Espacios vectoriales

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  • 1. ESPACIOSVECTORIALESUCA. Seccin Departamental de Matemticas. Algeciras.

2. Espacio VectorialSea E un conjunto no vaco, cuyos elementos denotaremos por x , y , z . ; y que llamaremos vectores, y K un cuerpo conmutativo ( K , +, ) , cuyos elementos representaremos por , , ...; y que llamaremos escalares.Como normalmente K = o K = , usaremos como notacin para las operaciones + y , llamando adems 0 al neutro de + , y 1 al neutro de . 3. Espacio Vectorial Definimos en E dos leyes de composicin:( E , ) interna, que llamamos suma de vectores, y ( E , , K ) externa de K sobre E , que llamamos producto de un vector por un escalarSe dice que E es un espacio vectorial sobre K si se cumplen:1. ( E , ) es un grupo abeliano()2. x, y E y se tiene x y = x y3. x E y , se tiene ( + ) x = x x(4. x E y , se tiene x = ( ) x)5. 1 x E se tiene 1 x = x 4. Cuando no haya opcin a confundirse podemos utilizar + para ambas sumas, y . para ambos productos. Y anotaremos:( E , + ) interna, que llamamos suma de vectores, y ( E , , K ) externa de K sobre E , que llamamos producto de un vector por un escalar1. ( E , + ) es un grupo abeliano( )2. x, y E y se tiene x + y = x + y3. x E y , se tiene ( + ) x = x + x( )4. x E y , se tiene x = ( ) x5. 1 x E se tiene 1 x = x 5. Ejemplos de Espacios Vectoriales es espacio vectorial sobre ( , +, ) con lasnoperaciones:n * Suma de vectores en ( x1 x2 xn) +( y y2 yn) =( x +y x2 +y2 xn +yn) 1 1 1 * Producto por un escalar( x1 x2 xn ) =( x1 x2 xn ) 6. Ejemplos de Espacios Vectoriales es espacio vectorial sobre ( , +, ) y sobren( , +, ) con las operaciones: n * Suma de vectores en ( x1 x2 xn) +( y y2 yn) =( x +y x2 +y2 xn +yn) 1 1 1 * Producto por un escalar( x1 x2 xn ) =( x1 x2 xn ) 7. Ejemplos de Espacios VectorialesM mn el conjunto de las matrices definidas en un cuerpo K conmutativo, es un espacio vectorial sobre K , con las operaciones:* Suma de matrices A + B = ( aij ) + ( bij ) = ( aij + bij )* Producto por un escalar A = ( aij ) = ( aij ) 8. Ejemplos de Espacios VectorialesE=P(x) , polinomios con coeficientes pertenecientes a un cuerpo conmutativo K. Es un espacio vectorial sobre K con las operaciones:* Suma de polinomios p(x)+q(x)=(a0+a1x+...+anxn)+(b0+b1x+...+bmxm)= =(a0+b0)+(a1+b1)x+...+(an+bn)xn+...+bmxm (mn )* Producto por un escalar p(x) = (a0+a1x+...+anxn )= a0+ a1x+...+ anxn 9. R2 con las operaciones Suma x = ( x1, x2 ) , y = ( y1, y2 ) 2x + y = ( x1, x2 ) + ( y1, y2 ) = ( x1 + y1, x2 + y2 ) Producto por un escalar: x = ( x1, x2 ) = ( x1,0) No es un espacio vectorial sobre (R,+,.), ya que aunque se cumplen las cuatro primeras condiciones, como puede comprobarse fcilmente, no se cumple la quinta:1 x = 1( x1, x2 ) = ( x1,0) ( x1, x2 ) 10. Propiedades deducidas de la definicin1 . x E s e v e rific a 0 x = 0 2 . K s e v e rific a 0 = 0 3. x = 0 = 0 x = 0 4. K y x E s e v e rific a( ) x ( )(= x = x) 5. 0 si x = y x = yx 0si x = x = 11. Subespacios vectoriales Sea (E,+,.K) un espacio vectorial. Se dice que un subconjunto L de E es un subespacio vectorial o variedad lineal de E si tiene a su vez estructura de espacio vectorial sobre K con las mismas operaciones definidas en E.En todo espacio vectorial E existen dos subespacios llamados impropios, son: L=E y L= 0 {} 12. Teorema de caracterizacin desubespacios vectorialesLas condiciones necesaria y suficiente para que un subconjunto, no vaco, L de un espacio vectorial E sea un subespacio vectorial, son:1. x, y L se verifica x + y L 2. x L K se verifica x L 13. Ejemplos de Subespacios Vectoriales1)Los conjuntos TS, TI de las matrices triangularessuperiores e inferiores de orden n son subespaciosvectoriales de Mn. 2) El conjunto de los polinomios de grado menor o igualque 2, P2(x), es un subespacio vectorial del espaciovectorial de los polinomios finitos P(x) .3) El conjunto de los pares ordenados de nmeros realescon la segunda coordenada igual a 1: {(x,1)/ xR} no esun subespacio vectorial de R2 ; ya que ni la suma ni elproducto por un escalar dan, en general, un vector conla segunda coordenada igual a 1 . 14. Operaciones con subespacios Dados dos subespacios L1, L2 de E definimos la suma de ambos como el conjunto formado por todos los vectores que se obtienen sumando uno cualquiera de L1 con uno cualquiera de L2, es decir:{L1 + L2 = x E x = x1 + x2 con x1 L1 , x2 L2 } Dados dos subespacios L1, L2 de E definimosla interseccin de ambos como el conjunto formado por todos los vectores que pertenecen a los dos. {L1 L2 = x Ex L1 y x L2 } 15. Propiedad L1+L2 y L1 L2 son subespacios vectoriales de E Observaciones L1 L2 no es subespacio vectorialL1+L2 es el subespacio vectorial ms pequeo que contiene a L1 L2 16. Subespacios suplementarios Dos subespacios L1, L2 decimos que son suplementarios cuando cualquier vector x E se puede descomponer de forma nica como suma de un vector de L1 ms otro de L2: ii x1 L1 y x2 L2 x E x = x1 + x2 Proposicin 1. L1, L2 son dos subespacios suplementarios {} si y slo si L1 +L2 = E y L1 L2 = 0 17. Proyecciones de un vector sobreun subespacio paralelamente a otro suplementario Sean L1, L2 dos subespacios suplementarios de ESea un vector cualquiera x E , entonces x = x1 + x2 con x1 L1 , x2 L2Al vector x1 se le llama proyeccin de xsobre L1 paralelamente a L2. 18. Dependencia e independencia lineal{ Sea H = u 1, u 2 , u n } un conjunto finito de vectores de E Se dice que un vector x E es combinacin lineal de los vectores anteriores o que depende linealmente de ellos si nxi x = xi u ii =1 19. Dependencia e independencia lineal{} Se dice que los vectores H = u 1, u 2 , u n son linealmenteindependientes o forman un sistema libre si la igualdadn 0 = xi u i xi = 0 i i =1 En caso contrario se dice que son linealmente dependientes o que forman un sistema ligado de vectores. 20. Propiedades de la dependencia lineal1)En ningn sistema libre figura el vector cero, es decir, que si en un sistema de vectores figura el vector cero entre ellos, entonces el sistema es ligado.2)Cualquier vector, considerado aisladamente, es linealmente independiente o constituye un sistema libre siempre que sea distinto de cero.3)La condicin necesaria y suficiente para que un conjunto de vectores sea linealmente dependiente es que al menos uno de ellos se pueda expresar como combinacin lineal de los dems.4)Dos vectores iguales constituyen siempre un sistema ligado.5)Cualquier conjunto de vectores que contenga a un sistema ligado es ligado.6)Cualquier subconjunto de un sistema libre es un sistema libre. 21. Sistema generador de un espacio vectorial { } un conjunto finito de vectores de E. Sean H = u iSe dice que H es un sistema generador de E si, x Enxi x = xi u ii =1 22. Base de un espacio vectorial{ } Sea B = u i un conjunto finito de vectores de E.Se dice que B es una base de E si cumple:1. B es un sistema libre 2. B es un sistema generador de E 23. { } Si B = u i es una base de E, x E se tiene:nx = xi u i i =1A las xi se le llaman coordenadas dex respecto de la base BA las xi ui E se le llaman componentes de x respecto de la base B 24. La expresin de x E respecto de la base B = u i { } nx = xi u ii =1La podemos escribir matricialmente, por: x1 x2 ( x = u1u2 un ) xn 25. Proposicin 2 Las coordenadas de un vector respecto de una base{ } B = u i son nicas.Demostracin: Supongamos dos coordenadas distintas ( xi ) y (x )*inn Tenemos que:x = i =1 xi u iyx = i =1x i* u i u i ( xi x ) u i = 0 nn n Luego: x u =xi =1 i i i =1 * i i =1*i x x = 0 i xi = x i i * i * i{} Ya que los ui son linealmente independientes. 26. Teorema de la base Todas las bases de un mismo espacio vectorial tienen el mismo nmero de vectores.Definicin Se llama dimensin de un espacio vectorial al nmero de vectores que tiene una base y se denota por: dim EBase cannica B = e i{ }(Donde: e i = 0 0 1 co lum n a i 0 ) 27. CAMBIO de BASE Consideremos dos base de un espacio vectorial E B = ui { } B* = vi { } Conocemos las coordenadas de un vector x E respecto de la base B, sean ( xi ) x1 x2 x = (u 1 u 2 u n ) xn 28. CAMBIO de BASE Y queremos calcular las coordenadas de x E respecto de la base B*, sean( xi* ) x 1* * x2 x = (v 1v 2 v n ) * xn Los vectores u i { } son combinacin lineal de {v } i 29. CAMBIO de BASE u 1 = a1 1 v 1 + a 2 1 v 2 + + a n 1 v n u 2 = a1 2 v 1 + a 2 2 v 2 + + a n 2 v n ...............................................u = a v + a v + + a v n 1n 1 2n 2n2 nExpresado matricialmente a11a12 a1 n a 21 a 22 a2 n (u 1 u2 ) ( u n = v1 v2 vn ) a an 2 a nn n1 30. CAMBIO de BASE A la matriz: a11a12 a1 n a 21 a 22 a2 n P= a an 2 a nn n1Se le llama matriz de paso de B a B*Conocida la matriz P podemos calcular las coordenadas( xi* ) 31. CAMBIO de BASEEn efecto: x1 x 1* * x2 x2 (u 1 u2 u n ) =(v 1 v 2 v n ) x* n xn De donde: x1 x 1* * x2 x2 (v 1v 2 v n ) P = (v1 v 2 v n ) xn * xn 32. CAMBIO de BASE Luego: x1 x 1* * x 2 x 2 P = x x * n n x 1* a11a12 a1n x1 * x2 a 21 a 22 a2n x2 = * a an2 a nn xn xn n1