Université Rennes I F. NierMaster 2 : Analyse mi rolo ale, théorie spe traleFeuille d'exer i es 2.Exer i e 1 � Montrer que eαx ∈ S ′(R) si et seulement si α ∈ iR .� Montrer que si u ∈ C∞(Rd) véri�e |u(x)| 6 C〈x〉N pour un ertain N > 0 (on note 〈x〉 =

(1 + |x|2)1/2) alors u ∈ S ′(Rd) .� Montrer que dans e as u = limε→0+ e−ε|x|2u(x) dans S ′(Rd) ave e−ε|x|2u ∈ L1(Rd) pourε > 0 .� Montrer que Fu = limε→0+

∫

Rd e−iξ.xu(x) dx dans S ′(Rd) .� Cal uler de di�érentes façon F (xα) .Exer i e 2 Gaussiennes.� Cal uler la transformée de Fourier de uiα(x) = e−α|x|2 dans R pour α > 0 .� A l'aide de l'exer i e pré édent al uler Fuiα quand α > 0 .� En dimension d montrer que si A = AR + iAI = tA ∈ Md(C) a une partie imaginaire AI > 0alors uA(x) = ei2(x,Ax) ∈ S ′(Rd) .� En supposant AI dé�nie positive montrer que FuA(ξ) = (2π)d/2

det(iA)1/2 e− i

2〈ξ ,A−1ξ . Indi ation :E rire A = A

1/2I (A′

R + i)A1/2I puis diagonaliser A′

R = A−1/2I ARA

−1/2I dans une base orthonor-mée.� Montrer que la formule est en ore valable si AI > 0 et A inversible.Exer i e 3 Chaleur.� En utilisant la transformée de Fourier, montrer que le problème de Cau hy

{

∂t = ∆x pour t > 0(t = 0) = u0 ∈ S ′(Rd

x) .admet une unique solution dans C0([0, +∞);S ′(Rdx)) ∩ C1((0, +∞);S ′(Rd

x)) .� On note = 1(4πt)d/2 e

− |x|2

4t la solution du problème i-dessus pour u0 = δ0, montrer queE(x, t) = (x, t)1(0,+∞)(t) est une solution élémentaire de ∂t − ∆x dans R

d+1t,x .� Montrer que ∂t − ∆x est hypoelliptique.� Montrer que si u0 ∈ E ′(Rd

x) la solution du problème de Cau hy s'é rit u(x, t) = (t) ∗x u0 etque u(t) ∈ C∞(Rd) dès que t > 0 .� Montrer que pour u0 ∈ L2(R), la solution du problème de Cau hy appartient à C0([0, +∞); L2(Rdx))∩

C1((0, +∞); L2(Rdx)) et véri�e ‖u(t)‖L2 6 ‖u0‖L2 .� Montrer que pour u0 > 0 à support ompa t, on a supp u(t) = R

d dès que t > 0.Exer i e 4 S hrödinger.� Résoudre en passant en Fourier en x l'équation de S hrödinger{

i∂tu = −∆u pour ,u(t = 0) = u0 ,dans C1(R;S ′(Rd

x)) pour u0 ∈ S ′(Rd) .� Montrer que pour u0 ∈ L2(Rdx), t 7→ u(t) ∈ C0(R; L2(Rd

x)) et véri�e ‖u(t)‖L2 = ‖u0‖L2 .� Exprimer u(x, t) en fon tion de u0 à l'aide d'une onvolution quand u0 ∈ E ′(Rdx) ∪ L1(Rd

x) .1

Exer i e 5 Huyghens faible. En admettant le théorème de Paley-Wiener-S hwartz et ensuivant les indi ations du ours, démontrer le prin ipe de Huyghens faible pour l'équation desondes{

∂2t u − ∆xu = 0

u(t = 0) = u0 , ∂tu(t = 0) = u1 .En ore une fois on résoudra le problème dans C2(R;S ′(Rdx)) en passant en Fourier. Pour veri�erle ara tère holomorphe de ξ → sin(t|ξ|)

|ξ|é rire le développement en série du sinus puis utiliser

|ξ|2 =∑d

j=1 ξ2j .Exer i e 6 Support� Véri�er que pour f ∈ C∞

0 (Rd), Ff = f est à dé roissan e rapide : |f(ξ)| = O(〈ξ〉−N) pourtout N ∈ N .� Véri�er le premier sens du théorème de Paley-Wiener-S hwartz, à savoir si u ∈ E ′(Rd) ave supp u ⊂ K alors u est une fon tion entière sur Cd telle qu'il existe N ∈ N et C > 0 tels que|u(ξ + iη)| 6 C〈ξ〉NeIK(η)où IK(η) = supx∈K x.η .Exer i e 7 Peetre et front d'onde.� En partant de l'identité de la médiane, véri�er (1 + |ξ1 + ξ2|

2)s 6 2s(1 + |ξ1|2)s(1 + |ξ2|

2)spour s > 0 . En déduire l'inégalité de Peetre∀s > 0, ∀ξ, η ∈ R

d,

(

〈ξ〉

〈η〉

)±s

6 2s〈ξ − η〉s .� On suppose que u ∈ E ′(Rd) a une transformation de Fourier à dé roissan e rapide dans unvoisinage onique de ξ0 ∈ Rd \ {0} et on se donne χ ∈ C∞0 (Rd) . En é rivant

F (χu)(ξ) =

∫

|ωξ−ωη |>ε0

χ(ξ − η)u(η) dη +

∫

|ωξ−ωη |<ε0

χ(ξ − η)u(η) dηave |ξ−η| > cε0(|ξ|+ |η|) dans la première intégrale et en utilisant l'inégalité de Peetre dansla se onde montrer que F (χu) est à dé roissan e rapide dans un voisinage onique de ξ0 .Exer i e 8 Singularités mi rolo ales en dimension 1.� Montrer que 1

2iπ(x+i0)= F−11R+

.� En déduire que WF ( 1x+i0

) ⊂ {0} × R+ .� Expliquer maintenant pourquoi 1(x+i0)n =

[

1(x+i0)

]n a un sens dans D′(R) .� Plus généralement, montrer que la valeur au bord f(x+ i0) d'une fon tion holomorphe (ave ontr�le polynomial près du réel et exponentiel à l'in�ni) a son front d'onde dans Rx × R+ .

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