Espacios de Hilbert con NR (Exp)

download Espacios de Hilbert con NR (Exp)

of 22

  • date post

    16-Feb-2016
  • Category

    Documents

  • view

    20
  • download

    0

Embed Size (px)

description

Espacios de Hilbert con NR (Exp)

Transcript of Espacios de Hilbert con NR (Exp)

  • Tesis ProfesionalEspacios de Hilbert con nucleo reproductivo

  • 1 Espacios de Hilbert

    Producto interior. Sea (H, ,+) un espacio vectorialsobre el campo F(= R o C), un producto interior sobreeste espacio, es una funcion , : HH F tal quei) x + y, z = x, y + y, z.

    ii) x, y = y, x.iii) x, x 0 y la igualdad se da, si y solo si x = 0.

    Teorema. Todo producto interior induce una norma,cuya forma es

    x = (x, x)1/2. (1)

    Espacio de Hilbert. Un espacio de Hilbert H sobreel campo F(= R o C) es un espacio vectorial (H, ,+)con producto interior definido , , cuya norma inducida(dada por (1)) es completa.

  • 2Propiedades. Si H es un espacio de Hilbert sobre F,entonces

    i) Desigualdad de Cauchy-Schwartz

    |x, y| xy.ii) Ley del Paralelogramo

    x + y2 + x y2 = 2(x2 + y2).iii) El producto interior es conjuntamente continuo

    sobre el espacio de Hilbert H. Esto es, si {xn}n1y {yn}n1, son sucesiones en H, tales que xn x yyn y, (en norma ) con x, y en H, entoncesxn, yn x, y.

    Un teorema importante. Sea (H, ,+) un espaciovectorial sobre F normado, entonces la norma deeste espacio proviene de un producto interior si y solo sicumple la ley del paralelogramo.

    Ortoganalidad y ortonormalidad. Sea H un espaciode Hilbert.

    i) xy x, y = 0.ii) S1S2 x S1 y y S2: x, y = 0.

  • 3Mas propiedades.i) Teorema de Pitagoras.

    Sea {x1, ..., xn} un subconjunto ortogonal de H, en-tonces

    ni=1

    xi2 =ni=1

    xi2.

    ii) Desigualdad de Bessel.Sea un subconjunto ortonormal de vectores en H,entonces

    x|y, xz, x| xz.

    iii) Proyeccion.Sea S un subespacio cerrado de H. Para cada x Hexiste un unico elemento y0 S tal que

    x y0 = inf{x y : y S}.El vector y0 S se conoce como la proyeccion de xsobre el subespacio S.

    iv) Si S es un subespacio cerrado de un espacio de HilbertH, entonces para toda x H, existe una unicarepresentacion x = y + z, donde y S y z S.Esta representacion unica esta dada por y = PS(x)(proyeccion de x sobre S) y z = x y. En otraspalabras, H = S S.

  • 4v) Si S es un subespacio cerrado de un espacio de HilbertH, entonces (S) = S = S.

    Teorema de Representacion de Riesz

    Funcionales.Un mapeo f : H F se denomina funcional (H espaciode Hilbert). Una funcional f es lineal si f (x + y) =f (x)+f (y). Es continua en x H si para toda > 0existe x() > 0 tal que si x x < x() entonces|f (x) f (x)| < ; y decimos que f es continua si f escontinua en cada punto x de H

    Teorema de Representacion de Riesz. Si f es unafuncional lineal continua sobreH, entonces existe un unicovector y H tal que f (x) = x, y, para toda x H.

  • 5 Nucleo Reproductivo

    Ejemplo.Sea In = {1, 2, ..., n}. Para un vector x = (x1, ..., x2) Rn podemos definir una funcion (manteniendo la notacion)x : Tn R tal que x(i) = xi, para toda i In. Sea H2nel espacio de todas estas funciones (obs: H2n es equivalentea Rn). En H2n introducimos el producto punto habitualen Rn, esto es, si x(i) = xi y y(i) = yi para x, y H2n,entonces,

    x, y =ni=1

    xiyi.

    El espacio H2n es un espacio de Hilbert.Ahora bien, si Kn : In In Rn tal que

    Kn(i, j) = ij.

    Entonces

    i) Kn(, j) H2n, para cada j In, yii) Si x H2n, tenemos que

    x(), Kn(, j) =ni=1

    x(i)i,j

    = x(j).

    Decimos que K posee la propiedad reproductiva y lodenominamos nucleo reproductivo de la clase H2n.

  • 6Nucleo reproductivo.Si E denota un conjunto y F un espacio de Hilbert sobreel campo F (complejo o real) de funciones f : E F,entonces la funcion K : E E F, es llamada nucleoreproductivo (n.r.) de F si

    i) Para toda y E, la funcion K(, y) : E F,pertenece a F (aqu usaremosKy en lugar deK(, y)).

    ii) Propiedad reproductiva: Para todo y E y todafuncion f F ,

    f (y) = f (), K(, y)(i.e. f (y) = f,Ky).

    Observacion.Si el nucleo K es real (esto es, si K(x, y) R para todox, y E), entonces K(x, y) = K(y, x), luego K(y, ) F , para todo x, y E. De tal suerte que la propiedadreproductiva tambien puede ser enunciada, en estos casos,con la expresion

    f (y) = f (), K(y, )para toda f F y toda y E.

  • 7Ejemplo.Sea t > 0 y Ht la clase de trayectorias continuasq : [0, t] R, tal que q(t) = 0 y q(s) existe casidondequiera y es cuadrado integrable (en el sentido deRiemann). Consideremos el producto interior

    q1, q2 = t

    0

    q1(s)q2(s)ds,

    para cualesquiera q1 y q2 en Ht.La funcion K : [0, t] [0, t] R dada por

    K(s1, s2) = tmax{s1, s2}define el nucleo reproductivo para Ht.

    En efecto

    i) Ks2 Ht para cada s2 [0, 1].ii) Sea s2 [0, t], entonces

    d

    dsK(s, s2) =

    {0 si s < s2

    1 si s2 < s.Luego

    q,Ks2 = t

    0

    q(s)d

    dsK(s, s2)ds

    = ts2

    q(s)ds

    = q(s2).

  • 8Propiedades del nucleo reproductivo.i) Unicidad. Si F tiene nucleo reproductivo entonces es

    unico.

    Ky K y2 = Ky K y, Ky K y = 0.ii) Existencia. F posee n. r. K, si y solo si, para cada

    y E, la funcional f 7 f (y) es continua sobre todoel espacio de Hilbert F .

    ] Sea y E y f F ,|f (y)| = |f (), K(, y)|

    fK(, y).Pero

    K(, y) = K(, y), K(, y)12 = K(y, y)12 .De modo que

    |f (y)| K(y, y)12f,lo cual implica que f 7 f (y) es continua.

    ] Si f 7 f (y) es continua, entonces segun elteorema de representacion de Riesz, existe K(, y) F tal que

    f (y) = f (), K(, y),por tanto, este es el nucleo buscado.

  • 9Ejemplo.Los espacios Lp no tienen nucleo reproductivo.

    El espacioLp([0, 1],B([0, 1]), ), p 1, (donde B([0, 1])es la -algebra de Borel sobre [0, 1] y es la medida deLebesgue en este intervalo) no tiene nucleo reproductivo.

    En efecto, si definimos la funcion 0(x) = 0x entonces

    i) 0p = 0, y ademasii) 1 = |0(0)|p 0 = M0p, para toda M > 0.

    Podemos concluir que, en general, los espacios Lp notienen nucleo reproductivo.

  • 10

    Ejemplo.Sea D C abierto. Sea H2D la clase de todas lasfunciones f : D C armonicas tales que

    D

    |f (z)|2 dx dy

  • 11

    Un teorema Importante.Sea F un espacio de Hilbert de funciones F con n. r.K, {fn}n1 una sucesion de Cauchy (respecto a la norma ) en F y la funcion lmite f en F de dicha sucesion.Entonces

    i) La sucesion {fn}n1 converge puntualmente a f , esdecir, si y E entonces lim

    n fn(y) = f (y).

    ii) Si en algun subconjunto de E1 de E, la funcion x 7K(x, x) es uniformemente acotada, entoncesesta convergencia es uniforme.

    iii) Supongamos que en E es posible definir un topologa.Si la transformacion y 7 Ky de E en F escontinua, entonces la convergencia tambienes uniforme en cualquier subconjunto compacto de E.

  • 12

    Matrices Definidas Positivas ynucleos reproductivos

    Caso finito.Sea E = {y1, ..., yN}. Una funcion K : E E F, de-termina una transformacion matricial por la matriz K =[K(yi, yj)]i,j. Tomemos un vector = (1, 2, ..., N) FN , si la forma cuadratica

    Kt =N

    i,j=1

    K(yi, yj)ij,

    es no negativa y es nula solo si j = 0, para toda j =1, 2, ..., N , entonces decimos que la funcion K es una ma-triz definida positiva.

    Caso general.Para cualquier conjunto E, la funcion K : E E Fse denomina matriz definida positiva, si para cualquiernumero finito de elementos y1, y2,...,yn de E, la formacuadratica

    ni,j=1

    K(yi, yj)ij,

    con j F, j = 1, 2, ..., n, es no negativa, y es nula solosi j = 0, para toda j = 1, 2, ..., n.

  • 13

    Un nucleo reproductivo es una matrizdefinida positiva.

    0 nj=1

    K(, yj)j2 =n

    i,j=1

    K(yi, yj)ij.

    Construccion de nucleos reproductivos a partir dematrices definidas positivas.

    Consideremos la matriz definida positiva

    K =

    (2 11 3

    ).

    Definimos E = {1, 2}, y K : E E R tal que

    K(x, y) =

    2 si x = 1 = y,

    1 si x 6= y,3 si x = 2 = y.

    EntoncesK =

    [K(x, y)

    ]x,yE.

    De modo que K es una matriz definida positiva.

  • 14

    Introducimos:

    1. La clase F0 de funciones f : E R,f (x) = 1K(x, 1) + 2K(x, 2), i R.

    2. El producto

    f, g0 =(1 2

    )(2 11 3

    )(12

    )=

    2x,y=1

    K(y, x)xy.

    3. La norma

    f20 =(1 2

    )(2 11 3

    )(12

    ).

    Entonces

    ) K es el nucleo reproductivo de F0.(a) K(x, y) = 1yK(x, 1) + 2yK(x, 2) F0(b) (Propiedad reproductiva)

    f (), K(, y)0 =(1y 2y

    )(2 11 3

    )(12

    )= 1y

    (1K(1, 1) + 2K(1, 2)

    )+

    2y(1K(2, 1) + 2K(2, 2)

    )= f (y)

  • 15

    ) Si {fn}n1 sucesion de Cauchy en F0 entonces {fn(y)}n1,y E, es sucesion de Cauchy en R.

    |fn(y) fm(y)| = |fn fm, Ky0| fn fm0My.

    Definimos f (y) = limn fn(y).

    Introducimos ahora la clase F de funciones lmite(puntual) de sucesiones de Cauchy en F0.

    Entonces F0 F .Ademas

    1. f, g = limnfn, gn0 y f = limn fn0,

    definen un producto interior y una norma sobre F .

    Si fn(y) f (y) y f n(y) f (y), entonces|fn, gn0 f n, gn0| fn f n0M,

    por lo tanto

    limnfn, gn0 = limnf

    n, gn0

    2. La clase F es un espacio de Hilbert y K es el nucleoreproductivo de F .

    f,Ky = limnfn, Ky0

    = limn fn(y)

    = f (y).

  • 16

    El espacio F es denotado por H(K) y llamado espaciode Hilbert generado por el nucleo K.

    Aplicacion probabilstica.Sea un T un conjunto de ndices arbitrario, entoncesun proceso estocastico sobre el espacio de probabilidad(,F ,P) es una sucesion X = {Xt}tT de variablesaleatorias (funciones F -medibles) definidas sobre dichoespacio. Ademas, si llamamos trayectoria de Xen a la funcion X() : T R.

    Si Xt es cuadrado integrable para toda t T , entoncesla matriz (conocida como matriz de covarianzas de X)K : T T R cuyos elementos son l