Universites Paris 6 & Paris-Sud, Ecole Normale Superieure, Ecole Polytechnique.M2 – Parcours de Physique Quantique

Integrale de chemin et applications en physique statistiqueExamen

Mercredi 17 decembre 2008

1 Distribution du maximum d’un pont brownien

On appelle “pont brownien” un mouvement brownien issu de x = 0 a τ = 0 et conditionne arevenir a son point de depart apres un temps t : (x(τ), τ ∈ [0, t] |x(0) = x(t) = 0). Nous etudionsla distribution du maximum M atteint par le pont (figure).

00

τ

t

M

x

0

V(x)

M x

Figure 1 – Maximum M d’un pont brownien. A droite : Potentiel V (x) de la question 2.

1/ On note H0 = −12

d2

dx2 l’operateur agissant sur les fonctions de R. Calculer le propagateurcorrespondant P0(x, t|x′, 0) = 〈x |e−tH0 |x′ 〉.

2/ Nous considerons d’autre part l’operateur H1 = −12

d2

dx2 + V (x), ou V (x) = 0 pour x < M etV (x) =∞ pour x > M (figure). Calculer le propagateur P1(x, t|x′, 0) = 〈x |e−tH1 |x′ 〉.

3/ Nous nous interessons maintenant a la distribution du maximum M d’un pont brownien.Justifier que

Proba[x(τ) < M ] =

∫ x(t)=0

x(0)=0Dx(τ) e−

R t0 dτ[

12x(τ)2+V (x(τ))

]∫ x(t)=0

x(0)=0Dx(τ) e−

12

R t0 dτ x(τ)2

, (1)

ou V (x) est le potentiel defini a la question 2. En particulier, quelle contrainte sur les trajectoiresde la somme le terme potentiel

∫dτ V (x) impose-t-il ?

4/ Relier les integrales de chemin a des propagateurs, puis Proba[x(τ) < M ] a ces memespropagateurs.

5/ Deduire l’expression de la distribution Qt(M) du maximum. Tracer soigneusement cettedistribution.

1

2 Correction de localisation faible d’un cylindre metallique

Nous etudions une correction quantique a la conductivite d’un metal appelee correctionde localisation faible. Cette contribution trouve son origine dans les interferences quantiquesentre trajectoires electroniques diffusives renversees et se manifeste aux basses temperatures(typiquement T . 1K). Une geometrie adaptee a l’etude des phenomenes d’interference est celled’un anneau ou d’un cylindre. Nous analysons cette derniere situation (figure 2), qui avait eteetudiee experimentalement dans une celebre experience par Sharvin & Sharvin en 1981.

I

IB

L

y

x

Figure 2 – La situation consideree dans l’experience de Sharvin & Sharvin : la dependanceen champ magnetique de la conductivite electrique est mesuree dans un cylindre metallique dedimension micrometrique.

1/ Formule de Poisson.– Soit f(x) une fonction definie sur R et f(k) def=∫

R dx f(x) e−ikx satransformee de Fourier. On rappelle la formule de Poisson :∑

n∈Zf(n) =

∑n∈Z

f(2πn) . (2)

Ecrire explicitement la formule de Poisson pour la fonction f(x) = e2iπαx−βx2ou α ∈ R et

β ∈ R+.

2/ Spectre de l’Hamiltonien de Schrodinger libre dans un anneau.– Trouver le spectredes valeurs propres de H = − d2

dx2 dans un anneau de perimetre L, i.e. agissant sur les fonctionsdefinies sur l’intervalle [0, L] avec conditions aux limites periodiques ψ(0) = ψ(L) et ψ′(0) =ψ′(L) (rq. : il est important de normaliser les etats pour la suite).

3/ Propagateur libre dans l’anneau.– Deduire que le propagateur est donne par

P (x, t|x′, 0) def= 〈x |e−tH |x′ 〉 =1√4πt

∑n∈Z

e−(x−x′−nL)2

4t . (3)

Interpreter ce resultat (on discutera en particulier sa relation avec le propagateur decrivant ladiffusion libre sur R).

4/ Enroulements dans l’anneau.– Nous considerons maintenant la situation ou l’anneau esttraverse par un flux magnetique φ.

a. Justifier que le potentiel vecteur dans l’anneau peut etre pris constant, egal a A(x) = φ/L.

2

b. Soit (x(τ), τ ∈ [0, t] | x(0) = x(t)) un chemin brownien ferme dans l’anneau. Quel est le sensde la fonctionnelle N [x] = 1

L

∫ t0 dτ x(τ) ?

c. On introduit l’integrale de chemin

Cφ(x, t|x′, 0) =∫ x(t)=x

x(0)=x′Dx(τ) e−

14

R t0 dτ x2+i

R t0 dτ xA(x) , (4)

portant sur les chemins dans l’anneau. Nous considerons la transformation de Fourier de cetteintegrale

∫ 2π0

dφ2π e−inφ Cφ(x, t|x, 0). Si nous permutons l’integrale

∫dφ et l’integrale de chemin∫

Dx, quelle contrainte cela impose-t-il sur les trajectoires x(τ) de l’integrale de chemin ?

d. Deduire (sans le demontrer) que∫ 2π

0

dφ2π

e−inφ Cφ(x, t|x, 0) =1√4πt

e−(nL)2

4t . (5)

5/ Cylindre.– Nous considerons la meme integrale de chemin, mais dans un cylindre (~r ≡ (x, y)avec x ∈ [0, L] et y ∈ R ; cf. figure 2)

Cφ(~r, t|~r ′, 0) =∫ ~r(t)=~r

~r(0)=~r ′D~r(τ) e−

14

R t0 dτ ~r 2+i

R t0 dτ xA(x) , (6)

portant sur tous les chemins dans le cylindre (deux exemples de chemins sont representes sur lafigure 2). Deduire de la question precedente que

Cφ(~r, t|~r, 0) =1

4πt

∑n∈Z

e−(nL)2

4t+inφ . (7)

-t0 0 !0

FIG. I .

irmslated tidited bY S

Thus, according to (3), rslrro= 5; the second term in (l) can therefore be neglected andthe phase of the oscillations coincides with the observed value.

In order for the spin-orbit effects to be insigrrificant, lithium, for which e must betwo orders of magnitude smaller than for Mg, was chosen as the material for the speci- .mens.

The results of the ex nt "A,lilhi-q1r.flm, similar to that described in Ref.4.' ls. withR = 2 kO and D= I cm was obtained by condensation

9 , L . N '[9TP L(.'l' Aatot .r l .O ' Ku l t

, P , Y U . S

, t I981)l 'r S. Ilikan

i , n. l . et ' 'I i t981) [sI t . t .Laal; s, L. AI ' tI r t961)l 'l r l A . A bI, fZttgs:,,0 R. Mese

of lithium with an initial purity of 99.95% on a quartz filament. The helium temperaturein the experiment was l.l K. The measuring current, equal to 40 ltA,heated the speci.mens by an amount of the order of l0- l K.

The dashed line in the figure shows the results of a calculation using Eq. (1) with?so = -, F = O, t= 0.72 pm, I, = 2.32 prm, and a= 0.12 pm. The quantity 2r- a= 1.32trlm is close to the value of the diameter of the quartz filament 1.3 pm, determined withthe help of an electron microscope. Another check of the theory is the agreement be-tween the monotonic decrease and the damping of the oscillations, determined by thesame quantity a. Thus, theory and experiment apparently are in good quantitative agree-ment,

It should be noted that it was possible to observe in these experiments the negativelongitudinal magnetoresistance of thin films.

Confirming the validity of the basic ideas of the theory of weak localization in quasi-twodimensional systems, experiments of the type described above also make it possibleto study electron scattering mechanisms in thin films.

We are grateful to A. I. Larkin and D. E. KhmelhitskiY for discussing the results to,A. V. Danilov for help in analyzing the experimental results, and to P. L. Kapitsa for hisinterest in this work and for making it possible to carry out the experiments at the Insti'tute of Physical Problems of the Academy of Sciences of the USSR.

l)An "rro, in expression (6) in Ref. I should be corrected. The total coefficient should be 1/22',rather than 1 ln2 , and 2nZ. should be replaced by I..

590 JETP Lett, Vol. 35, No. 1 1, 5 June 1982 At ' tshuler et a/ ' 590 j9 l

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PACI

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Figure 3 – Correction de localisation faible a la resistance ∆R(H)/R = −∆σ(Φ)/σ en fonctiondu chanp magnetique H (1 Oersted = 1 Gauss = 10−4 T). Le systeme est constitue d’un mincefilm metallique de Lithium depose sur un filament de quartz, de facon a former un cylindre. Lamesure est effectuee a T ' 1.2K avec un courant de I = 40µA. La resistance est R ' 2kΩ. Tirede B. L. Al’tshuler, A. G. Aronov, B. Z. Spivak, D. Yu. Sharvin, and Yu. V. Sharvin, Observationof the Aaronov-Bohm Effect in hollow metal cylinders, JETP Lett. 35(11), 588 (1982).

6/ Oscillations Al’tshuler-Aronov-Spivak.– La quantite Cφ(~r, t|~r, 0) porte le nom de Coope-ron. Elle mesure la contribution a la conductivite des interferences des trajectoires electroniquesrenversees pour une echelle de temps t. La correction de localisation faible est reliee au Cooperon

∆σ(φ) = − e2

π~

∫ ∞0

dt Cφ(~r, t|~r, 0)(

e−t/τϕ − e−t/τe), (8)

3

ou le role de la premiere exponentielle est d’eliminer les contributions des echelles plus grandesque la longueur de coherence de phase Lϕ = √τϕ en deca de laquelle les interferences quantiquespeuvent se manifester. La seconde exponentielle elimine les contributions des echelles plus petitesque le libre parcours moyen elastique `e =

√τe, sous laquelle le mouvement n’est plus diffusif

mais balistique.

a. Montrer que la correction de localisation faible peut se mettre sous la forme d’un developpementen harmoniques :

∆σ(φ) = − e2

2π2~

(a0 +

∞∑n=1

an cos(nφ)

)(9)

et calculer les coefficients an comme des fonctions de L/Lϕ et L/`e.

b. Si nous restaurons ~ et e (la charge de l’electron) le flux adimensionne que nous avons introduitdoit etre remplace par φ = 4πΦ/φ0, ou Φ est le flux magnetique traversant le cylindre et φ0 = h/ele quantum de flux. Le resultat experimental de Sharvin & Sharvin est reproduit sur la figure.Commenter cette derniere et deduire le perimetre du cylindre ayant permis la mise en evidencedu phenomene (en µm). 1

Annexe :• On donne la representation integrale de la fonction de MacDonald d’indice ν = 0 (fonction deBessel de troisieme espece modifiee)

K0(z) =12

∫ ∞0

dtt

e−t−z2/4t (10)

et ses comportements limites

K0(z) 'z→∞

√π

2ze−z (11)

'z→0

ln(2/z)− C (12)

ou C' 0.577 est la constante d’Euler.

• On rappelle que ~ = 10−34 J.s et e = 1.6 10−19 C.

1. Ce phenomene a ete predit en 1981 par Al’tshuler, Aronov & Spivak avant d’etre mis en evidenceexperimentalement par Sharvin & Sharvin la meme annee.

4