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ϕESPACIOS DE FUNCIONES Algunas Contribuciones ALEJANDRO ORTIZ FERNÁNDEZ SECCIÓN MATEMÁTICA. PUCP PROFESOR EMÉRITO UNT Lima-Perú

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ϕ−ESPACIOS DE FUNCIONES

Algunas Contribuciones

ALEJANDRO ORTIZ FERNÁNDEZ

SECCIÓN MATEMÁTICA. PUCP

PROFESOR EMÉRITO UNT

Lima-Perú

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Con mis nietas Malú y Danay mi hija Miryan.

ALEJANDRO ORTIZ FERNÁNDEZ(1936)

Profesor Principal. Sección Matemática PUCP.Ex Profesor Principal y Profesor Emérito de la UNT.Ex Profesor de la U. N. M. de San Marcos.

[email protected]

ϕ−Espacios de Funciones.Algunas Contribuciones.Autor: Alejandro Ortiz FernándezI. S. B. N.

Digitación y Diagramación.David Sáenz Ló[email protected]

(C). Todos los derechos reservados.Primera edición: Febrero 2010.

Printed in Perú - Impreso en Lima - Perú.

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A mis amigos (as),que tuve la suerte de conoceren medio siglo como profesor.

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PRESENTACIÓN

Regresar por los caminos

donde tuvimos dificultades y tensiones,

hoy nos produce cierta alegría y nostalgia;

lo importante es seguir caminando . . .

En efecto, los temas que voy a presentar en esta publicación ocuparonmi atención durante muchos años en mi carrera como profesor universita-rio, lo que fue realizado en las décadas de los años 1970’s y 80’s. De aquelentonces hubo un paréntesis en tal atención la que se reinició en los últi-mos años; las motivaciones que tuve para tal renacer fueron mayormentepersonales pero esto fue posible por el apropiado ambiente académicoque existe en mi Universidad, la PUCP, la que dispone de una excelentebiblioteca de matemática. En este período tuve la oportunidad de revivirmi interés por los espacios de funciones, un mundo bastante amplio quetiene sus propios encantos. En la actualidad la cantidad de tales espacioses grande; cada vez se construyen nuevos espacios que extienden, genera-lizan o modifican a los existentes. Por ello fue necesario enfocarlos bajociertos criterios generales (como el método de interpolación) para obte-ner nuevos espacios de funciones partiendo de otros conocidos, lo que esconocido como el período sistemático; aun hoy se utiliza esta estrategia.

La evolución de los espacios de funciones, y de distribuciones, tuvogran impulso gracias a su uso en el desarrollo de las ecuaciones diferencia-les, en particular, de las parciales. Según Hans Triebel tal evolución tienetres períodos fundamentales: el básico, el constructivo y el sistemático.Como se sabe, a inicios del siglo XX se introdujeron los espacios abstrac-tos lo que condujo a la formulación de dos grandes tipos de espacios: losespacios de Hilbert y los de Banach, los cuales están relacionados entresí. El surgimiento de nuevas teorías en el análisis matemático condujo, deun modo natural, a la formulación de otros tipos de espacios de funcionesparticulares, como fueron los espacios de Lebesgue Lp, 1 ≤ p ≤ ∞, losCm, m ≥ 0 entero, los espacio de Lipschitz Λα, 0 < α ≤ 1; los espaciosde Morrey Lp,λ, los espacios de Hardy Hp, 0 < p < ∞, . . . entre otros.Como hemos dicho, entre espacios fueron muy útiles en el estudio de las

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ecuaciones elípticas y parabólicas, lo que condujo al inicio a formularespacios que incluyen a las derivadas de elementos del espacio, los queson conocidos como espacios de tipo Sobolev y que corresponden al pe-ríodo constructivo (alrededor de 1935 . . .). Corresponde, también, a estaépoca la introducción de las distribuciones de L. Schwartz naciendo asíuna nueva orientación de técnicas y resultados en el estudio del análisisy en sus aplicaciones. Los primeros espacios de Sobolev fueron los espa-cios W k,p(Rn) ≡ Lpk(R

n), 1 ≤ p ≤ ∞, k ∈ Z+ (1936), los que fueronampliados por A. P. Calderón al considerar los espacios Lps(R

n), s ∈ R

(1961).

El desarrollo del análisis llevó a considerar otros espacios más genera-les como fueron los espacios de Lipschitz Λ(s; p, q) de Taibleson (1964),los espacios de Hardy reales Hp de Stein-Weiss (1960), . . . En este pano-rama y guiados por problemas concretos, Fritz John y Louis Nirenbergintrodujeron en 1961 los espacios de oscilación media acotada o espaciosBMO, los que fueron estudiados en las siguientes décadas; estos espaciosfueron inmersos en otros más amplios como fueron los espacios Lp,λ ini-ciados, estudiados y aplicados por Guido Stampacchia y S. Campanatoen la segunda mitad de los años 1960’s; estos espacios tuvieron significa-tivas aplicaciones en el campo de las ecuaciones en derivadas parciales.Por otro lado, el problema de la dualidad entre espacios de funcionesocupó la atención de los analistas de esos años; en particular la duali-dad (H1)′ = BMO, establecida por el entonces joven matemático CharlesFefferman, motivó diversas investigaciones en esa dirección; además, sutrabajo con E. Stein [FEF-STE], (1972), abrió conexiones con la teoríade probabilidades, con el análisis armónico, con las funciones analíticas,con las ecuaciones en derivadas parciales, . . . , todo lo cual impulsó eldesarrollo del análisis matemático.

En los últimos veinte años los espacios de funciones han continua-do progresando; Hans Triebel, uno de los especialistas en este dominio,ha escrito un reciente libro ([TRI.3]) en donde expone la relación entredistintos espacios de funciones con las ondículas sobre dominios, obraque contiene seis capítulos dedicados a: espacios sobre Rn y T n, a espa-cios sobre dominios arbitrarios, a dominios “densos”; estudia el problemade la extensión, a los espacios sobre dominios regulares y sobre varieda-

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ϕ−Espacios de Funciones

des; el último capítulo está dedicado a una miscelánea de temas dondeconsidera, por ejemplo la cuestión de la existencia y la no-existencia demarcos-ondículas y de bases.

La presente publicación contiene temas que por algunos años les he de-dicado atención para estudiarlos, enseñarlos en algunos casos, para escri-bir algunos artículos; algunos de ellos fueron base para mi tesis doctoral.En general, mucho de lo que expresamos en esta oportunidad permanecióen “espera” por un largo tiempo. Otros temas son de relativa actualidad yotras de actual investigación como es el caso del “análisis con exponentesvariables” (ver Anexo C); estos temas fueron la motivación para escribiresta obra y nos han abierto nuevos estímulos.

Esta publicación contiene seis capítulos y un anexo. En el Capítu-lo I damos un panorama sobre las ondículas (“wavelets”) en su relacióncon ciertos clásicos espacios de funciones; como se sabe, una funciónψ ∈ L2(R) es una ondícula si la familia de dilataciones-translacionesψj,k, j, k ∈ Z, es una base en L2(R); luego, creimos conveniente consi-derar un panorama sobre la noción de base en espacios de Hilbert y deBanach, así como algunos resultados fundamentales. También presenta-mos a los marcos (“frames”) que sin ser necesariamente bases sirven pararepresentar elementos de un espacio; en particular consideramos a losmarcos-ondículas, una teoría que es muy útil en diferentes aplicaciones.Mayores detalles pueden verse, por ejemplo, en [ORT.1].

El Capítulo II pretende darnos una cultura sobre algunos espaciosque usamos, y sobre otros que posiblemente no; en particular, para mífue una grata experiencia aprender algo sobre la evolución de clásicosespacios, comenzando con el espacio básico: el espacio de Banach, sobrelos cuales presentamos algunos “viejos” ejemplos. Casi todos usamos, dealguna manera, algún espacio de funciones , tanto en el escenario teóricocomo en el de las aplicaciones; el espacio de Hilbert L2(Rn) tiene particu-lar interés, así como el de las sucesiones ℓ2. En este escenario la figura deStefan Banach es dominante; damos un panorama sobre la evoluciónde clásicos espacios de funciones, como son los espacios de Lorentz, losLipschitz-Hölder, los Sobolev, los Besov, los Lizorkin-Triebel, los Hardy,los Orlicz, los Bergman y los de Bloch.

El Capítulo III está dedicado a los espacios de Hardy Hp, a los

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BMO y a los más amplios espacios Lp,λ, espacios que están relaciona-dos con las funciones analíticas y con las armónicas en el plano y enRn. Mientras los espacios Hp fueron introducidos en la primera mitaddel siglo pasado, los BMO lo fueron en los primeros años de la décadade los 1960’s. La interrelación entre los Hp, 0 < p ≤ 1, con BMO y

los Λα, α =1

p− 1, está contenido en el famoso resultado de dualidad

(ver b. B.). Por otro lado, la interconexión entre el análisis armónico conlas ecuaciones en derivadas parciales es algo profundo y bello; algo deello pretendemos dar en el Capítulo IV en donde consideramos algunosespacios de funciones armónicas. Como es clásico, se comienza con el fun-damental problema de Dirichlet; la evolución de este problema condujoa nuevos espacios en donde entraron en juego ciertos recursos del análi-sis real, análisis que evolucionaba también (segunda mitad del siglo XX)gracias fundamentalmente a la Escuela de Análisis de Chicago, lideradapor Calderón y Zygmund. Así mismo, motivado por el desarrollo de lateoría del potencial, se estudiaron problemas de valor de contorno so-bre dominios no-regulares lo que condujo a una abundante investigación(dominios de Lipschitz, medidas armónicas, . . .) por parte de diversosanalistas de los que solo mencionaremos a J. Dahlberg y a C. Kenig.

La teoría de integrales singulares de Calderón-Zygmund es un capítulocentral en el análisis real y en la teoría de operadores; el núcleo k de unatal integral contiene propiedades que fueron resaltadas y extendidas en losaños 1960’s, 70’s, . . . ; esto condujo, de un modo natural, a una especialmétrica ρ(x) y así a una generalización de la teoría de Calderón-Zygmundsobre tales integrales. En 1975 y 1977, Calderón y Torchinsky elaboraronuna versión-parabólica de diversas áreas del análisis armónico (ver [CAL-TOR.1] y [CAL-TOR.2]). En el Capítulo V damos una introducción a lamétrica ρ(x) así como algunas de sus propiedades, así mismo se define algrupo de transformaciones lineales (de Rn) Att>0 y se exhiben algunasde sus propiedades. En esta ruta presentamos una versión-parabólica delos espacios Lp,λ de Stampacchia, los que contienen a los Lp, Lp,λ, BMO ya los Λα; estudiamos cada uno de estos espacios en su versión parabólica;por otro lado, se introduce también la noción de C−red y se verifica queLp,λ es una C−red (también lo son Lp, Lp,λ, BMO y Λα). La parte central

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ϕ−Espacios de Funciones

de este capítulo es el estudio de losHα,p−parabólicos, los que inicialmentefueron introducidos por Fabes-Johnson-Neri y que ahora son investigadosen términos del grupo At. Al final damos algunas proyecciones comoes el estudio del espacio Lp,λ(Ω), donde Ω es un abierto acotado y conexoen Rn; se plantean algunas cuestiones por estudiar.

Los espacios de funciones presentados en los anteriores capítulos, yotros, fueron extendidos vía una función ϕ (positiva, no-decreciente ydefinida sobre R+). En esta dirección, en el Capítulo VI estudiamosa los Lp,λϕ y en particular a los BMOϕ; en esta ruta damos algunos re-sultados de nuestro propio estudio. La evolución de los espacios Lp,λ yde sus casos particulares ocupó la atención de diversos analistas (Span-ne, Janson, Stampacchia, Campanato, Neri, Berman, . . .). Luego de unaintroducción, en donde damos una visión de algunos ϕ−espacios, estudia-mos a los BMOϕ (se consideran los φ−átomos que permiten adecuadasdescomposiciones) y se dá una caracterización de estos espacios; se pre-sentan unos casos particulares de la desigualdad de John-Nirenberg paraBMOϕ. El uso de polinomios en la definición de BMO fue considera-do por Campanato pero Belman estableció la respectiva caracterización;nosotros presentamos una versión−ϕ del teorema de Berman. A conti-nuación pasamos a estudiar los Lp,λϕ y sus variantes; verificamos que estosespacios son una P−red, una idea que introducimos. El capítulo termi-na con el estudio de los espacios Eα,pϕ y Hα,p

ϕ −parabólicos; el punto departida son algunos resultados de Fabes-Johnson-Neri, Ch. Fefferman,Calderón-Torchinsky (quienes establecieron la teoría-parabólica). Al fi-nal se incluyen dos notas, una sobre los espacios Lp,λϕ de tipo fuerte, yotra sobre los BMOϕ−martingalas.

Esta publicación culmina con un Anexo en donde consideramos trestemas: A. Espacios de funciones en variedades diferenciales, B. Ondículas-espacios de funciones y C. Análisis con exponentes variables. Estos temas,en forma independiente, podrían ser desarrolladas en sendas publicacio-nes; en particular, destacamos el análisis con exponentes variables pueses una área en actual investigación (ver [SAM.2]).

Lo contenido en este libro fue en parte elaborado en la UNT y par-te en la PUCP; agradezco a ambas instituciones por el estímulo y lasmotivaciones que recibí de ellas.

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Alejandro Ortiz Fernández

Mis agradecimientos al Bach. David Sáenz López por su excelentetrabajo de escribir el texto usando LATEXy a la Bach. Deys Karina ArriolaCancino por su colaboración.

Como siempre, Luz Marina, mis hijos y mis nietas constituyen uncontinuo apoyo y estímulo en mi labor profesional. Gracias a ellos.

Lima, 27 de Noviembre del 2009A. O. F.

[email protected]

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ÍNDICE GENERAL

Pág.

Presentación. v

I

ONDÍCULAS

a. Bases en Espacios de Hilbert. 1

b. Bases de Riesz. 7

c. Bases de Ondículas. 10

(i) La Base de Haar. 11

(ii) Sistemas de Ondículas y AMR. 17

d. Marcos en Espacios de Hilbert. 21

e. Marcos-Ondículas. 26

(i) Marcos de Gabor. 26

(ii) De Ondículas a Marcos. 29

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Alejandro Ortiz Fernández

II

EVOLUCIÓN DE ALGUNOS ESPACIOS DE FUNCIONES

a. Generalidades. 37

b. Primeros Espacios de Banach. 41

c. Análisis Moderno en Espacios de Banach. 43

d. Espacios de Lorentz Lp,q. 50

e. Clásicos Espacios de Funciones. 57

(i) Espacios de Lipschitz(-Hölder). 57

(ii) Espacios de Sobolev. 60

(iii) Espacios de Besov. 64

(iv) Espacios de Lizorkin-Triebel. 66

(v) Espacios de Hardy. 68

(vi) Espacios de Bergman. 72

(vii) Espacios de Bloch. 77

(viii) Espacios de Orlicz. 80

III

ESPACIOS DE HARDY Y BMO.ESPACIOS Lp,λ.

a. Generalidades. Espacios de Hardy Hp, espacios BMO; martingalas.

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ϕ−Espacios de Funciones

b. Espacios Lp,λ. y Variantes. 99

A. Espacios Lp,λ. 99

1. Espacios BMO. 102

2. Espacios de Lipschitz. 113

B. Espacios Lp,λ (Continuación . . .). 124

(a). Relación entre Lp,λ y Λα. 126

(b). Dualidad del Espacio de Hardy Hp, 0 < p ≤ 1.

(Hp)′ =

Λα . . . 0 < p < 1, α = 1

p− 1

BMO . . . p = 1.

Idea de átomo. 127

IV

ESPACIOS DE FUNCIONES ARMÓNICAS

a. El Problema de Dirichlet. 139

b. Funciones Armónicas. Hp(Rn+1+ ). 143

c. Los Espacios HMO. Caracterización vía BMO. 149

d. Los Espacios Eα,p y Hα,p; su equivalencia. 165

e. Lp,λ y Aplicaciones a las Ecuaciones en Derivadas Parciales. 172

(i) Preliminares; 172

(ii) Espacios Lp,λ de Tipo Fuerte; 175

(iii) Espacios de Sobolev H1,p; 176

(iv) Inmersiones en Lp,λ de Tipo Fuerte;. 178

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(v) Aplicaciones a EDP: Espacios de Distribuciones Bp,k. 179

f. Problemas de Valor de Contorno sobre Dominios No-Regulares.(Breve Visión). Dominios de Lipschitz; Medidas Armónicas; el Apor-te de Dahlberg. C. Kenig. 186

V

ESPACIOS PARABÓLICOS

a. Introducción y Motivaciones. 199

b. Definición y Propiedades del Grupo At. 204

c. Los Operadores Tt, Tt y el Operador Diferencial A. 211

d. Lp,λ−Parabólicos. Casos Particulares. 217

e. C−Redes. 226

f. Hα,p−Parabólicos. 229

g. Algunas Proyecciones. 239

VI

ϕ−ESPACIOS DE FUNCIONES

a. Introducción. 243

b. Espacios BMOϕ. 248

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ϕ−Espacios de Funciones

c. φ−Átomos. 252

d. Caracterización de los Espacios BMOϕ. Una extensión del Teoremade John-Nirenberg; Casos particulares en la desigualdad de John-Nirenberg para espacios BMOϕ. 254

e. Una Extensión del Teorema de Berman. 276

f. Espacios Lp,λϕ . P−Redes. 281

A Antecedentes Cronológicos. 281

B Definiciones y Consecuencias. 283

C Casos Particulares. 284

D P−Redes. 288

E Observaciones. 289

g. Espacios Eα,pϕ y Hα,pϕ Parabólicos. 291

Notas. Espacios Lα,pϕ de Tipo Fuerte; Espacios BMOϕ−Martingalas.

304

ANEXO

A. ESPACIOS DE FUNCIONES EN VARIEDADESDIFERENCIALES.

(i). Generalidades. 307

(ii). Espacios de Sobolev L2r(M). 308

(iii). Operadores Regulares sobre Lp(M). 310

(iv). Breve Visión de la Contribución de Seeley. 313

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(v). Espacios de Hardy H1(M). 315

(vi). Operadores Pseudo-Diferenciales sobre Variedades. 317

B. ONDÍCULAS-ESPACIOS DE FUNCIONES.

(i). Generalidades. 323

(ii). Algunas Caracterizaciones de Espacios de Funciones Vía Ondículas.

325

(iii). Otros Contactos entre Espacios de Funciones con las Ondículas.

327

C. ANÁLISIS CON EXPONENTES VARIABLES.

(i). Un Panorama Histórico. 330

(ii). Algunos Temas de la Teoría: Densidad de C∞0 (Rn) en L

p(·)m (Rn);

Teoría de Operadores y Espacios Generalizados; espacios de Besovy de Triebel-Lizorkin Variables. 332

(a) Densidad de C∞0 (Rn) en el Espacio de Sobolev Lp(x)m (Rn). 332

(b) Teoría de Operadores y Espacios Generalizados. 333

(c) Espacios de Besov y de Triebel-Lizorkin Variables. 336

BIBLIOGRAFÍA. 339

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I

ONDÍCULAS

a

Bases en Espacios de Hilbert

Sea X un determinado espacio (abstracto); sea x ∈ X y (bi)i∈I unafamilia de elementos de X. Si x es representable en términos de los bi’s,diremos que tal familia es una base de X. En esta dirección están las

b1

b2b3

bi

x

X

familias de senos y cosenos en las clásicas series de Fourier cuando se afir-ma que una arbitraria función 2π−periódica puede ser expresada comouna serie infinita de senos y cosenos; es decir, los senos y los cosenos sonlas “básicas” funciones periódicas en términos de las cuales podemos ex-presar todas las otras. En otras palabras, tales funciones trigonométricassirven como “átomos” en el espacio de las funciones 2π−periódicas. Porotro lado, los dos grandes espacios del análisis funcional son los espaciosde Hilbert y los espacios de Banach; la cuestión es: ¿cómo escribir unvector en tales espacios como una serie infinita de vectores “básicos”? SiX es un espacio de Banach de dimensión infinita y (xn) una sucesión enX, diremos que (xn) es una base de Schauder, o base, para X si para

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Alejandro Ortiz Fernández

todo x ∈ X podemos escribir x =∞∑n=1

anxn, con an unívocamente deter-

minado. Si X es un espacio de Hilbert separable, se prueba que existeuna sucesión ortonormal (xn) en X tal que para todo x ∈ X se tiene

x =∞∑n=1

〈x, xn〉xn, donde 〈, 〉 es producto interno en X. (xn) es llamado

una base ortonormal para X. Se observa que toda base ortonormal(xn) es una base de Schauder (basta tomar an = 〈x, xn〉).

Una cuestión general es: ¿todo espacio de Banach separable tiene unabase de Schauder? . . .; la respuesta es, no en general. Sin embargo, en elsentido de una base de Hamel se verifica que todo espacio vectorial tieneeste tipo de base; así, si X es un espacio vectorial, H ⊂ X es llamado unabase de Hamel siH es subconjunto linealmente independiente deX y lavariedad lineal generada por H es X. Veamos la prueba de tal existencia.Sea P el conjunto de todos los subconjuntos linealmente independientesde X, en donde se introduce la relación de orden:

M ≺ N ⇔M, N ∈ P y M ⊂ N.

Se comprueba que P es parcialmente ordenado con ≺. Ahora recor-demos al Lema de Zorn:

“Sea P 6= ∅ un conjunto parcialmente ordenado con la propiedad:todo conjunto completamente ordenado de P tiene una cota superior enP. Entonces, P tiene al menos un elemento maximal”.

Así, en nuestro caso, tenemos la hipótesis del Lema de Zorn; en efecto,si x1 6= 0, x1 ∈ P. Si Q es un subconjunto completamente ordenado deP entonces A ⊂ X/ A ⊂ Q está en P y es una cota superior para Q.Luego, P debe contener un elemento maximal, digamos H . Veamos quela variedad lineal generada por H , [H ], es X. Por el absurdo, supongamosque ∃ x ∈ X tal que x /∈ [H ] y x, H es linealmente independientey contiene H como subconjunto propio, contradicción desde que H esmáximo. Luego H es una base de Hamel. 2

Remarcamos que una base de Hamel H de X (espacio vectorial) es unsubconjunto de X que es linealmente independiente y maximal, es decir,no está contenido en ningún subconjunto linealmente independiente de

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ϕ−Espacios de Funciones

X. Se verifica que todo subconjunto linealmente independiente Y de Xpuede ampliarse a una base de Hamel H de X. Además, si x ∈ X existe la

descomposición x =n∑j=1

αjxj , αj real o complejo, xj ∈ H , la que es única.

Por otro lado, si X es un espacio de Banach (separable), en 1927 Schauderintrodujo la noción de base para tales espacios; como hemos dicho, (xn),n = 1, 2, . . ., es una base de Schauder para X si existe, y es única, (an),

n = 1, 2, . . ., de escalares tal que x =∞∑n=1

anxn para todo x ∈ X, donde

los an’s dependen de x. Si la serie converge incondicionalmente para todox ∈ X entonces (xn) es una base incondicional de X. Llamaremos“base” a toda base de Schauder en un espacio de Banach. Felizmentela mayoría de los espacios de Banach separables poseen una base; sinembargo, Per Enflo en 1972 dio un ejemplo de un espacio de Banachseparable que no posee una base. Entonces es conveniente saber cuandotal base existe; una caracterización es la siguiente:“si (xn) es una familia completa de vectores no nulos en X, entonces (xn)es una base para X ⇐⇒ existe una constante C tal que ∀ j, k naturales

con j ≤ k, se tiene∥∥∥

j∑n=1

anxn

∥∥∥ ≤ C∥∥∥

k∑n=1

anxn

∥∥∥ para toda sucesión de

escalares (an), n = 1, 2, . . .”.Estos coeficientes an dependen de x, donde x =

∑anxn y la aplicación

que asocia a cada x sus coeficientes an, es continua.Como sabemos, la idea de espacio vectorial es fundamental para cons-

truir los diferentes tipos de espacios; entre ellos, los espacios de funcio-nes cuyo estudio es nuestro objetivo. En el análisis de tales espacios lanoción de base es fundamental, tanto en los espacios de dimensión finitacomo en los de dimensión infinita en donde la situación es un tanto máscomplicada pues tenemos que considerar series infinitas y surgen así losdiferentes tipos de convergencia de estas series para determinar así dife-rentes tipos de bases. Ya hemos visto algo al respecto cuando el espaciovectorial X es un espacio de Banach; veamos ahora el caso cuando Xes un espacio de Hilbert que por conveniencia denotaremos con H , endonde consideraremos el producto interno 〈, 〉. Se verifica que: “Si (xn) es

una sucesión en H tal que∞∑n=1

anxn converge para toda sucesión (an) en

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el espacio ℓ2(N) (donde∞∑n=1

|an|2 <∞), entonces

T : ℓ2(N) −→ H(an) 7→ T ((an)) =

∑∞n=1 anxn

es un operador lineal acotado y su operador adjunto T ∗ es

T ∗ : H −→ ℓ2(N)x 7→ T ∗(x) = (〈x, xn〉)n=1,2,...

Además,(∑

|〈x, xn〉|2)1/2

≤ ‖T‖ ‖x‖ (∗)

para todo x ∈ H”. Remarcamos que T ∗ es definida vía:

〈(an), T ∗y〉 = 〈T (an), y〉, ; y ∈ H.

La desigualdad (∗) permite dar la definición: “una sucesión (xn) en Hes llamada una sucesión de Bessel si existe una constante A > 0 tal que∑ |〈x, xn〉|2 ≤ A‖x‖2, ∀ x ∈ H”. A es llamada una cota de Bessel para(xn); la cota óptima es la más pequeña de tales cotas que satisfacen [∗].Por otro lado, si (xn) es una sucesión de Bessel en H , entonces se verifica

que∞∑n=1

anxn converge incondicionalmente para toda sucesión (an) en

ℓ2(N). En los espacios de Hilbert las bases ortonormales juegan un papelmuy importante, similar a las llamadas bases canónicas en Rn; tales basesaparecen en la matemática aplicada, en la física, en el procesamiento dela señal, · · · . Si (xn) es una sucesión en H , por definición, ella es unabase de Schauder o base si para todo x ∈ H existe una única sucesión

de coeficientes escalares (an(f)) tal que x =∞∑n=1

an(f)xn, la cual será

una base incondicional si la serie converge incondicionalmente para cadax ∈ H ; una base (xn) es una base ortonormal (b. o. n) si 〈xk, xj〉 =δk,j =

1 k = j0 k 6= j

. Se tiene la observación: sea (xn)n=1,2,... un sistema

ortonormal y (an) una sucesión en ℓ2(N); si n > m naturales se tiene,

4

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ϕ−Espacios de Funciones

∥∥∥∥n∑

k=1

akxk −m∑

k=1

akxk

∥∥∥∥2

=

∥∥∥∥n∑

k=m+1

akxk

∥∥∥∥2

= (ortonormalidad) =n∑

k=m+1

|ak|2,

esto es, ∥∥∥∥n∑

k=1

akxk −m∑

k=1

akxk

∥∥∥∥ =

( n∑

k=m+1

|ak|2)1/2

,

y desde que (ak) ∈ ℓ2(N) esta última suma es arbitrariamente pequeña,

luego∞∑k=1

akxk es convergente y además∥∥∥

∞∑k=1

akxk

∥∥∥2

=∞∑k=1

|ak|2. Ahora,

considerando la desigualdad [∗] y la hipótesis considerada ahí, se tiene

que∞∑k=1

|〈x, xk〉|2 ≤ C‖x‖2, ∀ x ∈ H.

Conclusión 1. Toda sucesión ortonormal es una sucesión de Bessel.

“Sea H un espacio de Hilbert y (xn) un sistema ortonormal en H .Entonces se verifica que:

(i) (Riesz-Fischer)∞∑n=1

anxn <∞ si y sólo si∞∑n=1

|an|2 <∞;

(ii) Si∞∑n=1

anxn = x, entonces an = 〈xn, x〉, ∀ n; los an’s son únicos;

(iii) ∀ x ∈ H , la serie∞∑n=1

〈xn, x〉xn converge, no necesariamente a x;

(iv) ∀ x ∈ H , x−∞∑n=1

〈xn, x〉xn es perpendicular a [(xn)]; (cerradura del

espacio generado por xn); luego,∞∑n=1

〈xn, x〉xn = Px, la proyección

ortogonal de x sobre [(xn)];

(v) Si x ∈ [(xn)], entonces x =∞∑n=1

〈xn, x〉xn;

5

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Alejandro Ortiz Fernández

(vi) (Identidad de Parseval) para las series convergentes

x =∞∑n=1

anxn =∞∑n=1

〈xn, x〉xn y y =∞∑n=1

bnxn =∞∑n=1

〈xn, y〉xn se

tiene

〈x, y〉 =∞∑

n=1

anbn =∞∑

n=1

〈xn, x〉〈xn, y〉;

(vii) (Teorema de Pitágoras) si (yn) es un sistema ortogonal de vec-

tores no nulos y x =∞∑n=1

yn, entonces ‖x‖2 =∞∑n=1

‖yn‖2.”

Remarcamos que un espacio X es llamado separable si tiene un sub-conjunto numerable denso. Se tiene:«un espacio pre-hilbertiano X es separable si y sólo si X tiene una su-cesión (xn) que es una base ortonormal; en un espacio de Hilbert se-parable H , todo x ∈ H puede ser escrito, en forma única, en la forma

x =∞∑n=1

〈xn, x〉xn, para cualquier base ortonormal (xn); los 〈xn, x〉 son

llamados los coeficientes de Fourier de x, y∞∑n=1

〈xn, x〉xn la serie de

Fourier de x.» Es conocido que

1√2πeint

n∈Z

es una base ortonormal

para L2[−π, π]. Por otro lado, si tenemos una base ortonormal en H esinteresante saber que ella permite construir otras bases ortonormales víaun operador unitario (U : H −→ H es unitario si UU∗ = U∗U = I,donde U∗ es el adjunto de U y I es el operador identidad; o equivalente-mente, si U es isométrico y sobre, donde U es isométrico si ‖Ux‖ = ‖x‖,∀ x ∈ H). Así tenemos, “sea (xn) una base ortonormal en H , entonceslas bases ortonormales para H son los conjuntos Uxnn=1,2,... donde Ues un operador unitario”.

El siguiente resultado nos ayuda a consolidar la idea de base or-tonormal en un espacio de Hilbert; tenemos: «un sistema ortonormal(xn) en un espacio de Hilbert es una base ortonormal sí y sólo si[x1, x2, . . . , xn, . . .] = H sí y sólo si (xn)⊥ = 0 sí y sólo si ‖x‖2 =∞∑n=1

|〈xn, x〉|2, ∀ x ∈ H sí y sólo si x =∞∑n=1

〈xn, x〉xn, ∀ x ∈ H».

6

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ϕ−Espacios de Funciones

b

Bases de Riesz

La noción de análisis multi-resolución (AMR) es muy importante enla teoría de ondículas pues ella, entre otros aspectos, permite construirondículas (“wavelets”); dada una función f , su AMR consiste en construirsus aproximaciones fj (a la escala j), las que son más precisas cuandoj → ∞ y se tiene fj → f en cierto sentido. Por definición, un AMRpara L2(R) consiste de una sucesión creciente Vjj∈Z de subespacioscerrados de L2(R) que satisfacen ciertos axiomas (a ser precisados en otraoportunidad) siendo uno de ellos la existencia de una función g ∈ V0 talque la familia

(g(x− k)

)k∈Z

sea una base de Riesz de V0, la que tambiénes llamada una base incondicional de V0 y así la serie

∑k

akg(x − k)

es independiente del orden de sus elementos. Más formalmente, en unespacio de Hilbert H un conjunto linealmente independiente (xj)j∈N enH es llamada una base de Riesz si:

[(xj)] = H , y

existen constantes A y B, 0 < A ≤ B < ∞, tal que ∀ a = (aj) ∈ℓ2(N) se tiene

A‖a‖2 ≤ ‖∑

j

ajxj‖2 ≤ B‖a‖2.

De esta manera, ‖(aj)‖ es equivalente a ‖∑j

ajxj‖ y se considera al ope-

rador (muestra)M : ℓ2(N) −→ V0

(aj) 7→ ∑j

ajxj ,

operador que es un isomorfismo topológico. Luego, algo semejante pode-mos decir para la base de Riesz

(g(x−k)

)k∈Z

. La siguiente caracterizaciónes importante: «(xj) es una base de Riesz en un espacio de Hilbert H sí

7

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Alejandro Ortiz Fernández

y sólo si para ∀ b.o.n. e = (ej),U : H −→ H

xj 7→ Uxj = ej, ∀ j ∈ N, es

un operador limitado y biyectivo (invertible) en H .»Por este resultado se dice, también, que una base de Riesz para H es

una familia de la forma (Uej), donde (ej) es una base ortonormal paraH , con U un operador biyectivo y acotado. Luego, si (xj) es una base deRiesz para H entonces (xj) es una sucesión de Bessel y existe una única

sucesión (yj) en H tal que x =∞∑j=1

〈x, yj〉xj, ∀ x ∈ H.

En efecto, por hipótesis (xj) = (Uej) donde U es un operador biyectivo,acotado, y (ej) es una b. n. o. Si x ∈ H , U−1x puede ser expandido en labase (ej) obteniéndose,

U−1x =

∞∑

j=1

〈U−1x, ej〉ej =∞∑

j=1

〈x, (U−1)∗ej〉ej .

Si definimos yj = (U−1)∗ej , se tendrá

x = UU−1x =∞∑

j=1

〈x, (U−1)∗ej〉Uej =∞∑

j=1

〈x, yj〉xj,

donde (desde que (U−1)∗ es biyectivo y acotado, (yj) es una base de Riesz.Además, para ∀ x ∈ H,

∞∑

j=1

|〈x, xj〉|2 =

∞∑

j=1

|〈x, Uej〉|2(+)= ‖U∗x‖2 ≤ ‖U∗‖2‖x‖2 = ‖U‖2‖x‖2 = B‖x‖2.

Luego, (xj) es una sucesión de Bessel. Además, (xj) y (yj) son biorto-gonales (〈xj, yk〉 = δj,k) y se tiene

x =∑

〈x, yj〉xj =∑

〈x, xj〉yj, ∀ x ∈ H.

Si (xj) es una base de Riesz, vía el operador U , hemos visto que∑j

|〈x, xj〉|2 ≤ B‖x‖2; también se tiene

‖x‖ = ‖(U∗)−1U∗x‖ ≤ ‖(U∗)−1‖‖U∗x‖ = ‖(U−1‖‖U∗x‖,

8

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ϕ−Espacios de Funciones

esto es, ‖U∗x‖2 ≥ 1

‖U−1‖2‖x‖2. Desde que

∑j

|〈x, xj〉|2 = ‖U∗x‖2 (ver

(+)) concluimos que si (xj) es una base de Riesz entonces existen lasconstantes A = ‖U−1‖−2 y B = ‖U‖2 tal que

A‖x‖2 ≤∑

j

|〈x, xj〉|2 ≤ B‖x‖2, ∀ x ∈ H.

En esta dirección se verifica la equivalencia entre la definición dada debase de Riesz y la dada en función del operador U ; más precisamente setiene:

“ si (xj) es una sucesión en H , entonces

(xj) es una base de Riesz para H (en función de U) sí y sólo si

(xj) es completa en H y existen constantes A, B positivas tal que∀ (aj) ∈ ℓ2 se tiene A

∑j

|aj|2 ≤ ‖∑j

ajxj‖2 ≤ B∑j

|aj|2.”

Se observa que si A = B = 1, entonces (xj) es una b. o. n. Otra caracte-rización de las bases de Riesz es:“Una sucesión (xj) es una base de Riesz para H sí y sólo si (xj) es unabase incondicional para H y 0 < ınf

j‖xj‖ ≤ sup

j‖xj‖ <∞”.

Remarcamos que en el caso de un espacio de Banach X, si (xj) esuna base (de Schauder) y x =

∑j

aj(x)xj es la única representación de

x ∈ X, entonces se tiene la norma (equivalente): ‖x‖ = supn∈N

‖n∑j=1

aj(x)xj‖.Observamos que se tiene también la sucesión de funcionales (fj), dondefj(x) = aj(x) para x ∈ X los cuales son lineales y continuas sobre X;en el contexto general cuando X es un espacio vectorial topológico estasfuncionales pueden no ser continuas; si lo fueran, la base es llamada unabase de Schauder para el espacio vectorial topológico. En el caso de espa-cios de Banach, todas las bases son bases de Schauder. Por otro lado, enun espacio de Hilbert H es más natural y conveniente considerar “bases

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Alejandro Ortiz Fernández

ortonormales” (gracias al producto interno) y más generalmente conside-rar a las bases de Riesz. Sin embargo, existen familias en un espacio deHilbert que sin ser necesariamente bases pueden ser usadas para analizary reconstruir elementos del espacio, es decir, actúan “como bases”; estasfamilias son los marcos (“frames”) y las presentaremos oportunamente.Cuando un marco es una base, él es una base de Riesz (y recíprocamente).Aún más, existen otros tipos de bases como son las bases de ondículas,que presentamos a continuación.

El lector puede consultar [HER-WEI] Y [CHR] para mayores detallessobre bases en espacios de Hilbert y de Banach.

c

Bases de Ondículas

La teoría de ondículas (“wavelets”) es una área matemática que fueintroducida en los años 1980’s destacándose por sus variadas aplicacionesen diversos problemas en el campo de las aplicaciones. En este universose considera a las bases de ondículas las que constituyen una clase im-portante de base. Remarcamos que L2(R) es el espacio de las funcionesmedibles f tales que

∫R|f(x)|2 dx < ∞, el que es un espacio de Hilbert;

en general, si∫R|f(x)|p dx < ∞ con 1 ≤ p < ∞ real, diremos que f

pertenece al espacio de Banach Lp(R).Si ψ ∈ L2(R), j, k ∈ Z, pongamos ψj,k(x) ≡ D2−jTkψ(x) = 2j/2ψ(2jx−

k), x ∈ R, donde Tk es el operador traslación y D el operador dilatación.ψ es llamado una ondícula si (ψj,k)j,k∈Z es una base ortonormal paraL2(R). A. Haar a inicios del siglo XX introdujo la llamada actualmente“ondícula de Haar”.

10

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ϕ−Espacios de Funciones

(i) La Base de Haar

La función ψ que genera a la base de Haar es bastante simple yella proviene de la función característica ϕ del intervalo [0, 1) ylas funciones ψj,k’s serán funciones discontinuas y se tendrá unalimitada aproximación para funciones continuas; sin embargo, lasondículas de Haar son útiles para descodificar informaciones queprovienen de funciones que son constantes sobre intervalos. Veamosalgunos detalles. Sea

ϕ(x) =

1 0 ≤ x < 10 complemento.

La ondícula de Haar es, por definición,

ψ(x) = ϕ(2x)− ϕ(2x− 1) =

1 0 ≤ x < 12

−1 12≤ x < 1

0 complemento.

Entonces, las funciones (ondículas) de Haar son las funciones ψj,k;Haar en 1910 probó que (ψj,k) es una base ortonormal para L2(R).Observemos que el soporte de ϕ y de ψ es el intervalo [0, 1] y el de

ψj,k el intervalo

[k

2j,k + 1

2j

]. Veamos que (ψj,k)j,k∈Z es una familia

ortonormal.

En efecto, si graficáramos ϕ(x), ψ(x), ψ(2x), ψ(2x−1), . . . obser-varíamos que

∫Rψ(x) dx = 0,

∫Rψj,k(x) dx = 0, ∀ j, k ∈ Z, donde

si k 6= k′, ψj,k y ψj,k′ tienen soportes disjuntos (salvo, posiblemente,conjuntos de medida cero). De esta manera ψj,k ⊥ ψj,k′. Sea ahoraj 6= j′, digamos j′ < j.

Observando que la longitud del soporte de ψj,k es1

2j, si j′ < j ó

1

j<

1

j′se tiene que soporte de ψj,k ⊂soporte de ψj′,k, luego ψj,k ⊥

ψj′,k. Por construcción se tiene, además, ‖ψj,k‖ = 1, ∀ j, k ∈ Z.Conclusión: (ψj,k) es ortonormal.

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Alejandro Ortiz Fernández

Probemos ahora que para todo f ∈ L2(R) se tiene: ‖f−∑j∈J

cj,kψj,k‖ <ǫ, donde J es un conjunto finito, esto es, verifiquemos que (ψj,k) es unabase ortonormal para L2(R). Veamos:

Prueba. Sea f ∈ L2(R). Ella puede ser aproximada con funciones de so-

porte compacto, la cual es constante sobre intervalos de la forma[l

2j,l + 1

2j

).

Si J1 es un número entero, desde que

lımJ1→∞

∫ 2J1

−2J1|f(x)|2 dx = ‖f‖2,

podemos asumir que f tiene soporte [−2J1, 2J1] y que podemos conside-

rar la restricción f∣∣[−2J1 ,2J1)

, constante sobre intervalos en

[l

2J0,l + 1

2J0

),

donde J1 y J0 son enteros escogidos arbitrariamente grandes.Entonces, sea f una función con soporte compacto, constante sobre

intervalos diádicos. Sobre tales intervalos, pongamos f siendo fJ0. Así,

fJ0 es constante sobre intervalos de longitud1

2J0, con soporte [−2J1 , 2J1].

En este contexto, fJ0ℓ representa el valor constante de fJ0 sobre el inter-

valo

[l

2J0,l + 1

2J0

). De esta manera, fJ0(x) = fJ0ℓ , si x ∈

[l

2J0,l + 1

2J0

).

EscribamosfJ0 = fJ0−1 + gJ0−1

(esto es la idea esencial de las ondículas considerar una aproximación yun error respectivo), donde fJ0−1 es una aproximación de fJ0 y gJ0−1 es elerror cometido. Además, fJ0−1 es constante sobre intervalos de longitud

1

2J0−1

(=

2

2J0, longitud doble de los intervalos considerados en fJ0

),

es decir,fJ0−1

∣∣[l

2J0−1 ,l+1

2J0−1

) = constante = fJ0−1l .

Debe observarse que gJ0−1 es constante sobre los mismos intervalosen que es constante fJ0. Además observamos que fJ0−1 es aún una apro-ximación “tosca” de fJ0 y que sus valores se pueden obtener tomando

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ϕ−Espacios de Funciones

promedios:

fJ0−1l =

fJ02l + fJ02l+1

2.

Para la función “detalle” gJ0−1 se tiene (con el convenio establecido):

gJ0−12l = fJ02l − fJ0−1

l = fJ02l − 1

2

(fJ02l + fJ02l+1

)y

gJ0−12l+1 = fJ02l+1 − fJ0−1

l =1

2

(fJ02l+1 − fJ02l

)= −gJ0−1

2l .

Se tiene que gJ0−1 es una combinación lineal de translaciones y dila-taciones de la ondícula de Haar; así:

gJ0−1(x) =2J1+J0−1∑

l=−2J1+J0−1+1

gJ0−12l ψ(2J0−1x− l).

Luego, f ≡ fJ0 puede ser escrito en la forma

fJ0 = fJ0−1 +∑

l

dJ0−1,lψJ0−1,l,

donde

dJ0−1,l = 〈fJ0, ψJ0−1,l〉 = 2J0−1

2

∫ (l+1)2J0−1

l2J0−1

fJ0(x)ψ(2J0−1x− l) dx.

La idea ahora es descomponer fJ0−1 como se hizo con fJ0. Así ten-dremos

fJ0 = fJ0−1 + gJ0−1 = fJ0−2 + gJ0−2 + gJ0−1,

donde observamos que fJ0−2 tiene el mismo soporte que fJ0 pero es cons-

tante sobre intervalos (más anchos)

[l

2J0−2,l + 1

2J0−2

). Repitiendo el ante-

rior argumento, esto es, la representación ondícula de gJ0−2, tendremos:

fJ0 = fJ0−2 +∑

l

dJ0−2,lψJ0−2,l +∑

l

dJ0−1,lψJ0−1,l,

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Alejandro Ortiz Fernández

donde

dj,k = 〈fJ0, ψj,k〉 = 2j2

∫ (k+1)2j

k2jfJ0(x)ψ(2jx− k) dx.

Continuando con este proceso, se obtiene:

fJ0 = f−J1 +

J0−1∑

j=−J1

k

dj,kψj,k.

Ahora se debe observar que la aproximación f−J1 tiene dos piezas cons-tantes:

f−J1∣∣[0,2J1 )

≡ f−J10 promedio de fJ0 sobre [0, 2J1) y

f−J1∣∣[−2J1 ,0)

≡ f−J1−1 promedio de fJ0 sobre [−2J1 , 0).

Observemos que la idea fundamental fue descomponer la función (oseñal) en una aproximación (tosca), y en una sucesión de funciones erroro detalles g−J1, g−J1+1, . . . , gJ0−1.

Por otro lado, es posible duplicar la longitud del soporte de la apro-ximación a fJ0, digamos [−2J1+1, 2J1+1]. En este caso, f−J1 se puededescomponer en la forma

f−J1 = f−(J1+1) + g−(J1+1),

donde

f−(J1+1)∣∣[0,2J1+1)

≡ 1

2f−J10 ,

f−(J1+1)∣∣[−2J1+1,0)

≡ 1

2f−J1−1

y

g−(J1+1) =1

2f−J10 ψ(2−(J1+1)x)− 1

2f−J1−1 ψ(2−(J1+1)x+ 1).

Repitiendo este argumento K veces, obtenemos

fJ0 = f−(J1+K) +

J0−1∑

j=−(J1+K)

k

dj,kψj,k,

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ϕ−Espacios de Funciones

donde soporte de f−(J1+K) = [−2J1+K , 2J1+K ],

f−(J1+K)∣∣[0,2J1+K)

= 2−Kf−J10 ,

f−(J1+K)∣∣[−2J1+K ,0)

= 2−Kf−J1−1 .

Luego, (recalcamos ‖ · ‖ ≡ ‖ · ‖L2)

∥∥∥∥fJ0 −J0−1∑

j=−(J1+K)

k

dj,kψj,k

∥∥∥∥2

= ‖f−(J1+K)‖2

= 2−K2 · 2

J12 (|f−J1

0 |2 + |f−J1−1 |2) 1

2 → 0,

K → ∞, como se desea.

Nota 1. Debe observarse que en el anterior argumento, usado para probarque ψj,kj,k∈Z es una b.o.n. para L2(R), está implícita la idea de AMR.Así, para cada j ∈ Z pongamos

Vj = f ∈ L2(R)/∀ k ∈ Z, f es constante sobre Ij,k,

donde Ij,k es el intervalo diádico

[k

2j,k + 1

2j

]. Se tiene: si k es par, en-

tonces Ij+1,k ⊆ Ij, k2; y si k es impar, Ij+1,k ⊆ Ij, k−1

2. Luego, si f ∈ Vj

entonces f es constante sobre intervalos diádicos de longitud 2−j, y porlo tanto f es constante sobre intervalos diádicos de longitud 2−(j+1). Porlo tanto, f ∈ Vj+1. Así, se ha verificado

(i) Vj ⊆ Vj+1, ∀j ∈ Z.

Probaremos ahora:

(ii) existe una función ϕ en V0 tal que ϕ0,kk∈Z es o.n. y

V0 =

k∈Z

z(k)ϕ0,k

/z = (z(k))k∈Z ∈ ℓ2(Z)

.

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Alejandro Ortiz Fernández

En efecto, sea ϕ = χ[0,1). Se tiene que ϕ0,kk∈Z es o.n. Además, ∀f ∈ V0 puede ser escrito en la forma

f =∑

k∈Z

ckϕ0,k,

donde ck es el valor de f sobre [k, k + 1]. Se observa que

∫ ∞

−∞

|f(x)|2 dx =∑

k∈Z

|ck|2,

y por lo tanto c = (ck)k∈Z ∈ ℓ2(Z).

(iii) f(x) ∈ V0 ⇐⇒ f(x) = c en [k, k + 1] ⇐⇒ f(x) = c, k ≤ x ≤k + 1 ⇐⇒ f(2jx) = c, k ≤ 2jx ≤ k + 1 ⇐⇒ f(2jx) = c,

k

2j≤ x ≤

k + 1

2j⇐⇒ f(2jx) = c en Ij,k ⇐⇒ f(2jx) ∈ Vj.

(iv) Si f ∈ ⋂Vj, entonces f = 0.

En efecto, f = c1 sobre [0, 12j) y f = c2 sobre [− 1

2j, 0), ∀ j ∈ Z.

Luego, f = c1 sobre [0,+∞) y f = c2 sobre (−∞, 0] (tome j →−∞). Pero f ∈ L2(R), entonces, f = 0.

(v) De la definición de V0 se tiene que f ∈ V0 implica f(. − k) ∈ V0,∀ k ∈ Z.

Finalmente, vía argumentos que requieren de otros requisitos se prue-ba que

⋃j∈Z

Vj = L2(R), donde la cerradura es en L2(R).

De esta manera se ha verificado que la familia de subespacios cerrados(Vj) es un análisis multi-resolución (AMR) para L2(R). Así, la ondículade Haar proporciona una idea más general de AMR, la que permite cons-truir ondículas en espacios de funciones. En efecto, en 1986 S. Mallat yY. Meyer introdujeron el “análisis multiresolución”, una amplia idea quepermite construir bases ortonormales de ondículas.

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ϕ−Espacios de Funciones

(ii) Sistemas de Ondículas y AMR

Si ψ ∈ L2(R) observamos de entrada que ‖ψj,k‖L2 = ‖ψ‖L2 ; remar-camos que ψ es una ondícula ortonormal para L2(R); así, para ∀f ∈ L2(R) se tiene: f(x) =

∑j,k

cj,kψj,k(x) en la topología de L2(R);

la serie es llamada una serie de ondículas y los coeficientes cj,k’s,coeficientes de ondículas donde cj,k = 〈f, ψj,k〉. Así tenemos la iden-tidad de ondículas: f =

∑j,k

〈f, ψj,k〉ψj,k; la aplicación f → (〈f, ψj,k〉)es llamada la transformada discreta de ondículas.

Por definción, “un sistema de ondículas” para L2(R) es un con-junto ortonormal completo (ψj,k)j,k∈Z para ψ ∈ L2(R). ψ es la ondí-cula progenitora y ψj,k’s las ondículas. ¿Cómo construir un sistemade ondículas?. . . esto es una tarea esencial. Dentro de este panora-ma, la idea de análisis multiresolución (AMR) es fundamental paraconstruir ondículas. Por definición,

“ Un AMR, con función escala ϕ, es una sucesión (Vj)j∈Z de subes-pacios cerrados de L2(R) tal que:

(i) (Propiedad monótona) Vj ⊂ Vj+1, ∀j ∈ Z;

(ii) existe ϕ ∈ V0 tal que (ϕ0,k)k∈Z es ortonormal y

V0 =

k∈Z

c(k)ϕ0,k

/c = (c(k))k∈Z ∈ ℓ2(Z)

,

donde ϕj,k(x) = 2j/2ϕ(2jx− k), j, k ∈ Z;

(iii) para todo j ∈ Z, f(x) ∈ V0 ⇐⇒ f(2jx) ∈ Vj (propiedad dedilatación);

(iv)⋂j

Vj = 0

(v)⋃j

Vj = L2(R) (propiedad de densidad); así, si f ∈ L2(Rn)

entonces existe una sucesión (fn)n=1,2,··· tal que

fn ∈⋃

j

Vj y ‖fn − f‖L2 −→ 0, n→ ∞.′′

17

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Alejandro Ortiz Fernández

Se verifica, vía cambio de variables, que (ϕj,k)k∈Z es un sistema orto-normal completo (esto es, una base) para Vj. Por otro lado, desde queϕ ∈ V0 ⊂ V1 se tiene ϕ(x) =

∑k∈Z

c(k)2j/2ϕ(2jx − k) . . . ecuación esca-

la, donde (c(k))k∈Z ∈ ℓ2(Z) y c(k) = 〈ϕ, ϕ1,k〉; c = (c(k)) se llama lasucesión escala. Remarcamos que en el caso de la ondícula de Haar, laasociada función a ψ es la función característica ϕ de [0, 1].

¿Cómo construir una ondícula ψ en L2(R) usando el concepto deAMR de modo que (ψj,k) sea una base ortonormal en L2(R)?. . . ; se tieneel siguiente esquema:

• en L2(R) se dá un AMR, con ϕ =⇒ • ϕ =∑c(k)ϕ1,k, con (c(k)) ∈

ℓ2(Z) =⇒

• construimos d(k) = (−1)kc(1− k) =⇒ • construimos ψ =∑k∈Z

d(k)ϕ1,k

=⇒ • ψ es una ondícula.

Este esquema nos permite construir bases ortonormales para el espa-cio L2(R); en esta dirección se tiene el siguiente resultado,

“(Mallat) sea (Vj)j∈Z un AMR con función escala ϕ y sucesión escalac = (ck) en ℓ2(Z); si d(k) = (−1)kc(1− k) y ψ(x) =

∑k∈Z

d(k)ϕ1,k(x),

entonces (ψj,k)j,k∈Z es un sistema de ondículas en L2(R).

Prueba. La ortonormalidad de (ψ0,k)k∈Z implica, vía dilatación, que (ψj,k)k∈Z

es ortonormal para ∀j ∈ Z. Definamos

Wj =

k∈Z

z(k)ψj,k

/z = (z(k)) ∈ ℓ2(Z)

.

Por otro lado, vía dilataciones, se verifica que f(x) ∈ W0 sí y sólo sif(2jx) ∈ Wj. Luego, Vj+1 = Vj ⊕Wj, ∀j ∈ Z.[tenemos V1 = V0 ⊕W0; de f(x) ∈ V0 sí y sólo f(2jx) ∈ Vj y f(x) ∈ W0

sí y sólo si f(2jx) ∈ Wj se tiene Vj+1 = Vj ⊕Wj ].Remarcamos que la tesis es equivalente a verificar que B = (ψj,k)j,k∈Z

es un conjunto ortonormal completo en L2(R). En efecto, se sabe que(ψj,k)k∈Z es ortonormal para cada j ∈ Z. Por otro lado, 〈ψj,k, ψl,m〉 = 0

18

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ϕ−Espacios de Funciones

si j 6= l [pues si j > l, ψl,m ∈ Wl ⊂ Vl+1 ⊂ · · · ⊂ Vj; pero ψj,k ∈ Wj yWj ⊥ Vj , luego ψj,k ⊥ ψl,m y por tanto B es ortonormal]. Así mismo, Bes completo en L2(R). Para probar esta propiedad usaremos el siguienteresultado:

“Si g ∈ Vj, para algún j ∈ Z, tal que para todo l ≤ j − 1 se tie-ne g ⊥ Wl (esto es, ∀w ∈ Wl se tiene 〈g, w〉 = 0), entonces g = 0.”[∗]

Bien, si f ∈ L2(R) tal que 〈f, ψj,k〉 = 0 para todo j, k ∈ Z (esto es,f ⊥Wj para todo j ∈ Z), entonces debemos probar que f = 0.

En efecto, para cada j ∈ Z sea Pj : L2(R) −→ Vj el operador pro-yección; así, Pj(f) es la proyección de f sobre el subespacio cerrado Vj.Luego, Pj(f) =

∑k∈Z

〈f, ϕj,k〉ϕj,k. Sabemos que Pj(f) ∈ Vj y (f −Pj(f)) ⊥Vj . Observemos que si l ≤ j − 1 entonces Wl ⊂ Vl+1 ⊆ Vj . Luego,(f−Pj(f)) ⊥Wl, ∀ l ≤ j−1. Desde que f ⊥Wl, ∀ l, la linealidad implicaque Pj(f) ⊥Wl, ∀ l ≤ j−1. Entonces, por [∗], se tiene Pj(f) = 0, ∀j ∈ Z.Sin embargo, para todo j ∈ Z, Pj(f) = 0 es la mejor aproximación de fen Vj , esto es, para todo h ∈ Vj se tiene ‖f‖ = ‖f − Pj(f)‖ ≤ ‖f − h‖.Por otro lado, la hipótesis

⋃j

Vj = L2(R) implica que existe (fn) tal

que fn ∈ ⋃Vj para todo n ∈ Z, y ‖f − fn‖ → 0 si n → ∞; luego

‖f‖ ≤ ‖f − fn‖ implica ‖f‖ = 0 ó f = 0, como se desea.

Volvamos a la ondícula de Haar; observemos los argumentos dados ahíy usando el resultado de Mallat se puede construir la ondícula de Haaren L2(R) y en consecuencia un sistema de ondículas. En efecto, tenemosϕ(x) =

∑k

c(k)ϕ1,k. Calculemos los coeficientes c(k), k ∈ Z. Sabemos que

c(k) = 〈ϕ, ϕ1,k〉 ya que (ϕ1,k)k∈Z es ortonormal. Pero,

ϕ1,k(x) = 21/2ϕ(2x− k) =

21/2, k

2≤ x < k+1

2

0, complemento.

Luego,

c(0) = 〈ϕ, ϕ1,0〉 = 2−12 ,

c(1) = 〈ϕ, ϕ1,1〉 = 2−12 ,

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Alejandro Ortiz Fernández

c(j) = 0 si j 6= 0, 1.

Luego tenemos ϕ(x) =∑k

c(k)21/2ϕ(2x − k) = ϕ(2x) + ϕ(2x − 1) · · ·ecuación dilatación.Además, d(k) = (−1)kc(1− k) implica

d(0) = 2−12 , d(1) = −2−

12 , d(j) = 0, j 6= 0, 1.

Luego,ψ(x) =

k

d(k)ϕ1,k(x) = ϕ(2x)− ϕ(2x− 1).

De esta manera,

ψ(x) =

1, 0 ≤ x < 12

−1, 12≤ x < 1

0, x < 0 ó x ≥ 1.

Esta función ψ fue considerada por A. Haar a inicios del siglo XX. Ade-más, observemos que vía dilataciones y translaciones se obtiene la familia(ψj,k)j,k∈Z, donde

ψj,k(x) =

−2j2 , · · · k

2j≤ x < k

2j+ 1

2j+1

2j2 , · · · k

2j+ 1

2j+1 ≤ x < k+12j

0, · · · x < k2j

ó k+12j

≥ x.

Se tiene que (ψj,k)j,k∈Z es una base ortonormal para L2(R), es la másantigua base de ondículas. Observemos que ψ está concentrada en elintervalo [0, 1] pero los ψj,k’s se mueven y se dilatan a través de toda larecta. A manera de ejemplo visualicemos ψ(x), ψ(2x) y ψ(2x− 1).

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ϕ−Espacios de Funciones

0 12

1

1

−1ψ(x)

0 14

12

1

1

−1ψ(2x)

0 12

34

1

1

−1ψ(2x− 1)

d

Marcos en Espacios de Hilbert

La idea de base en un espacio X es vital por su propiedad de repre-sentación, es decir, si x ∈ X entonces x =

∑n

anxn, donde (xn) es una

base en X. Si T es un operador lineal, con adecuadas condiciones se tieneTx =

∑n

anT (xn), es decir, para conocer Tx es suficiente conocer T (xn),

lo que es un argumento para justificar el porqué el interés para construirbases en diversos espacios. Por ejemplo, en el espacio (de Hilbert) L2(0, 1)se sabe que la familia (xn(x)) = (e2πinx) es una base ortonormal; luego,si x ∈ L2(0, 1) se tiene x =

∑n

〈x, xn(x)〉xn(x) en la topología de L2(0, 1).

Por otro lado, se verifica que si I ⊂ (0, 1) es un intervalo abierto, entonceslas restricciones de los xn’s a I conservan la propiedad de representaciónen L2(I) pero no es una base para L2(I) (ver [CHR], pág. 91); tal fami-lia de restricciones es un . . . “marco” para L2(I). Así mismo, un ligerocambio en una base puede modificar su esencia de tal (por ejemplo, siretiramos un elemento de ella, deja de ser base); por esto es útil, en cier-tas situaciones, tener familias que tengan la propiedad de representaciónaún cuando no sean bases pero que tengan otras importantes propiedadescomo es el caso de los marcos en un espacio de Hilbert, como L2(0, 1).

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Alejandro Ortiz Fernández

Sea H un espacio de Hilbert; una familia (no necesariamente unabase) (xi)i∈I en H es un marco si existen dos constantes A y B, 0 <A ≤ B <∞, tal que para todo f ∈ H se tiene:

A‖f‖2 ≤∑

i∈I

|〈f, xi〉|2 ≤ B‖f‖2. (+)

Si A = B = 1, el marco (xi) es una base ortonormal y∑ |〈f, xi〉|2 =

‖f‖2, ∀ f ∈ H (además, (xi) es una sucesión de Bessel). Por otro lado,una base de Schauder (ver a.) no es necesariamente un marco. Si A = B,(xi) se llama un marco casi-ortogonal; en este caso, si (xi) es un marcocasi-ortogonal ella no es necesariamente una base de Schauder. Un marcoes exacto si deja de serlo al retirar un elemento de él. En un espacio deHilbert existe una íntima conexión entre las bases de Riesz con los marcos;así, (xi) es una base de Riesz sí y sólo si (xi) es un marco exacto.

Los marcos fueron introducidos por R. J. Duffin y A. C. Schaeffer en1952 en su trabajo “A Class of Nonharmonic Fourier Series”, quienes usa-ron tal idea en el estudio de las series de Fourier no-armónicas, en dondese consideran sucesiones de la forma (eiλnx)n∈Z siendo (λn) una sucesiónde números reales o complejos. Cuando las ondículas fueron introduci-das (1984) las expansiones en series fueron usando bases ortonormales deondículas en L2(R), lo que de alguna manera era una actitud familiar yconveniente; sin embargo, I. Danbechies, A. Grossmann y Y. Meyer en1986 en el trabajo “Painless nonorthogonal expansions” observaron quelos marcos podían ser utilizados en la búsqueda de expansiones en seriespara funciones en L2(R), las que eran semejantes a las expansiones usan-do bases ortonormales. De esta manera, la teoría de marcos mereció laatención por los investigadores de la teoría de ondículas. Por otro lado,observando la definición de marco [+] , los números A y B se llamancotas-marcos, las que no son únicas; la menor de las cotas superiores B’sse llama la óptima cota superior; similar para la óptima cota inferior. Atodo marco (xi) se le asocia los operadores S, T y T ∗ donde

S : H −→ H

f 7→ Sf =∞∑i=1

〈f, xi〉xi;

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ϕ−Espacios de Funciones

S es llamado el operador marco. Observamos que S puede ser obtenidodel operador síntesis

T : ℓ2(N) −→ H

(ai) 7→ T (ai) =∞∑i=1

aixi

y del operador análisis (adjunto)

T ∗ : H −→ ℓ2(N)f 7→ T ∗f = (〈f, xi〉)i=1,2,···

En efecto, TT ∗f = T (〈f, xi〉) =∑〈f, xi〉xi = Sf.

Se observa que un marco es una sucesión de Bessel, entonces la serieque define a S converge incondicionalmente para ∀ f ∈ H (“si (xi) es unasucesión de Bessel en H , entonces

∑i

aixi converge incondicionalmente

para todo (ai) ∈ ℓ2(N)”).El operador S es lineal por definición; además es positivo

[〈Sf, f〉 =

i

〈f, xi〉〈xi, f〉 =∑

i

|〈f, xi〉|2 ≥ 0

]

y también es acotado [por la definición de marco y el anterior argumentose tiene A‖f‖2 ≤ 〈Sf, f〉 ≤ B‖f‖2, de donde AI ≤ S ≤ BI, siendo Iel operador identidad sobre H .] El rango de S es un subespacio cerradode H y coincide con H [tome una sucesión de Cauchy en el rango de Sy pruebe que es convergente; veamos que rang S = H : por el absurdosupongamos que exista f , f 6= 0 tal que 〈f, Sg〉 = 0, ∀ g ∈ H ;luego,si g = f se tiene 〈f, Sf〉 = 0; pero A‖f‖2 ≤ 〈Sf, f〉, de donde f = 0;de esta manera (rang H)⊥ = 0, esto es rang S = H desde que rang Ses cerrado]. S es un operador inyectivo [si ∃ f ∈ H, f 6= 0 tal queSf = 0, entonces 〈Sf, f〉 = 0 ó A‖f‖2 = 0, luego f = 0, contradic-ción]; luego existe la inversa S−1 y se tiene B−1I ≤ S−1 ≤ A−1I [S−1 :H → H es bien definido y acotado; además, para ∀ f ∈ H , 〈S−1f, f〉 =〈S−1f, S(S−1f)〉 ≥ A‖S−1f‖ ≥ 0, esto es, S−1 es un operador positivo;en AI ≤ S ≤ BI multiplicamos por S−1 ·S−1 para obtener AS−1 ·S−1 ≤

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Alejandro Ortiz Fernández

S−1 ≤ BS−1·S−1, de donde se tiene la tesis]. Observamos que S−1 es auto-adjunto desde que es positivo. Por otro lado, (S−1xi) es un marco concotas B−1 y A−1. [desde que S−1 es auto-adjunto,

∑i

〈f, S−1xi〉S−1xi =

S−1(∑

i

〈S−1f, xi〉xi)= S−1(S(S−1f)) = S−1f. Luego,

∑i

|〈f, S−1xi〉|2 =∑i

〈f, S−1xi〉〈S−1xi, f〉 = 〈∑i

〈f, S−1xi〉S−1xi, f〉 = 〈S−1f, f〉. Usando

B−1 · I ≤ S−1 ≤ A−1 · I se tiene B−1‖f‖2 ≤ 〈S−1f, f〉 ≤ A−1‖f‖2 óB−1‖f‖2 ≤ ∑

i

|〈f, S−1xi〉|2 ≤ A−1‖f‖2, luego (S−1xi) es un marco con

cotas B−1 y A−1.]Sea x = (xi)i∈N un marco en un espacio de Hilbert H y sea S su

asociado operador marco; por definición, x = (xi)i∈N es el marco dualde x si xi = S−1xi. De esta manera (xi) es un marco. Ahora veamos que(xi) tiene el mismo papel que el dual en la teoría de bases; en efecto, setiene el fundamental resultado:

«[Dual]. Sea (xi) un marco y el operador marco; entonces, para todox ∈ H se tiene:

x =∞∑

i=1

〈x, xi〉xi, (•)

y también, x =∞∑i=1

〈x, xi〉xi, donde las series convergen incondicionalmen-

te.»Observamos que (xi) tiene el comportamiento de una base y por tanto

podemos pensar que un marco es una “base generalizada” .

Prueba.

x = SS−1x =∑

i

〈S−1x, xi〉xi =∑

i

〈x, S−1xi〉xi =∑

i

〈x, xi〉xi. (+)

Por otro lado, (xi) es también una sucesión de Bessel y (〈x, xi〉) ∈ ℓ2(N)y por el resultado: “ si (xi) una sucesión de Bessel en H y (ai) ∈ ℓ2(N),entonces

∑i

aixi converge incondicionalmente”, se tiene que la serie en

(+) converge incondicionalmente. Así mismo,

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ϕ−Espacios de Funciones

x = S−1Sx

=∑

i

〈Sx, S−1xi〉S−1xi = (S es auto-adjunto)

=∑

i

〈x, SS−1xi〉xi

=∑

i

〈x, xi〉xi.

Observando al coeficiente 〈x, xi〉 (coeficiente-marco) en la serie (•) po-dríamos decir que ella contiene la información del elemento x. Por otro la-do, en el resultado [Dual], ¿cuál de las dos representaciones tomamos?. . .como observamos, conocido S debemos calcular su inversa S−1. Sin em-bargo, “si (xi) fuera un marco casi-ortogonal (A = B), con cota A, en-

tonces su dual es (A−1xi)i∈N y se tiene x =1

A

∑i

〈x, xi〉xi, ∀ x ∈ H.”

[En efecto, 〈Sx, x〉 = 〈∑i

〈x, xi〉xi, x〉 =∑i

|〈x, xi〉|2 = A‖x‖2 =

A〈x, x〉, de donde, Sx = Ax, esto es, S−1x =1

Ax. Mirando (•) tenemos:

x =∑i

〈x, 1Axi〉xi = 1

A

∑i

〈x, xi〉xi.]En tal caso, casi-ortogonal, se tiene

S−1 =1

A

∞∑

i=0

(I − 1

AS

)i

.

En general, si x = (xi) es un marco, se tiene:

S−1 =2

A +B

∞∑

i=0

(I − 2

A+BS

)i

.

En efecto, observemos que S−1 =2

A +B

(I −

(I − 2S

A +B

)−1

; pero

A · I ≤ S ≤ B · I, luego I − 2S

A+B≤ I − 2A

A+B· I =

B −A

A+B· I y

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Alejandro Ortiz Fernández

I− 2S

A+B≥ I− 2B

A+B·I =

A− B

A+B·I. De esta manera,

∥∥∥∥I−2S

A+B

∥∥∥∥ ≤BA− 1

AB+ 1

< 1, lo que implica que la serie de la tesis converge uniformemente

en la norma, lo que implica la tesis.

e

Marcos-Ondículas(i) Marcos de Gabor

Como hemos mencionado,los marcos son usados en la teoría de laseñal para obtener descomposiciones y representaciones cuando existeredundancia o sobre - muestra en la información; vía este argumentose tienen interesantes relaciones con la teoría de ondículas; así, hemosvisto que un caso particular de marco son las bases ortonormales. Ahoraveremos que otro ejemplo de marco es el marco de Gabor en el espacio deHilbert L2(R); la idea es partir con una función g ∈ L2(R) y someterla atraslaciones y modulaciones obteniéndose así una familia que si fuera unmarco en L2(R), ella es llamada un marco de Gabor. Más concretamente,el análisis de Gabor descansa en dos operadores sobre L2(R) que son,latraslación,

Ta : L2(R) −→ L2(R)f(x) −→ (Taf)(x) = f(x− a), a ∈ R,

y la modulación,

Mb : L2(R) −→ L2(R)f(x) −→ (Mbf)(x) = e2πibxf(x), b ∈ R.

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ϕ−Espacios de Funciones

El análisis de Gabor, al estilo del de Fourier, es útil para represen-tar funciones o señales en L2(R) y lo hace superponiendo traslacionesy modulaciones de una función dada g en L2(R), existiendo para ellodos rutas, una discreta y otra continua. Así, en la primera ruta lastraslaciones y las modulaciones son restringidas a redes de la forma((na,mb))m,n∈Z que viven en R

2; la cuestión es representar f usandola familia (e2πimbxg(x− na))m,n∈Z vía expansiones en series. La segundaruta es usando representaciones integrales que contienen todas las posi-bles traslaciones y modulaciones de una función fija. Al respecto veamosalgunos argumentos sobre los llamados “marcos continuos”. Sea H unespacio de Hilbert y M un espacio medible con medida positiva µ. Pordefinición, un marco continuo es una familia (xi)i∈M tal que la aplica-ción i −→< x, xi > es una función medible sobre M , para todo x ∈ H ;y existen constantes A y B con 0 < A < B <∞, talque

A‖x‖2 ≤∫

M

| < x, xi > |2 dµ(i) ≤ B‖x‖2, ∀x ∈ H.

Sea la aplicación

S : H −→ Hx −→ Sx =

∫M< x, xi > xi dµ(i).

Se verifica que S es un operador lineal, acotado e invertible, en donde seconsidera la norma ‖Sx‖ = sup

‖y‖=1

| < Sx, y > |. Se verifica que

A‖x‖2 ≤< Sx, x >≤ B‖x‖2, ∀x ∈ H.

Conclusión 2. Para todo x ∈ H se tiene la representación

x = S−1Sx =∫M< x, xi > S−1xi dµ(i)

x = SS−1x =∫M< x, S−1xi > xi dµ(i).

Si g ∈ L2(R), pongamos

gm,n(x) ≡MmbTnag(x) = e2πimbxg(x− na), m, n ∈ Z; a, b > 0 reales.

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Alejandro Ortiz Fernández

Si (gm,n(x))m,n∈Z es un marco en L2(R), él es llamado un marco deGabor. (Este tipo de marco es también llamado marco de Weyl - Hei-senberg). La función fija g es conocida como la función ventana ó lageneradora del marco. ¿Cuándo (gm,n(x))m,n∈Z es un marco?. Una con-dición necesaria es la siguiente: “[Heil-Walnut (1989)]. Si (gm,n(x))m,n∈Zes un marco, con cotas A y B, y a, b > 0 son reales dados, entonces

bA ≤∑

n∈Z

|g(x− na)|2 ≤ bB c.t.p x ∈ R”.

Una condición suficiente fue dada por Zayed y afirma: “Sea g ∈ L2(R)tal que G(x) =

∑n∈Z |g(x− na)|2 satisface 0 < A ≤ G(x) ≤ B < ∞. Si

g tiene soporte compacto tal que sop g ⊂ I ⊂ R, donde |I| = 1

b(|I| es

la longitud de I), b > 0 real, entonces (gm,n(x))m,n∈Z es un marco paraL2(R), con cotas 1

bA y 1

bB.”

Prueba. Consideremos la traslación In = I + na = x + na /x ∈ I;desde que G es acotada, g también lo es, luego f(x)g(x− na) ∈ L2(R),con n fijo (pues f ∈ L2(R)).Pongamos hn(x) = f(x)g(x− na) y em(x) =b

12Mmb(x) = b

12 e2πimbx. Obsérvese que (em(x)) es una base ortonormal de

L2(In) y de esta manera, hn(x) =∑m

〈hn, em〉em(x) y

Im

|hn(x)|2 dx =∑

n

|〈hn, em〉|2

= b∑

m

∣∣∣∣∫

In

f(x)g(x− na)Mmb(x) dx

∣∣∣∣2

= b∑

m

|〈f,MmbTnag〉|2.

Pero, considerando que g tiene soporte compacto, se tiene∑

n

In

|hn(x)|2 dx =∑

n

∫ ∞

−∞

|f(x)|2|g(x− na)|2 dx

=

∫ ∞

−∞

|f(x)|2∑

n

|g(x− na)|2 dx

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ϕ−Espacios de Funciones

=

∫ ∞

−∞

|f(x)|2G(x) dx.

Considerando que también

n

In

|hn(x)|2 dx = b∑

m,n

|〈f,MmbTnag〉|2,

se concluye que∫ ∞

−∞

|f(x)|2G(x) dx = b∑

m,n

|〈f,MmbTnag〉|2,

de donde considerando la acotación de G se tiene:

A

b‖f‖2 ≤

m,n

|〈f, gm,n〉|2 ≤B

b‖f‖2,

luego (gm,n(x)) es un marco para L2(R).

(ii) De Ondículas a Marcos

Existen ciertas similitudes entre las teorías de marcos y de las ondí-culas; así, también, las ondículas son basadas en dos tipos de operadoressobre L2(R), que son:

Tb : L2(R) −→ L2(R)f(x) −→ (Tbf)(x) = f(x− b), b ∈ R,

el operador traslación; y

Da : L2(R) −→ L2(R)

f(x) −→ (Daf)(x) =1√|a|f

(x

a

), a ∈ R, a 6= 0.

el operador dilatación. Ver C. para algunas ideas sobre ondículas.Sea ψ ∈ L2(R) una “ondícula analizante”; por definición, un marco-

ondícula (diádico) es un marco de la forma

D2jTkbψ(x) = 2−j2 ψ(2−jx− kb) ≡ ψj,k(x)

29

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Alejandro Ortiz Fernández

donde j, k ∈ Z y asumimos b > 1. (Consideramos a = 2j; en generalψj,k(x) = DajTkb(x)). La idea es que para representar señales con energíafinita (esto es, f ∈ L2(R) usando ondículas, éstas tienen que constituirun marco o una base ortonormal para L2(R) y para ello ψ debe satisfa-cer ciertas condiciones. En estas ruta, I. Daubechies dio una condiciónnecesaria para ψ, la que es (asumimos a > 1, b > 0): “si (ψj,k(x))j,k∈Z esun marco para L2(R), con cotas A y B, entonces

(b ln a)A ≤∫ ∞

0

|ψ(ξ)|2ξ

dξ ≤ (b ln a)B (+)

y

(b ln a)A ≤∫ ∞

−∞

|ψ(ξ)|2|ξ| dξ ≤ (b ln a)B.” (++)

Remarcamos que en (+) y en (++), desde que el integrando tiene sin-gularidad en el origen (ξ = 0), se debe exigir que ψ(0) = 0, esto es,que

∫∞

−∞ψ(x) dx = 0. Por otro lado, si (ψj,k(x)) ha de ser un marco

casi-ortogonal (A = B) entonces se debe tener:

A =1

b ln a

∫ ∞

0

|ψ(ξ)|2ξ

dξ =1

b ln a

∫ 0

−∞

|ψ(ξ)|2|ξ| dξ = B.

Y para que (ψj,k(x)) sea una base ortonormal (A = B = 1) se debe exigir:

b ln a =

∫ ∞

0

|ψ(ξ)|2

ξdξ =

∫ 0

−∞

|ψ(ξ)|2|ξ| dξ.

Por conveniencia consideremos la siguiente descomposición de L2(R) endos subespacios cerrados: L2(R) = H2

+(R)⊕

H2−(R), donde

H2+ = f ∈ L2(R)/sop f ⊂ [0,+∞)

H2− = f ∈ L2(R)/sop f ⊂ (−∞, 0],

en donde se consideran las normas

‖f‖2H2+=

∫ ∞

0

|f(ξ)|2 dξ y ‖f‖2H2−=

∫ 0

−∞

|f(ξ)|2 dξ.

30

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ϕ−Espacios de Funciones

Teorema 1. Sean ψ1, ψ2 ∈ L2(R) tales que sop ψ1 ⊂ [l, L] y sop ψ2 ⊂[−L,−l], 0 ≤ l < L <∞. Sean A y B dos constantes tal que

0 < A ≤∑

j∈Z

|ψ1(ajξ)|2 ≤ B <∞, c.t.p. en [0,+∞),

0 < A ≤∑

j∈Z

|ψ2(ajξ)|2 ≤ B <∞, c.t.p. en [0,+∞).

Entonces, (DajTkbψ1, DajTkbψ2) es un marco para L2(R), con cotas1

bA

y1

bB, donde b ∈ R tal que 0 < b ≤ 1

L− l.

Prueba. Se tiene,

ψjk(ξ) = (DajTkbψ)∧(ξ)

=

∫ ∞

−∞

ψ(a−jx− kb)e2πixξ dx = (cambio de variable)

= aj2 e2πikba

jξψ(ajξ)

= Da−j (Mkbψ(ξ)).

Luego, ∀ f ∈ L2(R) se tiene:

〈f,DajTkbψ〉 = 〈f , (DajTkbψ)∧〉 = 〈f , Da−jMkbψ(ξ)〉.

Pero,por otro lado,

〈f , (DajTkbψ)∧〉 =

∫ ∞

−∞

f(ξ)aj2 e−2πikajξψ(ajξ) dξ = (cambio de variable)

= a−j2

∫ ∞

−∞

f

aj

)e−2πikbξψ(ξ) dξ

=

∫ ∞

−∞

(Daj f)ψ(ξ)e−2πikbξ dξ

= 〈(Daj f)ψ,Mkb〉.

31

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Alejandro Ortiz Fernández

Por tanto,

〈f,DajTkbψ〉 = 〈(Daj f)ψ,Mkb〉. (∗)

Veamos ψ1 (con ψ2 es similar). Tenemos L ≤ l+1

bó L−l ≤ 1

b; por tanto,

sop ψ1 ⊂ [l, L] ⊂ [l, l+1

b] = I y así (Daj f)ψ1 ⊂ L2(I). Considerando que

(b12Mkb)k∈Z es una base ortonormal para L2(I), se tiene

∞∑

k=−∞

|〈(Daj f)ψ1,Mkb〉|2 =1

b

I

|Daj f(ξ)|2|ψ1(ξ)|2 dξ

=1

b

∫ ∞

0

|Daj f(ξ)|2|ψI(ξ)|2 dξ = (cambio de variable)

=1

b

∫ ∞

0

|f(ξ)|2|ψI(ajξ)|2 dξ. (∗∗)

De [*] y [**] obtenemos,∑

j,k∈Z

|〈f, (DajTkbψ1〉|2 =∑

j,k∈Z

|〈(Daj f)ψ1,Mkb〉|2

=1

b

∫ ∞

0

|f(ξ)|2(∑

k∈Z

|ψ1(ajξ)|2

)dξ.

Pero, por hipótesis 0 < A ≤ ∑j∈Z

|ψ1(ajξ)|2 ≤ B <∞, entonces tenemos

1

bA‖f‖2H2

+≤

j,k∈Z

| < f,DajTkbψ1 > |2 ≤ 1

bB‖f‖2H2

+.

De esta manera se ha verificado que (DajTkbψ1)j,k∈Z es un marco paraH2

+. De igual manera se verifica que (DajTkbψ2)j,k∈Z es un marco paraH2

−. Finalmente, desde que L2(R) = H2+ ⊕H2

−, se obtiene la tesis.

Ahora consideremos al operador marco-ondícula. Sea el marco (DajTkbψ)para L2(R), el que es un sistema de ondículas. Por definición tenemos,

S0f =∑

j,k∈Z

〈f,DajTkbψ〉DajTkbψ ∀f ∈ L2(R).

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ϕ−Espacios de Funciones

S0 es llamado el operador marco-ondícula asociado al marco (DajTkbψ).

(Recordemos que Sf =∞∑i=1

〈f, xi〉xi es el operador marco).

Corolario 1.Daj (S0f) = S0(Dajf).

Prueba. En efecto, se tiene 〈f,DajTkbψ〉 = 〈Da−jf, Tkbψ〉 [tenemos,

〈f,DajTkbψ〉 = a−j2

∫ ∞

−∞

f(x)ψ(a−jx− kb) dx = (cambio de variable)

= aj2

∫ ∞

−∞

f(ajx)ψ(x− kb) dx

= 〈Da−jf, Tkbψ〉.Luego,

Dai(S0f) =∑

j,k∈Z

〈f,DajTkbψ〉Dai+jTkbψ

=∑

j,k

〈f,Daj−iTkbψ〉DajTkbψ

=∑

j,k

〈Daif,DajTkbψ〉DajTkbψ

= S0(Daif).

También se tiene: S−10 (Dajf) = Daj (S

−10 f), sin embargo S0(Tkbf) 6=

Tkb(S0f).

Dual-marco.

Veamos al marco-dual de un marco-ondícula:

ψj,k(x) = S−10 ψj,k(x)

= S−10 (DajTkbψ)(x)

= Daj (S−10 Tkbψ)(x)

= (poniendo ψ0,k(x) = S−10 (ψ(x− kb))

33

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Alejandro Ortiz Fernández

= Daj ψ0,k(a−jx)).

Teorema 2. Sea ψ ∈ L2(R) tal que sop ψ ⊂ [l, L]; A y B son constantes

tal que 0 < A ≤ ∑j∈Z

|ψ(ajξ)|2 ≤ B <∞, c.t.p en [0,+∞). Entonces,

(S0f)∧ = Gf y (S−1

0 f)∧ =1

Gf ∀f ∈ H2

+(R),

donde

G(ξ) =

1b

∑j

|ψ(ajξ)|2 si ξ > 0

0 si ξ < 0.

Prueba. Recordemos que S0f =∑j,k

〈f,DajTkbψ〉DajTkbψ; luego,

[S0f ]∧(ξ) =

j,k

〈f,DajTkbψ〉Da−j (Mkbψ(ξ)) = [hemos usado

ψj,k(ξ) = Da−j (Mkbψ(ξ)); ahora usamos que 〈f,DajTkbψ〉= 〈(Daj f)ψ,Mkb〉]=

j,k

〈(Daj f)ψ,Mkb〉Da−j (Mkbψ(ξ))

=∑

j

Da−j

(∑

k

〈(Daj f)ψ,Mkb〉)Mkbψ(ξ).

Si I es un intervalo de longitud1

b, (Daj f)ψ ∈ L2(I), y considerando que

(b12Mkb)k∈Z es una base ortonormal para L2(I), se tendrá

[S0f ]∧(ξ) =

1

b

j

Da−j ((Daj f).|ψ(ξ)|2) = (usando Daj (fg)

= aj2 (Dajf)(Dajg))

= f(ξ)1

b

j

a−j2Da−j |ψ(ξ)|2

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ϕ−Espacios de Funciones

= (definiendo G(ξ) =1

b

j

a−j2Da−j |ψ(ξ)|2)

= f(ξ)G(ξ).

Además, (S0S−10 f)∧ = G · (S−1

0 f)∧ significa

f = G · (S−10 f)∧ ó (S−1

0 f)∧ =1

Gf

.

Nota 2. El lector interesado en mayores detalles sobre las teorías deondículas y de marcos puede consultar, por ejemplo, [HER-WEI], [CHR],[ZAY] y [ORT.1].

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II

EVOLUCIÓN DE ALGUNOS ESPACIOSDE FUNCIONES

a

Generalidades

El tema de los “espacios de funciones” es un amplio universo; nosotrospretendemos dar una visión de la evolución de los espacios más conoci-dos en el análisis funcional-real-armónico. Nuestra intención es orientaral lector, de preferencia a los jóvenes alumnos y colegas sobre como ta-les espacios surgieron en el escenario de la matemática, espacios queposiblemente usamos y que quizás desconozcamos su origen y evolución.Alrededor de esta intención daremos también argumentos técnicos y posi-blemente algunas demostraciones. El escenario que trataremos es amplio

(a) David Hilbert(1862-1943)

(b) Stefan Banach(1892-1945)

y complejo, y no pretendemos abarcar mucho; nos motiva el deseo decontribuir con un tema que, creo, poco se ha escrito en nuestra lenguay que puede servir no sólo de cultura-matemática sino también para que

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Alejandro Ortiz Fernández

tengamos mas seguridad del ambiente en que muchas veces trabajamospero a veces, posiblemente, sin la confianza matemática deseada; tambiénnos anima dar una presentación que pueda servir de motivación a nuestroscolegas que enseñan los cursos de análisis en las diferentes universidadesde la región.

El primer espacio que nos es familiar es el universo de los númerosreales el cual, aun cuando no es propiamente un espacio de funciones, esvital, fundamental y sustento en nuestro aprendizaje del análisis mate-mático. Luego, de un modo natural, tenemos al espacio euclidiano Rn;una vía de extender a este espacio fue a través de los espacios vectoriales,sustento de muchos otros espacios construidos en los siglos XIX (finales)y XX, y aun en el presente. Posiblemente los espacios más familiarespara un estudiante de matemática sean los espacios de Hilbert y los deBanach; estos espacios fueron intensamente estudiados en el siglo pasadoy permitieron el desarrollo de nuevas teorías en variados sectores de lamatemática, aún en el campo de las aplicaciones. Ya hemos tenido laoportunidad de ver, en el Capítulo I, como el espacio de Hilbert L2(R)fue el escenario adecuado para construir y desarrollar la teoría de ondícu-las. El siguiente cuadro nos dá una visión de la ubicación de los clásicosespacios surgidos en el análisis funcional.

En su tesis (“Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leurapplication aux équations intégrales”, 1920), Banach introduce en un con-junto E diversos axiomas que definen a un espacio vectorial abstracto, auna norma y a la completitud de E; él denomina a E, junto con los axio-mas, un espacio de tipo (B). Posteriormente, en 1928, M. Fréchet sugiereel nombre de “Espacio de Banach”. Sin embargo, ya en 1903 J. Hadamardinvestigó al «Espacio de Banach» C[a, b] de las funciones reales continuassobre el intervalo cerrado [a, b]; era la época en que surgía el análisis fun-cional. En esta dirección la contribución de F. Riesz es de primer orden.La teoría de la medida, y su integral, de Lebesgue contribuyó a ampliar elpanorama de los primeros espacios de funciones; así E. Fischer y F. Riesz,en 1907, crearon al “espacio de Hilbert” L2[a, b], el cual fue ampliado porRiesz al “espacio de Banach” Lp[a, b], 1 < p <∞,

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ϕ−Espacios de Funciones

Espacio Vectorial

Espacio Vectorial Topológico

Espacio Localmente Convexo

Espacio Normado

Espacio de

Banach

EspacioReflexivo

Espacio

deHilbert

Espacio Pre-Hilb.

Espacio Métrico

Espacio Topológico

Figura 1:

en una época en que aún no se tenía el concepto de “norma” pero de al-guna manera se le usaba en cada caso particular. Por otro lado, la nociónbásica para definir un espacio en general es la idea de “espacio vecto-rial”, la que fue introducida por Peano en 1888, quien también definiólas “aplicaciones lineales”. Como vimos en el capítulo I, la existencia deuna base en un espacio es de gran utilidad; históricamente, Hamel en1905 prueba que el espacio R (sobre los racionales) posee una base la quefue extendida por Hausdorff en 1932 surgiendo así las llamadas “bases de

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Alejandro Ortiz Fernández

Hamel”.Dos espacios fundamentales que fueron introducidos en los primeros

años del siglo pasado fueron los “espacios métricos” y los “espacios deHilbert” (ver anterior diagrama); para los primeros espacios el punto departida fue la tesis de M. Frechet (1906) en donde se introducen diver-sos conceptos que aún ahora se enseñan en los cursos básicos de análisismatemático. En el mismo año, D. Hilbert considera a la bola unitariacerrada del espacio ℓ2 como el dominio de formas lineales, bilineales ycuadráticas; fue un importante trabajo que indujo el nombre de “espaciode Hilbert”, en honor a su autor. Por otro lado, la idea de espacio vec-torial normado de dimensión finita fue introducida por H. Minkowski en1896 y fueron llamados “espacios de Minkowski”. En relación al espaciode Hilbert ℓ2, sus propiedades geométricas fueron estudiadas por Schmidten 1908. La teoría axiomática de los espacios de Hilbert fue establecidapor J. Von Neumann en 1927 cuando el espacio es de dimensión infini-ta y separable; años después prueba la desigualdad de Cauchy-Schwarz|〈x, y〉| ≤ ‖x‖ ‖y‖ (1932). Schmidt considera cuando la familia (ei)i∈I esortonormal y prueba (1908) la desigualdad de Bessel

∑ |〈x, ei〉|2 ≤ ‖x‖2,∀ x ∈ H . En 1934 fueron estudiados, por Löwig, los espacios de Hilbertno-separables y se prueba la ecuación de Parseval,

∑i∈I

|〈x, ei〉|2 = ‖x‖2.

“Théorie des Opérations Linéaires”.

Stefan Banach fue un extraordinario matemático, un singular perso-naje (no gustaba dar exámenes cuando era estudiante!); sufrió los estra-gos de la II Guerra Mundial; hecho prisionero de los nazis fue torturado.En 1932 salió su libro “Théorie des Opérations Linéaires”, el que habríade influir en el desarrollo del análisis funcional, en particular de los es-pacios de Banach. La obra consta de una introducción y doce capítuloslos que tratan sobre: grupos-espacios vectoriales generales-espacios detipo (F )- espacios normados-espacios de tipo (B)-operadores totalmen-te continuos-sucesiones bi-ortogonales-funcionales lineales en los espaciosde tipo (B)-sucesiones débilmente convergentes-ecuaciones funcionaleslineales-isometría, equivalencia e isomorfía-dimensión lineal; contiene un

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ϕ−Espacios de Funciones

anexo sobre convergencia débil dentro de los espacios de tipo (B). Ellibro contiene las investigaciones de Banach sobre una rama del análi-sis (el análisis funcional) que se desarrolla aceleradamente; resaltamosla importancia de la Escuela Polaca, a la que pertenecía Banach, en eldesarrollo del análisis moderno.

La versión original del libro de Banach apareció en polaco en 1931;la traducción al francés contiene algunas mejoras así como se puso unaintroducción, la que fue escrita por S. Mazur y contiene dos partes: laprimera es dedicada a la integral de Lebesgue-Stieltjes y la segunda alos conjuntos y operadores (B) dentro de espacios métricos. Esta obraconstituye el inicio de la edad madura, adulta, de la teoría de los espaciosnormados a decir de Bourbaki y fue escrita con un estilo propio de lostiempos modernos; entre otras cosas, trata a las topologías débiles.

b

Primeros Espacios de Banach

En el magnífico trabajo de A. Pietsch ([PI E]) podemos encontrar unaextensa información sobre los Espacios de Banach y temas relacionados.Nuestro interés particular son los espacios de funciones (muchos de loscuales son de Banach) pero por una cuestión de completitud histórica y deinterés general veamos los siguientes argumentos. Los primeros espaciosde funciones, familiares a todo estudiante de análisis funcional, son losclásicos espacio C[a, b] de las funciones continuas sobre [a, b] Lp[a, b] delas funciones medibles f tal que

∫ ba|f(x)|pdx < ∞, y el espacio discreto

ℓp de las sucesiones x = (xn) tal que∞∑n=1

|xn|p < ∞; ellos son espacios

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Alejandro Ortiz Fernández

normados completos, es decir, son “espacios de Banach”; además, ellosson parcialmente ordenados en cierto sentido, lo que los ubica dentrode la “Teoría de redes”, introducida en los últimos años del siglo XIXpero fue intensamente investigada a inicios de los años 1930’s surgiendoasí las “redes de Banach”, primero consideradas por L.V.Kantorovich en1937, quien también investigó a los operadores actuando sobre redes deBanach (1940). Esto fue una ruta de investigación en el análisis funcionalen aquellos años. Por otro lado, la teoría de la medida y de la integraltuvo una influencia en el desarrollo del análisis moderno, teoría que tuvosus inicios a comienzos del siglo XX, entre otros, gracias a los trabajos deBorel, Lebesgue en 1902 y de Radon en 1913; en 1915, M.Frechet proponeun punto de vista abstracto de la teoría; de esta manera, en los años1920’s la medida y la integral en tal espíritu ya era de conocimiento dela comunidad de analistas. Así, al final del mencionado libro de Banach,en una Nota se presenta (brevemente) la teoría de la medida según elenfoque de Alfred Haar en donde la noción de medida es consideradadentro de los espacios métricos separables y localmente compactos.

Debemos remarcar que las propiedades básicas de la noción de me-dida según Borel y Lebesgue deben preservarse en la teoría abstracta;por otro lado, con la medida abstracta se pudo construir una integralabstracta, la que conservó las propiedades fundamentales de la integralde Stieltjes y de Lebesgue, tarea debido a P.J.Daniell en 1918 y 1920quién se basó en un trabajo de Young (1914). En esta dirección está lagénesis de los espacios de funciones pues Daniell considera al espacio defunciones Lgrande, definida apropiadamente, surgiendo así la llamada “in-tegral de Daniell”. El trabajo de Daniell motivó a M. Stone, 1948-49, ainvestigar ciertos espacios de Banach de funciones; dentro de este am-biente el grupo Bourbaki considera la teoría de la integral para espacioslocalmente compactos partiéndose de una medida (o integral) de Radonpositiva. En términos de una medida µ se considera al espacio L1 de lasfunciones f tal que |f | es µ−integrable; una funcional lineal continua ℓdefinida sobre L1, definida vía ℓ(f) =

∫f(t)g(t) dµ(t), ∀ f ∈ L1, g ∈ L∞

(sup.ese. |g(t)| <∞) permite establecer la dualidad entre L1 y L∞ (teo-rema de Steinhaus-Nikodym). En esas investigaciones debemos resaltarel uso de la medida abstracta para construir espacios de funciones; así

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ϕ−Espacios de Funciones

los espacios de Banach Lp(M,M, µ), donde (M,M, µ) es un espacio demedida con µ una medida aditivamente enumerable sobre la σ−álgebraM, fueron investigados por Dunford en 1938. En esta dirección se in-trodujo el espacio (de Banach) C (M ) de las funciones continuas sobreel espacio topológico M , que satisface el axioma de separación de Haus-dorff, así como el subespacio Ca(M) de las funciones continuas acotadassobre M , en donde se considera la norma ‖f‖ = sup

x∈M|f(x)|. Dunford,

Grothendieck y otros fueron analistas que contribuyeron en el punto devista de la medida-abstracta de los primeros espacios de funciones.

c

Análisis Moderno en Espacios de BanachEl enfoque moderno de los espacios de Banach se inicia con el libro

de S. Banach ya mencionado en a aunque muchas ideas ya se habíanintroducido desde inicios del siglo XX con la introducción de diversasteorías (de la medida, del análisis funcional, · · · ). Otro libro que tuvo unagran influencia en el ambiente de los analistas fue el libro de Marshall H.Stone, “Linear Transformation in Hilbert Spaces and their Applications toAnalysis”, publicado en USA en 1932, el cual está dedicado a los espaciosde Hilbert, una importante clase de espacios de Banach, en donde Stonepresenta sus propias contribuciones así como de otros analistas. Desdenuestro interés, los espacios de funciones, el espacio de Hilbert L2(R) esbien conocido por su utilidad en diversas teorías de relativa actualidad(por ejemplo, en la teoría de ondículas o de “wavelets”).

En compatibilidad con lo expuesto en I expongamos algunos comen-tarios históricos respecto a las series, a la integración de funciones con

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Alejandro Ortiz Fernández

valor-vectorial, a la representación de operadores sobre espacios de fun-ciones y a las derivadas, todo ello en el contexto de los espacios de Banach.Así, en 1929 M. W. Orlicz introduce la idea de convergencia incondicionalde una serie en un espacio de Banach; en el complemento al Capítulo IXde su libro, Banach considera unos comentarios sobre los espacios de tipo(B) que son débilmente completos así como las series son “conmutativa-mente” («incondicionalmente») convergentes, dando unos criterios paraeste tipo de convergencia, atribuyendo los resultados a Orlicz. Por ejem-

plo, se establece el teorema (Orlicz, 1929): “Si todas las subseries∞∑i=1

xni

de una serie∞∑n=1

xn son débilmente convergentes, entonces la serie conver-

ge incondicionalmente”; este resultado fue establecido también en formamás general por Pettis y Dunford en forma independiente en 1929. Enesta ruta ha de surgir la teoría de sumabilidad para series en un espaciode Banach (Hildebrandt, 1940); en 1950, Dvoretzky-Rogers establecenque la convergencia incondicional de series coincide con la convergenciaabsoluta sí y sólo si el espacio de Banach es de dimensión finita. A

Orlicz le debemos también el interesante resultado: “Si∞∑k=1

fk es una serie

incondicionalmente convergente en el espacio Lp, 1 < p <∞, entonces

∞∑k=1

‖fk‖2Lp <∞, si 1 ≤ p ≤ 2, y∞∑k=1

‖fk‖pLp <∞, si 2 ≤ p <∞.”

En la teoría de los espacios de funciones es usual hacer actuar opera-dores (lineales) sobre ellos. Veamos algunos argumentos al respecto. Laevolución de cuestiones sobre integrales de la forma

∫MK(s, t)f(t) dµ(t)

llevó al desarrollo de una teoría de integración para funciones de valor-vectorial. Así, en la citada integral f ∈ X (un espacio de Banach) y seestá considerando un operador K : X → Y , Y un espacio de Banach,donde K(f(t)) ≡ g(s) =

∫MK(s, t)f(t) dµ(t), donde K(s, t) es un ade-

cuado núcleo. En esta dirección se llega a la integral de Bocher (1933),la cual es una extensión de la integral de Lebesgue. Veamos una brevepresentación de tal integral. Sea X un conjunto ( 6= ∅); una familia A de

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ϕ−Espacios de Funciones

subconjuntos de X es una σ−álgebra en X si: φ ∈ A; si U ∈ A entonces

Uc ∈ A y si (Un) es una sucesión en A, entonces∞⋃n=1

Un ∈ A. (X,A) es

llamado un espacio medible y si U ∈ A, U es un conjunto medible.

Sean (X,A) y (Y,B) dos espacios medibles; f : X → Y es una funciónmedible si para ∀ V ∈ B, f−1(V ) ∈ A. Por otro lado, si (X,A) es unespacio medible, una medida positiva es una aplicación µ : A → [0,∞[tal que: µ(∅) = 0; (Un) es una sucesión en A, mutuamente disjuntos,

entonces µ

(∞⋃n=1

Un

)=

∞∑k=1

µ(Un). µ(U) es la medida de U ∈ A. (X,A, µ)es llamado un espacio medida. Si µ : A → (−∞,∞] y satisface las dosanteriores propiedades, µ es llamada una medida con signo y (X,A, µ)es un espacio medida con signo. µ es una medida finita si µ(X) < ∞;

es llamada una medida σ−finita si X =∞⋃n=1

Un donde µ(Un) < ∞. La

variación total de µ es |µ| = µ+ + µ−, donde µ+(U) = supµ(V )/ V ⊂U, V ∈ A, µ−(U) = − ınfµ(V )/ V ⊂ U, V ∈ A, con U ∈ A,(X,A, µ) un espacio medida con signo.

Sea (X,A, µ) un espacio medida, positivo, σ−finito, y B un espaciode Banach. f : X → B es una función simple si existe (Ui)i=1,2,··· ,n,mutuamente disjuntos, Ui ∈ A tal que µ(Ui) < ∞, f(Ui) = λi constante

6= 0 y f = 0 sobre

(n⋃i=1

Ui

)

c

. En este caso decimos que f : X → B es

medible si existe (fn) de funciones simples tal que lım fn = f c.t.p., estoes, si ‖fn(x)−f(x)‖ → 0 c.t.p. X. Decimos también que f es fuertementeA−medible.

La integral de Bochner de una función simple.

Sea f simple; la integral de Bochner de f respecto a µ es:

X

f(x) dµ(x) ≡∫

X

f dµ =

n∑

i=1

λiµ(Ui).

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Alejandro Ortiz Fernández

Si Uj ∈ A, la integral de Bochner de f sobre Uj es

Uj

f dµ =n∑

i=1

λiµ(Ui ∩ Uj).

Consecuencia:∫

Uj

f dµ =

X

fχUj dµ, χUj = función característica de Uj .

Caso General: la función medible f : X → B es Bochner-integrablesi existe (fn) de funciones simples tal que lım fn = f c.t.p. y tal que

lımn→∞

X

‖fn(x)− f(x)‖B dµ(x) = 0.

Si Uj ∈ A y (fn) es una sucesión de funciones simples, se verifica que enla norma de B se tiene que existe lım

n→∞

∫XχUjfn dµ, donde el límite es

independiente de la elección de (fn). Por tanto se tiene la definición:∫

Uj

f dµ = lımn→∞

X

χUjfn dµ.

En 1933, Bochner prueba que: «f : X → B medible, es Bochner-integrablesí y sólo si la función escalar ‖f(x)‖ es integrable.» Consecuencia: si fes Bochner-integrable, entonces

∥∥∥∥∫

Uj

f dµ

∥∥∥∥ ≤∫

Uj

‖f(x)‖ dµ · · · desigualdad de Minkowski.

Tenemos también: «Sean B1 y B2 dos espacios de Banach y T : B1 → B2

un operador lineal, acotado. Sea f una función Bochner-integrable, convalores en B1. Entonces, T f es Bochner-integrable, con valores en B2.Además,

Uj

T (f(x)) dµ(x) = T

(∫

Uj

f(x) dµ(x)

), ∀ Uj ∈ A.»

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ϕ−Espacios de Funciones

Por otro lado diremos que f : X → B es débilmente A−medible si paratodo g ∈ B′ (dual de B), la función numérica g(f(x)) ≡ 〈f(x), g〉 esA−medible».

Si bien la integral de Bochner tiene semejanzas con la integral deLebesgue, el mismo Bochner (1933) observó que tal analogía no es com-pleta y se desea ubicar a aquellos espacios de Banach para los cuales losclásicos teoremas permanecen aún válidos. En esta dirección, la integralde Lebesgue fue también generalizada por Fréchet en 1915 considerandofunciones sobre conjuntos abstractos, los cuales a su vez fueron exten-didos por Garret Birkhoff en 1935 para funciones con valores en otroconjunto abstracto Y . En 1938, en forma independiente, I. M. Gelfandy N. Dunford propusieron otro enfoque de la integral generalizada; B. J.Pettis (también en 1938) considera una clase especial de la integral deGelfand-Dunford. Es oportuno mencionar que Pietsch ([PIE]) hace unestudio comparativo de estas diversas clases de integrales; así, nos diceque:

Gelfand-Dunford integrable

Pettis integrable

Bochnerintegrable

Birkhoff integrable

Sin embargo, debido a algunos defectos, la integral de Bochner fue la queprevaleció sobre las otras.

Los teoremas de representación en análisis funcional son vitales paraexpresar ciertos operadores definidos sobre espacios de funcionales; así enel estudio de la dualidad entre los espacios L1 y L∞ se tienen resultadosde gran importancia. La génesis de tales resultados pueden estar en elteorema fundamental del cálculo: “si f es continua en [a, b], la función

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Alejandro Ortiz Fernández

F (s) =∫ saf(t) dt es una primitiva de f ”. En esta dirección se tienen

contribuciones de Lebesgue (1910) y Radon (1913) quienes respectiva-mente consideran las representaciones f(E) =

∫Ef dP (f, E medibles),

y f(E) =∫EΦ(P ) db (E medibles, Φ b − sumable) Estas ideas fueron

puestas en el contexto abstracto por O. M. Nikodym en 1930 surgiendoel conocido “teorema de Radon-Nikodym”: «si µ es una medida finita, en-tonces toda función conjunto ν, µ−continua y aditivamente enumerable,tiene la representación,

ν(A) =

A

f(t) dµ(t), ∀ A ∈ A».

En esta representación remarcamos que f ∈ L1(X,A, µ) es unívocamentedeterminada y es llamada la “derivada Radon-Nikodym de ν con respectoa µ”, esto es dν = fdµ. En esta ruta se tiene al teorema de Steinhaus-Nikodym: [L1(X,A, µ)]′ = L∞(X,A, µ), donde ′ =dual, esto es, todafuncional ℓ definida sobre L1(X,A, µ) admite la representación

ℓ(f) =

X

f(t)g(t) dµ(t),

donde g ∈ L∞(X,A, µ) es unívocamente determinada.¿Cómo es la situación si ℓ es reemplazada por un operador T que

actúa sobre L1(X,A, µ) y con valores en un espacio de Banach?· · ·Gelfand, en 1938, obtiene una representación para el operador

T : L1[a, b] → Y ′,

donde Y es un espacio separable; luego, en 1940, Dunford-Pettis reem-plaza [a, b] por un espacio medida completo, σ−finito, obteniéndose elllamado teorema de Gelfand-Dunford-Pettis: «existe una función débil-mente ∗ medible g∗ : X → Y ′, con rango limitado g∗(X) tal que,

〈y, Tf〉 =∫

X

f(t)〈y, g∗(t)〉 dµ(t),

con f ∈ L1, y ∈ Y Además, y recíprocamente, toda tal g∗ genera unoperador T : L1(X,A, µ) → Y ′.»

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ϕ−Espacios de Funciones

Espacios Lp(X,B), 1 ≤ p ≤ ∞.

Sea (X,A, µ) un espacio medida, B un espacio de Banach. Por defi-nición,

Lp(X,B) =

f : X → B medible/

X

‖f(x)‖pB dµ(x) <∞,

si 1 ≤ p <∞, donde consideramos la norma ‖f‖Lp =

(∫X‖f(x)‖pB dµ(x)

)1/p

,

con la cual Lp(X,B) es un espacio de Banach. Si p = ∞,

L∞(X,B) = f : X → B medible/ ∃C > 0 tal que ‖f(x)‖B ≤ C c.t.p.;

con la norma ‖f‖L∞ = ınfC/ ‖f(x)‖B ≤ C, L∞(X,B) es un espaciode Banach. También, f ∈ L∞(X,B) si existe C tal que

µ(x ∈ X/ ‖f(x)‖B > C) = 0.

Si B = R remarcamos la dualidad: “si 1 < p ≤ ∞, Lp es isomorfo eisométrico con (Lp

′)′ con 1

p+ 1

p′= 1. En general, cuando B es un espacio

de Banach arbitrario, este resultado no es cierto.Los clásicos espacios de Lebesgue Lp(Rn) y la versión extendida Lp(X,B),

son de gran importancia en el análisis matemático y en ciertas aplicacio-nes (teoría de ondículas); la versión extendida a valores en un espacio deBanach es un mundo por explorar pues creemos que esta teoría es pococonocida en nuestro medio, en particular la integral de Bochner.

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Alejandro Ortiz Fernández

d

Espacios de LorentzLos espacios de Lorentz están relacionados con la función reordenada

no-creciente f ∗, y ésta con la función distribución ωf de f . Veamos algu-nos argumentos previos. Sea (X,A, µ) un espacio medida, el espacio deBanach B = R y f : X → R una función medible. Para todo real λ > 0sea Eλ,f ≡ Eλ = x ∈ X/ |f(x)| > λ, un conjunto medible. La funcióndistribución de f es:

ωf : R+ −→ R+

λ 7→ ωf(λ) = µ(Eλ,f).

ωf es una función no-creciente de λ pues si λ1 ≥ λ2, Eλ1 ⊂ Eλ2 y µ espositiva.

Propiedades de ωf . ωf es continua a la derecha (no necesaria-mente continua);

Si |f(x)| ≤ |g(x)| entonces ωf (λ) ≤ ωg(λ), ∀λ > 0.

(fn) es una sucesión de funciones µ−medibles positivas tal que f1 ≤f2 ≤ · · · ≤ fn ≤ · · · ր f, entonces ωfn ր ωf .

Si |f(x)| ≤ |g(x)|+ |h(x)|, entonces ωf (λ) ≤ ωg(λ2) + ωh(

λ2).

Desigualdad de Chebyshev: para todo 0 < p < ∞, λ > 0, setiene

ωf(λ) ≤1

λp

|f(x)|p dµ.

[En efecto,∫Eλ

|f(x)|p dµ ≥ λpµ(Eλ) = λpωf(λ)]

Si f ∈ Lp(X), 1 ≤ p < ∞, entonces λpωf(λ) ≤ ‖f‖pLp; (luego,ωf(λ) es finito y sup

λλpωf(λ) ≤ ‖f‖pLp.

Además, lımλ→∞

λpωf(λ) = 0. [En efecto, de ωf(λ) ≤1

λp∫X|f(x)|p dµ

se obtiene lımλ→∞

ωf(λ) = 0, esto es, lımλ→∞

µ(Eλ) = 0; entonces, por

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ϕ−Espacios de Funciones

la continuidad de la integral se tiene lımλ→∞

∫Eλ

|f(x)|p dµ = 0, de

donde lımλ→∞

λpωf(λ) = 0 por la desigualdad de Chebyshev.]

Si f ∈ Lp(X), 1 ≤ p <∞, se tiene también lımλ→0

λpωf(λ) = 0.

Es útil en algunas aplicaciones la siguiente relación,

Sea g : [0,∞] → R continuamente diferenciable tal que g(0) = 0.Entonces,

∫Xg(|f(x)− c|) dµ =

∫∞

0ωf(λ) dg(λ), · · · c constante, f

definida sobre X.

Consecuencias:

Si g(t) = t y c = 0,∫X|f(x)| dµ =

∫∞

0ωf (λ) dλ.

Si g(t) = tp, 1 ≤ p < ∞, y c = 0,∫X|f(x)|p dµ =

∫∞

0ωf (λ) dλ

p =p∫∞

0λp−1ωf(λ) dλ.

La función reordenada no-creciente. Sea f una función me-dible sobre (X, µ). La función f ∗, llamada la función reordenadano-creciente de f , es definida vía:

f ∗ : R+ −→ R+

t 7→ f ∗(t) = ınfλ/ ωf (λ) ≤ t.Entre otras propiedades de f ∗ tenemos,

ωf = ωf∗ , esto es, f y f ∗ son equimedibles [en efecto, ωf∗(λ) =µt/ f ∗(t) > λ = µt/ 0 ≤ t < ωf(λ) (pues f ∗(t) > λ sí y sólosi t < ωf(λ) por definición)= ωf(λ), donde remarcamos que µ es lamedida de Lebesgue].

Si f ∈ Lp, entonces ‖f‖Lp = ‖f ∗‖Lp [en efecto, ‖f‖pLp =∫X|f(x)|p dµ =

p∫∞

0 λp−1ωf (λ) dλ =∫∞

0 |f∗(t)|p dµ = ‖f∗‖pLp].

Luego podemos escribir,

‖f‖Lp =(∫ ∞

0

[t1pf ∗(t)]p

dt

t

) 1p

.

Esta representación motiva, por ejemplo, la definición de espaciode Lorentz.

51

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Alejandro Ortiz Fernández

Definición 1. Dados 0 < p < ∞, 0 < q < ∞, el espacio de LorentzLp,q(X,A, µ) ≡ Lp,q es la clase de las funciones µ−medibles f tales que

‖f‖p,q =(∫ ∞

0

(t1pf ∗(t))q

dt

t

) 1q

<∞.

Si q = ∞, consideramos supt>0

t1pf ∗(t) <∞.

Este espacio Lp,∞ es conocido también como un espacio Lp−débil oespacio de Marcinkiewicz. Por otro lado, Lp,p = Lp con ‖f‖p,p = ‖f‖p;así mismo, ‖f‖∞ := sup ess |f | = lım

t→0f ∗(t). Si 1 ≤ q ≤ p < ∞, entonces

‖ ‖p,q es una norma con la cual Lp,q es un espacio de Banach; en estadirección se tiene la contribución de R. A. Hunt (1966) quien identificótodos los parámetros para los cuales Lp,q es un espacio de Banach. Losespacios Lp,q fueron introducidos por G. G. Lorentz en 1950 y surgie-ron relacionados con la teoría de interpolación, una área investigada enla segunda mitad del siglo XX pero que tuvo sus antecedentes en traba-jos debidos a M. Riesz, G. O. Thorin, J. Marcinkiewicz, · · · . Por el ladode la Escuela de Calderón-Zygmund de Chicago se tienen fundamentalesaportes en tal ruta obteniéndose la teoría en contextos abstractos. Así,Calderón en [CAL.1], [CAL.2] y [CAL.3] estudia cuestiones sobre inter-polación y dedica más secciones a los espacios de Lorentz en donde usa unlenguaje compatible a sus propias investigaciones. En el primer trabajoenuncia al “espacio de Lorentz Λp,r” y establece resultados de interpola-ción para tales espacios. En el segundo trabajo Calderón considera a lafunción promediada f ∗∗ asociada a la función µ−medible f definida vía:para t ∈ (0,∞),

f ∗∗(t) =1

t

∫ t

0

f ∗(s) ds.

Si E ⊂ X tal que µ(E) = t, entonces

f ∗∗(t) =1

tsupµ(E)=t

E

|f(x)| dx. (+)

Si χE es la función característica de E se tiene también

χ∗E(s) =

t, si 0 < s < t0, si s ≥ t.

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ϕ−Espacios de Funciones

[Veamos la prueba de [+] en el caso que f ∗(t0) es tomado una sola vez (f ∗

es una función no-creciente y continua a la derecha y si f ∗ es continua ent = ωf(λ), entonces f ∗(ωf(λ)) = λ; también (fg)∗(t1+t2) = f ∗(t1)g

∗(t2)).En efecto, si E = x/ f(x) ≥ f ∗(t0) se tiene |s/ f ∗(s) ≥ f ∗(t0)| = t0y

E

f(x) dµ =

f(x)≥f∗(t0)

f(x) dµ =

f∗(s)≥f∗(t0)

f ∗(s) ds =

∫ t0

0

f ∗(s) dx

= t0f∗∗(t0)]

Calderón ([CAL.2]) considera el caso X un espacio de Banach (reticu-lado) sobre la semi-recta positiva 0 < t < ∞, y denota con X∗ a laclase de las funciones medibles f sobre A tales que f ∗∗ ∈ X. En X∗

considera la norma ‖f‖X∗ = ‖f ∗∗‖X y verifica que X∗ es un espaciode Banach (reticulado). Afirma que X∗ es una extensión de los espa-cios de Lorentz; en efecto, considera el ejemplo en que X = g(t), 0 <t < ∞/

∫∞

0|g(t)|qt q

p−1 dt < ∞, 1 < p < ∞, 1 ≤ q ≤ ∞, en dondeconsidera la norma

‖g‖X =

(∫ ∞

0

|g(t)|qtqp−1 dt

)1/q

.

Concluye afirmando que X∗ = Lp,q, el espacio de Lorentz.En la segunda sección de [CAL.3], Calderón estudia a los espacios

Lp,q asociados con el teorema de interpolación de Marcinkiewicz. Elproblema general en la teoría de interpolación es: «si T : Lp → M yT : Lq → M, con p < q, y conocemos ciertas propiedades de T , ¿quéinformación podemos obtener para T : Ls → M, con p < s < q?»Clásicamente las primeras motivaciones están en la variable complejaen donde se tiene al “teorema de las tres líneas”: “Sea f(z) una funciónanalítica en D, continua y limitada sobre D. Si |f(z)| ≤ K0 para todoz ∈ L0 y |f(z)| ≤ K1 para todo z ∈ L1 (donde L0 = z ∈ C/ z = iy, y ∈R y L1 = z ∈ C/ z = 1+ iy, y ∈ R), entonces |f(z)| ≤ K1−α

0 Kα1 para

todo z ∈ Lα = z/ z = α+iy, y ∈ R, 0 < α < 1”. Otro clásico resultadoes el teorema de interpolación de Riesz-Thorin introducido por M. Rieszen 1926 y probado por G. O. Thorin en 1938, resultado que contiene

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Alejandro Ortiz Fernández

el germen de ideas que motivaron precisamente a Calderón, quien en sutrabajo [CAL.2] elabora el famoso método complejo en interpolación conespacios de Banach. Veamos algunas ideas relacionadas con el teoremade Marcinkiewicz.

Sea la faja D = z ∈ C/ z = x + iy, 0 ≤ x ≤ 1 limitada por lasrectas L0 y L1; sean 1 ≤ p0 < p1 ≤ ∞. Sea la clase de funciones

Ff (p0, p1) ≡ Ff = Φ : D → Lp0 ∩ Lp1/ Φ es limitada y analítica, Φ(t) = f(x).

(si f es una función simple, Φ ∈ Ff). En la prueba del teorema deRiesz-Thorin es útil el siguiente resultado: “si Φ ∈ Ff y ‖|Φ|‖ < 1 (don-de ‖|Φ|‖ = sup

y∈Rmax‖Φ(iy)‖Lp0 , ‖Φ(1 + iy)‖Lp1, entonces ‖f‖Lpt < 1

(donde si t ∈ (0, 1) fijo, pt ≡ p, cuando en general pz =

p0p1zp0 + (1− z)p1

).

Además, si ‖Φ(iy)‖Lp0 ≤ M0 y ‖Φ(1 + iy)‖Lp1 ≤ M1, para ∀ y ∈ R, en-tonces ‖f‖Lpt ≤M1−t

0 M t1.”

Teorema de Riesz-Thorin

“Sean 0 ≤ p0, p1, q0, q1 ≤ ∞; T un operador lineal sobre el espa-cio S de las funciones simples, con valor complejo; además, T : S ⊂Lp0(X, µ) → Lq0(Y, ν) es de tipo (p0, q0), con norma ‖T‖0, T : S ⊂Lp1(X, µ) → Lq1(Y, ν) es de tipo (p1, q1), con norma ‖T‖1. Entonces, pa-ra 0 ≤ t ≤ 1, T : S ⊂ Lp(X, µ) → Lq(Y, ν) es un operador de tipo (p, q),

con norma ‖T‖ satisfaciendo ‖T‖ ≤ ‖T‖1−t0 ‖T‖t1, donde1

p=

1− t

p0+

t

p1,

1

q=

1− t

q0+

t

q1”.

Nota 3. Un operador lineal T : Lp(X, µ) → Lq(Y, ν), 1 ≤ p, q ≤ ∞, esde tipo fuerte (p, q) si existe una constante Mp,q ≡M tal que ‖Tf‖q ≤M‖f‖p, esto es, T es un operador acotado en L(Lp, Lq).

En relación al teorema de Riesz-Thorin, J. Marcinkiewicz en 1939formula un resultado con la misma tesis pero con hipótesis más débi-les; así, exige que T sea de tipo débil (p0, q0), y (p1, q1), donde re-marcamos que T : Lp(X, µ) → Lq(Y, ν) es un operador de tipo débil

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ϕ−Espacios de Funciones

(p, q), 1 ≤ p < ∞, 1 ≤ q < ∞, si existe una constante M tal que

ωT (λ) ≤(1

λM‖f‖p

)q

, ∀λ > 0, donde ωT (λ) = µx/ Tf(x) > λ. La

mínima constante M que satisface la desigualdad anterior, se llama la(p, q)−norma débil de T . Se observa que si T es de tipo fuerte (p, q), en-tonces es de tipo débil (p, q); el recíproco no es cierto (la transformada deHilbert es de tipo débil (1, 1) pero no es de tipo fuerte (1, 1)). Es posibleque su teorema de interpolación Marcinkiewicz lo elaboraría cuando es-tuvo en el campo de concentración prisionero por los nazis y el enunciadolo envió a su maestro Zygmund quien lo probó en un trabajo publicadoen 1956.

Teorema de Marcinkiewicz

“Sea T un operador sub-lineal (esto es, |T (f + g)| ≤ |Tf |+ |Tg|) talque T : Lp0(Rn) → Lp0(Rn) es de tipo débil (p0, p0) con norma ‖T‖0,y T : Lp1(Rn) → Lp1(Rn) es de tipo débil (p1, p1) con norma ‖T‖1.Si 1 ≤ p0 < p1 ≤ ∞, entonces T es de tipo fuerte (p, p) para todo

p0 < p < p1. Además, si 0 < t < 1 satisface1

p=

1

p0+

1− t

p1, entonces

‖T‖p ≤ 2

(p

p− p0+

p

p1 − p

) 1p

‖T‖t0‖T‖1−t1 .”

Un caso particular del teorema de Marcinkiewicz es el siguiente re-sultado donde

Lp + Lq = f = f1 + f2/ f1 ∈ Lp(Rn), f2 ∈ Lq(Rn)

y M es el espacio de las funciones medibles sobre Rn. Tenemos,“Sea T : L1 + L2 → M(Rn) un operador sublineal tal que:

para todo f ∈ L1, T es de tipo débil (1, 1),

para todo f ∈ L2, T es de tipo débil (2, 2).

Entonces, si 1 < p < 2, T es de tipo fuerte (p, p)”.

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Alejandro Ortiz Fernández

Nota 4. Los argumentos expuestos sobre interpolación, y otros, así comolas pruebas de los teoremas de Riesz-Thorin, Marcinkiewicz y su casoparticular pueden ser encontrados, por ejemplo, en [ORT.2] y [ORT.3]; esclaro que las ideas generales están en los trabajos de los citados analistas,así como de A. Zygmund y de Calderón.

Al respecto, Calderón en [CAL.3] considera al espacio medida σ−finitoM y define al espacio Lp,q(M), 1 < p < ∞, 1 ≤ q < ∞, como la clasede las funciones medibles f sobre M tales que

‖f‖p,q =(p− 1

p2

∫ ∞

0

(f ∗∗(t)t1p )q

dt

t

) 1q

<∞.

Si 1 < p <∞, q = ∞, Lp,q(M) es la clase de funciones f tales que

‖f‖p,∞ = suptt1pf ∗∗(t) <∞.

Se tienen los casos particulares, L1,1(M) = L1(M), L∞,∞(M) = L∞(M).Los Lp,q son espacios completos con las normas citadas. Calderón ob-serva que Lp,q(M) ⊂ L1(M) + L∞(M) con inclusión continua y quesi 1 < p < ∞ y q < r, entonces Lp,q(M) ⊂ Lp,r(M) con ‖f‖p,r ≤(p− 1

pq

) 1r− 1q

‖f‖p,q. Además dá la siguiente caracterización:

“f ∈ Lp,q(M), 1 < p <∞, 1 ≤ q <∞, sí y sólo si

∫ ∞

0

(f∗(t)t1p )q

dt

t<∞” .

Existen excelentes trabajos en relación con los espacios de Lorentz ytópicos relacionados; algunos son las siguientes: [OKL], [O′NE] y [HUN],cuyos autores son E. Oklander, R. O′neil y R. Hunt, quienes pertenecen ala Escuela de Chicago de Análisis dirigida por A. Zygmund y A. Calderón.

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ϕ−Espacios de Funciones

e

Clásicos Espacios de Funciones

Espacios de Hölder-Lipschitz Espacios de Sobolev

Espacios de Funcionesde Valor VectorialEspacios de Lizorkin-

Triebel

Espacios de HardyEspacios de Besov Espacios de Bergman

Espacios de Orlicz

ClásicosEspacios deFunciones

@@

@@I

@@I

6

ZZZZ~

-

(i) Espacios de Lipschitz (Hölder)

La monumental obra de A. Zygmund [ZYG] es un clásico tratadosobre las series trigonométricas en donde se exponen las conquistasobtenidas a mediados del siglo XX en tal área y que con la sabi-duría del autor logró consolidar un extenso territorio en un librocon dos volúmenes, cuya primera edición se remonta a los primerosaños de la década de los 1930’s. En tal libro podemos encontrarun buen material de estudio sobre los espacios de Lipschitz (verpág. 42 y Cap. VII del Vol. 1) y su relación con la clásica teoría deLittlewood-Paley, una teoría que impulsó al análisis armónico. Pos-teriores referencias son más recientes relativamente pues se remon-tan a los años 1960’s. Sin embargo, la idea de “espacio de Lipschitz”fue introducida por R. Lipschitz en 1864 en el contexto de las seriestrigonométricas y también lo hizo en relación con las ecuaciones di-ferenciales ordinarias (1876); en tanto, O. Hölder consideró tal ideaen relación con la teoría del potencial (1882). La condición que exi-gieron para definir a los “espacios de Lipschitz ó de Hölder” fue: siΩ ⊂ R

n es un dominio y 0 < σ ≤ 1, entonces f está en el espacio si|f(x)− f(y)| ≤ c|x− y|σ, ∀x, y ∈ Ω y c ≥ 0 alguna constante. Por

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Alejandro Ortiz Fernández

otro lado, debemos remarcar que a inicios de los años 1920’s, Ba-nach considera ciertos espacios de funciones diferenciables; así ensu tesis (1922) considera al espacio Cp (de las funciones teniendola p−ésima derivada continua) en donde propone la norma

‖f‖ = maxa≤x≤b

|f(x)|+ maxa≤x≤b

∣∣∣∣dpf(x)

dxp

∣∣∣∣.

El lector es sugerido ver el libro de Banach [BAN] en donde seestudian diferentes tipos de espacios de funciones, como son losespacios C, c, L(p), l(p).

Nota 5. Posteriormente el símbolo σ fue cambiado por α.

Si 0 < α < 1, la clase de funciones acotadas tal que |f(x)−f(y)| ≤C|x− y|α es denotada con Cα ≡ Λα ≡ Lipα(Ω), en donde se consi-dera la norma

‖f‖α = supx∈Ω

|f(x)|+ supx,y∈Ω

x 6=y

|f(x)− f(y)||x− y|α ,

la que fue considerada por Schauder (1934).

Caso Periódico

Diversos fenómenos físicos son periódicos, de período 2π; esto es elcaso histórico del análisis de Fourier. La recta es descompuesta enintervalos de longitud 2π y cada intervalo es identificado con el toroT ; con C(T ) representamos al espacio de las funciones continuassobre T ; si f ∈ C(T ), por Weierstrass pongamos (por definición)

En(f) = ınf ‖f − P‖,donde el ínfimo es tomado sobre todos los polinomios trigonomé-tricos P de grado ≤ n. ¿Cómo caracterizar al espacio de LipschitzLipα(T )? (donde Ω ≡ T ); en esta dirección se tiene un importanteresultado: [D. Jackson (1911) - S. N. Bernstein (1912)] si 0 < α < 1,

f ∈ Lipα(T ) sí y sólo si En(f) = O

(1

).

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ϕ−Espacios de Funciones

(f = O(g) si |f(x)| ≤ c|g(x)|, c constante). Si α = 1 este resul-tado falla; para aclarar esta situación, Zygmund usa diferencias desegundo orden (1945). La idea es: Si 0 < α < 2,

Lipα,2(T ) = f ∈ C(T )/ |f(x+ h)− 2f(x) + f(x− h)| ≤ chα, ∀x ∈ T,

∀h > 0, algún c ≥ 0.

Luego, Zygmund prueba:

f ∈ Lipα,2(T ) sí y sólo si En(f) = O

(1

).

De esta manera, si 0 < α < 1, Lipα(T ) = Lipα,2(T ), esto esLipα(T ) ⊂ Lipα,2(T ) propiamente. Esta idea fue extendida paraobtenerse la definición: Lipα(T ) = Lipα,m(T ) para cualquier m > 0.En este caso, si ponemos ∆hf(x) = f(x+ h)− f(x) y ∆m

h como ladiferencia de orden m > α, entonces se define:

Lipα,m(T ) = f ∈ C(T )/ |∆mh f(x)| ≤ chα, ∀x ∈ T, ∀h > 0, algún c ≥ 0.

(Lipα,m(T ) no depende de la elección de m). Entonces se prueba:

f ∈ Lipα,m(T ) sí y sólo si En(f) = O

(1

).

Otra ruta para caracterizar a este tipo de espacios de Lipschitzfue mediante la idea de “módulo de regularidad” de orden m, m =1, 2, 3, · · · , que por definición es: ωm(t, f) = sup

|h|≤t

‖∆mh f‖, t > 0.

Para m = 1 esta definición es debida a C. de la Valle Poussin (1919)y para m = 2, 3, · · · fue considerada por A. Marchaud (1927). Setiene,

f ∈ Lipα,m(T ) sí y sólo si ωm(t, f) = O(tα).

Volvamos al caso Rn; sea α un número real arbitrario y sea α =[α] + α0, donde [α] es la parte entera y 0 ≤ α0 < 1. Si α > 0 no unentero, por definición

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Alejandro Ortiz Fernández

Cα ≡ Λα =

f ∈ C [α]/ ‖f‖α = ‖f‖C[α] +

|δ|=[α]

supx 6=y

|Dδf(x)−Dδf(y)||x− y|α0

<∞, donde x, y ∈ Rn

.

Nota 6. Una breve presentación de estos espacios (de Lipschitz) esdado en [ORT.3]; un lector interesado en mayores detalles puedeconsultar el libro de Zygmund [ZYG].

(ii) Espacios de Sobolev

Todo estudiante de ecuaciones en derivadas parciales se encuentracon los llamados “espacios de Sobolev”, los que permiten un adecua-do enfoque para estudiar los clásicos problemas de Dirichlet y deNeumann. En el caso 1-dimensional tenemos nuevamente la figurade S. Banach quien en su tesis “Sur les opérations dans les ensem-bles abstraits et leur application aux équations integráles” (tesis,1920). Pietsch [PIE] reproduce la idea de Banach respecto a losque serían los “espacios de Sobolev”; veamos:

«el conjunto de funciones teniendo (p−1)i−ésima derivada absoluta-mente continua y la p−ésima derivada integrable (L) con la ri−ésima

potencia, (la norma siendo dada por)

‖f(x)‖ = maxa≤x≤b

|f(x)|+ r

√∫ b

a

∣∣∣∣dpf(x)

dxp

∣∣∣∣r

dx.»

No obstante que esta idea daba la génesis de un nuevo espacio,ciertas dificultades llevaron a la necesidad de introducir una nuevadefinición de diferenciación sobre dominios en Rn; esta búsquedaretardó la introducción de los “espacios de Sobolev”. Este problemafue clarificado por el matemático ruso S. L. Sobolev en su trabajo:“On a Theorem of Functional Analysis” (escrito en ruso en 1938 ypublicado en inglés en 1963). Veamos que dijo Sobolev (ver [PIE]):

«Llamamos espacio L(ν)p al espacio funcional lineal que está for-

mado por todas las funciones de n variables reales ϕ(x1, · · · , xn)

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ϕ−Espacios de Funciones

cuyas derivadas parciales hasta la orden ν existen y son sumablesa la potencia p > 1 dentro de cada conjunto acotado del espacio

x1, · · · , xn. La derivada∂αϕ

∂xα11 · · ·∂xαnn

es definida como una función

que satisface la ecuación∫

· · ·∫ψ

∂αϕ

∂xα11 · · · ∂xαn

ndx1 · · · dxn =

∫· · ·

∫(−1)αϕ

∂αψ

∂xα11 · · · ∂xαn

ndx1 · · · dxn,

cualquiera que sea la función ψ continua teniendo derivadas hastala orden ν y que se anulan fuera de un dominio acotado».

De esa manera, Sobolev introdujo la noción de función generaliza-da, una idea más amplia que la de distribución a ser introducidaposteriormente. En esta dirección se tienen también contribucionesdel matemático ruso Gelfand; como sabemos, los espacios de Sobo-lev fueron introducidos en el estudio de los métodos variacionalespara resolver problemas de valor de contorno elípticos; Sobolev es-tuvo interesado en delicados problemas de la física - matemática.Se debe remarcar que en su trabajo, Sobolev no utilizó la idea deespacio de Banach y la idea de norma la usa implícitamente; sinembargo, él adoptó el punto de vista moderno y del análisis fun-cional en posteriores trabajos, como fue en su libro escrito en rusoen 1950 y traducido al inglés en 1991 con el título: “Some Applica-tions of Functional Analysis in Mathematical Physics”. Tal puntode vista fue muy importante en posteriores investigaciones en losespacios de Banach y en sus aplicaciones en la teoría de los opera-dores diferenciales elípticos. En esta dirección debemos comentaruna contribución de A. P. Calderón ([CAL.4]) en este tipo deespacios de funciones (1961). En este trabajo Calderón estudia alos espacios Lp cuyos elementos tienen derivadas en Lp; para ellosu enfoque es considerar a un operador potencial, de orden z (unnúmero complejo), de una distribución temperada f ; así, define

(Jzf)∧(x) = (1 + 4π2|x|2)− z2 f(x).

N. Aronszajn-K. T. Smith en 1959 verifica que si R(z) > 0, en-tonces (1 + 4π2|x|2)− z

2 = Gz(x), donde Gz(x) es una apropiada

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Alejandro Ortiz Fernández

función. Si R(z) > 0 y 1 ≤ p ≤ ∞, Jz : Lp(Rn) → Lp(Rn)es un operador continuo, con norma ≤ 1 para z real. Además,Jz es un operador analítico sobre Lp(Rn) (como función de z).Además, Calderón prueba que si ν es real y 1 < p < ∞, enton-ces J iν : Lp(Rn) → Lp(Rn) es un operador continuo; además, si

R(z) ≥ |α| entonces

(∂

∂x

Jz : Lp(R) → Lp(R) es continua.

Además, si ∆ =n∑i=1

(∂

∂xi

)2

, entonces (1 − ∆)Jz = Jz−2. Lue-

go pasa a probar más estimativas para

∣∣∣∣(∂

∂x

xβGu(x)

∣∣∣∣, don-

de 0 < u < n, y verifica que ‖∆hGu(x)‖p ≤ Cup|h|u−nq , donde

∆hf = f(x + h) − f(x), q =p

p− 1,n

q< u <

n

q+ 1, u < n. Aho-

ra Calderón define a los espacios Lpu(Rn) vía: “ Sea u un número

real, 1 ≤ p ≤ ∞, entonces Lpu := Ju(Lp).” Es decir, si f ∈ Lpu(Rn)

entonces f = Jug para algún g ∈ Lp(Rn); g es única y considera lanorma ‖f‖p,u = ‖g‖p.Calderón prueba una serie de resultados relativos a estos “espaciosde Sobolev” Lpu(R

n); por ejemplo verifica que estos espacios sonisomorfos con Lp; si u < v entonces Lpv ⊂ Lpu y si f ∈ Lpv se tiene

‖f‖p,u ≤ ‖f‖p,v; los Lpu son espacios completos y∂

∂xi: Lpu → Lpu−1

continuamente. Si p > 1, v ≤ u y1

q=

1

p− u− v

n> 0, entonces

Lpu ⊂ Lpv con inclusión continua. En el siguiente resultado Calderónda una caracterización que permite identificar a sus “espacios deSobolev” con los definidos por Sobolev y otros analistas. Así tene-mos, «Sea u un entero positivo, 1 < p < ∞; entonces f ∈ Lpu síy sólo si f tiene derivadas en el sentido de las distribuciones deórdenes ≤ u en Lp. Existe una constante C = Cp,u tal que

1

C‖f‖p,u ≤

0≤|α|≤u

∥∥∥∥(∂

∂x

f

∥∥∥∥p

≤ C‖f‖p,u.

Si u es un entero negativo y 1 < p < ∞, entonces f ∈ Lpu sí y

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ϕ−Espacios de Funciones

sólo si f =∑

0≤|α|≤u

(∂

∂x

gα, con gα ∈ Lp; existe una constante

C = Cp,u y una elección de las funciones gα tal que

1

C‖f‖p,u ≤

∑‖gα‖p ≤ C‖f‖p,u.»

Espacios Λpu

Sea u un número real, r el más grande entero < u. Por definición,

“Λpu = f ∈ Lpr/ ‖∆2hJ

−rf‖p ≤ C|h|u−r.

Si f ∈ Λpu, ‖f‖p,u = ‖f‖p,r + C0, donde C0 es la menor constantepara las cuales tales desigualdades se cumplen.”

Dada esta definición, Calderón verifica diversas propiedades de es-tos espacios y su relación con otros. Así, si u no es un entero, lacondición ‖∆2

hJ−rf‖p ≤ C|h|u−r es equivalente con ‖∆hJ

−rf‖p ≤C|h|u−r, es decir, en este caso Λpu ≡ Lip(u, p). Si 1 < p < ∞, Jv :Λpu → Λpu+v continuamente. Aún, da condiciones para los casos lí-mites 1 y ∞. Si 1 < p < ∞ y u < v, entonces Λpv ⊂ Lpu ⊂ Λpu,con inclusiones continuas. Respecto a la cuestión de la dualidad delos espacios Lpu, Calderón pone Lp∞ =

⋂u

Lpu; luego, si f ∈ Lp∞ y

g ∈ Lq∞, con 1 ≤ p <∞, q =p

p− 1, y si 〈f, g〉 =

∫fg dx, entonces

|〈f, g〉| ≤ ‖f‖p,u‖g‖q,−u. Además, la funcional bilineal 〈f, g〉 puedeser extendida continuamente a Lpu⊕Lq−u. Finalmente, toda funcio-nal lineal continua sobre Lpu es de la forma l(f) = 〈f, g〉, g ∈ Lp−u.

El trabajo [CAL.4] contiene otras contribuciones a estos espaciosLpu, llamados también “espacios de Lebesgue” o aún “espacios poten-cial de Bessel” (por el potencial de Bessel Jz). El lector interesadoen mayores detalles sobre los espacios de Sobolev, al “estilo Calde-rón”, puede consultar [ORT.4], CAP. 4, en donde puede encontrartambién algunas aplicaciones a los operadores elípticos de segundoorden.

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Alejandro Ortiz Fernández

(iii) Espacios de Besov

Los espacios de Besov sobre Rn o sobre T n son espacios que estánrelacionados a los espacios de Sobolev y admiten variadas formasde definirlos, incluyendo la metodología usando interpolación; enesta ruta se usan variados argumentos del análisis funcional. Re-marquemos la idea del espacio de Lipschitz (homogéneo) pues ellanos lleva de un modo natural a la de espacio de Besov; recordemosque si 0 < α < 1, el espacio de Lipschitz Cα(Rn) (≡ Λα(R

n)) esel espacio de las funciones continuas f tales que |f(y) − f(x)| ≤C|y − x|α, x, y ∈ Rn, en donde se considera la norma ‖f‖α =

supx,y∈Rn

|f(y)− f(x)||y − x|α , con la cual Cα es un espacio de Banach, mó-

dulo funciones constantes. Por otro lado, si se define el módulode regularidad (o continuidad) ω∞(h, f) = sup

x∈Rn

|y|<h

|f(x + y) − f(x)|,

entonces f ∈ Cα(Rn) sí y sólo si ω∞(h, f) ≤ C|h|α. Se verifica

que, ‖f‖α = suph>0

ω∞(h, f)

hα. También remarcamos que si 1 ≤ α < 2,

entonces en vez de (∆yf)(x) = f(x + y) − f(x) se debe conside-rar (∆2

yf)(x) = f(x + 2y) − 2f(x + y) + f(x) y se obtiene aúnuna definición y una caracterización similar a la dada anteriormen-te. En el caso general N ≤ α < N + 1, (∆yf)(x) es reemplaza-do por la diferencia iterada (∆N+1

y f)(x); en este caso el espacioCα(Rn) es de Banach módulo polinomios PN donde el grado de PNes ≤ N. Es oportuno advertir que si se considera la intersecciónCα(Rn) ∩ L∞(Rn) se obtienen los llamados espacios de Lipschitz“no-homogéneos”.

El estudio de los espacios de Lipschitz (Hölder) fue hecho en elcontexto de la teoría de Littlewood-Paley cuyas ideas se remontana los matemáticos ingleses J. E. Littlewood y R. E. Paley (1937)pero la versión n−dimensional de esos espacios de orden no necesa-riamente positivo fue obra de diversos analistas en los años 1960’s,extensiones que son precisamente los llamados “espacios de Be-sov”. En esta ruta mencionamos los trabajos, entre otros, de M.

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ϕ−Espacios de Funciones

Taibleson y de P. I. Lizorkin; todos ellos motivaron el tratamientode la teoría de Littlewood-Paley desde un punto de vista moderno.Ver [STE] para una presentación de esta teoría en su relación conel análisis armónico.

Bien, ahora estamos listos para presentar a los espacios de Besov(homogéneos) Bα,q

p (Rn); la idea es considerar ahora la norma delespacio Lp. Así, el módulo ω∞(h, f) es reemplazado por ωp(h, f) =sup|y|≤h

‖f(x + y) − f(x)‖p. De esta manera, f ∈ Bα,qp (Rn) sí y sólo

si ωp(h, f) ≤ ξ(h)hα, donde ξ(h) satisface la condición

(∫ ∞

0

(ξ(h))qdh

h

)1/q

<∞.

En Bα,qp (Rn) se considera la norma:

‖f‖p,α,q =(∫ ∞

0

ωqp(h, f)

hαqdh

h

)1/q

la que es homogénea en el sentido que si 0 < λ < ∞ y fλ(x) =f(λx), entonces ‖fλ‖p,α,q = λα−

np ‖f‖p,α,q. Nuevamente, el espacio

de Besov no-homogéneo es, por definición, Bα,qp (Rn) ∩ Lp(Rn) en

donde se considera la norma ‖f‖p + ‖f‖p,α,q.Los espacios de Besov Bα,q

p son generalizaciones de los espacios deSobolev Hα = Bα,2

1 y de los espacios de Lipschitz Cα = Bα,∞∞ .

En esta dirección se tienen a los espacios de Bloch B0,∞∞ , que es

el espacio de las funciones f(z) las cuales son homomórficas en elsemi-espacio y = Re z > 0, y que satisfacen sup

y>0y|f ′(z)| < ∞; en

este camino encontramos también a los espacios de Bergman, el es-pacio de las funciones g(z) holomórficas en el semi-plano superiory que satisface la condición

∫∫y>0

|g′(z)|dxdy < ∞. Se tiene queel espacio de Bloch es el dual del de Bergman. Por otro lado, losdiferentes tipos de espacios de funciones poseen relaciones entre síobteniéndose mutuas motivaciones que producen nuevos espacios

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Alejandro Ortiz Fernández

de funciones; la teoría de aproximación y las ecuaciones en deriva-das parciales juegan un gran papel en la teoría de los espacios defunciones; por ejemplo, el problema de Dirichlet:

∆u(x) = 0, x ∈ Ωu(x) = ϕ(x), x ∈ ∂Ω

tiene solución u ∈ L21(Ω) sí y sólo si ϕ ∈ L2

12

(Ω), es decir, surgen

espacios de Sobolev de orden fraccionario. Así mismo, los espaciosde Besov pueden también ser presentados vía el análisis de Fourier;en este camino se tiene el aporte de Lizorkin (1965). Así se tiene:“sean 1 < p < ∞, 1 ≤ q < ∞, una distribución temperada f(∈S ′(R)) está en el espacio de Besov Bα,q

p (R) sí y sólo si

‖f‖p,α,q,Φ :=

( ∞∑

k=0

‖2kαϕk ∗ f‖qp) 1

q

<∞,

donde Φ = (ϕ0, ϕ1, ϕ2, · · · ) es una sucesión de funciones las queestán definidas vía sus transformadas de Fourier. En esta direcciónestán algunas contribuciones de J. Peetre.

(iv) Espacios de Lizorkin-Triebel

Los clásicos espacios de funciones son los espacios de LebesgueLp(Rn), 1 < p < ∞, los espacios de Hardy Hp(Rn), 0 < p < 1, elespacio de las funciones con variación media acotada BMO(Rn),los espacios de Lipschitz Λα, 0 < α < 1, y los espacios de SobolevLpk(R

n), 1 ≤ p ≤ ∞, k entero no-negativo. A inicios de los años1930’s, Littlewood y Paley introdujeron una novedosa teoría que lespermitió caracterizar al espacio Lp(T ), 1 < p <∞, en términos deseries trigonométricas donde T es el “toro”, y las funciones defini-das sobre R son periódicas, con período 2π. Este resultado motivóinvestigar similares caracterizaciones para los otros espacios y deesta manera la teoría de Littlewood-Paley adquirió una especial im-portancia en el desarrollo del análisis armónico moderno. En estaruta, en [FRA-JAW-WEI] podemos encontrar un panorama analí-tico detallado de la importancia de la teoría de Littlewood-Paley

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ϕ−Espacios de Funciones

en el estudio de los espacios de funciones. En sus inicios, esta teoríafue puesta en términos de la integral de Poisson en R1,

f(x) → t

π

∫ ∞

−∞

1

t2 + y2f(x− y) dy = u(x, t).

Se sabe que el comportamiento de la función armónica u(x, t) estáestrechamente reflejado en el comportamiento de sus valores decontorno. La idea fue usar el “método complejo” para así estudiarla función analítica F (z) cuya parte real es precisamente u, y asíaprovechar la teoría de la variable compleja para investigar F , y asítambién a f . Esta metodología se usó hasta los años 1950’s en quese usó o adoptó el “método de la variable real” en vez del complejo;de esta manera el análisis armónico progresó mucho en el contextodel espacio Rn (y de otros); gran parte de este progreso es debidoal aporte de la Escuela de Calderón-Zygmund.

Con tal panorama ahora vamos a considerar unos espacios más ge-nerales, que al igual que los de Besov, permiten unificar a aquellosespacios mencionados antes. Tales son los espacios de Triebel-Lizorkin F α,q

p y los ya expuestos espacios de Besov Bα,qp . Veamos

algunos argumentos. Sea ϕ ∈ S (una función regular con decreci-miento en el infinito) tal que el soporte de ϕ está contenido en elconjunto ξ/ 1

2≤ |ξ| ≤ 2 y |ϕ(ξ)| ≥ c > 0 si 3

5≤ |ξ| ≤ 5

3; sean

también, α ∈ R, p 6= ∞, 0 < p, q ≤ ∞, y f una distribucióntemperada (f ∈ S ′); definamos

‖f‖Fα,qp

=

∥∥∥∥(∑

ν∈Z

(2να|ϕ2−ν ∗ f |)q) 1

q∥∥∥∥Lp

,

‖f‖Bα,qp

=

(∑

ν∈Z

(2να‖ϕ2−ν ∗ f‖Lp)q) 1

q

, (p puede tomar el “valor” ∞).

Por definición, f ∈ F α,qp si ‖f‖Fα,qp

<∞, y f ∈ Bα,qp si ‖f‖Bα,qp

<∞. Se remarca que ‖f‖Fα,qp

y ‖f‖Bα,qpson normas cuando 1 ≤ p, q ≤

∞.

Casos Particulares. Se verifican las siguientes identificaciones:

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Alejandro Ortiz Fernández

• Lp ∼ F 0,2p si 1 < p <∞;

• Hp ∼ F 0,2p si 0 < p ≤ 1;

• BMO ∼ F 0,2∞ ;

• Lpα ∼ F α,2p si α > 0, 1 < p <∞;

• Λα ∼ F α,∞∞ si α > 0;

• Bα,qp ≡ Λp,qα espacio de Lipschitz de Taibleson, si α > 0, 1 ≤

p <∞, 1 ≤ q ≤ ∞.

Para mayores detalles sobre estos argumentos ver [FRA-JAW-WEI].Obsérvese que H1 ∼ F 0,2

1 y que BMO es el espacio dual de H1, loque sugiere que BMO ∼ F 0,2

∞ .

Los espacios de Triebel-Lizorkin (homogéneos) fueron introducidospor Hans Triebel en su trabajo “Spaces of distributions of Besovtype on Euclidean n−space: duality, interpolation”, 1973. Por otrolado, P. I. Lizorkin dio sus originales ideas en su trabajo “Operatorsconnected with fractional differentiation, and classes of differentia-ble functions”, 1972.

(v) Espacios de Hardy

Un clásico tema en el análisis armónico son los llamados espacios deHardy Hp, los que están íntimamente relacionados con la teoría devariable compleja, sobre todo en sus inicios en los años 1910’s. Lahistoria de estos espacios comienzan con Hardy en 1914, quien prue-ba que cualquier función analítica F sobre la bola unitaria abierta

y si δ > 0, entonces µδ(r) =1

∫ π−π

|F (reiθ)|δ dθ es una función

creciente y (logarítmicamente) convexa para 0 < r < 1. Veamos al-gunos argumentos. Sea f una función de valor real, integrable sobre

el toro T , contorno de la bola unitaria abierta D; sea∞∑

k=−∞

ckeikθ la

serie de Fourier asociada a f y F (extensión de f) la función ana-

lítica definida sobre D definida vía F (z) = c0 + 2∞∑k=1

ckzk, |z| < 1.

Históricamente existe la relación:

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ϕ−Espacios de Funciones

• F (z)Clase de funciones

analíticas sobre D

Clase de funciones

reales sobre T

• f(θ)

la que constituye el fundamento del llamado “método complejo”,esto es, ciertas operaciones básicas de funciones f sobre T ≡ ∂Dson interpretadas como operaciones asociadas a funciones analíti-cas F definidas sobre D. La idea es: dada f sobre T , se constru-ye F y luego se recupera f vía el límite lım

r→1r<1

Re F (reiθ) = f(θ).

En esta dirección, si f ∈ Lp(T ), 1 < p < ∞, M. Riesz pro-

bó que:

(∫ π−π

|F (reiθ)|p dθ

) 1p

≤ Ap‖f‖Lp, 0 ≤ r < 1, Ap es

una constante independiente de f y r. Como hemos mencionado,Hardy consideró a la función (con notación modificada) Hp(F, r) =(∫ π

−π|F (reiθ)|p dθ

) 1p

, 0 < p < ∞, (como función de r) proban-

do que ella se comporta en forma similar a la función maximalH∞(F, r) = max

θ∈[−π,π)|F (reiθ)|.

F. Riesz, en 1923, introdujo la clase de funciones Hp (conside-ró el símbolo Hδ que luego pasó a Hp ó Hp en honor a Hardy)como el espacio de las funciones analíticas F sobre D tales que‖F‖Hp = sup

0≤r<1Hp(F, r) < ∞, 0 < p ≤ ∞. Se observa que si

f ∈ Lp(T ), 1 < p < ∞, la anterior desigualdad implica queF ∈ Hp; el recíproco también es cierto, y así en conclusión tenemos:Lp(T ) ≃ Re Hp, 1 < p < ∞; además, Lp(T ) y Hp son espacios deBanach isomorfos. En este camino, solo a fines de los años 1940’slos espacios Hp fueron tratados como espacios de Banach, lo quefue hecho por A. E. Taylor en sus trabajos: “New proofs of some

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theorems of Hardy by Banach space methods” (1950) y “Banachspaces of functions analytic in the unit circle” parte I (1950), II(1951). Hardy y Littlewood observaron que muchos resultados delanálisis de Fourier que valen para Lp(T ), 1 < p < ∞, fallan parap = 1 pero son aún ciertos para ReH

1, donde en general ReHp es

la clase de los valores de contorno de las partes reales de funcionesen Hp obtenidas vía: lım

r→1r<1

Re F (reiθ) = f(θ), es decir, ReH1 es un

substituto para L1(T ). Por otro lado, 0 ≤ f ∈ L1(T ) se tiene:

f ∈ H1 sí y sólo si∫ π

−π

f(1 + log+ f) dx <∞,

donde, en general,

log+ |f(x)| =

log |f(x)|, si |f(x)| ≥ 10, si |f(x)| < 1.

Sin embargo, por otro lado, L1(T ) y ReH1 son “diferentes”; así,

Hardy-Littlewood probaron que si f ∈ ReH1 entonces P ∗f ∈

L1(T ) (donde P ∗ es el operador maximal no-tangencial P ∗f(θ) =sup |uf(ω)|, donde el supremo es evaluado sobre un adecuado do-minio); sin embargo, si f ∈ L1(T ) entonces no es necesariamentecierto que P ∗f ∈ L1(T ). Esta diferencia no es esencial pues en 1971,Burkhölder-Gundy-Silverstein probaron la caracterización: varia-ble real:

“Si f ∈ L1(T ), f ∈ ReH1, sí y sólo si P ∗f ∈ L1(T )”.

Nuevas investigaciones llevaron a pasar del toro T al espacio Rn loque significó ya no disponer de los métodos de la variable complejay se buscó nuevos recursos de trabajo en el análisis real. La ideafue usar los métodos del análisis funcional en aquellas partes de lavariable compleja en donde las cosas funcionan bien, como fue eneste tipo de espacios de funciones; en esta dirección K. Hoffmanfue el primero en escribir un libro, [HOF], en donde armoniza enforma coherente aquellas partes en donde el análisis funcional y la

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ϕ−Espacios de Funciones

teoría de las funciones analíticas emergen con suceso, como afirma elpropio autor del libro. Hoffman presenta a los espacios de Banach defunciones analíticas sobre el disco unitario; investiga a los espaciosde Hardy Hp, 1 ≤ p ≤ ∞; hace mención a los trabajos de A. Taylorcitados anteriormente.

El espacio Hp en el semi-plano (superior) mereció atención. Veamosalgunos argumentos. Sea el semi-plano R2

+. Si 0 < p < ∞, pordefinición

F ∈ Hp(R2+) si sup

y>0

(∫ ∞

−∞

|F (x+ iy)|p dx) 1

p

<∞.

F ∈ H∞(R2+) si sup

y>0|F (x+ iy)| <∞.

En esta dirección, E. M. Stein y G. Weiss proponen una teoría paraextender al espacio Hp al semi-espacio superior Rn+1

+ = (x, y)/ x ∈Rn, y > 0 en un contexto tal que la teoría está relacionada con latransformada de Riesz Rj , una integral singular. Así, una funciónf(x), definida sobre Rn, es identificada con una función armónicau(x, y) definida sobre Rn+1

+ tal que lımy→0

u(x, y) = f(x), lo que motiva

la definición: H1(Rn+1+ ) = f ∈ L1(Rn)/ Rjf ∈ L1(Rn).

Por otro lado, en 1972, Charles Fefferman-Elías Stein en [FEF-STE] estudian los espacios Hp con elementos construidos usandovariables reales, es decir, los elementos ya no son funciones analí-ticas o armónicas. La idea es: f(x) es una función definida en elcontorno Rn y sea la integral de Poisson u(x, t) = (Pt ∗ f)(x), deesta manera lım

t→0u(x, t) = f(x). (Problema de Dirichlet!); ahora,

en vez del núcleo de Poisson Pt se toma un núcleo tipo aproxi-mación de la identidad φt y se forman integrales más genera-les del tipo u(x, t) = (φt ∗ f)(x). Así, la estrategia es partir conuna función φ en la clase de Schwartz que son funciones rápida-mente decrecientes en el infinito (φ ∈ S) tal que

∫φ = 1; sea la

dilatación φy(x) = y−nφ(xy). Si f es una distribución temperada

(f ∈ S ′) sea la convolución u(x, y) = (φy ∗ f)(x) y la función maxi-mal u∗(x) = sup

y>0|u(x, y)|; entonces se define al espacio de Hardy Hp

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vía: Hp(Rn) = u(x, y)/ u∗(x) ∈ Lp(R). Vía ciertos argumentos seobservó que los Hp son buenos sustitutos de los Lp cuando p ≤ 1; setiene H1 ⊂ L1 y L∞ ⊂ BMO (funciones de oscilación media aco-tadas). En 1971, Ch. Fefferman verifica la dualidad (H1)′ = BMO;posteriormente se amplió la dualidad para el caso 0 < p < 1 víala idea de “átomo”, obteniéndose descomposiciones atómicas paraHp, 0 < p < 1. R. Coifman obtuvo la descomposición atómica paraH1 en 1974 y una caracterización para Hp(R1), 0 < p ≤ 1.

En 1970 salió publicado el libro “Theory of Hp Spaces”, [DUR], dePeter Duren, una obra que armoniza la parte clásica con la moderna(hasta esa fecha); en la parte clásica resalta, por ejemplo, el pionerotrabajo de Hardy-Littlewood, y por la segunda diferentes resultadosobtenidos hasta los años 1960’s como son: teoría de interpolación,la teoría Hp sobre dominios generales, el teorema de la corona (L.Carleson), · · · Aun más, el autor del libro nos dice que los clásicosresultados son probados con los métodos modernos. Es una exce-lente obra para incursionar en, ahora, clásicos resultados sobre losespacios de Hardy Hp. También, estos espacios son estudiados enla obra de Zygmund [ZYG] en su relación con las series trigonomé-tricas. Por otro lado, vía la introducción de la noción de espacio(topológico) X de tipo homogéneo se formularon los espacios deLipschitz Λα(X) y los de Hardy Hp(X), Hp,q(X), estableciéndose

la dualidad (Hp(X))′ = Λα, 0 < p < 1 y α =1

p− 1. Estamos en

los años 1960’s y se tuvieron contribuciones de Coifman, Weiss, R.Macías, C. Segovia, Calderón, entre otros.

Mucho de lo hecho en relación con los espacios de Hardy y delanálisis armónico en general se encuentran en diversos libros, en-tre los que citamos: [STE.2], [STE.3], [TOR], [GAR-RUB], [MEY],[MEY-COI].

(vi) Espacios de Bergman

Como sabemos, si f es una función holomorfa sobre el disco unitarioabierto D del plano complejo, entonces f tiene una representación

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ϕ−Espacios de Funciones

en serie de potencias f(z) =∞∑n=0

anzn; pues bien, la inter-relación

entre las propiedades analíticas de f con las propiedades de la su-cesión (an) es fundamental en la conexión de la teoría de las funcio-nes holomorfas con el análisis funcional. En esta dirección vamos aconsiderar un espacio de funciones analíticas introducido por Ste-fan Bergman en 1922. Veamos, por definición A2(D) es el espaciode las funciones analíticas f definidas sobre D tal que

‖f‖A2 =

(1

π

∫ 2π

0

|f(reiθ)|2r drdθ) 1

2

<∞.

De un modo similar se obtienen los espacios de Bergman Ap(D), 1 ≤p < ∞. A2 fue también investigado por S. Bochner en un trabajopublicado en 1922. Sobre estos espacios, Bergman publicó en 1950su obra: “The Kernel Function and Conformal Mapping”.

Si consideráramos la medida (de Lebesgue) dA(z) =1

πr drdθ, se

podría interpretar Ap(D) como un subespacio (cerrado) de Lp(D);se verificó que si f ∈ Ap(D) entonces se tiene la representación

f(ω) =

D

1

(1− ωz)2f(z) dA(z),

donde

K(ω, z) :=1

(1− ωz)2=

∞∑

k=1

(k + 1)ωkz−k

es llamado el núcleo de Bergman. Si 1 < p <∞, en 1964 Zakharyuta-Yudovich probaron que

P : Lp(D) −→ Ap(D)

f(z) 7→ Pf(z) ≡ g(ω) :=∫D

1

(1− ωz)2f(z) dA(z)

define una aplicación sobre, la cual es llamada la proyección deBergman; esta propiedad fue también establecida para p = 1 en1971 (por Shields-Williams). También se probó que

(Ap(D))′ = Ap′

(D),1

p+

1

p′= 1, 1 < p <∞.

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Alejandro Ortiz Fernández

Es oportuno mostrar con breves argumentos, significativos en suépoca, como se usaron los métodos del surgiente análisis funcional,más conveniente del espacio L2, en el estudio de ciertos problemasde la teoría de las funciones holomorfas (por ejemplo el problemade la aplicación conforme). Justo fue Bergman quien en diversostrabajos estableció tal tipo de metodología de investigación, lo queinició en su tesis doctoral en 1921. Veamos, sea D un adecuadodominio en el plano complejo que no necesita ser acotado; sea H(D)el espacio de las funciones holomorfas f(z) definidas en D, y seaL2H(D) el subespacio de las funciones f ∈ H(D) tales que

‖f‖ :=

(∫∫

D

|f(z)|2 dxdy)1

2

<∞,

(integral en el sentido de Lebesgue), en donde se considera el pro-ducto interno 〈f, g〉 =

∫∫Df(z)g(z) dxdy, y de esta manera ‖f‖2 =

〈f, f〉 y |〈f, g〉| ≤ ‖f‖ ‖g‖. Además se verifica que L2H(D) esun espacio de Hilbert (y de Banach) con la citada norma y setiene el teorema de Riesz-Fischer para el sistema ortonormal Sen L2H(D), S es denotado con ωn(z); así, el espacio L2H(D)

es identificado con el de las series∞∑k=1

ckωk(z) con∞∑k=1

|ck|2 < ∞.

Con estas ideas consideramos ahora al llamado núcleo de Bergman,

K(z, t) =∞∑n=1

ωn(z)ωn(t), z, t ∈ D, donde la serie es absolutamente

convergente en D×D (se sabe que la serie∑〈f, ωn〉ωn(z) converge

puntualmente a f(z) en D y uniformemente en ciertos dominios;

además, bajo ciertas hipótesis se tiene que∞∑k=1

|ωk(t)|2 ≤ 1πr2, lo que

implica que la serie converja absolutamente en D).

Se verifica el fundamental resultado: “ si f(z) ∈ L2H(D) y z ∈ D,entonces f(z) =

∫∫DK(z, t)f(t) dudv, donde t = u+ iv.”

El núcleo de Bergman es una útil idea y recurso para estudiar lanaturaleza del espacio de Bergman así como para comprender sugeometría, que la tiene por ser un espacio de Hilbert, es decir,

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ϕ−Espacios de Funciones

aquellos son espacios de Hilbert de funciones analíticas que poseenun núcleo “reproductor”. El lector interesado en más detalles sobrelos aspectos clásicos de los espacios de Bergman puede consultar laobra de E. Hille, [HIL], en donde están los detalles de lo expuestoacá y mucho más.

Reformulemos lo expuesto considerando un punto de vista más ac-tual de los espacios de Bergman; como este espacio es un subespa-cio de Lp(D) constituido por funciones analíticas se usa la notaciónLpa(D) para denotar el espacio de Bergman. Veamos algunos argu-mentos. Sea D = z ∈ C/ |z| < 1 el disco unitario abierto en

donde se cosidera la medida - área dA(z) =1

πdxdy =

1

πr drdθ.

Como sabemos, si 1 ≤ p <∞, Lp(D) es el espacio de Lebesgue delas funciones f definidas sobre D tal que

‖f‖p =(∫

D

|f(z)|p dA(z)) 1

p

<∞.

Además, L∞(D) es el espacio de Lebesgue de las funciones f talque

‖f‖∞ = supz∈D

ese|f(z)| <∞

Lp(D), 1 ≤ p ≤ ∞, es un espacio de Banach.

Por definición, si 1 ≤ p < ∞, el espacio de Berg-man es

Lpa(D) = f ∈ Lp(D)/ f es analítica sobre D.Se prueba que Lpa es un subespacio cerrado de Lp,y por tanto Lpa es un espacio de Banach. Si p =

D

zr

Figura 2:∞, H∞(D) = f ∈ L∞(D)/ f es analítica sobre D.H∞(D) es también un espacio de Banach.

Sea z ∈ D y r = 1− |z|; por la fórmula del valor medio se tiene

f(z) =1

r2

|z−ω|<r

f(ω) dA(ω).

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Alejandro Ortiz Fernández

Si p = 2, ciertos argumentos del análisis funcional llevan a la exis-tencia de una función Kz en L2

a tal que

f(z) =

D

f(ω)Kz(ω) dA(ω), donde f ∈ L2a.

Ahora se define al núcleo de BergmanK vía:K(z, ω) = Kz(ω), (z, ω) ∈D ×D, y de esta manera se tiene

f(z) =

D

f(ω)K(z, ω) dA(ω),

asíK es un núcleo “reproducir”. Por otro lado, si en(z) es una baseortonormal del espacio de Hilbert L2

a, se verifica que: K(z, ω) =∞∑n=1

en(z)en(ω), donde K es independiente de la base ortonormal

elegida; se verifica que también se tiene K(z, ω) = (1− zω)−2.

C. Horowitz, en 1974, en su trabajo “Zeros of functions in theBergman spaces” considera a los espacios de Bergman “pesados”:si α > −1, por definición

Lp,αa (D) =

f función analítica/

‖f‖p,α,a =(1

π

∫ 1

0

∫ 2π

0

|f(reiθ)|p(1− r)αr drdθ

) 1p

<∞.

Motivados por la teoría clásica del análisis armónico, algunos ana-listas consideraron al espacio de Bergman sobre el semi-espaciocomplejo superior C+ = z = x+ it/ t > 0, y por definición

Lp,αa (C+) =

f analítica sobre C+/

(∫ ∞

0

∫ ∞

−∞

|f(x+it)|p dx tα dt) 1

p

<∞.

Este tipo de espacio fue considerado por R. Rochberg en dos tra-bajos publicados respectivamente en 1982 y 1985, quien consideróteoremas de descomposición para espacios de Bergman. Así mis-mo, remarcamos que en 1948 M. M. Dzhrbashyan estuvo entre los

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ϕ−Espacios de Funciones

primeros en considerar espacios de Bergman pesados Lp,αa (D), tam-bién denotados Apα; sus ideas están contenidas en su trabajo: “Onthe representability problem of analytic functions”.

Por otro lado, la metodología de considerar Lp con funciones analí-ticas como elementos condujo a considerar versiones similares paraotros espacios de funciones; así, P. Oswald en 1983, en su trabajo:“On Besov-Hardy-Sobolev spaces of analytic functions in the unitdisc” investigó a los espacios de Besov analíticos Bα,q

p,a (D), donde−∞ < α < ∞, 0 < p, q < ∞, como el espacio de las funcionesanalíticas sobre D tal que

‖f‖mα,q,p,a : =∑

0≤k<m

|f (k)(0)|+

(∫ 1

0

(1

∫ 2π

0

|f (m)(reiθ)|pdθ) q

p

(1− r)(m−α)q−1 dr

) 1q

<∞.

‖ ‖ es un cuasi-norma y ellas son equivalentes para todo m =0, 1, 2, · · · y m > α. Estos espacios fueron investigados en las últi-mas décadas; por ejemplo, P. Wojtaszczyk para α < 0 construyóbases incondicionales para Bα,q

p,a (D) en 1997, y en el 2003 publicósu trabajo: “Spaces of analytic functions with integral norm”.

(vii) Espacios de Bloch

André Bloch (1893-1948) fue un matemático singular en su aspectopersonal quien contribuyó con el análisis complejo al introducir unespacio de funciones que, al igual que los espacios de Bergman, sesiguen investigando. El espacio de Bloch es definido vía:

B(D) = f función analítica sobre D/ ‖f‖B = supz∈D

(1− |z|2)|f ′(z)| <∞.

‖ ‖B es una norma; B es un espacio de Banach con la norma

‖f‖ = |f(0)|+ ‖f‖B.Se verifica que H∞ ⊂ B, es decir, toda función analítica acotadasobre D está en el espacio de Bloch siendo la inclusión continua y se

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observa que f(z) = log(1− z) está en B pero no es constante. Des-de que L2

a es un subespacio cerrado del espacio de Hilbert L2(D),existe una proyección ortogonal P : L2(D) → L2

a(D), llamada laproyección de Bergman. Se verifica que “si f ∈ L2(D) y z ∈ D,entonces

Pf(z) =

D

K(z, ω)f(ω) dA(ω),

donde K es el núcleo de Bergman. En relación a los espacios deBloch se tiene que P : L∞(D) → B es un operador lineal acotado.Respecto a la dualidad se tiene que “(L1

a)′ = B bajo la paridad

〈f, g〉 =∫Df(z)g(z) dA(z) donde B está equipado con la norma

‖ ‖.”Estos, y otros resultados, nos muestran la fuerza y belleza de losmétodos del análisis funcional en el desarrollo de la variable com-pleja. El universo es amplio y sigue creciendo. Una característicade B es dado por: “ Sea f analítica en D con n ≥ 2, entonces f ∈ Bsí y sólo si (1− |z|2)n|f (n)(z) es acotado en D”.

Además, ‖f‖B es equivalente a supz∈D

(1− |z|2)n|f (n)(z)|, para todo

f tal que f(0) = f ′(0) = · · · = f (n−1)(0) = 0.

En los espacios de Bergman se concibe la métrica

β(z, ω) =1

2log

1 + ρ(z, ω)

1− ρ(z, ω), z, ω ∈ D, donde ρ(z, ω) =

∣∣∣∣z − ω

1− zω

∣∣∣∣.

Se verifica la interesante relación:

‖f‖β = supz,ω∈D

z 6=ω

|f(z)− f(ω)|β(z, ω)

,

resultado que permite afirmar que: “si f es analítica en D, entoncesf ∈ B sí y sólo si ∃C > 0 tal que |f(z)−f(ω)| ≤ Cβ(z, ω), ∀z, ω ∈D”. Estos argumentos permiten redefinir a la métrica β(z, ω):

β(z, ω) = sup‖f‖B≤1

|f(z)− f(ω)|.

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ϕ−Espacios de Funciones

En este escenario se define al “pequeño” espacio de Bloch B0.Así, por definición, el pequeño espacio de Bloch B0 es el subespaciocerrado de B que consiste de las funciones f tal que

lım|z|→1−

(1− |z|2)f ′(z) = 0.

¿Existe alguna conexión entre B0 y H∞? No se tiene B0 ⊂ H∞ niH∞ ⊂ B0. Se tiene la siguiente caracterización: “si f ∈ B, f ∈ B0

sí y sólo si lımr→1−

‖fr − f‖B = 0, donde

fr(z) = f(rz), ∀z ∈ D.”

Se obtiene que B0 = P, donde P es el espacio de los polinomios.

Espacios de Besov Analíticos

Continuando con la metodología de estudiar espacios de espaciosde funciones analíticas vía métodos y recursos del análisis funcionalconsideremos ahora al espacio de Besov con elementos funcionesanalíticas. Si 1 < p <∞, el espacio de Besov analítico es:

Bpa(D) =

f funcion analítica en D/

‖f‖Bpa =(∫

D

(1− |z|2)p|f ′(z)|p dλ(z)) 1

p

<∞

donde dλ(z) = K(z, z) dA(z); ‖ ‖Bpa es una semi-norma, la queimplica la norma ‖f‖ = |f(0)| + ‖f‖Bpa , con la cual Bp

a(D) es unespacio de Banach.

Se tiene la siguiente caracterización. “Sea f analítica en D, 1 ≤p < ∞, n ≥ 2 entero; entonces, f ∈ Bp

a(D) sí y sólo si (1 −|z|2)nf (n)(z) ∈ Lp(D, dλ) sí y sólo si f ∈ PLp(D, dλ), P proyec-ción de Bergman.

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Alejandro Ortiz Fernández

Nota 7. B1a(D) es definido adecuadamente en términos de una su-

cesión en ℓ1 y otra en D.

Los espacios de Bergman, los de Bloch, los Besov analíticos y otrosespacios en sus versiones funciones - analíticas vienen siendo inves-tigados en la actualidad.

(viii) Espacios de Orlicz

Los “espacios de Orlicz” deben su nombre en honor al matemáti-co polaco Wladyslaw Orlicz (1903-1990) quien por un tiempoenseñó en escuelas secundarias y en una escuela militar. Su tesisdoctoral se tituló: “Problemas en la teoría de las series ortogona-les”. Sus espacios nacieron en un artículo escrito en 1932. Formóparte de la famosa Escuela de Matemática de Lwów (Polonia), in-tegrada por notables matemáticos como S. Banach, entre otros. Losespacios de Orlicz LΦ son una generalización natural de los espaciosLp que poseen estructuras topológicas y geométricas que hacen deellos espacios muy importantes con aplicaciones en diversas áreasde la matemática. Sus trabajos fueron publicados en dos volúmenes(con 1754 páginas). K. Kuratowski opinó sobre la Escuela Polaca deMatemática en los siguientes términos: «el análisis funcional le debesu magnífico desarrollo a Banach y sus estudiantes, especialmentea Mazur, Orlicz y Schauder».

Veamos algunos argumentos respecto a los espacios de Orlicz. Seag : [0,∞) → [0,∞) una función monótona no-decreciente; fijemosx ∈ [0,∞). Por definición, Φ(x) =

∫ x0g(t) dt es llamada una función

de Young.

Por otro lado, si Φ : [0,∞) → [0,∞) es una función monótona, no-decreciente, la cual es continua por la izquierda tal que Φ(0) = 0,entonces Φ es llamada una función de Young generalizada. Todafunción de Young es convexa y una función de Young generalizada.Luego, si Φ es una función de Young entonces lım

x→0Φ(x) = 0.

Sea ahora f una función medible (de valor real o compleja) sobreun espacio medida (X, µ) y sea Φ una función de Young, entonces

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ϕ−Espacios de Funciones

(por definición) el espacio de Orlicz es:

LΦ ≡ LΦ(X) ≡ LΦ(X, µ) := f/ ‖f‖Φ ≤ 1,

donde

‖f‖Φ = ınf

K > 0/

X

Φ

( |f(x)|K

)dµ(x) ≤ 1

.

En este caso ‖ ‖Φ es una norma y LΦ es un espacio de Banach.Sea ahora Φ una función de Young, y ∈ [0,∞); por definición,Ψ(y) = sup

x∈[0,∞)

(xy − Φ(x)) es llamada la función complemento de

Young. Se verifica que Ψ es así mismo una función de Young, que lafunción complemento de Young de Ψ es Φ; además, si x, y ∈ [0,∞);se tiene la desigualdad de Young: xy ≤ Φ(x) + Ψ(y). La funciónde Young generalizada posee inversa en el siguiente sentido. Sea Φuna función de Young generalizada; dado y ∈ [0,∞), los conjuntos

Uy = x/ 0 ≤ Φ(x) ≤ y y Vy = x/ y < Φ(x) ≤ ∞

forman una cortadura de Dedekind de [0,∞) que determina unelemento en [0,∞). Por definición, Φ−1(y) es aquel elemento deter-minado por la cortadura.

Se verifica que Φ−1 : [0,∞] → [0,∞] es una función monótona,no-decreciente, la cual es continua por la derecha (Φ−1(∞) = ∞)y para todo x ∈ [0,∞) se tiene que

x ≤ Φ−1(Φ(x)) y Φ(Φ−1(x)) ≤ x.

Volviendo a la función Ψ. Para todo x ∈ [0,∞) se tiene

x ≤ Φ−1(x)Ψ−1(x) ≤ 2x.

Se tiene también una versión de la desigualdad de Hölder:∣∣∣∣∫

X

f(x)g(x) dµ(x)

∣∣∣∣ ≤ 2‖f‖Φ‖g‖Ψ.

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Alejandro Ortiz Fernández

Veamos algunos datos históricos sobre los espacios de Orlicz (con lanotación de entonces). Z. W. Birnbaum-W. Orlicz en 1931 probaronque la función de Young puede ser escrita en la forma Φ(u) =∫ u0p(s) ds, donde p es obtenida como la derivada-derecha de Φ,

donde además remarcamos que la función Φ, convexa no-decrecientey continua, es llamada una función de Young (o función de Orlicz)si Φ(0) = 0, Φ(u) ≥ 0 para u > 0 y lım

u→∞Φ(u) = ∞. Por otro lado,

la inversa derecha de p es definida siendo q(t) = ınfp(s)>t

s ≥ 0 y la

función complemento de Young es obtenida vía

Ψ(v) := supu≥0

[uv − Φ(u)] =

∫ v

0

q(t) dt,

y se tiene la ya conocida desigualdad de Young: uv ≤ Φ(u) +Ψ(v), u, v ≥ 0, desigualdad probada por Young en 1912 y tam-bién establecida por Birnbaum-Orlicz en su trabajo de 1931 enel contexto de los nuevos espacios. Un clásico ejemplo de Φ y Ψ

lo da: Φ(u) =up

p, Ψ(v) =

vq

q, 1 < p, q < ∞,

1

p+

1

q= 1.

(Las funciones de Young pueden asumir el valor ∞). En su tra-bajo de 1931, Birnbaum-Orlicz dicen que una función de Young Φsatisface la condición−∆2 si existe una constante C ≥ 2 tal queΦ(2u) ≤ CΦ(u), ∀u > 0, donde los valores de u se consideranen dos partes: para pequeños valores de u (0 < u < a) y paragrandes valores de u (b < u < ∞). Por otro lado, Orlicz en untrabajo de 1936 considera las funciones de Young complementariosΦ(u) := (1 + u) log(1 + u)− u y Ψ(u) := ev − v − 1 y observa queΦ satisface la condición−∆2 pero Ψ no lo satisface.

Veamos el nacimiento de los “espacios de Orlicz” Fijemos una fun-ción de Young Φ y sea (M,A, µ) un espacio medida y por definición

ρΦ(f) :=

M

Φ(|f(t)|) dµ(t).

Si Φ satisface la condición−∆2 (considerada por Orlicz en 1932) seconsigue que el espacio

LΦ(M,A, µ) ≡ LΦ = f medible/ ρΦ(f) <∞

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ϕ−Espacios de Funciones

sea un espacio de Banach con la norma

‖f‖LΦ := supρΨ(g)≤1

|∫

m

f(t)g(t) dµ(t)|

donde Ψ es la función complemento de Φ. Sin embargo, en 1969 W.A. J. Luxemburg hace una modificación en tal idea:

LΦ = f medible/ ‖f‖LΦ <∞

mejorando así la teoría de los espacios de Orlicz.

Los espacios de Orlicz así como los otros espacios tratados en estecapítulo han merecido diversas investigaciones en las últimas déca-das y actualmente se les sigue estudiando en contexto más genera-les. Para los espacios de Orlicz sugerimos el trabajo de R. O′neil,[O′NE], así como la obra de Pietsch, [PIE], para algunas referen-cias históricas. En internet se puede encontrar diversos trabajosde actualidad sobre estos, y otros espacios. Por ejemplo citamos a[GAR-HER-MAR] como una referencia sobre la inter-relación delas ondículas con los espacios LΦ.

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III

ESPACIOS DE HARDY Y BMO.ESPACIOS Lp,λ

a

Generalidades

En este capítulo vamos a presentar a dos tipos de espacios de funcio-nes, que en ciertas situaciones están relacionados: los espacios de HardyHp, 0 < p <∞, y los espacios de oscilación media acotada BMO: muchose ha escrito al respecto y existen excelentes textos al respecto como son,por ejemplo, [GAR-RUB], [STE.2], [STE.3] [MEY.vol.1], [HER-WEI],donde se aplican las ondículas a estos espacios de funciones; [FEF-STE]es un excelente artículo que impulsó el estudio de los espacios Hp a partirde los años 1970’s. Ya en (v).e.II. hemos tenido la oportunidad de daruna visión general-histórica de ciertos aspectos de los espacios Hp, conénfasis en ideas clásicas y que nos sirven de motivación para enfoquesmás modernos; sugerimos al lector re-leer tal sección con un sentido crí-tico. Sigamos aún en tal ruta; estamos en un escenario con las funcionesanalíticas, con las funciones armónicas en donde se destacan los trabajosde Hardy, F. y M. Riesz, A. E. Taylor, T. Radó, A. Zygmund, Paley,entre otros.

Como sabemos, los espacios de Hardy se originaron en las primerasdécadas del siglo XX y estuvo en el contexto de las series de Fouriery del análisis complejo de una variable. Sin embargo, la necesidad dellevar la teoría en el análisis de Rn en los años 1960’s forzó la creaciónde nuevos y adecuados métodos, del llamado “método de variable-real”.Veamos algunos argumentos. Como siempre D es el disco abierto unitarioen C (plano complejo) y sea 0 < p <∞; por definición

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Alejandro Ortiz Fernández

Hp(D) =

f analítica sobre D/ ‖f‖Hp := sup

0<r<1

(1

∫ 2π

0

|f(reiθ)|p dθ) 1

p

<∞

y

H∞(D) =

f analítica sobre D/ ‖f‖H∞ := sup

z∈D|f(z)| <∞.

Si f ∈ Hp(D) entonces se tiene el fundamental resultado: existe el límitelımr→1−

f(reiθ) = f ∗(eiθ), θ ∈ [0, 2π). En esta dirección el núcleo de Poisson

paraD es importante; por definición, Pr(eiθ) =1− r2

1− 2r cos θ + r2≡ Pr(θ).

Como sabemos, en general, u es una función armónica sobre Ω ⊂Rn si u ∈ C2(Ω) y satisface la ecuación de Laplace ∆u = 0, donde

∆ =n∑i=1

∂2

∂x2i. Nosotros estamos actualmente en R2 ≡ C y Ω = D, y

vamos a considerar espacios de funciones armónicas (Pr es una funciónarmónica). Si 1 ≤ p <∞, por definición

Hpar(D) =

f analítica sobre D/ ‖f‖Hp

ar:= sup

0<r<1

(1

∫ 2π

0

|f(reiθ)|p dθ) 1

p

<∞

y

H∞ar (D) =

f analítica sobre D/ ‖f‖H∞

ar:= sup

z∈D|f(z)| <∞.

Se sabe que si f es armónica sobre D entonces f tiene la representación

en series: f(reiθ) =∞∑−∞

akr|k|eikθ, la cual converge uniformemente sobre

subconjuntos compactos de D. Por otro lado, si f es armónica en undisco con radio > 1, entonces se tiene

f(reiθ) =

∫ 2π

0

Pr(θ − t)f(eit) dt, 0 ≤ r < 1, 0 ≤ θ ≤ 2π;

de esta manera se tiene fr(eiθ) := f(reiθ) = (Pr ∗ f)(θ), función que essolución del problema de Dirichlet para el disco D. (∗ =convolución).

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ϕ−Espacios de Funciones

[P.1]. “Si f ∈ Hpar(D), 1 < p ≤ ∞, entonces existe f ∗ ∈ Lp(∂D) tal que

f(reiθ) =

∫ 2π

0

Pr(θ − t)f ∗(t) dt = (Pr ∗ f ∗)(θ).”

Este resultado no es cierto si p = 1 ya que L1(∂D) no es un espacio dualde cualquier espacio de Banach, pero puede ser inmerso isométricamenteen un espacio dual. (Ver la prueba para comprender esta afirmación).

Prueba. Pongamos, por definición, fr(eiθ) = f(reiθ), 0 < r < 1; lue-go fr0<r<1 es un subconjunto acotado de Lp(∂D); pero sabemos que

Lp(∂D) = (Lp′(∂D))′, donde (A)′ = dual de A,

1

p+

1

p′= 1; de esta

manera fr es acotado en (Lp′(∂D))′. Ahora aplicamos el teorema de

Banach-Alaoglu: “Sea B un espacio de Banach separable y φj una su-cesión acotada en B′, entonces existe una subsucesión φjk de φj lacual converge en la topología ∗−débil”. Por tanto fr posee una subsu-cesión frj tal que frj → f ∗ en la topología débil en Lp(∂D). Fijemos ren (0, 1) y sea r < rj < 1, entonces

f(reiθ) = frj

((r

rj

)eiθ

)=

∫ 2π

0

frj (eit)P r

rj(ei(θ−t)) dt

(obsérvese que frj ∈ C(D) y que frj es armónica sobre D). Así mismo,notemos que P r

rj∈ C(∂D) ⊂ Lp

′(∂D), sumando y restando una misma

expresión, la última integral la descomponemos en:∫ 2π

0

frj(eit)Pr(e

i(θ−t)) dt+

∫ 2π

0

frj(eit)

[P rrj(ei(θ−t))− Pr(e

i(θ−t))

]dt.

Ahora la cuestión es observar que la segunda integral converge a cero. Enefecto, considerando que r (0 < r < 1) está fijo, aplicando Hölder a la

segunda integral

(1

p+

1

p′= 1

)y observando que la expresión dentro del

corchete converge uniformemente a cero cuando j → ∞; y notando quefrj → f ∗, se obtiene finalmente al tomar límite en la topología ∗−débil:

f(reiθ) =

∫ 2π

0

f ∗(eit)Pr(ei(θ−t)) dt.

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Alejandro Ortiz Fernández

Obsérvese ahora el mensaje del siguiente resultado.[P.2]. “Sea f ∈ Lp(∂D), 1 ≤ p <∞; entonces lım

r→1−‖Pjf − f‖Lp=0.”

Prueba. Usaremos un criterio de densidad. Remarcamos que Pjf = Pj∗f.Si f es continua sobre ∂D ≡ [0, 2π], se tiene la tesis pues Pjf es lasolución del problema de Dirichlet para D con dado de contorno f . Seaahora f ∈ Lp(∂D) y ǫ > 0 arbitrario, tomemos g ∈ C(∂D) tal que‖f − g‖Lp < ǫ. Entonces,

‖Prf − f‖Lp ≤ ‖Pr(f − g)‖Lp + ‖Prg − g‖Lp + ‖g − f‖Lp≤ ‖Pr‖L1‖f − g‖Lp + ǫ+ ǫ ≤ 3ǫ cuando r → 1−.

En esta dirección se tiene que: “si f ∈ Hpar(D), 1 < p ≤ ∞, y f ∗ es la

función que aparece en [P.1], entonces se tiene:

lımr→1−

f(reiθ) = f ∗(eiθ), c.t.p. eiθ ∈ ∂D, ”

resultado que habíamos mencionado anteriormente.Volviendo a las funciones analíticas tenemos: “Si f ∈ Hp(D), 0 ≤

p < ∞, entonces lımr→1−

f(reiθ) = f ∗(eiθ), c.t.p. eiθ ∈ ∂D; además, f ∗ ∈Lp(∂D) y

‖f ∗‖Lp = ‖f‖Hp = sup0<r<1

(1

∫ 2π

0

|f(reiθ)|p dθ) 1

p)

”.

Camino hacia el método de la variable real. . .

Nota 8. En [ORT.2], Capítulo IV, el lector puede encontrar una ampliapresentación de los espacios de HardyHp, con los detalles requeridos, tan-to desde el punto de vista clásico como de algunos resultados obtenidosen los años 1960’s, 70’s, época en que se elaboraron muchas interesantesteorías y progresos en esta área del análisis armónico; en esta sección

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ϕ−Espacios de Funciones

estamos interesados en dar una visión de los espacios Hp y de su relacióncon otras áreas. Gracias fundamentalmente a la Escuela de Análisis deChicago liderada por A. Zygmund y A. Calderón se elaboraron poderososmétodos y resultados en el análisis real lo que permitió enfrentar el retode elaborar una teoría de los espacios de Hardy Hp sin los recursos dela variable compleja pero debe, sí, remarcarse los clásicos resultados an-teriores al año 1952 (año en que apareció el primer trabajo de Calderón- Zygmund sobre integrales singulares), en particular los surgidos en laEscuela Inglesa con Hardy, Littlewood, Paley, entre otros.

Ciertos clásicos argumentos en la teoría del potencial newtoniano y enla teoría de una variable compleja conducen a un tipo especial de integralsingular, llamada la transformada de Hilbert. De un modo general, si f esuna función de valor real, definida en R, su transformada de Hilbertes el operador de H definido vía:

(Hf)(x) = v.p.1

π

∫ ∞

−∞

f(t)

x− tdt = lım

ǫ→0

1

π

|x−t|>ǫ

f(t)

x− tdt ≡ lım

ǫ→0(Hǫf)(x).

La tarea fue estudiar la existencia de esta transformada y sus propieda-des, y pasó por diferentes períodos:

la teoría L2, la que funciona bien y es extendida de R1 a Rn de unmodo natural;

la teoría Lp, 1 < p < ∞, que usa recursos de las funciones analí-ticas de una variable compleja pero necesita de nuevas ideas paraextender H al caso n > 1; Marcel Riesz verifica que H es continuade Lp en Lp;

la teoría L1 es el caso crítico pues H no es de tipo (1,1) pero si detipo-débil (1,1).

La transformada de Hilbert jugó un rol vital en el desarrollo del aná-lisis real y fue el punto de partida de la teoría de Calderón-Zygmund,teoría que impulsó tremendamente al análisis armónico y a otras áreasde la matemática. De esta manera se tiene la definición variable-real delespacio de Hardy:

H1re = f ∈ L1(R) (ó L1(T ))/ Hf ∈ L1,

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Alejandro Ortiz Fernández

en donde se considera la norma

‖f‖H1re= ‖f‖L1 + ‖Hf‖L1.

¿Cuáles son las ideas básicas de la teoría de variable-real?. . . Como esnatural, ellas provienen de la teoría de conjuntos y la de funciones endonde es vital los conceptos de derivada y de integración; en esta ruta lateoría de la medida de Lebesgue fue un recurso fundamental. Así, si f eslocalmente integrable, por el teorema fundamental tenemos

lımr→0

1

|B(x, r)|

B(x,r)

f(y) dy = f(x), c.t.p. x,

donde B(x, r) ⊂ Rn es una bola abierta (de centro x, radio r), |A| es lamedida de Lebesgue de A. De esta manera surge la “función maximal”

M(f)(x) = supr>0

1

|B(x, r)|

B(x,r)

|f(y)| dy.

También es de importancia la llamada “función distribución” λ(x) de g,una función definida sobre Rn vía:

λ(x) = |x/ |g(x)| > α|.

(Para mayores detalles ver, por ejemplo, [STE.2], [STE.3], [ORT.2]). Unprimer y fundamental resultado es:

[P.3]. “Sea f una función definida sobre Rn.

(i) Si f ∈ Lp(Rn), 1 ≤ p ≤ ∞, entonces Mf es finito c.t.p.,

(ii) Si f ∈ L1(Rn), entonces para todo α > 0 real se tiene

|x/ (Mf)(x) > α| ≤ A

α‖f‖L1, (A = A(n) constante);

(iii) Si f ∈ Lp(Rn), 1 < p ≤ ∞, entonces Mf ∈ Lp(Rn) y

‖Mf‖Lp ≤ Ap‖f‖Lp, Ap = Ap(n, p).

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ϕ−Espacios de Funciones

Consecuencia: Si f ∈ Lp(Rn), 1 ≤ p ≤ ∞, entonces

lımr→0

1

|B(x, r)|

B(x,r)

f(y) dy = f(x), c.t.p. x

(este resultado vale si, mas generalmente, f ∈ L1loc(R

n))”.

Para la prueba de [P.3] ver [STE.2]. De la teoría de la medida res-catamos la noción de “conjunto de Lebesgue” de f , que por definiciónes:

x ∈ Rn/ lım

r→0

1

|B(x, r)|

B(x,r)

|f(y)− f(x)| dy = 0

.

En el análisis de los espacios de Hardy por el método-real se requierende ciertos resultados de la teoría de interpolación (teorema de Marcin-kiewicz), de teoremas de cubrimiento y de otros temas, que en la me-dida de nuestras necesidades las iremos explicitando. Por otro lado, dela teoría de las funciones armónicas se requiere la noción de convergen-cia no-tangencial, la integral “área” de Luzin, la noción de conjugada defunciones armónicas, · · · El paso de n = 1 al caso n−dimensional exi-gió una nueva versión de la transformada de Hilbert, lo que se consiguiócon una familia de operadores integrales singulares Kj(x) =

xj|x||x|n , j =

1, 2, · · · , n, los cuales son regulares fuera del origen, son homogéneos degrado−n, y satisface la propiedad del valor medio (

∫Bn−1

Kj(x) dσ(x) =

0, Bn−1 es la esfera unitaria (n−1)−dimensional), (obsérvese que Ωj(x) =xj|x| es impar); es decir los Kj se comportan como núcleos de Calderón-

Zygmund.Remarcamos que si f está definida sobre Rn, decimos que ella es ho-

mogénea de grado α si para cada x y cada λ > 0 tenemos f(λx) =λαf(x). Por ejemplo, si f es una función homogénea de grado α, en-tonces su transformada de Fourier f , en el sentido de las distribuciones,(∫Rnf(x)ϕ(x) dx =

∫Rnf(x)ϕ(x) dx, ϕ ∈ S) es la homogénea de grado

−α − n.Sea (Rjf)(x) = (Kj ∗ f)(x), la j−transformada de Riesz; entonces

(Rjf)∧(x) = Kj(ξ)f(ξ), donde Kj es homogénea de grado cero. Por otro

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Alejandro Ortiz Fernández

lado, en este tipo de análisis se usan con frecuencia las rotaciones, lastranslaciones y las dilataciones (recuerde a las ondículas!); en este sen-tido la n−upla (K1(x), · · · , Kn(x)) se comporta bien respecto a talesoperaciones, al igual que lo hace la transformada de Hilbert en el caso1−dimensional. En esta dirección, E. M. Stein-G. Weiss en un traba-jo publicado en 1960, “On the theory of harmonic functions of severalvariables”, definen un espacio de Hardy de orden 1 variable-real. Así,

H1re(R

n) ≡ H1re := f/ Rjf ∈ L1, j = 1, · · · , n

donde se considera la norma ‖f‖H1re= ‖f‖L1 +

n∑j=1

‖Rjf‖L1.

Observemos que esta forma de concebir a los espacios de Hardy-realeses vía la ruta de la teoría de las integrales singulares. Otra ruta sonlas ecuaciones de Cauchy-Riemann pero ellas pueden ser vistas desdeun marco general; al respecto, ver el Capítulo VI de [STE-WEI] dondeStein-Weiss consideran al espacio Hp de funciones armónicas conjugados.Se tiene: sea p > 0 y F = (u1, · · · , uk) una solución del sistema fijo de

ecuaciones de Cauchy-Riemannk∑j=1

aj∂F

∂xj= 0 sobre R

n+1+ , entonces, por

definición,

Hp(Rn+1+ ) = F/ ∃C <∞ tal que

Rn

|F (x, y)|p dx =∫

Rn

(|u1(x, y)|2 + · · ·+ |uk(x, y)|2)p2 ≤ C, ∀y > 0.

Los espacios de Hardy han merecido diferentes formulaciones en funciónal tipo de problema en que se le aplique. Existe una amplia literatura alrespecto; sugerimos [GAR-RUB].

Espacios de Funciones con Oscilación Media Acotada,BMO.

Motivados por dos trabajos de J. Moser sobre ecuaciones diferencia-les elípticas (1960 y 1961), F. John - L. Nirenberg en un trabajo sobre

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ϕ−Espacios de Funciones

ecuaciones en derivadas parciales no-lineales conciben la idea de un nue-vo espacio de funciones, el que se formaliza en el artículo “On functionsof bounded mean oscillation”, 1961, surgiendo así el espacio de funcionescon oscilación media acotada (BMO) espacio que se estudió en relacióna otros espacios y operadores, y que tuvo gran utilidad en el desarrollodel análisis real.

BMO está relacionado con el espacio de Hardy H1 vía la dualidad(H1)′ =BMO, resultado enunciado por Ch. Fefferman y probado porFefferman-Stein en [FEF-STE] (1972).

Veamos: Sea I ⊂ R un intervalo acotado, f es definida sobre I local-

mente integrable y sea el promedio fI =1

|I|∫If(x) dx y consideremos el

promedio de |f(x)−fI |,1

|I|∫I|f(x)−fI | dx, el que nos mide la oscilación

de f sobre I; el supremo (cuando I varía) de estas oscilaciones podríaser infinito, lo que justifica la definición: “sea f ∈ L1

loc(R); f ∈BMO si

supI

1

|I|∫I|f(x)− fI | dx <∞.”

De entrada se observa que L∞ ⊂BMO, con inclusión propia (f(x) =log |x| ∈BMO, pero g(x) = sig log |x| /∈BMO pues si I = (−ǫ, ǫ),

∫ ǫ

−ǫ

sig log |x| dx = 2

∫ ǫ

0

log |x| dx = ∞.)

En el caso n−dimensional se consideran cubos Q con lados paralelos alos ejes coordenados con medida finita, |Q| <∞. En este caso,

f ∈ BMO(Rn) ≡ BMO si ‖f‖∗ = supQ

1

|Q|

Q

|f(x)− fQ| dx <∞. (∗)

Otras formas (equivalentes) de definir BMO son exigir que:

ınfc∈C

supQ

1

|Q|

Q

|f(x)− c| dx <∞; (∗∗)

supQ

(1

|Q|

Q

|f(x)− fQ|q dx) 1

q

<∞, para algún 1 ≤ q <∞ (∗ ∗ ∗)

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Alejandro Ortiz Fernández

(el caso q = 2 es de particular interés en ciertas aplicaciones). Si f eslocalmente integrable, 2π−periódica en R, entonces f ∈ BMO(T ) ≡BMO si

supI

1

|I|

I

|f(x)− fI | dx <∞. (∗ ∗ ∗∗)

Por otro lado, sea ∂D el contorno del disco abierto unitario y dθ la medidalongitud de arco sobre ∂D. Sean f ∈ L2(∂D), I ⊂ ∂D un intervalo; como

siempre fI =1

|I|∫If(θ) dθ; entonces f ∈ BMO(∂D) ≡ BMO si

‖f‖∗ = supI

(1

|I|

I

|f(θ)− fI |2 dx) 1

2

<∞. (+)

En la prueba de las equivalencias de tales condiciones se requiere dela desigualdad fundamental en BMO, esto es, la desigualdad de John-Nirenberg:

«Sea f ∈ BMO(Q0), donde Q0 ⊂ Rn es un cubo fijo (asumimos los

Q ⊂ Q0); entonces existen constantes apropiadas c1, c2 > 0 tales que

|x ∈ Q0/ |f(x)− fQ0| > λ| ≤ c1e−c2λ|Q0|, λ > 0.»

Ch. Fefferman estableció la siguiente caracterización (1971): “f ∈ BMO

sí y sólo si f = g0 +n∑j=1

Rjgj, donde Rj es la transformada de Riesz,

gj ∈ L∞(Rn), j = 0, 1, · · · , n” Remarcamos que (Rjf)(x) = cn v.p.xj

|x| |x|n ∗ f, x 6= 0 (cn apropiada constante).

Por otro lado, considerando la naturaleza de ‖ ‖∗ se obtiene la nor-ma correspondiente (la norma cociente) con la cual BMO es un espaciode Banach y así es un adecuado espacio a ser aplicado en el análisis ar-mónico. Por ejemplo, en [FEF-STE] se verifica que si T es un operadorde Calderón-Zygmund y si f ∈ L∞, entonces Tf ∈BMO; en cambio, sif ∈ Lp, 1 < p <∞, entonces Tf ∈ Lp, con ‖Tf‖Lp ≤ C‖f‖Lp.

Remarcamos que un operador de Calderón-Zygmund es un operadorde la forma (Tϕ)(x) = v.p.

∫k(t)ϕ(x − t) dt, donde ϕ ∈ C1

0 (Rn) y K

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ϕ−Espacios de Funciones

es un núcleo de Calderón-Zygmund (un núcleo adecuado y “bonito”).En esta dirección tenemos un teorema sobre interpolación: “sea T unatransformación lineal tal que T : Lp → Lp, 1 < p < ∞, y T : L∞ →BMO continuamente, entonces T : Lq → Lq continuamente, p < q <∞.”

Prueba. En efecto, si f ∈ L1loc(R

n) se define el operador maximal “agu-do” de f vía:

M#f(x) = supx∈Q

1

|Q|

Q

|f(y)− fQ| dy.

Se observa que M#f(x) ≤ 2Mf(x), ∀x ∈ Rn, donde Mf es el operador

maximal de Hardy-Littlewood Mf(x) = supQ

1

|Q|∫Q|f(y)| dy; además,

f ∈ L∞ sí y sólo si Mf ∈ L∞ y ‖f‖L∞ = ‖Mf‖L∞ . Esto permi-te redefinir BMO vía: (f ∈ L1

loc), f ∈BMO si M#f(x) ∈ L∞(Rn).Bien, continuando con el teorema definamos T1 vía: T1f := M#(Tf);por hipótesis, si f ∈ Lp entonces Tf ∈ Lp, luego M#Tf ó T1f ∈ Lp,1 < p < ∞, (M# como M son de tipo fuerte (p, p)). También por hipó-tesis, si f ∈ L∞, T f ∈BMO y ‖Tf‖∗ = ‖M#Tf‖L∞ = ‖T1f‖L∞, luegoT1f ∈ L∞.

De esta manera, T1 : Lp → Lp y T1 : L∞ → L∞ continuamente ypodemos aplicar el teorema de Riesz-Thorin:

«Sean 0 < p0, p1, q0, q1 ≤ ∞, y T un operador lineal sobre S (funcionessimples), con valor complejo, tal que T : S ⊂ Lp0(X, µ) → Lq0(Y, ν) esde tipo (p0, q0), con norma ‖T‖0; T : S ⊂ Lp1(X, µ) → Lq1(Y, ν) es detipo (p1, q1), con norma ‖T‖1.

Entonces, para 0 ≤ t ≤ 1, T : S ⊂ Lp(X, µ) → Lq(Y, ν) es de tipo(p, q), con norma ‖T‖ que satisface ‖T‖ ≤ ‖T‖1−t0 ‖T‖t1, donde

1

p=

1− t

p0+

t

p1,

1

q=

1− t

q0+

t

q1.»

Luego concluimos que T1 : Lq → Lq continuamente para p < q < ∞.Por tanto, si f ∈ Lq, T1f = M#Tf ∈ Lq sí y sólo si Tf ∈ Lq, esto es,T : Lq → Lq continuamente para p < q <∞.

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Alejandro Ortiz Fernández

En el lenguaje de la teoría de probabilidades, la oscilación media1|Q|

∫Q|f(x)−fQ| dx es llamada la varianza de f relativo a la probabilidad

1|Q|χQ dx. En este sendero, los espacios Hp y BMO han sido investigados

en el contexto de la teoría de probabilidades y dentro de este ambiente alconcepto de martingala el que fue de utilidad en el desarrollo de teoríassurgidas a inicios de la segunda mitad del siglo XX. Como sabemos elanálisis real se desarrolló en base a investigaciones hechas, entre otros,por F. y M. Riesz, S. Saks, A. Besicovitch, S. Bochner, G. Hardy, E.Littlewood, Paley, Marcinkiewicz, N. Wiener, Zygmund y A. Calderón.En 1950, Calderón probó el siguiente resultado.

“Sea Γ(x) un cono con vértice en x ∈ Rn y sea u(x, t) una funciónarmónica definida en el semi-espacio superior R

n+1+ , y sean

E1 = x ∈ Rn/ u(x, t) es limitada en Γ(x) y

E2 = x ∈ Rn/ existe lım

t→0u(x, t), (x, t) ∈ Γ(x)

entonces E1 = E2, a menos de un conjunto de medida nula”.En otras palabras, si u es una función armónica sobre R

n+1+ y E es

un conjunto de medida positiva en Rn tal que para todo x ∈ E existe uncono Γ(x) tal que sup

(x,t)∈Γ(x)

|u(x, t)| <∞, entonces en casi todo punto de

E, u tiene un limite no tangencial.Ch. Fefferman (en “Hp Spaces, Harmonic Analysis”, 1976) observó que

este teorema está relacionado con la idea de martingala; vía argumentosprobabilísticos se llega a la función “área” de Lusin, muy usada en la teoríade Littlewood-Paley. Por otro lado, en un juego de azar, la variación deun capital asume la forma uk(x) − uk−1(x) y el tamaño de la apuesta|uk(x) − uk−1(x)|, lo que sugiere tomar el gradiente ∇u donde u es unafunción armónica definida sobre R2

+; de esta manera, la expresión [uk(x)−uk−1(x)]

2 es reemplazada por |∇u|2 y la sumatoria en k por una integral.Se establece que la mencionada función “área” de Lusín toma la forma

Su(x, t) =

(∫

Γ(x)

|∇u(y, t)|2y1−n dydt)1

2

.

Considerando la función maximal u∗(x) = supΓ(x)

|uk(x)| se establece que

las normas ‖u∗‖Lp y ‖Su‖Lp, 0 < p < ∞, son equivalentes. Por otro

96

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ϕ−Espacios de Funciones

lado, remarcamos que la teoría de las integrales singulares y la de lastransformadas martingalas tuvieron sus raíces en resultados clásicos delanálisis real.

Operadores IntegralesSingulares

TransformadasMartingalas

Teoría de Paley, Marcinkiewicz,Zygmund, · · ·

>

ZZ

ZZ

ZZ

ZZZ

La teoría de martingalas fue impulsada por J. L. Doob en el campode los procesos estocásticos alrededor de 1953 y ella ha sido conecta-da con diversas áreas del análisis real; así, sea el espacio de funciones:L logL = f/

∫|f(x)| log+ |f(x)| dx < ∞, donde remarcamos que

log+ |f | =

log |f |, |f | ≥ 10, |f | < 1.

Sea Mf la función maximal de Hardy-

Littlewood de f (Mf(x) = supr>0

1

|B(x, r)|∫B(x,r)

|f(y)| dy, B(x, r) es una

bola de centro x, radio r). Por otro lado, sea f1, f2, · · · una sucesión de

variables aleatorias y An =1

n

n∑k=1

fk; pongamos, A∗ = supn

|An|. A manera

de ejemplo, dos de tales resultados son:Burkholder (1962): “A∗ ∈ L1 sí y sólo si f1 ∈ L logL”.E. Stein (1969): “Mf ∈ L1 sí y sólo si f ∈ L logL”.R. Gundy (1969): prueba que ambos resultados pueden ser vistos

como casos especiales de una teoría elaborada en base a las martingalas,a la cual se llevan diversos resultados del análisis real.

¿Qué es una Martingala?· · ·Sea X un conjunto no-vacío y M una σ−álgebra de subconjuntos

97

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Alejandro Ortiz Fernández

en X (∅ ∈ M; si A ∈ M, Ac(complemento)∈ M; si An ∈ M, n =

1, 2, · · · ,∞⋃1

An ∈ M).

La función P : M → [0, 1] es una probabilidad si P (X) = 1; si Anes una familia de conjuntos en M tal que Ai ∩ Aj = ∅, i 6= j, enton-

ces P (∞⋃1

An) =∞∑1

P (An). (X,M) es un espacio medible y (X,M, P )

un espacio de probabilidad; una variable estocástica f es una funciónM−medible y la esperanza de f es la integral E(f) =

∫f dP . Si

f ∈ L1loc(X) es M−medible y N es una subálgebra de M, entonces

la esperanza condicional de f es definida siendo la función N−medible gsobre X definida vía:

∫Af dP =

∫Ag dP, ∀A ∈ N . Esta función g existe

unívocamente.“Sea Mn, n = 0, 1, 2, · · · una sucesión creciente de subálgebras de

M, esto es, M0 ⊂ M1 ⊂ · · · ; sea f = fn, n = 0, 1, 2, · · · una sucesiónde variables estocásticas adaptada a Mn en el sentido que cada fn esMn−medible. La sucesión f = fn es una martingala si:

E(fn∣∣Mn−1

) = fn−1” .

Obsérvese que:∫

A

fn dP =

A

E(fn∣∣Mn−1

) dP =

A

fn−1 dP, ∀A ∈ Mn−1.

Los espacios BMO y los de Hardy Hp fueron investigados en el contexto-martingala por Ch. Fefferman-E. Stein, Garsía, Herz, entre otros.

98

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ϕ−Espacios de Funciones

b

Espacios Lp,λ y Variantes

La introducción de los espacios de funciones fue fundamental en eldesarrollo de muchos sectores de la matemática del pasado siglo. En par-ticular la teoría de las ecuaciones en derivadas parciales fue impulsadaen base a ciertos espacios de funciones (o distribuciones). En este ca-pítulo nos proponemos estudiar algunos de tales espacios, en particularaquellos que provienen del análisis real y que han sido introducidos enlas décadas pasadas. Clásicamente fueron los espacios de Lebesgue Lp,los espacios de Morrey Lp,λ, los Lipschitz Λα, · · · , y un poco después losespacios BMO (de oscilación media acotada de John-Nirenberg, 1961),los espacios Lp,λ (Stampacchia, 1964), los espacios HMO y los Hα,p (deFabes-Johnson-Neri, 1976) los que han jugado y juegan un papel sig-nificativo en la teoría. Actualmente se vienen estudiando problemas decontorno usándose métodos más sofisticados en problemas más generales,en donde destacamos los trabajos de C. Kenig y otros.

A. Espacios Lp,λ.En muchos problemas en ecuaciones en derivadas parciales es ne-cesario establecerse ciertos tipos de estimativas a priori, como sonestimativas en la norma−Lp, en la norma−Λα, · · · Un modo deunificar tales estimativas es a través de los espacios Lp,λ donde1 ≤ p <∞, 0 ≤ λ < n+p, n es la dimensión de Rn. Esta situacióncorresponde al caso clásico Atx = tx, donde en general At, t > 0es el grupo de transformaciones lineales de Rn que satisfacen ciertaspropiedades; este grupo será presentado posteriormente.

Sea B = B(x, r) la bola y ∈ Rn/ |x− y| < r, entonces

Lp,λ =

f ∈ Lp(B)/ [f ]Lp,λ = sup

B

1

B

|f(x)− cB|p dx1/p

≤M <∞

donde cB es una constante que depende de B.

En Lp,λ se considera la norma ‖f‖Lp,λ = ‖f‖Lp(Q) + [f ]Lp,λ. En ladefinición dada, la constante cB puede ser tomada (de una forma

99

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Alejandro Ortiz Fernández

natural) siendo el promedio fB = 1|B|

∫Bf(x) dx (donde |B| = rn

es la medida de Lebesgue de B) ya que

1

B|f(x)− fB |p dx

1/p

1

B|f(x)− cB|p dx

1/p

+

1

B|fB − cB|p dx

1/p

=

1

B|f(x)− cB|p dx

1/p

+|fB − cB|

rλp

rnp .

Pero

|fB − cB| =

∣∣∣∣1

rn

B

f(x) dx− cB

∣∣∣∣r

≤ 1

rn

B

|f(x)− cB| dx

≤(1

p+

1

q= 1

)

≤ rnq

rn

B

|f(x)− cB|p dx1/p

=

1

rn

B

|f(x)− cB|p dx1/p

.

Luego,

1

B

|f(x)− fB|p dx1/p

1

B

|f(x)− cB|p dx1/p

+

+r

np

rλp

1

B

|f(x)− cB|p dx1/p

= 2

1

B

|f(x) − cB|p dx1/p

,

lo que termina la observación.

Se tiene la siguiente relación de inclusión:

100

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ϕ−Espacios de Funciones

Lema 1. Si p1 ≤ p yλ− n

p=λ1 − n

p1entonces Lp,λ ⊂ Lp1,λ1.

Prueba. Tenemos

1

rλ1

B

|f(x)− fB|p1 dx ≤ 1

rλ1

B

|f(x)− fB|p dx p1

p

|B|1−p1p

=rλ

p1p

rλ1

1

B

|f(x)− fB|p dx p1

p

crnr−np1p

= c

1

B

|f(x)− fB|p dxp1

p

· rp1p(λ−n)

rλ1−n

= c

1

B

|f(x)− fB|p dxp1

p

,

de donde

1

rλ1

B

|f(x)− fB|p1 dx 1

p1 ≤ c

1

B

|f(x)− fB|p dx 1

p

.

Casos Particulares

Según el rango de variación de λ, Lp,λ (p ≥ 1) se identifica con algunosconocidos espacios de funciones. Así, si λ = 0, se tiene la identificacióntopológica Lp,0 ≃ Lploc ya que en general ‖f‖Lp,λ ≥ ‖f‖Lp

locy por otro

lado

‖f‖Lp,λ ≤ ‖f‖Lploc+2

1

B

|f(x)−cB|p dx 1

p

= (con λ = 0, cB = 0) = 3‖f‖Lploc.

Si 0 ≤ λ ≤ n, Lp,λ se identifica con el espacio de Morrey

Lp,λ = f ∈ Lp(B)/ [f ]Lp,λ = supB

(1

B

|f(x)|p dx)1/p ≤M <∞,

101

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Alejandro Ortiz Fernández

espacio de gran uso en ecuaciones parciales. Para los otros rangos (λ =n, n < λ ≤ n+ p), Lp,λ está relacionado con dos clases de funciones, losBMO y los Lipschitz Λα, los que tendrán particular interés en nuestrotrabajo.

1. Espacios BMO. Los espacios de funciones con oscilación mediaacotada (espacios BMO) fueron introducidos por F. John-L. Ni-renberg en 1961, [JOH-NIR] y constituyen un adecuado substitutopara L∞ en algunas estimativas para ciertos operadores actuandosobre tales espacios de Lebesgue. Los espacios BMO fueron estu-diados con cierto énfasis en los años 1960’s y 70’s. Para algunosdetalles de la teoría ver A. Ortiz [ORT.5] en donde exponemos al-gunos temas que se investigaban entonces.

Sea f ∈ L1(B). Como sabemos, f es una función de oscilaciónmedia acotada, y escribimos f ∈BMO, si existe una constante c =c(f, B(x, r)) tal que [f ]BMO = sup

B

1|B|

∫B|f(x) − c| dx < ∞. Como

es usual, en esta definición es más natural usar el promedio fB =1|B|

∫Bf(x) dx por la constante c (basta observar que tenemos

1

|B|

B

|f(x)− fB| dx ≤ 2

|B|

B

|f(x)− c| dx).

De un modo mas general se prueba (Berman) que tal c puede sersubstituida por un polinomio de grado ≤ d, d ∈ Z+ fijo. Es tambiénclaro que L∞ ⊂ BMO. Un hecho importante es que tal inclusión espropia pues John-Mirenberg mostraron que log |x| ∈ BMO.

Nota 9. En la definición de BMO (y de Lp,λ) el uso de bolas B(x, r)puede ser reemplazado por cubos Q = Q(x, r), de centro x y lado r(tenemos aún |Q| = rn). El uso de cubos es a veces más convenienteen aspectos geométricos, como en el llamado lema de descompo-sición de Calderón-Zygmund de Rn. Así tenemos el

Lema 2. Sea 0 < f ∈ L1(Q), Q ⊂ Rn, α > 0 un real fijo. Entonces

Rn = P ∪Q, con P y Q disjuntos tal que

102

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ϕ−Espacios de Funciones

(a) Q =∞⋃k=1

Qk donde, si k 6= j, los interiores Qk y Qj son dis-

juntos;

(b) f(x) ≤ α a.e. si x ∈ P ;

(c) α < 1|Qk|

∫Qkf(x) dx < 2nα para todo Qk, k = 1, 2, 3, · · ·

Prueba. La hipótesis f ∈ L1(Q) implica que existe r, lado de Q,

tal que fQ =1

|Q|∫Qf(x) dx < α, ∀Q de lado r. La idea geométrica

ahora es dividir Rn en una red de cubos de lados de longitud r(cubos que tomamos con lados paralelos a los ejes de coordenadas).Seleccionamos uno de tales cubos, que llamaremos Q0. Ahora, cadalado de Q0 dividamos en dos partes iguales y obtengamos 2n cuboscontenidos en Q0 y de lados

r

2. Sea Q′ uno de tales cubos. Entonces

tenemos

1

|Q′|

Q′

f(x) dx ≤ α (1)

ó1

|Q′|

Q′

f(x) dx > α. (2)

Si tuviéramos la posibilidad (2) paramos el proceso de división yaque los Q′s, convenientemente numerados, constituyen la sucesiónQkk=1,2,··· y claramente tenemos (a). Un lado de (c) ya se tiene,para la otra estimativa observemos que

1

|Q′|

Q′

f(x) dx ≤ 2n

Q0

Q0

f(x) dx ≤ 2nα.

Si tuviéramos el caso (1) seguimos subdividiendo; así Q′ es dividi-

do en 2n cubos, de ladosr

4, · · · y así continuamos. Renumerando

tenemos la sucesión Qkk=1,2,3,···. Llamemos Q =∞⋃k=1

Qk. Observe

que en cada etapa de división, se tiene 1|Qk|

∫Qkf(x) dx > α y por lo

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Alejandro Ortiz Fernández

tanto Qk satisface (como ya hemos visto) (a) y (c). Veamos la pro-piedad (b). Para ello usaremos el siguiente importante teorema dediferenciación de Lebesgue, que dice: “si f ∈ Lp(Rn), 1 ≤ p ≤ ∞,ó f ∈ L1

loc(Rn), entonces

lımr→0

1

|Q(x, r)|

Q(x,r)

f(t) dt = f(x) a.e.” .

Para una prueba de este teorema ver, por ejemplo, C. Sadosky[SAD] ó M. Guzmán [GUZ]. Sea x ∈ P = Rn − Q, esto es, x /∈Qk, ∀k lo que significa que x está en una sucesión de cubos Qi

(de lados paralelos a los ejes, y de longitudes muy pequeñas) todoslos cuales están en la posibilidad (1). Entonces por el teorema dediferenciación de Lebesgue, se tiene

f(x) = lımr→0

1

|Qi|

Qi(x,r)

f(t) dt ≤ α

a.e., lo que termina el lema.

El siguiente reesultado va a garantizar la existencia de la integralde Poisson de funciones en BMO en el semiespacio R

n+1+ , lo que es

importante en la conexión con las funciones armónicas.

Lema 3. Sea Q = Q(0, 1) y f ∈ BMO. Entonces

Rn

|f(x)− fQ|1 + |x|n+1

dx ≤ A‖f‖BMO.

Prueba. Sea Qk = Q(0, 2k), Sk = Qk−Qk−1, k = 1, 2, · · · (Q0 ≡ Q)y la descomposición

Rn

|f(x)− fQ|1 + |x|n+1

dx =∞∑

k=1

Sk

|f(x)− fQ|1 + |x|n+1

dx =∞∑

k=1

Ik.

La idea es probar que Ik ≤ ck‖f‖BMO con∑ck <∞.

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ϕ−Espacios de Funciones

En efecto: x ∈ Sk (y desde luego x /∈ Qk−1) implica que |x| ≥ 2k−2

ó 1 + |x|n+1 > 4−(n+1)2k(n+1) fuera de Qk−1. Por lo tanto,

Ik ≤ 4n+12−k(n+1)

Qk

|f(x)− fQ| dx.

Analicemos esta integral; tenemos∫

Qk

|f(x)− fQ| dx ≤∫

Qk

|f(x)− fQk| dx+∫

Qk

|fQk − fQ| dx

≤ |Qk| ‖f‖BMO + |Qk| |fQk − fQ|= 2kn(‖f‖BMO + |fQk − fQ|).

Pero, |fQk − fQ| ≤ |fQk − fQk−1|+ |fQk−1

− fQk−2|+ · · ·+ |fQ1 − fQ|

y desde que, en general,

|fQi − fQi−1| =

∣∣∣∣1

|Qi−1|

Qi−1

f(x) dx− fQi−1

∣∣∣∣

= 2n1

2in

∣∣∣∣∫

Qi−1

(f(x)− fQi) dx

∣∣∣∣

≤ 2n1

|Qi|

Qi

|f(x)− fQi| dx

≤ 2n‖f‖BMO,

obtenemos |fQk − fQ| ≤ k2n‖f‖BMO y∫Qk

|f(x) − fQ| = 2kn(1 +

k2n)‖f‖BMO y así Ik ≤ 4n+12−k(n+1)2kn(1+k2n)‖f‖BMO ≤ ck‖f‖BMO

donde ck = cn2−k con

∑ck <∞.

Caracterización de BMO

John-Nirenberg [JOH-NIR] dieron la siguiente caracterización delespacio BMO. Sea α > 0 un número real; para cada cubo Q, seala función distribución wQ(α) = |x ∈ Q/ |f(x) − fQ| > α|. Siexistieran dos constantes A y b tales que para todo Q tengamoswQ(α) ≤ Ae−bα|Q|, entonces f ∈ BMO.

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Alejandro Ortiz Fernández

En efecto, usando el resultado: “si g(t), t ≥ 0, es una funcióncontinuamente diferenciable en [0,∞], con g(0) = 0, entonces

Q

g(|f(x)− c|) dx =

∫ ∞

0

wQ(α) dg(α)”,

tenemos∫

Q

|f(x)− fQ| dx =

∫ ∞

0

wQ(α) dα ≤ A|Q|∫ ∞

0

e−bα dα =A

b|Q|

y por lo tanto, f ∈ BMO.

La desigualdad exponencial wQ(α) ≤ Ae−bα|Q| caracteriza a BMO,como fue probado por John-Nirenberg. La siguiente demostraciónes debida a A. P. Calderón.

Teorema 3. Si f ∈ BMO, entonces para todo Q ⊂ Rn y α > 0existen dos constantes A y b (que dependen solo de la dimensiónn) tal que se tiene

wQ(α) ≤ Ae−bα‖f‖−1BMO |Q|. (∗)

Nota 10. Estamos usando la seminorma

‖f‖BMO = supQ

1

|Q|

Q

|f(x)− fQ| dx,

la que es normalizada en la forma usual.

Prueba del Teorema 3. Dada f ∈ BMO, para cada α > 0 tene-mos las posibilidades: (i) α ≤ ‖f‖BMO y (ii) α > ‖f‖BMO. En elcaso (i), [∗] es inmediato pues, como siempre es wQ(α) ≤ |Q|, bastatomar A = e y b = 1. Estudiemos el caso (ii). Fijemos un cuboQ0. Sin pérdida de generalidad podemos asumir que fQ0 = 0 pueshaciendo el cambio g(x) = f(x)− fQ0, tenemos

gQ0 =1

|Q0|

Q0

g(x) dx =1

|Q0|

Q0

f(x) dx− fQ0 = 0;

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ϕ−Espacios de Funciones

además,

‖g‖BMO = supQ

1

|Q|

Q

|g(x)− gQ| dx

= (considerando que gQ =1

|Q|

Q

f(x) dx− fQ0)

= supQ

1

|Q|

Q

|f(x)− fQ| dx = ‖f‖BMO.

Llamemos, Eα = x ∈ Q0/ |f(x)| > α y w(α) = |Eα|. Bien, comof ∈ BMO tenemos f ∈ L1(Q0). Entonces para cada α > ‖f‖BMO

el lema 2 dá una partición P α, Qα1 , · · · , Qα

k , · · · de Q0 tal que

α <1

|Qαk |

∫Qαk

|f(x)| dx ≤ 2nα. Bajo la hipótesis (ii) tenemos, para

cada Qαk :

α <1

|Qαk |

Qαk

|f(x)| dx ≤ 2n‖f‖BMO + α.

Para ello recuerde que siendo Qαk un elemento de la citada descom-

posición de Q0, él proviene de subdividir un cubo Q donde se tiene

c =1

|Q|∫Q|f(x)| dx ≤ α. Luego,

1

|Qαk |

Qαk

|f(x)| dx ≤ 1

|Qαk |

Qαk

|f(x)− c| dx+ c

≤ 2n

|Q|

Q

|f(x)− c| dx+ α

≤ 2n‖f‖BMO + α.

Como es usual, asumamos ‖f‖BMO = 1 y tomemos ν = α +2n+1‖f‖BMO = α+2n+1 > α. Vía un argumento geométrico se pue-de ver que si α < ν, se puede determinar α y ν−descomposicionesde Q0 de tal modo que para cada j, existe k tal que Qν

j ⊂ Qαk .

Usando este hecho tenemos la siguiente estimativa:∑

j

|Qνj | ≤ 2−n

k

|Qαk | (+)

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Alejandro Ortiz Fernández

En efecto, sea Qνj y Qα

k tal que Qνj ⊂ Qα

k ; además,

cα =1

|Qαk |

Qαk

|f(x)| dx ≤ 2n + α < 2n+1 + α = ν

y

ν <1

|Qνj |

Qνj

|f(x)| dx

≤ 1

|Qνj |

Qνj

|f(x)− cα| dx+ cα

≤ |Qαk |

|Qνj |

(1

|Qαk |

Qαk

|f(x)− cα| dx)+ cα

≤ |Qαk |

|Qνj |‖f‖BMO + 2n + α,

esto es ν ≤ |Qαk |

|Qνj |+2n+α ó 2n+1+α ≤ |Qα

k ||Qν

j |+2n+α ó |Qν

j | ≤ 2−n|Qαk |

y sumando sobre todos los cubos de la ν−descomposición se obtiene[+]. Veamos ahora la parte final de la demostración.

Sea t =

[α− 1

2n+1

]([· · · ] parte entera). Recuerde que estamos asu-

miendo 1 = ‖f‖BMO < α. Si ν = 1 + 2n+1t se tiene 1 ≤ ν ≤ α

lo que implica (verificar) Eα ⊂ Eν ⊂(⋃

j

Qνj

)∪ Z, con |Z| = 0.

Luego, w(α) ≡ |Eα| ≤∑j

|Qνj |. La idea ahora es aplicar t veces [+]

en la última desigualdad y obtendremos

w(α) ≤ 2−nt∑

k

|Qαk | ≤ 2−nt|Q0|.

Finalmente, teniendo presente que la tesis es w(α) ≤ Ae−bα|Q0|y que ya tenemos la estimativa w(α) ≤ 2−nt|Q0|, será suficienteencontrar A y b con la condición 2−nt ≤ Ae−bα ⊙ . Tales valores

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ϕ−Espacios de Funciones

son A = 2n

2n+1 +n y b = log(2)n

2n+1 (los que son encontrados tomandologaritmo en ⊙ y por un argumento algebraico). Entonces

w(α) ≤ 2−nt|Q0| = 2n2−n(t+1)|Q0| ≤ 2n2n(1−α)

2n+1 |Q0|,desde que

t ≤ α− 1

2n+1= 2

n2n+1 +ne− log(2

n2n+1 )·α|Q0|,

lo que termina la prueba del teorema.

Los espacios BMO están relacionados a otros espacios de funciones.Así, si f ∈ BMO y 1 ≤ p <∞ entonces f ∈ Lp(Q0) pues se tiene(∫

Q0

|f(x)|p dx)1/p

≤(∫

Q0

|f(x)− fQ0 |p dx)1/p

+ |fQ0 ||Q0|1/p

=

(∫ ∞

0

w(α) dαp)1/p

+ c0

≤(Ap|Q0|

∫ ∞

0

e−bα‖f‖−1BMOαp−1 dα

)1/p

+ c0 = a0.

Así mismo se puede usar la desigualdad [∗] del Teorema 1 paraverificar que si f ∈ BMO entonces existe una constante c > 0(dependiendo de f), con c < b‖f‖−1

BMO tal que∫Qec|f(x)−fQ| dx <∞.

Por otro lado, en relación con los espacios Lp,λ, BMO es el casolímite cuando λ = n (dimensión de Rn). Así tenemos el

Teorema 4. Si λ = n, entonces Lp,λ = BMO, 1 ≤ p <∞.

Prueba. Sea f ∈ Lp,n, Q = Q(x, r), entonces

1

rn

Q

|f(x)− fQ| dx ≤ 1

rn

Q

|f(x)− fQ|p dx1/p

|Q|1/q

=rnq

rn

Q

|f(x)− fQ|p dx1/p

=

1

rn

Q

|f(x)− fQ|p dx1/p

109

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Alejandro Ortiz Fernández

lo que implica Lp,n ⊂ BMO.

Sea ahora f ∈ BMO; como 1 ≤ p < ∞ sabemos que f ∈ Lp(Q).Dado el real α > 0, sea Q = Q′ ∪Q′′ donde

Q′ = x ∈ Q/ |f(x)− fQ| ≤ αQ′′ = x ∈ Q/ |f(x)− fQ| > α

Entonces,

1

rn

Q′

|f(x)− fQ|p dx =1

rn

Q′

|f(x)− fQ|p dx+1

rn

Q′′

|f − fQ|p dx

≤ αp

rn|Q|+ 1

rn

Q′′

e|f(x)−fQ|p dx

≤ αp +k

rn|Q| = αp + k,

luego f ∈ Lp,n.

Los espacios BMO están relacionados con los espacios de HardyH1 = f ∈ L1(Rn)/ Rjf ∈ L1, j = 1, 2, · · · , n donde Rj es latransformada de Riesz (un operador integral singular) [Rjf ]

∧(x) =xj|x| f(x). En esta dirección es fundamental el teorema de dualidad

de Ch. Fefferman (H1)′ = BMO [FEF-STE], quien probó ademásque las funciones limitadas y las transformadas de Riesz de funcio-nes limitadas generan el espacio BMO. Así, f ∈ BMO sí y sólo si

f = f0 +n∑j=1

Rjfj , fj ∈ L∞, j = 0, 1, 2, · · · , n. En relación a los

operadores de tipo convolución Tf(x) =∫Rnk(x−y)f(y) dy, donde

k es un núcleo tal que existe una constante A > 0 satisfaciendo

(i) |k(x)| ≤ A, ∀x ∈ Rn;

(ii)∫|x|>2|y|

|k(x− y)− k(x)| dx ≤ A, y 6= 0.

E. Stein [STE.4] probó el:

Teorema 5. Sea k ∈ L1(Rn) satisfaciendo (i) y (ii) y T un opera-dor de tipo convolución, con núcleo k. Entonces, si f ∈ L∞ se tiene

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ϕ−Espacios de Funciones

Tf ∈ BMO. Mas explícitamente, T : L∞ → BMO es un operadorlineal acotado, esto es, existe una constante c, que depende solo deA y n, tal que ‖Tf‖BMO ≤ c‖f‖L∞.

Prueba. Sea f ∈ L∞ y asumamos (sin pérdida de generalidad) que‖f‖L∞ = sup |f(x)| ≤ 1. Sea además Q un cubo con centro en elorigen y lados paralelos a los ejes coordenados y B una esfera decentro en el origen y de diámetro doble que el deQ. Consideremos ladescomposición f = fχB + fχCB = f1+ f2. Obsérvese que f1 ∈ L2.

De esta manera Tf = k ∗ f = k ∗ f1 + k ∗ f2. Luego,

‖k ∗ f1‖L2 = ‖kf1‖L2

≤ (condición (i)) ≤ A‖f1‖L2

= A

(∫

B

|f(x)|2 dx)1/2

≤ Acn|Q|1/2

(observe la relación de las medidas de Q y B). Además, es claroque

Q

|k ∗ f1| dx ≤ (

∫|k ∗ f1|2 dx)1/2|Q|1/2 ≤ Acn|Q|.

Por otro lado la hipótesis k ∈ L1 permite considerar

cQ =

Rn

k(−y)f2(y) dy <∞

y entonces tomar la oscilación

(k ∗ f2)− cQ =

Rn

[k(x− y)− k(−y)]f2(y) dy

y∫

Q

|(k ∗ f2)− cQ| dx ≤ (considerando ‖f‖L∞ ≤ 1)

≤∫

Q

[ ∫

CB

|k(x− y)− k(−y)| dy]dx

≤ |Q|∫

|y|>2|x|

|k(x − y)− k(−y)| dy ≤ A|Q|.

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Alejandro Ortiz Fernández

Luego,

1

|Q|

Q

|Tf(x)−cQ| dx ≤ 1

|Q|

Q

|k∗f1| dx+1

|Q|

Q

|(k∗f2)−cQ| dx ≤ Acn+A

como se desea.

Es bien conocido la dificultad en la continuidad de muchos opera-dores usados en análisis cuando actuan sobre L1 ó sobre L∞. Elteorema 3 nos ilustra el significativo papel de BMO al substituirL∞ en el rango de T : L∞ → L∞. De un modo más general pa-ra operadores lineales acotados se tienen teoremas de interpolacióncomo el que sigue:

Teorema 6. Sea 1 < p <∞, y T : Lp → Lp, T : L∞ → BMO ope-radores lineales continuos. Entonces T : Lq → Lq es lineal continuopara todo q con p < q <∞.

Prueba. La idea es bajar el rango a L∞ en T : L∞ → BMO a fin deusar el teorema de Riesz-Thorin . Con tal fin usamos el operadorΛ# definido vía:

Λ#f(x) = supr>0

1

|Q|

Q

|f(t)− fQ| dt,

donde Q = Q(x, r). Definamos ahora el operador T1 vía: T1f =Λ#(Tf). Luego, si f ∈ L∞ tenemos Tf ∈ BMO y por definición

‖Tf‖BMO = supx,r

1

|Q|

Q

|Tf − (Tf)Q| dx

= supx

|Λ#Tf(x)| = ‖Λ#Tf‖L∞ = ‖T1f‖L∞

lo que significa que T1f = Λ#(Tf) ∈ L∞. De esta manera T1 :L∞ → L∞ continuamente y como Λ# : Lp → Lp es un operadorcontinuo, la hipótesis T : Lp → Lp continuamente implica que tam-bién T1 : Lp → Lp es un operador continuo. En estas condicionesel teorema de Riesz-Thorin afirma que se tiene, para todo q con

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ϕ−Espacios de Funciones

p < q < ∞, T1 : Lq → Lq es un operador continuo, ó equivalen-temente: si f ∈ Lq entonces Λ#(Tf) = T1f ∈ Lq, lo que equivaleafirmar que Tf ∈ Lq, esto es, T : Lq → Lq es un operador continuo,como se desea.

2. Espacios de Lipschitz. En la orientación de este libro, los espaciosde Lipschitz aparecen un tanto natural, en particular en su relacióncon los espacios Lp,λ y BMO. Tales espacios fueron introducidos enla década de los 30’s y han sido generalizados significativamenteen los últimos años. En la forma más simple tenemos el espacioΛα, 0 < α ≤ 1, que es la clases de las funciones limitadas f : I → R

(I intervalo limitado) tales que supx1,x2

|f(x2) − f(x1)| ≤ cδα, donde

|x2 − x1| < δ y c es una constante fija. Si f ∈ Λα se dice quef es una función de Lipschitz de orden α en I (y son tambiénfunciones uniformemente continuas). Es también usual considerarla condición

‖f‖Λα = supx

|f(x)|+ supx1,x2∈I

|f(x2)− f(x1)||x2 − x1|α

≤ c <∞,

con la cual Λα es un espacio de Banach. Estos espacios fueron am-pliados por M. H. Taibleson al introducir los espacios Λ(α; p, q)según la siguiente idea: sea f(x, t) una función definida en R

n+1+ =

(x, t)/ x ∈ R, t > 0. Como sabemos, f(x, t) es una función armó-nica en la región Ω ⊂ R

n+1+ si f(x, t) ∈ C∞(Ω) y si ∆f = 0 donde

∆ es el operador laplaciano familiar. Sea f(x) ∈ Lp(Rn), 1 ≤ p ≤∞, entonces su integral de Poisson es f(x, t) = f(x) ∗ P (x, t) =∫Rnf(x − z)P (z, t) dz donde P (x, t) = c

t

(|x|2 + t2)n+12

es el nú-

cleo de Poisson. Se verifica que f(x, t) es una función armónicay que lım f(x, t) = f(x), t → 0, en las normas Lp y c.t.p. Con-sideremos ahora al espacio Lpα, 1 ≤ p ≤ ∞, α ∈ R, que esdefinido siendo Lpα = Iα(Lp), donde Iα es el operador integral[Iαf ]∧(x) = ϕ−α(x)f(x), con ϕ una función estrictamente posi-tiva, C∞, radial y ϕ(x) = |x| fuera de la bola unitaria. Si f ∈ Lpα

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Alejandro Ortiz Fernández

existe g ∈ Lp tal que f = Iα(g). Pondremos ‖f‖Lpα = ‖g‖Lp con lacual Lpα es un espacio de Banach.

Definición 2. (Espacios de Lipschitz Λ(α; p, q)). Sean 1 ≤ p, q ≤∞, α ∈ R, α∗ el más pequeño entero no negativo mayor que α, α∗ elmás grande entero no positivo menor que α. Entonces

Λ(α; p, q) = f ∈ Lpα∗/ ‖f‖Λ(α;p,q) = ‖f‖Lpα∗ + ‖tα∗−αf (α∗)(x, t)‖∗pq <∞,

donde f(x, t) es la integral de Poisson de f(x) y

‖f(x, t)‖∗pq =

∫ 1

0‖f(x, t)‖qLp

dt

t

1/q

, si 1 ≤ q <∞,

sup0<t<1

‖f(x, t)‖Lp, si q = ∞.

Consecuencia: Λ(α;∞,∞) = Λα.

Nota 11. En la definición dada, f (k)(x, t) denota la k−ésima derivada def(x, t) respecto a t.

Espacios de Lipschitz Λ(B,X)

En esta sección vamos a estudiar unos espacios bastante amplios, losespacios de Lipschitz Λ(B,X), donde B es un espacio de Banach y X esuna red en el sentido que precisaremos luego, y que han sido estudiadospor A. P. Calderón, H. Heideman, A. Torchinsky, · · · El contexto de lapresentación está en el espíritu del estudio del grupo Att>0.

Redes de Banach

Sea X un espacio de Banach de funciones f(t) ∈ L1((0, 1]). Diremosque X es una red (de Banach) si f ∈ X y |g(t)| ≤ |f(t)| implica queg ∈ X y ‖g‖X ≤ ‖f‖X .

Ejemplo 1. X = f medible / t−α|f(t)| ∈ L∞(0, 1], 0 < α < 1 es unared (con la usual norma del supremo). Sea α un número real. Diremos

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ϕ−Espacios de Funciones

que la red X satisface la condición Aα si la aplicación sobre

Aα : X → X

g 7→ Aα(g) =∫ t0g(s)

(t

s

)αds

s

es un operador lineal continuo.

Diremos que la red X satisface la condición Bα si la aplicación sobre

Bα : X → X

g 7→ Bα(g) =∫ 1

tg(s)

(t

s

)αds

s

es un operador lineal continuo.Diremos que la red X es de tipo α si X satisface la condición Aβ

para todo β < α y la condición Bβ para todo β > α.

Dada la red X, defínase tβX = g/ t−βg ∈ X. Observemos que tβXes aún una red y que si X es de tipo α, tβX es de tipo α + β.

Ejemplo 2. El espacio Xα,p. (Heideman [HEI]). Sea α un número realfinito.

Xα,p =

g medible sobre (0, 1]/

‖g‖Xα,p =

∫ 1

0

[1

tα|g(t)|

]pdt

t

1/p

, si 1 ≤ p <∞

sup0<t≤1

1

tα|g(t)| <∞, si p = ∞.

Se verifica que Xα,p es una red de tipo α.

En general, se tienen los siguientes resultados:

a. Si X es una red de tipo α, entonces la función f(t) = tα+ǫ pertenecea X para todo ǫ > 0;

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Alejandro Ortiz Fernández

b. Si X es una red de tipo α y β es tal que α + β > 0, entonces paratodo g ∈ X se tiene

∣∣∣∣∫ 1

0

g(s)sβds

s

∣∣∣∣ ≤ c‖g‖X ;

c. (Asumamos que el dual X ′ de una red X fuera aún una red). Setiene (tαX)′ = t−αX ′. Si X es de tipo α entonces X ′ es de tipo −α.

Teorema de Representación de Calderón

El siguiente teorema será crucial en la elaboración de los espaciosΛ(B,X) y generaliza resultados clásicos de representación integral defunciones o distribuciones. En este contexto consideremos la transforma-ción Atx = tx, pero debemos enfatizar que los resultados valen aún paratransformaciones generales At (con las hipótesis correspondientes). VerA. P. Calderón [CAL.2], H. Heideman [HEI] y A. Torchinsky [TOR.2].Sea ν una medida de Borel finita de valor vectorial sobre Rn tal que paratodo x 6= 0, ν(tx) 6= 0 [ν(x) =

∫e−2πixy dν(y)]. Si u ∈ S ′ es una distribu-

ción temperada, pondremos ut(x) = u ∗ νt(x) =∫u(x− y) dνt(y) donde

para cada conjunto ν−medible A, νt(A) = ν

(A

t

).

Teorema 7. Sea ν una medida de Borel con la anterior propiedad. En-tonces existe una función test η ∈ S tal que para toda u ∈ S ′ se tie-

ne la representación u =∫∞

0ut ∗ ηt

dt

tdonde se tiene la dilatación

ηt(x) = t−nη

(xt

)y η es tal que:

(i) η(x) = 0 en una vecindad del origen y tiene soporte compacto;

(ii) Para cada vector x 6= 0, η(tx) 6= 0 como una función de t > 0.Además se tiene:

u = u ∗ ψ +

∫ 1

0

ut ∗ ηtdt

t, donde ψ ∈ S. (+)

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ϕ−Espacios de Funciones

Bosquejo de la Prueba. Sea la función gN(x) =∫ N1/N

|ν(tx)|2 dtt, en-

tonces se verifica que existen los números ǫ > 0 y N > 0 tal que|gn(x)| > ǫ para todo x tal que |x| = 1. Defínase ahora ψ ∈ C∞

0

vía ψ(x) =

0, cerca del origen y de ∞1, si 1/N ≤ |x| ≤ N≥ 0, en el complemento.

Para x 6= 0, x′ =x

|x| ,

definamos N(x′) vía [N(x′)]−1 =∫∞

0|ν(tx)|2ψ(tx) dt

t. Se verifica que

N(x′) = N(x)

en efecto, [N(x)]−1 =∫∞

0|ν(tz)|2ψ(tz) dt

t, donde x =

z

|z|ó z = |z|x, luego [N(x)]−1 =

∫∞

0|ν(t|z|x)|2ψ(t|z|x) dt

t= (llamando t1 =

t|z|, dt1 = |z| dt, dt1t1

=dt

t) =

∫∞

0|ν(t1x)|2ψ(t1x)

dt1t1

= [N(x′)]−1. Por

construcción, N(x′) ∈ C∞ sobre la superficie unitaria.Ahora se construye la función test η vía: η(x) = ν×N(x′)ψ(x) (de esta

manera η(x) es cero en una vecindad del origen y tiene soporte compactoverificando η la condición (i)). Además, para cada x 6= 0, ν(tx) 6= 0 comofunción de t > 0, lo que implica respectivamente η(tx) 6= 0 como funciónde t > 0, obteniéndose (ii). Además, η ∈ C∞

0 ⊂ S implica [η]∨ ∈ S óη ∈ S. Por otro lado, aplicando la definición de transformada de Fourier,

[ ∫ ∞

0

ut ∗ ηtdt

t

]∧=

[ ∫ ∞

0

u ∗ νt ∗ ηtdt

t

]∧

= u

∫ ∞

0

ν(tx)η(tx)dt

t

= u

∫ ∞

0

ν(tx)ν(tx)N(tx′)ψ(tx)dt

t

= u

∫ ∞

0

|ν(tx)|2N(tx′)ψ(tx)dt

t

= u

∫ ∞

0

|ν(tx)|2N(x′)ψ(tx)dt

t

= uN(x′)

∫ ∞

0

|ν(tx)|2ψ(tx) dtt

117

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Alejandro Ortiz Fernández

= uN(x′)N(x′)−1 = u.

Luego antitransformando, u =∫∞

0ut ∗ ηt

dt

t. Finalmente, u =

∫ 1

0ut ∗

ηtdt

t+

∫∞

1ut ∗ ηt

dt

t. Con el segundo sumando se tiene el siguiente

argumento:[ ∫∞

1ut ∗ ηt

dt

t

]∧= u

∫∞

1|ν(tx)|2ψ(tx)N(x′)

dt

t=(llamando ϕ(x) =

∫∞

1|ν(tx)|2ψ(tx)N(x′)

dt

ty observando que ϕ ∈ C∞

0 ) = uϕ =(definiendo

ψ = ϕ ∈ C∞0 ⊂ S y por lo tanto ψ ∈ S) = uψ = (u ∗ ψ)∧, esto es,

∫∞

0ut ∗ ηt

dt

t= u ∗ ψ, lo que prueba [+].

Definición y Propiedades de Λ(B,X).

Sea ν una medida de Borel finita de valor vectorial tal que tienesoporte compacto ó es de la forma dν = φ(x) dx, donde dx es la medidade Lebesgue y φ(x) no tiene necesariamente soporte compacto, pero paracada m ∈ Z+ existe una constante cm tal que para todo x ∈ Rn setiene |φ(x)| ≤ cm

(1 + |x|)m . Sea B un espacio de Banach de distribuciones

temperadas en el cual ‖τxu‖B ≤ c‖u‖B, donde si ψ ∈ S, 〈τxu, ψ〉 =〈u, ψ(· − x)〉. Sea X una red de Banach de tipo α, α > 0. Por definición:

Λ(B,X)ν = u ∈ B/ ‖u ∗ νt‖B ∈ X.

Observemos que:

(a) Λ(B,X)ν ⊂ B;

(b) si u ∈ B y ν es como arriba, u ∗ νt ∈ B. Además, la definiciónexige que ‖u ∗ νt‖B ∈ X y de esta manera tiene sentido considerar‖‖u ∗ νt‖B‖X . Por esta razón convendremos en decir que u ∗ νt ∈X(B). Así equivalentemente diremos que

Λ(B,X)ν = u ∈ B/ u ∗ νt ∈ X(B);

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ϕ−Espacios de Funciones

(c) si u ∈ B y ν es una medida, sabemos por definición que (u∗νt)(x) =∫τyu dνt(y) =

∫u(x− y) dνt(y) y así nuevamente

Λ(B,X)ν = u ∈ B/

∫τyu dνt(y) ∈ X(B).

(d) Poniendo Λ(B,X)ν ≡ Λα ≡ Λν consideraremos en este espacio lanorma ‖u‖Λ(B,X)ν = ‖u‖B + ‖u ∗ νt‖X(B); con ella Λ(B,X) es unespacio de Banach.

(e) si X es la red (de tipo α) Xα,q, B = Lp(Rn) y Atx = tx entonces seobtienen los espacios estudiados por Taibleson, esto es Λ(B,X)ν =Λ(α; p, q).

(f) Λ(B,X)ν es invariante con respecto a la medida ν (luego podemosomitir el subíndice ν en la escritura del espacio); para verificaresta afirmación se introduce una cierta función S definida sobreB ⊕ X(B) y con valores en Λ(B, tβX)ν = Λα+β. Así se tienen losdos siguientes teoremas fundamentales debidos a A. P. Calderón.

Teorema 8. Sean la medida ν y los espacios B y X como antes. Sea k talque 0 < α < k + 1; asumamos que

∫xβ dν(x) = 0 para todos los enteros

no-negativos β = (b1, · · · , bn) tales que |β| = b1 + · · · + bn ≤ k. Seanu ∈ B y F ∈ X(B) y consideremos las funciones test ψ y η. Entonces laaplicación

S : B ⊕X(B) → Λ(B, tβX)ν = Λα+β

(u, F ) 7→ v = S(u, F ) = u ∗ ψ +∫ 1

0F ∗ ηt

dt

t1−β

es bien definida cuando 0 < α + β < k + 1. Además S es continua.

Nota 12. No probaremos este teorema pero observemos que la tesis sig-nifica que S(u, F ) = v ∈ Λα+β lo que equivale a decir que v ∈ B y que‖v ∗ νs‖B ∈ sβX ; S continua, y

‖v‖α+β ≤ c‖(u, F )‖B⊕X(B) = c(‖u‖B + ‖F‖X(B)).

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Alejandro Ortiz Fernández

Corolario 2. Sea ν la medida del teorema con la propiedad adicional:para cada x 6= 0, ν(tx) 6≡ 0 como una función de t > 0. Entonces los ψy η del teorema pueden ser escogidos de forma que para β = 0 se tenga

que S(u, F ) = u∗ψ+∫ 1

0F ∗ηt

dt

tsea una proyección de B⊕X(B) sobre

Λ(B,X)ν.

Prueba. Tomemos ψ y η como en el Teorema 7. Luego para u ∈ Λα setiene que u ∈ B y así u ∈ S ′. Por otro lado, ut = u ∗ νt ∈ X(B), luegoaplicando el Teorema 7 tenemos

u = u ∗ ψ +

∫ 1

0

ut ∗ ηtdt

t= S(u, ut).

Teorema 9. Sean ν y µ dos medidas diferentes, como en el Teorema 8,tales que para x 6= 0, ν(tx) 6= 0, µ(tx) 6= 0 como funciones de t > 0. SeanB un espacio de Banach y X una red de Banach como hemos asumidoarriba. Entonces Λ(B,X)ν = Λ(B,X)µ algebraica y topologicamente.

Prueba. Sea u ∈ Λν entonces por el Corolario 2, S(u, ut) = S(u, u ∗ νt) =u, pero S(u, ut) ∈ Λµ, de donde Λν ⊂ Λµ. Además, ‖u‖µ = ‖S(u, ut)‖µ ≤c(‖u‖B + ‖ut‖X(B)) = c‖u‖ν . En forma similar se prueba que Λµ ⊂ Λν yque ‖u‖ν ≤ c‖u‖µ.

El Operador Integral Fraccional T β

Desde la época de Riemann, Liouville, · · · han sido consideradas cier-tas integrales tipo convolución, llamadas integrales fraccionarias, y quehan sido (y son) significativas en el desarrollo del análisis matemático.Clásicamente una tal integral es de la forma F α(x) =

∫ xaf(t)g(x− t) dt,

donde f es una función integrable en el intervalo (a, b) y g(u) =uα−1

(α− 1)!para u ≥ 0, g(u) = 0 en el complemento, α = 2, 3, · · · Esta definicióntiene algunas limitaciones (así, en la teoría de series trigonométricas,importante teoría del análisis real, F α no hereda, en general, la perio-dicidad de f) y fue objeto de posteriores definiciones que superan tales

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ϕ−Espacios de Funciones

dificultades. En la década de los 60’s fueron considerados ciertos opera-dores siguiendo las ideas clásicas de tales integrales. En la dirección delos espacios de Lipschitz de Taibleson Λ(α; p, q) consideremos al núcleoGα(x) = (1 + 4π2|x|2)−α/2, α ∈ R. Se define al operador integral fraccio-nal Jαf = Gα ∗ f, esto es, [Jαf ]∧(x) = (1 + 4π2|x|2)−α/2f(x). Se tieneel siguiente resultado central: “si β > 0, α > 0, 1 ≤ p, q ≤ ∞, enton-ces Jβ : Λ(α; p, q) → Λ(α + β; p, q) es un isomorfismo sobre”. Siguiendolas mismas ideas se introduce el operador integral fraccional T β definidosobre los espacios de Lipschitz Λ(B,X), el mismo que tiene propiedadesanálogas a Jβ.

Si u ∈ Λα ≡ Λ(B,X) definimos el operador integral fraccional T β vía:

T βu = u ∗ ψ +

∫ 1

0

ut ∗ ηtdt

t1−β,

donde ψ y η son funciones en S. Desde que si α + β > 0 se tiene u ∗ψ +

∫ 1

0ut ∗ ηt

dt

t1−β∈ Λα+β vemos que T β : Λα → Λα+β es un operador

continuo.En forma similar, si w ∈ Λα+β se construye el operador T−β : Λα+β →

Λα vía:

T−βw = u ∗ ψ +

∫ 1

0

wt ∗ φtdt

t1+β,

donde φ es una función test a ser precisada. Así se tiene el

Teorema 10. Las funciones test ψ y η en la fórmula para T βu pueden serescogidos de manera tal que el operador T β sea continuo y sobre. Ademásse puede construir un operador integral fraccional T−β : Λα+β → Λαcontinuo y sobre , tal que T β y T−β son inversos uno del otro.

Bosquejo de la Prueba. Sea ψ la función del Teorema 7; defina Nβ(x)

vía [Nβ(x)]−1 =∫∞

0|ν(tx)|2ψ(tx) dt

t1−β. Se verifica que Nβ(x) es homo-

génea de grado β. En forma análoga se define N−β(x) siendo

[N−β(x)]−1 =

∫ ∞

0

|ν(tx)|2ψ(tx) dt

t1+β,

121

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Alejandro Ortiz Fernández

siendo en este caso N−β(x) una función homogénea de grado −β. Ahorase construyen las funciones Ψ(x) y Φ(x) vía:

Ψ(x)∧ = ν(x)ψ(x)Nβ(x′)

Φ(x)∧ = ν(x)ψ(x)N−β(x′).

De esta manera Ψ e Φ ∈ S luego Ψ y Φ ∈ S; así mismo Ψ y Φ se anulanen una vecindad del origen. Ahora consideremos los siguientes operadorespara u ∈ Λα,

Sβu =

∫ ∞

0

ut ∗Ψtdt

t1−β= (se verifica)

= u ∗Ψ+

∫ 1

0

ut ∗Ψtdt

t1−β, Ψ ∈ S;

para w ∈ Λα+β,

S−βw =

∫ ∞

0

wt ∗ Φtdt

t1+β= (se verifica)

= w ∗ Φ +

∫ 1

0

wt ∗ Φtdt

t1+β, Φ ∈ S.

Se prueba a continuación que [S−β(Sβu)]∧ = u y por lo tanto S−β(Sβu) ≡u. En forma análoga se verifica que Sβ(S−βw) = w. De ello se concluyeque Sβ y S−β son inversas una de la otra. Finalmente, T β es definidosiendo Sβ y T−β siendo S−β

Dualidad

Sea X una red de Banach de tipo α real y B un espacio de Banach⊂ S ′ tal que ‖τxu‖B ≤ c‖u‖B; sea además S ⊂ B. Recordemos que X(B)es el espacio de Banach de fuciones B−valoradas con normas en X. SeaX ′(B′) el espacio dual de X(B). Si F ∈ X ′(B′) y G ∈ X(B) se tiene la

acción 〈F,G〉 =∫ 1

0〈F (·, t), G(·, t)〉dt

t.

122

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ϕ−Espacios de Funciones

Ejemplo 3. Sea X = Xα,q, 1 < q < ∞, B = Lp(Rn), 1 ≤ p < ∞. Setiene

X(B) = F (t) ∈ Lp(Rn)/ ‖F (t)‖Lp ∈ Xα,q

= F (t) ∈ Lp/

[ ∫ 1

0

(1

tα‖F (t)‖Lp

)qdt

t

]1/q<∞.

Por otro lado, B′ = Lp′,1

p+

1

p′= 1; además

(Xα,q)′ = (tαLq(Rn))′ = X−α,q′;

de esta manera

X ′(B′) = f(t) ∈ Lp′

/

[ ∫ 1

0

(1

t−α‖f(t)‖Lp′

)q′dt

t

]1/q′<∞.

Se verifica que [X(B)]′ = X ′(B′).

Lema 4. Sea X una red de tipo α. Entonces

T β : Λ′α ≡ Λ(B,X)′ → Λ′

α−β ≡ Λ(B, t−βX)′

es un operador continuo y sobre.

Prueba. Sea v ∈ Λ′α y u ∈ Λα−β; tenemos |〈T βv, u〉| = |〈v, T βu〉| donde

T βu ∈ Λα. Luego, |〈T βv, u〉| = |〈v, T βu〉| ≤ ‖v‖′α‖T βu‖α ≤ ‖v‖′αc‖u‖α−β.Así,

‖T βv‖′α−β ≤ c‖v‖′.

Terminamos esta sección enunciando el fundamental resultado sobrela dualidad de los espacios de Lipschitz Λ(B,X).

Teorema 11. Sea B un espacio de Banach ⊂ S ′ y X una red de Banach.Entonces [Λ(B,X)]′ = Λ(B′, X ′).

123

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Alejandro Ortiz Fernández

Λα

Λα−β

u

Λ′α

T β T βvv

Λ′α−β

Figura 3:

B. Espacios Lp,λ. (continuación · · · )Recordemos la definición de Lp,λ, 1 ≤ p <∞, 0 ≤ λ ≤ n + p,

Lp,λ =

f ∈ Lp(B)/ [f ]Lp,λ = sup

B

1

B

|f(x)− cB|p dx1/p

≤M <∞

([[+]])

donde B es la bola B(x, r).

Vamos a ver algunas generalizaciones que ha sufrido esta definición(Peetre [PEE]):

(i) Sea ϕ(t) una función positiva, no decreciente y definida sobreR+. Entonces el espacio Lp,ϕ es definido por la condición

[f ]Lp,ϕ = supB

1

ϕ(r)

B

|f(x)− cB|p dx1/p

<∞,

y si ϕ(t) = tλ se recupera Lp,λ. Así mismo podríamos conside-rar la condición

[f ]Lp,λϕ = supB

1

ϕ(r)

1

B

|f(x)− cB|p dx1/p

<∞

y obtenerse Lp,λ cuando ϕ ≡ 1. Espacios de este tipo fueronconsiderados por S. Spanne (1965), S. Janson (1976) y por J.A. Ortiz.

124

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ϕ−Espacios de Funciones

(ii) ¿Cómo es la constante cB en [[+]]?; hemos visto que una forma

natural es tomar el promedio fB =1

|B|∫Bf(x) dx.

¿Por qué no tomar un polinomio de un modo más general? Es-to es factible y fue considerado por S. Stampacchia, S. Spanney posteriormente por J. Berman. Así, si p(x) = a0 + a1x +a2x

2 + · · ·+ aN−1xN−1 es un polinomio de grado < N , la con-

dición [[+]] será

supB

1

B

|f(x)− p(x)|p dx1/p

<∞,

con 0 ≤ λ ≤ n + pN. Si a1 = · · · = aN−1 = 0, se tiene el casodefinido antes. Para el caso BMO una tal caracterización fuedada por Berman.

(iii) G. Stampacchia (1965) consideró los espacios Lp,λq donde lacondición [[+]] es ahora

∫ ∞

0

[supB

ınfcB

1

B

|f(x)− cB|p dx]q/p

dr

r<∞.

(iv) Considerando la topología de Rn, mas concretamente si en vezde la métrica usual se consideran métricas más generales, setendrán espacios Lp,λ un tanto más abstractos. Por ejemplo,si se considera la métrica

d(x, y) =

( n∑

i=1

|xi − yi|αi) 1

a

, αi ≥ 1

y a = maxαi, se obtienen ciertos espacios estudiados por S.Campanato (1966).

(v) Otros espacios, útiles en ecuaciones en derivadas parciales,son los tipos Sobolev W p,q que exigen f ∈ Lp,λ así como susrespectivos gradientes.

125

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Alejandro Ortiz Fernández

En realidad se pueden introducir varios otros tipos de espacios, es-tando todos ellos motivados por las aplicaciones a problemas con-cretos. En este sentido habría que resaltar la labor pionera de G.Stampacchia, S. Campanato, · · ·

a. Relación entre Lp,λ y Λα

Entre los distintos espacios de funciones que venimos estudiandoexisten ciertas interesantes relaciones. Así, N. G. Meyers (1964)estableció la siguiente relación entre BMO y Λα (relación que tam-bién había sido estudiada por Campanato un poco más antes):“sea f ∈ L1(B0) y asumamos la existencia de una función no-decreciente ϕ(t) tal que 1

rn+α

∫B|f(x) − fB| dx ≤ ϕ(r), para toda

B = B(x, r) ⊂ B0, 0 < α ≤ 1. Entonces se tiene

supx,y∈B0

|f(x)− f(y)||x− y|α ≤M0ϕ(r),

donde M0 es una constante que depende solo de n y α”.

Observemos que si ϕ(t) es constante entonces f ∈ Λα. En otraspalabras, una pequeña perturbación en el exponente de rn, nospermite pasar de BMO a Λα. Detalles de la prueba de este teoremapueden ser encontrados en [ORT.5]. De un modo más general setiene: “si en Lp,λ se tiene el rango n < λ ≤ n+p, entonces Lp,λ ≃ Λα

con α =λ− n

p”. En efecto: si f ∈ Λα,

1

B

|f(x)− fB|p dx =1

B

1

rλp

∣∣∣∣∫

B

|f(x)− f(y)| dy∣∣∣∣p

dx

≤ c

B

1

rλp

∣∣∣∣∫

B

|x− y|α dy∣∣∣∣p

dx

≤ 2c

B

|rn|p dx

=2crαprn

rλ= (considerando α =

λ− n

p) = 2c.

Como además f ∈ Lp(B), se tendrá f ∈ Lp,λ.

126

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ϕ−Espacios de Funciones

Recíprocamente, sea f ∈ Lp,λ. Para concluir que f ∈ Λα vamosa usar el teorema de Meyers; para llegar a su hipótesis (con ϕ(t)

constante) observemos que f ∈ L1(B), 0 < α =λ− n

p≤ 1. En-

tonces,

1

rn+α

B

|f(x)− fB| dx ≤ 1

rn+α

(∫

B

|f(x)− fB|p dx)1/p

rn(1−1p)

≤(

1

rn+αp

B

|f(x)− fB|p dx)1/p

≤ supB

(1

B

|f(x)− fB|p dx)1/p

≤ M0 <∞,

luego f ∈ Λα. Debe observarse la equivalencia de las normas‖f‖Lp,λ y ‖f‖Λα.

b. Dualidad del Espacio de Hardy Hp, 0 < p ≤ 1.

El gráfico nos ilustra la relación entre Lp,λ y los clásicos espaciosde Morrey Lp,λ, BMO y los Lipschitz Λα. En esta sección vamos aconsiderar la relación con otra clase importante de espacio de fun-ciones, los espacios de Hardy Hp, 0 < p ≤ 1. La teoría clásica detales espacios es un episodio interesante en la evolución del análi-sis armónico, que se remonta a los trabajos de Fourier, Riemann,M. Riesz, y sobre todo a las contribuciones de Hardy, Littlewood,Paley, Zygmund, · · ·

0 ≤ λ < n λ = n n < λ ≤ n+ p

Lp,λ BMO Λα

Lp,λ−espacios

127

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Alejandro Ortiz Fernández

El fundamental trabajo de Ch. Fefferman-E. Stein (1972) [FEF-STE] inició un camino para extender la teoría clásica de los es-pacios de Hardy, así como resaltar la importancia de los espaciosBMO. Muchas otras contribuciones han sido hechas a partir detal trabajo, de las que debemos mencionar la introducción de laidea de átomo por R. Coifman-G. Weiss (1974) [COI-WEI], la quesirve para caracterizar a los espacios Hp, así como obtener extensio-nes de resultados fundamentales. Desde el punto de vista del grupoAtt>0 se tiene el trabajo de A. P. Calderón-A. Torchinsky (1975),(1977) [CAL-TOR.1], [CAL-TOR.2] en donde varios capítulos delanálisis armónico son estudiados en el contexto de la norma pa-rabólica. Por otro lado el estudio de los espacios de Hardy sobreespacios de tipo homogéneo fue también iniciado en los años 1970’s;ver R. Coifman-G. Weiss (1977) [COI-WEI] para una excelente ex-posición de la teoría. Debemos enfatizar que este tipo de análisisha sido orientado en distintas direcciones (análisis complejo, teoríade probabilidades, variedades diferenciales, . . .) así como usado enproblemas concretos (problemas en ecuaciones diferenciales parcia-les). Así las motivaciones para su estudio es claro; esta publicaciónresponde a un inicio en tal programa.

El Teorema de la Dualidad

En esta sección vamos a probar el siguiente

Teorema 12.

“(Hp)′ =

Λα, si 0 < p < 1 y α =1

p− 1

BMO, si p = 1”.

Este teorema es probado, para espacios de tipo homogéneo, enCoifman-Weiss [COI-WEI]; muchas ideas y resultados en tal di-rección es dado en el interesante trabajo [MAC], (1975) de RobertoMacías. Nosotros seguiremos sus ideas en el caso particular del es-pacio homogéneo Rn. Comenzamos fijando las definiciones previas.

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ϕ−Espacios de Funciones

Idea de Átomo

Sean 0 < p < q, p ≤ 1 ≤ q ≤ ∞. Diremos que la función a(x) esun (p, q)−átomo (ó simplemente un átomo) si:

(i) el soporte de a(x) está contenido en una esfera B(x0, r);

(ii)

1

rn∫|a(x)|q dx

1/q

≤ r−n/q

(iii)∫a(x) dx = 0.

El contenido de esta idea está sumergido en una serie de conside-raciones de la teoría clásica de las integrales singulares; su valor,aparte del aspecto estético, está en el gran poder de simplificaciónen las pruebas de resultados fundamentales del análisis. Obsérveseque si a(x) es un (p, q)−átomo entonces a ∈ L1(Rn) y podemosasumir que ‖f‖Lp(Rn) = 1.

Recordemos que el espacio de Lipschitz Λα, 0 < α ≤ 1, es el espaciode las funciones f (Lipschitz continuas) definidas sobre Rn tales que|f(x)−f(y)| ≤ c|x−y|α ⊙, donde consideramos (equivalentementea lo dicho antes) ‖f‖Λα = ınfc/ c verifica ⊙. En realidad Λαconsiste de clases de equivalencia de tales funciones, donde f1 ∼ f2si f1−f2 = constante. Con tal norma, Λα es un espacio de Banach.(Ver [MAC]).

Observemos que si a(x) es un (p, q)−átomo, 0 < p < 1 y α =1

p−1,

entonces la aplicación Λα → Rn, f 7→∫Rna(x)f(x) dx, es lineal,

continua, con norma ≤ 1.

En efecto,∣∣∣∣∫a(x)f(x) dx

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫

B(x0,r)

a(x)f(x) dx

∣∣∣∣

≤∫

B(x0,r)

|a(x)| |f(x)− f(x0)| dx

≤ ‖f‖Λα∫

B(x0,r)

|a(x)| |x− x0|α dx

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Alejandro Ortiz Fernández

≤ ‖f‖Λαrαrnr−n/p ≤ ‖f‖Λαrnαrn(1−1/p) ≤ ‖f‖Λα.

Sea Λ′α el espacio dual de Λα, con α =

1

p− 1. Sea 0 < p < 1 ≤ q.

Entonces se define los espacios de Hardy Hp,q; [MAC], [COI-WEI]:

Hp,q =

g ∈ Λ′

α/ g =

∞∑

j=0

λjaj , donde aj es (p, q)− átomo y∑

|λj |p <∞.

g =∑λjaj es llamada una descomposición atómica de g. Ade-

más la condición∑ |λj|p < ∞ permite garantizar la convergencia

de la serie∑λjaj en la norma de Λ′

α. Como tal descomposición

no es única, es natural que se ponga |g|Hp,q = ınf

∞∑0

|λj|p/ g =

∑λjaj

con el precio de que, no siendo | |Hp,q homogénea si

p < 1, ella no sea una norma pero si induce una métrica (d(g, h) =|g − h|Hp,q). Obsérvese que si p = 1, entonces | |Hp,q es una normay con ella H1,q es un espacio de Banach; en este caso ‖∑λjaj‖L1 ≤∑ |λj| ‖aj‖L1 (considerando, como es usual, ‖aj‖L1 = 1) =

∑ |λj| <∞, es decir, las descomposiciones

∑λjaj son convergentes en el es-

pacio L1(Rn), ó en otras palabras, g =∑λjaj es una bien definida

L1−función.

Consecuencia: si p < q1 ≤ q2 ≤ ∞ entonces

Hp,∞ ⊂ Hp,q2 ⊂ Hp,q1.

En efecto, basta ver que si a(x) es un (p, q2)−átomo, también es(p, q1)−átomo, lo que sigue observándose que

1

rn

∫|a(x)|q1 dx

1/q1

1

rn

∫|a(x)|q2 dx

1/q2

.

Un hecho esencial es que también se tienen las inclusiones inversas;así se tiene el siguiente resultado de R. Macías [MAC]:

130

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ϕ−Espacios de Funciones

Teorema 13. Si p < q, p ≤ 1 ≤ q entonces Hp,q = Hp,∞; ade-más se tiene las equivalencias de las topologías inducidas por lasrespectivas métricas.

Esta propiedad es importante para redefinirse los espacios de Hardy.Así:

Definición 3. Si 0 < p ≤ 1, Hp ≡ Hp(Rn) es cualquiera de losespacios Hp,q con 1 ≤ q, p < q ≤ ∞.

Dado que sobre Rn se tiene la teoría de la transformada de Fourier,es claro que de tales elecciones pueda escogerse el caso q = 2 (obsér-vese que los (p, 2)−átomos son elementos de L2(Rn)) y ya sabemosla utilidad y estética de tales espacios. Esta es la definición de Hp

que consideramos en el Teorema 12. Comenzamos con el

Caso p = 1.Sea 1 < q <∞ y definamos (recordando . . .)

BMOq =

f ∈ Lq(B)/ ‖f‖BMOq

= supB

(1

|B|

B

|f(x)−fB|q dx)1/q

≤M <∞.

El teorema de John-Nirenberg (Teorema 7) permite establecer laequivalencia topológica de BMOq y BMO ya que existe una cons-tante a > 0 tal que ‖f‖BMOq ≤ a‖f‖qBMO ≤ a‖f‖BMOq . Así en elargumento que sigue usaremos BMOq, lo que equivale a probar latesis del teorema.

Prueba de (H1)′ = BMO.

(a) BMOq ⊂ (H1,q′)′ donde 1 ≤ q < ∞,1

q+

1

q′= 1 (y por tanto

1 < q′ ≤ ∞).

En general se trata de construir una correspondencia (biuní-voca) entre BMOq y (H1,q′)′. En esta oportunidad, dado b ∈BMOq se trata de construir una funcional lineal continua Lbsobre H1,q′.

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Alejandro Ortiz Fernández

Sea f ∈ H1,q′ con descomposición atómica f =∑λjaj donde

aj es un (1, q′)−átomo, con soporte en la bola Bj , y tal que∑ |λj| < ∞. Entonces tenemos (recordando la definición deátomo):

H1,q′

f

(H1,q′)′

b

BMOq

∣∣∣∣∫f(x)b(x) dx

∣∣∣∣ =∣∣∣∣∫ ∑

λjaj(x)b(x) dx

∣∣∣∣

=∑

|λj |∣∣∣∣∫aj(x)b(x) dx

∣∣∣∣

=∑

|λj |∫

|aj(x)| |b(x)− bBj| dx

≤∑

|λj |(∫

|aj(x)|q′

dx

)1/q′

·(∫

Bj

|b(x)− bBj|q dx

)1/q

≤∑

|λj |

1

|Bj |

Bj

|b(x)− bBj|q dx

1/q

≤ ‖f‖H1,q′ ‖b‖BMOq;

es decir, definiendo Lbf =∫f(x)b(x) dx se tiene |Lbf | ≤

‖f‖H1,q′‖b‖BMOq , de donde ‖Lb‖ ≤ ‖b‖BMOq .

(b) (H1,q′)′ ⊂ BMOq.

Sea L ∈ (H1,q′)′, esto es, L es una funcional lineal continuasobre H1,q′ (recuerde que la topología en H1,q′ es dada por lanorma ‖g‖H1,q′ = ınf∑ |λj|/ g =

∑λjaj; en (H1,q′)′ consi-

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ϕ−Espacios de Funciones

deramos la usual topología). Sea el espacio

Lq′

0 (B) = g ∈ Lq′

(B)/

B

g(x) dx = 0, supp g ⊂ B,

donde B = B(x, r) es una bola en Rn. Si g ∈ Lq

0 (B) definamos

a(x) =g(x)

rnq ‖f‖Lq′(B)

. Entonces a(x) es un (1, q′)−átomo con

soporte en B. En efecto,

(i) sopp a(x) ⊂ B ya que sopp g(x) ⊂ B;

(ii) si q′ <∞,

1

rn

B

|a(x)|q′ dx 1

q′

=

1

rn

B

|g(x)|q′

rnq′

q ‖g‖q′Lq′(B)

dx

1q′

=1

rn( 1q+ 1q′)‖g‖Lq′

B

|g|q′ dx 1

q′

= r−n.

Si q′ = ∞ (⇒ q = 1) se tiene

‖a‖L∞ = supx∈B

|a(x)| = supx∈B

|g(x)|rnq ‖g‖L∞(B)

= r−n.

(iii)∫Ba(x) dx =

1

rnq ‖g‖Lq′(B)

∫Bg(x) dx = 0.

Luego, g(x) = a(x)rnq ‖g‖Lq′(B) implica (recordar que H1,q′ es

un espacio normado) ‖g‖H1,q′ = rnq ‖g‖Lq′ ‖a‖H1,q′ ≤ (ya que

a =∑

1a, ‖a‖H1,q = ınf1 ≤ 1) ≤ rnq ‖g‖Lq′(B). Por lo tanto,

|L g| ≤ ‖L‖ ‖g‖H1,q′ ≤ ‖L‖r nq ‖g‖Lq′(B), y L es una funcional

lineal continua sobre Lq′

0 (B). Ahora vamos a usar el teorema derepresentación de Riesz para lo que remarcamos que podemoselegir q′ <∞ por el teorema 13; entonces se tiene que existe un(único) f ∈ Lq(B) tal que Lg(x) =

∫Bg(x)f(x) dx para todo

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Alejandro Ortiz Fernández

g ∈ Lq′

0 (B). Remarcamos que la función f(x) es única a menosde una constante, esto es, si Lg =

∫gf dx = 0, ∀ g ∈ Lq

0 (B)entonces f es una constante. En efecto, sea h ∈ Lq

′(B),

entonces∫

B

[h(x)− hB] dx =

B

h(x) dx−∫

B

h(x) dx = 0,

luego h(x)− hB ∈ Lq′

0 (B) y

0 =

B

f(x)(h(x)− hB) dx

=

B

f(x)h(x) dx− 1

|B|

B

f(x) dx ·∫

B

h(x) dx

=

B

h(x)[f(x)− fB] dx, ∀ h ∈ Lq′

(B),

por lo tanto f(x) = fB a.e. para todo x ∈ B.Sea ahora Bj∞j=1 una sucesión creciente de bolas (digamosde radio 2j) convergiendo a Rn. Para cada Bj tenemos fj ∈Lq(Bj) tal que Lg =

∫Bjgfj dx. Así podemos construir la

función f (localmente integrable) tal que sobre Bj coincide confj y que verifica tal igualdad. Sea B = B(x, r) una cualquierbola Bj y a(x) un (1, q′)−átomo con soporte en B. Entoncestenemos∣∣∣∣

B

[f(x)− fB]a(x) dx

∣∣∣∣ =∣∣∣∣∫

B

fa dx

∣∣∣∣ = |La| ≤ ‖L‖ ‖a‖ ≤ ‖L‖. (⊙)

Sea sopp(g) ⊂ B con ‖g‖Lq′ = 1, entonces en forma si-

milar a lo hecho antes, vemos que a(x) =g(x)− gB

2rnq

es un

(1, q′)−átomo; así mismo observando que (f − fB)B = 0, setiene

∣∣∣∣1

rn/q

B

g(x)[f(x) − fB] dx

∣∣∣∣ =∣∣∣∣

1

rn/q

B

[2a(x)rn/q + gB][f(x)− fB] dx

∣∣∣∣

≤∣∣∣∣gBrn/q

B

[f(x) − fB] dx

∣∣∣∣ + 2

∣∣∣∣∫

B

a(x)[f(x) − fB] dx

∣∣∣∣⊙≤ 2‖L‖

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ϕ−Espacios de Funciones

Mirando extremos, tomando supremo para todo g con soporte

en B y ‖g‖Lq′ = 1, se obtiene

1

|B|∫B|f(x)− fB|q dx

1/q

≤2‖L‖ luego f ∈ BMOq y ‖f‖BMOq ≤ 2‖L‖. En síntesis, dadoL ∈ (H1,q′)′ se ha determinado f ∈ BMOq vía Lg =

∫gf dx,

lo que prueba la tesis. Así mismo se observa la equivalencia delas normas ‖f‖BMO y ‖L‖.

Caso p < 1.

Prueba de (Hp)′ = Λα.

• Λα ⊂ (Hp)′

Dado 0 < p < 1, sea α =1

p−1; sabemos que Hp ≡ Hp,q′ ⊂ Λ′

α.

Tomemos por conveniencia q′ = 1. La idea es dado f ∈ Λαconstruir (asociar) una funcional lineal continua Lf sobreHp,1.En efecto, si g ∈ Hp,1 y g =

∑λjaj es su descomposición

atómica en (p, 1)−átomos, se tiene

|〈g, f〉| =

∣∣∣∣∫g(x)f(x)

∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∑

λj

∫aj(x)f(x) dx

∣∣∣∣ (ya sabemos)

≤ ‖f‖Λα∑

|λj|≤ ‖f‖Λα(

∑|λj|p)1/p;

es decir, |Lfg| ≤ ‖f‖Λα|g|1/pHp,1 y ‖Lf‖ ≤ ‖f‖Λα.Nota 13. En Hp,1 estamos considerando, para p < 1, la “nor-ma” | |1/pHp,1 con la cual se compatibiliza el hecho de ser Lfcontinua sobre Hp,1 (recordemos que | |Hp,q no es una normay por lo tanto si L es lineal continua sobre Hp,q no es verdadque |〈L, g〉| ≤ c|g|Hp,q).

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Alejandro Ortiz Fernández

Λα

Hp = Hp,1

Λ′α

f

Lf

R

• (Hp)′ ⊂ Λα

Sea L ∈ (Hp,1)′, esto es, |Lg| ≤ ‖L‖ ‖g‖1/pHp,1. Luego (porRiesz) existe f ∈ L∞(B) tal que La =

∫f(x)a(x) dx para

cada (p, 1)−átomo a(x) con soporte en B, donde B = B(x, r)es una bola en Rn. Sea g una función con soporte en B con

‖g‖L1 = 1. En forma usual se verifica que a(x) =g(x)− gB

2rnp−n

es un (p, 1)−átomo. Luego,

‖L‖ ≥ |La|

=

∣∣∣∣∫

B

f(x)a(x) dx

∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∫

B

[f(x)− fB]a(x) dx

∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∫

B

[f(x)− fB]

[g(x)− gB

2rnp−n

]dx

∣∣∣∣

=

∣∣∣∣1

2rnp−n

B

[f(x)− fB]g(x) dx− gB

2rnp−n

B

[f(x) − fB] dx

∣∣∣∣

=

∣∣∣∣1

2rnp−n

B

[f(x)− fB]g(x) dx

∣∣∣∣,

esto es |∫B[f(x)−fB]g(x) dx| ≤ 2rnα‖L‖ ó tomando el supre-

mo sobre todo tal g, supx∈B

|f(x)−fB| ≤ 2rnα‖L‖, de donde con-

siderando que fB =1

rn∫Bf(y) dy, obtenemos |f(x)− f(y)| ≤

4‖L‖rnα que podemos asumir como la condición que defina Λα,de donde ‖f‖Λα ≤ 4‖L‖ (∗). Así, dado L ∈ (Hp,1)′

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ϕ−Espacios de Funciones

existe g ∈ Λα satisfaciendo (∗). Por tanto queda probado elteorema 12.

Nota 14. El problema de la descomposición atómica de elementosde los espacios de Hardy Hp (u otros espacios de funciones) es derelativa reciente investigación. Obsérvese que en el contexto usa-do por Macías [MAC], la construcción de Hp da implícitamente taldescomposición. El punto de partida es el trabajo de Coifman [COI](1974), quien construye una representación explícita para elementosdeHp, 0 < p ≤ 1, en la recta. Sobre esta base, el problema de duali-dad (resuelto originalmente por Ch. Fefferman) encuentra una equi-valencia en tal representación. Bajo ciertas condiciones topológicas(descomposición de tipo Whitney para dominios en Rn, n ≥ 1)Latter (1977) obtiene la descomposición para elementos en Hp(Rn)y como corolario obtiene el teorema de dualidad (Teorema 12). Pa-ra el caso de los Hp−parabólicos (esto es, asociado al grupo At),A. P. Calderón (1977) obtuvo la descomposición respectiva parael caso en que P es una matriz diagonalizable; el caso general fueresuelto por Gatto (1978), y con un diferente argumento por Latter-Uchimaya, quienes también obtienen el teorema de la dualidad. Esoportuno remarcar que en el caso parabólico, resultados sobre dua-lidad fueron también obtenidos por Calderón-Torchinsky, quienesobtuvieron una caracterización de (Hp)′, 0 < p < 1. La idea de ladescomposición, asociada con la dualidad, han sido llevados a otroscontextos del análisis real o complejo y es un tema de pesquisa.

137

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IV

ESPACIOS DE FUNCIONES ARMÓNICAS

a

EL Problema de DirichletComo sabemos, la introducción de los diferentes espacios de funciones,

que hemos presentado anteriormente, fueron motivados por investigacio-nes por ciertos problemas surgidos en la física-matemática y en otrossectores de la ciencia los que condujeron a la solución de ecuaciones enderivadas parciales donde las soluciones están sujetas a satisfacer ciertascondiciones de contorno o de valor inicial (o a ambas condiciones). Elsurgimiento del análisis funcional a mediados del siglo pasado permitióla construcción de adecuados espacios de funciones, como fueron en susinicios los espacios de Lebesgue L2(R) (es un espacio de Hilbert!); y engeneral los espacios de Banach LP (Rn), 1 ≤ p ≤ ∞, siendo L1 y L∞ es-pacios en tanto especiales. Esta característica del análisis moderno se pre-senta hasta la actualidad en que existen muchísimos espacios de funcionescon sus propias estructuras algebraicas y topológicas, y que han mere-cido se escriban libros sobre “espacios de funciones”, como el elaboradopor Hans Triebel cuya primera versión simplificada aparecen en [TRI.1] y[TRI.2]. Ver su reciente libro [TRI.3]. Asi por ejemplo, D.Yang, en 1994,consideró nuevos espacios de Hardy L2Hq

R(R2+ × R2

+), 0 < q ≤ 1. Asimismo,la teoría de ondículas (“Wavelets”) vino a motivar la investiga-ción de ciertos clásicos espacios en la búsqueda de caracterizaciones víaondículas.

Como también hemos apreciado en este escrito, las funciones armó-nicas y su relación con las funciones analíticas constituyen un capítuloespecial en el análisis armónico y ello es una motivación para el titulo deeste capítulo. En [GAR-RUB] y [STE.3] podemos encontrar presentacio-nes sobre las funciones armónicas y analíticas (también en [ORT.2]). Nos

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Alejandro Ortiz Fernández

interesa ver como el análisis real a través de los espacios estudiados, Lp,BMO, Λα, Lp,λ, ... pueden ser escenarios de problemas de contorno. Luegode una breve presentación del clásico problema de Dirichlet presentamosa las funciones armónicas con las que inmediatamente se definen a losespacios de Hardy Hp(Rn+1

+ ) y se prueban tres teoremas que contienencaracterizaciones de estos espacios. Luego se presenta a los espacios HMOintroducidos por Fabes-Johnson-Neri ([FAB-JOH-NER.1]), (1976); se dauna caracterización de HMO cuya prueba es larga y técnica, la que pre-sentamos como una metodología de trabajo. Enseguida se consideran alos espacios Eα,p yHα,p introducidos también Fabes-Johnson-Neri ([FAB-JOH-NER.2]), (1974). En la teoría de las ecuaciones de las derivadasparciales existen algunas preocupaciones fundamentales, como son deter-minar el conjunto de las soluciones de una ecuación dada, ó investigar laspropiedades generales de las soluciones, ó determinar soluciones particu-lares imponiendo ciertas condiciones especiales,... Nos interesa aquellosproblemas en que se dan condiciones sobre el contorno ∂Ω de un dominioΩ (abierto y conexo).

Problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace. Sea Rn el espa-cio euclidiano n-dimensional, Ω ⊂ Rn una región ó dominio. El problemade Dirichlet para la ecuación de Laplace.

∆u =n∑

j=1

∂2

∂x2ju = 0

consiste en encontrar u ∈ C2(Ω) ∩ C0(Ω) tal que

∆u = 0, en Ωu = f, sobre ∂Ω.

′′

donde f ∈ C0(∂Ω) es una función real dada.Este problema de apariencia simple (lo es en su formulación) es de una

complejidad tremenda, lo que va desde la no existencia de la solución paradominios “no complicados” hasta los métodos creados para resolverlo. Ver[FIG.1], [FIG.2], [EPS] para una presentación detallada sobre espaciosclásicos de la teoría y en donde se encuentran los gérmenes de muchasideas desarrolladas posteriormente. Como se sospecha el problema está

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ϕ−Espacios de Funciones

íntimamente relacionado a problemas que provienen de la física y otrosdominios existe una fascinante historia que se remonta a la época deNewton (ver [FIG.2]).

La evolución de ese problema está ligada con la teoría moderna delpotencial, lo cual constituye una dirección del problema y en la cualtrabajaron analistas como Kellog, M.Riesz, H.Cartan, Choquet,... La in-troducción de métodos para resolver el Problema de Dirichlet fue de ungran interés histórico para la matemática ya que algunos de tales méto-dos dieron origen a nuevas teorías matemáticas. Dentro de otros, tenemoslos siguientes métodos:

(i) El método de Fourier (1822), que trabaja con dominios simétri-cos y que fue creado para resolver cuestiones ligadas a la conduccióndel calor, el hecho esencial del método es el de desarrollar una fun-ción en series del senos y el uso de la teoría de las series de Fourier,la que constituye una parte del análisis que ha iluminado muchaspartes de la matemática (pura y aplicada).

(ii) La función de Green (1828), la que está basada en teoremas fun-damentales del análisis vectorial (teorema de la divergencia, identi-dades de Green,...) y que consiste en reducir el problema de Dirich-let a la determinación de una función, la función de Green, lo queimplica resolver un problema de Dirichlet particular. Green intro-dujo este método en un trabajo sobre electricidad y magnetismo.

(iii) La Proyección Ortogonal. Este método está en el contexto dela teoría moderna del problema de Dirichlet, es decir, del uso delos métodos del análisis funcional, en particular del uso del carác-ter geométrico de los espacios de Hilbert (mas específicamente, delos espacios de Sobolev), así como la teoría de operadores sobreespacios de Sobolev. El método se basa en lo que se conoce como elPrincipio de Dirichlet, que es a su vez responsable del origen delanálisis funcional así como del impulso del cálculo de variaciones.Precisemos algunas ideas (las que se remontan a Gauss, 1840). SeaΩ ⊂ Rn un dominio acotado,

θ = v ∈ C1(Ω) ∩ C0(Ω)/ v = f en ∂Ω,

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Alejandro Ortiz Fernández

donde f ∈ C0(∂Ω) es una función real dada.

La integral D(v) =∫Ω

n∑i=1

( ∂v∂xi

)2 dx es llamada la integral de Dirich-

let.

Principio de Dirichlet: “si la función u es solución del problemavariacional D(u) = ınf

v∈θD(v), entonces u es solución del Problema

de Dirichlet ∆u = 0, en Ωu = f, sobre ∂Ω.

′′

Se comprueba que el problema de Dirichlet (clásico) y el Principiode Dirichlet son equivalentes. La integral de Dirichlet tiene un sus-tento físico; ella representa la integral de energía y el mínimo deenergía es algo aceptado por los físicos (y lo fue por los matemáticosde ese entonces); así, el mínimo era algo evidente, así como tam-bién (parecía) que el problema de Dirichlet siempre tendría solución(posteriormente, a inicios de siglo, Zaremba, Lebesgue y Urysohnconstruyeron dominios en los que el problema de Dirichlet para laecuación de Laplace no tiene solución para datos de contorno conti-nuos). Aprovechamos la oportunidad para remarcar que gran partede la obra de Riemann está basado en el Principio. Sin embargo,en 1869 Wierstrass probó que el mínimo de la integral de Dirichletno necesariamente existe.

Por ejemplo, sea D(v) =∫ 1

0v2(t) dt con v ∈ C0[0, 1], v(0) =

0, v(1) = 1, entonces ınfvD(v) = 0, pero no existe v, con tales

propiedades, tal que D(v) = 0.

Esta observación produjo una gran consternación en el ambientematemático de la época; esta crisis duró hasta comienzos del sigloXX; sin embargo, en tal periodo algunos otros métodos fueron ela-borados por H.A. Schwartz, Neumann y H. Poincaré. Fue en 1900en que D. Hilbert probó que el Principio de Dirichlet es correctobajo condiciones especiales para una clase de funciones donde sebusca la solución. Es en este trabajo donde se habla de “espacios de

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ϕ−Espacios de Funciones

funciones”, naciendo así el análisis funcional. El Principio de Diri-chlet orienta la búsqueda de la solución del problema de Dirichletcomo una cierta proyección ortogonal; esta idea envuelve una se-rie de consideraciones propias del análisis funcional y del pioneroen esta dirección fue H. Weyl (1940).El trabajo de Hilbert abriótambién otras proyecciones como son: impulso del cálculo de va-riaciones (R. Courant,..); teoría de las distribuciones (L. Schwartz,Gelfand, Schilov,...); métodos de los espacios de Hilbert en proble-mas de contorno (Visik, L. Garding, L. Nirenberg,..); teoría de lassoluciones débiles (Friedrichs, Sobolev,...);.....

b

Funciones Armónicas

Consideremos el dominio, semi-espacio superior

Rn+1+ = (x, t)/x ∈ R

n, t ∈ R+,

el cual tiene por frontera a Rn.Diremos que u : Rn+1

+ → R es una función armónica si u ∈ C2 ysatisface u = 0 en tal dominio. Es conocido que las partes real e imagi-naria de una función analítica, son funciones armónicas. En tal contexto,el Problema de Dirichlet consiste en dado f, que pertenece a un ciertoespacio de funciones sobre Rn, encontrar u tal que u = 0 en R

n+1+ y

lımt→0

u(x, t) = f(x) sobre Rn; donde la convergencia es de acuerdo a la

naturaleza de f. En otras palabras, podemos pensar que las funciones

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Alejandro Ortiz Fernández

f de tales espacios de funciones (por ejemplo, LP , BMO, Λα,..) son óaparecen como trazas de soluciones de la ecuación de Laplace.

Un hecho esencial, que fue explorado en los años 1970’s y que hamotivado la presente publicación, fue (y es) caracterizar a tales solucio-nes como convolución con funciones (ó medidas) que pertenecen a unacierta clase de funciones (ó medidas). Ver [FAB-JOH-NER.1], [FAB-JOH-NER.2], [NER.1].

Veamos ahora algunas clásicas situaciones. Sea el núcleo de Poisson

Pt(x) = cnt

(t2 + |x|2)n+12

donde cn es una constante dependiendo de n.Se verifica que Pt(x) es una función armónica en R

n+1+ y claramente

es una función continua tal que lım|x|→∞

Pt(x) = 0.

De un modo general pongamos C0(Rn) = f continua/ lım

|x|→∞f(x) =

0.Se tiene que (C0(R

n))′ = µ medida de Borel finita =M(Rn).

Entonces se tienen las integrales de Poisson de f y µ respectivamente:

u(x, t) = (Pt ∗ f)(x) =∫

Rn

Pt(x− y)f(y) dy

u(x, t) = (Pt ∗ µ)(x) =∫

Rn

Pt(x− y) dµ(y).

Si f ∈ LP (Rn), 1 ≤ p ≤ ∞; y µ ∈ M(Rn), entonces (respectivamente)u(x, t) es una función armónica. Además, si f ∈ LP (Rn)(1 ≤ p ≤ ∞)se tiene lım

t→0u(x, t) = f(x) a. e. sobre R

n; y si p < ∞, tal convergencia

también es en LP . Entonces se tienen las siguientes caracterizacionesenunciadas.

Teorema 14. Sea u(x, t) una función medible sobre Rn+1+ . Entonces u =

Pt ∗ f, con f ∈ L∞(Rn) ⇔ u es armónica y limitada sobre Rn+1+ .

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ϕ−Espacios de Funciones

Los Espacios de Hardy Hp

Conservando la notación introducida, si 1 ≤ p ≤ ∞, por definición

Hp(Rn+1+ ) = u(x, t) armónica sobre R

n+1+ /‖u‖Hp = sup

t>0‖u(·, t)‖Lp <∞.

Teorema 15. Sea 1 < p <∞. Entonces

u ∈ Hp(Rn+1+ ) ⇔ u = Pt ∗ f, con f ∈ Lp(Rn).

Además, ‖u‖Hp ≃ ‖f‖Lp.

Teorema 16. u ∈ H1 ⇔ u = Pt ∗ µ, con µ ∈M.Además, ‖u‖H1 ≃ ‖µ‖ =

∫Rn

d|µ(x)|(<∞).

Pasamos ahora a probar estos teoremas. Ver [NER.1].

Prueba del Teorema 14.

⇒) u es armónica ya que ∆u = ∆Pt ∗ f. Además, u es limitada ya quede un modo general se tiene sup

t>0‖u(x, t)‖Lp ≤ ‖f‖Lp, desigualdad

que sigue por Young, previa normalización de Pt.

⇐) Partimos de u armónica y limitada sobre Rn+1+ y como es usual

‖u‖L∞ = sup(x,t)∈Rn+1

+

|u(x, t)| ≤ C < ∞. Para cada k ∈ N, sea

fk ≡ u(x, 1k), que sabemos es continua y |fk(x)| ≤ C, x ∈ Rn.

Consideremos ahora la convolución ó la integral de Poisson de fk, Pt ∗fk,que por Young es limitada sobre R

n+1+ (por continuidad se ha extendido

la propiedad hasta la cerradura).Sea ahora la función armónica u(x, t + 1

k) (que también es limitada

sobre Rn+1+ ). Pongamos

Dk(x, t) = u(x, t+1

k)− (Pt ∗ fk)(x),

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Alejandro Ortiz Fernández

función que es armónica y limitada sobre Rn+1+ , y continua sobre R

n+1+ .

Además,

Dk(x, 0) = u(x,1

k)− lım

t→0(Pt ∗ fk)(x)

(desde que fk ∈ C0 y lımt→0

(Pt ∗fk) = fk en L∞) = u(x, 1k)−fk(x) =

0 para todo x ∈ Rn.Ahora usamos el:

Lema 5. “Si u(x, t) es armónica sobre Rn+1+ , continua sobre R

n+1+ , limi-

tada sobre Rn+1+ y u(x, 0) = 0, entonces u(x, t) = 0 sobre R

n+1+ .”

Para concluir que Dk(x, t) = 0 sobre Rn+1+ y podemos escribir

∀k ∈ N, u(x, t+1

k) =

Rn

Pt(x− y)fk(y)dy, (x, t+1

k) ∈ R

n+1+ .

Ahora, considerando que L∞ = (L1)′ y que conjuntos cerrados y limitadosson compactos en la topología -débil, existe una subsucesión fki y unúnico f ∈ L∞, con ‖f‖L∞ ≤ C tal que para todo ϕ ∈ L1 se tiene

lımki→∞

Rn

ϕ(y)fki(y)dy =

Rn

ϕ(y)f(y)dy.

Como Pt ∈ L1, tomemos ϕ(y) = Pt(x−y) y vía el cambio ki = k, tenemos

u(x, t) = lımk→∞

u(x, t+1

k) =

Rn

Pt(x− y)f(y)dy,

para todo (x, t) ∈ Rn+1+ .

Prueba del Teorema 15.

⇐) Si f ∈ LP (Rn), 1 < p < ∞, y u = Pt ∗ f deseamos ver queu ∈ Hp, esto es, que sup

t>0‖u(x, t)‖Lp < ∞. Esto es cierto ya que

supt>0

‖u(x, t)‖Lp ≤ ‖f‖Lp ó ‖u‖Hp ≤ ‖f‖Lp.

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ϕ−Espacios de Funciones

⇒) Sea u ∈ HP , 1 < p < ∞. Entonces vía un argumento sobre lapropiedad del valor medio, Hölder y el Teorema de Fubini, se tienela estimativa sup

x∈Rn‖u(x, t)‖ ≤ A

tnp‖u‖Hp que permite afirmar que

u es limitada sobre cada semiespacio (x, t) ∈ Rn+1+ /t ≥ 1

k para

cada k ∈ N. Pongamos fk = u(x, 1k) para k ∈ N lo que implica que

‖fk‖Lp ≤ ‖u‖Hp, ∀k ∈ N. Ahora usaremos el:

Lema 6. Sea u(x, t) armónica sobre Rn+1+ y limitada sobre todo subes-

pacio (x, t) ∈ Rn+1+ /t ≥ t0 > 0. Entonces para todo t1 > 0 y t2 > 0 se

tiene u(x, t1+t2) =∫Rn

Pt2(x−y)u(y, t1)dy; y concluimos que u(x, t+ 1k) =

∫Rn

Pt(x− y)fk(y)dy.

Fijemos (x, t) ∈ Rn+1+ . Se sabe que Pt(x− y) ∈ Lq(Rn), 1 ≤ q ≤ ∞,

y que LP = (Lq)′, 1p+ 1

q= 1. Entonces existe fki y una única f ∈ LP ,

con ‖f‖LP ≤ ‖u‖HP tal que

u(x, t) = lımki→∞

u(x, t+1

ki)

= lımki→∞

Rn

Pt(x− y)fki(y)dy

=

Rn

Pt(x− y)f(y)dy

= (Pt ∗ f)(x)

Prueba del Teorema 16.

⇐) Si µ ∈ M(Rn) y u(x, t) = Pt ∗ µ entonces se tiene (considerando‖Pt‖ = 1),

‖u‖H1 = supt>0

‖u(x, t)‖L1 ≤ ‖µ‖.

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Alejandro Ortiz Fernández

⇒) La idea es análoga a lo hecho en la prueba del teorema 15. Pongamosfk(x) = u(x, 1

k), k ∈ N (así, ‖fk‖L1 ≤ ‖u‖H1, para todo k ∈ N).

Entonces, u(x, t+ 1k) =

∫Rn

Pt(x− y)fk(y)dy. Considérese la medida

dµk(y) = fk(y)dy, la que está en M(Rn); además

‖µk‖ =

Rn

|fk(y)|dy = ‖fk‖L1 ≤ ‖u‖H1.

Finalmente, considerando que (C0)′ = M [y que si u = Pt ∗ dµ,

entonces para todo ϕ ∈ C0 se tiene

lımt→0

Rn

ϕ(x)u(x, t)dx =

Rn

ϕ(x)dµ(x); y que Pt ∈ C0]

se tiene, para una subsucesión fki,

u(x, t) = lımki→∞

u(x, t+1

ki)

= lımki→∞

Rn

Pt(x− y)fki(y)dy

=

∫Pt(x− y)dµ(y)

= (Pt ∗ µ)(x).

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ϕ−Espacios de Funciones

c

Los Espacios HMO

En esta sección vamos a estudiar ciertos espacios de funciones armóni-cas, los espacios HMO, introducidos por Fabes-Johnson-Neri [FAB-JOH-NER.1] y que son motivados por un central resultado de Ch.Fefferman[FEF] en relación al Problema de Dirichlet cuando se da f ∈ BMO. ¿Quépasa en este caso?. “Si f ∈ BMO, entonces f es la traza de la solución udel problema

∆u = 0u(x, 0) = f(x)

∆u =n∑

j=1

∂2

∂x2j+∂2

∂t2(Nota.Asi debe interpretarse al inicio de b...)

y donde u satisface la estimativa

supx,r

1

|Q|

∫ r

0

Q

| u(x, t)|2tdxdt ≤ C,

Q es un cubo (o bola) de centro x y lado (ó radio) r,

| u(x, t)|2 =(∂u

∂x1

)2

+ ...+

(∂u

∂xn

)2

+

(∂u

∂t

)2

.

En el Lema 3 III, hemos probado que si f ∈ BMO, entonces

Rn

|f(x)− fQ|1 + |x|n+1

dx ≤ A‖f‖BMO.

Este resultado, debido a Fefferman, permite afirmar (observando la de-finición del núcleo de Poisson) que si f ∈ BMO entonces su integral dePoisson (Pt ∗ f)(x) está bien definida. Así mismo, Fefferman probó “si

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Alejandro Ortiz Fernández

f ∈ BMO entonces existe una constante A > 0 tal que para todo cuboQ (de lado r) se tiene

1

|Q|

∫ r

0

Q

| u(x, t)|2tdxdt ≤ A‖f‖2BMO, donde u = Pt ∗ f ′′.

Este resultado está en la línea de la caracterización de BMO (ver [FEF-STE]). Así el terreno está preparado para definir el espacio HMO, segúnFabes-Johnson-Neri.

Definición 4.

HMO(Rn+1+ ) ≡ HMO = u(x, t)armónica/

‖u‖HMO = supQ

(1

|Q|

Q

∫ r

0

| u(x, t)|2tdtdx) 12 <∞, r = lado Q.

Identificando u con u+ c, HMO es un espacio normado completo.

Corolario 3. Si f ∈ BMO entonces

u(x, t) = (Pt ∗ f)(x) ∈ HMO.

El recíproco es el importante resultado de Fabes-Johnson-Neri:

Teorema 17. u ∈ HMO ⇔ u = Pt ∗ f, con f ∈ BMO. Además,‖u‖HMO ≃ ‖f‖BMO. (Es decir tenemos la ecuación HMO= Pt ∗ BMO).

Prueba. Solo resta probar ⇒ . La prueba de la representación-convoluciónde todo elemento de HMO es bastante técnica. Vamos a tratar de darla demostración hecha por Fabes-Johnson-Neri en [FAB-JOH-NER.2], laque difiere de la original dada en [FAB-JOH-NER.1] y que ofrece cier-tas ventajas para posteriores adaptaciones. El lector interesado en soloel espíritu del teorema, podría acompañar solo los pasos fundamenta-les; sin embargo, para el lector interesado en esta clase de problemas laprueba ofrece el aprendizaje de algunas técnicas del análisis armónico.Comenzamos con

150

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ϕ−Espacios de Funciones

Lema 7. Para todo u ∈ HMO y todo (x, t) ∈ Rn+1+ existe una constante

A > 0, que depende solo de n, tal que

|Dju(x, t)| ≤A

t‖u‖HMO, j = 1, 2, ..., n+ 1.

Prueba. Sea Q un cubo de lado de longitud r y (x0, t0) un punto fijo enRn+1+ .

Tomemos r = 2t0 y sea B la bola en Rn+1+ con centro en (x0, t0) y

radio igual a t02= r

4; entonces, a menos de una constante, |B| = rn+1 y

(mirar la figura) B ⊂ Q×[r

4,3r

4

].

t

3r4

r4= t0

2

t (x, t)

x Q Rn

(x0, t0)

B

Como u (∈ HMO) es armónica,Dju es armónica y se tieneDju(xo, t0) =1|B|

∫B

Dju(x, t)dxdt. De donde,

|Dju(x0, t0)|2 ≤ [1

|B|

B

|Dju(x, t)|dxdt]2

≤ [1

|B|(∫

B

|Dju(x, t)|2dxdt)12 (|B|) 1

2 ]2

=1

|B|

B

|Dju(x, t)|2dxdt

151

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Alejandro Ortiz Fernández

≤ 1

rn+1

Q

3r4∫

r4

|Dju(x, t)|2dtdx

≤ 1

|Q|

Q

r∫

0

1

r|Dju(x, t)|2dtdx

≤ (r

4≤ t⇒ r ≤ 4t⇒ r2

r≤ 4t⇒ 1

r≤ 4t

r2⇒ 1

r≤ t

t20)

≤ 1

t20

1

|Q|

Q

r∫

0

|Dju(x, t)|2tdtdx

≤ (considerando que = (∂

∂x1, ...,

∂xn,∂

∂t))

≤ 1

t20

1

|Q|

Q

r∫

0

|∇u(x, t)|2t dt dx.

De esta manera tenemos,

|Dju(x0, t0)| ≤1

t0supQ

1

|Q|

Q

r∫

0

|∇u(x, t)|2tdtdx 12 =

1

t0‖u‖HMO.

Desde que (x0, t0) es arbitrario se tiene el lema.

Consecuencia

|∇u(x, t)|2 = ∑j=1

n+ 1|Dju(x, t)|2 ≤ A2

t2(n + 1)‖u‖2HMO, de donde lla-

mando (A′)2(n+ 1)‖u‖2HMO, se tiene: |∇u(x, t)| ≤ A′

t.

Lema 8. Sea u(x, t) ∈ C1 tal que |∇u(x, t)| ≤ A′

ten R

n+1+ (por ejemplo

si u ∈ HMO). Entonces, para todo (x, t) ∈ Rn+1+ se tiene

|u(x, t)− u(x0, t)| ≤A′ si |x− x0| ≤ t

A′ log( |x−xo|t

), si |x− x0| > t.

152

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ϕ−Espacios de Funciones

Prueba. Si |x− x0| ≤ t tenemos

|u(x, t)− u(x0, t)| = | u(y, s)||x0 − x| ≤ A′

tt = A′.

Si |x− x0| > t, tenemos:

|u(x, t)−u(x0, t)| ≤ |u(x, t)−u(x, |x−x0|)|+|u(x, |x−x0|)−u(x0, |x−x0|)|++ |u(x0, |x− x0|)− u(x0, t)|.

|u(x, t)− u(x, |x− x0|)||u(x0, |x− x0|)− u(x0, t)|

∫ |x−x0|

t

|Dn+1u(·, s)| ds

≤ A′

∫ |x−x0|

t

ds

s= A′ log

( |x− x0|t

).

Además, |u(x, |x−x0|)−u(x0, |x−x0|)| ≤ A′, lo que termina el lema.

Consecuencia

En las condiciones del lema 8, para todo k ∈ N la integral de Poisson[Pt ∗ u

(·, 1k

)](x) existe en todas partes.

En efecto, agregando y quitando u

(0,

1

k

), considerando que

∫1

1 + |x|n+1dx <∞

y que∫

Rn

|u(x, 1k )− u(0, 1k )|1 + |x|n+1

dx =

|x|≤ 1k

...dx +

|x|> 1k

...dx (Lema 8)

≤ A′

|x|≤ 1k

dx

1 + |x|n+1dx+ A′

|x|> 1k

log(k|x|)1 + |x|n+1

dx

= A <∞,

se tiene la existencia de

[Pt ∗ u

(·, 1k

)](x), ∀k ∈ N.

153

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Alejandro Ortiz Fernández

Lema 9. Sea u(x, t) una función armónica satisfaciendo |u(x, t)| ≤ A′

tsobre R

n+1+ . Entonces para cualquier k ∈ N, se tiene

u

(x, t +

1

k

)=

[Pt ∗ u

(·, 1k

)](x).

Prueba. (Nota. Observe el lema usado en la prueba del Teorema 15. Elpresente lema está en esa línea y damos su prueba.) En primer lugar ob-servamos que tanto u(x, t+ 1

k) como [Pt ∗u(., 1k)] son funciones armónicas

y que ambas convergen (puntualmente) a u(x, 1k) cuando t → 0+. Por

otro lado, por hipótesis,

| u(x, t+1

k)| ≤ A′(t+

1

k)−1.

De esta manera u(x, t + 1k) es una función armónica limitada sobre

Rn+1, la que converge puntualmente a u(x, 1k) cuando t→ 0+.

Ahora usamos el resultado: “Si v(x, y) es armónica sobre Rn+1+ , si exis-

te una constante c > 0, 1 < p ≤ ∞, tal que ‖v(·, y)‖p = (∫Rn

|v(x, y)|pdx) 1p ≤

c <∞ para y > 0, entonces v(x, y) es la integral de Poisson de una fun-ción f ∈ LP (Rn)” para concluir que u(x, t+ 1

k) es la integral de Poisson

de u(x, 1k); es decir, para todo (x, t) ∈ R

n+1+ ,

u(x, t+ 1

k) = [Pt ∗ u(·,

1

k)](x) = [Pt ∗ u(·,

1

k)](x),

de donde u(x, t + 1k) = Pt ∗ u(·, 1k ) + ak ó aún, en el límite, u(x, 1

k) =

u(x, 1k) + ak, esto es ak = 0. Así se tiene el lema.

Notación. Para todo k ∈ N, pongamos uk(x, t) ≡ u(x, t+ 1k).

Lema 10. Si u ∈ HMO entonces para todo k ∈ N se tiene uk ∈ HMO y‖uk‖HMO ≤ A‖u‖HMO, con A = A(n) > 0.

Prueba. Pongamos [uk]2 = 1

|Qr|

∫Qr

∫ r0| u(x, t + 1

k)|2tdtdx, donde Qr es

el cubo con centro x0 y lado r. Asi, [uk] ≤ ‖uk‖HMO.

154

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ϕ−Espacios de Funciones

Caso r ≥ 1k. Pongamos s = t+ 1

k(≤ 2r); asi se tiene

[uk]2 ≤ 1

|Qr|

Qr

∫ 2r

0

| u(x, s)|2sdsdx.

Pero, |Q2r| = 2n|Qr| lo que implica,

[uk]2 ≤ 2n

|Q2r|

Q2r

∫ 2r

0

| u(x, s)|2sdsdx

≤ 2n sup1

|Q2r|

Q2r

∫ 2r

0

| u(x, s)|2sdsdx,

de donde aún ‖uk‖HMO ≤ 2n‖u‖HMO.

Caso r < 1k. Tenemos

[uk]2 =

1

|Qr|

Qr

∫ 2r

0

| u(x, t+1

k)|2tdtdx

≤ (desde que | u(x, s)|2 =n+1∑

j=1

|Dju(x, s)|2

y |Dju(x, s)| ≤ At−1‖u‖HMO)

≤ A2‖u‖2HMO1

|Qr|

Qr

∫ r

0

(t+1

k)−2tdtdx

≤ (1

(t+ k−1)2≤ k2)

≤ A2‖u‖2HMO1

|Qr|k2

Qr

∫ r

0

tdtdx

=A2

2‖u‖2HMO

1

|Qr|

Qr

k2r21

2dx

155

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Alejandro Ortiz Fernández

≤ (kr ≤ 1)

≤ A2‖u‖2HMO1

|Qr|

Qr

dx

= A2‖u‖2HMO.

De donde nuevamente, ‖uk‖HMO ≤ A‖u‖HMO. Llamando aún A = max(2n, A),

se tiene el lema.

Inicio de la Prueba del Teorema 17

“Solo” resta probar la condición (⇒), esto es, si u ∈ HMO entoncesu = Pt ∗ f, donde f ∈ BMO. Seguiremos la prueba dada por Fabes-Johnson-Neri en [FAB-JOH-NER.2]. Sea entonces u ∈ HMO y k ∈ N.Pongamos fk(x) = u(x, 1

k). Entonces por la consecuencia al Lema 7, y

por el Lema 8, se tiene [Pt ∗ u(., 1k)](x) = u(x, t+ 1k), integral de Poisson

que llamaremos uk(x, t), donde (x, t) ∈ Rn+1+ . Además, por el Lema 10,

uk ∈ HMO y existe A = A(n) > 0 tal que ‖uk‖HMO ≤ A‖u‖HMO ó sea

1

|Q|

Q

∫ r

0

| uk(x, t)|2tdtdx ≤ A‖u‖2HMO. (⊙)

Bajo esta hipótesis se determinará una constante C > 0, que sólo depen-derá de n, y se probará que fk(x) ≡ u(x, 1

k) ∈ BMO tal que

‖fk‖BMO ≤ C‖u‖HMO. (+)

Prueba de (+). En vez del cubo Q tomaremos su equivalente topológico,la bola B = x/|x− x0| ≤ r. Entonces probaremos que

1

|B|

B

|fk(x)− ck|2dx ≤ C‖u‖2HMO. (+’)

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ϕ−Espacios de Funciones

donde ck = ck(fk, B). En efecto: Se sabe que uk(x, t) es armónica y que(u2) = 2| u|2, de donde 2| uk|2 = (u2k) = (uk(x, t) − ck)

2 paracualquier constante ck. Luego la estimativa ⊙ es (equivalente)

1

|Q|

Q

r∫

0

[uk(x, t)− ck]2tdtdx ≤ A‖u‖2HMO. (⊙)

Sea el cilindro Q× [0, r], su contorno S(x0, r), aplicando la segunda iden-tidad de Green [si u, v ∈ C1(Ω) ∩ C2(Ω) entonces

∫Ω(u∆v − v∆u)dx =∫

Γ(u ∂v

∂u− v ∂u

∂v)dσ, donde Γ es la frontera de la región Ω ⊂ R

n], tenemos

Q

r∫

0

[uk(x, t)− ck]2tdtdx =

∫ ∫

S(x0,r)

[t∂

∂ν(uk− ck)2− (uk− ck)2

∂t

∂ν]dS.

Si t = 0 (es decir, considerando el contorno “base” del cilindro) setiene ∂t

∂ν= −1, y uk(x, 0) = u(x, 1

k) = fk(x) y

∫ ∫

S(x0,r)

(uk − ck)2dS =

Q

|fk(x)− ck|2dx.

Es decir, para este caso se tiene (de la hipótesis (⊙))

1

|B|

B

|fk(x)− ck|2dx ≤ A‖u‖2HMO (que es lo que se desea,[+′]).

En relación al resto del contorno se elige ck = uk(x0, r) ≡ u(x0, r+1k)

y se afirma que: existen C1 = C1(n), C2 = c2(n), C3 = C3(n) (mayoresque cero) tal que

r

|B|

B

| ∂∂t

(uk − ck)2(x, r)|dx ≤ C1‖u‖2HMO (α)

1

|B|

B

|uk(x, r)− uk(x0, r)|2dx ≤ C2‖u‖2HMO (β)

1

|B|

∫ r

0

t

[ ∫

S

| ∂∂ν

(uk(x, t)− ck)2|dσ

]dt ≤ C3‖u‖2HMO (γ)

siendo S la esfera |x− x0| = r. Aceptando las estimativas (α), (β) y (γ)(que se probarán luego) se obtiene [+]′.

157

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Alejandro Ortiz Fernández

Prueba de (α), (β) y (γ).

La hipótesis u ∈HMO, la estimativa del Lema 8 con t = r +1

ky

A′ = A‖u‖HMO (A como en el Lema 7), implica que1

|B|∫B|uk(x, r) −

uk(x0, r)|2 dx ≤ A′2 = A2‖u‖2HMO, se tiene (β) con C2 = A2. Con (α) :observemos que,

r

|B|

B

∣∣∣∣∂

∂t(uk(x, r) − uk(x0, r))

2

∣∣∣∣ dx ≤ 2r

|B|

B

∣∣∣∣∂uk∂t

(x, r)

∣∣∣∣|uk(x, r) − uk(x0, r)| dx

≤ [desde que, ∀k,∣∣∣∣∂uk∂t

(x, r)

∣∣∣∣ =∣∣∣∣∂u

∂t

(x, r +

1

k

)∣∣∣∣

≤ (Lema 7) <A

r‖u‖HMO]

≤ 2A

|B| ‖u‖HMO

B

|uk(x, r) − uk(x0, r)| dx

≤ (Lema 8) ≤ 2A2‖u‖2HMO

y se obtiene (α) con C1 = 2A2.Con (γ) : vía una traslación y por simplicidad, asumamos x0 = 0.

Así, ck = uk(0, r) = u(0, r + 1k), y

(∂

∂ν

)=

(∂

∂|x|

); luego,

1

|B|

∫ r

0

t

[∫

S

| ∂

∂|x| (uk(x, t) − uk(0, r))2| dσ

]dt ≤ (desde que

∣∣∣∣∂

∂|x|uk(x, t)∣∣∣∣

≤ A‖u‖HMO

(t+

1

k

)−1

≤ A

t‖u‖HMO)

≤ 2A‖u‖HMO

rn

∫ r

0

|x|=r

∣∣∣∣u(x, t+

1

k

)− u

(0, r +

1

k

)∣∣∣∣ dσdt.

pero,

∣∣∣∣u(x, t+

1

k

)− u

(0, r +

1

k

)| ≤

∣∣∣∣u(x, t+

1

k

)−u

(x, r +

1

k

)∣∣∣∣+

+

∣∣∣∣u(x, r +

1

k

)− u

(0, r +

1

k

)∣∣∣∣

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ϕ−Espacios de Funciones

y

∣∣∣∣u(x, t +

1

k

)− u

(x, r +

1

k

)∣∣∣∣ ≤∫ r+ 1

k

t+ 1k

∣∣∣∣∂u

∂s(x, s)

∣∣∣∣ds

≤ (Lema 7)

≤ A‖u‖HMO log

(r

t

).

También,∣∣∣∣u(x, r +

1

k

)− u

(0, r +

1

k

)≤ (Lema 8) ≤ A′ = A‖u‖HMO.

Sintetizando,

1

|B|

∫ r

0

t

[ ∫

S

| ∂

∂|x| (uk(x, t)−uk(0, r))2| dσ

]dt ≤ 2A‖u‖HMO

rn·

∫ r

0

|x|=r

A‖u‖HMO log

(r

t

)dσdt

+2A‖u‖HMO

rn

∫ r

0

|x|=r

A‖u‖HMOdσdt

=2A2‖u‖2HMO

rn

∫ r

0

|x|=r

log(r

t)dσdt +

2A2‖u‖2HMO

rn·

∫ r

0

|x|=r

dσdt

≤ cnA2‖u‖2HMO + cnA

2‖u‖2HMO

= c′nA2‖u‖2HMO = c3‖u‖2HMO.

Así queda probado [+].

Dado u ∈ HMO, se determinará ahora su valor de contorno f(x) yse probará que f ∈ BMO(Rn) y

‖f‖BMO ≤ C‖u‖HMO. (⋆)

En efecto, recordemos que dado u ∈ HMO y k ∈ N, entonces fk(x) =u(x, 1

k) satisface ‖fk‖BMO ≤ C‖u‖HMO. [+]

159

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Alejandro Ortiz Fernández

Ahora la meta es probar (⋆). Para ello, sea Qm ⊂ Rn el cubo con

centro en el origen y de lado 2m; y pongamos fk,m =1

|Qm|∫Qm

fk.

Sim es fijo, (+) implica1

|Qm|∫Qm

|fk(x)−fk,m|2dx ≤ C2‖u‖2HMO para

todo k ∈ N; de donde fk(x)−fk,m es una sucesión limitada en L2(Qm),y por tanto existe una subsucesión, la que converge (débilmente) a unafunción gQm(x) ∈ L2(Qm). Por otro lado, observe que 1

|Qm|

∫Qm

(fk(x) −fk,m(x))dx = 0, luego

1

|Qm|

Qm

gQm(x)dx = lımk→∞

1

|Qm|

Qm

(fk(x)− fk,m)dx = 0. (⊖)

Sea gQm(x)− gQ1(x) = lımk→∞

(fk,1 − fk,m) = k(Q1, Qm) si x ∈ Q1.

Ahora obsérvese que si Q ⊂ Q′ ⊂ Q′′ entonces se verifica (usando laconstrucción de k(Q1, Qm)) que k(Q,Q′′) = k(Q,Q′) + k(Q′, Q′′) propie-dad que permite definir f vía

f(x) = gQm(x)− k(Q1, Qm) si x ∈ Qm, m ∈ N (δ)

Obsérvese que

−k(Q1, Qm) =1

|Qm|

Qm

−k(Q1, Qm)dx

=1

|Qm|

Qm

f(x)dx− 1

|Qm|

Qm

gQm(x)dx

(⊖)=

1

|Qm|

Qm

f(x) dx = fQm.

¿Qué deseamos? · · · verificar que f ∈BMO y

‖f‖BMO ≤ C‖u‖HMO. (∗)

Como, por (+), f1 ∈ BMO, es suficiente verificar que f1 − f ∈ BMO.En efecto, note que para cualquier cubo Q ⊂ R

n, existe m ∈ N tal queQ ⊂ Qm. Entonces,

160

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ϕ−Espacios de Funciones

1

|Q|

Q

|(f1(x)− f(x)) − (f1)Q+fQ| dx(δ)=

1

|Q|

Q

|(f1(x)− (f1)Q)− gQm(x)+

+ k(Q1, Qm) + fQ| dx

≤ [sabemos que (gQ)Q =1

|Q|

Q

gQ dx = 0, luego

fQ =1

|Q|

Q

f(x) dx

=1

|Q|

Q

[gQ(x) − k(Q1, Q)] dx

= −k(Q1, Q) = k(Q,Qm)− k(Q1, Qm).

Luego para todo x ∈ Q,

gQ(x) − gQm(x) + k(Q1, Qm) + fQ = gQ(x) − gQm(x) + k(Q,Qm) = 0]

≤ 1

|Q|

Q

|f1(x) − (f1)Q| dx+1

|Q|

Q

|gQ(x)| dx.

Pero:

1

|Q|

Q

|f1(x)− (f1)Q| dx ≤ ‖f1‖BMO

[+]

≤ C‖u‖HMO

y

1

|Q|

Q

|gQ(x)| dx = (considerando la familiar función “signo”)

=1

|Q|

Q

sig(gQ(x))gQ(x) dx

=1

|Q| lımk→∞

Q

sig(gQ(x))[fk(x)−)(fk)Q] dx

≤ lımk→∞

1

|Q|

Q

|fk(x)− (fk)Q| dx

≤ lımk→∞

‖fk‖BMO

≤ C‖u‖HMO.

161

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Alejandro Ortiz Fernández

En síntesis

1

|Q|

Q

|(f1(x)− f(x)− (f1)Q + fQ)| dx ≤ C‖u‖HMO,

de donde f1 − f ∈ BMO, lo que implica aún, f ∈ BMO y

‖f‖BMO ≤ C‖u‖HMO. (⋆)

¿Qué falta para culminar con la prueba del Teorema 17?...Que u = Pt ⋆ f, a menos de una constante. Eso haremos: en efecto,

como f ∈ BMO, entonces su integral de Poisson Pt ⋆ f existe en Rn+1+

(ver Lema 3, III). Si D = ∂∂xi

o ∂∂t, por el Lema 9:

Du(x, t+1

k) = ((DPt) ⋆ fk)(x) = (desde que

RnDPt = 0)

=

Rn

DPt(x− y)[fk(y)− fk,m] dy

=

Qm

· · ·+∫

Rn−Qm

· · · , para∀m ∈ N.

Pero,

lımk→∞

Qm

DPt(x− y)[fk(y)− fk,m] dy =

Qm

DPt(x− y)gQm(y) dy

= (desde quef(x) = gQm(x) − k(Q1, Qm))

=

Qm

DPt(x− y)f(y)dy +

+k(Q1, Qm)

Qm

DPt(x− y) dy.

Ahora bien, esta última etapa de la demostración del Teorema 17 seestá orientando a probar que Du(x, t) = D(Pt⋆f)(x), pues ello implicaráu(x, t) = (Pt ⋆ f)(x) (a menos de una constante), que es lo que se desea.Con esta idea, mirando

Du(x, t+1

k) =

Qm

· · ·+∫

Rn−Qm

162

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ϕ−Espacios de Funciones

y

lımk→∞

Qm

DPt(x− y)[fk(y)− fk,m] dy =

Qm

DPt(x− y)f(y)dy+

+ k(Q1, Qm)

Qm

DPt(x− y) dy

debemos tener

lımm→∞

lımk→∞

Qm

DPt(x− y)[fk(y)− fk,m] dy = D(Pt ⋆ f)(x)

y para tener esta igualdad, debemos verificar que

lımm→∞

k(Q1, Qm)

Qm

DPt(x− y) dy = 0. (⋆⋆)

En efecto, desde que 0 =∫RnDPt =

∫Qm

· · ·+∫Rn−Qm

· · ·∣∣∣∣∫

Qm

DPt(x− y) dy

∣∣∣∣ ≤∫

Rn−Qm

|DPt(x− y)| dy

≤ (desde queDPtes del orden|x|−n−1en el infinito)

≤ C

s≥2m−2

s−n−1sn−1 ds = 0

(1

2m

).

Además, si Q0 es el cubo unitario centrado en el origen, tenemos

|k(Q1, Qm)| = (sabemos, mirar debajo de(δ))

= |fQm|≤ |fQ0|+ |fQm − fQ0|≤ (mirar la prueba del Lema 3. III)

≤ |fQ0|+m2n‖f‖BMO.

Por lo tanto,

lımm→∞

k(Q1, Qm)

Qm

DPt(x− y) dy ≤ lımm→∞

[0(2−m)|fQ0 |+0(2−m)m2n‖f‖BMO] = 0.

163

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Alejandro Ortiz Fernández

Finalmente, como se desea Du(x, t) = D(Pt⋆f)(x) y tenemos Du(x, t+1k) =

∫Qm

· · ·+∫Rn−Qm

y con la primera integral (en el limite) ya estamosbien, quedaría por verificarse que

lımm→∞

(lımk→∞

Rn−Qm

DPt(x− y)|fk(y)− fk,m| dy)= 0. (⋆ ⋆ ⋆)

En efecto, (el argumento es análogo a lo hecho en el Lema 3. III). Paray ∈ Rn − Qm y m grande se tiene |x − y| ≃ |y|, luego,fijando (x, t))tenemos

Rn−Qm

DPt(x− y)|fk(y)−fk,m| dy ≤ C

Rn−Qm

|y|−n−1|fk(y)− fk,m| dy

≤ C

∞∑

j=m+1

2−j(n+1)

Qj

|fk(y)− fk,m| dy

≤ C

∞∑

j=m+1

2−j(n+1)

Qj

|fk(y)− fk,m| dy

+ C

∞∑

j=m+1

2−j(n+1)

Qj

|fk,j − fk,m| dy

≤ C

∞∑

j=m+1

2−j(n+1)|Qj |‖fk‖BMO

+ C

∞∑

j=m+1

2−j(n+1)(j −m)2n‖fk‖BMO

≤ (por[+]) ≤ C

∞∑

j=m+1

2−j(n+1)2nj(1 + 2nj)‖u‖HMO

= C‖u‖HMO

∞∑

j=m+1

2−j(1 + 2nj) → 0 si m→ ∞,

lo que prueba (⋆ ⋆ ⋆).

En resumen, se ha probado que lımk→∞

(DPt ⋆fk)(x) = D(Pt ⋆f)(x) de

donde Du(x, t) = D(Pt⋆f)(x), ó u(x, t) = (Pt ⋆f)(x), como se desea.

164

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ϕ−Espacios de Funciones

d

Los Espacios Eα,p y Hα,p

En esa sección continuamos con la idea de extender la ecuación X =Pt ⋆Y, la que está relacionada al Problema de Dirichlet. En la Sección (c)hemos probado que HMO = Pt ∗ BMO lo que sugiere ahora extender losespacios HMO y BMO a otros mas amplios y que continuen satisfaciendotal ecuación.

Sabemos que BMO está inmerso en el espacio Lp,λ, 1 ≤ p < ∞,0 ≤λ ≤ n + p. Vimos en III Lema 1, la condición

λ− n

p=λ1 − n

p1a fin de

tener la inclusión Lp,λ ⊂ Lp1,λ1 . El númeroλ− n

paparece también en

otras circunstancias; ello sugiere

Un cambio de Variable. (Peetre).

Sea α =λ− n

py pongamos Eα,p ≡ Lp,λ. Observe que la condición

0 ≤ λ ≤ n+ p implica −np≤ α ≤ 1.

Asi,Eα,p es nuestro conocido amigo Lp,λ y es claro que BMO = Lp,n =Eo,p (pondremos ‖f‖Eα,p ≡ ‖f‖Lp,λ).

¿Cuál es la extensión de HMO?...

Fabes-Johnson-Neri[FAB-JOH-NER.1] responden a esta pregunta con-siderando al espacio Hα,p: sea 0 ≤ α < 1, 1 ≤ p <∞,

Hα,p =

u(x, t) armónica sobre R

n+1+ /

‖u‖Hα,p = supQ

1

|Q|αpn +1

Q

[

∫ r

0

|∇u(x, t)|2tdt] p2dx 1

p

<∞

donde Q es un cubo (en Rn) de centro x0 ∈ Rn y lado de longitud r.Identificando funciones que difieren en una constante, Hα,p es un espaciocompleto con tal seminorma. Además, H0,2 = HMO.

165

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Alejandro Ortiz Fernández

El teorema de caracterización de Fabes-Johnson-Neri es

Teorema 18. Si 0 < α < 1, 1 < p < ∞, entonces Hα,p = Pt ⋆ Eα,p.

Además,‖u‖Hα,p ≃ ‖f‖Eα,p.

Nota 15. Por razones metodológicas, consideremos los:

Teorema 19 (Teorema A). Sea f ∈ Eα,p(Rn), 0 < α < 1, 1 < p < ∞,entonces su integral de Poisson Pt∗f existe, está en Hα,p y ‖Pt∗f‖Hα,p ≤B‖f‖Eα,p para alguna constante B > 0, independiente de f.

Teorema 20 (Teorema B). Sea u ∈ Hα,p, 0 < α < 1, 1 < p < ∞,entonces existe f ∈ Eα,p tal que u = Pt ∗ f ; además, ‖f‖Eα,p ≤ c‖u‖Hα,p,donde c es una constante > 0 independiente de u y f.

Para probar estos teoremas necesitamos de algunos resultados previos;algunas de tales ideas ya han sido trabajadas en anteriores secciones.

Lema 11. Si 0 < α < 1, 1 ≤ p < ∞, y Q denota el cubo unitario concentro en el origen, entonces existe B > 0 tal que para todo f ∈ Eα,p setiene ∫

Rn

|f(x)− fQ|1 + |x|n+1

dx ≤ B‖f‖Eα,p.

Prueba. Observamos de entrada que este Lema, es una generalización delLema 3 III cuya demostración contiene el germen de la idea que usaremosahora. Pongamos Q0 = Q entonces

Rn

|f(x)− fQ|1 + |x|n+1

dx =

Q0

· · ·+∞∑

k=1

Sk

· · · , dondeSk = Qk −Qk−1,

(k = 1, 2, ...), siendo los Q′

ks cubos concéntricos, con lados de longitud2k. Busquemos las estimativas para cada sumando.

En efecto,

Q

|f(x)− fQ|1 + |x|n+1

dx ≤∫

Q

|f(x)− fQ| dx ≤ ‖f − fQ‖Lp ≤ ‖f‖Eα,p

166

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ϕ−Espacios de Funciones

(recuerde como es la norma ‖f‖Lp,λ). Por otro lado,

|fQk − fQ| ≤ |fQk − fQk−1|+ |fQk−1

− fQk−2|+ · · ·+ |fQ1 − fQ|

y como en general para todo k ∈ N se tiene también

|fQj − fQj−1| ≤ 2n

|Qj|

Qj

|f(x)− fQj |dx

≤ 2n

1

|Qj |

Qj

|f(x)− fQj |p dx 1

p

(recuerde la definición de‖f‖Lp,λ)≤ 2n|Qj|

αn‖f‖Eα,p,

lo que implica |fQk − fQ|

≤ 2n‖f‖Eα,pk∑

j=1

2jα

≤ ‖f‖Eα,p2n+α

2α − 1≡ cα‖f‖Eα,p.

Luego,∫

Qj

|f(x)− fQ| dx ≤∫

Qk

|f(x)− fQk | dx+ |Qk||fQk − fQ|

≤ |Qk|1+αn‖f‖Eα,p + |Qk|cα‖f‖Eα,p

= 2kn(2kα + cα)‖f‖Eα,p.Sea ahora x ∈ Sk(esto es x /∈ Qk−1, que implica |x| ≥ 2k−2 ó 1+ |x|n+1 >4−n−12k(n+1)) entonces,

Sk

|f(x)− fQ|1 + |x|n+1

dx ≤ 4n+12−k(n+1)

Qk

|f(x)− fQ| dx

≤ 4n+12−k(n+1)2kn(2kα + cα)‖f‖Eα,p= 4n+12−k(2kα + cα)‖f‖Eα,p

≡ ck‖f‖Eα,p, con∞∑

k=1

ck <∞.

167

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Alejandro Ortiz Fernández

Finalmente,∞∑

k=1

Sk

|f(x)− fQ|1 + |x|n+1

dx ≤ B‖f‖Eα,p

con B = max(1,∑ck), lo que prueba el lema.

Vía la dilatación x→ r−1x se tiene el

Corolario 4. Sea 0 < α < 1 y Q es el cubo de cento en el origen y delado de longitud r, entonces existe una constante B > 0 tal que para todof ∈ Eα,p se tiene

Rn

|f(x)− fQ|rn+1 + |x|n+1

dx ≤ Brα−1‖f‖Eα,p.

Prueba del Teorema 19. En primer lugar, la estimativa del Lema 11permite afirmar la existencia de la integral de Poisson de f ∈ Eα,p ya que

|u(x, t)| = |Pt ⋆ f | ≤∫

Rn

|Pt(x− y)||f(y)|dy

≤∫

Rn

|Pt(x− y)||f(y)− fQ|dy + |fQ|∫

Rn

|Pt(x − y)|dy

≤ c <∞.

Por otro lado, sin pérdida de generalidad, asumimos en la definiciónde ‖u‖Hα,p que los Q′s están centrados en el origen; por convenienciatomemos r = 4h > 0. Escribamos Qr para indicar la longitud del ladodel cubo. Sea X la función característica del cubo Qr y sea X = 1 − X .Hagamos el siguiente argumento:

f = fQr + (f − fQr)1 = fQr + (f − fQr)(X + X )

= fQr + (f − fQr)X + (f − fQr)X≡ f1 + f2 + f3.

Luego,

u(x, t) = (f ⋆ Pt)(x)

= (f1 ⋆ Pt)(x) + (f2 ⋆ Pt)(x) + (f3 ⋆ Pt)(x)

= u1(x, t) + u2(x, t) + u3(x, t).

168

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ϕ−Espacios de Funciones

Desde que f1 es una constante,u1(x, t) = 0 y obviamente ‖u1‖Hα,p ≤Ap‖f‖Eα,p. Para u2 tenemos la estimativa

Qr

[ ∫ r

o

|∇u2(x, t)|2t dt] p

2

dx

1p

≤∫

Rn

[ ∫ ∞

0

|∇u2(x, t)|2t dt] p

2

dx

1p

≤ (desigualdad de Littlewood-Paley)

≤ Ap‖f2‖Lp

= Ap

Qr

|f(x)− fQr|p dx

1p

≤ Aprnp+α sup

1

rn+αp

Qr

|f(x)− fQr|p dx

1p

,

es decir,

1

rn+αp

Qr

[ ∫ r

0

|∇u2(x, t)|2t dt] p

2

dx

1p

≤ Ap sup

1

rn+αp

Qr

|f(x)− fQr|p dx

1p

ó ‖u2‖Hα,p ≤ Ap‖f‖Eα,p. Finalmente, para x ∈ Qn, t ∈ (0, h), se tiene

|∇u3(x, t)| = |[(f − fQr)χ ∗ ∇Pt](x)|

≤∫

Rn−Qr

|f(y)− fQr||∇Pt(x− y)|dy

≤ cn

Rn−Qr

|f(y)− fQr|

hn+1 + |y|n+1dy

≤ cnBhα−1‖f‖Eα,p , luego

Qr

[ ∫ r

0

|∇u3(x, t)|2t dt] p

2

dx

1p

≤ B1rα+ n

p ‖f‖Eα,p

que implica ‖u3‖Hα,p ≤ B2‖f‖Eα,p. Sumando se tiene el teorema.

Para probar el Teorema 20 necesitamos los

Lema 12. Si u ∈ Hα,p(Rn+1+ ) existe una constante c (que depende de α

y n) tal que|Dju(x, t)| ≤ ctα−1‖u‖Hα,p.

Prueba. Observe de entrada que este lema generaliza al Lema 7 usadopara probar al Teorema 17; en conscuencia la prueba es análoga a lohecho antes.

169

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Alejandro Ortiz Fernández

Fijemos cualquier (x0, t0) y sea r = 2t0 y sea B la bola en Rn+1+ con

centro en (x0, t0) y radio t02= r

4. Así, B ⊂ Q× [ r

4, 3r

4] y se tiene

|Dju(x0, t0)| ≤ c1r−n−1

Q

∫ 3r4

r4

|Dju(x, t)| dt dx

≤ c1r−n−1

Q

[(∫ r

0

|Dju(x, t)|2t dt) 1

2(∫ 3r

4

r4

t−1 dt

) 12]dx

≤ c1(log 3)12 r−n−1

Q

[ ∫ r

0

|Dju(x, t)|2t dt] 1

2

dx

≤ (definición de‖u‖Hα,p)

≤ c2r−n−1+n

p+α+n(p−1)

p ‖u‖Hα,p

= c2rα−1‖u‖Hα,p

= ctα−10 ‖u‖Hα,p,

lo que prueba el lema

Corolario 5. Si u ∈ Hα,p entonces |∇u(x, t)| ≤ c′tα−1 donde c′ puededepender de u.

Lema 13. Sea u(x, t) ∈ C1 tal que |∇u(x, t)| ≤ c′tα−1 sobre Rn+1+ . En-

tonces para todo (x, t) ∈ Rn+1+ se tiene

|u(x, t)− u(x0, t)| ≤c′tα−1|x− x0|, si |x− x0| ≤ tc′ max(1, |α|−1)|x− x0|α, si |x− x0| > t

Prueba. Es análogo a lo hecho en el Lema 8.

Prueba del Teorema 20. La hipótesis u ∈ Hα,p, 0 < α < 1, implica(por el Corolario del Lema 12), |∇u(x, t)| ≤ c0t

α−1, luego, si ǫ y δ son

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ϕ−Espacios de Funciones

números positivos, tenemos

|u(x, δ)− u(x, ǫ)| =

∣∣∣∣∫ δ

ǫ

∂u

∂t(x, s)ds

∣∣∣∣

≤ c0|∫ δ

ǫ

sα−1 ds|

= c1|δα − ǫα|≤ (desde que 0 < α < 1)

≤ c1|δ − ǫ|α,

lo que nos dice que la familia u(x, δ) es de Cauchy (cuando δ → 0).Por lo tanto existe f tal que u(x, δ) → f(x) en todas partes. Por el Lema13, para todo t > 0, |u(x, t)− u(x0, t)| ≤ k|x− x0|α, de donde, si t → 0,|f(x)− f(x0)| ≤ k|x− x0|α, luego f ∈ ∧α.

Probemos que f ∈ Eα,p y que ‖f‖Eα,p ≤ c‖u‖Hα,p (obsérvese que lanaturaleza de ser f limite de u armónica implica que u es la transformadade Poisson de f).

En efecto, (Q es un cubo de lado de longitud r y centro x0)

Q

|f(x)− fQ|pdx ≤∫

Q

1

rn

Q

|f(x)− f(y)| dyp

dx

≤ k

Q

1

rn

Q

|x− y|α dyp

dx

≤ (desde que|x− y| ≤ |x− x0|+ |x0 − y| ≤ cr)

≤ kc

Q

rαpdx

= ckrαp+n,

de donde ‖f‖Eα,p ≤ ck, como deseamos.

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Alejandro Ortiz Fernández

e

Lp,λ y Aplicaciones a las Ecuaciones enDerivadas Parciales

(i) Preliminares.

En el capítulo III hemos tenido la oportunidad de presentar a losgeneralizados espacios de funciones Lp,λ, espacios que fueron inves-tigados por los profesores italianos Guido Stampacchia y S. Cam-panato, y por el grupo de analistas formados en la escuela Italianade Análisis. Desde la década de los años 1930′s en el estudio delas ecuaciones en derivadas parciales elípticas y parabólicas se usa-ron ciertos espacios de funciones como fueron Lp, Lp,λ, los Lipschitzy posteriormente los espacios BMO. Todos estos espacios fueronglobalizados vía los Lp,λ, remarcando que para algunos valores deλ estos espacios fueron introducidos por C. B. Morrey en 1938 yfueron aplicados a problemas elípticos, lineales y no-lineales. Porotro lado, los Lp,λ también están relacionados con los espacios deSobolev, que como sabemos fueron, y son, usados intensivamen-te en problemas concretos que envuelven ecuaciones diferenciales.Por razones didácticas recordemos algunas ideas ya vistas en III, yotras que complementen la comprensión de Lp,λ. Comenzamos conel espacio de Morrey Lp,λ(Q0), 1 ≤ p <∞,−∞ < λ <∞;Q0 ⊂ Rn

es un cubo fijo (con lados paralelos a los ejes-coordenados). Pordefinición,

Lp,λ(Q0) ≡ Lp,λ =

f ∈ L1(Q0)/ existe una constante k > 0 tal que

[f ]Lp,λ = supQ⊂Q0

(1

|Q|1−λn

Q

|f(x)|p dx) 1

p

≤ k <∞

(desde que r es la longitud del lado Q, |Q|1− λn = rn−λ). Si λ ≥

0, Lp,λ es un espacio de Banach con la norma ‖f‖Lp,λ = ‖f‖L1(Q0)+[f ]Lp,λ. La condición λ ≥ 0 es esencial ya que si λ < 0 entonces laúnica función en Lp,λ es f = 0 (pues si λ < 0 entonces n − λ > 0,

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ϕ−Espacios de Funciones

luego 1rn−λ

podría ser muy grande para n−λ muy pequeño y podríano existir k de modo que el supremo sea ≤ k, salvo si f = 0.)Observemos que si λ = n, f ∈ Lp,λ implica que existe k tal que∫Q|f(x)|p dx ≤ k, esto es Lp,n ≡ Lp localmente. Si λ = 0, f ∈ Lp,0

implica que existe k tal que1

rn∫Q|f(x)|p dx ≤ k, y de esta manera

f ∈ L∞ desde que

|f(x)| = 1

rn

Q

|f(x)| dx ≤ 1

rn

(∫

Q

|f(x)|p dx) 1

p

|Q| 1q <∞,1

p+

1

q= 1.

¿Y si λ < 0?; en este caso la presencia del promedio fQ va hacerfuncionar bien las cosas surgiendo así los espacios Lp,λ. Por defini-ción, sean 1 ≤ p <∞,−∞ < λ <∞, entonces:

Lp,λ = f ∈ L1(Q0)/ supQ⊂Q0

(1

|Q|1− λn

Q

|f(x)− fQ|pdx)1p ≤ k <∞,

donde como sabemos fQ = 1|Q|

∫Qf(x)dx; poniendo nuevamente

[f ]Lp,λ a tal supremo y considerando la norma ‖f‖Lp,λ = ‖f‖Lp(Q0)+[f ]Lp,λ , con ella Lp,λ es un espacio de Banach.

Observemos que Campanato considera λ ≥ 0 modificando la defi-nición a la expresión 1

rnen vez de 1

rn−λ. En efecto:

(a) Veamos que Campanato implica la definición dada. La pruebade (a) lo haremos en tres casos: (i) λ ≤ 0, (ii) 0 < λ ≤ n y(iii) λ > n.

(i): Tenemos Campanato y λ ≤ 0, luego n − λ > 0; pon-

gamos λ′ = n − λ > 0 y tenemos sup1

rn−λ∫Q· · · =

sup1

rλ′∫Q· · · < ∞, es decir, tenemos la definición dada

originalmente.

(ii): Tenemos Campanato y 0 < λ ≤ n; entonces nuevamenten − λ ≥ 0 y basta poner λ′ = n − λ ≥ 0 y procedemoscomo antes.

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Alejandro Ortiz Fernández

(iii): Tenemos Campanato y λ > n, luego n− λ < 0, entonces1

rn−λ= rλ−n, con λ′ = λ − n > 0, y asi tendríamos que

el supremo sería tan grande como se quiera y podría noexistir tal k, a menos que f = 0. A esta misma conclusiónse llegaría con la definición de Campanato.

(b) Definición Original implica la de Campanato. En efecto, te-

nemos sup1

rn−λ∫Q· · · < ∞ si −∞ < λ < ∞; en particular

esto es cierto si n − λ ≥ 0, pero esto se obtiene si λ < 0 y siλ ≤ n (que se tendría).

Consecuencias

(a). Lp,n ≃ Lp(Q0) con ‖f‖Lp,λ ≃ ‖f‖Lp(Q0).

(b). Decimos que f es Hölder-Continua, con exponente α, 0 < α <

1, si [f ]Hα = supx,y∈Q0

|f(x)−f(y)||x−y|α

< ∞; con la norma ‖f‖Hα =

maxx∈Q0

|f(x)|+ [f ]Hα, Hα es un espacio de Banach.

Teorema de Campanato-Meyers(1964). Si λ < 0, enton-ces Lp,λ ≃ Hα, donde α = −λ

p.

(c). Teorema de John-Nirenberg. f ∈ BMO si y solo si f ∈Lp,0.

(d). f ∈ Lp,λ si y solo si existe una constante k y para cada subcuboQ ⊂ Q0 existe una constante CQ tal que 1

|Q|1−λn

∫Q|f(x) −

CQ|pdx ≤ kp. Se observa que: supQ⊂Q0ınfCQ

1

|Q|1−λn

∫|f(x) −

CQ|pdx es una seminorma equivalente a [f ]Lp,λ.

(e). Espacios Lp,λ-Débiles.Decimos que f ∈ Lp,λ−débil si existeuna constante k tal que ∀Q ⊂ Q0 se tiene

|x ∈ Q/|f(x)− fQ| > σ| ≤ (k

σ)p|Q|1− λ

n , ∀σ > 0.

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ϕ−Espacios de Funciones

Observación 1.Remarcamos que el rol jugado por los cubos (o

bolas) en las definiciones dadas puedan ser substi-tuidas por cualquier familia de conjuntos E lascuales son “regulares” en el sentido que para todoconjunto E de la familia existen dos cubos Q′ ⊂ Q”tal que Q′ ⊂ E ⊂ Q” y υ−1 ≤ |Q′|

|Q”|≤ υ, donde υ es

independiente del particular E considerado.

E

Q’

Q"

Figura 4:(ii) Espacios Lp,λ de Tipo Fuerte.

Vamos a considerar una subclase de funciones de Lp,λ, al espacioLp,λ de tipo fuerte r, Lp,λr (Q0), donde 1 ≤ p < ∞,−∞ < λ <∞, r > 0. Diremos que f ∈ Lp,λr (Q0) ≡ Lp,λr si para cualquiersistema de subcubos S = Qj/ ∪j Qj ⊂ Q0, dos a dos subcubossin puntos interiores comunes, se tiene

supQ⊂Qj

(1

|Q|1− λn

Q

|f(x)− fQ|p dx) 1

p

≡ [f ]Lp,λ(Qj) ≡ k(Qj) <∞,

y además existe una constante L ≡ Lf <∞ tal que

supQi=S∈S

[∑

j

|k(Qj)|r] 1r

= L,

donde S es la familia de todos los sistemas de subcubos considera-dos antes.

Pondremos [f ]Lp,λr (Q0)≡ L. Con la norma

‖f‖Lp,λr = [f ]Lp,λr + ‖f‖Lp,

Lp,λr es un espacio de Banach.

Sea ahora f ∈ L1(Q0); 1 < p < ∞,−∞ < λ < ∞. Diremos quef ∈ Np,λ si

[f ]Np,λ = supQj=S∈S

(∑

j

1

|Qj|p+λ−1

∣∣∣∣∫

Qj

|f(x)− fQj | dx∣∣∣∣p) 1

p

<∞.

175

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Alejandro Ortiz Fernández

Np,λ es un espacio de Banach con la norma ‖f‖Np,λ = ‖f‖L1(Q0) +[f ]Np,λ.

Algunas propiedades de estos espacios Np,λ son:

(i). Si p ≤ q y λp≤ µ

q, entonces N q,µ ⊂ Np,λ.

(ii). Si f ∈ L1(Q0), entonces lımp→+∞[f ]Np,0 = [f ]L1,0 ≡ [f ]BMO.

(iii). Si f ∈ Lq,µr y λ es un número tal que λ ≤ 1 − µ

nqy p =

nq

µ(1− λ) ≥ r, entonces f ∈ Np,λ y [f ]Np,λ ≤ [f ]Lq,µ.

(iv). Si f ∈ Lq,n ≡ Lq(Q0), q > 1, entonces f ∈ L1,nq

q ; luego f ∈N q,0.

(iii). Espacios de Sobolev H1,p.

Estos espacios fueron introducidos por el matemático ruso SergieL.Sobolev a fines de los años 1930’s y juegan un papel fundamentalen la teoría de las ecuaciones en derivadas parciales. Sean f y fxi ≡∂f

∂xifunciones continuas sobre Q0. Por definición,

H1,p(Q0) ≡ H1,p = f ∈ Lp(Q0)/fxi ∈ Lp(Q0);

con la norma

‖f‖H1,p = ‖f‖Lp +n∑

i=1

‖fxi‖Lp,

H1,p es un espacio de Banach. Usaremos el convenio: H1 ≡ H1,2. Laintroducción de los espacios Lp,λ permitió re-descubrir y generalizarun clásico resultado de C.B.Morrey: “(Stampacchia, 1965). Seaf ∈ H1,p(Q0) tal que fx ∈ Lp,λ, esto es, para cada subcubo Q ⊂ Q0

se tiene

1

|Q|1− λn

Q

|fx|pdx ≤ kp, con 0 ≤ λ ≤ n.

Entonces,si:

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ϕ−Espacios de Funciones

p < λ, se tiene f ∈ Lp,λ−débil, donde 1p= 1

p− 1

λ;

p = λ, se tiene f ∈ L1,0 ≡ BMO y [f ]L1,0 ≤ k;

p > λ, se tiene f ∈ L1,µ, con µ = λp− 1 < 0; esto es, f ∈ Hβ,

donde β = 1− λp.”

Si f satisface1

|Q|1−µn

∫Q|fx|qdx ≤ cq, con 1 < q < µ ≤ n, para todo

subcubo Q ⊂ Q0, entonces:

H1(Q0) ⊂ L1,λq , donde

1

q=

1

q− 1

µy λ =

n

q.

En esta dirección tenemos también a los espacios de funcio-nes Hölder-continuas de tipo fuerte Hα

r (Q0). Así, Campanato-Meyers probaron que si λ < 0, entonces Lp,λ ≃ Hα(Q0), donde

α = −λp. G. Stampacchia extendió esta idea probando que si λ < 0,

entonces Lp,λr coincide con funciones que están en una subclase delas funciones Hölder-Continuas Hα y que llamó funciones Hölder-continuas de tipo fuerte. Así se tiene la definición: “Sea 0 < α < 1;decimos que f ∈ Hα

r (Q0) si: (i) f es Hölder-continua con exponenteα en Q0; (ii) existe una constante L ≡ Lf tal que para cualquier sis-

tema de subcubos Qj ∈ S se tiene: supQj=S∈S

(∑j

|k(Qj)|2) 1

2

= L,

donde k(Qj) denota el coeficiente-Hölder con exponente α de la res-tricción f |Qj al subcubo Qj de f .”

Notación. L = [f ]Hαr (Q0). Se tiene el siguiente resultado debido

a Stampacchia:“Sea |Q0| < ∞, 0 < α < 1. Entonces, f ∈ Hαr (Q0),

con r ≤ n1−α

si y solo si f admite derivadas primeras (en el sentido

fuerte), las que están en Ln

1−α (Q0). ”

Si f ∈ Hαr diremos que f es Hölder-continua de tipo fuerte r, con

exponente 0 < α < 1.

Se tiene como consecuencia el siguiente clásico resultado para fun-ciones Lipschitz continuas (debido a Rademacher): “Si f es una

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Alejandro Ortiz Fernández

función Lipschitz continua entonces f admite primeras derivadas(sentido fuerte) las que están en L∞.”

(En efecto, si f es Lipschitz continua con coeficiente de Lipschitz

L, entonces f es Hölder-continua de tipo fuerten

1− αcon exponen-

te α, 0 < α < 1, y se tiene: ‖fxi‖L n1−α

≤ L|Q|; si α → 1 se obtiene‖fxi‖L∞ ≤ L).

(iv). Inmersiones en Lp,λ de Tipo Fuerte.

La Escuela Italiana liderada entonces (1960’s-1970’s) por Stam-pacchia y Campanato influyó en otras latitudes, así el prof. AkiroOno publicó diversos trabajos sobre los espacios Lp,λ de tipo fuer-te. Seguiremos a [ONO.1] para comentar algunos resultados sobreinmersiones de los espacios de funciones que estamos consideran-do (Lp, BMO,Hα,Λpα,Lp,λ, . . .), de los cuales vamos a remarcar alespacio de Lipschitz Λpα, 0 < α ≤ 1, 1 ≤ p < ∞. Diremos quef ∈ Λpα si f ∈ Lp(Rn) y existe una constante k ≡ kf , y h0 > 0 essuficientemente pequeño, tal que

sup|h|≤h0

‖τ−nf − f‖Lp(Rn)|h|α ≡ sup

|h|≤h0

(∫Rn

|f(x+ h)− f(x)|pdx) 1p

|h|α = k.

Así mismo recordemos que los espacios Lq,µ fueron caracterizadospara µ ≤ 0 y µ ≥ n; así tenemos:

Si µ ≥ n, Lq,µ = Lq(Q0);

Si µ = 0, Lq,0 = BMO;

Si µ < 0, Lq,µ = Hα, con α = −µq.

El caso 0 < µ < n fue estudiado por Ono, quien probó: “Λpα ⊂Lq

′′,nq′′

q′

r (Q0), donde 0 < α′′ < α′ < α ≤ mın

(1,n

p

),1

q′=

1

p− α′

n,

1

q′′=

1

p− α′ − α′′

n, q′′ ≤ r <∞.”

También a Ono se le debe los siguientes resultados de inmersión.

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ϕ−Espacios de Funciones

(a) “Lq,µr ⊂ Λpnp−µq, donde 0 ≤ n

p− µ

q≤ 1, 0 < r ≤ p < q <∞.”

(b) “Λpα+np⊂ Hα

r (Q0), donden

1− α≤ p ≤ n+ 1

1− α, p ≤ r <∞.”

(c) “Hαr (Q0) ⊂ Λpα+n

p, donde 0 < α ≤ 1− n

p, 0 < r ≤ p <∞.”

(v). Aplicaciones a EDP

Sean aij(x), i, j = 1, 2, · · · , n funciones medibles y limitadas en un

conjunto abierto Ω ⊂ Rn satisfaciendo

n∑i,j=1

aij(x)ξiξj ≥ ν(ξ)2, ν

constante > 0, ξ ∈ Rn; sean fi n funciones en L2(Ω) y u ∈ H1(Ω)la cual satisface

Ω

∑aijuxivxj dx =

Ω

∑fivxi dx, ∀v ∈ H1

0 (Ω).

Entonces se tiene:

«Existe una constante λ0, 0 < λ0 < 2 tal que para fi ∈L2,λ, λ0 < λ ≤ n, y cualquier abierto Ω′ tal que Ω′ ⊂ Ω, setiene uxi ∈ L2,λ».

«(Campanato 1965). Sea f ∈ L2,λ, −2 < λ ≤ n; sea Ω′ abiertotal que Ω′ ⊂ Ω.

(i) Si los aij son continuas y 0 < λ ≤ n, entonces uxi ∈L2,λ(Ω′);

(ii) Si los aij son Hölder-continuas en Ω y λ = 0, entoncesuxi ∈ BMO;

(iii) Si aij ∈ C0,−λ2 , −2 < λ < 0, entonces uxi ∈ L2,λ ≡

C0,−λ2 ».

«Sea A un operador diferencial parcial elíptico de orden m,y sea u una solución de Au = f , donde f ∈ L∞; entoncesDmu ∈ BMO(Q0).»

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Alejandro Ortiz Fernández

Espacios de Distribuciones Bp,k.Los espacios Bp,k son unos espacios de distribuciones temperadas (S ′)

que fueron introducidos para estudiar ciertos problemas de existenciaen ecuaciones en derivadas parciales. El lector interesado en estos espa-cios puede consultar la magnífica obra de Lars Hörmander: “Linear Par-tial Differential Operators”, [HOR.1] (1963), o mas recientemente, “TheAnalysis of Linear Partial Differential Operators”, Vol II: “DifferentialOperators with Constant Coefficients”, [HOR.2] (1983). Veamos algu-nos argumentos al respecto. Por razones de completitud de la exposiciónpartamos con algunas nociones básicas de la teoría de distribuciones.Mayores detalles pueden ser encontrados en las mencionadas obras deHörmander y en, por ejemplo, [ORT.4].

C∞0 (Rn) es el espacio vectorial de las funciones regulares ϕ : Rn → C

que poseen soporte compacto donde la topología ϕj → ϕ es dada en el

sentido

(∂

∂x

ϕj →(∂

∂x

ϕ uniformemente sobre compactos K, para

todo α = (α1, · · · , αn). C∞0 (Rn) provista con tal topología es denotada

con D, el que es un espacio vectorial topológico. Si T ∈ D′ (espacio dual),T es llamada una distribución (o función generalizada); es decir, T esuna funcional lineal y continua sobre D. Si Tj y T están en D′, diremosque Tj → T en D′ si lım

j→∞〈Tj , ϕ〉 = 〈T, ϕ〉, ∀ϕ ∈ D.

S es el espacio vectorial (de Schwartz) de las funciones ϕ : R → C talque ϕ ∈ C∞(R), ϕ y todas sus derivadas Dβϕ son funciones rápidamentedecrecientes, es decir: ϕ ∈ S sí (y sólo sí) ϕ ∈ C∞(R) y ∀(α, β) ∈ N× N

tenemos xαDβϕ(x) → 0 si |x| → ∞. Remarcamos que si ϕ ∈ S entoncesϕ es absolutamente integrable; en general, las xαDβϕ son localmenteintegrables. Dada ϕj en S, diremos que ϕj → 0 en S, si ∀(α, β) ∈N×N tenemos xαDβϕj(x) → 0 uniformemente sobre compactos cuandoj → ∞. ϕj → ϕ en S si ϕj − ϕ → 0 en S. El caso Rn en la definiciónde S conserva la idea esencial de n = 1; ahora xα = xα1

1 · xα22 · · ·xαnn y

Dβ ≡ ( ∂∂x)β = ∂β1

∂xβ11

· · · ∂βn

∂xβnn. Así, ϕ ∈ S(Rn) si ∀(α, β) ∈ Nn × Nn, ∃ una

constante Cα,β tal que |xαDβϕ(x)| ≤ Cα,β, ∀x ∈ Rn; su topología es dadapor ϕj → ϕ en S(Rn) si ∀ compactoK ⊂ R

n y ∀|β| ≥ 0, |β| = β1+. . .+βn,tenemos Dβϕj(x) → Dβϕ(x) uniformemente para x ∈ K.

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ϕ−Espacios de Funciones

Sea f una función definida sobre Rn; por definición, su transformadade Fourier es f(ξ) =

∫e−2πiξ·tf(t)dt, donde ξ · t = ξ1t1 + · · · + ξntn y∫

≡∫Rn. Si f ∈ L1, f está bien definida. Si ϕ ∈ S, entonces:

(i) ϕ ∈ C∞(Rn) y Dαϕ(ξ) = (−2πi)|α|ξαϕ(ξ);

(ii) (Dαϕ)∧(ξ) = (2πi)|α|ξαϕ(ξ);

(iii) ϕ ∈ S.

Las Distribuciones Temperadas S ′.

Se tiene D ⊂ S. T : D(Rn) → C es una distribución temperadasi es una funcional lineal y continua con la topología inducida por S;escribimos T ∈ S ′ (dual topológico de S). Se tiene S ′ ⊂ D′, con inclusiónpropia y continua. Ejemplos: L1 ⊂ S ′; L∞ ⊂ S ′; si f ∈ L1

loc tal que para

algún k ∈ N, k > 0, se tiene∫ |f(x)|(1 + |x|2)k dx <∞, entonces f ∈ S ′(Rn).

Si T ∈ S ′, T (su transformada de Fourier) es definida vía 〈T , ϕ〉 =

〈T, ϕ〉, ∀ϕ ∈ S. Si T ∈ S ′ entonces T ∈ S ′. Veamos algunos argumentossobre los espacios de Sobolev Hs(Rn), donde s es un número real, loscuales son definidos vía:

Ls(Rn) ≡ Hs(Rn) = u ∈ S ′/ (1 + |ξ|2) s2 u ∈ L2(Rn).

Si definimos al operador Λs vía (Λsu)∧(ξ) = (1 + |ξ|2) s2 u(ξ), entoncesHs = u ∈ S ′/ Λsu ∈ L2, el cual es un espacio de Hilbert con la norma

‖u‖s =∫(1 + |ξ|2)s|u(ξ)|2 dξ.

En el estudio de las soluciones de ecuaciones diferenciales se hace necesa-rio establecer la regularidad de ellas y se requiere establecer condicionessobre la regularidad de las funciones o distribuciones u, con soporte com-pacto (para tener control en el infinito). Bien, observemos la definicióndada del espacio Hs, s real; más concretamente, al “peso” (1 + |ξ|2) s2 ,que lo podemos considerar como una función ks(ξ).Se observó que es-ta función pertenece a una clase general de funciones “peso” y de esta

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Alejandro Ortiz Fernández

manera se amplían los espacios de funciones (de Sobolev) que surgenal variar los ks(ξ). La cuestión natural que aparece en este panoramade un modo mas general y viendo la definición de Hs dada antes,¿paracuales funciones k es cierto que ku ∈ Lp? (la respuesta en el caso Hs

es:k(ξ) = (1+ |ξ|2) 12 , cuando p = 2.) La clase de tales distribuciones tem-

peradas u que responden a la cuestión planteada constituye el espacioBp,k. Estos espacios surgieron en la teoría de las ecuaciones en derivadasparciales (ver [HOR.1] y [HOR.2]); tal fue el caso con el construido conla función “peso” ks(ξ) = (1 + |ξ|2) s2 ; otra función peso es construidavía: sea P un polinomio de grado m y definamos P : Rn → [0,∞) vía,

P (ξ) =

( ∑|α|≥0

|DαP (ξ)|2) 1

2

, entonces P es una función “peso” en el si-

guiente sentido, en general!: “una función k : Rn → [0,∞) es llamadauna función peso (temperada) si existen constantes positivas C y N talque k(ξ + η) ≤ (1 + C|ξ|)Nk(η), ∀ξ, η ∈ Rn”. Pongamos:

K = k función peso.Se tiene la siguiente caracterización:

K = k : Rn → [0,∞)/∃C,N > 0tal que

(1 + C|ξ|)−N ≤ k(ξ + n)

k(ξ)≤ (1 + C|ξ|)N , ∀ξ, η ∈ R

n.

Ejemplo 4. ks, s real, y P están en K. Veamos que P ∈ K. En efecto,

|P (ξ + η)|2 =∑

|α|≥0

|DαP (ξ + η)|2

= (Taylor)∑

|α|≥0

∣∣∣∣∑

0≤|β|≤|α|

Dα+βP (η)ξβ

β!

∣∣∣∣2

≤∑

|α|≥0

|DαP (η)|2 +∑

|α|≥0

∣∣∣∣∑

0<|β|≤|α|

Dα+βP (η)ξβ

β!

∣∣∣∣2

= |P (η)|2 +∑

|α|≥0

Qα(|ξ|)|DαP (η)|2

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ϕ−Espacios de Funciones

= |P (η)|2 +∑

|α|>0

Qα(|ξ|)|P(η)|2

= [1 +∑

|α|>0

Qα(|ξ|)]|P (η)|2

donde Qα es un polinomio de grado 2m,Qα(0) = 0 y sus coeficientesdependen solo de m y n. Por tanto existe una constante C = C(m,n) talque

1 +∑

|α|≥0

Qα(|ξ|) ≤ (1 + C|ξ|)2m, ∀ξ ∈ Rn;

luego se obtiene

|P (ξ + n)|2 ≤ (1 + C|ξ|)2m|P (η)|2;por tanto

P (ξ + n) ≤ (1 + C|ξ|)mP (η)y se tiene P ∈ K. 2

Si k1, k2 ∈ K, entonces: k1 + k2, k1k2, supk1, k2 y ks1, s real, están en K.Ahora definimos al espacio Bp,k. Sea k ∈ K, 1 ≤ p <∞, entonces

Bp,k =u ∈ S ′/u es una función y ‖u‖p,k =

(∫|k(ξ)u(ξ)|pdξ

) 1p

<∞;

si p = ∞, B∞,k = u ∈ S ′/ sup ess|k(ξ)u(ξ)| <∞.

Ejemplo 5.

(i) Sea u ∈ S ′, k = P , p = 2; entonces u ∈ Bp,k.En efecto,

‖u‖2,P =

(∫ ∑

α

|DαP (ξ)|2|u(ξ)|2dξ)1

2(

donde∫

≡∫

Rn

)

=

(∑

α

∫|(DαP (D)u)∧(ξ)|2dξ

) 12

=

(∑

α

‖(DαP (D)u)∧‖2L2

) 12

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Alejandro Ortiz Fernández

=

(∑

α

‖DαP (D)u‖2L2

) 12

<∞.

2

(ii) Si P es un polinomio y u ∈ Bp,k, entonces P (D)u ∈ Bp, kP

. Consi-

deremos p < ∞. Debemos ver que ‖P (D)u‖p, kP

< ∞, esto es que

(∫| k(ξ)P (ξ)

(P (D)u)∧(ξ)|p dξ) 1p <∞.

En efecto, tenemos

|(P (D)u)∧(ξ)| = |P (ξ)u(ξ)| ≤ |P (ξ)u(ξ)| = |P (ξ)| |u(ξ)|;

de esta manera |(P (D)u)∧ k

P| ≤ |u|k. Luego,

‖P (D)u‖p, kP

≤ (

∫(k|u|)pdξ) 1

p <∞,

pues u ∈ Bp,k. 2

“Con la norma ‖‖p,k,Bk,p es un espacio de Banach” ([HOR.2]).En efecto, (bosquejo) sea

Lp,k (el espacio de Banach) = v medible /‖v‖ = ‖kv‖Lp <∞.

Entonces se tiene:S ⊂ Lp,k ⊂ S ′. Veamos estas inclusiones. Sea ϕ ∈ S (ϕ

medible); tenemos ‖kϕ‖p = (∫|k(ξ)ϕ(ξ)|pdξ) 1

p (ahora usamos la siguienteestimativa para k,

k(ξ) ≤ k(0)(1 + C|ξ|)N) ≤ k(0)

(∫|(1 + c|ξ|)ϕ(ξ)|pdξ

) 1p

<∞

(si ϕ ∈ S, (1 + C|ξ|)Nϕ ∈ S).

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ϕ−Espacios de Funciones

Así, ‖ϕ‖ < ∞ y ϕ ∈ Lp,k, con inclusión continua. Veamos ahora que

Lp,k ⊂ S ′. Sea v ∈ Lp,k y ϕ ∈ S; si1

p+

1

q= 1, tenemos:

∣∣∣∣∫v(ξ)ϕ(ξ) dξ

∣∣∣∣ ≤∫ ∣∣∣∣k(ξ)v(ξ)

ϕ(ξ)

k(ξ)

∣∣∣∣ dξ

≤(∫

|k(ξ)v(ξ)|p dξ) 1

p(∫ ∣∣∣∣

ϕ(ξ)

k(ξ)

∣∣∣∣q

) 1q

= ‖v‖(∫

|ϕ(ξ)k(ξ)

|qdξ) 1

q

<∞

(k ∈ K implica1

k∈ K;ϕ ∈ S, luego ϕ ∈ Lp,k.) Así, la aplicación v →

∫vϕ

es lineal continua sobre S; así v ∈ S ′. Observando la construcción de Lp,ky Bp,k (sus normas) y el isomorfismo (la transformada de Fourier entre Sy S ′, se obtiene el isomorfismo entre Lp,k y Bp,k, lo que implica que Bp,kes un espacio de Banach)

2

Además, S ⊂ Bp,k ⊂ S ′, siendo S denso en Bp,k.Los espacios Bp,k, y otros (como los E ′(f) y los espacios locales Lloc)

fueron usados para estudiar teoremas de existencia y las propiedadeslocales de soluciones de ecuaciones en derivadas parciales. Esto y muchosotros temas existen en la amplia y rigurosa obra de Lars Hörmander,“The Analysis of Linear Partial Differential Operators” en 4 volúmenes,el que es un excelente tratado de consulta para quienes se dediquen a losaspectos teóricos de las EDP’s.

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Alejandro Ortiz Fernández

f

Problemas de Valor de Contorno sobreDominios No-Regulares.(Breve Visión).

Como sabemos, los clásicos espacios de funciones están íntimamen-te relacionados a problemas concretos; tal es el caso de los espaciosC0(D), C1(D), · · · , C∞(D), donde D ⊂ Rn es un dominio regular, aco-tado. En esta dirección hemos visto a los clásicos problemas de Dirichlety de Neumann; el primero consiste en, dado f ∈ C∞(∂D) encontraru armónica en D, continua en D e igual a f sobre ∂D; problema queconsiste en encontrar la temperatura dentro del cuerpo D conociendo latemperatura f sobre el contorno ∂D; el problema de Neumann consisteen, dado f ∈ C∞(∂D), encontrar u armónica en D, u ∈ C1(D) y tal que∂u

∂n= f sobre ∂D; esto es, se trata de encontrar la temperatura dentro

de D cuando conocemos el flujo de calor f a través de ∂D. Una cuestióna estudiar fue describir el comportamiento de u en el contorno cuandolos dominios fueron regulares, lo que fue extendido al caso de dominiosno-regulares, esto es, dominios con “esquinas” como son los dominios deLipschitz; también se consideraron los C1,α, . . . . Se observó que en ciertassituaciones el espacio de Lebesgue L2 es mas conveniente que Ck, aúnen el caso de dominios regulares. Históricamente el primer modelo dondese consideró tales problemas que considerando la “bola unitaria” B, loque fue hecho por Fatou en 1906, quien trabajó con el disco en R2 y conf ∈ L∞ (f acotada).

En el periodo 1948-50, A.Calderón (bajo la orientación de A.Zygmund)escribió diversos trabajos sobre ese, y otros, tipo de problema; su traba-jo “On the Behaviour of Harmonic Functions on the Boundary” fue, dealgún modo, el punto de partida de posteriores investigaciones a iniciosde la segunda mitad del siglo pasado. Así, L. Carleson en 1962 publica“On the Existence of Boundary Values for Harmonic Functions in Seve-ral Variables”, trabajo que está relacionado con el citado de Calderón, ytambién con el de E.Stein. Veamos el siguiente resultado.

Sea P = (x1, ..., xn, y) ≡ (x, y) ∈ Rn+1; |x| denota la distancia sobre

el sub-espacio n−dimensional X = P/y = 0; sea el cono Vα(x0) =

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ϕ−Espacios de Funciones

(x, y)/|x− x0| < αy (α > 0 real); entonces se tiene (Carleson):«Sea u(P ) una función armónica en y > 0; asumimos que para casi

todo x ∈ X, existe un cono Vβ(x) tal que u(P ) es acotado inferiormenteen Vβ(x). Entonces existe el lım

P→(x,0)

P∈Vβ(x)

u(P ), c.t.p en X para todo α».

La idea de converger a la frontera vía conos fue una forma “mas có-moda” y conveniente en dominios que tengan esquinas, por ejemplo; paradominios no-regulares mas complicados para arribar a puntos en la fron-tera será necesario introducir nuevos “caminos” adecuados a situacionespuntuales. Todo esto que un proceso que fue desarrollado motivado porproblemas concretos en dominios no-regulares. Este tipo de recurso yahabía sido usado por Fatou a inicios del siglo pasado al probar: “si u(z) esarmónica y acotada en |z| < 1, entonces u tiene un límite no-tangencialen c.t.p de eiθ. La misma conclusión se obtiene si u es solo acotada infe-riormente.” Una versión local de este resultado es : “si u(z) es armónicaen |z| < 1, y en cada punto eiθ de un conjunto medible E existe un conosobre el cual u(z) es acotada superior o inferiormente, entonces u(z) tieneun limite no-tangencial en cada punto eiθ ∈ E.” Lo interesante fue quelos métodos usados para el disco |z| < 1 pudieron aplicarse a funcionesarmónicas sobre la bola unitaria de Rn+1, pero al contrario de |z| < 1 yano se dispone ahora del teorema de la aplicación conforme lo que forzó labúsqueda de técnicas mas generales y complicadas. Para ciertos dominiosD de Rn+1 se obtuvieron resultados, en tal dirección, debidos a Calderón(1950), Carleson (1962), Brelot-Doob (1963) y Widman (1964).

E eiθ

En 1967, R.Hunt-R.Wheeden publican “On the Boundary Values ofHarmonic Functions” en donde obtienen valores de contorno no-tangencialespara funciones los cuales son armónicas en dominios D ⊂ Rn+1 que son

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de tipo mas generales y que son acotadas superior e inferiormente sobreconos, ellos consideran dominios regulares para la solución del problemade Dirichlet.

Hunt-Wheeden, para un dominio regular D, establecen: [∗]. “Sea E ⊂∂D y supongamos que para cada Q ∈ E exista un cono con vértice Q, elcual es exterior a D.

EQ

∂D

D

u

Si u es armónica enD y es acotada superior o inferiormente en un conocon vértice Q, para cada Q ∈ E, entonces u tiene un límite no-tangencialen cada Q ∈ E, excepto para un conjunto de medida armónica cero.”A esta altura es conveniente remarcar la idea de “limite no-tangencial”así como la de “medida armónica”. Veamos algunos conceptos. Para cual-quier dominio D, un cono Γ, con vértice Q ∈ ∂D, es llamado conono-tangencial en Q si existe un cono Γ′ tal que

Γ− Q ⊂ Γ′ ⊂ D.

Γ QD

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ϕ−Espacios de Funciones

Un subdominio S de D es llamado no tangen-cial en Q ∈ ∂D si S ∩ ∂D = Q y todos los puntosde S cerca de Q están contenidos en una unión finitade conos no-tangenciales en Q.Una función u(P ), P ∈ D, es dicha ser no tangen-cialmente acotada en Q∈ ∂D si ella es acotada encada subdominio no-tangencial en Q.

D

Q

S

Figura 5:(Límite no-tangencial). Diremos que u tiene lími-te no-tangencial L en Q si lım

P→Qu(P ) = L existe

dentro de todo subdominio no-tangencial en Q.Estas ideas, y otras, están relacionadas con la teoríadel potencial y con los clásicos problemas de Dirichlety Neumann cuando los datos g podrían ser “toscos”,esto es, los datos no precisan ser continuas, podríanestar en Lp, 1 ≤ p ≤ ∞, por ejemplo. Como sabemos

D

Q

Figura 6:

tales problemas son: P.D. “encontrar u tal que ∆u = 0 en D y u

∣∣∣∣∂D

= g

sobre ∂D.”

P.N. “encontrar u tal que ∆u = 0 en D y∂u

∂nQ

∣∣∣∣∂D

= g(Q), (nQ es

la normal unitaria a lo largo de ∂D)”. La “tosquedad” puede tambiéndeberse a que D y ∂D podrían no ser regulares, esto es, podrían ser soloC1 o ser “dominios de Lipschitz”. Si la data g no fuera continua, elloforzó restringir el sentido de como los X ∈ D convergen a la frontera;una forma fue considerar límites no-tangenciales que ahora, en forma másintuitiva, diremos:

u

∣∣∣∣∂D

= g se interpreta como lımX→Q

X∈Γ(Q)

u(X) = g(Q) c.t.p. Q ∈ ∂D, y

∂u

∂nQ

∣∣∣∣∂D

= g significa lımX→Q

X∈Γ(Q)

〈∇u(X), nQ〉 = g(Q), c.t.p. Q ∈ ∂D. (Γ(Q)

es un cono interior con vértice Q ∈ ∂D y apertura fija).La evolución de estas ideas y métodos para resolver los citados pro-

blemas en contextos más generales fue significativamente enriquecida conlos trabajos que produjo B. E. J. Dahlberg en el período 1976-1979,

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quien desarrolló métodos para la teoría del potencial basados en la no-ción de medida armónica (dω) para probar la unicidad de la solucióndel problema de Dirichlet cuando g ∈ Lp(∂D, dσ) y, p ≥ 2 si D es undominio de Lipschitz; y para p > 1 si D es un dominio C1. Pero, estosmétodos-medida armónica tuvieron ciertas dificultades para aplicarlos alproblema de Neumann; fue así que los analistas recurrieron al antiguométodo de las ecuaciones integrales. Veamos las nociones de dominio deLipschitz y los C1. La función ϕ : Rn → R es llamada una función deLipschitz si |ϕ(x)− ϕ(x′)| ≤M |x− x′|.

Dominios de Lipschitz. Un dominio limitado D ⊂ Rn es un domi-nio de Lipschitz si a cada punto Q ∈ ∂D le corresponde un sistema decoordenadas local (x, t), x ∈ Rn−1, t ∈ R, así como una vecindad N deQ (vecindad que puede ser una bola con centro Q, o un cilindro circularrecto con centro Q) tal que

N ∩D = N ∩ (x, t)/ t > ϕ(x),N ∩ ∂D = N ∩ (x, t)/ t = ϕ(x),

donde ϕ es una función de Lipschitz. Es decir, en un dominio de Lipschitzla frontera es “parchada” localmente con curvas de Lipschitz, las quetienen cierta regularidad y evitar así a puntos “peligrosos”. Por ejemplo,un rectángulo es un dominio de Lipschitz. Observemos que como ∂D escompacto, se puede determinar un número finito de tales funciones ϕ′s.

Si tales funciones ϕ son, además, continuamente diferenciables, en-tonces D es llamado un dominio C1. Y aún, si el gradiente ∇ϕ satisface|∇ϕ(x)−∇ϕ(x′)| ≤ c|x−x′|α, entonces D es llamado un dominio C1,α.

Medidas Armónicas.

Sea D un dominio de Lipschitz y f una función continua definidasobre ∂D; sea Hf la solución del problema de Dirichlet con dato decontorno f . Si P ∈ D , la aplicación f → Hf(P ) es una funcional linealcontinua sobre C(∂D); luego, por el teorema de representación de Riesz

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ϕ−Espacios de Funciones

Q

D ∂D

νϕ

Rn−1

existe una única medida de Borel ωp sobre ∂D tal que

Hf(P ) =

∂D

f(Q) dωp(Q).

ωp es llamada una medida armónica para D, evaluada en P . SiE es un conjunto de Borel en ∂D, ωP (E) es su medida armónica,la que es una función armónica sobre D. Si P0 es fijo y ωP0(E) = 0,entonces por el principio del máximo se tiene ωP (E) = 0 paratodo P . Si ωP (E) = 0 diremos que E es un conjunto de medidaarmónica cero en D. Sea ahora f(Q) una función de Borel, Q ∈∂D, la que es integrable con respecto a la medida armónica ωP ,entonces Hf(P ) =

∫∂Df(Q) dωP (Q) es una función armónica en

D y es llamada la integral de Poisson de f . u(P ) = Hf(P ) esla solución generalizada del problema de Dirichlet para f . Luego,como lım

P→Qu(P ) = f(Q) se tiene que

lımP→Q

∂D

f(Q) dωP (Q) = f(Q).

Ahora estamos en condiciones de comprender al resultado [∗] deHunt-Wheeden establecido anteriormente. Pasemos ahora a comen-tar algunos resultados de Dahlberg.

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El Aporte de Dahlberg

La evolución del teorema de Fatou y sus conexiones con distintas ideasde la teoría del potencial clásico, fundamentalmente con el problema deDirichlet, fue ampliado significativamente a fines de la década de los1970’s. Hemos visto como Hunt-Wheeden estudian, por primera vez, losproblemas de contorno sobre dominios más generales, los dominios deLipschitz. Como hemos dicho, durante los años 1976-79 el matemáticosueco Bjorn Dahlberg desarrolla un ingenioso camino para expresar lateoría del potencial en el contexto de los espacios de Lipschitz y lasmedidas armónicas.

Veamos el siguiente esquema:

(a) Una de las primeras cuestiones que estudia Dahlberg [DAH.1] es larelación entre la medida armónica ω sobre un dominio de LipschitzD ⊂ Rn y la medida de superficie σ (o medida de Hausdorff (n −1)−dimensional). Prueba que si E ⊂ ∂D es un conjunto de Borel,entonces

ω(E) = 0 ⇔ σ(E) = 0

(escribimos σ(E) = 0 pues las medidas σP (E) son absolutamentecontinuas mutuamente para todo P ). Es decir, se establece quela medida armónica es absolutamente continua con la medida de(Lebesgue) superficie σ, o sea que ω y σ son equivalentes sobre ∂D.

Luego el resultado de Hunt-Wheeden puede ser escrito en la forma:si u es una función armónica positiva sobre un dominio de Lipschitz,entonces existe un subconjunto Y ⊂ ∂D, con σ(Y ) = 0, tal queu(Q) es límite no-tangencial para Q ∈ ∂D − Y.

(b) El problema clásico de Dirichlet es planteado con dado de contornof continuo. Dahlberg en [DAH.2] estudia el problema cuando eldado de contorno está en Lp.

Verifica que el problema para la ecuación de Laplace en un domi-nio de Lipschitz es soluble solamente si p ≥ 2. La prueba de laexistencia de la solución del problema de Dirichlet con f ∈ L2(dσ)es basada fundamentalmente en el resultado establecido en (a). La

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ϕ−Espacios de Funciones

motivación para el ataque de tal cuestión es, por supuesto, el si-guiente resultado clásico: “si D es la bola unitaria, f una funciónintegrable con respecto a la medida armónica ω y Hf su integralde Poisson familiar, entonces para 1 < p <∞ se verifica que

∂D

sup0<r<1

|Hf(rQ)|p dσ(Q) ≤ Cp

∂D

|f(Q)|p dσ(Q)”, (∗)

Dahlberg se plantea el problema de extender esta desigualdad cuan-do D es un dominio de Lipschitz. Observe que el resultado es ciertosolo para 2 ≤ p <∞ pues puede fallar en el intervalo 1 < p < 2; sinembargo si D es un dominio C1 el resultado vale para 1 < p < ∞.Dahlberg prueba que desigualdades del tipo [∗] son equivalentes acierta relación entre las medidas de conjuntos en un dominio deLipschitz D ⊂ Rn, n ≥ 3. Sea 2 ≤ p <∞ y ν una medida positivasobre D. Entonces son equivalentes las siguientes afirmaciones:

(i) existe una constante K tal que para todo f ∈ Lp(σ) se tiene∫

D

|Hf |p dµ ≤ K

∂D

|f |p dσ.

D

P

(ii) existe una constante M tal que para todo P ∈ ∂D y todor > 0 se tiene

νQ ∈ D/ |Q− P | < r ≤Mrn−1.

[Remarcamos que la medida de la bola es asumido ser rn yque rn−1 es la medida de su superficie].

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(c) Se observa que en el teorema de Fatou y en sus extensiones, la acota-ción (o acotación inferior o superior) de la función armónica u sobreconos truncados (contenidos en el dominio), es parte de la hipótesis.Esta presenta ciertas dificultades analíticas y por ello se buscó otracaracterización para la existencia del límite no-tangencial de u. Es-tos esfuerzos se remontan a los trabajos de Macinkiewicz-Zygmund(1938), Spencer (1943).

En este espíritu, las ideas de función integral área y de función maxi-mal no-tangencial son de utilidad. En el plano, para el círculo Marcinkiewicz-Zygmund (condición necesaria) y Spencer (condición suficiente) proba-ron: u(Z) tienen límite no-tangencial a.e. dθ en E ⇔ la integral área

Aα(u)(eiθ) =

(∫

Γα(eiθ)

|∇u(x+ iy)|2 dxdy)1/2

es finita a.e. dθ en E.

Posteriormente A. P. Calderón [CAL.5] (1950), extiende parcialmente talresultado; prueba que “si u es una función armónica limitada sobre conostruncados Γα(x) con vértices en E ⊂ R

n = ∂(Rn+1) entonces la funciónintegral área

Aα(u)(x) =

(∫

Γα(x)

dist(Q,Rn)1−n|∇u(x)|2 dQ)1/2

es finita a.e. dx en E.”Como se observa quedó abierto el probarse la condición suficiente.

Ello fue hecho por E. M. Stein (1961). Posteriores investigaciones enesta dirección son debidos a varios matemáticos, entre los que citamosBurkholder, Gundy, Wheeden, . . .

En 1978, Dahlberg [DAH.3] estudia la función integral área en su re-lación con la función maximal no-tangencial sobre dominios de Lipschitzen Rn, extendiendo así una serie de resultados previos. Sea D un dominiode Lipschitz en Rn; asumamos que a cada P ∈ ∂D le está asociado uncono (abierto) Γ(P ) con vértice en P tal que Γ(P ) ⊂ D. Si u es unafunción armónica en D, la función integral área es

A(u, P ) =

(∫

Γ(P )

|P −Q|2−n|∇u(Q)|2 dm(Q)

)1/2

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ϕ−Espacios de Funciones

y la función maximal no-tangencial es N(u, P ) = supΓ(P )

|u(Q)|. (Re-

marcamos que ∇u =

(∂u

∂x1, · · · , ∂u

∂xn

)y que m es la medida de Lebes-

gue). Sea Φ : [0,∞) → [0,∞) una función no limitada, no-decreciente,continua y tal que Φ′(2t) ≤ cΦ′(t). Entonces, bajo ciertas condicio-nes sobre los conos Γ(P ), Dahlberg prueba que para u armónica enD, u(P ∗) = 0 con P ∗ ∈ D fijo, se tiene que existen constantes C1 yC2 tal que

C1

∂D

Φ(A(u)) dµ ≤∫

∂D

Φ(N(u)) dµ ≤ C2

∂D

Φ(A(u)) dµ (+)

donde µ varía en una clase ancha de medidas, que incluyen a las medidasde superficie y armónicas.

La naturaleza de Φ, de la medida µ y del dominio D dan en particu-lar resultados previos de la teoría. Así, si Φ es la identidad, [+] guardael germen de la cuestión planteada anteriormente sobre reemplazar laacotación de u, sobre conos, por la función área. Si Φ(t) = tp, p > 0,es el caso de Fefferman-Stein [FEF-STE] cuando µ es la medida de su-perficie y D es R

n+1+ . La introducción de la clase general Φ es debido a

Burkholder-Gundy [BUR-GUN] con µ y D como antes. Gundy-Wheeden[GUN-WHE], amplían la clase de medidas al considerar que las medidaspertenecen a la clase A∞.

Como se aprecia, el aporte de Dahlberg es atacar estos casos en elcontexto de los dominios de Lipschitz. En posteriores trabajos Dahlbergestudia problemas relacionados al comportamiento radial sobre la fron-tera de funciones subarmónicas en un dominio de Lipschitz, así como elestudio de los potenciales de Green en tales dominios.

El Problema de Neumann y Otros Tipos de Dominios.

Otro problema clásico lo constituye el problema de Neumann queafirma que dada una función continua g sobre el contorno de un dominio

se trata de encontrar u ∈ C1(D) tal que ∆u = 0 enD y∂u

∂n= g sobre ∂D,

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Alejandro Ortiz Fernández

donde n es la normal unitaria interior a ∂D. Recordemos que Dahlberg,usando ciertas estimativas para la medida armónica, resuelve el problemade Dirichlet con dado de contorno f ∈ Lp(∂D, dσ) para p ≥ 2 si D es undominio de Lipschitz y para p > 1 si D es un dominio C1. Sin embargotal método pareció no funcionar para atacar el problema de Neumannsobre tales dominios. Es así como aparecieron otras contribuciones.

(A) Contribución de Fabes-Jodeit-Riviere.

Fabes-Jodeit-Riviere retornan al clásico método de las camadas depotenciales, vía ecuaciones integrales, para atacar problemas decontorno cuando el dominio es C1. En [FAB-JOD-RIV] resuelven elproblema de Neumann cuando D es C1 dejando abierta la cuestiónde saberse si el método de las camadas funciona para resolver losproblemas de Dirichlet y Neumann sobre dominios de Lipschitz.

(B) Contribución de Jerison-Kenig.

Los matemáticos David Jerison y Carlos Kenig elaboraron toda unaserie de trabajos destinados a ampliar el universo de los temas tra-tados anteriormente. Vía una antigua fórmula integral, ellos logranresolver el problema de Neumann para dominios D de Lipschitz(1981) [JER-KEN.1]. De un modo más preciso: Si g ∈ L2(dσ), con∫∂Dg dσ = 0, entonces existe una única función u tal que ∆u = 0

en D,∂u

∂n= g en ∂D,

∫∂Du dσ = 0 y ‖N(∇u)‖L2(dσ) ≤ c‖g‖L2(dσ),

donde N(v) es la función maximal no-tangencial de v sobre D.

Jerison-Kenig consideran además otros tipos de dominios, entre losque destacamos los amplios dominios no-tangencialmente accesibles(NTA), los que incluyen a los dominios de Lipschitz y otros clási-cos dominios, como los dominios de Zygmund. Ellos, por ejemplo,extienden el teorema de Fatou cuando el dominio D es NTA. Asi-mismo extienden a estos dominios el teorema relativo a la funciónintegral área al establecer que el conjunto de puntos de ∂D dondela función integral área de u (armónica en D) es igual a.e. respectoa w (medida armónica), al conjunto de puntos donde u tiene límiteno-tangencial [JER-KEN.2].

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ϕ−Espacios de Funciones

Los dominios NTA son dominios que tienen forma “enroscada”; ima-ginar que para llegar a un punto de la frontera se tiene que seguirel camino del “tirabuzón”. El desarrollo de la geometría de estos do-minios es interesante; ver [JER-KEN.2]. Jerison-Kenig considerantambién otros tipos de dominios los cuales tienen aplicaciones en elestudio de las ecuaciones en derivadas parciales. Así, por ejemplo,se tienen los dominios Lp1 que se caracterizan porque sus contor-nos son “parchados” (localmente) con curvas ϕ tal que ∇ϕ ∈ Lp.Para estos dominios, con p > n − 1, Jerison-Kenig prueban quela medida armónica y la de superficie son absolutamente continuamutuamente sobre ∂D. Si la condición fuera ∇ϕ ∈ BMO, se tienenlos dominios BMO1 y verifican que BMO1 ⊂ NTA y que la medidaarmónica pertenece a la clase A∞.

Otro aspecto que tiene su propio interés es la teoría de los espaciosde Hardy Hp y su relación con los temas tratados acá. Jerison-Kenig en [JER-KEN.2] estudian el caso D un NTA para los Hp,su descomposición atómica y el problema de la dualidad de H1

(D, dw) con BMO (∂D). Pero todo esto es otra historia!

(C) Contribución de Fabes-Neri.

El estudio sistemático de la ecuación X = k ∗Y , donde X es un es-pacio de funciones armónicas, Y un espacio de funciones, k el núcleode Poisson y ∗ una convolución, fue hecho por Fabes-Johnson-Neri.Motivados por el desarrollo de la teoría de los dominios de Lips-chitz, Fabes y Neri se propusieron estudiar el problema de Dirichletcon dados de contorno en BMO sobre un dominio de Lipschitz, es-tudio que primero es hecho en el caso n = 2, [FAB-NER.1] y luegoen el caso general en [FAB-NER.2].

Nota 16. A través de esta sección hemos apreciado la interrelación entredistintos espacios de funciones con los diversos métodos para atacar losclásicos problemas de Dirichlet y de Neumann en dominios de Lipschitzy en otros tipos de dominios. Esta presentación es una breve motivaciónpara un lector interesado en estudiar este tipo de cuestiones, los que sonde actual investigación. En esta dirección resaltamos la contribución delprofesor Carlos E. Kenig.

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V

ESPACIOS PARABÓLICOS

a

Introducción y MotivacionesUn capítulo importante en el análisis real es la teoría de las inte-

grales singulares dado que ella, entre otras aplicaciones, abrió un puen-te de contacto con la solución de problemas fundamentales en ecua-ciones diferenciales parciales. Ver [CAL.6], [ORT.3] para una presenta-ción detallada de la teoría de Calderón-Zygmund sobre tales integra-les. Sea x ∈ Rn y Tf(x) =

∫Rn

k(x − y)f(y)dy una integral singular,

donde el núcleo k(x) satisface la condición de homogeneidad de grado−n,k(tx) = t−nk(x), con t > 0. Esta condición para el núcleo, entreotras, permite obtener una buena teoría para tales operadores la quees continua sobre los espacios Lp, 1 < p < ∞. El éxito de la teoría deCalderón-Zygmund permitió el estudio de ecuaciones de tipo parabóli-co, en donde se consideran núcleos k(x, s) que satisfacen la condiciónde homogeneidad k(tx, tms) = t−n−mk(x, s). Los operadores integralesconstruidos en base a tales núcleos, son continuos en Lp, 1 < p <∞.

Este tipo de operadores fueron estudiados por B.F.Jones(1964), E. B.Fabes (1966) y continuado por otros. Esas condiciones de homogeneidadfueron generalizadas por E. B. Fabes - N. M. Riviere (1966) [FAB-RIV],quienes consideran núcleos satisfaciendo una homogeneidad mixta, así:

k(tα1x1, . . . , tαnxn) = t

−n∑i=1

αik(x1, . . . , xn)

con t > 0, αi ≥ 1, x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn.

Consideremos la función F (x, ρ) =n∑j=1

xj2

ρ2αjsiendo x fijo, ρ > 0. Ob-

servemos que F (x, ρ) es una función decreciente de ρ y por consiguiente

199

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Alejandro Ortiz Fernández

la ecuación F (x, ρ) = 1 tiene una única solución, la cual es llamada ρ(x).Pongamos Sn−1 = x ∈ Rn/|x| = 1. Entonces tenemos que

(x1

ρα1(x), . . . ,

xnραn(x)

)∈ Sn−1

ya quex21

ρ2α1(x)+ . . .+

x2nρ2αn(x)

= F (x, ρ) = 1.

Además,

Lema 14. ρ(x) es una métrica.

Prueba. Observemos que ρ(x) ≤ 1 es equivalente a |x| ≤ 1 ya que

ρ(x) ≤ 1 implica1

ρ2αj (x)≥ 1, de donde

n∑j=1

x2j ≤n∑j=1

x2jρ2αj (x)

= 1, es-

to es |x| ≤ 1. Además se tiene que ρ(tα1x1, . . . , tαnxn) = tρ(x1, . . . , xn),

esto es, ρ(tαx) = tρ(x). En efecto,

n∑

j=1

t2αjx2jρ2αj (tα1x1, . . . , tαnxn)

= 1 =n∑

j=1

x2jρ2αj (x1, . . . , xn)

de dondet2αj

ρ2αj (tα1x1, . . . , tαnxn)=

1

ρ2αj (x1, . . . , xn)

esto es, t2αjρ2αj (x1, . . . , xn) = ρ2αj (tα1x1, . . . , tαnxn), de donde se tiene lo

deseado.Probemos ahora la desigualdad triangular ρ(x+ y) ≤ ρ(x) + ρ(y).En efecto, llamemos t1 = ρ(x), t2 = ρ(y) y t = t1 + t2.De las observaciones hechas es suficiente ver que

(x1 + y1tα1

, . . . ,xn + yntαn

)=

((t1t

)α1

x∗1, . . . ,

(t1t

)αn

x∗n

)+

((t2t

)α1

y∗1 , . . . ,

(t2t

)αn

y∗n

)

donde (x∗1, . . . , x∗n) y (y∗1, . . . , y

∗n) están en Sn−1. Esta igualdad es cierta

ya que

200

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ϕ−Espacios de Funciones

(x1 + y1tα1

, . . . ,xn + yntαn

)=

(x1tα1

, . . . ,xntαn

)+

(y1tα1

, . . . ,yntαn

)

=

(tα11

tα1

x1tα11

, . . . ,tαn

1

tαn

xntαn

1

)+

(tα12

tα1

y1tα12

, . . . ,tαn

2

tαn

yntαn

2

).

Pongamos x∗i =xitαi1, i = 1, . . . , n; luego

n∑

i=1

(x∗i ) =n∑

i=1

x2it2αi1

=n∑

i=1

x2iρ2αi(x)

= 1

y (x∗1, . . . , x∗n) ∈ Sn−1.

Similar resultado se obtiene al poner y∗1 =y1tα12

. Por otro lado tenemos

que

((t1

t

)α1

x∗1, . . . ,

(t1

t

)αn

x∗n

)+

((t2

t

)α1

y∗1 , . . . ,

(t2

t

)αn

y∗n

)=t1

t

((t1

t

)α1−1

x∗1, . . . ,

(t1

t

)αn−1

x∗n

)

+t2

t

((t2

t

)α1−1

y∗1 , . . . ,

(t2

t

)αn−1

y∗n

)∈ Sn = x ∈ R

n/|x| ≤ 1

ya que (x∗1, . . . , x∗n) ∈ Sn−1, (y∗1, . . . , y

∗n) ∈ Sn−1, 0 ≤ ti

t≤ 1, y por la

convexidad de la bola Sn observando quet1t+t2t= 1. En resumen, se ha

probado que

(x1 + y1tα1

, · · · , xn + yntαn

)∈ Sn, esto es, que

x+ y

tα∈ Sn, lo

que implica

∣∣∣∣x+ y

∣∣∣∣ ≤ 1 lo que es equivalente a ρ

(x+ y

)≤ 1, de donde

1

tρ(x + y) ≤ 1 ó ρ(x + y) ≤ t = t1 + t2 = ρ(x) + ρ(y), lo que termina el

lema.

Nota 17. Los argumentos dados hasta acá encierran el germen de unnuevo enfoque del análisis real clásico a través de la métrica parabólicaρ(x), aspecto que veremos en este trabajo.

201

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Alejandro Ortiz Fernández

Fabes - Riviere [FAB-RIV] estudiaron la siguiente clase de operadoresintegrales singulares. Sea x ∈ Rn y el núcleo k : Rn − 0 → C. Sean αinúmeros reales tales que αi ≥ 1, i = 1, · · · , n. Asumamos que 1 = α1 ≤α2 ≤ · · · ≤ αn. Consideremos las siguientes hipótesis sobre k(x) :

(i) k(tα1x1, · · · , tαnxn) = t−∑αik(x1, · · · , xn), con t > 0, esto es, k(tαx) =

t−|α|k(x). Notemos que si:

t =

tα1 0 · · · 00 tα2 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · tαn

la condición de homogeneidad sería k(tx) = | det(t)|−1k(x).

(ii)∫

Sn−1

|k(x)| dσ <∞, el cual puede ser asumido∫

Sn−1

|k(x)| dσ ≤ 1;

Sn−1

k(x)J(ϕ1, · · · , ϕn−1) dσ = 0,

donde el jacobiano J aparece al hacerse el cambio de variables

x1 = ρα1 cosϕ1 · · · cosϕn−2 cosϕn−1

x2 = ρα2 cosϕ1 · · · senϕn−1

· · · · · · · · ·xn = ραnsenϕ1

y donde dx = dx1 · · · dxn = ρ(∑αj)−1J(ϕ1, · · · , ϕn−1) dρdσ donde

dσ es el elemento de área de Sn−1.

Consideremos ahora al núcleo truncado kǫ(x) =

k(x), si ρ(x) > ǫ0 si ρ(x) ≤ ǫ

y al operador truncado fǫ(x) definido vía fǫ(x) =∫kǫ(x−y)f(y) dy

donde f ∈ D(Rn).

Entonces, si∫

x/ρ(x)≥4ρ(y)

|k(x− y)− k(x)| dx ≤ 0, se tiene que:

202

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ϕ−Espacios de Funciones

(a). ‖fǫ‖Lp ≤ Ap‖f‖Lp, 1 < p <∞, donde

Ap = Ap(p, α1, . . . , αn,

Sn−1

|k(x)|dσ).

(b). ∃f ∈ Lp(Rn) tal que lımǫ→0 ‖f − fǫ‖Lp = 0

Este resultado es una generalización de la teoría de Calderón -Zygmund y representa un significativo avance en la abstracción dela misma.

Remarcamos que la condición de homogeneidad de grado−n para elnúcleo k(x) para la integral singular Tf, vista anteriormente, fue el puntode partida de posteriores generalizaciones, lo que llevó a la consideraciónde un grupo de transformaciones Att>0 de Rn en Rn tal que AsAt =Ast, A1 = I, lo que implica At−1 = (At)

−1.Asimismo, la aplicación Π : t → At, de (0,∞) en L(Rn,Rn) es conti-

nua con respecto a la topología normada de L(Rn,Rn); además, el gruposatisface ‖Atx‖ ≤ t‖x‖ para 0 < t ≤ 1, x ∈ Rn. La primera condiciónsugiere tomar equivalentemente la representación tPt>0 por Att>0,donde P es la matriz operador infinitesimal del grupo . A.Torchinsky([TOR.2]) probó que la condición ‖Atx‖ ≤ t‖x‖, 0 < t ≤ 1, es equiva-lente a (Px, x) ≥ (x, x), lo que sirve para garantizar la existencia de unadistancia ρ(x). Concretamente, si x 6= 0 se verifica qu existe un único txtal que |t−Px x| = 1.

La función ρ(x) =

tx . . . si x 6= 00 . . . si x = 0

satisface ρ(tPx) = tρ(x) y la

desigualdad triangular ρ(x+ y) ≤ ρ(x)+ ρ(y). Si A∗t es la transpuesta de

At, a ella le está asociada la métrica ρ∗(x). Si γ es la traza de P, se tieneque detAt = detA∗

t = tγ .En d. IV. hemos estudiado a los espacios Hα,p; de alguna forma estos

espacios tienen su punto de partida en los espacios de oscilación mediaacotada BMO de John-Nirenberg. Tales espacios Hα,p, los Lp,λ, . . . seránestudiados en esta oportunidad en el contexto del grupo At. Comohemos manifestado, los espacios BMO son buenos substitutos para los

203

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Alejandro Ortiz Fernández

espacios L∞; si Tf es un operador integral singular, entonces E.Steinprobó que T : L∞ → BMO es continuo.

b

Definición y Propiedades del Grupo At.

Volvamos a la cuestión de la homogeneidad del núcleo de los operado-res integrales singulares considerados anteriormente. Observemos que lacondición de homogeneidad de Fabes-Riviere sugiere la siguiente trans-formación At : R

n → Rn donde At(x1, . . . , xn) = (tα1x1, . . . , tαnxn). Es

interesante cuestionar si se pueden considerar transformaciones linealesmas generales de Rn tales que aún se tenga la continuidad de tales opera-dores sobre los espacios Lp, 1 < p <∞, u otros espacios. En el ambientede los fines de los 60′s la generalización de la teoría de Calderón-Zygmunda través del grupo At se imponía en forma natural. En esta direcciónmencionamos los trabajos debido a M.de Guzmán [GUZ.2], N.Riviere[RIV] y A.Torchinsky [TOR.2]. El siguiente argumento descansa en ideasde Riviere [RIV].

Sea Att>0 un grupo de transformaciones lineales de Rn tal que:

(1) AsAt = Ast. Esta condición es motivada por la anterior situación,

Ast(x1, . . . , xn) = ((st)α1x1, . . . , (st)αnxn)

= (sα1tα1x1, . . . , sαntαnxn)

= [poniendo yi = tαixi]

= (sα1y1, . . . , sαnyn)

= As(tα1x1, . . . , t

αnxn)

= AsAt(x1, . . . , xn).

204

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ϕ−Espacios de Funciones

A1 = I (identidad). Esto es, I = A1 = Att−1 = AtAt−1 , asi asumi-mos qu At−1 = (At)

−1. En el caso particular que nos ocupa tendría-mos, A1(x1, . . . , xn) = (1α1x1, . . . , 1

αnxn) = (x1, . . . , xn).

(2) La aplicación

Π : (0,∞) → L(Rn,Rn)

t → At

es continua con respecto a la topología uniforme de operadores, estoes, con respecto a la topología del espacio normado L(Rn,Rn).

(3) El grupo satisface ‖Atx‖ ≤ t‖x‖ para 0 < t ≤ 1, x ∈ Rn, y de estamanera ‖At‖ ≤ t.

Nota 18.

(i) .La condición (1) sugiere tomar una representación para el grupoAtt>0. Tal representación es expP log t, donde P es una matrizreal n × n llamada el operador infinitesimal del grupo. Ello es su-gerido ya que

Ast = expP log(st) = expP log s expP log t = AsAt.

En el caso de Fabes-Riviere se tendría,

At(x1, . . . , xn) = eP log t(x1, . . . , xn) = (tα1x1, . . . , tαnxn),

donde

P =

tα1 0 . . . 00 tα2 . . . 0. . . . . . . . . . . .0 0 . . . tαn

En lo que sigue, desde que At = expP log t = tP , t > 0, utilizaremosindistintamente la notación At ó tP. Si t ≥ 1 se tiene ‖At‖ ≤t‖P‖.

205

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Alejandro Ortiz Fernández

(ii) . Esas transformaciones generales son utilizadas para consideraroperadores integrales singulares asociados a núcleos k(x) satisfa-ciendo la condición de homogeneidad generalizada

k(expP log t x) = k(Atx) = t−trP .k(x)

con x 6= 0, t > 0 (donde trP = traza deP ).

Veamos ahora algunas propiedades del grupo At.

(a)‖tPx‖t

es una función no-decreciente de t.

En efecto, para s < t tenemos ‖sPx‖ = ‖( st)P tPx‖ ≤ s

t‖tPx‖, así

1s‖sPx‖ ≤ 1

t‖tPx‖. Esta propiedad implica que ‖tPx‖ es estricta-

mente no-decreciente, ya que si s < t, se tiene 1s‖sPx‖ ≤ 1

t‖tPx‖,

lo que implica ‖sPx‖ ≤ st‖tPx‖ < ‖tPx‖. 2

(b) Para x ∈ Rn − 0 existe un único vector tx tal que t−Px x ∈ Sn−1.

En efecto, observemos que t−P = (t−1)P . Por otro lado, t−Px x ∈Sn−1 implica ‖t−Px x‖ = 1 ó ‖(t−1

x )Px‖ = 1 ó en la otra notación que‖At−1

xx‖ = 1. La propiedad queda probada si verificamos que

(i) ‖At−1xx‖ → 0 cuando tx → ∞;

(ii) ‖At−1xx‖ → ∞ cuando tx → 0

(iii) ‖At−1xx‖ es una función continua decreciente de t.

En efecto,

(i) ‖At−1xx‖ ≤ [desde que si tx → ∞, t−1

x → 0 y podemos conside-rar que t−1

x < 1] ≤ t−1x ‖x‖.

(ii) Si tx → 0 podemos tomar tx ≤ 1. Pongamos x = Atxy, dedonde y = At−1

xx. Así, ‖x‖ = ‖Atxy‖ ≤ tx‖y‖ = tx‖At−1

xx‖

esto es,‖x‖tx

≤ ‖At−1xx‖. Pero,

‖x‖tx

→ ∞ si tx → 0 y por

tanto ‖At−1xx‖ → ∞.

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ϕ−Espacios de Funciones

(iii) Si t1 ≤ t2, ‖At−12x‖ = ‖At1t−1

2At−1

1x‖ ≤ t1t

−12 ‖At−1

1x‖ ≤ ‖At−1

1x‖.

Luego queda probado (b).

2

Nota 19. La norma ‖t−Px x‖ ≡ ‖At−1xx‖ es lo que en la notación

anterior es la función F (x, ρ(x)), donde ponemos ρ(x) = tx. AsíFabes-Riviere estudiaron la función F (x, ρ(x)) = ‖Aρ−1(x)x‖.

(c) La función ρ(x) =

tx, para x 6= 00, para x = 0

satisface ρ(tPx) = tρ(x)

(condición de homogeneidad) y la desigualdad triangular ρ(x+y) ≤ρ(x) + ρ(y).

En efecto, pongamos ρ(tPx) = s; como ρ(tPx) = ttP x tal que

t−PtP xtPx ∈ Sn−1 se tiene que s−P tPx ∈ Sn−1 ó

(t

s

)P

x ∈ Sn−1.

Tenemos s = tρ(x) ya que esto es equivalente as

t= ρ(x), esto

ess

t= tx tal que t−Px x ∈ Sn−1. Por lo tanto

(s

t

)P

x = tPx x ó(t

s

)P

x = t−Px x y como t−Px x ∈ Sn−1 concluimos que s = tρ(x)

es equivalente a decir que

(t

s

)P

x ∈ Sn−1, lo que ya fue probado

antes.

Veamos ahora la desigualdad triangular ([TOR.2]). Por comodidadpongamos x = x1 e y = x2. Llamemos t1 = ρ(x1), luego t1 = tx1con t−Px1 x1 ∈ Sn−1 ó t−P1 x1 = x′1 ∈ Sn−1 e x1 = tP1 x

′1. Similarmente,

llamemos t2 = ρ(x2) luego t2 = tx2 con t−Px2 x2 ∈ Sn−1 ó t−P2 x2 =x′2 ∈ Sn−1 e x2 = tP2 x

′2. Además, si t3 = ρ(x1 + x2), llamando

x3 = x1 + x2 tendremos t3 = tx3 con t−P3 x3 = x′3 ∈ Sn−1, de dondex3 = tP3 x

′3. Por lo tanto tP1 x

′1+ t

P2 x

′2 = tP3 x

′3. Observemos ahora que

la tesis es equivalente a probar que t3 ≤ t1 + t2.

207

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Alejandro Ortiz Fernández

Por el absurdo, supongamos que t3 > t1 + t2 entonces

1 = ‖x′3‖ =

∥∥∥∥(t1t3

)P

x′1 +

(t2t3

)P

x′2

∥∥∥∥ ≤ t1t3

+t2t3< 1

lo que no es posible, luego se tiene la desigualdad deseada. 2

Nota 20. Obsérvese que esta desigualdad es mas general que lavista en el Lema 14. Remarcamos que (b) y (c) nos dicen que dadox 6= 0, ρ(x) es por definición el único tx que satisface ‖t−Px x‖ = 1.

(d) El siguiente resultado, debido a A.Torchinsky [TOR.2], caracterizaa los grupos tP para los cuales se tiene una condición suficintepara definir a la métrica ρ(x). Recalcamos que (·) es el productointerno usual en Rn.

Lema 15. ‖tpx‖ ≤ t‖x‖, 0 < t ≤ 1, x ∈ Rn ⇔ (Px, x) ≥ (x, x).

Prueba.

⇒) Sea f(t) = ‖tPx‖2 − t2‖x‖2, entonces

f(t) ≤ 0 para 0 < t < 1

f(t) = 0 para t = 1

f(t) ≥ 0 para t > 1

ya que‖tPx‖t

≥ ‖1Px‖1

= ‖x‖, de donde ‖tPx‖2 ≥ t2‖x‖2;

luego se debe tenerd

dtf(t)]t=1 ≥ 0. Desde que

d

dt‖tPx‖2 = 2

t(PtPx, tPx)

obtenemos

0 ≤ d

dtf(t)]t=1 =

2

t(PtPx, tPx)−2t(x, x)]t=1 = 2(Px, x)−2(x, x)

de donde (Px, x) ≥ (x, x).

208

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ϕ−Espacios de Funciones

⇐) Pongamos g(t) = ‖tPx‖2, entonces

d

dtg(t) =

2

t(PtPx, tPx) ≥ 2

t(tPx, tPx) =

2

t‖tPx‖2 = 2

tg(t).

De esta desigualdad obtenemos para 0 < s ≤ 1,

1∫

s

g′(t)

g(t)dt ≥ 2 log

(1

s

),

lo que implica logg(1)

g(s)= log

‖x‖2‖sPx‖2 ≥ log

(1

s2

), de donde

s2‖x‖2 ≥ ‖sPx‖2 de donde se tiene la desigualdad deseadapara 0 < s ≤ 1.

Observación 2. Las siguientes observaciones son consecuenciasdel Lema 15.

(i) Si (P ∗x, x) = (x, Px) = (Px, x), entonces (Px, x) ≥ (x, x)implica que tP ∗t>0 también satisface ‖tP ∗

x‖ ≤ t‖x‖ para0 < t ≤ 1, x ∈ Rn. Así tP ∗ determina una función ρ∗(x), lacual tiene propiedades análogas a las de ρ(x). Si γ es la trazade P, entonces se tiene det tP = det tP

∗= tγ.

(ii) Pongamos S =P + P ∗

2, entonces (Sx, x) =

(P + P ∗

2x, x

)=

(P

2x, x

)+

(P ∗

2x, x

)=

1

2(Px, x)+

1

2(Px, x) = (Px, x). Luego

‖tPx‖ ≤ t‖x‖ es equivalente al hecho de que el mas pequeñovalor propio de S será ≥ 1. En efecto,

‖tPx‖ ≤ t‖x‖ ⇔ (Px, x) ≥ (x, x) ⇔ (Sx, x) ≥ (x, x),

luego si λ es un valor propio de S tendremos λ ≥ 1.

(e) (i) AtP = PAt, desde que PAt = elogP+P log t = AtP.

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Alejandro Ortiz Fernández

(ii) td

dtAt = PAt, desde que t

d

dtAt = t

d

dteP log t = AtP = PAt.

(f) Si

tα‖x‖ ≤ ‖Atx‖ ≤ tβ‖x‖ cuando 1 ≤ α ≤ β, t ≥ 1 (+)

entonces tβ‖y‖ ≤ ‖Aty‖ ≤ tα‖y‖ cuando t ≤ 1.

En efecto, t ≤ 1 ⇔ t−1 ≥ 1 luego si 1 ≤ α ≤ β tenemos

(t−1)α‖x‖ ≤ ‖At−1x‖ ≤ (t−1)β‖x‖,y poniendo At−1x = y, de donde Aty = x, se tiene la desigualdaddeseada. 2

Nota 21. En lo sucesivo asumiremos la condición (+) de (f).Esoportuno remarcar a esta altura que la introducción de la métricaparabólica ha sido intensivamente usada por Calderón-Torchinsky[CAL-TOR.1,2] quienes reconstruyen en base a ella capítulos fun-damentales del análisis real. Por otro lado, la topología inducidapor ρ(x) coincide con la topología familiar de Rn. Recalcamos quepor definición

‖ρ−P (x)‖ ≡ ‖A−1ρ(x)x‖ ≡ ‖Aρ−1(x)x‖ = 1.

(g) (i) ρ(x) ≤ 1 ⇔ ‖x‖ = 1

(ii) ρ(x)β ≤ ‖x‖ ≤ ρ(x)α si ‖x‖ ó ρ(x) ≤ 1

(iii) ρ(x)α ≤ ‖x‖ ≤ ρ(x)β si ‖x‖ ó ρ(x) ≥ 1.

En efecto,

(i) ρ(x) ≤ 1 ⇔ ‖A1x‖ ≤ 1 ⇔ ‖x‖ ≤ 1

(ii) Si ρ(x) ≤ 1 (ó ‖x‖ ≤ 1 por (i)), por (f) tendremos

ρβ(x)‖y‖ ≤ ‖Aρ(x)y‖ ≤ ρα(x)‖y‖.Pongamos x = Aρ(x) y entonces Aρ−1(x)x = y, de donde

ρβ(x)‖Aρ−1(x)x‖ ≤ ‖x‖ ≤ ρα(x)‖Aρ−1(x)x‖que implica la desigualdad deseada.

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ϕ−Espacios de Funciones

(iii) sigue en forma similar a (ii).

2

R+

1 ‖At−1xx‖

tx = ρ(x) 1t

c

Los Operadores Tt, Tt y el OperadorDiferencial A.

Consideremos ahora a los operadores Tt y Tt introducidos en [CAL-TOR.1] y definidos por las relaciones

(Ttf)(x) = f(Atx); (Ttf)(x) = f(A∗tx).

Se tienen las siguientes consecuencias:

(a) Tt(fg) = (Ttf)(Ttg) ya que Tt(fg)(x) = fg(Atx) = (Ttf)(Ttg).

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Alejandro Ortiz Fernández

(b) Si T ′ es la transpuesta de T entonces se tiene T ′t = T−γT−1

t .

En efecto, 〈Ttf, g〉 =∫Ttf(x)g(x) dx =

∫f(Atx)g(x) dx =[poniendo

y = Atx, de donde dy = tγ dx, x = A−1t y, dx = t−γ dy]=∫

f(y)g(A−1t y)t−γ dy =[considerando que g(A−1

t y) = (T−1t g)(y)] =∫

f(y)(T−1t g)(y)t−γ dy = 〈f, t−γT−1

t g〉, de donde se tiene la igual-dad deseada.

(c) [Ttf ]∧ = t−γT−1

t f.

En efecto, 〈Ttf, ϕ〉 = 〈[Ttf ]∧, ϕ〉. Por otro lado,

〈Ttf, ϕ〉 =

∫(Ttf)(x)ϕ(x) dx

=

∫f(Atx)ϕ(x) dx

=

∫f(y)ϕ(A−1

t y)t−γ dy

=

∫f(y)

[∫e2πı〈y,z〉ϕ(A−1

t z) dz

]t−γ dy

= [z′ = A−1t z, dz = tγdz′] =

=

∫f(y)

[∫e2πı〈y,Atz

′〉ϕ(z′)tγ dz′]t−γ dy

=

∫ϕ(z′)

[ ∫e2πı〈y,Atz

′〉f(y) dy

]dz′

=

∫ϕ(z′)

[ ∫e2πı〈A

∗t y,z

′〉f(y) dy

]dz′

= [A∗t y = y′, dy′ = tγ dy]

=

∫ϕ(z′)

[ ∫e2πı〈y

′,z′〉f(A∗−1t y′)t−γ dy′

]dz′

=

∫ϕ(z′)

[ ∫e2πı〈y

′,z′〉(T−1t f)(y′)t−γ dy′

]dz′

=

∫ϕ(z′)t−γ

[T−1t f

]∧(z′) dz′

= 〈ϕ, t−γ[T−1t f

]∧〉

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ϕ−Espacios de Funciones

de donde 〈[Ttf

]∧, ϕ〉 = 〈ϕ, t−γ

[T−1t f

]∧〉 lo que implica la tesis.

(d). T−1t

(∂

∂x

Tt es un operador diferencial con coeficientes cons-

tantes para cada t.

En efecto, T−1t

(∂

∂x

Ttf(x) = T−1t

(∂

∂x

f(Atx). Pero en ge-

neral, g(x) = T−1t g(Atx), luego T−1

t

(∂

∂x

Ttf(x) =

(∂

∂x

f(x).

Además su transpuesta es

[T−1t

(∂

∂x

Tt

]′f = (−1)|α|

(∂

∂x

f.2

(e) T−1t

(∂

∂x

Tt(t−γT−1

t ψ)= t−γT−1

t

[(∂

∂x

ψ

].

En efecto,

T−1t

(∂

∂x

Tt(t−γT−1

t ψ(x))

= T−1t

(∂

∂x

Tt(t−γψ(A−1

t x))

= T−1t

(∂

∂x

t−γψ(x).

2

Nota 22. Observemos que tenemos f(A−1t y) = T−1

t f(y) ya que(Ttf(x)) = f(Atx) implica f(x) = T−1

t f(Atx), ahora basta ponery = Atx.

(f) Sea el operadorBt = (I−AtA∗t )

12 , 0 ≤ t < 1. Entonces (B2

t x, x) ≥ 0y B2

t es una matriz positiva autoadjunta tal que

(i) (1− t2)‖B−1t x‖2 ≤ ‖x‖2 ≤ 2‖P‖(1− t)‖B−1

t x‖2, x ∈ Rn.

(ii) | detB−1t | ≤ (1− t)−

n2 .

En efecto, el grupo At satisface ‖Atx‖ ≤ t‖x‖, así

(B2t x, x) = ((I − AtA

∗t )x, x)

= (x, x)− (AtA∗tx, x)

= ‖x‖2 − ‖A∗tx‖2

≥ ‖x‖2 − t2‖x‖2 ≥ 0.

213

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Alejandro Ortiz Fernández

Además, observamos que (B21x, x) = ‖x‖2 − ‖A1x‖2 = 0. Es claro

que B2t es autoadjunto.

(i) Pongamos y = B−1t x ó x = Bty, de donde

(x, x) = (Bty, Bty)− (B1y, B1y)

= [usandod

dt(Atx,Atx) =

2

t(P Atx,Atx)]

= (1− t)2

u(P ∗A∗

uy, A∗uy),

con t ≤ u ≤ 1. Luego

‖x‖2 ≤ (1− t)2

u‖P ∗‖ ‖A∗

uy‖ ‖A∗uy‖

≤ (1− t)2

u‖P‖u2‖y‖2

≤ 2‖P‖(1− t)‖B−1t x‖2.

Por otro lado,

‖x‖2 = (Bty, Bty) = (B2t y, y)

= ((I −AtA∗t )y, y)

= (y, y)− (AtA∗t y, y)

= ‖y‖2 − ‖A∗ty‖2

≥ ‖y‖2 − t2‖y‖2= (1− t2)‖B−1

t x‖2.

(ii) Sabemos que(1−t2)‖B−1

t x‖2 ≤ ‖x‖2 ó ‖B−1t x‖2 ≤ (1−t2)−1‖x‖2, de donde

‖B−1t ‖ ≤ (1− t2)−

12 , y así | detB−1

t | ≤ ‖B−1t ‖n ≤ (1− t2)−

12n.

El Operador Diferencial ASabemos de la gran importancia de la teoría moderna de los opera-

dores diferenciales parciales (vía métodos del análisis funcional, las dis-tribuciones, etc.), con ello se ha logrado clarificar y solucionar problemas

214

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ϕ−Espacios de Funciones

fundamentales. En esta dirección es significativo la introducción por par-te de Calderón - Torchinsky [CAL-TOR.1-2] de un operador diferencialbastante general y que está vinculado al grupo At y que en particularrecupere ciertos operadores diferenciales clásicos, entre oros. De algunaforma la relación (d) C., abre una forma de representar un operador di-ferencial con coeficientes constantes en términos de At, posiblementecon algunas ventajas.

Sea el gradiente ∇ =

(∂

∂x1, · · · , ∂

∂xn

); por definición

A =∂

∂t− 1

2πt(P ∗A∗

t∇, A∗t∇).

Si L2 =P + P ∗

4πse tiene

(LA∗t∇, LA∗

t∇) = (L2A∗t∇, A∗

t∇)

= (P + P ∗

4πA∗t∇, A∗

t∇)

=1

4π(PA∗

t∇, A∗t∇) +

1

4π(P ∗A∗

t∇, A∗t∇)

=1

2π(P ∗A∗

t∇, A∗t∇).

De esta manera el operador A toma la forma A =∂

∂t− 1

t(LA∗

t∇, LA∗t∇).

Como ya hemos mencionado, en casos particulares se tienen los ope-radores diferenciales familiares. Así por ejemplo, si P es autoadjunto yP = diag(α1, · · · , αn), αj ≥ 1, es la transformación considerada porFabes-Riviere, vista en a, tendremos que A∗

t = diag (tα1 , · · · , tαn) y ade-más

A =∂

∂t− 1

2πt

n∑

j=1

αjt2αj

∂2

∂x2j.

En particular, si P = I (identidad y entonces αj = 1) tendremos

A =∂

∂t− t

2π∆.

215

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Alejandro Ortiz Fernández

Por otro lado, en el estudio de problemas en ecuaciones diferencialesparciales es fundamental determinar la solución (al menos su existen-cia) del operador diferencial (por ejemplo de la ecuación ∆u = 0, etc.).Por analogía, consideremos la ecuación Au = 0. Si ϕ(x) = e−π|x|

2y

ϕt(x) = t−γϕ(A−1t x) es su dilatación, entonces Aϕt(x) = 0. En efecto,

observemos que ϕt(x) = ϕ(A∗tx) ya que

ϕt(x) =

∫e2πı〈x,y〉ϕt(y) dy

=

∫e2πı〈x,y〉t−γϕ(A−1

t y) dy

= [poniendo A−1t y = y′, de donde y = Aty

′, dy = tγdy′]

=

∫e2πı〈x,Aty

′〉ϕ(y′) dy′

=

∫e2πı〈A

∗t x,y

′〉ϕ(y′) dy′

= ϕ(A∗tx).

Por otro lado,

ϕt(x) = ϕ(A∗tx)

=[e−π|A

∗t x|

2]∧= e−π|A∗

t ξ|2= [llamando ψ(t) = |A∗

tx|2]= e−πψ(t).

Luego∂

∂tϕt(x) = −πe−πψ(t)ψ′(t) y considerando que

ψ′(t) =∂

∂t(A∗

t ξ, A∗t ξ) = 2(

∂tA∗t ξ, A

∗t ξ)

y que∂

∂tA∗t =

1

tP ∗A∗

t , tenemos

∂tϕt(x) = −2π

t(P ∗A∗

t ξ, A∗t ξ)e

−π|A∗t ξ|

2

= −2π

t(P ∗A∗

t ξ, A∗t ξ)ϕt(ξ),

216

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ϕ−Espacios de Funciones

de donde tomando antitransformada de Fourier obtenemos Aϕt(x) = 0.Consecuencia. Si consideramos la convolución u(x, t) = (f ∗ϕt)(x), con

f ∈ S ′, se tiene Au(x, t) = 0, lo que es satisfactorio para problemas devalor de contorno en un contexto mas general.

d

Lp,λ−Parabólicos.

En muchos problemas en ecuaciones diferenciales parciales es nece-sario establecer ciertos tipos de estimativas a priori, como son las esti-mativas en la norma−Lp, y las estimativas en la norma- Λα (espacios deLipschitz). Una forma de unificar ambas estimativas es a través de losespacios Lp,λ. Estos espacios contienen a los espacios Lp, a los de MorreyLp,λ, a los espacios BMO y a los espacios de Lipschitz Λα. S.Campanatoy E.Giusti establecieron interesantes relaciones entre los espacios Lp,λ ylas ecuaciones elípticas (y casi elípticas). Ver [CAM.1],[GIU.1] y [GIU.2].

(a) Lp,λ−Parabólicos. Sea ρ(x) la métrica asociada a At, y sea labola B(x0, δ) = x ∈ Rn/ρ(x − x0) ≤ δ. Si p ≥ 1 y 0 ≤ λ ≤ γ, sedefine

Lp,λ = f ∈ Lploc/ supB(x0,δ)

(1

δλ

B(x0,δ)

|f(x)|pdx) 1p =M <∞

con la norma ‖f‖Lp,λ = ‖f‖Lploc +M,Lp,λ es un espacio de Banach.Observemos que si λ = 0, Lp,0 es isomorfo a Lploc. Además, si λ = γ

217

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Alejandro Ortiz Fernández

se tiene que Lp,γ ≃ L∞loc, ya que obviamente si f ∈ L∞

loc entonces

f ∈ Lp,γ; y |f(y)| ≤ ( 1δγ

∫B(x0,δ)

|f(y)|pdy) 1p implica Lp,γ ⊂ L∞

loc.

Remarcamos que γ es la traza de la matriz P, vista en la sección b.También se tiene que µ ≤ λ implica Lp,λ ⊂ Lp,µ. Es claro tambiénque si ψ ∈ L∞ y f ∈ Lp,λ entonces ψf ∈ Lp,λ y ‖ψf‖LP,λ ≤ c‖f‖Lp,λ .

(b) BMO-Parabólico. Sea f ∈ L1loc(R

n). Decimos que f es una fun-ción de oscilación media limitada, y escribimos f ∈ BMO, si exis-te una constante c = c(f, B(x0, δ)) tal que ‖f‖BMO = ‖f‖L1

loc+

supx0,δ

1

δγ∫

B(x0,δ)

|f(x) − c|dx < ∞. Con tal norma BMO es un espa-

cio de Banach. Si f ∈ BMO entonces en vez de c se puede tomar

el promedio fB =1

δγ∫

B(x0,δ)

f(x)dx. Para ello es suficiente observar

que se tiene1

δγ∫

B(x0,δ)

|f(x)− fB|dx ≤ 2

δγ∫

B(x0,δ)

|f(x)− c|dx. De un

modo general, Berman, [BER], probó que si d es un entero positivofijo, y si en vez de c se considera un polinomio p0, de grado ≤ d,entonces f ∈ BMO. Usaremos con mas frecuencia fB en vez de c.

Un resultado fundamental, debido a John-Nirenberg, [JOH-NIR],es:

(I). “Si f ∈ BMO entonces

|x ∈ B(x0, δ)/|f(x)− fB| > α| ≤ Ae−bα‖f‖−1BMO |B(x0, δ)|.”

De él se derivan corolarios interesantes, como son:

(i) Si f ∈ BMO entonces f ∈ Lp(B(x0, δ)), 1 ≤ p <∞.

(ii) Si f ∈ BMO y |f(x)− f(y)| ≤ ‖f‖BMO en B(x0, δ) entonces

supx0,δ

1

δγ

B(x0,δ)

|f(x)− fB|2dx ≤ ‖f‖2BMO.

218

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ϕ−Espacios de Funciones

(iii) Obviamente, si f es limitada entonces f ∈ BMO, El recíprocono es cierto, asi log |x| ∈ BMO. Por ello, BMO es usado envez de L∞. El siguiente lema extiende un resultado de Stein-Zygmund, [STE-ZYG].

Lema 16. Sea f ∈ BMO y sean B1(x1, δ1) y B2(x2, δ2) dosbolas en Rn tales que δγ1 = δγ2 , donde γ = traza de P. Si B(x, δ)es una bola tal que B1∪B2 ⊂ B, con δγi ≥ dδγ, i = 1, 2, siendod una constante apropiada, entonces

∣∣∣∣1

δγ1

B1

f(x)dx− 1

δγ2

B2

f(x)dx

∣∣∣∣ ≤ A.

Prueba. Sea XBi la función característica de Bi, i = 1, 2, en-tonces

| 1δγ1

B1

f(x)dx − 1

δγ2

B2

f(x)dx| = | 1δγ1

(

B

XB1(x)f(x)dx

−∫

B

XB2(x)f(x)dx)|

≤ 2

δγ1

B

|f(x)|dx

≤ 2

dδγ(

B

|f(x)− c|dx+

B

|c|dx)

=2

dδγ

B

|f(x)− c|dx+2|c|d

≤ 2M

d+

2|c|d

= A.

El siguiente resultado, debido a Fefferman-Stein [FEF-STE],será probado posteriormente en términos del grupo At.

(iv) Si f ∈ BMO entonces∫ |f(x)− fB|1 + ρ(x)n+1

dx ≤ A‖f‖BMO, donde B

es la bola unitaria B(0, 1).

219

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Alejandro Ortiz Fernández

(c). Lp,λ−Parabólicos. Si 1 ≤ p <∞, 0 ≤ λ < γ + p, entonces Lp,λ esel espacio de las funciones f ∈ Lploc(R

n) tales que

‖f‖Lp,λ = ‖f‖Lploc

+ supB

1

δλ

B(x0,δ)

|f(x)− cB|p dx 1

p

≤M <∞.

Nuevamente en esta definición la constante cB puede ser fB ya quesi tenemos la última condición, entonces

1

δγ

B(x0,δ)

|f(x)− fB|pdx 1

p

1

δγ

B(x0,δ)

|f(x)− cB|pdx 1

p

+

+

1

δγ

B(x0,δ)

|fB − cB|pdx 1

p

=

1

δγ

B(x0,δ)

|f(x)− cB|pdx 1

p

+|fB − cB|

δλP

δγP .

Pero

|fB − cB| = | 1δγ

B(x0,δ)

f(x)dx− cB|

≤ 1

δγ

B(x0,δ)

|f(x)− cB|dx

≤ δγq

δγ(

B(x0,δ)

|f(x)− cB|pdx)1p

= (1

δγ

B(x0,δ)

|f(x)− cB|pdx)1p .

220

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ϕ−Espacios de Funciones

Luego

1

δλ

B(x0,δ)

|f(x)− fB|pdx 1

p

1

δλ

B(x0,δ)

|f(x)− cB|pdx 1

p

+

γp

δλp

1

δλ

B(x0,δ)

|f(x)− cB|pdx 1

p

= 2

1

δλ

B(x0,δ)

|f(x) − cB|pdx 1

p

,

lo que termina la observación.

Lema 17. Si p1 ≤ p yλ− γ

p=λ1 − γ

p1entonces Lp,λ ⊂ Lp1,λ1.

Demostración. Tenemos

1

δλ1

B(x0,δ)

|f(x)− fB|p1 dx ≤ 1

δλ1

B(x0,δ)

|f(x)− fB|p dx p1

p

|B(x0, δ)|1−p1p

=δλ

p1p

δλ1

1

δλ

B(x0,δ)

|f(x)− fB|p dx p1

p

· cδγδ−γp1p

= c

1

δλ

B(x0,δ)

|f(x)− fB|p dx p1

p

· δp1p(λ−γ)

δλ1−γ

= c

1

δλ

B(x0,δ)

|f(x)− fB|p dx p1

p

,

de donde

1

δλ1

B(x0,δ)

|f(x)− fB|p1 dx 1

p1 ≤ c

1

δλ

B(x0,δ)

|f(x)− fB|p dx 1

p

.

221

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Alejandro Ortiz Fernández

Casos Particulares

(i) Si λ = 0 entonces Lp,0 se identifica (topológicamente) con elespacio Lploc.En efecto, en la última desigualdad tomemos λ = 0 y cB = 0;ello implica

‖f‖Lploc

+ sup

1

δλ

B(x0,δ)

|f(x) − fB|pdx 1

p

≤ ‖f‖Lploc

+ 2

B(x0,δ)

|f(x)|pdx

= 3‖f‖Lploc,

esto es, ‖f‖Lp,0 ≤ a‖f‖Lploc. Como de un modo general tene-mos ‖f‖Lp,λ ≥ ‖f‖Lploc se tiene la observación. 2

(ii) Si 0 ≤ λ < γ entonces Lp,λ es isomorfo al espacio de MorreyLp,λ.En efecto,( ∫

B(x0,δ)

|f(x)− fB|pdx) 1

p

≤( ∫

B(x0,δ)

|f(x)|pdx) 1

p

+ |fB||B| 1p

≤( ∫

B(x0,δ)

|f(x)|pdx) 1

p

+

+1

|B|1− 1p

( ∫

B(x0,δ)

|f(x)|pdx) 1

p

|B| 1p′

= 2

( ∫

B(x0,δ)

|f(x)|pdx) 1

p

de donde ‖f‖Lp,λ ≤ a‖f‖Lp,λ ó Lp,λ ⊂ Lp,λ.Recíprocamente,( ∫

B(x0,δ)

|f(x)|pdx) 1

p

≤( ∫

B(x0,δ)

|f(x)−fB|pdx) 1

p

+

( ∫

B(x0,δ)

|fB|pdx) 1

p

.

2

Ahora usamos el

222

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ϕ−Espacios de Funciones

Lema 18. |fB| ≤ δλ−γp ‖f‖Lp,λ. De él concluimos que

(1

δγ

B(x0,δ)

|fB|pdx) 1

p

≤ b‖f‖Lp,λ

y por lo tanto, ‖f‖Lp,λ ≤ b‖f‖Lp,λ.

Prueba.

|fB| =

(1

δγ

B(x0,δ)

|fB|p dx) 1

p

=

(1

δγ

B(x0,δ)

|f(x)− fB|p dx) 1

p

+1

δγp

( ∫

B(x0,δ)

|f(x)|p dx) 1

p

de donde multiplicando y dividiendo por δλ−γp y considerando

la hipótesis tenemos

|fB| ≤ δλ−γp ( 1

δλ

B(x0,δ)

|f(x)− fB|pdx)1p + ‖f‖Lploc

de donde se tiene el lema.

(iii) Si λ = γ entonces Lp,γ = BMO.En efecto, sea f ∈ Lp,γ, entonces

1

δγ

B(x0,δ)

|f(x)− fB|dx ≤ 1

δγ

B(x0,δ)

|f(x)− fB|p dx 1

p

|B(x0, δ)|1q

γq

δγ

B(x0,δ)

|f(x)− fB|p dx 1

p

=

1

δγ

B(x0,δ)

|f(x)− fB|p dx 1

p

lo que implica Lp,γ ⊂ BMO.

223

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Alejandro Ortiz Fernández

Sea ahora f ∈ BMO, por el resultado fundamental de John-Nirenberg tenemos que f ∈ Lploc; así mismo si α > 0, loselementos de B(x0, δ) los dividimos en

B0 = x ∈ B(x0, δ)/|f(x)− fB| ≤ α,B1 = x ∈ B(x0, δ)/|f(x)− fB| > α,

luego

1

δλ

B(x0,δ)

|f(x)−fB|p dx =1

δλ

B(x0,δ)

|f(x)−fB|p dx+1

δλ

B1

|f(x)−fB|p dx.

Pero1

δλ

B0

|f(x)− fB|p dxαp

δλ|B0| ≤ αp

(pues λ = γ).

Por otro lado,

1

δλ

B1

|f(x)− fB|pdx ≤ 1

δλ

B1

e|f(x)−fB |pdx

(el teorema fundamental (J-N) permite estimar esta integral)

≤ 1

δλk|B(x0, δ)| = k,

donde k es una constante que depende de A, b y ‖f‖BMO.Luego f ∈ Lp,γ. 2

(iv) Si γ < λ ≤ γ + p entonces Lp,λ = Λα, con α = λ−γp.

En efecto, recordemos que Λα es el espacio de las funcionesf tales que |f(x) − f(y)| ≤ kρ(x − y)α, x, y ∈ B(x0, δ). Sif ∈ Λα, se considera ‖f‖Λα = sup

x∈B|f(x)|+ sup

x,y∈B

|f(x)−f(y)|ρ(x−y)α

. Por

224

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ϕ−Espacios de Funciones

otro lado

1

δλ

B

|f(x)− fB|pdx =1

δλ

B

|f(x)− 1

δγ

B

f(y)dy|pdx

=1

δλ

B

1

δγp|∫

B

|f(x)− f(y)|dy|pdx

≤ k

δλ

B

1

δγp|∫

B

ρ(x− y)αdy|pdx

≤ 2k

δλ

B

|δγ|pdx

=2kδαpδγ

δλ

=

(considerando α =

λ− γ

p

)

= 2k.

Como además se tiene f ∈ Lploc, tendremos f ∈ Lp,λ.

Para el recíproco usaremos el teorema de Meyers [MEYS](en términos del grupo At) :

“Sea f ∈ Lploc, asuma que existe una función no-decreciente

c(δ), y 0 < α ≤ 1, tal que1

δγ+α∫B

|f(x)−fB|dx ≤ c(δ). Enton-

ces f ∈ Λα (específicamente, |f(x)−f(y)| ≤ kc(ρ(x−y))ρ(x−y)α.)”

Si f ∈ Lp,λ debemos llegar a la hipótesis del teorema de Me-yers. Obviamente, f ∈ Lploc; además tomemos c(δ) =M cons-

225

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Alejandro Ortiz Fernández

tante, sabemos que 0 < α =λ− γ

p≤ 1. Entonces

1

δγ+α

B

|f(x)− fB| dx ≤ 1

δγ+α

(∫

B

|f(x) − fB|p dx) 1

p

δγ(1−1p)

=

(1

δγ+αp

B

|f(x)− fB|p dx) 1

p

≤ supB

(1

δλ

B

|f(x)− fB|p dx) 1

p

= M <∞,

entonces f ∈ Λα.

Nota 23. Las normas ‖f‖Lp,λ y ‖f‖Λα son equivalentes.

e

C−Redes.

En [HEI] y [CAL-TOR.1] se hace uso frecuente del concepto de redde Banach. Sea X un espacio de Banach de funciones medibles f(t),localmente integrables sobre (0, 1]; X es llamado una red de Banach ósimplemente una red, si f ∈ X y |g(t)| ≤ |f(t)| implican que g ∈ X y‖g‖X ≤ ‖f‖X .

Si 0 < α < 1, el espacio de las funciones medibles f tales quet−α|f(t)| ∈ L∞(0, 1] es una red. También lo es el espacio Lφ de las funcio-

nes medibles f tales que ∃λ > 0 satisfaciendo:1∫0

φ

(1

λ|f(s)|

)ds

s< ∞,

226

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ϕ−Espacios de Funciones

donde φ : [0,∞] → [0,∞] es una función de Young (esto es, φ(0) = 0, φes convexa, no decreciente y continua por la izquierda). Estos espacioscontienen a los espacios de Lebesgue clásicos (Lp), pero no incluyen a losLpk, k ∈ Z+, donde Lpk = f ∈ Lp/Dαf ∈ Lp, |α| ≤ k, 1 ≤ p ≤ ∞. Paraque ello suceda, introducimos una extensión de la definición dada.

Definición 5. Sea X un espacio de Banach de funciones localmenteintegrables. Diremos que X es una k-red si sus elementos tienen deri-vadas hasta la orden k localmente integrables y si f ∈ X, |Dαg(x)| ≤|Dαf(x)|, |α| ≤ k implican que g ∈ X y ‖g‖X ≤ ‖f‖X.Ejemplo 6. Lpk es una k red.

Consideremos la norma ‖f‖2p,k =∑

|α|≤k

‖Dαf(x)‖2p. Si f ∈ Lpk y |Dαg(x)| ≤

|Dαf(x)|, |α| ≤ k, un simple cálculo implica que g ∈ Lpk y ‖g‖p,k ≤ ‖f‖p,k.Ejemplo 7. X = f/|x|−t|Dαf(x)| ∈ L∞(0,∞), |α| ≤ k, 0 < t ≤ 1 esuna k− red.

Si f ∈ X y |Dαg(x)| ≤ |Dαf(x)|, |α| ≤ k, tenemos supx

|x|−t|Dαg(x)| <∞ ó g ∈ X. Además, ‖f‖X = ‖|x|−t|Dαf(x)|‖∞ implica ‖g‖X ≤ ‖f‖X .Ejemplo 8. Sea φ una función de Young y el espacio

L(k)φ =

fmedibles sobre(0, 1)/∃λ > 0 con

1∫

0

φ

(1

λ|Dαf(x)|

)dx

x<∞, |α| ≤ k

.

Si f ∈ L(k)φ pongamos

‖f‖φ(k) = ınf

λ > 0

/ 1∫

0

φ

(1

λ|Dαf(x)|

)dx

x≤ φ(1)

.

Si g es tal que |Dαg(x)| ≤ |Dαf(x)| se observa que g ∈ L(k)φ y ‖g‖φ(k) ≤

‖f‖φ(k). Asi, L(k)φ es una k− red.

Nota 24. En el fondo esta definición de k− red parece no diferir muchode la red. Mas significativo puede ser observar que el espacio BMO noes una red; ó aún mas generalmente, que los espacios Lp,λ no son redes.Proponemos la

227

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Alejandro Ortiz Fernández

Definición 6. Decimos que un espacio de Banach X es una c−red si loselementos de X son funciones localmente integrables en Rn, y si para f ∈X, g ∈ L1

loc existen constantes c1 = c1(g), c2 = c2(f) tales que |g(x)| ≤|f(x)| y |g(x) − c1| ≤ |f(x) − c2| implica que se tenga g ∈ X y ‖g‖X ≤‖f‖X.

Consecuencias

(i) Toda red es una c−red.

(ii) Lp,λ es una c−red.

En efecto, sea f ∈ Lp,λ y g ∈ L1loc(R

n). Tomamos c1 = gB yc2 = fB; entonces |g(x)| ≤ |f(x)| y |g(x) − c1| ≤ |f(x) − c2| implican

‖g‖Lp,λ = ‖g‖Lploc+supB

1δλ

∫B

|g(x)−gB|pdx1p ≤ ‖f‖Lploc+sup

B 1δλ

∫B

|f(x)−

fB|pdx1p = ‖f‖Lp,λ.

Ejemplo 9. Los espacios Lp, de Morrey Lp,λ, BMO y de Lipschitz sonc−redes.

Nota 25. Combinando esta definición con las k−redes podríamos obtenerla c− k−redes.

228

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ϕ−Espacios de Funciones

f

Hα,p−Parabólicos.El propósito de esta sección es estudiar los espacios Hα,p, considerados

por Fabes-Johnson-Neri [FAB-JOH-NER.1] en términos del grupo Atcuando 0 < α < 1. El objetivo central es la prueba de los teoremas 21 y 22(ver abajo), los cuales extienden a los considerados en [FAB-JOH-NER].

El Lema 18 sugiere hacer el cambio de variables α =λ− γ

p, con ello

se obtienen los εα,p, y εα,p = Lp,λ con 1 ≤ p < ∞ y ‖f‖Lp,λ = ‖f‖εα,p,−γp≤ α < 1. Tenemos la

Definición 7. Si 1 ≤ p < ∞ y 0 ≤ α < 1, εα,p es el espacio de lasfunciones f ∈ Lploc(R

n) tales que

‖f‖εα,p = supB(x0,δ)

1

δγ+αp

B(x0,δ)

|f(x)− cB|p dx 1

p

≤ k <∞

donde −γp≤ α < 1.

Por otro lado, en analogía con [FEF-STE] y [FAB-JOH-NER], ob-servamos que si f ∈BMO entonces su integral de Poisson u(x, t) estábien definida y de esta manera ella es una función armónica ya que

u(x, t) = (Pt ∗ f)(x) y ∆Pt(x) = 0, donde Pt(x) =1

cn

t

(|x|2 + t2)n+12

es el núcleo de Poisson. Además se tiene que

‖u‖ = supB

1

|B(x0, δ)|

B(x0,δ)

δ∫

0

|∇u(x, t)|2t dt dx 1

2

≤ A‖f‖BMO.

Fabes-Johnson-Neri también han considerado el espacio HMO, el queconsiste de las funciones armónicas u(x, t) tales que

‖u‖HMO = supB(x0,δ)

1

|B(x0, δ)|

B(x0,δ)

δ∫

0

|∇u(x, t)|2t dt dx 1

2

<∞.

229

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Alejandro Ortiz Fernández

Luego, si f ∈BMO y u(x, t) = (Pt ∗ f)(x) es su integral de Poisson,se tiene que u ∈ HMO. Además HMO es un espacio de Banach condicha norma (previa identificación de las funciones que difieren en unaconstante). Un resultado fundamental, [FAB-JOH-NER], establece que:“u ∈HMO si y solo si u = Pt∗f para algún f ∈BMO. Además, ‖u‖HMO ≃‖f‖BMO”.

Ahora consideramos los espacios Hα,p en téminos del grupo At yprobaremos la equivalencia citada.

Definición 8. Sea F (x, t) una función tal que AF (x, t) = 0; decimosque F ∈ Hα,p si

‖F‖Hα,p = supB(x0,δ)

1

δγ+αp

B(x0,δ)

[ δ∫

0

|LF (x, t)|2dtt

]p2

dx

1p

<∞

donde LF (x, t) = (Ltp∗∇)(F (x, t)) = (LA∗

t∇)(F (x, t)).

Los resultados centrales son:

Teorema 21. “Sea f ∈ ǫα,p con 0 < α < 1 y 1 < p < ∞. EntoncesF (x, t) = (f ∗ ϕt)(x) ∈ Hα,p y ‖F‖Hα,p ≤ c‖f‖ǫα,p, donde ϕ(x) = e−π|x|

2

y ϕt(x) es como antes.”

Teorema 22. Sea 0 < α < 1 y 1 < p < ∞. Si F (x, t) ∈ Hα,p, entoncestenemos:lım

t→0F (x, t) = f(x), ∀x ∈ Rn y f(x) ∈ εα,p. Además, ‖f‖ǫα,p ≤

c‖F‖Hα,p.

La prueba de los citados teoremas descansan en algunos resultadosprevios, que pasamos a discutir.

Lema 19. Consideremos la bola unitaria B(0, 1) y sea f ∈ ǫα,p, con0 < α < 1, 1 ≤ p < ∞, entonces,

∫Rn

|f(x) − fB||ϕ(x)|dx ≤ c‖f‖ǫα,p.

donde ϕ(x) ≤ φ(ρ(x)) ∈ L1(Rn) con φ(t) =1

1 + tγ+1.

230

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ϕ−Espacios de Funciones

Prueba. Sea B0 = B y Dk = Bk − Bk−1, k = 1, 2, . . . , donde Bk es labola de cento en el origen y radio 2k. Entonces tenemos∫

Rn

|f(x)−fB||ϕ(x)|dx =

B0

|f(x)−fB||ϕ(x)|dx+∞∑

i=1

Dk

|f(x)−fB||ϕ(x)|dx.

Pero,∫

B0

|f(x)− fB||ϕ(x)|dx ≤∫

B0

|f(x)− fB|1

1 + ρ(x)γ+1dx

≤ c

B0

|f(x)− fB|p dx 1

p

≤ c‖f‖ǫα,p.Trabajemos ahora con la serie. Es suficiente ver que

∞∑

i=1

Dk

|f(x)− fB||ϕ(x)|dx ≤( ∞∑

k=1

dk

)‖f‖ǫα,p,

con∞∑k=1

dk <∞.

En efecto, la integral sobre Dk implica que x ∈ Bk y x /∈ Bk−1,asi ρ(x) ≥ 2k−2, de donde 1 + ρ(x) > 2k(γ+1)2−2(γ+1), lo que implica∫Dk

|f(x)− fB||ϕ(x)|dx ≤ 1

2k(γ+1)2−2(γ+1)

∫Bk

|f(x)− fB|dx. Pero,

Bk

|f(x)−fB|dx ≤∫

Bk

|f(x)− fBk|dx+

Bk

|fBk− fB| dx

≤ |Bk|1−1p

Bk

|f(x)− fBk|p dx

1p

+ |fBk− fB||Bk|

= (c2kγ)1−1p 2

kγp 2kα

1

(2k)γ+αp

Bk

|f(x)− fBk|p dx

1p

+ c2kγ |fBk− fB|

≤ c2k(γ+α)‖f‖ǫα,p+

c2kγ(|fBk− fBk−1

|+ |fBk−1− fBk−2

|+ . . .+ |fB1 − fB|).

231

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Alejandro Ortiz Fernández

Por otro lado,

|fBj−1− fBj | = | 1

|Bj−1|

Bj−1

(f(x)− fBj )dx|

≤ 1

|Bj−1|

Bj

|f(x)− fBj |dx

≤ 2γ

|Bj|

Bj

|f(x)− fBj |dx

≤ 2γ

|Bj|∫

Bj

|f(x)− fBj |pdx1p |Bj |

1q

= 2γ 1

c2jγ

Bj

|f(x)− fBj |pdx1p

= c2γ 2jαp

(2j)γ+αp

Bj

|f(x)− fBj |pdx1p

≤ c2γ2jα‖f‖εα,p.

De esta manera,∫Bk

|f(x)−fB|dx ≤ c2k(γ+α)‖f‖ǫα,p+ c2kγ2γk∑j=1

2jα‖f‖ǫα,p

y22(γ+1)

2k(γ+1)

∫Bk

|f(x)− fB| dx ≤ c22(γ+1)2k(γ+α)

2k(γ+1)‖f‖ǫα,p +

c2(γ+1)2γc

2k‖f‖ǫα,p y

finalmente∞∑k=1

∫Dk

|f(x)−fB||ϕ(x)|dx ≤c2

∞∑k=1

1

2k(1−α)+c2

∞∑k=1

1

2k

‖f‖ǫα,p,

lo que prueba el lema.

Prueba del Teorema 21. En primer lugar observamos que el Lema 19

232

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ϕ−Espacios de Funciones

implica que F (x, t) está bien definida, ya que

|F (x, t)| = |(f ∗ ϕt)(x)|≤

Rn

|f(y)ϕt(x− y)|dy

= t−γ∫

Rn

|f(y)ϕ(t−P (x− y))|dy

≤ t−γ∫

Rn

|f(y)− fB||ϕ(t−P (x− y)|dy +

+t−γ |fB|∫

Rn

ϕ(t−P (x− y))dy <∞,

ya que estamos considerando ϕ(x) = e−π|x|2 ≤ c

1

(1 + ρ(x))γ+1. Por otro

lado, por la invariancia por traslaciones, podemos asumir bolas con centroen x0 = 0, y por conveniencia las tomamos con radio δ = 4ρ. Sea χ la fun-ción característica de la bola B(0, δ) y χ = 1−χ; entonces considerando ladescomposición f = fBδ+(f−fBδ)1 = fBδ+(f−fBδ)(χ+χ) = fBδ+(f−fBδ)χ+(f −fBδ )χ = f1+f2+f3 obtenemos F (x, t) = (f ∗ϕt)(x) = (f1 ∗ϕt)(x)+(f2∗ϕt)(x)+(f3∗ϕt)(x) = F1(x, t)+F2(x, t)+F3(x, t), ó aplicandoel operador L = LtP

∗∇,LF (x, t) = LF1(x, t) + LF2(x, t) + LF3(x, t).Pero desde que F1(x, t) = (f1 ∗ ϕt)(x) = f1

∫ϕt(y)dy = cf1 =

(recordemos queϕ(x) = e−π|x|2) = cfBδ se tiene que LF1(x, t) = 0.

Por otro lado

B(0,δ)

[ δ∫

0

|LF2(x, t)|2dt

t

] p2

dx

1p

≤∫

Rn

[ ∞∫

0

|LF2(x, t)|2dt

t

] p2

dx

1p

≤ (desigualdad de Littlewood-Paley)

≤ c‖f2‖p = ∫

B(0,δ)

|f(x)− fBδ|p dx

1p

≤ δγp+α sup

B

1

δγ+αp

B(0,δ)

|f(x)− fBδ|p dx

1p

,

233

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Alejandro Ortiz Fernández

de donde

1

δγ+αp

B(0,δ)

[ δ∫

0

|LF2(x, t)|2dt

t

] p2

dx

1p

≤ supB

1

δγ+αp

B(0,δ)

|f(x)− fBδ|pdx

1p

o aún, ‖F2‖Hα,p ≤ c‖f‖εα,p. Veamos finalmente la acotación

1

δγ+αp

B(0,δ)

[ δ∫

0

|LF3(x, t)|2dt

t

]p2

dx

1p

≤ c‖f‖εα,p.

Tenemos,

|LF3(x, t)| = |[(f − fBδ)χ ∗Lϕt](x)| ≤∫

Rn−B(0,δ)

|f(y)− fBδ|Lϕt(x− y)|dy

(considerando la acotación

|Lϕt(y)| ≤ c

δγ+1 + ρ(y)γ+1)

≤∫

Rn

|f(x)− fBδ |δγ+1 + ρ(y)γ+1

dy

(usando el Lema 19, con B(0, δ))

≤ cδα−1‖f‖εα,p.

Observación 3. Al trabajarse con la medida dtt

parece que hay ciertoproblema con la convergencia de la integral, en cambio con la medida tdt,tal como lo hacen Fabes-Johnson-Neri, se tendría

B

[ δ∫

0

|LF3(x, t)|2t dt]p

2

dx

1p

≤ c

B

[ δ∫

0

δ2(α−1)t dt

] p2

dx

1p

‖f‖εα,p

= cδα|B| 1p ‖f‖εα,p= cδ(αp+γ)

1p ‖f‖εα,p,

de donde ‖F3‖Hα,p ≤ c‖f‖εα,p.

234

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ϕ−Espacios de Funciones

Nota 26. El operador Lu = LtP∗∇u juega el mismo papel que el término

t∇u(x, t) el teoría de las funciones armónicas, particularmente cuando setienen las funciones auxiliares de Littlewood-Paley:

g(f)(x) =

( ∞∫

0

|∇u(x, t)|2t dt)2

,

donde |∇u(x, t)|2 =∣∣∣∣∂u

∂t

∣∣∣∣2

+n∑j=1

∣∣∣∣∂u

∂xj

∣∣∣∣2

.

Pasemos ahora a probar el Teorema 22. Para ello necesitamos lossiguientes resultados.

Lema 20. Si F (x, t) ∈ Hα,p, donde (x, t) ∈ Rn+1+ entonces |LF (x, t)| ≤

ctα‖f‖Hα,p.

Prueba. La hipótesis F (x, t) ∈ Hα,p implica AF (x, t) = 0, y de estamanera se puede usar el teorema de valor medio, [ORT-TOR]; en generalse tiene

|LF (x, t)|q ≤ ct−γt∫

t2

B(x,t)

|LF (y, s)|q dy dss, 1 ≤ q <∞.

Considerando q = 1, tendremos

|LF (x, t)| ≤ ct−γ∫

B(x,t)

t∫

t2

|LF (y, s)| dssdy

≤ ct−γ∫

B(x,t)

t∫

t2

|LF (y, s)|2 dss

12 t∫

t2

ds

s

12

dy

≤ ct−γ∫

B(x,t)

t∫

t2

|LF (y, s)|2dss

12

dy

235

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Alejandro Ortiz Fernández

≤ ct−γ∫

B(x,t)

t∫

0

|LF (y, s)|2 dss

12

dy

≤ ct−γtγq

B(x,t)

( t∫

0

|LF (y, s)|2dss

) p2

dy

1p

= ct−γp

B(x,t)

( t∫

0

|LF (y, s)|2dss

) p2

dy

1p

= ctα

1

tγ+αp

B(x,t)

( t∫

0

|LF (y, s)|2 dss

) p2

dy

1p

≤ ctα‖f‖Hα,p,

lo que prueba el lema.

Lema 21. Sea F (x, t) ∈ C1 tal que |LF (y, s)| ≤ ctα. Entonces para todo(x, t) ∈ R

n+1+ se tiene

|F (x, t)− F (x0, t)| ≤ctα−1ρ(x− x0), si, ρ(x− x0) < tcρ(x− x0)

α, si, ρ(x− x0) ≥ t.

Prueba. Por el teorema del valor medio, si ξ está entre x0 y x, te-nemos F (x, t) − F (x0, t) = ∇F (ξ, t)(x − x0) = (tP

∗∇F (ξ, t), t−P (x −x0)) = (LF (ξ, t), L−1t−P (x−x0)) y de esta manera |F (x, t)−F (x0, t)| ≤|LF (ξ, t)||L−1t−P (x−x0)| ≤ c|LF (ξ, t)||t−P (x−x0)| ≤ ctα|t−P (x−x0)| =|(−ρ(x−x0)

t)P (x − x0)

′|ctα ≤ ctα−1ρ(x − x0) si ρ(x − x0) < t (ya que|sPx′| ≤ s|x′| = s si 0 < s ≤ 1). Si ahora ρ(x − x0) ≥ t, tenemos|F (x, t) − F (x0, t)| ≤ |F (x, ρ(x − x0)) − F (x, t)| + |F (x, ρ(x − x0)) −F (x0, ρ(x− x0))|+ |F (x0, ρ(x− x0))− F (x0, t)|. Observemos que el pri-mer y tercer sumando son del mismo tipo. Consideremos el primero:

|F (x, ρ(x− x0))− F (x, t)| ≤ρ(x−x0)∫

t

∣∣∣∣∂

∂sF (x, s)

∣∣∣∣ds.

236

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ϕ−Espacios de Funciones

Como A =∂

∂s− 1

s(LsP

∗∇, LsP ∗∇),L2 = LsP∗∇⊗ LsP

∗∇, tenemos

|F (x, ρ(x− x0))− F (x, t)| ≤ρ(x−x0)∫

t

|L2F (x, s)|ds

s

≤ (teorema del valor medio)

≤ρ(x−x0)∫

t

c

s∫

s2

ρ(z−x)≤s

|LF (z, u)| dz duu

ds

s

≤ c

ρ(x−x0)∫

t

1

s∫

s2

ρ(z−x)≤s

uα dydu

u

ds

s

= c

ρ(x−x0)∫

t

sαds

s

= c[ρ(x− x0)α − tα]

≤ cρ(x− x0)α.

De igual forma tenemos |F (x0, ρ(x − x0)) − F (x0, t)| ≤ cρ(x − x0)α; y

finalmente, como puede ser t = ρ(x− x0) por la hipótesis, tenemos paraeste caso también |F (x, ρ(x−x0))−F (x0, ρ(x−x0))| ≤ cρ(x−x0)

α.

Prueba del Teorema 22. Dados δ y ǫ reales positivos, por un argu-mento similar a lo hecho anteriormente tenemos.

|F (x, δ)− F (x, ǫ)| ≤δ∫

ǫ

∣∣∣∣∂F

∂s(x, s) ds

∣∣∣∣

=

δ∫

ǫ

|(LsP ∗∇, LsP ∗∇)F (x, s)| dss

237

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Alejandro Ortiz Fernández

=

δ∫

ǫ

|L2F (x, s)|ds

s

≤ c

δ∫

ǫ

1

s∫

s2

ρ(x−y)≤s

|LF (y, u)| dy duu

ds

s≤ c|δ − ǫ|α.

Como 0 < α < 1, ello implica que F (x, ǫ) es de Cauchy cuando ǫ→ 0,y por lo tanto existe una función f(x) tal que lım

ǫ→0F (x, ǫ) = f(x) para

todo x ∈ Rn.

Luego por el Lema 21 |F (x, t)−F (xo, t)| ≤ cρ(x− x0)α implica en el

limite que, |f(x) − f(xo)| ≤ cρ(x − x0)α, y de esta manera f(x) es una

función de Lipschitz de orden α. Además tenemos,∫

B(x0,δ)

|f(x)− fB|p dx =

B(x0,δ)

∣∣∣∣1

|B(x0, δ)|

B(x0,δ)

f(x) dz − 1

|B(x0, δ)|

B(x0,δ)

f(z) dz

∣∣∣∣p

dx

≤∫

B(x0,δ)

1

δγ

B(x0,δ)

|f(x) − f(z)| dzp

dx

≤ c

B(x0,δ)

1

δγ

B(x0,δ)

ρ(x− z)α dz

pdx.

Pero (mirar la figura)

ρ(x− z) ≤ ρ(x− x0) + ρ(x0 − z) ≤ ρ(x− x0) + δ,

de donde∫

B(x0,δ)

|f(x)− fB|p dx ≤ c

B(x0,δ)

1

δγ[ρ(x− x0) + δ]αδγ

p

dx

= c

B(x0,δ)

[ρ(x− x0) + δ]αp dx

≤ cδαp+γ

238

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ϕ−Espacios de Funciones

y de esta manera se tiene que ‖f‖ǫα,p ≤ c (recalcamos que las constantesc′s no son las mismas necesariamente en cada paso). Considerando queF (x, t) ∈ Hα,p, con otra c apropiada tendremos finalmente

‖f‖ǫα,p ≤ c‖F‖Hα,p.

0

xδx0

z

g

Algunas Proyecciones

1. Los espacios Lp,λ han sido generalizados en distintas direcciones.El uso de la métrica ρ(x) permite reemplazar los cubos, usadosfrecuentemente, por los elipsoides B(x0, δ). Esto permite especularsobre la aplicación, en esos espacios, de operadores diferenciales alestilo Campanato [CAM.1] y Giusti [GIU.1], [GIU.2].

Por otro lado en Peetre [PEE] se encuentran resumidas las dis-tintas generalizaciones de estos espacios, debidos a: Spanne [SPA],Campanato [CAM.2], Stampacchia [STA.1].

2. En [CAM.3], [CAM.2] y [CAM.1], Campanato ha considerado losespacios Lp,λ “locales”. Sea Ω un abierto limitado conexo en Rn, con

239

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Alejandro Ortiz Fernández

diámetro d. Sea x0 ∈ Rn y B(x0, δ) = x ∈ R

n/ ρ(x − x0) ≤ δ.Pongamos Ω(x0, δ) = B(x0, δ) ∩ Ω.

Campanato introduce la siguiente condición sobre Ω : “Se dice queΩ satisface la condición (C) si existe una constante k > 0 tal que∀x0 ∈ Ω (cerradura de Ω) y todo δ ∈ [0, d] se tiene |Ω(x0, δ)| ≥ kδγ”.Si 1 ≤ p < ∞, 0 ≤ λ ≤ γ + p y k ∈ Z+, Lp,λ(Ω) es el espacio delas funciones f ∈ Lp(Ω) tales que

supx0∈Ω

0<δ≤d

1

δλınfP∈Pk

Ω(x0,δ)

|f(x)− P (x)|p dx1/p

<∞

donde Pk es la clase de los polinomios de grado ≤ k.

Campanato observa que existe un único polinomio P (x) que mini-miza la expresión de arriba. Observamos también que en caso lospolinomios se reduzcan a los términos constantes, esta definicióncoincide con la dada (en Rn).

En los trabajos citados, y en muchos otros, Campanato ha hechouso intensivo de estos espacios Lp,λ(Ω) para estudiar problemas enecuaciones elípticas y parabólicas, así como problemas de interpo-lación. Con los resultados de Calderón-Torchinsky [CAL-TOR.1]y [CAL-TOR.2] relacionados al grupo At y a ciertos operadoresdiferenciales introducidos por ellos, así como con el teorema delvalor medio, probado en [ORT-TOR] debe ser importante atacarproblemas análogos en ecuaciones diferenciales parciales.

3. Una tarea, con muchos problemas interesantes, es relacionar a losespacios de Lipschitz Λ(B,X) (ver Heideman [HEI] y Torchinsky[TOR.2]) con los espacios Lp,λ. Ya hemos visto que cuando γ < λ ≤γ + p y α =

λ− γ

pse tiene Lp,λ = Λα. Por otro lado es conocido

ciertas relaciones entre Λα y BMO. ¿Cuál es la relación entre BMOy los espacios de Taibleson Λ(α; p, q)?, y con Λ(B,X)?

Estudiar el espacio Λ(Lp,λ, X)

240

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ϕ−Espacios de Funciones

4. En lo referente al espacio Hα,p solo hemos considerado el caso 0 <α < 1. En [ORT-TOR] se estudia el caso límite α = 0. Si Au(x, t) =0 y por tanto u(x, t) = (ϕt∗f)(x) se verifica que f está en el espacioBMO−parabólico. También se considera el caso α ≥ 1.

5. Un resultado profundo debido a C. Fefferman [FEF-STE] estableceque (H1)′ = BMO, donde

H1 = f ∈ L1/ Rjf ∈ L1, donde [Rjf ]∧(x) =

xjρ(x)

f , j = 1, 2, · · · , n.

¿Es Lp,λ el dual de algún espacio de funciones?

Por otro lado R. S. Strichartz en “The Hardy space H1 on ma-nifolds and submaniforls”. Can. J. Math. 24. (1972), 915-925., haconsiderado los espacios H1 sobre variedades, así como problemasde restricción y extensión de funciones en BMO. Teniendo los BMOen variedades, “reprobar el teorema de Fefferman”.

241

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VI

ϕ−ESPACIOS DE FUNCIONES

a

Introducción

En los últimos capítulos hemos tenido la oportunidad de presentar ydar una visión de diversos clásicos espacios de funciones. En este capítulovamos a estudiar algunos ϕ−espacios de funciones, los que son resultadosde nuestro propio estudio al respecto. Así, estudiaremos a los Lp,λϕ y enparticular a los BMOϕ, donde ϕ es una función positiva, no-decreciente,definida sobre R+. Por razones metodológicas revisemos algunas ideas yresultados en esa dirección.

Como sabemos, los espacios de oscilación media acotada BMO fueronintroducidos por John-Nirenberg en 1961, [JOH-NIR], y son definidos vía:

BMO = f ∈ L1loc(R

n)/ supQ

1

|Q|

Q

|f(x)− cQ| dx ≤M <∞

donde Q ⊂ Q0 ⊂ Rn, siendo Q0 un cubo fijo con |Q0| < ∞ con lado r0(así,|Q0| = rn0 ), y cQ es una constante que depende del cubo, que puedeser tomado siendo el promedio fQ = 1

|Q|

∫Qf(x) dx, u otra constante o

función apropiada. Los espacios BMO están relacionados a los espaciosde Lebesgue Lp, a los Lipschitz Λα, a los Morrey Lp,λ y de un modogeneral a los espacios Lp,λ. Una primera generalización de los BMO fuedada por Meyers, [MEYS], al probar que si sup

Q

1

|Q|1+αn

∫Q|f(x)−fQ| dx ≤

M <∞, con 0 < α ≤ 1, entonces f ∈ Λα. Por otro lado, si −1 ≤ α < 0,entonces f está en un apropiado espacio de Morrey. De un modo másgeneral, Spanne ([SPA]) considera una función ϕ positiva, no-decreciente,

243

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Alejandro Ortiz Fernández

definida sobre R+, y define al espacio BMOϕ vía la condición:

supQ

1

ϕ(|Q|1/n)1

|Q|

Q

|f(x)− fQ| dx ≤ M <∞.

Si ϕ(r) = 1, BMOϕ = BMO y si ϕ(r) = rα, 0 < α ≤ 1, BMOϕ = Λα.Spanne obtiene una caracterización de los espacios BMOϕ (extendiendo

así la caracterización de John-Nirenberg). Siϕ(r)

res casi-decreciente (h es

casi decreciente si supy≤x

h(x)

h(y)<∞), entonces f(x) =

1∫|x|

ϕ(r)

rdr ∈ BMOϕ.

Si ϕ(r) = 1 este resultado extiende al obtenido por John-Nirenberg:

f(x) = log |x| ∈ BMO. Luego, siδ∫0

ϕ(r)

rdr = +∞, BMOϕ contiene

elementos que no están en L∞. Por otro lado, si ϕ satisface la condición

de Dini:δ∫0

ϕ(r)

rdr <∞, para algún δ > 0, entonces BMOϕ ≃ Λϕ, donde

Λϕ es el espacio de Lipschitz generalizado

f ∈ L∞/ ‖f‖Λϕ = supx

|f(x)|+ supx,y

|f(x)− f(y)|ϕ(|x− y|) ≤ K <∞.

Obsérvese que en general Λϕ ⊂ BMOϕ continuamente; y en particular,si ϕ(r) = rα, 0 < α ≤ 1, BMOϕ ≃ Λϕ (como ya fue observado).

Por otro lado, sabemos que un resultado fundamental en la teoría delos espacios BMO es el teorema de caracterización de Ch. Fefferman:

(i) f ∈ BMO sí y sólo sí

(ii) f ∈ (H1)′ sí y sólo sí

(iii) f = f0 +n∑j=1

Rjfj , donde fj ∈ L∞, j = 0, 1, · · · , n y Rjf es la

transformada de Riesz de f .

La caracterización (i) sí y sólo sí (iii) fue extendida por S. Janson

([JAN.1]) estableciendo: “si ϕ satisface∫∞

r

ϕ(t)

t

dt

t≤ c

ϕ(r)

r, entonces

f ∈ BMOϕ sí y sólo si f = f0 +n∑j=1

Rjfj, donde f ∈ Λϕ”.

244

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ϕ−Espacios de Funciones

Posteriormente, Janson en [JAN.2] obtiene otra interesante caracte-rización para los espacios BMOϕ. Así, sea k(x) un núcleo de Calderón -Zygmund ([CAL.6]) y sea el conmutador

Cfg(x) = v.p.∫

[f(x)− f(y)]k(x, y)g(y) dy.

Sean 1 < p <n

α, 0 < α ≤ 1; ϕ y ψ son funciones positivas, no -

decrecientes sobre R+, conϕ(r)

rαdecreciente, ψ convexa y ψ(0) = 0 tal

que ϕ(r) = rnpψ−1(r−n). Entonces: f ∈ BMOϕ sí y sólo si Cf : Lp → Lψ

es un operador acotado, donde Lψ es el espacio:

f/

∫ψ(λ|f |) dx <∞, algún λ > 0

.

En este capítulo estudiamos a BMOϕ, donde ϕ satisface las hipótesisdadas al inicio de esta sección, espacio que por definición es:

BMOϕ = f ∈ L1(Q0)/ [f ]BMOϕ= supQ⊂Q0

1

ϕ(|Q|)1

|Q| ınfCQ

Q

|f(x)−CQ| dx ≤M <∞,

donde los subcubos Q son asumidos con lados paralelos a los ejes coor-denados. Desde que

ınfCQ

Q

|f(x)− CQ| dx ≤∫

Q

|f(x)− fQ| dx ≤ 2 ınfCQ

Q

|f(x)− CQ| dx

podemos usar fQ en vez de CQ. Con la norma

‖f‖BMOϕ = ‖f‖L1(Q0) + [f ]BMOϕ,

BMOϕ es un espacio de Banach. Además, si lımr→0

ϕ(r) = a 6= 0, entonces

L∞ ⊂ BMOϕ.En la dirección de los ϕ−espacios de funciones, J. O. Stromberg,

[STR.1] (1977), considera ψ positiva, no-decreciente sobre R1+; 0 < p <

∞ y se afirma que ψ es:

245

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Alejandro Ortiz Fernández

de tipo superior menor que p si para algún p0 < p y algunaconstante C > 0 tenemos ψ(at) ≤ Cap0ψ(t), para todo a ≥ 1 ytodo t > 0;

de tipo inferior mayor que p si para algún p0 > p y algunaconstante C > 0 tenemos ψ(at) ≤ Cap0ψ(t), para todo a ≤ 1 ytodo t > 0;

una función crecimiento (o que satisface la “condición doble”)si existe C > 0 tal que ψ(2t) ≤ Cψ(t).

Estas ideas fueron usadas por Janson (1980) para considerar los si-guientes ϕ−espacios generalizados Hϕ y BMOp. Veamos. Sea ϕ una fun-ción crecimiento, de tipo inferior mayor que r, para algún r > 0; entonces

Hϕ = Fanalítica sobre el disco D/∫

T

ϕ[u∗(eıθ)] dθ <∞,

donde u∗ es la función maximal no - tangencial de F . Al respecto re-marcamos que si F = u+ ıv es una función analítica (o armónica) sobreRn+1+ , a su parte real se le asocia su función maximal no - tangencial

u∗(x) = sup|x−y|<t

|u(y, t)|. Entonces, el clásico espacio de Hardy, Hp(Rn+1+ ),

es definido siendo u(x, t) armónica / u∗(x) ∈ Lp(x). En este camino,Ch. Fefferman - E. Stein consideraron: sea 0 < p <∞,

Hp = f distribución temperada / supt>0

|(f ∗ φt)(x)| ∈ Lp(Rn),

donde φ ∈ S y φt(x) = t−nφ

(x

t

).

Veamos ahora BMOρ donde ρ es una función crecimiento de tiposuperior menor que 1. Si f ∈ L1(T ), pongamos fI = 1

|I|

∫If(eıθ) dθ, con

I ⊂ T (T toro). Entonces, por definición,

BMOρ = f ∈ L1(T )/ ‖f‖∗,ρ = supI

1

ρ(|I|)1

|I|

I

|f(eıθ)− fI | dθ <∞.

246

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ϕ−Espacios de Funciones

Entonces Janson prueba la versión generalizada del teorema de dualidadde Ch. Fefferman: “Sea ρ una función crecimiento de tipo superior menor

que 1; si ϕ es definida vía ϕ−1(t) =t

ρ(1t), entonces (Hϕ)′ = BMOρ.”

Este capítulo está organizado como sigue; contiene siete secciones yuna nota. En cada sección damos algunos comentarios sobre el contenidode los mismos; así en la sección (a) presentamos una visión de algunosϕ−espacios de funciones en donde hemos precisado la naturaleza de lafunción ϕ. En (b) establecemos la versión−ϕ de algunos resultados queobtenemos sobre los espacios BMO; se abren ciertas espectativas de unestudio más completo sobre el aspecto topológico de los espacios BMOϕ

y de los espacios relacionados a ellos; así, en (c) introducimos la idea deφ−átomo, la que podría ser útil en el estudio de los espacios de Hardygeneralizados y en la solución del problema de la dualidad respectivo.En (d) damos una caracterización de los espacios BMOϕ siguiendo elmodelo de A. P. Calderón; además, presentamos algunos casos particu-lares de la desigualdad de John-Nirenberg para BMOϕ. En la sección(e) se estudia la versión−ϕ del teorema de Berman que usa polinomiospara definir a los espacios BMO; se prueba el teorema respectivo el quedescansa en un técnico lema cuya demostración proporcionamos. En (f)se extienden los espacios Lp,λ, los espacios obtenidos Lp,λϕ poseen sig-nificativas relaciones con otros espacios de funciones y además posiblesaplicaciones a problemas de ecuaciones en derivadas parciales; tambiénse introducen las P−redes, idea que está relacionada con los espacios queestamos considerando y que podrían ser útiles en el estudio de apropia-dos espacios de Lipschitz según Torchinsky ([TOR.2]). En la sección (g)se considera la norma parabólica en vez de la usual y así entramos a lostrabajos de Calderón - Torchinsky, los que abrieron nuevos panoramasde estudio en el análisis armónico y en las ecuaciones en derivadas par-ciales. Finalmente se ha considerado unas notas en donde presentamosa los espacios Lp,λ de tipo - fuerte de G. Stampacchia, así como a losespacios BMOϕ−martingala, lo que es una conexión entre el análisis ar-mónico con los espacios de probabilidades, un campo de investigación enlas últimas décadas.

247

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Alejandro Ortiz Fernández

b

Espacios BMOϕ

En esta sección obtenemos algunas extensiones de ciertos resultadosde la teoría BMO, así como estudiamos algunos aspectos topológicosde BMOϕ estableciéndose que es un espacio de Frechet. Introducimosla idea de φ−átomo y se prueban algunos resultados sobre la acción deciertos operadores sobre ϕ−espacios de funciones.

1. Si f ∈ BMOϕ entonces |fQ− fdQ| ≤ dnϕ(|dQ|)‖f‖BMOϕ donde dQes el cubo cuyo lado es d veces el lado del cubo Q.

En efecto,

|fQ − fdQ| ≤ϕ(|dQ|)dnϕ(|dQ|)|dQ|

dQ

|f(x)− fdQ| dx,

de donde se tiene la observación.

Nota 27. Si Q1 y Q2 son dos cubos tales que |Q2| = k|Q1|, k ∈ R+

(en particular si Q1 ⊂ Q2), entonces f ∈ BMOϕ implica |fQ1 −fQ2| ≤ kϕ(|Q2|)‖f‖BMOϕ. Un refinamiento de esta desigualdad esdada por la siguiente, debida a Stegenga [STE], en el caso ϕ = 1.

2. Sea f ∈ BMOϕ, Q y Q′ dos cubos tales que Q ⊂ Q′. Entonces

|fQ − fQ′ | ≤ cϕ(|Q′′|)(1 + log

|Q′||Q|

)‖f‖BMOϕ,

donde Q′′ ⊃ Q′.

En efecto, de un modo general asumamos que Qr(x) es un cubode centro x, y lado de longitud r. Pongamos Q = Qr0(x) y sear1 = ınfr/ |Qr(x)| ≥ 2|Q|. Considerando que en Rn dos cubosson comparables, existe a > 1 tal que |Q2r(x)| ≤ a|Qr(x)|. De estamanera, 2|Q| ≤ |Qr1(x)| ≤ 2a|Q|. Similarmente, si

r2 = ınfr/ |Qr(x)| ≥ 2|Qr1(x)|,

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ϕ−Espacios de Funciones

de donde 2|Qr1(x)| ≤ |Qr2(x)| ≤ 2a|Qr1(x)|. Así en general se tieneuna sucesión creciente de cubos Qri(x)i=0,1,··· ,m tales que

2|Qri−1(x)| ≤ |Qri(x)| ≤ 2a|Qri−1

(x)| (3)

donde ri = ınfr/ |Qr(x)| ≥ 2|Qri−1(x)|. Luego, si Q′′ es un cubo

que contiene Qrm y Q′, se tendrá

|fQ − fQ′ | ≤m∑

i=1

|fQri− fQri−1

|+ |fQrm− fQ′′ |+ |fQ′′ − fQ′ |

≤ (por (1)) ≤[ m∑

i=1

ciϕ(|Qri |) + cmϕ(|Q′′|) + c′ϕ(|Q′′|)]‖f‖BMOϕ

≤ c′′(m+ 2)ϕ(|Q′′|)‖f‖BMOϕ.

Pero (3) implica, reiteradamente, que 2m|Q| ≤ |Qrm(x)|. Por otrolado, una constante d tal que dQ′ = Qrm(x). Luego, 2m|Q| ≤ d|Q′|,lo que implica

m ≤ log d

log 2+

1

log 2log

|Q′||Q|

y por lo tanto

m+ 2 ≤ c1 + c2 log|Q′||Q| ≤ c3(1 + log

|Q′||Q| ),

lo que implica (2).

3. Si 1 ≤ p <∞

1

ϕ(|Q|)1

|Q|

Q

|f(x)− fQ| dx ≤ ϕ(|Q|)−1/q

1

ϕ(|Q|)1

|Q|

Q

|f(x)− fQ|p dx1/p

donde1

p+

1

q= 1.

4. Sea f ∈ BMOϕ tal que supx,y∈Q

|f(x)− f(y)|ϕ(|Q|)1/p ≤ ‖f‖BMOϕ, entonces

1

ϕ(|Q|)1

|Q|

Q

|f(x)− fQ|p dx1/p

≤ ‖f‖BMOϕ, 1 < p <∞.

249

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Alejandro Ortiz Fernández

5. (Aspectos Topológicos). Sabemos que si Q ⊂ Q0 ⊂ Rn,

[f ] = [f ]BMOϕ = supQ

1

ϕ(|Q|)1

|Q|

Q

|f(x)− fQ| dx

es una seminorma. Además, las aplicaciones

+ : BMOϕ ×BMOϕ → BMOϕ(f, g) 7→ f + g

y· : K ×BMOϕ → BMOϕ

(λ, f) 7→ λf

son continuas y BMOϕ es un espacio vectorial topológico.

El núcleo de la seminorma [·] es el subespacio de las funciones enBMOϕ que difieren en una constante. En BMOϕ, B denotará lasemibola unitaria abierta f ∈ BMOϕ/ [f ] < 1 y B a la res-pectiva semibola cerrada. Sabemos que B es un conjunto convexo,absorvente y equilibrado.

Sea el subespacio

CMOϕ =

f ∈ BMOϕ/ lım

|Q|→0

1

ϕ(|Q|)1

|Q|

Q

|f(x)− fQ| dx = 0

.

a) CMOϕ es un conjunto convexo, absorvente y equilibrado. Enefecto, si f y g están en CMOϕ entonces

[λf + (1− λ)g] ≤ |λ|[f ] + |1− λ|[g] −−−→|Q|→0

0, (0 ≤ λ ≤ 1).

Es absorvente ya que si f ∈ CMOϕ debemos ver que existe ǫ >0 tal que si |λ| ≤ ǫ entonces λf ∈ CMOϕ. Esta condición esequivalente a lım

|Q|→0[λf ] = 0 ó a |λ| lım

|Q|→0[f ] = 0. Por hipótesis,

dado ǫ1 existe δ > 0 tal que si |Q| < λ, tenemos [f ] < ǫ1.Luego tomando ǫ = ǫ1, [λf ] = |λ|[f ] < |λ|ǫ1 ≤ ǫ2. Finalmentees equilibrado pues si f ∈ λCMOϕ, f = λg con g ∈ CMOϕ y[f ] = [λg] = |λ|[g] ≤ [g] → 0 si |Q| → 0.

La observación (a) nos permite decir que la aplicación

[ ]s : BMOϕ → Kf 7→ [f ]s = ınff∈λCMOϕ

λ>0λ,

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ϕ−Espacios de Funciones

es una seminorma (continua).

Sea Qii=0,1,··· una familia de cubos en Rn, a la que asociamosla familia de seminormas P = [ ]Qi, donde

[f ]Qi = supQ⊂Qi

1

ϕ(|Q|)1

|Q|

Q

|f(x)− fQ| dx.

Además, [ ]0,1,2,··· ,n = max[ ]Q0 , [ ]Q1 , · · · , [ ]Qn es una semi-norma en P. Sean las familias

P = seminormas en P, más todos sus múltiplosB = semibolas unitarias correspondientes a las seminormas en P.

b) Una topología compatible con la estructura vectorial es de-finida en BMOϕ, dándose B como una base del filtro de lasvecindades del origen.

Así BMOϕ es un espacio localmente convexo que no es Haus-dorff ya que

⋂[ ]Qi∈P

ker([ ]Qi) 6= 0.

Pero si f ∼ g sí y sólo sí f − g =constante c.t.p. entoncesBMOϕ/ ∼ es un espacio de Hausdorff, metrizable y comple-to, y que aún denotamos con BMOϕ. También, y desde queCMOϕ es un espacio cerrado en BMOϕ, se tiene que el espaciocociente BMOϕ/CMOϕ es de Hausdorff. En conclusión,

c) BMOϕ es un espacio de Frechet.

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Alejandro Ortiz Fernández

c

φ−Átomos

Un concepto muy importante en el estudio del análisis armónico es elde átomo, introducido por R. Coifman y G. Weiss, [COI], que en nuestrocontexto es definido de acuerdo al siguiente argumento. Sea φ : R1 → R

1

una función no - decreciente tal que φ(0) = 0, φ(t) → 0 si t → 0. Sea elespacio

Lφ = f/∫

Rn

φ

(1

λ|f(x)|

)dx ≤ 1 para algún λ > 0, [∗∗]

y ‖f‖Lφ = ınfλ/ λ satisface [∗∗]. Si f(x) = χQ(x) es la función carac-terística de Q, tendremos

Rn

φ

(1

λχQ(x)

)dx =

Q

φ

(1

λ

)dx ≤ 1

ó1

φ−1

(1

|Q|

) ≤ λ, de esta manera ‖χQ‖Lφ =1

φ−1

(1

|Q|

) . Esto motiva la

Definición 9. Una función a(x), x ∈ Rn, es llamada un φ−átomo si

1. sopp a(x) ⊂ Q para algún cubo Q en Rn;

2. |a(x)| ≤ ‖χQ‖Lφ =1

φ−1

(1

|Q|

)

3.∫a(x) dx = 0.

Lema 22. Sea a(x) un φ−átomo, entonces la aplicación

L : BMOϕ → R1

f 7→∫Rna(x)f(x) dx

252

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ϕ−Espacios de Funciones

es una funcional lineal continua con

‖L‖ ≤ ϕ(|Q0|)|Q0|

φ−1

(1

|Q0|

) .

Si además ϕ satisface la ∇∞−condición (existe c > 1 tal que ϕ(2t) ≤cϕ(t), ∀t ≥ 0) entonces

L : Λϕ → R1

f 7→∫Rna(x)f(x) dx

es también una funcional lineal continua con

‖L‖ ≤ cϕ(r0)|Q0|

φ−1

(1

|Q0|

) .

Prueba.∣∣∣∣∫

Rn

a(x)f(x) dx

∣∣∣∣ =∣∣∣∣∫

Q

a(x)(f(x)− fQ) dx

∣∣∣∣ ≤ϕ(|Q0|)|Q0|

φ−1

(1

|Q0|

)‖f‖BMOϕ.

También∣∣∣∣∫

Rn

a(x)f(x) dx

∣∣∣∣ ≤∫

Rn

|a(x)| |f(x)− f(y)| dx

≤ ‖f‖Λϕ∫

Q

|a(x)|ϕ(|x− y|) dx

≤ ‖f‖Λϕϕ(√2r)

Q

|a(x)| dx

≤ cϕ(r)|Q|

φ−1

(1

|Q|

)‖f‖Λϕ,

donde r es el lado del cubo Q.

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Alejandro Ortiz Fernández

Nota 28. Observemos que si a es un φ−átomo y f ∈ BMOϕ entoncesaf ∈ BMOϕ y

‖af‖BMOϕ ≤ 1

φ−1

(1

|Q0|

)‖f‖BMOϕ.

Observación 4. En esta etapa deseamos mencionar un interesante ysignificativo problema, que esperamos detallar en otra oportunidad.

Problema. (?)′ = BMOϕ (Teorema de C. Fefferman generalizado). Lacuestión es construir el apropiado espacio de Hardy generalizado Hφ, elmismo que se construirá en base a los φ−átomos.

d

Caracterización de los Espacios BMOϕ

John-Nirenberg caracterizaron a los espacios BMO, [JOH-NIR], víael siguiente argumento. Sea f ∈ L1(Q), tal que para todo cubo Q se leasocia un número cQ tal que

Eα = x ∈ Q/ |f(x)− cQ| > α

satisface w(α) = |Eα| ≤ Ae−bα|Q|, con α > 0 real, A y b apropiadas cons-tantes, entonces f ∈ BMO. La prueba de esta afirmación es inmediatano así su recíproco, el que constituye uno de los aspectos fundamentalesdel trabajo de John-Nirenberg. Así se tiene: si f ∈ BMO entonces

w(α) ≤ Ae−bα‖f‖−1BMO |Q0|.

La prueba del Teorema de John-Nirenberg es hecha en base a un clásicolema de descomposición de Calderón-Zygmund, [CAL-ZYG.1], se usan

254

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ϕ−Espacios de Funciones

argumentos de convexidad y traslaciones para obtener tal desigualdad.Posteriormente Neri, [NER.2], da otro método de prueba, la misma quefue sugerida por A. P. Calderón. El propósito de esta sección es dar,en primer lugar, esa caracterización para el caso BMOϕ, para lo cualseguiremos las ideas expuestas en el citado trabajo de Neri. En segundolugar damos una extensión de la caracterización de BMO de Berman,[BER], en términos de polinomios. Es conveniente remarcar que otrasinteresantes caracterizaciones de BMO han sido dadas por C. Fefferman,[FEF], abriendo contactos con las funciones armónicas y con la teoríade Littlewood-Paley. En esta dirección ya hemos visto como Janson haobtenido una extensión del trabajo de Fefferman para los BMOϕ.

A. Una Extensión del Teorema de John-Nirenberg.

La parte inmediata es el

Lema 23. Sea f ∈ L1(Q), α > 0 un real tal que a todo cubo Q ⊂Q0 se le asocia un número cQ tal que Eα = x ∈ Q/ |f(x)− cQ| >α satisface w(α) ≤ Ae−bαϕ(2−kn|Q|)|Q|, con k ∈ Z+, entoncesf ∈ BMOϕ.

Prueba.∫

Q

|f(x)−cQ| dx =

∫ ∞

0

w(α) dα ≤ Aϕ(2−kn|Q|)|Q|∫ ∞

0

e−bα dα ≤ A1ϕ(|Q|)|Q|.

La parte compleja está dada por el

Teorema 23. Si f ∈ BMOϕ y α > 0 es un real, entonces

w(α) = |x ∈ Q0/ |f(x)−fQ0 | > α| ≤ Ae−bα‖f‖−1

BMOϕϕ(2−kn|Q0|)|Q0|

donde A = cA1 con A1 = 2n

2n+1 +n, c > 0 (independiente de P ),

b =n

2n+1log 2 y k =

[α− 1

2n+1

]([· · · ] parte entera).

255

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Alejandro Ortiz Fernández

Para la prueba de este teorema necesitamos de algunos resultadosprevios. Para ello hagamos algunas simplificaciones dado que el casogeneral se reduce al caso simplificado. Así, como es usual podemosasumir que ‖f‖BMOϕ = 1; de

1

ϕ(|Q|)1

|Q|

Q

|f(x)− fQ| dx ≤ M <∞

ó1

ϕ(|Q|)1

|Q|

Q

∣∣∣∣f(x)− fQ

M

∣∣∣∣ dx ≤ 1

podemos asumir que, redefiniendo f en BMOϕ, fQ = 0 y M = 1.Por otro lado, si |Q0| = a 6= 1 y d es el lado de Q0 tendremos(d

b

)n

= 1 con b = n√a, y podemos asumir |Q0| = 1. También pode-

mos poner ϕ(|Q0|) = ϕ(1) = 1 (pues si ϕ(t) = c 6= 1, ϕ1(t) =1

cϕ(t)

tiene las mismas caracterizaciones de ϕ). Con estas consideracionesen mente probemos los siguientes resultados.

Lema 24. Sea f ∈ BMOϕ. Si1

|Q0|∫Q0

|f(x)| dx < y (donde y es

real) entonces

y <1

|C|

C

|f(x)| dx ≤ y + 2nϕ(2n|C|)

donde C ∈ Dy, siendo Dy la unión de los cubos diádicos disjuntosque aparecen en el lema de descomposición de Calderón - Zygmund[CAL-ZYG.1].

Prueba. Por [CAL-ZYG.1] se tiene

y <1

|C|

C

|f(x)| dx ≤ 2ny

para todo C ∈ Dy. Por otro lado, desde que

1

|Q0|

Q0

|f(x)| dx < y

256

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ϕ−Espacios de Funciones

se tiene C 6= Q0. Luego C fue obtenido a partir de una descom-posición diádica de un cubo más grande que llamaremos C0, y en

donde1

|C0|∫C0

|f(x)| dx ≤ y (esto es, |fC0 | ≤ y). Entonces

1

|C|

C

|f(x)| dx ≤ 1

|C|

C

|f(x) − fC0| dx+ |fC0 | ≤ 2nϕ(2n|C|)‖f‖BMOϕ+ y,

lo que implica la tesis.

Observación 5. De 2n|C| ≤ |Q0| = 1 se observa que ϕ(2n|C|) ≤ 1y así se obtiene el resultado de Neri, [NER],

y <1

|C|

C

|f(x)| dx ≤ y + 2n.

Lema 25. Si y = y + 2n+1 entonces Dy ⊂ Dy y

|Dy| ≤ 2−n|Dy|ϕ(|Dy|).

Prueba. En general, si y < y′ entonces Dy′ ⊂ Dy. Por otro lado,sea C ∈ Dy arbitrario, entonces por la anterior observación

1

|C|

C

|f(x)| dx ≤ y + 2n ≤ y,

lo que significa que C fue subdividido en la descomposición corres-pondiente a Dy. Pongamos D′ = Dy∩C. Un argumento geométriconos permite ver que D′ = ∅ (vacío) ó D′ es la unión de cubosdisjuntos en Dy. Además

y ≤ 1

|D′|

C

|f(x)− fC | dx+ y + 2n ≤ |C|ϕ(|C|)|D′| + y + 2n.

De esta manera y+2n+1 ≤ |C|ϕ(|C|)|D′| +y+2n ó |D′| ≤ 2−n|C|ϕ(|C|).

Luego,

|Dy| =∑

|D′| ≤ 2−n∑

C∈Dy

|C|ϕ(|C|) ≤ 2−nϕ(|Dy|)∑

C∈Dy

|C| ≤ 2−nϕ(|Dy |)|Dy|.

257

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Alejandro Ortiz Fernández

Prueba del Teorema 23. Pongamos k = [α− 1

2n+1]. Entonces, si

y = 1 + k2n+1 se tiene 1 ≤ y ≤ α, de donde w(α) = |Eα| ≤ |Ey| =|Dy| = |D1+k2n+1|. Ahora, aplicamos reiteradamente el Lema 25obtenemos (luego de k pasos)

|D1+k2n+1 | ≤ 2−n|D1+(k−1)2n+1 |ϕ(|D1+(k−1)2n+1 |)≤ 2−2n|D1+(k−2)2n+1 |ϕ(|D1+(k−2)2n+1 |) · ϕ(2−n|D1+(k−2)2n+1 |) ·

ϕ(|D1+(k−2)2n+1 |)≤ [desde que ϕ es no-decreciente y ϕ(|D1+(k−2)2n+1 |)≤ ϕ(|Q0|) = 1]

≤ 2−2n|D1+(k−2)2n+1 |ϕ(2−n|D1+(k−2)2n+1 |)≤ · · · ≤ c2−kn|D1|ϕ(2−kn|D1|)≤ c2−knϕ(2−kn|Q0|)|Q0|.

Así se ha obtenido w(α) ≤ c2−knϕ(2−kn|Q0|)|Q0|. Por otro lado

sabemos queα− 1

2n+1≤ k + 1, de donde −nk ≤ −n

(α− 1

2n+1− 1

2−nk ≤ 2−n(α−12n+1 −1). Por lo tanto,

w(α) ≤ c22nn+1+n

2−αn

2n+1ϕ(2−kn|Q0|)|Q0|

de donde se tiene la tesis.

Observación 6. Un problema a ser resuelto es establecer la de-sigualdad del Teorema 23 en la forma

w(α) ≤ Ae−bαϕ(·)‖f‖−1BMOϕ|Q0|

ó con ϕ−1(·) en el exponente. Esta caracterización puede tener sig-nificativas implicancias.

Algunas consecuencias del Teorema 23 son:

Corolario 6. Si f ∈ BMOϕ y 1 ≤ p <∞, entonces f ∈ Lp(Q0).

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ϕ−Espacios de Funciones

Prueba.

Q0

|f(x)|p dx1/p

≤∫

Q0

|f(x) − fQ0 |p dx1/p

+ |fQ0 | |Q0|1/p

≤ A|Q0|ϕ(2−kn|Q0|)∞∫

0

e−bα‖f‖−1

BMOϕαp−1 dα + |fQ0 | |Q0|1/p.

Corolario 7. Si f ∈ BMOϕ y b′ < b‖f‖−1BMOϕ

entonces

Q0

eb′(|f(x)−fQ0

|) dx ≤ Ab′

b‖f‖−1BMOϕ

− b′ϕ(2−kn|Q0|)|Q0|.

Prueba.

Q0

eb′(|f(x)−fQ0

|) dx = b′∞∫

0

w(α)eb′α dα

= Ab′ϕ(2−kn|Q0|)|Q0|∞∫

0

eα(b′−b‖f‖−1

BMOϕ)dα

=Ab′

b‖f‖−1BMOϕ − b′

ϕ(2−kn|Q0|)|Q0|.

Observación 7. Una cuestión interesante es dar una prueba di-recta de la caracterización de la continuidad del conmutador segúnJanson, [JAN.2], (ver a. Introducción) con la condición de la de-sigualdad del Teorema 23.

B. Casos Particulares de la Desigualdad de John-Nirenbergpara Espacios BMOϕ.

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Alejandro Ortiz Fernández

En esta sección se dan los detalles de casos particulares de unaextensión de la desigualdad de John-Nirenberg,

|x ∈ Q/ |f(x)− fQ| > λ| ≤ cΨ−1|Q|

‖f‖∗,ϕ

),

donde f ∈ BMOϕ,

Ψα(t) =

2nα∫

t

ϕ(y)

ydy, 0 < α < 1,

siendo ϕ una función continua, no-decreciente, de valor real, conϕ(0) = 0.

Tal extensión nos fue comunicada por el Profesor A. Torchinsky, aquien agradecemos.

Introducción

Remarcamos aún que el espacio de las funciones de oscilación mediaacotada, BMO, fue introducido por F. John - L. Nirenberg en 1961,[JOHN-NIR], donde

BMO = f ∈ L1(Q0)/ ‖f‖∗ = supQ⊂Q0

1

|Q|

Q

|f(x)− fQ| dx <∞

siendo Q0 un cubo fijo en Rn, de medida de Lebesgue |Q0| fini-ta, cuyos lados (así como los de los cubos Q) son paralelos a losejes coordenados; fQ es el promedio 1

|Q|

∫Qf(x) dx. Con la norma

‖f‖∗ + ‖f‖L1(Q0), BMO es un espacio de Banach. Obsérvese queL∞ ⊂ BMO siendo la inclusión propia ya que log |x| ∈ BMO. Elespacio BMO está relacionado a otras ramas del análisis (funcionesanalíticas, ecuaciones en derivadas parciales, martingalas, análisisarmónico, · · · ). Como sabemos, la desigualdad de John-Nirenberges como sigue.

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ϕ−Espacios de Funciones

Sea λ > 0 un número real y sea el conjunto

Eλ = x ∈ Q/ |f(x)− fQ| > λ.

Si ω(λ) ≡ |Eλ| ≤ Ae−bλ|Q|, con A y b apropiadas constantes, en-tonces f ∈ BMO.

[En efecto,

Q

|f(x)− fQ| dx =

∞∫

0

ω(λ) dλ ≤ A

∞∫

0

e−bλ dλ · |Q| = A

b|Q|].

El recíproco es la parte crucial: si f ∈ BMO, entonces existenconstantes A y b tal que

ω(λ) ≤ Ae−bλ‖f‖−1∗ · |Q| ([+])

La prueba original de John-Nirenberg es un tanto técnica; ella fuemejorada por A. P. Calderón, según aparece en Neri [NER.2], endonde se hace uso de la descomposición de Calderón-Zygmund.

Como en la prueba de la extensión de la desigualdad de John-Nirenberg se usará la idea de tal descomposición, veamos algunosdetalles de la misma.

Descomposición de Calderón-Zygmund

Sea f una función integrable, definida en un cubo Q0 y sea λ > 0un real tal que

1

|Q0|

Q0

|f(x)| dx ≤ λ.

Entonces existe una familia enumerable Qk, de cubos abiertos,disjuntos en Q0, tal que

(a) |f(x)| ≤ λ c.t.p. si x ∈ Q0 −⊔k

Qk;

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Alejandro Ortiz Fernández

(b) λ <1

|Qk|∫Qk

|f(x)| dx ≤ 2nλ;

(c)∑k

|Qk| <1

λ

∫Q0

|f(x)| dx

Prueba. Dividamos Q0 en 2n cubos abiertos congruentes (dividien-do por 2 sus lados). Con estos subcubos se presentan dos casos.

1

|Q′i|

Q′i

|f(x)| dx > λ; (4)

1

|Q′′i |

Q′′i

|f(x)| dx ≤ λ. (5)

Conservemos los cubos Q′i que satisfacen (4) (que es parte de la

conclusión (b)), mientras que los cubos Q′′i , que satisfacen (5), son

sometidos al anterior proceso, esto es, son divididos en 2n nuevossubcubos congruentes, dando origen a una nueva generación decubos en donde nuevamente tenemos

1

|Q′ii|

Q′ii

|f(x)| dx > λ; (6)

1

|Q′′ii|

Q′′ii

|f(x)| dx ≤ λ. (7)

Retenemos los cubos Q′ii, mientras losQ′′

ii son sometidos a tal proce-so. Y así sucesivamente . . . Renumerando obtenemos familias de cu-bos abiertos, disjuntos, de distintas generacionesQ1, Q2, · · · , Qk, · · ·tal que

λ|Qk| <∫

Qk

|f(x)| dx ≤ 2nλ|Qk|,

que implica (b).

Por otro lado, |Qk| <1

λ

∫Qk

|f(x)| dx, de donde∑k

|Qk| <1

λ

∫Q0

|f(x)| dx,

que es (c).

262

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ϕ−Espacios de Funciones

Finalmente, sea x ∈ Q0 −⊔k

Qk, esto es, x pertenece a algún cubo

del tipo Q′′k, donde (por construcción) |Q′′

k| → 0 cuando k → ∞.

Como1

|Q′′k|∫Q′′k|f(y)| dy ≤ λ, por el teorema de diferenciación de

Lebesgue tenemos

|f(x)| = lımk→∞

1

Q′′k

Q′′k

|f(y)| dy ≤ λ, c.t.p.

Espacios BMOϕ (Continuación)

Por razones de completitud remarquemos algunos resultados yamencionados anteriormente. Como ya hemos expuesto, el espacioBMO fue extendido por S. Spanne, [SPA], 1965, vía el espacioBMOϕ, donde ϕ(t) es una función positiva, no decreciente, defi-nida sobre (0,∞). Así

BMOϕ =

f ∈ L1(Q0)/ ‖f‖∗,ϕ = sup

Q⊂Q0

1

ϕ(r)

1

|ϕ|

Q

|f(x)− fQ| dx <∞

donde r es la longitud del lado del cubo Q. Con la respectiva nor-ma, BMOϕ es un espacio Banach. Formas particulares de ϕ hacencoincidir (isomórficamente) BMOϕ con algunos clásicos espacios defunciones. Así,

• Si ϕ(t) = 1, entonces BMOϕ = BMO;

• Si ϕ(t) = tα, 0 < α < 1, entonces BMOϕ = Λα, donde(espacio de Lipschitz)

Λα =

f ∈ L∞/ ‖f‖Λα = sup

x,y

|f(x)− f(y)||x− y|α <∞

.

263

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Alejandro Ortiz Fernández

Si −1 < α < 0, entonces BMOϕ = Lp,λ, con α = −λp, siendo

(espacio de Morrey)

Lp,λ =

f ∈ L1(Q0)/ ‖f‖Lp,λ = sup

Q

1

Q

|f(x)|p dx1/p

<∞.

Algunos resultados de Spanne son:

(i) Siϕ(t)

tes casi-decreciente (esto es, si t′ ≤ t, existe una cons-

tante A tal queϕ(t)

t≤ A

ϕ(t′)

t′), entonces

f(x) =

r∫

|x1|

ϕ(t)

tdt ∈ BMOϕ, x = (x1, · · · , xn).

(ii) Siϕ1(t)

tes no-creciente, entonces BMOϕ1 ⊂ BMOϕ2 sí y sólo

sí existen constantes c, δ tal que ϕ1(r) ≤ cϕ2(r), 0 < r < δ.La inclusión es continua.

(iii) Siδ∫0

ϕ(t)

tdt <∞, para algún δ > 0, entonces toda f ∈ BMOϕ

es una función continua, y su módulo de continuidad

ω(f, r) = sup|x−y|≤r

|f(x)− f(y)|

satisface ω(f, r) ≤ cr∫0

ϕ(t)

tdt · ‖f‖∗,ϕ.

(iv) Siϕ(t)

tes casi decreciente y

δ∫0

ϕ(t)

tdt = +∞, entonces en

BMOϕ existen funciones no acotadas, ni continuas.

En particular, de lo anterior se deduce que

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ϕ−Espacios de Funciones

• Si ϕ(t) = 1, entonces1

tes casi-decreciente y

δ∫0

dt

t= +∞.

Luego BMOϕ = BMO contiene a la función no acotada f(x) =log |x|.

• Si ϕ(t) = tα, 0 < α < 1, entoncesr∫0

ϕ(t)

tdt =

α< ∞.

Así, ω(f, r) ≤ crα

α‖f‖∗,ϕ ≤ c‖f‖∗,ϕ. Luego, si r es peque-

ño, ω(f, r) es pequeño y f es una función continua. Más con-cretamente BMOtα = Λα, lo que constituye el teorema deMeyers-Campanato. Más generalmente, consideremos el espa-cio de Lipschitz

Λϕ =

f/ ‖f‖Λϕ = sup

x,y∈Rn

|f(x)− f(y)|ϕ(|x− y|) <∞

.

Se tiene Λϕ ⊂ BMOϕ, con inclusión continua

[si f ∈ Λϕ

1

ϕ(r)

1

|Q|

Q

|f(x)− fQ| dx ≤ 1

ϕ(r)

1

|Q|

Q

1

|Q|

Q

|f(x)− f(y)| dydx

≤ supx,y∈Q

|f(x)− f(y)|ϕ(|x − y|) <∞

].

En 1971, Ch. Fefferman [FEF-STE] establece que el espacio BMOse identifica con el espacio dual del espacio de Hardy H1, dondeH1 = f ∈ L1/ Rjf ∈ L1, j = 1, · · · , n siendo Rjf la transfor-

mada de Riesz de f , definida por [Rjf ]∧(x) =

xj|x| f(x), con f la

transformada de Fourier de f . Fefferman prueba que tal identifi-cación es equivalente a la caracterización: f ∈ BMO sí y sólo sí

f = f0 +n∑j=1

Rjfj , con fj ∈ L∞, j = 0, 1, · · · , n. En esta dirección

Janson [JAN.1], 1976, obtiene una caracterización semejante para

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Alejandro Ortiz Fernández

BMOϕ imponiendo a ϕ la (extra) condición de crecimiento

∞∫

r

ϕ(t)

t

dt

t≤ c

ϕ(r)

r. (∗)

Se observa que se tiene∞∫r

ϕ(t)

t

dt

t≥ ϕ(r)

ry que la condición

(∗) implica que la función (positiva, no-decreciente y continua)

Θ(r) = r∞∫r

ϕ(t)

t

dt

tdefine (por la anterior caracterización (ii))

al mismo espacio BMOϕ. Esto nos permite asumir que, bajo lacondición (∗), f ∈ BMOϕ es una función continua. Bajo es-tas consideraciones, Janson prueba que f ∈ BMOϕ sí y sólo sí

f = f0 +n∑j=1

Rjfj , con fj ∈ Λϕ, j = 0, 1, · · · , n.

Espacios Lp,Φ

Sea Φ una función positiva, no-decreciente, (por conveniencia enlas aplicaciones) la condición Φ(2t) ≤ cΦ(t).

Sea 1 ≤ p ≤ ∞ y r la longitud del lado cubo Q,

Lp,Φ = f ∈ L1loc(R

n)/ ‖f‖⋆,Φ =

(supQ

1

Φ(r)

Q

|f(x)− fQ|p dx)1/p

<∞.

Identificando las funciones que difieren en una constante, se obtienela respectiva norma, con la cual Lp,Φ es un espacio de Banach.Observemos que si Φ(t) = rnϕ(t), donde ϕ es una función positiva,no-decreciente sobre (0,∞), entonces L1,Φ = BMOϕ.

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ϕ−Espacios de Funciones

Desigualdad de John-Nirenberg para BMOϕ.(Torchinsky)

En esta ocasión consideramos ϕ(t), una función continua, no-decreciente,de valor real tal que ϕ(0) = 0. Entonces, f ∈ BMOϕ si f ∈ L1(Q0)y

‖f‖∗,ϕ = supQ⊂Q0

1

ϕ(|Q|)1

|Q|

Q

|f(x)− fQ| dx <∞.

El objetivo es extender a BMOϕ la desigualdad de John-Nirenberg[+] de la Sección . Bien, sea la función

Ψ(t) =

2n∫

t

ϕ(y)

ydy.

Se tiene la

Proposición 1. Sea f ∈ BMOϕ. Si lımt→0+

Ψ(t) <∞, entonces

sup ess.|f(x)− fQ| ≤ c

( 2n|Q|∫

0

ϕ(y)

ydy

)‖f‖⋆,Φ.

Prueba. Fijemos x ∈ Q ⊆ Q0. Asumamos que x sea un punto deLebesgue de f , esto es, tal que

lımQ→x

1

|Q|

Q

|f(y)− f(x)| dy = 0.

Como f ∈ L1loc y casi todo punto de Rn es un punto de Lebesgue

de f , es suficiente asumir tal condición para x. Llamando Q1 =Q, Q2 es uno de los 2n subcubos congruentes en que es divididoQ1. Este proceso es continuando sucesivamente, y de esta manera

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Alejandro Ortiz Fernández

se obtiene una sucesión de subcubos (diádicos) Qj, que convergea x. Además, por el teorema de diferenciación de Lebesgue,

lımj→∞

fQj = f(x) c.t.p.

Pero

|fQj−1− fQj | ≤ 1

|Qj |

Qj

|f(x)− fQj−1| dx

≤ (desde que |Qj−1| = 2n|Qj |)≤ 2nϕ(|Qj−1|)‖f‖⋆,ϕ.

Entonces

|f(x)− fQ| ≤ |fQ2 − fQ1 |+ |fQ3 − fQ2|+ · · ·+ lımj→∞

|f(x)− fQj |

=∞∑

j=1

|fQj+1− fQj |

≤ 2n( ∞∑

j=1

ϕ(|Qj|))‖f‖⋆,ϕ

(considerando que |Q| = 2(j−1)n|Qj|)

= 2n( ∞∑

j=1

ϕ

( |Q|2(j−1)n

))‖f‖⋆,ϕ.

Ahora probemos la desigualdad

ϕ

( |Q|2kn

)≤ 1

n log 2

|Q|2(k−1)n∫

|Q|2kn

ϕ(y)

ydy, k ≥ 1. (∗)

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ϕ−Espacios de Funciones

En efecto,

|Q|2(k−1)n∫

|Q|2kn

ϕ(y)

ydy ≥ ϕ

( |Q|2kn

)|Q|

2(k−1)n∫

|Q|2kn

dy

y= ϕ

( |Q|2kn

)log

(1

2−n

)= n log 2ϕ

( |Q|2kn

),

que implica [∗]. Luego,

|f(x)− fQ| ≤ 2n∞∑

j=1

(1

n log 2

|Q|2(k−1)n∫

|Q|2kn

ϕ(y)

ydy

)· ‖f‖⋆,ϕ

≤ (desde que la suma es por bloques)

≤ 2n(

1

n log 2

2n|Q|∫

0

ϕ(y)

ydy

)‖f‖⋆,ϕ,

donde observamos que1

2(j−2)n≤ 2n es equivalente a 22n ≤ 2n(j+1).

Así se tiene la tesis con c =2n

n log 2.

Caso. lımt→0+

Ψ(t) = +∞.

Si esto es el caso, se sabe que

Ψ(|x|) =2n∫

|x|

ϕ(y)

ydy ∈ BMOϕ

(ver Sección 2). Sea ahora la función

Ψα(t) =

2nα∫

t

ϕ(y)

ydy, 0 < α < 1.

Entonces se tiene el

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Alejandro Ortiz Fernández

Teorema 24. Si lımt→0+

Ψ(t) = +∞, entonces existe una constante c

tal que para f ∈ BMOϕ y todo Q ⊆ Q0 se tiene

ω(λ) ≡ |x ∈ Q/ |f(x)− fQ| > λ| ≤ cΨ−1|Q|

‖f‖⋆,ϕ

).

Prueba. La idea es usar la descomposición de Calderón-Zygmund.Asumamos fQ = 0 y ‖f‖⋆,ϕ = 1 (pues hacemos el cambio f porf − fQ‖f‖⋆,ϕ

, de ser necesario). Así la tesis es

|x ∈ Q/ |f(x)| > λ| ≤ c1Ψ−1|Q|(c2λ).

Al usar tal descomposición obtenemos sucesivas generaciones desub-cubos de Q en la forma siguiente. La primera generación decubos es obtenida al nivel

1

|Q|

Q

|f(x)| dx ≤ ϕ(|Q|) ≤ 2nϕ(|Q|),

obteniéndose cubos abiertos disjuntos Q(1)j tales que

(a) |f(x)| ≤ 2nϕ(|Q|) c.t.p. sobre Q−⋃j

Q(1)j ;

(b) 2nϕ(|Q|) ≤ 1

|Q(1)j |

Q(1)j

|f(x)| dx ≤ 4nϕ(|Q|)

(c)

j

|Q(1)j | ≤ 1

2nϕ(|Q|)∑

j

Q(1)j

|f(x)| dx

≤ |Q|2nϕ(|Q|)|Q|

Q

|f(x)| dx

≤ 1

2n|Q|.

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ϕ−Espacios de Funciones

Ahora, en la segunda etapa, aplicamos la descomposición de Calderón-Zygmund a cada función (f(x) − f

Q(1)j)χ

Q(1)j(x), y obtenemos una

segunda generación de subcubos. Así, fijemos Q(1)j y pongamos

Q(1) ≡ Q(1)j . Entonces, desde que

1

|Q(1)|

Q(1)

|f(x)− fQ(1)| dx ≤ ϕ(|Q(1)|) < 2nϕ(|Q(1)|),

obtenemos los subcubos Q(2)j de Q(1), abiertos y disjuntos, tales que

(a)′ |f(x)− fQ(1) | ≤ 2nϕ(|Q(1)|) c.t.p. sobre Q(1) −⋃j

Q(2)j

(b)′ 2nϕ(|Q(1)|) ≤ 1

|Q(2)j |

Q(2)j

|f(x)− fQ(1)| dx ≤ 4nϕ(|Q(1)|).

(c)′

j

|Q(2)j | ≤ 1

2nϕ(|Q(1)|)∑

j

Q(2)j

|f(x)− fQ(1)| dx

≤ 1

2nϕ(|Q(1)|)

Q(1)

|f(x)− fQ(1)| dx

≤ |Q(1)|2n

.

Desde que |Q(1)| ≤ |Q|2n, de (a)′ y (b) obtenemos

|f(x)| ≤ |f(x)− fQ(1) |+ 1

|Q(1)|

Q(1)

|f(x)| dx

≤ 4nϕ

( |Q|2n

)+ 4nϕ(|Q|),

271

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Alejandro Ortiz Fernández

esto es,

|f(x)| ≤ 4n(ϕ

( |Q|2n

)+ ϕ(|Q|)

). ([+]′)

Ahora, de (b)′ y (c), sumando sobre todos los cubos de la primerageneración Q(1), obtenemos

j

|Q(2)j | ≤ 1

2n

j

|Q(1)j | ≤

(1

2n

)2

|Q|. ([++]′)

Y así podemos continuar . . . Asumiendo que tenemos seleccionadouna (k−1)−generación de cubos Q(k−1), por el método usado antes,se selecciona una (k)−generación de Calderón-Zygmund cubos, talque para cada cubo Q(k−1) se tiene (inductivamente)

(+) |f(x)| ≤ 4nk−1∑

j=0

ϕ

( |Q|2nj

)c.t.p. sobre Q(k−1) −

j

Q(k)j ;

(++)∑

j

|Q(k)j | ≤

(1

2n

)k|Q|.

Ahora hagamos el siguiente argumento.

Caso λ > 2nϕ(|Q|). Sea k el más grande entero tal que 4nk−1∑j=0

ϕ

( |Q|2nj

)<

λ. Entonces se tiene

x ∈ Q/ |f(x)| > λ ⊆ x ∈ Q/ 4nk−1∑

j=0

ϕ

( |Q|2nj

)< |f(x)| ⊂

j

Q(k)j ,

por [+]. Luego,

|x ∈ Q/ |f(x)| > λ| ≤∑

j

|Qj(x)| ≤(

1

2n

)k

|Q|. [∗∗]

272

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ϕ−Espacios de Funciones

Ahora, por construcción de k,

λ ≤ 4nk∑

j=0

ϕ

( |Q|2jn

)

≤ (por [∗])

≤ 4n

n log 2

k∑

j=0

|Q|2(j−1)n∫

|Q|2jn

ϕ(y)

ydy

≤ 4n

n log 2

2n|Q|∫

|Q|2kn

ϕ(y)

ydy

= CΨ|Q|

( |Q|2kn

).

Luego, usando [∗∗],

|x ∈ Q/ |f(x)| > λ| ≤ |Q|2kn

≤ Ψ−1|Q|(c2λ),

que es la tesis para este caso.

Caso λ ≤ 2nϕ(|Q|). Por hipótesis, si λ → 0+ entonces Ψ−1|Q|(λ) →

∞, luego existe una constante c1 tal que |Q| ≤ c1Ψ−1|Q|(λ), λ ≤

2nϕ(|Q|). Por lo tanto,

|x ∈ Q/ |f(x)| > λ| ≤ |Q| ≤ c1Ψ−1|Q|(λ).

273

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Alejandro Ortiz Fernández

Casos Particulares

Proposición 2. Sea ϕ(t) = η

(log

(1t

))y Φ′(t) = η(t), donde Φ

es una función continua (derivable), no-decreciente, con Φ(0) = 0.Si

Ψ|Q|(t) =

2n|Q|∫

t

η

(log

(1

y

))dy

y,

entonces tenemos Ψ−1|Q|(t) ≤ C1e

(−1/2)Φ−1(t)|Q|.

Prueba. Tenemos

Ψ|Q|(t) =

∫ 12n|Q|

1t

η(log s)

(− ds

s

)

=

∫ 1t

12n|Q|

η(log y)dy

y

=

∫ 1t

12n|Q|

η(log y) d(log y)

= Φ

(log

(1

t

))− Φ

(log

(1

2n|Q|

));

esto es,

Ψ|Q|(t) + Φ

(log

(1

2n|Q|

))= Φ

(log

(1

t

)).

Llamemos Ψ|Q|(t) = t∗; así, t = Ψ−1|Q|(t

∗). Luego

t∗ + Φ

(log

(1

2n|Q|

))= Φ

(log

(1

Ψ−1|Q|(t

∗)

)),

o aún, reescribiendo, Φ

(log

(1

Ψ−1|Q|(t)

))= t + Φ

(log

(1

2n|Q|

)),

de donde

log

(1

Ψ−1|Q|(t)

)= Φ−1

(t+ Φ

(log

(1

2n|Q|

))),

274

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ϕ−Espacios de Funciones

o aún Ψ−1|Q|(t) = e(t+Φ(log( 1

2n|Q|))). Pero, desde que Φ−1 es creciente, en

general, si a, b > 0 se tiene Φ−1(a+ b) ≥ Φ−1(a) + Φ−1(b)

2. Luego,

Φ−1|Q|(t) ≤ e

Φ−1(t)+log

(1

2n|Q|

)2 = e

12Φ−1(t) · e 1

2log

(1

2n|Q|

).

Considerando que

e12log

(1

2n|Q|

)=

1(

1

2n|Q|

)1/2= 2n/2|Q|1/2 ≤ c1|Q|,

tenemos la tesis.

Corolario 8. Sea η(y) = 1 y ϕ(t) = 1. Como Φ es tal que Φ′(t) =1, Φ(t) = t, esto es, Φ−1(t) = t. Luego,

Ψ−1|Q|(t) ≤ c1e

−(1/2)Φ−1(t)|Q| = c1e−(1/2)(t)|Q|,

y por teorema tenemos

|x ∈ Q/ |f(x)−fQ| > λ| ≤ c1Ψ−1|Q|

‖f‖⋆,ϕ

)≤ c1e

−(1/2)λ‖f‖−1⋆,ϕ |Q|,

que es la desigualdad de John-Nirenberg para BMO.

Corolario 9. Asumamos η(y) = y−ǫ, 0 < ǫ < 1;

ϕ(t) = (log(1/t))−ǫ =1

(− log t)ǫ.

Entonces Φ′(t) = t−ǫ, Φ(t) =t1−ǫ

1− ǫ, Φ−1

(t1−ǫ

1− ǫ

)= t. Si

t1−ǫ

1− ǫ=

s, t = (s(1− ǫ))1/1−ǫ. Entonces,

Φ−1(s) = (s(1− ǫ))1/1−ǫ = cs1/1−ǫ.

Luego,

Ψ−1|Q|(t) ≤ c2e

−(1/2)t1/1−ǫ · |Q|,y por tanto se tiene la respectiva desigualdad de John-Nirenberg,

ω(λ) ≤ ce−(1/2)(λ‖f‖−1⋆,ϕ)

1/1−ǫ · |Q|.

275

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Alejandro Ortiz Fernández

Corolario 10 (Stegenga). Sea η(y) =1

yy ϕ(t) =

1

log(1t

) =

−(log t)−1. Así Φ′(t) = −t−1 ó Φ(t) = log

(c1

t

). Entonces Φ−1(t) =

ce−t y se tiene la correspondiente desigualdad de John-Nirenberg.

e

Una Extensión del Teorema de BermanEn esta parte estableceremos, para los espacios BMOϕ, el equivalente

a la caracterización de BMO según Berman [BER]. El uso de polinomiosen este tipo de espacios fue ya considerado por Campanato en [CAM.2].Si f ∈ BMO es claro que existe un polinomio pQ(x), de grado ≤ d,definido sobre un cubo fijo Q0, tal que

supQ

1

|Q|

Q

|f(x)− pQ(x)| dx ≤M <∞, ∀Q ⊂ Q0.

El teorema de Berman establece el recíproco: “Si para ∀Q ⊂ Q0 existe

un polinomio pQ(x), de grado ≤ d, tal que supQ

1

|Q|∫Q

|f(x)− pQ(x)| dx ≤M <∞, entonces f ∈ BMO”.

La prueba de este teorema es basada en el siguiente crucial lema:“existe una constante c tal que se tiene

supx,y∈Q

|pQ(x)− pQ(y)| ≤ c, ∀Q ⊂ Q0.”

El resultado fundamental que probaremos es el

276

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ϕ−Espacios de Funciones

Teorema 25. Sea Q0 un cubo fijo en Rn (|Q0| < ∞), f ∈ L1(Q0), d ∈

Z+. Si existe una constante M < ∞ tal que para todo Q ⊂ Q0 existe unpolinomio pQ(x), de grado ≤ d, con

1

ϕ(|Q|)1

|Q|

Q

|f(x)− pQ(x)| dx ≤M,

entonces f ∈ BMOϕ.

La prueba de este teorema está basado en el

Lema 26. Dado un polinomio pQ(x), de grado ≤ d, definido sobre uncubo fijo Q0, existe una constante c > 0 tal que

supx,y∈Q⊂Q0

|pQ(x)− pQ(y)| ≤ cϕ(|Q|), ∀Q,

que podemos asumir con centro en x.

Prueba del Teorema 25. Sea cQ =1

|Q|∫Q

pQ(x) dx, entonces

1

ϕ(|Q|)1

|Q|

Q

|f(x)− cQ| dydx ≤ M +1

ϕ(|Q|)1

|Q|

Q

1

|Q|

Q

|pQ(x)− pQ(y)| dydx

≤ M + c.

En la prueba del Lema 26 usaremos los siguientes resultados de Ber-man [BER].

Lema 27. Para todo cubo Q y todo polinomio p(x), de grado ≤ d, existeuna constante α = α(n, d) tal que

supx∈Q

p(x) ≤ α

|Q|

Q

1

|Q|

Q

|p(x)| dx.

277

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Alejandro Ortiz Fernández

Lema 28. Para todo polinomio p(x), de grado ≤ d, y todo par de cubosQm y Q tales que Q ⊂ Qm y |Qm| = mn|Q|, existe una constante γ =γ(n, d) tal que

supx,y∈Q

|p(x)− p(y)| ≤ (γm)−1 supx,y∈Qm

|p(x)− p(y)|.

Prueba del Lema 26. Seguiremos la metodología de [BER]. Por el ab-surdo supongamos que no exista c tal que

supx,y∈Q

|pQ(x)− pQ(y)| ≤ cϕ(|Q|), ∀Q ⊂ Q0.

Entonces para todo c > 0 se tendrá

supx,y∈Q

|pQ(x)− pQ(y)| > cϕ(|Q|), ∀Q ⊂ Q0.

DefínaseF (c) = sup|Q|/ |pQ(x)− pQ(y)| ≥ cϕ(|Q|).

Tenemos

F (c) ≤ |Q0|F (c) es una función decreciente cuando c→ ∞.

lımc→∞

F (c) = 0. En efecto, dado ǫ > 0 debe existir N = N(ǫ) tal

que para todo c ≥ N se debe tener

sup|Q|/ |pQ(x)− pQ(y)| ≥ cϕ(|Q|) ≤ ǫ.

Por el absurdo, si esto no es cierto, entonces existe ǫ0 tal que paratodo c existe un cubo Q tal que |Q| > ǫ0 y

supx,y∈Q

|pQ(x)− pQ(y)| ≥ cϕ(|Q|).

Entonces

cϕ(|Q|) ≤ 2 supx∈Q

|pQ(x)|

≤ (lema 27)

≤ 2α

|Q|

Q

|pQ(x)| dx.

278

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ϕ−Espacios de Funciones

Por lo tanto,

Q

|f(x)| dx ≥∫

Q

|pQ(x)| dx−∫

Q

|f(x)− pQ(x)| dx

≥ cϕ(|Q|)|Q|2α

−Mϕ(|Q|)|Q|

≥ ϕ(ǫ0)ǫ0

(c

2α−M

).

Luego como c es arbitrariamente grande se tendría f /∈ L1(Q0),contra la hipótesis.

Fijemos c > 0. Por definición, dado ǫ > 0 escojamos un cubo Qtal que |Q| > F (c)− ǫ y sup

x,y∈Q|pQ(x)− pQ(y)| ≥ cϕ(|Q|). Sea Qm

un cubo tal que Q ⊂ Qm ⊂ Q0 y Qm = mQ, donde m ∈ N sedeterminará después. Observemos que tenemos

1

ϕ(|Q|)1

|Q|

Q

|f(x)− pQ(x)| dx ≤M

y

1

ϕ(|Qm|)1

|Qm|

Q

|f(x)−pQm(x)| dx ≤ 1

ϕ(|Qm|)1

|Qm|

Qm

|f(x)−pQm(x)| dx ≤M

y que

1

ϕ(|Q|)1

|Q|

Q

|f(x)− pQm(x)| dx ≤ ϕ(|Qm|)|Qm|

ϕ(|Q|)|Q| M = mnMϕ(mn|Q|)ϕ(|Q|) .

Luego,

1

ϕ(|Q|)1

|Q|

Q

|pQ(x)− pQm(x)| dx ≤M

(1 +mnϕ(m

n|Q|)ϕ(|Q|)

).

279

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Alejandro Ortiz Fernández

Por otro lado,

supx,y∈Q

|pQ(x)− pQ(y)− (pQm(x)− pQm

(y))| ≤ α

|Q|

Q

|pQ(x)− pQm(x)| dx+

|Q|

Q

|pQ(y)− pQm(y)| dx

≤ 2Mαϕ(|Q|)(1 +mnϕ(m

n|Q|)ϕ(|Q|)

).

Por otro lado, y considerando la condición del absurdo, tenemos

supx,y∈Q

|pQm(x) − pQm

(y)| ≥ supx,y∈Q

|pQ(x) − pQ(y)|

− supx,y∈Q

|pQm(x)− pQ(x) + pQ(y)− pQm

(y)|

≥ cϕ(|Q|)− 2Mαϕ(|Q|)(1 +mnϕ(m

n|Q|)ϕ(|Q|)

).

Además, por el Lema 28,

supx,y∈Qm

|pQm(x) − pQm

(y)| ≥ γm supx,y∈Q

|pQm(x) − pQm

(y)|

≥ γm

cϕ(|Q|)− 2Mαϕ(|Q|)

(1 +mnϕ(m

n|Q|)ϕ(|Q|)

).

De esta desigualdad y considerando la definición de F , tenemos

F

[γmcϕ(|Q|)− 2γmMαϕ(|Q|)

(1 +mnϕ(m

n|Q|)ϕ(|Q|)

)]≥ |Qm|

= mn|Q|≥ mn(F (c)− ǫ),

y haciendo ǫ → 0 tenemos

F

[γmcϕ(|Q|)− 2γmMαϕ(|Q|)

(1 +mnϕ(m

n|Q|)ϕ(|Q|)

)]≥ mnF (c). (+)

Para cada cubo Q, sea el intervalo

[1

γϕ(|Q|) ,2

γϕ(|Q|)

]. Si m =

1

γϕ(|Q|)se tiene

γmcϕ(|Q|)−2γmMαϕ(|Q|)(1+mnϕ(m

n|Q|)ϕ(|Q|)

)= c−2Mα

(1+

1

γn(mn|Q|)ϕn+1(|Q|)

)< c,

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ϕ−Espacios de Funciones

y si m =2

γϕ(|Q|) y c > 4Mα

(1 + 2n

ϕ(mn|Q|)γnϕn+1(|Q|)

)se tiene

γmcϕ(|Q|)−2γmMαϕ(|Q|)(1+mnϕ(m

n|Q|)ϕ(|Q|)

)= 2c−4Mα

(1+2n

ϕ(mn|Q|)γnϕn+1(|Q|)

)> c.

Por lo tanto existe un m = (m0) en tal intervalo tal que

F

[γmcϕ(|Q|)− 2γmMαϕ(|Q|)

(1 +mnϕ(m

n|Q|)ϕ(|Q|)

)]= F (c)

y para Qm, con las condiciones dadas, [+] implica que F (c) ≥ mnF (c)para c grande, lo que no es posible.

f

Espacios Lp,λϕ

A. Antecedentes Cronológicos

La evolución de los espacios de funciones (y distribuciones) tuvo granimpulso en su uso en el desarrollo de las ecuaciones diferenciales, enparticular de las parciales. Según H. Triebel tal evolución comprendetres períodos fundamentales: básico, constructivo y sistemático. Al iniciodel siglo pasado se introdujeron los espacios abstractos, lo que condujoa la formulación de dos grandes tipos de espacios (relacionados entre sí):los espacios de Hilbert y los espacios de Banach. En este ambiente, en ladécada de los 30’s (período básico) se formulan los espacios Lp, Cm, losespacios de Lipschitz Λα, los espacios analíticos Hp, 0 < p <∞, los Lp,λ

de Morrey, . . . entre otros.

281

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Alejandro Ortiz Fernández

Esos espacios fueron muy útiles en el desarrollo de las ecuacionesen derivadas parciales (elípticos y parabólicos). Esta aplicación llevó enforma natural al inicio de la formulación de espacios que incluyen las deri-vadas de los elementos del espacio de tipo Sobolev (período constructivo,1935, . . .).

Corresponde a esta época la introducción de las distribuciones de L.Schwartz así como de una nueva orientación (de técnicas y resultados)en el estudio del análisis. Los primeros espacios de Sobolev fueron losLpk, 1 ≤ p ≤ ∞, k ∈ Z+ (1936) , los mismos que fueron ampliados porA. P. Calderón con los espacios Lps, s ∈ R (1961). Otros espacios fue-ron los Lipschitz Λ(s; p, q) de Taibleson (1964), los espacios reales Hp deStein-Weiss (1960), . . . En este panorama, y guiados por problemas con-cretos, Fritz John y Louis Nirenberg introdujeron (1961) los espacios deoscilación media acotada (espacios BMO), los cuales fueron ubicados enun universo más amplio, los espacios Lp,λ iniciados e impulsados por Gui-do Stampacchia (1965). De aquel entonces el interés por estos espaciosha sido muy estimulante, en particular por las aplicaciones significativasen distintas ramas de la matemática. Se debe, en gran parte, al profundoteorema de la dualidad de Charles Fefferman, [FEF-STE], y a las cone-xiones con la teoría de las probabilidades, el análisis armónico, con lasfunciones analíticas, las ecuaciones diferenciales parciales, . . . el interésmencionado.

En realidad, el número de espacios de funciones es relativamente abun-dante en la actualidad; cada vez se hacen construcciones especulativas,que extienden, generalizan ó modifican a los existentes. Por ello fue ne-cesario enfocarlos bajo criterios generales, métodos de interpolación, afin de obtener nuevos espacios de funciones partiendo de otros conoci-dos, (período sistemático). Esto es una estrategia de actual vigencia yperfeccionamiento.

Los espacios Lp,λ, 1 ≤ p < ∞, 0 ≤ λ ≤ n + p, tienen un carácterglobalizador ya que si λ = 0, Lp,λ ≃ Lp; si 0 < λ < n, Lp,λ ≃ Lp,λ; si

n < λ ≤ n+p, Lp,λ ≃ Λα, α =λ− n

p. Estos espacios han sido utilizados

intensivamente por S. Campanato en el tratamiento de problemas elípti-cos y parabólicos. Así mismo fueron estudiados por la escuela japonesa

282

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ϕ−Espacios de Funciones

(A. Ono, Y. Furusho, M. Nakamura, . . .).

En la presente sección introducimos la versión ϕ−Lp,λ y estudiamosalgunos casos particulares de λ con la intención de relacionarlos con lasanteriores ϕ−espacios. Así mismo introducimos la noción de P−red, queincluye a algunos de los espacios estudiados.

B. Definición y Consecuencias

Sea ϕ una función como en a. Introducción. Si 1 ≤ p < ∞, 0 ≤λ ≤ n + p, Lp,λϕ es el espacio

f ∈ Lp

loc(Rn)/ [f ]Lp,λ

ϕ= sup

Q

1

ϕ(|Q|)1

|Q|λ/n∫

Q

|f(x)− cQ|p dx1/p

≤M <∞.

Nuevamente, lo natural en esta definición es considerar el promedio fQen vez de cQ ya que

1

ϕ(|Q|)1

|Q|λ/n∫

Q

|f(x)− fQ|p dx1/p

1

ϕ(|Q|)1

|Q|λ/n∫

Q

|f(x)− cQ|p dx1/p

+|fQ − cQ| |Q|1/pϕ(|Q|)1/p|Q|λ/n

≤ 2

1

ϕ(|Q|)1

|Q|λ/n∫

Q

|f(x) − cQ|p dx1/p

.

Con la norma ‖f‖Lp,λϕ = ‖f‖Lploc

+ [f ]Lp,λϕ , Lp,λϕ es un espacio de Banach.Además al variar sus índices se tiene la siguiente relación

Lema 29. Si p1 ≤ p,λ− n

p=λ1 − n

p1y ϕ(|Q|)p1 ≤ ϕ1(|Q|)p entonces

Lp,λ ⊂ Lp1,λ1ϕ1.

283

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Alejandro Ortiz Fernández

Prueba.

1

ϕ1(|Q|)1

|Q|λ1n

Q

|f(x)− fQ|p1 dx ≤ 1

ϕ1(|Q|)1

|Q|λ1n

Q

|f(x)− fQ|p dx p1

p

|Q|1−p1p

=|Q|1−

p1p |Q| λn

p1p

ϕ(|Q|)|Q|λ1p

1

|Q| λn

Q

|f(x)− fQ|p dx p1

p

≤ 1

ϕ(|Q|)p1p

1

|Q| λn

Q

|f(x)− fQ|p dx p1

p

,

lo que implica el lema.

C. Casos Particulares

(i)

Lema 30. Si 0 ≤ λ < n entonces Lp,λϕ ≃ Lp,λϕ donde Lp,λϕ es elespacio de Morrey

f ∈ Lp

loc(Rn)/ sup

Q

1

ϕ(|Q|)1

|Q|λ/n∫

Q

|f(x)|p dx1/p

≤M <∞

y donde si r1 ≤ r2, ϕ(r1) y ϕ(r2) son comparables, esto es, existem > 0 constante tal que ϕ(r2) = mϕ(r1).

Prueba.

1

ϕ(|Q|)1

|Q|λ/n∫

Q

|f(x) − fQ|p dx1/p

≤ 1

ϕ(|Q|)1/p1

|Q| λnp

[(∫

Q

|f(x)|p dx)1/p

+

+ |fQ| |Q|1/p]

≤ 1

ϕ(|Q|)1/p1

|Q| λnp

[(∫

Q

|f(x)|p dx)1/p

+1

|Q|1− 1p

(∫

Q

|f(x)|p dx)1/p

|Q| 1p′

]

= 2

(1

ϕ(|Q|)1

|Q|λ/n∫

Q

|f(x)|p dx)1/p

284

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ϕ−Espacios de Funciones

y de esta manera Lp,λϕ ⊂ Lp,λϕ . Por otro lado,

1

ϕ(|Q|)1

|Q| λn

Q

|f(x)|p dx1/p

≤ ‖f‖Lp,λϕ

+

1

ϕ(|Q|)1

|Q| λn

Q

|fQ|p dx1/p

= ‖f‖Lp,λϕ

+ |fQ||Q| 1p (1− λ

n)

ϕ(|Q|)1/p .

Pero,

|fQ| ≤ |fQ0|+ c(k, p, λ)ϕ(|Q0|)1/p|Q|1p(λn−1)‖f‖Lp,λϕ , (∗)

entonces

1

ϕ(|Q|)1

|Q| λn

Q

|f(x)|p dx1/p

≤ ‖f‖Lp,λϕ

+ |fQ0 ||Q| 1p (1−λ

n)

ϕ(|Q|)1/p +

+ c(k, p, λ)ϕ(|Q0|)1/pϕ(|Q|)1/p ‖f‖Lp,λ

ϕ

≤ ‖f‖Lp,λϕ

+m1/p|fQ0 | |Q0|1p(1−λ

n)ϕ(|Q0|)−1/p+

+ cm1/p‖f‖Lp,λϕ.

Prueba de (∗) De un modo general, si f ∈ Lp,λϕ y Q1 ⊂ Q2 con|Q2| = k|Q1| entonces

|fQ1 − fQ2 | ≤ k1p′+ λnpϕ(|Q2|)1/p|Q1|

1p(λn−1)‖f‖Lp,λϕ

desigualdad que sigue según cálculos familiares.

Lema 31. Si λ = n entonces Lp,λϕ ⊂ BMOϕ1/p.

Prueba.

1

ϕ1/p(|Q|)1

|Q|

Q

|f(x)−fQ| dx ≤

1

ϕ(|Q|)1

|Q| λn

Q

|f(x)−fQ|p dx1/p

.

Lema 32. Si λ = n entonces BMOϕ ⊂ Lp,λϕ .

285

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Alejandro Ortiz Fernández

Prueba. Sea f ∈ BMOϕ, entonces para todo cubo Q:

w(α) ≤ Ae−bα‖f‖−1

BMOϕϕ(2−kn|Q|)|Q| ≤ Ae−bα‖f‖−1

BMOϕϕ(|Q|)|Q|,

luego

Q

|f(x)− fQ|p dx ≤ pA

∞∫

0

e−bα‖f‖−1

BMOϕαp−1 dαϕ(|Q|)|Q|,

de donde, considerando λ = n, tenemos f ∈ Lp,λϕ .

Vimos en la sección a. Introducción que si ϕ satisface la condiciónde Dini entonces BMOϕ ≃ Λα y que de un modo general Λα ⊂BMOϕ (donde ϕ es de la forma ϕ(d) siendo d la longitud del ladodel cubo Q). Sea ahora λ tal que n < λ ≤ r+p y tomemos ϕ(|Q|) =|Q|λ−np ≡ |Q|α, donde 0 < α ≤ 1, entonces por el teorema de Meyers[MEYS] se tiene también Λϕ ≃ BMOϕ.

Nota 29.

1. Si asumimos ϕ(d) en la definición de Lp,λϕ tendremos Λϕ1/p ⊂Lp,nϕ ya que

1

ϕ(d)

1

|Q|

Q

|f(x)− fQ|p dx =1

ϕ(d)

1

|Q| λn1

|Q|p∫

Q

∣∣∣∣∫

Q

[f(x)− f(y)] dy

∣∣∣∣p

dx

≤ 1

|Q| λn1

|Q|p∫

Q

[ ∫

Q

supx,y∈Q

|f(x)− f(y)|ϕ(|x− y|)1/p dy

]pdx

= kp|Q||Q| λn

,

de donde se tiene la nota. Asumiendo la hipótesis ϕ(d) enLema 31 tendríamos Λϕ1/p ⊂ BMOϕ1/p , lo que de alguna formaya fue observado anteriormente.

2. Si estuviéramos la versión ϕ del teorema de Meyers para Λϕ,obtendríamos que si n < λ ≤ n + p y 0 < α = λ−n

p≤ 1

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ϕ−Espacios de Funciones

entonces1

ϕ1/p(|Q|)1

|Q|1+αn

Q

|f(x) − fQ| dx ≤ 1

ϕ1/p(|Q|)1

|Q|αp+nnp

·

Q

|f(x)− fQ|p dx1/p

=

1

ϕ(|Q|)1

|Q| λn

Q

|f(x)− fQ|p dx1/p

de donde, si f ∈ Lp,λϕ tendríamos f ∈ Λϕ1/p.

3. Sea ϕ una función con las propiedades dadas en b; Q un cuboen R

n (|Q| < ∞), 1 ≤ p < ∞. Sea f una función mediblesobre Q. Para α > 0 real damos la siguiente extensión de losespacios Mp consideramos por Spanne [SPA.2],

Mpϕ =

f/ w(α) ≤

(c

αϕ(|Q|)

)p

donde c = c(f) y w(α) = |x ∈ Q/ |f(x)| > α|.EnMp

ϕ consideramos la seminorma [f ]Mpϕ= sup

ϕ,ααϕ(|Q|)[w(α)].

De un modo más general, si ψ(r) (r > 0) es una función posi-tiva, definimos

Mp,ψϕ = f ∈ L1

loc/ ∃ c > 0 con [f ]Mpϕ≤ cψ(|Q|)

en donde se considera la seminorma

[f ]Mp,ψϕ

= ınf[f ]Mpϕ≤cψ(|Q|)

c.

Si ψ ≡ 1, Mp,ψϕ = Mp

ϕ; por otro lado se tiene también lossiguientes espacios

Lp,ψϕ =

f ∈ L1

loc/ supQ

1

ϕ(|Q|)1

ψ(|Q|)p∫

Q

|f(x)−fQ|p dx1/p

≤M <∞.

Si ψ(s) = sλpn , Lp,ψϕ ≃ Lp,λ.

287

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Alejandro Ortiz Fernández

D. P− Redes

En [HEI.2] y [TOR.2] se define y se usa frecuentemente el conceptode red de Banach. Sea X un espacio de Banach de funciones mediblesf(t) ∈ L1(0, 1]. X es llamado una red de Banach (o simplemente unared), si f ∈ X y |g(t)| ≤ |f(t)| implican g ∈ X y ‖g‖X ≤ ‖f‖X . Sonejemplos de redes:

(i) el espacio de las funciones medibles f tales que t−α|f(t)| ∈ L∞(0, 1], 0 <α < 1;

(ii) el espacio Lφ de las funciones medibles f tales que existe λ > 0

satisfaciendo1∫0

φ

(1

λ|f(s)|

)ds

s< ∞, donde φ : [0,∞] → [0,∞]

es una función de Young, esto es, φ(0) = 0, φ es convexa, no-decreciente y continua a la izquierda. Lφ contiene en particular alos clásicos espacios de Lebesgue Lp, pero no a los Lpk, k ∈ Z+, 1 ≤p <∞, lo que nos sugiere la definición siguiente.

(a) Sea X un espacio de Banach de funciones localmente integrables.Diremos que X es una k−red si sus elementos son derivables hastala orden k, localmente integrables, y si

f ∈ X, |Dαg(x)| ≤ |Dαf(x)|, |α| ≤ k,

implican g ∈ X y ‖g‖X ≤ ‖f‖X. Son ejemplos de k−redes:

(i) Lpk.

(ii) X = f/ |x|−t|Dαf(x)| ∈ L∞(0,∞), |α| ≤ k, 0 < t ≤ 1.(iii) Lkφ = f medibles sobre (0, 1)/ existe λ > 0 con

1∫

0

φ

(1

λ|Dαf(s)|

)ds

s<∞, |α| ≤ k

donde φ es una función de Young y

‖f‖Lkφ = ınf

λ > 0/

1∫

0

φ

(1

λ|Dαf(x)|

)ds

s≤ φ(1)

.

288

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ϕ−Espacios de Funciones

Observación 8. Esta definición de k−red parece no diferir muchode la de red; más significativo puede ser observar que BMO no esuna red; ó más generalmente que los espacios Lp,λ no son redes. Porello proponemos la definición

(b) Un espacio de Banach X es una P−red si sus elementos son fun-ciones localmente integrables y dado f ∈ X existe un polinomio pQde grado ≤ k, k ∈ Z+, tal que si, para cada cubo Q, |g(x)− pQ| ≤|f(x)− pQ| se tiene entonces g ∈ X y ‖g‖X ≤ ‖f‖X .Consecuencia: Toda red es una P−red.

Ejemplo 10 ((iv)). Lp,λϕ es una P−red.En efecto, dado f ∈ Lp,λϕ por la definición de Lp,λϕ construimos un

polinomio constante p(x) = c; la forma general encaja cuando los Lp,λϕ sondefinidos en términos de polinomios (Campanato [CAM.2]). Para cadacubo Q, sean las familias

C1 = c1 tales que |g(x)− gQ| ≤ |g(x)− c1|, g ∈ L1loc

C2 = c2 tales que |f(x)− c2| ≤ |f(x)− fQ|.Definamos c vía

supc1∈C1

|g(x)− c1| ≤ |g(x)− c|

|f(x)− c| ≤ ınfc2∈C2

|f(x)− c2|

entonces se tiene |g(x)− gQ| ≤ |f(x)− fQ| de donde g ∈ Lp,λϕ y ‖g‖Lp,λϕ ≤‖f‖Lp,λϕ .

Corolario 11. Lp,λϕ , BMOϕ, Λϕ1/p son P−redes.

E. Observaciones

1. Ya hemos mencionado que si ϕ satisface la condición

∞∫

d

ϕ(t)

t

dt

t≤ c

ϕ(d)

d,

289

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Alejandro Ortiz Fernández

donde d es la longitud del lado del cubo Q, entonces Janson [JAN.1]

verifica que BMOϕ = Λϕ+n∑i=1

RiΛϕ. Este resultado sugiere, siguien-

do Neri [NER.3], especular que si T es, por ejemplo, un apropiadooperador integral singular, entonces T : Λϕ → BMOϕ es continuo,

y de esta manera si f ∈ BMOϕ, f = f0+n∑i=1

Rifi, con fi ∈ Λϕ, i =

0, 1, · · · , n. De esta manera [f ]BMOϕ ≤ c0[f0]Λϕ +n∑i=1

ci[fi]Λϕ , lo que

motiva considerar la siguiente equivalente seminorma

[f ]BMOϕ = ınff=f0+

n∑i=1

Rifi

[f0]Λϕ +

n∑

i=1

[fi]Λϕ

.

En particular, si T es un operador de Calderón-Zygmund, entoncesT : Lp ∩ Λϕ → BMOϕ es continuo, 1 < p < ∞. En efecto, seaf ∈ Lp ∩ Λϕ y Q un cubo de centro x0 y lado d. Entonces

1

ϕ(d)

1

dn

Q

|Tf(x)− cQ| dx ≤ 1

ϕ(d)

1

dn

(∫

Q

|Tf(x)− cQ|p dx) 1

p

dnq

(tomando cQ = Tf(x0))

≤ Ap1

ϕ(d)

1

dn/p

(∫

Q

|f(x)− f(x0)|p dx) 1

p

≤ Ap1

dn/p

(∫

Q

( |f(x)− f(x0)|ϕ(|x− x0|)

)pdx

) 1p

≤ Ap[f ]Λϕ.

Por otro lado, si Tf(x) =∫Rn

k(x− y)f(y) dy donde (i)|k(x)| ≤ A

y∫

|x|≥2|y|

|k(x − y) − k(x)| dx ≤ A, y si ϕ es como en § 1, con la

condición lımt→0

ϕ(t) = a 6= 0, entonces siguiendo el argumento de E.

Stein [STE.4], tenemos que T : L∞ ⊂ BMOϕ → BMOϕ es continuo.Estas consideraciones motivan el problema general, a ser estudiadoen otra oportunidad, de hacer actuar ciertos operadores pseudo-diferenciales sobre Lp,λ y establecer las condiciones de continuidad.

290

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ϕ−Espacios de Funciones

2. En analogía con los espacios de Sobolev Lpk, k ∈ Z+, definamos

Lp,λ,kϕ = f ∈ Lp,λϕ / Dαf ∈ Lp,λϕ , |α| ≤ k ∀α,

con la norma ‖f‖Lp,λ,kϕ= ‖f‖Lp,λϕ +

∑|α|≤k

‖Dαf‖Lp,λϕ .

Una tarea a considerar es establecer la acción de apropiados ope-radores integrales fraccionarios, al estilo de Neri [NER.3]. Por otrolado, los casos particulares de ϕ deben implicar relaciones con otrosϕ−espacios de funciones.

3. Ciertos aspectos de la teoría Rn del análisis real fueron llevados acontextos generales, como son los espacios homogéneos (Coifman-Weiss [COI-WEI], Stegenga [STE], Macías-Segovia [MAC-SEG],. . .). Obtenida la descomposición atómica para los BMOϕ y el res-pectivo teorema de dualidad, el estudio de los espacios BMOϕ ho-mogéneos es más factible establecerse, así como la acción de opera-dores integrales singulares sobre tales espacios. Para Lp,λ, algunoscasos particulares fueron estudiados por R. L. Johnson.

g

Espacios Eα,pϕ y Hα,pϕ Parabólicos

a. Generalidades. El problema de Dirichlet es un problema fun-damental en las ecuaciones en derivadas parciales y que originóun gran impulso en el uso de métodos del análisis funcional asícomo fue el punto de partida de sustanciales extensiones en elcampo del análisis armónico. Informalmente tal problema consis-te en dado f sobre Rn, encontrar u tal que ∆u = 0 sobre R

n+1+

291

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Alejandro Ortiz Fernández

y lımt→0

u(x, t) = f(x) en Rn. A fin de tenerse un problema esta-

ble, condiciones extras deben imponerse a f (pertenecen a Lp óa BMO, por ejemplo). Es sabido que si f ∈ Lp, 1 ≤ p ≤ ∞ yu(x, t) = (Pt ∗ f)(x) es su integral de Poisson, entonces u es unafunción armónica sobre Rn+1

+ tal que lımt→0

u(x, t) = f(x) c.t.p. en Rn.

En esta dirección Fabes-Johnson-Neri [FAB-JOH-NER.1] verificanque HMO = Pt ∗ BMO, donde

HMO =

u(x, t) armónica / [u]HMO = sup

Q

1

|Q|

Q

δ∫

0

|∇u(x, t)|2t dtdx1/2

<∞,

donde |∇u(x, t)|2 =(∂u

∂x1

)2

+· · ·+(∂u

∂xn

)2

+

(∂u

∂t

)2

; δ es el lado

del cubo Q en Rn. Esta definición está motivada por el resultadode C. Fefferman [FEF]: “si f ∈ BMO entonces existe una constanteA > 0 tal que

1

|Q|

δ∫

0

Q

|∇u(x, t)|2t dxdt1/2

≤ A‖f‖BMO,

donde u(x, t) = (Pt ∗ f)(x)”. Así el espacio BMO aparece comoun espacio traza (ó espacio de valores de contorno) del espacioHMO. De un modo más general, Fabes-Johnson-Neri considerantal generalización para espacios más amplios, los Eα,p ≡ Lp,λ donde

α =λ− n

p, 0 ≤ λ ≤ n + p, 1 ≤ p < ∞, que incluyen a los BMO,

definidos vía

Eα,p =f ∈ L1(Q)/ [f ]Eα,p = sup

Q

1

|Q|αpn

+1

Q

|f(x)− fQ|p dx1/p

<∞;

y los espacios Hα,p, 0 < α < 1, 1 ≤ p <∞,

292

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ϕ−Espacios de Funciones

Hα,p =

u(x, t) armónicas sobre R

n+1+ / [u]Hα,p =

= supQ

1

|Q|αpn

+1

Q

[ δ∫

0

|∇u(x, t)|2t dt]p/2

dx

1/p

<∞

entonces se prueba que Hα,p ≃ Pt∗Eα,p. Continuando en esta direc-ción, Ortiz-Torchinsky estudiaron el caso parabólico, [ORT-TOR],de esta última caracterización. El propósito de esta sección es obte-ner la caracterización para los respectivos Eα,pϕ y Hα,p

ϕ −parabólicos.Con tal idea presentamos algunas ideas preliminares. Por razonespedagógicas vamos a remarcar algunas ideas ya expuestas en elCapítulo V.

Sea Tf(x) =∫k(x − y)f(y) dy una integral singular en donde

el núcleo k(x) satisface una condición de homogeneidad de grado−n[k(tx) = t−nk(x), t > 0]. La generalización de esta condicióndeterminó el uso de un grupo de transformaciones Att>0 de Rn

(Calderón-Torchinsky [CAL-TOR.1 y 2], Torchinsky [TOR.2]) talque AsAt = Ast, A1 = I, lo que implica At−1 = (At)

−1. Además‖Atx‖ ≤ t‖x‖, 0 < t ≤ 1, x ∈ Rn y admite la representacióntPt>0 donde P es la matriz operador infinitesimal de At. Esadesigualdad es equivalente a (Px, x) ≥ (x, x), la que sirve paragarantizar la existencia de una distancia parabólica ρ(x); así, si x 6=0 se verifica que existe un único tx tal que |t−Px x| = 1. La función

ρ(x) =

tx, si x 6= 00, si x = 0

satisface ρ(tPx) = tρ(x) y a la desigualdad

triangular ρ(x+ y) ≤ ρ(x) + ρ(y). Si tP∗

es la transpuesta de tP , aella le está asociada la métrica ρ∗(x) y si γ es la traza de P se tienedet tP = det tP

∗= tγ.

En vez de los operadores ∇ =

(∂

∂x1, · · · , ∂

∂xn

)y∂

∂tse considera

el operador

A =∂

∂t− 1

2πt(P ∗A∗

t∇, A∗t∇) =

∂t− 1

t(LA∗

t∇, LA∗t∇),

293

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Alejandro Ortiz Fernández

donde L = P+P ∗

4π. Si θ es una función dada, su dilatación θt es

θt(x) = t−γθ(A−1t x). En particular, si θ(x) = e−π|x|

2se tiene Aθt(x) =

0, y si u(x, t) = (f ∗ θt)(x), con f ∈ S ′, también Au(x, t) = 0. Si

P = I (identidad), A =∂

∂t− t∆.

En esta sección probaremos los teoremas 26 y 27, los cuales ex-tienden las caracterizaciones dadas por Fabes-Johnson-Neri [FAB-JOH-NER.1] y Ortiz-Torchinsky [ORT-TOR].

b. Eα,pϕ como Espacio Traza de Hα,pϕ .

En el contexto del grupo At los cubos Q ⊂ Rn tendrán pormedida |Q| = dγ, donde d es la longitud del lado Q. Sea 1 ≤ p <∞;

el Lema 29 de f. B. sugiere el cambio de variables α =λ− γ

λ = αp+ γ, de donde −γp< α ≤ 1. Asumamos ϕ como en a.

Definición 10. Sea 0 ≤ α, 1 ≤ p <∞, entonces

Eα,pϕ =

f ∈ L1(Q)/ [f ]Eα,p

ϕ= sup

Q

1

ϕ(|Q|)1

|Q|1+αpγ

Q

|f(x)−fQ|p dx1/p

<∞.

Si u(x, t) es una función definida sobre Rn+1+ tal que Au(x, t) = 0,

diremos que u ∈ Hα,pϕ si

[u]Hα,pϕ

= supQ

1

ϕ(|Q|)1

|Q|1+αpγ

Q

[ d∫

0

|Lu(x, t)|2t dt] p

2

dx

1p

<∞

donde Lu(x, t) = (L tP∗∇)u(x, t).

Teorema 26. Sea f ∈ Eα,pϕ con 0 < α < 1, 1 < p < ∞, y dondesi tk es una sucesión creciente de números reales > 0, se tiene∞∑k=1

ϕ(tk) <∞, entonces

u(x, t) = (f ∗ θt)(x) ∈ Hα,pϕ y [u]Hα,p

ϕ≤ A[f ]Eα,pϕ

donde θt es la dilatación de θ(x) = e−π|x|2.

294

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ϕ−Espacios de Funciones

La idea para probar este teorema es descomponer Rn en una familiadisjunta de conjuntos construidos en base a la sucesión Qkk=0,1,···,de cubos concéntricos en el origen, donde |Qk| = 2kγ. Esta sucesiónes usada en el

Lema 33. Sea Q0 el cubo unitario con centro en el origen y f ∈Eα,pϕ , 0 < α < 1, 1 ≤ p < ∞, donde

∞∑1

ϕ(tk) < ∞ si tk es una

sucesión creciente con tk > 0, entonces

Rn

|f(x)−fQ0| |ψ(x)| dx ≤ A

[ϕ(|Q0|)1/p+

(∑ϕ(|Qk|)

)1/p][f ]Eα,pϕ

,

donde ψ(x) ≤ η(ρ(x)) ∈ L1 con η(t) =1

1 + tγ+1.

Prueba. Pongamos Dk = Qk −Qk−1, k = 1, 2, · · · , entonces

Rn

|f(x)−fQ0 | |ψ(x)| dx =

Q0

|f(x)−fQ0 | |ψ(x)| dx+∞∑

k=1

Dk

|f(x)−fQ0 | |ψ(x)| dx.

Tenemos,∫

Q0

|f(x)− fQ0 | |ψ(x)| dx ≤∫

Q0

|f(x)− fQ0|1 + ρ(x)γ+1

dx

≤ A0

Q0

|f(x)− fQ0|p dx 1

p

≤ A0ϕ(|Q0|)1/p[f ]Eα,pϕ.

Veamos ahora la serie. Tenemos x ∈ Qk pero x /∈ Qk−1, luegoρ(x) ≥ 2k−

32 de donde 1+ρ(x)γ+1 > 2k(γ+1)2−

32(γ+1). De esta manera

Dk

|f(x)− fQ0| |ψ(x)| dx ≤ 232(γ+1)

2k(γ+1)

Qk

|f(x)− fQ0| dx.

295

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Alejandro Ortiz Fernández

Pero∫

Qk

|f(x)−fQ0 | dx ≤ |Qk|1−1p

Qk

|f(x)− fQk|p dx

1p

+ |fQk− fQ0 | |Qk|

≤ 2k(γ+α)ϕ(|Qk|)1p [f ]Eα,p

ϕ+ 2γk(|fQk

− fQk−1|+ · · ·+ |fQ1 − fQ0 |)

y

|fQj−1− fQj | ≤ 1

|Qj−1|

Qj

|f(x)− fQj | dx

≤ 2γ

|Qj |

Qj

|f(x)− fQj | dx

≤ 2γ2jαϕ(|Qj|)1/p[f ]Eα,pϕ.

De esta manera∫

Qk

|f(x) − fQ0 | dx ≤ 2k(γ+α)ϕ(|Qk|)1p [f ]Eα,p

ϕ+ 2γk2γ

k∑

j=1

2jαϕ(|Qj |)1p [f ]Eα,p

ϕ

≤ 2k(γ+α)ϕ(|Qk|)1p [f ]Eα,p

ϕ+ 2γk2γϕ(|Qk|)

1p

k∑

j=1

2jα[f ]Eα,pϕ.

Luego,∫

Dk

|f(x)− fQ0 | |ψ(x)| dx ≤ (considerando

k∑

j=1

2jα < k2kα)

≤ 232 (γ+1)

2k(1−α)ϕ(|Qk|)

1p [f ]Eα,p

ϕ+ 2

32 (γ+1)2γ

k

2k(1−α)ϕ(|Qk|)

1p [f ]Eα,p

ϕ.

De esta manera, si1

p+

1

q= 1,

∞∑

k=1

Dk

|f(x)− fQ0 | |ψ(x)| dx ≤ 232 (γ+1)

( ∞∑

k=1

1

2qk(1−α)

) 1q( ∞∑

k=1

ϕ(|Qk|)) 1

p

[f ]Eα,pϕ

+

+ 232 (γ+1)

( ∞∑

k=1

kq

2qk(1−α)

) 1q( ∞∑

k=1

ϕ(|Qk|)) 1

p

[f ]Eα,pϕ

(desde que lımk→∞

q

√kq

2qk(1−α)< 1)

296

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ϕ−Espacios de Funciones

≤ (A1 +A2)

( ∞∑

k=1

ϕ(|Qk|)) 1

p

[f ]Eα,pϕ.

En conclusión, si A3 = A1 + A2,

Rn

|f(x)− fQ0| |ψ(x)| dx ≤ A

[ϕ(|Q0|)

1p +

(∑ϕ(|Qk|)

) 1p][f ]Eα,pϕ

.

Prueba del Teorema 26. Por el Lema 33 observamos que u(x, t) estábien definida ya que

|u(x, t)| ≤∫

Rn

|f(y)θt(x− y)| dy

≤ t−γ∫

Rn

|f(y)− fQ0 | |θ(t−P (x− y))| dy +

+t−γ |fQ0|∫

Rn

θ(t−P (x− y)) dy <∞

considerando que

θ(x) = e−|x|2 ≤ cη(ρ(x)) =c

1 + ρ(x)γ+1.

Por otro lado, por la invariancia por traslaciones, consideremos un cuboQ con centro en el origen y lado de longitud d = 4ρ.

Sea χ la función característica de Q y pongamos χ = 1 − χ. Sea ladescomposición f = fQ + (f − fQ) = fQ + (f − fQ)(χ+ χ) = fQ + (f −fQ)χ+ (f − fQ)χ = f1 + f2 + f3, de donde

u(x, t) = (f ∗ θt)(x)= (f1 ∗ θt)(x) + (f2 ∗ θt)(x) + (f3 ∗ θt)(x)= u1(x, t) + u2(x, t) + u3(x, t).

297

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Alejandro Ortiz Fernández

O aún, Lu(x, t) = LtP∗∇u(x, t) = Lu1(x, t) +Lu2(x, t) +Lu3(x, t). Pero

desde que u1(x, t) = f1∫θt(y) dy = cfQ, se tiene Lu1(x, t) = 0. Por otro

lado,

Q

[ d∫

0

|Lu2(x, t)|2t dt]p/2

dx

1/p

≤∫

Rn

[ ∞∫

0

|Lu2(x, t)|2t dt]p/2

dx

1/p

≤ (desigualdad de Littlewood-Paley) c‖f2‖Lp

= c

Q

|f(x)− fQ|p dx1/p

= cϕ(|Q|) 1p |Q| 1p+α

γ [f ]Eα,pϕ,

de donde

1

ϕ(|Q|)1

|Q|1+αpγ

Q

[ d∫

0

|Lu2(x, t)|2t dt]p

2

dx

1p

≤ c[f ]Eα,pϕ.

Finalmente

|Lu3(x, t)| = |[(f − fQ)χ ∗ Lθt](x)|

≤∫

Rn−Q

|f(y)− fQ| |Lθt(x− y)| dy

(considerando la acotación |Lθt(y)| ≤c

dγ+1 + ρ(y)γ+1)

≤ c

Rn

|f(x)− fQ|dγ+1 + ρ(y)γ+1

dy

≤ (Lema 33, Q con lado de longitud d)

≤ cdα−1

[ϕ(|Q|) 1

p +

( ∞∑

k=1

ϕ(|Qk|)) 1

p][f ]Eα,pϕ

.

Por lo tanto,

Q

[ d∫

0

|Lu3(x, t)|2t dt]p/2

dx

1/p

≤ cdα|Q| 1p[ϕ(|Q|) 1

p +

( ∞∑

k=1

ϕ(|Qk|)) 1

p][f ]Eα,p

ϕ,

298

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ϕ−Espacios de Funciones

de donde

1

ϕ(|Q|)1

|Q|1+αpγ

Q

[ d∫

0

|Lu3(x, t)|2t dt] p

2

dx

1p

≤ c

[1 +

( ∞∑

k=1

ϕ(|Qk|)ϕ(|Q|)

) 1p][f ]Eα,p

ϕ

= A[f ]Eα,pϕ,

de donde sumando se tiene la tesis.

Veamos ahora la otra mitad de la caracterización mencionada. Porrazones de carácter técnico trabajaremos con la medida de Littlewood-

Paley de la forma |Lu(x, t)|2 dttdx, así los espacios Eα,pϕ y Hα,p

ϕ tomarán su

correspondiente forma. Remarcamos que la notación Eα,pϕ es equivalente alos Lp,λϕ −parabólicos. En esta parte usaremos el teorema del valor medio[ORT-TOR].

Teorema 27. Sea 0 < α < 1, 1 < p < ∞. Si u(x, t) ∈ Hα,pϕ entonces

existe lımt→0

u(x, t) = f(x), ∀x ∈ Rn, f ∈ Eα,pϕ y

‖f‖Eα,pϕ≤ c‖u‖Hα,p

ϕ.

Veamos algunos resultados previos.

Lema 34. Sea u(x, t) definida sobre Rn+1+ , entonces si u ∈ Hα,p

ϕ se tiene

|Lu(x, t)| ≤ ctαϕ(|Q|)1/p[u]Hα,pϕ.

Prueba. Por hipótesis Au(x, t) = 0, entonces podemos usar el teoremadel valor medio, con Q un cubo de centro x y lado de longitud t,

|Lu(x, t)| ≤ ct−γ∫

Q

t∫

t/2

|Lu(y, s)| dssdy

≤ ct−γ∫

Q

t∫

0

|Lu(y, s)|2 dss

1/2

dy

≤ ctαϕ(|Q|)1/p[u]Hα,pϕ.

299

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Alejandro Ortiz Fernández

Lema 35. Sea u(x, t) ∈ C1 tal que |Lu(x, t)| ≤ ctαϕ(|Q|)1/p, 0 < α < 1,y Au = 0, entonces para todo (x, t) ∈ R

n+1+ se tiene

|u(x, t)− u(x0, t)| ≤ctα−1ρ(x− x0)ϕ(|Q|)1/p, si ρ(x− x0) < tcρ(x− x0)

αϕ(|Q|)1/p, si ρ(x− x0) ≥ t.

Prueba. Si ξ está entre x0 y x, tendremos

u(x, t)− u(x0, t) = ∇u(ξ, t)(x− x0)

= (tP∗∇u(ξ, t), t−P (x− x0))

= (Lu(ξ, t), L−1t−P (x− x0)),

y de esta manera

|u(x, t)− u(x0, t)| ≤ |Lu(ξ, t)| |L−1t−P (x− x0)|≤ c|Lu(ξ, t)| |t−P (x− x0)|≤ ctαϕ(|Q|)1/p|t−P (x− x0)|

= ctαϕ(|Q|)1/p∣∣∣∣(ρ(x− x0)

t

)P

(x− x0)′

∣∣∣∣≤ ctα−1ρ(x− x0)ϕ(|Q|)1/p

si ρ(x− x0) < t [ya que |sPx′| ≤ s|x′| = s si 0 < s ≤ 1]. Veamos ahora elcaso ρ(x− x0) ≥ t; tendremos

|u(x, t)− u(x0, t)| ≤ |u(x, ρ(x− x0))− u(x, t)|+ |u(x, ρ(x− x0))− u(x0, ρ(x− x0))|+|u(x0, ρ(x− x0))− u(x0, t)|.

El primer y tercer sumando son del mismo tipo. Analicemos al primero,

300

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ϕ−Espacios de Funciones

|u(x, ρ(x− x0))− u(x, t)| ≤ρ(x−x0)∫

t

∣∣∣∣∂

∂su(x, s)

∣∣∣∣ ds

= (desde que A =∂

∂s− 1

s(LsP

∗∇, LsP ∗∇),

la hipótesis y L2 = LsP∗∇⊗ LsP

∗∇)

=

ρ(x−x0)∫

t

|L2u(x, s)|ds

s

≤ (desigualdad del valor medio)

≤ρ(x−x0)∫

t

cs−γs∫

s/2

Q

|Lu(z, y)| dzdyy

ds

s

≤ c

ρ(x−x0)∫

t

s∫

0

yα−1 dyds

sϕ(|Q|)1/p

= c[ρ(x− x0)α − tα]ϕ(|Q|)1/p

≤ cρ(x− x0)αϕ(|Q|)1/p.

En forma similar,

|u(x0, ρ(x− x0))− u(x0, t)| ≤ cρ(x− x0)αϕ(|Q|)1/p

si ρ(x − x0) ≥ t. Finalmente, si en la última hipótesis asumimos t =ρ(x− x0) se tiene también

|u(x, ρ(x− x0))− u(x0, ρ(x− x0))| ≤ cρ(x− x0)αϕ(|Q|)1/p.

Prueba del Teorema 27. Dados ǫ y δ, números reales positivos, la hi-

301

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Alejandro Ortiz Fernández

pótesis implica el siguiente argumento

|u(x, δ)− u(x, ǫ)| ≤δ∫

ǫ

∣∣∣∣∂u

∂s(x, s)

∣∣∣∣ ds

≤δ∫

ǫ

|L2u(x, s)|ds

s

≤ c

δ∫

ǫ

s−γs∫

s/2

Q

|Lu(y, z)| dydzz

ds

s

≤ cϕ(|Q|)1/p[u]Hα,pϕ

δ∫

ǫ

s−γs∫

0

Q

zα dydz

z

ds

s

≤ cϕ(|Q|)1/p[u]Hα,pϕ

(δα − ǫα)

≤ cϕ(|Q|)1/p[u]Hα,pϕ

|δ − ǫ|α,

considerando que 0 < α < 1; de esta manera u(x, ǫ) es una sucesión deCauchy cuando ǫ→ 0; y así existe una función f(x) tal que lım

ǫ→0u(x, ǫ) =

f(x), ∀x ∈ Rn. Por otro lado, el lema 35 implica que

|u(x, t)− u(x0, t)| ≤ cρ(x− x0)αϕ(|Q|)1/p

y por lo tanto en el límite

|f(x)− f(x0)| ≤ cρ(x− x0)αϕ(|Q|)1/p

(de esta manera f pertenece a una cierta clase de Lipschitz). Sea Q uncubo de centro x0 y lado de longitud d, entonces para tal f se tiene

302

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ϕ−Espacios de Funciones

Q

|f(x)− fQ|p dx ≤∫

Q

1

|Q|

Q

|f(x)− f(z)| dzp

dx

≤ c

Q

1

|Q|

Q

ρ(x− z)α dz

p

dx · ϕ(|Q|)

≤ cϕ(|Q|)∫

Q

[ρ(x− x0) + d]αp dx

≤ cϕ(|Q|)dαp+γ,

luego f ∈ Eα,pϕ .

Observación 9.

1. Los teoremas 26 y 27 nos permite decir que si u(x, t) ∈ Hα,pϕ (es de-

cir, si u es solución de Au = 0) entonces u es regular en la fronterat = 0; más precisamente f pertenece a una cierta clase de Lips-chitz. Este hecho abre perspectivas de aplicaciones en ecuacionesen derivadas parciales.

2. En [ORT-TOR] se verifica que si u ∈ H0,2 entonces existe lımt→0

u(x, t) =

f(x); además f ∈ BMO parabólico. Debe ser factible extenderse es-te resultado al caso H0,2

ϕ .

303

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Alejandro Ortiz Fernández

Notas

1. Espacios Lp,λϕ de Tipo Fuerte.

Los espacios Lp,λ han tenido una evolución estructural con metasa obtener significativas extensiones y aplicaciones (J. Peetre, “Onthe theory of Lp,λ spaces”, J. of Func. An. 4. (1969), 71-87). Losespacios Lp,λ de tipo fuerte fueron introducidos por G. Stampac-chia (“The spaces L(p,λ), N (p,λ) and interpolation”, Ann. S. N. Sup.Pisa 19. (1965), 505-510). De aquel entonces se han obtenido carac-terizaciones para tales espacios, así como teoremas de inclusiones,isomorfismos y sus relaciones con espacios de Lipschitz, Sobolev, . . .(Stampacchia, Piccinini, Ono, . . .). Los espacios Lp,λ y sus varianteshan sido aplicados a problemas en ecuaciones en derivadas parciales(Campanato, Stampacchia, Furusho, Nakamura, . . .). La tarea, untanto general, es: 1. definir los espacios Lp,λϕ de tipo fuerte y esta-blecer los teoremas de inclusión, de isomorfismos y las aplicacionesrespectivas. 2. Estudiar los respectivos espacios parabólicos.

2. Espacios BMOϕ−Martingalas.

Mucho de lo hecho en el análisis armónico ha sido llevado al con-texto de los espacios de probabilidades, más específicamente a suversión martingala. Así, los espacios BMO y Hp han sido estudia-dos en tal contexto y actualmente existe una amplia literatura alrespecto (Doob, Burkholder, Gundy, Garsia, Herz, Milman, Seki-guchi, Izumisawa, Kazamaki, . . .). En esta dirección podría ser útiluna teoría martingala relacionada a los ϕ−espacios de funciones.Proponemos el siguiente espacio martingala BMOϕ (mBMOϕ). Seaf ∈ L1(X,M), (X un conjunto no vacío, M una σ−álgebra en X).Como es usual, E(f/Mn) = fn denota la esperanza condicional def , donde Mn es una sub-σ−álgebra de M. Sea f = fn una mar-tingala (esto es, fn es Mn−medible y E(fn/Mn−1) = fn−1). Sea ϕ

304

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ϕ−Espacios de Funciones

una función como en a. Pongamos

f#ϕ = sup

nE

(supA∈Mn

1

ϕ(P (A))|f − fn−1|/Mn

)

donde P es la probabilidad del respectivo espacio. Entonces,

mBMOϕ = f ∈ L1(X,M)/ ‖f‖mBMOϕ = ‖f#‖L∞ <∞.

El estudio de este espacio podría llevar a interesantes cuestionesanálogas a lo hecho en este trabajo. Nuevamente surge el proble-ma de la dualidad. En Milman, [MIL], existen algunas cuestionesligadas a los BMO y H1 martingalas.

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Anexo

En esta oportunidad vamos a bosquejar algunos otros temas que po-drían ser desarrollados con los detalles requeridos; su objetivo es motivaral lector por el estudio de tales cuestiones, los que están en el espíritu delo expuesto en este escrito.

A

Espacios de Funciones en VariedadesDiferenciables

(i) Generalidades

Un conjunto ( 6= ∅) M es llamado una variedad diferenciable C∞,de dimensión n, si consiste de un conjunto S y de un atlas A decartas tal que: (i) cada carta ϕi es una aplicación biunívoca de unsubconjunto Ui de S sobre un subconjunto abierto de Rn; (ii) Uiies un cubrimiento abierto de S y ϕjϕ

−1i : ϕi(Ui ∩ Uj) → Rn es un

difeomorfismo C∞; (iii) si s1 y s2 están en S, entonces existe unacarta ϕi cuyo dominio Ui contiene a s1 y s2; (iv) A es maximal enel sentido de que si ϕ : U ⊂ S → Rn es tal que A ∪ ϕ satisfa-ce las anteriores condiciones, entonces ϕ pertenece al atlas A. Unavariedad n−dimensional puede ser interpretada como un espaciotopológico en el cual cada punto tiene una vecindad homeomórfi-ca a algún conjunto abierto en Rn. Por otro lado, decimos que la

aplicación f : Rn → R es regular si∂αf(x1, · · · , xn)

∂xαexiste y es

continua para todo α y todo x = (x1, · · · , xn) ∈ Rn. Si M es unavariedad entonces f :M → R es regular sobre M si

Rn ϕ→ Ui

inclusión→ Mf→ R

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Alejandro Ortiz Fernández

implica que f i ϕ es regular para todo i. Así mismo, si M1 yM2 son dos variedades, entonces f : M1 → M2 es llamada regularsi g f es regular, donde g : M2 → R pertenece al espacio de lasfunciones “test” D(M2). Además, f es llamada un difeomorfismo síy sólo sí existe f−1, y tanto f como f−1 son regulares; remarcamos

que si en la definición de regularidad de f se admite que∂αf

∂xαexiste

y es continua para |α| ≤ k, entonces decimos que f ∈ Ck.

En armonía con la definición de variedad, un sistema de coorde-nadas diferenciables es una familia Uj de conjuntos abiertos cu-briendo M, y para cada j se tiene un homeomorfismo ϕj : Ej → Uj ,con Ej ⊂ R

n abierto, tal que la aplicación

ϕ−1j ϕi : ϕ

−1i (Ui ∩ Uj) → ϕ−1

j (Ui ∩ Uj)

es diferenciable. Una variedad M es compacta si existe un sub-atlasfinito ϕ1, · · · , ϕn tal que ϕj(Uj) es limitado en Rn para cada j. Sesabe que toda variedad compacta admite una partición finita C∞ dela unidad, esto es, dado cualquier cubrimiento de M por conjuntosabiertos Ui existen funciones ψ1, · · · , ψn, las que son C∞ y tales

que para cada j, soporte de ψj ⊂ Ui, 0 ≤ ψj ≤ 1 yn∑j=1

ψj = 1. Tal

partición es llamada subordinada al cubrimiento Ui.

(ii) Espacios de Sobolev L2r(M)

Sea M una variedad C∞, de dimensión n; y sea el difeomorfismo φ :Θ1 → Θ2 con Θ1 abierto en R

n y Θ2 un abierto en M ; consideremosϕ una función C∞ sobre M con soporte en Θ2; sea r ≥ 0 un númeroreal. Por definición,

L2r(M) = f ∈ D′(M)/ϕf φ ∈ L2

r(Rn),

donde (ϕf φ)(x) = ϕ(φ(x))f(φ(x)).

Veamos una caracterización de L2r . Sea Θ(j)

1 una familia de con-juntos abiertos en Rn y Θ(j)

2 un cubrimiento de M por medio deconjuntos abiertos. Sea φj : Θ

(j)1 → Θ

(j)2 un C∞− difeomorfismo;

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ϕ−Espacios de Funciones

sea también la familia de funciones ϕj ∈ C∞, con soporte en Θ(j)2

y ϕj ≥ 0. Entonces tenemos: “f ∈ L2r si y solo si gj = ϕjf φj ∈

L2r(R

n), ∀j. Además,L2r con la norma ‖f‖L2

r(M) =∑j

‖gj‖L2r(R

n) es

un espacio de Banach”.

Prueba. Si f ∈ L2r(M), por definición gj ∈ L2

r(Rn), ∀j. Veamos

ahora la otra implicancia. Sea gj ∈ L2r(R

n), ∀j, y probemos queϕf φ ∈ L2

r(Rn) con ϕ con soporte en Θ2 y φ : Θ1 → Θ2 un

difeomorfismo. Pongamos ψl =ϕl∑ϕl, entonces f =

∑l

ψlf ; luego

será suficiente probar que ϕψlf φ ∈ L2r(R

n). En efecto, sea g =

ϕψlf φj = ϕl

(ϕ∑ϕl

)f φj = (ϕlf φj)

(ϕ∑ϕlφj

)∈ L2

r(Rn).

(Observemos que ϕlf φj ∈ L2r(R

n) y queϕ∑ϕlφj ∈ C∞). Sea

ψ ∈ C∞(Θ(j)1 ) con ψ = 1 sobre el soporte de g, entonces se tiene

ϕψlf φ = ϕϕl∑ϕlf φ φ−1φjφ

−1j φ = g φ−1

j φ = ψg φ−1j φ, y

desde que ψ ∈ L2r(R

n) se concluye que ϕψlf φ ∈ L2r(R

n), de donde∑l

ϕψlf φ ∈ L2r(R

n), esto es ϕψlf φ ∈ L2r(R

n), como se desea.

Probemos ahora que L2r(M) es un espacio de Banach. En efec-

to, sea (fn) una sucesión de Cauchy en L2r(M), r ≥ 0, esto es

‖fn−fm‖L2r(M) → 0, lo que implica

∑ ‖ϕj(fn−fm)φj‖L2r(R

n) → 0;en particular, ‖ϕj(fn − fm) φj‖L2

r(Rn) → 0. Luego, para alguna

subsucesión, ϕjfnj φj converge c.t.p, lo que implica que fni φjconverge c.t.p; de esta manera fni → f sobre M fuera de un con-junto E con medida cero; luego, ϕj(fni − f) φj → 0 c.t.p en Rn;esto es, ϕjfni φj converge en L2

r(Rn) y así, lımϕjfni φj = ϕjf φj

en L2r(R

n), ϕjf φj ∈ L2r(R

n), y por tanto f ∈ L2r(M).

Nota 30. Se observa que para cada cubrimiento de M se tiene unanorma, luego si cambiamos de cubrimiento se tendría otra normapero se comprueba que todas esas normas son equivalentes. Así, siL2r(M) es una espacio completo con respecto a

∑ ‖ϕjfφj‖, L2r(M)

es también completo con respecto a ‖ϕf φ‖.

309

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Alejandro Ortiz Fernández

En L2r(M) se considera el producto interno 〈f, g〉 = ∑

j

〈ϕjfφj, ϕjg

φj〉, donde 〈, 〉 significa 〈g1, g2〉 =∫|g1(x)||g2(x)|(1 + |x|2)rdx.

De un modo general, si r > 0, el espacio L2−r(M) se define como la

completitud de L2 con respecto a la norma

‖f‖L2−r(M) = sup

g∈L2r(M),‖g‖=1

M

fgdµ.

(Remarcamos que L2−r(M) es el espacio dual de L2

r(M)). De estamanera podemos decir que para −∞ < r < ∞, L2

r(M) es la clasede las distribuciones sobre M, las cuales coinciden sobre vecindadescoordenadas con distribuciones en L2

−r(Rn). Esta misma definición

vale para el espacio de Sobolev L2r(M) con 1 < p <∞.

(iii) Operadores Regulares sobre Lp(M). Por definición, un opera-dor regular S de orden m es un operador S definido sobre LP (M)tal que S : Lpr(M) → Lpr+1(M) y S∗ : Lqr(M) → Lqr+1(M) sonoperadores continuos para 0 ≤ r ≤ m y 1

p+ 1

q= 1.

Se tiene la caracterización; “S es un operador regular de orden m siy solo si φ y ψ son funciones en Ck, con soportes en una vecindadcoordenada, tal que φSψ es regular de orden m como un operadorsobre Lp(Rn).′′

La clase de los operadores regulares de orden m es denotado conJm(M). Por definición un operador K, definido sobre Lp(M) esllamado un operador de tipo C∞

β , con β ≤ n− 1, si satisface:

(i). para cada φ y ψ en Cn sobre M, con soportes disjuntos, setiene que φKψ es un operador compacto y regular de orden[β] sobre todo Lp(M), 1 < p <∞;

(ii). para cada φ y ψ en Cn con soporte en un dominio coordenadocomún, se tiene que φKψ = φHψ+S, donde H es un operadorintegral singular de tipo C∞

β (Rn), esto es,H es de la forma,Hf(x) = a(x)f(x) + lım

ε→0

∫|x−y|>ε

h(x, x− y)f(y)dy, donde a(x)

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ϕ−Espacios de Funciones

y h satisfacen ciertas condiciones de regularidad; además, S esun operador compacto y regular de clase [β] sobre Lp(M), 1 <p <∞.

Precisemos estas ideas. Una función h(x, z) sobre Rn × R

n es unafunción de tipo C∞

β si satisface:

• h(x, λz) para todo x, todo z 6= 0 y todo λ > 0;

• para cada x, h(x, z) ∈ C∞ si |z| ≥ 1;

• para cada α, ( ∂∂z)αh(x, z) ∈ Cβ sobre Rn ×∑

z (∑

z es la su-perficie de la bola unitaria en la variable z), donde Cβ es laclase de las funciones limitadas cuyas derivadas, en el senti-do de las distribuciones, de órdenes menores o iguales que [β]son funciones limitadas y tales que las derivadas de orden [β]satisfacen una condición de Holder de orden β − [β], esto es,|( ∂∂x)αf(x)−( ∂

∂y)αf(y)| ≤ Mα|x−y|β−[β] para |α| = [β]. Si f ∈

Cβ se considera la norma, ‖f‖β = max( sup|α|≤[β]

|( ∂∂x)αf(x)|,Mα);

• si k = −n se tiene∫∑ h(x, z)dσ = 0.

Las funciones C∞β homogéneas de grado-n son los núcleos de los

operadores integrales singulares de tipo C∞β , los cuales fueron in-

troducidos y desarrollados por Calderón-Zigmund en 1957. Así, unoperador integral singular de tipo C∞

β es una operador H de la for-ma Hf(x) = a(x)f(x)+ lım

ε→0

∫|x−y|>ε

h(x, x−y)f(y)dy, donde h(x, z)

es una función C∞β , homogénea de grado-n y a(x) ∈ Cβ.

Continuando con los argumentos en variedades, si f ∈ L2r(M) y K

es un operador de tipo C∞β , entonces Kf ∈ L2

r(M). Posteriores desa-rrollos en esta dirección exigieron usar mas ideas sobre variedades,lo que pasamos a exponer. Sea M una variedad y x ∈ M ; consi-deremos todos los pares (f, U), donde U es un abierto conteniendox, f : U → R es una aplicación C∞. Diremos que (f, U) ∼ (f ′, U ′)(equivalente) si existe un conjunto abierto Ω conteniendo x tal queΩ ⊂ U ∩ U ′ y tal que f | Ω = f ′ | Ω. Por definición, un germen,

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Alejandro Ortiz Fernández

en x, de funciones C∞ es una clase de equivalencia de tales paresde equivalencia. Se conviene en llamar simplemente “germen f ” ala clase a la cual pertenece (f, U). Un germen f en x es llamado es-tacionario en x si existe una vecindad coordenada (U, ϕ) con x ∈ Utal que todas las derivadas primeras de f ϕ−1 se anulan en x. Gx

denota el conjunto de todos los gérmenes en x;Sx representa al con-junto de todos los gérmenes estacionarios en x.Sx es un subespaciodel espacio vectorial Gx.

Definición 11. El espacio cocienteGx

Sx≡ T ∗

x (M) es llamado el

espacio cotangente, y sus elementos son llamados vectores cotan-gentes ó covectores ó diferenciales en x.

Si f ∈ Gx, su imagen en T ∗x (M) es denotado con (df)x.

Definición 12. El espacio tangente Tx(M) es el espacio dual deT ∗x (M); así, si X ∈ Tx(M), X es la funcional X : Gx → R tal quef ∈ Sx, entonces X(f) = 0. Los elementos de Tx(M) son llamadosvectores tangentes en x.Tx(M) y T ∗

x (M) son espacios vectoriales dedimensión n.

El espacio T (M) =⋃x∈M

Tx(M) es llamado la envoltoria tangente

(“tangent bundle”) de M. Su dual T ∗(M) es llamado su envoltoriacotangente (“cotangent bundle”). Se puede considerar que la envol-toria tangente es el resultado de “pegar” la familia de los espaciostangentes. Este procedimiento de “pegar” es usado para construirde un modo general nuevos objetos llamados envoltorias vectoriales(“vector bundles”). Esta teoría es a su vez parte de otra mas generalque es la teoría de los “espacios fibrados”, de gran importancia enalgunas ramas de la geometría y del análisis moderno, esto debidoa que investigaciones de las relaciones entre aspectos topológicosy analíticos en la teoría de los operadores diferenciales parciales,mas concretamente con los operadores elípticos, llevó a la conside-ración de métodos topológicos en el tratamiento de problemas deanálisis. Estos métodos topológicos fueron usados, por ejemplo, porA.P.Calderón para resolver la unicidad de la solución del problema

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ϕ−Espacios de Funciones

de Cauchy para el caso de un sistema de ecuaciones lineales (“Uni-queness in the Cauchy problem for partial differential equations”.Amer. Jour of Math 1958). Por otro lado, la teoría de los operado-res integrales singulares sobre variedades fue hecho por R.T.Seeleyen “Singular integrals on compact manifolds”. Amer.J.Math 1959,trabajo que contiene su tesis doctoral en el MIT(1958) bajo la di-rección de A.Calderón.

(iv) Breve Visión de la Contribución de Seeley En el citado tra-bajo, Seeley obtiene para variedades diferenciables compactas re-sultados, en el contexto Rn, obtenidos por Calderón-Zigmund enel fundamental trabajo “Singular integral operators and differen-tial equations”. Amer.J of Math. vol 79. 1957. En tal trabajo del59, Seeley formula la noción de un operador integral singular so-bre una variedad compacta así como desarrolla un cálculo funcio-nal para tales operadores; también construye una ruta que permiterepresentar operadores diferenciales sobre Lp(M); previamente es-tablece algunos resultados en el contexto de Rn a ser usados ensu trabajo, el cual tiene tres partes. En la segunda parte investigaa los operadores integrales singulares sobre una variedad compactaintroduciendo previamente los espacios funcionales sobre M. Seeleydefine al espacio de Sobolev Lpr(M), 1 < p < ∞, r ≤ n, como unespacio vectorial topológico en donde se considera una partición dela unidad sobre M, esto es, una familia φi de funciones Cn talque:

(i) φi ≥ 0,∑φi = 1;

(ii) el soporte de φi está en el dominio de un sistema de coorde-nadas.

A cada φi se le asocia un particular sistema de coordenadas xi; sif es una función definida c.t.p en cada dominio de coordenadas,entonces φif puede ser considerada como una función con soportecompacto en Rn. Entonces, f ∈ Lpr(M) si φif ∈ Lpr(R

n) para cada

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Alejandro Ortiz Fernández

i; se considera la norma

‖f‖Lpr(M) =

( ∑

|α|≤r

i

‖φ1p

i (∂

∂xi)αf‖pLp(Rn)

) 1p

.

Luego Seeley estudia a los operadores T definidas sobre Lp(M) yque son de tipo C∞

β , β ≤ n−1, investigando así operadores integra-les singulares sobre M. Posteriormente (Seeley, “Integro-differentialoperators on vector bundles”. Trans. Am. Math. Soc. 1965.)consi-dera una clase general de operadores sobre secciones de una envol-toria vectorial sobre una variedad compacta, clase que incluye alos operadores integrales singulares y a los operadores diferencia-les regulares, indica como el método de los operadores singularessobre variedades puede ser aplicado a problemas de valor de con-torno para ecuaciones elípticas; estas ideas fueron desarrolladas porSeeley.

Veamos algunas ideas al respecto; sean X un espacio topológico yG un grupo topológico (un grupo de transformaciones de X); unaacción topológica de G sobre X es una función f tal que

• f : G×X → X es continua;

• ex = x para todo x ∈ X ;

• g1(g2x) = (g1g2)x.

Definición 13. Un espacios fibrado B consiste de un espaciotopológico B (espacio total), de un espacio topológico M (espaciobase), de un espacio fibra Y , de un grupo topológico G y de unaaplicación continua π : B →M (proyección) tal que G opera sobreY (así, G × Y → Y es una transformación de un grupo diferen-ciable sobre Y ); además, existe un cubrimiento Uii∈I de M yun homeomorfismo hi : π

−1(Ui) → Ui × Y sobre, tal que para to-do x ∈ Ui la fibra Yx = π−1(x) (es definición!) es aplicada sobrex × Y. Además, para todo i, j ∈ I existe una aplicación continuagij : Uij(= Ui ∩ Uj) → G con hih

−1j (x, y) = x × gij(x)y, donde

x ∈ Uij , y ∈ Y.

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ϕ−Espacios de Funciones

Definición 14. Una envoltoria vectorial es un espacio fibradodonde la fibra es Rn y el grupo G es el grupo de las transformacioneslineales no-singulares de Rn. Una sección de una envoltoria es unaaplicación continua f :M → B tal que πf(x) = x para todo x ∈ X.

Se conviene muchas veces en decir simplemente que π ó B es unaenvoltoria vectorial. Ejemplos de envoltorias vectoriales son la en-voltoria tangente T (M) de M (la fibra Tx es el espacio tangente enx) y la envoltoria cotangente T ∗(M). Dado un operador K de tipoC∞β (M), su símbolo es la función sobre la envoltoria cotangente de

M definida vía

σ(K)(p,∑

ξi dxi) = a(x(p)) + lımǫ→0

ǫ<|η|< 1ǫ

ei∑ξjηjh(x(p), η) dη

donde a(x), h(x, η) son funciones como en la definición de K ∈C∞β (M) y p está en el soporte común de φ y ψ. El símbolo es pues

una función sobre la envoltoria cotangente, la cual es homogénea degrado cero sobre cada espacio cotangente; además, es independientede las coordenadas usadas en su definición.

(v) Espacios de Hardy H1(M). La teoría de los espacios Lp(Rn)fue usada en el campo de las ecuaciones en derivadas parciales;sin embargo, si p = 1 no se tiene la utilidad que tenemos cuando1 < p < ∞; asimismo, L1(Rn) no es preservada por los operadoresintegrales singulares. Esta naturaleza de L1(Rn) exigió algún(os) es-pacio(s) substituto(s); así se considera al espacio de Hardy H1(Rn)el que consiste de las funciones f ∈ L1(Rn) tal que Rjf ∈ L1(Rn),donde la transformada de Riesz Rj es definida vía: (Rjf)

∧(ξ) =ξj|ξ|f(ξ), j = 1, · · · , n, y son los análogos de la transformada de

Hilbert en el caso n = 1. E. Stein probó que H1(Rn) es preserva-do por los operadores integrales singulares con cierta regularidad(ver [STE.2]). Por otro lado, R. S. Strichartz demostró en 1972 (ver[STRI]) que H1(Rn) es localmente preservado por operadores pseu-do diferenciales (una clase amplia de operadores) de orden cero, lo

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Alejandro Ortiz Fernández

que motivó dar una definición invariante de espacios H1(M) siendoM una variedad compacta C∞ sin contorno, esto es,

H1(M) = f ∈ L1(M)/ Tf ∈ L1(M), donde T

es un operador pseudo-diferencial de orden cero.

Strichartz también considera a los espacios de Sobolev H1α(M) de

las distribuciones que tienen α−derivadas en H1(M), α ≥ 1. Re-marcamos que en H1(Rn) se considera la norma ‖f‖H1 = ‖f‖L1 +n∑j=1

‖Rjf‖L1 , con la cual H1(Rn) es un espacio de Banach.

Stein ([STE.2]) probó que: “si m(ξ) ∈ L∞(Rn), la que es Cn+1 fuera

de una vecindad del origen y satisface

∣∣∣∣|ξ||α|(∂

∂ξ

m(ξ)

∣∣∣∣ ≤ K,

para |α| ≤ n+1, entonces el operador multiplicador T, definido vía(Tf)∧(ξ) = m(ξ)f(ξ), es acotado sobre H1(Rn).” En esta direcciónStrichartz probó ([STRI]): “Sea p(x, ξ) ∈ C∞(Rn×Rn), con soportecompacto en la variable x, y satisface

∣∣∣∣(∂

∂ξ

)α(∂

∂x

p(x, ξ)

∣∣∣∣ ≤ Kα,β(1 + |ξ|)−|α|,

para |α| ≤ n + 1, |β| ≤ n. Entonces el operador T : H1(Rn) →L1(Rn) es acotado, con norma dependiendo solo de Kα,β y del so-porte de p(x, ξ), y donde T es el operador (pseudo-diferencial)

Tf(x) =

∫eix·ξp(x, ξ)f(ξ) dξ.”

A fin de precisar al espacio H1(M), Strichartz fija una medida regu-lar sobre M, equivalente a la medida de Lebesgue, en todo sistemade coordenadas. Luego se considera una C∞−partición de la uni-dad ϕi, la que es subordinada a un cubrimiento por vecindadescoordinadas; sea ψi una función C∞ con soporte en una vecindadcoordenada tal que ψiϕi = ϕi. Entonces, por definición,

H1(M) = f ∈ L1(M)/ ψiRj(ϕif) ∈ L1(M), ∀i, j,

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ϕ−Espacios de Funciones

en donde se considera la norma

‖f‖H1(M) = ‖f‖L1(M) +∑

i

j

‖ψiRj(ϕif)‖L1(M).

Nota 31. La definición es independiente de la elección de la parti-ción de la unidad y de las coordenadas locales.

Por otro lado, según L. Nirenberg (1970), un operador T : C∞(M) →C∞(M) es llamado un operador pseudo-diferencial de ordenr si

• ψiT (ϕif)(x) =∫eix·ξp(x, ξ)(ϕif)

∧(ξ) dξ, donde p(x, ξ) ∈ C∞(Rn×Rn) satisface

∣∣∣∣(∂

∂ξ

)α(∂

∂x

p(x, ξ)

∣∣∣∣ ≤ Kα,β(1 + |ξ|)r−|α|, ∀α, β;

• (1−ψi)T (ϕif) es dado por (1−ψi)T (ϕif)(x) =∫K(x, y)f(y) dy,

donde K ∈ C∞(M ×M).

Strichartz prueba que: “si T es un operador pseudo diferencialde orden cero, entonces T : H1(M) → L1(M) es un operadoracotado, esto es

‖ψiT (ϕif)‖L1(M) ≤ C

(‖f‖L1(M) +

n∑

j=1

‖ψiRj(ϕif)‖L1(M)

).”

Vía este resultado se obtiene la siguiente caracterización deH1(M) : “f ∈ H1(M) sí y sólo sí f ∈ L1(M) y Tf ∈ L1(M)para todo operador pseudo-diferencial T de orden cero” (estoya lo habíamos mencionado anteriormente).

(vi) Operadores Pseudo-Diferenciales sobre Variedades

Por razones de completitud en la exposición, remarquemos algu-nos espacios de funciones o de distribuciones en R

n, y luego envariedades, los que nos serán útiles para presentar a una clase de

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Alejandro Ortiz Fernández

operadores pseudo-diferenciales. Como se sabe, el uso de los mé-todos de los espacios de Banach en las ecuaciones en derivadasparciales llevó de un modo natural a la consideración de espaciosde funciones (los espacios de Sobolev) cuyas derivadas están aúnen el espacio; así mismo se estudiaron los espacios duales. Bien, re-cordemos que en II. e. (ii) presentamos a los espacios de SobolevLpu(R

n), 1 ≤ p ≤ ∞, u real, según A. P. Calderón. Usando unanotación más familiar, y en particular, diremos que f ∈ Lp1(R

n) sif ∈ Lp(Rn) y para todo i = 1, 2, · · · , n, existe una función fi ∈ Lp

tal que para toda ϕ ∈ C∞0 (Rn) se tiene

⟨f,∂ϕ

∂xi

⟩= −〈fi, ϕ〉 (deri-

vada en el sentido de las distribuciones). Se observa que fi =∂f

∂xiy

que

∣∣∣∣⟨f,∂ϕ

∂xi

⟩∣∣∣∣ ≤ A‖ϕ‖q, p > 1,1

p+

1

q= 1. Si r > 0 real, diremos

que f ∈ Lpr(Rn) si f ∈ Lp1 y todas las derivadas de primer orden

están en Lpr−1; se considera la topología definida por la norma

‖f‖r =( ∑

0≤|α|≤r

∥∥∥∥(∂

∂x

f

∥∥∥∥p

p

)1/p

, p <∞.

Por otro lado, el espacio de distribuciones Lp−r, r ≥ 0, 1 < p <∞,

es el espacio de las funcionales lineales acotadas sobre Lqr,1

p+

1

q=

1. Se observa que Lq0 = Lq, 1 < q < ∞, y que Lpr ⊂ Lpr−1, r =0,±1,±2, · · · . Así mismo, “Lpr es cerrado bajo la multiplicaciónpor funciones acotadas ϕ ∈ Cr y que tienen derivadas acotadas;además, la aplicación Lpr → Lpr , f → ϕf es continua para todo r”.

En efecto, si r ≥ 0 tenemos

‖ϕf‖r =( ∑

0≤|α|≤r

∥∥∥∥(∂

∂x

ϕf

∥∥∥∥p

p

)1/p

≤ Cm sup

∣∣∣∣(∂

∂x

ϕ

∣∣∣∣ ‖f‖r.

Si r < 0, sean h ∈ Lpr y la funcional lineal sobre Lq−r definida vía:〈ϕh, f〉 = 〈h, ϕ∗f〉, donde f ∈ Lq−r; se observa que ϕ∗f ∈ Lq−r y que

|(ϕh)f | = |h(ϕ∗f)| ≤ C‖ϕ∗f‖−r ≤ C1‖f‖−r.

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ϕ−Espacios de Funciones

ϕ∗f

f

Lq−r

Lqr

h

ϕh

Interpolación; el Método Complejo. La teoría de interpola-ción, en particular el método complejo, es de importancia en el aná-lisis armónico; tal método fue introducido por Calderón en [CAL.2].Veamos algunas ideas al respecto. Un par de interpolación (B0, B1)es un par de espacios de Banach complejos B0, B1, continua-mente inmersos en un espacio vectorial topológico complejo V . Six ∈ B0∩B1 se considera la norma ‖x‖B0∩B1 = max(‖x‖0, ‖x‖1), conla cual B0∩B1 es un espacio de Banach. Similarmente, en el espacioB0 +B1 se introduce la norma ‖x‖B0+B1 = ınf

x=y+z, y∈B0, z∈B1(‖y‖0+

‖z‖1), con la cual B0 + B1 es también un espacio de Banach. Seobserva que B0 ∩B1 y B0 +B1 están también continuamente con-tenidos en V .

Dado un par de interpolación (B0, B1), si ξ = s+ it, consideremosuna función f(ξ) definida en la faja 0 ≤ s ≤ 1 del ξ−plano ycon valores en B0 + B1, esto es f : faja 0 ≤ s ≤ 1 ⊂ ξ−plano→B0+B1, donde asumimos que f es continua y acotada en 0 ≤ s ≤ 1con respecto a la norma de B0 +B1, es analítica en 0 < s < 1 y estal que

f(it) ∈ B0, es B0 − continua y lım|t|→∞

f(it) = 0,

f(1 + it) ∈ B1, es B1 − continua y lım|t|→∞

f(1 + it) = 0.

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Alejandro Ortiz Fernández

F ≡ F(B0, B1) denota al conjunto de tales funciones f(ξ), el quees un espacio normado con

‖f‖F = max(supt

‖f(it)‖0, supt

‖f(1 + it)‖1),

con la que F es un espacio de Banach.

Definición 15. Sea 0 ≤ s ≤ 1 un número real; se define al subes-pacio Bs ≡ [B0, B1]s de B0 +B1 vía

Bs = x/ x = f(s), f ∈ F(B0, B1).

En Bs se considera la norma: ‖x‖s ≡ ‖x‖Bs = ınf ‖f‖F , x = f(s),con la cual Bs es un espacio de Banach continuamente inmerso enB0 +B1.

También se define, Ns = f(ξ) ∈ F(B0, B1)/ f(s) = 0. Ns escerrado y se tiene F(B0, B1)/Ns ≃ Bs, isomorfo e isométricamente;la isometría es la aplicación

F(B0, B1) → Bs

f → f(s)

Si x ∈ B0 ∩ B1, entonces ‖x‖s ≤ ‖x‖B0+B1 . Calderón probó que:

“Siϕ : Lp → Lp

ϕ : Lpr → Lpr

entonces ϕ : [Lp, Lpr]s → [Lp, Lpr ]s, 0 ≤ s ≤ 1,

continuamente. Además, [Lp, Lpr ]s = Lprs.” (Para los detalles de esteresultado, ver [CAL.2]). Se tienen también los siguientes resultados.

• “Si ϕ ∈ C∞0 , entonces la aplicación

Lpr → L2s

f → ϕf, con r > s,

es compacta”.

• “C∞0 ⊂ L2

r , ∀r, densamente.”

• “Si φ : Θ1 → Θ2 es un difeomorfismo−C∞ y si ϕ tiene so-porte compacto en Θ2, sea la aplicación L : f → ϕf φ =ϕ[φ(x)]f [φ(x)], esto es, L(f)(x) = ϕ[φ(x)]f [φ(x)]. Entonces,L : L2

r → L2r continuamente para todo r ≥ 0.”

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ϕ−Espacios de Funciones

Espacios L2r(M) e Interpolación. Recordemos que

L2r = f/ si φ : Θ1 ⊂ R

n → Θ2 ⊂M es un difeomorfismo, con

ϕ ∈ C∞ sobre M con soporte en Θ2, entonces ϕf φ ∈ L2r(R

n).

Se tiene: “φ : Θ1 ⊂ Rn → Θ2 ⊂ M ; soporte de ϕ, donde ϕ ∈ C∞,

está en Θ2. Entonces, ‖ϕf φ‖ ≤ C∑j

‖ϕjf φj‖”.

Luego si L2r(M) es completo con respecto a

∑j

‖ϕjf φj‖, entonces

L2r(M) es completo con respecto a ‖ϕf φ‖. Por otro lado, si uno

de los espacios A, B es reflexivo, entonces también lo es el espaciointermedio C = [A,B]s, 0 < s < 1. En esta dirección se tiene:“ [L2

r(M), L2t (M)]s = L2

r(1−s)+ts(M).”

Si t = 0, entonces [L2r(M), L2(M)]s = L2

r(1−s)(M); pero L2(M) esreflexivo, luego lo será L2

r(1−s)(M). Cuestión: si s → 0, ¿el límiteL2r(M) será reflexivo?

Culminamos esta parte presentando a los operadores pseudo - di-ferenciales (u operadores integrales singulares) vía la clase Sm(M).Previamente remarcamos que la familia Sm(Rn) consiste de los ope-radores A de la forma

Af(x) =∑

finita

∫pj(x, z)e

−2πix·zf(z) dz + Sf(x) (∗)

tal que:

(i) los pj(x, z) son funciones acotadas;

(ii) para alguna constante c > 0, pj(x, z) coincide con una funciónhomogénea de grado−dj en z, para todo x y |z| > c, donde0 ≤ dj < dj+1 < m, donde m es el entero fijo que aparece enSm;

(iii)

(∂

∂x

)α(∂

∂z

pj(x, z) es continua y acotada para |α| ≤ 2m−[dj], y todo β;

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Alejandro Ortiz Fernández

(iv) S : S → L2m (donde S es el espacio de las funciones regulares,

rápidamente decrecientes en el infinito) tal que S, S

(∂

∂x

y(∂

∂x

S, |α| = m, son continuas con respecto a la L2−norma.

Se tienen las siguientes observaciones.

• El operador A definido por (∗) es bien definido ya que

pj(x, z)e−2πix·zf(x, z) ∈ L1

y S es asumido ser bien definido;

• los∑∫

· · · son operadores integrales singulares;

• para −m ≤ t ≤ m, A : L2t → L2

t es un operador continuo;además, Sm(Rn) = tales operadores A forman una álgebra.

Se tiene el siguiente resultado de representación: “Sea

Af(x) =

∫p(x, z)e−2πix·zf(z) dz,

donde p(x, z) es homogénea de grado −d < 0 en z, para todo x y

|z| > N, y además

∣∣∣∣(∂

∂x

)α(∂

∂z

p(x, z)

∣∣∣∣ ≤ Mαβ , |α| ≤ k, ∀β.Entonces, Af(x) =

∫k(x, x− y)f(y) dy donde

∣∣∣∣(∂

∂x

)α(∂

∂z

k(x, z)

∣∣∣∣ ≤Mα,β,r|z|−n+d−|β|

1 + |z|r .”

La Clase Sm(M). Por definición, Sm(M) es la clase de operadoresacotados A ∈ L2(M) tales que

(i) si ϕ y ψ están en C∞, tienen soportes disjuntos, y

ϕAψ : L2 → L2m es continua,

(ϕAψ)∗ : L2 → L2m es continua,

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ϕ−Espacios de Funciones

(ii) Si φ : Θ1 ⊂ Rn → Θ2 ⊂ M es un difeomorfismo, ϕ y ψ tienen

soporte en Θ2, entonces: ϕAψ(f φ−1) = (Bf) φ−1, dondeB ∈ Sm(Rn).

Una tarea es estudiar esta clase de operadores pseudo-diferencialesSm, tanto en R

n como en M , muchos de cuyos resultados son debidos aA. P. Calderón, R. Seeley y otros.

B

Ondículas - Espacios de Funciones

(i) Generalidades.

En el Capítulo I hemos presentado a las ondículas; consideramosconveniente dar previamente una visión del concepto de base en unespacio de Banach y de Hilbert en particular. Definimos algunas ba-ses clásicas las cuales están relacionadas mayormente con el espaciode funciones L2(R). Luego consideramos a las bases de ondículasexponiéndose con algún detalle a la base de Haar, un ejemplo his-tórico que motivó diversas ideas para la teoría general; también eneste caso se trabajó con L2. En esta dirección se resaltó el algo-ritmo “análisis multi-resolución” (AMR) que nos permite construirondículas ψ ∈ L2(R), que puesto en el caso de Haar vimos que lafamilia (ψjk)j,k∈Z es una base ortonormal para L2(R). De un modogeneral, un sistema de ondículas (ψjk) ≡ (2j/2ψ(2jx−k)), j, k ∈ Z,es una base ortonormal para L2(R), y por tanto para f ∈ L2(R) setiene f =

∑j,k∈Z

〈f, ψj,k〉ψjk, donde la convergencia es en la norma L2

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Alejandro Ortiz Fernández

y se tiene

‖f‖L2 =

( ∑

j,k∈Z

|〈f, ψjk〉|2)1/2

.

Una fundamental observación es: “f ∈ L2(R) sí y sólo sí

(〈f, ψjk〉)j,k∈Z ∈ ℓ2(Z).”

Entonces, ¿Cómo obtener caracterizaciones para otros espacios defunciones, como los presentados en el Capítulo II? En esta dirección,la noción de base incondicional (ver a. I) es importante. Alrede-dor de tal cuestión están ideas, métodos y resultados del análisisde Fourier, de la teoría de Littlewood-Paley, de los operadores deCalderón-Zygmund y de las mismas ondículas.

Sea B un espacio de Banach. Remarcamos que (xn)n∈N es unabase incondicional en B sí y sólo sí en la única representaciónx =

∑n∈N

anxn, la serie converge incondicionalmente. En general di-

remos que la serie∑n∈N

yn, converge incondicionalmente a y ∈ B si∑n∈N

yσ(n) = y para toda permutación σ en N.

Algunas veces es conveniente conocer las siguientes equivalencias;“sea (xn) una sucesión en un espacio de Banach B entonces:

∑xn

converge incondicionalmente sí y sólo sí∑ǫnxn converge para

toda sucesión (ǫn), donde ǫn = ±1 sí y sólo sí∑αnxn converge

para toda sucesión (αn) tal que |αn| ≤ 1, ∀n ∈ N.”

Al respecto se tiene: “si ψ ∈ C1(R), |ψ(x)|, |ψ′(x)| ≤ C(1 +|x|)−1−ǫ y si (ψj,k)j,k∈Z es una base ortonormal para L2(R), entonces(ψj,k)j,k∈Z es una base incondicional para Lp(R), 1 < p <∞.”

En [MEY], vol. 1, se remarcan algunas dificultades que tiene larepresentación f(x) =

∑〈f, ψλ〉ψλ, λ ∈ Λ, donde (ψλ) es unabase ortonormal en L2(R) pues, por ejemplo, si f(x) ≡ 1 entonces〈f, ψλ〉 = 0 y se obtendría una contradicción (1 = 0); sin embargo,se afirma que vía la aproximación AMR tales dificultades no setienen.

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ϕ−Espacios de Funciones

(ii) Algunas Caracterizaciones de Espacios de Funciones VíaOndículas.

Acabamos de mencionar que la familia (ψj,k), bajo ciertas condicio-nes, es una base incondicional para el espacio Lp(R), 1 < p <∞, loque permite usar los valores absolutos de los coeficientes de ondícu-las de f ; esto es, viendo el comportamiento de |〈f, ψj,k〉| podríamosdecir si f ∈ Lp, 1 < p <∞. En esta dirección, el lector es sugeridover [MEY], vol. 1, [DAU] y [HER-WEI] para una amplia informa-ción sobre las ondículas y sobre las caracterizaciones que ahora nosinteresa.

Espacio Lp(R). Se tiene: f ∈ Lp(R) sí y sólo sí

(∑

j,k

|〈f, ψj,k〉|2|ψj,k(x)|2)1/2

∈ Lp(R)

sí y sólo sí(∑

j,k

|〈f, ψj,k〉|22jχ[2−jk,2−j(k+1)](x)

)1/2

∈ Lp(R); 1 < p <∞.

(χ[a,b] es la función característica de [a, b]).

Espacios de Sobolev L2s(R), s real. Recordemos que

L2s(R) = f/

∫(1 + |ξ|2)s|f(ξ)|2 dξ <∞.

Entonces se tiene, “f ∈ L2s(R) sí y sólo sí

∑j,k |〈f, ψj,k〉|2(1+

22js) <∞.”Para el caso 1 < p <∞, s = 1, 2, 3, · · · , se define

Lps(R) = f ∈ Lp(R)/ la n−ésima derivada de f está en Lp(R), n = 1, 2, · · · , s.

Por conveniencia se define al espacio

B = ψ ∈ S/ ∃N natural tal que sopψ ⊂ ξ ∈ R/ 2−N ≤ |ξ| ≤ 2N , y∑

j∈Z

|ψ(2jξ)|2 = 1 c.t.p ξ ∈ R.

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Alejandro Ortiz Fernández

Entonces se tiene (caracterización en este caso): “sean ψ ∈B, 1 < p < ∞ y s = 1, 2, · · · ; entonces existe una constanteCp,s, 0 < Cp,s <∞, tal que

∥∥∥∥(∑

j,k

|〈f, ψj,k〉|2(1+22js)2jχ[2−jk,2−j(k+1)]

)1/2∥∥∥∥Lp

≤ Cp,s‖f‖Lps, ∀f ∈ Lps.”

Pongamos (W sψf)(x) =

(∑j,k

|〈f, ψj,k〉|2(1+22js)2jχ[2−jk,2−j(k+1)](x))1/2

,

entonces se tiene el recíproco del anterior resultado: “Sea ψ ∈ Suna ondícula ortonormal de banda limitada (esto es, el sopor-te de ψ está contenido en un intervalo finito). Si 1 < p <∞, s = 1, 2, 3, · · · , entonces existen dos contantes Ap,s yBp,s, 0 < Ap,s ≤ Bp,s <∞ tal que

Ap,s‖f‖Lps ≤ ‖W sψf‖Lp ≤ Bp,s‖f‖Lps , ∀f ∈ Lps.(R).”

Obsérvese la condición de ser ψ ortonormal y de banda limita-da; en [HER-WEI] se remarca que el anterior resultado puedeser extendido a ondículas en general. Para ello se requiere quela ondícula ortonormal ψ satisfaga:

∫xnψ(x) dx = 0, n = 0, 1, · · · , s;

|ψ(x)| ≤ C

(1 + |x|)2+s+r , ∀x ∈ R;

|Dnψ(x)| ≤ Cn(1 + |x|)1+ǫ , x ∈ R, n = 1, 2, · · · , s + 1;

donde ǫ, r, C y Cn son apropiadas constantes.

Espacios de Lipschitz Λα(R), 0 < α < 1. Estos espaciosfueron considerados en e. II; remarcamos que

Λα(R) ≡ Λα = f ∈ L∞(R)/ supx∈R

|f(x+ h)− f(x)| ≤ C|h|α

donde se considera la norma

‖f‖Λα = ‖f‖L∞ + sup|h|>0

‖f(·+ h)− f(·)‖L∞

|h|α

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ϕ−Espacios de Funciones

con lo cual Λα es un espacio de Banach.Para tener la caracterización deseada, sea el espacio (donde ϕsatisface ciertas condiciones)

Bα ≡ B

α(R) ≡ Bαϕ = f ∈ L∞(R)/ sup

j∈Z2jα‖ϕ2−j ∗f‖L∞ <∞

donde se considera la norma

‖f‖Bα = ‖f‖L∞ + supj∈Z

2jα‖ϕ2−j ∗ f‖L∞.

Se tiene: “para 0 < α < 1, Λα = Bα y sus normas son equiva-lentes”. (Se remarca que B

α es independiente de α).

La Clase de Zygmund Λ∗(R). Por definición,

Λ∗(R) ≡ Λ∗ =

f ∈ L∞(R)/ ‖f‖Λ∗ = ‖f‖L∞ +

sup|h|>0

‖f(x+ h) + f(x− h)− 2f(x)‖L∞

|h| <∞.

Si α = 1, B1ϕ es definido como antes (lo que hace sentido). Se

tiene: “Si ϕ satisface ciertas condiciones (como∑j∈Z

|ϕ(2jξ)|2 =

1), entonces Λ∗ = B1ϕ y sus normas son equivalentes”.

Como “curiosidad” digamos que<<existe un subconjunto abier-to denso en Λ∗ el cual está integrado por funciones diferencia-bles en ninguna parte>> (ver [MEY], vol.1, pág. 121).Por otro lado, el proyecto general fue estudiar otros espaciosde funciones, como los presentados en II, e investigar sus ca-racterizaciones vía ondículas. Diversas investigaciones en lasúltimas décadas estuvieron, y están, dirigidos a tal proyecto.

(iii) Otros Contactos entre Espacios de Funciones con las On-dículas.

En armonía con lo expresado en el párrafo anterior, veamos de unmodo ligero algunos esfuerzos en la dirección de relacionar a otrosespacios de funciones con las ondículas.

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Alejandro Ortiz Fernández

• Espacios de Hardy Pesados Hp(ω). La teoría de los espa-cios de funciones pesados (o con peso) fue también investigadaen décadas pasadas. De un modo general, una función medibleω(x), definida sobre un espacio medible y con valores en [0,∞]es un peso si ω(x) es localmente integrable. Esta definicióngeneral de peso requiere de algunas restricciones para su apro-piado uso; así tenemos a la clase de pesos Ap, 1 ≤ p ≤ ∞.Explícitamente, si:

1 < p <∞, ω ∈ Ap si existe C > 0 tal que(

1

|Q|

Q

ω(x) dx

)(1

|Q|

Q

ω(x)−1p−1 dx

)p−1

≤ C,

para todo Q ⊂ Rn. El ínfimo de tales constantes C sellama “la constante Ap”.

Diremos ω ∈ A1 si existe una constante C tal queMω(x) ≤Cω(x), dondeMω es la función maximal de Hardy-Littlewoodde ω, esto es,

Mω(x) = supQ

1

|Q|

Q

|ω(y)| dy,

Q es cualquier cubo con lados paralelos a los ejes coorde-nados.

ω ∈ A∞ si existen constantes 0 < c1 < c2 < 1 tal quepara todo cubo Q, y todo conjunto medible E ⊂ Q con|E| < c1|Q| se tiene

E

ω(x) dx < c2

Q

ω(x) dx.

En [WU], Sijue Wu ha probado una caracterización, vía on-dículas (teoría-Rn), del espacio de Hardy pesado Hp(ω), 0 <p <∞, donde ω ∈ A∞. Veamos algunas ideas al respecto. Sea

Q =n∏i=1

(αi2ν,αi + 1

)un cubo diádico en Rn. Pongamos:

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ϕ−Espacios de Funciones

ψQ(x) = 2νn2ψ(2νx− α), con α = (α1, · · · , αn) ∈ Z

n, ψ ∈W0;

N2f(x) = supQ diad

2Q∋x

|〈f, ϕQ〉| |Q|−12 , ϕ ∈ V0. con

2Q =n∏i=1

(αi − 1

2ν,αi + 1

);

S2f(x) =

(∑ǫ

∑Q diad

2Q∋x

|Q|−1|aǫQ|2) 1

2

, donde aǫQ = 〈f, ϕǫQ〉, ǫ =

1, 2, · · · , 2n−1, y ϕǫ(x) es una combinación lineal finita deϕ(x− γ)′s, γ ∈ Zn.

Si 0 < p <∞ y ω ∈ A∞ se verifica ([WU]) que: ‖N2f‖Lp(ω) esequivalente a ‖S2f‖Lp(ω), donde Lp(ω) = f/

∫|f(x)|pω(x) dx <

∞.Ahora se define Hp

0 (ω) = f/ N2f ∈ Lp(ω) = f/ S2f ∈Lp(ω), con la norma ‖f‖Hp

0 (ω)= ‖N2f‖Lp(ω); Wu prueba:

“Si 0 < p < ∞ y ω ∈ A∞, entonces Hp(ω) = Hp0 (ω), con

‖f‖Hp(ω) = ‖S2f‖Lp(ω).”

Nota 32. Obviando la definición de Hp(ω), esta identificaciónla podríamos tomar como la definción de Hp(ω).

El método complejo de Calderón permite afirmar que:

“Hp(ω) = [Hp0(ω), Hp1(ω)]θ, donde 1 ≤ p0 < p < p1 <∞ y1

p=

1− θ

p0+θ

p1.”

Por otro lado, en Hp0 (ω) una función a es llamada un átomo

si para algún cubo Q se tiene:

a =∑I⊂Q

aIψI , donde I es un cubo diádico, y

∑I⊂Q

1

|I| |aI |2ω(I) ≤ ω(R)1−

2p .

En esta dirección están los espacios BMO pesados. Por definición,

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Alejandro Ortiz Fernández

f ∈ BMOω si existe una constante C > 0 tal que

supQ

1∫Q

ω(x) dx

Q

|f(x)− fQ| dx ≤ C <∞,

(donde fQ es el promedio de f). Se tiene la siguiente generalizacióndel teorema de dualidad de Fefferman: BMOω = (H1(ω))′.

Wu enuncia una caracterización de BMOω :

BMOω =

f/ f =

∑fIψI , donde sup

B bola

1

ω(B)

I⊂B

I diad

1

ω(I)|aI |2 |I| <∞

.

Nota 33. En los últimos años se han publicado diversos trabajoscon recientes avances en la relación entre espacios de funciones conla teoría de ondículas y marcos. Todo ello constituye un ampliocampo de investigación.

C

Análisis con Exponentes Variables

(i) Un Panorama Histórico.

En la última década ha surgido un gran interés por estudiar a losespacios de Lebesgue Lp(Rn) y a sus derivados (espacios de Sobolev,de Morrey, de Besov, de Lorent, . . .) en un contexto más generalrespecto a su exponente p, un número real; es decir, se trata de con-siderar una función p(x). Sin embargo, estos espacios de Lebesgue

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ϕ−Espacios de Funciones

con exponente variable ya habían sido considerados por W. Orliczen 1931 en sus estudios sobre espacios de funciones. Posteriormen-te, en los años 1940’s fueron desarrolladas con cierta intensidad;en esta dirección surgieron los espacios modulares, los que sonuna generalización de los espacios de Orlicz (ver (iii) II) y fueroninvestigados por H. Nakano. En esta ruta debemos mencionar a laEscuela Polaca que en los años 1970’s y 80’s contribuyó al desarrollode la teoría; también en las décadas de los 80’s y 90’s los espaciosde Lebesgue con exponentes variables fueron impulsados en Rusiapor I. Sharapudinov y por V. Zhikov. Por otro lado, en 1991 O.Kovacik y J. Rakosnik establecieron gran parte de las propiedadesde los espacios de Lebesgue y de Sobolev en Rn. Se debe remarcarque algunos resultados clásicos sobre la acotación de operadores, yano se cumplen. A partir de 2001, luego que L. Diening establecierala acotación del operador maximal, sobre dominios acotados, sobreespacios de Lebesgue con exponente variable, la teoría ha logradofuertes resultados relacionados con el análisis armónico y con espa-cios con exponentes variables. El interés por la teoría fue motivadopor sus aplicaciones a otras teorías, como el análisis funcional, lateoría de operadores, con el análisis no-lineal, con las ecuacionesen derivadas parciales; al respecto existen diversos grupos de inves-tigación que desarrollan programas para investigar diversas áreasdel análisis y de sus aplicaciones, como es el Grupo de Portugalliderado por el profesor S. Samko.Recordemos que en (viii). II hemos considerado a los espacios

de Orlicz LΦ(X), donde Φ(X) =x∫0

g(t) dt, siendo g : [0,∞) →[0,∞) una función monótona, no-decreciente. Si Φ tiene adecuadaspropiedades (ver (viii)), ella permite definir al espacio de Orlicz;como observamos, Orlicz considera un espacio de tipo-Lebesguecon exponente variable; su idea fue introducir una generalizaciónnatural de los espacios Lp. Más recientemente se dio la definiciónde Lp(x) : sea Ω ⊂ R

n un dominio, n > 1, y p : Ω → [1,∞) unafunción; entonces,

Lp(x)(Ω) ≡ Lp(·) = f medible sobre Ω/ Ip(f) =

Ω

|f(x)|p(x) dx <∞,

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Alejandro Ortiz Fernández

donde se considera la norma

‖f‖p(·) = ınfλ > 0/ Ip(f

λ) ≤ 1+ ‖f‖L∞(E∞),

donde E∞ = x ∈ Ω/ p(x) = ∞. En particular se tiene el casoΩ = R

n. Si p(x) = p constante, entonces Lp(·) es isomorfo e isomé-trico con el espacio de Lebesgue Lp. En esta dirección se consideró,hace pocos años atrás, a los clásicos espacios generalizados: espaciosde Sobolev L

p(x)m ≡ Wm,p(x), espacios de Morrey Lλ(x),p(x), Hölder

Hλ(x), . . . Aún más, estos espacios pueden ser considerados, no soloen Rn, sobre superficies, sobre grupos homogéneos, ó sobre espaciosmétricos-medibles. También ha merecido la atención los respecti-vos espacios “pesados”. Los espacios Lp(·)(Rn) atrajo la atenciónde los analistas por su conexión con problemas relacionados conla acotación de clásicos operadores (como los operadores integralessingulares de Calderón-Zygmund), cuestiones que a su vez fueronmotivados por problemas en el campo de las aplicaciones (en fluidosdinámicos); estos trabajos son de actualidad (2000-2008). Sin em-bargo, los espacios Lp(·) tienen también sus dificultades; por ejem-plo, ellos no son invariantes por traslaciones en general, como fueobservado por O. Kovacik-J. Rakosnik en 1991; se observó tambiénque los operadores convolución no tienen un buen comportamientocuando actúan sobre ellos, . . .

(ii) Algunos Temas de la Teoría

En esta sección comentamos, brevemente, algunos resultados ob-tenidos en la teoría de los espacios de funciones con exponentesvariables, los cuales fueron obtenidos en los últimos años; su ob-jetivo es motivar al lector por el estudio e investigación de estostemas, y muchos otros, los que tienen aplicaciones en áreas comolas ecuaciones en derivadas parciales, por ejemplo.

(a) Densidad de C∞0 (Rn) en el Espacio de Sobolev Lp(x)m (Rn).

Stefan Samko en [SAM.1], 2000, prueba que el espacio C∞0 (Rn)

es denso en el espacio de Sobolev Lp(x)m (Rn) requiriendo que

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ϕ−Espacios de Funciones

p(x) satisfaga una condición de Dini-Lipschitz. Veamos. Pordefinición,

Lp(x)m (Rn) = f ∈ Lp(x)(Rn)/ Djf(x) ∈ Lp(x)(Rn), 0 ≤ |j| ≤ m,

donde las derivadas son en el sentido de las distribuciones ydonde se considera la norma ‖f‖m,p(x) =

∑|j|≤m

‖Djf(x)‖Lp(x).

Veamos ahora el resultado de Samko; sea p(x) una función quesatisface:

|p(x)− p(y)| ≤ A

log 1|x−y|

, con |x− y| ≤ 1

2, (8)

y1 ≤ p(x) ≤ sup

x∈Ω−E∞

ess p(x) <∞. (9)

“Si p(x) satisface (8) y (9), entonces C∞0 (Rn) es denso en

Lp(x)m (Rn).”

(b) Teoría de Operadores y Espacios Generalizados.

Samko en [SAM.2] da un panorama sobre las últimas inves-tigaciones hechas en el análisis armónico-teoría de operadoresen el contexto de los espacios de Lebesgue y de Sobolev gene-ralizados (Lp(·) y W

p(·)m ). Expongamos algunas ideas sobre lo

presentado en tal artículo.

En el estudio de ciertas ecuaciones diferenciales, como

div(|∇u(x)|p(x)−2∇u) = |u|σ(x)−1u(x) + f(x),

aparecen integrales del tipo∫Ω

|∇f(x)|p(x) dx, lo que induce a

integrales de Dirichlet de la forma∫Ω

(|∇f(x)|p(x)+|u(x)|σ(x)) dx.Como apreciamos, tales espacios generalizados no fueron con-cebidos como el simple “cambio de p, un número, a una funciónp(x)”, sino (y es importante!) porque ellos surgen en el cam-po de las aplicaciones (por ejemplo en la mecánica del mediocontinuo), en donde aparecen expresiones de la forma |ξ|α(x);

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Alejandro Ortiz Fernández

tales problemas llevaron al cálculo variacional con exponen-tes variables, lo que es un campo de actual investigación. Sinembargo, de alguna manera, el primer interés en los espaciosLp(·)(Ω) fue desde un punto de vista teórico, y según Samkoen los primeros años no se tenía idea de posibles aplicaciones,como ahora es una realidad. Nakano en un libro sobre espaciosvectoriales topológicos (1951) considera al espacio Lp(·)([0, 1])como un ejemplo en la teoría de los espacios modulares; sinembargo, el estudio de Lp(·) como un espacio de Banach fuehecho por I. I. Sharapudinov en 1999 en su trabajo “The Topo-logy of the Space Lp(t)([0, 1]),” en donde se desarrolla la teoríaen el caso 1-dimensional. Samko resalta el gran interés por losespacios de tipo Lebesgue y de Sobolev así como destaca lasdificultades existentes en el desarrollo de la teoría de opera-dores actuando sobre Lp(·), mencionando que los operadoresconvolución no son acotados en esos espacios en general. Enesta ruta se investigó a los operadores maximal y a los in-tegrales singulares, ¿son ellos acotados sobre tales espacios?;esto fue una cuestión abierta por un tiempo pues como hemosmencionado, L. Diening estableció la acotación del operadormaximal (2001) lo que estimuló el estudio de este operador enel caso no-pesado así como los pesados; por otro lado tambiénse estudió la versión discreta de los Lp(·)′s, los espacios ℓ(pn).

I. I. Sharapudinov, en 1986, relaciona a la base de Haar conel espacio Lp(·)([0, 1]); veamos. Sea (χm) el sistema de Haarsobre [0, 1] (ver (i). C. I) y p(x) una función acotada sobre[0, 1], p(x) ≥ 1, la cual es por piezas Dini-Lipschitz sobre [0, 1],esto es, existe n tal que

|f(x)− f(y)| ≤ C

lnα(

1|x−y|

) , para todo

x, y ∈[k − 1

2n,k

2n

], k = 1, 2, · · · , 2n. (∗)

Se tiene el siguiente resultado: “(Sharapudinov), el sistema de

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ϕ−Espacios de Funciones

Haar (χm) es una base en el espacio Lp(·)([0, 1]) con p(x) sa-tisfaciendo [∗] sí y sólo si α ≥ 1.”

Samko prueba el siguiente resultado de densidad: “si p(x) sa-tisface 1 ≤ p(x) ≤ sup

x∈Rness p(x) <∞ y

|p(x)− p(y)| ≤ A

ln(

1|x−y|

) , con |x− y| ≤ 1

2, x, y ∈ R

n, (10)

entonces C∞0 (Rn) es denso en Lp(x)m (Rn)”.

(Se tienen similares resultados para Lp(·)m (Ω)). Por otro lado,en relación al operador maximal sobre Lp(·) se tiene el siguienteargumento. Sea el operador maximal

Mf(x) = supr>0

1

|B(x, r)|

B(x,r)∩Ω

|f(y)| dy,

y su versión pesada, con x0 ∈ Ω,

Mβf(x) = |x− x0|β supr>0

1

|B(x, r)|

B(x,r)∩Ω

|f(y)||y − x|β dy.

¿Bajo que condiciones el operadorM es acotado sobre Lp(·)(Ω)?Se tiene el anunciado resultado de L. Diening (2002): “Sea Ωun dominio acotado; si 1 < p0 ≤ p(x) ≤ sup

x∈Ωess p(x) <∞ y si

p(x) satisface la condición (10), entonces el operador maximalM es acotado sobre Lp(·)(Ω).”

Operadores Integrales Singulares (C-Z). Los profesoresL. Diening y M. Ruzicka, en 2002-3, han considerado opera-dores integrales singulares del tipo Calderón-Zygmund. Comosabemos, estos operadores son de la forma

Tf(x) = lımǫ→0

|x−y|>ǫ

k(x, x− y)f(y) dy

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Alejandro Ortiz Fernández

donde el núcleo k(x, y) satisface |k(x, y)| ≤ A|x− y|−n,

|k(x, y)− k(z, y)| ≤ A|x− z|δ

|x− z|δ+n , |k(y, x)− k(y, z)| ≤ A|x− z|δ

|x− z|δ+n ,

para algún A > 0 y δ > 0. Remarcamos que un operador Tde Calderón-Zygmund es acotado de Lp(Rn) en Lp(Rn), 1 <p < ∞, siendo p un número real. En esta dirección se tienetambién al operador,

T ∗f(x) = supǫ>0

|x−y|>ǫ

k(x, x− y)f(y) dy.

En el 2002 Diening-Ruzicka probaron que los operadores T yT ∗ son acotados sobre Lp(·)(Rn) bajo las hipótesis que k(x, z)sea homogénea en z, de grado −n,

supx∈Rn

Sn−1

|k(x, z)|r ds(z) <∞

para algún r > 1, y∫

Sn−1

k(x, z) ds(z), resultados que fueron

extendidos al semi-espacio Rn+1+ por los mismos autores.

(c) Espacios de Besov y de Triebel-Lizorkin Variables.Los espacios de Besov y los Triebel-Lizorkin fueron presenta-dos en (iii) y (iv) de II, (el lector es remitido a leer esas seccio-nes para algunas ideas clásicas sobre esos espacios). Creemosconveniente remarcar lo siguiente. Sea p : Rn → [1,∞) unafunción medible tal que

1 < p− = ınfx∈Rn

es p(x), supx∈Rn

es p(x) = p+ <∞,

y P el conjunto de tales p′s. Remarcamos que,

Lp(·)(Rn) =

f medible sobre R

n/

Rn

(λ−1|f(x)|)p(x) dx <∞,

para algún λ > 0

,

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ϕ−Espacios de Funciones

en donde se considera la norma

‖f‖Lp(·) = ınf

λ > 0/

Rn

(λ−1|f(x)|)p(x) dx ≤ 1

con la cual Lp(·)(Rn) es un espacio de Banach.

Nota 34. Esta definición es extendida a cualquier subconjuntomedible de Rn.

J. Xu, [XU] (2008), ha introducido los espacios de Besov va-riable Bs

p(·),q(Rn) y los espacios de Triebel-Lizorkin variable

F sp(·),q(R

n). Precisemos la notación y las definiciones previas.S(Rn) es el espacio de las funciones C∞, rápidamente decre-cientes y de valor complejo; S ′(Rn) es el respectivo espacio delas distribuciones temperadas. ℓq(Lp) es el espacio de las su-cesiones (gj) de funciones medibles sobre R

n con casi-normasfinitas

‖(gj)‖ℓq(Lp) = ‖(‖gj‖Lp)‖ℓq =( ∞∑

j=1

(∫

Rn

|gj(x)|p dx) q

p) 1

q

;

así mismo, Lp(ℓq) es el espacio de las sucesiones (gj) de fun-ciones medibles sobre R

n con

‖(gj)‖Lp(ℓq) = ‖‖gj‖ℓq‖Lp =(∫

Rn

( ∞∑

j=1

|gj(x)|q) p

q

dx

) 1p

.

Por otro lado, para j ∈ N pongamos θj(x) = 2njθ(2jx), x ∈Rn, donde θ ∈ S(Rn); sea A ∈ S(Rn), donde A y θ satisfacen:

|A(ξ)| > 0 sobre |ξ| > 2, sopA ⊂ |ξ| < 4; |θ(ξ)| > 0 sobre1

2< |ξ| < 2

, sopθ ⊂

1

4< |ξ| < 4

.

Espacios de Besov. El clásico espacio de Besov, remarcamos,es definido vía: sean −∞ < s <∞, 0 < q, p ≤ ∞, entonces

Bsp,q(Rn) = f ∈ S′(Rn)/ ‖f‖Bs

p,q= ‖A∗f‖Lp+‖(2sjθj∗f)∞j=1‖ℓq(Lp) <∞.

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Espacios de Triebel-Lizorkin. Sean −∞ < s < ∞, 0 <q ≤ ∞, 0 < p <∞, entonces

F sp,q(Rn) = f ∈ S′(Rn)/ ‖f‖F s

p,q= ‖A∗f‖Lp+‖(2sjθj∗f)∞j=1‖Lp(ℓq) <∞.

Sean P0(Rn) el conjunto de las funciones medibles p(x) sobre Rn,

con rango en (0,∞) tal que p− > 0 y p+ < ∞; entonces Xu con-sidera los respectivos espacios de Sobolev y de Triebel-Lizorkinvariables de un modo similar y natural. Por definición, “ seans ∈ R, 0 < q ≤ ∞, p(·) ∈ P0(R

n), entonces

Bsp(·),q(R

n) = f ∈ S ′(Rn)/ ‖A∗f‖Lp(·)+‖(2sjθj∗f)∞j=1‖ℓq(Lp(·)) <∞

en donde se considera la norma

‖f‖Bsp(·),q

= ‖A ∗ f‖Lp(·) + ‖(2sjθj ∗ f)∞j=1‖ℓq(Lp(·)).

Similarmente,

F sp(·),q(R

n) = f ∈ S ′(Rn)/ ‖A∗f‖Lp(·)+‖(2sjθj∗f)∞j=1‖Lp(·)(ℓq) <∞

con la norma

‖f‖F sp(·),q

= ‖A ∗ f‖Lp(·) + ‖(2sjθj ∗ f)∞j=1‖Lp(·)(ℓq).”

Xu comenta que estas definiciones son independientes de la elecciónde las funciones A y θ; luego establece un teorema central en dondeverifica la consistencia de tales definiciones.

Nota 35 (Nota General). En este Anexo hemos comentado tres áreasdel análisis moderno los mismos que buscan motivar al lector para ma-yores estudios. En particular, lo tratado en C es un campo de actualexpansión e investigación.

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