F-128 Física Geral I

Aula  Exploratória  –  04  Unicamp  -­‐  IFGW  

F128  –  2o    Semestre  de  2012  

1  

Posição e Deslocamento O vetor posição em 2D fica definido em termos de suas coordenadas cartesianas por:

No caso espacial, 3D, temos:

θy

.

x

y

x

j

i

r r (t) = x(t)i + y(t) j

r (t) = x(t)i + y(t) j + z(t)k

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Velocidade

jirrrv ˆˆ)()(ty

tx

ttttt

m ΔΔ+

ΔΔ=

ΔΔ=

Δ−Δ+=

dtd

tttt

t

rrrv

=Δ−Δ+=

→Δ

)()(lim0

jirv ˆˆ)(dtdy

dtdx

dttd +==

jvivv yxˆˆ+=

Como no caso unidimensional, o vetor velocidade média é:

O vetor velocidade instantânea é:

Em termos de componentes cartesianas:

ou:

(1)

Decorrências da definição (1): a) v é sempre tangente à trajetória;

b) coincide com o módulo da velocidade escalar definida anteriormente.

v

)(tr )( ttr Δ+rΔ

x

y trajetória

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Aceleração

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dtd

tttt

t

vvva

=Δ−Δ+=

→Δ

)()(lim0

jiva ˆˆ)(dtdv

dtdv

dttd yx +==

Novamente como no caso 1D, a aceleração média é:

Em termos de componentes cartesianas:

ou:

A aceleração instantânea é:

2

2 )(dttd

dtd rva

==

jaiaa yxˆˆ+=

ou: (2)

Decorrências da definição (2): a) a aceleração resulta de qualquer variação do vetor velocidade (quer seja do módulo, da direção ou do sentido de ); b) O vetor aceleração está sempre voltado para o “interior” da trajetória.

v

4  

am =

v(t +Δt)−

v(t)

Δt=ΔvΔt

=Δvx

Δti +Δvy

Δtj+Δvz

Δtk

Movimento de um projétil

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componente x de

componente y de

componente x de

componente y de

Nesse caso ay = -g e ax=0. Na direção x, vx é constante!

r

v gtvv

gttvyy

vvtvxx

yy

y

xx

x

−=

−+=

==+=

0

200

0

00

21

constanter

v

jyixr ˆˆ000 +=

jvivv yxˆˆ

000 += Em t = 0:

x

y

Trajetória g

Nota: ro e vo são as condições iniciais

do movimento.

5  

Para descrever o MCU usamos as coordenadas polares R e ϕ. O arco sobre a trajetória que subentende um ângulo ϕ é: s = Rϕ. A posição angular ϕ é uma função do tempo, ϕ(t) . O arco descrito em dt é dado por ds = R dϕ. Então:

Se :

(v: velocidade tangencial)

(Movimento circular uniforme)

.)( constdtdt ≠= φω )()()( tR

dttdR

dttdv αω ≡=Se

(Movimento circular acelerado)

)(

2

)(

ˆˆ)(

tata

N

T

rRvvRta ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−+=α

Movimento circular

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x

y

O

dφ ρ=

R

φφ + dφ

ds

dsdt

= v = R dφdt

= Rω

ω=

dφdt

= cte φ=φo +ωt

Posição relativa:

Velocidade relativa :

,BAPBPA rrr +=

BAPBPA vvv +=

P A B

•

PAr

PBr

BAr

que é função do tempo: )()()( trtrtr BAPBPA

+=

Aceleração relativa: dtvd

dtvd

dtvd BAPBPA

+= BAPBPA aaa +=

dtrd

dtrd

dtrd BAPBPA

+=

Em referenciais inerciais (os que se movem um em relação ao outro em translação retilínea e uniforme): 0

=BAa PBPA aa =

(a aceleração é a mesma quando medida em dois referenciais inerciais).

Movimento Relativo

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vBA

vPB

vPA

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Exercício 01 A figura abaixo mostra o movimento de

um cachorro em um terreno plano, do ponto A (no instante t=0) para o ponto B (em t=5,00 min), C (em t=10,0 min) e finalmente, D (em t=15,0 min). Considere as velocidades médias do cachorro do ponto A para cada um dos outros três pontos. Entre essas velocidade média determine: a)  o módulo e ângulo da que possui o menor

módulo; b)  o módulo e ângulo da que possui o maior

módulo;

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Respostas: a)  0,83 cm/s e 0o; b)  0,11 m/s e -63o

-50

-25

0

25

25 50

x (m)

y (m)

A C

B

D50

Exercício 01

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-50

-25

0

25

25 50

x (m)

y (m)

A C

B

D50

-50

-25

0

25

25 50

x (m)

y (m)

A C

B

D50

a) b)

Δr =rA−rC

rA

rC

rA

rD

Δr =rA−rD

Solução:

a) trajetória parabólica: yyx 62 2 −=

x

y y=3

y=0 60,4)( +== tdttdxvX

0,1)( ==dttdyvY

b) 0,4)( ==

dttdva X

X

0)( ==dttdva Y

Y

c)

Exercício 02 Uma partícula se movimenta sobre um plano. Em um dado referencial,

as coordenadas da partícula são dadas por: x = 2,0t2 +6,0t (m) y = 1,0t + 3,0 (m) Estude o movimento da partícula, isto é:

a)  determine sua trajetória; b)  determine as componentes da velocidade em função do tempo; c)  determine as componentes da aceleração em função do tempo.

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20 21 tgtvr +=Após um tempo t, é o vetor de posição do projétil.

Mas este é exatamente o vetor de posição do macaco. Restrição: R (alcance da bala) d. ≥

r

tv0

2

21 tg

0v

d

M •

http://www.youtube.com/watch?v=cxvsHNRXLjw

Exercício 03 Um caçador, localizado a uma distância de uma árvore, dispara contra

um macaco que se encontra em um galho a uma altura h. No exato instante do disparo, o macaco se solta do galho. Sendo v0 a velocidade inicial da bala, mostre analiticamente que a bala atinge o macaco, e calcule o instante em que isto ocorre.

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Exercício 04 Dois carros percorrem estradas retilíneas perpendiculares entre si. O

carro (1) (ver figura) tem velocidade uniforme de 72 km/h. O carro (2) arranca no instante t = 0 com aceleração constante de 2,0 m/s2. Qual é o movimento (velocidade e trajetória do carro (2) em relação ao carro (1) ?

F128 – 2o Semestre de 2012 12

trajetória de (2) no referencial de (1): movimento semelhante ao de um projétil, uma semi-parábola de equação:

4002

22

20

xxvay ==

72 km/h

(1)

(2)

t = 0

y

v0 = 72 km/h

x (1)

a = 2m/s2

movimento aparente de (2)

Exercício 05

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Um esquiador desce de uma colina e desliza-se por uma rampa com uma velocidade vo e um ângulo de inclinação θ. A colina tem um ângulo de inclinação α como é indicado na figura.

a)  Determine o tempo de vôo do esquiador, ou seja o tempo no qual a pessoa está no ar.

b)  Determine a posição na qual ela bate com a colina.

Exercício 06-Opcional

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A posição de uma partícula em função do tempo é dada por:

r = 4sin ωt( )i + 4cos ωt( )i

onde r está em metros e t em segundos. a) descubra a trajetória desta partícula; b) calcule o vetor velocidade da partícula; c) calcule o vetor aceleração; d) mostre que a direção da aceleração é radial e determine seu módulo.e) mostre que os vetores

v e a são perpendiculares.

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Exercício 07-Opcional

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Um menino gira uma pedra, em um círculo horizontal de raio 1,1 m a uma altura de 1,6 m acima do solo. A corda que segura a pedra rompe-se e a pedra, após voar horizontalmente, atinge o chão depois de viajar uma distância horizontal de 8,7 m. Qual é a magnitude da aceleração centrípeta da pedra em movimento circular?