Estadística Bayesiana - eva.fing.edu.uy · PDF file5 4. Conceptos bayesianos...

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  • ESTADSTICA BAYESIANA

    Notasndice1. INTRODUCCIN.............................................................................................................12. ESTADSTICA BAYESIANA ............................................................................................23. QU ES LA INFERENCIA BAYESIANA?......................................................................34. CONCEPTOS BAYESIANOS BSICOS .........................................................................54.1. Teorema de Bayes ..................................................................................................................................... 54.2. Naturaleza secuencial del teorema de Bayes ............................................................................................ 74.3. Distribucin a priori difusa o no informativa ............................................................................................... 74.4. Distribucin a priori conjugada ................................................................................................................. 105. INFERENCIA BAYESIANA............................................................................................125.1. Estimacin puntual ................................................................................................................................... 125.2. Intervalos de credibilidad o regiones veraces .......................................................................................... 165.3. Prueba de hiptesis para una muestra .................................................................................................... 175.4. Prueba de hiptesis para dos muestras................................................................................................... 186. CONCLUSIONES ..........................................................................................................207. BIBLIOGRAFA..............................................................................................................20

    1. Introduccin

    Como anunciaba Lindley en el primer Congreso Internacional de Estadstica Bayesiana, falta menos para el2021 ao en el que el adjetivo bayesiano para la estadstica sera superfluo al ser bayesianas todas lasaproximaciones a la estadstica.El objetivo de la estadstica, y en particular de la estadstica Bayesiana, es proporcionar una metodologapara analizar adecuadamente la informacin con la que se cuenta (anlisis de datos) y decidir de manerarazonable sobre la mejor forma de actuar (teora de decisin).

    Figura 1. Diagrama de la Estadstica

    Tipos de inferencia: clsica y bayesiana La toma de decisiones es un aspecto primordial en la vida de un profesional, por ejemplo, un mdico

    debe de tomar decisiones. La metodologa estadstica clsica se puede ver como un conjunto de recetas que resultan apropiadas

    en determinados casos y bajo ciertas condiciones.

    Toma dedecisiones

    Anlisis dedatos

    Inferencia Muestreo

    Poblacin

    Muestra

    http://www.uv.es/~bernardo/2005Test.pdfhttp://www.uv.es/~bernardo/2005Test.pdfhttp://www.uv.es/~bernardo/2005Test.pdfhttp://www.uv.es/~bernardo/2005Test.pdfhttp://www.uv.es/~bernardo/2005Test.pdfhttp://www.uv.es/~bernardo/2005Test.pdfhttp://www.uv.es/~bernardo/2005Test.pdfhttp://www.uv.es/~bernardo/2005Test.pdfhttp://www.uv.es/~bernardo/2005Test.pdfhttp://www.uv.es/~bernardo/2005Test.pdfhttp://www.uv.es/~bernardo/2005Test.pdfhttp://www.uv.es/~bernardo/2005Test.pdfhttp://www.uv.es/~bernardo/2005Test.pdfhttp://www.uv.es/~bernardo/2005Test.pdfhttp://www.uv.es/~bernardo/2005Test.pdf

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    Sin embargo, existe una metodologa unificada y general que se deriva de analizar el proceso lgicoque debe de seguirse para tomar una decisin (teora de la decisin), y que incluye como casoparticular al conjunto de recetas clsicas.

    La estadstica esta basada en la teora de probabilidades. Formalmente la probabilidad es una funcinque cumple con ciertas condiciones, pero en general puede entenderse como una medida ocuantificacin de la incertidumbre.

    Aunque la definicin de funcin de probabilidad es una, existen varias interpretaciones de laprobabilidad:(a) clsica: Supone que el experimento aleatorio produce resultados igualmente verosmiles (posibles)

    y propone como medida de probabilidad el cociente entre los casos favorables y los casos totales,

    ( )Pr An

    An

    =

    (b) frecuentista: Supone que un experimento aleatorio puede ser repetido un nmero infinito de vecesbajo condiciones similares y propone como medida de probabilidad la proporcin de veces queocurri el evento de inters,

    ( )Pr lim Ann

    An

    =

    (c) subjetiva: Es simplemente una medida de la incertidumbre, asociada a un evento, asignada por undecisor. En otras palabras, es un juicio personal sobre la verosimilitud de que ocurra un resultado.

    ( )Pr A = La metodologa bayesiana est basada en la interpretacin subjetiva de la probabilidad y tiene como

    punto central el Teorema de Bayes.

    Figura 2. Retrato del Reverendo Thomas Bayes (1702-1761)

    2. Estadstica bayesiana

    El inters por el teorema de Bayes trasciende la aplicacin clsica, especialmente cuando se ampla a otrocontexto en el que la probabilidad no se entiende exclusivamente como la frecuencia relativa de un sucesoa largo plazo, sino como el grado de conviccin personal acerca de que el suceso ocurra o pueda ocurrir(definicin subjetiva de la probabilidad). Afirmaciones del tipo "es muy probable que el partido X gane lasprximas elecciones", "es improbable que Juan haya sido quien llam por telfono" o "es probable que seencuentre un tratamiento eficaz para el sida en los prximos cinco aos", normales en el lenguaje comn,no pueden cuantificarse formalmente; resultan ajenas, por tanto, a una metodologa que se desenvuelva enun marco frecuentista. Una cuantificacin sobre base subjetiva resulta, sin embargo, familiar y fecunda parael enfoque bayesiano. Al admitir un manejo subjetivo de la probabilidad, el analista bayesiano podr emitirjuicios de probabilidad sobre una hiptesis H y expresar por esa va su grado de conviccin al respecto,tanto antes como despus de haber observado los datos. En su versin ms elemental y en este contexto,el teorema de Bayes asume la forma siguiente:

    ( ) ( )( ) ( )Pr |

    Pr | PrPrdatos H

    H datos Hdatos

    =

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    La probabilidad a priori de una hiptesis, ( )Pr H , se ve transformada en una probabilidad a posteriori,( )Pr |H datos , una vez incorporada la evidencia que aportan los datos. El caso considerado se

    circunscribe a la situacin ms simple, aquella en que ( )Pr H representa un nmero nico; sin embargo, sise consiguiera expresar la conviccin inicial (y la incertidumbre) mediante una distribucin deprobabilidades.Entonces una vez observados los datos, el teorema "devuelve" una nueva distribucin, que no es otra cosaque la percepcin probabilstica original actualizada por los datos.Esta manera de razonar de la inferencia bayesiana, radicalmente diferente a la inferencia clsica ofrecuentista (que desdea en lo formal toda informacin previa de la realidad que examina), es sin embargomuy cercana al modo de proceder cotidiano, e inductivo. Debe subrayarse que esta metodologa, adiferencia del enfoque frecuentista, no tiene como finalidad producir una conclusin dicotmica (significacino no significacin, rechazo o aceptacin, etc.) sino que cualquier informacin emprica, combinada con elconocimiento que ya se tenga del problema que se estudia, "actualiza" dicho conocimiento, y latrascendencia de dicha visin actualizada no depende de una regla mecnica.Los mtodos bayesianos han sido cuestionados argumentando que, al incorporar las creencias oexpectativas personales del investigador, pueden ser caldo de cultivo para cualquier arbitrariedad omanipulacin. Se podra argir, por una parte, que el enfoque frecuentista no est exento de decisionessubjetivas (nivel de significacin, usar una o dos colas, importancia que se concede a las diferencias, etc.);de hecho, la subjetividad (algo bien diferente de la arbitrariedad o el capricho) es un fenmeno inevitable,especialmente en un marco de incertidumbre como en el que operan las ciencias biolgicas y sociales. Porotra parte, las "manipulaciones" son actos de deshonestidad, que pueden producirse en cualquier caso(incluyendo la posibilidad de que se inventen datos) y que no dependen de la metodologa empleada sinode la honradez de los investigadores.Aunque las bases de la estadstica bayesiana datan de hace ms de dos siglos, no es hasta fechasrecientes cuando empieza a asistirse a un uso creciente de este enfoque en el mbito de la investigacin.Una de las razones que explican esta realidad y que a la vez anuncian un impetuoso desarrollo futuro es laabsoluta necesidad de clculo computarizado para la resolucin de algunos problemas de medianacomplejidad. Hoy ya existe software disponible (BUGS, macros para MINITAB, prxima versin de EPIDATy First Bayes, entre otros) que hace posible operar con estas tcnicas y augura el "advenimiento de una eraBayesiana".El proceso intelectual asociado a la inferencia bayesiana es mucho ms coherente con el pensamientousual del cientfico que el que ofrece el paradigma frecuentista. Los procedimientos bayesianos constituyenuna tecnologa emergente de procesamiento y anlisis de informacin para la que cabe esperar unapresencia cada vez ms intensa en el campo de la aplicacin de la estadstica a la investigacin clnica yepidemiolgica.

    3. Qu es la inferencia bayesiana?

    El marco terico en que se aplica la inferencia bayesiana es similar a la clsica: hay un parmetropoblacional respecto al cual se desea realizar inferencias y se tiene un modelo que determina laprobabilidad de observar diferentes valores de X, bajo diferentes valores de los parmetros. Sin embargo, ladiferencia fundamental es que la inferencia bayesiana consi