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4 Modelos del campo usando armónicos esféricos

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4.1 Introducción

Se pueden usar las observaciones para medir el campo geomagnético a ubicacionesespecíficas.

Hay que considerar las ubicaciones (r, θ, φ) donde no hay mediciones.

Idealmente, queremos usar todas las observaciones geomagnéticas juntas para definir unmodelo del campo geomagnético global.

Este modelo nos dará la mejor estimación posible a cualquier latitud, longitud y altitud.

Para la construcción de un modelo del campo global, usaremos funciones con una geometríaesférica ortogonales que suman a dar el potencial magnético.

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4.2.1 Funciones periódicas en una dimensión

Cualquier función f(t), que es periódica sobre un intervalo T , puede ser representada poruna suma de sinusoides con un número de onda entero m.

Este técnico es comúnmente conocido como una serie de Fourier:

f(t) =

∞∑

m=0

(

am cos2πmt

T+ bm sin

2πmt

T

)

Las funciones sinusoidales son ortogonales. Es decir que la integración de su producto sobreel intervalo T es cero, a menos que su números de ondas son idénticos:

∫T

0

cos2πmt

Tcos

2πnt

Tdt =

T2

0

T

, si m = n 6= 0;

, si m 6= n;

, si m = n = 0;

Usando esta ortogonalidad, podemos fácilmente evaluar las coeficientes am y bm si sabemosla función f(t).

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4.2.2 La función para longitud

Imagínese la función periódica f(t) alrededor de un círculo de longitud. t es equivalente a lalongitud (φ), con T = 2π, y entonces:

f(φ) =

∞∑

m=0

am cosmφ + bm sinmφ

Si la serie representa la función de longitud a cualquier latitud, entonces:

f(θ, φ) =

∞∑

m=0

am(θ) cosmφ + bm(θ) sinmφ

Debemos encontrar una función para representar la co-latitud (θ)

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4.2.3 La función para latitud

Las funciones de co-latitud en una esfera no necesitan ser periódicas como las funciones delongitud.

Entonces una base sinusoidal no es una buena elección.

También, existen problemas porque las funciones latitudinales se convergen en los polos.

Para la representación de variaciones latitudinales en una esfera necesitamos una basecompleta de funciones ortogonales. En principio, muchas funciones están posibles.

En muchos problemas físicos que usan geometría esférica (incluyendo la ecuación deLaplace, resuelta por la separación de variables), la elección natural son las funciones deLegendre para representar las variaciones latitudinales en una esfera.

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4.2.4 Las funciones asociadas de Legendre

Las funciones asociadas de Legendre son definidas matemáticamente por la relación:

Pl,m(µ) = (1 − µ2)

m2

∂m

∂µm

(

1

l!2l

dl

dµl(µ2

− 1)l)

donde µ = cos θ

l es el grado del polinomio, corresponde al número de líneas nodales en la latitud (cuando elorden m = 0).

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4.2.5 La definición de armónicos esféricos

Con una suma de las funciones asociadas de Legendre para la representación de unavariación latitudinal, obtenemos la siguiente representación para una función en unasuperficie esférica:

f(θ, φ) =∞∑

l=0

l∑

m=0

(gml cosmφ + h

ml sinmφ)Pm

l (θ)

Cada (l,m) representa una armónica esférica individual.

Para m > 0 cada armónica esférica consiste de una parte coseno y una parte seno.

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4.2.6 Las propiedades de armónicos esféricos

Los armónicos están cero en (l − m) líneas de latitud y 2m líneas de longitud.

Si (l − m) es par, los armónicos están simétricos alrededor del plano ecuatorial.

Si (l − m) es inpar, los armónicos están antisimétricos alrededor del plano ecuatorial.

Existen (2l + 1) coeficientes para cada grado l.

http://www.bpreid.com/poas.php

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4.2.7 La ortogonalidad de los armónicos esféricos

Similarmente a las sinusoidales en la serie de Fourier, los componentes de armónicosesféricos están ortogonales:

∫ 2π

0

∫π

0

cosmφPml (θ). cosm

′φP

m′

l′ (θ) sin θdθdφ =

{

04π

(2l+1)

, si l 6= l′ o m 6= m′;

, si l = l′ y m = m′;

∫ 2π

0

∫π

0

sinmφPml (θ). sinm

′φP

m′

l′ (θ) sin θdθdφ =

{

04π

(2l+1)

, si l 6= l′ o m 6= m′;

, si l = l′ y m = m′;

∫ 2π

0

∫π

0

sinmφPml (θ). cosm

′φP

m′

l′ (θ) sin θdθdφ = 0

Si multiplicamos cualquier función de interés en una superficie esférica por un armónicoesférico particular, y integramos sobre la esfera, la ortogonalidad de los armónicos nos dejedeterminar las coeficientes gm

l y hml :

{

gml

hml

}

=(2l + 1)

∫ 2π

0

∫π

0

f(θ, φ)Pml (θ)

{

cosmφ

sinmφ

}

sin θdθdφ

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4.3.1 El campo geomagnético y armónicos esféricos

En regiones libres de las fuentes del campo (sin corrientes eléctricas), y dado que no existenmonopolos magnéticos (estable y macroscópico), entonces B = −∇V y ∇ · B = 0.

El potencial magnético para el campo magnético terrestre entonces cumple la ecuación deLaplace en geometría esférica:

∇2V =

1

r

∂r

(

r2 ∂V

∂r

)

+1

r2 sin θ

∂θ

(

sin θ∂V

∂θ

)

+1

r2 sin2 θ

∂2V

∂φ2= 0

La solución general para el potencial magnético involucra los armónicos esféricos:

V = a

∞∑

l=1

l∑

m=0

[(a

r

)l+1

(gml cosmφ + h

ml sinmφ)P

ml (θ)

+

(r

a

)l

(qml cosmφ + s

ml sinmφ)P

ml (θ)

]

Las coeficientes son conocidos como las coeficientes de Gauss, medidas en nT. El constantea es el radio terrestre de referencia (6371 km).

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4.3.2 El campo interno y el campo externo

V = a

∞∑

l=1

l∑

m=0

Fuentes internas︷ ︸︸ ︷[(

a

r

)l+1

(gml cosmφ + h

ml sinmφ)Pm

l (θ)

+

(r

a

)l

(qml cosmφ + sml sinmφ)Pm

l (θ)

]

︸ ︷︷ ︸Fuentes externas

Noten que tenemos dos expansiones de los armónicos esféricos en la solución general a laecuación de Laplace con geometría esférica.

Los campos asociados con las fuentes internas y las fuentes externas tienen una diferentedependencia radial.

Entonces campos internos (por ejemplo del núcleo) y campos externos (por ejemplo de lamagnetosfera) pueden ser separados, si hay observaciones a diferentes alturas disponibles.

El campo interno es ∼97% del campo total observado en la superficie de la Tierra (exceptocuando hay una tormenta magnética).

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4.3.3 La relación entre armónicos y observaciones

Usando B = −∇V en geometría esférica, y la expresión para V usando armónicosesféricos, podemos escribir los componentes del campo. Por ejemplo, Br (para el campointerno, hasta grado L,) es:

Br = −∂V

∂r=

L∑

l=1

l∑

m=0

(l + 1)

(a

r

)l+2

(gml cosmφ + h

ml sinmφ)P

ml (θ)

Junto con expresiones similares para Bθ y Bφ, podemos construir las expresiones para lascomponentes observables del campo:

X = −Bθ H = (B2θ + B

2φ)

12 F = (B

2θ + B

2φ + B

2r)

12

Y = Bφ I = tan−1

−Br

(B2θ+ B2

φ)12

donde −π

2≤ I ≤

π

2

Z = −Br D = tan−1

[Bφ

−Bθ

]

donde − π ≤ D ≤ π

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4.3.4 Los polos geomagnéticos y el campo dipolar

El momento magnético del dipolo geomagnético a un radio a es:

mD =4πa3

µ0

(g01)

2 + (g11)

2 + (h11)

2

mD mide la magnitud del dipolo (en unidades Am2).

La inclinación del dipolo en las direcciones meridional (θ) y azimutal (φ), relativo al ejegeográfico de la Tierra, es:

θD = cos−1

(mzD

mD

)

= cos−1

g10

(g10)

2 + (g11)

2 + (h11)

2

φD = cos−1

(

mxD√

(mxD)2 + (myD)2

)

= cos−1

g11

(g11)

2 + (h11)

2

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4.3.4 Los polos geomagnéticos y el campo dipolar

La figura muestra el eje dipolar de la Tierra debido a un modelo del campo geomagnético de1990.

La componente dipolar explica un gran parte del campo magnético terrestre, pero las otrascomponentes están muy relevantes para muchos estudios geofísicos.

El polo norte geomagnético es el polo del eje dipolar (donde el eje se cruza con la superficiede la Tierra). El polo norte magnético es el punto en la Tierra donde I = 90◦. Estos dospolos son distintos.

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4.4 El espectro de las armónicas esféricas

Se puede separar las partes del campo asociadas con el núcleo y la corteza.

La potencia del campo magnético, en una superficie esférica, asociada con el grado armónico

l es (Lowes, 1974): Rl =(ar

)2l+4∑lm=0

[(gm

l )2 + (hml )2

]

Existen dos pendientes distintos, que indican dos fuentes internas con profundidades muydiferentes.

Tomando l < 14 para el núcleo, y l > 14 para la corteza, las dos fuentes internas puedenestar separados (parcialmente).

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4.5.1 Propiedades del campo magnético de hoy

Modelos globales (usando armónicos esféricos) están hoy día derivados de los datos desatélites y observatorios.

Los modelos globales del campo geomagnético incluyen:

1. IGRF = International Geomagnetic Reference Field: Derivado cada 5 años por lacolaboración internacional, disponible gratis y usado siempre en aplicaciones comerciales(por ejemplo GPS). Ese campo de referencia consiste de los armónicos esféricos hasta gradol = 13.

2. WMM = World Magnetic Model: Una colaboración EEUU/RU también publicado cada 5 años.

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4.5.2 La declinación D

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4.5.3 La inclinación I

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4.5.4 La intensidad horizontal H

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4.5.5 Componente al norte X

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4.5.6 Componente al este Y

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4.5.7 Componente vertical Z

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4.5.8 La intensidad total F

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4.6 Interrupciones de satélites

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4.7 Conclusión

Desviaciones significativas de un campo dipolar son observadas.

La mayor intensidad es cerca Canadá, en Siberia y entre Antártica y Australia.

La menor intensidad es cerca Sudamérica / El Atlántico del sur (South Atlantic Anomaly:SAA).

El campo vertical generalmente es más fuerte que el campo horizontal. Pero cerca elecuador, el campo horizontal tiene mayor intensidad.

Los armónicos esféricos son útiles para representar el campo.

Se puede separar el campo del núcleo y el campo de la corteza usando una representaciónde armónicos esféricos para el campo.

La determinación precisa de las coeficientes de Gauss gml y hm

l estará en la próxima clase.

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