EXERCICES DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS

I Relation de Bernoulli et premier principe de la thermodynamique

Un fluide considéré comme parfait est en écoulement stationnaire, irrotationnel et isentropique. 

1) Montrer que l' écoulement est barotrope, c'est­à­dire que ρ dépend seulement de P.

2) En déduire que l'équation de Bernoulli prend la forme : v2/2 + epm + h = cste, où h est l'enthalpie massique du fluide

3) Montrer que cette relation est en fait vérifiée pour un fluide quelconque en écoulement isentropique et stationnaire.

II­Temps de vidange d'un récipient

 1) Calculer le temps de vidange T d'un récipient ayant la forme d'un cylindre de hauteur H et de rayon R , complètement rempli d'un fluide partait qui s'écoule par un orifice circulaire de rayon r situé dans le fond du cylindre . Données: R=10cm, r=0,5cm et H=50cm.

2) Le récipient n'est plus cylindrique, mais possède toujours un axe de révolution vertical. Quelle devrait être l'équation z = f(r) d'une génératrice pour que la hauteur de fluide restant dans le récipient soit proportionnelle au temps écoulé ?

3) Quelle est l'application d'un tel système ?

III­Théorème d'Hugoniot

Un gaz parfait est en écoulement unidimensionnel permanent dans une tuyère possédant un axe de révolution, de section variable S.À une variation élémentaire dS de la section correspondent des variations dP de la pression P,  dp de la masse volumique p, dv de la vitesse v, dh de l'enthalpie massique h et dT de la température T du gaz. l) Exprimer la relation liant dS , dp et dv. 2) L'écoulement étant supposé isentropique, déterminer une  relation liant dP , dp, et la célérité c du son dans le gaz. Relier en outre dh, dP et ρ. 3) Dans la tuyère, le gaz n'effectue aucun échange énergétique avec l'extérieur. En déduire une relation liant dh et dv . 4) Déduire des résultats précédents une relation directe entre dS et dv faisant intervenir la célérité c : cette relation constitue le théorème d'Hugoniot.5) Le gaz est détendu dans une tuyère, la vitesse d'entrée du gaz dans la tuyère étant faible devant la célérité c . Montrer que la section de la tuyère doit d'abord diminuer (tuyère convergente). Cette section passe en fait par un minimum (tuyère convergente­divergente), encore appelé col. Discuter de la valeur de la vitesse après le col.