Erg Asia 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΧΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική – ΠΛΗ20

Εργασία 4η

Αλγόριθμοι, Θεωρία Γραφημάτων

Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η περαιτέρω εξοικείωση με τις σημαντικότερες μεθόδους και ιδέες της Θεωρίας Γραφημάτων και μια επανάληψη των Αναδρομικών Αλγορίθμων. Η εργασία πρέπει να γραφεί ηλεκτρονικά και να σταλεί με e-mail στον Σύμβουλο Καθηγητή σας το αργότερο μέχρι την Παρασκευή 16 Μαρτίου 2007, ώρα 13:00.

Οδηγίες προς τους φοιτητές:

1. Προτού αποστείλετε την εργασία στο Σύμβουλο Καθηγητή σας, βεβαιωθείτε ότι έχετε συμπληρώσει το ειδικό έντυπο (ΕΝΤΥΠΟ Α) στην τελευταία σελίδα. Για να συμπληρώστε π.χ. το όνομα κάντε διπλό κλικ στο σκιασμένο μέρος <Όνομα> και στη φόρμα που θα εμφανιστεί, στη θέση του προεπιλεγμένου κειμένου, συμπληρώστε το όνομά σας. Επαναλάβετε την ίδια διαδικασία για κάθε σκιασμένο μέρος. Τα άλλα πεδία στην σελίδα 2 ενημερώνονται αυτόματα (αν μαρκάρετε όλο πλαίσιο της σελίδας 2 και πατήσετε F9)

2. Στο αρχείο αυτό πρέπει να προσθέσετε τις απαντήσεις σας στο χώρο κάτω από το εκάστοτε ερώτημα εκεί όπου περιέχεται η φράση:

<Χώρος Απάντησης (Ελεύθερος για διαμόρφωση από το φοιτητή)>

την οποία μπορείτε να σβήσετε. Μπορείτε να διαμορφώσετε το χώρο όπως επιθυμείτε, και δεν υπάρχει περιορισμός στο πόσο χώρο θα καταλάβει η απάντησή σας.

3. Η εργασία περιλαμβάνει 4 βαθμολογούμενα ερωτήματα (1-4), στα οποία πρέπει να απαντήσετε εγκαίρως και όπως περιγράφεται παραπάνω καθώς και 5 μη βαθμολογούμενα (5-9) τα οποία έχουν συμπεριληφθεί για εξάσκηση και τα οποία δεν πρέπει να στείλετε στον Σύμβουλο Καθηγητή σας. Και τα 9 ερωτήματα όμως συνιστούν την εργασία και θα πρέπει να αξιολογείτε σαν ικανοποιητική την κατανόηση της ύλης από μέρους σας αν μπορέσατε να απαντήσετε ικανοποιητικά στο σύνολο της εργασίας. Μια ενδεικτική σειρά ενασχόλησης με τα ερωτήματα (από το πρώτο στο τελευταίο) είναι η ακόλουθη: 1, 5, 6, 7, 2, 3, 8, 9, 4.


Ερώτημα 1: Αποτελεί εξάσκηση στη λειτουργία των αναδρομικών αλγορίθμων και στις επαγωγικές αποδείξεις.

Ερώτημα 2: Αποτελεί εξάσκηση στον τυπικό ορισμό απλών γραφοθεωρητικών ιδιοτήτων με χρήση της πρωτοβάθμιας γλώσσας και στην ερμηνεία προτάσεων της πρωτοβάθμιας γλώσσας σε κατευθυνόμενα γραφήματα.

Ερώτημα 3: Ελέγχει την κατανόηση των εννοιών της συνεκτικότητας, της συνεκτικής συνιστώσας, του κύκλου Euler, και του κύκλου Hamilton. Εισάγεται μια βασική έννοια στη συνεκτικότητα γραφημάτων, το σημείο άρθρωσης, και διερευνάται πως η ύπαρξη σημείων άρθρωσης σχετίζεται με την ύπαρξη κύκλου Euler και κύκλου Hamilton.

Ερώτημα 4: Αποτελεί εξάσκηση στις έννοιες της συνεκτικότητας, του κύκλου Euler, και του κύκλου Hamilton. Εισάγεται ένα βασικός μετασχηματισμός στη θεωρία γραφημάτων, η σύνθεση ενός γραφήματος με ένα άλλο γράφημα, και διερευνάται αν η σύνθεση δύο γραφημάτων διατηρεί κάποιες από τις ιδιότητες του πρώτου γραφήματος ανεξάρτητα από τη μορφή του δεύτερου γραφήματος. Πρέπει να μελετηθεί σε συνδυασμό με το Ερώτημα 9.

Ερώτημα 5: Ελέγχει την κατανόηση της έννοιας του βαθμού κορυφής και των περιορισμών στους οποίους υπόκεινται οι βαθμοί των κορυφών ενός απλού μη κατευθυνόμενου γραφήματος.

Ερώτημα 6: Αποτελεί εξάσκηση στις ιδιότητες μερικών απλών γραφημάτων. Ελέγχει την κατανόηση των εννοιών του συμπληρωματικού γραφήματος, του κύκλου Euler, και του κύκλου Hamilton.

Ερώτημα 7: Αποτελεί εξάσκηση στη μέτρηση των διαφορετικών υπογραφημάτων (συγκεκριμένου τύπου) που εμφανίζονται σε ένα γράφημα.

Ερώτημα 8: Εστιάζει στη σχέση του μέγιστου βαθμού και του χρωματικού αριθμού ενός γραφήματος. Αποτελεί εξάσκηση στη χρήση επαγωγικών αποδείξεων σε γραφήματα.


Ερώτημα 9: Ελέγχει την κατανόηση των εννοιών του k-μερούς γραφήματος, του κύκλου Euler, και κύκλου Hamilton. Συμπληρώνει το Ερώτημα 4 και καθοδηγεί στην επίλυση του.

4. Υπενθυμίζεται επιπλέον ότι η σωστή και αποτελεσματική μελέτη απαιτεί οπωσδήποτε και την επίλυση και άλλων ασκήσεων από το βοηθητικό υλικό. Σε αυτό μπορούν να σας βοηθήσουν και οι ακόλουθες ασκήσεις από αυτό το υλικό:

Προηγούμενες εργασίες: Εργασία 4 του ακαδημαϊκού έτους 2002/2003, Εργασία 2 των ακαδημαϊκών ετών 2003/2004 και 2004/2005, καθώς και Εργασία 4 του ακαδημαϊκού έτους 2005/2006.

Προηγούμενα θέματα τελικών εξετάσεων: Θέματα της θεωρίας γραφημάτων στις εξεταστικές περιόδους Ιουνίου 2003, Ιουνίου 2004, Ιουνίου 2005, Ιουνίου 2006 και Ιουλίου 2003, Ιουλίου 2004, Ιουλίου 2005, Ιουλίου 2006. Ειδικότερα, να μελετήσετε προσεκτικά το Ερώτημα 4 στις εξετάσεις Ιουνίου 2004, το Ερώτημα 4 στις εξετάσεις Ιουλίου 2004, τα Ερωτήματα 3, 5 και 7.i στις εξετάσεις Ιουνίου 2005, το Ερώτημα 3 στις εξετάσεις Ιουλίου 2005, το Ερώτημα 2 στις εξετάσεις Ιουνίου 2006, και τα Ερωτήματα 2.β και 4 στις εξετάσεις Ιουλίου 2006.


ΔΕΛΤΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

Το έντυπο αυτό που συμπληρώνεται και υπογράφεται από τον καθηγητή – σύμβουλο για κάθε γραπτή εργασία, αποστέλλεται στο φοιτητή μαζί με α) αντίγραφο της διορθωμένης εργασίας και β) ξεχωριστό φύλλο με Σχόλια προς τον Φοιτητή. Αντίγραφο του Δελτίου Αξιολόγησης και των Σχολίων στέλνεται και στο Ε.Α.Π. Επίσης, ο καθηγητής κρατά για το δικό του αρχείο: α) την διορθωμένη εργασία και β) το φύλλο με τα Σχόλια.

Σε περίπτωση που υπήρξε καθυστέρηση μεγαλύτερη των 7 ημερών για την παράδοση της γραπτής εργασίας, επισυνάπτεται το γραπτό σημείωμα του Συντονιστή της Θ.Ε.

Ονοματεπώνυμο Φοιτητή<Όνομα> <Επώνυμο>

Προσωπικός Αριθμός Φοιτητή<ΑΜ>

Ημερομηνία Αποστολής της Εργασίας από το Φοιτητή

Ημερομηνία Αποστολής Εργασίας στο Φοιτητή

Βαθμολογία0

Υπογραφή Καθηγητή

Ονοματεπώνυμο Καθηγητή

ΣχολήΘετικών Επιστημών και Τεχνολογίας

Θεματική ΕνότηταΔιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική

Λογική

Κωδικός Θεματικής ΕνότηταςΠΛΗ 20

Αύξων Αριθμός Γραπτής Εργασίας 4η

Ακαδημαϊκό έτος

2006-2007


Κ Ρ Ι Τ Η Ρ Ι Α Α Ξ Ι Ο Λ Ο Γ Η Σ Η Σ

Ερώτημα Μέγιστος βαθμός Βαθμός

1 25

2 20

3 25

4 30

Συνολικός Βαθμός: 100 0

Γενικά Σχόλια:

<γενικά σχόλια για την εργασία από το Σύμβουλο-Καθηγητή>


Ε ρ ω τ ή μ α τ α

Ερώτημα 1.

Δίνεται ο παρακάτω αναδρομικός αλγόριθμος σε ψευδο-κώδικα:

procedure fun(x, n)if n = 1 then return(x);y = fun(x, [n / 2]);if (n περιττός) then

(1) return(y * y * x);else

(2) return(y * y );

Η διαδικασία fun(x, n) δέχεται σαν είσοδο έναν θετικό πραγματικό αριθμό x και έναν θετικό ακέραιο αριθμό n, και επιστρέφει σαν έξοδο έναν θετικό πραγματικό αριθμό. Το [n / 2] συμβολίζει το κάτω ακέραιο μέρος της διαίρεσης n δια 2, π.χ. [9 / 2] = 4, [6 / 2] = 3.

1. Να εκτελεστούν όλα τα βήματα της κλήσης fun(2, 14).

2. Ποια λειτουργία επιτελεί η διαδικασία fun(x, n) (δηλαδή, πως σχετίζεται ο αριθμός που επιστρέφει η fun με τα x και n); Να αποδείξετε τον ισχυρισμό σας με μαθηματική επαγωγή.

3. Έστω M( n ) ο συνολικός αριθμός των πολλαπλασιασμών που εκτελού-νται από την κλήση fun(x, n) (και όλες τις αναδρομικές κλήσεις που αυτή προκαλεί) στα βήματα (1) και (2). Χρησιμοποιώντας μαθηματική επαγωγή στο n, να δείξετε ότι για κάθε n ≥ 1, M(n) ≤ 2 log2 n.


Αξιολόγηση Ερωτήματος

Σχόλια Σύμβουλου Καθηγητή:

<σχόλια>

<Όνομα> <Επώνυμο>, 2η εργασία, ΠΛΗ 20 [ ] 1


Αξιολόγηση Ερωτήματος : / 25

Ερώτημα 2.

Θεωρούμε μια πρωτοβάθμια γλώσσα που περιέχει ένα διμελές κατηγορηματικό σύμβολο P. Ερμηνεύουμε τη γλώσσα αυτή σε κατευθυνόμενα γραφήματα που μπορεί να έχουν ανακυκλώσεις αλλά όχι παράλληλες ακμές (σημείωση: οι ακμές (a, b) και (b, a) δεν θεωρούνται παράλληλες γιατί έχουν αντίθετη φορά). Συγκεκριμένα, οι μεταβλητές ερμηνεύονται ως κορυφές των γραφημάτων και το σύμβολο P με τη σχέση που αποτελείται από όλα τα ζευγάρια κορυφών (a, b) για τα οποία υπάρχει ακμή που συνδέει την a με τη b.

1. Γράψτε μια πρόταση στην κατηγορηματική λογική που εκφράζει ότι:

α) «Καμία κορυφή του γραφήματος δεν έχει ακμή προς όλες τις υπόλοιπες κορυφές».

β) «Το γράφημα δεν έχει απλούς κύκλους μήκους 3» (υπενθυμίζεται ότι σε ένα απλό κύκλο δεν υπάρχουν επαναλαμβανόμενες κορυφές).

γ) «Ο ελάχιστος προς-τα-έξω βαθμός του γραφήματος είναι ίσος με 2» (ο ελάχιστος προς-τα-έξω βαθμός ενός κατευθυνόμενου γραφήματος είναι ο μικρότερος προς-τα-έξω βαθμός κάποιας κορυφής του).

δ) «Ο μέγιστος προς-τα-έσω βαθμός του γραφήματος είναι ίσος με 2» (ο μέγιστος προς-τα-έσω βαθμός ενός κατευθυνόμενου γραφήματος είναι ο μεγαλύτερος προς-τα-έσω βαθμός κάποιας κορυφής του).

2. Αναφορικά με τη συγκεκριμένη ερμηνεία, εξηγείστε τι εκφράζει η καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις:

α) x y P(x, y) x y P(x, y)

β) x (y P(x, y) y P(x, y))

γ) x y (x y P(x, y) z (P(x, z) → (z = y z = x)))

δ) x y z (x y y z x z P(x, y) P(y, z) P(z, x))



3. Να κατασκευάσετε ένα γράφημα με τουλάχιστον 4 κορυφές για καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις:

α) Αληθεύει η πρόταση (2.β) και δεν αληθεύει η πρόταση (2.α).

β) Αληθεύει η πρόταση (2.γ) και δεν αληθεύει η πρόταση (2.δ).




<σχόλια>


Ερώτημα 3.

Μια κορυφή ενός συνεκτικού (συνδεόμενου) μη κατευθυνόμενου γραφήματος ονομάζεται σημείο άρθρωσης (ή σημείο κοπής) αν το γράφημα που προκύπτει από την αφαίρεση αυτής της κορυφής και όλων των ακμών που προσπίπτουν σε αυτή δεν είναι συνεκτικό, π.χ. στο διπλανό γράφημα, η κορυφή u είναι σημείο άρθρωσης ενώ όλες οι υπόλοιπες κορυφές δεν είναι.

1. (α) Να δείξετε ότι ένα γράφημα με κύκλο Hamilton δεν έχει σημεία άρθρωσης.

(β) Ποιος είναι ο ελάχιστος βαθμός μιας κορυφής που αποτελεί σημείο άρθρωσης σε ένα γράφημα με κύκλο Euler; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

<Όνομα> <Επώνυμο>, 2η εργασία, ΠΛΗ 20 [ ]

u

3


2. Έστω απλό μη κατευθυνόμενο γράφημα G με n ≥ 5 κορυφές που έχει κύκλο Euler και ένα σημείο άρθρωσης (π.χ. το γράφημα του σχήματος είναι ένα τέτοιο γράφημα με n = 5 κορυφές). Αν το n είναι περιττός αριθμός, ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός ακμών που μπορεί να έχει το G; Υπόδειξη: Δείτε το Ερώτημα 2.1, 2η Εργασία 2003-2004, και το Ερώτημα 7, 4η Εργασία 2005-2006.




<σχόλια>


Ερώτημα 4.

Έστω δύο απλά μη κατευθυνόμενα γραφήματα G1(V1, E1) και G2(V2, E2) με σύνολα κορυφών V1, V2 και σύνολα ακμών E1, E2 αντίστοιχα. Το γράφημα που προκύπτει από τη σύνθεση των G1 και G2 συμβολίζεται με G1[G2] και ορίζεται ως εξής:

(α) Η σύνθεση G1[G2] περιέχει μια κορυφή για κάθε διατεταγμένο ζεύγος κορυφών του V1 × V2. Τυπικά,

V(G1[G2]) = V1 × V2 = { (u, v): u V1, v V2 }.

(β) Δύο κορυφές (u1, v1) και (u2, v2) της σύνθεσης G1[G2] συνδέονται με ακμή αν είτε οι κορυφές u1 και u2 συνδέονται με ακμή στο G1, είτε οι κορυφές u1 και u2 ταυτίζονται και οι κορυφές v1 και v2 συνδέονται με ακμή στο G2. Τυπικά,

E(G1[G2]) = { {(u1, v1), (u2, v2)}: {u1, u2} E1 και v1, v2 V2 } { {(u, v1), (u, v2)}: u V1 και {v1, v2} E2 }.



Δηλαδή στη σύνθεση G1[G2], κάθε κορυφή του G1 «αντικαθίσταται» από ένα αντίγραφο του γραφήματος G2. Όταν δύο κορυφές u1, u2 του G1

συνδέονται με ακμή, όλες οι κορυφές στο αντίγραφο του G2 που αντιστοιχεί στη u1 συνδέονται με όλες τις κορυφές στο αντίγραφο του G2

που αντιστοιχεί στη u2. Ένα παράδειγμα σύνθεσης γραφημάτων φαίνεται στο παρακάτω σχήμα (επίσης βλ. Ερώτημα 8, 2η Εργασία 2003-2004).

1. Να δείξετε ότι αν το γράφημα G1 έχει τουλάχιστον δύο κορυφές και είναι συνεκτικό (συνδεόμενο), η σύνθεση G1[G2] είναι συνεκτικό γράφημα για κάθε γράφημα G2.

2. Να δείξετε ότι αν το γράφημα G1 έχει κύκλο Hamilton, η σύνθεση G1[G2] έχει κύκλο Hamilton για κάθε γράφημα G2.

3. Να βρείτε γραφήματα G1 και G2 ώστε το G1 να έχει κύκλο Euler αλλά η σύνθεση G1[G2] να μην έχει κύκλο Euler.




<σχόλια>


Ερώτημα 5.

<Όνομα> <Επώνυμο>, 2η εργασία, ΠΛΗ 20 [ ]

G2(V2, E2) G1[G2]

G1(V1, E1)

u1 u2

v1

v3

v2

(u1, v1)

(u1, v2)

(u2, v1)

(u2, v2)

(u2, v3)(u1, v3)

5


Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει απλό μη κατευθυνόμενο γράφημα με:

(α) 8 κορυφές εκ των οποίων 1 έχει βαθμό 2, 2 έχουν βαθμό 3, 4 έχουν βαθμό 4, και 1 έχει βαθμό 5.

(β) 6 κορυφές εκ των οποίων 2 έχουν βαθμό 2, 2 έχουν βαθμό 3, 1 έχει βαθμό 4, και 1 έχει βαθμό 6.

(γ) 5 κορυφές εκ των οποίων 1 έχει βαθμό 2 και 4 έχουν βαθμό 4.

(δ) 9 κορυφές εκ των οποίων 1 έχει βαθμό 1, 2 έχουν βαθμό 3, 2 έχουν βαθμό 4, 1 έχει βαθμό 5, 1 έχει βαθμό 6, και 2 έχουν βαθμό 8.




<σχόλια>

Ερώτημα 6.

Θεωρούμε τα γραφήματα Kn (πλήρες γράφημα n κορυφών), Cn (απλός κύκλος με n κορυφές), (συμπληρωματικό γράφημα απλού κύκλου με n κορυφές), Wn (τροχός τάξης n), (συμπληρωματι-κό γράφημα τροχού τάξης n). Ο τροχός τάξης n αποτελείται από έναν απλό κύκλο με n κορυφές και μία ακόμη κορυφή που συνδέεται με όλες τις κορυφές του κύκλου (π.χ. ο τροχός τάξης 8 απεικονίζεται στο διπλανό σχήμα).

(α) Για ποιες τιμές του n τα παραπάνω γραφήματα έχουν κύκλο Euler;

(β) Για ποιες τιμές του n τα παραπάνω γραφήματα έχουν κύκλο Hamilton;



Υπόδειξη: Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την ακόλουθη πρόταση, που είναι γνωστή σαν Θεώρημα του Dirac: Έστω G(V, E) απλό μη κατευθυνόμενο γράφημα με n κορυφές. Αν όλες οι κορυφές του G έχουν βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του n / 2, το G έχει κύκλο Hamilton.




<σχόλια>

Ερώτημα 7.

Θεωρούμε ένα πλήρες απλό μη κατευθυνόμενο γράφημα με n διακεκρι-μένες κορυφές.

(α) Ποιος είναι ο αριθμός των διαφορετικών κύκλων Hamilton στο πλήρες γράφημα; Ποιος είναι ο αριθμός των διαφορετικών κύκλων Hamilton στο γράφημα που προκύπτει αφαιρώντας μία ακμή από το πλήρες γράφημα;

(β) Ποιος είναι ο αριθμός των διαφορετικών απλών κύκλων στο πλήρες γράφημα; Υπενθυμίζεται ότι σε έναν απλό κύκλο δεν υπάρχουν επαναλαμβανόμενες κορυφές και ότι δύο κύκλοι είναι διαφορετικοί αν διαφέρουν σε μία τουλάχιστον ακμή.




<σχόλια>



Ερώτημα 8.

Ένας (γραφοθεωρητικά έγκυρος) χρωματισμός ενός γραφήματος είναι μία ανάθεση χρωμάτων στις κορυφές του γραφήματος ώστε κάθε ζεύγος κορυφών που συνδέεται με ακμή να έχει διαφορετικά χρώματα (βλ. επίσης τον ορισμό του χρωματικού αριθμού, σελ. 23, Μαυρονικόλας). Ο μέγιστος βαθμός ενός μη κατευθυνόμενου γραφήματος είναι ο μεγαλύτερος βαθμός κάποιας κορυφής του (βλ. Ορισμό 1.24, σελ. 69, Μαυρονικόλας).

Χρησιμοποιώντας μαθηματική επαγωγή στον αριθμό των κορυφών, να δείξετε ότι για κάθε μη κατευθυνόμενο γράφημα μέγιστου βαθμού Δ, υπάρχει (γραφοθεωρητικά έγκυρος) χρωματισμός με όχι περισσότερα από Δ+1 διαφορετικά χρώματα.



<σχόλια>

Ερώτημα 9.

Ένα γράφημα καλείται τριμερές αν οι κορυφές του μπορούν να διαμεριστούν σε τρία σύνολα ανεξαρτησίας. Το Κn,n,n είναι το τριμερές γράφημα στο οποίο κάθε σύνολο ανεξαρτησίας έχει n κορυφές και κάθε κορυφή συνδέεται με όλες τις κορυφές που ανήκουν σε διαφορετικό σύνολο ανεξαρτησίας.

(α) Να δείξετε ότι το Κn,n,n έχει κύκλο Hamilton. Υπόδειξη: Δείτε το Ερώτημα 4, Εξετάσεις Ιουνίου 2004.

(β) Να δείξετε ότι το Κn,n,n έχει κύκλο Euler.



(γ) Να εκφράσετε το Κn,n,n ως σύνθεση δύο απλούστερων γραφημάτων (βλ. ερώτημα 4 για τον ορισμό της σύνθεσης γραφημάτων).




<σχόλια>


ΕΝΤΥΠΟ Α

ΣΥΝΟΔΕΥΤΙΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ

Το έντυπο αυτό το συμπληρώνετε και το στέλνετε μαζί με τη γραπτή εργασία σας στον Καθηγητή – Σύμβουλο.

Θυμηθείτε ότι θα πρέπει να κρατήσετε φωτοτυπία της γραπτής εργασίας σας.

< Συμπληρώστε τα στοιχεία σας μέσα στα σκιασμένα μέρη >

Συμπληρώνεται από το φοιτητή(-τρια)

Στοιχεία Φοιτητή (-τριας)Όνομα: <Όνομα>

Επώνυμο: <Επώνυμο>

Αριθμός Μητρώου Φοιτητή: <ΑΜ>

Διεύθυνση Επικοινωνίας:

Οδός / Αριθμός:

Περιοχή:

Πόλη:

Ταχ. Κώδικας:

Νομός:

Τηλέφωνο:

Fax:

e-mail:

ΣΧΟΛΗ

Πληροφορικής

ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ

Διακριτά Μαθηματικά και

Μαθηματική Λογική (ΠΛΗ20)

ΚΩΔΙΚΟΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ

ΑΥΞΩΝ ΑΡΙΘΜΟΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

4η

Ακαδημαϊκό έτος:

2006-2007

Ημερομηνία Αποστολής:

Erg Asia 4

Documents

Transcript of Erg Asia 4