=2πt+C4=2πt+ Zk 4

7k2 isin+ microε

ππ και t ge2 sec (33)

και εποmicroένως η αρχική φάση είναι

φ0 = 4π+ Zk 4

7k2 isin+ microε

ππ (34)

Πρέπει όmicroως

0le φ0 lt2π

Αντικαθιστώντας στην παραπάνω διπλή ανίσωση την φ0 από την σχέση (34) προκύπτει

k=minus2

Τότε από σχέση (32) προκύπτει

rad 4

9π

4

74C4 minus=+minus=

ππ

και συνεπώς η εξίσωση κίνησης του υλικού σηmicroείου (30) γίνεται

x=10-1

middotηmicro(2πt 4

9πminus ) (SI) microε t ge2 sec (35)

Η φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση κίνησης (35) είναι

φ= 4

9t2

ππ minus και t ge2 sec

και η αρχική φάση

rad 4

7

4

9220

πππϕ =minus=

9

β΄ τρόπος Με τη χρήση των σχέσεων (28) έως (29α)

Την εξίσωση κίνησης που microας δίνουν φέρουmicroε στη microορφή και τους περιορισmicroούς της

συνάρτησης (28)

x=Amiddotηmicro[2π(t‒2)+ φ0 ] t ge 2 sec Agt0 0le φ0lt2π (36)

τότε η φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ=2π(t‒2)+ φ0 t ge 2 sec 0le φ0lt2π (36α)

και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ0

Εποmicroένως όλο το πρόβληmicroα εντοπίζεται στον υπολογισmicroό της φ0

Ας τον κάνουmicroε

Η ταχύτητα του υλικού σηmicroείου είναι υ=2πΑmiddotσυν[2π(t‒2)+ φ0 ] t ge 2 sec Αgt0 0le φ0 lt2π (36β)

Για t=t0=2 sec οι παραπάνω σχέσεις (36) και (36β) αποmicroάκρυνσης και ταχύτητας αντί-

στοιχα δίνουν

110

2

2 minussdotminus =Αηmicroφ0 και π110 2 minus =2πΑσυνφ0

Από όπου

Α=10-1

m 2

20 minus=ηmicroϕ και

2

2 0=συνϕ

Τελικά και microε δεδοmicroένο ότι 0le φ0 lt2π προκύπτει

Α=10-1

m και rad 4

70

πϕ =

Από τη σχέση (36) προκύπτει η εξίσωση κίνησης

x=10-1

middotηmicro[2π(t-2)4

7π+ ) microε t ge2 sec (37)

δηλαδή η

x=10-1

middotηmicro(2πt 4

9πminus ) (SI) microε t ge2 sec (38)

Κατά συνέπεια η φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση κίνησης (38) είναι

φ= 4

9t2

ππ minus microε t ge2 sec

και η αρχική φάση

rad 4

7

4

9220

πππϕ =minus=

τιmicroή την οποία εξάλλου έχουmicroε ήδη βρει

10

2ο παράδειγmicroα

Υλικό σηmicroείο εκτελεί (απλή) αρmicroονική ταλάντωση που περιγράφεται από την εξίσωση

x=10-1

middotηmicro(2πt 4

9πminus ) (SI) microε t ge2 sec (39)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης x στη δεδοmicroένη microορφή της εξίσω-

σης κίνησης στη δεδοmicroένη δηλαδή microορφή της εξίσωσης αρmicroονικής ταλάντωσης

Λύση

α΄ τρόπος Με τη χρήση των σχέσεων (24) έως (27)

Την εξίσωση κίνησης που microας δίνουν φέρνουmicroε στη microορφή και τους περιορισmicroούς

της συνάρτησης (24)

x=Amiddotηmicro(2πt + C4) microε t ge2 sec Αgt0 και C4 πραγmicroατικός (40)

Τότε η φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ=2πt+C4 t ge2 sec RC4 isin (40α)

και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ0=2π2+C4 microε τον ισχυρό περιορισmicroό 0le φ0 lt2π (40β)

Εποmicroένως όλο το πρόβληmicroα εντοπίζεται στον υπολογισmicroό της σταθεράς C4

Ας τον κάνουmicroε

Για να έχει η εξίσωση κίνησης (39) που microας δίνουν τη microορφή της σχέσης (40) για όλες

τις χρονικές στιγmicroές tge2 sec πρέπει να ισχύει

Α=10-1

m και ηmicro(2πt + C4)= ηmicro(2πt 4

9πminus )

και συνεπώς πρέπει

C4=2kπ4

9πminus (40γ)

Τότε η φάση και η αρχική φάση λόγω των σχέσεων (40α) (40β) και (40γ) θα είναι

φ=2πt+2kπ4

9πminus t ge2 sec

φ0=4π+2kπ4

9πminus

Απαιτώντας 0le φ0 lt2π προκύπτει k=0

Άρα η φάση της αποmicroάκρυνσης στην (40) και κατά συνέπεια στην εξίσωση κίνησης

(39) που microας δίνουν είναι

φ=4

π9πt2 minus microε t ge2 sec

και η αρχική φάση είναι

φ0=4

7π

11

β΄ τρόπος Με τη χρήση των σχέσεων (28) και (29)

Την εξίσωση κίνησης που microας δίνουν φέρνουmicroε στη microορφή και τους περιορισmicroούς

της συνάρτησης (28)

x=Amiddotηmicro[2π(t‒2)+ φ0 ] t ge 2 sec Agt0 0le φ0lt2π (41)

Τότε η φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ=2π(t‒2)+ φ0 (41α)

και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ0

Εποmicroένως όλο το πρόβληmicroα εντοπίζεται στον υπολογισmicroό της φ0

Ας τον κάνουmicroε

Μετασχηmicroατίζουmicroε την εξίσωση κίνησης (39) που microας δίνουν ώστε να αποκτήσει τη microορ-

φή της σχέσης (41)

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒2)+4πminus4

9π] t ge 2 sec

και τελικά

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒2)+4

7π] (SI) t ge 2 sec (42)

Άρα η φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση κίνησης (42) και κατά συνέπεια στην εξί-

σωση κίνησης (39) που microας έδωσαν είναι

φ=2π(t‒2)+4

7π=

4

π9πt2 minus microε t ge2 sec

και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ0=4

7π

Σηmicroειώσεις

α) Από το παραπάνω παράδειγmicroα φαίνεται η ευκολία microε την οποία λύνεται το πρόβληmicroα

της φάσης και της αρχικής φάσης microε τον β΄ τρόπο αν φέρουmicroε δηλαδή την εξίσωση κίνη-

σης που microας δίνουν στη microορφή της συνάρτησης (28) microε τους περιορισmicroούς όmicroως που ακο-

λουθούν αυτή τη microορφή Τον τρόπο αυτόν θα ακολουθήσουmicroε και στο επόmicroενο παράδειγmicroα Ίσως κάποιος πει γιατί να τα κάνουmicroε όλα αυτά αφού θα microπορούσαmicroε και microόνο microε παρα-

τήρηση σύγκριση και microε microια αντικατάσταση στην εξίσωση κίνησης (39) που microας δίνουν να

βρούmicroε αυτά που ζητάmicroε πολύ πιο εύκολα

Ο λόγος της ευκολίας που πιθανώς να διακρίνει κάποιος οφείλεται στο γεγονός ότι η (39)

ήταν σχέση laquomicroαγειρεmicroένηraquo Είχε ετοιmicroαστεί από το πρώτο παράδειγmicroα Τα πράmicroατα όmicroως

δε θα είναι πάντα τόσο ευδιάκριτα Θα το διαπιστώσουmicroε στο επόmicroενο παράδειγmicroα

12

β) Η εξίσωση κίνησης (39) που microας δώσανε

x=10-1

middotηmicro(2πt 4

9πminus ) (SI) microε t ge2 sec

είναι microαθηmicroατικά ισοδύναmicroη microε την

x=10-1

middotηmicro(2πt 4

πminus ) (SI) microε t ge2 sec

Κατά συνέπεια αυτή η τελευταία θα microπορούσε κάλλιστα να δοθεί στη θέση της πρώτης

Μήπως αυτό θα επηρέαζε τη φάση και την αρχική φάση που θα βρίσκαmicroε γεγονός που

θα καθιστούσε και τους ορισmicroούς και τις έννοιες άχρηστες

Η απάντηση είναι όχι Οποιαδήποτε microαθηmicroατικά ισοδύναmicroη σχέση και να χρησιmicroοποιήσουmicroε ως εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης εφό-σον ακολουθήσουmicroε microε συνέπεια όσα αναφέραmicroε θα καταλήξουmicroε στην ίδια σχέση για τη φάση και στην ίδια τιmicroή για την αρχική φά-ση

Το γεγονός αυτό δείχνει τη συνέπεια των ορισmicroών που δώσαmicroε για φάση και αρχική φάση

Συνεπώς αν τους υιοθετήσουmicroε που τουλάχιστον βουβά microέχρι τώρα το έχουmicroε ήδη κάνει

στη φυσική δεν θα έχουmicroε αντιφάσεις

γ) Ο λόγος που στην εξίσωση (39) χρησιmicroοποιήσαmicroε το 4

9πminus και όχι το ισοδύναmicroο

4

πminus

ήταν για να δείξουmicroε ότι αυτός που θα microας δώσει microια εξίσωση κίνησης δεν είναι υποχρεω-

microένος να την έχει επεξεργαστεί και να έχει υιοθετήσει κάποιες φόρmicroες ή να έχει προσέξει τις

microαθηmicroατικές ισοδυναmicroίες

Αυτός που θα microας δώσει την εξίσωση κίνησης είναι ελεύθερος να microας δώσει ότι θέλει (microαθηmicroατικά ισοδύναmicroο) αρκεί να δώσει όπως οφείλει να δώσει σε κάθε συνάρτηση το πεδίο ορισmicroού της

3ο παράδειγmicroα

Υλικό σηmicroείο εκτελεί (απλή) αρmicroονική ταλάντωση που περιγράφεται από την εξίσωση κίνη-

σης

x=10-1

middotηmicro(4

πt

3

10π+ ) (SI) microε t ge minus3 sec (41)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης στη δεδοmicroένη microορφή εξίσωσης κί-

νησης

Λύση

Μετασχηmicroατίζουmicroε τη σχέση (41) ώστε να αποκτήσει τη microορφή της σχέσης (28) δηλαδή

να αποκτήσει τη microορφή

x=Amiddotηmicro[ω(t‒t0)+φ0 ] t ge Rt0 isin Agt0 0le φ0 lt2π

13

Πράγmicroατι η (41) γίνεται

x=10-1

middotηmicro[4

π(t+3)minus

4

3π +

3

10π ] t ge -3 sec

ή x=10-1

middotηmicro[4

π(t+3)+

12

31π ] t ge -3 sec

Αφαιρώ (ή προσθέτω αν microε βολεύει) ακέραιο πολλαπλάσιο του 2π προκειmicroένου να δη-

microιουργήσω θετική αρχική φάση περιορισmicroένη σε έναν τριγωνοmicroετρικό κύκλο

x=10-1

middotηmicro[4

π(t+3)minus2π+

12

31π ] t ge -3 sec

και τελικά

x=10-1

middotηmicro[4

π(t+3)+

12

7π ] (SI) microε t ge -3 sec (42)

Άρα η φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση κίνησης (42) και κατά συνέπεια στην εξί-

σωση κίνησης (41) που microας έδωσαν είναι

φ=4

π(t+3)+

12

7π=

4

πt+

3

4π microε t ge-3 sec

και άρα η αρχική φάση θα είναι

φ0=12

7π rad

Σηmicroείωση

Θα είχαmicroε καταλήξει στην ίδια ακριβώς σχέση για τη φάση και στην ίδια τιmicroή

για την αρχική φάση ακόmicroη και αν αρχίζαmicroε από οποιαδήποτε εξίσωση microαθη-

microατικά ισοδύναmicroη microε τη δεδοmicroένη εξίσωση κίνησης όπως πχ από την

x=10-1

middotηmicro(4

πt

3

4π+ ) (SI) microε t ge minus3 sec

Αρκεί η σχέση που θα microας έδιναν να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση να

ήταν ισοδύναmicroη microαθηmicroατικά microε την (41) και κατά συνέπεια να είχε το ίδιο πε-

δίο ορισmicroού microε αυτή

raquo

14

Γ Συmicroπέρασmicroα

(ένας απλός τρόπος υπολογισmicroού φάσης και αρχικής φάσης) Με τα παραπάνω θεmicroελιώνεται microαθηmicroατικά ένας πολύ απλός τρόπος εύρεσης της φάσης

και της αρχικής φάσης σε microια τυχαία εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία microας δίνουν

ή στην οποία καταλήγουmicroε microετά από διάφορους microαθηmicroατικούς microετασχηmicroατισmicroούς

Απαίτηση όmicroως για την εφαρmicroογή αυτού του τρόπου είναι η παρουσία του πεδίου ορισmicroού

της συνάρτησης κάτι που στο κάτω-κάτω είναι και απαίτηση κάθε σοβαρής microαθηmicroατικής

αντιmicroετώπισης

Ας τον δούmicroε

Έστω για παράδειγmicroα ότι microε οποιονδήποτε microαθηmicroατικά σωστό τρόπο καταλήγουmicroε

στην εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης

χ=Αηmicro(ωt+θ) microε t ge t0 (60)

Επειδή οι microαθηmicroατικές microεθοδολογίες δεν ενδιαφέρονται για τις αγωνίες ενός φυσικού δεν είναι καθόλου υπο-χρεωmicroένες να εξασφαλίσουν ότι η ποσότητα θ θα είναι αρχική φάση ούτε ότι η ποσότητα ωt+θ θα είναι φά-ση

Αυτές οι έννοιες αφορούν τον φυσικό ο οποίος θα πρέπει πρώτα να τις ορίσει microε αυστηρότητα (και αυτό microπο-ρεί να γίνει microόνο microέσα από την ξεχωριστή εσωτερική λειτουργία των διαφορικών εξισώσεων όπως έχουmicroε ήδη επισηmicroάνει) και κατόπιν να χρησιmicroοποιήσει την εγγύηση των microαθηmicroατικών για να εξασφαλίσει ότι η αυστηρότητα των ορισmicroών του θα είναι όχι απλά συνεπέστατη λογικά αλλά κυρίως ότι θα δώσει την εγγύηση πως δεν θα προκύψουν παρανοήσεις

Έτσι λοιπόν το θ που θα προκύψει από τους microαθηmicroατικούς microετασχηmicroατισmicroούς

microπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγmicroατικός αριθmicroός

Τότε

1ο βήmicroα Στην (60) εmicroφανίζουmicroε την αρχική τιmicroή του χρόνου t0 γράφοντάς

την microε τη microορφή

x=Aηmicro[ω(t-t0)plusmnθ΄] microε t ge t0

2ο βήmicroα Αν η θ΄ στο όρισmicroα του ηmicroίτονου είναι microέσα σε ένα τριγωνοmicroε-

τρικό κύκλο αυτή είναι η αρχική φάση Αλλιώς προσθέτουmicroε ή

αφαιρούmicroε ακέραια πολλαπλάσια του 2π ώστε microετά την παρά-

σταση ω(t-t0) να εξασφαλίσουmicroε laquoγωνίαraquo φ0 η οποία να είναι

microέσα στον τριγωνοmicroετρικό κύκλο που έχουmicroε επιλέξει

Να είναι δηλαδή στο διάστηmicroα [0 2π) ή στο [-π π) κλπ

x=Aηmicro[ω(t-t0)+φ0] microε t ge t0 (60α)

3ο βήmicroα Η ποσότητα φ=ω(t-t0)+φ0 είναι η φάση και φ0 είναι η αρχική

φάση στη σχέση (60α) Άρα και στην (60) που microας έδωσαν

Τον παραπάνω τρόπο εφαρmicroόσαmicroε ήδη στο 3ο παράδειγmicroα

15

Δ Κύmicroατα

Το έχω ξαναπεί αλλά θα το ξαναπώ γιατί νοmicroίζω ότι microόνο έτσι microόνο όταν πιστέψουmicroε

στα λάθη που microας βάζουνε και διδάσκουmicroε κάποια στιγmicroή θα βρεθούν κάποιοι ικανοί που

θα βρουν τρόπο να ζητήσουν ευθύνες από όλους εκείνους που χρόνια τώρα microας βουλιάξανε

microας βουλιάζουνε και θα βουλιάξουνε γενιές ανθρώπων στα λάθη γράφοντας πανεπιστηmicroια-

κά βιβλία χωρίς ποτέ να microπουν στον κόπο να ξαναψάξουν αυτά που γράφουν

Το κεφάλαιο laquoΚύmicroαταraquo που διδάσκουmicroε είναι το λιγότερο λανθασmicroένο Λανθασmicroένο

πιο πολύ από τις ταλαντώσεις γιατί τα laquoκύmicroαταraquo κουβαλάνε όλα τα λάθη των ταλα-

ντώσεων και κάτι ακόmicroη που είναι πιο τραγικά λανθασmicroένο Τη διάδοση

Η διδασκαλία microας στο κεφάλαιο laquoΚύmicroαταraquo ΔΥΣΤΥΧΩΣ ΣΤΗΡΙΖΕΤΑΙ ΣΤΗ ΔΙΑ-

ΔΟΣΗ ΤΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ

Μα αυτά που διδάσκουmicroε ούτε laquoκύmicroαταraquo είναι ούτε διαδίδονται

Και έτσι εmicroείς οι απλοί φυσικοί της γειτονιάς γινόmicroαστε τραγικές φιγούρες microιας και microετά

από ένα κεφάλαιο γεmicroάτο λάθη όπως είναι οι laquoταλαντώσειςraquo αναγκαζόmicroαστε να λέmicroε να

βρίσκουmicroε να διδάσκουmicroε να microπαλώνουmicroε και να εmicroπλουτίζουmicroε microε ασκήσεις το δεύτερο

κεφάλαιο laquoΤα κύmicroαταraquo που είναι ακόmicroη πιο λανθασmicroένο

Η εmicroπειρία microου ως αεί υφιστάmicroενος τόσων και τόσων σε ένα Υπουργείο Παιδείας που η-

δονίζεται να αλλάζει ονόmicroατα microόνο και όχι ουσία microου λέει τούτο το απλό

Όταν τόσοι φυσικοί δυσκολευόmicroαστε κάποιες φορές να κατανοήσουmicroε αυτά που διδάσκου-

microε και που γράφει ένα σχολικό βιβλίο προορισmicroένο για microαθητές λυκείου σίγουρα κάποιοι

άλλοι κάνανε χοντρά λάθη ως laquomicroέντορεςraquo (γελοιοποίηση microιας ακόmicroη όmicroορφης αρχαίας λέ-

ξης) και microας βάλανε να διδάξουmicroε τα λάθη τους microε τέτοιο τρόπο που στο τέλος

ξεχάσαmicroε ότι ήταν δικά τους λάθη και νοmicroίσαmicroε ότι όλα ήταν δικά microας σω-

στά

Παρακάmicroπτω λοιπόν την ανύπαρκτη φυσική της συmicroβολής των laquoκυ-

microάτωνraquo που διδάσκουmicroε και χρησιmicroοποιώντας microόνο την ορολογία της θα προσπα-

θήσω microέσα από microια microατιά laquoγυmicroνάraquo microαθηmicroατική να εφαρmicroόσω στο συγκεκριmicroένο laquoφαινόmicroε-

νοraquo όσα προαναφέραmicroε Επικαλούmicroενος και ελπίζοντας microόνο στην αυστηρότητα του ορισmicroού

Αν εφαρmicroόσουmicroε microε συνέπεια τους αυστηρούς ορισmicroούς της φάσης και της αρχικής φάσης

που δώσαmicroε κι αν σε φαινόmicroενα ίδιας ποιότητας δεν αρνηθούmicroε τις microαθηmicroατικές πορείες

που καταγράψαmicroε κι ακολουθήσαmicroε στις τρεις προηγούmicroενες αναρτήσεις laquoΟρισmicroοί και

εξισώσεις κίνησης α΄ β΄ και γ΄ microέροςraquo τότε δε θα υπάρξουν συλλογιστικά αδιέξοδα

Ας το δούmicroε (τα σύmicroβολα που χρησιmicroοποιούνται θεωρούνται αυτονόητα)

Στην εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης

minus=λ

πηmicro 11

r

T

t2Ay microε

υ1rt ge (61)

16

που επιβάλλει στο τυχαίο σηmicroείο Μ το πρώτο laquoκύmicroαraquo όταν έχει διαδοθεί microόνο του οι έν-

νοιες της φάσης και της αρχικής φάσης είναι καθορισmicroένες microε απόλυτη σαφήνεια αρκεί να

microην ξεχάσουmicroε το πεδίο ορισmicroού

φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (61)

λππ

ϕ 1r2

T

t2minus= microε

υ1rt ge

αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (61)

φ0=0 rad

Στην εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης

minus=λ

πηmicro 22

r

T

t2Ay microε

υ2rt ge (62)

που επιβάλλει στο τυχαίο σηmicroείο Μ το δεύτερο laquoκύmicroαraquo όταν έχει διαδοθεί microόνο του οι έν-

νοιες της φάσης και της αρχικής φάσης είναι καθορισmicroένες microε απόλυτη σαφήνεια αρκεί να

microην ξεχάσουmicroε το πεδίο ορισmicroού

φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (62)

λππ

ϕ 2r2

T

t2minus= microε

υ2rt ge

αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (62)

φ0=0 rad

Μετά τη laquoσυmicroβολή των δύο κυmicroάτωνraquo η εξίσωση ταλάντωσης του ση-

microείου Μ είναι

minus+

minus=+=λ

πηmicroλ

πηmicro 2121

r

T

t2A

r

T

t2Ayyy microε

geυυ

21 r

rmax t (63)

Στη σχέση (63) οι έννοιες laquoφάσηraquo και laquoαρχική φάσηraquo δεν ορίζο-

νται Δεν υπάρχουν

Η κίνηση που αποδίδεται microε τη σχέση (63) είναι επαλληλία των εξισώσεων κίνησης δύο

αρmicroονικών ταλαντώσεων (επαλληλία δύο αρmicroονικών συναρτήσεων δηλαδή και όχι πραγmicroα-

τικών κινήσεων) ίδιας διεύθυνσης ίδιας συχνότητας και ίδιας laquoθέσης ισορροπίαςraquo

17

Είναι επαλληλία των συναρτήσεων y1 και y2

Η σύνθεσή τους η y δηλαδή είναι microια (πραγmicroατική) αρmicroονική ταλάντωση ίδιας διεύθυν-

σης ίδιας συχνότητας και ίδιας θέσης ισορροπίας microε τις συνιστώσες εξισώσεις κίνησης ή

καλύτερα microε τους προσθετέους της (63)

Όπως είναι γραmicromicroένη η εξίσωση (63) δεν έχουmicroε κανένα δικαίωmicroα να microιλάmicroε

ούτε για laquoφάσηraquo ούτε για laquoαρχική φάσηraquo

Για να αποκτήσουmicroε αυτό το δικαίωmicroα πρέπει να τη φέρουmicroε σε microορφή που να διαθέτει

ένα microόνο τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό και δη ή microόνο ένα ηmicroίτονο ή microόνο ένα συνηmicroίτονο

Με άλλα λόγια

αν θέλουmicroε να microιλάmicroε για φάση και αρχική φάση στην σχέση (63) εξίσωση συmicroβολής των

κυmicroάτων θα πρέπει να τη φέρουmicroε στη microορφή

( )0t Ay ϕωηmicro prime+prime=

ή στη microορφή

( )0t Ay ϕωσυν primeprime+primeprime=

Τότε όmicroως

για να microην καταρρεύσουν αmicroφότεροι οι ορισmicroοί κι εποmicroένως και οι έννοιες

της φάσης και της αρχικής φάσης θα πρέπει να φροντίσουmicroε η αρχική φάση

να περιοριστεί σε ένα τριγωνοmicroετρικό κύκλο

για να αποφύγουmicroε κάθε επικίνδυνη ρευστότητα θα πρέπει να τεθεί οπωσ-

δήποτε το πεδίο ορισmicroού της συνάρτησης

για να microην υπάρξουν συλλογιστικά αδιέξοδα θα πρέπει να ακολουθήσουmicroε

microε συνέπεια την πορεία που καταγράψαmicroε στα παραδείγmicroατα 1-3 για τον

υπολογισmicroό φάσης και αρχικής φάσης ή έστω να εφαρmicroόσουmicroε τον απλό

τρόπο που καταγράφεται στη σελίδα 14

Ο microετασχηmicroατισmicroός της (63) ώστε να περιέχει ένα microόνο τριγωνο-

microετρικό αριθmicroό microπορεί να γίνει microε διάφορους τρόπους

1ος τρόπος Χρησιmicroοποιώντας τους τύπους της επαλληλίας εξισώσεων κίνησης

Αν έχουmicroε αριθmicroητικά δεδοmicroένα και δε θέλουmicroε να microπλεχτούmicroε microε πολλά microαθηmicroατικά

microπορούmicroε να χρησιmicroοποιήσουmicroε τους τύπους του σχολικού βιβλίου για την επαλληλία εξι-

σώσεων αρmicroονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης ίδιας συχνότητας και ίδιας θέσης ισορ-

ροπίας

Τους τύπους αυτούς όmicroως θα πρέπει να ισχυροποιήσουmicroε ώστε να συmicroπεριλάβουν περι-

πτώσεις όπου και οι δύο ταλαντώσεις έχουν αρχική φάση και να εmicroπλουτίσουmicroε microε έναν ε-

πιπλέον τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό ή microε κάποια επιπλέον microαθηmicroατική microας δεξιότητα microιας και η

σχέση microε την εφθ microόνη της δε microπορεί να προσδιορίσει την αρχική φάση θ έστω κι αν αυτή

περιοριστεί σε έναν τριγωνοmicroετρικό κύκλο

18

( Επαλληλία εξισώσεων αρmicroονικών ταλαντώσεων

x1=Α1middotηmicro(ωt+φ1) και x2=Α2middotηmicro(ωt+φ2)

x=x1+ x2=Aηmicro(ωt+θ)

όπου )(AA2AAA 21212

22

1 ϕϕσυν minus++= Α

ηmicroϕΑηmicroϕΑηmicroϑ 2211 +

= (64)

2211

2211

AA

AA

συνϕσυνϕηmicroϕηmicroϕ

εϕϑ+

+=

ΑσυνϕΑσυνϕΑ

συνϑ 2211 +=

microε 0leθlt2π

Τέτοιου είδους αντιmicroετωπίσεις έχουν ήδη καταχωρηθεί στο δίκτυο)

2ος τρόπος Μετασχηmicroατίζουmicroε την (63) και φτάνουmicroε στη microορφή

+minussdot

minus=

λΤπηmicro

λπσυν

2

rrt2

2

rr2A2y 2121 microε

geυυ

21 r

rmax t (65)

Αφού φιλοδοξούmicroε η (65) να περιγράφει πραγmicroατική κίνηση (κι όχι να είναι κα-

νένας προσθετέος σε επαλληλία εξισώσεων κίνησης) και επιθυmicroούmicroε οι έννοιες laquoφάσηraquo και

laquoαρχική φάσηraquo να έχουν νόηmicroα θα πρέπει ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ να χειρι-

στούmicroε την (65) microε τους τρόπους που δείξαmicroε στα παραδείγmicroατα 1-3

Αν δηλαδή επιθυmicroούmicroε να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση στην

(65) θα πρέπει να χρησιmicroοποιήσουmicroε ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ το πεδίο ορισmicroού

της και τον περιορισmicroό της αρχικής φάσης σε ένα τριγωνοmicroετρικό κύκλο

(Το να χειριστούmicroε τη σχέση (65) γενικά ώστε να εmicroφανιστούν γενικοί περιορισmicroοί στο πεδίο ορισmicroού και στην

αρχική φάση του ενός τριγωνοmicroετρικού κύκλου νοmicroίζω ότι θα είναι άσκοπο microιας και ο χρόνος που θα απαιτήσει

η γραφή αυτή θα ΄ναι microεγάλος και η αξία των τύπων ελάχιστη Γι΄ αυτό καταφεύγω σε παραδείγmicroατα)

4ο παράδειγmicroα

Έστω ότι σε κάποιο πρόβληmicroα συmicroβολής κυmicroάτων y1= και y2= αντικαθι-

στούmicroε τα δεδοmicroένα στην εξίσωση της συmicroβολής (65) και βρίσκουmicroε ότι το σηmicroείο Μ που απέ-

χει r1= και r2= από τις πηγές ταλαντώνεται αρmicroονικά microε εξίσωση

y=10-1

middotηmicro(2πt 4

11πminus ) (SI) microε t ge 6 sec (66)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης του Μ στην (66)

19

Λύση

1ος τρόπος

Κάνουmicroε ότι κάναmicroε στο παράδειγmicroα 2 στη σελίδα 10 ή στο παράδειγmicroα 3 στη σελίδα 12 αυ-

τής της ανάρτησης

2ος τρόπος

Για πιο γρήγορα ακολουθούmicroε τα βήmicroατα της σελίδας 14

1ο βήmicroα Μετασχηmicroατίζουmicroε την εξίσωση κίνησης (66) ώστε να εmicroφανιστεί η

αρχική τιmicroή χρόνου 6 sec microέσω της microορφής ω(t-t0)=2π(t-6)

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+12πminus4

11π] t ge 6 sec

και τελικά

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

37π] (SI) t ge 6 sec (67)

2ο βήmicroα Στο όρισmicroα του ηmicroίτονου microετά την ποσότητα 2π(t-6) η laquoγωνίαraquo 4

37π

δεν είναι microέσα στο διάστηmicroα [02π) που έχουmicroε υιοθετήσει ως περιορι-

σmicroό της αρχικής φάσης

Εποmicroένως πρέπει να αφαιρέσουmicroε κατάλληλα ακέραια πολλαπλάσια

του 2π

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

37πminus4middot2π] (SI) t ge 6 sec

από όπου τελικά

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

5π] (SI) t ge 6 sec (67α)

3ο βήmicroα Στην (67α) που καταλήξαmicroε microε την παραπάνω διαδικασία

η φάση είναι φ=2π(t‒6)+4

5π microε t ge 6 sec

και η αρχική φάση είναι φ0=4

5π rad

Το ίδιο συνεπώς θα ισχύει και για την (67)

Βέβαια όλα τα παραπάνω microπορούν να γίνουν πολύ πιο γρήγορα αρκεί να έ-

χουmicroε στο microυαλό microας ότι για να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση σε microια

εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία microας έδωσαν ή στην οποία καταλήξα-

microε θα πρέπει να τη microετασχηmicroατίσουmicroε ώστε

να εmicroφανίσουmicroε την αρχική τιmicroή του χρόνου microε τη microορφή που είπαmicroε

να εξασφαλίσουmicroε ότι ο προσθετέος που δεν περιέχει χρόνο είναι σε

διάστηmicroα ενός τριγωνοmicroετρικού κύκλου και microάλιστα στη microορφή που έ-

χουmicroε επιλέξει για την αρχική φάση ([02π) ή [-ππ) ή )

20

5ο παράδειγmicroα

Έστω ότι σε κάποιο πρόβληmicroα συmicroβολής κυmicroάτων y1= και y2= αντικαθι-

στούmicroε τα δεδοmicroένα στην εξίσωση της συmicroβολής (65) και βρίσκουmicroε ότι το σηmicroείο Μ που απέ-

χει r1= και r2= από τις πηγές ταλαντώνεται αρmicroονικά microε εξίσωση

y=minus10-1

middotηmicro(2πt4

9πminus ) (SI) microε t ge 05 sec (68)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης του Μ στην (68)

Λύση

Η (68) γίνεται διαδοχικά

y=minus10-1

middotηmicro(2πt4

9πminus ) = 10

-1middotηmicro(2πt+π

4

9πminus )=10

-1middotηmicro(2πt

4

5πminus )=10

-1middotηmicro[2π(tminus05)

4

πminus ]

και τελικά

y=10-1

middotηmicro[2π(tminus05)4

7π+ ] (68α)

Η (68α) έχει εmicroφανίσει την αρχική τιmicroή χρόνου 05 sec στη microορφή που θέλουmicroε και προ-

σθετέο 4

7π που δεν περιέχει χρόνο t και βρίσκεται στο διάστηmicroα [02π)

Άρα η φάση και η αρχική φάση της (68) είναι ίδιες microε εκείνες της (68α)

∆ηλαδή

Φάση φ=2π(tminus05)4

7π+ =2πt

4

3π+ microε t ge 05 sec

Αρχική φάση rad 4

7π0 =ϕ

Φάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολή

Ο Νίκος (Ανδρεάδης) microε δύο ευφυέστατες αναρτήσεις

laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολήraquo

laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολή-Μέρος δεύτεροraquo

που βρίσκονται στη διεύθυνση

httpylikonetgrprofilesblogsphhaseis-kai-antiphhaseis-ste

microας ώθησε να ακούσουmicroε κάποιους τριγmicroούς από την ψεύτικη πραγmicroατικότητα των

κυmicroάτων που διδάσκουmicroε

21

Γράφει λοιπόν

laquoΝ=6 1r 15= m

1 2r r 6 λminus = sdot

2r 03= m

Για t 3ge s η εξίσωση κίνησης προκύπτει από την επαλληλία των εξισώσεων

11

2πr2πty A ηmicro

T λ

= sdot minus

και 2

2

2πr2πty A ηmicro

T λ

= sdot minus

Μετά από πράξεις

( )1y 01 ηmicro 5πt 15π= sdot minus και ( )2

y 01 ηmicro 5πt 3π= sdot minus

Σύmicroφωνα microε τη σχέση 1 2 1 2r r r r2πt

y 2A συν 2π ηmicro π2λ T λ

minus += sdot sdot minus

microετά από πράξεις προκύπτει

( )y 02 ηmicro 5πt 9π= sdot minus

Η φάση (της αποmicroάκρυνσης στην παραπάνω εξίσωση) δίνεται από τη σχέση φ 5πt 9π= minus

Για t 3= s (προκύπτει η αρχική) φάση (η οποία) είναι 6π rad

παρατηρούmicroε ότι 7 σηmicroεία του microέσου τα οποία ξεκινούν την ίδια στιγmicroή την ίδια κίνηση από τη θέ-

ση ισορροπίας microε θετική ταχύτητα περιγράφονται microε διαφορετικές εξισώσεις και την στιγmicroή της εκκί-

νησης έχουν διαφορετική φάση

Οι απορίες microου

Ποιο είναι το φυσικό νόηmicroα των τιmicroών 0π 2π 4π 6π και 8π

Έχει νόηmicroα να ζητήσουmicroε τη διαφορά φάσης ενός από αυτά τα σηmicroεία microε microια πηγή

Αν όmicroως δούmicroε το θέmicroα ως σύνθεση δύο ταλαντώσεων που βρίσκονται σε συmicroφωνία φάσης καταλή-

γουmicroε αmicroέσως στο συmicroπέρασmicroα ότι και στις 7 περιπτώσεις η κίνηση για t 3ge s περιγράφεται από την

εξίσωση ( )y 02 ηmicro 5πt 15π= sdot minus (SI)

Η φάση δίνεται από τη σχέση φ 5πt 15π= minus (SI)

Για t 3= s η (αρχική) φάση είναι 0π rad ∆ηλ τη στιγmicroή της εκκίνησης έχουmicroε microηδενισmicroό της φάσης

για τα 7 σηmicroεία κάτι λογικό αφού τότε και τα 7 ξεκινούν microια νέα κίνηση από τη θέση ισορροπίας microε

θετική ταχύτηταraquo

Στους προβληmicroατισmicroούς που έθεσε ο Νίκος θα επιχειρήσω microια το-

ποθέτηση

Κατά τη γνώmicroη microου το microόνο που microπορεί να microας γλιτώσει από το παραπάνω παράδοξο είναι

η microαθηmicroατική αυστηρότητα microε την οποία φροντίσαmicroε να εφοδιάσουmicroε (και έτσι πρέπει

να γίνεται πάντα αν και πολλές φορές τούτο το απλό το ξεχνάmicroε) τους ορισmicroούς φάση και

αρχική φάση

Η αντίρρησή microου επικεντρώνεται στη φράση

laquoη φάση στην εξίσωση ( )y 02 ηmicro 5πt 9π= sdot minus δίνεται από τη σχέση φ 5πt 9π= minus raquo

η οποία εξάλλου είναι και η υπεύθυνη για τις αντιφάσεις που έχει εντοπίσει ο Νίκος

Προκειmicroένου να βρεθούν η φάση και η αρχική φάση στην εξίσωση microιας αρmicroονικής

ταλάντωσης πρέπει να ακολουθηθούν ορισmicroένες διαδικασίες

22

Αυτό δεν είναι ούτε σωσίβιο ούτε σοφιστεία ούτε κάποια κίνηση απελπισίας Είναι η ου-

σία του ορισmicroού που υιοθετήσαmicroε για τις δύο αυτές έννοιες

Η αυστηρότητα των ορισmicroών που δώσαmicroε ως φυσικοί εξασφαλίζει ότι τα microαθηmicroατικά όχι

microόνο θα microπορέσουν να εγγυηθούν τη συνέπεια των συλλογισmicroών και αποτελεσmicroάτων microας

αλλά θα ενσωmicroατώσουν microέσα τους τελείως διαφανείς πορείες απαραίτητες για την αυτοδυ-

ναmicroία και ισχύ του φυσικού έστω κι αν ένας microαθηmicroατικός αδιαφορήσει τελείως γι΄ αυτές

Αυτό δεν είναι παραλογισmicroός αλλά συνειδητοποίηση του διαφορετικού ρόλου

και της διαφορετικής ευθύνης των δύο ειδικοτήτων˙ του φυσικού και του microαθη-

microατικού

Κοντολογίς

Προκειmicroένου να διατηρήσουmicroε το δικαίωmicroα να χρησιmicroοποιούmicroε στο λεξιλόγιό microας τις λέξεις

φάση και αρχική φάση επιβάλλεται από τα microαθηmicroατικά να είmicroαστε συνεπείς microε τους ορι-

σmicroούς που τους δώσαmicroε και να τις χειριζόmicroαστε microε ειδικό τρόπο σε καθορισmicroένες πορείες

Αν δε το κάνουmicroε αυτό τα microαθηmicroατικά θα microας γυρίσουν την πλάτη

κι εmicroείς θα βουλιάξουmicroε στις παρανοήσεις στα αδιέξοδα και τις λο-

γικές ασυνέπειες

Σύmicroφωνα λοιπόν microε όσα έχουν αναφερθεί για να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση στην εξίσωση κίνησης

y=02middotηmicro(5πtminus9π) microε tge3 sec (69)

πρέπει να εmicroφανίσουmicroε microέσα της την αρχική τιmicroή του χρόνου 3 sec και να αφαιρέσουmicroε τα

ακέραια πολλαπλάσια του 2π microε τέτοιο τρόπο ώστε η αρχική φάση να είναι microέσα στη microορ-

φή του τριγωνοmicroετρικού κύκλου που υιοθετήσαmicroε

Πράγmicroατι η (69) γίνεται

y=02middotηmicro(5πtminus9π)=02middotηmicro[5π(t-3)+6π]

και τελικά

y=02middotηmicro[5π(t-3)+0] microε tge3 sec (69α)

Η (69α) και κατά συνέπεια και η (69) έχουν

Φάση φ=5π(t-3)+0=5πt-15π microε tge3 sec

Αρχική φάση φ0=0 rad

Νοmicroίζω ότι τώρα πια δεν υπάρχει καmicroιά αντίφαση microιας και όλες οι συλλογιστικές και όλες

οι microαθηmicroατικές πορείες θα δώσουν ακριβώς τα ίδια αποτελέσmicroατα

α) Και τα επτά σηmicroεία Ν=0 έχουν την ίδια φάση φ=5πt-15π microε tge3 sec και την ί-

δια αρχική φάση φ0=0 rad

23

β) Υπάρχει απόλυτη συλλογιστική συνέπεια σε όλα αφού όπως έχει ήδη επισηmicroάνει ο Νί-

κος laquoκαι τα 7 σηmicroεία πρέπει να έχουν την ίδια φάση και αρχική φάση αφού ξεκινούν microια

νέα κίνηση από τη θέση ισορροπίας microε θετική ταχύτηταraquo

γ) Είτε χρησιmicroοποιηθούν οι τύποι σύνθεσης ταλαντώσεων είτε χρησιmicroοποιηθεί ο τύ-

πος της συmicroβολής κυmicroάτων είτε οποιαδήποτε άλλη microαθηmicroατική διαδροmicroή τα αποτελέ-

σmicroατα φάσης και αρχικής φάσης θα είναι απολύτως ίδια

δ) laquoΚάθε κίνηση έχει φάση που microας πληροφορεί για πόσο χρόνο παρακολουθούmicroε τη συ-

γκεκριmicroένη κίνησηraquo

ε) Απορία

laquoΠοιο είναι το φυσικό νόηmicroα των τιmicroών 0π 2π 4π 6π και 8πraquo

Απάντηση

laquoοι τιmicroές 0π 2π 4π 6π και 8π που προκύπτουν microε (απλή-ανώδυνη) εφαρmicroογή της γνω-

στής σχέσης ηmicroΑ+ηmicroΒ=hellip δεν έχουν κανένα γνωστό ωφέλιmicroο φυσικό νόηmicroαraquo

Η εφαρmicroογή της σχέσης ηmicroΑ+ηmicroΒ= δεν οδηγεί πάντα απευθείας σε σχέση στην οποία να

είναι άmicroεσα διαφανείς η φάση και η αρχική φάση microιας εξίσωσης αρmicroονικής κίνησης

Ο τελικός τύπος χρειάζεται οπωσδήποτε επεξεργασία

στ) Απορία

laquoΈχει νόηmicroα να ζητήσουmicroε τη διαφορά φάσης ενός από αυτά τα σηmicroεία microε microια πηγήraquo

Απάντηση

Όχι Δεν πρέπει να ζητήσουmicroε τέτοιο πράγmicroα αν δε είmicroαστε έτοιmicroοι να αυτοκτονήσουmicroε ή να

microπούmicroε σε ατέλειωτες microαθηmicroατικές αναζητήσεις για να γλιτώσουmicroε microόνο και microόνο τη συνέ-

πεια της εννοιολογικά λανθασmicroένης laquoπραγmicroατικότηταςraquo των κυmicroάτων που διδάσκουmicroε

Η παρουσία πηγών επιβάλλει άλλου είδους κύmicroατα εmicroπλουτισmicroένα και microε άλλες έννοιες και

microε microαθηmicroατικούς χειρισmicroούς αρκετά δύσκολους microιας και στις διαφορικές εξισώσεις πρέπει

να παρθούν υπόψη συνοριακοί περιορισmicroοί

Στην πρώτη σελίδα της ανάρτησής microου laquoΟρισmicroοί και εξισώσεις κίνησης γ΄ microέροςraquo έγραφα κάτι που όσο περνάει ο καιρός το πιστεύω όλο και πιο πολύ

laquoδιδάσκουmicroε ˝κύmicroατα˝ που δήθεν διαδίδονται microε ταχύτητα υ έχουν αρχικές φάσεις έχουν

πηγές που τα παράγουν και πολλές φορές δύο πηγές για να έχουmicroε συmicroβολή

Μα αυτά που διδάσκουmicroε ούτε κύmicroατα είναι ούτε διαδίδονται ούτε πηγές περιέχουν

ούτε είναι κάπου και τρέχουν να πάνε κάπου αλλού ούτε ξεκινάνε από κάπου ούτε ούτε

ούτε

Στα κεφάλαια ˝Κύmicroατα˝ και ˝Μηχανική Στερεού Σώmicroατος˝ της Φυσικής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου ειλικρινά microε πιάνει απελπισία Τα πράmicroατα εκεί σκοτεινιάζουν τόσο πο-λύ Τί να πεις και από πού να αρχίσεις raquo

24

Στο σηmicroείο αυτό όmicroως νιώθω υποχρεωmicroένος να τονίσω ότι η αρνητικότατη στάση

microου απέναντι σε αυτό που microας βάζουν να διδάσκουmicroε ως κύmicroατα δεν πρέπει στο

ελάχιστο να θεωρηθεί ως απόρριψη της προσπάθειας συναδέλφων να microας δώσουν

ένα πλήθος ασκήσεων θέσεων αναλύσεων διαγωνισmicroάτων κλπ που έχουν σχέση

microε κύmicroατα και microε συmicroβολή κυmicroάτων που περιέχουν πηγές

Στο σχολείο πρέπει να κάνουmicroε αυτό που επιτάσσουν οι πανελλαδικές Άρα πέρα

από όλες τις διαφωνίες microεταξύ microας θα πρέπει προσωπικά να βρω ασκήσεις και θέ-

microατα να δώσω στα παιδιά για να καλύψω την ανήθικη έλλειψη ασκήσεων από το

σχολικό βιβλίο

Επίσης θα πρέπει να βρω τρόπο να microην καταρρεύσει η συλλογιστική των παιδιών

έστω και σαθρή πριν τις εξετάσεις

Αυτό microε τη σειρά του σηmicroαίνει ότι πρέπει να έχω επιχειρήmicroατα και υλικό κοmicromicroένο

στις συγκεκριmicroένες ανάγκες τους

Σε αυτό το σηmicroείο η βοήθεια που microου πρόσφεραν και microου προσφέρουν οι συνάδελ-

φοι του δικτύου και κάποια αξιόλογα εξωσχολικά βιβλία είναι όχι απλά πολύτιmicroη

αλλά ανεπανάληπτη

Με πολύ ανακούφιση δέχοmicroαι και παίρνω πολύτιmicroα διαγωνίσmicroατα ασκήσεις και υ-

λικό που προσφέρουν απλόχερα διάφοροι συνάδελφοι και που αναφέρονται σε κύmicroα-

τα που προέρχονται από πηγές και που συmicroβάλλουν

Επί τη ευκαιρία τους ευχαριστώ που microου δίνουν τον κόπο τους Κάποιες φορές microά-

λιστα αποτελεί πηγή αναθεωρήσεων και καινούριων αναζητήσεων microου

Ε Παρατηρήσεις

1) Η εξίσωση της αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία θα microας δώσουν ή στην οποία θα κα-

ταλήξουmicroε microετά από κάποια microαθηmicroατική επεξεργασία δεν είναι υποχρεωmicroένη να δηλώνει

καθαρά τη φάση και την αρχική φάση Εκείνο που πρέπει οπωσδήποτε να επισηmicroάνουmicroε εί-

ναι ότι φάση δεν είναι η ποσότητα που βρίσκεται microέσα στον τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό

Η εύρεση της φάσης και της αρχικής φάσης θέλουν διαδικασία η οποία θα απαιτήσει το

πεδίο ορισmicroού της εξίσωσης που microας δίνουν για την ταλάντωση ή για το κύmicroα

Ας του δώσουmicroε έmicroφαση microε microια άσκηση χωρίς κανένα απολύτως νόηmicroα

Στην παρακάτω εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης να βρεθεί η φάση και η αρχική

φάση της αποmicroάκρυνσης

y=10-1middotηmicro(2πt 4

11πminus )

Ο λόγος που αυτή η άσκηση είναι α-νόητη είναι γιατί δεν έχει δοθεί το πεδίο ορισmicroού Αλ-

λάζοντας το πεδίο ορισmicroού όπως ήδη έχουmicroε δείξει θα αλλάξει τόσο η συνάρτηση της φά-

σης όσο και η τιmicroή της αρχικής φάσης (∆ες σελίδα 18)

25

2) Η εύρεση της διαφοράς φάσης ανάmicroεσα σε δύο microεγέθη του ίδιου

φαινοmicroένου είναι ακόmicroη πιο επίπονη διαδικασία

Το θέmicroα αυτό είχε θέσει ο Θοδωρής microε microια ανάρτησή του που βρίσκεται στη διεύθυνση httpylikonetgrgroupthemataforumtopicsphhasearchikhe-

phhasediaphorhacommentId=36477953AComment3A16659ampgroupId=36477953AGroup3A5901

Όπως στην περίπτωση της φάσης και αρχικής φάσης οι αρmicroονικές συναρτήσεις πρέπει να

laquoετοιmicroαστούνraquo έτσι και στην περίπτωση που microας ζητάνε να βρούmicroε διαφορά φάσης ανάmicroε-

σα σε δύο φυσικά microεγέθη που εκφράζονται microε αρmicroονικές συναρτήσεις οι συναρτήσεις αυτές

πρέπει οπωσδήποτε να ετοιmicroαστούν κατάλληλα

3) Το πιο σηmicroαντικό στο οποίο εστιάζουν οι εργασίες microου (άσχετα αν τα καταφέρνω να

το δείξω ή όχι) είναι η microεθοδολογία που πρέπει να ακολουθούmicroε όταν θέλουmicroε να λύσουmicroε

microια διαφωνία microας να προχωρήσουmicroε microια αναζήτησή microας να βρούmicroε διέξοδο σε microια αντίφα-

ση να συνειδητοποιήσουmicroε microια έννοια

Κατά τη γνώmicroη microου πρέπει να ξεκινάmicroε από τους ορισmicroούς και αφού εξασφαλίσουmicroε την

αυστηρότητά τους να προχωρήσουmicroε σε απλές έστω εννοιολογικές κατακτήσεις απαραίτη-

τες όmicroως για την αναπνοή microας ως φυσικών ή ως ενδιαφεροmicroένων για τη φυσική

laquohellipΗ αξία των ορισmicroών εντοπίζεται στη σωστή θέση που πρέπει να κατέχουν κατά τη συνεννόηση microε-

ταξύ των φυσικών και στον κορυφαίο και αναντικατάστατο ρόλο που πρέπει microε κάθε σεβασmicroό να απο-

δεχτούmicroε ότι διαδραmicroατίζουν στη διαmicroόρφωση της δοmicroής της γλώσσας που χρησιmicroοποιεί η Φυσική

∆εν γίνεται να κάνεις Φυσική αν δεν έχεις τα σωστά κατάλληλα λόγια για να περιγράψεις στους άλ-

λους το όmicroορφο

Η Φυσική έχει ορισmicroούς που δεν είναι διαπραγmicroατεύσιmicroοι και microαθηmicroατικές microεθοδολογίες που δεν

πρέπει να αγνοούνται αν θέλουmicroε να έχουmicroε συνέπεια και να εξασφαλίζουmicroε απόλυτη διαφάνεια στους

συλλογισmicroούς microας

∆εν πρέπει να χαλάmicroε τη γλώσσα γιατί αλλιώς χαλάει η σκέψη και η επικοινωνία microεταξύ microας Πρέπει να δεχτούmicroε στην ψυχή microας (όχι στα λόγια) ότι οι ορισmicroοί έχουν αξία και να συνειδητοποιή-

σουmicroε την microοναδική τους ιδιότητα Αυτή που είναι και η αιτία της ύπαρξής τους Να είναι χρήσιmicroοι

Οι ορισmicroοί ή είναι χρήσιmicroοι ή δεν υπάρχουν Τα λόγια της Φυσικής δε φτιάχτηκαν για να περιγράφουν αλλά για να έχουν συγχρόνως τη δυνατότητα και να

προφητεύουνraquo

4) Στο παράδειγmicroα του Νίκου για τις φάσεις και τις αντιφάσεις χρησιmicroοποιήθηκαν σηmicroεία

όπου είχαmicroε ενισχύσεις

Θα παρακαλούσα το Νίκο αλλά και όποιον άλλο συνάδελφο θέλει να κάνει microια άσκηση

ή microια προσοmicroοίωση microε πιο γενικά σηmicroεία στη συmicroβολή κυmicroάτων και να υπολογίσει τις

φάσεις και τις αρχικές φάσεις στην εξίσωση ταλάντωσης των σηmicroείων αυτών δίνοντας έmicro-

φαση πάντα το πεδίο ορισmicroού και στον περιορισmicroό της αρχικής φάσης σε έναν τριγωνοmicroε-

τρικό κύκλο πχ της microορφής [02π)

Πιστεύω ότι έτσι κάποια πράγmicroατα θα γίνουν πολύ πιο ευδιάκριτα πιο απλά και το κυριό-

τερο θα περάσουν πιο εύκολα στους συναδέλφους

5) Τελειώνοντας οφείλω να πω ότι η σηmicroερινή microου ανάρτηση ουσιαστικά οφείλεται

στους προβληmicroατισmicroούς που microας έθεσε ο Νίκος (Ανδρεάδης) πάνω στη συmicroβολή των κυmicroά-

των microε το laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολήraquo

Έχοντας ξεκινήσει να γράφω microια σειρά αναρτήσεων σχετικών microε τις έννοιες φάση και αρ-

χική φάση microου ήρθε ανέλπιστα η δουλειά του Νίκου η οποία microε τα ερωτήmicroατα που έθεσε

τη συζήτηση που ακολούθησε και τις γνώmicroες που διατυπώθηκαν microου έδωσε ισχυρά επιχει-

ρήmicroατα να υποστηρίξω την απόλυτη πίστη microου στην αξία των ορισmicroών όχι ως απλή λεκτική

επανάληψη microιας υποχρεωτικής αποστήθισης αλλά ως συνειδητοποίηση όλης εκείνης της

26

εσωτερικής λειτουργίας απόλυτα συγκεκριmicroένων πραγmicroάτων που κρίνουν τους ορισmicroούς

ως χρήσιmicroους και απαραίτητους και τους γεννούν για να υπάρχουν και να πλουτίζουν τη

γλώσσα microας

Τους βάζουν δίπλα microας και microας καλούν να πιστέψουmicroε στην αξία τους και ποτέ να microην

τους υποτιmicroήσουmicroε όσο απλοί και να είναι

(συνεχίζεται)

Σάββατο 29 Ιανουαρίου 2011

Θρασύβουλος Κων Μαχαίρας

Γενικό Λύκειο Αγριάς Πηλίου

s7-kmghotenetgr

5

Συγκρίνοντας τις εξισώσεις (19 ) και (20) και βλέποντας ότι τα C4 και φ0 microπαίνουν σε laquoι-

σάξιες θέσειςraquo αντί να απαιτήσουmicroε από το C4 να παίρνει τις περιορισmicroένες τιmicroές 0le C4

lt2π οπότε το φ0 θα παίρνει αναγκαστικά οποιαδήποτε πραγmicroατική τιmicroή απαιτούmicroε από

την αρχική φάση φ0 να παίρνει τιmicroές σε ένα τριγωνοmicroετρικό κύκλο 0le φ0 lt2π οπότε το

C4 microπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιmicroή ανάλογα microε την επιλογή της αρχής των χρόνων που

κάνουmicroε (Όπως έχουmicroε ξαναπεί ένας τριγωνοmicroετρικός κύκλος καλύπτεται και microε άλλες επιλογές διαστηmicroά-

των όπως πχ -πle φ0 ltπ κλπ)

Υιοθετώντας αυτή την επιλογή για την αρχική φάση αυτόmicroατα και η συνάρτηση που δίνει

τις τιmicroές της φάσης αλλάζει από

φ= ωt+C4 microε t ge Rt0 isin και 0le C4 lt2π

σε φ=ω(t‒t0)+ φ0 microε t ge Rt0 isin και 0le φ0 lt2π

Βασικά συmicroπεράσmicroατα για τους ορισmicroούς των εννοιών laquoφάσηraquo και

laquoαρχική φάσηraquo

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι έχουmicroε δύο δυνατότητες γραφής και άρα επιλογής των

ορισmicroών laquoφάσηraquo και laquoαρχική φάσηraquo

1η δυνατότητα

Στην εξίσωση κίνησης

x=Αmiddotηmicro(ωt + C4) microε t ge Rt0 isin Αgt0 και 0le C4 lt2π (21)

ονοmicroάζουmicroε φάση της αποmicroάκρυνσης την ποσότητα

φ=ωt+C4 microε t ge Rt0 isin και 0le C4 lt2π (22)

Κατά συνέπεια ονοmicroάζουmicroε αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης την ποσότητα

φ0=ωt0+C4 Rt0 isin και 0le C4 lt2π (προφανώς R0 isinϕ ) (23)

Οι σταθερές A και C4 θα προσδιοριστούν από τις συνθήκες που microας δίνουν και οι οποίες

δεν είναι απαραίτητο να είναι οι αρχικές

2η δυνατότητα

Στην εξίσωση κίνησης

x=Amiddotηmicro(ωt + C4) microε t ge Rt0 isin Αgt0 και C4 πραγmicroατικός (24)

ονοmicroάζουmicroε φάση της αποmicroάκρυνσης την ποσότητα

φ=ωt+C4 t ge Rt0 isin (25)

Κατά συνέπεια ονοmicroάζουmicroε αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης την ποσότητα

φ0=ωt0+C4 microε τον ισχυρό περιορισmicroό 0le φ0 lt2π (26)

6

Οι σταθερές Αgt0 και C4 θα προσδιοριστούν από τις συνθήκες που microας δίνουν και οι ο-

ποίες δεν είναι απαραίτητο να είναι οι αρχικές

Ο προσδιορισmicroός όmicroως του C4 επειδή αυτή η σταθερά τώρα θεωρείται πραγmicroατικός αριθmicroός θα γίνει microε την αοριστία ακέραιων πολλαπλασίων του π Θα περιέχει δηλαδή

το 2kπ (βλέπε παραδείγmicroατα παρακάτω)

Έτσι η ακριβής τιmicroή του θα απαιτήσει οπωσδήποτε και τον ισχυρό περιορισmicroό που microετα-

τοπίσαmicroε στην αρχική φάση

0le φ0 lt2π δηλαδή τον 0le ωt0+C4 lt2π (27)

2η δυνατότητα (εναλλακτικός τρόπος προτιmicroητέος)

(Η ιδέα γι αυτή τη δυνατότητα είναι του Διονύση)

Εκmicroεταλλευόmicroενοι τη σχέση (20) την οποία χρησιmicroοποιήσαmicroε προκειmicroένου να καταλή-

ξουmicroε στη δεύτερη δυνατότητα microπορούmicroε να δούmicroε τα πράγmicroατα και microε έναν άλλο τρόπο

Στην εξίσωση κίνησης

x=Amiddotηmicro[ω(t‒t0)+φ0 ] t ge Rt0 isin Agt0 0le φ0 lt2π (28)

ονοmicroάζουmicroε φάση της αποmicroάκρυνσης την ποσότητα

φ=ω(t ‒ t0 )+φ0 t ge Rt0 isin (29)

Όmicroοια ονοmicroάζουmicroε αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης την ποσότητα

φ0 (29α)

Οι σταθερές Agt0 και φ0 θα προσδιοριστούν από τις συνθήκες που microας δίνουν και οι ο-

ποίες δεν είναι απαραίτητο να είναι οι αρχικές

Όπως εξηγήσαmicroε η πρώτη δυνατότητα δεν περιορίζει την αρχική φάση σε ένα τριγωνο-

microετρικό κύκλο δε βάζει κανένα περιορισmicroό στη φάση και στην αρχική φάση παρά microόνο σε

microια σταθερά της εξίσωσης κίνησης τη 0le C4 lt2π (βλέπε σχέση 21)

Συνεπώς είναι πολύ πιο ισχυρή από τη δεύτερη δυνατότητα Όmicroως χαλά όλες τις συνή-

θειές microας και το laquoτραγικότεροraquo είναι ότι εύκολα microπορεί να καταργήσει και τις δύο έννοιες

(φάση και αρχική φάση) αν κάποιος άρει (και έχει microαθηmicroατικά το δικαίωmicroα) το microοναδικό

περιορισmicroό 0le C4 lt2π που θέτει η οικονοmicroία της περιγραφής των φαινοmicroένων

Γι΄ αυτή και microόνο την αναστάτωση που πιθανώς να επιφέρει στις συνήθειές microας

στις εκφράσεις microας και στον τρόπο σκέψης microας πιστεύω χωρίς αυτό να είναι ούτε

απαραίτητο ούτε αναγκαίο ότι πρέπει να υιοθετήσουmicroε τη δεύτερη δυνατότητα ορι-

σmicroών laquoφάσηςraquo και laquoαρχικής φάσηςraquo και microάλιστα τον εναλλακτικό τρόπο ο οποίος θα

αποδειχτεί παρακάτω πιο laquoφιλικόςraquo

7

Β Παραδείγmicroατα εύρεσης φάσης και αρχικής φάσης στις τα-

λαντώσεις και στη συmicroβολή των κυmicroάτων

Ας ξεκινήσουmicroε ξαναθυmicroίζοντας τρία παραδείγmicroατα από την ανάρτηση laquoΟρισmicroοί και

εξισώσεις κίνησης (β΄ microέρος)raquo

1ο παράδειγmicroα

Υλικό σηmicroείο εκτελεί (απλή) αρmicroονική ταλάντωση που περιγράφεται από εξίσωση κίνησης

της microορφής x=Amiddotηmicro(ωt+C4)

Τη χρονική στιγmicroή t0=2 sec που αρχίζουmicroε να microελετάmicroε την κίνηση το υλικό σηmicroείο βρίσκε-

ται στη θέση m102

2x

10

minussdotminus= (αρχική θέση) και έχει ταχύτητα sec

m 10 2

10 πυ minus= (αρχική τα-

χύτητα) Αν η περίοδος της ταλάντωσης είναι Τ=1 sec να βρεθεί η φάση και η αρχική φά-

ση της αποmicroάκρυνσης στη δεδοmicroένη microορφή εξίσωσης κίνησης

(Στην άσκηση δίνονται δύο συγκεκριmicroένες συνθήκες οι αρχικές Θα microπορούσαν όmicroως να

είναι οποιεσδήποτε άλλες αλλά πάντα δύο)

Λύση

α΄ τρόπος Με τη χρήση των σχέσεων (24) έως (27)

Την εξίσωση κίνησης που microας δίνουν φέρνουmicroε στη microορφή και τους περιορισmicroούς

της συνάρτησης (24)

x=Amiddotηmicro(2πt + C4) microε t ge2 sec Αgt0 και C4 πραγmicroατικός αριθmicroός (30)

Τότε η φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ=2πt + C4 microε t ge2 sec και RC4 isin (30α)

και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ0=2π2+C4 microε τον ισχυρό περιορισmicroό 0le φ0 lt2π (30β)

Εποmicroένως όλο το πρόβληmicroα εντοπίζεται στον υπολογισmicroό της σταθεράς C4

Ας τον κάνουmicroε

Η ταχύτητα του υλικού σηmicroείου είναι

υ=A2πmiddotσυν(2πt + C4) microε t ge2 sec Αgt0 και C4 πραγmicroατικός (31)

Για t=t0=2 sec οι σχέσεις (30) και (31) δίνουν

110

2

2 minussdotminus =Amiddotηmicro(4π+C4) microε Αgt0 και C4 πραγmicroατικός

π110 2 minus =A2πmiddotσυν(4π+C4) microε Αgt0 και C4 πραγmicroατικός

8

Από όπου προκύπτει

Α=10-1

m 2

2C4 minus=ηmicro και

2

2C4 =συν

και τελικά

Α=10-1

m και Zk rad 4

7k2C4 isin+= microε

ππ (32)

Βλέπουmicroε καθαρά πια ότι ενώ η τιmicroή του Α της microιας δηλαδή από τις δύο σταθερές Α και

C4 που επιβάλλει η διαφορική εξίσωση έχει ήδη προσδιοριστεί από τις αρχικές συνθήκες ο

προσδιορισmicroός της ακριβούς τιmicroής του C4 απαιτεί τον ορισmicroό και τον περιορισmicroό που υιο-

θετήσαmicroε για την αρχική φάση

Αυτός είναι και ο βαθύτερος κεφαλαιώδης ποιοτικός διαχωρισmicroός των εννοιών laquoπλάτοςraquo

και laquoαρχική φάσηraquo που κάνει το πλάτος γρήγορα να ανεξαρτητοποιηθεί από τη microορφή της

εξίσωσης κίνησης που θα χρησιmicroοποιήσουmicroε για τη ταλάντωση και έτσι να γίνει έννοια που

αφορά το φαινόmicroενο και όχι τη συνάρτηση την εξίσωση κίνησης δηλαδή

Λέmicroε πλάτος ταλάντωσης αλλά ποτέ αρχική φάση ταλάντωσης

Από τη σχέση (30α) προκύπτει ότι η φάση της αποmicroάκρυνσης στη δεδοmicroένη microορφή της ε-

ξίσωσης κίνησης είναι

φ=2πt+C4=2πt+ Zk 4

7k2 isin+ microε

ππ και t ge2 sec (33)

και εποmicroένως η αρχική φάση είναι

φ0 = 4π+ Zk 4

7k2 isin+ microε

ππ (34)

Πρέπει όmicroως

0le φ0 lt2π

Αντικαθιστώντας στην παραπάνω διπλή ανίσωση την φ0 από την σχέση (34) προκύπτει

k=minus2

Τότε από σχέση (32) προκύπτει

rad 4

9π

4

74C4 minus=+minus=

ππ

και συνεπώς η εξίσωση κίνησης του υλικού σηmicroείου (30) γίνεται

x=10-1

middotηmicro(2πt 4

9πminus ) (SI) microε t ge2 sec (35)

Η φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση κίνησης (35) είναι

φ= 4

9t2

ππ minus και t ge2 sec

και η αρχική φάση

rad 4

7

4

9220

πππϕ =minus=

9

β΄ τρόπος Με τη χρήση των σχέσεων (28) έως (29α)

Την εξίσωση κίνησης που microας δίνουν φέρουmicroε στη microορφή και τους περιορισmicroούς της

συνάρτησης (28)

x=Amiddotηmicro[2π(t‒2)+ φ0 ] t ge 2 sec Agt0 0le φ0lt2π (36)

τότε η φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ=2π(t‒2)+ φ0 t ge 2 sec 0le φ0lt2π (36α)

και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ0

Εποmicroένως όλο το πρόβληmicroα εντοπίζεται στον υπολογισmicroό της φ0

Ας τον κάνουmicroε

Η ταχύτητα του υλικού σηmicroείου είναι υ=2πΑmiddotσυν[2π(t‒2)+ φ0 ] t ge 2 sec Αgt0 0le φ0 lt2π (36β)

Για t=t0=2 sec οι παραπάνω σχέσεις (36) και (36β) αποmicroάκρυνσης και ταχύτητας αντί-

στοιχα δίνουν

110

2

2 minussdotminus =Αηmicroφ0 και π110 2 minus =2πΑσυνφ0

Από όπου

Α=10-1

m 2

20 minus=ηmicroϕ και

2

2 0=συνϕ

Τελικά και microε δεδοmicroένο ότι 0le φ0 lt2π προκύπτει

Α=10-1

m και rad 4

70

πϕ =

Από τη σχέση (36) προκύπτει η εξίσωση κίνησης

x=10-1

middotηmicro[2π(t-2)4

7π+ ) microε t ge2 sec (37)

δηλαδή η

x=10-1

middotηmicro(2πt 4

9πminus ) (SI) microε t ge2 sec (38)

Κατά συνέπεια η φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση κίνησης (38) είναι

φ= 4

9t2

ππ minus microε t ge2 sec

και η αρχική φάση

rad 4

7

4

9220

πππϕ =minus=

τιmicroή την οποία εξάλλου έχουmicroε ήδη βρει

10

2ο παράδειγmicroα

Υλικό σηmicroείο εκτελεί (απλή) αρmicroονική ταλάντωση που περιγράφεται από την εξίσωση

x=10-1

middotηmicro(2πt 4

9πminus ) (SI) microε t ge2 sec (39)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης x στη δεδοmicroένη microορφή της εξίσω-

σης κίνησης στη δεδοmicroένη δηλαδή microορφή της εξίσωσης αρmicroονικής ταλάντωσης

Λύση

α΄ τρόπος Με τη χρήση των σχέσεων (24) έως (27)

Την εξίσωση κίνησης που microας δίνουν φέρνουmicroε στη microορφή και τους περιορισmicroούς

της συνάρτησης (24)

x=Amiddotηmicro(2πt + C4) microε t ge2 sec Αgt0 και C4 πραγmicroατικός (40)

Τότε η φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ=2πt+C4 t ge2 sec RC4 isin (40α)

και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ0=2π2+C4 microε τον ισχυρό περιορισmicroό 0le φ0 lt2π (40β)

Εποmicroένως όλο το πρόβληmicroα εντοπίζεται στον υπολογισmicroό της σταθεράς C4

Ας τον κάνουmicroε

Για να έχει η εξίσωση κίνησης (39) που microας δίνουν τη microορφή της σχέσης (40) για όλες

τις χρονικές στιγmicroές tge2 sec πρέπει να ισχύει

Α=10-1

m και ηmicro(2πt + C4)= ηmicro(2πt 4

9πminus )

και συνεπώς πρέπει

C4=2kπ4

9πminus (40γ)

Τότε η φάση και η αρχική φάση λόγω των σχέσεων (40α) (40β) και (40γ) θα είναι

φ=2πt+2kπ4

9πminus t ge2 sec

φ0=4π+2kπ4

9πminus

Απαιτώντας 0le φ0 lt2π προκύπτει k=0

Άρα η φάση της αποmicroάκρυνσης στην (40) και κατά συνέπεια στην εξίσωση κίνησης

(39) που microας δίνουν είναι

φ=4

π9πt2 minus microε t ge2 sec

και η αρχική φάση είναι

φ0=4

7π

11

β΄ τρόπος Με τη χρήση των σχέσεων (28) και (29)

Την εξίσωση κίνησης που microας δίνουν φέρνουmicroε στη microορφή και τους περιορισmicroούς

της συνάρτησης (28)

x=Amiddotηmicro[2π(t‒2)+ φ0 ] t ge 2 sec Agt0 0le φ0lt2π (41)

Τότε η φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ=2π(t‒2)+ φ0 (41α)

και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ0

Εποmicroένως όλο το πρόβληmicroα εντοπίζεται στον υπολογισmicroό της φ0

Ας τον κάνουmicroε

Μετασχηmicroατίζουmicroε την εξίσωση κίνησης (39) που microας δίνουν ώστε να αποκτήσει τη microορ-

φή της σχέσης (41)

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒2)+4πminus4

9π] t ge 2 sec

και τελικά

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒2)+4

7π] (SI) t ge 2 sec (42)

Άρα η φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση κίνησης (42) και κατά συνέπεια στην εξί-

σωση κίνησης (39) που microας έδωσαν είναι

φ=2π(t‒2)+4

7π=

4

π9πt2 minus microε t ge2 sec

και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ0=4

7π

Σηmicroειώσεις

α) Από το παραπάνω παράδειγmicroα φαίνεται η ευκολία microε την οποία λύνεται το πρόβληmicroα

της φάσης και της αρχικής φάσης microε τον β΄ τρόπο αν φέρουmicroε δηλαδή την εξίσωση κίνη-

σης που microας δίνουν στη microορφή της συνάρτησης (28) microε τους περιορισmicroούς όmicroως που ακο-

λουθούν αυτή τη microορφή Τον τρόπο αυτόν θα ακολουθήσουmicroε και στο επόmicroενο παράδειγmicroα Ίσως κάποιος πει γιατί να τα κάνουmicroε όλα αυτά αφού θα microπορούσαmicroε και microόνο microε παρα-

τήρηση σύγκριση και microε microια αντικατάσταση στην εξίσωση κίνησης (39) που microας δίνουν να

βρούmicroε αυτά που ζητάmicroε πολύ πιο εύκολα

Ο λόγος της ευκολίας που πιθανώς να διακρίνει κάποιος οφείλεται στο γεγονός ότι η (39)

ήταν σχέση laquomicroαγειρεmicroένηraquo Είχε ετοιmicroαστεί από το πρώτο παράδειγmicroα Τα πράmicroατα όmicroως

δε θα είναι πάντα τόσο ευδιάκριτα Θα το διαπιστώσουmicroε στο επόmicroενο παράδειγmicroα

12

β) Η εξίσωση κίνησης (39) που microας δώσανε

x=10-1

middotηmicro(2πt 4

9πminus ) (SI) microε t ge2 sec

είναι microαθηmicroατικά ισοδύναmicroη microε την

x=10-1

middotηmicro(2πt 4

πminus ) (SI) microε t ge2 sec

Κατά συνέπεια αυτή η τελευταία θα microπορούσε κάλλιστα να δοθεί στη θέση της πρώτης

Μήπως αυτό θα επηρέαζε τη φάση και την αρχική φάση που θα βρίσκαmicroε γεγονός που

θα καθιστούσε και τους ορισmicroούς και τις έννοιες άχρηστες

Η απάντηση είναι όχι Οποιαδήποτε microαθηmicroατικά ισοδύναmicroη σχέση και να χρησιmicroοποιήσουmicroε ως εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης εφό-σον ακολουθήσουmicroε microε συνέπεια όσα αναφέραmicroε θα καταλήξουmicroε στην ίδια σχέση για τη φάση και στην ίδια τιmicroή για την αρχική φά-ση

Το γεγονός αυτό δείχνει τη συνέπεια των ορισmicroών που δώσαmicroε για φάση και αρχική φάση

Συνεπώς αν τους υιοθετήσουmicroε που τουλάχιστον βουβά microέχρι τώρα το έχουmicroε ήδη κάνει

στη φυσική δεν θα έχουmicroε αντιφάσεις

γ) Ο λόγος που στην εξίσωση (39) χρησιmicroοποιήσαmicroε το 4

9πminus και όχι το ισοδύναmicroο

4

πminus

ήταν για να δείξουmicroε ότι αυτός που θα microας δώσει microια εξίσωση κίνησης δεν είναι υποχρεω-

microένος να την έχει επεξεργαστεί και να έχει υιοθετήσει κάποιες φόρmicroες ή να έχει προσέξει τις

microαθηmicroατικές ισοδυναmicroίες

Αυτός που θα microας δώσει την εξίσωση κίνησης είναι ελεύθερος να microας δώσει ότι θέλει (microαθηmicroατικά ισοδύναmicroο) αρκεί να δώσει όπως οφείλει να δώσει σε κάθε συνάρτηση το πεδίο ορισmicroού της

3ο παράδειγmicroα

Υλικό σηmicroείο εκτελεί (απλή) αρmicroονική ταλάντωση που περιγράφεται από την εξίσωση κίνη-

σης

x=10-1

middotηmicro(4

πt

3

10π+ ) (SI) microε t ge minus3 sec (41)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης στη δεδοmicroένη microορφή εξίσωσης κί-

νησης

Λύση

Μετασχηmicroατίζουmicroε τη σχέση (41) ώστε να αποκτήσει τη microορφή της σχέσης (28) δηλαδή

να αποκτήσει τη microορφή

x=Amiddotηmicro[ω(t‒t0)+φ0 ] t ge Rt0 isin Agt0 0le φ0 lt2π

13

Πράγmicroατι η (41) γίνεται

x=10-1

middotηmicro[4

π(t+3)minus

4

3π +

3

10π ] t ge -3 sec

ή x=10-1

middotηmicro[4

π(t+3)+

12

31π ] t ge -3 sec

Αφαιρώ (ή προσθέτω αν microε βολεύει) ακέραιο πολλαπλάσιο του 2π προκειmicroένου να δη-

microιουργήσω θετική αρχική φάση περιορισmicroένη σε έναν τριγωνοmicroετρικό κύκλο

x=10-1

middotηmicro[4

π(t+3)minus2π+

12

31π ] t ge -3 sec

και τελικά

x=10-1

middotηmicro[4

π(t+3)+

12

7π ] (SI) microε t ge -3 sec (42)

Άρα η φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση κίνησης (42) και κατά συνέπεια στην εξί-

σωση κίνησης (41) που microας έδωσαν είναι

φ=4

π(t+3)+

12

7π=

4

πt+

3

4π microε t ge-3 sec

και άρα η αρχική φάση θα είναι

φ0=12

7π rad

Σηmicroείωση

Θα είχαmicroε καταλήξει στην ίδια ακριβώς σχέση για τη φάση και στην ίδια τιmicroή

για την αρχική φάση ακόmicroη και αν αρχίζαmicroε από οποιαδήποτε εξίσωση microαθη-

microατικά ισοδύναmicroη microε τη δεδοmicroένη εξίσωση κίνησης όπως πχ από την

x=10-1

middotηmicro(4

πt

3

4π+ ) (SI) microε t ge minus3 sec

Αρκεί η σχέση που θα microας έδιναν να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση να

ήταν ισοδύναmicroη microαθηmicroατικά microε την (41) και κατά συνέπεια να είχε το ίδιο πε-

δίο ορισmicroού microε αυτή

raquo

14

Γ Συmicroπέρασmicroα

(ένας απλός τρόπος υπολογισmicroού φάσης και αρχικής φάσης) Με τα παραπάνω θεmicroελιώνεται microαθηmicroατικά ένας πολύ απλός τρόπος εύρεσης της φάσης

και της αρχικής φάσης σε microια τυχαία εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία microας δίνουν

ή στην οποία καταλήγουmicroε microετά από διάφορους microαθηmicroατικούς microετασχηmicroατισmicroούς

Απαίτηση όmicroως για την εφαρmicroογή αυτού του τρόπου είναι η παρουσία του πεδίου ορισmicroού

της συνάρτησης κάτι που στο κάτω-κάτω είναι και απαίτηση κάθε σοβαρής microαθηmicroατικής

αντιmicroετώπισης

Ας τον δούmicroε

Έστω για παράδειγmicroα ότι microε οποιονδήποτε microαθηmicroατικά σωστό τρόπο καταλήγουmicroε

στην εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης

χ=Αηmicro(ωt+θ) microε t ge t0 (60)

Επειδή οι microαθηmicroατικές microεθοδολογίες δεν ενδιαφέρονται για τις αγωνίες ενός φυσικού δεν είναι καθόλου υπο-χρεωmicroένες να εξασφαλίσουν ότι η ποσότητα θ θα είναι αρχική φάση ούτε ότι η ποσότητα ωt+θ θα είναι φά-ση

Αυτές οι έννοιες αφορούν τον φυσικό ο οποίος θα πρέπει πρώτα να τις ορίσει microε αυστηρότητα (και αυτό microπο-ρεί να γίνει microόνο microέσα από την ξεχωριστή εσωτερική λειτουργία των διαφορικών εξισώσεων όπως έχουmicroε ήδη επισηmicroάνει) και κατόπιν να χρησιmicroοποιήσει την εγγύηση των microαθηmicroατικών για να εξασφαλίσει ότι η αυστηρότητα των ορισmicroών του θα είναι όχι απλά συνεπέστατη λογικά αλλά κυρίως ότι θα δώσει την εγγύηση πως δεν θα προκύψουν παρανοήσεις

Έτσι λοιπόν το θ που θα προκύψει από τους microαθηmicroατικούς microετασχηmicroατισmicroούς

microπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγmicroατικός αριθmicroός

Τότε

1ο βήmicroα Στην (60) εmicroφανίζουmicroε την αρχική τιmicroή του χρόνου t0 γράφοντάς

την microε τη microορφή

x=Aηmicro[ω(t-t0)plusmnθ΄] microε t ge t0

2ο βήmicroα Αν η θ΄ στο όρισmicroα του ηmicroίτονου είναι microέσα σε ένα τριγωνοmicroε-

τρικό κύκλο αυτή είναι η αρχική φάση Αλλιώς προσθέτουmicroε ή

αφαιρούmicroε ακέραια πολλαπλάσια του 2π ώστε microετά την παρά-

σταση ω(t-t0) να εξασφαλίσουmicroε laquoγωνίαraquo φ0 η οποία να είναι

microέσα στον τριγωνοmicroετρικό κύκλο που έχουmicroε επιλέξει

Να είναι δηλαδή στο διάστηmicroα [0 2π) ή στο [-π π) κλπ

x=Aηmicro[ω(t-t0)+φ0] microε t ge t0 (60α)

3ο βήmicroα Η ποσότητα φ=ω(t-t0)+φ0 είναι η φάση και φ0 είναι η αρχική

φάση στη σχέση (60α) Άρα και στην (60) που microας έδωσαν

Τον παραπάνω τρόπο εφαρmicroόσαmicroε ήδη στο 3ο παράδειγmicroα

15

Δ Κύmicroατα

Το έχω ξαναπεί αλλά θα το ξαναπώ γιατί νοmicroίζω ότι microόνο έτσι microόνο όταν πιστέψουmicroε

στα λάθη που microας βάζουνε και διδάσκουmicroε κάποια στιγmicroή θα βρεθούν κάποιοι ικανοί που

θα βρουν τρόπο να ζητήσουν ευθύνες από όλους εκείνους που χρόνια τώρα microας βουλιάξανε

microας βουλιάζουνε και θα βουλιάξουνε γενιές ανθρώπων στα λάθη γράφοντας πανεπιστηmicroια-

κά βιβλία χωρίς ποτέ να microπουν στον κόπο να ξαναψάξουν αυτά που γράφουν

Το κεφάλαιο laquoΚύmicroαταraquo που διδάσκουmicroε είναι το λιγότερο λανθασmicroένο Λανθασmicroένο

πιο πολύ από τις ταλαντώσεις γιατί τα laquoκύmicroαταraquo κουβαλάνε όλα τα λάθη των ταλα-

ντώσεων και κάτι ακόmicroη που είναι πιο τραγικά λανθασmicroένο Τη διάδοση

Η διδασκαλία microας στο κεφάλαιο laquoΚύmicroαταraquo ΔΥΣΤΥΧΩΣ ΣΤΗΡΙΖΕΤΑΙ ΣΤΗ ΔΙΑ-

ΔΟΣΗ ΤΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ

Μα αυτά που διδάσκουmicroε ούτε laquoκύmicroαταraquo είναι ούτε διαδίδονται

Και έτσι εmicroείς οι απλοί φυσικοί της γειτονιάς γινόmicroαστε τραγικές φιγούρες microιας και microετά

από ένα κεφάλαιο γεmicroάτο λάθη όπως είναι οι laquoταλαντώσειςraquo αναγκαζόmicroαστε να λέmicroε να

βρίσκουmicroε να διδάσκουmicroε να microπαλώνουmicroε και να εmicroπλουτίζουmicroε microε ασκήσεις το δεύτερο

κεφάλαιο laquoΤα κύmicroαταraquo που είναι ακόmicroη πιο λανθασmicroένο

Η εmicroπειρία microου ως αεί υφιστάmicroενος τόσων και τόσων σε ένα Υπουργείο Παιδείας που η-

δονίζεται να αλλάζει ονόmicroατα microόνο και όχι ουσία microου λέει τούτο το απλό

Όταν τόσοι φυσικοί δυσκολευόmicroαστε κάποιες φορές να κατανοήσουmicroε αυτά που διδάσκου-

microε και που γράφει ένα σχολικό βιβλίο προορισmicroένο για microαθητές λυκείου σίγουρα κάποιοι

άλλοι κάνανε χοντρά λάθη ως laquomicroέντορεςraquo (γελοιοποίηση microιας ακόmicroη όmicroορφης αρχαίας λέ-

ξης) και microας βάλανε να διδάξουmicroε τα λάθη τους microε τέτοιο τρόπο που στο τέλος

ξεχάσαmicroε ότι ήταν δικά τους λάθη και νοmicroίσαmicroε ότι όλα ήταν δικά microας σω-

στά

Παρακάmicroπτω λοιπόν την ανύπαρκτη φυσική της συmicroβολής των laquoκυ-

microάτωνraquo που διδάσκουmicroε και χρησιmicroοποιώντας microόνο την ορολογία της θα προσπα-

θήσω microέσα από microια microατιά laquoγυmicroνάraquo microαθηmicroατική να εφαρmicroόσω στο συγκεκριmicroένο laquoφαινόmicroε-

νοraquo όσα προαναφέραmicroε Επικαλούmicroενος και ελπίζοντας microόνο στην αυστηρότητα του ορισmicroού

Αν εφαρmicroόσουmicroε microε συνέπεια τους αυστηρούς ορισmicroούς της φάσης και της αρχικής φάσης

που δώσαmicroε κι αν σε φαινόmicroενα ίδιας ποιότητας δεν αρνηθούmicroε τις microαθηmicroατικές πορείες

που καταγράψαmicroε κι ακολουθήσαmicroε στις τρεις προηγούmicroενες αναρτήσεις laquoΟρισmicroοί και

εξισώσεις κίνησης α΄ β΄ και γ΄ microέροςraquo τότε δε θα υπάρξουν συλλογιστικά αδιέξοδα

Ας το δούmicroε (τα σύmicroβολα που χρησιmicroοποιούνται θεωρούνται αυτονόητα)

Στην εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης

minus=λ

πηmicro 11

r

T

t2Ay microε

υ1rt ge (61)

16

που επιβάλλει στο τυχαίο σηmicroείο Μ το πρώτο laquoκύmicroαraquo όταν έχει διαδοθεί microόνο του οι έν-

νοιες της φάσης και της αρχικής φάσης είναι καθορισmicroένες microε απόλυτη σαφήνεια αρκεί να

microην ξεχάσουmicroε το πεδίο ορισmicroού

φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (61)

λππ

ϕ 1r2

T

t2minus= microε

υ1rt ge

αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (61)

φ0=0 rad

Στην εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης

minus=λ

πηmicro 22

r

T

t2Ay microε

υ2rt ge (62)

που επιβάλλει στο τυχαίο σηmicroείο Μ το δεύτερο laquoκύmicroαraquo όταν έχει διαδοθεί microόνο του οι έν-

νοιες της φάσης και της αρχικής φάσης είναι καθορισmicroένες microε απόλυτη σαφήνεια αρκεί να

microην ξεχάσουmicroε το πεδίο ορισmicroού

φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (62)

λππ

ϕ 2r2

T

t2minus= microε

υ2rt ge

αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (62)

φ0=0 rad

Μετά τη laquoσυmicroβολή των δύο κυmicroάτωνraquo η εξίσωση ταλάντωσης του ση-

microείου Μ είναι

minus+

minus=+=λ

πηmicroλ

πηmicro 2121

r

T

t2A

r

T

t2Ayyy microε

geυυ

21 r

rmax t (63)

Στη σχέση (63) οι έννοιες laquoφάσηraquo και laquoαρχική φάσηraquo δεν ορίζο-

νται Δεν υπάρχουν

Η κίνηση που αποδίδεται microε τη σχέση (63) είναι επαλληλία των εξισώσεων κίνησης δύο

αρmicroονικών ταλαντώσεων (επαλληλία δύο αρmicroονικών συναρτήσεων δηλαδή και όχι πραγmicroα-

τικών κινήσεων) ίδιας διεύθυνσης ίδιας συχνότητας και ίδιας laquoθέσης ισορροπίαςraquo

17

Είναι επαλληλία των συναρτήσεων y1 και y2

Η σύνθεσή τους η y δηλαδή είναι microια (πραγmicroατική) αρmicroονική ταλάντωση ίδιας διεύθυν-

σης ίδιας συχνότητας και ίδιας θέσης ισορροπίας microε τις συνιστώσες εξισώσεις κίνησης ή

καλύτερα microε τους προσθετέους της (63)

Όπως είναι γραmicromicroένη η εξίσωση (63) δεν έχουmicroε κανένα δικαίωmicroα να microιλάmicroε

ούτε για laquoφάσηraquo ούτε για laquoαρχική φάσηraquo

Για να αποκτήσουmicroε αυτό το δικαίωmicroα πρέπει να τη φέρουmicroε σε microορφή που να διαθέτει

ένα microόνο τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό και δη ή microόνο ένα ηmicroίτονο ή microόνο ένα συνηmicroίτονο

Με άλλα λόγια

αν θέλουmicroε να microιλάmicroε για φάση και αρχική φάση στην σχέση (63) εξίσωση συmicroβολής των

κυmicroάτων θα πρέπει να τη φέρουmicroε στη microορφή

( )0t Ay ϕωηmicro prime+prime=

ή στη microορφή

( )0t Ay ϕωσυν primeprime+primeprime=

Τότε όmicroως

για να microην καταρρεύσουν αmicroφότεροι οι ορισmicroοί κι εποmicroένως και οι έννοιες

της φάσης και της αρχικής φάσης θα πρέπει να φροντίσουmicroε η αρχική φάση

να περιοριστεί σε ένα τριγωνοmicroετρικό κύκλο

για να αποφύγουmicroε κάθε επικίνδυνη ρευστότητα θα πρέπει να τεθεί οπωσ-

δήποτε το πεδίο ορισmicroού της συνάρτησης

για να microην υπάρξουν συλλογιστικά αδιέξοδα θα πρέπει να ακολουθήσουmicroε

microε συνέπεια την πορεία που καταγράψαmicroε στα παραδείγmicroατα 1-3 για τον

υπολογισmicroό φάσης και αρχικής φάσης ή έστω να εφαρmicroόσουmicroε τον απλό

τρόπο που καταγράφεται στη σελίδα 14

Ο microετασχηmicroατισmicroός της (63) ώστε να περιέχει ένα microόνο τριγωνο-

microετρικό αριθmicroό microπορεί να γίνει microε διάφορους τρόπους

1ος τρόπος Χρησιmicroοποιώντας τους τύπους της επαλληλίας εξισώσεων κίνησης

Αν έχουmicroε αριθmicroητικά δεδοmicroένα και δε θέλουmicroε να microπλεχτούmicroε microε πολλά microαθηmicroατικά

microπορούmicroε να χρησιmicroοποιήσουmicroε τους τύπους του σχολικού βιβλίου για την επαλληλία εξι-

σώσεων αρmicroονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης ίδιας συχνότητας και ίδιας θέσης ισορ-

ροπίας

Τους τύπους αυτούς όmicroως θα πρέπει να ισχυροποιήσουmicroε ώστε να συmicroπεριλάβουν περι-

πτώσεις όπου και οι δύο ταλαντώσεις έχουν αρχική φάση και να εmicroπλουτίσουmicroε microε έναν ε-

πιπλέον τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό ή microε κάποια επιπλέον microαθηmicroατική microας δεξιότητα microιας και η

σχέση microε την εφθ microόνη της δε microπορεί να προσδιορίσει την αρχική φάση θ έστω κι αν αυτή

περιοριστεί σε έναν τριγωνοmicroετρικό κύκλο

18

( Επαλληλία εξισώσεων αρmicroονικών ταλαντώσεων

x1=Α1middotηmicro(ωt+φ1) και x2=Α2middotηmicro(ωt+φ2)

x=x1+ x2=Aηmicro(ωt+θ)

όπου )(AA2AAA 21212

22

1 ϕϕσυν minus++= Α

ηmicroϕΑηmicroϕΑηmicroϑ 2211 +

= (64)

2211

2211

AA

AA

συνϕσυνϕηmicroϕηmicroϕ

εϕϑ+

+=

ΑσυνϕΑσυνϕΑ

συνϑ 2211 +=

microε 0leθlt2π

Τέτοιου είδους αντιmicroετωπίσεις έχουν ήδη καταχωρηθεί στο δίκτυο)

2ος τρόπος Μετασχηmicroατίζουmicroε την (63) και φτάνουmicroε στη microορφή

+minussdot

minus=

λΤπηmicro

λπσυν

2

rrt2

2

rr2A2y 2121 microε

geυυ

21 r

rmax t (65)

Αφού φιλοδοξούmicroε η (65) να περιγράφει πραγmicroατική κίνηση (κι όχι να είναι κα-

νένας προσθετέος σε επαλληλία εξισώσεων κίνησης) και επιθυmicroούmicroε οι έννοιες laquoφάσηraquo και

laquoαρχική φάσηraquo να έχουν νόηmicroα θα πρέπει ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ να χειρι-

στούmicroε την (65) microε τους τρόπους που δείξαmicroε στα παραδείγmicroατα 1-3

Αν δηλαδή επιθυmicroούmicroε να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση στην

(65) θα πρέπει να χρησιmicroοποιήσουmicroε ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ το πεδίο ορισmicroού

της και τον περιορισmicroό της αρχικής φάσης σε ένα τριγωνοmicroετρικό κύκλο

(Το να χειριστούmicroε τη σχέση (65) γενικά ώστε να εmicroφανιστούν γενικοί περιορισmicroοί στο πεδίο ορισmicroού και στην

αρχική φάση του ενός τριγωνοmicroετρικού κύκλου νοmicroίζω ότι θα είναι άσκοπο microιας και ο χρόνος που θα απαιτήσει

η γραφή αυτή θα ΄ναι microεγάλος και η αξία των τύπων ελάχιστη Γι΄ αυτό καταφεύγω σε παραδείγmicroατα)

4ο παράδειγmicroα

Έστω ότι σε κάποιο πρόβληmicroα συmicroβολής κυmicroάτων y1= και y2= αντικαθι-

στούmicroε τα δεδοmicroένα στην εξίσωση της συmicroβολής (65) και βρίσκουmicroε ότι το σηmicroείο Μ που απέ-

χει r1= και r2= από τις πηγές ταλαντώνεται αρmicroονικά microε εξίσωση

y=10-1

middotηmicro(2πt 4

11πminus ) (SI) microε t ge 6 sec (66)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης του Μ στην (66)

19

Λύση

1ος τρόπος

Κάνουmicroε ότι κάναmicroε στο παράδειγmicroα 2 στη σελίδα 10 ή στο παράδειγmicroα 3 στη σελίδα 12 αυ-

τής της ανάρτησης

2ος τρόπος

Για πιο γρήγορα ακολουθούmicroε τα βήmicroατα της σελίδας 14

1ο βήmicroα Μετασχηmicroατίζουmicroε την εξίσωση κίνησης (66) ώστε να εmicroφανιστεί η

αρχική τιmicroή χρόνου 6 sec microέσω της microορφής ω(t-t0)=2π(t-6)

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+12πminus4

11π] t ge 6 sec

και τελικά

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

37π] (SI) t ge 6 sec (67)

2ο βήmicroα Στο όρισmicroα του ηmicroίτονου microετά την ποσότητα 2π(t-6) η laquoγωνίαraquo 4

37π

δεν είναι microέσα στο διάστηmicroα [02π) που έχουmicroε υιοθετήσει ως περιορι-

σmicroό της αρχικής φάσης

Εποmicroένως πρέπει να αφαιρέσουmicroε κατάλληλα ακέραια πολλαπλάσια

του 2π

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

37πminus4middot2π] (SI) t ge 6 sec

από όπου τελικά

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

5π] (SI) t ge 6 sec (67α)

3ο βήmicroα Στην (67α) που καταλήξαmicroε microε την παραπάνω διαδικασία

η φάση είναι φ=2π(t‒6)+4

5π microε t ge 6 sec

και η αρχική φάση είναι φ0=4

5π rad

Το ίδιο συνεπώς θα ισχύει και για την (67)

Βέβαια όλα τα παραπάνω microπορούν να γίνουν πολύ πιο γρήγορα αρκεί να έ-

χουmicroε στο microυαλό microας ότι για να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση σε microια

εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία microας έδωσαν ή στην οποία καταλήξα-

microε θα πρέπει να τη microετασχηmicroατίσουmicroε ώστε

να εmicroφανίσουmicroε την αρχική τιmicroή του χρόνου microε τη microορφή που είπαmicroε

να εξασφαλίσουmicroε ότι ο προσθετέος που δεν περιέχει χρόνο είναι σε

διάστηmicroα ενός τριγωνοmicroετρικού κύκλου και microάλιστα στη microορφή που έ-

χουmicroε επιλέξει για την αρχική φάση ([02π) ή [-ππ) ή )

20

5ο παράδειγmicroα

Έστω ότι σε κάποιο πρόβληmicroα συmicroβολής κυmicroάτων y1= και y2= αντικαθι-

στούmicroε τα δεδοmicroένα στην εξίσωση της συmicroβολής (65) και βρίσκουmicroε ότι το σηmicroείο Μ που απέ-

χει r1= και r2= από τις πηγές ταλαντώνεται αρmicroονικά microε εξίσωση

y=minus10-1

middotηmicro(2πt4

9πminus ) (SI) microε t ge 05 sec (68)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης του Μ στην (68)

Λύση

Η (68) γίνεται διαδοχικά

y=minus10-1

middotηmicro(2πt4

9πminus ) = 10

-1middotηmicro(2πt+π

4

9πminus )=10

-1middotηmicro(2πt

4

5πminus )=10

-1middotηmicro[2π(tminus05)

4

πminus ]

και τελικά

y=10-1

middotηmicro[2π(tminus05)4

7π+ ] (68α)

Η (68α) έχει εmicroφανίσει την αρχική τιmicroή χρόνου 05 sec στη microορφή που θέλουmicroε και προ-

σθετέο 4

7π που δεν περιέχει χρόνο t και βρίσκεται στο διάστηmicroα [02π)

Άρα η φάση και η αρχική φάση της (68) είναι ίδιες microε εκείνες της (68α)

∆ηλαδή

Φάση φ=2π(tminus05)4

7π+ =2πt

4

3π+ microε t ge 05 sec

Αρχική φάση rad 4

7π0 =ϕ

Φάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολή

Ο Νίκος (Ανδρεάδης) microε δύο ευφυέστατες αναρτήσεις

laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολήraquo

laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολή-Μέρος δεύτεροraquo

που βρίσκονται στη διεύθυνση

httpylikonetgrprofilesblogsphhaseis-kai-antiphhaseis-ste

microας ώθησε να ακούσουmicroε κάποιους τριγmicroούς από την ψεύτικη πραγmicroατικότητα των

κυmicroάτων που διδάσκουmicroε

21

Γράφει λοιπόν

laquoΝ=6 1r 15= m

1 2r r 6 λminus = sdot

2r 03= m

Για t 3ge s η εξίσωση κίνησης προκύπτει από την επαλληλία των εξισώσεων

11

2πr2πty A ηmicro

T λ

= sdot minus

και 2

2

2πr2πty A ηmicro

T λ

= sdot minus

Μετά από πράξεις

( )1y 01 ηmicro 5πt 15π= sdot minus και ( )2

y 01 ηmicro 5πt 3π= sdot minus

Σύmicroφωνα microε τη σχέση 1 2 1 2r r r r2πt

y 2A συν 2π ηmicro π2λ T λ

minus += sdot sdot minus

microετά από πράξεις προκύπτει

( )y 02 ηmicro 5πt 9π= sdot minus

Η φάση (της αποmicroάκρυνσης στην παραπάνω εξίσωση) δίνεται από τη σχέση φ 5πt 9π= minus

Για t 3= s (προκύπτει η αρχική) φάση (η οποία) είναι 6π rad

παρατηρούmicroε ότι 7 σηmicroεία του microέσου τα οποία ξεκινούν την ίδια στιγmicroή την ίδια κίνηση από τη θέ-

ση ισορροπίας microε θετική ταχύτητα περιγράφονται microε διαφορετικές εξισώσεις και την στιγmicroή της εκκί-

νησης έχουν διαφορετική φάση

Οι απορίες microου

Ποιο είναι το φυσικό νόηmicroα των τιmicroών 0π 2π 4π 6π και 8π

Έχει νόηmicroα να ζητήσουmicroε τη διαφορά φάσης ενός από αυτά τα σηmicroεία microε microια πηγή

Αν όmicroως δούmicroε το θέmicroα ως σύνθεση δύο ταλαντώσεων που βρίσκονται σε συmicroφωνία φάσης καταλή-

γουmicroε αmicroέσως στο συmicroπέρασmicroα ότι και στις 7 περιπτώσεις η κίνηση για t 3ge s περιγράφεται από την

εξίσωση ( )y 02 ηmicro 5πt 15π= sdot minus (SI)

Η φάση δίνεται από τη σχέση φ 5πt 15π= minus (SI)

Για t 3= s η (αρχική) φάση είναι 0π rad ∆ηλ τη στιγmicroή της εκκίνησης έχουmicroε microηδενισmicroό της φάσης

για τα 7 σηmicroεία κάτι λογικό αφού τότε και τα 7 ξεκινούν microια νέα κίνηση από τη θέση ισορροπίας microε

θετική ταχύτηταraquo

Στους προβληmicroατισmicroούς που έθεσε ο Νίκος θα επιχειρήσω microια το-

ποθέτηση

Κατά τη γνώmicroη microου το microόνο που microπορεί να microας γλιτώσει από το παραπάνω παράδοξο είναι

η microαθηmicroατική αυστηρότητα microε την οποία φροντίσαmicroε να εφοδιάσουmicroε (και έτσι πρέπει

να γίνεται πάντα αν και πολλές φορές τούτο το απλό το ξεχνάmicroε) τους ορισmicroούς φάση και

αρχική φάση

Η αντίρρησή microου επικεντρώνεται στη φράση

laquoη φάση στην εξίσωση ( )y 02 ηmicro 5πt 9π= sdot minus δίνεται από τη σχέση φ 5πt 9π= minus raquo

η οποία εξάλλου είναι και η υπεύθυνη για τις αντιφάσεις που έχει εντοπίσει ο Νίκος

Προκειmicroένου να βρεθούν η φάση και η αρχική φάση στην εξίσωση microιας αρmicroονικής

ταλάντωσης πρέπει να ακολουθηθούν ορισmicroένες διαδικασίες

22

Αυτό δεν είναι ούτε σωσίβιο ούτε σοφιστεία ούτε κάποια κίνηση απελπισίας Είναι η ου-

σία του ορισmicroού που υιοθετήσαmicroε για τις δύο αυτές έννοιες

Η αυστηρότητα των ορισmicroών που δώσαmicroε ως φυσικοί εξασφαλίζει ότι τα microαθηmicroατικά όχι

microόνο θα microπορέσουν να εγγυηθούν τη συνέπεια των συλλογισmicroών και αποτελεσmicroάτων microας

αλλά θα ενσωmicroατώσουν microέσα τους τελείως διαφανείς πορείες απαραίτητες για την αυτοδυ-

ναmicroία και ισχύ του φυσικού έστω κι αν ένας microαθηmicroατικός αδιαφορήσει τελείως γι΄ αυτές

Αυτό δεν είναι παραλογισmicroός αλλά συνειδητοποίηση του διαφορετικού ρόλου

και της διαφορετικής ευθύνης των δύο ειδικοτήτων˙ του φυσικού και του microαθη-

microατικού

Κοντολογίς

Προκειmicroένου να διατηρήσουmicroε το δικαίωmicroα να χρησιmicroοποιούmicroε στο λεξιλόγιό microας τις λέξεις

φάση και αρχική φάση επιβάλλεται από τα microαθηmicroατικά να είmicroαστε συνεπείς microε τους ορι-

σmicroούς που τους δώσαmicroε και να τις χειριζόmicroαστε microε ειδικό τρόπο σε καθορισmicroένες πορείες

Αν δε το κάνουmicroε αυτό τα microαθηmicroατικά θα microας γυρίσουν την πλάτη

κι εmicroείς θα βουλιάξουmicroε στις παρανοήσεις στα αδιέξοδα και τις λο-

γικές ασυνέπειες

Σύmicroφωνα λοιπόν microε όσα έχουν αναφερθεί για να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση στην εξίσωση κίνησης

y=02middotηmicro(5πtminus9π) microε tge3 sec (69)

πρέπει να εmicroφανίσουmicroε microέσα της την αρχική τιmicroή του χρόνου 3 sec και να αφαιρέσουmicroε τα

ακέραια πολλαπλάσια του 2π microε τέτοιο τρόπο ώστε η αρχική φάση να είναι microέσα στη microορ-

φή του τριγωνοmicroετρικού κύκλου που υιοθετήσαmicroε

Πράγmicroατι η (69) γίνεται

y=02middotηmicro(5πtminus9π)=02middotηmicro[5π(t-3)+6π]

και τελικά

y=02middotηmicro[5π(t-3)+0] microε tge3 sec (69α)

Η (69α) και κατά συνέπεια και η (69) έχουν

Φάση φ=5π(t-3)+0=5πt-15π microε tge3 sec

Αρχική φάση φ0=0 rad

Νοmicroίζω ότι τώρα πια δεν υπάρχει καmicroιά αντίφαση microιας και όλες οι συλλογιστικές και όλες

οι microαθηmicroατικές πορείες θα δώσουν ακριβώς τα ίδια αποτελέσmicroατα

α) Και τα επτά σηmicroεία Ν=0 έχουν την ίδια φάση φ=5πt-15π microε tge3 sec και την ί-

δια αρχική φάση φ0=0 rad

23

β) Υπάρχει απόλυτη συλλογιστική συνέπεια σε όλα αφού όπως έχει ήδη επισηmicroάνει ο Νί-

κος laquoκαι τα 7 σηmicroεία πρέπει να έχουν την ίδια φάση και αρχική φάση αφού ξεκινούν microια

νέα κίνηση από τη θέση ισορροπίας microε θετική ταχύτηταraquo

γ) Είτε χρησιmicroοποιηθούν οι τύποι σύνθεσης ταλαντώσεων είτε χρησιmicroοποιηθεί ο τύ-

πος της συmicroβολής κυmicroάτων είτε οποιαδήποτε άλλη microαθηmicroατική διαδροmicroή τα αποτελέ-

σmicroατα φάσης και αρχικής φάσης θα είναι απολύτως ίδια

δ) laquoΚάθε κίνηση έχει φάση που microας πληροφορεί για πόσο χρόνο παρακολουθούmicroε τη συ-

γκεκριmicroένη κίνησηraquo

ε) Απορία

laquoΠοιο είναι το φυσικό νόηmicroα των τιmicroών 0π 2π 4π 6π και 8πraquo

Απάντηση

laquoοι τιmicroές 0π 2π 4π 6π και 8π που προκύπτουν microε (απλή-ανώδυνη) εφαρmicroογή της γνω-

στής σχέσης ηmicroΑ+ηmicroΒ=hellip δεν έχουν κανένα γνωστό ωφέλιmicroο φυσικό νόηmicroαraquo

Η εφαρmicroογή της σχέσης ηmicroΑ+ηmicroΒ= δεν οδηγεί πάντα απευθείας σε σχέση στην οποία να

είναι άmicroεσα διαφανείς η φάση και η αρχική φάση microιας εξίσωσης αρmicroονικής κίνησης

Ο τελικός τύπος χρειάζεται οπωσδήποτε επεξεργασία

στ) Απορία

laquoΈχει νόηmicroα να ζητήσουmicroε τη διαφορά φάσης ενός από αυτά τα σηmicroεία microε microια πηγήraquo

Απάντηση

Όχι Δεν πρέπει να ζητήσουmicroε τέτοιο πράγmicroα αν δε είmicroαστε έτοιmicroοι να αυτοκτονήσουmicroε ή να

microπούmicroε σε ατέλειωτες microαθηmicroατικές αναζητήσεις για να γλιτώσουmicroε microόνο και microόνο τη συνέ-

πεια της εννοιολογικά λανθασmicroένης laquoπραγmicroατικότηταςraquo των κυmicroάτων που διδάσκουmicroε

Η παρουσία πηγών επιβάλλει άλλου είδους κύmicroατα εmicroπλουτισmicroένα και microε άλλες έννοιες και

microε microαθηmicroατικούς χειρισmicroούς αρκετά δύσκολους microιας και στις διαφορικές εξισώσεις πρέπει

να παρθούν υπόψη συνοριακοί περιορισmicroοί

Στην πρώτη σελίδα της ανάρτησής microου laquoΟρισmicroοί και εξισώσεις κίνησης γ΄ microέροςraquo έγραφα κάτι που όσο περνάει ο καιρός το πιστεύω όλο και πιο πολύ

laquoδιδάσκουmicroε ˝κύmicroατα˝ που δήθεν διαδίδονται microε ταχύτητα υ έχουν αρχικές φάσεις έχουν

πηγές που τα παράγουν και πολλές φορές δύο πηγές για να έχουmicroε συmicroβολή

Μα αυτά που διδάσκουmicroε ούτε κύmicroατα είναι ούτε διαδίδονται ούτε πηγές περιέχουν

ούτε είναι κάπου και τρέχουν να πάνε κάπου αλλού ούτε ξεκινάνε από κάπου ούτε ούτε

ούτε

Στα κεφάλαια ˝Κύmicroατα˝ και ˝Μηχανική Στερεού Σώmicroατος˝ της Φυσικής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου ειλικρινά microε πιάνει απελπισία Τα πράmicroατα εκεί σκοτεινιάζουν τόσο πο-λύ Τί να πεις και από πού να αρχίσεις raquo

24

Στο σηmicroείο αυτό όmicroως νιώθω υποχρεωmicroένος να τονίσω ότι η αρνητικότατη στάση

microου απέναντι σε αυτό που microας βάζουν να διδάσκουmicroε ως κύmicroατα δεν πρέπει στο

ελάχιστο να θεωρηθεί ως απόρριψη της προσπάθειας συναδέλφων να microας δώσουν

ένα πλήθος ασκήσεων θέσεων αναλύσεων διαγωνισmicroάτων κλπ που έχουν σχέση

microε κύmicroατα και microε συmicroβολή κυmicroάτων που περιέχουν πηγές

Στο σχολείο πρέπει να κάνουmicroε αυτό που επιτάσσουν οι πανελλαδικές Άρα πέρα

από όλες τις διαφωνίες microεταξύ microας θα πρέπει προσωπικά να βρω ασκήσεις και θέ-

microατα να δώσω στα παιδιά για να καλύψω την ανήθικη έλλειψη ασκήσεων από το

σχολικό βιβλίο

Επίσης θα πρέπει να βρω τρόπο να microην καταρρεύσει η συλλογιστική των παιδιών

έστω και σαθρή πριν τις εξετάσεις

Αυτό microε τη σειρά του σηmicroαίνει ότι πρέπει να έχω επιχειρήmicroατα και υλικό κοmicromicroένο

στις συγκεκριmicroένες ανάγκες τους

Σε αυτό το σηmicroείο η βοήθεια που microου πρόσφεραν και microου προσφέρουν οι συνάδελ-

φοι του δικτύου και κάποια αξιόλογα εξωσχολικά βιβλία είναι όχι απλά πολύτιmicroη

αλλά ανεπανάληπτη

Με πολύ ανακούφιση δέχοmicroαι και παίρνω πολύτιmicroα διαγωνίσmicroατα ασκήσεις και υ-

λικό που προσφέρουν απλόχερα διάφοροι συνάδελφοι και που αναφέρονται σε κύmicroα-

τα που προέρχονται από πηγές και που συmicroβάλλουν

Επί τη ευκαιρία τους ευχαριστώ που microου δίνουν τον κόπο τους Κάποιες φορές microά-

λιστα αποτελεί πηγή αναθεωρήσεων και καινούριων αναζητήσεων microου

Ε Παρατηρήσεις

1) Η εξίσωση της αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία θα microας δώσουν ή στην οποία θα κα-

ταλήξουmicroε microετά από κάποια microαθηmicroατική επεξεργασία δεν είναι υποχρεωmicroένη να δηλώνει

καθαρά τη φάση και την αρχική φάση Εκείνο που πρέπει οπωσδήποτε να επισηmicroάνουmicroε εί-

ναι ότι φάση δεν είναι η ποσότητα που βρίσκεται microέσα στον τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό

Η εύρεση της φάσης και της αρχικής φάσης θέλουν διαδικασία η οποία θα απαιτήσει το

πεδίο ορισmicroού της εξίσωσης που microας δίνουν για την ταλάντωση ή για το κύmicroα

Ας του δώσουmicroε έmicroφαση microε microια άσκηση χωρίς κανένα απολύτως νόηmicroα

Στην παρακάτω εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης να βρεθεί η φάση και η αρχική

φάση της αποmicroάκρυνσης

y=10-1middotηmicro(2πt 4

11πminus )

Ο λόγος που αυτή η άσκηση είναι α-νόητη είναι γιατί δεν έχει δοθεί το πεδίο ορισmicroού Αλ-

λάζοντας το πεδίο ορισmicroού όπως ήδη έχουmicroε δείξει θα αλλάξει τόσο η συνάρτηση της φά-

σης όσο και η τιmicroή της αρχικής φάσης (∆ες σελίδα 18)

25

2) Η εύρεση της διαφοράς φάσης ανάmicroεσα σε δύο microεγέθη του ίδιου

φαινοmicroένου είναι ακόmicroη πιο επίπονη διαδικασία

Το θέmicroα αυτό είχε θέσει ο Θοδωρής microε microια ανάρτησή του που βρίσκεται στη διεύθυνση httpylikonetgrgroupthemataforumtopicsphhasearchikhe-

phhasediaphorhacommentId=36477953AComment3A16659ampgroupId=36477953AGroup3A5901

Όπως στην περίπτωση της φάσης και αρχικής φάσης οι αρmicroονικές συναρτήσεις πρέπει να

laquoετοιmicroαστούνraquo έτσι και στην περίπτωση που microας ζητάνε να βρούmicroε διαφορά φάσης ανάmicroε-

σα σε δύο φυσικά microεγέθη που εκφράζονται microε αρmicroονικές συναρτήσεις οι συναρτήσεις αυτές

πρέπει οπωσδήποτε να ετοιmicroαστούν κατάλληλα

3) Το πιο σηmicroαντικό στο οποίο εστιάζουν οι εργασίες microου (άσχετα αν τα καταφέρνω να

το δείξω ή όχι) είναι η microεθοδολογία που πρέπει να ακολουθούmicroε όταν θέλουmicroε να λύσουmicroε

microια διαφωνία microας να προχωρήσουmicroε microια αναζήτησή microας να βρούmicroε διέξοδο σε microια αντίφα-

ση να συνειδητοποιήσουmicroε microια έννοια

Κατά τη γνώmicroη microου πρέπει να ξεκινάmicroε από τους ορισmicroούς και αφού εξασφαλίσουmicroε την

αυστηρότητά τους να προχωρήσουmicroε σε απλές έστω εννοιολογικές κατακτήσεις απαραίτη-

τες όmicroως για την αναπνοή microας ως φυσικών ή ως ενδιαφεροmicroένων για τη φυσική

laquohellipΗ αξία των ορισmicroών εντοπίζεται στη σωστή θέση που πρέπει να κατέχουν κατά τη συνεννόηση microε-

ταξύ των φυσικών και στον κορυφαίο και αναντικατάστατο ρόλο που πρέπει microε κάθε σεβασmicroό να απο-

δεχτούmicroε ότι διαδραmicroατίζουν στη διαmicroόρφωση της δοmicroής της γλώσσας που χρησιmicroοποιεί η Φυσική

∆εν γίνεται να κάνεις Φυσική αν δεν έχεις τα σωστά κατάλληλα λόγια για να περιγράψεις στους άλ-

λους το όmicroορφο

Η Φυσική έχει ορισmicroούς που δεν είναι διαπραγmicroατεύσιmicroοι και microαθηmicroατικές microεθοδολογίες που δεν

πρέπει να αγνοούνται αν θέλουmicroε να έχουmicroε συνέπεια και να εξασφαλίζουmicroε απόλυτη διαφάνεια στους

συλλογισmicroούς microας

∆εν πρέπει να χαλάmicroε τη γλώσσα γιατί αλλιώς χαλάει η σκέψη και η επικοινωνία microεταξύ microας Πρέπει να δεχτούmicroε στην ψυχή microας (όχι στα λόγια) ότι οι ορισmicroοί έχουν αξία και να συνειδητοποιή-

σουmicroε την microοναδική τους ιδιότητα Αυτή που είναι και η αιτία της ύπαρξής τους Να είναι χρήσιmicroοι

Οι ορισmicroοί ή είναι χρήσιmicroοι ή δεν υπάρχουν Τα λόγια της Φυσικής δε φτιάχτηκαν για να περιγράφουν αλλά για να έχουν συγχρόνως τη δυνατότητα και να

προφητεύουνraquo

4) Στο παράδειγmicroα του Νίκου για τις φάσεις και τις αντιφάσεις χρησιmicroοποιήθηκαν σηmicroεία

όπου είχαmicroε ενισχύσεις

Θα παρακαλούσα το Νίκο αλλά και όποιον άλλο συνάδελφο θέλει να κάνει microια άσκηση

ή microια προσοmicroοίωση microε πιο γενικά σηmicroεία στη συmicroβολή κυmicroάτων και να υπολογίσει τις

φάσεις και τις αρχικές φάσεις στην εξίσωση ταλάντωσης των σηmicroείων αυτών δίνοντας έmicro-

φαση πάντα το πεδίο ορισmicroού και στον περιορισmicroό της αρχικής φάσης σε έναν τριγωνοmicroε-

τρικό κύκλο πχ της microορφής [02π)

Πιστεύω ότι έτσι κάποια πράγmicroατα θα γίνουν πολύ πιο ευδιάκριτα πιο απλά και το κυριό-

τερο θα περάσουν πιο εύκολα στους συναδέλφους

5) Τελειώνοντας οφείλω να πω ότι η σηmicroερινή microου ανάρτηση ουσιαστικά οφείλεται

στους προβληmicroατισmicroούς που microας έθεσε ο Νίκος (Ανδρεάδης) πάνω στη συmicroβολή των κυmicroά-

των microε το laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολήraquo

Έχοντας ξεκινήσει να γράφω microια σειρά αναρτήσεων σχετικών microε τις έννοιες φάση και αρ-

χική φάση microου ήρθε ανέλπιστα η δουλειά του Νίκου η οποία microε τα ερωτήmicroατα που έθεσε

τη συζήτηση που ακολούθησε και τις γνώmicroες που διατυπώθηκαν microου έδωσε ισχυρά επιχει-

ρήmicroατα να υποστηρίξω την απόλυτη πίστη microου στην αξία των ορισmicroών όχι ως απλή λεκτική

επανάληψη microιας υποχρεωτικής αποστήθισης αλλά ως συνειδητοποίηση όλης εκείνης της

26

εσωτερικής λειτουργίας απόλυτα συγκεκριmicroένων πραγmicroάτων που κρίνουν τους ορισmicroούς

ως χρήσιmicroους και απαραίτητους και τους γεννούν για να υπάρχουν και να πλουτίζουν τη

γλώσσα microας

Τους βάζουν δίπλα microας και microας καλούν να πιστέψουmicroε στην αξία τους και ποτέ να microην

τους υποτιmicroήσουmicroε όσο απλοί και να είναι

(συνεχίζεται)

Σάββατο 29 Ιανουαρίου 2011

Θρασύβουλος Κων Μαχαίρας

Γενικό Λύκειο Αγριάς Πηλίου

s7-kmghotenetgr

6

Οι σταθερές Αgt0 και C4 θα προσδιοριστούν από τις συνθήκες που microας δίνουν και οι ο-

ποίες δεν είναι απαραίτητο να είναι οι αρχικές

Ο προσδιορισmicroός όmicroως του C4 επειδή αυτή η σταθερά τώρα θεωρείται πραγmicroατικός αριθmicroός θα γίνει microε την αοριστία ακέραιων πολλαπλασίων του π Θα περιέχει δηλαδή

το 2kπ (βλέπε παραδείγmicroατα παρακάτω)

Έτσι η ακριβής τιmicroή του θα απαιτήσει οπωσδήποτε και τον ισχυρό περιορισmicroό που microετα-

τοπίσαmicroε στην αρχική φάση

0le φ0 lt2π δηλαδή τον 0le ωt0+C4 lt2π (27)

2η δυνατότητα (εναλλακτικός τρόπος προτιmicroητέος)

(Η ιδέα γι αυτή τη δυνατότητα είναι του Διονύση)

Εκmicroεταλλευόmicroενοι τη σχέση (20) την οποία χρησιmicroοποιήσαmicroε προκειmicroένου να καταλή-

ξουmicroε στη δεύτερη δυνατότητα microπορούmicroε να δούmicroε τα πράγmicroατα και microε έναν άλλο τρόπο

Στην εξίσωση κίνησης

x=Amiddotηmicro[ω(t‒t0)+φ0 ] t ge Rt0 isin Agt0 0le φ0 lt2π (28)

ονοmicroάζουmicroε φάση της αποmicroάκρυνσης την ποσότητα

φ=ω(t ‒ t0 )+φ0 t ge Rt0 isin (29)

Όmicroοια ονοmicroάζουmicroε αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης την ποσότητα

φ0 (29α)

Οι σταθερές Agt0 και φ0 θα προσδιοριστούν από τις συνθήκες που microας δίνουν και οι ο-

ποίες δεν είναι απαραίτητο να είναι οι αρχικές

Όπως εξηγήσαmicroε η πρώτη δυνατότητα δεν περιορίζει την αρχική φάση σε ένα τριγωνο-

microετρικό κύκλο δε βάζει κανένα περιορισmicroό στη φάση και στην αρχική φάση παρά microόνο σε

microια σταθερά της εξίσωσης κίνησης τη 0le C4 lt2π (βλέπε σχέση 21)

Συνεπώς είναι πολύ πιο ισχυρή από τη δεύτερη δυνατότητα Όmicroως χαλά όλες τις συνή-

θειές microας και το laquoτραγικότεροraquo είναι ότι εύκολα microπορεί να καταργήσει και τις δύο έννοιες

(φάση και αρχική φάση) αν κάποιος άρει (και έχει microαθηmicroατικά το δικαίωmicroα) το microοναδικό

περιορισmicroό 0le C4 lt2π που θέτει η οικονοmicroία της περιγραφής των φαινοmicroένων

Γι΄ αυτή και microόνο την αναστάτωση που πιθανώς να επιφέρει στις συνήθειές microας

στις εκφράσεις microας και στον τρόπο σκέψης microας πιστεύω χωρίς αυτό να είναι ούτε

απαραίτητο ούτε αναγκαίο ότι πρέπει να υιοθετήσουmicroε τη δεύτερη δυνατότητα ορι-

σmicroών laquoφάσηςraquo και laquoαρχικής φάσηςraquo και microάλιστα τον εναλλακτικό τρόπο ο οποίος θα

αποδειχτεί παρακάτω πιο laquoφιλικόςraquo

7

Β Παραδείγmicroατα εύρεσης φάσης και αρχικής φάσης στις τα-

λαντώσεις και στη συmicroβολή των κυmicroάτων

Ας ξεκινήσουmicroε ξαναθυmicroίζοντας τρία παραδείγmicroατα από την ανάρτηση laquoΟρισmicroοί και

εξισώσεις κίνησης (β΄ microέρος)raquo

1ο παράδειγmicroα

Υλικό σηmicroείο εκτελεί (απλή) αρmicroονική ταλάντωση που περιγράφεται από εξίσωση κίνησης

της microορφής x=Amiddotηmicro(ωt+C4)

Τη χρονική στιγmicroή t0=2 sec που αρχίζουmicroε να microελετάmicroε την κίνηση το υλικό σηmicroείο βρίσκε-

ται στη θέση m102

2x

10

minussdotminus= (αρχική θέση) και έχει ταχύτητα sec

m 10 2

10 πυ minus= (αρχική τα-

χύτητα) Αν η περίοδος της ταλάντωσης είναι Τ=1 sec να βρεθεί η φάση και η αρχική φά-

ση της αποmicroάκρυνσης στη δεδοmicroένη microορφή εξίσωσης κίνησης

(Στην άσκηση δίνονται δύο συγκεκριmicroένες συνθήκες οι αρχικές Θα microπορούσαν όmicroως να

είναι οποιεσδήποτε άλλες αλλά πάντα δύο)

Λύση

α΄ τρόπος Με τη χρήση των σχέσεων (24) έως (27)

Την εξίσωση κίνησης που microας δίνουν φέρνουmicroε στη microορφή και τους περιορισmicroούς

της συνάρτησης (24)

x=Amiddotηmicro(2πt + C4) microε t ge2 sec Αgt0 και C4 πραγmicroατικός αριθmicroός (30)

Τότε η φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ=2πt + C4 microε t ge2 sec και RC4 isin (30α)

και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ0=2π2+C4 microε τον ισχυρό περιορισmicroό 0le φ0 lt2π (30β)

Εποmicroένως όλο το πρόβληmicroα εντοπίζεται στον υπολογισmicroό της σταθεράς C4

Ας τον κάνουmicroε

Η ταχύτητα του υλικού σηmicroείου είναι

υ=A2πmiddotσυν(2πt + C4) microε t ge2 sec Αgt0 και C4 πραγmicroατικός (31)

Για t=t0=2 sec οι σχέσεις (30) και (31) δίνουν

110

2

2 minussdotminus =Amiddotηmicro(4π+C4) microε Αgt0 και C4 πραγmicroατικός

π110 2 minus =A2πmiddotσυν(4π+C4) microε Αgt0 και C4 πραγmicroατικός

8

Από όπου προκύπτει

Α=10-1

m 2

2C4 minus=ηmicro και

2

2C4 =συν

και τελικά

Α=10-1

m και Zk rad 4

7k2C4 isin+= microε

ππ (32)

Βλέπουmicroε καθαρά πια ότι ενώ η τιmicroή του Α της microιας δηλαδή από τις δύο σταθερές Α και

C4 που επιβάλλει η διαφορική εξίσωση έχει ήδη προσδιοριστεί από τις αρχικές συνθήκες ο

προσδιορισmicroός της ακριβούς τιmicroής του C4 απαιτεί τον ορισmicroό και τον περιορισmicroό που υιο-

θετήσαmicroε για την αρχική φάση

Αυτός είναι και ο βαθύτερος κεφαλαιώδης ποιοτικός διαχωρισmicroός των εννοιών laquoπλάτοςraquo

και laquoαρχική φάσηraquo που κάνει το πλάτος γρήγορα να ανεξαρτητοποιηθεί από τη microορφή της

εξίσωσης κίνησης που θα χρησιmicroοποιήσουmicroε για τη ταλάντωση και έτσι να γίνει έννοια που

αφορά το φαινόmicroενο και όχι τη συνάρτηση την εξίσωση κίνησης δηλαδή

Λέmicroε πλάτος ταλάντωσης αλλά ποτέ αρχική φάση ταλάντωσης

Από τη σχέση (30α) προκύπτει ότι η φάση της αποmicroάκρυνσης στη δεδοmicroένη microορφή της ε-

ξίσωσης κίνησης είναι

φ=2πt+C4=2πt+ Zk 4

7k2 isin+ microε

ππ και t ge2 sec (33)

και εποmicroένως η αρχική φάση είναι

φ0 = 4π+ Zk 4

7k2 isin+ microε

ππ (34)

Πρέπει όmicroως

0le φ0 lt2π

Αντικαθιστώντας στην παραπάνω διπλή ανίσωση την φ0 από την σχέση (34) προκύπτει

k=minus2

Τότε από σχέση (32) προκύπτει

rad 4

9π

4

74C4 minus=+minus=

ππ

και συνεπώς η εξίσωση κίνησης του υλικού σηmicroείου (30) γίνεται

x=10-1

middotηmicro(2πt 4

9πminus ) (SI) microε t ge2 sec (35)

Η φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση κίνησης (35) είναι

φ= 4

9t2

ππ minus και t ge2 sec

και η αρχική φάση

rad 4

7

4

9220

πππϕ =minus=

9

β΄ τρόπος Με τη χρήση των σχέσεων (28) έως (29α)

Την εξίσωση κίνησης που microας δίνουν φέρουmicroε στη microορφή και τους περιορισmicroούς της

συνάρτησης (28)

x=Amiddotηmicro[2π(t‒2)+ φ0 ] t ge 2 sec Agt0 0le φ0lt2π (36)

τότε η φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ=2π(t‒2)+ φ0 t ge 2 sec 0le φ0lt2π (36α)

και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ0

Εποmicroένως όλο το πρόβληmicroα εντοπίζεται στον υπολογισmicroό της φ0

Ας τον κάνουmicroε

Η ταχύτητα του υλικού σηmicroείου είναι υ=2πΑmiddotσυν[2π(t‒2)+ φ0 ] t ge 2 sec Αgt0 0le φ0 lt2π (36β)

Για t=t0=2 sec οι παραπάνω σχέσεις (36) και (36β) αποmicroάκρυνσης και ταχύτητας αντί-

στοιχα δίνουν

110

2

2 minussdotminus =Αηmicroφ0 και π110 2 minus =2πΑσυνφ0

Από όπου

Α=10-1

m 2

20 minus=ηmicroϕ και

2

2 0=συνϕ

Τελικά και microε δεδοmicroένο ότι 0le φ0 lt2π προκύπτει

Α=10-1

m και rad 4

70

πϕ =

Από τη σχέση (36) προκύπτει η εξίσωση κίνησης

x=10-1

middotηmicro[2π(t-2)4

7π+ ) microε t ge2 sec (37)

δηλαδή η

x=10-1

middotηmicro(2πt 4

9πminus ) (SI) microε t ge2 sec (38)

Κατά συνέπεια η φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση κίνησης (38) είναι

φ= 4

9t2

ππ minus microε t ge2 sec

και η αρχική φάση

rad 4

7

4

9220

πππϕ =minus=

τιmicroή την οποία εξάλλου έχουmicroε ήδη βρει

10

2ο παράδειγmicroα

Υλικό σηmicroείο εκτελεί (απλή) αρmicroονική ταλάντωση που περιγράφεται από την εξίσωση

x=10-1

middotηmicro(2πt 4

9πminus ) (SI) microε t ge2 sec (39)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης x στη δεδοmicroένη microορφή της εξίσω-

σης κίνησης στη δεδοmicroένη δηλαδή microορφή της εξίσωσης αρmicroονικής ταλάντωσης

Λύση

α΄ τρόπος Με τη χρήση των σχέσεων (24) έως (27)

Την εξίσωση κίνησης που microας δίνουν φέρνουmicroε στη microορφή και τους περιορισmicroούς

της συνάρτησης (24)

x=Amiddotηmicro(2πt + C4) microε t ge2 sec Αgt0 και C4 πραγmicroατικός (40)

Τότε η φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ=2πt+C4 t ge2 sec RC4 isin (40α)

και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ0=2π2+C4 microε τον ισχυρό περιορισmicroό 0le φ0 lt2π (40β)

Εποmicroένως όλο το πρόβληmicroα εντοπίζεται στον υπολογισmicroό της σταθεράς C4

Ας τον κάνουmicroε

Για να έχει η εξίσωση κίνησης (39) που microας δίνουν τη microορφή της σχέσης (40) για όλες

τις χρονικές στιγmicroές tge2 sec πρέπει να ισχύει

Α=10-1

m και ηmicro(2πt + C4)= ηmicro(2πt 4

9πminus )

και συνεπώς πρέπει

C4=2kπ4

9πminus (40γ)

Τότε η φάση και η αρχική φάση λόγω των σχέσεων (40α) (40β) και (40γ) θα είναι

φ=2πt+2kπ4

9πminus t ge2 sec

φ0=4π+2kπ4

9πminus

Απαιτώντας 0le φ0 lt2π προκύπτει k=0

Άρα η φάση της αποmicroάκρυνσης στην (40) και κατά συνέπεια στην εξίσωση κίνησης

(39) που microας δίνουν είναι

φ=4

π9πt2 minus microε t ge2 sec

και η αρχική φάση είναι

φ0=4

7π

11

β΄ τρόπος Με τη χρήση των σχέσεων (28) και (29)

Την εξίσωση κίνησης που microας δίνουν φέρνουmicroε στη microορφή και τους περιορισmicroούς

της συνάρτησης (28)

x=Amiddotηmicro[2π(t‒2)+ φ0 ] t ge 2 sec Agt0 0le φ0lt2π (41)

Τότε η φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ=2π(t‒2)+ φ0 (41α)

και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ0

Εποmicroένως όλο το πρόβληmicroα εντοπίζεται στον υπολογισmicroό της φ0

Ας τον κάνουmicroε

Μετασχηmicroατίζουmicroε την εξίσωση κίνησης (39) που microας δίνουν ώστε να αποκτήσει τη microορ-

φή της σχέσης (41)

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒2)+4πminus4

9π] t ge 2 sec

και τελικά

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒2)+4

7π] (SI) t ge 2 sec (42)

Άρα η φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση κίνησης (42) και κατά συνέπεια στην εξί-

σωση κίνησης (39) που microας έδωσαν είναι

φ=2π(t‒2)+4

7π=

4

π9πt2 minus microε t ge2 sec

και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ0=4

7π

Σηmicroειώσεις

α) Από το παραπάνω παράδειγmicroα φαίνεται η ευκολία microε την οποία λύνεται το πρόβληmicroα

της φάσης και της αρχικής φάσης microε τον β΄ τρόπο αν φέρουmicroε δηλαδή την εξίσωση κίνη-

σης που microας δίνουν στη microορφή της συνάρτησης (28) microε τους περιορισmicroούς όmicroως που ακο-

λουθούν αυτή τη microορφή Τον τρόπο αυτόν θα ακολουθήσουmicroε και στο επόmicroενο παράδειγmicroα Ίσως κάποιος πει γιατί να τα κάνουmicroε όλα αυτά αφού θα microπορούσαmicroε και microόνο microε παρα-

τήρηση σύγκριση και microε microια αντικατάσταση στην εξίσωση κίνησης (39) που microας δίνουν να

βρούmicroε αυτά που ζητάmicroε πολύ πιο εύκολα

Ο λόγος της ευκολίας που πιθανώς να διακρίνει κάποιος οφείλεται στο γεγονός ότι η (39)

ήταν σχέση laquomicroαγειρεmicroένηraquo Είχε ετοιmicroαστεί από το πρώτο παράδειγmicroα Τα πράmicroατα όmicroως

δε θα είναι πάντα τόσο ευδιάκριτα Θα το διαπιστώσουmicroε στο επόmicroενο παράδειγmicroα

12

β) Η εξίσωση κίνησης (39) που microας δώσανε

x=10-1

middotηmicro(2πt 4

9πminus ) (SI) microε t ge2 sec

είναι microαθηmicroατικά ισοδύναmicroη microε την

x=10-1

middotηmicro(2πt 4

πminus ) (SI) microε t ge2 sec

Κατά συνέπεια αυτή η τελευταία θα microπορούσε κάλλιστα να δοθεί στη θέση της πρώτης

Μήπως αυτό θα επηρέαζε τη φάση και την αρχική φάση που θα βρίσκαmicroε γεγονός που

θα καθιστούσε και τους ορισmicroούς και τις έννοιες άχρηστες

Η απάντηση είναι όχι Οποιαδήποτε microαθηmicroατικά ισοδύναmicroη σχέση και να χρησιmicroοποιήσουmicroε ως εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης εφό-σον ακολουθήσουmicroε microε συνέπεια όσα αναφέραmicroε θα καταλήξουmicroε στην ίδια σχέση για τη φάση και στην ίδια τιmicroή για την αρχική φά-ση

Το γεγονός αυτό δείχνει τη συνέπεια των ορισmicroών που δώσαmicroε για φάση και αρχική φάση

Συνεπώς αν τους υιοθετήσουmicroε που τουλάχιστον βουβά microέχρι τώρα το έχουmicroε ήδη κάνει

στη φυσική δεν θα έχουmicroε αντιφάσεις

γ) Ο λόγος που στην εξίσωση (39) χρησιmicroοποιήσαmicroε το 4

9πminus και όχι το ισοδύναmicroο

4

πminus

ήταν για να δείξουmicroε ότι αυτός που θα microας δώσει microια εξίσωση κίνησης δεν είναι υποχρεω-

microένος να την έχει επεξεργαστεί και να έχει υιοθετήσει κάποιες φόρmicroες ή να έχει προσέξει τις

microαθηmicroατικές ισοδυναmicroίες

Αυτός που θα microας δώσει την εξίσωση κίνησης είναι ελεύθερος να microας δώσει ότι θέλει (microαθηmicroατικά ισοδύναmicroο) αρκεί να δώσει όπως οφείλει να δώσει σε κάθε συνάρτηση το πεδίο ορισmicroού της

3ο παράδειγmicroα

Υλικό σηmicroείο εκτελεί (απλή) αρmicroονική ταλάντωση που περιγράφεται από την εξίσωση κίνη-

σης

x=10-1

middotηmicro(4

πt

3

10π+ ) (SI) microε t ge minus3 sec (41)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης στη δεδοmicroένη microορφή εξίσωσης κί-

νησης

Λύση

Μετασχηmicroατίζουmicroε τη σχέση (41) ώστε να αποκτήσει τη microορφή της σχέσης (28) δηλαδή

να αποκτήσει τη microορφή

x=Amiddotηmicro[ω(t‒t0)+φ0 ] t ge Rt0 isin Agt0 0le φ0 lt2π

13

Πράγmicroατι η (41) γίνεται

x=10-1

middotηmicro[4

π(t+3)minus

4

3π +

3

10π ] t ge -3 sec

ή x=10-1

middotηmicro[4

π(t+3)+

12

31π ] t ge -3 sec

Αφαιρώ (ή προσθέτω αν microε βολεύει) ακέραιο πολλαπλάσιο του 2π προκειmicroένου να δη-

microιουργήσω θετική αρχική φάση περιορισmicroένη σε έναν τριγωνοmicroετρικό κύκλο

x=10-1

middotηmicro[4

π(t+3)minus2π+

12

31π ] t ge -3 sec

και τελικά

x=10-1

middotηmicro[4

π(t+3)+

12

7π ] (SI) microε t ge -3 sec (42)

Άρα η φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση κίνησης (42) και κατά συνέπεια στην εξί-

σωση κίνησης (41) που microας έδωσαν είναι

φ=4

π(t+3)+

12

7π=

4

πt+

3

4π microε t ge-3 sec

και άρα η αρχική φάση θα είναι

φ0=12

7π rad

Σηmicroείωση

Θα είχαmicroε καταλήξει στην ίδια ακριβώς σχέση για τη φάση και στην ίδια τιmicroή

για την αρχική φάση ακόmicroη και αν αρχίζαmicroε από οποιαδήποτε εξίσωση microαθη-

microατικά ισοδύναmicroη microε τη δεδοmicroένη εξίσωση κίνησης όπως πχ από την

x=10-1

middotηmicro(4

πt

3

4π+ ) (SI) microε t ge minus3 sec

Αρκεί η σχέση που θα microας έδιναν να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση να

ήταν ισοδύναmicroη microαθηmicroατικά microε την (41) και κατά συνέπεια να είχε το ίδιο πε-

δίο ορισmicroού microε αυτή

raquo

14

Γ Συmicroπέρασmicroα

(ένας απλός τρόπος υπολογισmicroού φάσης και αρχικής φάσης) Με τα παραπάνω θεmicroελιώνεται microαθηmicroατικά ένας πολύ απλός τρόπος εύρεσης της φάσης

και της αρχικής φάσης σε microια τυχαία εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία microας δίνουν

ή στην οποία καταλήγουmicroε microετά από διάφορους microαθηmicroατικούς microετασχηmicroατισmicroούς

Απαίτηση όmicroως για την εφαρmicroογή αυτού του τρόπου είναι η παρουσία του πεδίου ορισmicroού

της συνάρτησης κάτι που στο κάτω-κάτω είναι και απαίτηση κάθε σοβαρής microαθηmicroατικής

αντιmicroετώπισης

Ας τον δούmicroε

Έστω για παράδειγmicroα ότι microε οποιονδήποτε microαθηmicroατικά σωστό τρόπο καταλήγουmicroε

στην εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης

χ=Αηmicro(ωt+θ) microε t ge t0 (60)

Επειδή οι microαθηmicroατικές microεθοδολογίες δεν ενδιαφέρονται για τις αγωνίες ενός φυσικού δεν είναι καθόλου υπο-χρεωmicroένες να εξασφαλίσουν ότι η ποσότητα θ θα είναι αρχική φάση ούτε ότι η ποσότητα ωt+θ θα είναι φά-ση

Αυτές οι έννοιες αφορούν τον φυσικό ο οποίος θα πρέπει πρώτα να τις ορίσει microε αυστηρότητα (και αυτό microπο-ρεί να γίνει microόνο microέσα από την ξεχωριστή εσωτερική λειτουργία των διαφορικών εξισώσεων όπως έχουmicroε ήδη επισηmicroάνει) και κατόπιν να χρησιmicroοποιήσει την εγγύηση των microαθηmicroατικών για να εξασφαλίσει ότι η αυστηρότητα των ορισmicroών του θα είναι όχι απλά συνεπέστατη λογικά αλλά κυρίως ότι θα δώσει την εγγύηση πως δεν θα προκύψουν παρανοήσεις

Έτσι λοιπόν το θ που θα προκύψει από τους microαθηmicroατικούς microετασχηmicroατισmicroούς

microπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγmicroατικός αριθmicroός

Τότε

1ο βήmicroα Στην (60) εmicroφανίζουmicroε την αρχική τιmicroή του χρόνου t0 γράφοντάς

την microε τη microορφή

x=Aηmicro[ω(t-t0)plusmnθ΄] microε t ge t0

2ο βήmicroα Αν η θ΄ στο όρισmicroα του ηmicroίτονου είναι microέσα σε ένα τριγωνοmicroε-

τρικό κύκλο αυτή είναι η αρχική φάση Αλλιώς προσθέτουmicroε ή

αφαιρούmicroε ακέραια πολλαπλάσια του 2π ώστε microετά την παρά-

σταση ω(t-t0) να εξασφαλίσουmicroε laquoγωνίαraquo φ0 η οποία να είναι

microέσα στον τριγωνοmicroετρικό κύκλο που έχουmicroε επιλέξει

Να είναι δηλαδή στο διάστηmicroα [0 2π) ή στο [-π π) κλπ

x=Aηmicro[ω(t-t0)+φ0] microε t ge t0 (60α)

3ο βήmicroα Η ποσότητα φ=ω(t-t0)+φ0 είναι η φάση και φ0 είναι η αρχική

φάση στη σχέση (60α) Άρα και στην (60) που microας έδωσαν

Τον παραπάνω τρόπο εφαρmicroόσαmicroε ήδη στο 3ο παράδειγmicroα

15

Δ Κύmicroατα

Το έχω ξαναπεί αλλά θα το ξαναπώ γιατί νοmicroίζω ότι microόνο έτσι microόνο όταν πιστέψουmicroε

στα λάθη που microας βάζουνε και διδάσκουmicroε κάποια στιγmicroή θα βρεθούν κάποιοι ικανοί που

θα βρουν τρόπο να ζητήσουν ευθύνες από όλους εκείνους που χρόνια τώρα microας βουλιάξανε

microας βουλιάζουνε και θα βουλιάξουνε γενιές ανθρώπων στα λάθη γράφοντας πανεπιστηmicroια-

κά βιβλία χωρίς ποτέ να microπουν στον κόπο να ξαναψάξουν αυτά που γράφουν

Το κεφάλαιο laquoΚύmicroαταraquo που διδάσκουmicroε είναι το λιγότερο λανθασmicroένο Λανθασmicroένο

πιο πολύ από τις ταλαντώσεις γιατί τα laquoκύmicroαταraquo κουβαλάνε όλα τα λάθη των ταλα-

ντώσεων και κάτι ακόmicroη που είναι πιο τραγικά λανθασmicroένο Τη διάδοση

Η διδασκαλία microας στο κεφάλαιο laquoΚύmicroαταraquo ΔΥΣΤΥΧΩΣ ΣΤΗΡΙΖΕΤΑΙ ΣΤΗ ΔΙΑ-

ΔΟΣΗ ΤΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ

Μα αυτά που διδάσκουmicroε ούτε laquoκύmicroαταraquo είναι ούτε διαδίδονται

Και έτσι εmicroείς οι απλοί φυσικοί της γειτονιάς γινόmicroαστε τραγικές φιγούρες microιας και microετά

από ένα κεφάλαιο γεmicroάτο λάθη όπως είναι οι laquoταλαντώσειςraquo αναγκαζόmicroαστε να λέmicroε να

βρίσκουmicroε να διδάσκουmicroε να microπαλώνουmicroε και να εmicroπλουτίζουmicroε microε ασκήσεις το δεύτερο

κεφάλαιο laquoΤα κύmicroαταraquo που είναι ακόmicroη πιο λανθασmicroένο

Η εmicroπειρία microου ως αεί υφιστάmicroενος τόσων και τόσων σε ένα Υπουργείο Παιδείας που η-

δονίζεται να αλλάζει ονόmicroατα microόνο και όχι ουσία microου λέει τούτο το απλό

Όταν τόσοι φυσικοί δυσκολευόmicroαστε κάποιες φορές να κατανοήσουmicroε αυτά που διδάσκου-

microε και που γράφει ένα σχολικό βιβλίο προορισmicroένο για microαθητές λυκείου σίγουρα κάποιοι

άλλοι κάνανε χοντρά λάθη ως laquomicroέντορεςraquo (γελοιοποίηση microιας ακόmicroη όmicroορφης αρχαίας λέ-

ξης) και microας βάλανε να διδάξουmicroε τα λάθη τους microε τέτοιο τρόπο που στο τέλος

ξεχάσαmicroε ότι ήταν δικά τους λάθη και νοmicroίσαmicroε ότι όλα ήταν δικά microας σω-

στά

Παρακάmicroπτω λοιπόν την ανύπαρκτη φυσική της συmicroβολής των laquoκυ-

microάτωνraquo που διδάσκουmicroε και χρησιmicroοποιώντας microόνο την ορολογία της θα προσπα-

θήσω microέσα από microια microατιά laquoγυmicroνάraquo microαθηmicroατική να εφαρmicroόσω στο συγκεκριmicroένο laquoφαινόmicroε-

νοraquo όσα προαναφέραmicroε Επικαλούmicroενος και ελπίζοντας microόνο στην αυστηρότητα του ορισmicroού

Αν εφαρmicroόσουmicroε microε συνέπεια τους αυστηρούς ορισmicroούς της φάσης και της αρχικής φάσης

που δώσαmicroε κι αν σε φαινόmicroενα ίδιας ποιότητας δεν αρνηθούmicroε τις microαθηmicroατικές πορείες

που καταγράψαmicroε κι ακολουθήσαmicroε στις τρεις προηγούmicroενες αναρτήσεις laquoΟρισmicroοί και

εξισώσεις κίνησης α΄ β΄ και γ΄ microέροςraquo τότε δε θα υπάρξουν συλλογιστικά αδιέξοδα

Ας το δούmicroε (τα σύmicroβολα που χρησιmicroοποιούνται θεωρούνται αυτονόητα)

Στην εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης

minus=λ

πηmicro 11

r

T

t2Ay microε

υ1rt ge (61)

16

που επιβάλλει στο τυχαίο σηmicroείο Μ το πρώτο laquoκύmicroαraquo όταν έχει διαδοθεί microόνο του οι έν-

νοιες της φάσης και της αρχικής φάσης είναι καθορισmicroένες microε απόλυτη σαφήνεια αρκεί να

microην ξεχάσουmicroε το πεδίο ορισmicroού

φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (61)

λππ

ϕ 1r2

T

t2minus= microε

υ1rt ge

αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (61)

φ0=0 rad

Στην εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης

minus=λ

πηmicro 22

r

T

t2Ay microε

υ2rt ge (62)

που επιβάλλει στο τυχαίο σηmicroείο Μ το δεύτερο laquoκύmicroαraquo όταν έχει διαδοθεί microόνο του οι έν-

νοιες της φάσης και της αρχικής φάσης είναι καθορισmicroένες microε απόλυτη σαφήνεια αρκεί να

microην ξεχάσουmicroε το πεδίο ορισmicroού

φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (62)

λππ

ϕ 2r2

T

t2minus= microε

υ2rt ge

αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (62)

φ0=0 rad

Μετά τη laquoσυmicroβολή των δύο κυmicroάτωνraquo η εξίσωση ταλάντωσης του ση-

microείου Μ είναι

minus+

minus=+=λ

πηmicroλ

πηmicro 2121

r

T

t2A

r

T

t2Ayyy microε

geυυ

21 r

rmax t (63)

Στη σχέση (63) οι έννοιες laquoφάσηraquo και laquoαρχική φάσηraquo δεν ορίζο-

νται Δεν υπάρχουν

Η κίνηση που αποδίδεται microε τη σχέση (63) είναι επαλληλία των εξισώσεων κίνησης δύο

αρmicroονικών ταλαντώσεων (επαλληλία δύο αρmicroονικών συναρτήσεων δηλαδή και όχι πραγmicroα-

τικών κινήσεων) ίδιας διεύθυνσης ίδιας συχνότητας και ίδιας laquoθέσης ισορροπίαςraquo

17

Είναι επαλληλία των συναρτήσεων y1 και y2

Η σύνθεσή τους η y δηλαδή είναι microια (πραγmicroατική) αρmicroονική ταλάντωση ίδιας διεύθυν-

σης ίδιας συχνότητας και ίδιας θέσης ισορροπίας microε τις συνιστώσες εξισώσεις κίνησης ή

καλύτερα microε τους προσθετέους της (63)

Όπως είναι γραmicromicroένη η εξίσωση (63) δεν έχουmicroε κανένα δικαίωmicroα να microιλάmicroε

ούτε για laquoφάσηraquo ούτε για laquoαρχική φάσηraquo

Για να αποκτήσουmicroε αυτό το δικαίωmicroα πρέπει να τη φέρουmicroε σε microορφή που να διαθέτει

ένα microόνο τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό και δη ή microόνο ένα ηmicroίτονο ή microόνο ένα συνηmicroίτονο

Με άλλα λόγια

αν θέλουmicroε να microιλάmicroε για φάση και αρχική φάση στην σχέση (63) εξίσωση συmicroβολής των

κυmicroάτων θα πρέπει να τη φέρουmicroε στη microορφή

( )0t Ay ϕωηmicro prime+prime=

ή στη microορφή

( )0t Ay ϕωσυν primeprime+primeprime=

Τότε όmicroως

για να microην καταρρεύσουν αmicroφότεροι οι ορισmicroοί κι εποmicroένως και οι έννοιες

της φάσης και της αρχικής φάσης θα πρέπει να φροντίσουmicroε η αρχική φάση

να περιοριστεί σε ένα τριγωνοmicroετρικό κύκλο

για να αποφύγουmicroε κάθε επικίνδυνη ρευστότητα θα πρέπει να τεθεί οπωσ-

δήποτε το πεδίο ορισmicroού της συνάρτησης

για να microην υπάρξουν συλλογιστικά αδιέξοδα θα πρέπει να ακολουθήσουmicroε

microε συνέπεια την πορεία που καταγράψαmicroε στα παραδείγmicroατα 1-3 για τον

υπολογισmicroό φάσης και αρχικής φάσης ή έστω να εφαρmicroόσουmicroε τον απλό

τρόπο που καταγράφεται στη σελίδα 14

Ο microετασχηmicroατισmicroός της (63) ώστε να περιέχει ένα microόνο τριγωνο-

microετρικό αριθmicroό microπορεί να γίνει microε διάφορους τρόπους

1ος τρόπος Χρησιmicroοποιώντας τους τύπους της επαλληλίας εξισώσεων κίνησης

Αν έχουmicroε αριθmicroητικά δεδοmicroένα και δε θέλουmicroε να microπλεχτούmicroε microε πολλά microαθηmicroατικά

microπορούmicroε να χρησιmicroοποιήσουmicroε τους τύπους του σχολικού βιβλίου για την επαλληλία εξι-

σώσεων αρmicroονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης ίδιας συχνότητας και ίδιας θέσης ισορ-

ροπίας

Τους τύπους αυτούς όmicroως θα πρέπει να ισχυροποιήσουmicroε ώστε να συmicroπεριλάβουν περι-

πτώσεις όπου και οι δύο ταλαντώσεις έχουν αρχική φάση και να εmicroπλουτίσουmicroε microε έναν ε-

πιπλέον τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό ή microε κάποια επιπλέον microαθηmicroατική microας δεξιότητα microιας και η

σχέση microε την εφθ microόνη της δε microπορεί να προσδιορίσει την αρχική φάση θ έστω κι αν αυτή

περιοριστεί σε έναν τριγωνοmicroετρικό κύκλο

18

( Επαλληλία εξισώσεων αρmicroονικών ταλαντώσεων

x1=Α1middotηmicro(ωt+φ1) και x2=Α2middotηmicro(ωt+φ2)

x=x1+ x2=Aηmicro(ωt+θ)

όπου )(AA2AAA 21212

22

1 ϕϕσυν minus++= Α

ηmicroϕΑηmicroϕΑηmicroϑ 2211 +

= (64)

2211

2211

AA

AA

συνϕσυνϕηmicroϕηmicroϕ

εϕϑ+

+=

ΑσυνϕΑσυνϕΑ

συνϑ 2211 +=

microε 0leθlt2π

Τέτοιου είδους αντιmicroετωπίσεις έχουν ήδη καταχωρηθεί στο δίκτυο)

2ος τρόπος Μετασχηmicroατίζουmicroε την (63) και φτάνουmicroε στη microορφή

+minussdot

minus=

λΤπηmicro

λπσυν

2

rrt2

2

rr2A2y 2121 microε

geυυ

21 r

rmax t (65)

Αφού φιλοδοξούmicroε η (65) να περιγράφει πραγmicroατική κίνηση (κι όχι να είναι κα-

νένας προσθετέος σε επαλληλία εξισώσεων κίνησης) και επιθυmicroούmicroε οι έννοιες laquoφάσηraquo και

laquoαρχική φάσηraquo να έχουν νόηmicroα θα πρέπει ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ να χειρι-

στούmicroε την (65) microε τους τρόπους που δείξαmicroε στα παραδείγmicroατα 1-3

Αν δηλαδή επιθυmicroούmicroε να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση στην

(65) θα πρέπει να χρησιmicroοποιήσουmicroε ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ το πεδίο ορισmicroού

της και τον περιορισmicroό της αρχικής φάσης σε ένα τριγωνοmicroετρικό κύκλο

(Το να χειριστούmicroε τη σχέση (65) γενικά ώστε να εmicroφανιστούν γενικοί περιορισmicroοί στο πεδίο ορισmicroού και στην

αρχική φάση του ενός τριγωνοmicroετρικού κύκλου νοmicroίζω ότι θα είναι άσκοπο microιας και ο χρόνος που θα απαιτήσει

η γραφή αυτή θα ΄ναι microεγάλος και η αξία των τύπων ελάχιστη Γι΄ αυτό καταφεύγω σε παραδείγmicroατα)

4ο παράδειγmicroα

Έστω ότι σε κάποιο πρόβληmicroα συmicroβολής κυmicroάτων y1= και y2= αντικαθι-

στούmicroε τα δεδοmicroένα στην εξίσωση της συmicroβολής (65) και βρίσκουmicroε ότι το σηmicroείο Μ που απέ-

χει r1= και r2= από τις πηγές ταλαντώνεται αρmicroονικά microε εξίσωση

y=10-1

middotηmicro(2πt 4

11πminus ) (SI) microε t ge 6 sec (66)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης του Μ στην (66)

19

Λύση

1ος τρόπος

Κάνουmicroε ότι κάναmicroε στο παράδειγmicroα 2 στη σελίδα 10 ή στο παράδειγmicroα 3 στη σελίδα 12 αυ-

τής της ανάρτησης

2ος τρόπος

Για πιο γρήγορα ακολουθούmicroε τα βήmicroατα της σελίδας 14

1ο βήmicroα Μετασχηmicroατίζουmicroε την εξίσωση κίνησης (66) ώστε να εmicroφανιστεί η

αρχική τιmicroή χρόνου 6 sec microέσω της microορφής ω(t-t0)=2π(t-6)

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+12πminus4

11π] t ge 6 sec

και τελικά

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

37π] (SI) t ge 6 sec (67)

2ο βήmicroα Στο όρισmicroα του ηmicroίτονου microετά την ποσότητα 2π(t-6) η laquoγωνίαraquo 4

37π

δεν είναι microέσα στο διάστηmicroα [02π) που έχουmicroε υιοθετήσει ως περιορι-

σmicroό της αρχικής φάσης

Εποmicroένως πρέπει να αφαιρέσουmicroε κατάλληλα ακέραια πολλαπλάσια

του 2π

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

37πminus4middot2π] (SI) t ge 6 sec

από όπου τελικά

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

5π] (SI) t ge 6 sec (67α)

3ο βήmicroα Στην (67α) που καταλήξαmicroε microε την παραπάνω διαδικασία

η φάση είναι φ=2π(t‒6)+4

5π microε t ge 6 sec

και η αρχική φάση είναι φ0=4

5π rad

Το ίδιο συνεπώς θα ισχύει και για την (67)

Βέβαια όλα τα παραπάνω microπορούν να γίνουν πολύ πιο γρήγορα αρκεί να έ-

χουmicroε στο microυαλό microας ότι για να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση σε microια

εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία microας έδωσαν ή στην οποία καταλήξα-

microε θα πρέπει να τη microετασχηmicroατίσουmicroε ώστε

να εmicroφανίσουmicroε την αρχική τιmicroή του χρόνου microε τη microορφή που είπαmicroε

να εξασφαλίσουmicroε ότι ο προσθετέος που δεν περιέχει χρόνο είναι σε

διάστηmicroα ενός τριγωνοmicroετρικού κύκλου και microάλιστα στη microορφή που έ-

χουmicroε επιλέξει για την αρχική φάση ([02π) ή [-ππ) ή )

20

5ο παράδειγmicroα

Έστω ότι σε κάποιο πρόβληmicroα συmicroβολής κυmicroάτων y1= και y2= αντικαθι-

στούmicroε τα δεδοmicroένα στην εξίσωση της συmicroβολής (65) και βρίσκουmicroε ότι το σηmicroείο Μ που απέ-

χει r1= και r2= από τις πηγές ταλαντώνεται αρmicroονικά microε εξίσωση

y=minus10-1

middotηmicro(2πt4

9πminus ) (SI) microε t ge 05 sec (68)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης του Μ στην (68)

Λύση

Η (68) γίνεται διαδοχικά

y=minus10-1

middotηmicro(2πt4

9πminus ) = 10

-1middotηmicro(2πt+π

4

9πminus )=10

-1middotηmicro(2πt

4

5πminus )=10

-1middotηmicro[2π(tminus05)

4

πminus ]

και τελικά

y=10-1

middotηmicro[2π(tminus05)4

7π+ ] (68α)

Η (68α) έχει εmicroφανίσει την αρχική τιmicroή χρόνου 05 sec στη microορφή που θέλουmicroε και προ-

σθετέο 4

7π που δεν περιέχει χρόνο t και βρίσκεται στο διάστηmicroα [02π)

Άρα η φάση και η αρχική φάση της (68) είναι ίδιες microε εκείνες της (68α)

∆ηλαδή

Φάση φ=2π(tminus05)4

7π+ =2πt

4

3π+ microε t ge 05 sec

Αρχική φάση rad 4

7π0 =ϕ

Φάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολή

Ο Νίκος (Ανδρεάδης) microε δύο ευφυέστατες αναρτήσεις

laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολήraquo

laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολή-Μέρος δεύτεροraquo

που βρίσκονται στη διεύθυνση

httpylikonetgrprofilesblogsphhaseis-kai-antiphhaseis-ste

microας ώθησε να ακούσουmicroε κάποιους τριγmicroούς από την ψεύτικη πραγmicroατικότητα των

κυmicroάτων που διδάσκουmicroε

21

Γράφει λοιπόν

laquoΝ=6 1r 15= m

1 2r r 6 λminus = sdot

2r 03= m

Για t 3ge s η εξίσωση κίνησης προκύπτει από την επαλληλία των εξισώσεων

11

2πr2πty A ηmicro

T λ

= sdot minus

και 2

2

2πr2πty A ηmicro

T λ

= sdot minus

Μετά από πράξεις

( )1y 01 ηmicro 5πt 15π= sdot minus και ( )2

y 01 ηmicro 5πt 3π= sdot minus

Σύmicroφωνα microε τη σχέση 1 2 1 2r r r r2πt

y 2A συν 2π ηmicro π2λ T λ

minus += sdot sdot minus

microετά από πράξεις προκύπτει

( )y 02 ηmicro 5πt 9π= sdot minus

Η φάση (της αποmicroάκρυνσης στην παραπάνω εξίσωση) δίνεται από τη σχέση φ 5πt 9π= minus

Για t 3= s (προκύπτει η αρχική) φάση (η οποία) είναι 6π rad

παρατηρούmicroε ότι 7 σηmicroεία του microέσου τα οποία ξεκινούν την ίδια στιγmicroή την ίδια κίνηση από τη θέ-

ση ισορροπίας microε θετική ταχύτητα περιγράφονται microε διαφορετικές εξισώσεις και την στιγmicroή της εκκί-

νησης έχουν διαφορετική φάση

Οι απορίες microου

Ποιο είναι το φυσικό νόηmicroα των τιmicroών 0π 2π 4π 6π και 8π

Έχει νόηmicroα να ζητήσουmicroε τη διαφορά φάσης ενός από αυτά τα σηmicroεία microε microια πηγή

Αν όmicroως δούmicroε το θέmicroα ως σύνθεση δύο ταλαντώσεων που βρίσκονται σε συmicroφωνία φάσης καταλή-

γουmicroε αmicroέσως στο συmicroπέρασmicroα ότι και στις 7 περιπτώσεις η κίνηση για t 3ge s περιγράφεται από την

εξίσωση ( )y 02 ηmicro 5πt 15π= sdot minus (SI)

Η φάση δίνεται από τη σχέση φ 5πt 15π= minus (SI)

Για t 3= s η (αρχική) φάση είναι 0π rad ∆ηλ τη στιγmicroή της εκκίνησης έχουmicroε microηδενισmicroό της φάσης

για τα 7 σηmicroεία κάτι λογικό αφού τότε και τα 7 ξεκινούν microια νέα κίνηση από τη θέση ισορροπίας microε

θετική ταχύτηταraquo

Στους προβληmicroατισmicroούς που έθεσε ο Νίκος θα επιχειρήσω microια το-

ποθέτηση

Κατά τη γνώmicroη microου το microόνο που microπορεί να microας γλιτώσει από το παραπάνω παράδοξο είναι

η microαθηmicroατική αυστηρότητα microε την οποία φροντίσαmicroε να εφοδιάσουmicroε (και έτσι πρέπει

να γίνεται πάντα αν και πολλές φορές τούτο το απλό το ξεχνάmicroε) τους ορισmicroούς φάση και

αρχική φάση

Η αντίρρησή microου επικεντρώνεται στη φράση

laquoη φάση στην εξίσωση ( )y 02 ηmicro 5πt 9π= sdot minus δίνεται από τη σχέση φ 5πt 9π= minus raquo

η οποία εξάλλου είναι και η υπεύθυνη για τις αντιφάσεις που έχει εντοπίσει ο Νίκος

Προκειmicroένου να βρεθούν η φάση και η αρχική φάση στην εξίσωση microιας αρmicroονικής

ταλάντωσης πρέπει να ακολουθηθούν ορισmicroένες διαδικασίες

22

Αυτό δεν είναι ούτε σωσίβιο ούτε σοφιστεία ούτε κάποια κίνηση απελπισίας Είναι η ου-

σία του ορισmicroού που υιοθετήσαmicroε για τις δύο αυτές έννοιες

Η αυστηρότητα των ορισmicroών που δώσαmicroε ως φυσικοί εξασφαλίζει ότι τα microαθηmicroατικά όχι

microόνο θα microπορέσουν να εγγυηθούν τη συνέπεια των συλλογισmicroών και αποτελεσmicroάτων microας

αλλά θα ενσωmicroατώσουν microέσα τους τελείως διαφανείς πορείες απαραίτητες για την αυτοδυ-

ναmicroία και ισχύ του φυσικού έστω κι αν ένας microαθηmicroατικός αδιαφορήσει τελείως γι΄ αυτές

Αυτό δεν είναι παραλογισmicroός αλλά συνειδητοποίηση του διαφορετικού ρόλου

και της διαφορετικής ευθύνης των δύο ειδικοτήτων˙ του φυσικού και του microαθη-

microατικού

Κοντολογίς

Προκειmicroένου να διατηρήσουmicroε το δικαίωmicroα να χρησιmicroοποιούmicroε στο λεξιλόγιό microας τις λέξεις

φάση και αρχική φάση επιβάλλεται από τα microαθηmicroατικά να είmicroαστε συνεπείς microε τους ορι-

σmicroούς που τους δώσαmicroε και να τις χειριζόmicroαστε microε ειδικό τρόπο σε καθορισmicroένες πορείες

Αν δε το κάνουmicroε αυτό τα microαθηmicroατικά θα microας γυρίσουν την πλάτη

κι εmicroείς θα βουλιάξουmicroε στις παρανοήσεις στα αδιέξοδα και τις λο-

γικές ασυνέπειες

Σύmicroφωνα λοιπόν microε όσα έχουν αναφερθεί για να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση στην εξίσωση κίνησης

y=02middotηmicro(5πtminus9π) microε tge3 sec (69)

πρέπει να εmicroφανίσουmicroε microέσα της την αρχική τιmicroή του χρόνου 3 sec και να αφαιρέσουmicroε τα

ακέραια πολλαπλάσια του 2π microε τέτοιο τρόπο ώστε η αρχική φάση να είναι microέσα στη microορ-

φή του τριγωνοmicroετρικού κύκλου που υιοθετήσαmicroε

Πράγmicroατι η (69) γίνεται

y=02middotηmicro(5πtminus9π)=02middotηmicro[5π(t-3)+6π]

και τελικά

y=02middotηmicro[5π(t-3)+0] microε tge3 sec (69α)

Η (69α) και κατά συνέπεια και η (69) έχουν

Φάση φ=5π(t-3)+0=5πt-15π microε tge3 sec

Αρχική φάση φ0=0 rad

Νοmicroίζω ότι τώρα πια δεν υπάρχει καmicroιά αντίφαση microιας και όλες οι συλλογιστικές και όλες

οι microαθηmicroατικές πορείες θα δώσουν ακριβώς τα ίδια αποτελέσmicroατα

α) Και τα επτά σηmicroεία Ν=0 έχουν την ίδια φάση φ=5πt-15π microε tge3 sec και την ί-

δια αρχική φάση φ0=0 rad

23

β) Υπάρχει απόλυτη συλλογιστική συνέπεια σε όλα αφού όπως έχει ήδη επισηmicroάνει ο Νί-

κος laquoκαι τα 7 σηmicroεία πρέπει να έχουν την ίδια φάση και αρχική φάση αφού ξεκινούν microια

νέα κίνηση από τη θέση ισορροπίας microε θετική ταχύτηταraquo

γ) Είτε χρησιmicroοποιηθούν οι τύποι σύνθεσης ταλαντώσεων είτε χρησιmicroοποιηθεί ο τύ-

πος της συmicroβολής κυmicroάτων είτε οποιαδήποτε άλλη microαθηmicroατική διαδροmicroή τα αποτελέ-

σmicroατα φάσης και αρχικής φάσης θα είναι απολύτως ίδια

δ) laquoΚάθε κίνηση έχει φάση που microας πληροφορεί για πόσο χρόνο παρακολουθούmicroε τη συ-

γκεκριmicroένη κίνησηraquo

ε) Απορία

laquoΠοιο είναι το φυσικό νόηmicroα των τιmicroών 0π 2π 4π 6π και 8πraquo

Απάντηση

laquoοι τιmicroές 0π 2π 4π 6π και 8π που προκύπτουν microε (απλή-ανώδυνη) εφαρmicroογή της γνω-

στής σχέσης ηmicroΑ+ηmicroΒ=hellip δεν έχουν κανένα γνωστό ωφέλιmicroο φυσικό νόηmicroαraquo

Η εφαρmicroογή της σχέσης ηmicroΑ+ηmicroΒ= δεν οδηγεί πάντα απευθείας σε σχέση στην οποία να

είναι άmicroεσα διαφανείς η φάση και η αρχική φάση microιας εξίσωσης αρmicroονικής κίνησης

Ο τελικός τύπος χρειάζεται οπωσδήποτε επεξεργασία

στ) Απορία

laquoΈχει νόηmicroα να ζητήσουmicroε τη διαφορά φάσης ενός από αυτά τα σηmicroεία microε microια πηγήraquo

Απάντηση

Όχι Δεν πρέπει να ζητήσουmicroε τέτοιο πράγmicroα αν δε είmicroαστε έτοιmicroοι να αυτοκτονήσουmicroε ή να

microπούmicroε σε ατέλειωτες microαθηmicroατικές αναζητήσεις για να γλιτώσουmicroε microόνο και microόνο τη συνέ-

πεια της εννοιολογικά λανθασmicroένης laquoπραγmicroατικότηταςraquo των κυmicroάτων που διδάσκουmicroε

Η παρουσία πηγών επιβάλλει άλλου είδους κύmicroατα εmicroπλουτισmicroένα και microε άλλες έννοιες και

microε microαθηmicroατικούς χειρισmicroούς αρκετά δύσκολους microιας και στις διαφορικές εξισώσεις πρέπει

να παρθούν υπόψη συνοριακοί περιορισmicroοί

Στην πρώτη σελίδα της ανάρτησής microου laquoΟρισmicroοί και εξισώσεις κίνησης γ΄ microέροςraquo έγραφα κάτι που όσο περνάει ο καιρός το πιστεύω όλο και πιο πολύ

laquoδιδάσκουmicroε ˝κύmicroατα˝ που δήθεν διαδίδονται microε ταχύτητα υ έχουν αρχικές φάσεις έχουν

πηγές που τα παράγουν και πολλές φορές δύο πηγές για να έχουmicroε συmicroβολή

Μα αυτά που διδάσκουmicroε ούτε κύmicroατα είναι ούτε διαδίδονται ούτε πηγές περιέχουν

ούτε είναι κάπου και τρέχουν να πάνε κάπου αλλού ούτε ξεκινάνε από κάπου ούτε ούτε

ούτε

Στα κεφάλαια ˝Κύmicroατα˝ και ˝Μηχανική Στερεού Σώmicroατος˝ της Φυσικής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου ειλικρινά microε πιάνει απελπισία Τα πράmicroατα εκεί σκοτεινιάζουν τόσο πο-λύ Τί να πεις και από πού να αρχίσεις raquo

24

Στο σηmicroείο αυτό όmicroως νιώθω υποχρεωmicroένος να τονίσω ότι η αρνητικότατη στάση

microου απέναντι σε αυτό που microας βάζουν να διδάσκουmicroε ως κύmicroατα δεν πρέπει στο

ελάχιστο να θεωρηθεί ως απόρριψη της προσπάθειας συναδέλφων να microας δώσουν

ένα πλήθος ασκήσεων θέσεων αναλύσεων διαγωνισmicroάτων κλπ που έχουν σχέση

microε κύmicroατα και microε συmicroβολή κυmicroάτων που περιέχουν πηγές

Στο σχολείο πρέπει να κάνουmicroε αυτό που επιτάσσουν οι πανελλαδικές Άρα πέρα

από όλες τις διαφωνίες microεταξύ microας θα πρέπει προσωπικά να βρω ασκήσεις και θέ-

microατα να δώσω στα παιδιά για να καλύψω την ανήθικη έλλειψη ασκήσεων από το

σχολικό βιβλίο

Επίσης θα πρέπει να βρω τρόπο να microην καταρρεύσει η συλλογιστική των παιδιών

έστω και σαθρή πριν τις εξετάσεις

Αυτό microε τη σειρά του σηmicroαίνει ότι πρέπει να έχω επιχειρήmicroατα και υλικό κοmicromicroένο

στις συγκεκριmicroένες ανάγκες τους

Σε αυτό το σηmicroείο η βοήθεια που microου πρόσφεραν και microου προσφέρουν οι συνάδελ-

φοι του δικτύου και κάποια αξιόλογα εξωσχολικά βιβλία είναι όχι απλά πολύτιmicroη

αλλά ανεπανάληπτη

Με πολύ ανακούφιση δέχοmicroαι και παίρνω πολύτιmicroα διαγωνίσmicroατα ασκήσεις και υ-

λικό που προσφέρουν απλόχερα διάφοροι συνάδελφοι και που αναφέρονται σε κύmicroα-

τα που προέρχονται από πηγές και που συmicroβάλλουν

Επί τη ευκαιρία τους ευχαριστώ που microου δίνουν τον κόπο τους Κάποιες φορές microά-

λιστα αποτελεί πηγή αναθεωρήσεων και καινούριων αναζητήσεων microου

Ε Παρατηρήσεις

1) Η εξίσωση της αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία θα microας δώσουν ή στην οποία θα κα-

ταλήξουmicroε microετά από κάποια microαθηmicroατική επεξεργασία δεν είναι υποχρεωmicroένη να δηλώνει

καθαρά τη φάση και την αρχική φάση Εκείνο που πρέπει οπωσδήποτε να επισηmicroάνουmicroε εί-

ναι ότι φάση δεν είναι η ποσότητα που βρίσκεται microέσα στον τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό

Η εύρεση της φάσης και της αρχικής φάσης θέλουν διαδικασία η οποία θα απαιτήσει το

πεδίο ορισmicroού της εξίσωσης που microας δίνουν για την ταλάντωση ή για το κύmicroα

Ας του δώσουmicroε έmicroφαση microε microια άσκηση χωρίς κανένα απολύτως νόηmicroα

Στην παρακάτω εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης να βρεθεί η φάση και η αρχική

φάση της αποmicroάκρυνσης

y=10-1middotηmicro(2πt 4

11πminus )

Ο λόγος που αυτή η άσκηση είναι α-νόητη είναι γιατί δεν έχει δοθεί το πεδίο ορισmicroού Αλ-

λάζοντας το πεδίο ορισmicroού όπως ήδη έχουmicroε δείξει θα αλλάξει τόσο η συνάρτηση της φά-

σης όσο και η τιmicroή της αρχικής φάσης (∆ες σελίδα 18)

25

2) Η εύρεση της διαφοράς φάσης ανάmicroεσα σε δύο microεγέθη του ίδιου

φαινοmicroένου είναι ακόmicroη πιο επίπονη διαδικασία

Το θέmicroα αυτό είχε θέσει ο Θοδωρής microε microια ανάρτησή του που βρίσκεται στη διεύθυνση httpylikonetgrgroupthemataforumtopicsphhasearchikhe-

phhasediaphorhacommentId=36477953AComment3A16659ampgroupId=36477953AGroup3A5901

Όπως στην περίπτωση της φάσης και αρχικής φάσης οι αρmicroονικές συναρτήσεις πρέπει να

laquoετοιmicroαστούνraquo έτσι και στην περίπτωση που microας ζητάνε να βρούmicroε διαφορά φάσης ανάmicroε-

σα σε δύο φυσικά microεγέθη που εκφράζονται microε αρmicroονικές συναρτήσεις οι συναρτήσεις αυτές

πρέπει οπωσδήποτε να ετοιmicroαστούν κατάλληλα

3) Το πιο σηmicroαντικό στο οποίο εστιάζουν οι εργασίες microου (άσχετα αν τα καταφέρνω να

το δείξω ή όχι) είναι η microεθοδολογία που πρέπει να ακολουθούmicroε όταν θέλουmicroε να λύσουmicroε

microια διαφωνία microας να προχωρήσουmicroε microια αναζήτησή microας να βρούmicroε διέξοδο σε microια αντίφα-

ση να συνειδητοποιήσουmicroε microια έννοια

Κατά τη γνώmicroη microου πρέπει να ξεκινάmicroε από τους ορισmicroούς και αφού εξασφαλίσουmicroε την

αυστηρότητά τους να προχωρήσουmicroε σε απλές έστω εννοιολογικές κατακτήσεις απαραίτη-

τες όmicroως για την αναπνοή microας ως φυσικών ή ως ενδιαφεροmicroένων για τη φυσική

laquohellipΗ αξία των ορισmicroών εντοπίζεται στη σωστή θέση που πρέπει να κατέχουν κατά τη συνεννόηση microε-

ταξύ των φυσικών και στον κορυφαίο και αναντικατάστατο ρόλο που πρέπει microε κάθε σεβασmicroό να απο-

δεχτούmicroε ότι διαδραmicroατίζουν στη διαmicroόρφωση της δοmicroής της γλώσσας που χρησιmicroοποιεί η Φυσική

∆εν γίνεται να κάνεις Φυσική αν δεν έχεις τα σωστά κατάλληλα λόγια για να περιγράψεις στους άλ-

λους το όmicroορφο

Η Φυσική έχει ορισmicroούς που δεν είναι διαπραγmicroατεύσιmicroοι και microαθηmicroατικές microεθοδολογίες που δεν

πρέπει να αγνοούνται αν θέλουmicroε να έχουmicroε συνέπεια και να εξασφαλίζουmicroε απόλυτη διαφάνεια στους

συλλογισmicroούς microας

∆εν πρέπει να χαλάmicroε τη γλώσσα γιατί αλλιώς χαλάει η σκέψη και η επικοινωνία microεταξύ microας Πρέπει να δεχτούmicroε στην ψυχή microας (όχι στα λόγια) ότι οι ορισmicroοί έχουν αξία και να συνειδητοποιή-

σουmicroε την microοναδική τους ιδιότητα Αυτή που είναι και η αιτία της ύπαρξής τους Να είναι χρήσιmicroοι

Οι ορισmicroοί ή είναι χρήσιmicroοι ή δεν υπάρχουν Τα λόγια της Φυσικής δε φτιάχτηκαν για να περιγράφουν αλλά για να έχουν συγχρόνως τη δυνατότητα και να

προφητεύουνraquo

4) Στο παράδειγmicroα του Νίκου για τις φάσεις και τις αντιφάσεις χρησιmicroοποιήθηκαν σηmicroεία

όπου είχαmicroε ενισχύσεις

Θα παρακαλούσα το Νίκο αλλά και όποιον άλλο συνάδελφο θέλει να κάνει microια άσκηση

ή microια προσοmicroοίωση microε πιο γενικά σηmicroεία στη συmicroβολή κυmicroάτων και να υπολογίσει τις

φάσεις και τις αρχικές φάσεις στην εξίσωση ταλάντωσης των σηmicroείων αυτών δίνοντας έmicro-

φαση πάντα το πεδίο ορισmicroού και στον περιορισmicroό της αρχικής φάσης σε έναν τριγωνοmicroε-

τρικό κύκλο πχ της microορφής [02π)

Πιστεύω ότι έτσι κάποια πράγmicroατα θα γίνουν πολύ πιο ευδιάκριτα πιο απλά και το κυριό-

τερο θα περάσουν πιο εύκολα στους συναδέλφους

5) Τελειώνοντας οφείλω να πω ότι η σηmicroερινή microου ανάρτηση ουσιαστικά οφείλεται

στους προβληmicroατισmicroούς που microας έθεσε ο Νίκος (Ανδρεάδης) πάνω στη συmicroβολή των κυmicroά-

των microε το laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολήraquo

Έχοντας ξεκινήσει να γράφω microια σειρά αναρτήσεων σχετικών microε τις έννοιες φάση και αρ-

χική φάση microου ήρθε ανέλπιστα η δουλειά του Νίκου η οποία microε τα ερωτήmicroατα που έθεσε

τη συζήτηση που ακολούθησε και τις γνώmicroες που διατυπώθηκαν microου έδωσε ισχυρά επιχει-

ρήmicroατα να υποστηρίξω την απόλυτη πίστη microου στην αξία των ορισmicroών όχι ως απλή λεκτική

επανάληψη microιας υποχρεωτικής αποστήθισης αλλά ως συνειδητοποίηση όλης εκείνης της

26

εσωτερικής λειτουργίας απόλυτα συγκεκριmicroένων πραγmicroάτων που κρίνουν τους ορισmicroούς

ως χρήσιmicroους και απαραίτητους και τους γεννούν για να υπάρχουν και να πλουτίζουν τη

γλώσσα microας

Τους βάζουν δίπλα microας και microας καλούν να πιστέψουmicroε στην αξία τους και ποτέ να microην

τους υποτιmicroήσουmicroε όσο απλοί και να είναι

(συνεχίζεται)

Σάββατο 29 Ιανουαρίου 2011

Θρασύβουλος Κων Μαχαίρας

Γενικό Λύκειο Αγριάς Πηλίου

s7-kmghotenetgr

7

Β Παραδείγmicroατα εύρεσης φάσης και αρχικής φάσης στις τα-

λαντώσεις και στη συmicroβολή των κυmicroάτων

Ας ξεκινήσουmicroε ξαναθυmicroίζοντας τρία παραδείγmicroατα από την ανάρτηση laquoΟρισmicroοί και

εξισώσεις κίνησης (β΄ microέρος)raquo

1ο παράδειγmicroα

Υλικό σηmicroείο εκτελεί (απλή) αρmicroονική ταλάντωση που περιγράφεται από εξίσωση κίνησης

της microορφής x=Amiddotηmicro(ωt+C4)

Τη χρονική στιγmicroή t0=2 sec που αρχίζουmicroε να microελετάmicroε την κίνηση το υλικό σηmicroείο βρίσκε-

ται στη θέση m102

2x

10

minussdotminus= (αρχική θέση) και έχει ταχύτητα sec

m 10 2

10 πυ minus= (αρχική τα-

χύτητα) Αν η περίοδος της ταλάντωσης είναι Τ=1 sec να βρεθεί η φάση και η αρχική φά-

ση της αποmicroάκρυνσης στη δεδοmicroένη microορφή εξίσωσης κίνησης

(Στην άσκηση δίνονται δύο συγκεκριmicroένες συνθήκες οι αρχικές Θα microπορούσαν όmicroως να

είναι οποιεσδήποτε άλλες αλλά πάντα δύο)

Λύση

α΄ τρόπος Με τη χρήση των σχέσεων (24) έως (27)

Την εξίσωση κίνησης που microας δίνουν φέρνουmicroε στη microορφή και τους περιορισmicroούς

της συνάρτησης (24)

x=Amiddotηmicro(2πt + C4) microε t ge2 sec Αgt0 και C4 πραγmicroατικός αριθmicroός (30)

Τότε η φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ=2πt + C4 microε t ge2 sec και RC4 isin (30α)

και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ0=2π2+C4 microε τον ισχυρό περιορισmicroό 0le φ0 lt2π (30β)

Εποmicroένως όλο το πρόβληmicroα εντοπίζεται στον υπολογισmicroό της σταθεράς C4

Ας τον κάνουmicroε

Η ταχύτητα του υλικού σηmicroείου είναι

υ=A2πmiddotσυν(2πt + C4) microε t ge2 sec Αgt0 και C4 πραγmicroατικός (31)

Για t=t0=2 sec οι σχέσεις (30) και (31) δίνουν

110

2

2 minussdotminus =Amiddotηmicro(4π+C4) microε Αgt0 και C4 πραγmicroατικός

π110 2 minus =A2πmiddotσυν(4π+C4) microε Αgt0 και C4 πραγmicroατικός

8

Από όπου προκύπτει

Α=10-1

m 2

2C4 minus=ηmicro και

2

2C4 =συν

και τελικά

Α=10-1

m και Zk rad 4

7k2C4 isin+= microε

ππ (32)

Βλέπουmicroε καθαρά πια ότι ενώ η τιmicroή του Α της microιας δηλαδή από τις δύο σταθερές Α και

C4 που επιβάλλει η διαφορική εξίσωση έχει ήδη προσδιοριστεί από τις αρχικές συνθήκες ο

προσδιορισmicroός της ακριβούς τιmicroής του C4 απαιτεί τον ορισmicroό και τον περιορισmicroό που υιο-

θετήσαmicroε για την αρχική φάση

Αυτός είναι και ο βαθύτερος κεφαλαιώδης ποιοτικός διαχωρισmicroός των εννοιών laquoπλάτοςraquo

και laquoαρχική φάσηraquo που κάνει το πλάτος γρήγορα να ανεξαρτητοποιηθεί από τη microορφή της

εξίσωσης κίνησης που θα χρησιmicroοποιήσουmicroε για τη ταλάντωση και έτσι να γίνει έννοια που

αφορά το φαινόmicroενο και όχι τη συνάρτηση την εξίσωση κίνησης δηλαδή

Λέmicroε πλάτος ταλάντωσης αλλά ποτέ αρχική φάση ταλάντωσης

Από τη σχέση (30α) προκύπτει ότι η φάση της αποmicroάκρυνσης στη δεδοmicroένη microορφή της ε-

ξίσωσης κίνησης είναι

φ=2πt+C4=2πt+ Zk 4

7k2 isin+ microε

ππ και t ge2 sec (33)

και εποmicroένως η αρχική φάση είναι

φ0 = 4π+ Zk 4

7k2 isin+ microε

ππ (34)

Πρέπει όmicroως

0le φ0 lt2π

Αντικαθιστώντας στην παραπάνω διπλή ανίσωση την φ0 από την σχέση (34) προκύπτει

k=minus2

Τότε από σχέση (32) προκύπτει

rad 4

9π

4

74C4 minus=+minus=

ππ

και συνεπώς η εξίσωση κίνησης του υλικού σηmicroείου (30) γίνεται

x=10-1

middotηmicro(2πt 4

9πminus ) (SI) microε t ge2 sec (35)

Η φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση κίνησης (35) είναι

φ= 4

9t2

ππ minus και t ge2 sec

και η αρχική φάση

rad 4

7

4

9220

πππϕ =minus=

9

β΄ τρόπος Με τη χρήση των σχέσεων (28) έως (29α)

Την εξίσωση κίνησης που microας δίνουν φέρουmicroε στη microορφή και τους περιορισmicroούς της

συνάρτησης (28)

x=Amiddotηmicro[2π(t‒2)+ φ0 ] t ge 2 sec Agt0 0le φ0lt2π (36)

τότε η φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ=2π(t‒2)+ φ0 t ge 2 sec 0le φ0lt2π (36α)

και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ0

Εποmicroένως όλο το πρόβληmicroα εντοπίζεται στον υπολογισmicroό της φ0

Ας τον κάνουmicroε

Η ταχύτητα του υλικού σηmicroείου είναι υ=2πΑmiddotσυν[2π(t‒2)+ φ0 ] t ge 2 sec Αgt0 0le φ0 lt2π (36β)

Για t=t0=2 sec οι παραπάνω σχέσεις (36) και (36β) αποmicroάκρυνσης και ταχύτητας αντί-

στοιχα δίνουν

110

2

2 minussdotminus =Αηmicroφ0 και π110 2 minus =2πΑσυνφ0

Από όπου

Α=10-1

m 2

20 minus=ηmicroϕ και

2

2 0=συνϕ

Τελικά και microε δεδοmicroένο ότι 0le φ0 lt2π προκύπτει

Α=10-1

m και rad 4

70

πϕ =

Από τη σχέση (36) προκύπτει η εξίσωση κίνησης

x=10-1

middotηmicro[2π(t-2)4

7π+ ) microε t ge2 sec (37)

δηλαδή η

x=10-1

middotηmicro(2πt 4

9πminus ) (SI) microε t ge2 sec (38)

Κατά συνέπεια η φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση κίνησης (38) είναι

φ= 4

9t2

ππ minus microε t ge2 sec

και η αρχική φάση

rad 4

7

4

9220

πππϕ =minus=

τιmicroή την οποία εξάλλου έχουmicroε ήδη βρει

10

2ο παράδειγmicroα

Υλικό σηmicroείο εκτελεί (απλή) αρmicroονική ταλάντωση που περιγράφεται από την εξίσωση

x=10-1

middotηmicro(2πt 4

9πminus ) (SI) microε t ge2 sec (39)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης x στη δεδοmicroένη microορφή της εξίσω-

σης κίνησης στη δεδοmicroένη δηλαδή microορφή της εξίσωσης αρmicroονικής ταλάντωσης

Λύση

α΄ τρόπος Με τη χρήση των σχέσεων (24) έως (27)

Την εξίσωση κίνησης που microας δίνουν φέρνουmicroε στη microορφή και τους περιορισmicroούς

της συνάρτησης (24)

x=Amiddotηmicro(2πt + C4) microε t ge2 sec Αgt0 και C4 πραγmicroατικός (40)

Τότε η φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ=2πt+C4 t ge2 sec RC4 isin (40α)

και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ0=2π2+C4 microε τον ισχυρό περιορισmicroό 0le φ0 lt2π (40β)

Εποmicroένως όλο το πρόβληmicroα εντοπίζεται στον υπολογισmicroό της σταθεράς C4

Ας τον κάνουmicroε

Για να έχει η εξίσωση κίνησης (39) που microας δίνουν τη microορφή της σχέσης (40) για όλες

τις χρονικές στιγmicroές tge2 sec πρέπει να ισχύει

Α=10-1

m και ηmicro(2πt + C4)= ηmicro(2πt 4

9πminus )

και συνεπώς πρέπει

C4=2kπ4

9πminus (40γ)

Τότε η φάση και η αρχική φάση λόγω των σχέσεων (40α) (40β) και (40γ) θα είναι

φ=2πt+2kπ4

9πminus t ge2 sec

φ0=4π+2kπ4

9πminus

Απαιτώντας 0le φ0 lt2π προκύπτει k=0

Άρα η φάση της αποmicroάκρυνσης στην (40) και κατά συνέπεια στην εξίσωση κίνησης

(39) που microας δίνουν είναι

φ=4

π9πt2 minus microε t ge2 sec

και η αρχική φάση είναι

φ0=4

7π

11

β΄ τρόπος Με τη χρήση των σχέσεων (28) και (29)

Την εξίσωση κίνησης που microας δίνουν φέρνουmicroε στη microορφή και τους περιορισmicroούς

της συνάρτησης (28)

x=Amiddotηmicro[2π(t‒2)+ φ0 ] t ge 2 sec Agt0 0le φ0lt2π (41)

Τότε η φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ=2π(t‒2)+ φ0 (41α)

και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ0

Εποmicroένως όλο το πρόβληmicroα εντοπίζεται στον υπολογισmicroό της φ0

Ας τον κάνουmicroε

Μετασχηmicroατίζουmicroε την εξίσωση κίνησης (39) που microας δίνουν ώστε να αποκτήσει τη microορ-

φή της σχέσης (41)

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒2)+4πminus4

9π] t ge 2 sec

και τελικά

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒2)+4

7π] (SI) t ge 2 sec (42)

Άρα η φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση κίνησης (42) και κατά συνέπεια στην εξί-

σωση κίνησης (39) που microας έδωσαν είναι

φ=2π(t‒2)+4

7π=

4

π9πt2 minus microε t ge2 sec

και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ0=4

7π

Σηmicroειώσεις

α) Από το παραπάνω παράδειγmicroα φαίνεται η ευκολία microε την οποία λύνεται το πρόβληmicroα

της φάσης και της αρχικής φάσης microε τον β΄ τρόπο αν φέρουmicroε δηλαδή την εξίσωση κίνη-

σης που microας δίνουν στη microορφή της συνάρτησης (28) microε τους περιορισmicroούς όmicroως που ακο-

λουθούν αυτή τη microορφή Τον τρόπο αυτόν θα ακολουθήσουmicroε και στο επόmicroενο παράδειγmicroα Ίσως κάποιος πει γιατί να τα κάνουmicroε όλα αυτά αφού θα microπορούσαmicroε και microόνο microε παρα-

τήρηση σύγκριση και microε microια αντικατάσταση στην εξίσωση κίνησης (39) που microας δίνουν να

βρούmicroε αυτά που ζητάmicroε πολύ πιο εύκολα

Ο λόγος της ευκολίας που πιθανώς να διακρίνει κάποιος οφείλεται στο γεγονός ότι η (39)

ήταν σχέση laquomicroαγειρεmicroένηraquo Είχε ετοιmicroαστεί από το πρώτο παράδειγmicroα Τα πράmicroατα όmicroως

δε θα είναι πάντα τόσο ευδιάκριτα Θα το διαπιστώσουmicroε στο επόmicroενο παράδειγmicroα

12

β) Η εξίσωση κίνησης (39) που microας δώσανε

x=10-1

middotηmicro(2πt 4

9πminus ) (SI) microε t ge2 sec

είναι microαθηmicroατικά ισοδύναmicroη microε την

x=10-1

middotηmicro(2πt 4

πminus ) (SI) microε t ge2 sec

Κατά συνέπεια αυτή η τελευταία θα microπορούσε κάλλιστα να δοθεί στη θέση της πρώτης

Μήπως αυτό θα επηρέαζε τη φάση και την αρχική φάση που θα βρίσκαmicroε γεγονός που

θα καθιστούσε και τους ορισmicroούς και τις έννοιες άχρηστες

Η απάντηση είναι όχι Οποιαδήποτε microαθηmicroατικά ισοδύναmicroη σχέση και να χρησιmicroοποιήσουmicroε ως εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης εφό-σον ακολουθήσουmicroε microε συνέπεια όσα αναφέραmicroε θα καταλήξουmicroε στην ίδια σχέση για τη φάση και στην ίδια τιmicroή για την αρχική φά-ση

Το γεγονός αυτό δείχνει τη συνέπεια των ορισmicroών που δώσαmicroε για φάση και αρχική φάση

Συνεπώς αν τους υιοθετήσουmicroε που τουλάχιστον βουβά microέχρι τώρα το έχουmicroε ήδη κάνει

στη φυσική δεν θα έχουmicroε αντιφάσεις

γ) Ο λόγος που στην εξίσωση (39) χρησιmicroοποιήσαmicroε το 4

9πminus και όχι το ισοδύναmicroο

4

πminus

ήταν για να δείξουmicroε ότι αυτός που θα microας δώσει microια εξίσωση κίνησης δεν είναι υποχρεω-

microένος να την έχει επεξεργαστεί και να έχει υιοθετήσει κάποιες φόρmicroες ή να έχει προσέξει τις

microαθηmicroατικές ισοδυναmicroίες

Αυτός που θα microας δώσει την εξίσωση κίνησης είναι ελεύθερος να microας δώσει ότι θέλει (microαθηmicroατικά ισοδύναmicroο) αρκεί να δώσει όπως οφείλει να δώσει σε κάθε συνάρτηση το πεδίο ορισmicroού της

3ο παράδειγmicroα

Υλικό σηmicroείο εκτελεί (απλή) αρmicroονική ταλάντωση που περιγράφεται από την εξίσωση κίνη-

σης

x=10-1

middotηmicro(4

πt

3

10π+ ) (SI) microε t ge minus3 sec (41)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης στη δεδοmicroένη microορφή εξίσωσης κί-

νησης

Λύση

Μετασχηmicroατίζουmicroε τη σχέση (41) ώστε να αποκτήσει τη microορφή της σχέσης (28) δηλαδή

να αποκτήσει τη microορφή

x=Amiddotηmicro[ω(t‒t0)+φ0 ] t ge Rt0 isin Agt0 0le φ0 lt2π

13

Πράγmicroατι η (41) γίνεται

x=10-1

middotηmicro[4

π(t+3)minus

4

3π +

3

10π ] t ge -3 sec

ή x=10-1

middotηmicro[4

π(t+3)+

12

31π ] t ge -3 sec

Αφαιρώ (ή προσθέτω αν microε βολεύει) ακέραιο πολλαπλάσιο του 2π προκειmicroένου να δη-

microιουργήσω θετική αρχική φάση περιορισmicroένη σε έναν τριγωνοmicroετρικό κύκλο

x=10-1

middotηmicro[4

π(t+3)minus2π+

12

31π ] t ge -3 sec

και τελικά

x=10-1

middotηmicro[4

π(t+3)+

12

7π ] (SI) microε t ge -3 sec (42)

Άρα η φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση κίνησης (42) και κατά συνέπεια στην εξί-

σωση κίνησης (41) που microας έδωσαν είναι

φ=4

π(t+3)+

12

7π=

4

πt+

3

4π microε t ge-3 sec

και άρα η αρχική φάση θα είναι

φ0=12

7π rad

Σηmicroείωση

Θα είχαmicroε καταλήξει στην ίδια ακριβώς σχέση για τη φάση και στην ίδια τιmicroή

για την αρχική φάση ακόmicroη και αν αρχίζαmicroε από οποιαδήποτε εξίσωση microαθη-

microατικά ισοδύναmicroη microε τη δεδοmicroένη εξίσωση κίνησης όπως πχ από την

x=10-1

middotηmicro(4

πt

3

4π+ ) (SI) microε t ge minus3 sec

Αρκεί η σχέση που θα microας έδιναν να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση να

ήταν ισοδύναmicroη microαθηmicroατικά microε την (41) και κατά συνέπεια να είχε το ίδιο πε-

δίο ορισmicroού microε αυτή

raquo

14

Γ Συmicroπέρασmicroα

(ένας απλός τρόπος υπολογισmicroού φάσης και αρχικής φάσης) Με τα παραπάνω θεmicroελιώνεται microαθηmicroατικά ένας πολύ απλός τρόπος εύρεσης της φάσης

και της αρχικής φάσης σε microια τυχαία εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία microας δίνουν

ή στην οποία καταλήγουmicroε microετά από διάφορους microαθηmicroατικούς microετασχηmicroατισmicroούς

Απαίτηση όmicroως για την εφαρmicroογή αυτού του τρόπου είναι η παρουσία του πεδίου ορισmicroού

της συνάρτησης κάτι που στο κάτω-κάτω είναι και απαίτηση κάθε σοβαρής microαθηmicroατικής

αντιmicroετώπισης

Ας τον δούmicroε

Έστω για παράδειγmicroα ότι microε οποιονδήποτε microαθηmicroατικά σωστό τρόπο καταλήγουmicroε

στην εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης

χ=Αηmicro(ωt+θ) microε t ge t0 (60)

Επειδή οι microαθηmicroατικές microεθοδολογίες δεν ενδιαφέρονται για τις αγωνίες ενός φυσικού δεν είναι καθόλου υπο-χρεωmicroένες να εξασφαλίσουν ότι η ποσότητα θ θα είναι αρχική φάση ούτε ότι η ποσότητα ωt+θ θα είναι φά-ση

Αυτές οι έννοιες αφορούν τον φυσικό ο οποίος θα πρέπει πρώτα να τις ορίσει microε αυστηρότητα (και αυτό microπο-ρεί να γίνει microόνο microέσα από την ξεχωριστή εσωτερική λειτουργία των διαφορικών εξισώσεων όπως έχουmicroε ήδη επισηmicroάνει) και κατόπιν να χρησιmicroοποιήσει την εγγύηση των microαθηmicroατικών για να εξασφαλίσει ότι η αυστηρότητα των ορισmicroών του θα είναι όχι απλά συνεπέστατη λογικά αλλά κυρίως ότι θα δώσει την εγγύηση πως δεν θα προκύψουν παρανοήσεις

Έτσι λοιπόν το θ που θα προκύψει από τους microαθηmicroατικούς microετασχηmicroατισmicroούς

microπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγmicroατικός αριθmicroός

Τότε

1ο βήmicroα Στην (60) εmicroφανίζουmicroε την αρχική τιmicroή του χρόνου t0 γράφοντάς

την microε τη microορφή

x=Aηmicro[ω(t-t0)plusmnθ΄] microε t ge t0

2ο βήmicroα Αν η θ΄ στο όρισmicroα του ηmicroίτονου είναι microέσα σε ένα τριγωνοmicroε-

τρικό κύκλο αυτή είναι η αρχική φάση Αλλιώς προσθέτουmicroε ή

αφαιρούmicroε ακέραια πολλαπλάσια του 2π ώστε microετά την παρά-

σταση ω(t-t0) να εξασφαλίσουmicroε laquoγωνίαraquo φ0 η οποία να είναι

microέσα στον τριγωνοmicroετρικό κύκλο που έχουmicroε επιλέξει

Να είναι δηλαδή στο διάστηmicroα [0 2π) ή στο [-π π) κλπ

x=Aηmicro[ω(t-t0)+φ0] microε t ge t0 (60α)

3ο βήmicroα Η ποσότητα φ=ω(t-t0)+φ0 είναι η φάση και φ0 είναι η αρχική

φάση στη σχέση (60α) Άρα και στην (60) που microας έδωσαν

Τον παραπάνω τρόπο εφαρmicroόσαmicroε ήδη στο 3ο παράδειγmicroα

15

Δ Κύmicroατα

Το έχω ξαναπεί αλλά θα το ξαναπώ γιατί νοmicroίζω ότι microόνο έτσι microόνο όταν πιστέψουmicroε

στα λάθη που microας βάζουνε και διδάσκουmicroε κάποια στιγmicroή θα βρεθούν κάποιοι ικανοί που

θα βρουν τρόπο να ζητήσουν ευθύνες από όλους εκείνους που χρόνια τώρα microας βουλιάξανε

microας βουλιάζουνε και θα βουλιάξουνε γενιές ανθρώπων στα λάθη γράφοντας πανεπιστηmicroια-

κά βιβλία χωρίς ποτέ να microπουν στον κόπο να ξαναψάξουν αυτά που γράφουν

Το κεφάλαιο laquoΚύmicroαταraquo που διδάσκουmicroε είναι το λιγότερο λανθασmicroένο Λανθασmicroένο

πιο πολύ από τις ταλαντώσεις γιατί τα laquoκύmicroαταraquo κουβαλάνε όλα τα λάθη των ταλα-

ντώσεων και κάτι ακόmicroη που είναι πιο τραγικά λανθασmicroένο Τη διάδοση

Η διδασκαλία microας στο κεφάλαιο laquoΚύmicroαταraquo ΔΥΣΤΥΧΩΣ ΣΤΗΡΙΖΕΤΑΙ ΣΤΗ ΔΙΑ-

ΔΟΣΗ ΤΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ

Μα αυτά που διδάσκουmicroε ούτε laquoκύmicroαταraquo είναι ούτε διαδίδονται

Και έτσι εmicroείς οι απλοί φυσικοί της γειτονιάς γινόmicroαστε τραγικές φιγούρες microιας και microετά

από ένα κεφάλαιο γεmicroάτο λάθη όπως είναι οι laquoταλαντώσειςraquo αναγκαζόmicroαστε να λέmicroε να

βρίσκουmicroε να διδάσκουmicroε να microπαλώνουmicroε και να εmicroπλουτίζουmicroε microε ασκήσεις το δεύτερο

κεφάλαιο laquoΤα κύmicroαταraquo που είναι ακόmicroη πιο λανθασmicroένο

Η εmicroπειρία microου ως αεί υφιστάmicroενος τόσων και τόσων σε ένα Υπουργείο Παιδείας που η-

δονίζεται να αλλάζει ονόmicroατα microόνο και όχι ουσία microου λέει τούτο το απλό

Όταν τόσοι φυσικοί δυσκολευόmicroαστε κάποιες φορές να κατανοήσουmicroε αυτά που διδάσκου-

microε και που γράφει ένα σχολικό βιβλίο προορισmicroένο για microαθητές λυκείου σίγουρα κάποιοι

άλλοι κάνανε χοντρά λάθη ως laquomicroέντορεςraquo (γελοιοποίηση microιας ακόmicroη όmicroορφης αρχαίας λέ-

ξης) και microας βάλανε να διδάξουmicroε τα λάθη τους microε τέτοιο τρόπο που στο τέλος

ξεχάσαmicroε ότι ήταν δικά τους λάθη και νοmicroίσαmicroε ότι όλα ήταν δικά microας σω-

στά

Παρακάmicroπτω λοιπόν την ανύπαρκτη φυσική της συmicroβολής των laquoκυ-

microάτωνraquo που διδάσκουmicroε και χρησιmicroοποιώντας microόνο την ορολογία της θα προσπα-

θήσω microέσα από microια microατιά laquoγυmicroνάraquo microαθηmicroατική να εφαρmicroόσω στο συγκεκριmicroένο laquoφαινόmicroε-

νοraquo όσα προαναφέραmicroε Επικαλούmicroενος και ελπίζοντας microόνο στην αυστηρότητα του ορισmicroού

Αν εφαρmicroόσουmicroε microε συνέπεια τους αυστηρούς ορισmicroούς της φάσης και της αρχικής φάσης

που δώσαmicroε κι αν σε φαινόmicroενα ίδιας ποιότητας δεν αρνηθούmicroε τις microαθηmicroατικές πορείες

που καταγράψαmicroε κι ακολουθήσαmicroε στις τρεις προηγούmicroενες αναρτήσεις laquoΟρισmicroοί και

εξισώσεις κίνησης α΄ β΄ και γ΄ microέροςraquo τότε δε θα υπάρξουν συλλογιστικά αδιέξοδα

Ας το δούmicroε (τα σύmicroβολα που χρησιmicroοποιούνται θεωρούνται αυτονόητα)

Στην εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης

minus=λ

πηmicro 11

r

T

t2Ay microε

υ1rt ge (61)

16

που επιβάλλει στο τυχαίο σηmicroείο Μ το πρώτο laquoκύmicroαraquo όταν έχει διαδοθεί microόνο του οι έν-

νοιες της φάσης και της αρχικής φάσης είναι καθορισmicroένες microε απόλυτη σαφήνεια αρκεί να

microην ξεχάσουmicroε το πεδίο ορισmicroού

φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (61)

λππ

ϕ 1r2

T

t2minus= microε

υ1rt ge

αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (61)

φ0=0 rad

Στην εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης

minus=λ

πηmicro 22

r

T

t2Ay microε

υ2rt ge (62)

που επιβάλλει στο τυχαίο σηmicroείο Μ το δεύτερο laquoκύmicroαraquo όταν έχει διαδοθεί microόνο του οι έν-

νοιες της φάσης και της αρχικής φάσης είναι καθορισmicroένες microε απόλυτη σαφήνεια αρκεί να

microην ξεχάσουmicroε το πεδίο ορισmicroού

φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (62)

λππ

ϕ 2r2

T

t2minus= microε

υ2rt ge

αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (62)

φ0=0 rad

Μετά τη laquoσυmicroβολή των δύο κυmicroάτωνraquo η εξίσωση ταλάντωσης του ση-

microείου Μ είναι

minus+

minus=+=λ

πηmicroλ

πηmicro 2121

r

T

t2A

r

T

t2Ayyy microε

geυυ

21 r

rmax t (63)

Στη σχέση (63) οι έννοιες laquoφάσηraquo και laquoαρχική φάσηraquo δεν ορίζο-

νται Δεν υπάρχουν

Η κίνηση που αποδίδεται microε τη σχέση (63) είναι επαλληλία των εξισώσεων κίνησης δύο

αρmicroονικών ταλαντώσεων (επαλληλία δύο αρmicroονικών συναρτήσεων δηλαδή και όχι πραγmicroα-

τικών κινήσεων) ίδιας διεύθυνσης ίδιας συχνότητας και ίδιας laquoθέσης ισορροπίαςraquo

17

Είναι επαλληλία των συναρτήσεων y1 και y2

Η σύνθεσή τους η y δηλαδή είναι microια (πραγmicroατική) αρmicroονική ταλάντωση ίδιας διεύθυν-

σης ίδιας συχνότητας και ίδιας θέσης ισορροπίας microε τις συνιστώσες εξισώσεις κίνησης ή

καλύτερα microε τους προσθετέους της (63)

Όπως είναι γραmicromicroένη η εξίσωση (63) δεν έχουmicroε κανένα δικαίωmicroα να microιλάmicroε

ούτε για laquoφάσηraquo ούτε για laquoαρχική φάσηraquo

Για να αποκτήσουmicroε αυτό το δικαίωmicroα πρέπει να τη φέρουmicroε σε microορφή που να διαθέτει

ένα microόνο τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό και δη ή microόνο ένα ηmicroίτονο ή microόνο ένα συνηmicroίτονο

Με άλλα λόγια

αν θέλουmicroε να microιλάmicroε για φάση και αρχική φάση στην σχέση (63) εξίσωση συmicroβολής των

κυmicroάτων θα πρέπει να τη φέρουmicroε στη microορφή

( )0t Ay ϕωηmicro prime+prime=

ή στη microορφή

( )0t Ay ϕωσυν primeprime+primeprime=

Τότε όmicroως

για να microην καταρρεύσουν αmicroφότεροι οι ορισmicroοί κι εποmicroένως και οι έννοιες

της φάσης και της αρχικής φάσης θα πρέπει να φροντίσουmicroε η αρχική φάση

να περιοριστεί σε ένα τριγωνοmicroετρικό κύκλο

για να αποφύγουmicroε κάθε επικίνδυνη ρευστότητα θα πρέπει να τεθεί οπωσ-

δήποτε το πεδίο ορισmicroού της συνάρτησης

για να microην υπάρξουν συλλογιστικά αδιέξοδα θα πρέπει να ακολουθήσουmicroε

microε συνέπεια την πορεία που καταγράψαmicroε στα παραδείγmicroατα 1-3 για τον

υπολογισmicroό φάσης και αρχικής φάσης ή έστω να εφαρmicroόσουmicroε τον απλό

τρόπο που καταγράφεται στη σελίδα 14

Ο microετασχηmicroατισmicroός της (63) ώστε να περιέχει ένα microόνο τριγωνο-

microετρικό αριθmicroό microπορεί να γίνει microε διάφορους τρόπους

1ος τρόπος Χρησιmicroοποιώντας τους τύπους της επαλληλίας εξισώσεων κίνησης

Αν έχουmicroε αριθmicroητικά δεδοmicroένα και δε θέλουmicroε να microπλεχτούmicroε microε πολλά microαθηmicroατικά

microπορούmicroε να χρησιmicroοποιήσουmicroε τους τύπους του σχολικού βιβλίου για την επαλληλία εξι-

σώσεων αρmicroονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης ίδιας συχνότητας και ίδιας θέσης ισορ-

ροπίας

Τους τύπους αυτούς όmicroως θα πρέπει να ισχυροποιήσουmicroε ώστε να συmicroπεριλάβουν περι-

πτώσεις όπου και οι δύο ταλαντώσεις έχουν αρχική φάση και να εmicroπλουτίσουmicroε microε έναν ε-

πιπλέον τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό ή microε κάποια επιπλέον microαθηmicroατική microας δεξιότητα microιας και η

σχέση microε την εφθ microόνη της δε microπορεί να προσδιορίσει την αρχική φάση θ έστω κι αν αυτή

περιοριστεί σε έναν τριγωνοmicroετρικό κύκλο

18

( Επαλληλία εξισώσεων αρmicroονικών ταλαντώσεων

x1=Α1middotηmicro(ωt+φ1) και x2=Α2middotηmicro(ωt+φ2)

x=x1+ x2=Aηmicro(ωt+θ)

όπου )(AA2AAA 21212

22

1 ϕϕσυν minus++= Α

ηmicroϕΑηmicroϕΑηmicroϑ 2211 +

= (64)

2211

2211

AA

AA

συνϕσυνϕηmicroϕηmicroϕ

εϕϑ+

+=

ΑσυνϕΑσυνϕΑ

συνϑ 2211 +=

microε 0leθlt2π

Τέτοιου είδους αντιmicroετωπίσεις έχουν ήδη καταχωρηθεί στο δίκτυο)

2ος τρόπος Μετασχηmicroατίζουmicroε την (63) και φτάνουmicroε στη microορφή

+minussdot

minus=

λΤπηmicro

λπσυν

2

rrt2

2

rr2A2y 2121 microε

geυυ

21 r

rmax t (65)

Αφού φιλοδοξούmicroε η (65) να περιγράφει πραγmicroατική κίνηση (κι όχι να είναι κα-

νένας προσθετέος σε επαλληλία εξισώσεων κίνησης) και επιθυmicroούmicroε οι έννοιες laquoφάσηraquo και

laquoαρχική φάσηraquo να έχουν νόηmicroα θα πρέπει ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ να χειρι-

στούmicroε την (65) microε τους τρόπους που δείξαmicroε στα παραδείγmicroατα 1-3

Αν δηλαδή επιθυmicroούmicroε να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση στην

(65) θα πρέπει να χρησιmicroοποιήσουmicroε ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ το πεδίο ορισmicroού

της και τον περιορισmicroό της αρχικής φάσης σε ένα τριγωνοmicroετρικό κύκλο

(Το να χειριστούmicroε τη σχέση (65) γενικά ώστε να εmicroφανιστούν γενικοί περιορισmicroοί στο πεδίο ορισmicroού και στην

αρχική φάση του ενός τριγωνοmicroετρικού κύκλου νοmicroίζω ότι θα είναι άσκοπο microιας και ο χρόνος που θα απαιτήσει

η γραφή αυτή θα ΄ναι microεγάλος και η αξία των τύπων ελάχιστη Γι΄ αυτό καταφεύγω σε παραδείγmicroατα)

4ο παράδειγmicroα

Έστω ότι σε κάποιο πρόβληmicroα συmicroβολής κυmicroάτων y1= και y2= αντικαθι-

στούmicroε τα δεδοmicroένα στην εξίσωση της συmicroβολής (65) και βρίσκουmicroε ότι το σηmicroείο Μ που απέ-

χει r1= και r2= από τις πηγές ταλαντώνεται αρmicroονικά microε εξίσωση

y=10-1

middotηmicro(2πt 4

11πminus ) (SI) microε t ge 6 sec (66)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης του Μ στην (66)

19

Λύση

1ος τρόπος

Κάνουmicroε ότι κάναmicroε στο παράδειγmicroα 2 στη σελίδα 10 ή στο παράδειγmicroα 3 στη σελίδα 12 αυ-

τής της ανάρτησης

2ος τρόπος

Για πιο γρήγορα ακολουθούmicroε τα βήmicroατα της σελίδας 14

1ο βήmicroα Μετασχηmicroατίζουmicroε την εξίσωση κίνησης (66) ώστε να εmicroφανιστεί η

αρχική τιmicroή χρόνου 6 sec microέσω της microορφής ω(t-t0)=2π(t-6)

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+12πminus4

11π] t ge 6 sec

και τελικά

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

37π] (SI) t ge 6 sec (67)

2ο βήmicroα Στο όρισmicroα του ηmicroίτονου microετά την ποσότητα 2π(t-6) η laquoγωνίαraquo 4

37π

δεν είναι microέσα στο διάστηmicroα [02π) που έχουmicroε υιοθετήσει ως περιορι-

σmicroό της αρχικής φάσης

Εποmicroένως πρέπει να αφαιρέσουmicroε κατάλληλα ακέραια πολλαπλάσια

του 2π

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

37πminus4middot2π] (SI) t ge 6 sec

από όπου τελικά

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

5π] (SI) t ge 6 sec (67α)

3ο βήmicroα Στην (67α) που καταλήξαmicroε microε την παραπάνω διαδικασία

η φάση είναι φ=2π(t‒6)+4

5π microε t ge 6 sec

και η αρχική φάση είναι φ0=4

5π rad

Το ίδιο συνεπώς θα ισχύει και για την (67)

Βέβαια όλα τα παραπάνω microπορούν να γίνουν πολύ πιο γρήγορα αρκεί να έ-

χουmicroε στο microυαλό microας ότι για να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση σε microια

εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία microας έδωσαν ή στην οποία καταλήξα-

microε θα πρέπει να τη microετασχηmicroατίσουmicroε ώστε

να εmicroφανίσουmicroε την αρχική τιmicroή του χρόνου microε τη microορφή που είπαmicroε

να εξασφαλίσουmicroε ότι ο προσθετέος που δεν περιέχει χρόνο είναι σε

διάστηmicroα ενός τριγωνοmicroετρικού κύκλου και microάλιστα στη microορφή που έ-

χουmicroε επιλέξει για την αρχική φάση ([02π) ή [-ππ) ή )

20

5ο παράδειγmicroα

Έστω ότι σε κάποιο πρόβληmicroα συmicroβολής κυmicroάτων y1= και y2= αντικαθι-

στούmicroε τα δεδοmicroένα στην εξίσωση της συmicroβολής (65) και βρίσκουmicroε ότι το σηmicroείο Μ που απέ-

χει r1= και r2= από τις πηγές ταλαντώνεται αρmicroονικά microε εξίσωση

y=minus10-1

middotηmicro(2πt4

9πminus ) (SI) microε t ge 05 sec (68)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης του Μ στην (68)

Λύση

Η (68) γίνεται διαδοχικά

y=minus10-1

middotηmicro(2πt4

9πminus ) = 10

-1middotηmicro(2πt+π

4

9πminus )=10

-1middotηmicro(2πt

4

5πminus )=10

-1middotηmicro[2π(tminus05)

4

πminus ]

και τελικά

y=10-1

middotηmicro[2π(tminus05)4

7π+ ] (68α)

Η (68α) έχει εmicroφανίσει την αρχική τιmicroή χρόνου 05 sec στη microορφή που θέλουmicroε και προ-

σθετέο 4

7π που δεν περιέχει χρόνο t και βρίσκεται στο διάστηmicroα [02π)

Άρα η φάση και η αρχική φάση της (68) είναι ίδιες microε εκείνες της (68α)

∆ηλαδή

Φάση φ=2π(tminus05)4

7π+ =2πt

4

3π+ microε t ge 05 sec

Αρχική φάση rad 4

7π0 =ϕ

Φάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολή

Ο Νίκος (Ανδρεάδης) microε δύο ευφυέστατες αναρτήσεις

laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολήraquo

laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολή-Μέρος δεύτεροraquo

που βρίσκονται στη διεύθυνση

httpylikonetgrprofilesblogsphhaseis-kai-antiphhaseis-ste

microας ώθησε να ακούσουmicroε κάποιους τριγmicroούς από την ψεύτικη πραγmicroατικότητα των

κυmicroάτων που διδάσκουmicroε

21

Γράφει λοιπόν

laquoΝ=6 1r 15= m

1 2r r 6 λminus = sdot

2r 03= m

Για t 3ge s η εξίσωση κίνησης προκύπτει από την επαλληλία των εξισώσεων

11

2πr2πty A ηmicro

T λ

= sdot minus

και 2

2

2πr2πty A ηmicro

T λ

= sdot minus

Μετά από πράξεις

( )1y 01 ηmicro 5πt 15π= sdot minus και ( )2

y 01 ηmicro 5πt 3π= sdot minus

Σύmicroφωνα microε τη σχέση 1 2 1 2r r r r2πt

y 2A συν 2π ηmicro π2λ T λ

minus += sdot sdot minus

microετά από πράξεις προκύπτει

( )y 02 ηmicro 5πt 9π= sdot minus

Η φάση (της αποmicroάκρυνσης στην παραπάνω εξίσωση) δίνεται από τη σχέση φ 5πt 9π= minus

Για t 3= s (προκύπτει η αρχική) φάση (η οποία) είναι 6π rad

παρατηρούmicroε ότι 7 σηmicroεία του microέσου τα οποία ξεκινούν την ίδια στιγmicroή την ίδια κίνηση από τη θέ-

ση ισορροπίας microε θετική ταχύτητα περιγράφονται microε διαφορετικές εξισώσεις και την στιγmicroή της εκκί-

νησης έχουν διαφορετική φάση

Οι απορίες microου

Ποιο είναι το φυσικό νόηmicroα των τιmicroών 0π 2π 4π 6π και 8π

Έχει νόηmicroα να ζητήσουmicroε τη διαφορά φάσης ενός από αυτά τα σηmicroεία microε microια πηγή

Αν όmicroως δούmicroε το θέmicroα ως σύνθεση δύο ταλαντώσεων που βρίσκονται σε συmicroφωνία φάσης καταλή-

γουmicroε αmicroέσως στο συmicroπέρασmicroα ότι και στις 7 περιπτώσεις η κίνηση για t 3ge s περιγράφεται από την

εξίσωση ( )y 02 ηmicro 5πt 15π= sdot minus (SI)

Η φάση δίνεται από τη σχέση φ 5πt 15π= minus (SI)

Για t 3= s η (αρχική) φάση είναι 0π rad ∆ηλ τη στιγmicroή της εκκίνησης έχουmicroε microηδενισmicroό της φάσης

για τα 7 σηmicroεία κάτι λογικό αφού τότε και τα 7 ξεκινούν microια νέα κίνηση από τη θέση ισορροπίας microε

θετική ταχύτηταraquo

Στους προβληmicroατισmicroούς που έθεσε ο Νίκος θα επιχειρήσω microια το-

ποθέτηση

Κατά τη γνώmicroη microου το microόνο που microπορεί να microας γλιτώσει από το παραπάνω παράδοξο είναι

η microαθηmicroατική αυστηρότητα microε την οποία φροντίσαmicroε να εφοδιάσουmicroε (και έτσι πρέπει

να γίνεται πάντα αν και πολλές φορές τούτο το απλό το ξεχνάmicroε) τους ορισmicroούς φάση και

αρχική φάση

Η αντίρρησή microου επικεντρώνεται στη φράση

laquoη φάση στην εξίσωση ( )y 02 ηmicro 5πt 9π= sdot minus δίνεται από τη σχέση φ 5πt 9π= minus raquo

η οποία εξάλλου είναι και η υπεύθυνη για τις αντιφάσεις που έχει εντοπίσει ο Νίκος

Προκειmicroένου να βρεθούν η φάση και η αρχική φάση στην εξίσωση microιας αρmicroονικής

ταλάντωσης πρέπει να ακολουθηθούν ορισmicroένες διαδικασίες

22

Αυτό δεν είναι ούτε σωσίβιο ούτε σοφιστεία ούτε κάποια κίνηση απελπισίας Είναι η ου-

σία του ορισmicroού που υιοθετήσαmicroε για τις δύο αυτές έννοιες

Η αυστηρότητα των ορισmicroών που δώσαmicroε ως φυσικοί εξασφαλίζει ότι τα microαθηmicroατικά όχι

microόνο θα microπορέσουν να εγγυηθούν τη συνέπεια των συλλογισmicroών και αποτελεσmicroάτων microας

αλλά θα ενσωmicroατώσουν microέσα τους τελείως διαφανείς πορείες απαραίτητες για την αυτοδυ-

ναmicroία και ισχύ του φυσικού έστω κι αν ένας microαθηmicroατικός αδιαφορήσει τελείως γι΄ αυτές

Αυτό δεν είναι παραλογισmicroός αλλά συνειδητοποίηση του διαφορετικού ρόλου

και της διαφορετικής ευθύνης των δύο ειδικοτήτων˙ του φυσικού και του microαθη-

microατικού

Κοντολογίς

Προκειmicroένου να διατηρήσουmicroε το δικαίωmicroα να χρησιmicroοποιούmicroε στο λεξιλόγιό microας τις λέξεις

φάση και αρχική φάση επιβάλλεται από τα microαθηmicroατικά να είmicroαστε συνεπείς microε τους ορι-

σmicroούς που τους δώσαmicroε και να τις χειριζόmicroαστε microε ειδικό τρόπο σε καθορισmicroένες πορείες

Αν δε το κάνουmicroε αυτό τα microαθηmicroατικά θα microας γυρίσουν την πλάτη

κι εmicroείς θα βουλιάξουmicroε στις παρανοήσεις στα αδιέξοδα και τις λο-

γικές ασυνέπειες

Σύmicroφωνα λοιπόν microε όσα έχουν αναφερθεί για να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση στην εξίσωση κίνησης

y=02middotηmicro(5πtminus9π) microε tge3 sec (69)

πρέπει να εmicroφανίσουmicroε microέσα της την αρχική τιmicroή του χρόνου 3 sec και να αφαιρέσουmicroε τα

ακέραια πολλαπλάσια του 2π microε τέτοιο τρόπο ώστε η αρχική φάση να είναι microέσα στη microορ-

φή του τριγωνοmicroετρικού κύκλου που υιοθετήσαmicroε

Πράγmicroατι η (69) γίνεται

y=02middotηmicro(5πtminus9π)=02middotηmicro[5π(t-3)+6π]

και τελικά

y=02middotηmicro[5π(t-3)+0] microε tge3 sec (69α)

Η (69α) και κατά συνέπεια και η (69) έχουν

Φάση φ=5π(t-3)+0=5πt-15π microε tge3 sec

Αρχική φάση φ0=0 rad

Νοmicroίζω ότι τώρα πια δεν υπάρχει καmicroιά αντίφαση microιας και όλες οι συλλογιστικές και όλες

οι microαθηmicroατικές πορείες θα δώσουν ακριβώς τα ίδια αποτελέσmicroατα

α) Και τα επτά σηmicroεία Ν=0 έχουν την ίδια φάση φ=5πt-15π microε tge3 sec και την ί-

δια αρχική φάση φ0=0 rad

23

β) Υπάρχει απόλυτη συλλογιστική συνέπεια σε όλα αφού όπως έχει ήδη επισηmicroάνει ο Νί-

κος laquoκαι τα 7 σηmicroεία πρέπει να έχουν την ίδια φάση και αρχική φάση αφού ξεκινούν microια

νέα κίνηση από τη θέση ισορροπίας microε θετική ταχύτηταraquo

γ) Είτε χρησιmicroοποιηθούν οι τύποι σύνθεσης ταλαντώσεων είτε χρησιmicroοποιηθεί ο τύ-

πος της συmicroβολής κυmicroάτων είτε οποιαδήποτε άλλη microαθηmicroατική διαδροmicroή τα αποτελέ-

σmicroατα φάσης και αρχικής φάσης θα είναι απολύτως ίδια

δ) laquoΚάθε κίνηση έχει φάση που microας πληροφορεί για πόσο χρόνο παρακολουθούmicroε τη συ-

γκεκριmicroένη κίνησηraquo

ε) Απορία

laquoΠοιο είναι το φυσικό νόηmicroα των τιmicroών 0π 2π 4π 6π και 8πraquo

Απάντηση

laquoοι τιmicroές 0π 2π 4π 6π και 8π που προκύπτουν microε (απλή-ανώδυνη) εφαρmicroογή της γνω-

στής σχέσης ηmicroΑ+ηmicroΒ=hellip δεν έχουν κανένα γνωστό ωφέλιmicroο φυσικό νόηmicroαraquo

Η εφαρmicroογή της σχέσης ηmicroΑ+ηmicroΒ= δεν οδηγεί πάντα απευθείας σε σχέση στην οποία να

είναι άmicroεσα διαφανείς η φάση και η αρχική φάση microιας εξίσωσης αρmicroονικής κίνησης

Ο τελικός τύπος χρειάζεται οπωσδήποτε επεξεργασία

στ) Απορία

laquoΈχει νόηmicroα να ζητήσουmicroε τη διαφορά φάσης ενός από αυτά τα σηmicroεία microε microια πηγήraquo

Απάντηση

Όχι Δεν πρέπει να ζητήσουmicroε τέτοιο πράγmicroα αν δε είmicroαστε έτοιmicroοι να αυτοκτονήσουmicroε ή να

microπούmicroε σε ατέλειωτες microαθηmicroατικές αναζητήσεις για να γλιτώσουmicroε microόνο και microόνο τη συνέ-

πεια της εννοιολογικά λανθασmicroένης laquoπραγmicroατικότηταςraquo των κυmicroάτων που διδάσκουmicroε

Η παρουσία πηγών επιβάλλει άλλου είδους κύmicroατα εmicroπλουτισmicroένα και microε άλλες έννοιες και

microε microαθηmicroατικούς χειρισmicroούς αρκετά δύσκολους microιας και στις διαφορικές εξισώσεις πρέπει

να παρθούν υπόψη συνοριακοί περιορισmicroοί

Στην πρώτη σελίδα της ανάρτησής microου laquoΟρισmicroοί και εξισώσεις κίνησης γ΄ microέροςraquo έγραφα κάτι που όσο περνάει ο καιρός το πιστεύω όλο και πιο πολύ

laquoδιδάσκουmicroε ˝κύmicroατα˝ που δήθεν διαδίδονται microε ταχύτητα υ έχουν αρχικές φάσεις έχουν

πηγές που τα παράγουν και πολλές φορές δύο πηγές για να έχουmicroε συmicroβολή

Μα αυτά που διδάσκουmicroε ούτε κύmicroατα είναι ούτε διαδίδονται ούτε πηγές περιέχουν

ούτε είναι κάπου και τρέχουν να πάνε κάπου αλλού ούτε ξεκινάνε από κάπου ούτε ούτε

ούτε

Στα κεφάλαια ˝Κύmicroατα˝ και ˝Μηχανική Στερεού Σώmicroατος˝ της Φυσικής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου ειλικρινά microε πιάνει απελπισία Τα πράmicroατα εκεί σκοτεινιάζουν τόσο πο-λύ Τί να πεις και από πού να αρχίσεις raquo

24

Στο σηmicroείο αυτό όmicroως νιώθω υποχρεωmicroένος να τονίσω ότι η αρνητικότατη στάση

microου απέναντι σε αυτό που microας βάζουν να διδάσκουmicroε ως κύmicroατα δεν πρέπει στο

ελάχιστο να θεωρηθεί ως απόρριψη της προσπάθειας συναδέλφων να microας δώσουν

ένα πλήθος ασκήσεων θέσεων αναλύσεων διαγωνισmicroάτων κλπ που έχουν σχέση

microε κύmicroατα και microε συmicroβολή κυmicroάτων που περιέχουν πηγές

Στο σχολείο πρέπει να κάνουmicroε αυτό που επιτάσσουν οι πανελλαδικές Άρα πέρα

από όλες τις διαφωνίες microεταξύ microας θα πρέπει προσωπικά να βρω ασκήσεις και θέ-

microατα να δώσω στα παιδιά για να καλύψω την ανήθικη έλλειψη ασκήσεων από το

σχολικό βιβλίο

Επίσης θα πρέπει να βρω τρόπο να microην καταρρεύσει η συλλογιστική των παιδιών

έστω και σαθρή πριν τις εξετάσεις

Αυτό microε τη σειρά του σηmicroαίνει ότι πρέπει να έχω επιχειρήmicroατα και υλικό κοmicromicroένο

στις συγκεκριmicroένες ανάγκες τους

Σε αυτό το σηmicroείο η βοήθεια που microου πρόσφεραν και microου προσφέρουν οι συνάδελ-

φοι του δικτύου και κάποια αξιόλογα εξωσχολικά βιβλία είναι όχι απλά πολύτιmicroη

αλλά ανεπανάληπτη

Με πολύ ανακούφιση δέχοmicroαι και παίρνω πολύτιmicroα διαγωνίσmicroατα ασκήσεις και υ-

λικό που προσφέρουν απλόχερα διάφοροι συνάδελφοι και που αναφέρονται σε κύmicroα-

τα που προέρχονται από πηγές και που συmicroβάλλουν

Επί τη ευκαιρία τους ευχαριστώ που microου δίνουν τον κόπο τους Κάποιες φορές microά-

λιστα αποτελεί πηγή αναθεωρήσεων και καινούριων αναζητήσεων microου

Ε Παρατηρήσεις

1) Η εξίσωση της αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία θα microας δώσουν ή στην οποία θα κα-

ταλήξουmicroε microετά από κάποια microαθηmicroατική επεξεργασία δεν είναι υποχρεωmicroένη να δηλώνει

καθαρά τη φάση και την αρχική φάση Εκείνο που πρέπει οπωσδήποτε να επισηmicroάνουmicroε εί-

ναι ότι φάση δεν είναι η ποσότητα που βρίσκεται microέσα στον τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό

Η εύρεση της φάσης και της αρχικής φάσης θέλουν διαδικασία η οποία θα απαιτήσει το

πεδίο ορισmicroού της εξίσωσης που microας δίνουν για την ταλάντωση ή για το κύmicroα

Ας του δώσουmicroε έmicroφαση microε microια άσκηση χωρίς κανένα απολύτως νόηmicroα

Στην παρακάτω εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης να βρεθεί η φάση και η αρχική

φάση της αποmicroάκρυνσης

y=10-1middotηmicro(2πt 4

11πminus )

Ο λόγος που αυτή η άσκηση είναι α-νόητη είναι γιατί δεν έχει δοθεί το πεδίο ορισmicroού Αλ-

λάζοντας το πεδίο ορισmicroού όπως ήδη έχουmicroε δείξει θα αλλάξει τόσο η συνάρτηση της φά-

σης όσο και η τιmicroή της αρχικής φάσης (∆ες σελίδα 18)

25

2) Η εύρεση της διαφοράς φάσης ανάmicroεσα σε δύο microεγέθη του ίδιου

φαινοmicroένου είναι ακόmicroη πιο επίπονη διαδικασία

Το θέmicroα αυτό είχε θέσει ο Θοδωρής microε microια ανάρτησή του που βρίσκεται στη διεύθυνση httpylikonetgrgroupthemataforumtopicsphhasearchikhe-

phhasediaphorhacommentId=36477953AComment3A16659ampgroupId=36477953AGroup3A5901

Όπως στην περίπτωση της φάσης και αρχικής φάσης οι αρmicroονικές συναρτήσεις πρέπει να

laquoετοιmicroαστούνraquo έτσι και στην περίπτωση που microας ζητάνε να βρούmicroε διαφορά φάσης ανάmicroε-

σα σε δύο φυσικά microεγέθη που εκφράζονται microε αρmicroονικές συναρτήσεις οι συναρτήσεις αυτές

πρέπει οπωσδήποτε να ετοιmicroαστούν κατάλληλα

3) Το πιο σηmicroαντικό στο οποίο εστιάζουν οι εργασίες microου (άσχετα αν τα καταφέρνω να

το δείξω ή όχι) είναι η microεθοδολογία που πρέπει να ακολουθούmicroε όταν θέλουmicroε να λύσουmicroε

microια διαφωνία microας να προχωρήσουmicroε microια αναζήτησή microας να βρούmicroε διέξοδο σε microια αντίφα-

ση να συνειδητοποιήσουmicroε microια έννοια

Κατά τη γνώmicroη microου πρέπει να ξεκινάmicroε από τους ορισmicroούς και αφού εξασφαλίσουmicroε την

αυστηρότητά τους να προχωρήσουmicroε σε απλές έστω εννοιολογικές κατακτήσεις απαραίτη-

τες όmicroως για την αναπνοή microας ως φυσικών ή ως ενδιαφεροmicroένων για τη φυσική

laquohellipΗ αξία των ορισmicroών εντοπίζεται στη σωστή θέση που πρέπει να κατέχουν κατά τη συνεννόηση microε-

ταξύ των φυσικών και στον κορυφαίο και αναντικατάστατο ρόλο που πρέπει microε κάθε σεβασmicroό να απο-

δεχτούmicroε ότι διαδραmicroατίζουν στη διαmicroόρφωση της δοmicroής της γλώσσας που χρησιmicroοποιεί η Φυσική

∆εν γίνεται να κάνεις Φυσική αν δεν έχεις τα σωστά κατάλληλα λόγια για να περιγράψεις στους άλ-

λους το όmicroορφο

Η Φυσική έχει ορισmicroούς που δεν είναι διαπραγmicroατεύσιmicroοι και microαθηmicroατικές microεθοδολογίες που δεν

πρέπει να αγνοούνται αν θέλουmicroε να έχουmicroε συνέπεια και να εξασφαλίζουmicroε απόλυτη διαφάνεια στους

συλλογισmicroούς microας

∆εν πρέπει να χαλάmicroε τη γλώσσα γιατί αλλιώς χαλάει η σκέψη και η επικοινωνία microεταξύ microας Πρέπει να δεχτούmicroε στην ψυχή microας (όχι στα λόγια) ότι οι ορισmicroοί έχουν αξία και να συνειδητοποιή-

σουmicroε την microοναδική τους ιδιότητα Αυτή που είναι και η αιτία της ύπαρξής τους Να είναι χρήσιmicroοι

Οι ορισmicroοί ή είναι χρήσιmicroοι ή δεν υπάρχουν Τα λόγια της Φυσικής δε φτιάχτηκαν για να περιγράφουν αλλά για να έχουν συγχρόνως τη δυνατότητα και να

προφητεύουνraquo

4) Στο παράδειγmicroα του Νίκου για τις φάσεις και τις αντιφάσεις χρησιmicroοποιήθηκαν σηmicroεία

όπου είχαmicroε ενισχύσεις

Θα παρακαλούσα το Νίκο αλλά και όποιον άλλο συνάδελφο θέλει να κάνει microια άσκηση

ή microια προσοmicroοίωση microε πιο γενικά σηmicroεία στη συmicroβολή κυmicroάτων και να υπολογίσει τις

φάσεις και τις αρχικές φάσεις στην εξίσωση ταλάντωσης των σηmicroείων αυτών δίνοντας έmicro-

φαση πάντα το πεδίο ορισmicroού και στον περιορισmicroό της αρχικής φάσης σε έναν τριγωνοmicroε-

τρικό κύκλο πχ της microορφής [02π)

Πιστεύω ότι έτσι κάποια πράγmicroατα θα γίνουν πολύ πιο ευδιάκριτα πιο απλά και το κυριό-

τερο θα περάσουν πιο εύκολα στους συναδέλφους

5) Τελειώνοντας οφείλω να πω ότι η σηmicroερινή microου ανάρτηση ουσιαστικά οφείλεται

στους προβληmicroατισmicroούς που microας έθεσε ο Νίκος (Ανδρεάδης) πάνω στη συmicroβολή των κυmicroά-

των microε το laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολήraquo

Έχοντας ξεκινήσει να γράφω microια σειρά αναρτήσεων σχετικών microε τις έννοιες φάση και αρ-

χική φάση microου ήρθε ανέλπιστα η δουλειά του Νίκου η οποία microε τα ερωτήmicroατα που έθεσε

τη συζήτηση που ακολούθησε και τις γνώmicroες που διατυπώθηκαν microου έδωσε ισχυρά επιχει-

ρήmicroατα να υποστηρίξω την απόλυτη πίστη microου στην αξία των ορισmicroών όχι ως απλή λεκτική

επανάληψη microιας υποχρεωτικής αποστήθισης αλλά ως συνειδητοποίηση όλης εκείνης της

26

εσωτερικής λειτουργίας απόλυτα συγκεκριmicroένων πραγmicroάτων που κρίνουν τους ορισmicroούς

ως χρήσιmicroους και απαραίτητους και τους γεννούν για να υπάρχουν και να πλουτίζουν τη

γλώσσα microας

Τους βάζουν δίπλα microας και microας καλούν να πιστέψουmicroε στην αξία τους και ποτέ να microην

τους υποτιmicroήσουmicroε όσο απλοί και να είναι

(συνεχίζεται)

Σάββατο 29 Ιανουαρίου 2011

Θρασύβουλος Κων Μαχαίρας

Γενικό Λύκειο Αγριάς Πηλίου

s7-kmghotenetgr

8

Από όπου προκύπτει

Α=10-1

m 2

2C4 minus=ηmicro και

2

2C4 =συν

και τελικά

Α=10-1

m και Zk rad 4

7k2C4 isin+= microε

ππ (32)

Βλέπουmicroε καθαρά πια ότι ενώ η τιmicroή του Α της microιας δηλαδή από τις δύο σταθερές Α και

C4 που επιβάλλει η διαφορική εξίσωση έχει ήδη προσδιοριστεί από τις αρχικές συνθήκες ο

προσδιορισmicroός της ακριβούς τιmicroής του C4 απαιτεί τον ορισmicroό και τον περιορισmicroό που υιο-

θετήσαmicroε για την αρχική φάση

Αυτός είναι και ο βαθύτερος κεφαλαιώδης ποιοτικός διαχωρισmicroός των εννοιών laquoπλάτοςraquo

και laquoαρχική φάσηraquo που κάνει το πλάτος γρήγορα να ανεξαρτητοποιηθεί από τη microορφή της

εξίσωσης κίνησης που θα χρησιmicroοποιήσουmicroε για τη ταλάντωση και έτσι να γίνει έννοια που

αφορά το φαινόmicroενο και όχι τη συνάρτηση την εξίσωση κίνησης δηλαδή

Λέmicroε πλάτος ταλάντωσης αλλά ποτέ αρχική φάση ταλάντωσης

Από τη σχέση (30α) προκύπτει ότι η φάση της αποmicroάκρυνσης στη δεδοmicroένη microορφή της ε-

ξίσωσης κίνησης είναι

φ=2πt+C4=2πt+ Zk 4

7k2 isin+ microε

ππ και t ge2 sec (33)

και εποmicroένως η αρχική φάση είναι

φ0 = 4π+ Zk 4

7k2 isin+ microε

ππ (34)

Πρέπει όmicroως

0le φ0 lt2π

Αντικαθιστώντας στην παραπάνω διπλή ανίσωση την φ0 από την σχέση (34) προκύπτει

k=minus2

Τότε από σχέση (32) προκύπτει

rad 4

9π

4

74C4 minus=+minus=

ππ

και συνεπώς η εξίσωση κίνησης του υλικού σηmicroείου (30) γίνεται

x=10-1

middotηmicro(2πt 4

9πminus ) (SI) microε t ge2 sec (35)

Η φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση κίνησης (35) είναι

φ= 4

9t2

ππ minus και t ge2 sec

και η αρχική φάση

rad 4

7

4

9220

πππϕ =minus=

9

β΄ τρόπος Με τη χρήση των σχέσεων (28) έως (29α)

Την εξίσωση κίνησης που microας δίνουν φέρουmicroε στη microορφή και τους περιορισmicroούς της

συνάρτησης (28)

x=Amiddotηmicro[2π(t‒2)+ φ0 ] t ge 2 sec Agt0 0le φ0lt2π (36)

τότε η φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ=2π(t‒2)+ φ0 t ge 2 sec 0le φ0lt2π (36α)

και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ0

Εποmicroένως όλο το πρόβληmicroα εντοπίζεται στον υπολογισmicroό της φ0

Ας τον κάνουmicroε

Η ταχύτητα του υλικού σηmicroείου είναι υ=2πΑmiddotσυν[2π(t‒2)+ φ0 ] t ge 2 sec Αgt0 0le φ0 lt2π (36β)

Για t=t0=2 sec οι παραπάνω σχέσεις (36) και (36β) αποmicroάκρυνσης και ταχύτητας αντί-

στοιχα δίνουν

110

2

2 minussdotminus =Αηmicroφ0 και π110 2 minus =2πΑσυνφ0

Από όπου

Α=10-1

m 2

20 minus=ηmicroϕ και

2

2 0=συνϕ

Τελικά και microε δεδοmicroένο ότι 0le φ0 lt2π προκύπτει

Α=10-1

m και rad 4

70

πϕ =

Από τη σχέση (36) προκύπτει η εξίσωση κίνησης

x=10-1

middotηmicro[2π(t-2)4

7π+ ) microε t ge2 sec (37)

δηλαδή η

x=10-1

middotηmicro(2πt 4

9πminus ) (SI) microε t ge2 sec (38)

Κατά συνέπεια η φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση κίνησης (38) είναι

φ= 4

9t2

ππ minus microε t ge2 sec

και η αρχική φάση

rad 4

7

4

9220

πππϕ =minus=

τιmicroή την οποία εξάλλου έχουmicroε ήδη βρει

10

2ο παράδειγmicroα

Υλικό σηmicroείο εκτελεί (απλή) αρmicroονική ταλάντωση που περιγράφεται από την εξίσωση

x=10-1

middotηmicro(2πt 4

9πminus ) (SI) microε t ge2 sec (39)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης x στη δεδοmicroένη microορφή της εξίσω-

σης κίνησης στη δεδοmicroένη δηλαδή microορφή της εξίσωσης αρmicroονικής ταλάντωσης

Λύση

α΄ τρόπος Με τη χρήση των σχέσεων (24) έως (27)

Την εξίσωση κίνησης που microας δίνουν φέρνουmicroε στη microορφή και τους περιορισmicroούς

της συνάρτησης (24)

x=Amiddotηmicro(2πt + C4) microε t ge2 sec Αgt0 και C4 πραγmicroατικός (40)

Τότε η φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ=2πt+C4 t ge2 sec RC4 isin (40α)

και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ0=2π2+C4 microε τον ισχυρό περιορισmicroό 0le φ0 lt2π (40β)

Εποmicroένως όλο το πρόβληmicroα εντοπίζεται στον υπολογισmicroό της σταθεράς C4

Ας τον κάνουmicroε

Για να έχει η εξίσωση κίνησης (39) που microας δίνουν τη microορφή της σχέσης (40) για όλες

τις χρονικές στιγmicroές tge2 sec πρέπει να ισχύει

Α=10-1

m και ηmicro(2πt + C4)= ηmicro(2πt 4

9πminus )

και συνεπώς πρέπει

C4=2kπ4

9πminus (40γ)

Τότε η φάση και η αρχική φάση λόγω των σχέσεων (40α) (40β) και (40γ) θα είναι

φ=2πt+2kπ4

9πminus t ge2 sec

φ0=4π+2kπ4

9πminus

Απαιτώντας 0le φ0 lt2π προκύπτει k=0

Άρα η φάση της αποmicroάκρυνσης στην (40) και κατά συνέπεια στην εξίσωση κίνησης

(39) που microας δίνουν είναι

φ=4

π9πt2 minus microε t ge2 sec

και η αρχική φάση είναι

φ0=4

7π

11

β΄ τρόπος Με τη χρήση των σχέσεων (28) και (29)

Την εξίσωση κίνησης που microας δίνουν φέρνουmicroε στη microορφή και τους περιορισmicroούς

της συνάρτησης (28)

x=Amiddotηmicro[2π(t‒2)+ φ0 ] t ge 2 sec Agt0 0le φ0lt2π (41)

Τότε η φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ=2π(t‒2)+ φ0 (41α)

και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ0

Εποmicroένως όλο το πρόβληmicroα εντοπίζεται στον υπολογισmicroό της φ0

Ας τον κάνουmicroε

Μετασχηmicroατίζουmicroε την εξίσωση κίνησης (39) που microας δίνουν ώστε να αποκτήσει τη microορ-

φή της σχέσης (41)

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒2)+4πminus4

9π] t ge 2 sec

και τελικά

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒2)+4

7π] (SI) t ge 2 sec (42)

Άρα η φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση κίνησης (42) και κατά συνέπεια στην εξί-

σωση κίνησης (39) που microας έδωσαν είναι

φ=2π(t‒2)+4

7π=

4

π9πt2 minus microε t ge2 sec

και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ0=4

7π

Σηmicroειώσεις

α) Από το παραπάνω παράδειγmicroα φαίνεται η ευκολία microε την οποία λύνεται το πρόβληmicroα

της φάσης και της αρχικής φάσης microε τον β΄ τρόπο αν φέρουmicroε δηλαδή την εξίσωση κίνη-

σης που microας δίνουν στη microορφή της συνάρτησης (28) microε τους περιορισmicroούς όmicroως που ακο-

λουθούν αυτή τη microορφή Τον τρόπο αυτόν θα ακολουθήσουmicroε και στο επόmicroενο παράδειγmicroα Ίσως κάποιος πει γιατί να τα κάνουmicroε όλα αυτά αφού θα microπορούσαmicroε και microόνο microε παρα-

τήρηση σύγκριση και microε microια αντικατάσταση στην εξίσωση κίνησης (39) που microας δίνουν να

βρούmicroε αυτά που ζητάmicroε πολύ πιο εύκολα

Ο λόγος της ευκολίας που πιθανώς να διακρίνει κάποιος οφείλεται στο γεγονός ότι η (39)

ήταν σχέση laquomicroαγειρεmicroένηraquo Είχε ετοιmicroαστεί από το πρώτο παράδειγmicroα Τα πράmicroατα όmicroως

δε θα είναι πάντα τόσο ευδιάκριτα Θα το διαπιστώσουmicroε στο επόmicroενο παράδειγmicroα

12

β) Η εξίσωση κίνησης (39) που microας δώσανε

x=10-1

middotηmicro(2πt 4

9πminus ) (SI) microε t ge2 sec

είναι microαθηmicroατικά ισοδύναmicroη microε την

x=10-1

middotηmicro(2πt 4

πminus ) (SI) microε t ge2 sec

Κατά συνέπεια αυτή η τελευταία θα microπορούσε κάλλιστα να δοθεί στη θέση της πρώτης

Μήπως αυτό θα επηρέαζε τη φάση και την αρχική φάση που θα βρίσκαmicroε γεγονός που

θα καθιστούσε και τους ορισmicroούς και τις έννοιες άχρηστες

Η απάντηση είναι όχι Οποιαδήποτε microαθηmicroατικά ισοδύναmicroη σχέση και να χρησιmicroοποιήσουmicroε ως εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης εφό-σον ακολουθήσουmicroε microε συνέπεια όσα αναφέραmicroε θα καταλήξουmicroε στην ίδια σχέση για τη φάση και στην ίδια τιmicroή για την αρχική φά-ση

Το γεγονός αυτό δείχνει τη συνέπεια των ορισmicroών που δώσαmicroε για φάση και αρχική φάση

Συνεπώς αν τους υιοθετήσουmicroε που τουλάχιστον βουβά microέχρι τώρα το έχουmicroε ήδη κάνει

στη φυσική δεν θα έχουmicroε αντιφάσεις

γ) Ο λόγος που στην εξίσωση (39) χρησιmicroοποιήσαmicroε το 4

9πminus και όχι το ισοδύναmicroο

4

πminus

ήταν για να δείξουmicroε ότι αυτός που θα microας δώσει microια εξίσωση κίνησης δεν είναι υποχρεω-

microένος να την έχει επεξεργαστεί και να έχει υιοθετήσει κάποιες φόρmicroες ή να έχει προσέξει τις

microαθηmicroατικές ισοδυναmicroίες

Αυτός που θα microας δώσει την εξίσωση κίνησης είναι ελεύθερος να microας δώσει ότι θέλει (microαθηmicroατικά ισοδύναmicroο) αρκεί να δώσει όπως οφείλει να δώσει σε κάθε συνάρτηση το πεδίο ορισmicroού της

3ο παράδειγmicroα

Υλικό σηmicroείο εκτελεί (απλή) αρmicroονική ταλάντωση που περιγράφεται από την εξίσωση κίνη-

σης

x=10-1

middotηmicro(4

πt

3

10π+ ) (SI) microε t ge minus3 sec (41)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης στη δεδοmicroένη microορφή εξίσωσης κί-

νησης

Λύση

Μετασχηmicroατίζουmicroε τη σχέση (41) ώστε να αποκτήσει τη microορφή της σχέσης (28) δηλαδή

να αποκτήσει τη microορφή

x=Amiddotηmicro[ω(t‒t0)+φ0 ] t ge Rt0 isin Agt0 0le φ0 lt2π

13

Πράγmicroατι η (41) γίνεται

x=10-1

middotηmicro[4

π(t+3)minus

4

3π +

3

10π ] t ge -3 sec

ή x=10-1

middotηmicro[4

π(t+3)+

12

31π ] t ge -3 sec

Αφαιρώ (ή προσθέτω αν microε βολεύει) ακέραιο πολλαπλάσιο του 2π προκειmicroένου να δη-

microιουργήσω θετική αρχική φάση περιορισmicroένη σε έναν τριγωνοmicroετρικό κύκλο

x=10-1

middotηmicro[4

π(t+3)minus2π+

12

31π ] t ge -3 sec

και τελικά

x=10-1

middotηmicro[4

π(t+3)+

12

7π ] (SI) microε t ge -3 sec (42)

Άρα η φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση κίνησης (42) και κατά συνέπεια στην εξί-

σωση κίνησης (41) που microας έδωσαν είναι

φ=4

π(t+3)+

12

7π=

4

πt+

3

4π microε t ge-3 sec

και άρα η αρχική φάση θα είναι

φ0=12

7π rad

Σηmicroείωση

Θα είχαmicroε καταλήξει στην ίδια ακριβώς σχέση για τη φάση και στην ίδια τιmicroή

για την αρχική φάση ακόmicroη και αν αρχίζαmicroε από οποιαδήποτε εξίσωση microαθη-

microατικά ισοδύναmicroη microε τη δεδοmicroένη εξίσωση κίνησης όπως πχ από την

x=10-1

middotηmicro(4

πt

3

4π+ ) (SI) microε t ge minus3 sec

Αρκεί η σχέση που θα microας έδιναν να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση να

ήταν ισοδύναmicroη microαθηmicroατικά microε την (41) και κατά συνέπεια να είχε το ίδιο πε-

δίο ορισmicroού microε αυτή

raquo

14

Γ Συmicroπέρασmicroα

(ένας απλός τρόπος υπολογισmicroού φάσης και αρχικής φάσης) Με τα παραπάνω θεmicroελιώνεται microαθηmicroατικά ένας πολύ απλός τρόπος εύρεσης της φάσης

και της αρχικής φάσης σε microια τυχαία εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία microας δίνουν

ή στην οποία καταλήγουmicroε microετά από διάφορους microαθηmicroατικούς microετασχηmicroατισmicroούς

Απαίτηση όmicroως για την εφαρmicroογή αυτού του τρόπου είναι η παρουσία του πεδίου ορισmicroού

της συνάρτησης κάτι που στο κάτω-κάτω είναι και απαίτηση κάθε σοβαρής microαθηmicroατικής

αντιmicroετώπισης

Ας τον δούmicroε

Έστω για παράδειγmicroα ότι microε οποιονδήποτε microαθηmicroατικά σωστό τρόπο καταλήγουmicroε

στην εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης

χ=Αηmicro(ωt+θ) microε t ge t0 (60)

Επειδή οι microαθηmicroατικές microεθοδολογίες δεν ενδιαφέρονται για τις αγωνίες ενός φυσικού δεν είναι καθόλου υπο-χρεωmicroένες να εξασφαλίσουν ότι η ποσότητα θ θα είναι αρχική φάση ούτε ότι η ποσότητα ωt+θ θα είναι φά-ση

Αυτές οι έννοιες αφορούν τον φυσικό ο οποίος θα πρέπει πρώτα να τις ορίσει microε αυστηρότητα (και αυτό microπο-ρεί να γίνει microόνο microέσα από την ξεχωριστή εσωτερική λειτουργία των διαφορικών εξισώσεων όπως έχουmicroε ήδη επισηmicroάνει) και κατόπιν να χρησιmicroοποιήσει την εγγύηση των microαθηmicroατικών για να εξασφαλίσει ότι η αυστηρότητα των ορισmicroών του θα είναι όχι απλά συνεπέστατη λογικά αλλά κυρίως ότι θα δώσει την εγγύηση πως δεν θα προκύψουν παρανοήσεις

Έτσι λοιπόν το θ που θα προκύψει από τους microαθηmicroατικούς microετασχηmicroατισmicroούς

microπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγmicroατικός αριθmicroός

Τότε

1ο βήmicroα Στην (60) εmicroφανίζουmicroε την αρχική τιmicroή του χρόνου t0 γράφοντάς

την microε τη microορφή

x=Aηmicro[ω(t-t0)plusmnθ΄] microε t ge t0

2ο βήmicroα Αν η θ΄ στο όρισmicroα του ηmicroίτονου είναι microέσα σε ένα τριγωνοmicroε-

τρικό κύκλο αυτή είναι η αρχική φάση Αλλιώς προσθέτουmicroε ή

αφαιρούmicroε ακέραια πολλαπλάσια του 2π ώστε microετά την παρά-

σταση ω(t-t0) να εξασφαλίσουmicroε laquoγωνίαraquo φ0 η οποία να είναι

microέσα στον τριγωνοmicroετρικό κύκλο που έχουmicroε επιλέξει

Να είναι δηλαδή στο διάστηmicroα [0 2π) ή στο [-π π) κλπ

x=Aηmicro[ω(t-t0)+φ0] microε t ge t0 (60α)

3ο βήmicroα Η ποσότητα φ=ω(t-t0)+φ0 είναι η φάση και φ0 είναι η αρχική

φάση στη σχέση (60α) Άρα και στην (60) που microας έδωσαν

Τον παραπάνω τρόπο εφαρmicroόσαmicroε ήδη στο 3ο παράδειγmicroα

15

Δ Κύmicroατα

Το έχω ξαναπεί αλλά θα το ξαναπώ γιατί νοmicroίζω ότι microόνο έτσι microόνο όταν πιστέψουmicroε

στα λάθη που microας βάζουνε και διδάσκουmicroε κάποια στιγmicroή θα βρεθούν κάποιοι ικανοί που

θα βρουν τρόπο να ζητήσουν ευθύνες από όλους εκείνους που χρόνια τώρα microας βουλιάξανε

microας βουλιάζουνε και θα βουλιάξουνε γενιές ανθρώπων στα λάθη γράφοντας πανεπιστηmicroια-

κά βιβλία χωρίς ποτέ να microπουν στον κόπο να ξαναψάξουν αυτά που γράφουν

Το κεφάλαιο laquoΚύmicroαταraquo που διδάσκουmicroε είναι το λιγότερο λανθασmicroένο Λανθασmicroένο

πιο πολύ από τις ταλαντώσεις γιατί τα laquoκύmicroαταraquo κουβαλάνε όλα τα λάθη των ταλα-

ντώσεων και κάτι ακόmicroη που είναι πιο τραγικά λανθασmicroένο Τη διάδοση

Η διδασκαλία microας στο κεφάλαιο laquoΚύmicroαταraquo ΔΥΣΤΥΧΩΣ ΣΤΗΡΙΖΕΤΑΙ ΣΤΗ ΔΙΑ-

ΔΟΣΗ ΤΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ

Μα αυτά που διδάσκουmicroε ούτε laquoκύmicroαταraquo είναι ούτε διαδίδονται

Και έτσι εmicroείς οι απλοί φυσικοί της γειτονιάς γινόmicroαστε τραγικές φιγούρες microιας και microετά

από ένα κεφάλαιο γεmicroάτο λάθη όπως είναι οι laquoταλαντώσειςraquo αναγκαζόmicroαστε να λέmicroε να

βρίσκουmicroε να διδάσκουmicroε να microπαλώνουmicroε και να εmicroπλουτίζουmicroε microε ασκήσεις το δεύτερο

κεφάλαιο laquoΤα κύmicroαταraquo που είναι ακόmicroη πιο λανθασmicroένο

Η εmicroπειρία microου ως αεί υφιστάmicroενος τόσων και τόσων σε ένα Υπουργείο Παιδείας που η-

δονίζεται να αλλάζει ονόmicroατα microόνο και όχι ουσία microου λέει τούτο το απλό

Όταν τόσοι φυσικοί δυσκολευόmicroαστε κάποιες φορές να κατανοήσουmicroε αυτά που διδάσκου-

microε και που γράφει ένα σχολικό βιβλίο προορισmicroένο για microαθητές λυκείου σίγουρα κάποιοι

άλλοι κάνανε χοντρά λάθη ως laquomicroέντορεςraquo (γελοιοποίηση microιας ακόmicroη όmicroορφης αρχαίας λέ-

ξης) και microας βάλανε να διδάξουmicroε τα λάθη τους microε τέτοιο τρόπο που στο τέλος

ξεχάσαmicroε ότι ήταν δικά τους λάθη και νοmicroίσαmicroε ότι όλα ήταν δικά microας σω-

στά

Παρακάmicroπτω λοιπόν την ανύπαρκτη φυσική της συmicroβολής των laquoκυ-

microάτωνraquo που διδάσκουmicroε και χρησιmicroοποιώντας microόνο την ορολογία της θα προσπα-

θήσω microέσα από microια microατιά laquoγυmicroνάraquo microαθηmicroατική να εφαρmicroόσω στο συγκεκριmicroένο laquoφαινόmicroε-

νοraquo όσα προαναφέραmicroε Επικαλούmicroενος και ελπίζοντας microόνο στην αυστηρότητα του ορισmicroού

Αν εφαρmicroόσουmicroε microε συνέπεια τους αυστηρούς ορισmicroούς της φάσης και της αρχικής φάσης

που δώσαmicroε κι αν σε φαινόmicroενα ίδιας ποιότητας δεν αρνηθούmicroε τις microαθηmicroατικές πορείες

που καταγράψαmicroε κι ακολουθήσαmicroε στις τρεις προηγούmicroενες αναρτήσεις laquoΟρισmicroοί και

εξισώσεις κίνησης α΄ β΄ και γ΄ microέροςraquo τότε δε θα υπάρξουν συλλογιστικά αδιέξοδα

Ας το δούmicroε (τα σύmicroβολα που χρησιmicroοποιούνται θεωρούνται αυτονόητα)

Στην εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης

minus=λ

πηmicro 11

r

T

t2Ay microε

υ1rt ge (61)

16

που επιβάλλει στο τυχαίο σηmicroείο Μ το πρώτο laquoκύmicroαraquo όταν έχει διαδοθεί microόνο του οι έν-

νοιες της φάσης και της αρχικής φάσης είναι καθορισmicroένες microε απόλυτη σαφήνεια αρκεί να

microην ξεχάσουmicroε το πεδίο ορισmicroού

φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (61)

λππ

ϕ 1r2

T

t2minus= microε

υ1rt ge

αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (61)

φ0=0 rad

Στην εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης

minus=λ

πηmicro 22

r

T

t2Ay microε

υ2rt ge (62)

που επιβάλλει στο τυχαίο σηmicroείο Μ το δεύτερο laquoκύmicroαraquo όταν έχει διαδοθεί microόνο του οι έν-

νοιες της φάσης και της αρχικής φάσης είναι καθορισmicroένες microε απόλυτη σαφήνεια αρκεί να

microην ξεχάσουmicroε το πεδίο ορισmicroού

φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (62)

λππ

ϕ 2r2

T

t2minus= microε

υ2rt ge

αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (62)

φ0=0 rad

Μετά τη laquoσυmicroβολή των δύο κυmicroάτωνraquo η εξίσωση ταλάντωσης του ση-

microείου Μ είναι

minus+

minus=+=λ

πηmicroλ

πηmicro 2121

r

T

t2A

r

T

t2Ayyy microε

geυυ

21 r

rmax t (63)

Στη σχέση (63) οι έννοιες laquoφάσηraquo και laquoαρχική φάσηraquo δεν ορίζο-

νται Δεν υπάρχουν

Η κίνηση που αποδίδεται microε τη σχέση (63) είναι επαλληλία των εξισώσεων κίνησης δύο

αρmicroονικών ταλαντώσεων (επαλληλία δύο αρmicroονικών συναρτήσεων δηλαδή και όχι πραγmicroα-

τικών κινήσεων) ίδιας διεύθυνσης ίδιας συχνότητας και ίδιας laquoθέσης ισορροπίαςraquo

17

Είναι επαλληλία των συναρτήσεων y1 και y2

Η σύνθεσή τους η y δηλαδή είναι microια (πραγmicroατική) αρmicroονική ταλάντωση ίδιας διεύθυν-

σης ίδιας συχνότητας και ίδιας θέσης ισορροπίας microε τις συνιστώσες εξισώσεις κίνησης ή

καλύτερα microε τους προσθετέους της (63)

Όπως είναι γραmicromicroένη η εξίσωση (63) δεν έχουmicroε κανένα δικαίωmicroα να microιλάmicroε

ούτε για laquoφάσηraquo ούτε για laquoαρχική φάσηraquo

Για να αποκτήσουmicroε αυτό το δικαίωmicroα πρέπει να τη φέρουmicroε σε microορφή που να διαθέτει

ένα microόνο τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό και δη ή microόνο ένα ηmicroίτονο ή microόνο ένα συνηmicroίτονο

Με άλλα λόγια

αν θέλουmicroε να microιλάmicroε για φάση και αρχική φάση στην σχέση (63) εξίσωση συmicroβολής των

κυmicroάτων θα πρέπει να τη φέρουmicroε στη microορφή

( )0t Ay ϕωηmicro prime+prime=

ή στη microορφή

( )0t Ay ϕωσυν primeprime+primeprime=

Τότε όmicroως

για να microην καταρρεύσουν αmicroφότεροι οι ορισmicroοί κι εποmicroένως και οι έννοιες

της φάσης και της αρχικής φάσης θα πρέπει να φροντίσουmicroε η αρχική φάση

να περιοριστεί σε ένα τριγωνοmicroετρικό κύκλο

για να αποφύγουmicroε κάθε επικίνδυνη ρευστότητα θα πρέπει να τεθεί οπωσ-

δήποτε το πεδίο ορισmicroού της συνάρτησης

για να microην υπάρξουν συλλογιστικά αδιέξοδα θα πρέπει να ακολουθήσουmicroε

microε συνέπεια την πορεία που καταγράψαmicroε στα παραδείγmicroατα 1-3 για τον

υπολογισmicroό φάσης και αρχικής φάσης ή έστω να εφαρmicroόσουmicroε τον απλό

τρόπο που καταγράφεται στη σελίδα 14

Ο microετασχηmicroατισmicroός της (63) ώστε να περιέχει ένα microόνο τριγωνο-

microετρικό αριθmicroό microπορεί να γίνει microε διάφορους τρόπους

1ος τρόπος Χρησιmicroοποιώντας τους τύπους της επαλληλίας εξισώσεων κίνησης

Αν έχουmicroε αριθmicroητικά δεδοmicroένα και δε θέλουmicroε να microπλεχτούmicroε microε πολλά microαθηmicroατικά

microπορούmicroε να χρησιmicroοποιήσουmicroε τους τύπους του σχολικού βιβλίου για την επαλληλία εξι-

σώσεων αρmicroονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης ίδιας συχνότητας και ίδιας θέσης ισορ-

ροπίας

Τους τύπους αυτούς όmicroως θα πρέπει να ισχυροποιήσουmicroε ώστε να συmicroπεριλάβουν περι-

πτώσεις όπου και οι δύο ταλαντώσεις έχουν αρχική φάση και να εmicroπλουτίσουmicroε microε έναν ε-

πιπλέον τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό ή microε κάποια επιπλέον microαθηmicroατική microας δεξιότητα microιας και η

σχέση microε την εφθ microόνη της δε microπορεί να προσδιορίσει την αρχική φάση θ έστω κι αν αυτή

περιοριστεί σε έναν τριγωνοmicroετρικό κύκλο

18

( Επαλληλία εξισώσεων αρmicroονικών ταλαντώσεων

x1=Α1middotηmicro(ωt+φ1) και x2=Α2middotηmicro(ωt+φ2)

x=x1+ x2=Aηmicro(ωt+θ)

όπου )(AA2AAA 21212

22

1 ϕϕσυν minus++= Α

ηmicroϕΑηmicroϕΑηmicroϑ 2211 +

= (64)

2211

2211

AA

AA

συνϕσυνϕηmicroϕηmicroϕ

εϕϑ+

+=

ΑσυνϕΑσυνϕΑ

συνϑ 2211 +=

microε 0leθlt2π

Τέτοιου είδους αντιmicroετωπίσεις έχουν ήδη καταχωρηθεί στο δίκτυο)

2ος τρόπος Μετασχηmicroατίζουmicroε την (63) και φτάνουmicroε στη microορφή

+minussdot

minus=

λΤπηmicro

λπσυν

2

rrt2

2

rr2A2y 2121 microε

geυυ

21 r

rmax t (65)

Αφού φιλοδοξούmicroε η (65) να περιγράφει πραγmicroατική κίνηση (κι όχι να είναι κα-

νένας προσθετέος σε επαλληλία εξισώσεων κίνησης) και επιθυmicroούmicroε οι έννοιες laquoφάσηraquo και

laquoαρχική φάσηraquo να έχουν νόηmicroα θα πρέπει ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ να χειρι-

στούmicroε την (65) microε τους τρόπους που δείξαmicroε στα παραδείγmicroατα 1-3

Αν δηλαδή επιθυmicroούmicroε να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση στην

(65) θα πρέπει να χρησιmicroοποιήσουmicroε ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ το πεδίο ορισmicroού

της και τον περιορισmicroό της αρχικής φάσης σε ένα τριγωνοmicroετρικό κύκλο

(Το να χειριστούmicroε τη σχέση (65) γενικά ώστε να εmicroφανιστούν γενικοί περιορισmicroοί στο πεδίο ορισmicroού και στην

αρχική φάση του ενός τριγωνοmicroετρικού κύκλου νοmicroίζω ότι θα είναι άσκοπο microιας και ο χρόνος που θα απαιτήσει

η γραφή αυτή θα ΄ναι microεγάλος και η αξία των τύπων ελάχιστη Γι΄ αυτό καταφεύγω σε παραδείγmicroατα)

4ο παράδειγmicroα

Έστω ότι σε κάποιο πρόβληmicroα συmicroβολής κυmicroάτων y1= και y2= αντικαθι-

στούmicroε τα δεδοmicroένα στην εξίσωση της συmicroβολής (65) και βρίσκουmicroε ότι το σηmicroείο Μ που απέ-

χει r1= και r2= από τις πηγές ταλαντώνεται αρmicroονικά microε εξίσωση

y=10-1

middotηmicro(2πt 4

11πminus ) (SI) microε t ge 6 sec (66)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης του Μ στην (66)

19

Λύση

1ος τρόπος

Κάνουmicroε ότι κάναmicroε στο παράδειγmicroα 2 στη σελίδα 10 ή στο παράδειγmicroα 3 στη σελίδα 12 αυ-

τής της ανάρτησης

2ος τρόπος

Για πιο γρήγορα ακολουθούmicroε τα βήmicroατα της σελίδας 14

1ο βήmicroα Μετασχηmicroατίζουmicroε την εξίσωση κίνησης (66) ώστε να εmicroφανιστεί η

αρχική τιmicroή χρόνου 6 sec microέσω της microορφής ω(t-t0)=2π(t-6)

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+12πminus4

11π] t ge 6 sec

και τελικά

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

37π] (SI) t ge 6 sec (67)

2ο βήmicroα Στο όρισmicroα του ηmicroίτονου microετά την ποσότητα 2π(t-6) η laquoγωνίαraquo 4

37π

δεν είναι microέσα στο διάστηmicroα [02π) που έχουmicroε υιοθετήσει ως περιορι-

σmicroό της αρχικής φάσης

Εποmicroένως πρέπει να αφαιρέσουmicroε κατάλληλα ακέραια πολλαπλάσια

του 2π

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

37πminus4middot2π] (SI) t ge 6 sec

από όπου τελικά

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

5π] (SI) t ge 6 sec (67α)

3ο βήmicroα Στην (67α) που καταλήξαmicroε microε την παραπάνω διαδικασία

η φάση είναι φ=2π(t‒6)+4

5π microε t ge 6 sec

και η αρχική φάση είναι φ0=4

5π rad

Το ίδιο συνεπώς θα ισχύει και για την (67)

Βέβαια όλα τα παραπάνω microπορούν να γίνουν πολύ πιο γρήγορα αρκεί να έ-

χουmicroε στο microυαλό microας ότι για να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση σε microια

εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία microας έδωσαν ή στην οποία καταλήξα-

microε θα πρέπει να τη microετασχηmicroατίσουmicroε ώστε

να εmicroφανίσουmicroε την αρχική τιmicroή του χρόνου microε τη microορφή που είπαmicroε

να εξασφαλίσουmicroε ότι ο προσθετέος που δεν περιέχει χρόνο είναι σε

διάστηmicroα ενός τριγωνοmicroετρικού κύκλου και microάλιστα στη microορφή που έ-

χουmicroε επιλέξει για την αρχική φάση ([02π) ή [-ππ) ή )

20

5ο παράδειγmicroα

Έστω ότι σε κάποιο πρόβληmicroα συmicroβολής κυmicroάτων y1= και y2= αντικαθι-

στούmicroε τα δεδοmicroένα στην εξίσωση της συmicroβολής (65) και βρίσκουmicroε ότι το σηmicroείο Μ που απέ-

χει r1= και r2= από τις πηγές ταλαντώνεται αρmicroονικά microε εξίσωση

y=minus10-1

middotηmicro(2πt4

9πminus ) (SI) microε t ge 05 sec (68)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης του Μ στην (68)

Λύση

Η (68) γίνεται διαδοχικά

y=minus10-1

middotηmicro(2πt4

9πminus ) = 10

-1middotηmicro(2πt+π

4

9πminus )=10

-1middotηmicro(2πt

4

5πminus )=10

-1middotηmicro[2π(tminus05)

4

πminus ]

και τελικά

y=10-1

middotηmicro[2π(tminus05)4

7π+ ] (68α)

Η (68α) έχει εmicroφανίσει την αρχική τιmicroή χρόνου 05 sec στη microορφή που θέλουmicroε και προ-

σθετέο 4

7π που δεν περιέχει χρόνο t και βρίσκεται στο διάστηmicroα [02π)

Άρα η φάση και η αρχική φάση της (68) είναι ίδιες microε εκείνες της (68α)

∆ηλαδή

Φάση φ=2π(tminus05)4

7π+ =2πt

4

3π+ microε t ge 05 sec

Αρχική φάση rad 4

7π0 =ϕ

Φάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολή

Ο Νίκος (Ανδρεάδης) microε δύο ευφυέστατες αναρτήσεις

laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολήraquo

laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολή-Μέρος δεύτεροraquo

που βρίσκονται στη διεύθυνση

httpylikonetgrprofilesblogsphhaseis-kai-antiphhaseis-ste

microας ώθησε να ακούσουmicroε κάποιους τριγmicroούς από την ψεύτικη πραγmicroατικότητα των

κυmicroάτων που διδάσκουmicroε

21

Γράφει λοιπόν

laquoΝ=6 1r 15= m

1 2r r 6 λminus = sdot

2r 03= m

Για t 3ge s η εξίσωση κίνησης προκύπτει από την επαλληλία των εξισώσεων

11

2πr2πty A ηmicro

T λ

= sdot minus

και 2

2

2πr2πty A ηmicro

T λ

= sdot minus

Μετά από πράξεις

( )1y 01 ηmicro 5πt 15π= sdot minus και ( )2

y 01 ηmicro 5πt 3π= sdot minus

Σύmicroφωνα microε τη σχέση 1 2 1 2r r r r2πt

y 2A συν 2π ηmicro π2λ T λ

minus += sdot sdot minus

microετά από πράξεις προκύπτει

( )y 02 ηmicro 5πt 9π= sdot minus

Η φάση (της αποmicroάκρυνσης στην παραπάνω εξίσωση) δίνεται από τη σχέση φ 5πt 9π= minus

Για t 3= s (προκύπτει η αρχική) φάση (η οποία) είναι 6π rad

παρατηρούmicroε ότι 7 σηmicroεία του microέσου τα οποία ξεκινούν την ίδια στιγmicroή την ίδια κίνηση από τη θέ-

ση ισορροπίας microε θετική ταχύτητα περιγράφονται microε διαφορετικές εξισώσεις και την στιγmicroή της εκκί-

νησης έχουν διαφορετική φάση

Οι απορίες microου

Ποιο είναι το φυσικό νόηmicroα των τιmicroών 0π 2π 4π 6π και 8π

Έχει νόηmicroα να ζητήσουmicroε τη διαφορά φάσης ενός από αυτά τα σηmicroεία microε microια πηγή

Αν όmicroως δούmicroε το θέmicroα ως σύνθεση δύο ταλαντώσεων που βρίσκονται σε συmicroφωνία φάσης καταλή-

γουmicroε αmicroέσως στο συmicroπέρασmicroα ότι και στις 7 περιπτώσεις η κίνηση για t 3ge s περιγράφεται από την

εξίσωση ( )y 02 ηmicro 5πt 15π= sdot minus (SI)

Η φάση δίνεται από τη σχέση φ 5πt 15π= minus (SI)

Για t 3= s η (αρχική) φάση είναι 0π rad ∆ηλ τη στιγmicroή της εκκίνησης έχουmicroε microηδενισmicroό της φάσης

για τα 7 σηmicroεία κάτι λογικό αφού τότε και τα 7 ξεκινούν microια νέα κίνηση από τη θέση ισορροπίας microε

θετική ταχύτηταraquo

Στους προβληmicroατισmicroούς που έθεσε ο Νίκος θα επιχειρήσω microια το-

ποθέτηση

Κατά τη γνώmicroη microου το microόνο που microπορεί να microας γλιτώσει από το παραπάνω παράδοξο είναι

η microαθηmicroατική αυστηρότητα microε την οποία φροντίσαmicroε να εφοδιάσουmicroε (και έτσι πρέπει

να γίνεται πάντα αν και πολλές φορές τούτο το απλό το ξεχνάmicroε) τους ορισmicroούς φάση και

αρχική φάση

Η αντίρρησή microου επικεντρώνεται στη φράση

laquoη φάση στην εξίσωση ( )y 02 ηmicro 5πt 9π= sdot minus δίνεται από τη σχέση φ 5πt 9π= minus raquo

η οποία εξάλλου είναι και η υπεύθυνη για τις αντιφάσεις που έχει εντοπίσει ο Νίκος

Προκειmicroένου να βρεθούν η φάση και η αρχική φάση στην εξίσωση microιας αρmicroονικής

ταλάντωσης πρέπει να ακολουθηθούν ορισmicroένες διαδικασίες

22

Αυτό δεν είναι ούτε σωσίβιο ούτε σοφιστεία ούτε κάποια κίνηση απελπισίας Είναι η ου-

σία του ορισmicroού που υιοθετήσαmicroε για τις δύο αυτές έννοιες

Η αυστηρότητα των ορισmicroών που δώσαmicroε ως φυσικοί εξασφαλίζει ότι τα microαθηmicroατικά όχι

microόνο θα microπορέσουν να εγγυηθούν τη συνέπεια των συλλογισmicroών και αποτελεσmicroάτων microας

αλλά θα ενσωmicroατώσουν microέσα τους τελείως διαφανείς πορείες απαραίτητες για την αυτοδυ-

ναmicroία και ισχύ του φυσικού έστω κι αν ένας microαθηmicroατικός αδιαφορήσει τελείως γι΄ αυτές

Αυτό δεν είναι παραλογισmicroός αλλά συνειδητοποίηση του διαφορετικού ρόλου

και της διαφορετικής ευθύνης των δύο ειδικοτήτων˙ του φυσικού και του microαθη-

microατικού

Κοντολογίς

Προκειmicroένου να διατηρήσουmicroε το δικαίωmicroα να χρησιmicroοποιούmicroε στο λεξιλόγιό microας τις λέξεις

φάση και αρχική φάση επιβάλλεται από τα microαθηmicroατικά να είmicroαστε συνεπείς microε τους ορι-

σmicroούς που τους δώσαmicroε και να τις χειριζόmicroαστε microε ειδικό τρόπο σε καθορισmicroένες πορείες

Αν δε το κάνουmicroε αυτό τα microαθηmicroατικά θα microας γυρίσουν την πλάτη

κι εmicroείς θα βουλιάξουmicroε στις παρανοήσεις στα αδιέξοδα και τις λο-

γικές ασυνέπειες

Σύmicroφωνα λοιπόν microε όσα έχουν αναφερθεί για να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση στην εξίσωση κίνησης

y=02middotηmicro(5πtminus9π) microε tge3 sec (69)

πρέπει να εmicroφανίσουmicroε microέσα της την αρχική τιmicroή του χρόνου 3 sec και να αφαιρέσουmicroε τα

ακέραια πολλαπλάσια του 2π microε τέτοιο τρόπο ώστε η αρχική φάση να είναι microέσα στη microορ-

φή του τριγωνοmicroετρικού κύκλου που υιοθετήσαmicroε

Πράγmicroατι η (69) γίνεται

y=02middotηmicro(5πtminus9π)=02middotηmicro[5π(t-3)+6π]

και τελικά

y=02middotηmicro[5π(t-3)+0] microε tge3 sec (69α)

Η (69α) και κατά συνέπεια και η (69) έχουν

Φάση φ=5π(t-3)+0=5πt-15π microε tge3 sec

Αρχική φάση φ0=0 rad

Νοmicroίζω ότι τώρα πια δεν υπάρχει καmicroιά αντίφαση microιας και όλες οι συλλογιστικές και όλες

οι microαθηmicroατικές πορείες θα δώσουν ακριβώς τα ίδια αποτελέσmicroατα

α) Και τα επτά σηmicroεία Ν=0 έχουν την ίδια φάση φ=5πt-15π microε tge3 sec και την ί-

δια αρχική φάση φ0=0 rad

23

β) Υπάρχει απόλυτη συλλογιστική συνέπεια σε όλα αφού όπως έχει ήδη επισηmicroάνει ο Νί-

κος laquoκαι τα 7 σηmicroεία πρέπει να έχουν την ίδια φάση και αρχική φάση αφού ξεκινούν microια

νέα κίνηση από τη θέση ισορροπίας microε θετική ταχύτηταraquo

γ) Είτε χρησιmicroοποιηθούν οι τύποι σύνθεσης ταλαντώσεων είτε χρησιmicroοποιηθεί ο τύ-

πος της συmicroβολής κυmicroάτων είτε οποιαδήποτε άλλη microαθηmicroατική διαδροmicroή τα αποτελέ-

σmicroατα φάσης και αρχικής φάσης θα είναι απολύτως ίδια

δ) laquoΚάθε κίνηση έχει φάση που microας πληροφορεί για πόσο χρόνο παρακολουθούmicroε τη συ-

γκεκριmicroένη κίνησηraquo

ε) Απορία

laquoΠοιο είναι το φυσικό νόηmicroα των τιmicroών 0π 2π 4π 6π και 8πraquo

Απάντηση

laquoοι τιmicroές 0π 2π 4π 6π και 8π που προκύπτουν microε (απλή-ανώδυνη) εφαρmicroογή της γνω-

στής σχέσης ηmicroΑ+ηmicroΒ=hellip δεν έχουν κανένα γνωστό ωφέλιmicroο φυσικό νόηmicroαraquo

Η εφαρmicroογή της σχέσης ηmicroΑ+ηmicroΒ= δεν οδηγεί πάντα απευθείας σε σχέση στην οποία να

είναι άmicroεσα διαφανείς η φάση και η αρχική φάση microιας εξίσωσης αρmicroονικής κίνησης

Ο τελικός τύπος χρειάζεται οπωσδήποτε επεξεργασία

στ) Απορία

laquoΈχει νόηmicroα να ζητήσουmicroε τη διαφορά φάσης ενός από αυτά τα σηmicroεία microε microια πηγήraquo

Απάντηση

Όχι Δεν πρέπει να ζητήσουmicroε τέτοιο πράγmicroα αν δε είmicroαστε έτοιmicroοι να αυτοκτονήσουmicroε ή να

microπούmicroε σε ατέλειωτες microαθηmicroατικές αναζητήσεις για να γλιτώσουmicroε microόνο και microόνο τη συνέ-

πεια της εννοιολογικά λανθασmicroένης laquoπραγmicroατικότηταςraquo των κυmicroάτων που διδάσκουmicroε

Η παρουσία πηγών επιβάλλει άλλου είδους κύmicroατα εmicroπλουτισmicroένα και microε άλλες έννοιες και

microε microαθηmicroατικούς χειρισmicroούς αρκετά δύσκολους microιας και στις διαφορικές εξισώσεις πρέπει

να παρθούν υπόψη συνοριακοί περιορισmicroοί

Στην πρώτη σελίδα της ανάρτησής microου laquoΟρισmicroοί και εξισώσεις κίνησης γ΄ microέροςraquo έγραφα κάτι που όσο περνάει ο καιρός το πιστεύω όλο και πιο πολύ

laquoδιδάσκουmicroε ˝κύmicroατα˝ που δήθεν διαδίδονται microε ταχύτητα υ έχουν αρχικές φάσεις έχουν

πηγές που τα παράγουν και πολλές φορές δύο πηγές για να έχουmicroε συmicroβολή

Μα αυτά που διδάσκουmicroε ούτε κύmicroατα είναι ούτε διαδίδονται ούτε πηγές περιέχουν

ούτε είναι κάπου και τρέχουν να πάνε κάπου αλλού ούτε ξεκινάνε από κάπου ούτε ούτε

ούτε

Στα κεφάλαια ˝Κύmicroατα˝ και ˝Μηχανική Στερεού Σώmicroατος˝ της Φυσικής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου ειλικρινά microε πιάνει απελπισία Τα πράmicroατα εκεί σκοτεινιάζουν τόσο πο-λύ Τί να πεις και από πού να αρχίσεις raquo

24

Στο σηmicroείο αυτό όmicroως νιώθω υποχρεωmicroένος να τονίσω ότι η αρνητικότατη στάση

microου απέναντι σε αυτό που microας βάζουν να διδάσκουmicroε ως κύmicroατα δεν πρέπει στο

ελάχιστο να θεωρηθεί ως απόρριψη της προσπάθειας συναδέλφων να microας δώσουν

ένα πλήθος ασκήσεων θέσεων αναλύσεων διαγωνισmicroάτων κλπ που έχουν σχέση

microε κύmicroατα και microε συmicroβολή κυmicroάτων που περιέχουν πηγές

Στο σχολείο πρέπει να κάνουmicroε αυτό που επιτάσσουν οι πανελλαδικές Άρα πέρα

από όλες τις διαφωνίες microεταξύ microας θα πρέπει προσωπικά να βρω ασκήσεις και θέ-

microατα να δώσω στα παιδιά για να καλύψω την ανήθικη έλλειψη ασκήσεων από το

σχολικό βιβλίο

Επίσης θα πρέπει να βρω τρόπο να microην καταρρεύσει η συλλογιστική των παιδιών

έστω και σαθρή πριν τις εξετάσεις

Αυτό microε τη σειρά του σηmicroαίνει ότι πρέπει να έχω επιχειρήmicroατα και υλικό κοmicromicroένο

στις συγκεκριmicroένες ανάγκες τους

Σε αυτό το σηmicroείο η βοήθεια που microου πρόσφεραν και microου προσφέρουν οι συνάδελ-

φοι του δικτύου και κάποια αξιόλογα εξωσχολικά βιβλία είναι όχι απλά πολύτιmicroη

αλλά ανεπανάληπτη

Με πολύ ανακούφιση δέχοmicroαι και παίρνω πολύτιmicroα διαγωνίσmicroατα ασκήσεις και υ-

λικό που προσφέρουν απλόχερα διάφοροι συνάδελφοι και που αναφέρονται σε κύmicroα-

τα που προέρχονται από πηγές και που συmicroβάλλουν

Επί τη ευκαιρία τους ευχαριστώ που microου δίνουν τον κόπο τους Κάποιες φορές microά-

λιστα αποτελεί πηγή αναθεωρήσεων και καινούριων αναζητήσεων microου

Ε Παρατηρήσεις

1) Η εξίσωση της αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία θα microας δώσουν ή στην οποία θα κα-

ταλήξουmicroε microετά από κάποια microαθηmicroατική επεξεργασία δεν είναι υποχρεωmicroένη να δηλώνει

καθαρά τη φάση και την αρχική φάση Εκείνο που πρέπει οπωσδήποτε να επισηmicroάνουmicroε εί-

ναι ότι φάση δεν είναι η ποσότητα που βρίσκεται microέσα στον τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό

Η εύρεση της φάσης και της αρχικής φάσης θέλουν διαδικασία η οποία θα απαιτήσει το

πεδίο ορισmicroού της εξίσωσης που microας δίνουν για την ταλάντωση ή για το κύmicroα

Ας του δώσουmicroε έmicroφαση microε microια άσκηση χωρίς κανένα απολύτως νόηmicroα

Στην παρακάτω εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης να βρεθεί η φάση και η αρχική

φάση της αποmicroάκρυνσης

y=10-1middotηmicro(2πt 4

11πminus )

Ο λόγος που αυτή η άσκηση είναι α-νόητη είναι γιατί δεν έχει δοθεί το πεδίο ορισmicroού Αλ-

λάζοντας το πεδίο ορισmicroού όπως ήδη έχουmicroε δείξει θα αλλάξει τόσο η συνάρτηση της φά-

σης όσο και η τιmicroή της αρχικής φάσης (∆ες σελίδα 18)

25

2) Η εύρεση της διαφοράς φάσης ανάmicroεσα σε δύο microεγέθη του ίδιου

φαινοmicroένου είναι ακόmicroη πιο επίπονη διαδικασία

Το θέmicroα αυτό είχε θέσει ο Θοδωρής microε microια ανάρτησή του που βρίσκεται στη διεύθυνση httpylikonetgrgroupthemataforumtopicsphhasearchikhe-

phhasediaphorhacommentId=36477953AComment3A16659ampgroupId=36477953AGroup3A5901

Όπως στην περίπτωση της φάσης και αρχικής φάσης οι αρmicroονικές συναρτήσεις πρέπει να

laquoετοιmicroαστούνraquo έτσι και στην περίπτωση που microας ζητάνε να βρούmicroε διαφορά φάσης ανάmicroε-

σα σε δύο φυσικά microεγέθη που εκφράζονται microε αρmicroονικές συναρτήσεις οι συναρτήσεις αυτές

πρέπει οπωσδήποτε να ετοιmicroαστούν κατάλληλα

3) Το πιο σηmicroαντικό στο οποίο εστιάζουν οι εργασίες microου (άσχετα αν τα καταφέρνω να

το δείξω ή όχι) είναι η microεθοδολογία που πρέπει να ακολουθούmicroε όταν θέλουmicroε να λύσουmicroε

microια διαφωνία microας να προχωρήσουmicroε microια αναζήτησή microας να βρούmicroε διέξοδο σε microια αντίφα-

ση να συνειδητοποιήσουmicroε microια έννοια

Κατά τη γνώmicroη microου πρέπει να ξεκινάmicroε από τους ορισmicroούς και αφού εξασφαλίσουmicroε την

αυστηρότητά τους να προχωρήσουmicroε σε απλές έστω εννοιολογικές κατακτήσεις απαραίτη-

τες όmicroως για την αναπνοή microας ως φυσικών ή ως ενδιαφεροmicroένων για τη φυσική

laquohellipΗ αξία των ορισmicroών εντοπίζεται στη σωστή θέση που πρέπει να κατέχουν κατά τη συνεννόηση microε-

ταξύ των φυσικών και στον κορυφαίο και αναντικατάστατο ρόλο που πρέπει microε κάθε σεβασmicroό να απο-

δεχτούmicroε ότι διαδραmicroατίζουν στη διαmicroόρφωση της δοmicroής της γλώσσας που χρησιmicroοποιεί η Φυσική

∆εν γίνεται να κάνεις Φυσική αν δεν έχεις τα σωστά κατάλληλα λόγια για να περιγράψεις στους άλ-

λους το όmicroορφο

Η Φυσική έχει ορισmicroούς που δεν είναι διαπραγmicroατεύσιmicroοι και microαθηmicroατικές microεθοδολογίες που δεν

πρέπει να αγνοούνται αν θέλουmicroε να έχουmicroε συνέπεια και να εξασφαλίζουmicroε απόλυτη διαφάνεια στους

συλλογισmicroούς microας

∆εν πρέπει να χαλάmicroε τη γλώσσα γιατί αλλιώς χαλάει η σκέψη και η επικοινωνία microεταξύ microας Πρέπει να δεχτούmicroε στην ψυχή microας (όχι στα λόγια) ότι οι ορισmicroοί έχουν αξία και να συνειδητοποιή-

σουmicroε την microοναδική τους ιδιότητα Αυτή που είναι και η αιτία της ύπαρξής τους Να είναι χρήσιmicroοι

Οι ορισmicroοί ή είναι χρήσιmicroοι ή δεν υπάρχουν Τα λόγια της Φυσικής δε φτιάχτηκαν για να περιγράφουν αλλά για να έχουν συγχρόνως τη δυνατότητα και να

προφητεύουνraquo

4) Στο παράδειγmicroα του Νίκου για τις φάσεις και τις αντιφάσεις χρησιmicroοποιήθηκαν σηmicroεία

όπου είχαmicroε ενισχύσεις

Θα παρακαλούσα το Νίκο αλλά και όποιον άλλο συνάδελφο θέλει να κάνει microια άσκηση

ή microια προσοmicroοίωση microε πιο γενικά σηmicroεία στη συmicroβολή κυmicroάτων και να υπολογίσει τις

φάσεις και τις αρχικές φάσεις στην εξίσωση ταλάντωσης των σηmicroείων αυτών δίνοντας έmicro-

φαση πάντα το πεδίο ορισmicroού και στον περιορισmicroό της αρχικής φάσης σε έναν τριγωνοmicroε-

τρικό κύκλο πχ της microορφής [02π)

Πιστεύω ότι έτσι κάποια πράγmicroατα θα γίνουν πολύ πιο ευδιάκριτα πιο απλά και το κυριό-

τερο θα περάσουν πιο εύκολα στους συναδέλφους

5) Τελειώνοντας οφείλω να πω ότι η σηmicroερινή microου ανάρτηση ουσιαστικά οφείλεται

στους προβληmicroατισmicroούς που microας έθεσε ο Νίκος (Ανδρεάδης) πάνω στη συmicroβολή των κυmicroά-

των microε το laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολήraquo

Έχοντας ξεκινήσει να γράφω microια σειρά αναρτήσεων σχετικών microε τις έννοιες φάση και αρ-

χική φάση microου ήρθε ανέλπιστα η δουλειά του Νίκου η οποία microε τα ερωτήmicroατα που έθεσε

τη συζήτηση που ακολούθησε και τις γνώmicroες που διατυπώθηκαν microου έδωσε ισχυρά επιχει-

ρήmicroατα να υποστηρίξω την απόλυτη πίστη microου στην αξία των ορισmicroών όχι ως απλή λεκτική

επανάληψη microιας υποχρεωτικής αποστήθισης αλλά ως συνειδητοποίηση όλης εκείνης της

26

εσωτερικής λειτουργίας απόλυτα συγκεκριmicroένων πραγmicroάτων που κρίνουν τους ορισmicroούς

ως χρήσιmicroους και απαραίτητους και τους γεννούν για να υπάρχουν και να πλουτίζουν τη

γλώσσα microας

Τους βάζουν δίπλα microας και microας καλούν να πιστέψουmicroε στην αξία τους και ποτέ να microην

τους υποτιmicroήσουmicroε όσο απλοί και να είναι

(συνεχίζεται)

Σάββατο 29 Ιανουαρίου 2011

Θρασύβουλος Κων Μαχαίρας

Γενικό Λύκειο Αγριάς Πηλίου

s7-kmghotenetgr

9

β΄ τρόπος Με τη χρήση των σχέσεων (28) έως (29α)

Την εξίσωση κίνησης που microας δίνουν φέρουmicroε στη microορφή και τους περιορισmicroούς της

συνάρτησης (28)

x=Amiddotηmicro[2π(t‒2)+ φ0 ] t ge 2 sec Agt0 0le φ0lt2π (36)

τότε η φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ=2π(t‒2)+ φ0 t ge 2 sec 0le φ0lt2π (36α)

και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ0

Εποmicroένως όλο το πρόβληmicroα εντοπίζεται στον υπολογισmicroό της φ0

Ας τον κάνουmicroε

Η ταχύτητα του υλικού σηmicroείου είναι υ=2πΑmiddotσυν[2π(t‒2)+ φ0 ] t ge 2 sec Αgt0 0le φ0 lt2π (36β)

Για t=t0=2 sec οι παραπάνω σχέσεις (36) και (36β) αποmicroάκρυνσης και ταχύτητας αντί-

στοιχα δίνουν

110

2

2 minussdotminus =Αηmicroφ0 και π110 2 minus =2πΑσυνφ0

Από όπου

Α=10-1

m 2

20 minus=ηmicroϕ και

2

2 0=συνϕ

Τελικά και microε δεδοmicroένο ότι 0le φ0 lt2π προκύπτει

Α=10-1

m και rad 4

70

πϕ =

Από τη σχέση (36) προκύπτει η εξίσωση κίνησης

x=10-1

middotηmicro[2π(t-2)4

7π+ ) microε t ge2 sec (37)

δηλαδή η

x=10-1

middotηmicro(2πt 4

9πminus ) (SI) microε t ge2 sec (38)

Κατά συνέπεια η φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση κίνησης (38) είναι

φ= 4

9t2

ππ minus microε t ge2 sec

και η αρχική φάση

rad 4

7

4

9220

πππϕ =minus=

τιmicroή την οποία εξάλλου έχουmicroε ήδη βρει

10

2ο παράδειγmicroα

Υλικό σηmicroείο εκτελεί (απλή) αρmicroονική ταλάντωση που περιγράφεται από την εξίσωση

x=10-1

middotηmicro(2πt 4

9πminus ) (SI) microε t ge2 sec (39)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης x στη δεδοmicroένη microορφή της εξίσω-

σης κίνησης στη δεδοmicroένη δηλαδή microορφή της εξίσωσης αρmicroονικής ταλάντωσης

Λύση

α΄ τρόπος Με τη χρήση των σχέσεων (24) έως (27)

Την εξίσωση κίνησης που microας δίνουν φέρνουmicroε στη microορφή και τους περιορισmicroούς

της συνάρτησης (24)

x=Amiddotηmicro(2πt + C4) microε t ge2 sec Αgt0 και C4 πραγmicroατικός (40)

Τότε η φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ=2πt+C4 t ge2 sec RC4 isin (40α)

και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ0=2π2+C4 microε τον ισχυρό περιορισmicroό 0le φ0 lt2π (40β)

Εποmicroένως όλο το πρόβληmicroα εντοπίζεται στον υπολογισmicroό της σταθεράς C4

Ας τον κάνουmicroε

Για να έχει η εξίσωση κίνησης (39) που microας δίνουν τη microορφή της σχέσης (40) για όλες

τις χρονικές στιγmicroές tge2 sec πρέπει να ισχύει

Α=10-1

m και ηmicro(2πt + C4)= ηmicro(2πt 4

9πminus )

και συνεπώς πρέπει

C4=2kπ4

9πminus (40γ)

Τότε η φάση και η αρχική φάση λόγω των σχέσεων (40α) (40β) και (40γ) θα είναι

φ=2πt+2kπ4

9πminus t ge2 sec

φ0=4π+2kπ4

9πminus

Απαιτώντας 0le φ0 lt2π προκύπτει k=0

Άρα η φάση της αποmicroάκρυνσης στην (40) και κατά συνέπεια στην εξίσωση κίνησης

(39) που microας δίνουν είναι

φ=4

π9πt2 minus microε t ge2 sec

και η αρχική φάση είναι

φ0=4

7π

11

β΄ τρόπος Με τη χρήση των σχέσεων (28) και (29)

Την εξίσωση κίνησης που microας δίνουν φέρνουmicroε στη microορφή και τους περιορισmicroούς

της συνάρτησης (28)

x=Amiddotηmicro[2π(t‒2)+ φ0 ] t ge 2 sec Agt0 0le φ0lt2π (41)

Τότε η φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ=2π(t‒2)+ φ0 (41α)

και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ0

Εποmicroένως όλο το πρόβληmicroα εντοπίζεται στον υπολογισmicroό της φ0

Ας τον κάνουmicroε

Μετασχηmicroατίζουmicroε την εξίσωση κίνησης (39) που microας δίνουν ώστε να αποκτήσει τη microορ-

φή της σχέσης (41)

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒2)+4πminus4

9π] t ge 2 sec

και τελικά

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒2)+4

7π] (SI) t ge 2 sec (42)

Άρα η φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση κίνησης (42) και κατά συνέπεια στην εξί-

σωση κίνησης (39) που microας έδωσαν είναι

φ=2π(t‒2)+4

7π=

4

π9πt2 minus microε t ge2 sec

και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ0=4

7π

Σηmicroειώσεις

α) Από το παραπάνω παράδειγmicroα φαίνεται η ευκολία microε την οποία λύνεται το πρόβληmicroα

της φάσης και της αρχικής φάσης microε τον β΄ τρόπο αν φέρουmicroε δηλαδή την εξίσωση κίνη-

σης που microας δίνουν στη microορφή της συνάρτησης (28) microε τους περιορισmicroούς όmicroως που ακο-

λουθούν αυτή τη microορφή Τον τρόπο αυτόν θα ακολουθήσουmicroε και στο επόmicroενο παράδειγmicroα Ίσως κάποιος πει γιατί να τα κάνουmicroε όλα αυτά αφού θα microπορούσαmicroε και microόνο microε παρα-

τήρηση σύγκριση και microε microια αντικατάσταση στην εξίσωση κίνησης (39) που microας δίνουν να

βρούmicroε αυτά που ζητάmicroε πολύ πιο εύκολα

Ο λόγος της ευκολίας που πιθανώς να διακρίνει κάποιος οφείλεται στο γεγονός ότι η (39)

ήταν σχέση laquomicroαγειρεmicroένηraquo Είχε ετοιmicroαστεί από το πρώτο παράδειγmicroα Τα πράmicroατα όmicroως

δε θα είναι πάντα τόσο ευδιάκριτα Θα το διαπιστώσουmicroε στο επόmicroενο παράδειγmicroα

12

β) Η εξίσωση κίνησης (39) που microας δώσανε

x=10-1

middotηmicro(2πt 4

9πminus ) (SI) microε t ge2 sec

είναι microαθηmicroατικά ισοδύναmicroη microε την

x=10-1

middotηmicro(2πt 4

πminus ) (SI) microε t ge2 sec

Κατά συνέπεια αυτή η τελευταία θα microπορούσε κάλλιστα να δοθεί στη θέση της πρώτης

Μήπως αυτό θα επηρέαζε τη φάση και την αρχική φάση που θα βρίσκαmicroε γεγονός που

θα καθιστούσε και τους ορισmicroούς και τις έννοιες άχρηστες

Η απάντηση είναι όχι Οποιαδήποτε microαθηmicroατικά ισοδύναmicroη σχέση και να χρησιmicroοποιήσουmicroε ως εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης εφό-σον ακολουθήσουmicroε microε συνέπεια όσα αναφέραmicroε θα καταλήξουmicroε στην ίδια σχέση για τη φάση και στην ίδια τιmicroή για την αρχική φά-ση

Το γεγονός αυτό δείχνει τη συνέπεια των ορισmicroών που δώσαmicroε για φάση και αρχική φάση

Συνεπώς αν τους υιοθετήσουmicroε που τουλάχιστον βουβά microέχρι τώρα το έχουmicroε ήδη κάνει

στη φυσική δεν θα έχουmicroε αντιφάσεις

γ) Ο λόγος που στην εξίσωση (39) χρησιmicroοποιήσαmicroε το 4

9πminus και όχι το ισοδύναmicroο

4

πminus

ήταν για να δείξουmicroε ότι αυτός που θα microας δώσει microια εξίσωση κίνησης δεν είναι υποχρεω-

microένος να την έχει επεξεργαστεί και να έχει υιοθετήσει κάποιες φόρmicroες ή να έχει προσέξει τις

microαθηmicroατικές ισοδυναmicroίες

Αυτός που θα microας δώσει την εξίσωση κίνησης είναι ελεύθερος να microας δώσει ότι θέλει (microαθηmicroατικά ισοδύναmicroο) αρκεί να δώσει όπως οφείλει να δώσει σε κάθε συνάρτηση το πεδίο ορισmicroού της

3ο παράδειγmicroα

Υλικό σηmicroείο εκτελεί (απλή) αρmicroονική ταλάντωση που περιγράφεται από την εξίσωση κίνη-

σης

x=10-1

middotηmicro(4

πt

3

10π+ ) (SI) microε t ge minus3 sec (41)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης στη δεδοmicroένη microορφή εξίσωσης κί-

νησης

Λύση

Μετασχηmicroατίζουmicroε τη σχέση (41) ώστε να αποκτήσει τη microορφή της σχέσης (28) δηλαδή

να αποκτήσει τη microορφή

x=Amiddotηmicro[ω(t‒t0)+φ0 ] t ge Rt0 isin Agt0 0le φ0 lt2π

13

Πράγmicroατι η (41) γίνεται

x=10-1

middotηmicro[4

π(t+3)minus

4

3π +

3

10π ] t ge -3 sec

ή x=10-1

middotηmicro[4

π(t+3)+

12

31π ] t ge -3 sec

Αφαιρώ (ή προσθέτω αν microε βολεύει) ακέραιο πολλαπλάσιο του 2π προκειmicroένου να δη-

microιουργήσω θετική αρχική φάση περιορισmicroένη σε έναν τριγωνοmicroετρικό κύκλο

x=10-1

middotηmicro[4

π(t+3)minus2π+

12

31π ] t ge -3 sec

και τελικά

x=10-1

middotηmicro[4

π(t+3)+

12

7π ] (SI) microε t ge -3 sec (42)

Άρα η φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση κίνησης (42) και κατά συνέπεια στην εξί-

σωση κίνησης (41) που microας έδωσαν είναι

φ=4

π(t+3)+

12

7π=

4

πt+

3

4π microε t ge-3 sec

και άρα η αρχική φάση θα είναι

φ0=12

7π rad

Σηmicroείωση

Θα είχαmicroε καταλήξει στην ίδια ακριβώς σχέση για τη φάση και στην ίδια τιmicroή

για την αρχική φάση ακόmicroη και αν αρχίζαmicroε από οποιαδήποτε εξίσωση microαθη-

microατικά ισοδύναmicroη microε τη δεδοmicroένη εξίσωση κίνησης όπως πχ από την

x=10-1

middotηmicro(4

πt

3

4π+ ) (SI) microε t ge minus3 sec

Αρκεί η σχέση που θα microας έδιναν να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση να

ήταν ισοδύναmicroη microαθηmicroατικά microε την (41) και κατά συνέπεια να είχε το ίδιο πε-

δίο ορισmicroού microε αυτή

raquo

14

Γ Συmicroπέρασmicroα

(ένας απλός τρόπος υπολογισmicroού φάσης και αρχικής φάσης) Με τα παραπάνω θεmicroελιώνεται microαθηmicroατικά ένας πολύ απλός τρόπος εύρεσης της φάσης

και της αρχικής φάσης σε microια τυχαία εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία microας δίνουν

ή στην οποία καταλήγουmicroε microετά από διάφορους microαθηmicroατικούς microετασχηmicroατισmicroούς

Απαίτηση όmicroως για την εφαρmicroογή αυτού του τρόπου είναι η παρουσία του πεδίου ορισmicroού

της συνάρτησης κάτι που στο κάτω-κάτω είναι και απαίτηση κάθε σοβαρής microαθηmicroατικής

αντιmicroετώπισης

Ας τον δούmicroε

Έστω για παράδειγmicroα ότι microε οποιονδήποτε microαθηmicroατικά σωστό τρόπο καταλήγουmicroε

στην εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης

χ=Αηmicro(ωt+θ) microε t ge t0 (60)

Επειδή οι microαθηmicroατικές microεθοδολογίες δεν ενδιαφέρονται για τις αγωνίες ενός φυσικού δεν είναι καθόλου υπο-χρεωmicroένες να εξασφαλίσουν ότι η ποσότητα θ θα είναι αρχική φάση ούτε ότι η ποσότητα ωt+θ θα είναι φά-ση

Αυτές οι έννοιες αφορούν τον φυσικό ο οποίος θα πρέπει πρώτα να τις ορίσει microε αυστηρότητα (και αυτό microπο-ρεί να γίνει microόνο microέσα από την ξεχωριστή εσωτερική λειτουργία των διαφορικών εξισώσεων όπως έχουmicroε ήδη επισηmicroάνει) και κατόπιν να χρησιmicroοποιήσει την εγγύηση των microαθηmicroατικών για να εξασφαλίσει ότι η αυστηρότητα των ορισmicroών του θα είναι όχι απλά συνεπέστατη λογικά αλλά κυρίως ότι θα δώσει την εγγύηση πως δεν θα προκύψουν παρανοήσεις

Έτσι λοιπόν το θ που θα προκύψει από τους microαθηmicroατικούς microετασχηmicroατισmicroούς

microπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγmicroατικός αριθmicroός

Τότε

1ο βήmicroα Στην (60) εmicroφανίζουmicroε την αρχική τιmicroή του χρόνου t0 γράφοντάς

την microε τη microορφή

x=Aηmicro[ω(t-t0)plusmnθ΄] microε t ge t0

2ο βήmicroα Αν η θ΄ στο όρισmicroα του ηmicroίτονου είναι microέσα σε ένα τριγωνοmicroε-

τρικό κύκλο αυτή είναι η αρχική φάση Αλλιώς προσθέτουmicroε ή

αφαιρούmicroε ακέραια πολλαπλάσια του 2π ώστε microετά την παρά-

σταση ω(t-t0) να εξασφαλίσουmicroε laquoγωνίαraquo φ0 η οποία να είναι

microέσα στον τριγωνοmicroετρικό κύκλο που έχουmicroε επιλέξει

Να είναι δηλαδή στο διάστηmicroα [0 2π) ή στο [-π π) κλπ

x=Aηmicro[ω(t-t0)+φ0] microε t ge t0 (60α)

3ο βήmicroα Η ποσότητα φ=ω(t-t0)+φ0 είναι η φάση και φ0 είναι η αρχική

φάση στη σχέση (60α) Άρα και στην (60) που microας έδωσαν

Τον παραπάνω τρόπο εφαρmicroόσαmicroε ήδη στο 3ο παράδειγmicroα

15

Δ Κύmicroατα

Το έχω ξαναπεί αλλά θα το ξαναπώ γιατί νοmicroίζω ότι microόνο έτσι microόνο όταν πιστέψουmicroε

στα λάθη που microας βάζουνε και διδάσκουmicroε κάποια στιγmicroή θα βρεθούν κάποιοι ικανοί που

θα βρουν τρόπο να ζητήσουν ευθύνες από όλους εκείνους που χρόνια τώρα microας βουλιάξανε

microας βουλιάζουνε και θα βουλιάξουνε γενιές ανθρώπων στα λάθη γράφοντας πανεπιστηmicroια-

κά βιβλία χωρίς ποτέ να microπουν στον κόπο να ξαναψάξουν αυτά που γράφουν

Το κεφάλαιο laquoΚύmicroαταraquo που διδάσκουmicroε είναι το λιγότερο λανθασmicroένο Λανθασmicroένο

πιο πολύ από τις ταλαντώσεις γιατί τα laquoκύmicroαταraquo κουβαλάνε όλα τα λάθη των ταλα-

ντώσεων και κάτι ακόmicroη που είναι πιο τραγικά λανθασmicroένο Τη διάδοση

Η διδασκαλία microας στο κεφάλαιο laquoΚύmicroαταraquo ΔΥΣΤΥΧΩΣ ΣΤΗΡΙΖΕΤΑΙ ΣΤΗ ΔΙΑ-

ΔΟΣΗ ΤΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ

Μα αυτά που διδάσκουmicroε ούτε laquoκύmicroαταraquo είναι ούτε διαδίδονται

Και έτσι εmicroείς οι απλοί φυσικοί της γειτονιάς γινόmicroαστε τραγικές φιγούρες microιας και microετά

από ένα κεφάλαιο γεmicroάτο λάθη όπως είναι οι laquoταλαντώσειςraquo αναγκαζόmicroαστε να λέmicroε να

βρίσκουmicroε να διδάσκουmicroε να microπαλώνουmicroε και να εmicroπλουτίζουmicroε microε ασκήσεις το δεύτερο

κεφάλαιο laquoΤα κύmicroαταraquo που είναι ακόmicroη πιο λανθασmicroένο

Η εmicroπειρία microου ως αεί υφιστάmicroενος τόσων και τόσων σε ένα Υπουργείο Παιδείας που η-

δονίζεται να αλλάζει ονόmicroατα microόνο και όχι ουσία microου λέει τούτο το απλό

Όταν τόσοι φυσικοί δυσκολευόmicroαστε κάποιες φορές να κατανοήσουmicroε αυτά που διδάσκου-

microε και που γράφει ένα σχολικό βιβλίο προορισmicroένο για microαθητές λυκείου σίγουρα κάποιοι

άλλοι κάνανε χοντρά λάθη ως laquomicroέντορεςraquo (γελοιοποίηση microιας ακόmicroη όmicroορφης αρχαίας λέ-

ξης) και microας βάλανε να διδάξουmicroε τα λάθη τους microε τέτοιο τρόπο που στο τέλος

ξεχάσαmicroε ότι ήταν δικά τους λάθη και νοmicroίσαmicroε ότι όλα ήταν δικά microας σω-

στά

Παρακάmicroπτω λοιπόν την ανύπαρκτη φυσική της συmicroβολής των laquoκυ-

microάτωνraquo που διδάσκουmicroε και χρησιmicroοποιώντας microόνο την ορολογία της θα προσπα-

θήσω microέσα από microια microατιά laquoγυmicroνάraquo microαθηmicroατική να εφαρmicroόσω στο συγκεκριmicroένο laquoφαινόmicroε-

νοraquo όσα προαναφέραmicroε Επικαλούmicroενος και ελπίζοντας microόνο στην αυστηρότητα του ορισmicroού

Αν εφαρmicroόσουmicroε microε συνέπεια τους αυστηρούς ορισmicroούς της φάσης και της αρχικής φάσης

που δώσαmicroε κι αν σε φαινόmicroενα ίδιας ποιότητας δεν αρνηθούmicroε τις microαθηmicroατικές πορείες

που καταγράψαmicroε κι ακολουθήσαmicroε στις τρεις προηγούmicroενες αναρτήσεις laquoΟρισmicroοί και

εξισώσεις κίνησης α΄ β΄ και γ΄ microέροςraquo τότε δε θα υπάρξουν συλλογιστικά αδιέξοδα

Ας το δούmicroε (τα σύmicroβολα που χρησιmicroοποιούνται θεωρούνται αυτονόητα)

Στην εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης

minus=λ

πηmicro 11

r

T

t2Ay microε

υ1rt ge (61)

16

που επιβάλλει στο τυχαίο σηmicroείο Μ το πρώτο laquoκύmicroαraquo όταν έχει διαδοθεί microόνο του οι έν-

νοιες της φάσης και της αρχικής φάσης είναι καθορισmicroένες microε απόλυτη σαφήνεια αρκεί να

microην ξεχάσουmicroε το πεδίο ορισmicroού

φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (61)

λππ

ϕ 1r2

T

t2minus= microε

υ1rt ge

αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (61)

φ0=0 rad

Στην εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης

minus=λ

πηmicro 22

r

T

t2Ay microε

υ2rt ge (62)

που επιβάλλει στο τυχαίο σηmicroείο Μ το δεύτερο laquoκύmicroαraquo όταν έχει διαδοθεί microόνο του οι έν-

νοιες της φάσης και της αρχικής φάσης είναι καθορισmicroένες microε απόλυτη σαφήνεια αρκεί να

microην ξεχάσουmicroε το πεδίο ορισmicroού

φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (62)

λππ

ϕ 2r2

T

t2minus= microε

υ2rt ge

αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (62)

φ0=0 rad

Μετά τη laquoσυmicroβολή των δύο κυmicroάτωνraquo η εξίσωση ταλάντωσης του ση-

microείου Μ είναι

minus+

minus=+=λ

πηmicroλ

πηmicro 2121

r

T

t2A

r

T

t2Ayyy microε

geυυ

21 r

rmax t (63)

Στη σχέση (63) οι έννοιες laquoφάσηraquo και laquoαρχική φάσηraquo δεν ορίζο-

νται Δεν υπάρχουν

Η κίνηση που αποδίδεται microε τη σχέση (63) είναι επαλληλία των εξισώσεων κίνησης δύο

αρmicroονικών ταλαντώσεων (επαλληλία δύο αρmicroονικών συναρτήσεων δηλαδή και όχι πραγmicroα-

τικών κινήσεων) ίδιας διεύθυνσης ίδιας συχνότητας και ίδιας laquoθέσης ισορροπίαςraquo

17

Είναι επαλληλία των συναρτήσεων y1 και y2

Η σύνθεσή τους η y δηλαδή είναι microια (πραγmicroατική) αρmicroονική ταλάντωση ίδιας διεύθυν-

σης ίδιας συχνότητας και ίδιας θέσης ισορροπίας microε τις συνιστώσες εξισώσεις κίνησης ή

καλύτερα microε τους προσθετέους της (63)

Όπως είναι γραmicromicroένη η εξίσωση (63) δεν έχουmicroε κανένα δικαίωmicroα να microιλάmicroε

ούτε για laquoφάσηraquo ούτε για laquoαρχική φάσηraquo

Για να αποκτήσουmicroε αυτό το δικαίωmicroα πρέπει να τη φέρουmicroε σε microορφή που να διαθέτει

ένα microόνο τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό και δη ή microόνο ένα ηmicroίτονο ή microόνο ένα συνηmicroίτονο

Με άλλα λόγια

αν θέλουmicroε να microιλάmicroε για φάση και αρχική φάση στην σχέση (63) εξίσωση συmicroβολής των

κυmicroάτων θα πρέπει να τη φέρουmicroε στη microορφή

( )0t Ay ϕωηmicro prime+prime=

ή στη microορφή

( )0t Ay ϕωσυν primeprime+primeprime=

Τότε όmicroως

για να microην καταρρεύσουν αmicroφότεροι οι ορισmicroοί κι εποmicroένως και οι έννοιες

της φάσης και της αρχικής φάσης θα πρέπει να φροντίσουmicroε η αρχική φάση

να περιοριστεί σε ένα τριγωνοmicroετρικό κύκλο

για να αποφύγουmicroε κάθε επικίνδυνη ρευστότητα θα πρέπει να τεθεί οπωσ-

δήποτε το πεδίο ορισmicroού της συνάρτησης

για να microην υπάρξουν συλλογιστικά αδιέξοδα θα πρέπει να ακολουθήσουmicroε

microε συνέπεια την πορεία που καταγράψαmicroε στα παραδείγmicroατα 1-3 για τον

υπολογισmicroό φάσης και αρχικής φάσης ή έστω να εφαρmicroόσουmicroε τον απλό

τρόπο που καταγράφεται στη σελίδα 14

Ο microετασχηmicroατισmicroός της (63) ώστε να περιέχει ένα microόνο τριγωνο-

microετρικό αριθmicroό microπορεί να γίνει microε διάφορους τρόπους

1ος τρόπος Χρησιmicroοποιώντας τους τύπους της επαλληλίας εξισώσεων κίνησης

Αν έχουmicroε αριθmicroητικά δεδοmicroένα και δε θέλουmicroε να microπλεχτούmicroε microε πολλά microαθηmicroατικά

microπορούmicroε να χρησιmicroοποιήσουmicroε τους τύπους του σχολικού βιβλίου για την επαλληλία εξι-

σώσεων αρmicroονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης ίδιας συχνότητας και ίδιας θέσης ισορ-

ροπίας

Τους τύπους αυτούς όmicroως θα πρέπει να ισχυροποιήσουmicroε ώστε να συmicroπεριλάβουν περι-

πτώσεις όπου και οι δύο ταλαντώσεις έχουν αρχική φάση και να εmicroπλουτίσουmicroε microε έναν ε-

πιπλέον τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό ή microε κάποια επιπλέον microαθηmicroατική microας δεξιότητα microιας και η

σχέση microε την εφθ microόνη της δε microπορεί να προσδιορίσει την αρχική φάση θ έστω κι αν αυτή

περιοριστεί σε έναν τριγωνοmicroετρικό κύκλο

18

( Επαλληλία εξισώσεων αρmicroονικών ταλαντώσεων

x1=Α1middotηmicro(ωt+φ1) και x2=Α2middotηmicro(ωt+φ2)

x=x1+ x2=Aηmicro(ωt+θ)

όπου )(AA2AAA 21212

22

1 ϕϕσυν minus++= Α

ηmicroϕΑηmicroϕΑηmicroϑ 2211 +

= (64)

2211

2211

AA

AA

συνϕσυνϕηmicroϕηmicroϕ

εϕϑ+

+=

ΑσυνϕΑσυνϕΑ

συνϑ 2211 +=

microε 0leθlt2π

Τέτοιου είδους αντιmicroετωπίσεις έχουν ήδη καταχωρηθεί στο δίκτυο)

2ος τρόπος Μετασχηmicroατίζουmicroε την (63) και φτάνουmicroε στη microορφή

+minussdot

minus=

λΤπηmicro

λπσυν

2

rrt2

2

rr2A2y 2121 microε

geυυ

21 r

rmax t (65)

Αφού φιλοδοξούmicroε η (65) να περιγράφει πραγmicroατική κίνηση (κι όχι να είναι κα-

νένας προσθετέος σε επαλληλία εξισώσεων κίνησης) και επιθυmicroούmicroε οι έννοιες laquoφάσηraquo και

laquoαρχική φάσηraquo να έχουν νόηmicroα θα πρέπει ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ να χειρι-

στούmicroε την (65) microε τους τρόπους που δείξαmicroε στα παραδείγmicroατα 1-3

Αν δηλαδή επιθυmicroούmicroε να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση στην

(65) θα πρέπει να χρησιmicroοποιήσουmicroε ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ το πεδίο ορισmicroού

της και τον περιορισmicroό της αρχικής φάσης σε ένα τριγωνοmicroετρικό κύκλο

(Το να χειριστούmicroε τη σχέση (65) γενικά ώστε να εmicroφανιστούν γενικοί περιορισmicroοί στο πεδίο ορισmicroού και στην

αρχική φάση του ενός τριγωνοmicroετρικού κύκλου νοmicroίζω ότι θα είναι άσκοπο microιας και ο χρόνος που θα απαιτήσει

η γραφή αυτή θα ΄ναι microεγάλος και η αξία των τύπων ελάχιστη Γι΄ αυτό καταφεύγω σε παραδείγmicroατα)

4ο παράδειγmicroα

Έστω ότι σε κάποιο πρόβληmicroα συmicroβολής κυmicroάτων y1= και y2= αντικαθι-

στούmicroε τα δεδοmicroένα στην εξίσωση της συmicroβολής (65) και βρίσκουmicroε ότι το σηmicroείο Μ που απέ-

χει r1= και r2= από τις πηγές ταλαντώνεται αρmicroονικά microε εξίσωση

y=10-1

middotηmicro(2πt 4

11πminus ) (SI) microε t ge 6 sec (66)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης του Μ στην (66)

19

Λύση

1ος τρόπος

Κάνουmicroε ότι κάναmicroε στο παράδειγmicroα 2 στη σελίδα 10 ή στο παράδειγmicroα 3 στη σελίδα 12 αυ-

τής της ανάρτησης

2ος τρόπος

Για πιο γρήγορα ακολουθούmicroε τα βήmicroατα της σελίδας 14

1ο βήmicroα Μετασχηmicroατίζουmicroε την εξίσωση κίνησης (66) ώστε να εmicroφανιστεί η

αρχική τιmicroή χρόνου 6 sec microέσω της microορφής ω(t-t0)=2π(t-6)

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+12πminus4

11π] t ge 6 sec

και τελικά

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

37π] (SI) t ge 6 sec (67)

2ο βήmicroα Στο όρισmicroα του ηmicroίτονου microετά την ποσότητα 2π(t-6) η laquoγωνίαraquo 4

37π

δεν είναι microέσα στο διάστηmicroα [02π) που έχουmicroε υιοθετήσει ως περιορι-

σmicroό της αρχικής φάσης

Εποmicroένως πρέπει να αφαιρέσουmicroε κατάλληλα ακέραια πολλαπλάσια

του 2π

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

37πminus4middot2π] (SI) t ge 6 sec

από όπου τελικά

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

5π] (SI) t ge 6 sec (67α)

3ο βήmicroα Στην (67α) που καταλήξαmicroε microε την παραπάνω διαδικασία

η φάση είναι φ=2π(t‒6)+4

5π microε t ge 6 sec

και η αρχική φάση είναι φ0=4

5π rad

Το ίδιο συνεπώς θα ισχύει και για την (67)

Βέβαια όλα τα παραπάνω microπορούν να γίνουν πολύ πιο γρήγορα αρκεί να έ-

χουmicroε στο microυαλό microας ότι για να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση σε microια

εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία microας έδωσαν ή στην οποία καταλήξα-

microε θα πρέπει να τη microετασχηmicroατίσουmicroε ώστε

να εmicroφανίσουmicroε την αρχική τιmicroή του χρόνου microε τη microορφή που είπαmicroε

να εξασφαλίσουmicroε ότι ο προσθετέος που δεν περιέχει χρόνο είναι σε

διάστηmicroα ενός τριγωνοmicroετρικού κύκλου και microάλιστα στη microορφή που έ-

χουmicroε επιλέξει για την αρχική φάση ([02π) ή [-ππ) ή )

20

5ο παράδειγmicroα

Έστω ότι σε κάποιο πρόβληmicroα συmicroβολής κυmicroάτων y1= και y2= αντικαθι-

στούmicroε τα δεδοmicroένα στην εξίσωση της συmicroβολής (65) και βρίσκουmicroε ότι το σηmicroείο Μ που απέ-

χει r1= και r2= από τις πηγές ταλαντώνεται αρmicroονικά microε εξίσωση

y=minus10-1

middotηmicro(2πt4

9πminus ) (SI) microε t ge 05 sec (68)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης του Μ στην (68)

Λύση

Η (68) γίνεται διαδοχικά

y=minus10-1

middotηmicro(2πt4

9πminus ) = 10

-1middotηmicro(2πt+π

4

9πminus )=10

-1middotηmicro(2πt

4

5πminus )=10

-1middotηmicro[2π(tminus05)

4

πminus ]

και τελικά

y=10-1

middotηmicro[2π(tminus05)4

7π+ ] (68α)

Η (68α) έχει εmicroφανίσει την αρχική τιmicroή χρόνου 05 sec στη microορφή που θέλουmicroε και προ-

σθετέο 4

7π που δεν περιέχει χρόνο t και βρίσκεται στο διάστηmicroα [02π)

Άρα η φάση και η αρχική φάση της (68) είναι ίδιες microε εκείνες της (68α)

∆ηλαδή

Φάση φ=2π(tminus05)4

7π+ =2πt

4

3π+ microε t ge 05 sec

Αρχική φάση rad 4

7π0 =ϕ

Φάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολή

Ο Νίκος (Ανδρεάδης) microε δύο ευφυέστατες αναρτήσεις

laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολήraquo

laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολή-Μέρος δεύτεροraquo

που βρίσκονται στη διεύθυνση

httpylikonetgrprofilesblogsphhaseis-kai-antiphhaseis-ste

microας ώθησε να ακούσουmicroε κάποιους τριγmicroούς από την ψεύτικη πραγmicroατικότητα των

κυmicroάτων που διδάσκουmicroε

21

Γράφει λοιπόν

laquoΝ=6 1r 15= m

1 2r r 6 λminus = sdot

2r 03= m

Για t 3ge s η εξίσωση κίνησης προκύπτει από την επαλληλία των εξισώσεων

11

2πr2πty A ηmicro

T λ

= sdot minus

και 2

2

2πr2πty A ηmicro

T λ

= sdot minus

Μετά από πράξεις

( )1y 01 ηmicro 5πt 15π= sdot minus και ( )2

y 01 ηmicro 5πt 3π= sdot minus

Σύmicroφωνα microε τη σχέση 1 2 1 2r r r r2πt

y 2A συν 2π ηmicro π2λ T λ

minus += sdot sdot minus

microετά από πράξεις προκύπτει

( )y 02 ηmicro 5πt 9π= sdot minus

Η φάση (της αποmicroάκρυνσης στην παραπάνω εξίσωση) δίνεται από τη σχέση φ 5πt 9π= minus

Για t 3= s (προκύπτει η αρχική) φάση (η οποία) είναι 6π rad

παρατηρούmicroε ότι 7 σηmicroεία του microέσου τα οποία ξεκινούν την ίδια στιγmicroή την ίδια κίνηση από τη θέ-

ση ισορροπίας microε θετική ταχύτητα περιγράφονται microε διαφορετικές εξισώσεις και την στιγmicroή της εκκί-

νησης έχουν διαφορετική φάση

Οι απορίες microου

Ποιο είναι το φυσικό νόηmicroα των τιmicroών 0π 2π 4π 6π και 8π

Έχει νόηmicroα να ζητήσουmicroε τη διαφορά φάσης ενός από αυτά τα σηmicroεία microε microια πηγή

Αν όmicroως δούmicroε το θέmicroα ως σύνθεση δύο ταλαντώσεων που βρίσκονται σε συmicroφωνία φάσης καταλή-

γουmicroε αmicroέσως στο συmicroπέρασmicroα ότι και στις 7 περιπτώσεις η κίνηση για t 3ge s περιγράφεται από την

εξίσωση ( )y 02 ηmicro 5πt 15π= sdot minus (SI)

Η φάση δίνεται από τη σχέση φ 5πt 15π= minus (SI)

Για t 3= s η (αρχική) φάση είναι 0π rad ∆ηλ τη στιγmicroή της εκκίνησης έχουmicroε microηδενισmicroό της φάσης

για τα 7 σηmicroεία κάτι λογικό αφού τότε και τα 7 ξεκινούν microια νέα κίνηση από τη θέση ισορροπίας microε

θετική ταχύτηταraquo

Στους προβληmicroατισmicroούς που έθεσε ο Νίκος θα επιχειρήσω microια το-

ποθέτηση

Κατά τη γνώmicroη microου το microόνο που microπορεί να microας γλιτώσει από το παραπάνω παράδοξο είναι

η microαθηmicroατική αυστηρότητα microε την οποία φροντίσαmicroε να εφοδιάσουmicroε (και έτσι πρέπει

να γίνεται πάντα αν και πολλές φορές τούτο το απλό το ξεχνάmicroε) τους ορισmicroούς φάση και

αρχική φάση

Η αντίρρησή microου επικεντρώνεται στη φράση

laquoη φάση στην εξίσωση ( )y 02 ηmicro 5πt 9π= sdot minus δίνεται από τη σχέση φ 5πt 9π= minus raquo

η οποία εξάλλου είναι και η υπεύθυνη για τις αντιφάσεις που έχει εντοπίσει ο Νίκος

Προκειmicroένου να βρεθούν η φάση και η αρχική φάση στην εξίσωση microιας αρmicroονικής

ταλάντωσης πρέπει να ακολουθηθούν ορισmicroένες διαδικασίες

22

Αυτό δεν είναι ούτε σωσίβιο ούτε σοφιστεία ούτε κάποια κίνηση απελπισίας Είναι η ου-

σία του ορισmicroού που υιοθετήσαmicroε για τις δύο αυτές έννοιες

Η αυστηρότητα των ορισmicroών που δώσαmicroε ως φυσικοί εξασφαλίζει ότι τα microαθηmicroατικά όχι

microόνο θα microπορέσουν να εγγυηθούν τη συνέπεια των συλλογισmicroών και αποτελεσmicroάτων microας

αλλά θα ενσωmicroατώσουν microέσα τους τελείως διαφανείς πορείες απαραίτητες για την αυτοδυ-

ναmicroία και ισχύ του φυσικού έστω κι αν ένας microαθηmicroατικός αδιαφορήσει τελείως γι΄ αυτές

Αυτό δεν είναι παραλογισmicroός αλλά συνειδητοποίηση του διαφορετικού ρόλου

και της διαφορετικής ευθύνης των δύο ειδικοτήτων˙ του φυσικού και του microαθη-

microατικού

Κοντολογίς

Προκειmicroένου να διατηρήσουmicroε το δικαίωmicroα να χρησιmicroοποιούmicroε στο λεξιλόγιό microας τις λέξεις

φάση και αρχική φάση επιβάλλεται από τα microαθηmicroατικά να είmicroαστε συνεπείς microε τους ορι-

σmicroούς που τους δώσαmicroε και να τις χειριζόmicroαστε microε ειδικό τρόπο σε καθορισmicroένες πορείες

Αν δε το κάνουmicroε αυτό τα microαθηmicroατικά θα microας γυρίσουν την πλάτη

κι εmicroείς θα βουλιάξουmicroε στις παρανοήσεις στα αδιέξοδα και τις λο-

γικές ασυνέπειες

Σύmicroφωνα λοιπόν microε όσα έχουν αναφερθεί για να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση στην εξίσωση κίνησης

y=02middotηmicro(5πtminus9π) microε tge3 sec (69)

πρέπει να εmicroφανίσουmicroε microέσα της την αρχική τιmicroή του χρόνου 3 sec και να αφαιρέσουmicroε τα

ακέραια πολλαπλάσια του 2π microε τέτοιο τρόπο ώστε η αρχική φάση να είναι microέσα στη microορ-

φή του τριγωνοmicroετρικού κύκλου που υιοθετήσαmicroε

Πράγmicroατι η (69) γίνεται

y=02middotηmicro(5πtminus9π)=02middotηmicro[5π(t-3)+6π]

και τελικά

y=02middotηmicro[5π(t-3)+0] microε tge3 sec (69α)

Η (69α) και κατά συνέπεια και η (69) έχουν

Φάση φ=5π(t-3)+0=5πt-15π microε tge3 sec

Αρχική φάση φ0=0 rad

Νοmicroίζω ότι τώρα πια δεν υπάρχει καmicroιά αντίφαση microιας και όλες οι συλλογιστικές και όλες

οι microαθηmicroατικές πορείες θα δώσουν ακριβώς τα ίδια αποτελέσmicroατα

α) Και τα επτά σηmicroεία Ν=0 έχουν την ίδια φάση φ=5πt-15π microε tge3 sec και την ί-

δια αρχική φάση φ0=0 rad

23

β) Υπάρχει απόλυτη συλλογιστική συνέπεια σε όλα αφού όπως έχει ήδη επισηmicroάνει ο Νί-

κος laquoκαι τα 7 σηmicroεία πρέπει να έχουν την ίδια φάση και αρχική φάση αφού ξεκινούν microια

νέα κίνηση από τη θέση ισορροπίας microε θετική ταχύτηταraquo

γ) Είτε χρησιmicroοποιηθούν οι τύποι σύνθεσης ταλαντώσεων είτε χρησιmicroοποιηθεί ο τύ-

πος της συmicroβολής κυmicroάτων είτε οποιαδήποτε άλλη microαθηmicroατική διαδροmicroή τα αποτελέ-

σmicroατα φάσης και αρχικής φάσης θα είναι απολύτως ίδια

δ) laquoΚάθε κίνηση έχει φάση που microας πληροφορεί για πόσο χρόνο παρακολουθούmicroε τη συ-

γκεκριmicroένη κίνησηraquo

ε) Απορία

laquoΠοιο είναι το φυσικό νόηmicroα των τιmicroών 0π 2π 4π 6π και 8πraquo

Απάντηση

laquoοι τιmicroές 0π 2π 4π 6π και 8π που προκύπτουν microε (απλή-ανώδυνη) εφαρmicroογή της γνω-

στής σχέσης ηmicroΑ+ηmicroΒ=hellip δεν έχουν κανένα γνωστό ωφέλιmicroο φυσικό νόηmicroαraquo

Η εφαρmicroογή της σχέσης ηmicroΑ+ηmicroΒ= δεν οδηγεί πάντα απευθείας σε σχέση στην οποία να

είναι άmicroεσα διαφανείς η φάση και η αρχική φάση microιας εξίσωσης αρmicroονικής κίνησης

Ο τελικός τύπος χρειάζεται οπωσδήποτε επεξεργασία

στ) Απορία

laquoΈχει νόηmicroα να ζητήσουmicroε τη διαφορά φάσης ενός από αυτά τα σηmicroεία microε microια πηγήraquo

Απάντηση

Όχι Δεν πρέπει να ζητήσουmicroε τέτοιο πράγmicroα αν δε είmicroαστε έτοιmicroοι να αυτοκτονήσουmicroε ή να

microπούmicroε σε ατέλειωτες microαθηmicroατικές αναζητήσεις για να γλιτώσουmicroε microόνο και microόνο τη συνέ-

πεια της εννοιολογικά λανθασmicroένης laquoπραγmicroατικότηταςraquo των κυmicroάτων που διδάσκουmicroε

Η παρουσία πηγών επιβάλλει άλλου είδους κύmicroατα εmicroπλουτισmicroένα και microε άλλες έννοιες και

microε microαθηmicroατικούς χειρισmicroούς αρκετά δύσκολους microιας και στις διαφορικές εξισώσεις πρέπει

να παρθούν υπόψη συνοριακοί περιορισmicroοί

Στην πρώτη σελίδα της ανάρτησής microου laquoΟρισmicroοί και εξισώσεις κίνησης γ΄ microέροςraquo έγραφα κάτι που όσο περνάει ο καιρός το πιστεύω όλο και πιο πολύ

laquoδιδάσκουmicroε ˝κύmicroατα˝ που δήθεν διαδίδονται microε ταχύτητα υ έχουν αρχικές φάσεις έχουν

πηγές που τα παράγουν και πολλές φορές δύο πηγές για να έχουmicroε συmicroβολή

Μα αυτά που διδάσκουmicroε ούτε κύmicroατα είναι ούτε διαδίδονται ούτε πηγές περιέχουν

ούτε είναι κάπου και τρέχουν να πάνε κάπου αλλού ούτε ξεκινάνε από κάπου ούτε ούτε

ούτε

Στα κεφάλαια ˝Κύmicroατα˝ και ˝Μηχανική Στερεού Σώmicroατος˝ της Φυσικής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου ειλικρινά microε πιάνει απελπισία Τα πράmicroατα εκεί σκοτεινιάζουν τόσο πο-λύ Τί να πεις και από πού να αρχίσεις raquo

24

Στο σηmicroείο αυτό όmicroως νιώθω υποχρεωmicroένος να τονίσω ότι η αρνητικότατη στάση

microου απέναντι σε αυτό που microας βάζουν να διδάσκουmicroε ως κύmicroατα δεν πρέπει στο

ελάχιστο να θεωρηθεί ως απόρριψη της προσπάθειας συναδέλφων να microας δώσουν

ένα πλήθος ασκήσεων θέσεων αναλύσεων διαγωνισmicroάτων κλπ που έχουν σχέση

microε κύmicroατα και microε συmicroβολή κυmicroάτων που περιέχουν πηγές

Στο σχολείο πρέπει να κάνουmicroε αυτό που επιτάσσουν οι πανελλαδικές Άρα πέρα

από όλες τις διαφωνίες microεταξύ microας θα πρέπει προσωπικά να βρω ασκήσεις και θέ-

microατα να δώσω στα παιδιά για να καλύψω την ανήθικη έλλειψη ασκήσεων από το

σχολικό βιβλίο

Επίσης θα πρέπει να βρω τρόπο να microην καταρρεύσει η συλλογιστική των παιδιών

έστω και σαθρή πριν τις εξετάσεις

Αυτό microε τη σειρά του σηmicroαίνει ότι πρέπει να έχω επιχειρήmicroατα και υλικό κοmicromicroένο

στις συγκεκριmicroένες ανάγκες τους

Σε αυτό το σηmicroείο η βοήθεια που microου πρόσφεραν και microου προσφέρουν οι συνάδελ-

φοι του δικτύου και κάποια αξιόλογα εξωσχολικά βιβλία είναι όχι απλά πολύτιmicroη

αλλά ανεπανάληπτη

Με πολύ ανακούφιση δέχοmicroαι και παίρνω πολύτιmicroα διαγωνίσmicroατα ασκήσεις και υ-

λικό που προσφέρουν απλόχερα διάφοροι συνάδελφοι και που αναφέρονται σε κύmicroα-

τα που προέρχονται από πηγές και που συmicroβάλλουν

Επί τη ευκαιρία τους ευχαριστώ που microου δίνουν τον κόπο τους Κάποιες φορές microά-

λιστα αποτελεί πηγή αναθεωρήσεων και καινούριων αναζητήσεων microου

Ε Παρατηρήσεις

1) Η εξίσωση της αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία θα microας δώσουν ή στην οποία θα κα-

ταλήξουmicroε microετά από κάποια microαθηmicroατική επεξεργασία δεν είναι υποχρεωmicroένη να δηλώνει

καθαρά τη φάση και την αρχική φάση Εκείνο που πρέπει οπωσδήποτε να επισηmicroάνουmicroε εί-

ναι ότι φάση δεν είναι η ποσότητα που βρίσκεται microέσα στον τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό

Η εύρεση της φάσης και της αρχικής φάσης θέλουν διαδικασία η οποία θα απαιτήσει το

πεδίο ορισmicroού της εξίσωσης που microας δίνουν για την ταλάντωση ή για το κύmicroα

Ας του δώσουmicroε έmicroφαση microε microια άσκηση χωρίς κανένα απολύτως νόηmicroα

Στην παρακάτω εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης να βρεθεί η φάση και η αρχική

φάση της αποmicroάκρυνσης

y=10-1middotηmicro(2πt 4

11πminus )

Ο λόγος που αυτή η άσκηση είναι α-νόητη είναι γιατί δεν έχει δοθεί το πεδίο ορισmicroού Αλ-

λάζοντας το πεδίο ορισmicroού όπως ήδη έχουmicroε δείξει θα αλλάξει τόσο η συνάρτηση της φά-

σης όσο και η τιmicroή της αρχικής φάσης (∆ες σελίδα 18)

25

2) Η εύρεση της διαφοράς φάσης ανάmicroεσα σε δύο microεγέθη του ίδιου

φαινοmicroένου είναι ακόmicroη πιο επίπονη διαδικασία

Το θέmicroα αυτό είχε θέσει ο Θοδωρής microε microια ανάρτησή του που βρίσκεται στη διεύθυνση httpylikonetgrgroupthemataforumtopicsphhasearchikhe-

phhasediaphorhacommentId=36477953AComment3A16659ampgroupId=36477953AGroup3A5901

Όπως στην περίπτωση της φάσης και αρχικής φάσης οι αρmicroονικές συναρτήσεις πρέπει να

laquoετοιmicroαστούνraquo έτσι και στην περίπτωση που microας ζητάνε να βρούmicroε διαφορά φάσης ανάmicroε-

σα σε δύο φυσικά microεγέθη που εκφράζονται microε αρmicroονικές συναρτήσεις οι συναρτήσεις αυτές

πρέπει οπωσδήποτε να ετοιmicroαστούν κατάλληλα

3) Το πιο σηmicroαντικό στο οποίο εστιάζουν οι εργασίες microου (άσχετα αν τα καταφέρνω να

το δείξω ή όχι) είναι η microεθοδολογία που πρέπει να ακολουθούmicroε όταν θέλουmicroε να λύσουmicroε

microια διαφωνία microας να προχωρήσουmicroε microια αναζήτησή microας να βρούmicroε διέξοδο σε microια αντίφα-

ση να συνειδητοποιήσουmicroε microια έννοια

Κατά τη γνώmicroη microου πρέπει να ξεκινάmicroε από τους ορισmicroούς και αφού εξασφαλίσουmicroε την

αυστηρότητά τους να προχωρήσουmicroε σε απλές έστω εννοιολογικές κατακτήσεις απαραίτη-

τες όmicroως για την αναπνοή microας ως φυσικών ή ως ενδιαφεροmicroένων για τη φυσική

laquohellipΗ αξία των ορισmicroών εντοπίζεται στη σωστή θέση που πρέπει να κατέχουν κατά τη συνεννόηση microε-

ταξύ των φυσικών και στον κορυφαίο και αναντικατάστατο ρόλο που πρέπει microε κάθε σεβασmicroό να απο-

δεχτούmicroε ότι διαδραmicroατίζουν στη διαmicroόρφωση της δοmicroής της γλώσσας που χρησιmicroοποιεί η Φυσική

∆εν γίνεται να κάνεις Φυσική αν δεν έχεις τα σωστά κατάλληλα λόγια για να περιγράψεις στους άλ-

λους το όmicroορφο

Η Φυσική έχει ορισmicroούς που δεν είναι διαπραγmicroατεύσιmicroοι και microαθηmicroατικές microεθοδολογίες που δεν

πρέπει να αγνοούνται αν θέλουmicroε να έχουmicroε συνέπεια και να εξασφαλίζουmicroε απόλυτη διαφάνεια στους

συλλογισmicroούς microας

∆εν πρέπει να χαλάmicroε τη γλώσσα γιατί αλλιώς χαλάει η σκέψη και η επικοινωνία microεταξύ microας Πρέπει να δεχτούmicroε στην ψυχή microας (όχι στα λόγια) ότι οι ορισmicroοί έχουν αξία και να συνειδητοποιή-

σουmicroε την microοναδική τους ιδιότητα Αυτή που είναι και η αιτία της ύπαρξής τους Να είναι χρήσιmicroοι

Οι ορισmicroοί ή είναι χρήσιmicroοι ή δεν υπάρχουν Τα λόγια της Φυσικής δε φτιάχτηκαν για να περιγράφουν αλλά για να έχουν συγχρόνως τη δυνατότητα και να

προφητεύουνraquo

4) Στο παράδειγmicroα του Νίκου για τις φάσεις και τις αντιφάσεις χρησιmicroοποιήθηκαν σηmicroεία

όπου είχαmicroε ενισχύσεις

Θα παρακαλούσα το Νίκο αλλά και όποιον άλλο συνάδελφο θέλει να κάνει microια άσκηση

ή microια προσοmicroοίωση microε πιο γενικά σηmicroεία στη συmicroβολή κυmicroάτων και να υπολογίσει τις

φάσεις και τις αρχικές φάσεις στην εξίσωση ταλάντωσης των σηmicroείων αυτών δίνοντας έmicro-

φαση πάντα το πεδίο ορισmicroού και στον περιορισmicroό της αρχικής φάσης σε έναν τριγωνοmicroε-

τρικό κύκλο πχ της microορφής [02π)

Πιστεύω ότι έτσι κάποια πράγmicroατα θα γίνουν πολύ πιο ευδιάκριτα πιο απλά και το κυριό-

τερο θα περάσουν πιο εύκολα στους συναδέλφους

5) Τελειώνοντας οφείλω να πω ότι η σηmicroερινή microου ανάρτηση ουσιαστικά οφείλεται

στους προβληmicroατισmicroούς που microας έθεσε ο Νίκος (Ανδρεάδης) πάνω στη συmicroβολή των κυmicroά-

των microε το laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολήraquo

Έχοντας ξεκινήσει να γράφω microια σειρά αναρτήσεων σχετικών microε τις έννοιες φάση και αρ-

χική φάση microου ήρθε ανέλπιστα η δουλειά του Νίκου η οποία microε τα ερωτήmicroατα που έθεσε

τη συζήτηση που ακολούθησε και τις γνώmicroες που διατυπώθηκαν microου έδωσε ισχυρά επιχει-

ρήmicroατα να υποστηρίξω την απόλυτη πίστη microου στην αξία των ορισmicroών όχι ως απλή λεκτική

επανάληψη microιας υποχρεωτικής αποστήθισης αλλά ως συνειδητοποίηση όλης εκείνης της

26

εσωτερικής λειτουργίας απόλυτα συγκεκριmicroένων πραγmicroάτων που κρίνουν τους ορισmicroούς

ως χρήσιmicroους και απαραίτητους και τους γεννούν για να υπάρχουν και να πλουτίζουν τη

γλώσσα microας

Τους βάζουν δίπλα microας και microας καλούν να πιστέψουmicroε στην αξία τους και ποτέ να microην

τους υποτιmicroήσουmicroε όσο απλοί και να είναι

(συνεχίζεται)

Σάββατο 29 Ιανουαρίου 2011

Θρασύβουλος Κων Μαχαίρας

Γενικό Λύκειο Αγριάς Πηλίου

s7-kmghotenetgr

10

2ο παράδειγmicroα

Υλικό σηmicroείο εκτελεί (απλή) αρmicroονική ταλάντωση που περιγράφεται από την εξίσωση

x=10-1

middotηmicro(2πt 4

9πminus ) (SI) microε t ge2 sec (39)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης x στη δεδοmicroένη microορφή της εξίσω-

σης κίνησης στη δεδοmicroένη δηλαδή microορφή της εξίσωσης αρmicroονικής ταλάντωσης

Λύση

α΄ τρόπος Με τη χρήση των σχέσεων (24) έως (27)

Την εξίσωση κίνησης που microας δίνουν φέρνουmicroε στη microορφή και τους περιορισmicroούς

της συνάρτησης (24)

x=Amiddotηmicro(2πt + C4) microε t ge2 sec Αgt0 και C4 πραγmicroατικός (40)

Τότε η φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ=2πt+C4 t ge2 sec RC4 isin (40α)

και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ0=2π2+C4 microε τον ισχυρό περιορισmicroό 0le φ0 lt2π (40β)

Εποmicroένως όλο το πρόβληmicroα εντοπίζεται στον υπολογισmicroό της σταθεράς C4

Ας τον κάνουmicroε

Για να έχει η εξίσωση κίνησης (39) που microας δίνουν τη microορφή της σχέσης (40) για όλες

τις χρονικές στιγmicroές tge2 sec πρέπει να ισχύει

Α=10-1

m και ηmicro(2πt + C4)= ηmicro(2πt 4

9πminus )

και συνεπώς πρέπει

C4=2kπ4

9πminus (40γ)

Τότε η φάση και η αρχική φάση λόγω των σχέσεων (40α) (40β) και (40γ) θα είναι

φ=2πt+2kπ4

9πminus t ge2 sec

φ0=4π+2kπ4

9πminus

Απαιτώντας 0le φ0 lt2π προκύπτει k=0

Άρα η φάση της αποmicroάκρυνσης στην (40) και κατά συνέπεια στην εξίσωση κίνησης

(39) που microας δίνουν είναι

φ=4

π9πt2 minus microε t ge2 sec

και η αρχική φάση είναι

φ0=4

7π

11

β΄ τρόπος Με τη χρήση των σχέσεων (28) και (29)

Την εξίσωση κίνησης που microας δίνουν φέρνουmicroε στη microορφή και τους περιορισmicroούς

της συνάρτησης (28)

x=Amiddotηmicro[2π(t‒2)+ φ0 ] t ge 2 sec Agt0 0le φ0lt2π (41)

Τότε η φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ=2π(t‒2)+ φ0 (41α)

και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ0

Εποmicroένως όλο το πρόβληmicroα εντοπίζεται στον υπολογισmicroό της φ0

Ας τον κάνουmicroε

Μετασχηmicroατίζουmicroε την εξίσωση κίνησης (39) που microας δίνουν ώστε να αποκτήσει τη microορ-

φή της σχέσης (41)

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒2)+4πminus4

9π] t ge 2 sec

και τελικά

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒2)+4

7π] (SI) t ge 2 sec (42)

Άρα η φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση κίνησης (42) και κατά συνέπεια στην εξί-

σωση κίνησης (39) που microας έδωσαν είναι

φ=2π(t‒2)+4

7π=

4

π9πt2 minus microε t ge2 sec

και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ0=4

7π

Σηmicroειώσεις

α) Από το παραπάνω παράδειγmicroα φαίνεται η ευκολία microε την οποία λύνεται το πρόβληmicroα

της φάσης και της αρχικής φάσης microε τον β΄ τρόπο αν φέρουmicroε δηλαδή την εξίσωση κίνη-

σης που microας δίνουν στη microορφή της συνάρτησης (28) microε τους περιορισmicroούς όmicroως που ακο-

λουθούν αυτή τη microορφή Τον τρόπο αυτόν θα ακολουθήσουmicroε και στο επόmicroενο παράδειγmicroα Ίσως κάποιος πει γιατί να τα κάνουmicroε όλα αυτά αφού θα microπορούσαmicroε και microόνο microε παρα-

τήρηση σύγκριση και microε microια αντικατάσταση στην εξίσωση κίνησης (39) που microας δίνουν να

βρούmicroε αυτά που ζητάmicroε πολύ πιο εύκολα

Ο λόγος της ευκολίας που πιθανώς να διακρίνει κάποιος οφείλεται στο γεγονός ότι η (39)

ήταν σχέση laquomicroαγειρεmicroένηraquo Είχε ετοιmicroαστεί από το πρώτο παράδειγmicroα Τα πράmicroατα όmicroως

δε θα είναι πάντα τόσο ευδιάκριτα Θα το διαπιστώσουmicroε στο επόmicroενο παράδειγmicroα

12

β) Η εξίσωση κίνησης (39) που microας δώσανε

x=10-1

middotηmicro(2πt 4

9πminus ) (SI) microε t ge2 sec

είναι microαθηmicroατικά ισοδύναmicroη microε την

x=10-1

middotηmicro(2πt 4

πminus ) (SI) microε t ge2 sec

Κατά συνέπεια αυτή η τελευταία θα microπορούσε κάλλιστα να δοθεί στη θέση της πρώτης

Μήπως αυτό θα επηρέαζε τη φάση και την αρχική φάση που θα βρίσκαmicroε γεγονός που

θα καθιστούσε και τους ορισmicroούς και τις έννοιες άχρηστες

Η απάντηση είναι όχι Οποιαδήποτε microαθηmicroατικά ισοδύναmicroη σχέση και να χρησιmicroοποιήσουmicroε ως εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης εφό-σον ακολουθήσουmicroε microε συνέπεια όσα αναφέραmicroε θα καταλήξουmicroε στην ίδια σχέση για τη φάση και στην ίδια τιmicroή για την αρχική φά-ση

Το γεγονός αυτό δείχνει τη συνέπεια των ορισmicroών που δώσαmicroε για φάση και αρχική φάση

Συνεπώς αν τους υιοθετήσουmicroε που τουλάχιστον βουβά microέχρι τώρα το έχουmicroε ήδη κάνει

στη φυσική δεν θα έχουmicroε αντιφάσεις

γ) Ο λόγος που στην εξίσωση (39) χρησιmicroοποιήσαmicroε το 4

9πminus και όχι το ισοδύναmicroο

4

πminus

ήταν για να δείξουmicroε ότι αυτός που θα microας δώσει microια εξίσωση κίνησης δεν είναι υποχρεω-

microένος να την έχει επεξεργαστεί και να έχει υιοθετήσει κάποιες φόρmicroες ή να έχει προσέξει τις

microαθηmicroατικές ισοδυναmicroίες

Αυτός που θα microας δώσει την εξίσωση κίνησης είναι ελεύθερος να microας δώσει ότι θέλει (microαθηmicroατικά ισοδύναmicroο) αρκεί να δώσει όπως οφείλει να δώσει σε κάθε συνάρτηση το πεδίο ορισmicroού της

3ο παράδειγmicroα

Υλικό σηmicroείο εκτελεί (απλή) αρmicroονική ταλάντωση που περιγράφεται από την εξίσωση κίνη-

σης

x=10-1

middotηmicro(4

πt

3

10π+ ) (SI) microε t ge minus3 sec (41)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης στη δεδοmicroένη microορφή εξίσωσης κί-

νησης

Λύση

Μετασχηmicroατίζουmicroε τη σχέση (41) ώστε να αποκτήσει τη microορφή της σχέσης (28) δηλαδή

να αποκτήσει τη microορφή

x=Amiddotηmicro[ω(t‒t0)+φ0 ] t ge Rt0 isin Agt0 0le φ0 lt2π

13

Πράγmicroατι η (41) γίνεται

x=10-1

middotηmicro[4

π(t+3)minus

4

3π +

3

10π ] t ge -3 sec

ή x=10-1

middotηmicro[4

π(t+3)+

12

31π ] t ge -3 sec

Αφαιρώ (ή προσθέτω αν microε βολεύει) ακέραιο πολλαπλάσιο του 2π προκειmicroένου να δη-

microιουργήσω θετική αρχική φάση περιορισmicroένη σε έναν τριγωνοmicroετρικό κύκλο

x=10-1

middotηmicro[4

π(t+3)minus2π+

12

31π ] t ge -3 sec

και τελικά

x=10-1

middotηmicro[4

π(t+3)+

12

7π ] (SI) microε t ge -3 sec (42)

Άρα η φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση κίνησης (42) και κατά συνέπεια στην εξί-

σωση κίνησης (41) που microας έδωσαν είναι

φ=4

π(t+3)+

12

7π=

4

πt+

3

4π microε t ge-3 sec

και άρα η αρχική φάση θα είναι

φ0=12

7π rad

Σηmicroείωση

Θα είχαmicroε καταλήξει στην ίδια ακριβώς σχέση για τη φάση και στην ίδια τιmicroή

για την αρχική φάση ακόmicroη και αν αρχίζαmicroε από οποιαδήποτε εξίσωση microαθη-

microατικά ισοδύναmicroη microε τη δεδοmicroένη εξίσωση κίνησης όπως πχ από την

x=10-1

middotηmicro(4

πt

3

4π+ ) (SI) microε t ge minus3 sec

Αρκεί η σχέση που θα microας έδιναν να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση να

ήταν ισοδύναmicroη microαθηmicroατικά microε την (41) και κατά συνέπεια να είχε το ίδιο πε-

δίο ορισmicroού microε αυτή

raquo

14

Γ Συmicroπέρασmicroα

(ένας απλός τρόπος υπολογισmicroού φάσης και αρχικής φάσης) Με τα παραπάνω θεmicroελιώνεται microαθηmicroατικά ένας πολύ απλός τρόπος εύρεσης της φάσης

και της αρχικής φάσης σε microια τυχαία εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία microας δίνουν

ή στην οποία καταλήγουmicroε microετά από διάφορους microαθηmicroατικούς microετασχηmicroατισmicroούς

Απαίτηση όmicroως για την εφαρmicroογή αυτού του τρόπου είναι η παρουσία του πεδίου ορισmicroού

της συνάρτησης κάτι που στο κάτω-κάτω είναι και απαίτηση κάθε σοβαρής microαθηmicroατικής

αντιmicroετώπισης

Ας τον δούmicroε

Έστω για παράδειγmicroα ότι microε οποιονδήποτε microαθηmicroατικά σωστό τρόπο καταλήγουmicroε

στην εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης

χ=Αηmicro(ωt+θ) microε t ge t0 (60)

Επειδή οι microαθηmicroατικές microεθοδολογίες δεν ενδιαφέρονται για τις αγωνίες ενός φυσικού δεν είναι καθόλου υπο-χρεωmicroένες να εξασφαλίσουν ότι η ποσότητα θ θα είναι αρχική φάση ούτε ότι η ποσότητα ωt+θ θα είναι φά-ση

Αυτές οι έννοιες αφορούν τον φυσικό ο οποίος θα πρέπει πρώτα να τις ορίσει microε αυστηρότητα (και αυτό microπο-ρεί να γίνει microόνο microέσα από την ξεχωριστή εσωτερική λειτουργία των διαφορικών εξισώσεων όπως έχουmicroε ήδη επισηmicroάνει) και κατόπιν να χρησιmicroοποιήσει την εγγύηση των microαθηmicroατικών για να εξασφαλίσει ότι η αυστηρότητα των ορισmicroών του θα είναι όχι απλά συνεπέστατη λογικά αλλά κυρίως ότι θα δώσει την εγγύηση πως δεν θα προκύψουν παρανοήσεις

Έτσι λοιπόν το θ που θα προκύψει από τους microαθηmicroατικούς microετασχηmicroατισmicroούς

microπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγmicroατικός αριθmicroός

Τότε

1ο βήmicroα Στην (60) εmicroφανίζουmicroε την αρχική τιmicroή του χρόνου t0 γράφοντάς

την microε τη microορφή

x=Aηmicro[ω(t-t0)plusmnθ΄] microε t ge t0

2ο βήmicroα Αν η θ΄ στο όρισmicroα του ηmicroίτονου είναι microέσα σε ένα τριγωνοmicroε-

τρικό κύκλο αυτή είναι η αρχική φάση Αλλιώς προσθέτουmicroε ή

αφαιρούmicroε ακέραια πολλαπλάσια του 2π ώστε microετά την παρά-

σταση ω(t-t0) να εξασφαλίσουmicroε laquoγωνίαraquo φ0 η οποία να είναι

microέσα στον τριγωνοmicroετρικό κύκλο που έχουmicroε επιλέξει

Να είναι δηλαδή στο διάστηmicroα [0 2π) ή στο [-π π) κλπ

x=Aηmicro[ω(t-t0)+φ0] microε t ge t0 (60α)

3ο βήmicroα Η ποσότητα φ=ω(t-t0)+φ0 είναι η φάση και φ0 είναι η αρχική

φάση στη σχέση (60α) Άρα και στην (60) που microας έδωσαν

Τον παραπάνω τρόπο εφαρmicroόσαmicroε ήδη στο 3ο παράδειγmicroα

15

Δ Κύmicroατα

Το έχω ξαναπεί αλλά θα το ξαναπώ γιατί νοmicroίζω ότι microόνο έτσι microόνο όταν πιστέψουmicroε

στα λάθη που microας βάζουνε και διδάσκουmicroε κάποια στιγmicroή θα βρεθούν κάποιοι ικανοί που

θα βρουν τρόπο να ζητήσουν ευθύνες από όλους εκείνους που χρόνια τώρα microας βουλιάξανε

microας βουλιάζουνε και θα βουλιάξουνε γενιές ανθρώπων στα λάθη γράφοντας πανεπιστηmicroια-

κά βιβλία χωρίς ποτέ να microπουν στον κόπο να ξαναψάξουν αυτά που γράφουν

Το κεφάλαιο laquoΚύmicroαταraquo που διδάσκουmicroε είναι το λιγότερο λανθασmicroένο Λανθασmicroένο

πιο πολύ από τις ταλαντώσεις γιατί τα laquoκύmicroαταraquo κουβαλάνε όλα τα λάθη των ταλα-

ντώσεων και κάτι ακόmicroη που είναι πιο τραγικά λανθασmicroένο Τη διάδοση

Η διδασκαλία microας στο κεφάλαιο laquoΚύmicroαταraquo ΔΥΣΤΥΧΩΣ ΣΤΗΡΙΖΕΤΑΙ ΣΤΗ ΔΙΑ-

ΔΟΣΗ ΤΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ

Μα αυτά που διδάσκουmicroε ούτε laquoκύmicroαταraquo είναι ούτε διαδίδονται

Και έτσι εmicroείς οι απλοί φυσικοί της γειτονιάς γινόmicroαστε τραγικές φιγούρες microιας και microετά

από ένα κεφάλαιο γεmicroάτο λάθη όπως είναι οι laquoταλαντώσειςraquo αναγκαζόmicroαστε να λέmicroε να

βρίσκουmicroε να διδάσκουmicroε να microπαλώνουmicroε και να εmicroπλουτίζουmicroε microε ασκήσεις το δεύτερο

κεφάλαιο laquoΤα κύmicroαταraquo που είναι ακόmicroη πιο λανθασmicroένο

Η εmicroπειρία microου ως αεί υφιστάmicroενος τόσων και τόσων σε ένα Υπουργείο Παιδείας που η-

δονίζεται να αλλάζει ονόmicroατα microόνο και όχι ουσία microου λέει τούτο το απλό

Όταν τόσοι φυσικοί δυσκολευόmicroαστε κάποιες φορές να κατανοήσουmicroε αυτά που διδάσκου-

microε και που γράφει ένα σχολικό βιβλίο προορισmicroένο για microαθητές λυκείου σίγουρα κάποιοι

άλλοι κάνανε χοντρά λάθη ως laquomicroέντορεςraquo (γελοιοποίηση microιας ακόmicroη όmicroορφης αρχαίας λέ-

ξης) και microας βάλανε να διδάξουmicroε τα λάθη τους microε τέτοιο τρόπο που στο τέλος

ξεχάσαmicroε ότι ήταν δικά τους λάθη και νοmicroίσαmicroε ότι όλα ήταν δικά microας σω-

στά

Παρακάmicroπτω λοιπόν την ανύπαρκτη φυσική της συmicroβολής των laquoκυ-

microάτωνraquo που διδάσκουmicroε και χρησιmicroοποιώντας microόνο την ορολογία της θα προσπα-

θήσω microέσα από microια microατιά laquoγυmicroνάraquo microαθηmicroατική να εφαρmicroόσω στο συγκεκριmicroένο laquoφαινόmicroε-

νοraquo όσα προαναφέραmicroε Επικαλούmicroενος και ελπίζοντας microόνο στην αυστηρότητα του ορισmicroού

Αν εφαρmicroόσουmicroε microε συνέπεια τους αυστηρούς ορισmicroούς της φάσης και της αρχικής φάσης

που δώσαmicroε κι αν σε φαινόmicroενα ίδιας ποιότητας δεν αρνηθούmicroε τις microαθηmicroατικές πορείες

που καταγράψαmicroε κι ακολουθήσαmicroε στις τρεις προηγούmicroενες αναρτήσεις laquoΟρισmicroοί και

εξισώσεις κίνησης α΄ β΄ και γ΄ microέροςraquo τότε δε θα υπάρξουν συλλογιστικά αδιέξοδα

Ας το δούmicroε (τα σύmicroβολα που χρησιmicroοποιούνται θεωρούνται αυτονόητα)

Στην εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης

minus=λ

πηmicro 11

r

T

t2Ay microε

υ1rt ge (61)

16

που επιβάλλει στο τυχαίο σηmicroείο Μ το πρώτο laquoκύmicroαraquo όταν έχει διαδοθεί microόνο του οι έν-

νοιες της φάσης και της αρχικής φάσης είναι καθορισmicroένες microε απόλυτη σαφήνεια αρκεί να

microην ξεχάσουmicroε το πεδίο ορισmicroού

φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (61)

λππ

ϕ 1r2

T

t2minus= microε

υ1rt ge

αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (61)

φ0=0 rad

Στην εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης

minus=λ

πηmicro 22

r

T

t2Ay microε

υ2rt ge (62)

που επιβάλλει στο τυχαίο σηmicroείο Μ το δεύτερο laquoκύmicroαraquo όταν έχει διαδοθεί microόνο του οι έν-

νοιες της φάσης και της αρχικής φάσης είναι καθορισmicroένες microε απόλυτη σαφήνεια αρκεί να

microην ξεχάσουmicroε το πεδίο ορισmicroού

φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (62)

λππ

ϕ 2r2

T

t2minus= microε

υ2rt ge

αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (62)

φ0=0 rad

Μετά τη laquoσυmicroβολή των δύο κυmicroάτωνraquo η εξίσωση ταλάντωσης του ση-

microείου Μ είναι

minus+

minus=+=λ

πηmicroλ

πηmicro 2121

r

T

t2A

r

T

t2Ayyy microε

geυυ

21 r

rmax t (63)

Στη σχέση (63) οι έννοιες laquoφάσηraquo και laquoαρχική φάσηraquo δεν ορίζο-

νται Δεν υπάρχουν

Η κίνηση που αποδίδεται microε τη σχέση (63) είναι επαλληλία των εξισώσεων κίνησης δύο

αρmicroονικών ταλαντώσεων (επαλληλία δύο αρmicroονικών συναρτήσεων δηλαδή και όχι πραγmicroα-

τικών κινήσεων) ίδιας διεύθυνσης ίδιας συχνότητας και ίδιας laquoθέσης ισορροπίαςraquo

17

Είναι επαλληλία των συναρτήσεων y1 και y2

Η σύνθεσή τους η y δηλαδή είναι microια (πραγmicroατική) αρmicroονική ταλάντωση ίδιας διεύθυν-

σης ίδιας συχνότητας και ίδιας θέσης ισορροπίας microε τις συνιστώσες εξισώσεις κίνησης ή

καλύτερα microε τους προσθετέους της (63)

Όπως είναι γραmicromicroένη η εξίσωση (63) δεν έχουmicroε κανένα δικαίωmicroα να microιλάmicroε

ούτε για laquoφάσηraquo ούτε για laquoαρχική φάσηraquo

Για να αποκτήσουmicroε αυτό το δικαίωmicroα πρέπει να τη φέρουmicroε σε microορφή που να διαθέτει

ένα microόνο τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό και δη ή microόνο ένα ηmicroίτονο ή microόνο ένα συνηmicroίτονο

Με άλλα λόγια

αν θέλουmicroε να microιλάmicroε για φάση και αρχική φάση στην σχέση (63) εξίσωση συmicroβολής των

κυmicroάτων θα πρέπει να τη φέρουmicroε στη microορφή

( )0t Ay ϕωηmicro prime+prime=

ή στη microορφή

( )0t Ay ϕωσυν primeprime+primeprime=

Τότε όmicroως

για να microην καταρρεύσουν αmicroφότεροι οι ορισmicroοί κι εποmicroένως και οι έννοιες

της φάσης και της αρχικής φάσης θα πρέπει να φροντίσουmicroε η αρχική φάση

να περιοριστεί σε ένα τριγωνοmicroετρικό κύκλο

για να αποφύγουmicroε κάθε επικίνδυνη ρευστότητα θα πρέπει να τεθεί οπωσ-

δήποτε το πεδίο ορισmicroού της συνάρτησης

για να microην υπάρξουν συλλογιστικά αδιέξοδα θα πρέπει να ακολουθήσουmicroε

microε συνέπεια την πορεία που καταγράψαmicroε στα παραδείγmicroατα 1-3 για τον

υπολογισmicroό φάσης και αρχικής φάσης ή έστω να εφαρmicroόσουmicroε τον απλό

τρόπο που καταγράφεται στη σελίδα 14

Ο microετασχηmicroατισmicroός της (63) ώστε να περιέχει ένα microόνο τριγωνο-

microετρικό αριθmicroό microπορεί να γίνει microε διάφορους τρόπους

1ος τρόπος Χρησιmicroοποιώντας τους τύπους της επαλληλίας εξισώσεων κίνησης

Αν έχουmicroε αριθmicroητικά δεδοmicroένα και δε θέλουmicroε να microπλεχτούmicroε microε πολλά microαθηmicroατικά

microπορούmicroε να χρησιmicroοποιήσουmicroε τους τύπους του σχολικού βιβλίου για την επαλληλία εξι-

σώσεων αρmicroονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης ίδιας συχνότητας και ίδιας θέσης ισορ-

ροπίας

Τους τύπους αυτούς όmicroως θα πρέπει να ισχυροποιήσουmicroε ώστε να συmicroπεριλάβουν περι-

πτώσεις όπου και οι δύο ταλαντώσεις έχουν αρχική φάση και να εmicroπλουτίσουmicroε microε έναν ε-

πιπλέον τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό ή microε κάποια επιπλέον microαθηmicroατική microας δεξιότητα microιας και η

σχέση microε την εφθ microόνη της δε microπορεί να προσδιορίσει την αρχική φάση θ έστω κι αν αυτή

περιοριστεί σε έναν τριγωνοmicroετρικό κύκλο

18

( Επαλληλία εξισώσεων αρmicroονικών ταλαντώσεων

x1=Α1middotηmicro(ωt+φ1) και x2=Α2middotηmicro(ωt+φ2)

x=x1+ x2=Aηmicro(ωt+θ)

όπου )(AA2AAA 21212

22

1 ϕϕσυν minus++= Α

ηmicroϕΑηmicroϕΑηmicroϑ 2211 +

= (64)

2211

2211

AA

AA

συνϕσυνϕηmicroϕηmicroϕ

εϕϑ+

+=

ΑσυνϕΑσυνϕΑ

συνϑ 2211 +=

microε 0leθlt2π

Τέτοιου είδους αντιmicroετωπίσεις έχουν ήδη καταχωρηθεί στο δίκτυο)

2ος τρόπος Μετασχηmicroατίζουmicroε την (63) και φτάνουmicroε στη microορφή

+minussdot

minus=

λΤπηmicro

λπσυν

2

rrt2

2

rr2A2y 2121 microε

geυυ

21 r

rmax t (65)

Αφού φιλοδοξούmicroε η (65) να περιγράφει πραγmicroατική κίνηση (κι όχι να είναι κα-

νένας προσθετέος σε επαλληλία εξισώσεων κίνησης) και επιθυmicroούmicroε οι έννοιες laquoφάσηraquo και

laquoαρχική φάσηraquo να έχουν νόηmicroα θα πρέπει ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ να χειρι-

στούmicroε την (65) microε τους τρόπους που δείξαmicroε στα παραδείγmicroατα 1-3

Αν δηλαδή επιθυmicroούmicroε να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση στην

(65) θα πρέπει να χρησιmicroοποιήσουmicroε ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ το πεδίο ορισmicroού

της και τον περιορισmicroό της αρχικής φάσης σε ένα τριγωνοmicroετρικό κύκλο

(Το να χειριστούmicroε τη σχέση (65) γενικά ώστε να εmicroφανιστούν γενικοί περιορισmicroοί στο πεδίο ορισmicroού και στην

αρχική φάση του ενός τριγωνοmicroετρικού κύκλου νοmicroίζω ότι θα είναι άσκοπο microιας και ο χρόνος που θα απαιτήσει

η γραφή αυτή θα ΄ναι microεγάλος και η αξία των τύπων ελάχιστη Γι΄ αυτό καταφεύγω σε παραδείγmicroατα)

4ο παράδειγmicroα

Έστω ότι σε κάποιο πρόβληmicroα συmicroβολής κυmicroάτων y1= και y2= αντικαθι-

στούmicroε τα δεδοmicroένα στην εξίσωση της συmicroβολής (65) και βρίσκουmicroε ότι το σηmicroείο Μ που απέ-

χει r1= και r2= από τις πηγές ταλαντώνεται αρmicroονικά microε εξίσωση

y=10-1

middotηmicro(2πt 4

11πminus ) (SI) microε t ge 6 sec (66)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης του Μ στην (66)

19

Λύση

1ος τρόπος

Κάνουmicroε ότι κάναmicroε στο παράδειγmicroα 2 στη σελίδα 10 ή στο παράδειγmicroα 3 στη σελίδα 12 αυ-

τής της ανάρτησης

2ος τρόπος

Για πιο γρήγορα ακολουθούmicroε τα βήmicroατα της σελίδας 14

1ο βήmicroα Μετασχηmicroατίζουmicroε την εξίσωση κίνησης (66) ώστε να εmicroφανιστεί η

αρχική τιmicroή χρόνου 6 sec microέσω της microορφής ω(t-t0)=2π(t-6)

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+12πminus4

11π] t ge 6 sec

και τελικά

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

37π] (SI) t ge 6 sec (67)

2ο βήmicroα Στο όρισmicroα του ηmicroίτονου microετά την ποσότητα 2π(t-6) η laquoγωνίαraquo 4

37π

δεν είναι microέσα στο διάστηmicroα [02π) που έχουmicroε υιοθετήσει ως περιορι-

σmicroό της αρχικής φάσης

Εποmicroένως πρέπει να αφαιρέσουmicroε κατάλληλα ακέραια πολλαπλάσια

του 2π

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

37πminus4middot2π] (SI) t ge 6 sec

από όπου τελικά

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

5π] (SI) t ge 6 sec (67α)

3ο βήmicroα Στην (67α) που καταλήξαmicroε microε την παραπάνω διαδικασία

η φάση είναι φ=2π(t‒6)+4

5π microε t ge 6 sec

και η αρχική φάση είναι φ0=4

5π rad

Το ίδιο συνεπώς θα ισχύει και για την (67)

Βέβαια όλα τα παραπάνω microπορούν να γίνουν πολύ πιο γρήγορα αρκεί να έ-

χουmicroε στο microυαλό microας ότι για να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση σε microια

εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία microας έδωσαν ή στην οποία καταλήξα-

microε θα πρέπει να τη microετασχηmicroατίσουmicroε ώστε

να εmicroφανίσουmicroε την αρχική τιmicroή του χρόνου microε τη microορφή που είπαmicroε

να εξασφαλίσουmicroε ότι ο προσθετέος που δεν περιέχει χρόνο είναι σε

διάστηmicroα ενός τριγωνοmicroετρικού κύκλου και microάλιστα στη microορφή που έ-

χουmicroε επιλέξει για την αρχική φάση ([02π) ή [-ππ) ή )

20

5ο παράδειγmicroα

Έστω ότι σε κάποιο πρόβληmicroα συmicroβολής κυmicroάτων y1= και y2= αντικαθι-

στούmicroε τα δεδοmicroένα στην εξίσωση της συmicroβολής (65) και βρίσκουmicroε ότι το σηmicroείο Μ που απέ-

χει r1= και r2= από τις πηγές ταλαντώνεται αρmicroονικά microε εξίσωση

y=minus10-1

middotηmicro(2πt4

9πminus ) (SI) microε t ge 05 sec (68)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης του Μ στην (68)

Λύση

Η (68) γίνεται διαδοχικά

y=minus10-1

middotηmicro(2πt4

9πminus ) = 10

-1middotηmicro(2πt+π

4

9πminus )=10

-1middotηmicro(2πt

4

5πminus )=10

-1middotηmicro[2π(tminus05)

4

πminus ]

και τελικά

y=10-1

middotηmicro[2π(tminus05)4

7π+ ] (68α)

Η (68α) έχει εmicroφανίσει την αρχική τιmicroή χρόνου 05 sec στη microορφή που θέλουmicroε και προ-

σθετέο 4

7π που δεν περιέχει χρόνο t και βρίσκεται στο διάστηmicroα [02π)

Άρα η φάση και η αρχική φάση της (68) είναι ίδιες microε εκείνες της (68α)

∆ηλαδή

Φάση φ=2π(tminus05)4

7π+ =2πt

4

3π+ microε t ge 05 sec

Αρχική φάση rad 4

7π0 =ϕ

Φάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολή

Ο Νίκος (Ανδρεάδης) microε δύο ευφυέστατες αναρτήσεις

laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολήraquo

laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολή-Μέρος δεύτεροraquo

που βρίσκονται στη διεύθυνση

httpylikonetgrprofilesblogsphhaseis-kai-antiphhaseis-ste

microας ώθησε να ακούσουmicroε κάποιους τριγmicroούς από την ψεύτικη πραγmicroατικότητα των

κυmicroάτων που διδάσκουmicroε

21

Γράφει λοιπόν

laquoΝ=6 1r 15= m

1 2r r 6 λminus = sdot

2r 03= m

Για t 3ge s η εξίσωση κίνησης προκύπτει από την επαλληλία των εξισώσεων

11

2πr2πty A ηmicro

T λ

= sdot minus

και 2

2

2πr2πty A ηmicro

T λ

= sdot minus

Μετά από πράξεις

( )1y 01 ηmicro 5πt 15π= sdot minus και ( )2

y 01 ηmicro 5πt 3π= sdot minus

Σύmicroφωνα microε τη σχέση 1 2 1 2r r r r2πt

y 2A συν 2π ηmicro π2λ T λ

minus += sdot sdot minus

microετά από πράξεις προκύπτει

( )y 02 ηmicro 5πt 9π= sdot minus

Η φάση (της αποmicroάκρυνσης στην παραπάνω εξίσωση) δίνεται από τη σχέση φ 5πt 9π= minus

Για t 3= s (προκύπτει η αρχική) φάση (η οποία) είναι 6π rad

παρατηρούmicroε ότι 7 σηmicroεία του microέσου τα οποία ξεκινούν την ίδια στιγmicroή την ίδια κίνηση από τη θέ-

ση ισορροπίας microε θετική ταχύτητα περιγράφονται microε διαφορετικές εξισώσεις και την στιγmicroή της εκκί-

νησης έχουν διαφορετική φάση

Οι απορίες microου

Ποιο είναι το φυσικό νόηmicroα των τιmicroών 0π 2π 4π 6π και 8π

Έχει νόηmicroα να ζητήσουmicroε τη διαφορά φάσης ενός από αυτά τα σηmicroεία microε microια πηγή

Αν όmicroως δούmicroε το θέmicroα ως σύνθεση δύο ταλαντώσεων που βρίσκονται σε συmicroφωνία φάσης καταλή-

γουmicroε αmicroέσως στο συmicroπέρασmicroα ότι και στις 7 περιπτώσεις η κίνηση για t 3ge s περιγράφεται από την

εξίσωση ( )y 02 ηmicro 5πt 15π= sdot minus (SI)

Η φάση δίνεται από τη σχέση φ 5πt 15π= minus (SI)

Για t 3= s η (αρχική) φάση είναι 0π rad ∆ηλ τη στιγmicroή της εκκίνησης έχουmicroε microηδενισmicroό της φάσης

για τα 7 σηmicroεία κάτι λογικό αφού τότε και τα 7 ξεκινούν microια νέα κίνηση από τη θέση ισορροπίας microε

θετική ταχύτηταraquo

Στους προβληmicroατισmicroούς που έθεσε ο Νίκος θα επιχειρήσω microια το-

ποθέτηση

Κατά τη γνώmicroη microου το microόνο που microπορεί να microας γλιτώσει από το παραπάνω παράδοξο είναι

η microαθηmicroατική αυστηρότητα microε την οποία φροντίσαmicroε να εφοδιάσουmicroε (και έτσι πρέπει

να γίνεται πάντα αν και πολλές φορές τούτο το απλό το ξεχνάmicroε) τους ορισmicroούς φάση και

αρχική φάση

Η αντίρρησή microου επικεντρώνεται στη φράση

laquoη φάση στην εξίσωση ( )y 02 ηmicro 5πt 9π= sdot minus δίνεται από τη σχέση φ 5πt 9π= minus raquo

η οποία εξάλλου είναι και η υπεύθυνη για τις αντιφάσεις που έχει εντοπίσει ο Νίκος

Προκειmicroένου να βρεθούν η φάση και η αρχική φάση στην εξίσωση microιας αρmicroονικής

ταλάντωσης πρέπει να ακολουθηθούν ορισmicroένες διαδικασίες

22

Αυτό δεν είναι ούτε σωσίβιο ούτε σοφιστεία ούτε κάποια κίνηση απελπισίας Είναι η ου-

σία του ορισmicroού που υιοθετήσαmicroε για τις δύο αυτές έννοιες

Η αυστηρότητα των ορισmicroών που δώσαmicroε ως φυσικοί εξασφαλίζει ότι τα microαθηmicroατικά όχι

microόνο θα microπορέσουν να εγγυηθούν τη συνέπεια των συλλογισmicroών και αποτελεσmicroάτων microας

αλλά θα ενσωmicroατώσουν microέσα τους τελείως διαφανείς πορείες απαραίτητες για την αυτοδυ-

ναmicroία και ισχύ του φυσικού έστω κι αν ένας microαθηmicroατικός αδιαφορήσει τελείως γι΄ αυτές

Αυτό δεν είναι παραλογισmicroός αλλά συνειδητοποίηση του διαφορετικού ρόλου

και της διαφορετικής ευθύνης των δύο ειδικοτήτων˙ του φυσικού και του microαθη-

microατικού

Κοντολογίς

Προκειmicroένου να διατηρήσουmicroε το δικαίωmicroα να χρησιmicroοποιούmicroε στο λεξιλόγιό microας τις λέξεις

φάση και αρχική φάση επιβάλλεται από τα microαθηmicroατικά να είmicroαστε συνεπείς microε τους ορι-

σmicroούς που τους δώσαmicroε και να τις χειριζόmicroαστε microε ειδικό τρόπο σε καθορισmicroένες πορείες

Αν δε το κάνουmicroε αυτό τα microαθηmicroατικά θα microας γυρίσουν την πλάτη

κι εmicroείς θα βουλιάξουmicroε στις παρανοήσεις στα αδιέξοδα και τις λο-

γικές ασυνέπειες

Σύmicroφωνα λοιπόν microε όσα έχουν αναφερθεί για να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση στην εξίσωση κίνησης

y=02middotηmicro(5πtminus9π) microε tge3 sec (69)

πρέπει να εmicroφανίσουmicroε microέσα της την αρχική τιmicroή του χρόνου 3 sec και να αφαιρέσουmicroε τα

ακέραια πολλαπλάσια του 2π microε τέτοιο τρόπο ώστε η αρχική φάση να είναι microέσα στη microορ-

φή του τριγωνοmicroετρικού κύκλου που υιοθετήσαmicroε

Πράγmicroατι η (69) γίνεται

y=02middotηmicro(5πtminus9π)=02middotηmicro[5π(t-3)+6π]

και τελικά

y=02middotηmicro[5π(t-3)+0] microε tge3 sec (69α)

Η (69α) και κατά συνέπεια και η (69) έχουν

Φάση φ=5π(t-3)+0=5πt-15π microε tge3 sec

Αρχική φάση φ0=0 rad

Νοmicroίζω ότι τώρα πια δεν υπάρχει καmicroιά αντίφαση microιας και όλες οι συλλογιστικές και όλες

οι microαθηmicroατικές πορείες θα δώσουν ακριβώς τα ίδια αποτελέσmicroατα

α) Και τα επτά σηmicroεία Ν=0 έχουν την ίδια φάση φ=5πt-15π microε tge3 sec και την ί-

δια αρχική φάση φ0=0 rad

23

β) Υπάρχει απόλυτη συλλογιστική συνέπεια σε όλα αφού όπως έχει ήδη επισηmicroάνει ο Νί-

κος laquoκαι τα 7 σηmicroεία πρέπει να έχουν την ίδια φάση και αρχική φάση αφού ξεκινούν microια

νέα κίνηση από τη θέση ισορροπίας microε θετική ταχύτηταraquo

γ) Είτε χρησιmicroοποιηθούν οι τύποι σύνθεσης ταλαντώσεων είτε χρησιmicroοποιηθεί ο τύ-

πος της συmicroβολής κυmicroάτων είτε οποιαδήποτε άλλη microαθηmicroατική διαδροmicroή τα αποτελέ-

σmicroατα φάσης και αρχικής φάσης θα είναι απολύτως ίδια

δ) laquoΚάθε κίνηση έχει φάση που microας πληροφορεί για πόσο χρόνο παρακολουθούmicroε τη συ-

γκεκριmicroένη κίνησηraquo

ε) Απορία

laquoΠοιο είναι το φυσικό νόηmicroα των τιmicroών 0π 2π 4π 6π και 8πraquo

Απάντηση

laquoοι τιmicroές 0π 2π 4π 6π και 8π που προκύπτουν microε (απλή-ανώδυνη) εφαρmicroογή της γνω-

στής σχέσης ηmicroΑ+ηmicroΒ=hellip δεν έχουν κανένα γνωστό ωφέλιmicroο φυσικό νόηmicroαraquo

Η εφαρmicroογή της σχέσης ηmicroΑ+ηmicroΒ= δεν οδηγεί πάντα απευθείας σε σχέση στην οποία να

είναι άmicroεσα διαφανείς η φάση και η αρχική φάση microιας εξίσωσης αρmicroονικής κίνησης

Ο τελικός τύπος χρειάζεται οπωσδήποτε επεξεργασία

στ) Απορία

laquoΈχει νόηmicroα να ζητήσουmicroε τη διαφορά φάσης ενός από αυτά τα σηmicroεία microε microια πηγήraquo

Απάντηση

Όχι Δεν πρέπει να ζητήσουmicroε τέτοιο πράγmicroα αν δε είmicroαστε έτοιmicroοι να αυτοκτονήσουmicroε ή να

microπούmicroε σε ατέλειωτες microαθηmicroατικές αναζητήσεις για να γλιτώσουmicroε microόνο και microόνο τη συνέ-

πεια της εννοιολογικά λανθασmicroένης laquoπραγmicroατικότηταςraquo των κυmicroάτων που διδάσκουmicroε

Η παρουσία πηγών επιβάλλει άλλου είδους κύmicroατα εmicroπλουτισmicroένα και microε άλλες έννοιες και

microε microαθηmicroατικούς χειρισmicroούς αρκετά δύσκολους microιας και στις διαφορικές εξισώσεις πρέπει

να παρθούν υπόψη συνοριακοί περιορισmicroοί

Στην πρώτη σελίδα της ανάρτησής microου laquoΟρισmicroοί και εξισώσεις κίνησης γ΄ microέροςraquo έγραφα κάτι που όσο περνάει ο καιρός το πιστεύω όλο και πιο πολύ

laquoδιδάσκουmicroε ˝κύmicroατα˝ που δήθεν διαδίδονται microε ταχύτητα υ έχουν αρχικές φάσεις έχουν

πηγές που τα παράγουν και πολλές φορές δύο πηγές για να έχουmicroε συmicroβολή

Μα αυτά που διδάσκουmicroε ούτε κύmicroατα είναι ούτε διαδίδονται ούτε πηγές περιέχουν

ούτε είναι κάπου και τρέχουν να πάνε κάπου αλλού ούτε ξεκινάνε από κάπου ούτε ούτε

ούτε

Στα κεφάλαια ˝Κύmicroατα˝ και ˝Μηχανική Στερεού Σώmicroατος˝ της Φυσικής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου ειλικρινά microε πιάνει απελπισία Τα πράmicroατα εκεί σκοτεινιάζουν τόσο πο-λύ Τί να πεις και από πού να αρχίσεις raquo

24

Στο σηmicroείο αυτό όmicroως νιώθω υποχρεωmicroένος να τονίσω ότι η αρνητικότατη στάση

microου απέναντι σε αυτό που microας βάζουν να διδάσκουmicroε ως κύmicroατα δεν πρέπει στο

ελάχιστο να θεωρηθεί ως απόρριψη της προσπάθειας συναδέλφων να microας δώσουν

ένα πλήθος ασκήσεων θέσεων αναλύσεων διαγωνισmicroάτων κλπ που έχουν σχέση

microε κύmicroατα και microε συmicroβολή κυmicroάτων που περιέχουν πηγές

Στο σχολείο πρέπει να κάνουmicroε αυτό που επιτάσσουν οι πανελλαδικές Άρα πέρα

από όλες τις διαφωνίες microεταξύ microας θα πρέπει προσωπικά να βρω ασκήσεις και θέ-

microατα να δώσω στα παιδιά για να καλύψω την ανήθικη έλλειψη ασκήσεων από το

σχολικό βιβλίο

Επίσης θα πρέπει να βρω τρόπο να microην καταρρεύσει η συλλογιστική των παιδιών

έστω και σαθρή πριν τις εξετάσεις

Αυτό microε τη σειρά του σηmicroαίνει ότι πρέπει να έχω επιχειρήmicroατα και υλικό κοmicromicroένο

στις συγκεκριmicroένες ανάγκες τους

Σε αυτό το σηmicroείο η βοήθεια που microου πρόσφεραν και microου προσφέρουν οι συνάδελ-

φοι του δικτύου και κάποια αξιόλογα εξωσχολικά βιβλία είναι όχι απλά πολύτιmicroη

αλλά ανεπανάληπτη

Με πολύ ανακούφιση δέχοmicroαι και παίρνω πολύτιmicroα διαγωνίσmicroατα ασκήσεις και υ-

λικό που προσφέρουν απλόχερα διάφοροι συνάδελφοι και που αναφέρονται σε κύmicroα-

τα που προέρχονται από πηγές και που συmicroβάλλουν

Επί τη ευκαιρία τους ευχαριστώ που microου δίνουν τον κόπο τους Κάποιες φορές microά-

λιστα αποτελεί πηγή αναθεωρήσεων και καινούριων αναζητήσεων microου

Ε Παρατηρήσεις

1) Η εξίσωση της αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία θα microας δώσουν ή στην οποία θα κα-

ταλήξουmicroε microετά από κάποια microαθηmicroατική επεξεργασία δεν είναι υποχρεωmicroένη να δηλώνει

καθαρά τη φάση και την αρχική φάση Εκείνο που πρέπει οπωσδήποτε να επισηmicroάνουmicroε εί-

ναι ότι φάση δεν είναι η ποσότητα που βρίσκεται microέσα στον τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό

Η εύρεση της φάσης και της αρχικής φάσης θέλουν διαδικασία η οποία θα απαιτήσει το

πεδίο ορισmicroού της εξίσωσης που microας δίνουν για την ταλάντωση ή για το κύmicroα

Ας του δώσουmicroε έmicroφαση microε microια άσκηση χωρίς κανένα απολύτως νόηmicroα

Στην παρακάτω εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης να βρεθεί η φάση και η αρχική

φάση της αποmicroάκρυνσης

y=10-1middotηmicro(2πt 4

11πminus )

Ο λόγος που αυτή η άσκηση είναι α-νόητη είναι γιατί δεν έχει δοθεί το πεδίο ορισmicroού Αλ-

λάζοντας το πεδίο ορισmicroού όπως ήδη έχουmicroε δείξει θα αλλάξει τόσο η συνάρτηση της φά-

σης όσο και η τιmicroή της αρχικής φάσης (∆ες σελίδα 18)

25

2) Η εύρεση της διαφοράς φάσης ανάmicroεσα σε δύο microεγέθη του ίδιου

φαινοmicroένου είναι ακόmicroη πιο επίπονη διαδικασία

Το θέmicroα αυτό είχε θέσει ο Θοδωρής microε microια ανάρτησή του που βρίσκεται στη διεύθυνση httpylikonetgrgroupthemataforumtopicsphhasearchikhe-

phhasediaphorhacommentId=36477953AComment3A16659ampgroupId=36477953AGroup3A5901

Όπως στην περίπτωση της φάσης και αρχικής φάσης οι αρmicroονικές συναρτήσεις πρέπει να

laquoετοιmicroαστούνraquo έτσι και στην περίπτωση που microας ζητάνε να βρούmicroε διαφορά φάσης ανάmicroε-

σα σε δύο φυσικά microεγέθη που εκφράζονται microε αρmicroονικές συναρτήσεις οι συναρτήσεις αυτές

πρέπει οπωσδήποτε να ετοιmicroαστούν κατάλληλα

3) Το πιο σηmicroαντικό στο οποίο εστιάζουν οι εργασίες microου (άσχετα αν τα καταφέρνω να

το δείξω ή όχι) είναι η microεθοδολογία που πρέπει να ακολουθούmicroε όταν θέλουmicroε να λύσουmicroε

microια διαφωνία microας να προχωρήσουmicroε microια αναζήτησή microας να βρούmicroε διέξοδο σε microια αντίφα-

ση να συνειδητοποιήσουmicroε microια έννοια

Κατά τη γνώmicroη microου πρέπει να ξεκινάmicroε από τους ορισmicroούς και αφού εξασφαλίσουmicroε την

αυστηρότητά τους να προχωρήσουmicroε σε απλές έστω εννοιολογικές κατακτήσεις απαραίτη-

τες όmicroως για την αναπνοή microας ως φυσικών ή ως ενδιαφεροmicroένων για τη φυσική

laquohellipΗ αξία των ορισmicroών εντοπίζεται στη σωστή θέση που πρέπει να κατέχουν κατά τη συνεννόηση microε-

ταξύ των φυσικών και στον κορυφαίο και αναντικατάστατο ρόλο που πρέπει microε κάθε σεβασmicroό να απο-

δεχτούmicroε ότι διαδραmicroατίζουν στη διαmicroόρφωση της δοmicroής της γλώσσας που χρησιmicroοποιεί η Φυσική

∆εν γίνεται να κάνεις Φυσική αν δεν έχεις τα σωστά κατάλληλα λόγια για να περιγράψεις στους άλ-

λους το όmicroορφο

Η Φυσική έχει ορισmicroούς που δεν είναι διαπραγmicroατεύσιmicroοι και microαθηmicroατικές microεθοδολογίες που δεν

πρέπει να αγνοούνται αν θέλουmicroε να έχουmicroε συνέπεια και να εξασφαλίζουmicroε απόλυτη διαφάνεια στους

συλλογισmicroούς microας

∆εν πρέπει να χαλάmicroε τη γλώσσα γιατί αλλιώς χαλάει η σκέψη και η επικοινωνία microεταξύ microας Πρέπει να δεχτούmicroε στην ψυχή microας (όχι στα λόγια) ότι οι ορισmicroοί έχουν αξία και να συνειδητοποιή-

σουmicroε την microοναδική τους ιδιότητα Αυτή που είναι και η αιτία της ύπαρξής τους Να είναι χρήσιmicroοι

Οι ορισmicroοί ή είναι χρήσιmicroοι ή δεν υπάρχουν Τα λόγια της Φυσικής δε φτιάχτηκαν για να περιγράφουν αλλά για να έχουν συγχρόνως τη δυνατότητα και να

προφητεύουνraquo

4) Στο παράδειγmicroα του Νίκου για τις φάσεις και τις αντιφάσεις χρησιmicroοποιήθηκαν σηmicroεία

όπου είχαmicroε ενισχύσεις

Θα παρακαλούσα το Νίκο αλλά και όποιον άλλο συνάδελφο θέλει να κάνει microια άσκηση

ή microια προσοmicroοίωση microε πιο γενικά σηmicroεία στη συmicroβολή κυmicroάτων και να υπολογίσει τις

φάσεις και τις αρχικές φάσεις στην εξίσωση ταλάντωσης των σηmicroείων αυτών δίνοντας έmicro-

φαση πάντα το πεδίο ορισmicroού και στον περιορισmicroό της αρχικής φάσης σε έναν τριγωνοmicroε-

τρικό κύκλο πχ της microορφής [02π)

Πιστεύω ότι έτσι κάποια πράγmicroατα θα γίνουν πολύ πιο ευδιάκριτα πιο απλά και το κυριό-

τερο θα περάσουν πιο εύκολα στους συναδέλφους

5) Τελειώνοντας οφείλω να πω ότι η σηmicroερινή microου ανάρτηση ουσιαστικά οφείλεται

στους προβληmicroατισmicroούς που microας έθεσε ο Νίκος (Ανδρεάδης) πάνω στη συmicroβολή των κυmicroά-

των microε το laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολήraquo

Έχοντας ξεκινήσει να γράφω microια σειρά αναρτήσεων σχετικών microε τις έννοιες φάση και αρ-

χική φάση microου ήρθε ανέλπιστα η δουλειά του Νίκου η οποία microε τα ερωτήmicroατα που έθεσε

τη συζήτηση που ακολούθησε και τις γνώmicroες που διατυπώθηκαν microου έδωσε ισχυρά επιχει-

ρήmicroατα να υποστηρίξω την απόλυτη πίστη microου στην αξία των ορισmicroών όχι ως απλή λεκτική

επανάληψη microιας υποχρεωτικής αποστήθισης αλλά ως συνειδητοποίηση όλης εκείνης της

26

εσωτερικής λειτουργίας απόλυτα συγκεκριmicroένων πραγmicroάτων που κρίνουν τους ορισmicroούς

ως χρήσιmicroους και απαραίτητους και τους γεννούν για να υπάρχουν και να πλουτίζουν τη

γλώσσα microας

Τους βάζουν δίπλα microας και microας καλούν να πιστέψουmicroε στην αξία τους και ποτέ να microην

τους υποτιmicroήσουmicroε όσο απλοί και να είναι

(συνεχίζεται)

Σάββατο 29 Ιανουαρίου 2011

Θρασύβουλος Κων Μαχαίρας

Γενικό Λύκειο Αγριάς Πηλίου

s7-kmghotenetgr

11

β΄ τρόπος Με τη χρήση των σχέσεων (28) και (29)

Την εξίσωση κίνησης που microας δίνουν φέρνουmicroε στη microορφή και τους περιορισmicroούς

της συνάρτησης (28)

x=Amiddotηmicro[2π(t‒2)+ φ0 ] t ge 2 sec Agt0 0le φ0lt2π (41)

Τότε η φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ=2π(t‒2)+ φ0 (41α)

και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ0

Εποmicroένως όλο το πρόβληmicroα εντοπίζεται στον υπολογισmicroό της φ0

Ας τον κάνουmicroε

Μετασχηmicroατίζουmicroε την εξίσωση κίνησης (39) που microας δίνουν ώστε να αποκτήσει τη microορ-

φή της σχέσης (41)

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒2)+4πminus4

9π] t ge 2 sec

και τελικά

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒2)+4

7π] (SI) t ge 2 sec (42)

Άρα η φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση κίνησης (42) και κατά συνέπεια στην εξί-

σωση κίνησης (39) που microας έδωσαν είναι

φ=2π(t‒2)+4

7π=

4

π9πt2 minus microε t ge2 sec

και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης θα είναι

φ0=4

7π

Σηmicroειώσεις

α) Από το παραπάνω παράδειγmicroα φαίνεται η ευκολία microε την οποία λύνεται το πρόβληmicroα

της φάσης και της αρχικής φάσης microε τον β΄ τρόπο αν φέρουmicroε δηλαδή την εξίσωση κίνη-

σης που microας δίνουν στη microορφή της συνάρτησης (28) microε τους περιορισmicroούς όmicroως που ακο-

λουθούν αυτή τη microορφή Τον τρόπο αυτόν θα ακολουθήσουmicroε και στο επόmicroενο παράδειγmicroα Ίσως κάποιος πει γιατί να τα κάνουmicroε όλα αυτά αφού θα microπορούσαmicroε και microόνο microε παρα-

τήρηση σύγκριση και microε microια αντικατάσταση στην εξίσωση κίνησης (39) που microας δίνουν να

βρούmicroε αυτά που ζητάmicroε πολύ πιο εύκολα

Ο λόγος της ευκολίας που πιθανώς να διακρίνει κάποιος οφείλεται στο γεγονός ότι η (39)

ήταν σχέση laquomicroαγειρεmicroένηraquo Είχε ετοιmicroαστεί από το πρώτο παράδειγmicroα Τα πράmicroατα όmicroως

δε θα είναι πάντα τόσο ευδιάκριτα Θα το διαπιστώσουmicroε στο επόmicroενο παράδειγmicroα

12

β) Η εξίσωση κίνησης (39) που microας δώσανε

x=10-1

middotηmicro(2πt 4

9πminus ) (SI) microε t ge2 sec

είναι microαθηmicroατικά ισοδύναmicroη microε την

x=10-1

middotηmicro(2πt 4

πminus ) (SI) microε t ge2 sec

Κατά συνέπεια αυτή η τελευταία θα microπορούσε κάλλιστα να δοθεί στη θέση της πρώτης

Μήπως αυτό θα επηρέαζε τη φάση και την αρχική φάση που θα βρίσκαmicroε γεγονός που

θα καθιστούσε και τους ορισmicroούς και τις έννοιες άχρηστες

Η απάντηση είναι όχι Οποιαδήποτε microαθηmicroατικά ισοδύναmicroη σχέση και να χρησιmicroοποιήσουmicroε ως εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης εφό-σον ακολουθήσουmicroε microε συνέπεια όσα αναφέραmicroε θα καταλήξουmicroε στην ίδια σχέση για τη φάση και στην ίδια τιmicroή για την αρχική φά-ση

Το γεγονός αυτό δείχνει τη συνέπεια των ορισmicroών που δώσαmicroε για φάση και αρχική φάση

Συνεπώς αν τους υιοθετήσουmicroε που τουλάχιστον βουβά microέχρι τώρα το έχουmicroε ήδη κάνει

στη φυσική δεν θα έχουmicroε αντιφάσεις

γ) Ο λόγος που στην εξίσωση (39) χρησιmicroοποιήσαmicroε το 4

9πminus και όχι το ισοδύναmicroο

4

πminus

ήταν για να δείξουmicroε ότι αυτός που θα microας δώσει microια εξίσωση κίνησης δεν είναι υποχρεω-

microένος να την έχει επεξεργαστεί και να έχει υιοθετήσει κάποιες φόρmicroες ή να έχει προσέξει τις

microαθηmicroατικές ισοδυναmicroίες

Αυτός που θα microας δώσει την εξίσωση κίνησης είναι ελεύθερος να microας δώσει ότι θέλει (microαθηmicroατικά ισοδύναmicroο) αρκεί να δώσει όπως οφείλει να δώσει σε κάθε συνάρτηση το πεδίο ορισmicroού της

3ο παράδειγmicroα

Υλικό σηmicroείο εκτελεί (απλή) αρmicroονική ταλάντωση που περιγράφεται από την εξίσωση κίνη-

σης

x=10-1

middotηmicro(4

πt

3

10π+ ) (SI) microε t ge minus3 sec (41)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης στη δεδοmicroένη microορφή εξίσωσης κί-

νησης

Λύση

Μετασχηmicroατίζουmicroε τη σχέση (41) ώστε να αποκτήσει τη microορφή της σχέσης (28) δηλαδή

να αποκτήσει τη microορφή

x=Amiddotηmicro[ω(t‒t0)+φ0 ] t ge Rt0 isin Agt0 0le φ0 lt2π

13

Πράγmicroατι η (41) γίνεται

x=10-1

middotηmicro[4

π(t+3)minus

4

3π +

3

10π ] t ge -3 sec

ή x=10-1

middotηmicro[4

π(t+3)+

12

31π ] t ge -3 sec

Αφαιρώ (ή προσθέτω αν microε βολεύει) ακέραιο πολλαπλάσιο του 2π προκειmicroένου να δη-

microιουργήσω θετική αρχική φάση περιορισmicroένη σε έναν τριγωνοmicroετρικό κύκλο

x=10-1

middotηmicro[4

π(t+3)minus2π+

12

31π ] t ge -3 sec

και τελικά

x=10-1

middotηmicro[4

π(t+3)+

12

7π ] (SI) microε t ge -3 sec (42)

Άρα η φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση κίνησης (42) και κατά συνέπεια στην εξί-

σωση κίνησης (41) που microας έδωσαν είναι

φ=4

π(t+3)+

12

7π=

4

πt+

3

4π microε t ge-3 sec

και άρα η αρχική φάση θα είναι

φ0=12

7π rad

Σηmicroείωση

Θα είχαmicroε καταλήξει στην ίδια ακριβώς σχέση για τη φάση και στην ίδια τιmicroή

για την αρχική φάση ακόmicroη και αν αρχίζαmicroε από οποιαδήποτε εξίσωση microαθη-

microατικά ισοδύναmicroη microε τη δεδοmicroένη εξίσωση κίνησης όπως πχ από την

x=10-1

middotηmicro(4

πt

3

4π+ ) (SI) microε t ge minus3 sec

Αρκεί η σχέση που θα microας έδιναν να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση να

ήταν ισοδύναmicroη microαθηmicroατικά microε την (41) και κατά συνέπεια να είχε το ίδιο πε-

δίο ορισmicroού microε αυτή

raquo

14

Γ Συmicroπέρασmicroα

(ένας απλός τρόπος υπολογισmicroού φάσης και αρχικής φάσης) Με τα παραπάνω θεmicroελιώνεται microαθηmicroατικά ένας πολύ απλός τρόπος εύρεσης της φάσης

και της αρχικής φάσης σε microια τυχαία εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία microας δίνουν

ή στην οποία καταλήγουmicroε microετά από διάφορους microαθηmicroατικούς microετασχηmicroατισmicroούς

Απαίτηση όmicroως για την εφαρmicroογή αυτού του τρόπου είναι η παρουσία του πεδίου ορισmicroού

της συνάρτησης κάτι που στο κάτω-κάτω είναι και απαίτηση κάθε σοβαρής microαθηmicroατικής

αντιmicroετώπισης

Ας τον δούmicroε

Έστω για παράδειγmicroα ότι microε οποιονδήποτε microαθηmicroατικά σωστό τρόπο καταλήγουmicroε

στην εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης

χ=Αηmicro(ωt+θ) microε t ge t0 (60)

Επειδή οι microαθηmicroατικές microεθοδολογίες δεν ενδιαφέρονται για τις αγωνίες ενός φυσικού δεν είναι καθόλου υπο-χρεωmicroένες να εξασφαλίσουν ότι η ποσότητα θ θα είναι αρχική φάση ούτε ότι η ποσότητα ωt+θ θα είναι φά-ση

Αυτές οι έννοιες αφορούν τον φυσικό ο οποίος θα πρέπει πρώτα να τις ορίσει microε αυστηρότητα (και αυτό microπο-ρεί να γίνει microόνο microέσα από την ξεχωριστή εσωτερική λειτουργία των διαφορικών εξισώσεων όπως έχουmicroε ήδη επισηmicroάνει) και κατόπιν να χρησιmicroοποιήσει την εγγύηση των microαθηmicroατικών για να εξασφαλίσει ότι η αυστηρότητα των ορισmicroών του θα είναι όχι απλά συνεπέστατη λογικά αλλά κυρίως ότι θα δώσει την εγγύηση πως δεν θα προκύψουν παρανοήσεις

Έτσι λοιπόν το θ που θα προκύψει από τους microαθηmicroατικούς microετασχηmicroατισmicroούς

microπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγmicroατικός αριθmicroός

Τότε

1ο βήmicroα Στην (60) εmicroφανίζουmicroε την αρχική τιmicroή του χρόνου t0 γράφοντάς

την microε τη microορφή

x=Aηmicro[ω(t-t0)plusmnθ΄] microε t ge t0

2ο βήmicroα Αν η θ΄ στο όρισmicroα του ηmicroίτονου είναι microέσα σε ένα τριγωνοmicroε-

τρικό κύκλο αυτή είναι η αρχική φάση Αλλιώς προσθέτουmicroε ή

αφαιρούmicroε ακέραια πολλαπλάσια του 2π ώστε microετά την παρά-

σταση ω(t-t0) να εξασφαλίσουmicroε laquoγωνίαraquo φ0 η οποία να είναι

microέσα στον τριγωνοmicroετρικό κύκλο που έχουmicroε επιλέξει

Να είναι δηλαδή στο διάστηmicroα [0 2π) ή στο [-π π) κλπ

x=Aηmicro[ω(t-t0)+φ0] microε t ge t0 (60α)

3ο βήmicroα Η ποσότητα φ=ω(t-t0)+φ0 είναι η φάση και φ0 είναι η αρχική

φάση στη σχέση (60α) Άρα και στην (60) που microας έδωσαν

Τον παραπάνω τρόπο εφαρmicroόσαmicroε ήδη στο 3ο παράδειγmicroα

15

Δ Κύmicroατα

Το έχω ξαναπεί αλλά θα το ξαναπώ γιατί νοmicroίζω ότι microόνο έτσι microόνο όταν πιστέψουmicroε

στα λάθη που microας βάζουνε και διδάσκουmicroε κάποια στιγmicroή θα βρεθούν κάποιοι ικανοί που

θα βρουν τρόπο να ζητήσουν ευθύνες από όλους εκείνους που χρόνια τώρα microας βουλιάξανε

microας βουλιάζουνε και θα βουλιάξουνε γενιές ανθρώπων στα λάθη γράφοντας πανεπιστηmicroια-

κά βιβλία χωρίς ποτέ να microπουν στον κόπο να ξαναψάξουν αυτά που γράφουν

Το κεφάλαιο laquoΚύmicroαταraquo που διδάσκουmicroε είναι το λιγότερο λανθασmicroένο Λανθασmicroένο

πιο πολύ από τις ταλαντώσεις γιατί τα laquoκύmicroαταraquo κουβαλάνε όλα τα λάθη των ταλα-

ντώσεων και κάτι ακόmicroη που είναι πιο τραγικά λανθασmicroένο Τη διάδοση

Η διδασκαλία microας στο κεφάλαιο laquoΚύmicroαταraquo ΔΥΣΤΥΧΩΣ ΣΤΗΡΙΖΕΤΑΙ ΣΤΗ ΔΙΑ-

ΔΟΣΗ ΤΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ

Μα αυτά που διδάσκουmicroε ούτε laquoκύmicroαταraquo είναι ούτε διαδίδονται

Και έτσι εmicroείς οι απλοί φυσικοί της γειτονιάς γινόmicroαστε τραγικές φιγούρες microιας και microετά

από ένα κεφάλαιο γεmicroάτο λάθη όπως είναι οι laquoταλαντώσειςraquo αναγκαζόmicroαστε να λέmicroε να

βρίσκουmicroε να διδάσκουmicroε να microπαλώνουmicroε και να εmicroπλουτίζουmicroε microε ασκήσεις το δεύτερο

κεφάλαιο laquoΤα κύmicroαταraquo που είναι ακόmicroη πιο λανθασmicroένο

Η εmicroπειρία microου ως αεί υφιστάmicroενος τόσων και τόσων σε ένα Υπουργείο Παιδείας που η-

δονίζεται να αλλάζει ονόmicroατα microόνο και όχι ουσία microου λέει τούτο το απλό

Όταν τόσοι φυσικοί δυσκολευόmicroαστε κάποιες φορές να κατανοήσουmicroε αυτά που διδάσκου-

microε και που γράφει ένα σχολικό βιβλίο προορισmicroένο για microαθητές λυκείου σίγουρα κάποιοι

άλλοι κάνανε χοντρά λάθη ως laquomicroέντορεςraquo (γελοιοποίηση microιας ακόmicroη όmicroορφης αρχαίας λέ-

ξης) και microας βάλανε να διδάξουmicroε τα λάθη τους microε τέτοιο τρόπο που στο τέλος

ξεχάσαmicroε ότι ήταν δικά τους λάθη και νοmicroίσαmicroε ότι όλα ήταν δικά microας σω-

στά

Παρακάmicroπτω λοιπόν την ανύπαρκτη φυσική της συmicroβολής των laquoκυ-

microάτωνraquo που διδάσκουmicroε και χρησιmicroοποιώντας microόνο την ορολογία της θα προσπα-

θήσω microέσα από microια microατιά laquoγυmicroνάraquo microαθηmicroατική να εφαρmicroόσω στο συγκεκριmicroένο laquoφαινόmicroε-

νοraquo όσα προαναφέραmicroε Επικαλούmicroενος και ελπίζοντας microόνο στην αυστηρότητα του ορισmicroού

Αν εφαρmicroόσουmicroε microε συνέπεια τους αυστηρούς ορισmicroούς της φάσης και της αρχικής φάσης

που δώσαmicroε κι αν σε φαινόmicroενα ίδιας ποιότητας δεν αρνηθούmicroε τις microαθηmicroατικές πορείες

που καταγράψαmicroε κι ακολουθήσαmicroε στις τρεις προηγούmicroενες αναρτήσεις laquoΟρισmicroοί και

εξισώσεις κίνησης α΄ β΄ και γ΄ microέροςraquo τότε δε θα υπάρξουν συλλογιστικά αδιέξοδα

Ας το δούmicroε (τα σύmicroβολα που χρησιmicroοποιούνται θεωρούνται αυτονόητα)

Στην εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης

minus=λ

πηmicro 11

r

T

t2Ay microε

υ1rt ge (61)

16

που επιβάλλει στο τυχαίο σηmicroείο Μ το πρώτο laquoκύmicroαraquo όταν έχει διαδοθεί microόνο του οι έν-

νοιες της φάσης και της αρχικής φάσης είναι καθορισmicroένες microε απόλυτη σαφήνεια αρκεί να

microην ξεχάσουmicroε το πεδίο ορισmicroού

φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (61)

λππ

ϕ 1r2

T

t2minus= microε

υ1rt ge

αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (61)

φ0=0 rad

Στην εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης

minus=λ

πηmicro 22

r

T

t2Ay microε

υ2rt ge (62)

που επιβάλλει στο τυχαίο σηmicroείο Μ το δεύτερο laquoκύmicroαraquo όταν έχει διαδοθεί microόνο του οι έν-

νοιες της φάσης και της αρχικής φάσης είναι καθορισmicroένες microε απόλυτη σαφήνεια αρκεί να

microην ξεχάσουmicroε το πεδίο ορισmicroού

φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (62)

λππ

ϕ 2r2

T

t2minus= microε

υ2rt ge

αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (62)

φ0=0 rad

Μετά τη laquoσυmicroβολή των δύο κυmicroάτωνraquo η εξίσωση ταλάντωσης του ση-

microείου Μ είναι

minus+

minus=+=λ

πηmicroλ

πηmicro 2121

r

T

t2A

r

T

t2Ayyy microε

geυυ

21 r

rmax t (63)

Στη σχέση (63) οι έννοιες laquoφάσηraquo και laquoαρχική φάσηraquo δεν ορίζο-

νται Δεν υπάρχουν

Η κίνηση που αποδίδεται microε τη σχέση (63) είναι επαλληλία των εξισώσεων κίνησης δύο

αρmicroονικών ταλαντώσεων (επαλληλία δύο αρmicroονικών συναρτήσεων δηλαδή και όχι πραγmicroα-

τικών κινήσεων) ίδιας διεύθυνσης ίδιας συχνότητας και ίδιας laquoθέσης ισορροπίαςraquo

17

Είναι επαλληλία των συναρτήσεων y1 και y2

Η σύνθεσή τους η y δηλαδή είναι microια (πραγmicroατική) αρmicroονική ταλάντωση ίδιας διεύθυν-

σης ίδιας συχνότητας και ίδιας θέσης ισορροπίας microε τις συνιστώσες εξισώσεις κίνησης ή

καλύτερα microε τους προσθετέους της (63)

Όπως είναι γραmicromicroένη η εξίσωση (63) δεν έχουmicroε κανένα δικαίωmicroα να microιλάmicroε

ούτε για laquoφάσηraquo ούτε για laquoαρχική φάσηraquo

Για να αποκτήσουmicroε αυτό το δικαίωmicroα πρέπει να τη φέρουmicroε σε microορφή που να διαθέτει

ένα microόνο τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό και δη ή microόνο ένα ηmicroίτονο ή microόνο ένα συνηmicroίτονο

Με άλλα λόγια

αν θέλουmicroε να microιλάmicroε για φάση και αρχική φάση στην σχέση (63) εξίσωση συmicroβολής των

κυmicroάτων θα πρέπει να τη φέρουmicroε στη microορφή

( )0t Ay ϕωηmicro prime+prime=

ή στη microορφή

( )0t Ay ϕωσυν primeprime+primeprime=

Τότε όmicroως

για να microην καταρρεύσουν αmicroφότεροι οι ορισmicroοί κι εποmicroένως και οι έννοιες

της φάσης και της αρχικής φάσης θα πρέπει να φροντίσουmicroε η αρχική φάση

να περιοριστεί σε ένα τριγωνοmicroετρικό κύκλο

για να αποφύγουmicroε κάθε επικίνδυνη ρευστότητα θα πρέπει να τεθεί οπωσ-

δήποτε το πεδίο ορισmicroού της συνάρτησης

για να microην υπάρξουν συλλογιστικά αδιέξοδα θα πρέπει να ακολουθήσουmicroε

microε συνέπεια την πορεία που καταγράψαmicroε στα παραδείγmicroατα 1-3 για τον

υπολογισmicroό φάσης και αρχικής φάσης ή έστω να εφαρmicroόσουmicroε τον απλό

τρόπο που καταγράφεται στη σελίδα 14

Ο microετασχηmicroατισmicroός της (63) ώστε να περιέχει ένα microόνο τριγωνο-

microετρικό αριθmicroό microπορεί να γίνει microε διάφορους τρόπους

1ος τρόπος Χρησιmicroοποιώντας τους τύπους της επαλληλίας εξισώσεων κίνησης

Αν έχουmicroε αριθmicroητικά δεδοmicroένα και δε θέλουmicroε να microπλεχτούmicroε microε πολλά microαθηmicroατικά

microπορούmicroε να χρησιmicroοποιήσουmicroε τους τύπους του σχολικού βιβλίου για την επαλληλία εξι-

σώσεων αρmicroονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης ίδιας συχνότητας και ίδιας θέσης ισορ-

ροπίας

Τους τύπους αυτούς όmicroως θα πρέπει να ισχυροποιήσουmicroε ώστε να συmicroπεριλάβουν περι-

πτώσεις όπου και οι δύο ταλαντώσεις έχουν αρχική φάση και να εmicroπλουτίσουmicroε microε έναν ε-

πιπλέον τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό ή microε κάποια επιπλέον microαθηmicroατική microας δεξιότητα microιας και η

σχέση microε την εφθ microόνη της δε microπορεί να προσδιορίσει την αρχική φάση θ έστω κι αν αυτή

περιοριστεί σε έναν τριγωνοmicroετρικό κύκλο

18

( Επαλληλία εξισώσεων αρmicroονικών ταλαντώσεων

x1=Α1middotηmicro(ωt+φ1) και x2=Α2middotηmicro(ωt+φ2)

x=x1+ x2=Aηmicro(ωt+θ)

όπου )(AA2AAA 21212

22

1 ϕϕσυν minus++= Α

ηmicroϕΑηmicroϕΑηmicroϑ 2211 +

= (64)

2211

2211

AA

AA

συνϕσυνϕηmicroϕηmicroϕ

εϕϑ+

+=

ΑσυνϕΑσυνϕΑ

συνϑ 2211 +=

microε 0leθlt2π

Τέτοιου είδους αντιmicroετωπίσεις έχουν ήδη καταχωρηθεί στο δίκτυο)

2ος τρόπος Μετασχηmicroατίζουmicroε την (63) και φτάνουmicroε στη microορφή

+minussdot

minus=

λΤπηmicro

λπσυν

2

rrt2

2

rr2A2y 2121 microε

geυυ

21 r

rmax t (65)

Αφού φιλοδοξούmicroε η (65) να περιγράφει πραγmicroατική κίνηση (κι όχι να είναι κα-

νένας προσθετέος σε επαλληλία εξισώσεων κίνησης) και επιθυmicroούmicroε οι έννοιες laquoφάσηraquo και

laquoαρχική φάσηraquo να έχουν νόηmicroα θα πρέπει ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ να χειρι-

στούmicroε την (65) microε τους τρόπους που δείξαmicroε στα παραδείγmicroατα 1-3

Αν δηλαδή επιθυmicroούmicroε να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση στην

(65) θα πρέπει να χρησιmicroοποιήσουmicroε ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ το πεδίο ορισmicroού

της και τον περιορισmicroό της αρχικής φάσης σε ένα τριγωνοmicroετρικό κύκλο

(Το να χειριστούmicroε τη σχέση (65) γενικά ώστε να εmicroφανιστούν γενικοί περιορισmicroοί στο πεδίο ορισmicroού και στην

αρχική φάση του ενός τριγωνοmicroετρικού κύκλου νοmicroίζω ότι θα είναι άσκοπο microιας και ο χρόνος που θα απαιτήσει

η γραφή αυτή θα ΄ναι microεγάλος και η αξία των τύπων ελάχιστη Γι΄ αυτό καταφεύγω σε παραδείγmicroατα)

4ο παράδειγmicroα

Έστω ότι σε κάποιο πρόβληmicroα συmicroβολής κυmicroάτων y1= και y2= αντικαθι-

στούmicroε τα δεδοmicroένα στην εξίσωση της συmicroβολής (65) και βρίσκουmicroε ότι το σηmicroείο Μ που απέ-

χει r1= και r2= από τις πηγές ταλαντώνεται αρmicroονικά microε εξίσωση

y=10-1

middotηmicro(2πt 4

11πminus ) (SI) microε t ge 6 sec (66)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης του Μ στην (66)

19

Λύση

1ος τρόπος

Κάνουmicroε ότι κάναmicroε στο παράδειγmicroα 2 στη σελίδα 10 ή στο παράδειγmicroα 3 στη σελίδα 12 αυ-

τής της ανάρτησης

2ος τρόπος

Για πιο γρήγορα ακολουθούmicroε τα βήmicroατα της σελίδας 14

1ο βήmicroα Μετασχηmicroατίζουmicroε την εξίσωση κίνησης (66) ώστε να εmicroφανιστεί η

αρχική τιmicroή χρόνου 6 sec microέσω της microορφής ω(t-t0)=2π(t-6)

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+12πminus4

11π] t ge 6 sec

και τελικά

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

37π] (SI) t ge 6 sec (67)

2ο βήmicroα Στο όρισmicroα του ηmicroίτονου microετά την ποσότητα 2π(t-6) η laquoγωνίαraquo 4

37π

δεν είναι microέσα στο διάστηmicroα [02π) που έχουmicroε υιοθετήσει ως περιορι-

σmicroό της αρχικής φάσης

Εποmicroένως πρέπει να αφαιρέσουmicroε κατάλληλα ακέραια πολλαπλάσια

του 2π

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

37πminus4middot2π] (SI) t ge 6 sec

από όπου τελικά

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

5π] (SI) t ge 6 sec (67α)

3ο βήmicroα Στην (67α) που καταλήξαmicroε microε την παραπάνω διαδικασία

η φάση είναι φ=2π(t‒6)+4

5π microε t ge 6 sec

και η αρχική φάση είναι φ0=4

5π rad

Το ίδιο συνεπώς θα ισχύει και για την (67)

Βέβαια όλα τα παραπάνω microπορούν να γίνουν πολύ πιο γρήγορα αρκεί να έ-

χουmicroε στο microυαλό microας ότι για να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση σε microια

εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία microας έδωσαν ή στην οποία καταλήξα-

microε θα πρέπει να τη microετασχηmicroατίσουmicroε ώστε

να εmicroφανίσουmicroε την αρχική τιmicroή του χρόνου microε τη microορφή που είπαmicroε

να εξασφαλίσουmicroε ότι ο προσθετέος που δεν περιέχει χρόνο είναι σε

διάστηmicroα ενός τριγωνοmicroετρικού κύκλου και microάλιστα στη microορφή που έ-

χουmicroε επιλέξει για την αρχική φάση ([02π) ή [-ππ) ή )

20

5ο παράδειγmicroα

Έστω ότι σε κάποιο πρόβληmicroα συmicroβολής κυmicroάτων y1= και y2= αντικαθι-

στούmicroε τα δεδοmicroένα στην εξίσωση της συmicroβολής (65) και βρίσκουmicroε ότι το σηmicroείο Μ που απέ-

χει r1= και r2= από τις πηγές ταλαντώνεται αρmicroονικά microε εξίσωση

y=minus10-1

middotηmicro(2πt4

9πminus ) (SI) microε t ge 05 sec (68)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης του Μ στην (68)

Λύση

Η (68) γίνεται διαδοχικά

y=minus10-1

middotηmicro(2πt4

9πminus ) = 10

-1middotηmicro(2πt+π

4

9πminus )=10

-1middotηmicro(2πt

4

5πminus )=10

-1middotηmicro[2π(tminus05)

4

πminus ]

και τελικά

y=10-1

middotηmicro[2π(tminus05)4

7π+ ] (68α)

Η (68α) έχει εmicroφανίσει την αρχική τιmicroή χρόνου 05 sec στη microορφή που θέλουmicroε και προ-

σθετέο 4

7π που δεν περιέχει χρόνο t και βρίσκεται στο διάστηmicroα [02π)

Άρα η φάση και η αρχική φάση της (68) είναι ίδιες microε εκείνες της (68α)

∆ηλαδή

Φάση φ=2π(tminus05)4

7π+ =2πt

4

3π+ microε t ge 05 sec

Αρχική φάση rad 4

7π0 =ϕ

Φάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολή

Ο Νίκος (Ανδρεάδης) microε δύο ευφυέστατες αναρτήσεις

laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολήraquo

laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολή-Μέρος δεύτεροraquo

που βρίσκονται στη διεύθυνση

httpylikonetgrprofilesblogsphhaseis-kai-antiphhaseis-ste

microας ώθησε να ακούσουmicroε κάποιους τριγmicroούς από την ψεύτικη πραγmicroατικότητα των

κυmicroάτων που διδάσκουmicroε

21

Γράφει λοιπόν

laquoΝ=6 1r 15= m

1 2r r 6 λminus = sdot

2r 03= m

Για t 3ge s η εξίσωση κίνησης προκύπτει από την επαλληλία των εξισώσεων

11

2πr2πty A ηmicro

T λ

= sdot minus

και 2

2

2πr2πty A ηmicro

T λ

= sdot minus

Μετά από πράξεις

( )1y 01 ηmicro 5πt 15π= sdot minus και ( )2

y 01 ηmicro 5πt 3π= sdot minus

Σύmicroφωνα microε τη σχέση 1 2 1 2r r r r2πt

y 2A συν 2π ηmicro π2λ T λ

minus += sdot sdot minus

microετά από πράξεις προκύπτει

( )y 02 ηmicro 5πt 9π= sdot minus

Η φάση (της αποmicroάκρυνσης στην παραπάνω εξίσωση) δίνεται από τη σχέση φ 5πt 9π= minus

Για t 3= s (προκύπτει η αρχική) φάση (η οποία) είναι 6π rad

παρατηρούmicroε ότι 7 σηmicroεία του microέσου τα οποία ξεκινούν την ίδια στιγmicroή την ίδια κίνηση από τη θέ-

ση ισορροπίας microε θετική ταχύτητα περιγράφονται microε διαφορετικές εξισώσεις και την στιγmicroή της εκκί-

νησης έχουν διαφορετική φάση

Οι απορίες microου

Ποιο είναι το φυσικό νόηmicroα των τιmicroών 0π 2π 4π 6π και 8π

Έχει νόηmicroα να ζητήσουmicroε τη διαφορά φάσης ενός από αυτά τα σηmicroεία microε microια πηγή

Αν όmicroως δούmicroε το θέmicroα ως σύνθεση δύο ταλαντώσεων που βρίσκονται σε συmicroφωνία φάσης καταλή-

γουmicroε αmicroέσως στο συmicroπέρασmicroα ότι και στις 7 περιπτώσεις η κίνηση για t 3ge s περιγράφεται από την

εξίσωση ( )y 02 ηmicro 5πt 15π= sdot minus (SI)

Η φάση δίνεται από τη σχέση φ 5πt 15π= minus (SI)

Για t 3= s η (αρχική) φάση είναι 0π rad ∆ηλ τη στιγmicroή της εκκίνησης έχουmicroε microηδενισmicroό της φάσης

για τα 7 σηmicroεία κάτι λογικό αφού τότε και τα 7 ξεκινούν microια νέα κίνηση από τη θέση ισορροπίας microε

θετική ταχύτηταraquo

Στους προβληmicroατισmicroούς που έθεσε ο Νίκος θα επιχειρήσω microια το-

ποθέτηση

Κατά τη γνώmicroη microου το microόνο που microπορεί να microας γλιτώσει από το παραπάνω παράδοξο είναι

η microαθηmicroατική αυστηρότητα microε την οποία φροντίσαmicroε να εφοδιάσουmicroε (και έτσι πρέπει

να γίνεται πάντα αν και πολλές φορές τούτο το απλό το ξεχνάmicroε) τους ορισmicroούς φάση και

αρχική φάση

Η αντίρρησή microου επικεντρώνεται στη φράση

laquoη φάση στην εξίσωση ( )y 02 ηmicro 5πt 9π= sdot minus δίνεται από τη σχέση φ 5πt 9π= minus raquo

η οποία εξάλλου είναι και η υπεύθυνη για τις αντιφάσεις που έχει εντοπίσει ο Νίκος

Προκειmicroένου να βρεθούν η φάση και η αρχική φάση στην εξίσωση microιας αρmicroονικής

ταλάντωσης πρέπει να ακολουθηθούν ορισmicroένες διαδικασίες

22

Αυτό δεν είναι ούτε σωσίβιο ούτε σοφιστεία ούτε κάποια κίνηση απελπισίας Είναι η ου-

σία του ορισmicroού που υιοθετήσαmicroε για τις δύο αυτές έννοιες

Η αυστηρότητα των ορισmicroών που δώσαmicroε ως φυσικοί εξασφαλίζει ότι τα microαθηmicroατικά όχι

microόνο θα microπορέσουν να εγγυηθούν τη συνέπεια των συλλογισmicroών και αποτελεσmicroάτων microας

αλλά θα ενσωmicroατώσουν microέσα τους τελείως διαφανείς πορείες απαραίτητες για την αυτοδυ-

ναmicroία και ισχύ του φυσικού έστω κι αν ένας microαθηmicroατικός αδιαφορήσει τελείως γι΄ αυτές

Αυτό δεν είναι παραλογισmicroός αλλά συνειδητοποίηση του διαφορετικού ρόλου

και της διαφορετικής ευθύνης των δύο ειδικοτήτων˙ του φυσικού και του microαθη-

microατικού

Κοντολογίς

Προκειmicroένου να διατηρήσουmicroε το δικαίωmicroα να χρησιmicroοποιούmicroε στο λεξιλόγιό microας τις λέξεις

φάση και αρχική φάση επιβάλλεται από τα microαθηmicroατικά να είmicroαστε συνεπείς microε τους ορι-

σmicroούς που τους δώσαmicroε και να τις χειριζόmicroαστε microε ειδικό τρόπο σε καθορισmicroένες πορείες

Αν δε το κάνουmicroε αυτό τα microαθηmicroατικά θα microας γυρίσουν την πλάτη

κι εmicroείς θα βουλιάξουmicroε στις παρανοήσεις στα αδιέξοδα και τις λο-

γικές ασυνέπειες

Σύmicroφωνα λοιπόν microε όσα έχουν αναφερθεί για να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση στην εξίσωση κίνησης

y=02middotηmicro(5πtminus9π) microε tge3 sec (69)

πρέπει να εmicroφανίσουmicroε microέσα της την αρχική τιmicroή του χρόνου 3 sec και να αφαιρέσουmicroε τα

ακέραια πολλαπλάσια του 2π microε τέτοιο τρόπο ώστε η αρχική φάση να είναι microέσα στη microορ-

φή του τριγωνοmicroετρικού κύκλου που υιοθετήσαmicroε

Πράγmicroατι η (69) γίνεται

y=02middotηmicro(5πtminus9π)=02middotηmicro[5π(t-3)+6π]

και τελικά

y=02middotηmicro[5π(t-3)+0] microε tge3 sec (69α)

Η (69α) και κατά συνέπεια και η (69) έχουν

Φάση φ=5π(t-3)+0=5πt-15π microε tge3 sec

Αρχική φάση φ0=0 rad

Νοmicroίζω ότι τώρα πια δεν υπάρχει καmicroιά αντίφαση microιας και όλες οι συλλογιστικές και όλες

οι microαθηmicroατικές πορείες θα δώσουν ακριβώς τα ίδια αποτελέσmicroατα

α) Και τα επτά σηmicroεία Ν=0 έχουν την ίδια φάση φ=5πt-15π microε tge3 sec και την ί-

δια αρχική φάση φ0=0 rad

23

β) Υπάρχει απόλυτη συλλογιστική συνέπεια σε όλα αφού όπως έχει ήδη επισηmicroάνει ο Νί-

κος laquoκαι τα 7 σηmicroεία πρέπει να έχουν την ίδια φάση και αρχική φάση αφού ξεκινούν microια

νέα κίνηση από τη θέση ισορροπίας microε θετική ταχύτηταraquo

γ) Είτε χρησιmicroοποιηθούν οι τύποι σύνθεσης ταλαντώσεων είτε χρησιmicroοποιηθεί ο τύ-

πος της συmicroβολής κυmicroάτων είτε οποιαδήποτε άλλη microαθηmicroατική διαδροmicroή τα αποτελέ-

σmicroατα φάσης και αρχικής φάσης θα είναι απολύτως ίδια

δ) laquoΚάθε κίνηση έχει φάση που microας πληροφορεί για πόσο χρόνο παρακολουθούmicroε τη συ-

γκεκριmicroένη κίνησηraquo

ε) Απορία

laquoΠοιο είναι το φυσικό νόηmicroα των τιmicroών 0π 2π 4π 6π και 8πraquo

Απάντηση

laquoοι τιmicroές 0π 2π 4π 6π και 8π που προκύπτουν microε (απλή-ανώδυνη) εφαρmicroογή της γνω-

στής σχέσης ηmicroΑ+ηmicroΒ=hellip δεν έχουν κανένα γνωστό ωφέλιmicroο φυσικό νόηmicroαraquo

Η εφαρmicroογή της σχέσης ηmicroΑ+ηmicroΒ= δεν οδηγεί πάντα απευθείας σε σχέση στην οποία να

είναι άmicroεσα διαφανείς η φάση και η αρχική φάση microιας εξίσωσης αρmicroονικής κίνησης

Ο τελικός τύπος χρειάζεται οπωσδήποτε επεξεργασία

στ) Απορία

laquoΈχει νόηmicroα να ζητήσουmicroε τη διαφορά φάσης ενός από αυτά τα σηmicroεία microε microια πηγήraquo

Απάντηση

Όχι Δεν πρέπει να ζητήσουmicroε τέτοιο πράγmicroα αν δε είmicroαστε έτοιmicroοι να αυτοκτονήσουmicroε ή να

microπούmicroε σε ατέλειωτες microαθηmicroατικές αναζητήσεις για να γλιτώσουmicroε microόνο και microόνο τη συνέ-

πεια της εννοιολογικά λανθασmicroένης laquoπραγmicroατικότηταςraquo των κυmicroάτων που διδάσκουmicroε

Η παρουσία πηγών επιβάλλει άλλου είδους κύmicroατα εmicroπλουτισmicroένα και microε άλλες έννοιες και

microε microαθηmicroατικούς χειρισmicroούς αρκετά δύσκολους microιας και στις διαφορικές εξισώσεις πρέπει

να παρθούν υπόψη συνοριακοί περιορισmicroοί

Στην πρώτη σελίδα της ανάρτησής microου laquoΟρισmicroοί και εξισώσεις κίνησης γ΄ microέροςraquo έγραφα κάτι που όσο περνάει ο καιρός το πιστεύω όλο και πιο πολύ

laquoδιδάσκουmicroε ˝κύmicroατα˝ που δήθεν διαδίδονται microε ταχύτητα υ έχουν αρχικές φάσεις έχουν

πηγές που τα παράγουν και πολλές φορές δύο πηγές για να έχουmicroε συmicroβολή

Μα αυτά που διδάσκουmicroε ούτε κύmicroατα είναι ούτε διαδίδονται ούτε πηγές περιέχουν

ούτε είναι κάπου και τρέχουν να πάνε κάπου αλλού ούτε ξεκινάνε από κάπου ούτε ούτε

ούτε

Στα κεφάλαια ˝Κύmicroατα˝ και ˝Μηχανική Στερεού Σώmicroατος˝ της Φυσικής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου ειλικρινά microε πιάνει απελπισία Τα πράmicroατα εκεί σκοτεινιάζουν τόσο πο-λύ Τί να πεις και από πού να αρχίσεις raquo

24

Στο σηmicroείο αυτό όmicroως νιώθω υποχρεωmicroένος να τονίσω ότι η αρνητικότατη στάση

microου απέναντι σε αυτό που microας βάζουν να διδάσκουmicroε ως κύmicroατα δεν πρέπει στο

ελάχιστο να θεωρηθεί ως απόρριψη της προσπάθειας συναδέλφων να microας δώσουν

ένα πλήθος ασκήσεων θέσεων αναλύσεων διαγωνισmicroάτων κλπ που έχουν σχέση

microε κύmicroατα και microε συmicroβολή κυmicroάτων που περιέχουν πηγές

Στο σχολείο πρέπει να κάνουmicroε αυτό που επιτάσσουν οι πανελλαδικές Άρα πέρα

από όλες τις διαφωνίες microεταξύ microας θα πρέπει προσωπικά να βρω ασκήσεις και θέ-

microατα να δώσω στα παιδιά για να καλύψω την ανήθικη έλλειψη ασκήσεων από το

σχολικό βιβλίο

Επίσης θα πρέπει να βρω τρόπο να microην καταρρεύσει η συλλογιστική των παιδιών

έστω και σαθρή πριν τις εξετάσεις

Αυτό microε τη σειρά του σηmicroαίνει ότι πρέπει να έχω επιχειρήmicroατα και υλικό κοmicromicroένο

στις συγκεκριmicroένες ανάγκες τους

Σε αυτό το σηmicroείο η βοήθεια που microου πρόσφεραν και microου προσφέρουν οι συνάδελ-

φοι του δικτύου και κάποια αξιόλογα εξωσχολικά βιβλία είναι όχι απλά πολύτιmicroη

αλλά ανεπανάληπτη

Με πολύ ανακούφιση δέχοmicroαι και παίρνω πολύτιmicroα διαγωνίσmicroατα ασκήσεις και υ-

λικό που προσφέρουν απλόχερα διάφοροι συνάδελφοι και που αναφέρονται σε κύmicroα-

τα που προέρχονται από πηγές και που συmicroβάλλουν

Επί τη ευκαιρία τους ευχαριστώ που microου δίνουν τον κόπο τους Κάποιες φορές microά-

λιστα αποτελεί πηγή αναθεωρήσεων και καινούριων αναζητήσεων microου

Ε Παρατηρήσεις

1) Η εξίσωση της αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία θα microας δώσουν ή στην οποία θα κα-

ταλήξουmicroε microετά από κάποια microαθηmicroατική επεξεργασία δεν είναι υποχρεωmicroένη να δηλώνει

καθαρά τη φάση και την αρχική φάση Εκείνο που πρέπει οπωσδήποτε να επισηmicroάνουmicroε εί-

ναι ότι φάση δεν είναι η ποσότητα που βρίσκεται microέσα στον τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό

Η εύρεση της φάσης και της αρχικής φάσης θέλουν διαδικασία η οποία θα απαιτήσει το

πεδίο ορισmicroού της εξίσωσης που microας δίνουν για την ταλάντωση ή για το κύmicroα

Ας του δώσουmicroε έmicroφαση microε microια άσκηση χωρίς κανένα απολύτως νόηmicroα

Στην παρακάτω εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης να βρεθεί η φάση και η αρχική

φάση της αποmicroάκρυνσης

y=10-1middotηmicro(2πt 4

11πminus )

Ο λόγος που αυτή η άσκηση είναι α-νόητη είναι γιατί δεν έχει δοθεί το πεδίο ορισmicroού Αλ-

λάζοντας το πεδίο ορισmicroού όπως ήδη έχουmicroε δείξει θα αλλάξει τόσο η συνάρτηση της φά-

σης όσο και η τιmicroή της αρχικής φάσης (∆ες σελίδα 18)

25

2) Η εύρεση της διαφοράς φάσης ανάmicroεσα σε δύο microεγέθη του ίδιου

φαινοmicroένου είναι ακόmicroη πιο επίπονη διαδικασία

Το θέmicroα αυτό είχε θέσει ο Θοδωρής microε microια ανάρτησή του που βρίσκεται στη διεύθυνση httpylikonetgrgroupthemataforumtopicsphhasearchikhe-

phhasediaphorhacommentId=36477953AComment3A16659ampgroupId=36477953AGroup3A5901

Όπως στην περίπτωση της φάσης και αρχικής φάσης οι αρmicroονικές συναρτήσεις πρέπει να

laquoετοιmicroαστούνraquo έτσι και στην περίπτωση που microας ζητάνε να βρούmicroε διαφορά φάσης ανάmicroε-

σα σε δύο φυσικά microεγέθη που εκφράζονται microε αρmicroονικές συναρτήσεις οι συναρτήσεις αυτές

πρέπει οπωσδήποτε να ετοιmicroαστούν κατάλληλα

3) Το πιο σηmicroαντικό στο οποίο εστιάζουν οι εργασίες microου (άσχετα αν τα καταφέρνω να

το δείξω ή όχι) είναι η microεθοδολογία που πρέπει να ακολουθούmicroε όταν θέλουmicroε να λύσουmicroε

microια διαφωνία microας να προχωρήσουmicroε microια αναζήτησή microας να βρούmicroε διέξοδο σε microια αντίφα-

ση να συνειδητοποιήσουmicroε microια έννοια

Κατά τη γνώmicroη microου πρέπει να ξεκινάmicroε από τους ορισmicroούς και αφού εξασφαλίσουmicroε την

αυστηρότητά τους να προχωρήσουmicroε σε απλές έστω εννοιολογικές κατακτήσεις απαραίτη-

τες όmicroως για την αναπνοή microας ως φυσικών ή ως ενδιαφεροmicroένων για τη φυσική

laquohellipΗ αξία των ορισmicroών εντοπίζεται στη σωστή θέση που πρέπει να κατέχουν κατά τη συνεννόηση microε-

ταξύ των φυσικών και στον κορυφαίο και αναντικατάστατο ρόλο που πρέπει microε κάθε σεβασmicroό να απο-

δεχτούmicroε ότι διαδραmicroατίζουν στη διαmicroόρφωση της δοmicroής της γλώσσας που χρησιmicroοποιεί η Φυσική

∆εν γίνεται να κάνεις Φυσική αν δεν έχεις τα σωστά κατάλληλα λόγια για να περιγράψεις στους άλ-

λους το όmicroορφο

Η Φυσική έχει ορισmicroούς που δεν είναι διαπραγmicroατεύσιmicroοι και microαθηmicroατικές microεθοδολογίες που δεν

πρέπει να αγνοούνται αν θέλουmicroε να έχουmicroε συνέπεια και να εξασφαλίζουmicroε απόλυτη διαφάνεια στους

συλλογισmicroούς microας

∆εν πρέπει να χαλάmicroε τη γλώσσα γιατί αλλιώς χαλάει η σκέψη και η επικοινωνία microεταξύ microας Πρέπει να δεχτούmicroε στην ψυχή microας (όχι στα λόγια) ότι οι ορισmicroοί έχουν αξία και να συνειδητοποιή-

σουmicroε την microοναδική τους ιδιότητα Αυτή που είναι και η αιτία της ύπαρξής τους Να είναι χρήσιmicroοι

Οι ορισmicroοί ή είναι χρήσιmicroοι ή δεν υπάρχουν Τα λόγια της Φυσικής δε φτιάχτηκαν για να περιγράφουν αλλά για να έχουν συγχρόνως τη δυνατότητα και να

προφητεύουνraquo

4) Στο παράδειγmicroα του Νίκου για τις φάσεις και τις αντιφάσεις χρησιmicroοποιήθηκαν σηmicroεία

όπου είχαmicroε ενισχύσεις

Θα παρακαλούσα το Νίκο αλλά και όποιον άλλο συνάδελφο θέλει να κάνει microια άσκηση

ή microια προσοmicroοίωση microε πιο γενικά σηmicroεία στη συmicroβολή κυmicroάτων και να υπολογίσει τις

φάσεις και τις αρχικές φάσεις στην εξίσωση ταλάντωσης των σηmicroείων αυτών δίνοντας έmicro-

φαση πάντα το πεδίο ορισmicroού και στον περιορισmicroό της αρχικής φάσης σε έναν τριγωνοmicroε-

τρικό κύκλο πχ της microορφής [02π)

Πιστεύω ότι έτσι κάποια πράγmicroατα θα γίνουν πολύ πιο ευδιάκριτα πιο απλά και το κυριό-

τερο θα περάσουν πιο εύκολα στους συναδέλφους

5) Τελειώνοντας οφείλω να πω ότι η σηmicroερινή microου ανάρτηση ουσιαστικά οφείλεται

στους προβληmicroατισmicroούς που microας έθεσε ο Νίκος (Ανδρεάδης) πάνω στη συmicroβολή των κυmicroά-

των microε το laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολήraquo

Έχοντας ξεκινήσει να γράφω microια σειρά αναρτήσεων σχετικών microε τις έννοιες φάση και αρ-

χική φάση microου ήρθε ανέλπιστα η δουλειά του Νίκου η οποία microε τα ερωτήmicroατα που έθεσε

τη συζήτηση που ακολούθησε και τις γνώmicroες που διατυπώθηκαν microου έδωσε ισχυρά επιχει-

ρήmicroατα να υποστηρίξω την απόλυτη πίστη microου στην αξία των ορισmicroών όχι ως απλή λεκτική

επανάληψη microιας υποχρεωτικής αποστήθισης αλλά ως συνειδητοποίηση όλης εκείνης της

26

εσωτερικής λειτουργίας απόλυτα συγκεκριmicroένων πραγmicroάτων που κρίνουν τους ορισmicroούς

ως χρήσιmicroους και απαραίτητους και τους γεννούν για να υπάρχουν και να πλουτίζουν τη

γλώσσα microας

Τους βάζουν δίπλα microας και microας καλούν να πιστέψουmicroε στην αξία τους και ποτέ να microην

τους υποτιmicroήσουmicroε όσο απλοί και να είναι

(συνεχίζεται)

Σάββατο 29 Ιανουαρίου 2011

Θρασύβουλος Κων Μαχαίρας

Γενικό Λύκειο Αγριάς Πηλίου

s7-kmghotenetgr

12

β) Η εξίσωση κίνησης (39) που microας δώσανε

x=10-1

middotηmicro(2πt 4

9πminus ) (SI) microε t ge2 sec

είναι microαθηmicroατικά ισοδύναmicroη microε την

x=10-1

middotηmicro(2πt 4

πminus ) (SI) microε t ge2 sec

Κατά συνέπεια αυτή η τελευταία θα microπορούσε κάλλιστα να δοθεί στη θέση της πρώτης

Μήπως αυτό θα επηρέαζε τη φάση και την αρχική φάση που θα βρίσκαmicroε γεγονός που

θα καθιστούσε και τους ορισmicroούς και τις έννοιες άχρηστες

Η απάντηση είναι όχι Οποιαδήποτε microαθηmicroατικά ισοδύναmicroη σχέση και να χρησιmicroοποιήσουmicroε ως εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης εφό-σον ακολουθήσουmicroε microε συνέπεια όσα αναφέραmicroε θα καταλήξουmicroε στην ίδια σχέση για τη φάση και στην ίδια τιmicroή για την αρχική φά-ση

Το γεγονός αυτό δείχνει τη συνέπεια των ορισmicroών που δώσαmicroε για φάση και αρχική φάση

Συνεπώς αν τους υιοθετήσουmicroε που τουλάχιστον βουβά microέχρι τώρα το έχουmicroε ήδη κάνει

στη φυσική δεν θα έχουmicroε αντιφάσεις

γ) Ο λόγος που στην εξίσωση (39) χρησιmicroοποιήσαmicroε το 4

9πminus και όχι το ισοδύναmicroο

4

πminus

ήταν για να δείξουmicroε ότι αυτός που θα microας δώσει microια εξίσωση κίνησης δεν είναι υποχρεω-

microένος να την έχει επεξεργαστεί και να έχει υιοθετήσει κάποιες φόρmicroες ή να έχει προσέξει τις

microαθηmicroατικές ισοδυναmicroίες

Αυτός που θα microας δώσει την εξίσωση κίνησης είναι ελεύθερος να microας δώσει ότι θέλει (microαθηmicroατικά ισοδύναmicroο) αρκεί να δώσει όπως οφείλει να δώσει σε κάθε συνάρτηση το πεδίο ορισmicroού της

3ο παράδειγmicroα

Υλικό σηmicroείο εκτελεί (απλή) αρmicroονική ταλάντωση που περιγράφεται από την εξίσωση κίνη-

σης

x=10-1

middotηmicro(4

πt

3

10π+ ) (SI) microε t ge minus3 sec (41)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης στη δεδοmicroένη microορφή εξίσωσης κί-

νησης

Λύση

Μετασχηmicroατίζουmicroε τη σχέση (41) ώστε να αποκτήσει τη microορφή της σχέσης (28) δηλαδή

να αποκτήσει τη microορφή

x=Amiddotηmicro[ω(t‒t0)+φ0 ] t ge Rt0 isin Agt0 0le φ0 lt2π

13

Πράγmicroατι η (41) γίνεται

x=10-1

middotηmicro[4

π(t+3)minus

4

3π +

3

10π ] t ge -3 sec

ή x=10-1

middotηmicro[4

π(t+3)+

12

31π ] t ge -3 sec

Αφαιρώ (ή προσθέτω αν microε βολεύει) ακέραιο πολλαπλάσιο του 2π προκειmicroένου να δη-

microιουργήσω θετική αρχική φάση περιορισmicroένη σε έναν τριγωνοmicroετρικό κύκλο

x=10-1

middotηmicro[4

π(t+3)minus2π+

12

31π ] t ge -3 sec

και τελικά

x=10-1

middotηmicro[4

π(t+3)+

12

7π ] (SI) microε t ge -3 sec (42)

Άρα η φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση κίνησης (42) και κατά συνέπεια στην εξί-

σωση κίνησης (41) που microας έδωσαν είναι

φ=4

π(t+3)+

12

7π=

4

πt+

3

4π microε t ge-3 sec

και άρα η αρχική φάση θα είναι

φ0=12

7π rad

Σηmicroείωση

Θα είχαmicroε καταλήξει στην ίδια ακριβώς σχέση για τη φάση και στην ίδια τιmicroή

για την αρχική φάση ακόmicroη και αν αρχίζαmicroε από οποιαδήποτε εξίσωση microαθη-

microατικά ισοδύναmicroη microε τη δεδοmicroένη εξίσωση κίνησης όπως πχ από την

x=10-1

middotηmicro(4

πt

3

4π+ ) (SI) microε t ge minus3 sec

Αρκεί η σχέση που θα microας έδιναν να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση να

ήταν ισοδύναmicroη microαθηmicroατικά microε την (41) και κατά συνέπεια να είχε το ίδιο πε-

δίο ορισmicroού microε αυτή

raquo

14

Γ Συmicroπέρασmicroα

(ένας απλός τρόπος υπολογισmicroού φάσης και αρχικής φάσης) Με τα παραπάνω θεmicroελιώνεται microαθηmicroατικά ένας πολύ απλός τρόπος εύρεσης της φάσης

και της αρχικής φάσης σε microια τυχαία εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία microας δίνουν

ή στην οποία καταλήγουmicroε microετά από διάφορους microαθηmicroατικούς microετασχηmicroατισmicroούς

Απαίτηση όmicroως για την εφαρmicroογή αυτού του τρόπου είναι η παρουσία του πεδίου ορισmicroού

της συνάρτησης κάτι που στο κάτω-κάτω είναι και απαίτηση κάθε σοβαρής microαθηmicroατικής

αντιmicroετώπισης

Ας τον δούmicroε

Έστω για παράδειγmicroα ότι microε οποιονδήποτε microαθηmicroατικά σωστό τρόπο καταλήγουmicroε

στην εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης

χ=Αηmicro(ωt+θ) microε t ge t0 (60)

Επειδή οι microαθηmicroατικές microεθοδολογίες δεν ενδιαφέρονται για τις αγωνίες ενός φυσικού δεν είναι καθόλου υπο-χρεωmicroένες να εξασφαλίσουν ότι η ποσότητα θ θα είναι αρχική φάση ούτε ότι η ποσότητα ωt+θ θα είναι φά-ση

Αυτές οι έννοιες αφορούν τον φυσικό ο οποίος θα πρέπει πρώτα να τις ορίσει microε αυστηρότητα (και αυτό microπο-ρεί να γίνει microόνο microέσα από την ξεχωριστή εσωτερική λειτουργία των διαφορικών εξισώσεων όπως έχουmicroε ήδη επισηmicroάνει) και κατόπιν να χρησιmicroοποιήσει την εγγύηση των microαθηmicroατικών για να εξασφαλίσει ότι η αυστηρότητα των ορισmicroών του θα είναι όχι απλά συνεπέστατη λογικά αλλά κυρίως ότι θα δώσει την εγγύηση πως δεν θα προκύψουν παρανοήσεις

Έτσι λοιπόν το θ που θα προκύψει από τους microαθηmicroατικούς microετασχηmicroατισmicroούς

microπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγmicroατικός αριθmicroός

Τότε

1ο βήmicroα Στην (60) εmicroφανίζουmicroε την αρχική τιmicroή του χρόνου t0 γράφοντάς

την microε τη microορφή

x=Aηmicro[ω(t-t0)plusmnθ΄] microε t ge t0

2ο βήmicroα Αν η θ΄ στο όρισmicroα του ηmicroίτονου είναι microέσα σε ένα τριγωνοmicroε-

τρικό κύκλο αυτή είναι η αρχική φάση Αλλιώς προσθέτουmicroε ή

αφαιρούmicroε ακέραια πολλαπλάσια του 2π ώστε microετά την παρά-

σταση ω(t-t0) να εξασφαλίσουmicroε laquoγωνίαraquo φ0 η οποία να είναι

microέσα στον τριγωνοmicroετρικό κύκλο που έχουmicroε επιλέξει

Να είναι δηλαδή στο διάστηmicroα [0 2π) ή στο [-π π) κλπ

x=Aηmicro[ω(t-t0)+φ0] microε t ge t0 (60α)

3ο βήmicroα Η ποσότητα φ=ω(t-t0)+φ0 είναι η φάση και φ0 είναι η αρχική

φάση στη σχέση (60α) Άρα και στην (60) που microας έδωσαν

Τον παραπάνω τρόπο εφαρmicroόσαmicroε ήδη στο 3ο παράδειγmicroα

15

Δ Κύmicroατα

Το έχω ξαναπεί αλλά θα το ξαναπώ γιατί νοmicroίζω ότι microόνο έτσι microόνο όταν πιστέψουmicroε

στα λάθη που microας βάζουνε και διδάσκουmicroε κάποια στιγmicroή θα βρεθούν κάποιοι ικανοί που

θα βρουν τρόπο να ζητήσουν ευθύνες από όλους εκείνους που χρόνια τώρα microας βουλιάξανε

microας βουλιάζουνε και θα βουλιάξουνε γενιές ανθρώπων στα λάθη γράφοντας πανεπιστηmicroια-

κά βιβλία χωρίς ποτέ να microπουν στον κόπο να ξαναψάξουν αυτά που γράφουν

Το κεφάλαιο laquoΚύmicroαταraquo που διδάσκουmicroε είναι το λιγότερο λανθασmicroένο Λανθασmicroένο

πιο πολύ από τις ταλαντώσεις γιατί τα laquoκύmicroαταraquo κουβαλάνε όλα τα λάθη των ταλα-

ντώσεων και κάτι ακόmicroη που είναι πιο τραγικά λανθασmicroένο Τη διάδοση

Η διδασκαλία microας στο κεφάλαιο laquoΚύmicroαταraquo ΔΥΣΤΥΧΩΣ ΣΤΗΡΙΖΕΤΑΙ ΣΤΗ ΔΙΑ-

ΔΟΣΗ ΤΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ

Μα αυτά που διδάσκουmicroε ούτε laquoκύmicroαταraquo είναι ούτε διαδίδονται

Και έτσι εmicroείς οι απλοί φυσικοί της γειτονιάς γινόmicroαστε τραγικές φιγούρες microιας και microετά

από ένα κεφάλαιο γεmicroάτο λάθη όπως είναι οι laquoταλαντώσειςraquo αναγκαζόmicroαστε να λέmicroε να

βρίσκουmicroε να διδάσκουmicroε να microπαλώνουmicroε και να εmicroπλουτίζουmicroε microε ασκήσεις το δεύτερο

κεφάλαιο laquoΤα κύmicroαταraquo που είναι ακόmicroη πιο λανθασmicroένο

Η εmicroπειρία microου ως αεί υφιστάmicroενος τόσων και τόσων σε ένα Υπουργείο Παιδείας που η-

δονίζεται να αλλάζει ονόmicroατα microόνο και όχι ουσία microου λέει τούτο το απλό

Όταν τόσοι φυσικοί δυσκολευόmicroαστε κάποιες φορές να κατανοήσουmicroε αυτά που διδάσκου-

microε και που γράφει ένα σχολικό βιβλίο προορισmicroένο για microαθητές λυκείου σίγουρα κάποιοι

άλλοι κάνανε χοντρά λάθη ως laquomicroέντορεςraquo (γελοιοποίηση microιας ακόmicroη όmicroορφης αρχαίας λέ-

ξης) και microας βάλανε να διδάξουmicroε τα λάθη τους microε τέτοιο τρόπο που στο τέλος

ξεχάσαmicroε ότι ήταν δικά τους λάθη και νοmicroίσαmicroε ότι όλα ήταν δικά microας σω-

στά

Παρακάmicroπτω λοιπόν την ανύπαρκτη φυσική της συmicroβολής των laquoκυ-

microάτωνraquo που διδάσκουmicroε και χρησιmicroοποιώντας microόνο την ορολογία της θα προσπα-

θήσω microέσα από microια microατιά laquoγυmicroνάraquo microαθηmicroατική να εφαρmicroόσω στο συγκεκριmicroένο laquoφαινόmicroε-

νοraquo όσα προαναφέραmicroε Επικαλούmicroενος και ελπίζοντας microόνο στην αυστηρότητα του ορισmicroού

Αν εφαρmicroόσουmicroε microε συνέπεια τους αυστηρούς ορισmicroούς της φάσης και της αρχικής φάσης

που δώσαmicroε κι αν σε φαινόmicroενα ίδιας ποιότητας δεν αρνηθούmicroε τις microαθηmicroατικές πορείες

που καταγράψαmicroε κι ακολουθήσαmicroε στις τρεις προηγούmicroενες αναρτήσεις laquoΟρισmicroοί και

εξισώσεις κίνησης α΄ β΄ και γ΄ microέροςraquo τότε δε θα υπάρξουν συλλογιστικά αδιέξοδα

Ας το δούmicroε (τα σύmicroβολα που χρησιmicroοποιούνται θεωρούνται αυτονόητα)

Στην εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης

minus=λ

πηmicro 11

r

T

t2Ay microε

υ1rt ge (61)

16

που επιβάλλει στο τυχαίο σηmicroείο Μ το πρώτο laquoκύmicroαraquo όταν έχει διαδοθεί microόνο του οι έν-

νοιες της φάσης και της αρχικής φάσης είναι καθορισmicroένες microε απόλυτη σαφήνεια αρκεί να

microην ξεχάσουmicroε το πεδίο ορισmicroού

φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (61)

λππ

ϕ 1r2

T

t2minus= microε

υ1rt ge

αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (61)

φ0=0 rad

Στην εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης

minus=λ

πηmicro 22

r

T

t2Ay microε

υ2rt ge (62)

που επιβάλλει στο τυχαίο σηmicroείο Μ το δεύτερο laquoκύmicroαraquo όταν έχει διαδοθεί microόνο του οι έν-

νοιες της φάσης και της αρχικής φάσης είναι καθορισmicroένες microε απόλυτη σαφήνεια αρκεί να

microην ξεχάσουmicroε το πεδίο ορισmicroού

φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (62)

λππ

ϕ 2r2

T

t2minus= microε

υ2rt ge

αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (62)

φ0=0 rad

Μετά τη laquoσυmicroβολή των δύο κυmicroάτωνraquo η εξίσωση ταλάντωσης του ση-

microείου Μ είναι

minus+

minus=+=λ

πηmicroλ

πηmicro 2121

r

T

t2A

r

T

t2Ayyy microε

geυυ

21 r

rmax t (63)

Στη σχέση (63) οι έννοιες laquoφάσηraquo και laquoαρχική φάσηraquo δεν ορίζο-

νται Δεν υπάρχουν

Η κίνηση που αποδίδεται microε τη σχέση (63) είναι επαλληλία των εξισώσεων κίνησης δύο

αρmicroονικών ταλαντώσεων (επαλληλία δύο αρmicroονικών συναρτήσεων δηλαδή και όχι πραγmicroα-

τικών κινήσεων) ίδιας διεύθυνσης ίδιας συχνότητας και ίδιας laquoθέσης ισορροπίαςraquo

17

Είναι επαλληλία των συναρτήσεων y1 και y2

Η σύνθεσή τους η y δηλαδή είναι microια (πραγmicroατική) αρmicroονική ταλάντωση ίδιας διεύθυν-

σης ίδιας συχνότητας και ίδιας θέσης ισορροπίας microε τις συνιστώσες εξισώσεις κίνησης ή

καλύτερα microε τους προσθετέους της (63)

Όπως είναι γραmicromicroένη η εξίσωση (63) δεν έχουmicroε κανένα δικαίωmicroα να microιλάmicroε

ούτε για laquoφάσηraquo ούτε για laquoαρχική φάσηraquo

Για να αποκτήσουmicroε αυτό το δικαίωmicroα πρέπει να τη φέρουmicroε σε microορφή που να διαθέτει

ένα microόνο τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό και δη ή microόνο ένα ηmicroίτονο ή microόνο ένα συνηmicroίτονο

Με άλλα λόγια

αν θέλουmicroε να microιλάmicroε για φάση και αρχική φάση στην σχέση (63) εξίσωση συmicroβολής των

κυmicroάτων θα πρέπει να τη φέρουmicroε στη microορφή

( )0t Ay ϕωηmicro prime+prime=

ή στη microορφή

( )0t Ay ϕωσυν primeprime+primeprime=

Τότε όmicroως

για να microην καταρρεύσουν αmicroφότεροι οι ορισmicroοί κι εποmicroένως και οι έννοιες

της φάσης και της αρχικής φάσης θα πρέπει να φροντίσουmicroε η αρχική φάση

να περιοριστεί σε ένα τριγωνοmicroετρικό κύκλο

για να αποφύγουmicroε κάθε επικίνδυνη ρευστότητα θα πρέπει να τεθεί οπωσ-

δήποτε το πεδίο ορισmicroού της συνάρτησης

για να microην υπάρξουν συλλογιστικά αδιέξοδα θα πρέπει να ακολουθήσουmicroε

microε συνέπεια την πορεία που καταγράψαmicroε στα παραδείγmicroατα 1-3 για τον

υπολογισmicroό φάσης και αρχικής φάσης ή έστω να εφαρmicroόσουmicroε τον απλό

τρόπο που καταγράφεται στη σελίδα 14

Ο microετασχηmicroατισmicroός της (63) ώστε να περιέχει ένα microόνο τριγωνο-

microετρικό αριθmicroό microπορεί να γίνει microε διάφορους τρόπους

1ος τρόπος Χρησιmicroοποιώντας τους τύπους της επαλληλίας εξισώσεων κίνησης

Αν έχουmicroε αριθmicroητικά δεδοmicroένα και δε θέλουmicroε να microπλεχτούmicroε microε πολλά microαθηmicroατικά

microπορούmicroε να χρησιmicroοποιήσουmicroε τους τύπους του σχολικού βιβλίου για την επαλληλία εξι-

σώσεων αρmicroονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης ίδιας συχνότητας και ίδιας θέσης ισορ-

ροπίας

Τους τύπους αυτούς όmicroως θα πρέπει να ισχυροποιήσουmicroε ώστε να συmicroπεριλάβουν περι-

πτώσεις όπου και οι δύο ταλαντώσεις έχουν αρχική φάση και να εmicroπλουτίσουmicroε microε έναν ε-

πιπλέον τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό ή microε κάποια επιπλέον microαθηmicroατική microας δεξιότητα microιας και η

σχέση microε την εφθ microόνη της δε microπορεί να προσδιορίσει την αρχική φάση θ έστω κι αν αυτή

περιοριστεί σε έναν τριγωνοmicroετρικό κύκλο

18

( Επαλληλία εξισώσεων αρmicroονικών ταλαντώσεων

x1=Α1middotηmicro(ωt+φ1) και x2=Α2middotηmicro(ωt+φ2)

x=x1+ x2=Aηmicro(ωt+θ)

όπου )(AA2AAA 21212

22

1 ϕϕσυν minus++= Α

ηmicroϕΑηmicroϕΑηmicroϑ 2211 +

= (64)

2211

2211

AA

AA

συνϕσυνϕηmicroϕηmicroϕ

εϕϑ+

+=

ΑσυνϕΑσυνϕΑ

συνϑ 2211 +=

microε 0leθlt2π

Τέτοιου είδους αντιmicroετωπίσεις έχουν ήδη καταχωρηθεί στο δίκτυο)

2ος τρόπος Μετασχηmicroατίζουmicroε την (63) και φτάνουmicroε στη microορφή

+minussdot

minus=

λΤπηmicro

λπσυν

2

rrt2

2

rr2A2y 2121 microε

geυυ

21 r

rmax t (65)

Αφού φιλοδοξούmicroε η (65) να περιγράφει πραγmicroατική κίνηση (κι όχι να είναι κα-

νένας προσθετέος σε επαλληλία εξισώσεων κίνησης) και επιθυmicroούmicroε οι έννοιες laquoφάσηraquo και

laquoαρχική φάσηraquo να έχουν νόηmicroα θα πρέπει ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ να χειρι-

στούmicroε την (65) microε τους τρόπους που δείξαmicroε στα παραδείγmicroατα 1-3

Αν δηλαδή επιθυmicroούmicroε να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση στην

(65) θα πρέπει να χρησιmicroοποιήσουmicroε ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ το πεδίο ορισmicroού

της και τον περιορισmicroό της αρχικής φάσης σε ένα τριγωνοmicroετρικό κύκλο

(Το να χειριστούmicroε τη σχέση (65) γενικά ώστε να εmicroφανιστούν γενικοί περιορισmicroοί στο πεδίο ορισmicroού και στην

αρχική φάση του ενός τριγωνοmicroετρικού κύκλου νοmicroίζω ότι θα είναι άσκοπο microιας και ο χρόνος που θα απαιτήσει

η γραφή αυτή θα ΄ναι microεγάλος και η αξία των τύπων ελάχιστη Γι΄ αυτό καταφεύγω σε παραδείγmicroατα)

4ο παράδειγmicroα

Έστω ότι σε κάποιο πρόβληmicroα συmicroβολής κυmicroάτων y1= και y2= αντικαθι-

στούmicroε τα δεδοmicroένα στην εξίσωση της συmicroβολής (65) και βρίσκουmicroε ότι το σηmicroείο Μ που απέ-

χει r1= και r2= από τις πηγές ταλαντώνεται αρmicroονικά microε εξίσωση

y=10-1

middotηmicro(2πt 4

11πminus ) (SI) microε t ge 6 sec (66)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης του Μ στην (66)

19

Λύση

1ος τρόπος

Κάνουmicroε ότι κάναmicroε στο παράδειγmicroα 2 στη σελίδα 10 ή στο παράδειγmicroα 3 στη σελίδα 12 αυ-

τής της ανάρτησης

2ος τρόπος

Για πιο γρήγορα ακολουθούmicroε τα βήmicroατα της σελίδας 14

1ο βήmicroα Μετασχηmicroατίζουmicroε την εξίσωση κίνησης (66) ώστε να εmicroφανιστεί η

αρχική τιmicroή χρόνου 6 sec microέσω της microορφής ω(t-t0)=2π(t-6)

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+12πminus4

11π] t ge 6 sec

και τελικά

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

37π] (SI) t ge 6 sec (67)

2ο βήmicroα Στο όρισmicroα του ηmicroίτονου microετά την ποσότητα 2π(t-6) η laquoγωνίαraquo 4

37π

δεν είναι microέσα στο διάστηmicroα [02π) που έχουmicroε υιοθετήσει ως περιορι-

σmicroό της αρχικής φάσης

Εποmicroένως πρέπει να αφαιρέσουmicroε κατάλληλα ακέραια πολλαπλάσια

του 2π

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

37πminus4middot2π] (SI) t ge 6 sec

από όπου τελικά

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

5π] (SI) t ge 6 sec (67α)

3ο βήmicroα Στην (67α) που καταλήξαmicroε microε την παραπάνω διαδικασία

η φάση είναι φ=2π(t‒6)+4

5π microε t ge 6 sec

και η αρχική φάση είναι φ0=4

5π rad

Το ίδιο συνεπώς θα ισχύει και για την (67)

Βέβαια όλα τα παραπάνω microπορούν να γίνουν πολύ πιο γρήγορα αρκεί να έ-

χουmicroε στο microυαλό microας ότι για να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση σε microια

εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία microας έδωσαν ή στην οποία καταλήξα-

microε θα πρέπει να τη microετασχηmicroατίσουmicroε ώστε

να εmicroφανίσουmicroε την αρχική τιmicroή του χρόνου microε τη microορφή που είπαmicroε

να εξασφαλίσουmicroε ότι ο προσθετέος που δεν περιέχει χρόνο είναι σε

διάστηmicroα ενός τριγωνοmicroετρικού κύκλου και microάλιστα στη microορφή που έ-

χουmicroε επιλέξει για την αρχική φάση ([02π) ή [-ππ) ή )

20

5ο παράδειγmicroα

Έστω ότι σε κάποιο πρόβληmicroα συmicroβολής κυmicroάτων y1= και y2= αντικαθι-

στούmicroε τα δεδοmicroένα στην εξίσωση της συmicroβολής (65) και βρίσκουmicroε ότι το σηmicroείο Μ που απέ-

χει r1= και r2= από τις πηγές ταλαντώνεται αρmicroονικά microε εξίσωση

y=minus10-1

middotηmicro(2πt4

9πminus ) (SI) microε t ge 05 sec (68)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης του Μ στην (68)

Λύση

Η (68) γίνεται διαδοχικά

y=minus10-1

middotηmicro(2πt4

9πminus ) = 10

-1middotηmicro(2πt+π

4

9πminus )=10

-1middotηmicro(2πt

4

5πminus )=10

-1middotηmicro[2π(tminus05)

4

πminus ]

και τελικά

y=10-1

middotηmicro[2π(tminus05)4

7π+ ] (68α)

Η (68α) έχει εmicroφανίσει την αρχική τιmicroή χρόνου 05 sec στη microορφή που θέλουmicroε και προ-

σθετέο 4

7π που δεν περιέχει χρόνο t και βρίσκεται στο διάστηmicroα [02π)

Άρα η φάση και η αρχική φάση της (68) είναι ίδιες microε εκείνες της (68α)

∆ηλαδή

Φάση φ=2π(tminus05)4

7π+ =2πt

4

3π+ microε t ge 05 sec

Αρχική φάση rad 4

7π0 =ϕ

Φάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολή

Ο Νίκος (Ανδρεάδης) microε δύο ευφυέστατες αναρτήσεις

laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολήraquo

laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολή-Μέρος δεύτεροraquo

που βρίσκονται στη διεύθυνση

httpylikonetgrprofilesblogsphhaseis-kai-antiphhaseis-ste

microας ώθησε να ακούσουmicroε κάποιους τριγmicroούς από την ψεύτικη πραγmicroατικότητα των

κυmicroάτων που διδάσκουmicroε

21

Γράφει λοιπόν

laquoΝ=6 1r 15= m

1 2r r 6 λminus = sdot

2r 03= m

Για t 3ge s η εξίσωση κίνησης προκύπτει από την επαλληλία των εξισώσεων

11

2πr2πty A ηmicro

T λ

= sdot minus

και 2

2

2πr2πty A ηmicro

T λ

= sdot minus

Μετά από πράξεις

( )1y 01 ηmicro 5πt 15π= sdot minus και ( )2

y 01 ηmicro 5πt 3π= sdot minus

Σύmicroφωνα microε τη σχέση 1 2 1 2r r r r2πt

y 2A συν 2π ηmicro π2λ T λ

minus += sdot sdot minus

microετά από πράξεις προκύπτει

( )y 02 ηmicro 5πt 9π= sdot minus

Η φάση (της αποmicroάκρυνσης στην παραπάνω εξίσωση) δίνεται από τη σχέση φ 5πt 9π= minus

Για t 3= s (προκύπτει η αρχική) φάση (η οποία) είναι 6π rad

παρατηρούmicroε ότι 7 σηmicroεία του microέσου τα οποία ξεκινούν την ίδια στιγmicroή την ίδια κίνηση από τη θέ-

ση ισορροπίας microε θετική ταχύτητα περιγράφονται microε διαφορετικές εξισώσεις και την στιγmicroή της εκκί-

νησης έχουν διαφορετική φάση

Οι απορίες microου

Ποιο είναι το φυσικό νόηmicroα των τιmicroών 0π 2π 4π 6π και 8π

Έχει νόηmicroα να ζητήσουmicroε τη διαφορά φάσης ενός από αυτά τα σηmicroεία microε microια πηγή

Αν όmicroως δούmicroε το θέmicroα ως σύνθεση δύο ταλαντώσεων που βρίσκονται σε συmicroφωνία φάσης καταλή-

γουmicroε αmicroέσως στο συmicroπέρασmicroα ότι και στις 7 περιπτώσεις η κίνηση για t 3ge s περιγράφεται από την

εξίσωση ( )y 02 ηmicro 5πt 15π= sdot minus (SI)

Η φάση δίνεται από τη σχέση φ 5πt 15π= minus (SI)

Για t 3= s η (αρχική) φάση είναι 0π rad ∆ηλ τη στιγmicroή της εκκίνησης έχουmicroε microηδενισmicroό της φάσης

για τα 7 σηmicroεία κάτι λογικό αφού τότε και τα 7 ξεκινούν microια νέα κίνηση από τη θέση ισορροπίας microε

θετική ταχύτηταraquo

Στους προβληmicroατισmicroούς που έθεσε ο Νίκος θα επιχειρήσω microια το-

ποθέτηση

Κατά τη γνώmicroη microου το microόνο που microπορεί να microας γλιτώσει από το παραπάνω παράδοξο είναι

η microαθηmicroατική αυστηρότητα microε την οποία φροντίσαmicroε να εφοδιάσουmicroε (και έτσι πρέπει

να γίνεται πάντα αν και πολλές φορές τούτο το απλό το ξεχνάmicroε) τους ορισmicroούς φάση και

αρχική φάση

Η αντίρρησή microου επικεντρώνεται στη φράση

laquoη φάση στην εξίσωση ( )y 02 ηmicro 5πt 9π= sdot minus δίνεται από τη σχέση φ 5πt 9π= minus raquo

η οποία εξάλλου είναι και η υπεύθυνη για τις αντιφάσεις που έχει εντοπίσει ο Νίκος

Προκειmicroένου να βρεθούν η φάση και η αρχική φάση στην εξίσωση microιας αρmicroονικής

ταλάντωσης πρέπει να ακολουθηθούν ορισmicroένες διαδικασίες

22

Αυτό δεν είναι ούτε σωσίβιο ούτε σοφιστεία ούτε κάποια κίνηση απελπισίας Είναι η ου-

σία του ορισmicroού που υιοθετήσαmicroε για τις δύο αυτές έννοιες

Η αυστηρότητα των ορισmicroών που δώσαmicroε ως φυσικοί εξασφαλίζει ότι τα microαθηmicroατικά όχι

microόνο θα microπορέσουν να εγγυηθούν τη συνέπεια των συλλογισmicroών και αποτελεσmicroάτων microας

αλλά θα ενσωmicroατώσουν microέσα τους τελείως διαφανείς πορείες απαραίτητες για την αυτοδυ-

ναmicroία και ισχύ του φυσικού έστω κι αν ένας microαθηmicroατικός αδιαφορήσει τελείως γι΄ αυτές

Αυτό δεν είναι παραλογισmicroός αλλά συνειδητοποίηση του διαφορετικού ρόλου

και της διαφορετικής ευθύνης των δύο ειδικοτήτων˙ του φυσικού και του microαθη-

microατικού

Κοντολογίς

Προκειmicroένου να διατηρήσουmicroε το δικαίωmicroα να χρησιmicroοποιούmicroε στο λεξιλόγιό microας τις λέξεις

φάση και αρχική φάση επιβάλλεται από τα microαθηmicroατικά να είmicroαστε συνεπείς microε τους ορι-

σmicroούς που τους δώσαmicroε και να τις χειριζόmicroαστε microε ειδικό τρόπο σε καθορισmicroένες πορείες

Αν δε το κάνουmicroε αυτό τα microαθηmicroατικά θα microας γυρίσουν την πλάτη

κι εmicroείς θα βουλιάξουmicroε στις παρανοήσεις στα αδιέξοδα και τις λο-

γικές ασυνέπειες

Σύmicroφωνα λοιπόν microε όσα έχουν αναφερθεί για να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση στην εξίσωση κίνησης

y=02middotηmicro(5πtminus9π) microε tge3 sec (69)

πρέπει να εmicroφανίσουmicroε microέσα της την αρχική τιmicroή του χρόνου 3 sec και να αφαιρέσουmicroε τα

ακέραια πολλαπλάσια του 2π microε τέτοιο τρόπο ώστε η αρχική φάση να είναι microέσα στη microορ-

φή του τριγωνοmicroετρικού κύκλου που υιοθετήσαmicroε

Πράγmicroατι η (69) γίνεται

y=02middotηmicro(5πtminus9π)=02middotηmicro[5π(t-3)+6π]

και τελικά

y=02middotηmicro[5π(t-3)+0] microε tge3 sec (69α)

Η (69α) και κατά συνέπεια και η (69) έχουν

Φάση φ=5π(t-3)+0=5πt-15π microε tge3 sec

Αρχική φάση φ0=0 rad

Νοmicroίζω ότι τώρα πια δεν υπάρχει καmicroιά αντίφαση microιας και όλες οι συλλογιστικές και όλες

οι microαθηmicroατικές πορείες θα δώσουν ακριβώς τα ίδια αποτελέσmicroατα

α) Και τα επτά σηmicroεία Ν=0 έχουν την ίδια φάση φ=5πt-15π microε tge3 sec και την ί-

δια αρχική φάση φ0=0 rad

23

β) Υπάρχει απόλυτη συλλογιστική συνέπεια σε όλα αφού όπως έχει ήδη επισηmicroάνει ο Νί-

κος laquoκαι τα 7 σηmicroεία πρέπει να έχουν την ίδια φάση και αρχική φάση αφού ξεκινούν microια

νέα κίνηση από τη θέση ισορροπίας microε θετική ταχύτηταraquo

γ) Είτε χρησιmicroοποιηθούν οι τύποι σύνθεσης ταλαντώσεων είτε χρησιmicroοποιηθεί ο τύ-

πος της συmicroβολής κυmicroάτων είτε οποιαδήποτε άλλη microαθηmicroατική διαδροmicroή τα αποτελέ-

σmicroατα φάσης και αρχικής φάσης θα είναι απολύτως ίδια

δ) laquoΚάθε κίνηση έχει φάση που microας πληροφορεί για πόσο χρόνο παρακολουθούmicroε τη συ-

γκεκριmicroένη κίνησηraquo

ε) Απορία

laquoΠοιο είναι το φυσικό νόηmicroα των τιmicroών 0π 2π 4π 6π και 8πraquo

Απάντηση

laquoοι τιmicroές 0π 2π 4π 6π και 8π που προκύπτουν microε (απλή-ανώδυνη) εφαρmicroογή της γνω-

στής σχέσης ηmicroΑ+ηmicroΒ=hellip δεν έχουν κανένα γνωστό ωφέλιmicroο φυσικό νόηmicroαraquo

Η εφαρmicroογή της σχέσης ηmicroΑ+ηmicroΒ= δεν οδηγεί πάντα απευθείας σε σχέση στην οποία να

είναι άmicroεσα διαφανείς η φάση και η αρχική φάση microιας εξίσωσης αρmicroονικής κίνησης

Ο τελικός τύπος χρειάζεται οπωσδήποτε επεξεργασία

στ) Απορία

laquoΈχει νόηmicroα να ζητήσουmicroε τη διαφορά φάσης ενός από αυτά τα σηmicroεία microε microια πηγήraquo

Απάντηση

Όχι Δεν πρέπει να ζητήσουmicroε τέτοιο πράγmicroα αν δε είmicroαστε έτοιmicroοι να αυτοκτονήσουmicroε ή να

microπούmicroε σε ατέλειωτες microαθηmicroατικές αναζητήσεις για να γλιτώσουmicroε microόνο και microόνο τη συνέ-

πεια της εννοιολογικά λανθασmicroένης laquoπραγmicroατικότηταςraquo των κυmicroάτων που διδάσκουmicroε

Η παρουσία πηγών επιβάλλει άλλου είδους κύmicroατα εmicroπλουτισmicroένα και microε άλλες έννοιες και

microε microαθηmicroατικούς χειρισmicroούς αρκετά δύσκολους microιας και στις διαφορικές εξισώσεις πρέπει

να παρθούν υπόψη συνοριακοί περιορισmicroοί

Στην πρώτη σελίδα της ανάρτησής microου laquoΟρισmicroοί και εξισώσεις κίνησης γ΄ microέροςraquo έγραφα κάτι που όσο περνάει ο καιρός το πιστεύω όλο και πιο πολύ

laquoδιδάσκουmicroε ˝κύmicroατα˝ που δήθεν διαδίδονται microε ταχύτητα υ έχουν αρχικές φάσεις έχουν

πηγές που τα παράγουν και πολλές φορές δύο πηγές για να έχουmicroε συmicroβολή

Μα αυτά που διδάσκουmicroε ούτε κύmicroατα είναι ούτε διαδίδονται ούτε πηγές περιέχουν

ούτε είναι κάπου και τρέχουν να πάνε κάπου αλλού ούτε ξεκινάνε από κάπου ούτε ούτε

ούτε

Στα κεφάλαια ˝Κύmicroατα˝ και ˝Μηχανική Στερεού Σώmicroατος˝ της Φυσικής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου ειλικρινά microε πιάνει απελπισία Τα πράmicroατα εκεί σκοτεινιάζουν τόσο πο-λύ Τί να πεις και από πού να αρχίσεις raquo

24

Στο σηmicroείο αυτό όmicroως νιώθω υποχρεωmicroένος να τονίσω ότι η αρνητικότατη στάση

microου απέναντι σε αυτό που microας βάζουν να διδάσκουmicroε ως κύmicroατα δεν πρέπει στο

ελάχιστο να θεωρηθεί ως απόρριψη της προσπάθειας συναδέλφων να microας δώσουν

ένα πλήθος ασκήσεων θέσεων αναλύσεων διαγωνισmicroάτων κλπ που έχουν σχέση

microε κύmicroατα και microε συmicroβολή κυmicroάτων που περιέχουν πηγές

Στο σχολείο πρέπει να κάνουmicroε αυτό που επιτάσσουν οι πανελλαδικές Άρα πέρα

από όλες τις διαφωνίες microεταξύ microας θα πρέπει προσωπικά να βρω ασκήσεις και θέ-

microατα να δώσω στα παιδιά για να καλύψω την ανήθικη έλλειψη ασκήσεων από το

σχολικό βιβλίο

Επίσης θα πρέπει να βρω τρόπο να microην καταρρεύσει η συλλογιστική των παιδιών

έστω και σαθρή πριν τις εξετάσεις

Αυτό microε τη σειρά του σηmicroαίνει ότι πρέπει να έχω επιχειρήmicroατα και υλικό κοmicromicroένο

στις συγκεκριmicroένες ανάγκες τους

Σε αυτό το σηmicroείο η βοήθεια που microου πρόσφεραν και microου προσφέρουν οι συνάδελ-

φοι του δικτύου και κάποια αξιόλογα εξωσχολικά βιβλία είναι όχι απλά πολύτιmicroη

αλλά ανεπανάληπτη

Με πολύ ανακούφιση δέχοmicroαι και παίρνω πολύτιmicroα διαγωνίσmicroατα ασκήσεις και υ-

λικό που προσφέρουν απλόχερα διάφοροι συνάδελφοι και που αναφέρονται σε κύmicroα-

τα που προέρχονται από πηγές και που συmicroβάλλουν

Επί τη ευκαιρία τους ευχαριστώ που microου δίνουν τον κόπο τους Κάποιες φορές microά-

λιστα αποτελεί πηγή αναθεωρήσεων και καινούριων αναζητήσεων microου

Ε Παρατηρήσεις

1) Η εξίσωση της αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία θα microας δώσουν ή στην οποία θα κα-

ταλήξουmicroε microετά από κάποια microαθηmicroατική επεξεργασία δεν είναι υποχρεωmicroένη να δηλώνει

καθαρά τη φάση και την αρχική φάση Εκείνο που πρέπει οπωσδήποτε να επισηmicroάνουmicroε εί-

ναι ότι φάση δεν είναι η ποσότητα που βρίσκεται microέσα στον τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό

Η εύρεση της φάσης και της αρχικής φάσης θέλουν διαδικασία η οποία θα απαιτήσει το

πεδίο ορισmicroού της εξίσωσης που microας δίνουν για την ταλάντωση ή για το κύmicroα

Ας του δώσουmicroε έmicroφαση microε microια άσκηση χωρίς κανένα απολύτως νόηmicroα

Στην παρακάτω εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης να βρεθεί η φάση και η αρχική

φάση της αποmicroάκρυνσης

y=10-1middotηmicro(2πt 4

11πminus )

Ο λόγος που αυτή η άσκηση είναι α-νόητη είναι γιατί δεν έχει δοθεί το πεδίο ορισmicroού Αλ-

λάζοντας το πεδίο ορισmicroού όπως ήδη έχουmicroε δείξει θα αλλάξει τόσο η συνάρτηση της φά-

σης όσο και η τιmicroή της αρχικής φάσης (∆ες σελίδα 18)

25

2) Η εύρεση της διαφοράς φάσης ανάmicroεσα σε δύο microεγέθη του ίδιου

φαινοmicroένου είναι ακόmicroη πιο επίπονη διαδικασία

Το θέmicroα αυτό είχε θέσει ο Θοδωρής microε microια ανάρτησή του που βρίσκεται στη διεύθυνση httpylikonetgrgroupthemataforumtopicsphhasearchikhe-

phhasediaphorhacommentId=36477953AComment3A16659ampgroupId=36477953AGroup3A5901

Όπως στην περίπτωση της φάσης και αρχικής φάσης οι αρmicroονικές συναρτήσεις πρέπει να

laquoετοιmicroαστούνraquo έτσι και στην περίπτωση που microας ζητάνε να βρούmicroε διαφορά φάσης ανάmicroε-

σα σε δύο φυσικά microεγέθη που εκφράζονται microε αρmicroονικές συναρτήσεις οι συναρτήσεις αυτές

πρέπει οπωσδήποτε να ετοιmicroαστούν κατάλληλα

3) Το πιο σηmicroαντικό στο οποίο εστιάζουν οι εργασίες microου (άσχετα αν τα καταφέρνω να

το δείξω ή όχι) είναι η microεθοδολογία που πρέπει να ακολουθούmicroε όταν θέλουmicroε να λύσουmicroε

microια διαφωνία microας να προχωρήσουmicroε microια αναζήτησή microας να βρούmicroε διέξοδο σε microια αντίφα-

ση να συνειδητοποιήσουmicroε microια έννοια

Κατά τη γνώmicroη microου πρέπει να ξεκινάmicroε από τους ορισmicroούς και αφού εξασφαλίσουmicroε την

αυστηρότητά τους να προχωρήσουmicroε σε απλές έστω εννοιολογικές κατακτήσεις απαραίτη-

τες όmicroως για την αναπνοή microας ως φυσικών ή ως ενδιαφεροmicroένων για τη φυσική

laquohellipΗ αξία των ορισmicroών εντοπίζεται στη σωστή θέση που πρέπει να κατέχουν κατά τη συνεννόηση microε-

ταξύ των φυσικών και στον κορυφαίο και αναντικατάστατο ρόλο που πρέπει microε κάθε σεβασmicroό να απο-

δεχτούmicroε ότι διαδραmicroατίζουν στη διαmicroόρφωση της δοmicroής της γλώσσας που χρησιmicroοποιεί η Φυσική

∆εν γίνεται να κάνεις Φυσική αν δεν έχεις τα σωστά κατάλληλα λόγια για να περιγράψεις στους άλ-

λους το όmicroορφο

Η Φυσική έχει ορισmicroούς που δεν είναι διαπραγmicroατεύσιmicroοι και microαθηmicroατικές microεθοδολογίες που δεν

πρέπει να αγνοούνται αν θέλουmicroε να έχουmicroε συνέπεια και να εξασφαλίζουmicroε απόλυτη διαφάνεια στους

συλλογισmicroούς microας

∆εν πρέπει να χαλάmicroε τη γλώσσα γιατί αλλιώς χαλάει η σκέψη και η επικοινωνία microεταξύ microας Πρέπει να δεχτούmicroε στην ψυχή microας (όχι στα λόγια) ότι οι ορισmicroοί έχουν αξία και να συνειδητοποιή-

σουmicroε την microοναδική τους ιδιότητα Αυτή που είναι και η αιτία της ύπαρξής τους Να είναι χρήσιmicroοι

Οι ορισmicroοί ή είναι χρήσιmicroοι ή δεν υπάρχουν Τα λόγια της Φυσικής δε φτιάχτηκαν για να περιγράφουν αλλά για να έχουν συγχρόνως τη δυνατότητα και να

προφητεύουνraquo

4) Στο παράδειγmicroα του Νίκου για τις φάσεις και τις αντιφάσεις χρησιmicroοποιήθηκαν σηmicroεία

όπου είχαmicroε ενισχύσεις

Θα παρακαλούσα το Νίκο αλλά και όποιον άλλο συνάδελφο θέλει να κάνει microια άσκηση

ή microια προσοmicroοίωση microε πιο γενικά σηmicroεία στη συmicroβολή κυmicroάτων και να υπολογίσει τις

φάσεις και τις αρχικές φάσεις στην εξίσωση ταλάντωσης των σηmicroείων αυτών δίνοντας έmicro-

φαση πάντα το πεδίο ορισmicroού και στον περιορισmicroό της αρχικής φάσης σε έναν τριγωνοmicroε-

τρικό κύκλο πχ της microορφής [02π)

Πιστεύω ότι έτσι κάποια πράγmicroατα θα γίνουν πολύ πιο ευδιάκριτα πιο απλά και το κυριό-

τερο θα περάσουν πιο εύκολα στους συναδέλφους

5) Τελειώνοντας οφείλω να πω ότι η σηmicroερινή microου ανάρτηση ουσιαστικά οφείλεται

στους προβληmicroατισmicroούς που microας έθεσε ο Νίκος (Ανδρεάδης) πάνω στη συmicroβολή των κυmicroά-

των microε το laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολήraquo

Έχοντας ξεκινήσει να γράφω microια σειρά αναρτήσεων σχετικών microε τις έννοιες φάση και αρ-

χική φάση microου ήρθε ανέλπιστα η δουλειά του Νίκου η οποία microε τα ερωτήmicroατα που έθεσε

τη συζήτηση που ακολούθησε και τις γνώmicroες που διατυπώθηκαν microου έδωσε ισχυρά επιχει-

ρήmicroατα να υποστηρίξω την απόλυτη πίστη microου στην αξία των ορισmicroών όχι ως απλή λεκτική

επανάληψη microιας υποχρεωτικής αποστήθισης αλλά ως συνειδητοποίηση όλης εκείνης της

26

εσωτερικής λειτουργίας απόλυτα συγκεκριmicroένων πραγmicroάτων που κρίνουν τους ορισmicroούς

ως χρήσιmicroους και απαραίτητους και τους γεννούν για να υπάρχουν και να πλουτίζουν τη

γλώσσα microας

Τους βάζουν δίπλα microας και microας καλούν να πιστέψουmicroε στην αξία τους και ποτέ να microην

τους υποτιmicroήσουmicroε όσο απλοί και να είναι

(συνεχίζεται)

Σάββατο 29 Ιανουαρίου 2011

Θρασύβουλος Κων Μαχαίρας

Γενικό Λύκειο Αγριάς Πηλίου

s7-kmghotenetgr

13

Πράγmicroατι η (41) γίνεται

x=10-1

middotηmicro[4

π(t+3)minus

4

3π +

3

10π ] t ge -3 sec

ή x=10-1

middotηmicro[4

π(t+3)+

12

31π ] t ge -3 sec

Αφαιρώ (ή προσθέτω αν microε βολεύει) ακέραιο πολλαπλάσιο του 2π προκειmicroένου να δη-

microιουργήσω θετική αρχική φάση περιορισmicroένη σε έναν τριγωνοmicroετρικό κύκλο

x=10-1

middotηmicro[4

π(t+3)minus2π+

12

31π ] t ge -3 sec

και τελικά

x=10-1

middotηmicro[4

π(t+3)+

12

7π ] (SI) microε t ge -3 sec (42)

Άρα η φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση κίνησης (42) και κατά συνέπεια στην εξί-

σωση κίνησης (41) που microας έδωσαν είναι

φ=4

π(t+3)+

12

7π=

4

πt+

3

4π microε t ge-3 sec

και άρα η αρχική φάση θα είναι

φ0=12

7π rad

Σηmicroείωση

Θα είχαmicroε καταλήξει στην ίδια ακριβώς σχέση για τη φάση και στην ίδια τιmicroή

για την αρχική φάση ακόmicroη και αν αρχίζαmicroε από οποιαδήποτε εξίσωση microαθη-

microατικά ισοδύναmicroη microε τη δεδοmicroένη εξίσωση κίνησης όπως πχ από την

x=10-1

middotηmicro(4

πt

3

4π+ ) (SI) microε t ge minus3 sec

Αρκεί η σχέση που θα microας έδιναν να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση να

ήταν ισοδύναmicroη microαθηmicroατικά microε την (41) και κατά συνέπεια να είχε το ίδιο πε-

δίο ορισmicroού microε αυτή

raquo

14

Γ Συmicroπέρασmicroα

(ένας απλός τρόπος υπολογισmicroού φάσης και αρχικής φάσης) Με τα παραπάνω θεmicroελιώνεται microαθηmicroατικά ένας πολύ απλός τρόπος εύρεσης της φάσης

και της αρχικής φάσης σε microια τυχαία εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία microας δίνουν

ή στην οποία καταλήγουmicroε microετά από διάφορους microαθηmicroατικούς microετασχηmicroατισmicroούς

Απαίτηση όmicroως για την εφαρmicroογή αυτού του τρόπου είναι η παρουσία του πεδίου ορισmicroού

της συνάρτησης κάτι που στο κάτω-κάτω είναι και απαίτηση κάθε σοβαρής microαθηmicroατικής

αντιmicroετώπισης

Ας τον δούmicroε

Έστω για παράδειγmicroα ότι microε οποιονδήποτε microαθηmicroατικά σωστό τρόπο καταλήγουmicroε

στην εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης

χ=Αηmicro(ωt+θ) microε t ge t0 (60)

Επειδή οι microαθηmicroατικές microεθοδολογίες δεν ενδιαφέρονται για τις αγωνίες ενός φυσικού δεν είναι καθόλου υπο-χρεωmicroένες να εξασφαλίσουν ότι η ποσότητα θ θα είναι αρχική φάση ούτε ότι η ποσότητα ωt+θ θα είναι φά-ση

Αυτές οι έννοιες αφορούν τον φυσικό ο οποίος θα πρέπει πρώτα να τις ορίσει microε αυστηρότητα (και αυτό microπο-ρεί να γίνει microόνο microέσα από την ξεχωριστή εσωτερική λειτουργία των διαφορικών εξισώσεων όπως έχουmicroε ήδη επισηmicroάνει) και κατόπιν να χρησιmicroοποιήσει την εγγύηση των microαθηmicroατικών για να εξασφαλίσει ότι η αυστηρότητα των ορισmicroών του θα είναι όχι απλά συνεπέστατη λογικά αλλά κυρίως ότι θα δώσει την εγγύηση πως δεν θα προκύψουν παρανοήσεις

Έτσι λοιπόν το θ που θα προκύψει από τους microαθηmicroατικούς microετασχηmicroατισmicroούς

microπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγmicroατικός αριθmicroός

Τότε

1ο βήmicroα Στην (60) εmicroφανίζουmicroε την αρχική τιmicroή του χρόνου t0 γράφοντάς

την microε τη microορφή

x=Aηmicro[ω(t-t0)plusmnθ΄] microε t ge t0

2ο βήmicroα Αν η θ΄ στο όρισmicroα του ηmicroίτονου είναι microέσα σε ένα τριγωνοmicroε-

τρικό κύκλο αυτή είναι η αρχική φάση Αλλιώς προσθέτουmicroε ή

αφαιρούmicroε ακέραια πολλαπλάσια του 2π ώστε microετά την παρά-

σταση ω(t-t0) να εξασφαλίσουmicroε laquoγωνίαraquo φ0 η οποία να είναι

microέσα στον τριγωνοmicroετρικό κύκλο που έχουmicroε επιλέξει

Να είναι δηλαδή στο διάστηmicroα [0 2π) ή στο [-π π) κλπ

x=Aηmicro[ω(t-t0)+φ0] microε t ge t0 (60α)

3ο βήmicroα Η ποσότητα φ=ω(t-t0)+φ0 είναι η φάση και φ0 είναι η αρχική

φάση στη σχέση (60α) Άρα και στην (60) που microας έδωσαν

Τον παραπάνω τρόπο εφαρmicroόσαmicroε ήδη στο 3ο παράδειγmicroα

15

Δ Κύmicroατα

Το έχω ξαναπεί αλλά θα το ξαναπώ γιατί νοmicroίζω ότι microόνο έτσι microόνο όταν πιστέψουmicroε

στα λάθη που microας βάζουνε και διδάσκουmicroε κάποια στιγmicroή θα βρεθούν κάποιοι ικανοί που

θα βρουν τρόπο να ζητήσουν ευθύνες από όλους εκείνους που χρόνια τώρα microας βουλιάξανε

microας βουλιάζουνε και θα βουλιάξουνε γενιές ανθρώπων στα λάθη γράφοντας πανεπιστηmicroια-

κά βιβλία χωρίς ποτέ να microπουν στον κόπο να ξαναψάξουν αυτά που γράφουν

Το κεφάλαιο laquoΚύmicroαταraquo που διδάσκουmicroε είναι το λιγότερο λανθασmicroένο Λανθασmicroένο

πιο πολύ από τις ταλαντώσεις γιατί τα laquoκύmicroαταraquo κουβαλάνε όλα τα λάθη των ταλα-

ντώσεων και κάτι ακόmicroη που είναι πιο τραγικά λανθασmicroένο Τη διάδοση

Η διδασκαλία microας στο κεφάλαιο laquoΚύmicroαταraquo ΔΥΣΤΥΧΩΣ ΣΤΗΡΙΖΕΤΑΙ ΣΤΗ ΔΙΑ-

ΔΟΣΗ ΤΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ

Μα αυτά που διδάσκουmicroε ούτε laquoκύmicroαταraquo είναι ούτε διαδίδονται

Και έτσι εmicroείς οι απλοί φυσικοί της γειτονιάς γινόmicroαστε τραγικές φιγούρες microιας και microετά

από ένα κεφάλαιο γεmicroάτο λάθη όπως είναι οι laquoταλαντώσειςraquo αναγκαζόmicroαστε να λέmicroε να

βρίσκουmicroε να διδάσκουmicroε να microπαλώνουmicroε και να εmicroπλουτίζουmicroε microε ασκήσεις το δεύτερο

κεφάλαιο laquoΤα κύmicroαταraquo που είναι ακόmicroη πιο λανθασmicroένο

Η εmicroπειρία microου ως αεί υφιστάmicroενος τόσων και τόσων σε ένα Υπουργείο Παιδείας που η-

δονίζεται να αλλάζει ονόmicroατα microόνο και όχι ουσία microου λέει τούτο το απλό

Όταν τόσοι φυσικοί δυσκολευόmicroαστε κάποιες φορές να κατανοήσουmicroε αυτά που διδάσκου-

microε και που γράφει ένα σχολικό βιβλίο προορισmicroένο για microαθητές λυκείου σίγουρα κάποιοι

άλλοι κάνανε χοντρά λάθη ως laquomicroέντορεςraquo (γελοιοποίηση microιας ακόmicroη όmicroορφης αρχαίας λέ-

ξης) και microας βάλανε να διδάξουmicroε τα λάθη τους microε τέτοιο τρόπο που στο τέλος

ξεχάσαmicroε ότι ήταν δικά τους λάθη και νοmicroίσαmicroε ότι όλα ήταν δικά microας σω-

στά

Παρακάmicroπτω λοιπόν την ανύπαρκτη φυσική της συmicroβολής των laquoκυ-

microάτωνraquo που διδάσκουmicroε και χρησιmicroοποιώντας microόνο την ορολογία της θα προσπα-

θήσω microέσα από microια microατιά laquoγυmicroνάraquo microαθηmicroατική να εφαρmicroόσω στο συγκεκριmicroένο laquoφαινόmicroε-

νοraquo όσα προαναφέραmicroε Επικαλούmicroενος και ελπίζοντας microόνο στην αυστηρότητα του ορισmicroού

Αν εφαρmicroόσουmicroε microε συνέπεια τους αυστηρούς ορισmicroούς της φάσης και της αρχικής φάσης

που δώσαmicroε κι αν σε φαινόmicroενα ίδιας ποιότητας δεν αρνηθούmicroε τις microαθηmicroατικές πορείες

που καταγράψαmicroε κι ακολουθήσαmicroε στις τρεις προηγούmicroενες αναρτήσεις laquoΟρισmicroοί και

εξισώσεις κίνησης α΄ β΄ και γ΄ microέροςraquo τότε δε θα υπάρξουν συλλογιστικά αδιέξοδα

Ας το δούmicroε (τα σύmicroβολα που χρησιmicroοποιούνται θεωρούνται αυτονόητα)

Στην εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης

minus=λ

πηmicro 11

r

T

t2Ay microε

υ1rt ge (61)

16

που επιβάλλει στο τυχαίο σηmicroείο Μ το πρώτο laquoκύmicroαraquo όταν έχει διαδοθεί microόνο του οι έν-

νοιες της φάσης και της αρχικής φάσης είναι καθορισmicroένες microε απόλυτη σαφήνεια αρκεί να

microην ξεχάσουmicroε το πεδίο ορισmicroού

φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (61)

λππ

ϕ 1r2

T

t2minus= microε

υ1rt ge

αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (61)

φ0=0 rad

Στην εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης

minus=λ

πηmicro 22

r

T

t2Ay microε

υ2rt ge (62)

που επιβάλλει στο τυχαίο σηmicroείο Μ το δεύτερο laquoκύmicroαraquo όταν έχει διαδοθεί microόνο του οι έν-

νοιες της φάσης και της αρχικής φάσης είναι καθορισmicroένες microε απόλυτη σαφήνεια αρκεί να

microην ξεχάσουmicroε το πεδίο ορισmicroού

φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (62)

λππ

ϕ 2r2

T

t2minus= microε

υ2rt ge

αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (62)

φ0=0 rad

Μετά τη laquoσυmicroβολή των δύο κυmicroάτωνraquo η εξίσωση ταλάντωσης του ση-

microείου Μ είναι

minus+

minus=+=λ

πηmicroλ

πηmicro 2121

r

T

t2A

r

T

t2Ayyy microε

geυυ

21 r

rmax t (63)

Στη σχέση (63) οι έννοιες laquoφάσηraquo και laquoαρχική φάσηraquo δεν ορίζο-

νται Δεν υπάρχουν

Η κίνηση που αποδίδεται microε τη σχέση (63) είναι επαλληλία των εξισώσεων κίνησης δύο

αρmicroονικών ταλαντώσεων (επαλληλία δύο αρmicroονικών συναρτήσεων δηλαδή και όχι πραγmicroα-

τικών κινήσεων) ίδιας διεύθυνσης ίδιας συχνότητας και ίδιας laquoθέσης ισορροπίαςraquo

17

Είναι επαλληλία των συναρτήσεων y1 και y2

Η σύνθεσή τους η y δηλαδή είναι microια (πραγmicroατική) αρmicroονική ταλάντωση ίδιας διεύθυν-

σης ίδιας συχνότητας και ίδιας θέσης ισορροπίας microε τις συνιστώσες εξισώσεις κίνησης ή

καλύτερα microε τους προσθετέους της (63)

Όπως είναι γραmicromicroένη η εξίσωση (63) δεν έχουmicroε κανένα δικαίωmicroα να microιλάmicroε

ούτε για laquoφάσηraquo ούτε για laquoαρχική φάσηraquo

Για να αποκτήσουmicroε αυτό το δικαίωmicroα πρέπει να τη φέρουmicroε σε microορφή που να διαθέτει

ένα microόνο τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό και δη ή microόνο ένα ηmicroίτονο ή microόνο ένα συνηmicroίτονο

Με άλλα λόγια

αν θέλουmicroε να microιλάmicroε για φάση και αρχική φάση στην σχέση (63) εξίσωση συmicroβολής των

κυmicroάτων θα πρέπει να τη φέρουmicroε στη microορφή

( )0t Ay ϕωηmicro prime+prime=

ή στη microορφή

( )0t Ay ϕωσυν primeprime+primeprime=

Τότε όmicroως

για να microην καταρρεύσουν αmicroφότεροι οι ορισmicroοί κι εποmicroένως και οι έννοιες

της φάσης και της αρχικής φάσης θα πρέπει να φροντίσουmicroε η αρχική φάση

να περιοριστεί σε ένα τριγωνοmicroετρικό κύκλο

για να αποφύγουmicroε κάθε επικίνδυνη ρευστότητα θα πρέπει να τεθεί οπωσ-

δήποτε το πεδίο ορισmicroού της συνάρτησης

για να microην υπάρξουν συλλογιστικά αδιέξοδα θα πρέπει να ακολουθήσουmicroε

microε συνέπεια την πορεία που καταγράψαmicroε στα παραδείγmicroατα 1-3 για τον

υπολογισmicroό φάσης και αρχικής φάσης ή έστω να εφαρmicroόσουmicroε τον απλό

τρόπο που καταγράφεται στη σελίδα 14

Ο microετασχηmicroατισmicroός της (63) ώστε να περιέχει ένα microόνο τριγωνο-

microετρικό αριθmicroό microπορεί να γίνει microε διάφορους τρόπους

1ος τρόπος Χρησιmicroοποιώντας τους τύπους της επαλληλίας εξισώσεων κίνησης

Αν έχουmicroε αριθmicroητικά δεδοmicroένα και δε θέλουmicroε να microπλεχτούmicroε microε πολλά microαθηmicroατικά

microπορούmicroε να χρησιmicroοποιήσουmicroε τους τύπους του σχολικού βιβλίου για την επαλληλία εξι-

σώσεων αρmicroονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης ίδιας συχνότητας και ίδιας θέσης ισορ-

ροπίας

Τους τύπους αυτούς όmicroως θα πρέπει να ισχυροποιήσουmicroε ώστε να συmicroπεριλάβουν περι-

πτώσεις όπου και οι δύο ταλαντώσεις έχουν αρχική φάση και να εmicroπλουτίσουmicroε microε έναν ε-

πιπλέον τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό ή microε κάποια επιπλέον microαθηmicroατική microας δεξιότητα microιας και η

σχέση microε την εφθ microόνη της δε microπορεί να προσδιορίσει την αρχική φάση θ έστω κι αν αυτή

περιοριστεί σε έναν τριγωνοmicroετρικό κύκλο

18

( Επαλληλία εξισώσεων αρmicroονικών ταλαντώσεων

x1=Α1middotηmicro(ωt+φ1) και x2=Α2middotηmicro(ωt+φ2)

x=x1+ x2=Aηmicro(ωt+θ)

όπου )(AA2AAA 21212

22

1 ϕϕσυν minus++= Α

ηmicroϕΑηmicroϕΑηmicroϑ 2211 +

= (64)

2211

2211

AA

AA

συνϕσυνϕηmicroϕηmicroϕ

εϕϑ+

+=

ΑσυνϕΑσυνϕΑ

συνϑ 2211 +=

microε 0leθlt2π

Τέτοιου είδους αντιmicroετωπίσεις έχουν ήδη καταχωρηθεί στο δίκτυο)

2ος τρόπος Μετασχηmicroατίζουmicroε την (63) και φτάνουmicroε στη microορφή

+minussdot

minus=

λΤπηmicro

λπσυν

2

rrt2

2

rr2A2y 2121 microε

geυυ

21 r

rmax t (65)

Αφού φιλοδοξούmicroε η (65) να περιγράφει πραγmicroατική κίνηση (κι όχι να είναι κα-

νένας προσθετέος σε επαλληλία εξισώσεων κίνησης) και επιθυmicroούmicroε οι έννοιες laquoφάσηraquo και

laquoαρχική φάσηraquo να έχουν νόηmicroα θα πρέπει ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ να χειρι-

στούmicroε την (65) microε τους τρόπους που δείξαmicroε στα παραδείγmicroατα 1-3

Αν δηλαδή επιθυmicroούmicroε να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση στην

(65) θα πρέπει να χρησιmicroοποιήσουmicroε ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ το πεδίο ορισmicroού

της και τον περιορισmicroό της αρχικής φάσης σε ένα τριγωνοmicroετρικό κύκλο

(Το να χειριστούmicroε τη σχέση (65) γενικά ώστε να εmicroφανιστούν γενικοί περιορισmicroοί στο πεδίο ορισmicroού και στην

αρχική φάση του ενός τριγωνοmicroετρικού κύκλου νοmicroίζω ότι θα είναι άσκοπο microιας και ο χρόνος που θα απαιτήσει

η γραφή αυτή θα ΄ναι microεγάλος και η αξία των τύπων ελάχιστη Γι΄ αυτό καταφεύγω σε παραδείγmicroατα)

4ο παράδειγmicroα

Έστω ότι σε κάποιο πρόβληmicroα συmicroβολής κυmicroάτων y1= και y2= αντικαθι-

στούmicroε τα δεδοmicroένα στην εξίσωση της συmicroβολής (65) και βρίσκουmicroε ότι το σηmicroείο Μ που απέ-

χει r1= και r2= από τις πηγές ταλαντώνεται αρmicroονικά microε εξίσωση

y=10-1

middotηmicro(2πt 4

11πminus ) (SI) microε t ge 6 sec (66)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης του Μ στην (66)

19

Λύση

1ος τρόπος

Κάνουmicroε ότι κάναmicroε στο παράδειγmicroα 2 στη σελίδα 10 ή στο παράδειγmicroα 3 στη σελίδα 12 αυ-

τής της ανάρτησης

2ος τρόπος

Για πιο γρήγορα ακολουθούmicroε τα βήmicroατα της σελίδας 14

1ο βήmicroα Μετασχηmicroατίζουmicroε την εξίσωση κίνησης (66) ώστε να εmicroφανιστεί η

αρχική τιmicroή χρόνου 6 sec microέσω της microορφής ω(t-t0)=2π(t-6)

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+12πminus4

11π] t ge 6 sec

και τελικά

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

37π] (SI) t ge 6 sec (67)

2ο βήmicroα Στο όρισmicroα του ηmicroίτονου microετά την ποσότητα 2π(t-6) η laquoγωνίαraquo 4

37π

δεν είναι microέσα στο διάστηmicroα [02π) που έχουmicroε υιοθετήσει ως περιορι-

σmicroό της αρχικής φάσης

Εποmicroένως πρέπει να αφαιρέσουmicroε κατάλληλα ακέραια πολλαπλάσια

του 2π

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

37πminus4middot2π] (SI) t ge 6 sec

από όπου τελικά

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

5π] (SI) t ge 6 sec (67α)

3ο βήmicroα Στην (67α) που καταλήξαmicroε microε την παραπάνω διαδικασία

η φάση είναι φ=2π(t‒6)+4

5π microε t ge 6 sec

και η αρχική φάση είναι φ0=4

5π rad

Το ίδιο συνεπώς θα ισχύει και για την (67)

Βέβαια όλα τα παραπάνω microπορούν να γίνουν πολύ πιο γρήγορα αρκεί να έ-

χουmicroε στο microυαλό microας ότι για να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση σε microια

εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία microας έδωσαν ή στην οποία καταλήξα-

microε θα πρέπει να τη microετασχηmicroατίσουmicroε ώστε

να εmicroφανίσουmicroε την αρχική τιmicroή του χρόνου microε τη microορφή που είπαmicroε

να εξασφαλίσουmicroε ότι ο προσθετέος που δεν περιέχει χρόνο είναι σε

διάστηmicroα ενός τριγωνοmicroετρικού κύκλου και microάλιστα στη microορφή που έ-

χουmicroε επιλέξει για την αρχική φάση ([02π) ή [-ππ) ή )

20

5ο παράδειγmicroα

Έστω ότι σε κάποιο πρόβληmicroα συmicroβολής κυmicroάτων y1= και y2= αντικαθι-

στούmicroε τα δεδοmicroένα στην εξίσωση της συmicroβολής (65) και βρίσκουmicroε ότι το σηmicroείο Μ που απέ-

χει r1= και r2= από τις πηγές ταλαντώνεται αρmicroονικά microε εξίσωση

y=minus10-1

middotηmicro(2πt4

9πminus ) (SI) microε t ge 05 sec (68)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης του Μ στην (68)

Λύση

Η (68) γίνεται διαδοχικά

y=minus10-1

middotηmicro(2πt4

9πminus ) = 10

-1middotηmicro(2πt+π

4

9πminus )=10

-1middotηmicro(2πt

4

5πminus )=10

-1middotηmicro[2π(tminus05)

4

πminus ]

και τελικά

y=10-1

middotηmicro[2π(tminus05)4

7π+ ] (68α)

Η (68α) έχει εmicroφανίσει την αρχική τιmicroή χρόνου 05 sec στη microορφή που θέλουmicroε και προ-

σθετέο 4

7π που δεν περιέχει χρόνο t και βρίσκεται στο διάστηmicroα [02π)

Άρα η φάση και η αρχική φάση της (68) είναι ίδιες microε εκείνες της (68α)

∆ηλαδή

Φάση φ=2π(tminus05)4

7π+ =2πt

4

3π+ microε t ge 05 sec

Αρχική φάση rad 4

7π0 =ϕ

Φάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολή

Ο Νίκος (Ανδρεάδης) microε δύο ευφυέστατες αναρτήσεις

laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολήraquo

laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολή-Μέρος δεύτεροraquo

που βρίσκονται στη διεύθυνση

httpylikonetgrprofilesblogsphhaseis-kai-antiphhaseis-ste

microας ώθησε να ακούσουmicroε κάποιους τριγmicroούς από την ψεύτικη πραγmicroατικότητα των

κυmicroάτων που διδάσκουmicroε

21

Γράφει λοιπόν

laquoΝ=6 1r 15= m

1 2r r 6 λminus = sdot

2r 03= m

Για t 3ge s η εξίσωση κίνησης προκύπτει από την επαλληλία των εξισώσεων

11

2πr2πty A ηmicro

T λ

= sdot minus

και 2

2

2πr2πty A ηmicro

T λ

= sdot minus

Μετά από πράξεις

( )1y 01 ηmicro 5πt 15π= sdot minus και ( )2

y 01 ηmicro 5πt 3π= sdot minus

Σύmicroφωνα microε τη σχέση 1 2 1 2r r r r2πt

y 2A συν 2π ηmicro π2λ T λ

minus += sdot sdot minus

microετά από πράξεις προκύπτει

( )y 02 ηmicro 5πt 9π= sdot minus

Η φάση (της αποmicroάκρυνσης στην παραπάνω εξίσωση) δίνεται από τη σχέση φ 5πt 9π= minus

Για t 3= s (προκύπτει η αρχική) φάση (η οποία) είναι 6π rad

παρατηρούmicroε ότι 7 σηmicroεία του microέσου τα οποία ξεκινούν την ίδια στιγmicroή την ίδια κίνηση από τη θέ-

ση ισορροπίας microε θετική ταχύτητα περιγράφονται microε διαφορετικές εξισώσεις και την στιγmicroή της εκκί-

νησης έχουν διαφορετική φάση

Οι απορίες microου

Ποιο είναι το φυσικό νόηmicroα των τιmicroών 0π 2π 4π 6π και 8π

Έχει νόηmicroα να ζητήσουmicroε τη διαφορά φάσης ενός από αυτά τα σηmicroεία microε microια πηγή

Αν όmicroως δούmicroε το θέmicroα ως σύνθεση δύο ταλαντώσεων που βρίσκονται σε συmicroφωνία φάσης καταλή-

γουmicroε αmicroέσως στο συmicroπέρασmicroα ότι και στις 7 περιπτώσεις η κίνηση για t 3ge s περιγράφεται από την

εξίσωση ( )y 02 ηmicro 5πt 15π= sdot minus (SI)

Η φάση δίνεται από τη σχέση φ 5πt 15π= minus (SI)

Για t 3= s η (αρχική) φάση είναι 0π rad ∆ηλ τη στιγmicroή της εκκίνησης έχουmicroε microηδενισmicroό της φάσης

για τα 7 σηmicroεία κάτι λογικό αφού τότε και τα 7 ξεκινούν microια νέα κίνηση από τη θέση ισορροπίας microε

θετική ταχύτηταraquo

Στους προβληmicroατισmicroούς που έθεσε ο Νίκος θα επιχειρήσω microια το-

ποθέτηση

Κατά τη γνώmicroη microου το microόνο που microπορεί να microας γλιτώσει από το παραπάνω παράδοξο είναι

η microαθηmicroατική αυστηρότητα microε την οποία φροντίσαmicroε να εφοδιάσουmicroε (και έτσι πρέπει

να γίνεται πάντα αν και πολλές φορές τούτο το απλό το ξεχνάmicroε) τους ορισmicroούς φάση και

αρχική φάση

Η αντίρρησή microου επικεντρώνεται στη φράση

laquoη φάση στην εξίσωση ( )y 02 ηmicro 5πt 9π= sdot minus δίνεται από τη σχέση φ 5πt 9π= minus raquo

η οποία εξάλλου είναι και η υπεύθυνη για τις αντιφάσεις που έχει εντοπίσει ο Νίκος

Προκειmicroένου να βρεθούν η φάση και η αρχική φάση στην εξίσωση microιας αρmicroονικής

ταλάντωσης πρέπει να ακολουθηθούν ορισmicroένες διαδικασίες

22

Αυτό δεν είναι ούτε σωσίβιο ούτε σοφιστεία ούτε κάποια κίνηση απελπισίας Είναι η ου-

σία του ορισmicroού που υιοθετήσαmicroε για τις δύο αυτές έννοιες

Η αυστηρότητα των ορισmicroών που δώσαmicroε ως φυσικοί εξασφαλίζει ότι τα microαθηmicroατικά όχι

microόνο θα microπορέσουν να εγγυηθούν τη συνέπεια των συλλογισmicroών και αποτελεσmicroάτων microας

αλλά θα ενσωmicroατώσουν microέσα τους τελείως διαφανείς πορείες απαραίτητες για την αυτοδυ-

ναmicroία και ισχύ του φυσικού έστω κι αν ένας microαθηmicroατικός αδιαφορήσει τελείως γι΄ αυτές

Αυτό δεν είναι παραλογισmicroός αλλά συνειδητοποίηση του διαφορετικού ρόλου

και της διαφορετικής ευθύνης των δύο ειδικοτήτων˙ του φυσικού και του microαθη-

microατικού

Κοντολογίς

Προκειmicroένου να διατηρήσουmicroε το δικαίωmicroα να χρησιmicroοποιούmicroε στο λεξιλόγιό microας τις λέξεις

φάση και αρχική φάση επιβάλλεται από τα microαθηmicroατικά να είmicroαστε συνεπείς microε τους ορι-

σmicroούς που τους δώσαmicroε και να τις χειριζόmicroαστε microε ειδικό τρόπο σε καθορισmicroένες πορείες

Αν δε το κάνουmicroε αυτό τα microαθηmicroατικά θα microας γυρίσουν την πλάτη

κι εmicroείς θα βουλιάξουmicroε στις παρανοήσεις στα αδιέξοδα και τις λο-

γικές ασυνέπειες

Σύmicroφωνα λοιπόν microε όσα έχουν αναφερθεί για να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση στην εξίσωση κίνησης

y=02middotηmicro(5πtminus9π) microε tge3 sec (69)

πρέπει να εmicroφανίσουmicroε microέσα της την αρχική τιmicroή του χρόνου 3 sec και να αφαιρέσουmicroε τα

ακέραια πολλαπλάσια του 2π microε τέτοιο τρόπο ώστε η αρχική φάση να είναι microέσα στη microορ-

φή του τριγωνοmicroετρικού κύκλου που υιοθετήσαmicroε

Πράγmicroατι η (69) γίνεται

y=02middotηmicro(5πtminus9π)=02middotηmicro[5π(t-3)+6π]

και τελικά

y=02middotηmicro[5π(t-3)+0] microε tge3 sec (69α)

Η (69α) και κατά συνέπεια και η (69) έχουν

Φάση φ=5π(t-3)+0=5πt-15π microε tge3 sec

Αρχική φάση φ0=0 rad

Νοmicroίζω ότι τώρα πια δεν υπάρχει καmicroιά αντίφαση microιας και όλες οι συλλογιστικές και όλες

οι microαθηmicroατικές πορείες θα δώσουν ακριβώς τα ίδια αποτελέσmicroατα

α) Και τα επτά σηmicroεία Ν=0 έχουν την ίδια φάση φ=5πt-15π microε tge3 sec και την ί-

δια αρχική φάση φ0=0 rad

23

β) Υπάρχει απόλυτη συλλογιστική συνέπεια σε όλα αφού όπως έχει ήδη επισηmicroάνει ο Νί-

κος laquoκαι τα 7 σηmicroεία πρέπει να έχουν την ίδια φάση και αρχική φάση αφού ξεκινούν microια

νέα κίνηση από τη θέση ισορροπίας microε θετική ταχύτηταraquo

γ) Είτε χρησιmicroοποιηθούν οι τύποι σύνθεσης ταλαντώσεων είτε χρησιmicroοποιηθεί ο τύ-

πος της συmicroβολής κυmicroάτων είτε οποιαδήποτε άλλη microαθηmicroατική διαδροmicroή τα αποτελέ-

σmicroατα φάσης και αρχικής φάσης θα είναι απολύτως ίδια

δ) laquoΚάθε κίνηση έχει φάση που microας πληροφορεί για πόσο χρόνο παρακολουθούmicroε τη συ-

γκεκριmicroένη κίνησηraquo

ε) Απορία

laquoΠοιο είναι το φυσικό νόηmicroα των τιmicroών 0π 2π 4π 6π και 8πraquo

Απάντηση

laquoοι τιmicroές 0π 2π 4π 6π και 8π που προκύπτουν microε (απλή-ανώδυνη) εφαρmicroογή της γνω-

στής σχέσης ηmicroΑ+ηmicroΒ=hellip δεν έχουν κανένα γνωστό ωφέλιmicroο φυσικό νόηmicroαraquo

Η εφαρmicroογή της σχέσης ηmicroΑ+ηmicroΒ= δεν οδηγεί πάντα απευθείας σε σχέση στην οποία να

είναι άmicroεσα διαφανείς η φάση και η αρχική φάση microιας εξίσωσης αρmicroονικής κίνησης

Ο τελικός τύπος χρειάζεται οπωσδήποτε επεξεργασία

στ) Απορία

laquoΈχει νόηmicroα να ζητήσουmicroε τη διαφορά φάσης ενός από αυτά τα σηmicroεία microε microια πηγήraquo

Απάντηση

Όχι Δεν πρέπει να ζητήσουmicroε τέτοιο πράγmicroα αν δε είmicroαστε έτοιmicroοι να αυτοκτονήσουmicroε ή να

microπούmicroε σε ατέλειωτες microαθηmicroατικές αναζητήσεις για να γλιτώσουmicroε microόνο και microόνο τη συνέ-

πεια της εννοιολογικά λανθασmicroένης laquoπραγmicroατικότηταςraquo των κυmicroάτων που διδάσκουmicroε

Η παρουσία πηγών επιβάλλει άλλου είδους κύmicroατα εmicroπλουτισmicroένα και microε άλλες έννοιες και

microε microαθηmicroατικούς χειρισmicroούς αρκετά δύσκολους microιας και στις διαφορικές εξισώσεις πρέπει

να παρθούν υπόψη συνοριακοί περιορισmicroοί

Στην πρώτη σελίδα της ανάρτησής microου laquoΟρισmicroοί και εξισώσεις κίνησης γ΄ microέροςraquo έγραφα κάτι που όσο περνάει ο καιρός το πιστεύω όλο και πιο πολύ

laquoδιδάσκουmicroε ˝κύmicroατα˝ που δήθεν διαδίδονται microε ταχύτητα υ έχουν αρχικές φάσεις έχουν

πηγές που τα παράγουν και πολλές φορές δύο πηγές για να έχουmicroε συmicroβολή

Μα αυτά που διδάσκουmicroε ούτε κύmicroατα είναι ούτε διαδίδονται ούτε πηγές περιέχουν

ούτε είναι κάπου και τρέχουν να πάνε κάπου αλλού ούτε ξεκινάνε από κάπου ούτε ούτε

ούτε

Στα κεφάλαια ˝Κύmicroατα˝ και ˝Μηχανική Στερεού Σώmicroατος˝ της Φυσικής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου ειλικρινά microε πιάνει απελπισία Τα πράmicroατα εκεί σκοτεινιάζουν τόσο πο-λύ Τί να πεις και από πού να αρχίσεις raquo

24

Στο σηmicroείο αυτό όmicroως νιώθω υποχρεωmicroένος να τονίσω ότι η αρνητικότατη στάση

microου απέναντι σε αυτό που microας βάζουν να διδάσκουmicroε ως κύmicroατα δεν πρέπει στο

ελάχιστο να θεωρηθεί ως απόρριψη της προσπάθειας συναδέλφων να microας δώσουν

ένα πλήθος ασκήσεων θέσεων αναλύσεων διαγωνισmicroάτων κλπ που έχουν σχέση

microε κύmicroατα και microε συmicroβολή κυmicroάτων που περιέχουν πηγές

Στο σχολείο πρέπει να κάνουmicroε αυτό που επιτάσσουν οι πανελλαδικές Άρα πέρα

από όλες τις διαφωνίες microεταξύ microας θα πρέπει προσωπικά να βρω ασκήσεις και θέ-

microατα να δώσω στα παιδιά για να καλύψω την ανήθικη έλλειψη ασκήσεων από το

σχολικό βιβλίο

Επίσης θα πρέπει να βρω τρόπο να microην καταρρεύσει η συλλογιστική των παιδιών

έστω και σαθρή πριν τις εξετάσεις

Αυτό microε τη σειρά του σηmicroαίνει ότι πρέπει να έχω επιχειρήmicroατα και υλικό κοmicromicroένο

στις συγκεκριmicroένες ανάγκες τους

Σε αυτό το σηmicroείο η βοήθεια που microου πρόσφεραν και microου προσφέρουν οι συνάδελ-

φοι του δικτύου και κάποια αξιόλογα εξωσχολικά βιβλία είναι όχι απλά πολύτιmicroη

αλλά ανεπανάληπτη

Με πολύ ανακούφιση δέχοmicroαι και παίρνω πολύτιmicroα διαγωνίσmicroατα ασκήσεις και υ-

λικό που προσφέρουν απλόχερα διάφοροι συνάδελφοι και που αναφέρονται σε κύmicroα-

τα που προέρχονται από πηγές και που συmicroβάλλουν

Επί τη ευκαιρία τους ευχαριστώ που microου δίνουν τον κόπο τους Κάποιες φορές microά-

λιστα αποτελεί πηγή αναθεωρήσεων και καινούριων αναζητήσεων microου

Ε Παρατηρήσεις

1) Η εξίσωση της αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία θα microας δώσουν ή στην οποία θα κα-

ταλήξουmicroε microετά από κάποια microαθηmicroατική επεξεργασία δεν είναι υποχρεωmicroένη να δηλώνει

καθαρά τη φάση και την αρχική φάση Εκείνο που πρέπει οπωσδήποτε να επισηmicroάνουmicroε εί-

ναι ότι φάση δεν είναι η ποσότητα που βρίσκεται microέσα στον τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό

Η εύρεση της φάσης και της αρχικής φάσης θέλουν διαδικασία η οποία θα απαιτήσει το

πεδίο ορισmicroού της εξίσωσης που microας δίνουν για την ταλάντωση ή για το κύmicroα

Ας του δώσουmicroε έmicroφαση microε microια άσκηση χωρίς κανένα απολύτως νόηmicroα

Στην παρακάτω εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης να βρεθεί η φάση και η αρχική

φάση της αποmicroάκρυνσης

y=10-1middotηmicro(2πt 4

11πminus )

Ο λόγος που αυτή η άσκηση είναι α-νόητη είναι γιατί δεν έχει δοθεί το πεδίο ορισmicroού Αλ-

λάζοντας το πεδίο ορισmicroού όπως ήδη έχουmicroε δείξει θα αλλάξει τόσο η συνάρτηση της φά-

σης όσο και η τιmicroή της αρχικής φάσης (∆ες σελίδα 18)

25

2) Η εύρεση της διαφοράς φάσης ανάmicroεσα σε δύο microεγέθη του ίδιου

φαινοmicroένου είναι ακόmicroη πιο επίπονη διαδικασία

Το θέmicroα αυτό είχε θέσει ο Θοδωρής microε microια ανάρτησή του που βρίσκεται στη διεύθυνση httpylikonetgrgroupthemataforumtopicsphhasearchikhe-

phhasediaphorhacommentId=36477953AComment3A16659ampgroupId=36477953AGroup3A5901

Όπως στην περίπτωση της φάσης και αρχικής φάσης οι αρmicroονικές συναρτήσεις πρέπει να

laquoετοιmicroαστούνraquo έτσι και στην περίπτωση που microας ζητάνε να βρούmicroε διαφορά φάσης ανάmicroε-

σα σε δύο φυσικά microεγέθη που εκφράζονται microε αρmicroονικές συναρτήσεις οι συναρτήσεις αυτές

πρέπει οπωσδήποτε να ετοιmicroαστούν κατάλληλα

3) Το πιο σηmicroαντικό στο οποίο εστιάζουν οι εργασίες microου (άσχετα αν τα καταφέρνω να

το δείξω ή όχι) είναι η microεθοδολογία που πρέπει να ακολουθούmicroε όταν θέλουmicroε να λύσουmicroε

microια διαφωνία microας να προχωρήσουmicroε microια αναζήτησή microας να βρούmicroε διέξοδο σε microια αντίφα-

ση να συνειδητοποιήσουmicroε microια έννοια

Κατά τη γνώmicroη microου πρέπει να ξεκινάmicroε από τους ορισmicroούς και αφού εξασφαλίσουmicroε την

αυστηρότητά τους να προχωρήσουmicroε σε απλές έστω εννοιολογικές κατακτήσεις απαραίτη-

τες όmicroως για την αναπνοή microας ως φυσικών ή ως ενδιαφεροmicroένων για τη φυσική

laquohellipΗ αξία των ορισmicroών εντοπίζεται στη σωστή θέση που πρέπει να κατέχουν κατά τη συνεννόηση microε-

ταξύ των φυσικών και στον κορυφαίο και αναντικατάστατο ρόλο που πρέπει microε κάθε σεβασmicroό να απο-

δεχτούmicroε ότι διαδραmicroατίζουν στη διαmicroόρφωση της δοmicroής της γλώσσας που χρησιmicroοποιεί η Φυσική

∆εν γίνεται να κάνεις Φυσική αν δεν έχεις τα σωστά κατάλληλα λόγια για να περιγράψεις στους άλ-

λους το όmicroορφο

Η Φυσική έχει ορισmicroούς που δεν είναι διαπραγmicroατεύσιmicroοι και microαθηmicroατικές microεθοδολογίες που δεν

πρέπει να αγνοούνται αν θέλουmicroε να έχουmicroε συνέπεια και να εξασφαλίζουmicroε απόλυτη διαφάνεια στους

συλλογισmicroούς microας

∆εν πρέπει να χαλάmicroε τη γλώσσα γιατί αλλιώς χαλάει η σκέψη και η επικοινωνία microεταξύ microας Πρέπει να δεχτούmicroε στην ψυχή microας (όχι στα λόγια) ότι οι ορισmicroοί έχουν αξία και να συνειδητοποιή-

σουmicroε την microοναδική τους ιδιότητα Αυτή που είναι και η αιτία της ύπαρξής τους Να είναι χρήσιmicroοι

Οι ορισmicroοί ή είναι χρήσιmicroοι ή δεν υπάρχουν Τα λόγια της Φυσικής δε φτιάχτηκαν για να περιγράφουν αλλά για να έχουν συγχρόνως τη δυνατότητα και να

προφητεύουνraquo

4) Στο παράδειγmicroα του Νίκου για τις φάσεις και τις αντιφάσεις χρησιmicroοποιήθηκαν σηmicroεία

όπου είχαmicroε ενισχύσεις

Θα παρακαλούσα το Νίκο αλλά και όποιον άλλο συνάδελφο θέλει να κάνει microια άσκηση

ή microια προσοmicroοίωση microε πιο γενικά σηmicroεία στη συmicroβολή κυmicroάτων και να υπολογίσει τις

φάσεις και τις αρχικές φάσεις στην εξίσωση ταλάντωσης των σηmicroείων αυτών δίνοντας έmicro-

φαση πάντα το πεδίο ορισmicroού και στον περιορισmicroό της αρχικής φάσης σε έναν τριγωνοmicroε-

τρικό κύκλο πχ της microορφής [02π)

Πιστεύω ότι έτσι κάποια πράγmicroατα θα γίνουν πολύ πιο ευδιάκριτα πιο απλά και το κυριό-

τερο θα περάσουν πιο εύκολα στους συναδέλφους

5) Τελειώνοντας οφείλω να πω ότι η σηmicroερινή microου ανάρτηση ουσιαστικά οφείλεται

στους προβληmicroατισmicroούς που microας έθεσε ο Νίκος (Ανδρεάδης) πάνω στη συmicroβολή των κυmicroά-

των microε το laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολήraquo

Έχοντας ξεκινήσει να γράφω microια σειρά αναρτήσεων σχετικών microε τις έννοιες φάση και αρ-

χική φάση microου ήρθε ανέλπιστα η δουλειά του Νίκου η οποία microε τα ερωτήmicroατα που έθεσε

τη συζήτηση που ακολούθησε και τις γνώmicroες που διατυπώθηκαν microου έδωσε ισχυρά επιχει-

ρήmicroατα να υποστηρίξω την απόλυτη πίστη microου στην αξία των ορισmicroών όχι ως απλή λεκτική

επανάληψη microιας υποχρεωτικής αποστήθισης αλλά ως συνειδητοποίηση όλης εκείνης της

26

εσωτερικής λειτουργίας απόλυτα συγκεκριmicroένων πραγmicroάτων που κρίνουν τους ορισmicroούς

ως χρήσιmicroους και απαραίτητους και τους γεννούν για να υπάρχουν και να πλουτίζουν τη

γλώσσα microας

Τους βάζουν δίπλα microας και microας καλούν να πιστέψουmicroε στην αξία τους και ποτέ να microην

τους υποτιmicroήσουmicroε όσο απλοί και να είναι

(συνεχίζεται)

Σάββατο 29 Ιανουαρίου 2011

Θρασύβουλος Κων Μαχαίρας

Γενικό Λύκειο Αγριάς Πηλίου

s7-kmghotenetgr

14

Γ Συmicroπέρασmicroα

(ένας απλός τρόπος υπολογισmicroού φάσης και αρχικής φάσης) Με τα παραπάνω θεmicroελιώνεται microαθηmicroατικά ένας πολύ απλός τρόπος εύρεσης της φάσης

και της αρχικής φάσης σε microια τυχαία εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία microας δίνουν

ή στην οποία καταλήγουmicroε microετά από διάφορους microαθηmicroατικούς microετασχηmicroατισmicroούς

Απαίτηση όmicroως για την εφαρmicroογή αυτού του τρόπου είναι η παρουσία του πεδίου ορισmicroού

της συνάρτησης κάτι που στο κάτω-κάτω είναι και απαίτηση κάθε σοβαρής microαθηmicroατικής

αντιmicroετώπισης

Ας τον δούmicroε

Έστω για παράδειγmicroα ότι microε οποιονδήποτε microαθηmicroατικά σωστό τρόπο καταλήγουmicroε

στην εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης

χ=Αηmicro(ωt+θ) microε t ge t0 (60)

Επειδή οι microαθηmicroατικές microεθοδολογίες δεν ενδιαφέρονται για τις αγωνίες ενός φυσικού δεν είναι καθόλου υπο-χρεωmicroένες να εξασφαλίσουν ότι η ποσότητα θ θα είναι αρχική φάση ούτε ότι η ποσότητα ωt+θ θα είναι φά-ση

Αυτές οι έννοιες αφορούν τον φυσικό ο οποίος θα πρέπει πρώτα να τις ορίσει microε αυστηρότητα (και αυτό microπο-ρεί να γίνει microόνο microέσα από την ξεχωριστή εσωτερική λειτουργία των διαφορικών εξισώσεων όπως έχουmicroε ήδη επισηmicroάνει) και κατόπιν να χρησιmicroοποιήσει την εγγύηση των microαθηmicroατικών για να εξασφαλίσει ότι η αυστηρότητα των ορισmicroών του θα είναι όχι απλά συνεπέστατη λογικά αλλά κυρίως ότι θα δώσει την εγγύηση πως δεν θα προκύψουν παρανοήσεις

Έτσι λοιπόν το θ που θα προκύψει από τους microαθηmicroατικούς microετασχηmicroατισmicroούς

microπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγmicroατικός αριθmicroός

Τότε

1ο βήmicroα Στην (60) εmicroφανίζουmicroε την αρχική τιmicroή του χρόνου t0 γράφοντάς

την microε τη microορφή

x=Aηmicro[ω(t-t0)plusmnθ΄] microε t ge t0

2ο βήmicroα Αν η θ΄ στο όρισmicroα του ηmicroίτονου είναι microέσα σε ένα τριγωνοmicroε-

τρικό κύκλο αυτή είναι η αρχική φάση Αλλιώς προσθέτουmicroε ή

αφαιρούmicroε ακέραια πολλαπλάσια του 2π ώστε microετά την παρά-

σταση ω(t-t0) να εξασφαλίσουmicroε laquoγωνίαraquo φ0 η οποία να είναι

microέσα στον τριγωνοmicroετρικό κύκλο που έχουmicroε επιλέξει

Να είναι δηλαδή στο διάστηmicroα [0 2π) ή στο [-π π) κλπ

x=Aηmicro[ω(t-t0)+φ0] microε t ge t0 (60α)

3ο βήmicroα Η ποσότητα φ=ω(t-t0)+φ0 είναι η φάση και φ0 είναι η αρχική

φάση στη σχέση (60α) Άρα και στην (60) που microας έδωσαν

Τον παραπάνω τρόπο εφαρmicroόσαmicroε ήδη στο 3ο παράδειγmicroα

15

Δ Κύmicroατα

Το έχω ξαναπεί αλλά θα το ξαναπώ γιατί νοmicroίζω ότι microόνο έτσι microόνο όταν πιστέψουmicroε

στα λάθη που microας βάζουνε και διδάσκουmicroε κάποια στιγmicroή θα βρεθούν κάποιοι ικανοί που

θα βρουν τρόπο να ζητήσουν ευθύνες από όλους εκείνους που χρόνια τώρα microας βουλιάξανε

microας βουλιάζουνε και θα βουλιάξουνε γενιές ανθρώπων στα λάθη γράφοντας πανεπιστηmicroια-

κά βιβλία χωρίς ποτέ να microπουν στον κόπο να ξαναψάξουν αυτά που γράφουν

Το κεφάλαιο laquoΚύmicroαταraquo που διδάσκουmicroε είναι το λιγότερο λανθασmicroένο Λανθασmicroένο

πιο πολύ από τις ταλαντώσεις γιατί τα laquoκύmicroαταraquo κουβαλάνε όλα τα λάθη των ταλα-

ντώσεων και κάτι ακόmicroη που είναι πιο τραγικά λανθασmicroένο Τη διάδοση

Η διδασκαλία microας στο κεφάλαιο laquoΚύmicroαταraquo ΔΥΣΤΥΧΩΣ ΣΤΗΡΙΖΕΤΑΙ ΣΤΗ ΔΙΑ-

ΔΟΣΗ ΤΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ

Μα αυτά που διδάσκουmicroε ούτε laquoκύmicroαταraquo είναι ούτε διαδίδονται

Και έτσι εmicroείς οι απλοί φυσικοί της γειτονιάς γινόmicroαστε τραγικές φιγούρες microιας και microετά

από ένα κεφάλαιο γεmicroάτο λάθη όπως είναι οι laquoταλαντώσειςraquo αναγκαζόmicroαστε να λέmicroε να

βρίσκουmicroε να διδάσκουmicroε να microπαλώνουmicroε και να εmicroπλουτίζουmicroε microε ασκήσεις το δεύτερο

κεφάλαιο laquoΤα κύmicroαταraquo που είναι ακόmicroη πιο λανθασmicroένο

Η εmicroπειρία microου ως αεί υφιστάmicroενος τόσων και τόσων σε ένα Υπουργείο Παιδείας που η-

δονίζεται να αλλάζει ονόmicroατα microόνο και όχι ουσία microου λέει τούτο το απλό

Όταν τόσοι φυσικοί δυσκολευόmicroαστε κάποιες φορές να κατανοήσουmicroε αυτά που διδάσκου-

microε και που γράφει ένα σχολικό βιβλίο προορισmicroένο για microαθητές λυκείου σίγουρα κάποιοι

άλλοι κάνανε χοντρά λάθη ως laquomicroέντορεςraquo (γελοιοποίηση microιας ακόmicroη όmicroορφης αρχαίας λέ-

ξης) και microας βάλανε να διδάξουmicroε τα λάθη τους microε τέτοιο τρόπο που στο τέλος

ξεχάσαmicroε ότι ήταν δικά τους λάθη και νοmicroίσαmicroε ότι όλα ήταν δικά microας σω-

στά

Παρακάmicroπτω λοιπόν την ανύπαρκτη φυσική της συmicroβολής των laquoκυ-

microάτωνraquo που διδάσκουmicroε και χρησιmicroοποιώντας microόνο την ορολογία της θα προσπα-

θήσω microέσα από microια microατιά laquoγυmicroνάraquo microαθηmicroατική να εφαρmicroόσω στο συγκεκριmicroένο laquoφαινόmicroε-

νοraquo όσα προαναφέραmicroε Επικαλούmicroενος και ελπίζοντας microόνο στην αυστηρότητα του ορισmicroού

Αν εφαρmicroόσουmicroε microε συνέπεια τους αυστηρούς ορισmicroούς της φάσης και της αρχικής φάσης

που δώσαmicroε κι αν σε φαινόmicroενα ίδιας ποιότητας δεν αρνηθούmicroε τις microαθηmicroατικές πορείες

που καταγράψαmicroε κι ακολουθήσαmicroε στις τρεις προηγούmicroενες αναρτήσεις laquoΟρισmicroοί και

εξισώσεις κίνησης α΄ β΄ και γ΄ microέροςraquo τότε δε θα υπάρξουν συλλογιστικά αδιέξοδα

Ας το δούmicroε (τα σύmicroβολα που χρησιmicroοποιούνται θεωρούνται αυτονόητα)

Στην εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης

minus=λ

πηmicro 11

r

T

t2Ay microε

υ1rt ge (61)

16

που επιβάλλει στο τυχαίο σηmicroείο Μ το πρώτο laquoκύmicroαraquo όταν έχει διαδοθεί microόνο του οι έν-

νοιες της φάσης και της αρχικής φάσης είναι καθορισmicroένες microε απόλυτη σαφήνεια αρκεί να

microην ξεχάσουmicroε το πεδίο ορισmicroού

φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (61)

λππ

ϕ 1r2

T

t2minus= microε

υ1rt ge

αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (61)

φ0=0 rad

Στην εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης

minus=λ

πηmicro 22

r

T

t2Ay microε

υ2rt ge (62)

που επιβάλλει στο τυχαίο σηmicroείο Μ το δεύτερο laquoκύmicroαraquo όταν έχει διαδοθεί microόνο του οι έν-

νοιες της φάσης και της αρχικής φάσης είναι καθορισmicroένες microε απόλυτη σαφήνεια αρκεί να

microην ξεχάσουmicroε το πεδίο ορισmicroού

φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (62)

λππ

ϕ 2r2

T

t2minus= microε

υ2rt ge

αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (62)

φ0=0 rad

Μετά τη laquoσυmicroβολή των δύο κυmicroάτωνraquo η εξίσωση ταλάντωσης του ση-

microείου Μ είναι

minus+

minus=+=λ

πηmicroλ

πηmicro 2121

r

T

t2A

r

T

t2Ayyy microε

geυυ

21 r

rmax t (63)

Στη σχέση (63) οι έννοιες laquoφάσηraquo και laquoαρχική φάσηraquo δεν ορίζο-

νται Δεν υπάρχουν

Η κίνηση που αποδίδεται microε τη σχέση (63) είναι επαλληλία των εξισώσεων κίνησης δύο

αρmicroονικών ταλαντώσεων (επαλληλία δύο αρmicroονικών συναρτήσεων δηλαδή και όχι πραγmicroα-

τικών κινήσεων) ίδιας διεύθυνσης ίδιας συχνότητας και ίδιας laquoθέσης ισορροπίαςraquo

17

Είναι επαλληλία των συναρτήσεων y1 και y2

Η σύνθεσή τους η y δηλαδή είναι microια (πραγmicroατική) αρmicroονική ταλάντωση ίδιας διεύθυν-

σης ίδιας συχνότητας και ίδιας θέσης ισορροπίας microε τις συνιστώσες εξισώσεις κίνησης ή

καλύτερα microε τους προσθετέους της (63)

Όπως είναι γραmicromicroένη η εξίσωση (63) δεν έχουmicroε κανένα δικαίωmicroα να microιλάmicroε

ούτε για laquoφάσηraquo ούτε για laquoαρχική φάσηraquo

Για να αποκτήσουmicroε αυτό το δικαίωmicroα πρέπει να τη φέρουmicroε σε microορφή που να διαθέτει

ένα microόνο τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό και δη ή microόνο ένα ηmicroίτονο ή microόνο ένα συνηmicroίτονο

Με άλλα λόγια

αν θέλουmicroε να microιλάmicroε για φάση και αρχική φάση στην σχέση (63) εξίσωση συmicroβολής των

κυmicroάτων θα πρέπει να τη φέρουmicroε στη microορφή

( )0t Ay ϕωηmicro prime+prime=

ή στη microορφή

( )0t Ay ϕωσυν primeprime+primeprime=

Τότε όmicroως

για να microην καταρρεύσουν αmicroφότεροι οι ορισmicroοί κι εποmicroένως και οι έννοιες

της φάσης και της αρχικής φάσης θα πρέπει να φροντίσουmicroε η αρχική φάση

να περιοριστεί σε ένα τριγωνοmicroετρικό κύκλο

για να αποφύγουmicroε κάθε επικίνδυνη ρευστότητα θα πρέπει να τεθεί οπωσ-

δήποτε το πεδίο ορισmicroού της συνάρτησης

για να microην υπάρξουν συλλογιστικά αδιέξοδα θα πρέπει να ακολουθήσουmicroε

microε συνέπεια την πορεία που καταγράψαmicroε στα παραδείγmicroατα 1-3 για τον

υπολογισmicroό φάσης και αρχικής φάσης ή έστω να εφαρmicroόσουmicroε τον απλό

τρόπο που καταγράφεται στη σελίδα 14

Ο microετασχηmicroατισmicroός της (63) ώστε να περιέχει ένα microόνο τριγωνο-

microετρικό αριθmicroό microπορεί να γίνει microε διάφορους τρόπους

1ος τρόπος Χρησιmicroοποιώντας τους τύπους της επαλληλίας εξισώσεων κίνησης

Αν έχουmicroε αριθmicroητικά δεδοmicroένα και δε θέλουmicroε να microπλεχτούmicroε microε πολλά microαθηmicroατικά

microπορούmicroε να χρησιmicroοποιήσουmicroε τους τύπους του σχολικού βιβλίου για την επαλληλία εξι-

σώσεων αρmicroονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης ίδιας συχνότητας και ίδιας θέσης ισορ-

ροπίας

Τους τύπους αυτούς όmicroως θα πρέπει να ισχυροποιήσουmicroε ώστε να συmicroπεριλάβουν περι-

πτώσεις όπου και οι δύο ταλαντώσεις έχουν αρχική φάση και να εmicroπλουτίσουmicroε microε έναν ε-

πιπλέον τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό ή microε κάποια επιπλέον microαθηmicroατική microας δεξιότητα microιας και η

σχέση microε την εφθ microόνη της δε microπορεί να προσδιορίσει την αρχική φάση θ έστω κι αν αυτή

περιοριστεί σε έναν τριγωνοmicroετρικό κύκλο

18

( Επαλληλία εξισώσεων αρmicroονικών ταλαντώσεων

x1=Α1middotηmicro(ωt+φ1) και x2=Α2middotηmicro(ωt+φ2)

x=x1+ x2=Aηmicro(ωt+θ)

όπου )(AA2AAA 21212

22

1 ϕϕσυν minus++= Α

ηmicroϕΑηmicroϕΑηmicroϑ 2211 +

= (64)

2211

2211

AA

AA

συνϕσυνϕηmicroϕηmicroϕ

εϕϑ+

+=

ΑσυνϕΑσυνϕΑ

συνϑ 2211 +=

microε 0leθlt2π

Τέτοιου είδους αντιmicroετωπίσεις έχουν ήδη καταχωρηθεί στο δίκτυο)

2ος τρόπος Μετασχηmicroατίζουmicroε την (63) και φτάνουmicroε στη microορφή

+minussdot

minus=

λΤπηmicro

λπσυν

2

rrt2

2

rr2A2y 2121 microε

geυυ

21 r

rmax t (65)

Αφού φιλοδοξούmicroε η (65) να περιγράφει πραγmicroατική κίνηση (κι όχι να είναι κα-

νένας προσθετέος σε επαλληλία εξισώσεων κίνησης) και επιθυmicroούmicroε οι έννοιες laquoφάσηraquo και

laquoαρχική φάσηraquo να έχουν νόηmicroα θα πρέπει ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ να χειρι-

στούmicroε την (65) microε τους τρόπους που δείξαmicroε στα παραδείγmicroατα 1-3

Αν δηλαδή επιθυmicroούmicroε να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση στην

(65) θα πρέπει να χρησιmicroοποιήσουmicroε ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ το πεδίο ορισmicroού

της και τον περιορισmicroό της αρχικής φάσης σε ένα τριγωνοmicroετρικό κύκλο

(Το να χειριστούmicroε τη σχέση (65) γενικά ώστε να εmicroφανιστούν γενικοί περιορισmicroοί στο πεδίο ορισmicroού και στην

αρχική φάση του ενός τριγωνοmicroετρικού κύκλου νοmicroίζω ότι θα είναι άσκοπο microιας και ο χρόνος που θα απαιτήσει

η γραφή αυτή θα ΄ναι microεγάλος και η αξία των τύπων ελάχιστη Γι΄ αυτό καταφεύγω σε παραδείγmicroατα)

4ο παράδειγmicroα

Έστω ότι σε κάποιο πρόβληmicroα συmicroβολής κυmicroάτων y1= και y2= αντικαθι-

στούmicroε τα δεδοmicroένα στην εξίσωση της συmicroβολής (65) και βρίσκουmicroε ότι το σηmicroείο Μ που απέ-

χει r1= και r2= από τις πηγές ταλαντώνεται αρmicroονικά microε εξίσωση

y=10-1

middotηmicro(2πt 4

11πminus ) (SI) microε t ge 6 sec (66)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης του Μ στην (66)

19

Λύση

1ος τρόπος

Κάνουmicroε ότι κάναmicroε στο παράδειγmicroα 2 στη σελίδα 10 ή στο παράδειγmicroα 3 στη σελίδα 12 αυ-

τής της ανάρτησης

2ος τρόπος

Για πιο γρήγορα ακολουθούmicroε τα βήmicroατα της σελίδας 14

1ο βήmicroα Μετασχηmicroατίζουmicroε την εξίσωση κίνησης (66) ώστε να εmicroφανιστεί η

αρχική τιmicroή χρόνου 6 sec microέσω της microορφής ω(t-t0)=2π(t-6)

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+12πminus4

11π] t ge 6 sec

και τελικά

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

37π] (SI) t ge 6 sec (67)

2ο βήmicroα Στο όρισmicroα του ηmicroίτονου microετά την ποσότητα 2π(t-6) η laquoγωνίαraquo 4

37π

δεν είναι microέσα στο διάστηmicroα [02π) που έχουmicroε υιοθετήσει ως περιορι-

σmicroό της αρχικής φάσης

Εποmicroένως πρέπει να αφαιρέσουmicroε κατάλληλα ακέραια πολλαπλάσια

του 2π

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

37πminus4middot2π] (SI) t ge 6 sec

από όπου τελικά

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

5π] (SI) t ge 6 sec (67α)

3ο βήmicroα Στην (67α) που καταλήξαmicroε microε την παραπάνω διαδικασία

η φάση είναι φ=2π(t‒6)+4

5π microε t ge 6 sec

και η αρχική φάση είναι φ0=4

5π rad

Το ίδιο συνεπώς θα ισχύει και για την (67)

Βέβαια όλα τα παραπάνω microπορούν να γίνουν πολύ πιο γρήγορα αρκεί να έ-

χουmicroε στο microυαλό microας ότι για να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση σε microια

εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία microας έδωσαν ή στην οποία καταλήξα-

microε θα πρέπει να τη microετασχηmicroατίσουmicroε ώστε

να εmicroφανίσουmicroε την αρχική τιmicroή του χρόνου microε τη microορφή που είπαmicroε

να εξασφαλίσουmicroε ότι ο προσθετέος που δεν περιέχει χρόνο είναι σε

διάστηmicroα ενός τριγωνοmicroετρικού κύκλου και microάλιστα στη microορφή που έ-

χουmicroε επιλέξει για την αρχική φάση ([02π) ή [-ππ) ή )

20

5ο παράδειγmicroα

Έστω ότι σε κάποιο πρόβληmicroα συmicroβολής κυmicroάτων y1= και y2= αντικαθι-

στούmicroε τα δεδοmicroένα στην εξίσωση της συmicroβολής (65) και βρίσκουmicroε ότι το σηmicroείο Μ που απέ-

χει r1= και r2= από τις πηγές ταλαντώνεται αρmicroονικά microε εξίσωση

y=minus10-1

middotηmicro(2πt4

9πminus ) (SI) microε t ge 05 sec (68)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης του Μ στην (68)

Λύση

Η (68) γίνεται διαδοχικά

y=minus10-1

middotηmicro(2πt4

9πminus ) = 10

-1middotηmicro(2πt+π

4

9πminus )=10

-1middotηmicro(2πt

4

5πminus )=10

-1middotηmicro[2π(tminus05)

4

πminus ]

και τελικά

y=10-1

middotηmicro[2π(tminus05)4

7π+ ] (68α)

Η (68α) έχει εmicroφανίσει την αρχική τιmicroή χρόνου 05 sec στη microορφή που θέλουmicroε και προ-

σθετέο 4

7π που δεν περιέχει χρόνο t και βρίσκεται στο διάστηmicroα [02π)

Άρα η φάση και η αρχική φάση της (68) είναι ίδιες microε εκείνες της (68α)

∆ηλαδή

Φάση φ=2π(tminus05)4

7π+ =2πt

4

3π+ microε t ge 05 sec

Αρχική φάση rad 4

7π0 =ϕ

Φάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολή

Ο Νίκος (Ανδρεάδης) microε δύο ευφυέστατες αναρτήσεις

laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολήraquo

laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολή-Μέρος δεύτεροraquo

που βρίσκονται στη διεύθυνση

httpylikonetgrprofilesblogsphhaseis-kai-antiphhaseis-ste

microας ώθησε να ακούσουmicroε κάποιους τριγmicroούς από την ψεύτικη πραγmicroατικότητα των

κυmicroάτων που διδάσκουmicroε

21

Γράφει λοιπόν

laquoΝ=6 1r 15= m

1 2r r 6 λminus = sdot

2r 03= m

Για t 3ge s η εξίσωση κίνησης προκύπτει από την επαλληλία των εξισώσεων

11

2πr2πty A ηmicro

T λ

= sdot minus

και 2

2

2πr2πty A ηmicro

T λ

= sdot minus

Μετά από πράξεις

( )1y 01 ηmicro 5πt 15π= sdot minus και ( )2

y 01 ηmicro 5πt 3π= sdot minus

Σύmicroφωνα microε τη σχέση 1 2 1 2r r r r2πt

y 2A συν 2π ηmicro π2λ T λ

minus += sdot sdot minus

microετά από πράξεις προκύπτει

( )y 02 ηmicro 5πt 9π= sdot minus

Η φάση (της αποmicroάκρυνσης στην παραπάνω εξίσωση) δίνεται από τη σχέση φ 5πt 9π= minus

Για t 3= s (προκύπτει η αρχική) φάση (η οποία) είναι 6π rad

παρατηρούmicroε ότι 7 σηmicroεία του microέσου τα οποία ξεκινούν την ίδια στιγmicroή την ίδια κίνηση από τη θέ-

ση ισορροπίας microε θετική ταχύτητα περιγράφονται microε διαφορετικές εξισώσεις και την στιγmicroή της εκκί-

νησης έχουν διαφορετική φάση

Οι απορίες microου

Ποιο είναι το φυσικό νόηmicroα των τιmicroών 0π 2π 4π 6π και 8π

Έχει νόηmicroα να ζητήσουmicroε τη διαφορά φάσης ενός από αυτά τα σηmicroεία microε microια πηγή

Αν όmicroως δούmicroε το θέmicroα ως σύνθεση δύο ταλαντώσεων που βρίσκονται σε συmicroφωνία φάσης καταλή-

γουmicroε αmicroέσως στο συmicroπέρασmicroα ότι και στις 7 περιπτώσεις η κίνηση για t 3ge s περιγράφεται από την

εξίσωση ( )y 02 ηmicro 5πt 15π= sdot minus (SI)

Η φάση δίνεται από τη σχέση φ 5πt 15π= minus (SI)

Για t 3= s η (αρχική) φάση είναι 0π rad ∆ηλ τη στιγmicroή της εκκίνησης έχουmicroε microηδενισmicroό της φάσης

για τα 7 σηmicroεία κάτι λογικό αφού τότε και τα 7 ξεκινούν microια νέα κίνηση από τη θέση ισορροπίας microε

θετική ταχύτηταraquo

Στους προβληmicroατισmicroούς που έθεσε ο Νίκος θα επιχειρήσω microια το-

ποθέτηση

Κατά τη γνώmicroη microου το microόνο που microπορεί να microας γλιτώσει από το παραπάνω παράδοξο είναι

η microαθηmicroατική αυστηρότητα microε την οποία φροντίσαmicroε να εφοδιάσουmicroε (και έτσι πρέπει

να γίνεται πάντα αν και πολλές φορές τούτο το απλό το ξεχνάmicroε) τους ορισmicroούς φάση και

αρχική φάση

Η αντίρρησή microου επικεντρώνεται στη φράση

laquoη φάση στην εξίσωση ( )y 02 ηmicro 5πt 9π= sdot minus δίνεται από τη σχέση φ 5πt 9π= minus raquo

η οποία εξάλλου είναι και η υπεύθυνη για τις αντιφάσεις που έχει εντοπίσει ο Νίκος

Προκειmicroένου να βρεθούν η φάση και η αρχική φάση στην εξίσωση microιας αρmicroονικής

ταλάντωσης πρέπει να ακολουθηθούν ορισmicroένες διαδικασίες

22

Αυτό δεν είναι ούτε σωσίβιο ούτε σοφιστεία ούτε κάποια κίνηση απελπισίας Είναι η ου-

σία του ορισmicroού που υιοθετήσαmicroε για τις δύο αυτές έννοιες

Η αυστηρότητα των ορισmicroών που δώσαmicroε ως φυσικοί εξασφαλίζει ότι τα microαθηmicroατικά όχι

microόνο θα microπορέσουν να εγγυηθούν τη συνέπεια των συλλογισmicroών και αποτελεσmicroάτων microας

αλλά θα ενσωmicroατώσουν microέσα τους τελείως διαφανείς πορείες απαραίτητες για την αυτοδυ-

ναmicroία και ισχύ του φυσικού έστω κι αν ένας microαθηmicroατικός αδιαφορήσει τελείως γι΄ αυτές

Αυτό δεν είναι παραλογισmicroός αλλά συνειδητοποίηση του διαφορετικού ρόλου

και της διαφορετικής ευθύνης των δύο ειδικοτήτων˙ του φυσικού και του microαθη-

microατικού

Κοντολογίς

Προκειmicroένου να διατηρήσουmicroε το δικαίωmicroα να χρησιmicroοποιούmicroε στο λεξιλόγιό microας τις λέξεις

φάση και αρχική φάση επιβάλλεται από τα microαθηmicroατικά να είmicroαστε συνεπείς microε τους ορι-

σmicroούς που τους δώσαmicroε και να τις χειριζόmicroαστε microε ειδικό τρόπο σε καθορισmicroένες πορείες

Αν δε το κάνουmicroε αυτό τα microαθηmicroατικά θα microας γυρίσουν την πλάτη

κι εmicroείς θα βουλιάξουmicroε στις παρανοήσεις στα αδιέξοδα και τις λο-

γικές ασυνέπειες

Σύmicroφωνα λοιπόν microε όσα έχουν αναφερθεί για να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση στην εξίσωση κίνησης

y=02middotηmicro(5πtminus9π) microε tge3 sec (69)

πρέπει να εmicroφανίσουmicroε microέσα της την αρχική τιmicroή του χρόνου 3 sec και να αφαιρέσουmicroε τα

ακέραια πολλαπλάσια του 2π microε τέτοιο τρόπο ώστε η αρχική φάση να είναι microέσα στη microορ-

φή του τριγωνοmicroετρικού κύκλου που υιοθετήσαmicroε

Πράγmicroατι η (69) γίνεται

y=02middotηmicro(5πtminus9π)=02middotηmicro[5π(t-3)+6π]

και τελικά

y=02middotηmicro[5π(t-3)+0] microε tge3 sec (69α)

Η (69α) και κατά συνέπεια και η (69) έχουν

Φάση φ=5π(t-3)+0=5πt-15π microε tge3 sec

Αρχική φάση φ0=0 rad

Νοmicroίζω ότι τώρα πια δεν υπάρχει καmicroιά αντίφαση microιας και όλες οι συλλογιστικές και όλες

οι microαθηmicroατικές πορείες θα δώσουν ακριβώς τα ίδια αποτελέσmicroατα

α) Και τα επτά σηmicroεία Ν=0 έχουν την ίδια φάση φ=5πt-15π microε tge3 sec και την ί-

δια αρχική φάση φ0=0 rad

23

β) Υπάρχει απόλυτη συλλογιστική συνέπεια σε όλα αφού όπως έχει ήδη επισηmicroάνει ο Νί-

κος laquoκαι τα 7 σηmicroεία πρέπει να έχουν την ίδια φάση και αρχική φάση αφού ξεκινούν microια

νέα κίνηση από τη θέση ισορροπίας microε θετική ταχύτηταraquo

γ) Είτε χρησιmicroοποιηθούν οι τύποι σύνθεσης ταλαντώσεων είτε χρησιmicroοποιηθεί ο τύ-

πος της συmicroβολής κυmicroάτων είτε οποιαδήποτε άλλη microαθηmicroατική διαδροmicroή τα αποτελέ-

σmicroατα φάσης και αρχικής φάσης θα είναι απολύτως ίδια

δ) laquoΚάθε κίνηση έχει φάση που microας πληροφορεί για πόσο χρόνο παρακολουθούmicroε τη συ-

γκεκριmicroένη κίνησηraquo

ε) Απορία

laquoΠοιο είναι το φυσικό νόηmicroα των τιmicroών 0π 2π 4π 6π και 8πraquo

Απάντηση

laquoοι τιmicroές 0π 2π 4π 6π και 8π που προκύπτουν microε (απλή-ανώδυνη) εφαρmicroογή της γνω-

στής σχέσης ηmicroΑ+ηmicroΒ=hellip δεν έχουν κανένα γνωστό ωφέλιmicroο φυσικό νόηmicroαraquo

Η εφαρmicroογή της σχέσης ηmicroΑ+ηmicroΒ= δεν οδηγεί πάντα απευθείας σε σχέση στην οποία να

είναι άmicroεσα διαφανείς η φάση και η αρχική φάση microιας εξίσωσης αρmicroονικής κίνησης

Ο τελικός τύπος χρειάζεται οπωσδήποτε επεξεργασία

στ) Απορία

laquoΈχει νόηmicroα να ζητήσουmicroε τη διαφορά φάσης ενός από αυτά τα σηmicroεία microε microια πηγήraquo

Απάντηση

Όχι Δεν πρέπει να ζητήσουmicroε τέτοιο πράγmicroα αν δε είmicroαστε έτοιmicroοι να αυτοκτονήσουmicroε ή να

microπούmicroε σε ατέλειωτες microαθηmicroατικές αναζητήσεις για να γλιτώσουmicroε microόνο και microόνο τη συνέ-

πεια της εννοιολογικά λανθασmicroένης laquoπραγmicroατικότηταςraquo των κυmicroάτων που διδάσκουmicroε

Η παρουσία πηγών επιβάλλει άλλου είδους κύmicroατα εmicroπλουτισmicroένα και microε άλλες έννοιες και

microε microαθηmicroατικούς χειρισmicroούς αρκετά δύσκολους microιας και στις διαφορικές εξισώσεις πρέπει

να παρθούν υπόψη συνοριακοί περιορισmicroοί

Στην πρώτη σελίδα της ανάρτησής microου laquoΟρισmicroοί και εξισώσεις κίνησης γ΄ microέροςraquo έγραφα κάτι που όσο περνάει ο καιρός το πιστεύω όλο και πιο πολύ

laquoδιδάσκουmicroε ˝κύmicroατα˝ που δήθεν διαδίδονται microε ταχύτητα υ έχουν αρχικές φάσεις έχουν

πηγές που τα παράγουν και πολλές φορές δύο πηγές για να έχουmicroε συmicroβολή

Μα αυτά που διδάσκουmicroε ούτε κύmicroατα είναι ούτε διαδίδονται ούτε πηγές περιέχουν

ούτε είναι κάπου και τρέχουν να πάνε κάπου αλλού ούτε ξεκινάνε από κάπου ούτε ούτε

ούτε

Στα κεφάλαια ˝Κύmicroατα˝ και ˝Μηχανική Στερεού Σώmicroατος˝ της Φυσικής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου ειλικρινά microε πιάνει απελπισία Τα πράmicroατα εκεί σκοτεινιάζουν τόσο πο-λύ Τί να πεις και από πού να αρχίσεις raquo

24

Στο σηmicroείο αυτό όmicroως νιώθω υποχρεωmicroένος να τονίσω ότι η αρνητικότατη στάση

microου απέναντι σε αυτό που microας βάζουν να διδάσκουmicroε ως κύmicroατα δεν πρέπει στο

ελάχιστο να θεωρηθεί ως απόρριψη της προσπάθειας συναδέλφων να microας δώσουν

ένα πλήθος ασκήσεων θέσεων αναλύσεων διαγωνισmicroάτων κλπ που έχουν σχέση

microε κύmicroατα και microε συmicroβολή κυmicroάτων που περιέχουν πηγές

Στο σχολείο πρέπει να κάνουmicroε αυτό που επιτάσσουν οι πανελλαδικές Άρα πέρα

από όλες τις διαφωνίες microεταξύ microας θα πρέπει προσωπικά να βρω ασκήσεις και θέ-

microατα να δώσω στα παιδιά για να καλύψω την ανήθικη έλλειψη ασκήσεων από το

σχολικό βιβλίο

Επίσης θα πρέπει να βρω τρόπο να microην καταρρεύσει η συλλογιστική των παιδιών

έστω και σαθρή πριν τις εξετάσεις

Αυτό microε τη σειρά του σηmicroαίνει ότι πρέπει να έχω επιχειρήmicroατα και υλικό κοmicromicroένο

στις συγκεκριmicroένες ανάγκες τους

Σε αυτό το σηmicroείο η βοήθεια που microου πρόσφεραν και microου προσφέρουν οι συνάδελ-

φοι του δικτύου και κάποια αξιόλογα εξωσχολικά βιβλία είναι όχι απλά πολύτιmicroη

αλλά ανεπανάληπτη

Με πολύ ανακούφιση δέχοmicroαι και παίρνω πολύτιmicroα διαγωνίσmicroατα ασκήσεις και υ-

λικό που προσφέρουν απλόχερα διάφοροι συνάδελφοι και που αναφέρονται σε κύmicroα-

τα που προέρχονται από πηγές και που συmicroβάλλουν

Επί τη ευκαιρία τους ευχαριστώ που microου δίνουν τον κόπο τους Κάποιες φορές microά-

λιστα αποτελεί πηγή αναθεωρήσεων και καινούριων αναζητήσεων microου

Ε Παρατηρήσεις

1) Η εξίσωση της αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία θα microας δώσουν ή στην οποία θα κα-

ταλήξουmicroε microετά από κάποια microαθηmicroατική επεξεργασία δεν είναι υποχρεωmicroένη να δηλώνει

καθαρά τη φάση και την αρχική φάση Εκείνο που πρέπει οπωσδήποτε να επισηmicroάνουmicroε εί-

ναι ότι φάση δεν είναι η ποσότητα που βρίσκεται microέσα στον τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό

Η εύρεση της φάσης και της αρχικής φάσης θέλουν διαδικασία η οποία θα απαιτήσει το

πεδίο ορισmicroού της εξίσωσης που microας δίνουν για την ταλάντωση ή για το κύmicroα

Ας του δώσουmicroε έmicroφαση microε microια άσκηση χωρίς κανένα απολύτως νόηmicroα

Στην παρακάτω εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης να βρεθεί η φάση και η αρχική

φάση της αποmicroάκρυνσης

y=10-1middotηmicro(2πt 4

11πminus )

Ο λόγος που αυτή η άσκηση είναι α-νόητη είναι γιατί δεν έχει δοθεί το πεδίο ορισmicroού Αλ-

λάζοντας το πεδίο ορισmicroού όπως ήδη έχουmicroε δείξει θα αλλάξει τόσο η συνάρτηση της φά-

σης όσο και η τιmicroή της αρχικής φάσης (∆ες σελίδα 18)

25

2) Η εύρεση της διαφοράς φάσης ανάmicroεσα σε δύο microεγέθη του ίδιου

φαινοmicroένου είναι ακόmicroη πιο επίπονη διαδικασία

Το θέmicroα αυτό είχε θέσει ο Θοδωρής microε microια ανάρτησή του που βρίσκεται στη διεύθυνση httpylikonetgrgroupthemataforumtopicsphhasearchikhe-

phhasediaphorhacommentId=36477953AComment3A16659ampgroupId=36477953AGroup3A5901

Όπως στην περίπτωση της φάσης και αρχικής φάσης οι αρmicroονικές συναρτήσεις πρέπει να

laquoετοιmicroαστούνraquo έτσι και στην περίπτωση που microας ζητάνε να βρούmicroε διαφορά φάσης ανάmicroε-

σα σε δύο φυσικά microεγέθη που εκφράζονται microε αρmicroονικές συναρτήσεις οι συναρτήσεις αυτές

πρέπει οπωσδήποτε να ετοιmicroαστούν κατάλληλα

3) Το πιο σηmicroαντικό στο οποίο εστιάζουν οι εργασίες microου (άσχετα αν τα καταφέρνω να

το δείξω ή όχι) είναι η microεθοδολογία που πρέπει να ακολουθούmicroε όταν θέλουmicroε να λύσουmicroε

microια διαφωνία microας να προχωρήσουmicroε microια αναζήτησή microας να βρούmicroε διέξοδο σε microια αντίφα-

ση να συνειδητοποιήσουmicroε microια έννοια

Κατά τη γνώmicroη microου πρέπει να ξεκινάmicroε από τους ορισmicroούς και αφού εξασφαλίσουmicroε την

αυστηρότητά τους να προχωρήσουmicroε σε απλές έστω εννοιολογικές κατακτήσεις απαραίτη-

τες όmicroως για την αναπνοή microας ως φυσικών ή ως ενδιαφεροmicroένων για τη φυσική

laquohellipΗ αξία των ορισmicroών εντοπίζεται στη σωστή θέση που πρέπει να κατέχουν κατά τη συνεννόηση microε-

ταξύ των φυσικών και στον κορυφαίο και αναντικατάστατο ρόλο που πρέπει microε κάθε σεβασmicroό να απο-

δεχτούmicroε ότι διαδραmicroατίζουν στη διαmicroόρφωση της δοmicroής της γλώσσας που χρησιmicroοποιεί η Φυσική

∆εν γίνεται να κάνεις Φυσική αν δεν έχεις τα σωστά κατάλληλα λόγια για να περιγράψεις στους άλ-

λους το όmicroορφο

Η Φυσική έχει ορισmicroούς που δεν είναι διαπραγmicroατεύσιmicroοι και microαθηmicroατικές microεθοδολογίες που δεν

πρέπει να αγνοούνται αν θέλουmicroε να έχουmicroε συνέπεια και να εξασφαλίζουmicroε απόλυτη διαφάνεια στους

συλλογισmicroούς microας

∆εν πρέπει να χαλάmicroε τη γλώσσα γιατί αλλιώς χαλάει η σκέψη και η επικοινωνία microεταξύ microας Πρέπει να δεχτούmicroε στην ψυχή microας (όχι στα λόγια) ότι οι ορισmicroοί έχουν αξία και να συνειδητοποιή-

σουmicroε την microοναδική τους ιδιότητα Αυτή που είναι και η αιτία της ύπαρξής τους Να είναι χρήσιmicroοι

Οι ορισmicroοί ή είναι χρήσιmicroοι ή δεν υπάρχουν Τα λόγια της Φυσικής δε φτιάχτηκαν για να περιγράφουν αλλά για να έχουν συγχρόνως τη δυνατότητα και να

προφητεύουνraquo

4) Στο παράδειγmicroα του Νίκου για τις φάσεις και τις αντιφάσεις χρησιmicroοποιήθηκαν σηmicroεία

όπου είχαmicroε ενισχύσεις

Θα παρακαλούσα το Νίκο αλλά και όποιον άλλο συνάδελφο θέλει να κάνει microια άσκηση

ή microια προσοmicroοίωση microε πιο γενικά σηmicroεία στη συmicroβολή κυmicroάτων και να υπολογίσει τις

φάσεις και τις αρχικές φάσεις στην εξίσωση ταλάντωσης των σηmicroείων αυτών δίνοντας έmicro-

φαση πάντα το πεδίο ορισmicroού και στον περιορισmicroό της αρχικής φάσης σε έναν τριγωνοmicroε-

τρικό κύκλο πχ της microορφής [02π)

Πιστεύω ότι έτσι κάποια πράγmicroατα θα γίνουν πολύ πιο ευδιάκριτα πιο απλά και το κυριό-

τερο θα περάσουν πιο εύκολα στους συναδέλφους

5) Τελειώνοντας οφείλω να πω ότι η σηmicroερινή microου ανάρτηση ουσιαστικά οφείλεται

στους προβληmicroατισmicroούς που microας έθεσε ο Νίκος (Ανδρεάδης) πάνω στη συmicroβολή των κυmicroά-

των microε το laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολήraquo

Έχοντας ξεκινήσει να γράφω microια σειρά αναρτήσεων σχετικών microε τις έννοιες φάση και αρ-

χική φάση microου ήρθε ανέλπιστα η δουλειά του Νίκου η οποία microε τα ερωτήmicroατα που έθεσε

τη συζήτηση που ακολούθησε και τις γνώmicroες που διατυπώθηκαν microου έδωσε ισχυρά επιχει-

ρήmicroατα να υποστηρίξω την απόλυτη πίστη microου στην αξία των ορισmicroών όχι ως απλή λεκτική

επανάληψη microιας υποχρεωτικής αποστήθισης αλλά ως συνειδητοποίηση όλης εκείνης της

26

εσωτερικής λειτουργίας απόλυτα συγκεκριmicroένων πραγmicroάτων που κρίνουν τους ορισmicroούς

ως χρήσιmicroους και απαραίτητους και τους γεννούν για να υπάρχουν και να πλουτίζουν τη

γλώσσα microας

Τους βάζουν δίπλα microας και microας καλούν να πιστέψουmicroε στην αξία τους και ποτέ να microην

τους υποτιmicroήσουmicroε όσο απλοί και να είναι

(συνεχίζεται)

Σάββατο 29 Ιανουαρίου 2011

Θρασύβουλος Κων Μαχαίρας

Γενικό Λύκειο Αγριάς Πηλίου

s7-kmghotenetgr

15

Δ Κύmicroατα

Το έχω ξαναπεί αλλά θα το ξαναπώ γιατί νοmicroίζω ότι microόνο έτσι microόνο όταν πιστέψουmicroε

στα λάθη που microας βάζουνε και διδάσκουmicroε κάποια στιγmicroή θα βρεθούν κάποιοι ικανοί που

θα βρουν τρόπο να ζητήσουν ευθύνες από όλους εκείνους που χρόνια τώρα microας βουλιάξανε

microας βουλιάζουνε και θα βουλιάξουνε γενιές ανθρώπων στα λάθη γράφοντας πανεπιστηmicroια-

κά βιβλία χωρίς ποτέ να microπουν στον κόπο να ξαναψάξουν αυτά που γράφουν

Το κεφάλαιο laquoΚύmicroαταraquo που διδάσκουmicroε είναι το λιγότερο λανθασmicroένο Λανθασmicroένο

πιο πολύ από τις ταλαντώσεις γιατί τα laquoκύmicroαταraquo κουβαλάνε όλα τα λάθη των ταλα-

ντώσεων και κάτι ακόmicroη που είναι πιο τραγικά λανθασmicroένο Τη διάδοση

Η διδασκαλία microας στο κεφάλαιο laquoΚύmicroαταraquo ΔΥΣΤΥΧΩΣ ΣΤΗΡΙΖΕΤΑΙ ΣΤΗ ΔΙΑ-

ΔΟΣΗ ΤΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ

Μα αυτά που διδάσκουmicroε ούτε laquoκύmicroαταraquo είναι ούτε διαδίδονται

Και έτσι εmicroείς οι απλοί φυσικοί της γειτονιάς γινόmicroαστε τραγικές φιγούρες microιας και microετά

από ένα κεφάλαιο γεmicroάτο λάθη όπως είναι οι laquoταλαντώσειςraquo αναγκαζόmicroαστε να λέmicroε να

βρίσκουmicroε να διδάσκουmicroε να microπαλώνουmicroε και να εmicroπλουτίζουmicroε microε ασκήσεις το δεύτερο

κεφάλαιο laquoΤα κύmicroαταraquo που είναι ακόmicroη πιο λανθασmicroένο

Η εmicroπειρία microου ως αεί υφιστάmicroενος τόσων και τόσων σε ένα Υπουργείο Παιδείας που η-

δονίζεται να αλλάζει ονόmicroατα microόνο και όχι ουσία microου λέει τούτο το απλό

Όταν τόσοι φυσικοί δυσκολευόmicroαστε κάποιες φορές να κατανοήσουmicroε αυτά που διδάσκου-

microε και που γράφει ένα σχολικό βιβλίο προορισmicroένο για microαθητές λυκείου σίγουρα κάποιοι

άλλοι κάνανε χοντρά λάθη ως laquomicroέντορεςraquo (γελοιοποίηση microιας ακόmicroη όmicroορφης αρχαίας λέ-

ξης) και microας βάλανε να διδάξουmicroε τα λάθη τους microε τέτοιο τρόπο που στο τέλος

ξεχάσαmicroε ότι ήταν δικά τους λάθη και νοmicroίσαmicroε ότι όλα ήταν δικά microας σω-

στά

Παρακάmicroπτω λοιπόν την ανύπαρκτη φυσική της συmicroβολής των laquoκυ-

microάτωνraquo που διδάσκουmicroε και χρησιmicroοποιώντας microόνο την ορολογία της θα προσπα-

θήσω microέσα από microια microατιά laquoγυmicroνάraquo microαθηmicroατική να εφαρmicroόσω στο συγκεκριmicroένο laquoφαινόmicroε-

νοraquo όσα προαναφέραmicroε Επικαλούmicroενος και ελπίζοντας microόνο στην αυστηρότητα του ορισmicroού

Αν εφαρmicroόσουmicroε microε συνέπεια τους αυστηρούς ορισmicroούς της φάσης και της αρχικής φάσης

που δώσαmicroε κι αν σε φαινόmicroενα ίδιας ποιότητας δεν αρνηθούmicroε τις microαθηmicroατικές πορείες

που καταγράψαmicroε κι ακολουθήσαmicroε στις τρεις προηγούmicroενες αναρτήσεις laquoΟρισmicroοί και

εξισώσεις κίνησης α΄ β΄ και γ΄ microέροςraquo τότε δε θα υπάρξουν συλλογιστικά αδιέξοδα

Ας το δούmicroε (τα σύmicroβολα που χρησιmicroοποιούνται θεωρούνται αυτονόητα)

Στην εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης

minus=λ

πηmicro 11

r

T

t2Ay microε

υ1rt ge (61)

16

που επιβάλλει στο τυχαίο σηmicroείο Μ το πρώτο laquoκύmicroαraquo όταν έχει διαδοθεί microόνο του οι έν-

νοιες της φάσης και της αρχικής φάσης είναι καθορισmicroένες microε απόλυτη σαφήνεια αρκεί να

microην ξεχάσουmicroε το πεδίο ορισmicroού

φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (61)

λππ

ϕ 1r2

T

t2minus= microε

υ1rt ge

αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (61)

φ0=0 rad

Στην εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης

minus=λ

πηmicro 22

r

T

t2Ay microε

υ2rt ge (62)

που επιβάλλει στο τυχαίο σηmicroείο Μ το δεύτερο laquoκύmicroαraquo όταν έχει διαδοθεί microόνο του οι έν-

νοιες της φάσης και της αρχικής φάσης είναι καθορισmicroένες microε απόλυτη σαφήνεια αρκεί να

microην ξεχάσουmicroε το πεδίο ορισmicroού

φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (62)

λππ

ϕ 2r2

T

t2minus= microε

υ2rt ge

αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (62)

φ0=0 rad

Μετά τη laquoσυmicroβολή των δύο κυmicroάτωνraquo η εξίσωση ταλάντωσης του ση-

microείου Μ είναι

minus+

minus=+=λ

πηmicroλ

πηmicro 2121

r

T

t2A

r

T

t2Ayyy microε

geυυ

21 r

rmax t (63)

Στη σχέση (63) οι έννοιες laquoφάσηraquo και laquoαρχική φάσηraquo δεν ορίζο-

νται Δεν υπάρχουν

Η κίνηση που αποδίδεται microε τη σχέση (63) είναι επαλληλία των εξισώσεων κίνησης δύο

αρmicroονικών ταλαντώσεων (επαλληλία δύο αρmicroονικών συναρτήσεων δηλαδή και όχι πραγmicroα-

τικών κινήσεων) ίδιας διεύθυνσης ίδιας συχνότητας και ίδιας laquoθέσης ισορροπίαςraquo

17

Είναι επαλληλία των συναρτήσεων y1 και y2

Η σύνθεσή τους η y δηλαδή είναι microια (πραγmicroατική) αρmicroονική ταλάντωση ίδιας διεύθυν-

σης ίδιας συχνότητας και ίδιας θέσης ισορροπίας microε τις συνιστώσες εξισώσεις κίνησης ή

καλύτερα microε τους προσθετέους της (63)

Όπως είναι γραmicromicroένη η εξίσωση (63) δεν έχουmicroε κανένα δικαίωmicroα να microιλάmicroε

ούτε για laquoφάσηraquo ούτε για laquoαρχική φάσηraquo

Για να αποκτήσουmicroε αυτό το δικαίωmicroα πρέπει να τη φέρουmicroε σε microορφή που να διαθέτει

ένα microόνο τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό και δη ή microόνο ένα ηmicroίτονο ή microόνο ένα συνηmicroίτονο

Με άλλα λόγια

αν θέλουmicroε να microιλάmicroε για φάση και αρχική φάση στην σχέση (63) εξίσωση συmicroβολής των

κυmicroάτων θα πρέπει να τη φέρουmicroε στη microορφή

( )0t Ay ϕωηmicro prime+prime=

ή στη microορφή

( )0t Ay ϕωσυν primeprime+primeprime=

Τότε όmicroως

για να microην καταρρεύσουν αmicroφότεροι οι ορισmicroοί κι εποmicroένως και οι έννοιες

της φάσης και της αρχικής φάσης θα πρέπει να φροντίσουmicroε η αρχική φάση

να περιοριστεί σε ένα τριγωνοmicroετρικό κύκλο

για να αποφύγουmicroε κάθε επικίνδυνη ρευστότητα θα πρέπει να τεθεί οπωσ-

δήποτε το πεδίο ορισmicroού της συνάρτησης

για να microην υπάρξουν συλλογιστικά αδιέξοδα θα πρέπει να ακολουθήσουmicroε

microε συνέπεια την πορεία που καταγράψαmicroε στα παραδείγmicroατα 1-3 για τον

υπολογισmicroό φάσης και αρχικής φάσης ή έστω να εφαρmicroόσουmicroε τον απλό

τρόπο που καταγράφεται στη σελίδα 14

Ο microετασχηmicroατισmicroός της (63) ώστε να περιέχει ένα microόνο τριγωνο-

microετρικό αριθmicroό microπορεί να γίνει microε διάφορους τρόπους

1ος τρόπος Χρησιmicroοποιώντας τους τύπους της επαλληλίας εξισώσεων κίνησης

Αν έχουmicroε αριθmicroητικά δεδοmicroένα και δε θέλουmicroε να microπλεχτούmicroε microε πολλά microαθηmicroατικά

microπορούmicroε να χρησιmicroοποιήσουmicroε τους τύπους του σχολικού βιβλίου για την επαλληλία εξι-

σώσεων αρmicroονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης ίδιας συχνότητας και ίδιας θέσης ισορ-

ροπίας

Τους τύπους αυτούς όmicroως θα πρέπει να ισχυροποιήσουmicroε ώστε να συmicroπεριλάβουν περι-

πτώσεις όπου και οι δύο ταλαντώσεις έχουν αρχική φάση και να εmicroπλουτίσουmicroε microε έναν ε-

πιπλέον τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό ή microε κάποια επιπλέον microαθηmicroατική microας δεξιότητα microιας και η

σχέση microε την εφθ microόνη της δε microπορεί να προσδιορίσει την αρχική φάση θ έστω κι αν αυτή

περιοριστεί σε έναν τριγωνοmicroετρικό κύκλο

18

( Επαλληλία εξισώσεων αρmicroονικών ταλαντώσεων

x1=Α1middotηmicro(ωt+φ1) και x2=Α2middotηmicro(ωt+φ2)

x=x1+ x2=Aηmicro(ωt+θ)

όπου )(AA2AAA 21212

22

1 ϕϕσυν minus++= Α

ηmicroϕΑηmicroϕΑηmicroϑ 2211 +

= (64)

2211

2211

AA

AA

συνϕσυνϕηmicroϕηmicroϕ

εϕϑ+

+=

ΑσυνϕΑσυνϕΑ

συνϑ 2211 +=

microε 0leθlt2π

Τέτοιου είδους αντιmicroετωπίσεις έχουν ήδη καταχωρηθεί στο δίκτυο)

2ος τρόπος Μετασχηmicroατίζουmicroε την (63) και φτάνουmicroε στη microορφή

+minussdot

minus=

λΤπηmicro

λπσυν

2

rrt2

2

rr2A2y 2121 microε

geυυ

21 r

rmax t (65)

Αφού φιλοδοξούmicroε η (65) να περιγράφει πραγmicroατική κίνηση (κι όχι να είναι κα-

νένας προσθετέος σε επαλληλία εξισώσεων κίνησης) και επιθυmicroούmicroε οι έννοιες laquoφάσηraquo και

laquoαρχική φάσηraquo να έχουν νόηmicroα θα πρέπει ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ να χειρι-

στούmicroε την (65) microε τους τρόπους που δείξαmicroε στα παραδείγmicroατα 1-3

Αν δηλαδή επιθυmicroούmicroε να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση στην

(65) θα πρέπει να χρησιmicroοποιήσουmicroε ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ το πεδίο ορισmicroού

της και τον περιορισmicroό της αρχικής φάσης σε ένα τριγωνοmicroετρικό κύκλο

(Το να χειριστούmicroε τη σχέση (65) γενικά ώστε να εmicroφανιστούν γενικοί περιορισmicroοί στο πεδίο ορισmicroού και στην

αρχική φάση του ενός τριγωνοmicroετρικού κύκλου νοmicroίζω ότι θα είναι άσκοπο microιας και ο χρόνος που θα απαιτήσει

η γραφή αυτή θα ΄ναι microεγάλος και η αξία των τύπων ελάχιστη Γι΄ αυτό καταφεύγω σε παραδείγmicroατα)

4ο παράδειγmicroα

Έστω ότι σε κάποιο πρόβληmicroα συmicroβολής κυmicroάτων y1= και y2= αντικαθι-

στούmicroε τα δεδοmicroένα στην εξίσωση της συmicroβολής (65) και βρίσκουmicroε ότι το σηmicroείο Μ που απέ-

χει r1= και r2= από τις πηγές ταλαντώνεται αρmicroονικά microε εξίσωση

y=10-1

middotηmicro(2πt 4

11πminus ) (SI) microε t ge 6 sec (66)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης του Μ στην (66)

19

Λύση

1ος τρόπος

Κάνουmicroε ότι κάναmicroε στο παράδειγmicroα 2 στη σελίδα 10 ή στο παράδειγmicroα 3 στη σελίδα 12 αυ-

τής της ανάρτησης

2ος τρόπος

Για πιο γρήγορα ακολουθούmicroε τα βήmicroατα της σελίδας 14

1ο βήmicroα Μετασχηmicroατίζουmicroε την εξίσωση κίνησης (66) ώστε να εmicroφανιστεί η

αρχική τιmicroή χρόνου 6 sec microέσω της microορφής ω(t-t0)=2π(t-6)

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+12πminus4

11π] t ge 6 sec

και τελικά

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

37π] (SI) t ge 6 sec (67)

2ο βήmicroα Στο όρισmicroα του ηmicroίτονου microετά την ποσότητα 2π(t-6) η laquoγωνίαraquo 4

37π

δεν είναι microέσα στο διάστηmicroα [02π) που έχουmicroε υιοθετήσει ως περιορι-

σmicroό της αρχικής φάσης

Εποmicroένως πρέπει να αφαιρέσουmicroε κατάλληλα ακέραια πολλαπλάσια

του 2π

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

37πminus4middot2π] (SI) t ge 6 sec

από όπου τελικά

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

5π] (SI) t ge 6 sec (67α)

3ο βήmicroα Στην (67α) που καταλήξαmicroε microε την παραπάνω διαδικασία

η φάση είναι φ=2π(t‒6)+4

5π microε t ge 6 sec

και η αρχική φάση είναι φ0=4

5π rad

Το ίδιο συνεπώς θα ισχύει και για την (67)

Βέβαια όλα τα παραπάνω microπορούν να γίνουν πολύ πιο γρήγορα αρκεί να έ-

χουmicroε στο microυαλό microας ότι για να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση σε microια

εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία microας έδωσαν ή στην οποία καταλήξα-

microε θα πρέπει να τη microετασχηmicroατίσουmicroε ώστε

να εmicroφανίσουmicroε την αρχική τιmicroή του χρόνου microε τη microορφή που είπαmicroε

να εξασφαλίσουmicroε ότι ο προσθετέος που δεν περιέχει χρόνο είναι σε

διάστηmicroα ενός τριγωνοmicroετρικού κύκλου και microάλιστα στη microορφή που έ-

χουmicroε επιλέξει για την αρχική φάση ([02π) ή [-ππ) ή )

20

5ο παράδειγmicroα

Έστω ότι σε κάποιο πρόβληmicroα συmicroβολής κυmicroάτων y1= και y2= αντικαθι-

στούmicroε τα δεδοmicroένα στην εξίσωση της συmicroβολής (65) και βρίσκουmicroε ότι το σηmicroείο Μ που απέ-

χει r1= και r2= από τις πηγές ταλαντώνεται αρmicroονικά microε εξίσωση

y=minus10-1

middotηmicro(2πt4

9πminus ) (SI) microε t ge 05 sec (68)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης του Μ στην (68)

Λύση

Η (68) γίνεται διαδοχικά

y=minus10-1

middotηmicro(2πt4

9πminus ) = 10

-1middotηmicro(2πt+π

4

9πminus )=10

-1middotηmicro(2πt

4

5πminus )=10

-1middotηmicro[2π(tminus05)

4

πminus ]

και τελικά

y=10-1

middotηmicro[2π(tminus05)4

7π+ ] (68α)

Η (68α) έχει εmicroφανίσει την αρχική τιmicroή χρόνου 05 sec στη microορφή που θέλουmicroε και προ-

σθετέο 4

7π που δεν περιέχει χρόνο t και βρίσκεται στο διάστηmicroα [02π)

Άρα η φάση και η αρχική φάση της (68) είναι ίδιες microε εκείνες της (68α)

∆ηλαδή

Φάση φ=2π(tminus05)4

7π+ =2πt

4

3π+ microε t ge 05 sec

Αρχική φάση rad 4

7π0 =ϕ

Φάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολή

Ο Νίκος (Ανδρεάδης) microε δύο ευφυέστατες αναρτήσεις

laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολήraquo

laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολή-Μέρος δεύτεροraquo

που βρίσκονται στη διεύθυνση

httpylikonetgrprofilesblogsphhaseis-kai-antiphhaseis-ste

microας ώθησε να ακούσουmicroε κάποιους τριγmicroούς από την ψεύτικη πραγmicroατικότητα των

κυmicroάτων που διδάσκουmicroε

21

Γράφει λοιπόν

laquoΝ=6 1r 15= m

1 2r r 6 λminus = sdot

2r 03= m

Για t 3ge s η εξίσωση κίνησης προκύπτει από την επαλληλία των εξισώσεων

11

2πr2πty A ηmicro

T λ

= sdot minus

και 2

2

2πr2πty A ηmicro

T λ

= sdot minus

Μετά από πράξεις

( )1y 01 ηmicro 5πt 15π= sdot minus και ( )2

y 01 ηmicro 5πt 3π= sdot minus

Σύmicroφωνα microε τη σχέση 1 2 1 2r r r r2πt

y 2A συν 2π ηmicro π2λ T λ

minus += sdot sdot minus

microετά από πράξεις προκύπτει

( )y 02 ηmicro 5πt 9π= sdot minus

Η φάση (της αποmicroάκρυνσης στην παραπάνω εξίσωση) δίνεται από τη σχέση φ 5πt 9π= minus

Για t 3= s (προκύπτει η αρχική) φάση (η οποία) είναι 6π rad

παρατηρούmicroε ότι 7 σηmicroεία του microέσου τα οποία ξεκινούν την ίδια στιγmicroή την ίδια κίνηση από τη θέ-

ση ισορροπίας microε θετική ταχύτητα περιγράφονται microε διαφορετικές εξισώσεις και την στιγmicroή της εκκί-

νησης έχουν διαφορετική φάση

Οι απορίες microου

Ποιο είναι το φυσικό νόηmicroα των τιmicroών 0π 2π 4π 6π και 8π

Έχει νόηmicroα να ζητήσουmicroε τη διαφορά φάσης ενός από αυτά τα σηmicroεία microε microια πηγή

Αν όmicroως δούmicroε το θέmicroα ως σύνθεση δύο ταλαντώσεων που βρίσκονται σε συmicroφωνία φάσης καταλή-

γουmicroε αmicroέσως στο συmicroπέρασmicroα ότι και στις 7 περιπτώσεις η κίνηση για t 3ge s περιγράφεται από την

εξίσωση ( )y 02 ηmicro 5πt 15π= sdot minus (SI)

Η φάση δίνεται από τη σχέση φ 5πt 15π= minus (SI)

Για t 3= s η (αρχική) φάση είναι 0π rad ∆ηλ τη στιγmicroή της εκκίνησης έχουmicroε microηδενισmicroό της φάσης

για τα 7 σηmicroεία κάτι λογικό αφού τότε και τα 7 ξεκινούν microια νέα κίνηση από τη θέση ισορροπίας microε

θετική ταχύτηταraquo

Στους προβληmicroατισmicroούς που έθεσε ο Νίκος θα επιχειρήσω microια το-

ποθέτηση

Κατά τη γνώmicroη microου το microόνο που microπορεί να microας γλιτώσει από το παραπάνω παράδοξο είναι

η microαθηmicroατική αυστηρότητα microε την οποία φροντίσαmicroε να εφοδιάσουmicroε (και έτσι πρέπει

να γίνεται πάντα αν και πολλές φορές τούτο το απλό το ξεχνάmicroε) τους ορισmicroούς φάση και

αρχική φάση

Η αντίρρησή microου επικεντρώνεται στη φράση

laquoη φάση στην εξίσωση ( )y 02 ηmicro 5πt 9π= sdot minus δίνεται από τη σχέση φ 5πt 9π= minus raquo

η οποία εξάλλου είναι και η υπεύθυνη για τις αντιφάσεις που έχει εντοπίσει ο Νίκος

Προκειmicroένου να βρεθούν η φάση και η αρχική φάση στην εξίσωση microιας αρmicroονικής

ταλάντωσης πρέπει να ακολουθηθούν ορισmicroένες διαδικασίες

22

Αυτό δεν είναι ούτε σωσίβιο ούτε σοφιστεία ούτε κάποια κίνηση απελπισίας Είναι η ου-

σία του ορισmicroού που υιοθετήσαmicroε για τις δύο αυτές έννοιες

Η αυστηρότητα των ορισmicroών που δώσαmicroε ως φυσικοί εξασφαλίζει ότι τα microαθηmicroατικά όχι

microόνο θα microπορέσουν να εγγυηθούν τη συνέπεια των συλλογισmicroών και αποτελεσmicroάτων microας

αλλά θα ενσωmicroατώσουν microέσα τους τελείως διαφανείς πορείες απαραίτητες για την αυτοδυ-

ναmicroία και ισχύ του φυσικού έστω κι αν ένας microαθηmicroατικός αδιαφορήσει τελείως γι΄ αυτές

Αυτό δεν είναι παραλογισmicroός αλλά συνειδητοποίηση του διαφορετικού ρόλου

και της διαφορετικής ευθύνης των δύο ειδικοτήτων˙ του φυσικού και του microαθη-

microατικού

Κοντολογίς

Προκειmicroένου να διατηρήσουmicroε το δικαίωmicroα να χρησιmicroοποιούmicroε στο λεξιλόγιό microας τις λέξεις

φάση και αρχική φάση επιβάλλεται από τα microαθηmicroατικά να είmicroαστε συνεπείς microε τους ορι-

σmicroούς που τους δώσαmicroε και να τις χειριζόmicroαστε microε ειδικό τρόπο σε καθορισmicroένες πορείες

Αν δε το κάνουmicroε αυτό τα microαθηmicroατικά θα microας γυρίσουν την πλάτη

κι εmicroείς θα βουλιάξουmicroε στις παρανοήσεις στα αδιέξοδα και τις λο-

γικές ασυνέπειες

Σύmicroφωνα λοιπόν microε όσα έχουν αναφερθεί για να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση στην εξίσωση κίνησης

y=02middotηmicro(5πtminus9π) microε tge3 sec (69)

πρέπει να εmicroφανίσουmicroε microέσα της την αρχική τιmicroή του χρόνου 3 sec και να αφαιρέσουmicroε τα

ακέραια πολλαπλάσια του 2π microε τέτοιο τρόπο ώστε η αρχική φάση να είναι microέσα στη microορ-

φή του τριγωνοmicroετρικού κύκλου που υιοθετήσαmicroε

Πράγmicroατι η (69) γίνεται

y=02middotηmicro(5πtminus9π)=02middotηmicro[5π(t-3)+6π]

και τελικά

y=02middotηmicro[5π(t-3)+0] microε tge3 sec (69α)

Η (69α) και κατά συνέπεια και η (69) έχουν

Φάση φ=5π(t-3)+0=5πt-15π microε tge3 sec

Αρχική φάση φ0=0 rad

Νοmicroίζω ότι τώρα πια δεν υπάρχει καmicroιά αντίφαση microιας και όλες οι συλλογιστικές και όλες

οι microαθηmicroατικές πορείες θα δώσουν ακριβώς τα ίδια αποτελέσmicroατα

α) Και τα επτά σηmicroεία Ν=0 έχουν την ίδια φάση φ=5πt-15π microε tge3 sec και την ί-

δια αρχική φάση φ0=0 rad

23

β) Υπάρχει απόλυτη συλλογιστική συνέπεια σε όλα αφού όπως έχει ήδη επισηmicroάνει ο Νί-

κος laquoκαι τα 7 σηmicroεία πρέπει να έχουν την ίδια φάση και αρχική φάση αφού ξεκινούν microια

νέα κίνηση από τη θέση ισορροπίας microε θετική ταχύτηταraquo

γ) Είτε χρησιmicroοποιηθούν οι τύποι σύνθεσης ταλαντώσεων είτε χρησιmicroοποιηθεί ο τύ-

πος της συmicroβολής κυmicroάτων είτε οποιαδήποτε άλλη microαθηmicroατική διαδροmicroή τα αποτελέ-

σmicroατα φάσης και αρχικής φάσης θα είναι απολύτως ίδια

δ) laquoΚάθε κίνηση έχει φάση που microας πληροφορεί για πόσο χρόνο παρακολουθούmicroε τη συ-

γκεκριmicroένη κίνησηraquo

ε) Απορία

laquoΠοιο είναι το φυσικό νόηmicroα των τιmicroών 0π 2π 4π 6π και 8πraquo

Απάντηση

laquoοι τιmicroές 0π 2π 4π 6π και 8π που προκύπτουν microε (απλή-ανώδυνη) εφαρmicroογή της γνω-

στής σχέσης ηmicroΑ+ηmicroΒ=hellip δεν έχουν κανένα γνωστό ωφέλιmicroο φυσικό νόηmicroαraquo

Η εφαρmicroογή της σχέσης ηmicroΑ+ηmicroΒ= δεν οδηγεί πάντα απευθείας σε σχέση στην οποία να

είναι άmicroεσα διαφανείς η φάση και η αρχική φάση microιας εξίσωσης αρmicroονικής κίνησης

Ο τελικός τύπος χρειάζεται οπωσδήποτε επεξεργασία

στ) Απορία

laquoΈχει νόηmicroα να ζητήσουmicroε τη διαφορά φάσης ενός από αυτά τα σηmicroεία microε microια πηγήraquo

Απάντηση

Όχι Δεν πρέπει να ζητήσουmicroε τέτοιο πράγmicroα αν δε είmicroαστε έτοιmicroοι να αυτοκτονήσουmicroε ή να

microπούmicroε σε ατέλειωτες microαθηmicroατικές αναζητήσεις για να γλιτώσουmicroε microόνο και microόνο τη συνέ-

πεια της εννοιολογικά λανθασmicroένης laquoπραγmicroατικότηταςraquo των κυmicroάτων που διδάσκουmicroε

Η παρουσία πηγών επιβάλλει άλλου είδους κύmicroατα εmicroπλουτισmicroένα και microε άλλες έννοιες και

microε microαθηmicroατικούς χειρισmicroούς αρκετά δύσκολους microιας και στις διαφορικές εξισώσεις πρέπει

να παρθούν υπόψη συνοριακοί περιορισmicroοί

Στην πρώτη σελίδα της ανάρτησής microου laquoΟρισmicroοί και εξισώσεις κίνησης γ΄ microέροςraquo έγραφα κάτι που όσο περνάει ο καιρός το πιστεύω όλο και πιο πολύ

laquoδιδάσκουmicroε ˝κύmicroατα˝ που δήθεν διαδίδονται microε ταχύτητα υ έχουν αρχικές φάσεις έχουν

πηγές που τα παράγουν και πολλές φορές δύο πηγές για να έχουmicroε συmicroβολή

Μα αυτά που διδάσκουmicroε ούτε κύmicroατα είναι ούτε διαδίδονται ούτε πηγές περιέχουν

ούτε είναι κάπου και τρέχουν να πάνε κάπου αλλού ούτε ξεκινάνε από κάπου ούτε ούτε

ούτε

Στα κεφάλαια ˝Κύmicroατα˝ και ˝Μηχανική Στερεού Σώmicroατος˝ της Φυσικής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου ειλικρινά microε πιάνει απελπισία Τα πράmicroατα εκεί σκοτεινιάζουν τόσο πο-λύ Τί να πεις και από πού να αρχίσεις raquo

24

Στο σηmicroείο αυτό όmicroως νιώθω υποχρεωmicroένος να τονίσω ότι η αρνητικότατη στάση

microου απέναντι σε αυτό που microας βάζουν να διδάσκουmicroε ως κύmicroατα δεν πρέπει στο

ελάχιστο να θεωρηθεί ως απόρριψη της προσπάθειας συναδέλφων να microας δώσουν

ένα πλήθος ασκήσεων θέσεων αναλύσεων διαγωνισmicroάτων κλπ που έχουν σχέση

microε κύmicroατα και microε συmicroβολή κυmicroάτων που περιέχουν πηγές

Στο σχολείο πρέπει να κάνουmicroε αυτό που επιτάσσουν οι πανελλαδικές Άρα πέρα

από όλες τις διαφωνίες microεταξύ microας θα πρέπει προσωπικά να βρω ασκήσεις και θέ-

microατα να δώσω στα παιδιά για να καλύψω την ανήθικη έλλειψη ασκήσεων από το

σχολικό βιβλίο

Επίσης θα πρέπει να βρω τρόπο να microην καταρρεύσει η συλλογιστική των παιδιών

έστω και σαθρή πριν τις εξετάσεις

Αυτό microε τη σειρά του σηmicroαίνει ότι πρέπει να έχω επιχειρήmicroατα και υλικό κοmicromicroένο

στις συγκεκριmicroένες ανάγκες τους

Σε αυτό το σηmicroείο η βοήθεια που microου πρόσφεραν και microου προσφέρουν οι συνάδελ-

φοι του δικτύου και κάποια αξιόλογα εξωσχολικά βιβλία είναι όχι απλά πολύτιmicroη

αλλά ανεπανάληπτη

Με πολύ ανακούφιση δέχοmicroαι και παίρνω πολύτιmicroα διαγωνίσmicroατα ασκήσεις και υ-

λικό που προσφέρουν απλόχερα διάφοροι συνάδελφοι και που αναφέρονται σε κύmicroα-

τα που προέρχονται από πηγές και που συmicroβάλλουν

Επί τη ευκαιρία τους ευχαριστώ που microου δίνουν τον κόπο τους Κάποιες φορές microά-

λιστα αποτελεί πηγή αναθεωρήσεων και καινούριων αναζητήσεων microου

Ε Παρατηρήσεις

1) Η εξίσωση της αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία θα microας δώσουν ή στην οποία θα κα-

ταλήξουmicroε microετά από κάποια microαθηmicroατική επεξεργασία δεν είναι υποχρεωmicroένη να δηλώνει

καθαρά τη φάση και την αρχική φάση Εκείνο που πρέπει οπωσδήποτε να επισηmicroάνουmicroε εί-

ναι ότι φάση δεν είναι η ποσότητα που βρίσκεται microέσα στον τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό

Η εύρεση της φάσης και της αρχικής φάσης θέλουν διαδικασία η οποία θα απαιτήσει το

πεδίο ορισmicroού της εξίσωσης που microας δίνουν για την ταλάντωση ή για το κύmicroα

Ας του δώσουmicroε έmicroφαση microε microια άσκηση χωρίς κανένα απολύτως νόηmicroα

Στην παρακάτω εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης να βρεθεί η φάση και η αρχική

φάση της αποmicroάκρυνσης

y=10-1middotηmicro(2πt 4

11πminus )

Ο λόγος που αυτή η άσκηση είναι α-νόητη είναι γιατί δεν έχει δοθεί το πεδίο ορισmicroού Αλ-

λάζοντας το πεδίο ορισmicroού όπως ήδη έχουmicroε δείξει θα αλλάξει τόσο η συνάρτηση της φά-

σης όσο και η τιmicroή της αρχικής φάσης (∆ες σελίδα 18)

25

2) Η εύρεση της διαφοράς φάσης ανάmicroεσα σε δύο microεγέθη του ίδιου

φαινοmicroένου είναι ακόmicroη πιο επίπονη διαδικασία

Το θέmicroα αυτό είχε θέσει ο Θοδωρής microε microια ανάρτησή του που βρίσκεται στη διεύθυνση httpylikonetgrgroupthemataforumtopicsphhasearchikhe-

phhasediaphorhacommentId=36477953AComment3A16659ampgroupId=36477953AGroup3A5901

Όπως στην περίπτωση της φάσης και αρχικής φάσης οι αρmicroονικές συναρτήσεις πρέπει να

laquoετοιmicroαστούνraquo έτσι και στην περίπτωση που microας ζητάνε να βρούmicroε διαφορά φάσης ανάmicroε-

σα σε δύο φυσικά microεγέθη που εκφράζονται microε αρmicroονικές συναρτήσεις οι συναρτήσεις αυτές

πρέπει οπωσδήποτε να ετοιmicroαστούν κατάλληλα

3) Το πιο σηmicroαντικό στο οποίο εστιάζουν οι εργασίες microου (άσχετα αν τα καταφέρνω να

το δείξω ή όχι) είναι η microεθοδολογία που πρέπει να ακολουθούmicroε όταν θέλουmicroε να λύσουmicroε

microια διαφωνία microας να προχωρήσουmicroε microια αναζήτησή microας να βρούmicroε διέξοδο σε microια αντίφα-

ση να συνειδητοποιήσουmicroε microια έννοια

Κατά τη γνώmicroη microου πρέπει να ξεκινάmicroε από τους ορισmicroούς και αφού εξασφαλίσουmicroε την

αυστηρότητά τους να προχωρήσουmicroε σε απλές έστω εννοιολογικές κατακτήσεις απαραίτη-

τες όmicroως για την αναπνοή microας ως φυσικών ή ως ενδιαφεροmicroένων για τη φυσική

laquohellipΗ αξία των ορισmicroών εντοπίζεται στη σωστή θέση που πρέπει να κατέχουν κατά τη συνεννόηση microε-

ταξύ των φυσικών και στον κορυφαίο και αναντικατάστατο ρόλο που πρέπει microε κάθε σεβασmicroό να απο-

δεχτούmicroε ότι διαδραmicroατίζουν στη διαmicroόρφωση της δοmicroής της γλώσσας που χρησιmicroοποιεί η Φυσική

∆εν γίνεται να κάνεις Φυσική αν δεν έχεις τα σωστά κατάλληλα λόγια για να περιγράψεις στους άλ-

λους το όmicroορφο

Η Φυσική έχει ορισmicroούς που δεν είναι διαπραγmicroατεύσιmicroοι και microαθηmicroατικές microεθοδολογίες που δεν

πρέπει να αγνοούνται αν θέλουmicroε να έχουmicroε συνέπεια και να εξασφαλίζουmicroε απόλυτη διαφάνεια στους

συλλογισmicroούς microας

∆εν πρέπει να χαλάmicroε τη γλώσσα γιατί αλλιώς χαλάει η σκέψη και η επικοινωνία microεταξύ microας Πρέπει να δεχτούmicroε στην ψυχή microας (όχι στα λόγια) ότι οι ορισmicroοί έχουν αξία και να συνειδητοποιή-

σουmicroε την microοναδική τους ιδιότητα Αυτή που είναι και η αιτία της ύπαρξής τους Να είναι χρήσιmicroοι

Οι ορισmicroοί ή είναι χρήσιmicroοι ή δεν υπάρχουν Τα λόγια της Φυσικής δε φτιάχτηκαν για να περιγράφουν αλλά για να έχουν συγχρόνως τη δυνατότητα και να

προφητεύουνraquo

4) Στο παράδειγmicroα του Νίκου για τις φάσεις και τις αντιφάσεις χρησιmicroοποιήθηκαν σηmicroεία

όπου είχαmicroε ενισχύσεις

Θα παρακαλούσα το Νίκο αλλά και όποιον άλλο συνάδελφο θέλει να κάνει microια άσκηση

ή microια προσοmicroοίωση microε πιο γενικά σηmicroεία στη συmicroβολή κυmicroάτων και να υπολογίσει τις

φάσεις και τις αρχικές φάσεις στην εξίσωση ταλάντωσης των σηmicroείων αυτών δίνοντας έmicro-

φαση πάντα το πεδίο ορισmicroού και στον περιορισmicroό της αρχικής φάσης σε έναν τριγωνοmicroε-

τρικό κύκλο πχ της microορφής [02π)

Πιστεύω ότι έτσι κάποια πράγmicroατα θα γίνουν πολύ πιο ευδιάκριτα πιο απλά και το κυριό-

τερο θα περάσουν πιο εύκολα στους συναδέλφους

5) Τελειώνοντας οφείλω να πω ότι η σηmicroερινή microου ανάρτηση ουσιαστικά οφείλεται

στους προβληmicroατισmicroούς που microας έθεσε ο Νίκος (Ανδρεάδης) πάνω στη συmicroβολή των κυmicroά-

των microε το laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολήraquo

Έχοντας ξεκινήσει να γράφω microια σειρά αναρτήσεων σχετικών microε τις έννοιες φάση και αρ-

χική φάση microου ήρθε ανέλπιστα η δουλειά του Νίκου η οποία microε τα ερωτήmicroατα που έθεσε

τη συζήτηση που ακολούθησε και τις γνώmicroες που διατυπώθηκαν microου έδωσε ισχυρά επιχει-

ρήmicroατα να υποστηρίξω την απόλυτη πίστη microου στην αξία των ορισmicroών όχι ως απλή λεκτική

επανάληψη microιας υποχρεωτικής αποστήθισης αλλά ως συνειδητοποίηση όλης εκείνης της

26

εσωτερικής λειτουργίας απόλυτα συγκεκριmicroένων πραγmicroάτων που κρίνουν τους ορισmicroούς

ως χρήσιmicroους και απαραίτητους και τους γεννούν για να υπάρχουν και να πλουτίζουν τη

γλώσσα microας

Τους βάζουν δίπλα microας και microας καλούν να πιστέψουmicroε στην αξία τους και ποτέ να microην

τους υποτιmicroήσουmicroε όσο απλοί και να είναι

(συνεχίζεται)

Σάββατο 29 Ιανουαρίου 2011

Θρασύβουλος Κων Μαχαίρας

Γενικό Λύκειο Αγριάς Πηλίου

s7-kmghotenetgr

16

που επιβάλλει στο τυχαίο σηmicroείο Μ το πρώτο laquoκύmicroαraquo όταν έχει διαδοθεί microόνο του οι έν-

νοιες της φάσης και της αρχικής φάσης είναι καθορισmicroένες microε απόλυτη σαφήνεια αρκεί να

microην ξεχάσουmicroε το πεδίο ορισmicroού

φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (61)

λππ

ϕ 1r2

T

t2minus= microε

υ1rt ge

αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (61)

φ0=0 rad

Στην εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης

minus=λ

πηmicro 22

r

T

t2Ay microε

υ2rt ge (62)

που επιβάλλει στο τυχαίο σηmicroείο Μ το δεύτερο laquoκύmicroαraquo όταν έχει διαδοθεί microόνο του οι έν-

νοιες της φάσης και της αρχικής φάσης είναι καθορισmicroένες microε απόλυτη σαφήνεια αρκεί να

microην ξεχάσουmicroε το πεδίο ορισmicroού

φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (62)

λππ

ϕ 2r2

T

t2minus= microε

υ2rt ge

αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης στην εξίσωση ταλάντωσης (62)

φ0=0 rad

Μετά τη laquoσυmicroβολή των δύο κυmicroάτωνraquo η εξίσωση ταλάντωσης του ση-

microείου Μ είναι

minus+

minus=+=λ

πηmicroλ

πηmicro 2121

r

T

t2A

r

T

t2Ayyy microε

geυυ

21 r

rmax t (63)

Στη σχέση (63) οι έννοιες laquoφάσηraquo και laquoαρχική φάσηraquo δεν ορίζο-

νται Δεν υπάρχουν

Η κίνηση που αποδίδεται microε τη σχέση (63) είναι επαλληλία των εξισώσεων κίνησης δύο

αρmicroονικών ταλαντώσεων (επαλληλία δύο αρmicroονικών συναρτήσεων δηλαδή και όχι πραγmicroα-

τικών κινήσεων) ίδιας διεύθυνσης ίδιας συχνότητας και ίδιας laquoθέσης ισορροπίαςraquo

17

Είναι επαλληλία των συναρτήσεων y1 και y2

Η σύνθεσή τους η y δηλαδή είναι microια (πραγmicroατική) αρmicroονική ταλάντωση ίδιας διεύθυν-

σης ίδιας συχνότητας και ίδιας θέσης ισορροπίας microε τις συνιστώσες εξισώσεις κίνησης ή

καλύτερα microε τους προσθετέους της (63)

Όπως είναι γραmicromicroένη η εξίσωση (63) δεν έχουmicroε κανένα δικαίωmicroα να microιλάmicroε

ούτε για laquoφάσηraquo ούτε για laquoαρχική φάσηraquo

Για να αποκτήσουmicroε αυτό το δικαίωmicroα πρέπει να τη φέρουmicroε σε microορφή που να διαθέτει

ένα microόνο τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό και δη ή microόνο ένα ηmicroίτονο ή microόνο ένα συνηmicroίτονο

Με άλλα λόγια

αν θέλουmicroε να microιλάmicroε για φάση και αρχική φάση στην σχέση (63) εξίσωση συmicroβολής των

κυmicroάτων θα πρέπει να τη φέρουmicroε στη microορφή

( )0t Ay ϕωηmicro prime+prime=

ή στη microορφή

( )0t Ay ϕωσυν primeprime+primeprime=

Τότε όmicroως

για να microην καταρρεύσουν αmicroφότεροι οι ορισmicroοί κι εποmicroένως και οι έννοιες

της φάσης και της αρχικής φάσης θα πρέπει να φροντίσουmicroε η αρχική φάση

να περιοριστεί σε ένα τριγωνοmicroετρικό κύκλο

για να αποφύγουmicroε κάθε επικίνδυνη ρευστότητα θα πρέπει να τεθεί οπωσ-

δήποτε το πεδίο ορισmicroού της συνάρτησης

για να microην υπάρξουν συλλογιστικά αδιέξοδα θα πρέπει να ακολουθήσουmicroε

microε συνέπεια την πορεία που καταγράψαmicroε στα παραδείγmicroατα 1-3 για τον

υπολογισmicroό φάσης και αρχικής φάσης ή έστω να εφαρmicroόσουmicroε τον απλό

τρόπο που καταγράφεται στη σελίδα 14

Ο microετασχηmicroατισmicroός της (63) ώστε να περιέχει ένα microόνο τριγωνο-

microετρικό αριθmicroό microπορεί να γίνει microε διάφορους τρόπους

1ος τρόπος Χρησιmicroοποιώντας τους τύπους της επαλληλίας εξισώσεων κίνησης

Αν έχουmicroε αριθmicroητικά δεδοmicroένα και δε θέλουmicroε να microπλεχτούmicroε microε πολλά microαθηmicroατικά

microπορούmicroε να χρησιmicroοποιήσουmicroε τους τύπους του σχολικού βιβλίου για την επαλληλία εξι-

σώσεων αρmicroονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης ίδιας συχνότητας και ίδιας θέσης ισορ-

ροπίας

Τους τύπους αυτούς όmicroως θα πρέπει να ισχυροποιήσουmicroε ώστε να συmicroπεριλάβουν περι-

πτώσεις όπου και οι δύο ταλαντώσεις έχουν αρχική φάση και να εmicroπλουτίσουmicroε microε έναν ε-

πιπλέον τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό ή microε κάποια επιπλέον microαθηmicroατική microας δεξιότητα microιας και η

σχέση microε την εφθ microόνη της δε microπορεί να προσδιορίσει την αρχική φάση θ έστω κι αν αυτή

περιοριστεί σε έναν τριγωνοmicroετρικό κύκλο

18

( Επαλληλία εξισώσεων αρmicroονικών ταλαντώσεων

x1=Α1middotηmicro(ωt+φ1) και x2=Α2middotηmicro(ωt+φ2)

x=x1+ x2=Aηmicro(ωt+θ)

όπου )(AA2AAA 21212

22

1 ϕϕσυν minus++= Α

ηmicroϕΑηmicroϕΑηmicroϑ 2211 +

= (64)

2211

2211

AA

AA

συνϕσυνϕηmicroϕηmicroϕ

εϕϑ+

+=

ΑσυνϕΑσυνϕΑ

συνϑ 2211 +=

microε 0leθlt2π

Τέτοιου είδους αντιmicroετωπίσεις έχουν ήδη καταχωρηθεί στο δίκτυο)

2ος τρόπος Μετασχηmicroατίζουmicroε την (63) και φτάνουmicroε στη microορφή

+minussdot

minus=

λΤπηmicro

λπσυν

2

rrt2

2

rr2A2y 2121 microε

geυυ

21 r

rmax t (65)

Αφού φιλοδοξούmicroε η (65) να περιγράφει πραγmicroατική κίνηση (κι όχι να είναι κα-

νένας προσθετέος σε επαλληλία εξισώσεων κίνησης) και επιθυmicroούmicroε οι έννοιες laquoφάσηraquo και

laquoαρχική φάσηraquo να έχουν νόηmicroα θα πρέπει ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ να χειρι-

στούmicroε την (65) microε τους τρόπους που δείξαmicroε στα παραδείγmicroατα 1-3

Αν δηλαδή επιθυmicroούmicroε να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση στην

(65) θα πρέπει να χρησιmicroοποιήσουmicroε ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ το πεδίο ορισmicroού

της και τον περιορισmicroό της αρχικής φάσης σε ένα τριγωνοmicroετρικό κύκλο

(Το να χειριστούmicroε τη σχέση (65) γενικά ώστε να εmicroφανιστούν γενικοί περιορισmicroοί στο πεδίο ορισmicroού και στην

αρχική φάση του ενός τριγωνοmicroετρικού κύκλου νοmicroίζω ότι θα είναι άσκοπο microιας και ο χρόνος που θα απαιτήσει

η γραφή αυτή θα ΄ναι microεγάλος και η αξία των τύπων ελάχιστη Γι΄ αυτό καταφεύγω σε παραδείγmicroατα)

4ο παράδειγmicroα

Έστω ότι σε κάποιο πρόβληmicroα συmicroβολής κυmicroάτων y1= και y2= αντικαθι-

στούmicroε τα δεδοmicroένα στην εξίσωση της συmicroβολής (65) και βρίσκουmicroε ότι το σηmicroείο Μ που απέ-

χει r1= και r2= από τις πηγές ταλαντώνεται αρmicroονικά microε εξίσωση

y=10-1

middotηmicro(2πt 4

11πminus ) (SI) microε t ge 6 sec (66)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης του Μ στην (66)

19

Λύση

1ος τρόπος

Κάνουmicroε ότι κάναmicroε στο παράδειγmicroα 2 στη σελίδα 10 ή στο παράδειγmicroα 3 στη σελίδα 12 αυ-

τής της ανάρτησης

2ος τρόπος

Για πιο γρήγορα ακολουθούmicroε τα βήmicroατα της σελίδας 14

1ο βήmicroα Μετασχηmicroατίζουmicroε την εξίσωση κίνησης (66) ώστε να εmicroφανιστεί η

αρχική τιmicroή χρόνου 6 sec microέσω της microορφής ω(t-t0)=2π(t-6)

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+12πminus4

11π] t ge 6 sec

και τελικά

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

37π] (SI) t ge 6 sec (67)

2ο βήmicroα Στο όρισmicroα του ηmicroίτονου microετά την ποσότητα 2π(t-6) η laquoγωνίαraquo 4

37π

δεν είναι microέσα στο διάστηmicroα [02π) που έχουmicroε υιοθετήσει ως περιορι-

σmicroό της αρχικής φάσης

Εποmicroένως πρέπει να αφαιρέσουmicroε κατάλληλα ακέραια πολλαπλάσια

του 2π

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

37πminus4middot2π] (SI) t ge 6 sec

από όπου τελικά

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

5π] (SI) t ge 6 sec (67α)

3ο βήmicroα Στην (67α) που καταλήξαmicroε microε την παραπάνω διαδικασία

η φάση είναι φ=2π(t‒6)+4

5π microε t ge 6 sec

και η αρχική φάση είναι φ0=4

5π rad

Το ίδιο συνεπώς θα ισχύει και για την (67)

Βέβαια όλα τα παραπάνω microπορούν να γίνουν πολύ πιο γρήγορα αρκεί να έ-

χουmicroε στο microυαλό microας ότι για να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση σε microια

εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία microας έδωσαν ή στην οποία καταλήξα-

microε θα πρέπει να τη microετασχηmicroατίσουmicroε ώστε

να εmicroφανίσουmicroε την αρχική τιmicroή του χρόνου microε τη microορφή που είπαmicroε

να εξασφαλίσουmicroε ότι ο προσθετέος που δεν περιέχει χρόνο είναι σε

διάστηmicroα ενός τριγωνοmicroετρικού κύκλου και microάλιστα στη microορφή που έ-

χουmicroε επιλέξει για την αρχική φάση ([02π) ή [-ππ) ή )

20

5ο παράδειγmicroα

Έστω ότι σε κάποιο πρόβληmicroα συmicroβολής κυmicroάτων y1= και y2= αντικαθι-

στούmicroε τα δεδοmicroένα στην εξίσωση της συmicroβολής (65) και βρίσκουmicroε ότι το σηmicroείο Μ που απέ-

χει r1= και r2= από τις πηγές ταλαντώνεται αρmicroονικά microε εξίσωση

y=minus10-1

middotηmicro(2πt4

9πminus ) (SI) microε t ge 05 sec (68)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης του Μ στην (68)

Λύση

Η (68) γίνεται διαδοχικά

y=minus10-1

middotηmicro(2πt4

9πminus ) = 10

-1middotηmicro(2πt+π

4

9πminus )=10

-1middotηmicro(2πt

4

5πminus )=10

-1middotηmicro[2π(tminus05)

4

πminus ]

και τελικά

y=10-1

middotηmicro[2π(tminus05)4

7π+ ] (68α)

Η (68α) έχει εmicroφανίσει την αρχική τιmicroή χρόνου 05 sec στη microορφή που θέλουmicroε και προ-

σθετέο 4

7π που δεν περιέχει χρόνο t και βρίσκεται στο διάστηmicroα [02π)

Άρα η φάση και η αρχική φάση της (68) είναι ίδιες microε εκείνες της (68α)

∆ηλαδή

Φάση φ=2π(tminus05)4

7π+ =2πt

4

3π+ microε t ge 05 sec

Αρχική φάση rad 4

7π0 =ϕ

Φάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολή

Ο Νίκος (Ανδρεάδης) microε δύο ευφυέστατες αναρτήσεις

laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολήraquo

laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολή-Μέρος δεύτεροraquo

που βρίσκονται στη διεύθυνση

httpylikonetgrprofilesblogsphhaseis-kai-antiphhaseis-ste

microας ώθησε να ακούσουmicroε κάποιους τριγmicroούς από την ψεύτικη πραγmicroατικότητα των

κυmicroάτων που διδάσκουmicroε

21

Γράφει λοιπόν

laquoΝ=6 1r 15= m

1 2r r 6 λminus = sdot

2r 03= m

Για t 3ge s η εξίσωση κίνησης προκύπτει από την επαλληλία των εξισώσεων

11

2πr2πty A ηmicro

T λ

= sdot minus

και 2

2

2πr2πty A ηmicro

T λ

= sdot minus

Μετά από πράξεις

( )1y 01 ηmicro 5πt 15π= sdot minus και ( )2

y 01 ηmicro 5πt 3π= sdot minus

Σύmicroφωνα microε τη σχέση 1 2 1 2r r r r2πt

y 2A συν 2π ηmicro π2λ T λ

minus += sdot sdot minus

microετά από πράξεις προκύπτει

( )y 02 ηmicro 5πt 9π= sdot minus

Η φάση (της αποmicroάκρυνσης στην παραπάνω εξίσωση) δίνεται από τη σχέση φ 5πt 9π= minus

Για t 3= s (προκύπτει η αρχική) φάση (η οποία) είναι 6π rad

παρατηρούmicroε ότι 7 σηmicroεία του microέσου τα οποία ξεκινούν την ίδια στιγmicroή την ίδια κίνηση από τη θέ-

ση ισορροπίας microε θετική ταχύτητα περιγράφονται microε διαφορετικές εξισώσεις και την στιγmicroή της εκκί-

νησης έχουν διαφορετική φάση

Οι απορίες microου

Ποιο είναι το φυσικό νόηmicroα των τιmicroών 0π 2π 4π 6π και 8π

Έχει νόηmicroα να ζητήσουmicroε τη διαφορά φάσης ενός από αυτά τα σηmicroεία microε microια πηγή

Αν όmicroως δούmicroε το θέmicroα ως σύνθεση δύο ταλαντώσεων που βρίσκονται σε συmicroφωνία φάσης καταλή-

γουmicroε αmicroέσως στο συmicroπέρασmicroα ότι και στις 7 περιπτώσεις η κίνηση για t 3ge s περιγράφεται από την

εξίσωση ( )y 02 ηmicro 5πt 15π= sdot minus (SI)

Η φάση δίνεται από τη σχέση φ 5πt 15π= minus (SI)

Για t 3= s η (αρχική) φάση είναι 0π rad ∆ηλ τη στιγmicroή της εκκίνησης έχουmicroε microηδενισmicroό της φάσης

για τα 7 σηmicroεία κάτι λογικό αφού τότε και τα 7 ξεκινούν microια νέα κίνηση από τη θέση ισορροπίας microε

θετική ταχύτηταraquo

Στους προβληmicroατισmicroούς που έθεσε ο Νίκος θα επιχειρήσω microια το-

ποθέτηση

Κατά τη γνώmicroη microου το microόνο που microπορεί να microας γλιτώσει από το παραπάνω παράδοξο είναι

η microαθηmicroατική αυστηρότητα microε την οποία φροντίσαmicroε να εφοδιάσουmicroε (και έτσι πρέπει

να γίνεται πάντα αν και πολλές φορές τούτο το απλό το ξεχνάmicroε) τους ορισmicroούς φάση και

αρχική φάση

Η αντίρρησή microου επικεντρώνεται στη φράση

laquoη φάση στην εξίσωση ( )y 02 ηmicro 5πt 9π= sdot minus δίνεται από τη σχέση φ 5πt 9π= minus raquo

η οποία εξάλλου είναι και η υπεύθυνη για τις αντιφάσεις που έχει εντοπίσει ο Νίκος

Προκειmicroένου να βρεθούν η φάση και η αρχική φάση στην εξίσωση microιας αρmicroονικής

ταλάντωσης πρέπει να ακολουθηθούν ορισmicroένες διαδικασίες

22

Αυτό δεν είναι ούτε σωσίβιο ούτε σοφιστεία ούτε κάποια κίνηση απελπισίας Είναι η ου-

σία του ορισmicroού που υιοθετήσαmicroε για τις δύο αυτές έννοιες

Η αυστηρότητα των ορισmicroών που δώσαmicroε ως φυσικοί εξασφαλίζει ότι τα microαθηmicroατικά όχι

microόνο θα microπορέσουν να εγγυηθούν τη συνέπεια των συλλογισmicroών και αποτελεσmicroάτων microας

αλλά θα ενσωmicroατώσουν microέσα τους τελείως διαφανείς πορείες απαραίτητες για την αυτοδυ-

ναmicroία και ισχύ του φυσικού έστω κι αν ένας microαθηmicroατικός αδιαφορήσει τελείως γι΄ αυτές

Αυτό δεν είναι παραλογισmicroός αλλά συνειδητοποίηση του διαφορετικού ρόλου

και της διαφορετικής ευθύνης των δύο ειδικοτήτων˙ του φυσικού και του microαθη-

microατικού

Κοντολογίς

Προκειmicroένου να διατηρήσουmicroε το δικαίωmicroα να χρησιmicroοποιούmicroε στο λεξιλόγιό microας τις λέξεις

φάση και αρχική φάση επιβάλλεται από τα microαθηmicroατικά να είmicroαστε συνεπείς microε τους ορι-

σmicroούς που τους δώσαmicroε και να τις χειριζόmicroαστε microε ειδικό τρόπο σε καθορισmicroένες πορείες

Αν δε το κάνουmicroε αυτό τα microαθηmicroατικά θα microας γυρίσουν την πλάτη

κι εmicroείς θα βουλιάξουmicroε στις παρανοήσεις στα αδιέξοδα και τις λο-

γικές ασυνέπειες

Σύmicroφωνα λοιπόν microε όσα έχουν αναφερθεί για να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση στην εξίσωση κίνησης

y=02middotηmicro(5πtminus9π) microε tge3 sec (69)

πρέπει να εmicroφανίσουmicroε microέσα της την αρχική τιmicroή του χρόνου 3 sec και να αφαιρέσουmicroε τα

ακέραια πολλαπλάσια του 2π microε τέτοιο τρόπο ώστε η αρχική φάση να είναι microέσα στη microορ-

φή του τριγωνοmicroετρικού κύκλου που υιοθετήσαmicroε

Πράγmicroατι η (69) γίνεται

y=02middotηmicro(5πtminus9π)=02middotηmicro[5π(t-3)+6π]

και τελικά

y=02middotηmicro[5π(t-3)+0] microε tge3 sec (69α)

Η (69α) και κατά συνέπεια και η (69) έχουν

Φάση φ=5π(t-3)+0=5πt-15π microε tge3 sec

Αρχική φάση φ0=0 rad

Νοmicroίζω ότι τώρα πια δεν υπάρχει καmicroιά αντίφαση microιας και όλες οι συλλογιστικές και όλες

οι microαθηmicroατικές πορείες θα δώσουν ακριβώς τα ίδια αποτελέσmicroατα

α) Και τα επτά σηmicroεία Ν=0 έχουν την ίδια φάση φ=5πt-15π microε tge3 sec και την ί-

δια αρχική φάση φ0=0 rad

23

β) Υπάρχει απόλυτη συλλογιστική συνέπεια σε όλα αφού όπως έχει ήδη επισηmicroάνει ο Νί-

κος laquoκαι τα 7 σηmicroεία πρέπει να έχουν την ίδια φάση και αρχική φάση αφού ξεκινούν microια

νέα κίνηση από τη θέση ισορροπίας microε θετική ταχύτηταraquo

γ) Είτε χρησιmicroοποιηθούν οι τύποι σύνθεσης ταλαντώσεων είτε χρησιmicroοποιηθεί ο τύ-

πος της συmicroβολής κυmicroάτων είτε οποιαδήποτε άλλη microαθηmicroατική διαδροmicroή τα αποτελέ-

σmicroατα φάσης και αρχικής φάσης θα είναι απολύτως ίδια

δ) laquoΚάθε κίνηση έχει φάση που microας πληροφορεί για πόσο χρόνο παρακολουθούmicroε τη συ-

γκεκριmicroένη κίνησηraquo

ε) Απορία

laquoΠοιο είναι το φυσικό νόηmicroα των τιmicroών 0π 2π 4π 6π και 8πraquo

Απάντηση

laquoοι τιmicroές 0π 2π 4π 6π και 8π που προκύπτουν microε (απλή-ανώδυνη) εφαρmicroογή της γνω-

στής σχέσης ηmicroΑ+ηmicroΒ=hellip δεν έχουν κανένα γνωστό ωφέλιmicroο φυσικό νόηmicroαraquo

Η εφαρmicroογή της σχέσης ηmicroΑ+ηmicroΒ= δεν οδηγεί πάντα απευθείας σε σχέση στην οποία να

είναι άmicroεσα διαφανείς η φάση και η αρχική φάση microιας εξίσωσης αρmicroονικής κίνησης

Ο τελικός τύπος χρειάζεται οπωσδήποτε επεξεργασία

στ) Απορία

laquoΈχει νόηmicroα να ζητήσουmicroε τη διαφορά φάσης ενός από αυτά τα σηmicroεία microε microια πηγήraquo

Απάντηση

Όχι Δεν πρέπει να ζητήσουmicroε τέτοιο πράγmicroα αν δε είmicroαστε έτοιmicroοι να αυτοκτονήσουmicroε ή να

microπούmicroε σε ατέλειωτες microαθηmicroατικές αναζητήσεις για να γλιτώσουmicroε microόνο και microόνο τη συνέ-

πεια της εννοιολογικά λανθασmicroένης laquoπραγmicroατικότηταςraquo των κυmicroάτων που διδάσκουmicroε

Η παρουσία πηγών επιβάλλει άλλου είδους κύmicroατα εmicroπλουτισmicroένα και microε άλλες έννοιες και

microε microαθηmicroατικούς χειρισmicroούς αρκετά δύσκολους microιας και στις διαφορικές εξισώσεις πρέπει

να παρθούν υπόψη συνοριακοί περιορισmicroοί

Στην πρώτη σελίδα της ανάρτησής microου laquoΟρισmicroοί και εξισώσεις κίνησης γ΄ microέροςraquo έγραφα κάτι που όσο περνάει ο καιρός το πιστεύω όλο και πιο πολύ

laquoδιδάσκουmicroε ˝κύmicroατα˝ που δήθεν διαδίδονται microε ταχύτητα υ έχουν αρχικές φάσεις έχουν

πηγές που τα παράγουν και πολλές φορές δύο πηγές για να έχουmicroε συmicroβολή

Μα αυτά που διδάσκουmicroε ούτε κύmicroατα είναι ούτε διαδίδονται ούτε πηγές περιέχουν

ούτε είναι κάπου και τρέχουν να πάνε κάπου αλλού ούτε ξεκινάνε από κάπου ούτε ούτε

ούτε

Στα κεφάλαια ˝Κύmicroατα˝ και ˝Μηχανική Στερεού Σώmicroατος˝ της Φυσικής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου ειλικρινά microε πιάνει απελπισία Τα πράmicroατα εκεί σκοτεινιάζουν τόσο πο-λύ Τί να πεις και από πού να αρχίσεις raquo

24

Στο σηmicroείο αυτό όmicroως νιώθω υποχρεωmicroένος να τονίσω ότι η αρνητικότατη στάση

microου απέναντι σε αυτό που microας βάζουν να διδάσκουmicroε ως κύmicroατα δεν πρέπει στο

ελάχιστο να θεωρηθεί ως απόρριψη της προσπάθειας συναδέλφων να microας δώσουν

ένα πλήθος ασκήσεων θέσεων αναλύσεων διαγωνισmicroάτων κλπ που έχουν σχέση

microε κύmicroατα και microε συmicroβολή κυmicroάτων που περιέχουν πηγές

Στο σχολείο πρέπει να κάνουmicroε αυτό που επιτάσσουν οι πανελλαδικές Άρα πέρα

από όλες τις διαφωνίες microεταξύ microας θα πρέπει προσωπικά να βρω ασκήσεις και θέ-

microατα να δώσω στα παιδιά για να καλύψω την ανήθικη έλλειψη ασκήσεων από το

σχολικό βιβλίο

Επίσης θα πρέπει να βρω τρόπο να microην καταρρεύσει η συλλογιστική των παιδιών

έστω και σαθρή πριν τις εξετάσεις

Αυτό microε τη σειρά του σηmicroαίνει ότι πρέπει να έχω επιχειρήmicroατα και υλικό κοmicromicroένο

στις συγκεκριmicroένες ανάγκες τους

Σε αυτό το σηmicroείο η βοήθεια που microου πρόσφεραν και microου προσφέρουν οι συνάδελ-

φοι του δικτύου και κάποια αξιόλογα εξωσχολικά βιβλία είναι όχι απλά πολύτιmicroη

αλλά ανεπανάληπτη

Με πολύ ανακούφιση δέχοmicroαι και παίρνω πολύτιmicroα διαγωνίσmicroατα ασκήσεις και υ-

λικό που προσφέρουν απλόχερα διάφοροι συνάδελφοι και που αναφέρονται σε κύmicroα-

τα που προέρχονται από πηγές και που συmicroβάλλουν

Επί τη ευκαιρία τους ευχαριστώ που microου δίνουν τον κόπο τους Κάποιες φορές microά-

λιστα αποτελεί πηγή αναθεωρήσεων και καινούριων αναζητήσεων microου

Ε Παρατηρήσεις

1) Η εξίσωση της αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία θα microας δώσουν ή στην οποία θα κα-

ταλήξουmicroε microετά από κάποια microαθηmicroατική επεξεργασία δεν είναι υποχρεωmicroένη να δηλώνει

καθαρά τη φάση και την αρχική φάση Εκείνο που πρέπει οπωσδήποτε να επισηmicroάνουmicroε εί-

ναι ότι φάση δεν είναι η ποσότητα που βρίσκεται microέσα στον τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό

Η εύρεση της φάσης και της αρχικής φάσης θέλουν διαδικασία η οποία θα απαιτήσει το

πεδίο ορισmicroού της εξίσωσης που microας δίνουν για την ταλάντωση ή για το κύmicroα

Ας του δώσουmicroε έmicroφαση microε microια άσκηση χωρίς κανένα απολύτως νόηmicroα

Στην παρακάτω εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης να βρεθεί η φάση και η αρχική

φάση της αποmicroάκρυνσης

y=10-1middotηmicro(2πt 4

11πminus )

Ο λόγος που αυτή η άσκηση είναι α-νόητη είναι γιατί δεν έχει δοθεί το πεδίο ορισmicroού Αλ-

λάζοντας το πεδίο ορισmicroού όπως ήδη έχουmicroε δείξει θα αλλάξει τόσο η συνάρτηση της φά-

σης όσο και η τιmicroή της αρχικής φάσης (∆ες σελίδα 18)

25

2) Η εύρεση της διαφοράς φάσης ανάmicroεσα σε δύο microεγέθη του ίδιου

φαινοmicroένου είναι ακόmicroη πιο επίπονη διαδικασία

Το θέmicroα αυτό είχε θέσει ο Θοδωρής microε microια ανάρτησή του που βρίσκεται στη διεύθυνση httpylikonetgrgroupthemataforumtopicsphhasearchikhe-

phhasediaphorhacommentId=36477953AComment3A16659ampgroupId=36477953AGroup3A5901

Όπως στην περίπτωση της φάσης και αρχικής φάσης οι αρmicroονικές συναρτήσεις πρέπει να

laquoετοιmicroαστούνraquo έτσι και στην περίπτωση που microας ζητάνε να βρούmicroε διαφορά φάσης ανάmicroε-

σα σε δύο φυσικά microεγέθη που εκφράζονται microε αρmicroονικές συναρτήσεις οι συναρτήσεις αυτές

πρέπει οπωσδήποτε να ετοιmicroαστούν κατάλληλα

3) Το πιο σηmicroαντικό στο οποίο εστιάζουν οι εργασίες microου (άσχετα αν τα καταφέρνω να

το δείξω ή όχι) είναι η microεθοδολογία που πρέπει να ακολουθούmicroε όταν θέλουmicroε να λύσουmicroε

microια διαφωνία microας να προχωρήσουmicroε microια αναζήτησή microας να βρούmicroε διέξοδο σε microια αντίφα-

ση να συνειδητοποιήσουmicroε microια έννοια

Κατά τη γνώmicroη microου πρέπει να ξεκινάmicroε από τους ορισmicroούς και αφού εξασφαλίσουmicroε την

αυστηρότητά τους να προχωρήσουmicroε σε απλές έστω εννοιολογικές κατακτήσεις απαραίτη-

τες όmicroως για την αναπνοή microας ως φυσικών ή ως ενδιαφεροmicroένων για τη φυσική

laquohellipΗ αξία των ορισmicroών εντοπίζεται στη σωστή θέση που πρέπει να κατέχουν κατά τη συνεννόηση microε-

ταξύ των φυσικών και στον κορυφαίο και αναντικατάστατο ρόλο που πρέπει microε κάθε σεβασmicroό να απο-

δεχτούmicroε ότι διαδραmicroατίζουν στη διαmicroόρφωση της δοmicroής της γλώσσας που χρησιmicroοποιεί η Φυσική

∆εν γίνεται να κάνεις Φυσική αν δεν έχεις τα σωστά κατάλληλα λόγια για να περιγράψεις στους άλ-

λους το όmicroορφο

Η Φυσική έχει ορισmicroούς που δεν είναι διαπραγmicroατεύσιmicroοι και microαθηmicroατικές microεθοδολογίες που δεν

πρέπει να αγνοούνται αν θέλουmicroε να έχουmicroε συνέπεια και να εξασφαλίζουmicroε απόλυτη διαφάνεια στους

συλλογισmicroούς microας

∆εν πρέπει να χαλάmicroε τη γλώσσα γιατί αλλιώς χαλάει η σκέψη και η επικοινωνία microεταξύ microας Πρέπει να δεχτούmicroε στην ψυχή microας (όχι στα λόγια) ότι οι ορισmicroοί έχουν αξία και να συνειδητοποιή-

σουmicroε την microοναδική τους ιδιότητα Αυτή που είναι και η αιτία της ύπαρξής τους Να είναι χρήσιmicroοι

Οι ορισmicroοί ή είναι χρήσιmicroοι ή δεν υπάρχουν Τα λόγια της Φυσικής δε φτιάχτηκαν για να περιγράφουν αλλά για να έχουν συγχρόνως τη δυνατότητα και να

προφητεύουνraquo

4) Στο παράδειγmicroα του Νίκου για τις φάσεις και τις αντιφάσεις χρησιmicroοποιήθηκαν σηmicroεία

όπου είχαmicroε ενισχύσεις

Θα παρακαλούσα το Νίκο αλλά και όποιον άλλο συνάδελφο θέλει να κάνει microια άσκηση

ή microια προσοmicroοίωση microε πιο γενικά σηmicroεία στη συmicroβολή κυmicroάτων και να υπολογίσει τις

φάσεις και τις αρχικές φάσεις στην εξίσωση ταλάντωσης των σηmicroείων αυτών δίνοντας έmicro-

φαση πάντα το πεδίο ορισmicroού και στον περιορισmicroό της αρχικής φάσης σε έναν τριγωνοmicroε-

τρικό κύκλο πχ της microορφής [02π)

Πιστεύω ότι έτσι κάποια πράγmicroατα θα γίνουν πολύ πιο ευδιάκριτα πιο απλά και το κυριό-

τερο θα περάσουν πιο εύκολα στους συναδέλφους

5) Τελειώνοντας οφείλω να πω ότι η σηmicroερινή microου ανάρτηση ουσιαστικά οφείλεται

στους προβληmicroατισmicroούς που microας έθεσε ο Νίκος (Ανδρεάδης) πάνω στη συmicroβολή των κυmicroά-

των microε το laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολήraquo

Έχοντας ξεκινήσει να γράφω microια σειρά αναρτήσεων σχετικών microε τις έννοιες φάση και αρ-

χική φάση microου ήρθε ανέλπιστα η δουλειά του Νίκου η οποία microε τα ερωτήmicroατα που έθεσε

τη συζήτηση που ακολούθησε και τις γνώmicroες που διατυπώθηκαν microου έδωσε ισχυρά επιχει-

ρήmicroατα να υποστηρίξω την απόλυτη πίστη microου στην αξία των ορισmicroών όχι ως απλή λεκτική

επανάληψη microιας υποχρεωτικής αποστήθισης αλλά ως συνειδητοποίηση όλης εκείνης της

26

εσωτερικής λειτουργίας απόλυτα συγκεκριmicroένων πραγmicroάτων που κρίνουν τους ορισmicroούς

ως χρήσιmicroους και απαραίτητους και τους γεννούν για να υπάρχουν και να πλουτίζουν τη

γλώσσα microας

Τους βάζουν δίπλα microας και microας καλούν να πιστέψουmicroε στην αξία τους και ποτέ να microην

τους υποτιmicroήσουmicroε όσο απλοί και να είναι

(συνεχίζεται)

Σάββατο 29 Ιανουαρίου 2011

Θρασύβουλος Κων Μαχαίρας

Γενικό Λύκειο Αγριάς Πηλίου

s7-kmghotenetgr

17

Είναι επαλληλία των συναρτήσεων y1 και y2

Η σύνθεσή τους η y δηλαδή είναι microια (πραγmicroατική) αρmicroονική ταλάντωση ίδιας διεύθυν-

σης ίδιας συχνότητας και ίδιας θέσης ισορροπίας microε τις συνιστώσες εξισώσεις κίνησης ή

καλύτερα microε τους προσθετέους της (63)

Όπως είναι γραmicromicroένη η εξίσωση (63) δεν έχουmicroε κανένα δικαίωmicroα να microιλάmicroε

ούτε για laquoφάσηraquo ούτε για laquoαρχική φάσηraquo

Για να αποκτήσουmicroε αυτό το δικαίωmicroα πρέπει να τη φέρουmicroε σε microορφή που να διαθέτει

ένα microόνο τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό και δη ή microόνο ένα ηmicroίτονο ή microόνο ένα συνηmicroίτονο

Με άλλα λόγια

αν θέλουmicroε να microιλάmicroε για φάση και αρχική φάση στην σχέση (63) εξίσωση συmicroβολής των

κυmicroάτων θα πρέπει να τη φέρουmicroε στη microορφή

( )0t Ay ϕωηmicro prime+prime=

ή στη microορφή

( )0t Ay ϕωσυν primeprime+primeprime=

Τότε όmicroως

για να microην καταρρεύσουν αmicroφότεροι οι ορισmicroοί κι εποmicroένως και οι έννοιες

της φάσης και της αρχικής φάσης θα πρέπει να φροντίσουmicroε η αρχική φάση

να περιοριστεί σε ένα τριγωνοmicroετρικό κύκλο

για να αποφύγουmicroε κάθε επικίνδυνη ρευστότητα θα πρέπει να τεθεί οπωσ-

δήποτε το πεδίο ορισmicroού της συνάρτησης

για να microην υπάρξουν συλλογιστικά αδιέξοδα θα πρέπει να ακολουθήσουmicroε

microε συνέπεια την πορεία που καταγράψαmicroε στα παραδείγmicroατα 1-3 για τον

υπολογισmicroό φάσης και αρχικής φάσης ή έστω να εφαρmicroόσουmicroε τον απλό

τρόπο που καταγράφεται στη σελίδα 14

Ο microετασχηmicroατισmicroός της (63) ώστε να περιέχει ένα microόνο τριγωνο-

microετρικό αριθmicroό microπορεί να γίνει microε διάφορους τρόπους

1ος τρόπος Χρησιmicroοποιώντας τους τύπους της επαλληλίας εξισώσεων κίνησης

Αν έχουmicroε αριθmicroητικά δεδοmicroένα και δε θέλουmicroε να microπλεχτούmicroε microε πολλά microαθηmicroατικά

microπορούmicroε να χρησιmicroοποιήσουmicroε τους τύπους του σχολικού βιβλίου για την επαλληλία εξι-

σώσεων αρmicroονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης ίδιας συχνότητας και ίδιας θέσης ισορ-

ροπίας

Τους τύπους αυτούς όmicroως θα πρέπει να ισχυροποιήσουmicroε ώστε να συmicroπεριλάβουν περι-

πτώσεις όπου και οι δύο ταλαντώσεις έχουν αρχική φάση και να εmicroπλουτίσουmicroε microε έναν ε-

πιπλέον τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό ή microε κάποια επιπλέον microαθηmicroατική microας δεξιότητα microιας και η

σχέση microε την εφθ microόνη της δε microπορεί να προσδιορίσει την αρχική φάση θ έστω κι αν αυτή

περιοριστεί σε έναν τριγωνοmicroετρικό κύκλο

18

( Επαλληλία εξισώσεων αρmicroονικών ταλαντώσεων

x1=Α1middotηmicro(ωt+φ1) και x2=Α2middotηmicro(ωt+φ2)

x=x1+ x2=Aηmicro(ωt+θ)

όπου )(AA2AAA 21212

22

1 ϕϕσυν minus++= Α

ηmicroϕΑηmicroϕΑηmicroϑ 2211 +

= (64)

2211

2211

AA

AA

συνϕσυνϕηmicroϕηmicroϕ

εϕϑ+

+=

ΑσυνϕΑσυνϕΑ

συνϑ 2211 +=

microε 0leθlt2π

Τέτοιου είδους αντιmicroετωπίσεις έχουν ήδη καταχωρηθεί στο δίκτυο)

2ος τρόπος Μετασχηmicroατίζουmicroε την (63) και φτάνουmicroε στη microορφή

+minussdot

minus=

λΤπηmicro

λπσυν

2

rrt2

2

rr2A2y 2121 microε

geυυ

21 r

rmax t (65)

Αφού φιλοδοξούmicroε η (65) να περιγράφει πραγmicroατική κίνηση (κι όχι να είναι κα-

νένας προσθετέος σε επαλληλία εξισώσεων κίνησης) και επιθυmicroούmicroε οι έννοιες laquoφάσηraquo και

laquoαρχική φάσηraquo να έχουν νόηmicroα θα πρέπει ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ να χειρι-

στούmicroε την (65) microε τους τρόπους που δείξαmicroε στα παραδείγmicroατα 1-3

Αν δηλαδή επιθυmicroούmicroε να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση στην

(65) θα πρέπει να χρησιmicroοποιήσουmicroε ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ το πεδίο ορισmicroού

της και τον περιορισmicroό της αρχικής φάσης σε ένα τριγωνοmicroετρικό κύκλο

(Το να χειριστούmicroε τη σχέση (65) γενικά ώστε να εmicroφανιστούν γενικοί περιορισmicroοί στο πεδίο ορισmicroού και στην

αρχική φάση του ενός τριγωνοmicroετρικού κύκλου νοmicroίζω ότι θα είναι άσκοπο microιας και ο χρόνος που θα απαιτήσει

η γραφή αυτή θα ΄ναι microεγάλος και η αξία των τύπων ελάχιστη Γι΄ αυτό καταφεύγω σε παραδείγmicroατα)

4ο παράδειγmicroα

Έστω ότι σε κάποιο πρόβληmicroα συmicroβολής κυmicroάτων y1= και y2= αντικαθι-

στούmicroε τα δεδοmicroένα στην εξίσωση της συmicroβολής (65) και βρίσκουmicroε ότι το σηmicroείο Μ που απέ-

χει r1= και r2= από τις πηγές ταλαντώνεται αρmicroονικά microε εξίσωση

y=10-1

middotηmicro(2πt 4

11πminus ) (SI) microε t ge 6 sec (66)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης του Μ στην (66)

19

Λύση

1ος τρόπος

Κάνουmicroε ότι κάναmicroε στο παράδειγmicroα 2 στη σελίδα 10 ή στο παράδειγmicroα 3 στη σελίδα 12 αυ-

τής της ανάρτησης

2ος τρόπος

Για πιο γρήγορα ακολουθούmicroε τα βήmicroατα της σελίδας 14

1ο βήmicroα Μετασχηmicroατίζουmicroε την εξίσωση κίνησης (66) ώστε να εmicroφανιστεί η

αρχική τιmicroή χρόνου 6 sec microέσω της microορφής ω(t-t0)=2π(t-6)

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+12πminus4

11π] t ge 6 sec

και τελικά

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

37π] (SI) t ge 6 sec (67)

2ο βήmicroα Στο όρισmicroα του ηmicroίτονου microετά την ποσότητα 2π(t-6) η laquoγωνίαraquo 4

37π

δεν είναι microέσα στο διάστηmicroα [02π) που έχουmicroε υιοθετήσει ως περιορι-

σmicroό της αρχικής φάσης

Εποmicroένως πρέπει να αφαιρέσουmicroε κατάλληλα ακέραια πολλαπλάσια

του 2π

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

37πminus4middot2π] (SI) t ge 6 sec

από όπου τελικά

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

5π] (SI) t ge 6 sec (67α)

3ο βήmicroα Στην (67α) που καταλήξαmicroε microε την παραπάνω διαδικασία

η φάση είναι φ=2π(t‒6)+4

5π microε t ge 6 sec

και η αρχική φάση είναι φ0=4

5π rad

Το ίδιο συνεπώς θα ισχύει και για την (67)

Βέβαια όλα τα παραπάνω microπορούν να γίνουν πολύ πιο γρήγορα αρκεί να έ-

χουmicroε στο microυαλό microας ότι για να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση σε microια

εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία microας έδωσαν ή στην οποία καταλήξα-

microε θα πρέπει να τη microετασχηmicroατίσουmicroε ώστε

να εmicroφανίσουmicroε την αρχική τιmicroή του χρόνου microε τη microορφή που είπαmicroε

να εξασφαλίσουmicroε ότι ο προσθετέος που δεν περιέχει χρόνο είναι σε

διάστηmicroα ενός τριγωνοmicroετρικού κύκλου και microάλιστα στη microορφή που έ-

χουmicroε επιλέξει για την αρχική φάση ([02π) ή [-ππ) ή )

20

5ο παράδειγmicroα

Έστω ότι σε κάποιο πρόβληmicroα συmicroβολής κυmicroάτων y1= και y2= αντικαθι-

στούmicroε τα δεδοmicroένα στην εξίσωση της συmicroβολής (65) και βρίσκουmicroε ότι το σηmicroείο Μ που απέ-

χει r1= και r2= από τις πηγές ταλαντώνεται αρmicroονικά microε εξίσωση

y=minus10-1

middotηmicro(2πt4

9πminus ) (SI) microε t ge 05 sec (68)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης του Μ στην (68)

Λύση

Η (68) γίνεται διαδοχικά

y=minus10-1

middotηmicro(2πt4

9πminus ) = 10

-1middotηmicro(2πt+π

4

9πminus )=10

-1middotηmicro(2πt

4

5πminus )=10

-1middotηmicro[2π(tminus05)

4

πminus ]

και τελικά

y=10-1

middotηmicro[2π(tminus05)4

7π+ ] (68α)

Η (68α) έχει εmicroφανίσει την αρχική τιmicroή χρόνου 05 sec στη microορφή που θέλουmicroε και προ-

σθετέο 4

7π που δεν περιέχει χρόνο t και βρίσκεται στο διάστηmicroα [02π)

Άρα η φάση και η αρχική φάση της (68) είναι ίδιες microε εκείνες της (68α)

∆ηλαδή

Φάση φ=2π(tminus05)4

7π+ =2πt

4

3π+ microε t ge 05 sec

Αρχική φάση rad 4

7π0 =ϕ

Φάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολή

Ο Νίκος (Ανδρεάδης) microε δύο ευφυέστατες αναρτήσεις

laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολήraquo

laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολή-Μέρος δεύτεροraquo

που βρίσκονται στη διεύθυνση

httpylikonetgrprofilesblogsphhaseis-kai-antiphhaseis-ste

microας ώθησε να ακούσουmicroε κάποιους τριγmicroούς από την ψεύτικη πραγmicroατικότητα των

κυmicroάτων που διδάσκουmicroε

21

Γράφει λοιπόν

laquoΝ=6 1r 15= m

1 2r r 6 λminus = sdot

2r 03= m

Για t 3ge s η εξίσωση κίνησης προκύπτει από την επαλληλία των εξισώσεων

11

2πr2πty A ηmicro

T λ

= sdot minus

και 2

2

2πr2πty A ηmicro

T λ

= sdot minus

Μετά από πράξεις

( )1y 01 ηmicro 5πt 15π= sdot minus και ( )2

y 01 ηmicro 5πt 3π= sdot minus

Σύmicroφωνα microε τη σχέση 1 2 1 2r r r r2πt

y 2A συν 2π ηmicro π2λ T λ

minus += sdot sdot minus

microετά από πράξεις προκύπτει

( )y 02 ηmicro 5πt 9π= sdot minus

Η φάση (της αποmicroάκρυνσης στην παραπάνω εξίσωση) δίνεται από τη σχέση φ 5πt 9π= minus

Για t 3= s (προκύπτει η αρχική) φάση (η οποία) είναι 6π rad

παρατηρούmicroε ότι 7 σηmicroεία του microέσου τα οποία ξεκινούν την ίδια στιγmicroή την ίδια κίνηση από τη θέ-

ση ισορροπίας microε θετική ταχύτητα περιγράφονται microε διαφορετικές εξισώσεις και την στιγmicroή της εκκί-

νησης έχουν διαφορετική φάση

Οι απορίες microου

Ποιο είναι το φυσικό νόηmicroα των τιmicroών 0π 2π 4π 6π και 8π

Έχει νόηmicroα να ζητήσουmicroε τη διαφορά φάσης ενός από αυτά τα σηmicroεία microε microια πηγή

Αν όmicroως δούmicroε το θέmicroα ως σύνθεση δύο ταλαντώσεων που βρίσκονται σε συmicroφωνία φάσης καταλή-

γουmicroε αmicroέσως στο συmicroπέρασmicroα ότι και στις 7 περιπτώσεις η κίνηση για t 3ge s περιγράφεται από την

εξίσωση ( )y 02 ηmicro 5πt 15π= sdot minus (SI)

Η φάση δίνεται από τη σχέση φ 5πt 15π= minus (SI)

Για t 3= s η (αρχική) φάση είναι 0π rad ∆ηλ τη στιγmicroή της εκκίνησης έχουmicroε microηδενισmicroό της φάσης

για τα 7 σηmicroεία κάτι λογικό αφού τότε και τα 7 ξεκινούν microια νέα κίνηση από τη θέση ισορροπίας microε

θετική ταχύτηταraquo

Στους προβληmicroατισmicroούς που έθεσε ο Νίκος θα επιχειρήσω microια το-

ποθέτηση

Κατά τη γνώmicroη microου το microόνο που microπορεί να microας γλιτώσει από το παραπάνω παράδοξο είναι

η microαθηmicroατική αυστηρότητα microε την οποία φροντίσαmicroε να εφοδιάσουmicroε (και έτσι πρέπει

να γίνεται πάντα αν και πολλές φορές τούτο το απλό το ξεχνάmicroε) τους ορισmicroούς φάση και

αρχική φάση

Η αντίρρησή microου επικεντρώνεται στη φράση

laquoη φάση στην εξίσωση ( )y 02 ηmicro 5πt 9π= sdot minus δίνεται από τη σχέση φ 5πt 9π= minus raquo

η οποία εξάλλου είναι και η υπεύθυνη για τις αντιφάσεις που έχει εντοπίσει ο Νίκος

Προκειmicroένου να βρεθούν η φάση και η αρχική φάση στην εξίσωση microιας αρmicroονικής

ταλάντωσης πρέπει να ακολουθηθούν ορισmicroένες διαδικασίες

22

Αυτό δεν είναι ούτε σωσίβιο ούτε σοφιστεία ούτε κάποια κίνηση απελπισίας Είναι η ου-

σία του ορισmicroού που υιοθετήσαmicroε για τις δύο αυτές έννοιες

Η αυστηρότητα των ορισmicroών που δώσαmicroε ως φυσικοί εξασφαλίζει ότι τα microαθηmicroατικά όχι

microόνο θα microπορέσουν να εγγυηθούν τη συνέπεια των συλλογισmicroών και αποτελεσmicroάτων microας

αλλά θα ενσωmicroατώσουν microέσα τους τελείως διαφανείς πορείες απαραίτητες για την αυτοδυ-

ναmicroία και ισχύ του φυσικού έστω κι αν ένας microαθηmicroατικός αδιαφορήσει τελείως γι΄ αυτές

Αυτό δεν είναι παραλογισmicroός αλλά συνειδητοποίηση του διαφορετικού ρόλου

και της διαφορετικής ευθύνης των δύο ειδικοτήτων˙ του φυσικού και του microαθη-

microατικού

Κοντολογίς

Προκειmicroένου να διατηρήσουmicroε το δικαίωmicroα να χρησιmicroοποιούmicroε στο λεξιλόγιό microας τις λέξεις

φάση και αρχική φάση επιβάλλεται από τα microαθηmicroατικά να είmicroαστε συνεπείς microε τους ορι-

σmicroούς που τους δώσαmicroε και να τις χειριζόmicroαστε microε ειδικό τρόπο σε καθορισmicroένες πορείες

Αν δε το κάνουmicroε αυτό τα microαθηmicroατικά θα microας γυρίσουν την πλάτη

κι εmicroείς θα βουλιάξουmicroε στις παρανοήσεις στα αδιέξοδα και τις λο-

γικές ασυνέπειες

Σύmicroφωνα λοιπόν microε όσα έχουν αναφερθεί για να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση στην εξίσωση κίνησης

y=02middotηmicro(5πtminus9π) microε tge3 sec (69)

πρέπει να εmicroφανίσουmicroε microέσα της την αρχική τιmicroή του χρόνου 3 sec και να αφαιρέσουmicroε τα

ακέραια πολλαπλάσια του 2π microε τέτοιο τρόπο ώστε η αρχική φάση να είναι microέσα στη microορ-

φή του τριγωνοmicroετρικού κύκλου που υιοθετήσαmicroε

Πράγmicroατι η (69) γίνεται

y=02middotηmicro(5πtminus9π)=02middotηmicro[5π(t-3)+6π]

και τελικά

y=02middotηmicro[5π(t-3)+0] microε tge3 sec (69α)

Η (69α) και κατά συνέπεια και η (69) έχουν

Φάση φ=5π(t-3)+0=5πt-15π microε tge3 sec

Αρχική φάση φ0=0 rad

Νοmicroίζω ότι τώρα πια δεν υπάρχει καmicroιά αντίφαση microιας και όλες οι συλλογιστικές και όλες

οι microαθηmicroατικές πορείες θα δώσουν ακριβώς τα ίδια αποτελέσmicroατα

α) Και τα επτά σηmicroεία Ν=0 έχουν την ίδια φάση φ=5πt-15π microε tge3 sec και την ί-

δια αρχική φάση φ0=0 rad

23

β) Υπάρχει απόλυτη συλλογιστική συνέπεια σε όλα αφού όπως έχει ήδη επισηmicroάνει ο Νί-

κος laquoκαι τα 7 σηmicroεία πρέπει να έχουν την ίδια φάση και αρχική φάση αφού ξεκινούν microια

νέα κίνηση από τη θέση ισορροπίας microε θετική ταχύτηταraquo

γ) Είτε χρησιmicroοποιηθούν οι τύποι σύνθεσης ταλαντώσεων είτε χρησιmicroοποιηθεί ο τύ-

πος της συmicroβολής κυmicroάτων είτε οποιαδήποτε άλλη microαθηmicroατική διαδροmicroή τα αποτελέ-

σmicroατα φάσης και αρχικής φάσης θα είναι απολύτως ίδια

δ) laquoΚάθε κίνηση έχει φάση που microας πληροφορεί για πόσο χρόνο παρακολουθούmicroε τη συ-

γκεκριmicroένη κίνησηraquo

ε) Απορία

laquoΠοιο είναι το φυσικό νόηmicroα των τιmicroών 0π 2π 4π 6π και 8πraquo

Απάντηση

laquoοι τιmicroές 0π 2π 4π 6π και 8π που προκύπτουν microε (απλή-ανώδυνη) εφαρmicroογή της γνω-

στής σχέσης ηmicroΑ+ηmicroΒ=hellip δεν έχουν κανένα γνωστό ωφέλιmicroο φυσικό νόηmicroαraquo

Η εφαρmicroογή της σχέσης ηmicroΑ+ηmicroΒ= δεν οδηγεί πάντα απευθείας σε σχέση στην οποία να

είναι άmicroεσα διαφανείς η φάση και η αρχική φάση microιας εξίσωσης αρmicroονικής κίνησης

Ο τελικός τύπος χρειάζεται οπωσδήποτε επεξεργασία

στ) Απορία

laquoΈχει νόηmicroα να ζητήσουmicroε τη διαφορά φάσης ενός από αυτά τα σηmicroεία microε microια πηγήraquo

Απάντηση

Όχι Δεν πρέπει να ζητήσουmicroε τέτοιο πράγmicroα αν δε είmicroαστε έτοιmicroοι να αυτοκτονήσουmicroε ή να

microπούmicroε σε ατέλειωτες microαθηmicroατικές αναζητήσεις για να γλιτώσουmicroε microόνο και microόνο τη συνέ-

πεια της εννοιολογικά λανθασmicroένης laquoπραγmicroατικότηταςraquo των κυmicroάτων που διδάσκουmicroε

Η παρουσία πηγών επιβάλλει άλλου είδους κύmicroατα εmicroπλουτισmicroένα και microε άλλες έννοιες και

microε microαθηmicroατικούς χειρισmicroούς αρκετά δύσκολους microιας και στις διαφορικές εξισώσεις πρέπει

να παρθούν υπόψη συνοριακοί περιορισmicroοί

Στην πρώτη σελίδα της ανάρτησής microου laquoΟρισmicroοί και εξισώσεις κίνησης γ΄ microέροςraquo έγραφα κάτι που όσο περνάει ο καιρός το πιστεύω όλο και πιο πολύ

laquoδιδάσκουmicroε ˝κύmicroατα˝ που δήθεν διαδίδονται microε ταχύτητα υ έχουν αρχικές φάσεις έχουν

πηγές που τα παράγουν και πολλές φορές δύο πηγές για να έχουmicroε συmicroβολή

Μα αυτά που διδάσκουmicroε ούτε κύmicroατα είναι ούτε διαδίδονται ούτε πηγές περιέχουν

ούτε είναι κάπου και τρέχουν να πάνε κάπου αλλού ούτε ξεκινάνε από κάπου ούτε ούτε

ούτε

Στα κεφάλαια ˝Κύmicroατα˝ και ˝Μηχανική Στερεού Σώmicroατος˝ της Φυσικής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου ειλικρινά microε πιάνει απελπισία Τα πράmicroατα εκεί σκοτεινιάζουν τόσο πο-λύ Τί να πεις και από πού να αρχίσεις raquo

24

Στο σηmicroείο αυτό όmicroως νιώθω υποχρεωmicroένος να τονίσω ότι η αρνητικότατη στάση

microου απέναντι σε αυτό που microας βάζουν να διδάσκουmicroε ως κύmicroατα δεν πρέπει στο

ελάχιστο να θεωρηθεί ως απόρριψη της προσπάθειας συναδέλφων να microας δώσουν

ένα πλήθος ασκήσεων θέσεων αναλύσεων διαγωνισmicroάτων κλπ που έχουν σχέση

microε κύmicroατα και microε συmicroβολή κυmicroάτων που περιέχουν πηγές

Στο σχολείο πρέπει να κάνουmicroε αυτό που επιτάσσουν οι πανελλαδικές Άρα πέρα

από όλες τις διαφωνίες microεταξύ microας θα πρέπει προσωπικά να βρω ασκήσεις και θέ-

microατα να δώσω στα παιδιά για να καλύψω την ανήθικη έλλειψη ασκήσεων από το

σχολικό βιβλίο

Επίσης θα πρέπει να βρω τρόπο να microην καταρρεύσει η συλλογιστική των παιδιών

έστω και σαθρή πριν τις εξετάσεις

Αυτό microε τη σειρά του σηmicroαίνει ότι πρέπει να έχω επιχειρήmicroατα και υλικό κοmicromicroένο

στις συγκεκριmicroένες ανάγκες τους

Σε αυτό το σηmicroείο η βοήθεια που microου πρόσφεραν και microου προσφέρουν οι συνάδελ-

φοι του δικτύου και κάποια αξιόλογα εξωσχολικά βιβλία είναι όχι απλά πολύτιmicroη

αλλά ανεπανάληπτη

Με πολύ ανακούφιση δέχοmicroαι και παίρνω πολύτιmicroα διαγωνίσmicroατα ασκήσεις και υ-

λικό που προσφέρουν απλόχερα διάφοροι συνάδελφοι και που αναφέρονται σε κύmicroα-

τα που προέρχονται από πηγές και που συmicroβάλλουν

Επί τη ευκαιρία τους ευχαριστώ που microου δίνουν τον κόπο τους Κάποιες φορές microά-

λιστα αποτελεί πηγή αναθεωρήσεων και καινούριων αναζητήσεων microου

Ε Παρατηρήσεις

1) Η εξίσωση της αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία θα microας δώσουν ή στην οποία θα κα-

ταλήξουmicroε microετά από κάποια microαθηmicroατική επεξεργασία δεν είναι υποχρεωmicroένη να δηλώνει

καθαρά τη φάση και την αρχική φάση Εκείνο που πρέπει οπωσδήποτε να επισηmicroάνουmicroε εί-

ναι ότι φάση δεν είναι η ποσότητα που βρίσκεται microέσα στον τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό

Η εύρεση της φάσης και της αρχικής φάσης θέλουν διαδικασία η οποία θα απαιτήσει το

πεδίο ορισmicroού της εξίσωσης που microας δίνουν για την ταλάντωση ή για το κύmicroα

Ας του δώσουmicroε έmicroφαση microε microια άσκηση χωρίς κανένα απολύτως νόηmicroα

Στην παρακάτω εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης να βρεθεί η φάση και η αρχική

φάση της αποmicroάκρυνσης

y=10-1middotηmicro(2πt 4

11πminus )

Ο λόγος που αυτή η άσκηση είναι α-νόητη είναι γιατί δεν έχει δοθεί το πεδίο ορισmicroού Αλ-

λάζοντας το πεδίο ορισmicroού όπως ήδη έχουmicroε δείξει θα αλλάξει τόσο η συνάρτηση της φά-

σης όσο και η τιmicroή της αρχικής φάσης (∆ες σελίδα 18)

25

2) Η εύρεση της διαφοράς φάσης ανάmicroεσα σε δύο microεγέθη του ίδιου

φαινοmicroένου είναι ακόmicroη πιο επίπονη διαδικασία

Το θέmicroα αυτό είχε θέσει ο Θοδωρής microε microια ανάρτησή του που βρίσκεται στη διεύθυνση httpylikonetgrgroupthemataforumtopicsphhasearchikhe-

phhasediaphorhacommentId=36477953AComment3A16659ampgroupId=36477953AGroup3A5901

Όπως στην περίπτωση της φάσης και αρχικής φάσης οι αρmicroονικές συναρτήσεις πρέπει να

laquoετοιmicroαστούνraquo έτσι και στην περίπτωση που microας ζητάνε να βρούmicroε διαφορά φάσης ανάmicroε-

σα σε δύο φυσικά microεγέθη που εκφράζονται microε αρmicroονικές συναρτήσεις οι συναρτήσεις αυτές

πρέπει οπωσδήποτε να ετοιmicroαστούν κατάλληλα

3) Το πιο σηmicroαντικό στο οποίο εστιάζουν οι εργασίες microου (άσχετα αν τα καταφέρνω να

το δείξω ή όχι) είναι η microεθοδολογία που πρέπει να ακολουθούmicroε όταν θέλουmicroε να λύσουmicroε

microια διαφωνία microας να προχωρήσουmicroε microια αναζήτησή microας να βρούmicroε διέξοδο σε microια αντίφα-

ση να συνειδητοποιήσουmicroε microια έννοια

Κατά τη γνώmicroη microου πρέπει να ξεκινάmicroε από τους ορισmicroούς και αφού εξασφαλίσουmicroε την

αυστηρότητά τους να προχωρήσουmicroε σε απλές έστω εννοιολογικές κατακτήσεις απαραίτη-

τες όmicroως για την αναπνοή microας ως φυσικών ή ως ενδιαφεροmicroένων για τη φυσική

laquohellipΗ αξία των ορισmicroών εντοπίζεται στη σωστή θέση που πρέπει να κατέχουν κατά τη συνεννόηση microε-

ταξύ των φυσικών και στον κορυφαίο και αναντικατάστατο ρόλο που πρέπει microε κάθε σεβασmicroό να απο-

δεχτούmicroε ότι διαδραmicroατίζουν στη διαmicroόρφωση της δοmicroής της γλώσσας που χρησιmicroοποιεί η Φυσική

∆εν γίνεται να κάνεις Φυσική αν δεν έχεις τα σωστά κατάλληλα λόγια για να περιγράψεις στους άλ-

λους το όmicroορφο

Η Φυσική έχει ορισmicroούς που δεν είναι διαπραγmicroατεύσιmicroοι και microαθηmicroατικές microεθοδολογίες που δεν

πρέπει να αγνοούνται αν θέλουmicroε να έχουmicroε συνέπεια και να εξασφαλίζουmicroε απόλυτη διαφάνεια στους

συλλογισmicroούς microας

∆εν πρέπει να χαλάmicroε τη γλώσσα γιατί αλλιώς χαλάει η σκέψη και η επικοινωνία microεταξύ microας Πρέπει να δεχτούmicroε στην ψυχή microας (όχι στα λόγια) ότι οι ορισmicroοί έχουν αξία και να συνειδητοποιή-

σουmicroε την microοναδική τους ιδιότητα Αυτή που είναι και η αιτία της ύπαρξής τους Να είναι χρήσιmicroοι

Οι ορισmicroοί ή είναι χρήσιmicroοι ή δεν υπάρχουν Τα λόγια της Φυσικής δε φτιάχτηκαν για να περιγράφουν αλλά για να έχουν συγχρόνως τη δυνατότητα και να

προφητεύουνraquo

4) Στο παράδειγmicroα του Νίκου για τις φάσεις και τις αντιφάσεις χρησιmicroοποιήθηκαν σηmicroεία

όπου είχαmicroε ενισχύσεις

Θα παρακαλούσα το Νίκο αλλά και όποιον άλλο συνάδελφο θέλει να κάνει microια άσκηση

ή microια προσοmicroοίωση microε πιο γενικά σηmicroεία στη συmicroβολή κυmicroάτων και να υπολογίσει τις

φάσεις και τις αρχικές φάσεις στην εξίσωση ταλάντωσης των σηmicroείων αυτών δίνοντας έmicro-

φαση πάντα το πεδίο ορισmicroού και στον περιορισmicroό της αρχικής φάσης σε έναν τριγωνοmicroε-

τρικό κύκλο πχ της microορφής [02π)

Πιστεύω ότι έτσι κάποια πράγmicroατα θα γίνουν πολύ πιο ευδιάκριτα πιο απλά και το κυριό-

τερο θα περάσουν πιο εύκολα στους συναδέλφους

5) Τελειώνοντας οφείλω να πω ότι η σηmicroερινή microου ανάρτηση ουσιαστικά οφείλεται

στους προβληmicroατισmicroούς που microας έθεσε ο Νίκος (Ανδρεάδης) πάνω στη συmicroβολή των κυmicroά-

των microε το laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολήraquo

Έχοντας ξεκινήσει να γράφω microια σειρά αναρτήσεων σχετικών microε τις έννοιες φάση και αρ-

χική φάση microου ήρθε ανέλπιστα η δουλειά του Νίκου η οποία microε τα ερωτήmicroατα που έθεσε

τη συζήτηση που ακολούθησε και τις γνώmicroες που διατυπώθηκαν microου έδωσε ισχυρά επιχει-

ρήmicroατα να υποστηρίξω την απόλυτη πίστη microου στην αξία των ορισmicroών όχι ως απλή λεκτική

επανάληψη microιας υποχρεωτικής αποστήθισης αλλά ως συνειδητοποίηση όλης εκείνης της

26

εσωτερικής λειτουργίας απόλυτα συγκεκριmicroένων πραγmicroάτων που κρίνουν τους ορισmicroούς

ως χρήσιmicroους και απαραίτητους και τους γεννούν για να υπάρχουν και να πλουτίζουν τη

γλώσσα microας

Τους βάζουν δίπλα microας και microας καλούν να πιστέψουmicroε στην αξία τους και ποτέ να microην

τους υποτιmicroήσουmicroε όσο απλοί και να είναι

(συνεχίζεται)

Σάββατο 29 Ιανουαρίου 2011

Θρασύβουλος Κων Μαχαίρας

Γενικό Λύκειο Αγριάς Πηλίου

s7-kmghotenetgr

18

( Επαλληλία εξισώσεων αρmicroονικών ταλαντώσεων

x1=Α1middotηmicro(ωt+φ1) και x2=Α2middotηmicro(ωt+φ2)

x=x1+ x2=Aηmicro(ωt+θ)

όπου )(AA2AAA 21212

22

1 ϕϕσυν minus++= Α

ηmicroϕΑηmicroϕΑηmicroϑ 2211 +

= (64)

2211

2211

AA

AA

συνϕσυνϕηmicroϕηmicroϕ

εϕϑ+

+=

ΑσυνϕΑσυνϕΑ

συνϑ 2211 +=

microε 0leθlt2π

Τέτοιου είδους αντιmicroετωπίσεις έχουν ήδη καταχωρηθεί στο δίκτυο)

2ος τρόπος Μετασχηmicroατίζουmicroε την (63) και φτάνουmicroε στη microορφή

+minussdot

minus=

λΤπηmicro

λπσυν

2

rrt2

2

rr2A2y 2121 microε

geυυ

21 r

rmax t (65)

Αφού φιλοδοξούmicroε η (65) να περιγράφει πραγmicroατική κίνηση (κι όχι να είναι κα-

νένας προσθετέος σε επαλληλία εξισώσεων κίνησης) και επιθυmicroούmicroε οι έννοιες laquoφάσηraquo και

laquoαρχική φάσηraquo να έχουν νόηmicroα θα πρέπει ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ να χειρι-

στούmicroε την (65) microε τους τρόπους που δείξαmicroε στα παραδείγmicroατα 1-3

Αν δηλαδή επιθυmicroούmicroε να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση στην

(65) θα πρέπει να χρησιmicroοποιήσουmicroε ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ το πεδίο ορισmicroού

της και τον περιορισmicroό της αρχικής φάσης σε ένα τριγωνοmicroετρικό κύκλο

(Το να χειριστούmicroε τη σχέση (65) γενικά ώστε να εmicroφανιστούν γενικοί περιορισmicroοί στο πεδίο ορισmicroού και στην

αρχική φάση του ενός τριγωνοmicroετρικού κύκλου νοmicroίζω ότι θα είναι άσκοπο microιας και ο χρόνος που θα απαιτήσει

η γραφή αυτή θα ΄ναι microεγάλος και η αξία των τύπων ελάχιστη Γι΄ αυτό καταφεύγω σε παραδείγmicroατα)

4ο παράδειγmicroα

Έστω ότι σε κάποιο πρόβληmicroα συmicroβολής κυmicroάτων y1= και y2= αντικαθι-

στούmicroε τα δεδοmicroένα στην εξίσωση της συmicroβολής (65) και βρίσκουmicroε ότι το σηmicroείο Μ που απέ-

χει r1= και r2= από τις πηγές ταλαντώνεται αρmicroονικά microε εξίσωση

y=10-1

middotηmicro(2πt 4

11πminus ) (SI) microε t ge 6 sec (66)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης του Μ στην (66)

19

Λύση

1ος τρόπος

Κάνουmicroε ότι κάναmicroε στο παράδειγmicroα 2 στη σελίδα 10 ή στο παράδειγmicroα 3 στη σελίδα 12 αυ-

τής της ανάρτησης

2ος τρόπος

Για πιο γρήγορα ακολουθούmicroε τα βήmicroατα της σελίδας 14

1ο βήmicroα Μετασχηmicroατίζουmicroε την εξίσωση κίνησης (66) ώστε να εmicroφανιστεί η

αρχική τιmicroή χρόνου 6 sec microέσω της microορφής ω(t-t0)=2π(t-6)

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+12πminus4

11π] t ge 6 sec

και τελικά

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

37π] (SI) t ge 6 sec (67)

2ο βήmicroα Στο όρισmicroα του ηmicroίτονου microετά την ποσότητα 2π(t-6) η laquoγωνίαraquo 4

37π

δεν είναι microέσα στο διάστηmicroα [02π) που έχουmicroε υιοθετήσει ως περιορι-

σmicroό της αρχικής φάσης

Εποmicroένως πρέπει να αφαιρέσουmicroε κατάλληλα ακέραια πολλαπλάσια

του 2π

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

37πminus4middot2π] (SI) t ge 6 sec

από όπου τελικά

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

5π] (SI) t ge 6 sec (67α)

3ο βήmicroα Στην (67α) που καταλήξαmicroε microε την παραπάνω διαδικασία

η φάση είναι φ=2π(t‒6)+4

5π microε t ge 6 sec

και η αρχική φάση είναι φ0=4

5π rad

Το ίδιο συνεπώς θα ισχύει και για την (67)

Βέβαια όλα τα παραπάνω microπορούν να γίνουν πολύ πιο γρήγορα αρκεί να έ-

χουmicroε στο microυαλό microας ότι για να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση σε microια

εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία microας έδωσαν ή στην οποία καταλήξα-

microε θα πρέπει να τη microετασχηmicroατίσουmicroε ώστε

να εmicroφανίσουmicroε την αρχική τιmicroή του χρόνου microε τη microορφή που είπαmicroε

να εξασφαλίσουmicroε ότι ο προσθετέος που δεν περιέχει χρόνο είναι σε

διάστηmicroα ενός τριγωνοmicroετρικού κύκλου και microάλιστα στη microορφή που έ-

χουmicroε επιλέξει για την αρχική φάση ([02π) ή [-ππ) ή )

20

5ο παράδειγmicroα

Έστω ότι σε κάποιο πρόβληmicroα συmicroβολής κυmicroάτων y1= και y2= αντικαθι-

στούmicroε τα δεδοmicroένα στην εξίσωση της συmicroβολής (65) και βρίσκουmicroε ότι το σηmicroείο Μ που απέ-

χει r1= και r2= από τις πηγές ταλαντώνεται αρmicroονικά microε εξίσωση

y=minus10-1

middotηmicro(2πt4

9πminus ) (SI) microε t ge 05 sec (68)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης του Μ στην (68)

Λύση

Η (68) γίνεται διαδοχικά

y=minus10-1

middotηmicro(2πt4

9πminus ) = 10

-1middotηmicro(2πt+π

4

9πminus )=10

-1middotηmicro(2πt

4

5πminus )=10

-1middotηmicro[2π(tminus05)

4

πminus ]

και τελικά

y=10-1

middotηmicro[2π(tminus05)4

7π+ ] (68α)

Η (68α) έχει εmicroφανίσει την αρχική τιmicroή χρόνου 05 sec στη microορφή που θέλουmicroε και προ-

σθετέο 4

7π που δεν περιέχει χρόνο t και βρίσκεται στο διάστηmicroα [02π)

Άρα η φάση και η αρχική φάση της (68) είναι ίδιες microε εκείνες της (68α)

∆ηλαδή

Φάση φ=2π(tminus05)4

7π+ =2πt

4

3π+ microε t ge 05 sec

Αρχική φάση rad 4

7π0 =ϕ

Φάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολή

Ο Νίκος (Ανδρεάδης) microε δύο ευφυέστατες αναρτήσεις

laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολήraquo

laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολή-Μέρος δεύτεροraquo

που βρίσκονται στη διεύθυνση

httpylikonetgrprofilesblogsphhaseis-kai-antiphhaseis-ste

microας ώθησε να ακούσουmicroε κάποιους τριγmicroούς από την ψεύτικη πραγmicroατικότητα των

κυmicroάτων που διδάσκουmicroε

21

Γράφει λοιπόν

laquoΝ=6 1r 15= m

1 2r r 6 λminus = sdot

2r 03= m

Για t 3ge s η εξίσωση κίνησης προκύπτει από την επαλληλία των εξισώσεων

11

2πr2πty A ηmicro

T λ

= sdot minus

και 2

2

2πr2πty A ηmicro

T λ

= sdot minus

Μετά από πράξεις

( )1y 01 ηmicro 5πt 15π= sdot minus και ( )2

y 01 ηmicro 5πt 3π= sdot minus

Σύmicroφωνα microε τη σχέση 1 2 1 2r r r r2πt

y 2A συν 2π ηmicro π2λ T λ

minus += sdot sdot minus

microετά από πράξεις προκύπτει

( )y 02 ηmicro 5πt 9π= sdot minus

Η φάση (της αποmicroάκρυνσης στην παραπάνω εξίσωση) δίνεται από τη σχέση φ 5πt 9π= minus

Για t 3= s (προκύπτει η αρχική) φάση (η οποία) είναι 6π rad

παρατηρούmicroε ότι 7 σηmicroεία του microέσου τα οποία ξεκινούν την ίδια στιγmicroή την ίδια κίνηση από τη θέ-

ση ισορροπίας microε θετική ταχύτητα περιγράφονται microε διαφορετικές εξισώσεις και την στιγmicroή της εκκί-

νησης έχουν διαφορετική φάση

Οι απορίες microου

Ποιο είναι το φυσικό νόηmicroα των τιmicroών 0π 2π 4π 6π και 8π

Έχει νόηmicroα να ζητήσουmicroε τη διαφορά φάσης ενός από αυτά τα σηmicroεία microε microια πηγή

Αν όmicroως δούmicroε το θέmicroα ως σύνθεση δύο ταλαντώσεων που βρίσκονται σε συmicroφωνία φάσης καταλή-

γουmicroε αmicroέσως στο συmicroπέρασmicroα ότι και στις 7 περιπτώσεις η κίνηση για t 3ge s περιγράφεται από την

εξίσωση ( )y 02 ηmicro 5πt 15π= sdot minus (SI)

Η φάση δίνεται από τη σχέση φ 5πt 15π= minus (SI)

Για t 3= s η (αρχική) φάση είναι 0π rad ∆ηλ τη στιγmicroή της εκκίνησης έχουmicroε microηδενισmicroό της φάσης

για τα 7 σηmicroεία κάτι λογικό αφού τότε και τα 7 ξεκινούν microια νέα κίνηση από τη θέση ισορροπίας microε

θετική ταχύτηταraquo

Στους προβληmicroατισmicroούς που έθεσε ο Νίκος θα επιχειρήσω microια το-

ποθέτηση

Κατά τη γνώmicroη microου το microόνο που microπορεί να microας γλιτώσει από το παραπάνω παράδοξο είναι

η microαθηmicroατική αυστηρότητα microε την οποία φροντίσαmicroε να εφοδιάσουmicroε (και έτσι πρέπει

να γίνεται πάντα αν και πολλές φορές τούτο το απλό το ξεχνάmicroε) τους ορισmicroούς φάση και

αρχική φάση

Η αντίρρησή microου επικεντρώνεται στη φράση

laquoη φάση στην εξίσωση ( )y 02 ηmicro 5πt 9π= sdot minus δίνεται από τη σχέση φ 5πt 9π= minus raquo

η οποία εξάλλου είναι και η υπεύθυνη για τις αντιφάσεις που έχει εντοπίσει ο Νίκος

Προκειmicroένου να βρεθούν η φάση και η αρχική φάση στην εξίσωση microιας αρmicroονικής

ταλάντωσης πρέπει να ακολουθηθούν ορισmicroένες διαδικασίες

22

Αυτό δεν είναι ούτε σωσίβιο ούτε σοφιστεία ούτε κάποια κίνηση απελπισίας Είναι η ου-

σία του ορισmicroού που υιοθετήσαmicroε για τις δύο αυτές έννοιες

Η αυστηρότητα των ορισmicroών που δώσαmicroε ως φυσικοί εξασφαλίζει ότι τα microαθηmicroατικά όχι

microόνο θα microπορέσουν να εγγυηθούν τη συνέπεια των συλλογισmicroών και αποτελεσmicroάτων microας

αλλά θα ενσωmicroατώσουν microέσα τους τελείως διαφανείς πορείες απαραίτητες για την αυτοδυ-

ναmicroία και ισχύ του φυσικού έστω κι αν ένας microαθηmicroατικός αδιαφορήσει τελείως γι΄ αυτές

Αυτό δεν είναι παραλογισmicroός αλλά συνειδητοποίηση του διαφορετικού ρόλου

και της διαφορετικής ευθύνης των δύο ειδικοτήτων˙ του φυσικού και του microαθη-

microατικού

Κοντολογίς

Προκειmicroένου να διατηρήσουmicroε το δικαίωmicroα να χρησιmicroοποιούmicroε στο λεξιλόγιό microας τις λέξεις

φάση και αρχική φάση επιβάλλεται από τα microαθηmicroατικά να είmicroαστε συνεπείς microε τους ορι-

σmicroούς που τους δώσαmicroε και να τις χειριζόmicroαστε microε ειδικό τρόπο σε καθορισmicroένες πορείες

Αν δε το κάνουmicroε αυτό τα microαθηmicroατικά θα microας γυρίσουν την πλάτη

κι εmicroείς θα βουλιάξουmicroε στις παρανοήσεις στα αδιέξοδα και τις λο-

γικές ασυνέπειες

Σύmicroφωνα λοιπόν microε όσα έχουν αναφερθεί για να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση στην εξίσωση κίνησης

y=02middotηmicro(5πtminus9π) microε tge3 sec (69)

πρέπει να εmicroφανίσουmicroε microέσα της την αρχική τιmicroή του χρόνου 3 sec και να αφαιρέσουmicroε τα

ακέραια πολλαπλάσια του 2π microε τέτοιο τρόπο ώστε η αρχική φάση να είναι microέσα στη microορ-

φή του τριγωνοmicroετρικού κύκλου που υιοθετήσαmicroε

Πράγmicroατι η (69) γίνεται

y=02middotηmicro(5πtminus9π)=02middotηmicro[5π(t-3)+6π]

και τελικά

y=02middotηmicro[5π(t-3)+0] microε tge3 sec (69α)

Η (69α) και κατά συνέπεια και η (69) έχουν

Φάση φ=5π(t-3)+0=5πt-15π microε tge3 sec

Αρχική φάση φ0=0 rad

Νοmicroίζω ότι τώρα πια δεν υπάρχει καmicroιά αντίφαση microιας και όλες οι συλλογιστικές και όλες

οι microαθηmicroατικές πορείες θα δώσουν ακριβώς τα ίδια αποτελέσmicroατα

α) Και τα επτά σηmicroεία Ν=0 έχουν την ίδια φάση φ=5πt-15π microε tge3 sec και την ί-

δια αρχική φάση φ0=0 rad

23

β) Υπάρχει απόλυτη συλλογιστική συνέπεια σε όλα αφού όπως έχει ήδη επισηmicroάνει ο Νί-

κος laquoκαι τα 7 σηmicroεία πρέπει να έχουν την ίδια φάση και αρχική φάση αφού ξεκινούν microια

νέα κίνηση από τη θέση ισορροπίας microε θετική ταχύτηταraquo

γ) Είτε χρησιmicroοποιηθούν οι τύποι σύνθεσης ταλαντώσεων είτε χρησιmicroοποιηθεί ο τύ-

πος της συmicroβολής κυmicroάτων είτε οποιαδήποτε άλλη microαθηmicroατική διαδροmicroή τα αποτελέ-

σmicroατα φάσης και αρχικής φάσης θα είναι απολύτως ίδια

δ) laquoΚάθε κίνηση έχει φάση που microας πληροφορεί για πόσο χρόνο παρακολουθούmicroε τη συ-

γκεκριmicroένη κίνησηraquo

ε) Απορία

laquoΠοιο είναι το φυσικό νόηmicroα των τιmicroών 0π 2π 4π 6π και 8πraquo

Απάντηση

laquoοι τιmicroές 0π 2π 4π 6π και 8π που προκύπτουν microε (απλή-ανώδυνη) εφαρmicroογή της γνω-

στής σχέσης ηmicroΑ+ηmicroΒ=hellip δεν έχουν κανένα γνωστό ωφέλιmicroο φυσικό νόηmicroαraquo

Η εφαρmicroογή της σχέσης ηmicroΑ+ηmicroΒ= δεν οδηγεί πάντα απευθείας σε σχέση στην οποία να

είναι άmicroεσα διαφανείς η φάση και η αρχική φάση microιας εξίσωσης αρmicroονικής κίνησης

Ο τελικός τύπος χρειάζεται οπωσδήποτε επεξεργασία

στ) Απορία

laquoΈχει νόηmicroα να ζητήσουmicroε τη διαφορά φάσης ενός από αυτά τα σηmicroεία microε microια πηγήraquo

Απάντηση

Όχι Δεν πρέπει να ζητήσουmicroε τέτοιο πράγmicroα αν δε είmicroαστε έτοιmicroοι να αυτοκτονήσουmicroε ή να

microπούmicroε σε ατέλειωτες microαθηmicroατικές αναζητήσεις για να γλιτώσουmicroε microόνο και microόνο τη συνέ-

πεια της εννοιολογικά λανθασmicroένης laquoπραγmicroατικότηταςraquo των κυmicroάτων που διδάσκουmicroε

Η παρουσία πηγών επιβάλλει άλλου είδους κύmicroατα εmicroπλουτισmicroένα και microε άλλες έννοιες και

microε microαθηmicroατικούς χειρισmicroούς αρκετά δύσκολους microιας και στις διαφορικές εξισώσεις πρέπει

να παρθούν υπόψη συνοριακοί περιορισmicroοί

Στην πρώτη σελίδα της ανάρτησής microου laquoΟρισmicroοί και εξισώσεις κίνησης γ΄ microέροςraquo έγραφα κάτι που όσο περνάει ο καιρός το πιστεύω όλο και πιο πολύ

laquoδιδάσκουmicroε ˝κύmicroατα˝ που δήθεν διαδίδονται microε ταχύτητα υ έχουν αρχικές φάσεις έχουν

πηγές που τα παράγουν και πολλές φορές δύο πηγές για να έχουmicroε συmicroβολή

Μα αυτά που διδάσκουmicroε ούτε κύmicroατα είναι ούτε διαδίδονται ούτε πηγές περιέχουν

ούτε είναι κάπου και τρέχουν να πάνε κάπου αλλού ούτε ξεκινάνε από κάπου ούτε ούτε

ούτε

Στα κεφάλαια ˝Κύmicroατα˝ και ˝Μηχανική Στερεού Σώmicroατος˝ της Φυσικής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου ειλικρινά microε πιάνει απελπισία Τα πράmicroατα εκεί σκοτεινιάζουν τόσο πο-λύ Τί να πεις και από πού να αρχίσεις raquo

24

Στο σηmicroείο αυτό όmicroως νιώθω υποχρεωmicroένος να τονίσω ότι η αρνητικότατη στάση

microου απέναντι σε αυτό που microας βάζουν να διδάσκουmicroε ως κύmicroατα δεν πρέπει στο

ελάχιστο να θεωρηθεί ως απόρριψη της προσπάθειας συναδέλφων να microας δώσουν

ένα πλήθος ασκήσεων θέσεων αναλύσεων διαγωνισmicroάτων κλπ που έχουν σχέση

microε κύmicroατα και microε συmicroβολή κυmicroάτων που περιέχουν πηγές

Στο σχολείο πρέπει να κάνουmicroε αυτό που επιτάσσουν οι πανελλαδικές Άρα πέρα

από όλες τις διαφωνίες microεταξύ microας θα πρέπει προσωπικά να βρω ασκήσεις και θέ-

microατα να δώσω στα παιδιά για να καλύψω την ανήθικη έλλειψη ασκήσεων από το

σχολικό βιβλίο

Επίσης θα πρέπει να βρω τρόπο να microην καταρρεύσει η συλλογιστική των παιδιών

έστω και σαθρή πριν τις εξετάσεις

Αυτό microε τη σειρά του σηmicroαίνει ότι πρέπει να έχω επιχειρήmicroατα και υλικό κοmicromicroένο

στις συγκεκριmicroένες ανάγκες τους

Σε αυτό το σηmicroείο η βοήθεια που microου πρόσφεραν και microου προσφέρουν οι συνάδελ-

φοι του δικτύου και κάποια αξιόλογα εξωσχολικά βιβλία είναι όχι απλά πολύτιmicroη

αλλά ανεπανάληπτη

Με πολύ ανακούφιση δέχοmicroαι και παίρνω πολύτιmicroα διαγωνίσmicroατα ασκήσεις και υ-

λικό που προσφέρουν απλόχερα διάφοροι συνάδελφοι και που αναφέρονται σε κύmicroα-

τα που προέρχονται από πηγές και που συmicroβάλλουν

Επί τη ευκαιρία τους ευχαριστώ που microου δίνουν τον κόπο τους Κάποιες φορές microά-

λιστα αποτελεί πηγή αναθεωρήσεων και καινούριων αναζητήσεων microου

Ε Παρατηρήσεις

1) Η εξίσωση της αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία θα microας δώσουν ή στην οποία θα κα-

ταλήξουmicroε microετά από κάποια microαθηmicroατική επεξεργασία δεν είναι υποχρεωmicroένη να δηλώνει

καθαρά τη φάση και την αρχική φάση Εκείνο που πρέπει οπωσδήποτε να επισηmicroάνουmicroε εί-

ναι ότι φάση δεν είναι η ποσότητα που βρίσκεται microέσα στον τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό

Η εύρεση της φάσης και της αρχικής φάσης θέλουν διαδικασία η οποία θα απαιτήσει το

πεδίο ορισmicroού της εξίσωσης που microας δίνουν για την ταλάντωση ή για το κύmicroα

Ας του δώσουmicroε έmicroφαση microε microια άσκηση χωρίς κανένα απολύτως νόηmicroα

Στην παρακάτω εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης να βρεθεί η φάση και η αρχική

φάση της αποmicroάκρυνσης

y=10-1middotηmicro(2πt 4

11πminus )

Ο λόγος που αυτή η άσκηση είναι α-νόητη είναι γιατί δεν έχει δοθεί το πεδίο ορισmicroού Αλ-

λάζοντας το πεδίο ορισmicroού όπως ήδη έχουmicroε δείξει θα αλλάξει τόσο η συνάρτηση της φά-

σης όσο και η τιmicroή της αρχικής φάσης (∆ες σελίδα 18)

25

2) Η εύρεση της διαφοράς φάσης ανάmicroεσα σε δύο microεγέθη του ίδιου

φαινοmicroένου είναι ακόmicroη πιο επίπονη διαδικασία

Το θέmicroα αυτό είχε θέσει ο Θοδωρής microε microια ανάρτησή του που βρίσκεται στη διεύθυνση httpylikonetgrgroupthemataforumtopicsphhasearchikhe-

phhasediaphorhacommentId=36477953AComment3A16659ampgroupId=36477953AGroup3A5901

Όπως στην περίπτωση της φάσης και αρχικής φάσης οι αρmicroονικές συναρτήσεις πρέπει να

laquoετοιmicroαστούνraquo έτσι και στην περίπτωση που microας ζητάνε να βρούmicroε διαφορά φάσης ανάmicroε-

σα σε δύο φυσικά microεγέθη που εκφράζονται microε αρmicroονικές συναρτήσεις οι συναρτήσεις αυτές

πρέπει οπωσδήποτε να ετοιmicroαστούν κατάλληλα

3) Το πιο σηmicroαντικό στο οποίο εστιάζουν οι εργασίες microου (άσχετα αν τα καταφέρνω να

το δείξω ή όχι) είναι η microεθοδολογία που πρέπει να ακολουθούmicroε όταν θέλουmicroε να λύσουmicroε

microια διαφωνία microας να προχωρήσουmicroε microια αναζήτησή microας να βρούmicroε διέξοδο σε microια αντίφα-

ση να συνειδητοποιήσουmicroε microια έννοια

Κατά τη γνώmicroη microου πρέπει να ξεκινάmicroε από τους ορισmicroούς και αφού εξασφαλίσουmicroε την

αυστηρότητά τους να προχωρήσουmicroε σε απλές έστω εννοιολογικές κατακτήσεις απαραίτη-

τες όmicroως για την αναπνοή microας ως φυσικών ή ως ενδιαφεροmicroένων για τη φυσική

laquohellipΗ αξία των ορισmicroών εντοπίζεται στη σωστή θέση που πρέπει να κατέχουν κατά τη συνεννόηση microε-

ταξύ των φυσικών και στον κορυφαίο και αναντικατάστατο ρόλο που πρέπει microε κάθε σεβασmicroό να απο-

δεχτούmicroε ότι διαδραmicroατίζουν στη διαmicroόρφωση της δοmicroής της γλώσσας που χρησιmicroοποιεί η Φυσική

∆εν γίνεται να κάνεις Φυσική αν δεν έχεις τα σωστά κατάλληλα λόγια για να περιγράψεις στους άλ-

λους το όmicroορφο

Η Φυσική έχει ορισmicroούς που δεν είναι διαπραγmicroατεύσιmicroοι και microαθηmicroατικές microεθοδολογίες που δεν

πρέπει να αγνοούνται αν θέλουmicroε να έχουmicroε συνέπεια και να εξασφαλίζουmicroε απόλυτη διαφάνεια στους

συλλογισmicroούς microας

∆εν πρέπει να χαλάmicroε τη γλώσσα γιατί αλλιώς χαλάει η σκέψη και η επικοινωνία microεταξύ microας Πρέπει να δεχτούmicroε στην ψυχή microας (όχι στα λόγια) ότι οι ορισmicroοί έχουν αξία και να συνειδητοποιή-

σουmicroε την microοναδική τους ιδιότητα Αυτή που είναι και η αιτία της ύπαρξής τους Να είναι χρήσιmicroοι

Οι ορισmicroοί ή είναι χρήσιmicroοι ή δεν υπάρχουν Τα λόγια της Φυσικής δε φτιάχτηκαν για να περιγράφουν αλλά για να έχουν συγχρόνως τη δυνατότητα και να

προφητεύουνraquo

4) Στο παράδειγmicroα του Νίκου για τις φάσεις και τις αντιφάσεις χρησιmicroοποιήθηκαν σηmicroεία

όπου είχαmicroε ενισχύσεις

Θα παρακαλούσα το Νίκο αλλά και όποιον άλλο συνάδελφο θέλει να κάνει microια άσκηση

ή microια προσοmicroοίωση microε πιο γενικά σηmicroεία στη συmicroβολή κυmicroάτων και να υπολογίσει τις

φάσεις και τις αρχικές φάσεις στην εξίσωση ταλάντωσης των σηmicroείων αυτών δίνοντας έmicro-

φαση πάντα το πεδίο ορισmicroού και στον περιορισmicroό της αρχικής φάσης σε έναν τριγωνοmicroε-

τρικό κύκλο πχ της microορφής [02π)

Πιστεύω ότι έτσι κάποια πράγmicroατα θα γίνουν πολύ πιο ευδιάκριτα πιο απλά και το κυριό-

τερο θα περάσουν πιο εύκολα στους συναδέλφους

5) Τελειώνοντας οφείλω να πω ότι η σηmicroερινή microου ανάρτηση ουσιαστικά οφείλεται

στους προβληmicroατισmicroούς που microας έθεσε ο Νίκος (Ανδρεάδης) πάνω στη συmicroβολή των κυmicroά-

των microε το laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολήraquo

Έχοντας ξεκινήσει να γράφω microια σειρά αναρτήσεων σχετικών microε τις έννοιες φάση και αρ-

χική φάση microου ήρθε ανέλπιστα η δουλειά του Νίκου η οποία microε τα ερωτήmicroατα που έθεσε

τη συζήτηση που ακολούθησε και τις γνώmicroες που διατυπώθηκαν microου έδωσε ισχυρά επιχει-

ρήmicroατα να υποστηρίξω την απόλυτη πίστη microου στην αξία των ορισmicroών όχι ως απλή λεκτική

επανάληψη microιας υποχρεωτικής αποστήθισης αλλά ως συνειδητοποίηση όλης εκείνης της

26

εσωτερικής λειτουργίας απόλυτα συγκεκριmicroένων πραγmicroάτων που κρίνουν τους ορισmicroούς

ως χρήσιmicroους και απαραίτητους και τους γεννούν για να υπάρχουν και να πλουτίζουν τη

γλώσσα microας

Τους βάζουν δίπλα microας και microας καλούν να πιστέψουmicroε στην αξία τους και ποτέ να microην

τους υποτιmicroήσουmicroε όσο απλοί και να είναι

(συνεχίζεται)

Σάββατο 29 Ιανουαρίου 2011

Θρασύβουλος Κων Μαχαίρας

Γενικό Λύκειο Αγριάς Πηλίου

s7-kmghotenetgr

19

Λύση

1ος τρόπος

Κάνουmicroε ότι κάναmicroε στο παράδειγmicroα 2 στη σελίδα 10 ή στο παράδειγmicroα 3 στη σελίδα 12 αυ-

τής της ανάρτησης

2ος τρόπος

Για πιο γρήγορα ακολουθούmicroε τα βήmicroατα της σελίδας 14

1ο βήmicroα Μετασχηmicroατίζουmicroε την εξίσωση κίνησης (66) ώστε να εmicroφανιστεί η

αρχική τιmicroή χρόνου 6 sec microέσω της microορφής ω(t-t0)=2π(t-6)

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+12πminus4

11π] t ge 6 sec

και τελικά

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

37π] (SI) t ge 6 sec (67)

2ο βήmicroα Στο όρισmicroα του ηmicroίτονου microετά την ποσότητα 2π(t-6) η laquoγωνίαraquo 4

37π

δεν είναι microέσα στο διάστηmicroα [02π) που έχουmicroε υιοθετήσει ως περιορι-

σmicroό της αρχικής φάσης

Εποmicroένως πρέπει να αφαιρέσουmicroε κατάλληλα ακέραια πολλαπλάσια

του 2π

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

37πminus4middot2π] (SI) t ge 6 sec

από όπου τελικά

x=10-1

middotηmicro[2π(t‒6)+4

5π] (SI) t ge 6 sec (67α)

3ο βήmicroα Στην (67α) που καταλήξαmicroε microε την παραπάνω διαδικασία

η φάση είναι φ=2π(t‒6)+4

5π microε t ge 6 sec

και η αρχική φάση είναι φ0=4

5π rad

Το ίδιο συνεπώς θα ισχύει και για την (67)

Βέβαια όλα τα παραπάνω microπορούν να γίνουν πολύ πιο γρήγορα αρκεί να έ-

χουmicroε στο microυαλό microας ότι για να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση σε microια

εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία microας έδωσαν ή στην οποία καταλήξα-

microε θα πρέπει να τη microετασχηmicroατίσουmicroε ώστε

να εmicroφανίσουmicroε την αρχική τιmicroή του χρόνου microε τη microορφή που είπαmicroε

να εξασφαλίσουmicroε ότι ο προσθετέος που δεν περιέχει χρόνο είναι σε

διάστηmicroα ενός τριγωνοmicroετρικού κύκλου και microάλιστα στη microορφή που έ-

χουmicroε επιλέξει για την αρχική φάση ([02π) ή [-ππ) ή )

20

5ο παράδειγmicroα

Έστω ότι σε κάποιο πρόβληmicroα συmicroβολής κυmicroάτων y1= και y2= αντικαθι-

στούmicroε τα δεδοmicroένα στην εξίσωση της συmicroβολής (65) και βρίσκουmicroε ότι το σηmicroείο Μ που απέ-

χει r1= και r2= από τις πηγές ταλαντώνεται αρmicroονικά microε εξίσωση

y=minus10-1

middotηmicro(2πt4

9πminus ) (SI) microε t ge 05 sec (68)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης του Μ στην (68)

Λύση

Η (68) γίνεται διαδοχικά

y=minus10-1

middotηmicro(2πt4

9πminus ) = 10

-1middotηmicro(2πt+π

4

9πminus )=10

-1middotηmicro(2πt

4

5πminus )=10

-1middotηmicro[2π(tminus05)

4

πminus ]

και τελικά

y=10-1

middotηmicro[2π(tminus05)4

7π+ ] (68α)

Η (68α) έχει εmicroφανίσει την αρχική τιmicroή χρόνου 05 sec στη microορφή που θέλουmicroε και προ-

σθετέο 4

7π που δεν περιέχει χρόνο t και βρίσκεται στο διάστηmicroα [02π)

Άρα η φάση και η αρχική φάση της (68) είναι ίδιες microε εκείνες της (68α)

∆ηλαδή

Φάση φ=2π(tminus05)4

7π+ =2πt

4

3π+ microε t ge 05 sec

Αρχική φάση rad 4

7π0 =ϕ

Φάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολή

Ο Νίκος (Ανδρεάδης) microε δύο ευφυέστατες αναρτήσεις

laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολήraquo

laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολή-Μέρος δεύτεροraquo

που βρίσκονται στη διεύθυνση

httpylikonetgrprofilesblogsphhaseis-kai-antiphhaseis-ste

microας ώθησε να ακούσουmicroε κάποιους τριγmicroούς από την ψεύτικη πραγmicroατικότητα των

κυmicroάτων που διδάσκουmicroε

21

Γράφει λοιπόν

laquoΝ=6 1r 15= m

1 2r r 6 λminus = sdot

2r 03= m

Για t 3ge s η εξίσωση κίνησης προκύπτει από την επαλληλία των εξισώσεων

11

2πr2πty A ηmicro

T λ

= sdot minus

και 2

2

2πr2πty A ηmicro

T λ

= sdot minus

Μετά από πράξεις

( )1y 01 ηmicro 5πt 15π= sdot minus και ( )2

y 01 ηmicro 5πt 3π= sdot minus

Σύmicroφωνα microε τη σχέση 1 2 1 2r r r r2πt

y 2A συν 2π ηmicro π2λ T λ

minus += sdot sdot minus

microετά από πράξεις προκύπτει

( )y 02 ηmicro 5πt 9π= sdot minus

Η φάση (της αποmicroάκρυνσης στην παραπάνω εξίσωση) δίνεται από τη σχέση φ 5πt 9π= minus

Για t 3= s (προκύπτει η αρχική) φάση (η οποία) είναι 6π rad

παρατηρούmicroε ότι 7 σηmicroεία του microέσου τα οποία ξεκινούν την ίδια στιγmicroή την ίδια κίνηση από τη θέ-

ση ισορροπίας microε θετική ταχύτητα περιγράφονται microε διαφορετικές εξισώσεις και την στιγmicroή της εκκί-

νησης έχουν διαφορετική φάση

Οι απορίες microου

Ποιο είναι το φυσικό νόηmicroα των τιmicroών 0π 2π 4π 6π και 8π

Έχει νόηmicroα να ζητήσουmicroε τη διαφορά φάσης ενός από αυτά τα σηmicroεία microε microια πηγή

Αν όmicroως δούmicroε το θέmicroα ως σύνθεση δύο ταλαντώσεων που βρίσκονται σε συmicroφωνία φάσης καταλή-

γουmicroε αmicroέσως στο συmicroπέρασmicroα ότι και στις 7 περιπτώσεις η κίνηση για t 3ge s περιγράφεται από την

εξίσωση ( )y 02 ηmicro 5πt 15π= sdot minus (SI)

Η φάση δίνεται από τη σχέση φ 5πt 15π= minus (SI)

Για t 3= s η (αρχική) φάση είναι 0π rad ∆ηλ τη στιγmicroή της εκκίνησης έχουmicroε microηδενισmicroό της φάσης

για τα 7 σηmicroεία κάτι λογικό αφού τότε και τα 7 ξεκινούν microια νέα κίνηση από τη θέση ισορροπίας microε

θετική ταχύτηταraquo

Στους προβληmicroατισmicroούς που έθεσε ο Νίκος θα επιχειρήσω microια το-

ποθέτηση

Κατά τη γνώmicroη microου το microόνο που microπορεί να microας γλιτώσει από το παραπάνω παράδοξο είναι

η microαθηmicroατική αυστηρότητα microε την οποία φροντίσαmicroε να εφοδιάσουmicroε (και έτσι πρέπει

να γίνεται πάντα αν και πολλές φορές τούτο το απλό το ξεχνάmicroε) τους ορισmicroούς φάση και

αρχική φάση

Η αντίρρησή microου επικεντρώνεται στη φράση

laquoη φάση στην εξίσωση ( )y 02 ηmicro 5πt 9π= sdot minus δίνεται από τη σχέση φ 5πt 9π= minus raquo

η οποία εξάλλου είναι και η υπεύθυνη για τις αντιφάσεις που έχει εντοπίσει ο Νίκος

Προκειmicroένου να βρεθούν η φάση και η αρχική φάση στην εξίσωση microιας αρmicroονικής

ταλάντωσης πρέπει να ακολουθηθούν ορισmicroένες διαδικασίες

22

Αυτό δεν είναι ούτε σωσίβιο ούτε σοφιστεία ούτε κάποια κίνηση απελπισίας Είναι η ου-

σία του ορισmicroού που υιοθετήσαmicroε για τις δύο αυτές έννοιες

Η αυστηρότητα των ορισmicroών που δώσαmicroε ως φυσικοί εξασφαλίζει ότι τα microαθηmicroατικά όχι

microόνο θα microπορέσουν να εγγυηθούν τη συνέπεια των συλλογισmicroών και αποτελεσmicroάτων microας

αλλά θα ενσωmicroατώσουν microέσα τους τελείως διαφανείς πορείες απαραίτητες για την αυτοδυ-

ναmicroία και ισχύ του φυσικού έστω κι αν ένας microαθηmicroατικός αδιαφορήσει τελείως γι΄ αυτές

Αυτό δεν είναι παραλογισmicroός αλλά συνειδητοποίηση του διαφορετικού ρόλου

και της διαφορετικής ευθύνης των δύο ειδικοτήτων˙ του φυσικού και του microαθη-

microατικού

Κοντολογίς

Προκειmicroένου να διατηρήσουmicroε το δικαίωmicroα να χρησιmicroοποιούmicroε στο λεξιλόγιό microας τις λέξεις

φάση και αρχική φάση επιβάλλεται από τα microαθηmicroατικά να είmicroαστε συνεπείς microε τους ορι-

σmicroούς που τους δώσαmicroε και να τις χειριζόmicroαστε microε ειδικό τρόπο σε καθορισmicroένες πορείες

Αν δε το κάνουmicroε αυτό τα microαθηmicroατικά θα microας γυρίσουν την πλάτη

κι εmicroείς θα βουλιάξουmicroε στις παρανοήσεις στα αδιέξοδα και τις λο-

γικές ασυνέπειες

Σύmicroφωνα λοιπόν microε όσα έχουν αναφερθεί για να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση στην εξίσωση κίνησης

y=02middotηmicro(5πtminus9π) microε tge3 sec (69)

πρέπει να εmicroφανίσουmicroε microέσα της την αρχική τιmicroή του χρόνου 3 sec και να αφαιρέσουmicroε τα

ακέραια πολλαπλάσια του 2π microε τέτοιο τρόπο ώστε η αρχική φάση να είναι microέσα στη microορ-

φή του τριγωνοmicroετρικού κύκλου που υιοθετήσαmicroε

Πράγmicroατι η (69) γίνεται

y=02middotηmicro(5πtminus9π)=02middotηmicro[5π(t-3)+6π]

και τελικά

y=02middotηmicro[5π(t-3)+0] microε tge3 sec (69α)

Η (69α) και κατά συνέπεια και η (69) έχουν

Φάση φ=5π(t-3)+0=5πt-15π microε tge3 sec

Αρχική φάση φ0=0 rad

Νοmicroίζω ότι τώρα πια δεν υπάρχει καmicroιά αντίφαση microιας και όλες οι συλλογιστικές και όλες

οι microαθηmicroατικές πορείες θα δώσουν ακριβώς τα ίδια αποτελέσmicroατα

α) Και τα επτά σηmicroεία Ν=0 έχουν την ίδια φάση φ=5πt-15π microε tge3 sec και την ί-

δια αρχική φάση φ0=0 rad

23

β) Υπάρχει απόλυτη συλλογιστική συνέπεια σε όλα αφού όπως έχει ήδη επισηmicroάνει ο Νί-

κος laquoκαι τα 7 σηmicroεία πρέπει να έχουν την ίδια φάση και αρχική φάση αφού ξεκινούν microια

νέα κίνηση από τη θέση ισορροπίας microε θετική ταχύτηταraquo

γ) Είτε χρησιmicroοποιηθούν οι τύποι σύνθεσης ταλαντώσεων είτε χρησιmicroοποιηθεί ο τύ-

πος της συmicroβολής κυmicroάτων είτε οποιαδήποτε άλλη microαθηmicroατική διαδροmicroή τα αποτελέ-

σmicroατα φάσης και αρχικής φάσης θα είναι απολύτως ίδια

δ) laquoΚάθε κίνηση έχει φάση που microας πληροφορεί για πόσο χρόνο παρακολουθούmicroε τη συ-

γκεκριmicroένη κίνησηraquo

ε) Απορία

laquoΠοιο είναι το φυσικό νόηmicroα των τιmicroών 0π 2π 4π 6π και 8πraquo

Απάντηση

laquoοι τιmicroές 0π 2π 4π 6π και 8π που προκύπτουν microε (απλή-ανώδυνη) εφαρmicroογή της γνω-

στής σχέσης ηmicroΑ+ηmicroΒ=hellip δεν έχουν κανένα γνωστό ωφέλιmicroο φυσικό νόηmicroαraquo

Η εφαρmicroογή της σχέσης ηmicroΑ+ηmicroΒ= δεν οδηγεί πάντα απευθείας σε σχέση στην οποία να

είναι άmicroεσα διαφανείς η φάση και η αρχική φάση microιας εξίσωσης αρmicroονικής κίνησης

Ο τελικός τύπος χρειάζεται οπωσδήποτε επεξεργασία

στ) Απορία

laquoΈχει νόηmicroα να ζητήσουmicroε τη διαφορά φάσης ενός από αυτά τα σηmicroεία microε microια πηγήraquo

Απάντηση

Όχι Δεν πρέπει να ζητήσουmicroε τέτοιο πράγmicroα αν δε είmicroαστε έτοιmicroοι να αυτοκτονήσουmicroε ή να

microπούmicroε σε ατέλειωτες microαθηmicroατικές αναζητήσεις για να γλιτώσουmicroε microόνο και microόνο τη συνέ-

πεια της εννοιολογικά λανθασmicroένης laquoπραγmicroατικότηταςraquo των κυmicroάτων που διδάσκουmicroε

Η παρουσία πηγών επιβάλλει άλλου είδους κύmicroατα εmicroπλουτισmicroένα και microε άλλες έννοιες και

microε microαθηmicroατικούς χειρισmicroούς αρκετά δύσκολους microιας και στις διαφορικές εξισώσεις πρέπει

να παρθούν υπόψη συνοριακοί περιορισmicroοί

Στην πρώτη σελίδα της ανάρτησής microου laquoΟρισmicroοί και εξισώσεις κίνησης γ΄ microέροςraquo έγραφα κάτι που όσο περνάει ο καιρός το πιστεύω όλο και πιο πολύ

laquoδιδάσκουmicroε ˝κύmicroατα˝ που δήθεν διαδίδονται microε ταχύτητα υ έχουν αρχικές φάσεις έχουν

πηγές που τα παράγουν και πολλές φορές δύο πηγές για να έχουmicroε συmicroβολή

Μα αυτά που διδάσκουmicroε ούτε κύmicroατα είναι ούτε διαδίδονται ούτε πηγές περιέχουν

ούτε είναι κάπου και τρέχουν να πάνε κάπου αλλού ούτε ξεκινάνε από κάπου ούτε ούτε

ούτε

Στα κεφάλαια ˝Κύmicroατα˝ και ˝Μηχανική Στερεού Σώmicroατος˝ της Φυσικής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου ειλικρινά microε πιάνει απελπισία Τα πράmicroατα εκεί σκοτεινιάζουν τόσο πο-λύ Τί να πεις και από πού να αρχίσεις raquo

24

Στο σηmicroείο αυτό όmicroως νιώθω υποχρεωmicroένος να τονίσω ότι η αρνητικότατη στάση

microου απέναντι σε αυτό που microας βάζουν να διδάσκουmicroε ως κύmicroατα δεν πρέπει στο

ελάχιστο να θεωρηθεί ως απόρριψη της προσπάθειας συναδέλφων να microας δώσουν

ένα πλήθος ασκήσεων θέσεων αναλύσεων διαγωνισmicroάτων κλπ που έχουν σχέση

microε κύmicroατα και microε συmicroβολή κυmicroάτων που περιέχουν πηγές

Στο σχολείο πρέπει να κάνουmicroε αυτό που επιτάσσουν οι πανελλαδικές Άρα πέρα

από όλες τις διαφωνίες microεταξύ microας θα πρέπει προσωπικά να βρω ασκήσεις και θέ-

microατα να δώσω στα παιδιά για να καλύψω την ανήθικη έλλειψη ασκήσεων από το

σχολικό βιβλίο

Επίσης θα πρέπει να βρω τρόπο να microην καταρρεύσει η συλλογιστική των παιδιών

έστω και σαθρή πριν τις εξετάσεις

Αυτό microε τη σειρά του σηmicroαίνει ότι πρέπει να έχω επιχειρήmicroατα και υλικό κοmicromicroένο

στις συγκεκριmicroένες ανάγκες τους

Σε αυτό το σηmicroείο η βοήθεια που microου πρόσφεραν και microου προσφέρουν οι συνάδελ-

φοι του δικτύου και κάποια αξιόλογα εξωσχολικά βιβλία είναι όχι απλά πολύτιmicroη

αλλά ανεπανάληπτη

Με πολύ ανακούφιση δέχοmicroαι και παίρνω πολύτιmicroα διαγωνίσmicroατα ασκήσεις και υ-

λικό που προσφέρουν απλόχερα διάφοροι συνάδελφοι και που αναφέρονται σε κύmicroα-

τα που προέρχονται από πηγές και που συmicroβάλλουν

Επί τη ευκαιρία τους ευχαριστώ που microου δίνουν τον κόπο τους Κάποιες φορές microά-

λιστα αποτελεί πηγή αναθεωρήσεων και καινούριων αναζητήσεων microου

Ε Παρατηρήσεις

1) Η εξίσωση της αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία θα microας δώσουν ή στην οποία θα κα-

ταλήξουmicroε microετά από κάποια microαθηmicroατική επεξεργασία δεν είναι υποχρεωmicroένη να δηλώνει

καθαρά τη φάση και την αρχική φάση Εκείνο που πρέπει οπωσδήποτε να επισηmicroάνουmicroε εί-

ναι ότι φάση δεν είναι η ποσότητα που βρίσκεται microέσα στον τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό

Η εύρεση της φάσης και της αρχικής φάσης θέλουν διαδικασία η οποία θα απαιτήσει το

πεδίο ορισmicroού της εξίσωσης που microας δίνουν για την ταλάντωση ή για το κύmicroα

Ας του δώσουmicroε έmicroφαση microε microια άσκηση χωρίς κανένα απολύτως νόηmicroα

Στην παρακάτω εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης να βρεθεί η φάση και η αρχική

φάση της αποmicroάκρυνσης

y=10-1middotηmicro(2πt 4

11πminus )

Ο λόγος που αυτή η άσκηση είναι α-νόητη είναι γιατί δεν έχει δοθεί το πεδίο ορισmicroού Αλ-

λάζοντας το πεδίο ορισmicroού όπως ήδη έχουmicroε δείξει θα αλλάξει τόσο η συνάρτηση της φά-

σης όσο και η τιmicroή της αρχικής φάσης (∆ες σελίδα 18)

25

2) Η εύρεση της διαφοράς φάσης ανάmicroεσα σε δύο microεγέθη του ίδιου

φαινοmicroένου είναι ακόmicroη πιο επίπονη διαδικασία

Το θέmicroα αυτό είχε θέσει ο Θοδωρής microε microια ανάρτησή του που βρίσκεται στη διεύθυνση httpylikonetgrgroupthemataforumtopicsphhasearchikhe-

phhasediaphorhacommentId=36477953AComment3A16659ampgroupId=36477953AGroup3A5901

Όπως στην περίπτωση της φάσης και αρχικής φάσης οι αρmicroονικές συναρτήσεις πρέπει να

laquoετοιmicroαστούνraquo έτσι και στην περίπτωση που microας ζητάνε να βρούmicroε διαφορά φάσης ανάmicroε-

σα σε δύο φυσικά microεγέθη που εκφράζονται microε αρmicroονικές συναρτήσεις οι συναρτήσεις αυτές

πρέπει οπωσδήποτε να ετοιmicroαστούν κατάλληλα

3) Το πιο σηmicroαντικό στο οποίο εστιάζουν οι εργασίες microου (άσχετα αν τα καταφέρνω να

το δείξω ή όχι) είναι η microεθοδολογία που πρέπει να ακολουθούmicroε όταν θέλουmicroε να λύσουmicroε

microια διαφωνία microας να προχωρήσουmicroε microια αναζήτησή microας να βρούmicroε διέξοδο σε microια αντίφα-

ση να συνειδητοποιήσουmicroε microια έννοια

Κατά τη γνώmicroη microου πρέπει να ξεκινάmicroε από τους ορισmicroούς και αφού εξασφαλίσουmicroε την

αυστηρότητά τους να προχωρήσουmicroε σε απλές έστω εννοιολογικές κατακτήσεις απαραίτη-

τες όmicroως για την αναπνοή microας ως φυσικών ή ως ενδιαφεροmicroένων για τη φυσική

laquohellipΗ αξία των ορισmicroών εντοπίζεται στη σωστή θέση που πρέπει να κατέχουν κατά τη συνεννόηση microε-

ταξύ των φυσικών και στον κορυφαίο και αναντικατάστατο ρόλο που πρέπει microε κάθε σεβασmicroό να απο-

δεχτούmicroε ότι διαδραmicroατίζουν στη διαmicroόρφωση της δοmicroής της γλώσσας που χρησιmicroοποιεί η Φυσική

∆εν γίνεται να κάνεις Φυσική αν δεν έχεις τα σωστά κατάλληλα λόγια για να περιγράψεις στους άλ-

λους το όmicroορφο

Η Φυσική έχει ορισmicroούς που δεν είναι διαπραγmicroατεύσιmicroοι και microαθηmicroατικές microεθοδολογίες που δεν

πρέπει να αγνοούνται αν θέλουmicroε να έχουmicroε συνέπεια και να εξασφαλίζουmicroε απόλυτη διαφάνεια στους

συλλογισmicroούς microας

∆εν πρέπει να χαλάmicroε τη γλώσσα γιατί αλλιώς χαλάει η σκέψη και η επικοινωνία microεταξύ microας Πρέπει να δεχτούmicroε στην ψυχή microας (όχι στα λόγια) ότι οι ορισmicroοί έχουν αξία και να συνειδητοποιή-

σουmicroε την microοναδική τους ιδιότητα Αυτή που είναι και η αιτία της ύπαρξής τους Να είναι χρήσιmicroοι

Οι ορισmicroοί ή είναι χρήσιmicroοι ή δεν υπάρχουν Τα λόγια της Φυσικής δε φτιάχτηκαν για να περιγράφουν αλλά για να έχουν συγχρόνως τη δυνατότητα και να

προφητεύουνraquo

4) Στο παράδειγmicroα του Νίκου για τις φάσεις και τις αντιφάσεις χρησιmicroοποιήθηκαν σηmicroεία

όπου είχαmicroε ενισχύσεις

Θα παρακαλούσα το Νίκο αλλά και όποιον άλλο συνάδελφο θέλει να κάνει microια άσκηση

ή microια προσοmicroοίωση microε πιο γενικά σηmicroεία στη συmicroβολή κυmicroάτων και να υπολογίσει τις

φάσεις και τις αρχικές φάσεις στην εξίσωση ταλάντωσης των σηmicroείων αυτών δίνοντας έmicro-

φαση πάντα το πεδίο ορισmicroού και στον περιορισmicroό της αρχικής φάσης σε έναν τριγωνοmicroε-

τρικό κύκλο πχ της microορφής [02π)

Πιστεύω ότι έτσι κάποια πράγmicroατα θα γίνουν πολύ πιο ευδιάκριτα πιο απλά και το κυριό-

τερο θα περάσουν πιο εύκολα στους συναδέλφους

5) Τελειώνοντας οφείλω να πω ότι η σηmicroερινή microου ανάρτηση ουσιαστικά οφείλεται

στους προβληmicroατισmicroούς που microας έθεσε ο Νίκος (Ανδρεάδης) πάνω στη συmicroβολή των κυmicroά-

των microε το laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολήraquo

Έχοντας ξεκινήσει να γράφω microια σειρά αναρτήσεων σχετικών microε τις έννοιες φάση και αρ-

χική φάση microου ήρθε ανέλπιστα η δουλειά του Νίκου η οποία microε τα ερωτήmicroατα που έθεσε

τη συζήτηση που ακολούθησε και τις γνώmicroες που διατυπώθηκαν microου έδωσε ισχυρά επιχει-

ρήmicroατα να υποστηρίξω την απόλυτη πίστη microου στην αξία των ορισmicroών όχι ως απλή λεκτική

επανάληψη microιας υποχρεωτικής αποστήθισης αλλά ως συνειδητοποίηση όλης εκείνης της

26

εσωτερικής λειτουργίας απόλυτα συγκεκριmicroένων πραγmicroάτων που κρίνουν τους ορισmicroούς

ως χρήσιmicroους και απαραίτητους και τους γεννούν για να υπάρχουν και να πλουτίζουν τη

γλώσσα microας

Τους βάζουν δίπλα microας και microας καλούν να πιστέψουmicroε στην αξία τους και ποτέ να microην

τους υποτιmicroήσουmicroε όσο απλοί και να είναι

(συνεχίζεται)

Σάββατο 29 Ιανουαρίου 2011

Θρασύβουλος Κων Μαχαίρας

Γενικό Λύκειο Αγριάς Πηλίου

s7-kmghotenetgr

20

5ο παράδειγmicroα

Έστω ότι σε κάποιο πρόβληmicroα συmicroβολής κυmicroάτων y1= και y2= αντικαθι-

στούmicroε τα δεδοmicroένα στην εξίσωση της συmicroβολής (65) και βρίσκουmicroε ότι το σηmicroείο Μ που απέ-

χει r1= και r2= από τις πηγές ταλαντώνεται αρmicroονικά microε εξίσωση

y=minus10-1

middotηmicro(2πt4

9πminus ) (SI) microε t ge 05 sec (68)

Να βρεθεί η φάση και η αρχική φάση της αποmicroάκρυνσης του Μ στην (68)

Λύση

Η (68) γίνεται διαδοχικά

y=minus10-1

middotηmicro(2πt4

9πminus ) = 10

-1middotηmicro(2πt+π

4

9πminus )=10

-1middotηmicro(2πt

4

5πminus )=10

-1middotηmicro[2π(tminus05)

4

πminus ]

και τελικά

y=10-1

middotηmicro[2π(tminus05)4

7π+ ] (68α)

Η (68α) έχει εmicroφανίσει την αρχική τιmicroή χρόνου 05 sec στη microορφή που θέλουmicroε και προ-

σθετέο 4

7π που δεν περιέχει χρόνο t και βρίσκεται στο διάστηmicroα [02π)

Άρα η φάση και η αρχική φάση της (68) είναι ίδιες microε εκείνες της (68α)

∆ηλαδή

Φάση φ=2π(tminus05)4

7π+ =2πt

4

3π+ microε t ge 05 sec

Αρχική φάση rad 4

7π0 =ϕ

Φάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολή

Ο Νίκος (Ανδρεάδης) microε δύο ευφυέστατες αναρτήσεις

laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολήraquo

laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολή-Μέρος δεύτεροraquo

που βρίσκονται στη διεύθυνση

httpylikonetgrprofilesblogsphhaseis-kai-antiphhaseis-ste

microας ώθησε να ακούσουmicroε κάποιους τριγmicroούς από την ψεύτικη πραγmicroατικότητα των

κυmicroάτων που διδάσκουmicroε

21

Γράφει λοιπόν

laquoΝ=6 1r 15= m

1 2r r 6 λminus = sdot

2r 03= m

Για t 3ge s η εξίσωση κίνησης προκύπτει από την επαλληλία των εξισώσεων

11

2πr2πty A ηmicro

T λ

= sdot minus

και 2

2

2πr2πty A ηmicro

T λ

= sdot minus

Μετά από πράξεις

( )1y 01 ηmicro 5πt 15π= sdot minus και ( )2

y 01 ηmicro 5πt 3π= sdot minus

Σύmicroφωνα microε τη σχέση 1 2 1 2r r r r2πt

y 2A συν 2π ηmicro π2λ T λ

minus += sdot sdot minus

microετά από πράξεις προκύπτει

( )y 02 ηmicro 5πt 9π= sdot minus

Η φάση (της αποmicroάκρυνσης στην παραπάνω εξίσωση) δίνεται από τη σχέση φ 5πt 9π= minus

Για t 3= s (προκύπτει η αρχική) φάση (η οποία) είναι 6π rad

παρατηρούmicroε ότι 7 σηmicroεία του microέσου τα οποία ξεκινούν την ίδια στιγmicroή την ίδια κίνηση από τη θέ-

ση ισορροπίας microε θετική ταχύτητα περιγράφονται microε διαφορετικές εξισώσεις και την στιγmicroή της εκκί-

νησης έχουν διαφορετική φάση

Οι απορίες microου

Ποιο είναι το φυσικό νόηmicroα των τιmicroών 0π 2π 4π 6π και 8π

Έχει νόηmicroα να ζητήσουmicroε τη διαφορά φάσης ενός από αυτά τα σηmicroεία microε microια πηγή

Αν όmicroως δούmicroε το θέmicroα ως σύνθεση δύο ταλαντώσεων που βρίσκονται σε συmicroφωνία φάσης καταλή-

γουmicroε αmicroέσως στο συmicroπέρασmicroα ότι και στις 7 περιπτώσεις η κίνηση για t 3ge s περιγράφεται από την

εξίσωση ( )y 02 ηmicro 5πt 15π= sdot minus (SI)

Η φάση δίνεται από τη σχέση φ 5πt 15π= minus (SI)

Για t 3= s η (αρχική) φάση είναι 0π rad ∆ηλ τη στιγmicroή της εκκίνησης έχουmicroε microηδενισmicroό της φάσης

για τα 7 σηmicroεία κάτι λογικό αφού τότε και τα 7 ξεκινούν microια νέα κίνηση από τη θέση ισορροπίας microε

θετική ταχύτηταraquo

Στους προβληmicroατισmicroούς που έθεσε ο Νίκος θα επιχειρήσω microια το-

ποθέτηση

Κατά τη γνώmicroη microου το microόνο που microπορεί να microας γλιτώσει από το παραπάνω παράδοξο είναι

η microαθηmicroατική αυστηρότητα microε την οποία φροντίσαmicroε να εφοδιάσουmicroε (και έτσι πρέπει

να γίνεται πάντα αν και πολλές φορές τούτο το απλό το ξεχνάmicroε) τους ορισmicroούς φάση και

αρχική φάση

Η αντίρρησή microου επικεντρώνεται στη φράση

laquoη φάση στην εξίσωση ( )y 02 ηmicro 5πt 9π= sdot minus δίνεται από τη σχέση φ 5πt 9π= minus raquo

η οποία εξάλλου είναι και η υπεύθυνη για τις αντιφάσεις που έχει εντοπίσει ο Νίκος

Προκειmicroένου να βρεθούν η φάση και η αρχική φάση στην εξίσωση microιας αρmicroονικής

ταλάντωσης πρέπει να ακολουθηθούν ορισmicroένες διαδικασίες

22

Αυτό δεν είναι ούτε σωσίβιο ούτε σοφιστεία ούτε κάποια κίνηση απελπισίας Είναι η ου-

σία του ορισmicroού που υιοθετήσαmicroε για τις δύο αυτές έννοιες

Η αυστηρότητα των ορισmicroών που δώσαmicroε ως φυσικοί εξασφαλίζει ότι τα microαθηmicroατικά όχι

microόνο θα microπορέσουν να εγγυηθούν τη συνέπεια των συλλογισmicroών και αποτελεσmicroάτων microας

αλλά θα ενσωmicroατώσουν microέσα τους τελείως διαφανείς πορείες απαραίτητες για την αυτοδυ-

ναmicroία και ισχύ του φυσικού έστω κι αν ένας microαθηmicroατικός αδιαφορήσει τελείως γι΄ αυτές

Αυτό δεν είναι παραλογισmicroός αλλά συνειδητοποίηση του διαφορετικού ρόλου

και της διαφορετικής ευθύνης των δύο ειδικοτήτων˙ του φυσικού και του microαθη-

microατικού

Κοντολογίς

Προκειmicroένου να διατηρήσουmicroε το δικαίωmicroα να χρησιmicroοποιούmicroε στο λεξιλόγιό microας τις λέξεις

φάση και αρχική φάση επιβάλλεται από τα microαθηmicroατικά να είmicroαστε συνεπείς microε τους ορι-

σmicroούς που τους δώσαmicroε και να τις χειριζόmicroαστε microε ειδικό τρόπο σε καθορισmicroένες πορείες

Αν δε το κάνουmicroε αυτό τα microαθηmicroατικά θα microας γυρίσουν την πλάτη

κι εmicroείς θα βουλιάξουmicroε στις παρανοήσεις στα αδιέξοδα και τις λο-

γικές ασυνέπειες

Σύmicroφωνα λοιπόν microε όσα έχουν αναφερθεί για να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση στην εξίσωση κίνησης

y=02middotηmicro(5πtminus9π) microε tge3 sec (69)

πρέπει να εmicroφανίσουmicroε microέσα της την αρχική τιmicroή του χρόνου 3 sec και να αφαιρέσουmicroε τα

ακέραια πολλαπλάσια του 2π microε τέτοιο τρόπο ώστε η αρχική φάση να είναι microέσα στη microορ-

φή του τριγωνοmicroετρικού κύκλου που υιοθετήσαmicroε

Πράγmicroατι η (69) γίνεται

y=02middotηmicro(5πtminus9π)=02middotηmicro[5π(t-3)+6π]

και τελικά

y=02middotηmicro[5π(t-3)+0] microε tge3 sec (69α)

Η (69α) και κατά συνέπεια και η (69) έχουν

Φάση φ=5π(t-3)+0=5πt-15π microε tge3 sec

Αρχική φάση φ0=0 rad

Νοmicroίζω ότι τώρα πια δεν υπάρχει καmicroιά αντίφαση microιας και όλες οι συλλογιστικές και όλες

οι microαθηmicroατικές πορείες θα δώσουν ακριβώς τα ίδια αποτελέσmicroατα

α) Και τα επτά σηmicroεία Ν=0 έχουν την ίδια φάση φ=5πt-15π microε tge3 sec και την ί-

δια αρχική φάση φ0=0 rad

23

β) Υπάρχει απόλυτη συλλογιστική συνέπεια σε όλα αφού όπως έχει ήδη επισηmicroάνει ο Νί-

κος laquoκαι τα 7 σηmicroεία πρέπει να έχουν την ίδια φάση και αρχική φάση αφού ξεκινούν microια

νέα κίνηση από τη θέση ισορροπίας microε θετική ταχύτηταraquo

γ) Είτε χρησιmicroοποιηθούν οι τύποι σύνθεσης ταλαντώσεων είτε χρησιmicroοποιηθεί ο τύ-

πος της συmicroβολής κυmicroάτων είτε οποιαδήποτε άλλη microαθηmicroατική διαδροmicroή τα αποτελέ-

σmicroατα φάσης και αρχικής φάσης θα είναι απολύτως ίδια

δ) laquoΚάθε κίνηση έχει φάση που microας πληροφορεί για πόσο χρόνο παρακολουθούmicroε τη συ-

γκεκριmicroένη κίνησηraquo

ε) Απορία

laquoΠοιο είναι το φυσικό νόηmicroα των τιmicroών 0π 2π 4π 6π και 8πraquo

Απάντηση

laquoοι τιmicroές 0π 2π 4π 6π και 8π που προκύπτουν microε (απλή-ανώδυνη) εφαρmicroογή της γνω-

στής σχέσης ηmicroΑ+ηmicroΒ=hellip δεν έχουν κανένα γνωστό ωφέλιmicroο φυσικό νόηmicroαraquo

Η εφαρmicroογή της σχέσης ηmicroΑ+ηmicroΒ= δεν οδηγεί πάντα απευθείας σε σχέση στην οποία να

είναι άmicroεσα διαφανείς η φάση και η αρχική φάση microιας εξίσωσης αρmicroονικής κίνησης

Ο τελικός τύπος χρειάζεται οπωσδήποτε επεξεργασία

στ) Απορία

laquoΈχει νόηmicroα να ζητήσουmicroε τη διαφορά φάσης ενός από αυτά τα σηmicroεία microε microια πηγήraquo

Απάντηση

Όχι Δεν πρέπει να ζητήσουmicroε τέτοιο πράγmicroα αν δε είmicroαστε έτοιmicroοι να αυτοκτονήσουmicroε ή να

microπούmicroε σε ατέλειωτες microαθηmicroατικές αναζητήσεις για να γλιτώσουmicroε microόνο και microόνο τη συνέ-

πεια της εννοιολογικά λανθασmicroένης laquoπραγmicroατικότηταςraquo των κυmicroάτων που διδάσκουmicroε

Η παρουσία πηγών επιβάλλει άλλου είδους κύmicroατα εmicroπλουτισmicroένα και microε άλλες έννοιες και

microε microαθηmicroατικούς χειρισmicroούς αρκετά δύσκολους microιας και στις διαφορικές εξισώσεις πρέπει

να παρθούν υπόψη συνοριακοί περιορισmicroοί

Στην πρώτη σελίδα της ανάρτησής microου laquoΟρισmicroοί και εξισώσεις κίνησης γ΄ microέροςraquo έγραφα κάτι που όσο περνάει ο καιρός το πιστεύω όλο και πιο πολύ

laquoδιδάσκουmicroε ˝κύmicroατα˝ που δήθεν διαδίδονται microε ταχύτητα υ έχουν αρχικές φάσεις έχουν

πηγές που τα παράγουν και πολλές φορές δύο πηγές για να έχουmicroε συmicroβολή

Μα αυτά που διδάσκουmicroε ούτε κύmicroατα είναι ούτε διαδίδονται ούτε πηγές περιέχουν

ούτε είναι κάπου και τρέχουν να πάνε κάπου αλλού ούτε ξεκινάνε από κάπου ούτε ούτε

ούτε

Στα κεφάλαια ˝Κύmicroατα˝ και ˝Μηχανική Στερεού Σώmicroατος˝ της Φυσικής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου ειλικρινά microε πιάνει απελπισία Τα πράmicroατα εκεί σκοτεινιάζουν τόσο πο-λύ Τί να πεις και από πού να αρχίσεις raquo

24

Στο σηmicroείο αυτό όmicroως νιώθω υποχρεωmicroένος να τονίσω ότι η αρνητικότατη στάση

microου απέναντι σε αυτό που microας βάζουν να διδάσκουmicroε ως κύmicroατα δεν πρέπει στο

ελάχιστο να θεωρηθεί ως απόρριψη της προσπάθειας συναδέλφων να microας δώσουν

ένα πλήθος ασκήσεων θέσεων αναλύσεων διαγωνισmicroάτων κλπ που έχουν σχέση

microε κύmicroατα και microε συmicroβολή κυmicroάτων που περιέχουν πηγές

Στο σχολείο πρέπει να κάνουmicroε αυτό που επιτάσσουν οι πανελλαδικές Άρα πέρα

από όλες τις διαφωνίες microεταξύ microας θα πρέπει προσωπικά να βρω ασκήσεις και θέ-

microατα να δώσω στα παιδιά για να καλύψω την ανήθικη έλλειψη ασκήσεων από το

σχολικό βιβλίο

Επίσης θα πρέπει να βρω τρόπο να microην καταρρεύσει η συλλογιστική των παιδιών

έστω και σαθρή πριν τις εξετάσεις

Αυτό microε τη σειρά του σηmicroαίνει ότι πρέπει να έχω επιχειρήmicroατα και υλικό κοmicromicroένο

στις συγκεκριmicroένες ανάγκες τους

Σε αυτό το σηmicroείο η βοήθεια που microου πρόσφεραν και microου προσφέρουν οι συνάδελ-

φοι του δικτύου και κάποια αξιόλογα εξωσχολικά βιβλία είναι όχι απλά πολύτιmicroη

αλλά ανεπανάληπτη

Με πολύ ανακούφιση δέχοmicroαι και παίρνω πολύτιmicroα διαγωνίσmicroατα ασκήσεις και υ-

λικό που προσφέρουν απλόχερα διάφοροι συνάδελφοι και που αναφέρονται σε κύmicroα-

τα που προέρχονται από πηγές και που συmicroβάλλουν

Επί τη ευκαιρία τους ευχαριστώ που microου δίνουν τον κόπο τους Κάποιες φορές microά-

λιστα αποτελεί πηγή αναθεωρήσεων και καινούριων αναζητήσεων microου

Ε Παρατηρήσεις

1) Η εξίσωση της αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία θα microας δώσουν ή στην οποία θα κα-

ταλήξουmicroε microετά από κάποια microαθηmicroατική επεξεργασία δεν είναι υποχρεωmicroένη να δηλώνει

καθαρά τη φάση και την αρχική φάση Εκείνο που πρέπει οπωσδήποτε να επισηmicroάνουmicroε εί-

ναι ότι φάση δεν είναι η ποσότητα που βρίσκεται microέσα στον τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό

Η εύρεση της φάσης και της αρχικής φάσης θέλουν διαδικασία η οποία θα απαιτήσει το

πεδίο ορισmicroού της εξίσωσης που microας δίνουν για την ταλάντωση ή για το κύmicroα

Ας του δώσουmicroε έmicroφαση microε microια άσκηση χωρίς κανένα απολύτως νόηmicroα

Στην παρακάτω εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης να βρεθεί η φάση και η αρχική

φάση της αποmicroάκρυνσης

y=10-1middotηmicro(2πt 4

11πminus )

Ο λόγος που αυτή η άσκηση είναι α-νόητη είναι γιατί δεν έχει δοθεί το πεδίο ορισmicroού Αλ-

λάζοντας το πεδίο ορισmicroού όπως ήδη έχουmicroε δείξει θα αλλάξει τόσο η συνάρτηση της φά-

σης όσο και η τιmicroή της αρχικής φάσης (∆ες σελίδα 18)

25

2) Η εύρεση της διαφοράς φάσης ανάmicroεσα σε δύο microεγέθη του ίδιου

φαινοmicroένου είναι ακόmicroη πιο επίπονη διαδικασία

Το θέmicroα αυτό είχε θέσει ο Θοδωρής microε microια ανάρτησή του που βρίσκεται στη διεύθυνση httpylikonetgrgroupthemataforumtopicsphhasearchikhe-

phhasediaphorhacommentId=36477953AComment3A16659ampgroupId=36477953AGroup3A5901

Όπως στην περίπτωση της φάσης και αρχικής φάσης οι αρmicroονικές συναρτήσεις πρέπει να

laquoετοιmicroαστούνraquo έτσι και στην περίπτωση που microας ζητάνε να βρούmicroε διαφορά φάσης ανάmicroε-

σα σε δύο φυσικά microεγέθη που εκφράζονται microε αρmicroονικές συναρτήσεις οι συναρτήσεις αυτές

πρέπει οπωσδήποτε να ετοιmicroαστούν κατάλληλα

3) Το πιο σηmicroαντικό στο οποίο εστιάζουν οι εργασίες microου (άσχετα αν τα καταφέρνω να

το δείξω ή όχι) είναι η microεθοδολογία που πρέπει να ακολουθούmicroε όταν θέλουmicroε να λύσουmicroε

microια διαφωνία microας να προχωρήσουmicroε microια αναζήτησή microας να βρούmicroε διέξοδο σε microια αντίφα-

ση να συνειδητοποιήσουmicroε microια έννοια

Κατά τη γνώmicroη microου πρέπει να ξεκινάmicroε από τους ορισmicroούς και αφού εξασφαλίσουmicroε την

αυστηρότητά τους να προχωρήσουmicroε σε απλές έστω εννοιολογικές κατακτήσεις απαραίτη-

τες όmicroως για την αναπνοή microας ως φυσικών ή ως ενδιαφεροmicroένων για τη φυσική

laquohellipΗ αξία των ορισmicroών εντοπίζεται στη σωστή θέση που πρέπει να κατέχουν κατά τη συνεννόηση microε-

ταξύ των φυσικών και στον κορυφαίο και αναντικατάστατο ρόλο που πρέπει microε κάθε σεβασmicroό να απο-

δεχτούmicroε ότι διαδραmicroατίζουν στη διαmicroόρφωση της δοmicroής της γλώσσας που χρησιmicroοποιεί η Φυσική

∆εν γίνεται να κάνεις Φυσική αν δεν έχεις τα σωστά κατάλληλα λόγια για να περιγράψεις στους άλ-

λους το όmicroορφο

Η Φυσική έχει ορισmicroούς που δεν είναι διαπραγmicroατεύσιmicroοι και microαθηmicroατικές microεθοδολογίες που δεν

πρέπει να αγνοούνται αν θέλουmicroε να έχουmicroε συνέπεια και να εξασφαλίζουmicroε απόλυτη διαφάνεια στους

συλλογισmicroούς microας

∆εν πρέπει να χαλάmicroε τη γλώσσα γιατί αλλιώς χαλάει η σκέψη και η επικοινωνία microεταξύ microας Πρέπει να δεχτούmicroε στην ψυχή microας (όχι στα λόγια) ότι οι ορισmicroοί έχουν αξία και να συνειδητοποιή-

σουmicroε την microοναδική τους ιδιότητα Αυτή που είναι και η αιτία της ύπαρξής τους Να είναι χρήσιmicroοι

Οι ορισmicroοί ή είναι χρήσιmicroοι ή δεν υπάρχουν Τα λόγια της Φυσικής δε φτιάχτηκαν για να περιγράφουν αλλά για να έχουν συγχρόνως τη δυνατότητα και να

προφητεύουνraquo

4) Στο παράδειγmicroα του Νίκου για τις φάσεις και τις αντιφάσεις χρησιmicroοποιήθηκαν σηmicroεία

όπου είχαmicroε ενισχύσεις

Θα παρακαλούσα το Νίκο αλλά και όποιον άλλο συνάδελφο θέλει να κάνει microια άσκηση

ή microια προσοmicroοίωση microε πιο γενικά σηmicroεία στη συmicroβολή κυmicroάτων και να υπολογίσει τις

φάσεις και τις αρχικές φάσεις στην εξίσωση ταλάντωσης των σηmicroείων αυτών δίνοντας έmicro-

φαση πάντα το πεδίο ορισmicroού και στον περιορισmicroό της αρχικής φάσης σε έναν τριγωνοmicroε-

τρικό κύκλο πχ της microορφής [02π)

Πιστεύω ότι έτσι κάποια πράγmicroατα θα γίνουν πολύ πιο ευδιάκριτα πιο απλά και το κυριό-

τερο θα περάσουν πιο εύκολα στους συναδέλφους

5) Τελειώνοντας οφείλω να πω ότι η σηmicroερινή microου ανάρτηση ουσιαστικά οφείλεται

στους προβληmicroατισmicroούς που microας έθεσε ο Νίκος (Ανδρεάδης) πάνω στη συmicroβολή των κυmicroά-

των microε το laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολήraquo

Έχοντας ξεκινήσει να γράφω microια σειρά αναρτήσεων σχετικών microε τις έννοιες φάση και αρ-

χική φάση microου ήρθε ανέλπιστα η δουλειά του Νίκου η οποία microε τα ερωτήmicroατα που έθεσε

τη συζήτηση που ακολούθησε και τις γνώmicroες που διατυπώθηκαν microου έδωσε ισχυρά επιχει-

ρήmicroατα να υποστηρίξω την απόλυτη πίστη microου στην αξία των ορισmicroών όχι ως απλή λεκτική

επανάληψη microιας υποχρεωτικής αποστήθισης αλλά ως συνειδητοποίηση όλης εκείνης της

26

εσωτερικής λειτουργίας απόλυτα συγκεκριmicroένων πραγmicroάτων που κρίνουν τους ορισmicroούς

ως χρήσιmicroους και απαραίτητους και τους γεννούν για να υπάρχουν και να πλουτίζουν τη

γλώσσα microας

Τους βάζουν δίπλα microας και microας καλούν να πιστέψουmicroε στην αξία τους και ποτέ να microην

τους υποτιmicroήσουmicroε όσο απλοί και να είναι

(συνεχίζεται)

Σάββατο 29 Ιανουαρίου 2011

Θρασύβουλος Κων Μαχαίρας

Γενικό Λύκειο Αγριάς Πηλίου

s7-kmghotenetgr

21

Γράφει λοιπόν

laquoΝ=6 1r 15= m

1 2r r 6 λminus = sdot

2r 03= m

Για t 3ge s η εξίσωση κίνησης προκύπτει από την επαλληλία των εξισώσεων

11

2πr2πty A ηmicro

T λ

= sdot minus

και 2

2

2πr2πty A ηmicro

T λ

= sdot minus

Μετά από πράξεις

( )1y 01 ηmicro 5πt 15π= sdot minus και ( )2

y 01 ηmicro 5πt 3π= sdot minus

Σύmicroφωνα microε τη σχέση 1 2 1 2r r r r2πt

y 2A συν 2π ηmicro π2λ T λ

minus += sdot sdot minus

microετά από πράξεις προκύπτει

( )y 02 ηmicro 5πt 9π= sdot minus

Η φάση (της αποmicroάκρυνσης στην παραπάνω εξίσωση) δίνεται από τη σχέση φ 5πt 9π= minus

Για t 3= s (προκύπτει η αρχική) φάση (η οποία) είναι 6π rad

παρατηρούmicroε ότι 7 σηmicroεία του microέσου τα οποία ξεκινούν την ίδια στιγmicroή την ίδια κίνηση από τη θέ-

ση ισορροπίας microε θετική ταχύτητα περιγράφονται microε διαφορετικές εξισώσεις και την στιγmicroή της εκκί-

νησης έχουν διαφορετική φάση

Οι απορίες microου

Ποιο είναι το φυσικό νόηmicroα των τιmicroών 0π 2π 4π 6π και 8π

Έχει νόηmicroα να ζητήσουmicroε τη διαφορά φάσης ενός από αυτά τα σηmicroεία microε microια πηγή

Αν όmicroως δούmicroε το θέmicroα ως σύνθεση δύο ταλαντώσεων που βρίσκονται σε συmicroφωνία φάσης καταλή-

γουmicroε αmicroέσως στο συmicroπέρασmicroα ότι και στις 7 περιπτώσεις η κίνηση για t 3ge s περιγράφεται από την

εξίσωση ( )y 02 ηmicro 5πt 15π= sdot minus (SI)

Η φάση δίνεται από τη σχέση φ 5πt 15π= minus (SI)

Για t 3= s η (αρχική) φάση είναι 0π rad ∆ηλ τη στιγmicroή της εκκίνησης έχουmicroε microηδενισmicroό της φάσης

για τα 7 σηmicroεία κάτι λογικό αφού τότε και τα 7 ξεκινούν microια νέα κίνηση από τη θέση ισορροπίας microε

θετική ταχύτηταraquo

Στους προβληmicroατισmicroούς που έθεσε ο Νίκος θα επιχειρήσω microια το-

ποθέτηση

Κατά τη γνώmicroη microου το microόνο που microπορεί να microας γλιτώσει από το παραπάνω παράδοξο είναι

η microαθηmicroατική αυστηρότητα microε την οποία φροντίσαmicroε να εφοδιάσουmicroε (και έτσι πρέπει

να γίνεται πάντα αν και πολλές φορές τούτο το απλό το ξεχνάmicroε) τους ορισmicroούς φάση και

αρχική φάση

Η αντίρρησή microου επικεντρώνεται στη φράση

laquoη φάση στην εξίσωση ( )y 02 ηmicro 5πt 9π= sdot minus δίνεται από τη σχέση φ 5πt 9π= minus raquo

η οποία εξάλλου είναι και η υπεύθυνη για τις αντιφάσεις που έχει εντοπίσει ο Νίκος

Προκειmicroένου να βρεθούν η φάση και η αρχική φάση στην εξίσωση microιας αρmicroονικής

ταλάντωσης πρέπει να ακολουθηθούν ορισmicroένες διαδικασίες

22

Αυτό δεν είναι ούτε σωσίβιο ούτε σοφιστεία ούτε κάποια κίνηση απελπισίας Είναι η ου-

σία του ορισmicroού που υιοθετήσαmicroε για τις δύο αυτές έννοιες

Η αυστηρότητα των ορισmicroών που δώσαmicroε ως φυσικοί εξασφαλίζει ότι τα microαθηmicroατικά όχι

microόνο θα microπορέσουν να εγγυηθούν τη συνέπεια των συλλογισmicroών και αποτελεσmicroάτων microας

αλλά θα ενσωmicroατώσουν microέσα τους τελείως διαφανείς πορείες απαραίτητες για την αυτοδυ-

ναmicroία και ισχύ του φυσικού έστω κι αν ένας microαθηmicroατικός αδιαφορήσει τελείως γι΄ αυτές

Αυτό δεν είναι παραλογισmicroός αλλά συνειδητοποίηση του διαφορετικού ρόλου

και της διαφορετικής ευθύνης των δύο ειδικοτήτων˙ του φυσικού και του microαθη-

microατικού

Κοντολογίς

Προκειmicroένου να διατηρήσουmicroε το δικαίωmicroα να χρησιmicroοποιούmicroε στο λεξιλόγιό microας τις λέξεις

φάση και αρχική φάση επιβάλλεται από τα microαθηmicroατικά να είmicroαστε συνεπείς microε τους ορι-

σmicroούς που τους δώσαmicroε και να τις χειριζόmicroαστε microε ειδικό τρόπο σε καθορισmicroένες πορείες

Αν δε το κάνουmicroε αυτό τα microαθηmicroατικά θα microας γυρίσουν την πλάτη

κι εmicroείς θα βουλιάξουmicroε στις παρανοήσεις στα αδιέξοδα και τις λο-

γικές ασυνέπειες

Σύmicroφωνα λοιπόν microε όσα έχουν αναφερθεί για να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση στην εξίσωση κίνησης

y=02middotηmicro(5πtminus9π) microε tge3 sec (69)

πρέπει να εmicroφανίσουmicroε microέσα της την αρχική τιmicroή του χρόνου 3 sec και να αφαιρέσουmicroε τα

ακέραια πολλαπλάσια του 2π microε τέτοιο τρόπο ώστε η αρχική φάση να είναι microέσα στη microορ-

φή του τριγωνοmicroετρικού κύκλου που υιοθετήσαmicroε

Πράγmicroατι η (69) γίνεται

y=02middotηmicro(5πtminus9π)=02middotηmicro[5π(t-3)+6π]

και τελικά

y=02middotηmicro[5π(t-3)+0] microε tge3 sec (69α)

Η (69α) και κατά συνέπεια και η (69) έχουν

Φάση φ=5π(t-3)+0=5πt-15π microε tge3 sec

Αρχική φάση φ0=0 rad

Νοmicroίζω ότι τώρα πια δεν υπάρχει καmicroιά αντίφαση microιας και όλες οι συλλογιστικές και όλες

οι microαθηmicroατικές πορείες θα δώσουν ακριβώς τα ίδια αποτελέσmicroατα

α) Και τα επτά σηmicroεία Ν=0 έχουν την ίδια φάση φ=5πt-15π microε tge3 sec και την ί-

δια αρχική φάση φ0=0 rad

23

β) Υπάρχει απόλυτη συλλογιστική συνέπεια σε όλα αφού όπως έχει ήδη επισηmicroάνει ο Νί-

κος laquoκαι τα 7 σηmicroεία πρέπει να έχουν την ίδια φάση και αρχική φάση αφού ξεκινούν microια

νέα κίνηση από τη θέση ισορροπίας microε θετική ταχύτηταraquo

γ) Είτε χρησιmicroοποιηθούν οι τύποι σύνθεσης ταλαντώσεων είτε χρησιmicroοποιηθεί ο τύ-

πος της συmicroβολής κυmicroάτων είτε οποιαδήποτε άλλη microαθηmicroατική διαδροmicroή τα αποτελέ-

σmicroατα φάσης και αρχικής φάσης θα είναι απολύτως ίδια

δ) laquoΚάθε κίνηση έχει φάση που microας πληροφορεί για πόσο χρόνο παρακολουθούmicroε τη συ-

γκεκριmicroένη κίνησηraquo

ε) Απορία

laquoΠοιο είναι το φυσικό νόηmicroα των τιmicroών 0π 2π 4π 6π και 8πraquo

Απάντηση

laquoοι τιmicroές 0π 2π 4π 6π και 8π που προκύπτουν microε (απλή-ανώδυνη) εφαρmicroογή της γνω-

στής σχέσης ηmicroΑ+ηmicroΒ=hellip δεν έχουν κανένα γνωστό ωφέλιmicroο φυσικό νόηmicroαraquo

Η εφαρmicroογή της σχέσης ηmicroΑ+ηmicroΒ= δεν οδηγεί πάντα απευθείας σε σχέση στην οποία να

είναι άmicroεσα διαφανείς η φάση και η αρχική φάση microιας εξίσωσης αρmicroονικής κίνησης

Ο τελικός τύπος χρειάζεται οπωσδήποτε επεξεργασία

στ) Απορία

laquoΈχει νόηmicroα να ζητήσουmicroε τη διαφορά φάσης ενός από αυτά τα σηmicroεία microε microια πηγήraquo

Απάντηση

Όχι Δεν πρέπει να ζητήσουmicroε τέτοιο πράγmicroα αν δε είmicroαστε έτοιmicroοι να αυτοκτονήσουmicroε ή να

microπούmicroε σε ατέλειωτες microαθηmicroατικές αναζητήσεις για να γλιτώσουmicroε microόνο και microόνο τη συνέ-

πεια της εννοιολογικά λανθασmicroένης laquoπραγmicroατικότηταςraquo των κυmicroάτων που διδάσκουmicroε

Η παρουσία πηγών επιβάλλει άλλου είδους κύmicroατα εmicroπλουτισmicroένα και microε άλλες έννοιες και

microε microαθηmicroατικούς χειρισmicroούς αρκετά δύσκολους microιας και στις διαφορικές εξισώσεις πρέπει

να παρθούν υπόψη συνοριακοί περιορισmicroοί

Στην πρώτη σελίδα της ανάρτησής microου laquoΟρισmicroοί και εξισώσεις κίνησης γ΄ microέροςraquo έγραφα κάτι που όσο περνάει ο καιρός το πιστεύω όλο και πιο πολύ

laquoδιδάσκουmicroε ˝κύmicroατα˝ που δήθεν διαδίδονται microε ταχύτητα υ έχουν αρχικές φάσεις έχουν

πηγές που τα παράγουν και πολλές φορές δύο πηγές για να έχουmicroε συmicroβολή

Μα αυτά που διδάσκουmicroε ούτε κύmicroατα είναι ούτε διαδίδονται ούτε πηγές περιέχουν

ούτε είναι κάπου και τρέχουν να πάνε κάπου αλλού ούτε ξεκινάνε από κάπου ούτε ούτε

ούτε

Στα κεφάλαια ˝Κύmicroατα˝ και ˝Μηχανική Στερεού Σώmicroατος˝ της Φυσικής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου ειλικρινά microε πιάνει απελπισία Τα πράmicroατα εκεί σκοτεινιάζουν τόσο πο-λύ Τί να πεις και από πού να αρχίσεις raquo

24

Στο σηmicroείο αυτό όmicroως νιώθω υποχρεωmicroένος να τονίσω ότι η αρνητικότατη στάση

microου απέναντι σε αυτό που microας βάζουν να διδάσκουmicroε ως κύmicroατα δεν πρέπει στο

ελάχιστο να θεωρηθεί ως απόρριψη της προσπάθειας συναδέλφων να microας δώσουν

ένα πλήθος ασκήσεων θέσεων αναλύσεων διαγωνισmicroάτων κλπ που έχουν σχέση

microε κύmicroατα και microε συmicroβολή κυmicroάτων που περιέχουν πηγές

Στο σχολείο πρέπει να κάνουmicroε αυτό που επιτάσσουν οι πανελλαδικές Άρα πέρα

από όλες τις διαφωνίες microεταξύ microας θα πρέπει προσωπικά να βρω ασκήσεις και θέ-

microατα να δώσω στα παιδιά για να καλύψω την ανήθικη έλλειψη ασκήσεων από το

σχολικό βιβλίο

Επίσης θα πρέπει να βρω τρόπο να microην καταρρεύσει η συλλογιστική των παιδιών

έστω και σαθρή πριν τις εξετάσεις

Αυτό microε τη σειρά του σηmicroαίνει ότι πρέπει να έχω επιχειρήmicroατα και υλικό κοmicromicroένο

στις συγκεκριmicroένες ανάγκες τους

Σε αυτό το σηmicroείο η βοήθεια που microου πρόσφεραν και microου προσφέρουν οι συνάδελ-

φοι του δικτύου και κάποια αξιόλογα εξωσχολικά βιβλία είναι όχι απλά πολύτιmicroη

αλλά ανεπανάληπτη

Με πολύ ανακούφιση δέχοmicroαι και παίρνω πολύτιmicroα διαγωνίσmicroατα ασκήσεις και υ-

λικό που προσφέρουν απλόχερα διάφοροι συνάδελφοι και που αναφέρονται σε κύmicroα-

τα που προέρχονται από πηγές και που συmicroβάλλουν

Επί τη ευκαιρία τους ευχαριστώ που microου δίνουν τον κόπο τους Κάποιες φορές microά-

λιστα αποτελεί πηγή αναθεωρήσεων και καινούριων αναζητήσεων microου

Ε Παρατηρήσεις

1) Η εξίσωση της αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία θα microας δώσουν ή στην οποία θα κα-

ταλήξουmicroε microετά από κάποια microαθηmicroατική επεξεργασία δεν είναι υποχρεωmicroένη να δηλώνει

καθαρά τη φάση και την αρχική φάση Εκείνο που πρέπει οπωσδήποτε να επισηmicroάνουmicroε εί-

ναι ότι φάση δεν είναι η ποσότητα που βρίσκεται microέσα στον τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό

Η εύρεση της φάσης και της αρχικής φάσης θέλουν διαδικασία η οποία θα απαιτήσει το

πεδίο ορισmicroού της εξίσωσης που microας δίνουν για την ταλάντωση ή για το κύmicroα

Ας του δώσουmicroε έmicroφαση microε microια άσκηση χωρίς κανένα απολύτως νόηmicroα

Στην παρακάτω εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης να βρεθεί η φάση και η αρχική

φάση της αποmicroάκρυνσης

y=10-1middotηmicro(2πt 4

11πminus )

Ο λόγος που αυτή η άσκηση είναι α-νόητη είναι γιατί δεν έχει δοθεί το πεδίο ορισmicroού Αλ-

λάζοντας το πεδίο ορισmicroού όπως ήδη έχουmicroε δείξει θα αλλάξει τόσο η συνάρτηση της φά-

σης όσο και η τιmicroή της αρχικής φάσης (∆ες σελίδα 18)

25

2) Η εύρεση της διαφοράς φάσης ανάmicroεσα σε δύο microεγέθη του ίδιου

φαινοmicroένου είναι ακόmicroη πιο επίπονη διαδικασία

Το θέmicroα αυτό είχε θέσει ο Θοδωρής microε microια ανάρτησή του που βρίσκεται στη διεύθυνση httpylikonetgrgroupthemataforumtopicsphhasearchikhe-

phhasediaphorhacommentId=36477953AComment3A16659ampgroupId=36477953AGroup3A5901

Όπως στην περίπτωση της φάσης και αρχικής φάσης οι αρmicroονικές συναρτήσεις πρέπει να

laquoετοιmicroαστούνraquo έτσι και στην περίπτωση που microας ζητάνε να βρούmicroε διαφορά φάσης ανάmicroε-

σα σε δύο φυσικά microεγέθη που εκφράζονται microε αρmicroονικές συναρτήσεις οι συναρτήσεις αυτές

πρέπει οπωσδήποτε να ετοιmicroαστούν κατάλληλα

3) Το πιο σηmicroαντικό στο οποίο εστιάζουν οι εργασίες microου (άσχετα αν τα καταφέρνω να

το δείξω ή όχι) είναι η microεθοδολογία που πρέπει να ακολουθούmicroε όταν θέλουmicroε να λύσουmicroε

microια διαφωνία microας να προχωρήσουmicroε microια αναζήτησή microας να βρούmicroε διέξοδο σε microια αντίφα-

ση να συνειδητοποιήσουmicroε microια έννοια

Κατά τη γνώmicroη microου πρέπει να ξεκινάmicroε από τους ορισmicroούς και αφού εξασφαλίσουmicroε την

αυστηρότητά τους να προχωρήσουmicroε σε απλές έστω εννοιολογικές κατακτήσεις απαραίτη-

τες όmicroως για την αναπνοή microας ως φυσικών ή ως ενδιαφεροmicroένων για τη φυσική

laquohellipΗ αξία των ορισmicroών εντοπίζεται στη σωστή θέση που πρέπει να κατέχουν κατά τη συνεννόηση microε-

ταξύ των φυσικών και στον κορυφαίο και αναντικατάστατο ρόλο που πρέπει microε κάθε σεβασmicroό να απο-

δεχτούmicroε ότι διαδραmicroατίζουν στη διαmicroόρφωση της δοmicroής της γλώσσας που χρησιmicroοποιεί η Φυσική

∆εν γίνεται να κάνεις Φυσική αν δεν έχεις τα σωστά κατάλληλα λόγια για να περιγράψεις στους άλ-

λους το όmicroορφο

Η Φυσική έχει ορισmicroούς που δεν είναι διαπραγmicroατεύσιmicroοι και microαθηmicroατικές microεθοδολογίες που δεν

πρέπει να αγνοούνται αν θέλουmicroε να έχουmicroε συνέπεια και να εξασφαλίζουmicroε απόλυτη διαφάνεια στους

συλλογισmicroούς microας

∆εν πρέπει να χαλάmicroε τη γλώσσα γιατί αλλιώς χαλάει η σκέψη και η επικοινωνία microεταξύ microας Πρέπει να δεχτούmicroε στην ψυχή microας (όχι στα λόγια) ότι οι ορισmicroοί έχουν αξία και να συνειδητοποιή-

σουmicroε την microοναδική τους ιδιότητα Αυτή που είναι και η αιτία της ύπαρξής τους Να είναι χρήσιmicroοι

Οι ορισmicroοί ή είναι χρήσιmicroοι ή δεν υπάρχουν Τα λόγια της Φυσικής δε φτιάχτηκαν για να περιγράφουν αλλά για να έχουν συγχρόνως τη δυνατότητα και να

προφητεύουνraquo

4) Στο παράδειγmicroα του Νίκου για τις φάσεις και τις αντιφάσεις χρησιmicroοποιήθηκαν σηmicroεία

όπου είχαmicroε ενισχύσεις

Θα παρακαλούσα το Νίκο αλλά και όποιον άλλο συνάδελφο θέλει να κάνει microια άσκηση

ή microια προσοmicroοίωση microε πιο γενικά σηmicroεία στη συmicroβολή κυmicroάτων και να υπολογίσει τις

φάσεις και τις αρχικές φάσεις στην εξίσωση ταλάντωσης των σηmicroείων αυτών δίνοντας έmicro-

φαση πάντα το πεδίο ορισmicroού και στον περιορισmicroό της αρχικής φάσης σε έναν τριγωνοmicroε-

τρικό κύκλο πχ της microορφής [02π)

Πιστεύω ότι έτσι κάποια πράγmicroατα θα γίνουν πολύ πιο ευδιάκριτα πιο απλά και το κυριό-

τερο θα περάσουν πιο εύκολα στους συναδέλφους

5) Τελειώνοντας οφείλω να πω ότι η σηmicroερινή microου ανάρτηση ουσιαστικά οφείλεται

στους προβληmicroατισmicroούς που microας έθεσε ο Νίκος (Ανδρεάδης) πάνω στη συmicroβολή των κυmicroά-

των microε το laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολήraquo

Έχοντας ξεκινήσει να γράφω microια σειρά αναρτήσεων σχετικών microε τις έννοιες φάση και αρ-

χική φάση microου ήρθε ανέλπιστα η δουλειά του Νίκου η οποία microε τα ερωτήmicroατα που έθεσε

τη συζήτηση που ακολούθησε και τις γνώmicroες που διατυπώθηκαν microου έδωσε ισχυρά επιχει-

ρήmicroατα να υποστηρίξω την απόλυτη πίστη microου στην αξία των ορισmicroών όχι ως απλή λεκτική

επανάληψη microιας υποχρεωτικής αποστήθισης αλλά ως συνειδητοποίηση όλης εκείνης της

26

εσωτερικής λειτουργίας απόλυτα συγκεκριmicroένων πραγmicroάτων που κρίνουν τους ορισmicroούς

ως χρήσιmicroους και απαραίτητους και τους γεννούν για να υπάρχουν και να πλουτίζουν τη

γλώσσα microας

Τους βάζουν δίπλα microας και microας καλούν να πιστέψουmicroε στην αξία τους και ποτέ να microην

τους υποτιmicroήσουmicroε όσο απλοί και να είναι

(συνεχίζεται)

Σάββατο 29 Ιανουαρίου 2011

Θρασύβουλος Κων Μαχαίρας

Γενικό Λύκειο Αγριάς Πηλίου

s7-kmghotenetgr

22

Αυτό δεν είναι ούτε σωσίβιο ούτε σοφιστεία ούτε κάποια κίνηση απελπισίας Είναι η ου-

σία του ορισmicroού που υιοθετήσαmicroε για τις δύο αυτές έννοιες

Η αυστηρότητα των ορισmicroών που δώσαmicroε ως φυσικοί εξασφαλίζει ότι τα microαθηmicroατικά όχι

microόνο θα microπορέσουν να εγγυηθούν τη συνέπεια των συλλογισmicroών και αποτελεσmicroάτων microας

αλλά θα ενσωmicroατώσουν microέσα τους τελείως διαφανείς πορείες απαραίτητες για την αυτοδυ-

ναmicroία και ισχύ του φυσικού έστω κι αν ένας microαθηmicroατικός αδιαφορήσει τελείως γι΄ αυτές

Αυτό δεν είναι παραλογισmicroός αλλά συνειδητοποίηση του διαφορετικού ρόλου

και της διαφορετικής ευθύνης των δύο ειδικοτήτων˙ του φυσικού και του microαθη-

microατικού

Κοντολογίς

Προκειmicroένου να διατηρήσουmicroε το δικαίωmicroα να χρησιmicroοποιούmicroε στο λεξιλόγιό microας τις λέξεις

φάση και αρχική φάση επιβάλλεται από τα microαθηmicroατικά να είmicroαστε συνεπείς microε τους ορι-

σmicroούς που τους δώσαmicroε και να τις χειριζόmicroαστε microε ειδικό τρόπο σε καθορισmicroένες πορείες

Αν δε το κάνουmicroε αυτό τα microαθηmicroατικά θα microας γυρίσουν την πλάτη

κι εmicroείς θα βουλιάξουmicroε στις παρανοήσεις στα αδιέξοδα και τις λο-

γικές ασυνέπειες

Σύmicroφωνα λοιπόν microε όσα έχουν αναφερθεί για να βρούmicroε τη φάση και την αρχική φάση στην εξίσωση κίνησης

y=02middotηmicro(5πtminus9π) microε tge3 sec (69)

πρέπει να εmicroφανίσουmicroε microέσα της την αρχική τιmicroή του χρόνου 3 sec και να αφαιρέσουmicroε τα

ακέραια πολλαπλάσια του 2π microε τέτοιο τρόπο ώστε η αρχική φάση να είναι microέσα στη microορ-

φή του τριγωνοmicroετρικού κύκλου που υιοθετήσαmicroε

Πράγmicroατι η (69) γίνεται

y=02middotηmicro(5πtminus9π)=02middotηmicro[5π(t-3)+6π]

και τελικά

y=02middotηmicro[5π(t-3)+0] microε tge3 sec (69α)

Η (69α) και κατά συνέπεια και η (69) έχουν

Φάση φ=5π(t-3)+0=5πt-15π microε tge3 sec

Αρχική φάση φ0=0 rad

Νοmicroίζω ότι τώρα πια δεν υπάρχει καmicroιά αντίφαση microιας και όλες οι συλλογιστικές και όλες

οι microαθηmicroατικές πορείες θα δώσουν ακριβώς τα ίδια αποτελέσmicroατα

α) Και τα επτά σηmicroεία Ν=0 έχουν την ίδια φάση φ=5πt-15π microε tge3 sec και την ί-

δια αρχική φάση φ0=0 rad

23

β) Υπάρχει απόλυτη συλλογιστική συνέπεια σε όλα αφού όπως έχει ήδη επισηmicroάνει ο Νί-

κος laquoκαι τα 7 σηmicroεία πρέπει να έχουν την ίδια φάση και αρχική φάση αφού ξεκινούν microια

νέα κίνηση από τη θέση ισορροπίας microε θετική ταχύτηταraquo

γ) Είτε χρησιmicroοποιηθούν οι τύποι σύνθεσης ταλαντώσεων είτε χρησιmicroοποιηθεί ο τύ-

πος της συmicroβολής κυmicroάτων είτε οποιαδήποτε άλλη microαθηmicroατική διαδροmicroή τα αποτελέ-

σmicroατα φάσης και αρχικής φάσης θα είναι απολύτως ίδια

δ) laquoΚάθε κίνηση έχει φάση που microας πληροφορεί για πόσο χρόνο παρακολουθούmicroε τη συ-

γκεκριmicroένη κίνησηraquo

ε) Απορία

laquoΠοιο είναι το φυσικό νόηmicroα των τιmicroών 0π 2π 4π 6π και 8πraquo

Απάντηση

laquoοι τιmicroές 0π 2π 4π 6π και 8π που προκύπτουν microε (απλή-ανώδυνη) εφαρmicroογή της γνω-

στής σχέσης ηmicroΑ+ηmicroΒ=hellip δεν έχουν κανένα γνωστό ωφέλιmicroο φυσικό νόηmicroαraquo

Η εφαρmicroογή της σχέσης ηmicroΑ+ηmicroΒ= δεν οδηγεί πάντα απευθείας σε σχέση στην οποία να

είναι άmicroεσα διαφανείς η φάση και η αρχική φάση microιας εξίσωσης αρmicroονικής κίνησης

Ο τελικός τύπος χρειάζεται οπωσδήποτε επεξεργασία

στ) Απορία

laquoΈχει νόηmicroα να ζητήσουmicroε τη διαφορά φάσης ενός από αυτά τα σηmicroεία microε microια πηγήraquo

Απάντηση

Όχι Δεν πρέπει να ζητήσουmicroε τέτοιο πράγmicroα αν δε είmicroαστε έτοιmicroοι να αυτοκτονήσουmicroε ή να

microπούmicroε σε ατέλειωτες microαθηmicroατικές αναζητήσεις για να γλιτώσουmicroε microόνο και microόνο τη συνέ-

πεια της εννοιολογικά λανθασmicroένης laquoπραγmicroατικότηταςraquo των κυmicroάτων που διδάσκουmicroε

Η παρουσία πηγών επιβάλλει άλλου είδους κύmicroατα εmicroπλουτισmicroένα και microε άλλες έννοιες και

microε microαθηmicroατικούς χειρισmicroούς αρκετά δύσκολους microιας και στις διαφορικές εξισώσεις πρέπει

να παρθούν υπόψη συνοριακοί περιορισmicroοί

Στην πρώτη σελίδα της ανάρτησής microου laquoΟρισmicroοί και εξισώσεις κίνησης γ΄ microέροςraquo έγραφα κάτι που όσο περνάει ο καιρός το πιστεύω όλο και πιο πολύ

laquoδιδάσκουmicroε ˝κύmicroατα˝ που δήθεν διαδίδονται microε ταχύτητα υ έχουν αρχικές φάσεις έχουν

πηγές που τα παράγουν και πολλές φορές δύο πηγές για να έχουmicroε συmicroβολή

Μα αυτά που διδάσκουmicroε ούτε κύmicroατα είναι ούτε διαδίδονται ούτε πηγές περιέχουν

ούτε είναι κάπου και τρέχουν να πάνε κάπου αλλού ούτε ξεκινάνε από κάπου ούτε ούτε

ούτε

Στα κεφάλαια ˝Κύmicroατα˝ και ˝Μηχανική Στερεού Σώmicroατος˝ της Φυσικής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου ειλικρινά microε πιάνει απελπισία Τα πράmicroατα εκεί σκοτεινιάζουν τόσο πο-λύ Τί να πεις και από πού να αρχίσεις raquo

24

Στο σηmicroείο αυτό όmicroως νιώθω υποχρεωmicroένος να τονίσω ότι η αρνητικότατη στάση

microου απέναντι σε αυτό που microας βάζουν να διδάσκουmicroε ως κύmicroατα δεν πρέπει στο

ελάχιστο να θεωρηθεί ως απόρριψη της προσπάθειας συναδέλφων να microας δώσουν

ένα πλήθος ασκήσεων θέσεων αναλύσεων διαγωνισmicroάτων κλπ που έχουν σχέση

microε κύmicroατα και microε συmicroβολή κυmicroάτων που περιέχουν πηγές

Στο σχολείο πρέπει να κάνουmicroε αυτό που επιτάσσουν οι πανελλαδικές Άρα πέρα

από όλες τις διαφωνίες microεταξύ microας θα πρέπει προσωπικά να βρω ασκήσεις και θέ-

microατα να δώσω στα παιδιά για να καλύψω την ανήθικη έλλειψη ασκήσεων από το

σχολικό βιβλίο

Επίσης θα πρέπει να βρω τρόπο να microην καταρρεύσει η συλλογιστική των παιδιών

έστω και σαθρή πριν τις εξετάσεις

Αυτό microε τη σειρά του σηmicroαίνει ότι πρέπει να έχω επιχειρήmicroατα και υλικό κοmicromicroένο

στις συγκεκριmicroένες ανάγκες τους

Σε αυτό το σηmicroείο η βοήθεια που microου πρόσφεραν και microου προσφέρουν οι συνάδελ-

φοι του δικτύου και κάποια αξιόλογα εξωσχολικά βιβλία είναι όχι απλά πολύτιmicroη

αλλά ανεπανάληπτη

Με πολύ ανακούφιση δέχοmicroαι και παίρνω πολύτιmicroα διαγωνίσmicroατα ασκήσεις και υ-

λικό που προσφέρουν απλόχερα διάφοροι συνάδελφοι και που αναφέρονται σε κύmicroα-

τα που προέρχονται από πηγές και που συmicroβάλλουν

Επί τη ευκαιρία τους ευχαριστώ που microου δίνουν τον κόπο τους Κάποιες φορές microά-

λιστα αποτελεί πηγή αναθεωρήσεων και καινούριων αναζητήσεων microου

Ε Παρατηρήσεις

1) Η εξίσωση της αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία θα microας δώσουν ή στην οποία θα κα-

ταλήξουmicroε microετά από κάποια microαθηmicroατική επεξεργασία δεν είναι υποχρεωmicroένη να δηλώνει

καθαρά τη φάση και την αρχική φάση Εκείνο που πρέπει οπωσδήποτε να επισηmicroάνουmicroε εί-

ναι ότι φάση δεν είναι η ποσότητα που βρίσκεται microέσα στον τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό

Η εύρεση της φάσης και της αρχικής φάσης θέλουν διαδικασία η οποία θα απαιτήσει το

πεδίο ορισmicroού της εξίσωσης που microας δίνουν για την ταλάντωση ή για το κύmicroα

Ας του δώσουmicroε έmicroφαση microε microια άσκηση χωρίς κανένα απολύτως νόηmicroα

Στην παρακάτω εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης να βρεθεί η φάση και η αρχική

φάση της αποmicroάκρυνσης

y=10-1middotηmicro(2πt 4

11πminus )

Ο λόγος που αυτή η άσκηση είναι α-νόητη είναι γιατί δεν έχει δοθεί το πεδίο ορισmicroού Αλ-

λάζοντας το πεδίο ορισmicroού όπως ήδη έχουmicroε δείξει θα αλλάξει τόσο η συνάρτηση της φά-

σης όσο και η τιmicroή της αρχικής φάσης (∆ες σελίδα 18)

25

2) Η εύρεση της διαφοράς φάσης ανάmicroεσα σε δύο microεγέθη του ίδιου

φαινοmicroένου είναι ακόmicroη πιο επίπονη διαδικασία

Το θέmicroα αυτό είχε θέσει ο Θοδωρής microε microια ανάρτησή του που βρίσκεται στη διεύθυνση httpylikonetgrgroupthemataforumtopicsphhasearchikhe-

phhasediaphorhacommentId=36477953AComment3A16659ampgroupId=36477953AGroup3A5901

Όπως στην περίπτωση της φάσης και αρχικής φάσης οι αρmicroονικές συναρτήσεις πρέπει να

laquoετοιmicroαστούνraquo έτσι και στην περίπτωση που microας ζητάνε να βρούmicroε διαφορά φάσης ανάmicroε-

σα σε δύο φυσικά microεγέθη που εκφράζονται microε αρmicroονικές συναρτήσεις οι συναρτήσεις αυτές

πρέπει οπωσδήποτε να ετοιmicroαστούν κατάλληλα

3) Το πιο σηmicroαντικό στο οποίο εστιάζουν οι εργασίες microου (άσχετα αν τα καταφέρνω να

το δείξω ή όχι) είναι η microεθοδολογία που πρέπει να ακολουθούmicroε όταν θέλουmicroε να λύσουmicroε

microια διαφωνία microας να προχωρήσουmicroε microια αναζήτησή microας να βρούmicroε διέξοδο σε microια αντίφα-

ση να συνειδητοποιήσουmicroε microια έννοια

Κατά τη γνώmicroη microου πρέπει να ξεκινάmicroε από τους ορισmicroούς και αφού εξασφαλίσουmicroε την

αυστηρότητά τους να προχωρήσουmicroε σε απλές έστω εννοιολογικές κατακτήσεις απαραίτη-

τες όmicroως για την αναπνοή microας ως φυσικών ή ως ενδιαφεροmicroένων για τη φυσική

laquohellipΗ αξία των ορισmicroών εντοπίζεται στη σωστή θέση που πρέπει να κατέχουν κατά τη συνεννόηση microε-

ταξύ των φυσικών και στον κορυφαίο και αναντικατάστατο ρόλο που πρέπει microε κάθε σεβασmicroό να απο-

δεχτούmicroε ότι διαδραmicroατίζουν στη διαmicroόρφωση της δοmicroής της γλώσσας που χρησιmicroοποιεί η Φυσική

∆εν γίνεται να κάνεις Φυσική αν δεν έχεις τα σωστά κατάλληλα λόγια για να περιγράψεις στους άλ-

λους το όmicroορφο

Η Φυσική έχει ορισmicroούς που δεν είναι διαπραγmicroατεύσιmicroοι και microαθηmicroατικές microεθοδολογίες που δεν

πρέπει να αγνοούνται αν θέλουmicroε να έχουmicroε συνέπεια και να εξασφαλίζουmicroε απόλυτη διαφάνεια στους

συλλογισmicroούς microας

∆εν πρέπει να χαλάmicroε τη γλώσσα γιατί αλλιώς χαλάει η σκέψη και η επικοινωνία microεταξύ microας Πρέπει να δεχτούmicroε στην ψυχή microας (όχι στα λόγια) ότι οι ορισmicroοί έχουν αξία και να συνειδητοποιή-

σουmicroε την microοναδική τους ιδιότητα Αυτή που είναι και η αιτία της ύπαρξής τους Να είναι χρήσιmicroοι

Οι ορισmicroοί ή είναι χρήσιmicroοι ή δεν υπάρχουν Τα λόγια της Φυσικής δε φτιάχτηκαν για να περιγράφουν αλλά για να έχουν συγχρόνως τη δυνατότητα και να

προφητεύουνraquo

4) Στο παράδειγmicroα του Νίκου για τις φάσεις και τις αντιφάσεις χρησιmicroοποιήθηκαν σηmicroεία

όπου είχαmicroε ενισχύσεις

Θα παρακαλούσα το Νίκο αλλά και όποιον άλλο συνάδελφο θέλει να κάνει microια άσκηση

ή microια προσοmicroοίωση microε πιο γενικά σηmicroεία στη συmicroβολή κυmicroάτων και να υπολογίσει τις

φάσεις και τις αρχικές φάσεις στην εξίσωση ταλάντωσης των σηmicroείων αυτών δίνοντας έmicro-

φαση πάντα το πεδίο ορισmicroού και στον περιορισmicroό της αρχικής φάσης σε έναν τριγωνοmicroε-

τρικό κύκλο πχ της microορφής [02π)

Πιστεύω ότι έτσι κάποια πράγmicroατα θα γίνουν πολύ πιο ευδιάκριτα πιο απλά και το κυριό-

τερο θα περάσουν πιο εύκολα στους συναδέλφους

5) Τελειώνοντας οφείλω να πω ότι η σηmicroερινή microου ανάρτηση ουσιαστικά οφείλεται

στους προβληmicroατισmicroούς που microας έθεσε ο Νίκος (Ανδρεάδης) πάνω στη συmicroβολή των κυmicroά-

των microε το laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολήraquo

Έχοντας ξεκινήσει να γράφω microια σειρά αναρτήσεων σχετικών microε τις έννοιες φάση και αρ-

χική φάση microου ήρθε ανέλπιστα η δουλειά του Νίκου η οποία microε τα ερωτήmicroατα που έθεσε

τη συζήτηση που ακολούθησε και τις γνώmicroες που διατυπώθηκαν microου έδωσε ισχυρά επιχει-

ρήmicroατα να υποστηρίξω την απόλυτη πίστη microου στην αξία των ορισmicroών όχι ως απλή λεκτική

επανάληψη microιας υποχρεωτικής αποστήθισης αλλά ως συνειδητοποίηση όλης εκείνης της

26

εσωτερικής λειτουργίας απόλυτα συγκεκριmicroένων πραγmicroάτων που κρίνουν τους ορισmicroούς

ως χρήσιmicroους και απαραίτητους και τους γεννούν για να υπάρχουν και να πλουτίζουν τη

γλώσσα microας

Τους βάζουν δίπλα microας και microας καλούν να πιστέψουmicroε στην αξία τους και ποτέ να microην

τους υποτιmicroήσουmicroε όσο απλοί και να είναι

(συνεχίζεται)

Σάββατο 29 Ιανουαρίου 2011

Θρασύβουλος Κων Μαχαίρας

Γενικό Λύκειο Αγριάς Πηλίου

s7-kmghotenetgr

23

β) Υπάρχει απόλυτη συλλογιστική συνέπεια σε όλα αφού όπως έχει ήδη επισηmicroάνει ο Νί-

κος laquoκαι τα 7 σηmicroεία πρέπει να έχουν την ίδια φάση και αρχική φάση αφού ξεκινούν microια

νέα κίνηση από τη θέση ισορροπίας microε θετική ταχύτηταraquo

γ) Είτε χρησιmicroοποιηθούν οι τύποι σύνθεσης ταλαντώσεων είτε χρησιmicroοποιηθεί ο τύ-

πος της συmicroβολής κυmicroάτων είτε οποιαδήποτε άλλη microαθηmicroατική διαδροmicroή τα αποτελέ-

σmicroατα φάσης και αρχικής φάσης θα είναι απολύτως ίδια

δ) laquoΚάθε κίνηση έχει φάση που microας πληροφορεί για πόσο χρόνο παρακολουθούmicroε τη συ-

γκεκριmicroένη κίνησηraquo

ε) Απορία

laquoΠοιο είναι το φυσικό νόηmicroα των τιmicroών 0π 2π 4π 6π και 8πraquo

Απάντηση

laquoοι τιmicroές 0π 2π 4π 6π και 8π που προκύπτουν microε (απλή-ανώδυνη) εφαρmicroογή της γνω-

στής σχέσης ηmicroΑ+ηmicroΒ=hellip δεν έχουν κανένα γνωστό ωφέλιmicroο φυσικό νόηmicroαraquo

Η εφαρmicroογή της σχέσης ηmicroΑ+ηmicroΒ= δεν οδηγεί πάντα απευθείας σε σχέση στην οποία να

είναι άmicroεσα διαφανείς η φάση και η αρχική φάση microιας εξίσωσης αρmicroονικής κίνησης

Ο τελικός τύπος χρειάζεται οπωσδήποτε επεξεργασία

στ) Απορία

laquoΈχει νόηmicroα να ζητήσουmicroε τη διαφορά φάσης ενός από αυτά τα σηmicroεία microε microια πηγήraquo

Απάντηση

Όχι Δεν πρέπει να ζητήσουmicroε τέτοιο πράγmicroα αν δε είmicroαστε έτοιmicroοι να αυτοκτονήσουmicroε ή να

microπούmicroε σε ατέλειωτες microαθηmicroατικές αναζητήσεις για να γλιτώσουmicroε microόνο και microόνο τη συνέ-

πεια της εννοιολογικά λανθασmicroένης laquoπραγmicroατικότηταςraquo των κυmicroάτων που διδάσκουmicroε

Η παρουσία πηγών επιβάλλει άλλου είδους κύmicroατα εmicroπλουτισmicroένα και microε άλλες έννοιες και

microε microαθηmicroατικούς χειρισmicroούς αρκετά δύσκολους microιας και στις διαφορικές εξισώσεις πρέπει

να παρθούν υπόψη συνοριακοί περιορισmicroοί

Στην πρώτη σελίδα της ανάρτησής microου laquoΟρισmicroοί και εξισώσεις κίνησης γ΄ microέροςraquo έγραφα κάτι που όσο περνάει ο καιρός το πιστεύω όλο και πιο πολύ

laquoδιδάσκουmicroε ˝κύmicroατα˝ που δήθεν διαδίδονται microε ταχύτητα υ έχουν αρχικές φάσεις έχουν

πηγές που τα παράγουν και πολλές φορές δύο πηγές για να έχουmicroε συmicroβολή

Μα αυτά που διδάσκουmicroε ούτε κύmicroατα είναι ούτε διαδίδονται ούτε πηγές περιέχουν

ούτε είναι κάπου και τρέχουν να πάνε κάπου αλλού ούτε ξεκινάνε από κάπου ούτε ούτε

ούτε

Στα κεφάλαια ˝Κύmicroατα˝ και ˝Μηχανική Στερεού Σώmicroατος˝ της Φυσικής Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου ειλικρινά microε πιάνει απελπισία Τα πράmicroατα εκεί σκοτεινιάζουν τόσο πο-λύ Τί να πεις και από πού να αρχίσεις raquo

24

Στο σηmicroείο αυτό όmicroως νιώθω υποχρεωmicroένος να τονίσω ότι η αρνητικότατη στάση

microου απέναντι σε αυτό που microας βάζουν να διδάσκουmicroε ως κύmicroατα δεν πρέπει στο

ελάχιστο να θεωρηθεί ως απόρριψη της προσπάθειας συναδέλφων να microας δώσουν

ένα πλήθος ασκήσεων θέσεων αναλύσεων διαγωνισmicroάτων κλπ που έχουν σχέση

microε κύmicroατα και microε συmicroβολή κυmicroάτων που περιέχουν πηγές

Στο σχολείο πρέπει να κάνουmicroε αυτό που επιτάσσουν οι πανελλαδικές Άρα πέρα

από όλες τις διαφωνίες microεταξύ microας θα πρέπει προσωπικά να βρω ασκήσεις και θέ-

microατα να δώσω στα παιδιά για να καλύψω την ανήθικη έλλειψη ασκήσεων από το

σχολικό βιβλίο

Επίσης θα πρέπει να βρω τρόπο να microην καταρρεύσει η συλλογιστική των παιδιών

έστω και σαθρή πριν τις εξετάσεις

Αυτό microε τη σειρά του σηmicroαίνει ότι πρέπει να έχω επιχειρήmicroατα και υλικό κοmicromicroένο

στις συγκεκριmicroένες ανάγκες τους

Σε αυτό το σηmicroείο η βοήθεια που microου πρόσφεραν και microου προσφέρουν οι συνάδελ-

φοι του δικτύου και κάποια αξιόλογα εξωσχολικά βιβλία είναι όχι απλά πολύτιmicroη

αλλά ανεπανάληπτη

Με πολύ ανακούφιση δέχοmicroαι και παίρνω πολύτιmicroα διαγωνίσmicroατα ασκήσεις και υ-

λικό που προσφέρουν απλόχερα διάφοροι συνάδελφοι και που αναφέρονται σε κύmicroα-

τα που προέρχονται από πηγές και που συmicroβάλλουν

Επί τη ευκαιρία τους ευχαριστώ που microου δίνουν τον κόπο τους Κάποιες φορές microά-

λιστα αποτελεί πηγή αναθεωρήσεων και καινούριων αναζητήσεων microου

Ε Παρατηρήσεις

1) Η εξίσωση της αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία θα microας δώσουν ή στην οποία θα κα-

ταλήξουmicroε microετά από κάποια microαθηmicroατική επεξεργασία δεν είναι υποχρεωmicroένη να δηλώνει

καθαρά τη φάση και την αρχική φάση Εκείνο που πρέπει οπωσδήποτε να επισηmicroάνουmicroε εί-

ναι ότι φάση δεν είναι η ποσότητα που βρίσκεται microέσα στον τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό

Η εύρεση της φάσης και της αρχικής φάσης θέλουν διαδικασία η οποία θα απαιτήσει το

πεδίο ορισmicroού της εξίσωσης που microας δίνουν για την ταλάντωση ή για το κύmicroα

Ας του δώσουmicroε έmicroφαση microε microια άσκηση χωρίς κανένα απολύτως νόηmicroα

Στην παρακάτω εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης να βρεθεί η φάση και η αρχική

φάση της αποmicroάκρυνσης

y=10-1middotηmicro(2πt 4

11πminus )

Ο λόγος που αυτή η άσκηση είναι α-νόητη είναι γιατί δεν έχει δοθεί το πεδίο ορισmicroού Αλ-

λάζοντας το πεδίο ορισmicroού όπως ήδη έχουmicroε δείξει θα αλλάξει τόσο η συνάρτηση της φά-

σης όσο και η τιmicroή της αρχικής φάσης (∆ες σελίδα 18)

25

2) Η εύρεση της διαφοράς φάσης ανάmicroεσα σε δύο microεγέθη του ίδιου

φαινοmicroένου είναι ακόmicroη πιο επίπονη διαδικασία

Το θέmicroα αυτό είχε θέσει ο Θοδωρής microε microια ανάρτησή του που βρίσκεται στη διεύθυνση httpylikonetgrgroupthemataforumtopicsphhasearchikhe-

phhasediaphorhacommentId=36477953AComment3A16659ampgroupId=36477953AGroup3A5901

Όπως στην περίπτωση της φάσης και αρχικής φάσης οι αρmicroονικές συναρτήσεις πρέπει να

laquoετοιmicroαστούνraquo έτσι και στην περίπτωση που microας ζητάνε να βρούmicroε διαφορά φάσης ανάmicroε-

σα σε δύο φυσικά microεγέθη που εκφράζονται microε αρmicroονικές συναρτήσεις οι συναρτήσεις αυτές

πρέπει οπωσδήποτε να ετοιmicroαστούν κατάλληλα

3) Το πιο σηmicroαντικό στο οποίο εστιάζουν οι εργασίες microου (άσχετα αν τα καταφέρνω να

το δείξω ή όχι) είναι η microεθοδολογία που πρέπει να ακολουθούmicroε όταν θέλουmicroε να λύσουmicroε

microια διαφωνία microας να προχωρήσουmicroε microια αναζήτησή microας να βρούmicroε διέξοδο σε microια αντίφα-

ση να συνειδητοποιήσουmicroε microια έννοια

Κατά τη γνώmicroη microου πρέπει να ξεκινάmicroε από τους ορισmicroούς και αφού εξασφαλίσουmicroε την

αυστηρότητά τους να προχωρήσουmicroε σε απλές έστω εννοιολογικές κατακτήσεις απαραίτη-

τες όmicroως για την αναπνοή microας ως φυσικών ή ως ενδιαφεροmicroένων για τη φυσική

laquohellipΗ αξία των ορισmicroών εντοπίζεται στη σωστή θέση που πρέπει να κατέχουν κατά τη συνεννόηση microε-

ταξύ των φυσικών και στον κορυφαίο και αναντικατάστατο ρόλο που πρέπει microε κάθε σεβασmicroό να απο-

δεχτούmicroε ότι διαδραmicroατίζουν στη διαmicroόρφωση της δοmicroής της γλώσσας που χρησιmicroοποιεί η Φυσική

∆εν γίνεται να κάνεις Φυσική αν δεν έχεις τα σωστά κατάλληλα λόγια για να περιγράψεις στους άλ-

λους το όmicroορφο

Η Φυσική έχει ορισmicroούς που δεν είναι διαπραγmicroατεύσιmicroοι και microαθηmicroατικές microεθοδολογίες που δεν

πρέπει να αγνοούνται αν θέλουmicroε να έχουmicroε συνέπεια και να εξασφαλίζουmicroε απόλυτη διαφάνεια στους

συλλογισmicroούς microας

∆εν πρέπει να χαλάmicroε τη γλώσσα γιατί αλλιώς χαλάει η σκέψη και η επικοινωνία microεταξύ microας Πρέπει να δεχτούmicroε στην ψυχή microας (όχι στα λόγια) ότι οι ορισmicroοί έχουν αξία και να συνειδητοποιή-

σουmicroε την microοναδική τους ιδιότητα Αυτή που είναι και η αιτία της ύπαρξής τους Να είναι χρήσιmicroοι

Οι ορισmicroοί ή είναι χρήσιmicroοι ή δεν υπάρχουν Τα λόγια της Φυσικής δε φτιάχτηκαν για να περιγράφουν αλλά για να έχουν συγχρόνως τη δυνατότητα και να

προφητεύουνraquo

4) Στο παράδειγmicroα του Νίκου για τις φάσεις και τις αντιφάσεις χρησιmicroοποιήθηκαν σηmicroεία

όπου είχαmicroε ενισχύσεις

Θα παρακαλούσα το Νίκο αλλά και όποιον άλλο συνάδελφο θέλει να κάνει microια άσκηση

ή microια προσοmicroοίωση microε πιο γενικά σηmicroεία στη συmicroβολή κυmicroάτων και να υπολογίσει τις

φάσεις και τις αρχικές φάσεις στην εξίσωση ταλάντωσης των σηmicroείων αυτών δίνοντας έmicro-

φαση πάντα το πεδίο ορισmicroού και στον περιορισmicroό της αρχικής φάσης σε έναν τριγωνοmicroε-

τρικό κύκλο πχ της microορφής [02π)

Πιστεύω ότι έτσι κάποια πράγmicroατα θα γίνουν πολύ πιο ευδιάκριτα πιο απλά και το κυριό-

τερο θα περάσουν πιο εύκολα στους συναδέλφους

5) Τελειώνοντας οφείλω να πω ότι η σηmicroερινή microου ανάρτηση ουσιαστικά οφείλεται

στους προβληmicroατισmicroούς που microας έθεσε ο Νίκος (Ανδρεάδης) πάνω στη συmicroβολή των κυmicroά-

των microε το laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολήraquo

Έχοντας ξεκινήσει να γράφω microια σειρά αναρτήσεων σχετικών microε τις έννοιες φάση και αρ-

χική φάση microου ήρθε ανέλπιστα η δουλειά του Νίκου η οποία microε τα ερωτήmicroατα που έθεσε

τη συζήτηση που ακολούθησε και τις γνώmicroες που διατυπώθηκαν microου έδωσε ισχυρά επιχει-

ρήmicroατα να υποστηρίξω την απόλυτη πίστη microου στην αξία των ορισmicroών όχι ως απλή λεκτική

επανάληψη microιας υποχρεωτικής αποστήθισης αλλά ως συνειδητοποίηση όλης εκείνης της

26

εσωτερικής λειτουργίας απόλυτα συγκεκριmicroένων πραγmicroάτων που κρίνουν τους ορισmicroούς

ως χρήσιmicroους και απαραίτητους και τους γεννούν για να υπάρχουν και να πλουτίζουν τη

γλώσσα microας

Τους βάζουν δίπλα microας και microας καλούν να πιστέψουmicroε στην αξία τους και ποτέ να microην

τους υποτιmicroήσουmicroε όσο απλοί και να είναι

(συνεχίζεται)

Σάββατο 29 Ιανουαρίου 2011

Θρασύβουλος Κων Μαχαίρας

Γενικό Λύκειο Αγριάς Πηλίου

s7-kmghotenetgr

24

Στο σηmicroείο αυτό όmicroως νιώθω υποχρεωmicroένος να τονίσω ότι η αρνητικότατη στάση

microου απέναντι σε αυτό που microας βάζουν να διδάσκουmicroε ως κύmicroατα δεν πρέπει στο

ελάχιστο να θεωρηθεί ως απόρριψη της προσπάθειας συναδέλφων να microας δώσουν

ένα πλήθος ασκήσεων θέσεων αναλύσεων διαγωνισmicroάτων κλπ που έχουν σχέση

microε κύmicroατα και microε συmicroβολή κυmicroάτων που περιέχουν πηγές

Στο σχολείο πρέπει να κάνουmicroε αυτό που επιτάσσουν οι πανελλαδικές Άρα πέρα

από όλες τις διαφωνίες microεταξύ microας θα πρέπει προσωπικά να βρω ασκήσεις και θέ-

microατα να δώσω στα παιδιά για να καλύψω την ανήθικη έλλειψη ασκήσεων από το

σχολικό βιβλίο

Επίσης θα πρέπει να βρω τρόπο να microην καταρρεύσει η συλλογιστική των παιδιών

έστω και σαθρή πριν τις εξετάσεις

Αυτό microε τη σειρά του σηmicroαίνει ότι πρέπει να έχω επιχειρήmicroατα και υλικό κοmicromicroένο

στις συγκεκριmicroένες ανάγκες τους

Σε αυτό το σηmicroείο η βοήθεια που microου πρόσφεραν και microου προσφέρουν οι συνάδελ-

φοι του δικτύου και κάποια αξιόλογα εξωσχολικά βιβλία είναι όχι απλά πολύτιmicroη

αλλά ανεπανάληπτη

Με πολύ ανακούφιση δέχοmicroαι και παίρνω πολύτιmicroα διαγωνίσmicroατα ασκήσεις και υ-

λικό που προσφέρουν απλόχερα διάφοροι συνάδελφοι και που αναφέρονται σε κύmicroα-

τα που προέρχονται από πηγές και που συmicroβάλλουν

Επί τη ευκαιρία τους ευχαριστώ που microου δίνουν τον κόπο τους Κάποιες φορές microά-

λιστα αποτελεί πηγή αναθεωρήσεων και καινούριων αναζητήσεων microου

Ε Παρατηρήσεις

1) Η εξίσωση της αρmicroονικής ταλάντωσης την οποία θα microας δώσουν ή στην οποία θα κα-

ταλήξουmicroε microετά από κάποια microαθηmicroατική επεξεργασία δεν είναι υποχρεωmicroένη να δηλώνει

καθαρά τη φάση και την αρχική φάση Εκείνο που πρέπει οπωσδήποτε να επισηmicroάνουmicroε εί-

ναι ότι φάση δεν είναι η ποσότητα που βρίσκεται microέσα στον τριγωνοmicroετρικό αριθmicroό

Η εύρεση της φάσης και της αρχικής φάσης θέλουν διαδικασία η οποία θα απαιτήσει το

πεδίο ορισmicroού της εξίσωσης που microας δίνουν για την ταλάντωση ή για το κύmicroα

Ας του δώσουmicroε έmicroφαση microε microια άσκηση χωρίς κανένα απολύτως νόηmicroα

Στην παρακάτω εξίσωση αρmicroονικής ταλάντωσης να βρεθεί η φάση και η αρχική

φάση της αποmicroάκρυνσης

y=10-1middotηmicro(2πt 4

11πminus )

Ο λόγος που αυτή η άσκηση είναι α-νόητη είναι γιατί δεν έχει δοθεί το πεδίο ορισmicroού Αλ-

λάζοντας το πεδίο ορισmicroού όπως ήδη έχουmicroε δείξει θα αλλάξει τόσο η συνάρτηση της φά-

σης όσο και η τιmicroή της αρχικής φάσης (∆ες σελίδα 18)

25

2) Η εύρεση της διαφοράς φάσης ανάmicroεσα σε δύο microεγέθη του ίδιου

φαινοmicroένου είναι ακόmicroη πιο επίπονη διαδικασία

Το θέmicroα αυτό είχε θέσει ο Θοδωρής microε microια ανάρτησή του που βρίσκεται στη διεύθυνση httpylikonetgrgroupthemataforumtopicsphhasearchikhe-

phhasediaphorhacommentId=36477953AComment3A16659ampgroupId=36477953AGroup3A5901

Όπως στην περίπτωση της φάσης και αρχικής φάσης οι αρmicroονικές συναρτήσεις πρέπει να

laquoετοιmicroαστούνraquo έτσι και στην περίπτωση που microας ζητάνε να βρούmicroε διαφορά φάσης ανάmicroε-

σα σε δύο φυσικά microεγέθη που εκφράζονται microε αρmicroονικές συναρτήσεις οι συναρτήσεις αυτές

πρέπει οπωσδήποτε να ετοιmicroαστούν κατάλληλα

3) Το πιο σηmicroαντικό στο οποίο εστιάζουν οι εργασίες microου (άσχετα αν τα καταφέρνω να

το δείξω ή όχι) είναι η microεθοδολογία που πρέπει να ακολουθούmicroε όταν θέλουmicroε να λύσουmicroε

microια διαφωνία microας να προχωρήσουmicroε microια αναζήτησή microας να βρούmicroε διέξοδο σε microια αντίφα-

ση να συνειδητοποιήσουmicroε microια έννοια

Κατά τη γνώmicroη microου πρέπει να ξεκινάmicroε από τους ορισmicroούς και αφού εξασφαλίσουmicroε την

αυστηρότητά τους να προχωρήσουmicroε σε απλές έστω εννοιολογικές κατακτήσεις απαραίτη-

τες όmicroως για την αναπνοή microας ως φυσικών ή ως ενδιαφεροmicroένων για τη φυσική

laquohellipΗ αξία των ορισmicroών εντοπίζεται στη σωστή θέση που πρέπει να κατέχουν κατά τη συνεννόηση microε-

ταξύ των φυσικών και στον κορυφαίο και αναντικατάστατο ρόλο που πρέπει microε κάθε σεβασmicroό να απο-

δεχτούmicroε ότι διαδραmicroατίζουν στη διαmicroόρφωση της δοmicroής της γλώσσας που χρησιmicroοποιεί η Φυσική

∆εν γίνεται να κάνεις Φυσική αν δεν έχεις τα σωστά κατάλληλα λόγια για να περιγράψεις στους άλ-

λους το όmicroορφο

Η Φυσική έχει ορισmicroούς που δεν είναι διαπραγmicroατεύσιmicroοι και microαθηmicroατικές microεθοδολογίες που δεν

πρέπει να αγνοούνται αν θέλουmicroε να έχουmicroε συνέπεια και να εξασφαλίζουmicroε απόλυτη διαφάνεια στους

συλλογισmicroούς microας

∆εν πρέπει να χαλάmicroε τη γλώσσα γιατί αλλιώς χαλάει η σκέψη και η επικοινωνία microεταξύ microας Πρέπει να δεχτούmicroε στην ψυχή microας (όχι στα λόγια) ότι οι ορισmicroοί έχουν αξία και να συνειδητοποιή-

σουmicroε την microοναδική τους ιδιότητα Αυτή που είναι και η αιτία της ύπαρξής τους Να είναι χρήσιmicroοι

Οι ορισmicroοί ή είναι χρήσιmicroοι ή δεν υπάρχουν Τα λόγια της Φυσικής δε φτιάχτηκαν για να περιγράφουν αλλά για να έχουν συγχρόνως τη δυνατότητα και να

προφητεύουνraquo

4) Στο παράδειγmicroα του Νίκου για τις φάσεις και τις αντιφάσεις χρησιmicroοποιήθηκαν σηmicroεία

όπου είχαmicroε ενισχύσεις

Θα παρακαλούσα το Νίκο αλλά και όποιον άλλο συνάδελφο θέλει να κάνει microια άσκηση

ή microια προσοmicroοίωση microε πιο γενικά σηmicroεία στη συmicroβολή κυmicroάτων και να υπολογίσει τις

φάσεις και τις αρχικές φάσεις στην εξίσωση ταλάντωσης των σηmicroείων αυτών δίνοντας έmicro-

φαση πάντα το πεδίο ορισmicroού και στον περιορισmicroό της αρχικής φάσης σε έναν τριγωνοmicroε-

τρικό κύκλο πχ της microορφής [02π)

Πιστεύω ότι έτσι κάποια πράγmicroατα θα γίνουν πολύ πιο ευδιάκριτα πιο απλά και το κυριό-

τερο θα περάσουν πιο εύκολα στους συναδέλφους

5) Τελειώνοντας οφείλω να πω ότι η σηmicroερινή microου ανάρτηση ουσιαστικά οφείλεται

στους προβληmicroατισmicroούς που microας έθεσε ο Νίκος (Ανδρεάδης) πάνω στη συmicroβολή των κυmicroά-

των microε το laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολήraquo

Έχοντας ξεκινήσει να γράφω microια σειρά αναρτήσεων σχετικών microε τις έννοιες φάση και αρ-

χική φάση microου ήρθε ανέλπιστα η δουλειά του Νίκου η οποία microε τα ερωτήmicroατα που έθεσε

τη συζήτηση που ακολούθησε και τις γνώmicroες που διατυπώθηκαν microου έδωσε ισχυρά επιχει-

ρήmicroατα να υποστηρίξω την απόλυτη πίστη microου στην αξία των ορισmicroών όχι ως απλή λεκτική

επανάληψη microιας υποχρεωτικής αποστήθισης αλλά ως συνειδητοποίηση όλης εκείνης της

26

εσωτερικής λειτουργίας απόλυτα συγκεκριmicroένων πραγmicroάτων που κρίνουν τους ορισmicroούς

ως χρήσιmicroους και απαραίτητους και τους γεννούν για να υπάρχουν και να πλουτίζουν τη

γλώσσα microας

Τους βάζουν δίπλα microας και microας καλούν να πιστέψουmicroε στην αξία τους και ποτέ να microην

τους υποτιmicroήσουmicroε όσο απλοί και να είναι

(συνεχίζεται)

Σάββατο 29 Ιανουαρίου 2011

Θρασύβουλος Κων Μαχαίρας

Γενικό Λύκειο Αγριάς Πηλίου

s7-kmghotenetgr

25

2) Η εύρεση της διαφοράς φάσης ανάmicroεσα σε δύο microεγέθη του ίδιου

φαινοmicroένου είναι ακόmicroη πιο επίπονη διαδικασία

Το θέmicroα αυτό είχε θέσει ο Θοδωρής microε microια ανάρτησή του που βρίσκεται στη διεύθυνση httpylikonetgrgroupthemataforumtopicsphhasearchikhe-

phhasediaphorhacommentId=36477953AComment3A16659ampgroupId=36477953AGroup3A5901

Όπως στην περίπτωση της φάσης και αρχικής φάσης οι αρmicroονικές συναρτήσεις πρέπει να

laquoετοιmicroαστούνraquo έτσι και στην περίπτωση που microας ζητάνε να βρούmicroε διαφορά φάσης ανάmicroε-

σα σε δύο φυσικά microεγέθη που εκφράζονται microε αρmicroονικές συναρτήσεις οι συναρτήσεις αυτές

πρέπει οπωσδήποτε να ετοιmicroαστούν κατάλληλα

3) Το πιο σηmicroαντικό στο οποίο εστιάζουν οι εργασίες microου (άσχετα αν τα καταφέρνω να

το δείξω ή όχι) είναι η microεθοδολογία που πρέπει να ακολουθούmicroε όταν θέλουmicroε να λύσουmicroε

microια διαφωνία microας να προχωρήσουmicroε microια αναζήτησή microας να βρούmicroε διέξοδο σε microια αντίφα-

ση να συνειδητοποιήσουmicroε microια έννοια

Κατά τη γνώmicroη microου πρέπει να ξεκινάmicroε από τους ορισmicroούς και αφού εξασφαλίσουmicroε την

αυστηρότητά τους να προχωρήσουmicroε σε απλές έστω εννοιολογικές κατακτήσεις απαραίτη-

τες όmicroως για την αναπνοή microας ως φυσικών ή ως ενδιαφεροmicroένων για τη φυσική

laquohellipΗ αξία των ορισmicroών εντοπίζεται στη σωστή θέση που πρέπει να κατέχουν κατά τη συνεννόηση microε-

ταξύ των φυσικών και στον κορυφαίο και αναντικατάστατο ρόλο που πρέπει microε κάθε σεβασmicroό να απο-

δεχτούmicroε ότι διαδραmicroατίζουν στη διαmicroόρφωση της δοmicroής της γλώσσας που χρησιmicroοποιεί η Φυσική

∆εν γίνεται να κάνεις Φυσική αν δεν έχεις τα σωστά κατάλληλα λόγια για να περιγράψεις στους άλ-

λους το όmicroορφο

Η Φυσική έχει ορισmicroούς που δεν είναι διαπραγmicroατεύσιmicroοι και microαθηmicroατικές microεθοδολογίες που δεν

πρέπει να αγνοούνται αν θέλουmicroε να έχουmicroε συνέπεια και να εξασφαλίζουmicroε απόλυτη διαφάνεια στους

συλλογισmicroούς microας

∆εν πρέπει να χαλάmicroε τη γλώσσα γιατί αλλιώς χαλάει η σκέψη και η επικοινωνία microεταξύ microας Πρέπει να δεχτούmicroε στην ψυχή microας (όχι στα λόγια) ότι οι ορισmicroοί έχουν αξία και να συνειδητοποιή-

σουmicroε την microοναδική τους ιδιότητα Αυτή που είναι και η αιτία της ύπαρξής τους Να είναι χρήσιmicroοι

Οι ορισmicroοί ή είναι χρήσιmicroοι ή δεν υπάρχουν Τα λόγια της Φυσικής δε φτιάχτηκαν για να περιγράφουν αλλά για να έχουν συγχρόνως τη δυνατότητα και να

προφητεύουνraquo

4) Στο παράδειγmicroα του Νίκου για τις φάσεις και τις αντιφάσεις χρησιmicroοποιήθηκαν σηmicroεία

όπου είχαmicroε ενισχύσεις

Θα παρακαλούσα το Νίκο αλλά και όποιον άλλο συνάδελφο θέλει να κάνει microια άσκηση

ή microια προσοmicroοίωση microε πιο γενικά σηmicroεία στη συmicroβολή κυmicroάτων και να υπολογίσει τις

φάσεις και τις αρχικές φάσεις στην εξίσωση ταλάντωσης των σηmicroείων αυτών δίνοντας έmicro-

φαση πάντα το πεδίο ορισmicroού και στον περιορισmicroό της αρχικής φάσης σε έναν τριγωνοmicroε-

τρικό κύκλο πχ της microορφής [02π)

Πιστεύω ότι έτσι κάποια πράγmicroατα θα γίνουν πολύ πιο ευδιάκριτα πιο απλά και το κυριό-

τερο θα περάσουν πιο εύκολα στους συναδέλφους

5) Τελειώνοντας οφείλω να πω ότι η σηmicroερινή microου ανάρτηση ουσιαστικά οφείλεται

στους προβληmicroατισmicroούς που microας έθεσε ο Νίκος (Ανδρεάδης) πάνω στη συmicroβολή των κυmicroά-

των microε το laquoΦάσεις και αντιφάσεις στη συmicroβολήraquo

Έχοντας ξεκινήσει να γράφω microια σειρά αναρτήσεων σχετικών microε τις έννοιες φάση και αρ-

χική φάση microου ήρθε ανέλπιστα η δουλειά του Νίκου η οποία microε τα ερωτήmicroατα που έθεσε

τη συζήτηση που ακολούθησε και τις γνώmicroες που διατυπώθηκαν microου έδωσε ισχυρά επιχει-

ρήmicroατα να υποστηρίξω την απόλυτη πίστη microου στην αξία των ορισmicroών όχι ως απλή λεκτική

επανάληψη microιας υποχρεωτικής αποστήθισης αλλά ως συνειδητοποίηση όλης εκείνης της

26

εσωτερικής λειτουργίας απόλυτα συγκεκριmicroένων πραγmicroάτων που κρίνουν τους ορισmicroούς

ως χρήσιmicroους και απαραίτητους και τους γεννούν για να υπάρχουν και να πλουτίζουν τη

γλώσσα microας

Τους βάζουν δίπλα microας και microας καλούν να πιστέψουmicroε στην αξία τους και ποτέ να microην

τους υποτιmicroήσουmicroε όσο απλοί και να είναι

(συνεχίζεται)

Σάββατο 29 Ιανουαρίου 2011

Θρασύβουλος Κων Μαχαίρας

Γενικό Λύκειο Αγριάς Πηλίου

s7-kmghotenetgr

26

εσωτερικής λειτουργίας απόλυτα συγκεκριmicroένων πραγmicroάτων που κρίνουν τους ορισmicroούς

ως χρήσιmicroους και απαραίτητους και τους γεννούν για να υπάρχουν και να πλουτίζουν τη

γλώσσα microας

Τους βάζουν δίπλα microας και microας καλούν να πιστέψουmicroε στην αξία τους και ποτέ να microην

τους υποτιmicroήσουmicroε όσο απλοί και να είναι

(συνεχίζεται)

Σάββατο 29 Ιανουαρίου 2011

Θρασύβουλος Κων Μαχαίρας

Γενικό Λύκειο Αγριάς Πηλίου

s7-kmghotenetgr