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F-128 Física Geral I Aula Exploratória – 04 Unicamp IFGW F128 – 2o Semestre de 2012 1

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  • F-128 Física Geral I

    Aula  Exploratória  –  04  Unicamp  -‐  IFGW  

    F128  –  2o    Semestre  de  2012  

    1  

  • Posição e Deslocamento O vetor posição em 2D fica definido em termos de suas coordenadas cartesianas por:

    No caso espacial, 3D, temos:

    θy

    .

    x

    y

    x

    r r (t) = x(t)î + y(t) ĵ

    r (t) = x(t)î + y(t) ĵ + z(t)k̂

    F128  –  2o    Semestre  de  2012   2  

  • Velocidade

    jirrrv ˆˆ)()(ty

    tx

    ttttt

    m ΔΔ+

    ΔΔ=

    ΔΔ=

    Δ−Δ+=

    dtd

    tttt

    t

    rrrv

    =Δ−Δ+=

    →Δ

    )()(lim0

    jirv ˆˆ)(dtdy

    dtdx

    dttd +==

    jvivv yx ˆˆ+=

    Como no caso unidimensional, o vetor velocidade média é:

    O vetor velocidade instantânea é:

    Em termos de componentes cartesianas:

    ou:

    (1)

    Decorrências da definição (1): a) v é sempre tangente à trajetória;

    b) coincide com o módulo da velocidade escalar definida anteriormente.

    v

    )(tr )( ttr Δ+rΔ

    x

    y trajetória

    F128  –  2o    Semestre  de  2012   3  

  • Aceleração

    F128  –  2o    Semestre  de  2012  

    dtd

    tttt

    t

    vvva

    =Δ−Δ+=

    →Δ

    )()(lim0

    jiva ˆˆ)(dtdv

    dtdv

    dttd yx +==

    Novamente como no caso 1D, a aceleração média é:

    Em termos de componentes cartesianas:

    ou:

    A aceleração instantânea é:

    2

    2 )(dttd

    dtd rva

    ==

    jaiaa yx ˆˆ+=

    ou: (2)

    Decorrências da definição (2): a) a aceleração resulta de qualquer variação do vetor velocidade (quer seja do módulo, da direção ou do sentido de ); b) O vetor aceleração está sempre voltado para o “interior” da trajetória.

    v

    4  

    am =

    v(t +Δt)−

    v(t)

    Δt=ΔvΔt

    =ΔvxΔt

    î +ΔvyΔt

    ĵ+ΔvzΔt

  • Movimento de um projétil

    F128  –  2o    Semestre  de  2012  

    componente x de

    componente y de

    componente x de

    componente y de

    Nesse caso ay = -g e ax=0. Na direção x, vx é constante!

    r

    v gtvv

    gttvyy

    vvtvxx

    yy

    y

    xx

    x

    −=

    −+=

    ==+=

    0

    200

    0

    00

    21

    constanter

    v

    jyixr ˆˆ 000 +=

    jvivv yx ˆˆ 000 +=Em t = 0:

    x

    y

    Trajetória g

    Nota: ro e vo são as condições iniciais

    do movimento.

    5  

  • Para descrever o MCU usamos as coordenadas polares R e ϕ. O arco sobre a trajetória que subentende um ângulo ϕ é: s = Rϕ. A posição angular ϕ é uma função do tempo, ϕ(t) . O arco descrito em dt é dado por ds = R dϕ. Então:

    Se :

    (v: velocidade tangencial)

    (Movimento circular uniforme)

    .)( constdtdt ≠= φω )()()( tR

    dttdR

    dttdv αω ≡=Se

    (Movimento circular acelerado)

    )(

    2

    )(

    ˆˆ)(

    tata

    N

    T

    rRvvRta ⎟

    ⎠⎞⎜

    ⎝⎛−+=α

    Movimento circular

    F128  –  2o    Semestre  de  2012   6  

    x

    y

    O

    dφ ρ=

    R

    φφ + dφ

    ds

    dsdt

    = v = R dφdt

    = Rω

    ω=

    dφdt

    = cte φ=φo +ωt

  • Posição relativa:

    Velocidade relativa :

    ,BAPBPA rrr +=

    BAPBPA vvv +=

    P A B

    PAr

    PBr

    BAr

    que é função do tempo: )()()( trtrtr BAPBPA

    +=

    Aceleração relativa: dtvd

    dtvd

    dtvd BAPBPA

    += BAPBPA aaa

    +=

    dtrd

    dtrd

    dtrd BAPBPA

    +=

    Em referenciais inerciais (os que se movem um em relação ao outro em translação retilínea e uniforme): 0

    =BAa PBPA aa =

    (a aceleração é a mesma quando medida em dois referenciais inerciais).

    Movimento Relativo

    F128  –  2o    Semestre  de  2012  

    vBA

    vPB

    vPA

    7  

  • Exercício 01 A figura abaixo mostra o movimento de

    um cachorro em um terreno plano, do ponto A (no instante t=0) para o ponto B (em t=5,00 min), C (em t=10,0 min) e finalmente, D (em t=15,0 min). Considere as velocidades médias do cachorro do ponto A para cada um dos outros três pontos. Entre essas velocidade média determine: a)  o módulo e ângulo da que possui o menor

    módulo; b)  o módulo e ângulo da que possui o maior

    módulo;

    F128  –  2o    Semestre  de  2012   8  

    Respostas: a)  0,83 cm/s e 0o; b)  0,11 m/s e -63o

    -50

    -25

    0

    25

    25 50

    x (m)

    y (m)

    A C

    B

    D50

  • Exercício 01

    F128  –  2o    Semestre  de  2012   9  

    -50

    -25

    0

    25

    25 50

    x (m)

    y (m)

    A C

    B

    D50

    -50

    -25

    0

    25

    25 50

    x (m)

    y (m)

    A C

    B

    D50

    a) b)

    Δr =rA−rC

    rA

    rC

    rA

    rD

    Δr =rA−rD

  • Solução:

    a) trajetória parabólica: yyx 62 2 −=

    x

    y y=3

    y=0 60,4)( +== t

    dttdxvX

    0,1)( ==dttdyvY

    b) 0,4)( ==

    dttdva XX

    0)( ==dttdva YY

    c)

    Exercício 02 Uma partícula se movimenta sobre um plano. Em um dado referencial,

    as coordenadas da partícula são dadas por: x = 2,0t2 +6,0t (m) y = 1,0t + 3,0 (m) Estude o movimento da partícula, isto é:

    a)  determine sua trajetória; b)  determine as componentes da velocidade em função do tempo; c)  determine as componentes da aceleração em função do tempo.

    F128  –  2o    Semestre  de  2012   10  

  • 20 21 tgtvr +=Após um tempo t, é o vetor de posição do projétil.

    Mas este é exatamente o vetor de posição do macaco. Restrição: R (alcance da bala) d. ≥

    r

    tv0

    2

    21 tg

    0v

    d

    M •

    http://www.youtube.com/watch?v=cxvsHNRXLjw

    Exercício 03 Um caçador, localizado a uma distância de uma árvore, dispara contra

    um macaco que se encontra em um galho a uma altura h. No exato instante do disparo, o macaco se solta do galho. Sendo v0 a velocidade inicial da bala, mostre analiticamente que a bala atinge o macaco, e calcule o instante em que isto ocorre.

    F128  –  2o    Semestre  de  2012   11  

  • Exercício 04 Dois carros percorrem estradas retilíneas perpendiculares entre si. O

    carro (1) (ver figura) tem velocidade uniforme de 72 km/h. O carro (2) arranca no instante t = 0 com aceleração constante de 2,0 m/s2. Qual é o movimento (velocidade e trajetória do carro (2) em relação ao carro (1) ?

    F128 – 2o Semestre de 2012 12

    trajetória de (2) no referencial de (1): movimento semelhante ao de um projétil, uma semi-parábola de equação:

    4002

    22

    20

    xxvay ==

    72 km/h

    (1)

    (2)

    t = 0

    y

    v0 = 72 km/h

    x (1)

    a = 2m/s2

    movimento aparente de (2)

  • Exercício 05

    F128  –  2o    Semestre  de  2012   13  

    Um esquiador desce de uma colina e desliza-se por uma rampa com uma velocidade vo e um ângulo de inclinação θ. A colina tem um ângulo de inclinação α como é indicado na figura.

    a)  Determine o tempo de vôo do esquiador, ou seja o tempo no qual a pessoa está no ar.

    b)  Determine a posição na qual ela bate com a colina.

  • Exercício 06-Opcional

    F128  –  2o    Semestre  de  2012  

    A posição de uma partícula em função do tempo é dada por:

    r = 4sin ωt( )î + 4cos ωt( )î

    onde r está em metros e t em segundos. a) descubra a trajetória desta partícula; b) calcule o vetor velocidade da partícula; c) calcule o vetor aceleração; d) mostre que a direção da aceleração é radial e determine seu módulo.e) mostre que os vetores

    v e a são perpendiculares.

    14  

  • Exercício 07-Opcional

    F128  –  2o    Semestre  de  2012   15  

    Um menino gira uma pedra, em um círculo horizontal de raio 1,1 m a uma altura de 1,6 m acima do solo. A corda que segura a pedra rompe-se e a pedra, após voar horizontalmente, atinge o chão depois de viajar uma distância horizontal de 8,7 m. Qual é a magnitude da aceleração centrípeta da pedra em movimento circular?