Ex 5.3) Perfil de velocidades parabólico [1 / u =u0 −r...

Ex 5.3) Perfil de velocidades parabólico ]/1[ 220 Rruu −=

a) A vazão volumétrica no duto – R = 0,10 m e u0 = 10 m/s

b) A velocidade média V do escoamento no tubo

Determinar:

Fluxo de massa: ∫= dAnVrm ).(ρ&

Relação em ter Fluxo de massa e Fluxo volumétrico: ρ.Qm =&Considerando a densidade do fluido constante na seção transversal:

∫

−=

Rrdr

RruQ

0

2

0 21 π

smQuAuRQ

uRuRQ

duRQ

duRQ

dRuQ

RddrRr

T /15,022

)(

412

422

)(2

)1(2

2)1(

3002

02

42

02

1

0

30

2

1

0

20

2

1

0

220

=⇒==

=−=

−=

−=

−=

=→=

∫∫

∫

π

πηηπ

ηηηπ

ηηηπ

ηηπη

ηη

a)

b) ;. TAUQ =20uAQ T=

smuU /52

0 ==

Ex 5.7) Teste sanguíneo

sftVddVV

dVVd

dVdxddtd

dxddvxAv

dAnVrdvdtd

fA

Sef

Afe

s

Af

s

s

scvc

/22

04

).(4

04

).(4

4.

0).(

2

22

22

2

=⇒

=

=

−+

=

=

−+

=⇒=

=+ ∫∫

πρπρ

πρπρ

π

ρρ

Fronteira onde cruza massa

Fronteira onde não cruza massa mas se deforma

Ex 5.8) Unidade de Ar condicionado

1

3

2

Q

Dados:

CTkPaP

smV

º50100

/5,2

1

1

31

===&

CTkPaP

smV

º70100

/0,6

1

1

32

===&

CTkPaP

V

º2095?

1

1

3

===&

Eq. da Conservação da Massa: ∫∫ =ρ+ρscvc

dAnVrdvdtd 0).(

Hipóteses: Regime Permanente

0)()()(

0

321

321

=ρ+ρ−ρ−

=+−−

VVV

mmm&&&

&&&

Com as hipóteses acima, a equação da conservação da massa fica:

Sendo:ν

=ρ1

)1(2

2

1

133

ν

+ν

ν=VVV&&

&

Considerando gás ideal: RTP =νKkgkJR ./287,0=

Ex 5.8) Continuação...

Calculando os volumes específicos:PRT

=ν

kgm

kgm

kgm

/885,095

)27320.(287,0

/984,0100

)27370.(287,0

/927,0100

)27350.(287,0

33

32

31

=+

=ν

=+

=ν

=+

=ν

Logo, a vazão volumétrica na saída é (eq. 1):

smV

VVVV

/783,7

984,00,6

927,05,2885,0

33

32

2

1

133

=

+=⇒

ν

+ν

ν=

&

&&&

&

Ex 5.9) Tanque de Água

Eq. da Conservação da Massa:

∫∫ =ρ+ρscvc

dAnVrdvdtd 0).(

Como deve-se manter o nível constante de água no tanque,

0=∫vc

dvdtd ρ

Considerando propriedades uniforme na seção de fluxo e um sistema de controle que possui 2 entradas e 1 saída e, o fluxo de massa que cruza as fronteiras fica da seguinte forma:

sftx

xxVAQVAV

VAQquenoteAVAVAV

VAVAVAmmm

/5,11109,4

)109,4.14,7()1017,1.10()(

)(

)(:;)(

)()()()()(

2

22

22

312

332

312

231

231

=+

=⇒+

=

=+

=

=+=+

−

−−

ρρρ&&&

Ex 5.10) Variação da altura do nível da água (referente ao problema 5.9)

Eq. da Conservação da Massa:

∫∫ =+scvc

dAnVrdvdtd 0).(ρρ

sftxdtdh

xxdtdh

AQVAVA

dtdh

VAVAVAdtdhA

T

vol

T

/107,67

735,0)109,4.5,11()1017,2.12(

)()()(

)()()(

3

22

321

321

−

−−

=

−+=

−++=

ρ−ρ+ρ=ρ

Ex 5.12) Mancal Axial

Dados:

skgm

relativadensW

/06,0

88,0.

=

=ρρ

=

&?

?

?

2

1

=

=

=

VVV

&

Hipótese: Regime Permanente e propriedades constantes

)1(..4

)()(211

2

21

21

LddVV

AVAV

mm

=

ρ=ρ

= &&

)2(/64,9)003,0.(.880

06,0.44 21

21

11 smVdVm =π

=⇒π

ρ=&e

Assim,

smV /1085,0002,0.10,0.4

)003,0.(64,9 2

2 == smxdVV /102,684

3621

1−=

π=&

Ex 5.14) Jato incide sobre uma plataforma circular

Dados:

fPeso

fPlataforma

J

lbPlbP

FT

20020

º60

==

=

∫ ∫ ∫∫ ++−=+vc

mecsc

FdvgdAnpdAnVrVdvVdtd ρρρ ).(

Equação da Quant. de Movimento:

Como o jato incide verticalmente sobre a placa circular, a equação da quantidade de movimento deverá ser analisada na direção Y somente

Considerando que a velocidade do jato não se altera com o tempo e que a pressão atuante em todo volume de controle é uniforme, então:

Ex 5.14) Continuação...

sftVousmVx

VA

gMMV

gMMAVV

PPdAnVrV

dvgdAnVrV

JJ

JJ

PesodiscoJ

PesodiscoJJJ

Pesodiscosc

sc

/3,73/34,221096,1.999

8,9)7,9007,9(.

).(

).()(

)().(

).(

3

==

+=⇒

+=

+−=−+

+−=

=

−

∫∫∫

ρ

ρ

ρ

ρρ

232

3

1096,14

05,0

.7,9064,88907,996,88

/999º5,15

mxdAmd

kgMNPkgMNP

mKgCT

JJJ

PesoPeso

DiscoDisco

−==→=

=→==→=

=→=

π

ρDados no S.I:

Ex 5.17) Jato horizontal em uma pá curva

Dados: 32 /1000º10;010,0;/5,2 mkgCTmAsmV JJ ≅→=== ρ

NNFF

FAVCosVAVV

FdAnVrV

XMec

XMec

XMecJJJJJJ

mecsc

37,312437,3124)160(cos010,025.1000

))(())((

).(

,

2,

,

=−−

−=−

−=++−+

=

=

∫αρρ

ρ

Se a velocidade do jato é constante e a pressão é uniforme em todo volume de controle, então a e.m. fica:

Ex 5.19 ) Tanque sobre uma balança

y

x

smQQ

NG

outin

T

/05,0

9003==

=

Equação da quantidade de Movimento:

∫ ∫ ∫∫ ++−=+vc

mecsc

FdvgdAnpdAnVrVdvVdtd ρρρ ).(

Regime Permanente e volume de controle que não se deforma:

∫ =vc

dvVdtd 0ρ

Considerando propriedades constantes na seção de fluxo e que o S.C. em Y possui somente uma fronteira por onde cruza massa, a equação da q.m. fica:

12

1

12

1

111

)(

)(

)())((

AVgmF

FgmAV

FgvAVV

TMec

MecT

Mec

ρ

ρ

ρρ

+=

+−=

+−=−− Da tabela A-9: 3/3,998º20 mkgT =→= ρ

kgMkgM

md

OH

T

3,99883,91

05,0

2

1

==

=

kNFMec 52,11=

Ex 5.27) Duto com contração abrupta

Equação da Energia: perdassai

I

ent

Ieixo hgPz

gV

gPz

gV

gw

−

++−

++=

ρρ 22

22

Como não há trabalho de eixo e considerando o mesmo nível para as duas seções, a equação da energia fica:

ghgVVPP

hgV

gP

gV

gP

hgP

gV

gP

gV

L

L

perdassai

I

ent

I

ρ

ρρ

ρρ

+

−=−

++=+

+

+=

+

2)(

22

22

21

22

21

2212

211

22 Sendo:

mh

smDVV

smDVV

L 0694,0

/945,14

/291,04

22

2

21

1

=

==

==

π

π&

&

PaPP

PP

7,2529

0694,0.807,9.10002

)291,0945,1(1000

21

22

21

=−

+−

=−

Dados:

mDmD

smV

2,11,3

/2,2

2

1

31

===&

gVhL 2

2=

Ex 5.29) Escoamento isotérmico

mhmz

PaxP

mdmL

smVw

perdas

Tubo

Tubo

eixo

68,10648,30

10378,1

0254,08,304

/30

2

61

===

==

==

Equação da Energia – Como dos diâmetro de entrada e saída são iguais, as velocidades de entrada e saída se anulam.

psigPouPaxP

xghzPP

hgPz

gP

perdas

perda

9,41038,3

8,9*1000*)68,10648,30(10378,1)(

0

24

2

6212

22

1

==

+−=+−=

−−−=

ρρρ

5.52 – Bombeamento de água adiabático e a regime permanente. Calcular apotência de alimentação necessária, considerando desprezível a variação de energia potencial.

Dados:

skgmsmVMPapsmVMPap

ss

ee

/10/20;0,1/0,1;1,0

=====

&

ss

ee gzVpumgzVpumWQ ∑∑

+++−

++++−=

22dtdE

:Controle de Volumes para Lei 122

a

ρρ&&

kWW

VpVpmW

zuu

mmdtdE

se

es

es

se

01,112

2099810

21

9981010

220

z:ldesprezíve potencial energia de variação:isdesprezíve ras temperatude variações

;0 :Permanente Regime

2625

22

−=

+−

+=⇒

+−

++−=

==

==

&

&&

&&

ρρ

5.53 – Calcular a potência máxima que uma turbina hidráulica pode produzir, dadas a altura de elevação e a vazão.

Dados:skgmmsmVazão

mzz se

/100000/100

100

3 =⇒==

=−

&&

ρ

ss


+++−

++++−=

22dtdE


a

ρρ&&

( )( ) MWW

zzgmW

Vpp

uu

mmdtdE

se

es

es

es

se

1,9810081,9100000

0

V:ldesprezíve cinética energia de variação:VC do entrada na e saída na atua aatmosféric pressão

:isdesprezíve ra temperatude variação


=⋅⋅=⇒

−+−=

==

=

==

&

&&

&&

5.55 – Calcular a potência produzida por uma turbina a vapor adiabáticaoperando em regime permanente.

Dados:

skgmsmVxkPapsmVCTMPap

se

eee

/500/100;95,0;5,7

/30;º600;0,5

====

===

&

ss


+++−

++++−=

22dtdE


a

ρρ&&

( )( ) MWW

zzgmW

zz

mmdtdE

se

se

se

1,9810081,9100000

0

:ldesprezíve altura de variação


0Q :Adiabático

=⋅⋅=⇒

−+−=

=

==

=

&

&&

&&

&

;/5,3666h:3-A.1 Tab. ido.superaquec vapor é entrada na estado O e kgkJ=

kgkJhkgkJkgkJ

s /5,24548,257495,097,16805,0/8,2574h;/97,168h:2-A.1 Tab.

0,95. xcomvapor -líquido mistura é saída na estado O

vl

=⋅+⋅===

=

( )

MWW

W

4,603]:é turbinapela fornecida potênciaA

210030105,24548,366550000

: Lei 1 na valoresos doSubstituin22

3

a

=

−+⋅−+−=

&

&

5.60 – Comparar o trabalho produzido em um processo reversível em regime permanente com variações desprezíveis de energia cinética e potencial com os trabalhos necessários para comprimir um sistema formado de uma unidade de massa entre os mesmos limites de pressão para os seguintes casos:

a) Um processo isotérmico (T1=T2=T) reversível

( )

=−−=−=−=

=⇒=

∫∫2

112 lnlnln

.ideal, gás um Para

ppRTppRTdp

pRTvdp

mw

pRTvRTpv

&

&

b) Um processo adiabático (Q=0) reversível

( ) ( )

( )1122

1/1

1/11

12/1

2/11

2/11

1/11

21

/11

2

1

/11

1/1

1

2

1/11

/11

2211

1

11

/11

/111

ideal, gás um Para

2/1

2

vpvpmw

vppvppppvpmw

pvpdpp

vpvdpmw

vpvpctepv

vp

cte

−−

=

−−−

=−−

−=

−

−=−=−=

===

−−−−

−

∫∫

γγ

γγγ

γ

γγγγγγγ

γγ

γγ

γγγ

γ

&

&

876

&

&

321&

&

5.64 – Calcular o trabalho por unidade de massa realizado na compressão de refrigerante R-12. O processo é adiabático e reversível, em regime permanente. As variações de energia cinética e potencial podem ser desprezadas. Dados:

kgkJKkgkJsKkgkJss

KkgkJskJ/kg,hMPa,p

es

eesat

/650,216hC70ºT para /696,0 1,60MPa,p 2.2,-A Tab. Da/696,0coisoentrópi processo reversível e adiabático Processo

/696,0;397187;30860:2-A tab.Da C.0º a saturado vapor :1 Estado

e =→=⋅==⋅==→=

⋅===

( )se

ss

ee

hhmW

gzVpumgzVpumWQ

−=

+++−

++++−= ∑∑

&

&

&&

:a acima, hipóteses das aplicação a após reduz, se que

22dtdE


a

ρρ

( ) kgkJmW /25,29650,216397,187

:Assim

−=−=&

&

5.70 – Determinar a vazão mássica de água de resfriamento em um condensador de vapor. Hipóteses: regime permanente, variações desprezíveis de energia cinética e potencial.

21335

2333

225

22

115

11

;/200;10; e 2.1(º5,47

?;/100;10;º25

)31..(/4,2776;/1,0;10;º150T:Dados

mmmkgkJhPaphpparaTabACT

mkgkJhPapCT

ATabkgkJhskgmPapC

&&&

&

&

+===−≈

====

−====

( ) ( ) ( ) skgmhhhhmmhmmhmhm

gzVpumgzVpumWQs

se

e

/576,2200100

4,27762001,0:a acima, hipóteses das aplicação a após reduz, se que

22dtdE


232

13123212211

22

a

=⇒−−

=−−

=⇒+=+

+++−

++++−= ∑∑

&&

&&&&&

&&ρρ

1m&2m&

3m&

213321 0:massa da oConservaçã

mmmmmm &&&&&& +=⇒=+−−

5.72 – Determinar o que representam as áreas sob os gráficos dos ciclosRankine (Fig. 5.16) e de compressão a vapor (Fig 5. 20)

negativos. são líquido, trabalhoo ementeconsequent e líquido,calor o Assim, .(positivo) fornecidocalor o representa 1 a 4 de linha a e a ,(negativo) cedidocalor o

representa 3 a 2 de linha a que em vapor,a compressão de ciclo do caso ao aplica se idéia mesmaA líquido. trabalhoao igual é ciclo num que

líquido,calor o representa gráfico do área a Então .(negativo) cedidocalor o representa 1 a4A dee ,(positivo) fornecidocalor o representa3A a 2 de linha a Rankine, ciclo do caso No

ideal. ciclo um para ,Tds é ciclo do interna áreaA ciclo revQ=∫

Ex 5.3) Perfil de velocidades parabólico [1 / u =u0 −r...

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