ERANSKINAK · 481 Astroa Ikurra Masa Erradioa Eguzkia ⊙ 1.989× 1030 kg 696 000. km (ekuatoriala)...

ERANSKINAK

477

478 ERANSKINAK

A ERANSKINA

Datu-taulak

Konstantea[35] Ikurra Balioa (unitateak)

Argiaren abiadura hutsean1 c 299 792 458 m s−1

Hutsaren iragazkortasuna µ0 4π × 10−7 =

12.566 370 . . .× 10−7 N A−2

Hutsaren permitibitatea ǫ0 1/µ0c2 =

8.854 187 . . .× 10−12 F m−1

Grabitate-azelerazio estandarra g 9.806 65 m s−2

Newton-en grabitazio-konstantea G 6.67 × 10−11 m3 kg−1 s−2

Planck-en konstantea h 6.626 069 × 10−34 J s

4.135 667 × 10−15 eV s

(laburtua) h/2π h 1.054 572 × 10−34 J s

6.582 119 × 10−16 eV s

Oinarrizko karga e 1.602 176 × 10−19 C

Compton uhin-luzera= h/mec λC 2.426 310 × 10−12 m

Avogadro-ren konstantea NA 6.022 142 × 1023 mol−1

Boltzmann-en konstantea k 1.380 650 × 10−23 J K−1

8.617 342 × 10−5 eV K−1

gasen konstante molarra= kNA R 8.314 472 J mol−1 K−1

Masa atomikoaren unitatea u 1.660 539 × 10−27 kg

mu = 112m(12C) = 10−3kg mol−1/NA mu c

2 1.492 418 × 10−10 J

A.1 TAULA Konstante fisikoak.

1Lehenengo lau konstante hauek zehatzak dira (zergatik?).

479

480 A Datu-taulak

Partikula [34] Ikurra Masa:m Energia: mc2

Elektroia e− 9.109 382 × 10−31 kg 8.187 104 × 10−14 J

5.485 799 × 10−4 u 0.510 999 MeV

Muoia µ− 1.883 531 × 10−28 kg 1.692 833 × 10−11 J

0.113 429 u 105.658 MeV

Tau partikula τ− 3.168 × 10−27 kg 2.847 × 10−10 J

1.908 u 1 777.0 MeV

π0 pioia π0 2.406 × 10−28 kg 2.163 × 10−11 J

0.145 u 134.98 MeV

π± pioiak π± 2.488 × 10−28 kg 2.236 × 10−11 J

0.150 u 139.57 MeV

K0 mesoia K0 8.872 × 10−28 kg 7.974 × 10−11 J

0.534 u 497.67 MeV

K± mesoiak K± 8.801 × 10−28 kg 7.910 × 10−11 J

0.530 u 493.68 MeV

Protoia p = 11H 1.672 622 × 10−27 kg 1.503 277 × 10−10 J

1.007 276 u 938.272 MeV

Neutroia n 1.674 927 × 10−27 kg 1.505 349 × 10−10 J

1.008 665 u 939.565 MeV

Alfa partikula α = 42He 6.644 656 × 10−27 kg 5.971 919 × 10−10 J

4.001 506 u 3 727.379 MeV

A.2 TAULA Partikula batzuen masak eta pausaguneko energiak.

Izena Balioa Oharrak

Ordua 1 h = 3600 s

Egun siderala 1 d = 23h 56m 04s. 090 53

Urte tropikala 1 a = 31 556 925.2 s Ekinoziotik ekinoziora (1994);

yr ikurra ere erabiltzen da

Urte siderala 31 558 149.8 s Izar tinkotik izar tinkora (1994)

Unitate astronomikoa 1 ua= 1.495 978 707 × 1011 m AU ikurra ere erabiltzen da

Parseca 1 pc = 3.085 677 580 × 1016 m

A.3 TAULA Denbora- eta astronomia-unitateak.

481

Astroa Ikurra Masa Erradioa

Eguzkia ⊙ 1.989 × 1030 kg 696 000. km (ekuatoriala)

Merkurio ' 0.330 2 × 1024 kg 2 440. km (batez bestekoa)

Artizarra 4.868 5 × 1024 kg 6 051.84 km (batez bestekoa)

Lurra ⊕ 5.974 × 1024 kg 6 378.14 km (ekuatoriala)

Martitz 0.641 85 × 1024 kg 3 389.92 km (batez bestekoa)

Jupiter X 1 898.6 × 1024 kg 69 911. km (batez bestekoa)

Saturno Y 568.46 × 1024 kg 58 232. km (batez bestekoa)

Urano Z 86.832 × 1024 kg 25 362. km (batez bestekoa)

Neptuno [ 102.43 × 1024 kg 24 624. km (batez bestekoa)

Pluton \ 0.015 × 1024 kg 1 151. km (batez bestekoa)

Ilargia $ 0.07349× 1024 kg 1 737.4 km (ekuatoriala eta batez bestekoa)

A.4 TAULA Astro batzuen ezaugarri fisikoak.

Astroa Ardatzerdi Eszentrikotasuna Translazio- Biraketa-

nagusia -periodoa -periodoa

Merkurio 0.387 098 93 ua 0.205 630 69 0.240 844 5 a 1407.509 h

Artizarra 0.723 331 99 ua 0.006 773 23 0.615 182 6 a −5 832.444 h

Lurra 1.000 000 11 ua 0.016 710 22 0.999 978 6 a 23.934 19 h

Martitz 1.523 662 31 ua 0.093 412 33 1.880 711 05 a 24.622 962 h

Jupiter 5.203 363 01 ua 0.048 392 66 11.856 523 a 9.924 25 h

Saturno 9.537 070 32 ua 0.054 150 60 29.423 519 a 10.656 22 h

Urano 19.191 263 93 ua 0.047 167 71 83.747 407 a 17.24 h

Neptuno 30.068 963 48 ua 0.008 585 87 163.723 21 a 16.11 h

Pluton 39.481 686 77 ua 0.248 807 66 248.020 8 a 153.28 h

Ilargia 3.844 × 105 km 0.054 9 27.321 7 d 655.728 h

A.5 TAULA Astro batzuen orbita-parametroak.

482 A Datu-taulak

Solidoa Momentu nagusiak

EraztunaIx = Iy = 1

2mr2

Iz = mr2

DiskoaIx = Iy = 1

4mr2

Iz = 12mr2

Zilindro beteaIx = Iy = 1

12m (3r2 + l2)

Iz = 12mr2

HagatxoaIx = Iy = 1

12ml2

Iz = 0

Xafla angeluzuzena

Ix = 112mb2

Iy = 112ma2

Iz = 112m (a2 + b2)

Prisma zuzen betea

Ix = 112m (b2 + c2)

Iy = 112m (a2 + c2)

Iz = 112m (a2 + b2)

Esfera hutsa (α = 1/3)

Esfera betea (α = 1/5)Ix = Iy = Iz = 2αmr2

Elipsoide hutsa (α = 1/3)

Elipsoide betea (α = 1/5)

Ix = αm (b2 + c2)

Iy = αm (a2 + c2)

Iz = αm (a2 + b2)

A.6 TAULA Solido homogeneo batzuen masa-zentroarekiko inertzia-momentu nagusiak.

483

Kolorea λ (nm) ν (THz)

Morea 390–455 769–659

Urdina 455–492 659–610

Berdea 492–577 610–520

Horia 577–597 520–503

Laranja 597–622 503–482

Gorria 622–780 482–384

A.7 TAULA Koloreak batez besteko pertsonarentzat.

Materiala n

Airea 1.00029

Alkohola (20C) 1.36

«Crown» beira 1.52

Diamantea 2.42

«Flint» beira 1.65

Izotza 1.31

Kuartzoa 1.51

Sodio likidoa 4.22

Ura (25C) 1.33

A.8 TAULA Zenbait errefrakzio-indizeen batez besteko balioak espektro ikusgaian.

484 A Datu-taulak

Materiala ρ Y B τt τk

103 kg/m3 GPa GPa MPa MPa

Altzairua 7.8 200 160 520 520

Aluminioa 2.7 70 76 90

Beira 2.4–2.8 55 31

Beruna 11.3 16 8 12

Burdina 7.9 91 90

(forjatua) 193 390

Diamantea 1120 540

Egurra (haritza) 0.6–0.9

(zuntzen norabidean) 10

(norabide perpendikularrean) 1

Hezurra 1.7–2.0

(trakzioan) 16 200

(konpresioan) 9 270

Hormigoia 23 2 17

Izotza 0.92 14 8

Kautxua 0.95 14

Kobrea 8.9 116 140

Letoia 8.6 90 61 370

Platinoa 21.4 167 230

Tungstenoa 19.3 411 310

Urrea 19.3 78 220

Zilarra 10.5 83 100

A.9 TAULA Zenbait solidoren dentsitatea, Young-en modulua, bolumen-modulua, trak-zioarekiko erresistentzia eta konpresioarekiko erresistentzia (balio adierazgarriak).

485

Fluidoa ρ B T η γ v

kg/m3 GPa C mPa s mN/m m/s

Airea 1.293 10−4 0 331.45

20 0.018 343.37

Alkohol etilikoa 0.81 × 103 0.9 20 1.1 22.3

Glizerina 1.26 × 103 4.8 0 10 000

20 1 410 63.1

60 81

Merkurioa 13.6 × 103 27.0 20 465.0 1 450

Ura 1.00 × 103 2.2 0 1.8 75.6

(itsas ura) 1.025 × 103 20 1.0 72.8 1 480

60 0.65 66.2

A.10 TAULA Zenbait fluidoren dentsitatea, bolumen-modulua, likatasun-koefizientea,gainazal-tentsioa eta soinuaren abiadura.

n zn1 zn2 zn3 zn4 zn5

0 2.40483 5.52008 8.65373 11.7915 14.9309

1 3.83171 7.01559 10.1735 13.3237 16.4706

2 5.13562 8.41724 11.6198 14.796 17.9598

3 6.38016 9.76102 13.0152 16.2235 19.4094

4 7.58834 11.0647 14.3725 17.616 20.8269

5 8.77148 12.3386 15.7002 18.9801 22.2178

A.11 TAULA Bessel-en funtzio batzuen lehenengo zeroak:Jn (znm) = 0.

486 A Datu-taulak

Ordena Posizio zehatza Posizio hurbildua Balio zehatza Balio hurbildua

m αm = tanαm (2m+ 1)π/2 (sinαm/αm)2 4/(2m+ 1)2π2

0 0 — 1 —

1 4.49341 4.71239 0.0471904 0.0450316

2 7.72525 7.85398 0.0164800 0.0162114

3 10.9041 10.9956 0.00834029 0.00827112

4 14.0662 14.1372 0.00502872 0.00500352

5 17.2208 17.2788 0.00336073 0.00334946

6 20.3713 20.4204 0.00240390 0.00239813

7 23.5195 23.5619 0.00180452 0.00180127

8 26.6661 26.7035 0.00140434 0.00140237

9 29.8116 29.8451 0.00112393 0.00112267

10 32.9564 32.9867 0.00091986 0.00091901

A.12 TAULA (sinα/α)2 funtzioaren maximoak. (ikus9.17.1atala).

B ERANSKINA

Osagarri matematikoak

B.1 Koordenatu-sistema erabilienak

B.1.1 Koordenatu cartesiarrak

Posizioa: r = x i + y j + z k.

Oinarria: i =∂r

∂x, j =

∂r

∂y, k =

∂r

∂z, i · j = j · k = k · i = 0, i× j = k.

Arkua: dr = dx i + dy j + dz k, ds =√

dx2 + dy2 + dz2.

Bolumena: dV = dx dy dz.

Abiadura: r = x i + y j + z k, r2 = x2 + y2 + z2.

Transformazioak:

x = ρ cos ϕ;y = ρ sin ϕ;z = z.

x = r sin θ cos ϕ;y = r sin θ sin ϕ;z = r cos θ.

B.1 TAULA Koordenatu cartesiarrak.

B.1 IRUDIA Koordenatu cartesiarrak.

487

488 B Osagarri matematikoak

B.1.2 Koordenatu polar zilindrikoak

Posizioa: r = ρ ρ + z k.

Oinarria: ρ =∂r

∂ρ, ϕ =

1

ρ

∂r

∂ϕ, k =

∂r

∂z, ρ · ϕ = ϕ · k = k · ρ = 0, ρ × ϕ = k.

Arkua: dr = dρ ρ + ρ dϕ ϕ + dz k, ds =√

dρ2 + ρ2 dϕ2 + dz2.

Bolumena: dV = ρ dρ dϕdz.

Abiadura: r = ρ ρ + ρϕ ϕ + z k, r2 = ρ2 + ρ2ϕ2 + z2.

Transformazioak:

ρ =√

x2 + y2;

ϕ = arctany

x;

z = z.

ρ = r sin θ;ϕ = ϕ;z = r cos θ.

B.2 TAULA Koordenatu polar zilindrikoak.

B.2 IRUDIA Koordenatu polar zilindrikoak.

B.1 ARIKETA Froga ezazu koordenatu zilindrikoek definituriko bektore unitarioak

ρ = cosϕ i + sin ϕ j, (B.1)

ϕ = − sinϕ i + cosϕ j, (B.2)

k = k (B.3)

moduan idazten direlai, j,k oinarrian eta egiaztatu euren propietateak.

B.2 ARIKETA Frogatu honela idazten dela azelerazioa koordenatu zilindrikoetan:

r =(

ρ − ρϕ2)

ρ + (ρϕ + 2ρϕ) ϕ + z k. (B.4)

B.1 Koordenatu-sistema erabilienak 489

B.1.3 Koordenatu polar esferikoak

Posizioa: r = r r.

Oinarria: r =∂r

∂r, θ =

1

r

∂r

∂θ, ϕ =

1

r sin θ

∂r

∂ϕ, r · θ = θ · ϕ = ϕ · r = 0, r × θ = ϕ.

Arkua: dr = dr r + r dθ θ + r sin θ dϕ ϕ, ds =√

dr2 + r2(

dθ2 + sin2 θ dϕ2)

.

Bolumena: dV = r2 sin θ dr dθ dϕ.

Abiadura: r = r r + rθ θ + r sin θ ϕ ϕ, r2 = r2 + r2(

θ2 + sin2 θ ϕ2)

.

Transformazioak:

r =√

x2 + y2 + z2;

θ = arctan

√

x2 + y2

z;

ϕ = arctany

x.

r =√

ρ2 + z2;

θ = arctanρ

z;

ϕ = ϕ.

B.3 TAULA Koordenatu polar esferikoak.

B.3 IRUDIA Koordenatu polar esferikoak.

B.3 ARIKETA Froga ezazu koordenatu esferikoek definitzen dituzten bektore unitarioak

r = sin θ (cosϕ i + sin ϕ j) + cos θ k, (B.5)

θ = cos θ (cosϕ i + sinϕ j) − sin θ k, (B.6)

ϕ = − sinϕ i + cosϕ j (B.7)

moduan idazten direlai, j,k oinarrian eta egiaztatu euren propietateak.

B.4 ARIKETA Frogatu honela idazten dela azelerazioa koordenatu esferikoetan:

r =(

r − r θ2 − r ϕ2 sin2 θ)

r +(

r θ + 2r θ − r ϕ2 sin θ cos θ)

θ +(

r ϕ sin θ + 2r ϕ sin θ + 2r θ ϕ cos θ)

ϕ. (B.8)


B.2 Eremu bektorialak

Fisikan «eremu» hitzarekin espazioko (eskualde bateko) puntu guztietan definituriko mag-nitudea adierazten da. Magnitudearen arabera eremua eskalarra, bektoriala edo tentsoriala izandaiteke. Eremu eskalarren artean, indar kontserbatzaileen energia potentziala, potentzial grabita-torioa eta elektrostatikoa, eta ingurune jarraitu baten tenperatura eta presioa aipa daitezke. Ere-mu bektorial ezagun batzuk hauexek dira: eremu grabitatorioa, eremu elektrikoa eta magneti-koa, deformazio- eta abiadura-eremuak, eta abar. Eremu tentsorialen artean ingurune jarraituendeformazio- eta esfortzu-tentsoreak ditugu. Oro har, eremuak posizioaren eta denboraren men-pekoak izan arren, notazioa laburtzeko eranskin honetan posizioarekiko menpekotasuna bakarrikadieraziko da esplizituki.

Eremu diferentzialen zenbait propietate bilduko ditugu hemen, beste ataletan erreferentziamoduan erabiltzeko. Emaitzen frogapenak, fisikarientzakometodo matematikoei buruzko libu-ruetan aurki daitezke (ikus, adibidez, [39]).

B.2.1 Nabla eragilea

Koordenatu cartesiarretan

∇ ≡ ∂

∂r=

∂

∂xi +

∂

∂yj +

∂

∂zk (B.9)

moduan definitzen den eragile diferentziala, «nabla» izenaz ezagutzen da.

B.2.2 Gradientea

Φ(r) eremu eskalar bati nabla eragilea aplikatzean,Φ-ren gradientea deitzen den eremu bek-toriala lortzen da:

∇Φ =∂Φ

∂xi +

∂Φ

∂yj +

∂Φ

∂zk. (B.10)

B.5 ARIKETA Egiaztatu ondoko emaitza erabilgarria:

∇f(r) =df

dr

r

r. (B.11)

(Gogoratu1.15ariketa eta (1.84) kalkulua.)

r puntuakdr aldaketa infinitesimala pairatzen duenean, Taylor-en garapenak ematen duΦ-renaldaketa:

dΦ = Φ(r + dr) − Φ(r) =∂Φ

∂xdx+

∂Φ

∂ydy +

∂Φ

∂zdz = ∇Φ · dr. (B.12)

Emaitza honetatik ondorio interesgarriak lortzen dira. Hasteko, biderketa eskalarraren propieta-teak gogoratuz, argi dagodΦ-ren baliorik maximoa∇Φ etadr norabide eta noranzko berekoakdirenean lortzen dela, eta orduan hauxe dugula:

dΦmax = |∇Φ||dr|. (B.13)

Ondorioz, eremu eskalar baten gradientearen norabidea aldaketa azkarrenarena da, noranzkoahanditzearena, eta modulua luzera-unitateko aldaketa maximoaren berdina.

B.2 Eremu bektorialak 491

B.4 IRUDIA Integrazio-bide irekia eta itxia.

Gradiente baten bi punturen arteko lerro-integrala ez da bidearen menpekoa, muturren funtziohutsa baizik:

∫ 2

1∇Φ · dr =

∫ 2

1dΦ = Φ2 − Φ1. (B.14)

Arrazoi beragatik gradiente batenzirkulazioa, hau da lerro itxi batean barrena duen lerro-inte-grala nulua da beti:

∮

C∇Φ · dr = 0. (B.15)

B.6 ARIKETA Froga itzazu gradientea honela kalkulatzen dela koordenatu zilindriko eta esferi-koetan:

∇Φ =∂Φ

∂ρρ +

1

ρ

∂Φ

∂ϕϕ +

∂Φ

∂zk, (B.16)

∇Φ =∂Φ

∂rr +

1

r

∂Φ

∂θθ +

1

r sin θ

∂Φ

∂ϕϕ. (B.17)

B.7 ARIKETA Froga ezazu honako formula hau:

∇(ΦΨ) = Φ∇Ψ + Ψ∇Φ. (B.18)

B.2.3 Errotazionala

Nabla eragilearen etaE eremu bektorial baten biderkadura bektorial formala,E-ren errota-zionala deitutako eremu bektoriala da:

∇× E =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

Ex Ey Ez

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

(

∂Ez

∂y− ∂Ey

∂z

)

i +

(

∂Ex

∂z− ∂Ez

∂x

)

j +

(

∂Ey

∂x− ∂Ex

∂y

)

k. (B.19)

Deribatu gurutzatuak berdinak direnez,gradientearen errotazionala nulua da:

∇×∇Φ = 0. (B.20)

B.8 ARIKETA Kalkulatu∇× r.


B.5 IRUDIA Gainazala eta muga itxia.

Bestalde,Stokes-en teoremarenarabera,∮

CE · dr =

∫

S(∇× E) · dS (B.21)

dugu:eremu bektorial baten zirkulazioaC kurba itxi batean barrena,C mugatzat duen edozeingainazaletan zeharreko eremuaren errotazionalaren fluxuada. dS bektorearen puntatikC-rennoranzkoa erlojuaren orratzen kontrakoa izateko moduan aukeratu behar diraS gainazalaren etaC kurbaren orientazioak. (B.20)–(B.21) erabiliz, (B.15) berreskuratzen da.

B.9 ARIKETA Froga itzazu errotazionala honela kalkulatzen dela koordenatu zilindriko eta esfe-rikoetan:

∇× E =

[

1

ρ

∂Ez

∂ϕ− ∂Eϕ

∂z

]

ρ +

[

∂Eρ

∂z− ∂Ez

∂ρ

]

ϕ +1

ρ

[

∂ (ρEϕ)

∂ρ− ∂Eρ

∂ϕ

]

k, (B.22)

∇× E =1

r sin θ

[

∂ (sin θ Eϕ)

∂θ− ∂Eθ

∂ϕ

]

r +

1

r

[

1

sin θ

∂Er

∂ϕ− ∂ (rEϕ)

∂r

]

θ +

1

r

[

∂ (rEθ)

∂r− ∂Er

∂θ

]

ϕ. (B.23)

B.10 ARIKETA Froga itzazu hurrengo formulak:

∇× (ΦE) = Φ∇× E− E×∇Φ, (B.24)

∇× (E × F) = (∇ ·F)E − (∇ ·E)F + (F · ∇)E − (E · ∇)F. (B.25)

B.2.4 Dibergentzia

Nabla eragilearen etaE eremu bektorial baten biderkadura eskalar formala,E-ren dibergen-tzia deitutako eremu eskalarra da:

∇ · E =∂Ex

∂x+∂Ey

∂y+∂Ez

∂z. (B.26)

Deribatu gurutzatuak berdinak direnez,errotazionalaren dibergentzia nulua da:

∇ · (∇×E) = 0. (B.27)


B.6 IRUDIA Gainazal itxia eta inguratzen duen bolumena.

Bestalde,Gauss-en teoremak(dibergentziaren teoremaere deitzen denak) hauxe dio:∮

SE · dS =

∫

V(∇ ·E) dV, (B.28)

hau da,eremu bektorial batek gainazal itxi batean zehar duen kanporanzko fluxua, gainazalakinguratzen duen bolumenean kalkulatutako eremuaren dibergentziaren integrala da.

B.11 ARIKETA Froga itzazu dibergentzia honela kalkulatzen dela koordenatu zilindriko eta es-ferikoetan:

∇ · E =1

ρ

∂ (ρEρ)

∂ρ+

1

ρ

∂Eϕ

∂ϕ+

∂Ez

∂z, (B.29)

∇ · E =1

r2

∂(

r2Er

)

∂r+

1

r sin θ

∂ (sin θ Eθ)

∂θ+

1

r sin θ

∂Eϕ

∂ϕ. (B.30)


∇ · (ΦE) = E · ∇Φ + Φ∇ ·E, (B.31)

∇ · (E× F) = F · (∇× E) − E · (∇× F). (B.32)

Eremu bektorialaren eta nabla eragilearen biderkadura eskalar formala dibergentziaren des-berdina da:

E · ∇ = Ex∂

∂x+ Ey

∂

∂y+ Ez

∂

∂z. (B.33)

Eragile hau eremu eskalarrei eta bektorialei aplika dakieke:

(E · ∇)Φ = Ex∂Φ

∂x+ Ey

∂Φ

∂y+ Ez

∂Φ

∂z, (B.34)

(E · ∇)F = Ex∂F

∂x+ Ey

∂F

∂y+ Ez

∂F

∂z, (B.35)

B.13 ARIKETA Froga itzazu hurrengo adierazpenak koordenatu zilindrikoetan:

(E · ∇)Φ = Eρ∂Φ

∂ρ+ Eϕ

∂Φ

∂ϕ+ Ez

∂Φ

∂z, (B.36)

(E · ∇)F =

[

(E · ∇)Fρ − 1

ρEϕFϕ

]

ρ +

[

(E · ∇)Fϕ +1

ρEϕFρ

]

ϕ + [(E · ∇)Fz ] k. (B.37)


B.14 ARIKETA Froga itzazu hurrengo adierazpenak koordenatu esferikoetan:

(E · ∇)Φ = Er∂Φ

∂r+ Eθ

∂Φ

∂θ+ Eϕ

∂Φ

∂ϕ, (B.38)

(E · ∇)F =

[

(E · ∇)Fr −1

rEθFθ −

1

rEϕFϕ

]

r +

[

(E · ∇)Fθ +1

rEθFr −

cot θ

rEϕFϕ

]

θ +

[

(E · ∇)Fφ +1

rEϕFr +

cot θ

rEϕFθ

]

ϕ. (B.39)

B.15 ARIKETA Froga ezazu hurrengo formula:

∇(E ·F) = E × (∇× F) + F × (∇× E) + (F · ∇)E + (E · ∇)F. (B.40)

B.2.5 Laplacetarra

Nabla eragilearen karratu formala bigarren ordenako eragile diferentziala da:

∇2 = ∆ ≡ ∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2. (B.41)

Eremu eskalar bati aplikatzean, gradientearen dibergentzia da:

∇2Φ = ∇ · ∇Φ =∂2Φ

∂x2+∂2Φ

∂y2+∂2Φ

∂z2. (B.42)

Eremu bektorial bati aplikatzean hauxe dugu:

∇2E = ∇2Ex i + ∇2Ey j + ∇2Ez k. (B.43)

B.16 ARIKETA Froga itzazu laplacetarra honela kalkulatzen dela koordenatu zilindriko eta esfe-rikoetan:

∇2Φ =1

ρ

∂

∂ρ

(

ρ∂Φ

∂ρ

)

+1

ρ2

∂2Φ

∂ϕ2+

∂2Φ

∂z2, (B.44)

∇2Φ =1

r2

∂

∂r

(

r2 ∂Φ

∂r

)

+1

r2 sin θ

∂

∂θ

(

sin θ∂Φ

∂θ

)

+1

r2 sin2 θ

∂2Φ

∂ϕ2. (B.45)


∇2E = ∇(∇ · E) −∇× (∇× E), (B.46)

(E · ∇)E = (∇× E) × E +1

2∇ (E ·E) . (B.47)


B.2.6 Eremu irrotazionalak

Eremu bektorial bat irrotazionala dela esaten da bere errotazionala nulua denean. Ondokobaieztapen guztiak baliokideak dira (ohi bezala, eremuak erregularrak1 badira, eta hutsunerikgabeko espazioko eremu batean betetzen badira baldintzak):

• Eremua irrotazionala da∇× E = 0. (B.48)

• Eremua kontserbatzailea da, hau da, eremu eskalar baten gradientearen kontrakoa:

E = −∇Φ. (B.49)

• Eremuaren lerro-integrala ez da integrazio-kurbaren menpekoa, integrazio-mugen funtziohutsa baizik:

∫ 2

1,C1

E · dr =∫ 2

1,C2

E · dr. (B.50)

• Eremuaren zirkulazioa beti da nulua:∮

CE · dr = 0. (B.51)

(B.49) ekuazioarenΦ eremu eskalarraE eremu bektorialarenpotentziala (edo, zehazkiago,potentzial eskalarra) da etaE-ren dibergentzia erabiliz kalkula daiteke (dibergentziaerregularrabada eta infinituan zerora badoa):

Φ(r) =1

4π

∫ ∇ · E|r − r′| dV

′. (B.52)

(Hemen,r′ bektorea integrazio-puntu mutua da eta integrala espazio osora hedatzen da.)

B.2.7 Eremu solenoidalak

Eremu bektorial bat solenoidala dela esaten da bere dibergentzia nulua denean. Ondoko baiez-tapen guztiak baliokideak direla (ohi bezala, eremuak erregularrak badira, eta hutsunerik gabekoespazioko eremu batean betetzen badira baldintzak):

• Eremua solenoidala da∇ · E = 0. (B.53)

• Eremua eremu bektorial baten errotazionala da:

E = ∇× A. (B.54)

• Eremuaren fluxua ez da integrazio-gainazalaren menpekoa, gainazala mugatzen duen kur-baren funtzio hutsa baizik:

∫ 2

1,S1

E · dS =∫ 2

1,S2

E · dS. (B.55)

1Gogoratu218. orriko oin-oharra.


• Gainazal itxi guztietan zehar eremuaren fluxua beti da nulua:∮

SE · dS = 0. (B.56)

(B.54) ekuazioarenA eremu bektoriala,E eremuarenpotentzial bektoriala da etaE-renerrotazionala erabiliz kalkula daiteke (errotazionala erregularra bada eta infinituan zerora badoa):

A(r) =1

4π

∫ ∇× E

|r − r′| dV′. (B.57)

(Hemen,r′ bektorea integrazio-puntu mutua da eta integrala espazio osora hedatzen da.)

B.2.8 Helmholtz-en teorema

Eremu bektorial orokorra eremu irrotazional baten eta solenoidal baten batura moduan idatzdaiteke beti (erregularra bada eta infinituan behar bezain azkar zerora badoa):

E = Ei + Es, (B.58)

∇×Ei = 0, (B.59)

∇ · Es = 0. (B.60)

Beraz,B.2.6etaB.2.7ataletan ikusitakoaren ondorioz,

Ei = −∇Φ, Φ(r) =1

4π

∫ ∇ ·Ei

|r − r′| dV′, (B.61)

Es = ∇× A, A(r) =1

4π

∫ ∇× Es

|r − r′| dV′, (B.62)

hau da, bere dibergentziak eta errotazionalak zehatzen dute eremu bektoriala:

E = −∇Φ + ∇×A, (B.63)

Φ(r) =1

4π

∫ ∇ · E|r − r′| dV

′, (B.64)

A(r) =1

4π

∫ ∇× E

|r − r′| dV′. (B.65)

Ondorioz,eremu bektorial baten errotazionala eta dibergentzia nuluak badira, halakoa daeremua bera(erregularra bada eta infinituan behar bezain azkar zerora badoa):

∇× E = 0∇ · E = 0

=⇒ E = 0. (B.66)

Eremuan puntu guztietan erregularra ez bada edo infinitura zerora ez badoa, beti kontsideradezakegu erregularra den eskualde bat. Bertan, eremuaren dibergentziak, errotazionalak eta es-kualdeko mugan duen osagai tangentearen balioek zehazten dute eremu bektoriala, modu honetanidatz daitekeena:

E = Ei + Es + E0, (B.67)

∇×Ei = 0, (B.68)

∇ · Es = 0, (B.69)

∇× E0 = ∇ · E0 = 0. (B.70)


B.2.9 Adibideak elektromagnetismoan

Eremu elektrostatikoak betetzen dituen Maxwell-en ekuazioak

∇×E = 0, (B.71)

∇ · E =ρ

ǫ0(B.72)

dira, karga-dentsitateaρ bada eta hutsaren permitibitateaǫ0. Beraz, eremu elektrostatikoa irro-tazionala eta kontserbatzailea da. Dagokion potentziala,potentzial elektrostatikoa, hain zuzen,hauxe dugu:

E = −∇Φ, (B.73)

Φ(r) =1

4πǫ0

∫

ρ

|r − r′| dV′. (B.74)

Eremu elektrostatikoaren zirkulazioa nulua da beti (kontserbatzailea da), eta gainazal itxi bateanzehar duen fluxua barruan dagoen karga osoaren proportzionala (Gauss-en legea):

∮

CE · dr = 0, (B.75)

∮

SE · dS =

1

ǫ0

∫

Vρ dV. (B.76)

B.7 irudiko ezkerraldean erakusten da karga puntual baten eremu elektrostatikoa. Dibergentzianulua da, karga dagoen puntuan izan ezik; baina nahikoa da dibergentzia nulua izateko egin behardugun zulo hori, eremua solenoidala ez izateko. Karga dagoen r0 puntuan eremuaren iturria dagoeta, Dirac-en delta erabiliz (ikusB.5 atala), hauxe dugu:

∇ · E =q

ǫ0δ(3) (r − r0) , (B.77)

Φ =1

4πǫ0

q

|r − r0|, (B.78)

E =q

4πǫ0

r − r0

|r − r0|3. (B.79)

B.7 IRUDIA Eremu bektorial (a) irrotazionala eta (b) solenoidala.

Eremu magnetostatikoak betetzen dituen Maxwell-en ekuazioak

∇× B = µ0J, (B.80)

∇ · B = 0 (B.81)


dira, korronte-dentsitateaJ bada eta hutsaren iragazkortasunaµ0. Beraz, eremu magnetostatikoasolenoidala da. Dagokion potentzial bektoriala hauxe dugu:

B = ∇× A, (B.82)

A(r) =µ0

4π

∫

J

|r − r′| dV′. (B.83)

Eremu magnetostatikoak gainazal itxi batean zehar duen fluxua nulua da beti (ez dago monopolomagnetikorik), eta zirkulazioa kurba itxiak inguratzen duen korrontearen proportzionala (Ampè-re-ren legea):

∮

CB · dr = µ0

∫

SJ · dS, (B.84)

∮

SB · dS = 0. (B.85)

B.7 irudiko eskuinaldean erakusten da intentsitate zuzen infinitu baten eremu magnetostatikoa.Errotazionala nulua da, intentsitatea dagoen puntuetan izan ezik; baina nahikoa da errotazionalanulua izateko egin behar dugun zulo hori, eremua irrotazionala ez izateko. Intentsitatea dagoenpuntuetan eremuaren iturria dago eta hauxe dugu koordenatuzilindrikoetan:

B =µ0I

2πρϕ, (B.86)

A = −µ0I

2πln

ρ

ρ0

k, (B.87)

nonρ0 luzeraren dimentsioak dituen edozein konstante den.

B.3 Zenbaki konplexuak

B.3.1 Definizioak eta Argand-en diagrama

Kontzeptua Adierazpen matematikoa

Unitate irudikaria i =√−1

Forma cartesiarra z = x+ iy

Forma polarra z = reiθ

Parte erreala Re z = x = r cos θ

Parte irudikaria Im z = y = r sin θ

Modulua |z| = r =√x2 + y2

Argumentua2 arg z = θ = arctany

x

2Argumentua ez da bakarra:θ + 2kπ (k = 0,±1,±2, . . .) angeluak zenbaki konplexu berberari dagozkio. Argu-mentuarenbalio nagusia−π < θ ≤ π baldintza betetzen duena da.

B.3 Zenbaki konplexuak 499

B.3.2 Aljebra konplexua

zk = xk + iyk = rkeiθk (k = 1, 2) zenbaki konplexuen batura, kendura, biderkadura eta

zatidura hauexek dira:

z1 ± z2 = (x1 + x2) ± i (y1 + y2) , (B.88)

z1z2 = (x1x2 − y1y2) ± i (x1y2 + x2y1) = r1r2ei(θ1+θ2), (B.89)

z1z2

=z1z2

|z2|2=

(x1x2 + y1y2) ± i (x2y1 − x1y2)

x22 + y2

2

=r1r2ei(θ1−θ2). (B.90)

B.3.3 Konplexu konjugatua

z zenbakiaren konplexu konjugatua

z = x− iy = re−iθ (B.91)

da eta hurrengo propietateak betetzen dira:

|z| = |z|, (B.92)

arg z = − arg z, (B.93)

z = z, (B.94)

z + z = 2 Re z, (B.95)

z − z = 2i Im z, (B.96)

zz = |z|2, (B.97)

z1 ± z2 = z1 ± z2, (B.98)

(z1z2) = z1 z2, (B.99)(

z1z2

)

=z1z2. (B.100)

B.3.4 Berreketa eta erroketa

Esponentzialak eta berreturak honela kalkulatzen dira:

ez = exeiy = ex (cos y + i sin y) , (B.101)

zn = rneinθ = rn (cos nθ + i sinnθ) . (B.102)

Kasu berezi interesgarriak diraEuler-en formula,

eiθ = cos θ + i sin θ, (B.103)

etade Moivre-ren teorema:

(cos θ + i sin θ)n = cosnθ + i sin nθ. (B.104)

Bestalde, argumentua bakarra ez denez,z = rei(θ+2kπ) 6= 0 zenbaki konplexuarenn-garrenerro desberdinakn dira:

z1/n = r1/nei(θ+2kπ)/n, k = 0, 1, . . . , n− 1. (B.105)


Erro nagusia k = 0 balioarekin lortzen da (−π < θ ≤ π aukeratu bada).Adibide moduan froga dezagun (5.68) adierazpenean erabilitako hurrengo emaitza:

n−1∑

k=0

cos(

ϕ+ k2π

n

)

=n−1∑

k=0

sin(

ϕ+ k2π

n

)

= 0, n = 2, 3, . . . (B.106)

Berdintza honen bi gaiak hurrengoaren parte erreala eta irudikariak dira hurrenez hurren:

n−1∑

k=0

ei(ϕ+k 2πn ) = eiϕ

n−1∑

k=0

eik 2πn = 0, n = 2, 3, . . . (B.107)

Nahikoa da, beraz, azken batukaria zero dela frogatzea, etahorretarako progresio geometrikoarenbatura erabil daiteke, edo, zuzenean,

S ≡n−1∑

k=0

eik 2πn = 1 + ei 2π

n + ei2 2πn + · · · + ei(n−1) 2π

n , (B.108)

ei 2πn S =

n−1∑

k=0

ei(k+1) 2πn = ei 2π

n + ei2 2πn + · · ·+ ei(n−1) 2π

n + 1, (B.109)

(

1 − ei 2πn

)

S = 0 =⇒ S = 0. (B.110)

B.4 Integral eta funtzio eliptikoak

Eman dezagunR(x, y) funtzioa arrazionala dela etaP (x) = a0x4 + a1x

33+ a2x2 + a3x+ a4

polinomioaren maila3 edo4 (hau da,|a0| + |a1| > 0) eta erro guztiak bakunak. Orduan,∫

R(

x,√

P (x))

dx (B.111)

integrala eliptikoa da. Transformazio-formula egokien bidez, edozein integral eliptiko idatz dai-teke ondoan definitzen diren hiru mota berezietako integralak erabiliz. Horretarako,x ≡ sinϕeta0 ≤ m ≡ sin2 α ≤ 1 definizioak erabiliko ditugu−π/2 ≤ ϕ ≤ π/2 tartean. Orduan,lehenmotako Legendre eta Jacobi-ren integral eliptikoa

F (ϕ\α) = F (ϕ|m) =∫ ϕ

0

dθ√

1 − sin2 α sin2 θ=∫ x

0

dt√1 − t2

√1 −mt2

(B.112)

da, bigarren motakoa

E(ϕ\α) = E(ϕ|m) =∫ ϕ

0

√

1 − sin2 α sin2 θ dθ =∫ x

0

√1 −mt2√1 − t2

dt (B.113)

eta hirugarren motakoa

Π(n;ϕ\α) = Π(n;ϕ|m) =∫ ϕ

0

dθ(

1 − n sin2 θ)

√

1 − sin2 α sin2 θ

=∫ x

0

dt

(1 − nt2)√

1 − t2√

1 −mt2. (B.114)

B.5 Dirac-en delta 501

B.8 IRUDIA Integral eliptiko osoak.

Lehen eta bigarren motako integral eliptikoetanϕ = π/2 (hau da,x = 1) egiten denean,lehenetabigarren motako integral eliptiko osoak lortzen dira:

K(m) =∫ 1

0

dt√1 − t2

√1 −mt2

=∫ π/2

0

dθ√

1 −m sin2 θ, (B.115)

E(m) =∫ 1

0

√1 −mt2√1 − t2

dt =∫ π/2

0

√

1 −m sin2 θ dθ. (B.116)

Integral eliptikoekJacobi-ren funtzio eliptikoak definitzen dituzte inplizituki. Adibidez,u = F (ϕ|m) bada, alderantzizko funtzioa,ϕ = amu = am(u|m), anplitude jacobiarra da,eta beste funtzio eliptiko batzuk honela definitzen dira:

sn u = sn(u|m) = sinϕ, (B.117)

cn u = cn(u|m) = cosϕ, (B.118)

dn u = dn(u|m) =√

1 −m sin2 ϕ. (B.119)

Ondoko propietateak betetzen dira, funtzio trigonometriko eta hiperbolikoen propietate eza-gunen orokorpen moduan:

sn2 u+ cn2 u = 1, (B.120)

dn2 u+m sn2 u = 1, (B.121)

dn2 u−m cn2 u = 1 −m. (B.122)

B.5 Dirac-en delta

Aukera dezagung funtzio integragarri bat:∫ ∞

−∞g(t) dt = I, |I| <∞. (B.123)

B.9 irudian erakusten dag (t− t0) transladatua eta honetan kontrako bi eskala-aldaketa egiteanlortzen diren

gǫ (t− t0) ≡1

ǫg(

t− t0ǫ

)

(B.124)


funtzioetako batzuk. Zuzenean ikusten da,u ≡ (t− t0) /ǫ aldagai-aldaketa eginez, funtzio hauenguztien integralak berdinak direla:

∫ ∞

−∞gǫ (t− t0) dt =

∫ ∞

−∞g(u) du = I. (B.125)

B.9 IRUDIA Dirac-en delta doan segida bat.

Orainf funtzio erregular bat3 kontsideratzen badugu, hauxe geratzen zaiguǫ → 0 limiteanaurreko aldagai-aldaketa erabiliz:

∫ ∞

−∞f(t)

[

limǫ→0

gǫ (t− t0)]

dt =

limǫ→0

∫ ∞

−∞f(t)gǫ (t− t0) dt = lim

ǫ→0

∫ ∞

−∞f (t0 + ǫu) g(u) du

= f (t0)∫ ∞

−∞g(u) du = I f (t0) . (B.126)

Egia esan, funtzio arruntak erabiltzen badira, limiteak eta integralak elkarrekin trukatzeko, orohar betetzen ez diren baldintza batzuk behar dira; baina aurreko kalkulua zuzena izatekofun-tzio orokortuak (edobanaketak) defini daitezke4. Horrela, aurreko limitea era laburtu honetanidazten da:

limǫ→0

gǫ (t− t0) = limǫ→0

1

ǫg(

t− t0ǫ

)

= I δ (t− t0) . (B.127)

Eskuinean agertzen denδ, Dirac-en delta edounitate-bulkada «funtzioa» da eta (B.126) bete-tzeko moduan definitzen da integral ikurraren azpian:

∫ ∞

−∞f(t)δ (t− t0) dt = f (t0) . (B.128)

Azpimarratu behar da (B.126) eta (B.127) emaitzak ez direlag profilaren menpekoak, (B.123)betetzea nahikoa baita. Izan ere,g funtzioak ez du simetrikoa izan behar etalimǫ→0 gǫ (t0) = ∞propietatea ez da beharrezkoa:g(0) = gǫ(0) = 0 ere aukera daiteke. Azkenean, profila ahaztuta,bakarrik geratzen dira (B.123) integralaren balioa eta (B.128) definizio-propietatea.

3f(t) = 1 edof(t) = e−t2/a2

, adibidez. Gogoratu218. orriko oin-oharra.4Ikus [38] eta hango erreferentziak.

B.5 Dirac-en delta 503

B.18 ARIKETA Froga itzazu hurrengo propietateak:

h(t)δ (t − t0) = h (t0) δ (t − t0) , (B.129)∫ b

a

f(t)δ (t − t0) dt =

f (t0) , a < t0 < b;0, t0 6∈ [a, b];

(B.130)

limǫ→0

1

ǫ√

πe−(t−t0)

2/ǫ2 = δ (t − t0) , (B.131)

limγ→∞

sin γt

πt= δ(t), (B.132)

1

2π

∫ ∞

−∞

e±ipt dp = δ(t). (B.133)

Aplikazio moduan, eman dezagun zuzen batean barrena higitzen den partikula batek pairatzenduen indar osoaF = gǫ (t− t0) dela.ǫ guztietarako indarraren bulkada (eta, ondorioz, momentulinealaren aldaketa) berdina da:

∆p =∫ ∞

−∞F dt =

∫ ∞

−∞gǫ (t− t0) dt = I. (B.134)

g funtzioa,B.9 irudian bezala, nulua bada tarte finitu batetik kanpo,ǫ → 0 limiteanF indarrabakarrik aplikatuko dat = t0 unean, baina momentu linealaren aldaketa ez-nulua sortukodu:

limη→0

[p (t0 + η) − p (t0 − η)] = limǫ→0

∫ ∞

−∞F dt = lim

ǫ→0

∫ ∞

−∞gǫ (t− t0) dt = I. (B.135)

Limitean bakarrik geratzen da bulkada etag profilaren beste xehetasun guztiak ahaztu egitendira. Emaitza hau (B.135) moduan idatz daiteke edo, funtzio orokortuen limitea (limite orokortuadeitzen dena) erabiltzen bada,

F = limǫ→0

gǫ (t− t0) (B.136)

eran; baina, (B.128) definizioaren ondorioz, adierazpen baliokide laburragoada honako hau:

F = I δ (t− t0) . (B.137)

Hiru dimentsiotan ere modu bertsuan defini daiteke Dirac-endelta. Eman dezagung(r) fun-tzioa integragarria dela:

∫

IR3g(r) dV = m, |m| <∞. (B.138)

Translazio bat eta kontrako eskala-aldaketak eginez lortzen den

gǫ (r− r0) ≡1

ǫ3g(

r − r0

ǫ

)

(B.139)

funtzioa, masa-dentsitate bat izan daiteke eta dagokion masa osoa∫

IR3gǫ (r − r0) dV = m (B.140)

da,ǫ guztietarako. Masa-dentsitate honek sortzen duen potentzial grabitatorioa hauxe dugu:

Vǫ(r) = −G∫

IR3

gǫ (r′ − r0)

|r − r′| dV ′. (B.141)


(B.138) betetzen duen edozeing profilen kasuanǫ → 0 limiteanm masako partikula puntualaberreskuratu behar dugu. Limitea

g0 (r − r0) = limǫ→0

gǫ (r − r0) = limǫ→0

1

ǫ3g(

r − r0

ǫ

)

= mδ(3) (r − r0) (B.142)

eran idazten dugu,∫

IR3f(r)δ(3) (r − r0) dV = f (r0) (B.143)

definizioarekin batera. Horrela,

V0(r) = limǫ→0

Vǫ(r) = −G limǫ→0

∫

IR3

gǫ (r′ − r0)

|r − r′| dV ′

= −G limǫ→0

1

ǫ3

∫

IR3

g(

r′−r0

ǫ

)

|r− r′| dV′

= −G limǫ→0

∫

IR3

g (r′′)

|r − r0 − ǫr′′| dV′′

= − G

|r − r0|∫

IR3g (r′′) dV ′′ = −G m

|r − r0|(B.144)

eta antzeko kalkuluak,r′′ ≡ (r′ − r0) /ǫ erabiliz, behin eta berriro egin beharrean, (B.143) defi-nizioaz baliatuz, hurrengo modu arinean egin daitezke:

V0(r) = −G∫

IR3

g0 (r′ − r0)

|r − r′| dV ′ = −Gm∫

IR3

δ(3) (r′ − r0)

|r − r′| dV ′ = −G m

|r − r0|. (B.145)

B.6 Aldakuntzen kalkulua

Mekanika eta eguneko eremuen teoriak egiteko hain emankorra den aldakuntzen kalkuluarenfuntsezko kontzeptu eta emaitzak ikusiko ditugu eranskin honetan. Fisikarien notazioa eta egitekomodua erabiliko dira, noski. Matematikarien oinarrizko ikuspuntua [40] testuan aurki daiteke.

B.6.1 Aldaketa infinitesimalak eta mutur-puntuak

Funtzioen mutur-puntuak (maximoak, minimoak eta abar) kalkulatzeko deribatuak erabili ohidira, baina atal honetan ikusiko dugunez, aldaketa infinitesimalez baliatzea baliokidea da.

Aldagai bakarreko funtzioa

Kontsidera dezagunB.10 irudiko funtzioa etax puntu batean aldagai independentearendxaldaketa infinitesimalari dagokion funtzioaren aldaketa:

df ≡ f (x+ dx) − f(x) =df

dx(x) dx. (B.146)

Fisikariok «aldaketa infinitesimala» esatean, aldaketa lineala, Taylor-en garapeneko gai linealahain zuzen, dugu buruan, azken adierazpenean egin dugun antzera. Bertan ikusten dugu mutur--puntuak (maximoak, minimoak eta inflexio-puntuak) kalkulatzeko deribatua zero izateko eska-tzea eta aldaketa infinitesimala nulua izateko eskatzea guztiz baliokideak direla. Hauxe izango da,

B.6 Aldakuntzen kalkulua 505

B.10 IRUDIA f(x) funtzioaren aldaketa infinitesimalak.

bada, hemen aukeratuko dugun ikuspuntua. Mutur-puntuak aldaketa infinitesimala nulua denekopuntuak dira:

df = 0 ⇐⇒ df

dx= 0. (B.147)

Aldaketa infinitesimala zuzen tangentean gertatzen da: hauxe da deribatuaren esangura. Hortaz,minimoan aldaketa zuzen horizontal batean jazotzen da eta bere balioa zero da beti, irudiko adi-bidean erakusten den legez.

x

y

f

x

B.11 IRUDIA f(x, y) funtzioaren aldaketa infinitesimalak maximoan.

Bi aldagaiko funtzioa

Funtzioa orain(x, y) planoan definiturik badago,dx etady aldaketei dagokienf(x, y) fun-tzioaren aldaketa infinitesimala honako hau da:

df ≡ f (x+ dx, y + dy) − f(x, y) =∂f

∂x(x, y) dx+

∂f

∂y(x, y) dy. (B.148)

dx etady aldaketak elkarren independenteak direnez (adibidez, zero egin daiteke bat bestea aldatugabe), deribatu partzialak edota funtzioaren aldaketa infinitesimal guztiak zero izatean lortzen


dira mutur-puntuak:

df = 0 ⇐⇒ ∂f

∂x=∂f

∂y= 0. (B.149)

B.11 irudiko adibidean, aldaketa infinitesimalak (linealak) plano tangentean gertatzen dira, etamaximoan azken hau horizontala da eta aldaketa lineala nulua.

Aldaketa infinitesimal birtuala

Kontsidera dezagun orainf (t, q1, . . . , qn) funtzioa etat aldatu gabe gertatzen diren aldaketak,mekanika analitikoan birtualak deitzen direnak.δt = 0. δqi aldaketei dagokien aldaketa linealahurrengoa da:

δf = f (t, q1 + δq1, . . . , qn + δqn) − f (t, q1, . . . , qn) =n∑

i=1

∂f

∂qiδqi. (B.150)

Ondorioz,t-ren balio finko bakoitzeko mutur-puntuak aldaketa infinitesimal birtual posible guz-tiak zero direnean gertatuko dira:

δf = 0 ⇐⇒ ∂f

∂q1= · · · =

∂f

∂qn= 0. (B.151)

B.6.2 Loturadun muturrak

(B.150)-tik (B.151)-ra joateko aldagai guztien aldaketa infinitesimalak elkarren independen-teak zirela suposatu genuen. Azter dezagun orain zer gertatzen den hori egia ez bada etaqi alda-gaien artean hurrengo modukom baldintza independente bete behar badira:

gl (t, q1, . . . , qn) = 0, (l = 1, 2, . . . , m). (B.152)

Ondorioz, aldaketa infinitesimalen arteko hurrengo erlazioak ditugu:

δgl (t, q1, . . . , qn) =n∑

i=1

∂gl

∂qiδqi = 0, (l = 1, 2, . . . , m). (B.153)

Beraz, aldaketa infinitesimalak ezin dira nahi den moduan aukeratu: aurreko baldintzak betebehar dira.

Oraindik zehaztu gabe geratuko direnλl biderkatzaile konstanteak sartzen baditugu, hasiera-ko f funtzioak eta

f ≡ f +m∑

l=1

λl gl (t, q1, . . . , qn) (B.154)

aldatuak mutur-puntu berdinak dituzte (B.152) baldintzen ondorioz. Beraz, mutur-puntuak kal-kulatzeko

δf =n∑

i=1

∂f

∂qiδqi =

n∑

i=1

[

∂f

∂qi+

m∑

l=1

λl∂gl

∂qi

]

δqi = 0 (B.155)

ebatzi behar da.δqi aldaketen arteann−m bakarrik aukera ditzakegu nahi dugun moduan, bainaorainλk biderkatzaileak ere aukera ditzakegu. Beraz, denetara hautazkon magnitude daudenez,


(B.155) baturakon batugaiak nuluak izateko eska dezakegu. Adibidez, eman dezagun aldagai in-dependenteak hasierakon−m qi direla. Kasu horretan,m biderkatzaileak hurrengom baldintzakbetetzeko moduan aukera ditzakegu:

∂f

∂qi=∂f

∂qi+

m∑

l=1

λl∂gl

∂qi= 0, (i = n−m+ 1, . . . , n). (B.156)

Hauekin

δf =n−m∑

i=1

∂f

∂qiδqi =

n−m∑

i=1

[

∂f

∂qi+

m∑

l=1

λl∂gl

∂qi

]

δqi = 0 (B.157)

baldintzan geratzen diren desplazamendu birtualak independenteak direnez, batugai bakoitzakzero izan behar du:

∂f

∂qi=∂f

∂qi+

m∑

l=1

λl∂gl

∂qi= 0, (i = 1, . . . , n−m). (B.158)

Bete behar diren baldintzak, ondorioz, hurrengo hauek dira:

∂f

∂qi=∂f

∂qi+

m∑

l=1

λl∂gl

∂qi= 0, (i = 1, 2, . . . , n), (B.159)

gl (t, q1, . . . , qn) = 0, (l = 1, 2, . . . , m). (B.160)

Beraz,n+m ekuazio ebatzi behar dira mutur-puntuetakon koordenatuak etam biderkatzaileakaurkitzeko.

Adibidez,

x+ y + z = 1, (B.161)

x2 + y2 + z2 = 1 (B.162)

ekuazioek emandako zirkunferentzianf(x, y, z) = x − yz funtzioak dituen muturrak aurkitukoditugu. Printzipioz lotura-ekuazioak erabil daitezke problematiky etaz, adibidez, ezabatzeko.Baina erro karratuak daudenez, errazagoa da Lagrange-ren biderkatzaileez baliatzea. Bete behardiren baldintzak,

1 + λ1 + 2λ2x = 0, (B.163)

−z + λ1 + 2λ2y = 0, (B.164)

−y + λ1 + 2λ2z = 0, (B.165)

x+ y + z = 1, (B.166)

x2 + y2 + z2 = 1, (B.167)

erraz ebazten dira. Bi soluzio daude:

x = −1

3, y = z =

2

3, λ1 = −4

9, λ2 =

5

6, (B.168)

x = 1, y = z = 0, λ1 = 0, λ2 = −1

2. (B.169)

B.19 ARIKETA Ebatzi3.13.4problema zuzenean laborategiko sisteman Lagrange-ren biderka-tzaileen bidez eta egiaztatu masa-zentroaren bidez lorturiko emaitza bera berreskuratzen dela.


B.6.3 Funtzionalak

Atal honetan eta hurrengoan funtzioen menpekoa den objektumatematikoak, funtzionalak,kontsideratu ditugu. Era askotakoak izan daitezke horrelakoak, baina hemen fisikan gehienetanagertzen den kasu berezia aztertzera mugatuko gara.t aldagai errealekoq1, . . . , qn funtzioak(infinitu dimentsio dituen konfigurazio-espazio batean) aukera bakoitzeko, hurrengo integral mu-gatuaren bidez definitzen da funtzionalaren balioa:

I [q1, . . . , qn] ≡∫ t2

t1L [t, q1(t), . . . , qn(t), q1(t), . . . , qn(t)] dt. (B.170)

HemenL (t, q1, . . . , qn, q1, . . . , qn) funtzioaren egitura,t1 etat2 integrazio-mugak etaqi(t1) etaqi(t2) balioak ezagunak eta aldaezinak dira problema bakoitzean.

Kurben luzera

Funtzionalen adibiderik garrantzitsuena mekanika analitikoan agertzen zaigu:6.7.1atalekoekintza. Kasu horretanqi funtzioak konfigurazio-espazioan definiturikoak dira. Azter dezagunadibide geometriko bat. Kontsidera ditzagun espazioko bi puntu,P1 = (x1, y1, z1) etaP2 =(x2, y2, z2), eta berauek lotzen dituzten kurba erregular5 guztiak,t parametro egokiaren bidez(x(t), y(t), z(t)) erako ekuazioek emandakoak.t = t1, t2 balioei dagozkien kurbetako puntuakP1 etaP2 izateko moduan aukeratzen dugut parametroa. Arkuaren luzera-elementua (1.19) delakontuan hartuz, kurba bakoitzaren luzera hurrengo funtzionalak emandakoa da:

s =∫ P2

P1

√

dx2 + dy2 + dz2 =∫ t2

t1

√

x(t)2 + y(t)2 + z(t)2 dt. (B.171)

Beraz,(q1, q2, q3) = (x, y, z) eta

L =√

x(t)2 + y(t)2 + z(t)2 (B.172)

aukerekin, (B.170) moduko funtzionala da luzera.

B.6.4 Muturreko kurbak

Hemendik aurrera,n dimentsioko espazio abstraktuetanq ≡ (q1, . . . , qn) bektore-notaziolaburtua erabiliko dugu komeni denean eta, beraz, (B.170) moduko funtzionala honela idatzikodugu:

I [q] ≡∫ t2

t1L [t,q, q] dt. (B.173)

Horrelako funtzionaletan argumentuekδq ≡ (δq1, . . . , δqn) aldaketa infinitesimalak (funtzioosoak direla kontuan harturikaldakuntza infinitesimalak deitzen direnak) pairatzen dituzteneanhonela aldatzen da funtzionala bera:

δI ≡ I [q + δq] − I [q]

=∫ t2

t1L [t,q(t) + δq(t), q(t) + δq(t)] dt−

∫ t2

t1L [t,q(t), q(t)] dt

=∫ t2

t1L [t,q(t) + δq(t), q(t) + δq(t)] − L [t,q(t), q(t)] dt

=∫ t2

t1δL dt. (B.174)

5Gogoratu218. orriko oin-oharra.


B.12 IRUDIA Funtzionalaren bi integrazio-biden = 1 kasuan.

Hemen inplizituki etaB.12 irudian esplizituki egin bezala,t1 eta t2 integrazio-mugak alda-tzen ez direlako hipotesiaegingo dugu beti. Gainera, tarteko puntuetanqi funtzioak aldatu arren,aipaturiko integrazio-mugetan ez direla aldatzen, hau da,

δq (t1) = δq (t2) = 0 (B.175)

betetzen dela suposatuko dugu. Hipotesi hau,

δqi(t) =d

dtδqi(t) (B.176)

eta zatikako integrazioa erabiliz, hauxe dugu

∫ t2

t1

n∑

i=1

(

∂L

∂qiδqi

)

dt =n∑

i=1

(

∂L

∂qiδqi

)∣

∣

∣

∣

∣

t2

t1

−∫ t2

t1

n∑

i=1

(

d

dt

∂L

∂qiδqi

)

dt

= −∫ t2

t1

n∑

i=1

(

d

dt

∂L

∂qiδqi

)

dt. (B.177)

Ondorioz, (B.150) erabiliz, funtzionalaren aldakuntza hauxe dela ikusten dugu:

δI =∫ t2

t1δL dt

=∫ t2

t1

n∑

i=1

(

∂L

∂qiδqi +

∂L

∂qiδqi

)

dt

=∫ t2

t1

n∑

i=1

[(

∂L

∂qi− d

dt

∂L

∂qi

)

δqi

]

dt. (B.178)

Horrelako funtzional bat maximoa edo minimoa denean bere aldakuntza infinitesimal (li-neal) guztiak nuluak izango dira. Kasu horietan eta funtzionalaren aldakuntza infinitesimala nu-lua den guztietan funtzionalaegonkorra dela esango dugu eta hori gertatzeko aukeratu behardirenq ≡ (q1, . . . , qn) funtzioek definituriko kurbamuturrekoa dela.δqi aldakuntzak elkarrenindependenteak direnez,

δI = 0 ⇐⇒ ∂L

∂qi− d

dt

∂L

∂qi= 0, (i = 1, 2, . . . , n). (B.179)


Funtzionala egonkorra izateko baldintza beharrezkoa eta nahikoa, hortaz,

d

dt

∂L

∂qi− ∂L

∂qi= 0, (i = 1, 2, . . . , n) (B.180)

Euler eta Lagrange-ren ekuazioakbetetzea da. Hauxe frogatu dugu, beraz:(B.170) funtzionalaegonkor egiten duten muturreko kurbak Euler eta Lagrange-ren ekuazioen soluzioek definitu-rikoak dira. Ekintzaren kasuan Euler eta Lagrange-ren ekuazioak lehenmotako Lagrange-ren(6.157) ekuazioak dira.

Distantzia minimoa

Bi punturen arteko distantzia minimoa (edo maximoa) izangoda bi puntuak lotzen dituenarkuaren luzera horrelakoa denean eta horretarako bete behar denδs = 0 baldintza hurrengo hiruekuazioen baliokidea da:

d

dt

∂s

∂x− ∂s

∂x=

d

dt

x√x2 + y2 + z2

= 0, (B.181)

d

dt

∂s

∂y− ∂s

∂y=

d

dt

y√x2 + y2 + z2

= 0, (B.182)

d

dt

∂s

∂z− ∂s

∂z=

d

dt

z√x2 + y2 + z2

= 0. (B.183)

Ekuazio hauen lehen integralak honako hauek dira:

x√x2 + y2 + z2

= C1, (B.184)

y√x2 + y2 + z2

= C2, (B.185)

z√x2 + y2 + z2

= C3, (B.186)

nonC1, C2 etaC3 integrazio-konstanteak diren. Ekuazio hauen esanahia argia da, muturrekokurbaren tangentea ematen duenr/ |r| bektore unitarioa konstantea da eta, ondorioz, muturrekoazuzena. Izan ere,α ≡ C2/C1 etaβ ≡ C3/C1 definizioekin

y = αx, z = βx, (B.187)

edota,x0, y0 etaz0 integrazio-konstanteak erabiliz,

y − y0 = α (x− x0) , z − z0 = β (x− x0) (B.188)

dugu. Distantziarik laburrena, beraz, bi puntuak lotzen dituen

y − y0

x− x0= α,

z − z0x− x0

= β (B.189)

lerro zuzenean zehar lortzen da.


B.6.5 Loturadun muturrekoak

(B.178)-tik Euler eta Lagrange-ren ekuazioak lortzekoqi guztien aldaketa infinitesimalak el-karren independenteak zirela suposatu dugu. Azter dezagunorain zer gertatzen den hori egia ezbada etaqi aldagaien artean modu honetakom baldintza independente bete behar badira:

gl (t, q1, . . . , qn) = 0, (l = 1, 2, . . . , m). (B.190)

Aldaketa infinitesimalen arteko erlazio hauek ditugu:

δgl (t, q1, . . . , qn) =n∑

i=1

∂gl

∂qiδqi = 0, (l = 1, 2, . . . , m). (B.191)

Beraz, aldaketa infinitesimalak ezin dira nahi den moduan aukeratu: aurreko baldintzak betebehar dira.

Oraindik zehaztu gabe geratuko direnλl biderkatzaile konstanteak sartzen baditugu, hasiera-koL funtzioak eta

L = L+m∑

l=1

λl gl (t, q1, . . . , qn) (B.192)

aldatuak muturreko berdinak dituzte (B.190) baldintzen ondorioz. Beraz, muturrekoak aurkitzeko

δI = δ∫ t2

t1L dt

=∫ t2

t1

n∑

i=1

[(

∂L

∂qi− d

dt

∂L

∂qi

)

δqi

]

dt

=∫ t2

t1

n∑

i=1

[(

∂L

∂qi− d

dt

∂L

∂qi+

m∑

l=1

λl∂gl

∂qi

)

δqi

]

dt (B.193)

ebatzi behar da.δqi aldaketen arteann−m bakarrik hauta ditzakegu nahi dugun moduan, bainaorainλk biderkatzaileak ere aukera ditzakegu. Beraz, denetara hautazkon magnitude daudenez,(B.193) baturakon batugaiak nuluak izateko eska dezakegu. Baldintza hauek eta (B.190) direla-koak erabiliz, muturrekoek

d

dt

∂L

∂qi− ∂L

∂qi= 0, (i = 1, 2, . . . , n), (B.194)

gl (t, q1, . . . , qn) = 0, (l = 1, 2, . . . , m) (B.195)

edo

d

dt

∂L

∂qi− ∂L

∂qi=

m∑

l=1

λl∂gl

∂qi, (i = 1, 2, . . . , n), (B.196)

gl (t, q1, . . . , qn) = 0, (l = 1, 2, . . . , m) (B.197)

sistema baliokidea bete behar dute.

C ERANSKINA

Problemak ebazteko metodoak

Problemak ebazteko —eta azterketak gainditzeko— oso erabilgarriak izan daitezkeen ahol-ku batzuk biltzen dira eranskin honetan. Jakina, ez dago errezetarik egin gabe dagoen grabitaziokuantikoaren teoria asmatzeko, baina harrigarria da —ikasketetan eta gero lanean— ondo men-peratzen diren tresna erraz gutxirekin egin daitekeena.

C.1 Problema ebazten hasi baino lehenago

• Irakurri ondo enuntziatua, idatzitakoa ondo ulertu arte. Gehienetan oso modu zehatzeanidazten dira problemak eta behar-beharrezkoak direlako agertzen dira hitz gehienak.

• Kalkuluak egiten hasi baino lehenago pentsatu apur batez. Batzuetan fisikariok esaten duguez dela kalkulurik egin behar emaitza ezagutu arte; baina hori lortzen ez badugu ere, agianantzeko problema bat (edo kasu bereziren bat) egin dugu lehenago edo bestelako intuizioadaukagu ebatzi behar dugunari buruz.

• Askotan irudi errazen bat lagungarri izan daiteke intuizioarentzat.

C.2 Problemaren planteamendua

• Ahal bada, banandu problema zati txikiagoetan. Bestela aztertu problemaren aldaera erraz-turen bat (agian dimentsio gutxiagotan edo parametroen balio bereziekin).

• Aukeratu erreferentzia-sistemarik egokiena. Askotan errazenak inertzialak izaten dira, bai-na gogoratu masa-zentroarenak oso propietate erabilgarriak dituela.

• Aztertu problemaren simetriak koordenatu onenak aukeratzeko.

• Aukeratu formalismo egokiena: adibidez, mekanika analitikoa bektoriala baino erabilga-rriagoa izaten da.

C.3 Kalkuluak egiteko

• Erabili simetriak eta kontserbazio-legak.

513

514 C Problemak ebazteko metodoak

• Batzuetan ebatzi nahi dugun problema beste problema ezagunbaten baliokidea da ikuspun-tu matematikotik. Begiratu higidura-ekuazioaren egituraezaguna duzun. (Gogoratu proble-men arteko baliokidetasuna bakarrik ikusiko dela bietan koordenatu bateragarriak erabil-tzen badira; beraz, aldagai-aldaketa egokiren bat lagungarri izan daiteke.)

• Metodo eta arrazoibide kualitatiboak (1.4.6atalean ikusi genituen energia-diagramak, adi-bidez) oso baliagarriak izaten dira problema hobeki ulertzeko eta emaitzak nolakoak izandaitezkeen asmatzeko.

• Ekuazio diferentziala lineala eta koefiziente konstanteetakoa bada, gogoratu1.4.4ataleaneta7. gaian esandakoa.

• Ekuazio diferentzial ez-lineal batzuk ebazteko1.4.3ataleko aldagaien banantzea erabil dai-teke.

• Gogoratu metodo matematiko orokor erabilgarrienak: zatikako integrazioa, funtzio konpo-satuaren deribatua (katearen erregela), etab.

• Soluzio zehatza ezinezkoa bada, egin hurbilketak:

– Aztertu hurbilketa lineala: garatu problema oreka-puntu (egonkor) baten inguruan,1.4.4atalean eta7. gaian egin dugun bezala.

– Arbuiatu magnitude txikiak.

– Erabili Newton-en binomioa edo Taylor-en garapen orokorragoak.

C.4 Emaitzen egiaztapena

Hauxe da askotan ahazten den urratsa, beti egin beharko genukeena, egindakoa zuzena denjakiteko.

• Kalkulu matematiko batzuk erraz egiaztatzen dira. Adibidez, beti deribatu beharko genukeintegral baten emaitza integrakizunaren berdina denetz ikusteko; zorionez egiaztapen haukalkulua baino askoz arinagoa da. Arrazoi beragatik ekuazio diferentzial baten soluzioaekuazioan ordezkatu behar da beti.

• Egiaztatu emaitzen dimentsioak: kalkulu-akats asko aurkitzen dira horrela.

• Begiratu emaitzak zentzuzkoak diren. Zenbakizko balioen magnitude-ordena zuzena izandaiteke? Emaitzen zeinuak ondo al daude? Gerta daiteke lortu dugun higidura?

• Aztertu emaitzak muga-kasu errazagoren batean, parametrobatzuen limite egokian.

C.5 Bestelako laguntza

• Erabili testuak eta ariketa-liburuak.

• Saiatu kasu berezi batzuen zenbakizko simulazioa egiten ordenagailuan.

• Galdetu irakasleari.

• Galdetu ikaskideei (baina ez azterketetan!): talde-lana onuragarria izaten da.

D ERANSKINA

Ariketa batzuetarako iradokizunak etasoluzioak

1. GAIA

1.1 Modulu konstanteko bektore bat (eta, bereziki, bektore unitario bat) deribatzean lortzen denbektorea aurrekoaren perpendikularra da.

1.2 Inola ere ez:r deribatzean, moduluaz gain, norabidea (eta noranzkoa) erealda daitekeelakontuan hartu behar da. Adibidez, koordenatu cartesiarretan hauxe dugu:

|r| =√

x2 + y2 + z2, r =xx + yy + zz√x2 + y2 + z2

.

1.3 |∆r| bektore baten modulua da,|∆t| eskalar baten balio absolutua,|PQ| segmentu baten

luzera eta|

PQ | arku batena.s abzisa lerromakurraren noranzko positiboa higidurarena delasuposatu dugulako.

1.6 Bakarrik bi erreferentzia-sistemetako ardatzak elkarrenparaleloak badira. Bestela koordena-tuen biraketa bat egin behar da,2. gaian ikusiko dugun bezala.

1.8 Ez. Ukipen-indarra sokak partikularen gainean eragindakoindarra da eta tentsioa sokarenzati batek alboko zatian eragindakoa. Hala ere,sokaren masa arbuiagarria bada, Newton-enhirugarren legea eta sokaren elementu infinitesimal baten higidura-ekuazioa kontuan hartuz, errazikusten da tentsioa sokan zehar konstantea dela, baita sokak partikularen gainean eragindakoukipen-indarraren berdina ere.

1.10 L = mr2ϕk.

1.11 Indar-momentu osoa nulua denean. Adibidez, indar osoa zentrala bada:

r ‖ F =⇒ r × F = 0 =⇒ L = konstantea.

Higidura laua da eta momentu angeluarraren perpendikularra den plano batean gertatzen da. Gai-nera,va = 1

2r × r = L/2m azalera-abiadura higidura-konstantea da; Kepler-en bigarren legea

betetzen da:posizio-bektoreak denbora-unitatean estalitako azalerahigidura-konstantea da.

515

516 D Ariketa batzuetarako iradokizunak eta soluzioak

1.13 J ≡∫ t2

t1r × F dt, etaJosoa = L2 − L1.

1.14 Gogoratu1.2ariketa.

1.17 Erabili dV =dV

dtdt = V dt etadr =

dr

dtdt = r dt.

1.18 Integrazio-bidea itxia bada, (1.78) integraleko mugak berdinak dira eta bere balioa∮

F · dr = V1 − V2

∣

∣

∣

2=1= V1 − V1 = 0.

Eman dezagun orain, bide itxi guztietan zehar integrala nulua dela eta kontsidera ditzagunP1

etaP2 puntuak lotzen dituen bi bide desberdin:C1 etaC2. Azken honen noranzkoa alderantzi-katu ondorenC1-en jarraipena dela kontuan hartzen badugu, bide itxi bat lortzen da,D.1 irudianikusten den bezala. Beraz,

∫ 2

1(C1)F · dr −

∫ 2

1(C2)F · dr =

∫ 2

1(C1)F · dr +

∫ 1

2(C2)F · dr =

∮

F · dr = 0.

D.1 IRUDIA Integrazio-bideak.

1.19 Bakarrik indarraaldaratzailea (F ≥ 0) bada;erakarlea bada,F = − |F| ≤ 0. Edozeinkasutan,|F| = |F |.

1.21 Ez: |F| = |F (x)|.

1.27 Ez: nahikoa da hautazkoϕ0 konstantearen ordezϕ0 + π erabiltzea soluzio hori berres-kuratzeko. Bai: ordezkatuϕ0 konstanteaϕ0 + π/2 balioarekin. Bai, ikuspuntu matematikotikosziladore harmoniko guztiak baliokideak dira. Gerta daiteke, baina,x elongazioaren esangu-ra fisikoa eta dimentsioak oso desberdinak izatea: (1.120) ekuazioanγ = 0 eginez lortzen denosziladore harmonikoaren elongazioa angelu bat da, adibidez.

D.2 IRUDIA (a)–(b) Osziladore gainindargetuaren bi soluzio. (c) Indargetze kritikoa.

1.28 Ikus D.2 irudia. Kasu gainindargetuan eta kritikoan osziladorea gehienez behin igarotzenda jatorritik.

2. GAIKO ARIKETEN SOLUZIOAK 517

1.29 Biderkatu (1.121) ekuazioax abiadurarekin.

1.32 Ordezkatu momentu linearen kontserbazio-legea energia zinetikoarenean.

1.33 Ez. Kanpo-indarrak ez daude aplikaturik masa-zentroan, partikuletan baizik.

1.35 Erabili sistema horretan masa-zentroaren posizioa ematenduenm1r∗1 +m2r

∗2 = 0 ekuazioa

eta posizio erlatiboaren bektorea ematen duenr = r∗2 − r∗1.

1.36 Erabili angelu inskribatuaren propietateak.

2. GAIA

2.16 Eguzkiak365.26 bira egiten ditu urtean Lurraren inguruan. Baina, epe berean Lurrarentranslazio-higiduran beste bira bat egiten du Eguzkiaren inguruan, izar tinkoak erreferentzia iner-tzialtzat harturik. Beraz, urtebetean Lurrak egindako bira guztien balioa zati emandako denboraosoa izango da batez besteko abiadura angeluarra:

ω =2π(365.26 + 1)

365.26 × 24 × 60 × 60≈ 7.29 × 10−5 s−1.

Nahiago bada, izar tinkoekiko Lurrak bira oso bat egiteko behar duen egun siderala (ikusA.3 tau-la) erabil daiteke kalkulua egiteko. Orain, (2.98) erabiliz, hauxe dugu

|Fz||P| =

mRω2 cosλ

mg≈ 3.46 × 10−3 cos λ < 3.5 × 10−3.

Zer da goiko adierazpeneang balioa?

2.19 12 ordu.

2.20 ux = uy = uz eginez, hauxe dugu:

x = 0 (D.1)

y = ωgt2 cos λ, (D.2)

z = −gt, (D.3)

x = 0, (D.4)

y =1

3ωgt3 cosλ, (D.5)

z = h− 1

2gt2. (D.6)

(D.2) abiaduraren deribatuan (D.3) ordezkatuz, (2.101) berreskuratzen da.

2.21 8.45 mm.

2.22 Inola ere ez. Edozein ardatzaren alderanzketa (edo hiru ardatzena) egin daiteke, biraketaaplikatu baino lehenago edo ondoren.


3. GAIA

3.1 Lerroaren maldac/v denez,α = arctanv

c. S sistemanx = x0 puntuan pausagunean badago,

S ′ delakoan−v abiaduraz higituko da partikula:

ct′ = − cv

(x′ − x′0) . (D.7)

O puntuaren unibertso-lerroaS sistemanct ardatza da,x = 0, etaS ′ sisteman jatorritik pasatzen

denct′ = − cvx′. Era bereanS ′ sistemaren jatorriaren unibertso-lerroact =

c

vx etax′ = 0 da.

D.3 IRUDIA S sisteman geldi dagoen partikularen unibertso-lerroa bi sistemetan.

3.2 Ikus D.4 irudia.

D.4 IRUDIA I iturritik igorritako fotoiakD1 etaD2 detektagailuetara iristen dira.

3.5 Ikus D.5 irudia.

3.9 Ez:∆x′ = γ (∆x− v∆t) = γ∆x(

1 − vve

c2

)

etaγ(

1 − vve

c2

)

> 0. Puntu berean ezin egon

daitezkeela ikusteko beste modu bat hauxe da: horrela gertatuko balitz, |∆r| = 0 eta∆s2 =−c2 ∆t2 < 0 izango genuke eta tartea ez litzateke espazio motakoa izango.

3.10 Bai: ∆x′ = γ (∆x− v∆t) = γ∆x(

1 − v

ve

)

etaγ(

1 − v

ve

)

positiboa, negatiboa edo

nulua izan daiteke,|v|, |ve| < c izanda ere.


D.5 IRUDIA S sistemaren ardatzak, puntu finkoak eta aldibereko gertaerak.

3.11 Ez. 3.9 ariketa zuzenean erabil daiteke. Gainera,3.10ariketan egindako kalkuluan, orain

γ(

1 − v

ve

)

> 0 dugu,|v| < |ve| = c baitira.

3.16 Erabili 3.13ariketako emaitzak.

3.22 Kontserbazio-legeetatik hauxe lortzen da:

E = E01 + hν, (D.8)

c p = hν, (D.9)

E202 = E2 − c2p2 = E2

01 + 2E01 hν. (D.10)

4. GAIA

4.1 Erabili (1.32). Bestalde,6. gaiko mekanika analitikoa erabiltzen badugu, lagrangearra

1

2m(

r2 + r2ϕ2)

− V (r)

da.ϕ koordenatu ziklikoari dagokion momentu kanoniko konjugatua den∂L/∂ϕ = mr2ϕ mo-mentu angeluarraren osagaia higidura-konstantea da eta gauza bera gertatzen da hamiltondarrarenberdina den energia mekanikoarekin, sistema naturala izateaz gain, denbora ez baita esplizitukiagertzen lagrangearrean.

4.3 Jatorrizkoau = 1/r0 behe-mugan kalkulatzean konstante bat lortzen da,ϕ0 delakoarekinbateraδ ematen duena.

4.4 Argi dago (4.25) integraleana = −1 < 0 dela. Bestalde,n = −2 kasuan,v ≡ u2 eginez,(4.28) moduko integral bat berreskuratzen da.

4.6 Indarra erakarlea dela.

4.7 V ′′e (r0) =

k4m3

L6> 0.

4.9 Momentu angeluarraren balio bakoitzeko bat dago.


4.10 Abiadura erradiala zero denez, abiadurak ez du osagairikr posizio-bektorearen norabidean:

beraren perpendikularra da, beraz. Frogapen zuzena nahiago bada:r · r =1

2(r · r)˙= 1

2

(

r2)

˙=

rr = 0.

4.13 Eliptikoak,D.6 irudian erakusten den bezala. (Gogoratu1.35ariketa.)

D.6 IRUDIA Bi gorputzen problemaren orbita newtondar eliptikoak.

4.14 r =√x2 + y2 kalkulatuz, lehen adierazpena lortzen da zuzeneanc = ea erlazioaren bidez.

Gainera,

tan2 ϕ

2=

1 − cosϕ

1 + cosϕ=r − x

r + x=a+ c

a− c

1 − cosψ

1 + cosψ=

1 + e

1 − etan2 ψ

2. (D.11)

4.18 Erabili Newton-en hirugarren legea.

5. GAIA

5.1 Berdinak.

5.4 K =1

2l sin θ.

5.5 T =1

4ml2ω2 sin2 θ.

5.6 (Iij) = R ·(

I∗ij)

· R⊤.

5.10 Lehenengo berdintza Euler-en ekuazioen baliokidea da eta bigarrenaω abiadura angelua-rraren higiduraren ondorio zuzena.

5.12 Ix < Iy < Iz.

6. GAIA


6.1 ρ2 + z2 = l2.

6.2 (a) Lotura-ekuazioax = 0 edoϕ = π/2 da.(b)L = 2 lotura daude eta askatasun-gradu bakarra:n = 3N − L = 1.(c) Nahikoa da koordenatu orokortu bakarrarekin:y edo, hobe,θ aukeratuko dugu. Transforma-zio-ekuazioak

x = 0, (D.12)

y = l sin θ, (D.13)

z = l cos θ (D.14)

edota honako hauek:r = l (sin θ j + cos θ k) . (D.15)

D.7 IRUDIA Pendulu bikoitza.

6.4 D.7 irudiko θi angeluak koordenatu orokortutzat aukeratuz:

x1 = l1 sin θ1, (D.16)

y1 = −l1 cos θ1, (D.17)

z1 = 0, (D.18)

x2 = l1 sin θ1 + l2 sin θ2, (D.19)

y2 = −l1 cos θ1 − l2 cos θ2, (D.20)

z2 = 0. (D.21)

6.5 Planoaren norabidean blokea oztoporik gabe higi badaitekeere, ez da gauza bera gertatzenplanoarekin: egiten dituzten lan birtualak, beraz, ez dirazehazki kontrakoak.

6.6 195. orriko hari leun birakorrean.

6.7 Indar eragileaF = mgk pisua da (gogoratuOZ ardatza beherantz aukeratu dela) eta des-plazamendu infinitesimalaδr = δx i + δy j + δz k. Bestalde, (D.12)–(D.14) transformazio-ekua-zioetatik hauxe lortzen dugu:

δx = 0, (D.22)

δy = l cos θ δθ, (D.23)

δz = −l sin θ δθ. (D.24)


6.8 Q = F · ∂r∂θ

= mg k · (l cos θ i − l sin θ k) = −mgl sin θ.

6.9 Pendulu matematikoaren kasuanOZ ardatz bertikala beherantz aukeratu dugunez,masabider grabitate-azelerazioa bider altueraden energia potentzial grabitatorioa

V = −mgz = −mgl cos θ (D.25)

da eta indar orokortua hurrengo indar-momentua:

Q = −∂V∂θ

= −mgl sin θ. (D.26)

6.10 Ez, Z-ren maximo batean gertatzen baita:d2Z

dα2= −sinα

2

(

l +4a

cos3 α

)

da eta oreka-

-puntuand2Z

dα2= −3

2l sinα < 0 dugu.

6.13 Abiaduraren adierazpena koordenatu orokortuetan, guztizbeharrezkoa ez bada ere, (D.12)–(D.14) transformazio-ekuazioetatik lor daiteke neke handirik gabe:

x = 0, (D.27)

y = lθ cos θ, (D.28)

z = −lθ sin θ. (D.29)

Hemendik (edo higidura zirkularrean abiadura eskalarra erradioa bider abiadura angeluarra delakontuan hartuz)r2 = l2θ2 lortzen da eta, beraz, energia zinetikoa

T =1

2mr2 =

1

2ml2θ2. (D.30)

Hortaz, (D.26) erabiliz,

d

dt

∂T

∂θ− ∂T

∂θ= ml2θ = Q = −mgl sin θ. (D.31)

6.15 (D.30) energia zinetikoa eta (D.25) energia potentziala erabiliz, hauxe dugu lagrangearra:

L = T − V =1

2ml2θ2 +mgl cos θ. (D.32)

Lagrange-ren ekuazioak pendulu matematikoaren higidura-ekuazioa ematen digu, jakina:

d

dt

∂L

∂θ− ∂L

∂θ=

d

dt

(

ml2θ)

+mgl sin θ = ml2θ +mgl sin θ = ml2(

θ +g

lsin θ

)

= 0. (D.33)

6.16 mR2[

θ +(

g

R− ω2 cos θ

)

sin θ]

= 0.

6.28 θ =p

ml2.

6.29 H = H(θ, p) =p2

2ml2−mgl cos θ.

6.30 θ =∂H

∂p=

p

ml2, p = −∂H

∂θ= −mgl sin θ.

6.33 Bai.

6.35 Bai.


7. GAIA

7.1 x0 hasierako elongazioa da etav0 hasierako abiadura. Ondoko erlazioak betetzen dira:

θ0 =π

2+ ϕ0,

x0 = A cosϕ0,

v0 = −Aω sinϕ0,

ϕ0 = − arctanv0

ωx0,

A =

√

x20 +

v20

ω2.

D.8 IRUDIA Azelerazio-fasorea1.

7.2 z = −ω2Ceiωt = Cω2ei(ωt+π)=−Aω2 cos(ωt+ϕ0) denez, azelerazioaren modulua|z| = ω2|z| =Aω2 da, baina kontrafasean dago,π balioko aurrerapenarekin (edo atzerapenarekin) biratzenbai-ta.

7.5 RLC zirkuituan kanpo-indarraren ordezkoa ez daV potentziala,dV/dt = Z dI/dt baizik.

7.8 Erabili (7.52) ekuazioa edo, nahiago bada, (7.41) emaitzaf0 = ΩV0/L balioarekin.

7.11 Kasu honetan kanpo-eragina konstantea da eta indar berreskuratzailearen kontrakoa deneangertatzen den oreka-konfigurazioa da soluzio iraunkorra: ez dago beraz, ez energia zinetikorikezta potentzialik ere.

7.14 Erabili (7.41)–(7.43).

1Ikushttp://tp.lc.ehu.es/jma/mekanika/oszilazioak/fasoreak.html orriko animazioa.

http://tp.lc.ehu.es/jma/mekanika/oszilazioak/fasoreak.html


8. GAIA

8.6 Hasieran,L luzerako aldea estaltzeko,N(L) = 1 zirkulu behar da. Lehen urratsean,L/3luzerako segmentuak estaltzekoN(L/3) = 4 zirkulu behar dira eta, oro har,n. pausoan,L/3n

luzerako segmentuak estaltzekoN(L/3n) = 4n beharko dira. Hortaz,

D = − limn→∞

lnN(L/3n)

ln(L/3n)= − lim

n→∞ln 4n

ln(L/3n)= − lim

n→∞n ln 4

lnL− n ln 3=

ln 4

ln 3.

9. GAIA

9.1 La notaren kasuanν = 440 Hz etaλ = 0.77 m dugu eta argi gorriarekinν = 5 × 1014 Hzetaλ = 6 × 10−7 m.

9.2 Abiadura negatiboz (uhin-zenbaki negatiboz) hedatzen denuhina,k > 0 bada:v = −ω/k.

9.3 Eginx = −vt aldagai-aldaketa lehen integralean.

9.4 f(x) =2A

xsin

x

2L.

9.6 5.06 × 103 m s−1. Soinuaren abiadura airean, itsasoaren mailan,340 m s−1 ingurukoa da.

9.7 〈dp〉 = 0, noski.

9.8 8.57 dB. u0 = 7.30 × 10−11 m.I = 7.85 × 10−5 N/m2.

9.9 π/2, osziladore harmoniko guztietan bezala.

9.11 g(n′ · r − vt) ≡ f(n · r + vt) = f [−(n′ · r − vt)] erabil dezakegun′ ≡ −n definitzenbadugu. Izan ere,v > 0 bada,n′ bektorearen norabide eta noranzkoan gertatzen da hedapena.

9.14 Zirkularra, baina lehenengoarenaeskuin-zirkularra eta bigarrenaezker-zirkularra .

9.15 Eremu elektrikoaE = E0ei(k·r−ωt) bada,

1

2ǫ0cE

20 .

9.17 Denak periodikoak direla kontuan hartuz kalkuluak errazten dira.

9.19 1.77 mm.

9.20 (a) Erabili progresio geometrikoaren batura eta Euler-en formula.(b) Ezabatud aldeaD.9 irudikoOPQ etaOPR triangeluen azaleren artean.

9.22 Maximo nagusien ondoko minimoen norabideak.

9.23 Dagozkien soluzioek ez dituztelako mugalde-baldintzak betetzen.

9.24 x =mxa

nx

etay =myb

ny

zuzenetan,mx = 1, 2, . . . , nx − 1 etamy = 1, 2, . . . , ny − 1

balioetarako.

9.26 r =znj

znmR zirkunferentzietan etaϕ =

2k − 1

2nπ(+π) diametroetan,j = 1, 2, . . . , m − 1

etak = 1, 2, . . . , n balioetarako.


D.9 IRUDIA Fasoreen batura.

10. GAIA

10.1 Kontsideratu∆ eragilea diferentziala dela eta erabili Leibniz-en araua.Nahiago bada, garatu∆V = (l + ∆l)(h + ∆h)(z + ∆z) − lhz eta arbuiatu deformazioen biderkadurak.

10.2 Lehenengoa kalkulu zuzena da eta bestea frogatzeko definitu

f(σ) ≡ 1 − σ

(1 + σ)(1 − 2σ)

funtzioa, egiaztatu

f ′(σ) ≡ 2σ(2 − σ)

(1 + σ)2(1 − 2σ)2> 0,

(

0 < σ <1

2

)

dela eta ondorioztatu

f(σ) > f(0) = 1,(

0 < σ <1

2

)

.

10.3

(

dF

dS

)

⊥= τ

i + j + k√3

,

(

dF

dS

)

‖= 0.

10.7 Bai: ez dugu suposatuρ konstantea denik. Bestalde, airearen bultzada hidrodinamikoa ar-buiagarria da.

B ERANSKINA

B.8 0.

B.18 Ordezkatu (B.129) adierazpeneko bi gaiak (B.128) definizio-propietatean. Erabili aipaturi-ko definizioan,f -ren ordez,

f(t) ≡

f (t) , a < t < b;0, t 6∈ [a, b].


(Oro har,t = a, b muturretan,f jarraitua ez denez, emaitza ez dago ondo definiturik.) Bestalde,γ = 1/ǫ erabiliz, azken hiru emaitzak hurrengoen ondorioak dira:

∫ ∞

−∞e−t2 dt =

√π,

∫ ∞

−∞

sin t

tdt = π,

∫ ∞

−∞e±ipt dp = lim

γ→∞

∫ γ

−γe±ipt dp = 2 lim

γ→∞sin γt

t= 2πδ(t).

E ERANSKINA

Problema batzuen soluzioak

1. GAIA

1.4 ϕ =α

2+π

4.

1.5 (a) Elipseak. (b)θ = arccos(

2

3cos θ0

)

.

θ2 =

√

g

3lcos θ0 (9 − cos2 θ0), X2 =

1

3

√

gl cos3 θ0, Y2 = −√

1

12gl cos θ0 (9 − cos2 θ0).

1.6 zmax = z0 +v0m2

k− gm2

2

2k2+u

k

[

m2 −m1 ln(

1 +m2

m1

)]

.

1.7 θ = arccos2

3, v =

√

2

3gR.

1.8M

m+ML, nonM (m) txaluparen (marinelaren) masa den.

1.10 T =k

2a. L =

√kma. ∆E =

k

4a. ∆E =

k

2a.

1.11 Berdina.

1.15h′

h=(

3M −m

M +m

)2

= 9 + O(

m

M

)

.

1.18 m = 12 u. %7.16.

1.19 (a) Eskuinerantz. (b) Eskuinerantz.

1.21 xmax =

√

m

6kv.

1.25 Parabolikoa.

1.27 Ez.

527

528 E Problema batzuen soluzioak

1.28a2

2

(

3 + 2 cosα±√

5 + 4 cosα)

.

1.30 n ≥ 3 inurriren kasuan,∆t =L

2vcsc2 π

nda eta ibilbidear = r0 exp

[

− tanπ

n(ϕ− ϕ0)

]

espiral logaritmikoa.

1.31 Jatorria eztanda gertatu den puntuan aukeratuta,a ≡ 2c ≡ v20

2gdefinizioak egiten badira,

x2

a2+y2

a2+

(z − c)2

c2= 1.

1.32m+M

4g.

1.344mM

m+Mg.

2. GAIA

2.1

cosϕ 0 − sinϕ0 1 0

sinϕ 0 cosϕ

,

1 0 00 cosϕ sinϕ0 − sinϕ cosϕ

.

2.4 −ω1. ω1 + ω2.

2.6 ω0 ≡√

g

R sinαbada,ϕ = 0, π, ± arccos

ω20

ω2. Egonkorra lehenengoa (azken biak) d(ir)a

ω < ω0 (ω > ω0) denean.

2.7 (a) Azelerazioaa i bada,ax+ gz = ktea. (b)2gz − ω2(

x2 + y2)

= ktea.

2.8 Hagatxoan barrenaO-tik neurtutako distantziaz bada:mz = −m g√2

+mω2 z

2.

2.9 OZ ardatza bertikala bada, etaOX hodiaren norabidean:x∣

∣

∣

x=l= ω

√l2 − a2, Ny =

2mω2√x2 − a2, Nz = mg.

2.10 y =2

3ωh

√

2h

gcosλ.

2.11 Goitik ikusita, erlojuaren orratzen kontra.

2.15 Amaieran energia zinetikoa hauxe da:1

2mv2 =

1

2mV 2 +mgh+mV cosα

√

2gh.

2.18

Galdera\ Sistema S ′ S∗ S ′′

(a) Bai Bai Ez(b) Ez beti Ez beti Ez beti(c) Bai Bai Ez beti

3. GAIKO PROBLEMEN SOLUZIOAK 529

3. GAIA

3.2 ∆tB = 3.73 × 10−6 s.

3.3 0.972 c.

3.4 0.8 c, 0.976 c.

3.5 5 min.

3.6 0.992 c, 0.213 c.

3.7 v ≤ 0.115 c, v ≥ 0.99995 c.

3.8 3.71 × 10−13 kg.

3.9 λC.

3.10 28.30 MeV.

3.11 6.01 × 1022 Hz, 4.37 × 1021 Hz.

3.13 (0.73 i + 0.41 j) c, 0.21 m.

3.14Ft√

m2c2 + F 2t2c.

3.15 (a)u = 0.82 c, α = 0. (b)u = 0.80 c, α = 8625′9′′.

3.17 v3 =m1γ1v1 +m2γ2v2

m1γ1 +m2γ2, m3 =

√

m21 +m2

2 + 2m1m2γ1γ2 (1 − β1β2). Ez.

3.18 17.5 GeV.

3.19 84.0, 26.1.

3.20 2.47 × 1022 Hz.

3.21 Pultsu islatuen arteko tartea∆ti bada eta∆t ≡ t2 − t1 egiten badugu:v =∆t− ∆ti∆t+ ∆ti

c.

3.22

1 +

(

mec2

hν

)2

−1/2

c.

3.24 (a) 2E. (b) 2E/c2. (c), (d)2E2 − E2

0

E0.

3.25 Lehertuko da.

3.26

√

c+ v

c− vh.

3

5c.


3.28 (a)12:50. (b)7.2 × 1011 m. (c) 13:30. (d) 16:30.

3.29 p >hν

c, E >

√h2ν2 +m2c4.

3.30 0.1703 MeV, 0.1278 MeV.

3.31vy

vx=eEt

p0, vx =

p0c√

m2c2 + p20 + e2E2t2

.

3.321 −

√

1 − u2/c2

uc2.

3.33 tan θ′ =sin θ

γ(cos θ + v/c).

3.34 Ez.

3.35 Bai. Ez.

3.36 3/5 urte.

3.37 2.17problemako transformazioak berreskuratzen dira.

3.39 (a)0.168 c, 12.1m1. (b) 0.185 c, 0.151 c. (c) 0.9c.

3.40 (x− x0)2 − (ct)2 =

(

c2

a

)2

, x0 ≡ x0 −c2

a.

4. GAIA

4.1 1 h 24 min.

4.4 V (r) = − L2

2mr2 sin2 α, (r, ϕ) =

(

r0√

1 − µt, ϕ0 −1

2tanα ln [1 − µt]

)

, µ ≡ 2L cotα

mr20

,

70.71 s.

4.5 r = r0e− cot α(ϕ−ϕ0) espiral logaritmikoa.

4.7 v =

√

2GM⊙R

. Parabolikoa.

4.8 a =1

4. v =

√

2gR.

4.9 b =√

3R⊕, e = 2, Φ =π

3.

4.10 R >1 + 6ǫ+ ǫ2

(1 − ǫ)2R⊕.


4.11 8129.75 s−1.

4.12dσ

dΩ= 2 ×

4 cos θdσ

dΩ∗

∣

∣

∣

∣

∣

θ∗=2θ

, θ ≤ π

2;

0, θ ≥ π

2.

4.13 (a)dσ

dΩ∗ =a2

4

1, b < a;0, b > a,

nona ≡ R1 +R2 den. σ = πa2.

(b)dσ

dΩ= 2a2 cos θ

1, θ ≤ π/2;0, θ ≥ π/2.

4.14 3v0, arccos3

5.

4.15 (a) Zirkularra. (b)α =π

3.

4.17vmin

vmax=

1 − e

1 + e, 0,

√

1 − e

1 + e.

4.18 (a) v =

√

GM

R⊕, OP ′ = 4R⊕, v′ =

√

GM

2R⊕, α =

π

4. (b) Eliptikoa. (c) Bai.

4.19 v⊥ =

√

GM⊕2R⊕

. 0 (Lurraren azaletik).

4.20 E =1

3E0, v− =

√

5

3v0, v+ =

1√15v0, L =

√

5

3L0.

4.21 k =7mv2

0

8l20.

4.22 m = 6.83 × 1028 kg ≈ 6.70 × 1028 kg.

4.25 L = L0e−γt, v ≈ v0e

γt, r ≈ r0e−2γt.

4.26r0

(1 − ǫ)2.

4.29M −M ′

M ′ . M ′ ≤ M

2.

4.30 1060 km, 7.1 km/s, 98 min.

4.31 C ≡ L2

akm> (1 + 2u0) e

−u0 bada,u0 ≡√

5 − 1

2izanik, bat ere ez.C < (1 + 2u0) e

−u0

denean bi:r = r1 < u0a egonkorra etar = r2 > u0a ezegonkorra.C = (1 + 2u0) e−u0 bada,

bat, baina ezegonkorra.


4.32 r = ae−ϕ espiral logaritmikoa.r =

√

a2 −√

2k t, ϕ = lna

√

a2 −√

2k t.

4.33 Ez.

4.34 V ∝ lnr

r0.

4.35 8.94 h, 360.09 N.

4.36 0.38 mm.

4.37 (a) Egia. (b) Egia. (c) Gezurra.

4.38 72.

4.39〈r〉a

= 1 +e2

2.

4.40 5 670 km/h, 37 500 km/h, 5h14m.

4.41 ∆ = e.

4.42 r =b√2

∣

∣

∣

∣

∣

cothϕ− ϕ0√

2

∣

∣

∣

∣

∣

.

5. GAIA

5.1 Bai.

5.4 Handiagoa.

5.52

3l.

5.6 (a)1

6ma2,

2

3ma2. (b)

1

6ma2,

11

12ma2.

5.7mω2

12abb2 − a2

b2 + a2.

5.8 1/2.

5.111

2π

√

√

√

√

√

g√

R2 − L2/4

R2 − L2/6.

5.13 Solidoa laua denean.

5.14

√

3

4gl.


5.15 Bolaren erradioaa bada,h =7

5a altueran.

5.16 ∆t ≈ 3.03

√

l

a. 0.

5.17a√

70gh

7a− 5h.

5.18 2ml2ω2.3

8π, −1

8π.

5.19d2 − a2

d2 + a2v.

12d2 − 12ad+ a2

12d2 − 12ad+ 7a2v.

5.20 ω =vd

a2 + d2. V =

v

4, ω =

6(2d− a)

7a2 − 12ad+ 12d2v.

5.21 Diskoa.

5.22 L =mω

12

[(

3R2 + d2)

sinα i + 6R2 cosα k]

, N =mω2

12

(

d2 − 3R2)

sinα cosα j.

5.23 hmax = L/√

3.

5.25 Esfera betea, zilindro betea eta zilindro hutsa. Ez.

5.26 d = 0 deneanωmin = 0 etad = L/2 muturreanωmax = 12v/7L. Beti. Ez. Ezer ere ez.Abiadura angeluarra aurreko kasuaren erdia da.

5.271 − 2µB

5√

3.

5.28 N =1

2mR2 ω2 × ω1.

5.29 v1 =ω0a

1 + a2/K2, W = −1

2maω0v1.

5.30 2

√

2√

2 − 2

3gL.

5.31 M ≤ 3µ

1 − 2µm.

6. GAIA

6.1 Horizontaletik neurtutako angeluaarccosl +

√l2 + 128R2

16Rda.


6.3 Hagatxoaren eta katiluaren posizioak emateko horizontaletik neurtutako erlojuaren orratzen

kontrakoϕ eta−θ angeluak erabiltzen badira,cos(2ϕ+ θ) =l

4Rcosϕ =

1

2sin θ.

6.6 z1 = − m1 −m2

m1 +m2 + I/R2g.

6.7 r = Aeωt +Be−ωt +g

2ω2sinωt.

6.8 zi koordenatua dagokion txirrikatik neurtutakomi-ren distantzia bada,

z2 = 2(m2 −m1)m3

4m1m2 + (m1 +m2)m3g, z3 =

(m1 +m2)m3 − 4m1m2

4m1m2 + (m1 +m2)m3g.

6.9 Txirrikatik neurtutako distantzial2 bada,l2 =m2 sin β − 2m1 sinα

4m1 +m2g.

6.10 (m1 +m2) l21ϕ1 +m2l1l2

[

ϕ2 cos (ϕ1 − ϕ2) + ϕ22 sin (ϕ1 − ϕ2)

]

+ (m1 +m2) gl1 sinϕ1 =

0,m2l22ϕ1 +m2l1l2

[

ϕ1 cos (ϕ1 − ϕ2) + ϕ21 sin (ϕ1 − ϕ2)

]

+m2gl2 sinϕ2 = 0.

6.11 F =1

r2

(

1 − r2 − 2rr

c2

)

.

6.12d

dt

mv√

1 − v2/c2

= −V ′(r).

6.13 I =mT

6

(

2g2T 2 + 3v20 − 6gTv0 sinϕ

)

+ ǫ2mπ2

4T.

6.14 t =

√

8a

3g.

6.15 H =p2

x + p2y

2m+ αx+ βy. Bai. βpx − αpy.

6.16 H =1

2m

(

p2ρ +

1

ρ2p2

ϕ + p2z

)

+ V (ρ, ϕ, z).

6.17 H =1

2m

(

p2r +

1

r2p2

θ +1

r2 sin2 θp2

ϕ

)

+ V (r, θ, ϕ).

6.18 7.2irudiko elipseak.

6.19 L =1

2m (r + ω × r)2 − V (r), H =

p2

2m+ V (r) − p · (ω × r).

6.20p1 − aq1

q2, eta abar.

6.21 ϕ = ϕ0 + ϕ0t−gk

4π (R2 + k2/4π2)t2.


6.22 x =y

4= x0 +

mg

4k(1 − cosωt) , ω ≡

√

4k

3m.

6.23 (a)mr −mrϕ2 −mg cosϕ = 0,(

Ml2 +mr2)

ϕ+ 2mrrϕ+ (Ml +mr) g sinϕ = 0.

(b)mr −mrω2 −mg cos (ωt+ ϕ0) = 0.

6.25 (d) ω =M

M + 2mω0. (e)v =

√

M

M + 2mω2

0R2 + 2gR.

6.26 Planoaren abszisaX bada eta erpinetik blokeak egindako bide erlatiboar:

X = − cosα

√

√

√

√

2gh

(1 + u)(

sin2 α + u) , r =

√

√

√

√

2gh(1 + u)(

sin2 α + u) , u ≡ M

m.

6.27 θ = A cos(ωt+ δ), ω ≡√

(M +m)g

Ma.

6.28 (m1 +m2) x−m2l(

θ sin θ + θ2 cos θ)

+ kx− (m1 +m2) g = 0,

m2l2θ −m2lx sin θ +m2gl sin θ = 0.

6.29 O-tik neurtutako distantziamg cosα− kl0mω2 sin2 α− k

denean. Egonkorraω <√

k/m sin2 α bada.

Bai. Ez.

6.30√

gl.

6.31 θ = arccos(

2

3cos θ0

)

.

6.32 (c) Karratuaren zentrotik neurtutako distantziar bada,r =

√2g

ω2(ezegonkorrak). (e) Ez.

6.33 2ωR.

6.34 Ez. Ez.

6.35 Osziladore harmoniko indargetua.

6.36 Hagatxoen eta bertikalaren arteko angeluaθ bada,ω ≥√

m+M

m

g

ldenean,θ = 0 puntua

ezegonkor bihurtzen da etaθ = arccos(m+M)g

mlω2agertzen da.

6.37 (d) aω2 cosα + g = 0.

6.38 Ez, bai. −√

v20 + 4gR, (m≪ M); v0, (M ≪ m).

6.39 Behekoena0 eta goikoenax = 0, y = −√

2gl.

6.40 (c) r =lω0

√

12 + l2/r2

r→∞→ l√12ω0.


6.41 Ez. Ez.

6.42 (c) re = (√

gR, 0), rp = 0. (d)T = 2π

√

2R

g.

6.43 Indargetze gabeko osziladore bortxatua.

6.45 Horizontalaren eta hagatxoaren arteko angeluaα bada, eta hagatxoaren plano bertikalaren

etaOXZ planoaren arteko angeluaϕ:2

3ma2

(

α2 + ϕ2 cos2 α)

+mga sinα,4

3ma2ϕ cos2 α.

6.46 gR/LΩ2 luzerako pendulu matematikoa.

6.47 mx = −V ′(x).

6.48 (x0, y0) puntutik askatzen bada,ϕ parametroaren bidez emandakox = x0 ± a(ϕ− sinϕ),y = y0 − a(1 − cosϕ) zikloidea. Ibilbidea beste puntutik pasatzeko moduan aukeratu behar daa > 0 parametroa.

6.50 Bai.

6.51 Esferaerdiko zentrotikM masara doan segmentuaren eta bertikalaren arteko angeluaθ bada,oreka-posizioaθ = arctanm/M balioari dagokio eta egonkorra da.

6.52 Eman dezagun koordenatu orokortuak hauexek direla: diagonalean zehar eta zentrotik neur-turiko r abszisa eta ardatz bertikalaren ingurukoϕ angelua. Hasieranr < 0 bada —edoϕ = 0—,partikula beheko erpinera doa.r > 0 denean,2r4ϕ2 > gl3 bada, goiko erpinera joango da, bestelahurrengo oreka-puntu egonkorraren inguruan oszilatuko da, pϕ higidura-konstantearen balioaLz

bada:

r = r∗ ≡√

2

(

L2z

m2g

)1/3

.

6.53 qp > 0 bada,r = r0, ϕ = ϕ0,π

2≤ θ ≤ 3π

2zirkunferentzierdian.

qp < 0 bada,r = r0, ϕ = ϕ0, −π

2≤ θ ≤ π

2zirkunferentzierdian.

7. GAIA

7.2 T =

√

32h

g sin2 α.

7.3 T =π

ω.

7.4 k1 + k2,k1k2

k1 + k2

.

7.5 Q =8π

3.


7.6 x =2A

ω2sinωt+

B√10ω2

cos (2ωt+ ϕ1), B >√

40A.

7.7 (C1 + C2t) e−ωt +

A

πω2

∞∑

n=1

(−1)n

n (n2 + 1)2

[(

n2 − 1)

sinnωt+ 2n cosnωt]

.

7.8 x =F0

mω2ωγ

ωγ − e−γt (γ sinωγt+ ωγ cosωγt) , 0 ≤ t ≤ t0,

e−γ(t−t0) [γ sinωγ (t− t0) + ωγ cosωγ (t− t0)]−e−γt [γ sinωγt+ ωγ cosωγt] , t ≥ t0.

7.9 Ikus E.1irudia.

E.1 IRUDIA 7.9problemako fase-espazioa.

7.10 Ez.

7.11 ω1 =√

τ/ml, y1 = y2, ω2 =√

3ω1, y1 = −y2.

7.12 ω1 =

√

3m+ 6M

2m+ 6M

g

l, ϕ1 = ϕ2, ω2 =

√

√

√

√

(3m+ 6M)gl + 12kd2

(2m+ 6M)l2, ϕ1 = −ϕ2 (bertikaletik

neurtutako angeluak diraϕk).

7.13 ω21,2 =

(

1 ∓ 1√2

)

k

m,

x1 =√

2 [A sin (ω1t+ δ1) − B sin (ω2t+ δ2)] +2F0 (k −mΩ2)

k2 − 4kmΩ2 + 2m2Ω4cos Ωt,

x2 = A sin (ω1t+ δ1) +B sin (ω2t+ δ2) +kF0

k2 − 4kmΩ2 + 2m2Ω4cos Ωt.

7.14 Modu nulu bat eta modu bikoitz batω =

√

3k

mpultsazioarekin.

7.15 ω2 = 1 − 2ǫ, ϕ1 = ϕ2 = ϕ3, eta modu bikoitz bat:ω2 = 1 + ǫ, ϕ1 + ϕ2 + ϕ3 = 0.


7.16 Modu nulu bat etaω =

√

(

1 +m

M

)

g

lmaiztasunekoa.

7.17 ω1,2 = 1.66, 0.238 Hz.

7.18 ϕ = 0 modu nulua eta

√

3m+ 4M

6M

g

lpultsazioko3mlϕ = (3m + 4M)X, non zilindroen

erradioen kendural ≡ R− r den.

7.19 ω =1

√

C(L±M), I1 = ±I2.

7.20 ω2 =g

2l,

2g

l, malgukiaren deformazioax =

Q1 −√

2Q2√6m

eta bertikalarekiko angelua

ϕ =Q1 + 2

√2Q2√

6ml.

7.21 Maiztasun normalakω2 = 0,g

l,

3g

l, plataformaren abszisa

Q1 −√

2Q3√3m

eta bertikalarekiko

angeluak±Q2 +

√3Q3√

2ml.

7.22 ω2 =2k

mhagatxoa horizontalean badago etaω2 =

6k

mmasa-zentroa higitzen ez bada.

7.23 ω21 =

3g

4l, lθ = 3x =

3Q1

2√

5m; ω2

2 =2g

l, lθ = −2x =

2Q2√5ml

.

7.24 y = 0, ω21 =

q2

2πǫ0ma3; x = 0, ω2 = 2ω1.

7.26 90, 70 kp.

7.28 r/l > 0.02.

7.29 2π

√

ρa

g.

7.30 8.41 × 1012 Hz.

7.31 -%0.05 eta %0.14.

7.32 γ ≥ 7.76 s−1.

7.33 Q = 100π, ∆ω ≈ 6 s−1.

7.34 110 pF.

7.36 4π

√

a

g.


7.37 Oszilazioak isokronoak dira eta zikloidea —brakistokronoa izateaz gain— tautokronoa da,hau da, edozein altueratik askatuta ere, zikloidean barrena grabitatearen eraginpean higitzen denpartikula batek minimora heltzeko behar duen denbora beti da berdina.

7.38 Oreka-puntutik neurtutako altuera20 sin 4t− 16

√5 sin

√5t

11m-koa dat unean.

7.39 Eginγ = 0 7.8probleman.

7.40 Indargetze kritikoa.

7.41 x = xg + xu → xu =f0

ω2.

7.42 Ikus [48].

7.43 -0.1873 r.

7.44 1.13 × 10−5 J.

7.45 5.8 s.

7.47 (a) Gezurra. (b) Egia.

7.48 (a) ω2 =g

2R,g(M +m)

MR. (b) Eraztunaren zentroa etam masa kokatzeko bertikaletik

neurtutakoθ etaϕ angeluak erabiltzen badira,θ =Q1 +Q2√

8mR2, ϕ =

Q1 − 3Q2√8mR2

.

7.49 (a)L = 84.43 µH. (b) γ = 2.96 × 104 s−1. (c) 106.10. (d) 0.23.

7.50 Q = 100π, ∆ω ≈ 0.95 Hz.

7.51 (c) Muturretako eta erdiko malgukien luzapenakx etay badira,

x =mω2 − k′

mMω4 − [2km+ k′(m+M)]ω2 + 2kk′F0e

iωt − m+M

2kg,

y =mω2

mMω4 − [2km+ k′(m+M)]ω2 + 2kk′F0e

iωt +mg

k′.

7.52 ωi =√

k/m eta orekatik neurtutako malgukien luzapenak, adibidez.

7.53 x1 = −x2 = x1(0) cosωt, ω =√

3k/m.

7.54

√

k

m,√

g

l,(

l ≡ l0 +mg

k

)

.

7.55 (0, 0) egonkorra,(0, 1) eta(

±√

3/2,−1/2)

ezegonkorrak.

7.57 ∆p = mu(

1 − e−2πγ/ωγ

)

.

7.58 ω1 =

√

g

12d, ω2 =

√3ω1,

(

ϕθ

)

= A

(

4−1

)

cos (ω1t+ α) +B

(

41

)

cos (ω2t+ β).


8. GAIA

8.2 D = ln 2/ ln 3.

8.3 D = 3/2. Perimetroa infinitua eta azalera hasierako karratuarena.

9. GAIA

9.3 u(t, r) =f(r − vt) + g(t+ vt)

r, nonf etag hautazko funtzioak diren.

9.5 f(x) =a

2− a

π

∞∑

n=1

sin nkx

n, k ≡ 2π

λ.

9.6 F (k) =i sin kπ

π (k2 − 1).

9.7 y(t, x) =8d

π2

∞∑

k=0

[

(−1)k

(2k + 1)2sin

(2k + 1)πx

Le−i(2k+1)ωt

]

, ω =πv

L. V =

2Td2

L.

9.8 Bai, a < 0 bada.ψ ∝ e±v/√

a(x−vt) egiturakoak bakarrik.

9.10 v =

√

kL2

m.

9.11 vmax= π/10 ms−1.

9.13 vt ≈ 2vf (λ≫ R).

9.14 5 × 103 m s−1, 0.15 J m−3, 0.01 W.

9.17 −3.4 dB, 120 dB.

9.18 Za = ρ0v.

9.19 2 m-tara.

9.20 10 kg/m. 2842.45 W.

9.21 7.88 × 10−10 m.

9.22 Ez.

9.23 1.11 s.

9.25 57.74. 3 × 10−4.

9.26 21.6 kW m−2, 3.9 kW. 3.12 W m−2, 51.6 Pa, 24 µm.


9.27 3.33 × 10−11 T, 8.85 × 10−16 J m−3.

9.29 3.33 × 10−8 T, 2.66 kW polarizazioa zirkularra bada eta1.33 kW polarizazioa linealadenean.

9.31 1097, 919, 1094, 917, 1100, 921 Hz.

9.32 912, 1088, 914, 1091, 909, 1086 Hz.

9.33 79.2 km/h.

9.34 34 m/s, 336.6 m.

9.35 6.73 × 1010 m, 4 × 1034 kg.

9.36 v =(z + 1)2 − 1

(z + 1)2 + 1c.

9.37 Erabili (3.117).

9.38 13.5 × 109 a.

E.2 IRUDIA 9.39problemaren soluzioa.

9.39 E.2 irudikoax = 75.13 m balioarekin.

9.40 Ingurunearen zabaleraa bada, bere errefrakzio-indizean2, kanpoko errefrakzio-indizean1

eta eraso-angeluaθ1 hauxe dugu distantzia:a sin θ1

1 − n1√

n22 + (n2

2 − n21) tan2 θ1

.

9.41 12 m s−1, 5.77 cm, −0.27, 0.73.

9.43 R =Z1 − Z2

Z1 + Z2, T =

2Z1

Z1 + Z2, R =

(

Z1 − Z2

Z1 + Z2

)2

, T =4Z1Z2

(Z1 + Z2)2 .

9.44 −0.033, 0.97.

9.45 0.111, 1.11.

9.46 1 (2) ingurunea airea (ura) bada,T =2ρ1v1

ρ1v1 + ρ2v2,

ρ2v2

ρ1v1T 2.


9.47 0.65 cm.

9.49 1.235.

9.50 0.093.

9.51 48.19.

9.52 0.84′′.

9.53 300 nm. 2π/3.

9.54 4.95 mm.

9.55 π. 1.20 × 10−6 W/m2, 2.98 × 10−6 W/m2, 7.96 × 10−6 W/m2.

9.56 (2n− 1)6 m,n = 1, 2, . . .

9.57 ∆ϕ = 0, 2√

3π.

9.59 33.33.

9.60 0.796 W/m2.

9.61 97.8 nm.

9.63 0.3. 2.

9.66 759 N.

9.67 375 m/s, 1.39.

9.68 33.76 cm. 55.90C.

9.70

n2 2 5 8 10 . . . 50 . . . 65 . . .N 1 2 1 2 . . . 3 . . . 4 . . .nx 1 1 2 2 1 3 . . . 1 5 7 . . . 1 4 7 8 . . .ny 1 2 1 2 3 1 . . . 7 5 1 . . . 8 7 4 1 . . .

9.72 2.26 × 1020.

9.74 0.2 mm.

9.75 616 nm.

9.76 3533. 11.

9.77 0.968, 0, 875, 0.737.

9.79 d ≥ 1.44 mm.

9.80 832 km2.


9.82 225 argi-urtetara edo urrunago.

9.83 4.61′.

9.85 1.01.

9.87 Gauerdian. 170 km-tara.

9.88 Gezurra. Gezurra.

9.89 (a) 0, 4I1. (b) 4I1, 0.

9.90 33 cm.

9.93 36.6.

9.94 C =π2Ty2

0

4L.

9.95 38 eraztun argitsu (51, uraren kasuan).

9.96 6641 lerro zentimetro bakoitzean. Hirugarren espektroa daazkena.

9.97 E0 ≈ 3.82 × 107 W/m2, E0/2, 2.6µm, 25.

9.98 Hormaren perpendikularretik neurtuta, maximoak±30 norabideetan agertzen dira eta mi-nimoak0, ±90 direlakoetan.

9.100 n =√

1 − A/ω2, (hautazko konstantea daA).

9.101 9.78.

9.102 Hiperboloideak.

9.103 Interferentzia-eredua desagertzen da (ez da aldatzen, baina intentsitatea txikiagoa da).

9.104 Ez. Bai. Ez dago horrelakorik.

9.105 u(t, x) = Acos k(L− x)

cos kLsinωt,

(

k ≡ ω

√

µ

T

)

, ν =2n+ 1

4L

√

T

µ, (n = 0, 1, 2, . . .).

9.106 xmin = nλL

3a, n = ±1,±2,±4,±5,±7,±8,±10, . . .

xmax = nλL

a,

2n+ 1

2

λL

a, n = 0,±1,±2, . . ..

9.108 ωn = (2n+ 1)π

L

√

T

µ, n = 0, 1, 2, . . .


10. GAIA

10.1 6.8 km.

10.2 1/2.

10.3 (a) 70 cm. (b) 60 cm.

10.4 0.1 GPa, 0.488, 0.69 mm.

10.5 7384 cm3. Ez.

10.6π

2,

π

4.

10.71

2τu.

10.8V1

dA2/F − V2/B2

.

10.9h

Lg.

10.10 98.18 ms−1.

10.11Q2

2g

(

1

S22

− 1

S21

)

.

10.12 (a)1.5 m s−1, 6 m s−1. (b) 16.88 kPa. (c)13.7 cm.

10.132Q2l4 (r1 − r2)

π2 [r1(l − x) + r2x]5 .

10.14 37.5 kPa, 250 L/s.

10.177

8ρu.

10.18 Urrea %66.

10.20 34 919 N.

10.21 14.9 ms−1, 9.24 L/s, 137.68 N.

10.22 F = kαρL j.

10.23 (c).

10.24 1.37 Pa.

10.252γ cos θ

ρdg.


10.26 3.5 mm.

10.28 Erradioa0.47 mm baino txikiagoa.

10.30 4.1 cm/s.

10.31 12.3.

10.32 Bai.

10.34 9.51 m-tara. 9.33 N. 22.16 N.

10.35 h >1 +

√2

3R.

10.36 0.80.

10.37 v =A

S

√

2gh2, F = ρ

(

h− A2

S2h2

)

Sg.

10.38 200 GPa.

10.39 h/2, h.

10.40 98.8 km/h.

10.41S

CA

√

2h

g.

10.42 Egia.

10.43 u = f(x − at, y − bt, z − ct) etau = f(r − vt) + g(r + vt), non f etag funtzioakhautazkoak diren.

10.44√

2g (d+ h2), p0 − ρgh1,p0

ρg.

10.46 (uij) =1 + σ

Y

F

A

0 0 10 1 01 0 −1

=1 + σ

Y(τij), ∆V = 0.

10.47 −ρQ2 + pS2

S(i + j).

10.48 Jaitsi egingo da.

10.49 Y =L1 + L2

Y1L2 + Y2L2Y1Y2.

10.51 Q =2ρgL

3ηa3.

BIBLIOGRAFIA

Irakurri eta ikasi beharreko testuak

[1] A. P. French,Special Relativity, Norton, New York (1989);Relatividad Especial, Reverté, Barcelona (1996). Gaia: 3.

[2] T. W. B. Kibble and F. H. Berkshire,Classical Mechanics, 5th ed., Imperial College Press,London (2004). Gaiak: 1, 2, 4, 5, 6, 7 eta8.

[3] A. Rañada,Dinámica Clásica, Alianza, Madrid (1992). Gaiak: 1, 2, 4, 5, 6, 7 eta8.

[4] F. S. Crawford,Waves, McGraw-Hill, New York (1965);Ondas, Reverté, Barcelona (1991). Gaiak: 7 eta9.

Testuak osagarriak

[5] J. M. Agirregabiria eta J. R. Etxebarria,Mekanika Analitikoa, 2. argitarapena, Udako EuskalUnibertsitatea, Iruñea (1988). Gaia: 6.

[6] M. Alonso and E. J. Finn,Fundamental university physics, 2nd ed., vol. II, Addison-Wesley,Reading, Mass. (1980);Física, vol. II, Addison-Wesley Iberoamericana, Wilmington, Delaware (1995). Gaiak: 1, 2, 3, 4, 5, 7 eta9.

[7] V. D. Barger and M. G. Olsson,Classical Mechanics, 2nd ed., McGraw-Hill, New York(1995). Gaiak: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 eta8.

[8] J. R. Etxebarria eta F. Plazaola,Mekanika eta uhinak, Udako Euskal Unibertsitatea, Bilbo(1992). Gaiak: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9 eta10.

547

548 BIBLIOGRAFIA

[9] R. P. Feynman, R. B. Leighton and M. L. Sands,The Feynman Lectures on Physics,Addison-Wesley, Reading, Mass. (1989);Física, Addison-Wesley Iberoamericana, Buenos Aires (1987). Gaiak: 1, 2, 3, 4, 7, 9 eta10.

[10] H. Goldstein,Classical Mechanics, 3rd ed., Addison-Wesley, Reading, Mass. (2001);Mecánica Clásica, 2a ed., Reverté, Barcelona (1994). Gaiak: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 eta8.

[11] L. N. Hand and J. D. Finch,Analytical Mechanics, Cambridge University Press, New York(1998). Gaiak: 2, 3, 4, 5, 6, 7 eta8.

[12] E. Hecht,Optics, 4th ed., Addison-Wesley, San Francisco (2002);Óptica, 3a ed., Addison-Wesley Iberoamericana, Buenos Aires (2000). Gaia: 9.

[13] J. B. Marion and S. T. Thornton,Classical dynamics of particles and systems, 5th ed.,Brooks/Cole, Belmont (2004);J. B. Marion,Dinámica clásica de las partículas y sistemas, Reverté, Barcelona (1992). Gaiak: 1, 2, 4, 5, 6 eta7.

[14] H. J. Pain,The Physics of Vibrations and Waves, 5th ed., Wiley, New York (1999). Gaiak: 7 eta9.

[15] A. E. Roy,Orbital Motion, 3th ed., Institute of Physics Publishing, Bristol (1988). Gaia: 4.

[16] J. H. Smith,Introduction to Special Relativity, Dover, Mineola (1995). Gaia: 3.

[17] E. F. Taylor and J. A. Wheeler,Spacetime Physics: Introduction to Special Relativity,2nd ed., Freeman, New York (1997). Gaia: 3.

[18] P. A. Tipler and G. Mosca,Physics for scientists and engineers, 5rd ed., Freeman, New York(2003);Física, 3a ed., Reverté, Barcelona (1992). Gaiak: 1, 2, 3, 7, 9 eta10.

Problema-bildumak

[19] G. L. Kotkin y V. G. Serbo,Problemas de Mecánica Clásica, 2a ed., Mir, Moscú (1988). Gaiak: 1, 4, 5, 6 eta7.

[20] O. Ecenarro,Problemas de Mecánica Resueltos y Comentados, Euskal Herriko Unibertsi-tateko Argitalpen Zerbitzua, Bilbo (2000). Gaiak: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 etaB.

BIBLIOGRAFIA 549

[21] O. Ecenarro,Mecánica y Ondas: Problemas de Examen Resueltos y Comentados, EuskalHerriko Unibertsitateko Argitalpen Zerbitzua, Bilbo (2000). Gaiak: 3, 4, 5, 6 eta7.

[22] O. Ya. Sávchenko,Problemas de Física, Mir, Moscú (1989). Gaiak: 1, 2, 5, 7, 9 eta10.

[23] M. R. Spiegel,Mecánica teórica, Schaum, McGraw-Hill, Madrid (1996). Gaia: 6.

[24] J. I. Vorobiov,La teoría de la relatividad en problemas, Mir, Moscú (1990). Gaia: 3.

[25] D. A. Wells,Dinámica de Lagrange, Schaum, McGraw-Hill, México (1972). Gaia: 6.

[26] L. Yung - kuo,Problems and Solutions on Mechanics, World Scientific, Singapore (1994). Gaiak: 1, 3, 4, 5, 6, 7 eta9.

Testu aurreratuak

[27] G. K. Batchelor,An introduction to fluid dynamics, Cambridge University Press, Cambridge(1973);Introducción a la mecánica de fluidos, Ministerio de Medio Ambiente, Madrid (1997). Gaia: 10.

[28] M. Born and E. Wolf,Principles of Optics, 7th (expanded) ed., Cambridge University Press,Cambridge (1999); Gaia: 9.

[29] F. R. Gantmájer,Mecánica Analítica, Editorial URSS, Moscú (1996). Gaiak: 6, 7 etaB.

[30] J. J. José and E. J. Saletan,Classical Dynamics, Cambridge University Press, New York(1998). Gaiak: 5, 6, 8, 9 eta10.

[31] L. D. Landau and E. M. Lifshitz,Fluid mechanics, 2nd ed., Pergamon Press, New York(1987). Gaia: 10.

[32] L. D. Landau and E. M. Lifshitz,Mechanics, 3rd ed., Pergamon Press, New York (1976);Mecánica, Reverté, Barcelona (1994). Gaiak: 4, 5 eta6.

[33] L. D. Landau and E. M. Lifshitz,Theory of elasticity, 3rd ed., Pergamon Press, New York(1986). Gaia: 10.

550 BIBLIOGRAFIA

Bestelako erreferentziak

Datuak

[34] K. Hagiwaraet al. (Particle Data Group), “The Review of Particle Physics”, Physical Re-view, Vol. D66, 010001 (2002);http://pdg.lbl.gov

[35] P. J. Mohr and B. N. Taylor, “The 2002 CODATA RecommendedValues of the Fundamen-tal Physical Constants, Web Version 4.0”, National Institute of Standards and Technology,Gaithersburg (2003),http://physics.nist.gov/cuu/Constants

Unitate-sistemak

[36] Bureau International des Poids et Mesures,http://www.bipm.org

[37] J. Iturbe, SI Unitateak (Unitate-sistema internazionala), Udako Euskal Unibertsitatea,Iruñea (1980).

Osagarri matematikoak

[38] J. M. Aguirregabiria,Fisika Ikasleentzako Ekuazio Diferentzial Arruntak, Euskal HerrikoUnibertsitateko Argitalpen Zerbitzua, Bilbo (2000).

[39] G. B. Arfken and H. J. Weber,Mathematical Methods for Physicists, 4th ed., AcademicPress, San Diego (1995).

[40] L. Elsgoltz,Ecuaciones diferenciales y cálculo variacional, 4a ed., Editorial URSS, Moscú(1994).

Sistema dinamikoak ebazteko programa

[41] J. M. Aguirregabiria,ODE Workbench, Physics Academic Software, American Institute ofPhysics (1994);Dynamics Solver, http://tp.lc.ehu.es/jma/ds/ds.html Gaiak: 4, 7 eta8, batez ere.

Informatika-baliabideak

[42] A. Franco,Física con ordenador: Curso Interactivo de Física en Internet,http://scsx01.sc.ehu.es/sbweb/fisica

[43] E. Weisstein,Treasure troves of science, http://www.treasure-troves.com

http://pdg.lbl.gov

http://physics.nist.gov/cuu/Constants

http://www.bipm.org

http://tp.lc.ehu.es/jma/ds/ds.html

http://scsx01.sc.ehu.es/sbweb/fisica

http://www.treasure-troves.com

BIBLIOGRAFIA 551

Mekanikaren historia

[44] R. Dugas,A History of Mechanics, Dover, New York (1988).

[45] J. J. O’Connor and E. F. Robertson,MacTutor History of Mathematics archive,http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/index.html

Dibulgazio-liburua

[46] L. Landau eta J. Rumer,Erlatibitatearen Teoria, Elkar, Donostia (1994). Gaia: 3.

Testuan aipatutako artikuluak

[47] K. Y. Bilah and R. H. Scanlan, American Journal of Physics, Vol.59, 118–124 (1991). Gaia: 7.

[48] A. Marchewka, D. S. Abbott and R. J. Beichner, American Journal of Physics, Vol.72,477–483 (2004). Gaia: 7.

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/index.html

552 BIBLIOGRAFIA

AURKIBIDE ALFABETIKOA

Ikurrak′ (deribatua),23˙ (t-rekiko deribatua),5∇, ikusnabla eragilea2, ikusd’Alembert-en eragilea∇2, ikus laplacetarraα, ikusalfa partikulaβ, ikusdimentsio gabeko abiaduraδ, ikusaldakuntza, desplazamendu birtuala, Dirac-en

delta eta Kronecker-en deltaǫ0, ikushutsaren permitibitateaγ, ikus γ koefiziente zinematikoa, gainazal-tentsioa

eta gamma izpiaγ koefiziente zinematikoa,88λ, ikusLamé-ren konstantea eta uhin-luzeraλC, ikusCompton uhin-luzeraµ, ikusLamé-ren konstantea eta iragazkortasun mag-

netikoaµ0, ikushutsaren iragazkortasunaµ−, ikusmuoiaν, ikuslikatasun zinematikoaren koefizientea, maizta-

suna eta neutrinoaη, ikus likatasun dinamikoaren koefizienteaω, ikusabiadura angeluarra eta pultsazioaΩ, ikusabiadura angeluarra eta bortizitateaπ0, ikuspioiaπ±, ikuspioiaτ , ikusesfortzua eta esfortzu-tentsoreaτ−, ikustau partikulaθ, ikusHeaviside-ren funtzioa, ikusArtizarra⊙, ikusEguzkia$, ikusIlargiaX, ikusJupiter⊕, ikusLurra, ikusLurra, ikusMartitz', ikusMerkurio[, ikusNeptuno\, ikusPlutonY, ikusSaturnoZ, ikusUrano

Aa, ikusurteaAbiadura,5

argiaren abiadura,351, 479argiaren abiadura ingurune materialetan,357

azalera-abiadura,14, 123, 133, 136, 515dimentsio gabeko abiadura,112esangura geometrikoa,5fase-abiadura,107, 288, 329, 333, 345, 347, 415,

424, 426, 440hasierako abiadura,22ihes-abiadura,137masa-zentroaren abiadura,119modulua,5norabidea,5noranzkoa,5soinuaren abiadura,340, 485talde-abiadura,333, 389, 415zabaltze-abiadura,441, 454

Abiadura angeluar bektoriala,8Abiadura angeluarra,6, 61–64, 124, 165

solido zurrunaren abiadura angeluarra,163Abiadura-eremua,163, 440–445, 464Abiadura erradiala,6Abiadura eskalarra,5Abiadura-fasorea,255Abiadura limitea,43, 458, 470Abiadura orokortua,210, 215, 228, 229Abiaduraren transformazioa,99–101, 107, 116Absidea,131Abzisa,3Abzisa lerromakurra,6Afelioa, 132Agamemnon,150Ahalmena

bereizmen-ahalmena,393, 394, 397Airea,483, 485Airy-ren diskoa,394Akiles, 150Akzio eta erreakzioaren printzipioa,15, 32, 37, 51,

515Aldaezin erlatibista,94, 106, 109, 113Aldaezintasuna

gauge aldaezintasuna,237Aldagaia

dimentsio gabeko aldagaia,75, 112, 152, 293,298, 309, 320, 341, 455

oinarrizko aldagaia,228Aldagai dinamikoa,232–234Aldagaien banantzearen metodoa,24, 26, 43, 125, 153,

291, 382, 389, 415Aldagai eulertarra,441

553

554 AURKIBIDE ALFABETIKOA

Aldagai lagrangearra,440Aldaketa infinitesimala,504–507Aldaketa infinitesimal birtuala,506Aldakuntza,508Aldakuntzen kalkulua,219, 248, 504–511Alderanzketa,73Aldiberekotasuna,84, 86Aldiuneko intentsitatea,356Alfa partikula,480Alfa partikularen masa,480Aljebra konplexua,499Alkohola,483, 485Altuera,446Altzairua,484Aluminioa,484Amontons-en legea,21, 48Ampère eta Maxwell-en legea,351Ampère-ren legea,449, 498Analisia

Fourier-en analisia,331Analizatzailea,353Angelua

atzerapen-angelua,37bihurdura-angelua,425biraketa-angelua,63, 74, 429eraso-angelua,365, 373errefrakzio-angelua,365Euler-en angelua,58–61, 64, 162islapen-angelua,365polarizazio-angelua,373sakabanatze-angelua,37, 109, 141, 156ukipen-angelua,460

Angelu kritikoa,369Angelu solidoa,142Anomalia

batez besteko anomalia,136benetako anomalia,135

Anomalia eszentrikoa,135Anplitudea,24, 25, 29, 253, 255Anplitudearen islapen-koefizientea,371, 409Anplitudearen transmisio-koefizientea,371, 409Anplitude-erresonantzia,262Anplitude-modulazioa,333Antinodoa,375, 381Antzekotasunaren legea,456Antzekotasun-transformazioa,74, 170, 275Aplikazio-lerroa,14, 19Apoastroa,132Apogeoa,132Apozentroa,132Ardatza

biraketa-ardatza,63, 74, 164inertzia-ardatz nagusia,170–174, 482simetria-ardatza,173transmisio-ardatza,353

Ardatzarekiko inertzia-momentua,165

Ardatzerdi nagusia,132, 138Ardatzerdi txikia,132, 138Ardatz finkoa,164Ardatz nagusia,179

eta energia mekanikoa,136Ardatz optikoa,354Ardatz paraleloen teorema,174, 181Arenstorf-en orbita,150Argand-en diagrama,498Argiaren abiadura,351, 479

ingurune materialetan,357Argiaren abiaduraren aldaezintasunaren printzipioa,84,

86, 87Argi ikusgaia,359, 483Argi-konoa,98–99

etorkizuneko argi-konoa,99iraganeko argi-konoa,99

Argi-koordenatua,404Argi motako tartea,97–98Argi naturala,353Argumentua

zenbaki konplexuaren argumentua,498Argumentuaren balio nagusia,498Arkimedes-en printzipioa,447Arraste-indarra,456Arraste-koefizientea,456Artizarra,, 481Askatasun-gradua,162, 164, 193, 195, 197, 203, 214,

521Astronomiari buruzko datuak,479Astronomia-unitatea,480Ataria

entzumen-ataria,341, 406min-ataria,406

Atmosfera estandarra,447Atoi-indarra,55, 65Atwood-en makina,196, 215, 241Atzerapen-angelua,37Atzerapen-puntua,28, 131, 291Autoantzekotasuna,315Avogadro-ren konstantea,340, 479Azalera-abiadura,14, 123, 133, 136, 515Azalera-bektorea,465Azalera osoaren bektorea,465Azelerazioa,7

grabitate-azelerazioa,69, 301, 479koordenatu esferikoetan,212koordenatu zilindrikoetan,241

Azelerazio angeluar bektoriala,8Azelerazio angeluarra,8Azelerazioaren transformazioa,101, 112Azelerazio-eremua,442Azelerazio-fasorea,255, 523Azelerazio normala,7Azelerazio orokortua,215, 216Azelerazio tangentea,7

AURKIBIDE ALFABETIKOA 555

Azelerazio zentripetoa,8, 65Azimut-indarra,65Aztarna,74, 186, 431

BB, ikuseremu magnetikoa eta bolumen-moduluab, ikusbarnaBaldintza

Bragg-en baldintza,400hastapen-baldintza,22, 147, 193, 238, 272, 463mugalde-baldintza,289, 381–385, 412, 448, 453,

455, 465, 469oreka-baldintza,27, 208–210, 222, 446, 460, 461

Balio eta bektore propioen problema,170, 173, 462Balio eta bektore propio orokortuen problema,275Baliokidetasunaren printzipioa,55Balio nagusia

argumentuaren balio nagusia,498Balio propioa,170–171

biraketa-matrizearen balio propioa,74deformazio-tentsorearen balio propioa,461inertzia-matrizearen balio propioa,170

Balio propio orokortua,275–276Banaketa,502Banantzailea,311Banda-zabaleraren teorema,332Barietate egonkorra,311Barna,159Barne-indarra,32, 164, 437Barne-islapen osoa,369Barometroa,446Barra (unitatea),447Barrunbe erresonantea,387Batez besteko anomalia,136Batez besteko energia potentziala,263Batez besteko energia zinetikoa,263Batez besteko ibilbide askea,146, 340Batez besteko potentzia,263Beira,483, 484Bektorea,5

azalera-bektorea,465azalera osoaren bektorea,465Laplace, Runge eta Lenz-en bektorea,148, 155posizio-bektorea,3Poynting-en bektorea,356Runge eta Lenz-en bektorea,148, 155uhin-bektorea,347

Bektorearen osagaia,3Bektore-notazioa,212Bektore-oinarria,3Bektore propioa,170–171

biraketa-matrizearen bektore propioa,74deformazio-tentsorearen bektore propioa,461inertzia-matrizearen bektore propioa,170

Bektore propio orokortua,275–276Bektore propio unitarioa,172

Bektore unitarioa,3, 4, 7, 19, 47, 56, 58, 69, 109, 170,171, 346, 399, 427, 488, 489, 510, 515

Bektore unitario normala,7, 433Bektore unitario tangentea,5Benetako anomalia,135Benzenberg-en esperimentua,70, 73Berdea,483Bereizmen-ahalmena,393, 394, 397Bernoulli-ren teorema,450–451Bero espezifikoa,340

bolumen konstanteko bero espezifikoa,340presio konstanteko bero espezifikoa,340

BerretzaileaLiapunov-en berretzailea,318ziurgabetasun-berretzailea,319

Berretzaile adiabatikoa,340Bertikala,69Bertrand-en teorema,133Beruna,484Bessel-en ekuazioa,386Bessel-en funtzioa,386, 393, 485Bessel-en funtzioaren zeroa,386, 393, 485Beta desintegrazioa,33Bethe-ren zikloa,105Bibrazio-modua,285Biderkadura

inertzia-biderkadura,169Biderkatzailea

Lagrange-ren biderkatzailea,220–223, 236, 239Biderketa eskalarra,490Biegonkortasuna,308Bigarren likatasun-koefizientea,454Bigarren motako Lagrange-ren ekuazioak,210–213Bigarren ordenako ekuazio diferentzial arrunta,12,

215, 231Bigarren ordenako maximoa,376Bi gorputzen problema,36, 74, 122

talka elastikoa,37Bihurdura-angelua,425Bihurdura-uhina,425Bikien paradoxa,111Binet-en formula,126Binomioa

Newton-en binomioa,104, 285, 290, 376, 402,427

Binormala,7Biraketa,56–61, 164, 429Biraketa-angelua,63, 74, 429Biraketa-ardatza,63, 74, 164Biraketa-erradioa,167Biraketa-higidura,64Biraketa-matrizea,57, 170Biraketa-matrizearen balio propioa,74Biraketa-matrizearen bektore propioa,74Biraketa-modua,285Biraketa-noranzkoa,63


Biraketa-simetria,166Birialaren teorema

Clausius-en birialaren teorema,137Birrefringentzia,354

esfortzu-birrefringentzia,355Birrefringentzia mekanikoa,355Biskosimetroa,465Biskositatea,ikus likatasunaBi zirrikituren esperimentua,375Boltzmann-en konstantea,340, 479Bolumenaren deformazioa,420, 430Bolumen-indarra,437Bolumen konstanteko bero espezifikoa,340Bolumen-likatasunaren koefizientea,454Bolumen-modulua,339, 421, 479, 484, 485Bortizitatea,442, 448Bragg-en baldintza,400Bragg-en legea,403Brakistokronoa,ii , 248, 539Brewster-en legea,373Bulkada,15, 43

unitate-bulkada,502Bulkada angeluarra,15Bultzada hidrostatikoa,447, 457Burdina,484Buru-esperimentua,86, 101, 103, 419Buruz buruko talka,40, 101

Cc, ikusargiaren abiaduraCantor-en multzoa,315Cherenkov-en erradiazioa,362Clausius-en birialaren teorema,137Compton efektua,117Compton-en esperimentua,108Compton-en sakabanatzea,108–109Compton uhin-luzera,109, 479Coriolis-en indarra,65, 70–72, 148Coriolis-en teorema,63, 176, 185, 212Coulomb-en legea,11, 22, 128Cowan eta Reines-en esperimentua,33Cruithne,150

Dd, ikusegunaD’Alembert-en ekuazioa,288D’Alembert-en eragilea,347D’Alembert-en printzipioa,203–205D’Alembert-en soluzioa,328, 404Datuak

astronomiari buruzko datuak,479bolumen-moduluak,479dentsitateak,479errefrakzio-indizeak,479erresistentziak,479gainazal-tentsioak,479inertzia momentu nagusiak,479

koloreak,479konstante fisikoak,479likatasun-koefizienteak,479oinarrizko partikulen masak,479soinuaren abiadurak,479Young-en moduluak,479

Deformazioabolumenaren deformazioa,420, 430ebakidura-deformazioa,428luzetarako deformazioa,419, 428zeharkako deformazioa,421

Deformazio-eremua,335, 338, 424, 427, 429, 431,441

Deformazio-eremu irrotazionala,429Deformazio-eremu solenoidala,431Deformazio iragankorra,418Deformazio iraunkorra,418Deformazio-tentsorea,426–431, 461Deformazio-tentsorearen balio propioa,461Deformazio-tentsorearen bektore propioa,461Deformazio unitarioa,419, 427Delta

Dirac-en delta,265, 267, 331, 497, 501–504Kronecker-en delta,57, 169, 233, 265

De Moivre-ren teorema,499Denbora,4

lasaikuntza-denbora,256Denbora karakteristikoa,256, 258Denbora minimoaren printzipioa,401Denbora motako tartea,96–97Denbora propioa,92, 111Denborarekiko deribatua,442Denboraren zabalkuntza,92–94Dentsitatea,479, 484, 485

energia-dentsitatea,338, 356energia elastikoaren dentsitatea,435indar-dentsitatea,436indar elastikoaren dentsitatea,437karga-dentsitatea,497korronte-dentsitatea,443, 498masa-dentsitatea,165, 336momentu lineal elektromagnetikoaren dentsita-

tea,357Deribatua

denborarekiko deribatua,442konbekzio-deribatua,443substantzia-deribatua,443

Deribatu lokala,443Deribatu osoa,207Descartes-en urpekaria,470Desfasea,271, 279, 280Desintegrazioa

beta desintegrazioa,33Desintegrazio-legea

Rutherford eta Soddy-ren desintegrazio-legea,93Desplazamendu birtuala,200–202, 441, 506


Desplazamendu infinitesimala,17, 18Detergentea,461Dezibela,341Diagrama

Argand-en diagrama,498energia-diagrama,27gorputz askearen diagrama,13, 221Laue-ren diagrama,400Minkowski-ren diagrama,85, 89

Diamantea,483, 484Dibergentzia,492–494Dibergentziaren teorema,ikusGauss-en teoremaDifrakzioa,390–400

Fraunhofer-en difrakzioa,390, 393, 395Fresnel-en difrakzioa,398X izpien difrakzioa,399

Difrakzio-eredua,393Difrakzio-maximoa,486Difrakzio-maximoaren ordena,393, 396Difrakzio-sarea,396Dikroismoa,354Dimentsioa

edukiera,316Dimentsio bakarreko indar-eremua,19, 23, 27Dimentsio bakarreko problema baliokidea,124, 127,

240Dimentsio bakarreko problema kontserbatzailea,23Dimentsio gabeko abiadura,112Dimentsio gabeko aldagaia,75, 112, 152, 293, 298,

309, 320, 341, 455Dimentsio gabeko magnitudea,419, 423, 428, 456Dinamika

partikula puntuala,8–15partikula-sistema,31–42solido zurruna,164–165, 175–181

Dipolo elektrikoa,249Dirac-en delta,265, 267, 331, 497, 501–504Diskoa

Airy-ren diskoa,394Distantzia

esekidura-distantzia,168Doppler efektua,111, 360, 362, 377, 401, 408Doppler efektu elektromagnetikoa,362Duffing-en ekuazioa,309, 322

Ee, ikusoinarrizko kargae−, ikuselektroiaEbakidura-deformazioa,428Ebakidura-esfortzua,422, 432, 445, 452Ebakidura-maiztasuna,413Ebakidura-modulua,423, 436Ebazpen-metodoa,22Eboluzio-ekuazioa,13, 21, 28, 33, 55, 158, 166, 232,

234, 314, 424, 432, 450, 455energia mekanikoaren eboluzio-ekuazioa,21, 28

Eboluzio-ekuazio kolektiboa,33, 55

Edukiera,316Efektua

Compton efektua,117Doppler efektua,111, 360, 362, 377, 401, 408Doppler efektu elektromagnetikoa,362Magnus efektua,449, 469Mössbauer efektua,111tximeleta efektua,314Venturi efektua,451

Efektu fotoelektrikoa,86, 457Egoera-ekuazioa,445Egonkortasuna,127, 179Eguna,480Egurra,484Eguzkia,⊙, 481Eguzkiaren erradioa,481Eguzkiaren masa,481Einstein-en erlatibitatearen printzipioa,84Einstein-en postulatuak,84–86Einstein-en trena,115Ekintza,217–218, 242

osziladore harmonikoaren ekintza,218Ekintza minimoaren printzipioa,218–219, 401Ekuazioa

Bessel-en ekuazioa,386d’Alembert-en ekuazioa,288Duffing-en ekuazioa,309, 322eboluzio-ekuazioa,13, 21, 28, 33, 55, 158, 166,

232, 234, 314, 424, 432, 450, 455egoera-ekuazioa,445Euler-en ekuazioa,448higidura-ekuazioa,12, 211, 436, 438, 439, 448jarraitutasunaren ekuazioa,444, 445Kepler-en ekuazioa,135Laplace-ren ekuazioa,449lotura-ekuazioa,194–196, 198, 199, 216, 521mekanikaren ekuazio orokorra,204Navier eta Stokes-en ekuazioa,454orbitaren ekuazioa,125, 129, 155Schrödinger-en uhin ekuazioa,326, 328, 405soka bibrakorraren ekuazioa,288transformazio-ekuazioa,4, 193–199, 203, 204,

207, 210, 214, 226, 521uhin-ekuazioa,288, 328, 346, 347, 385, 424, 426,

439Young-en ekuazioa,460

Ekuazioakbigarren motako Lagrange-ren ekuazioak,210–

213Euler-en ekuazioak,175–181Euler eta Lagrange-ren ekuazioak,510Fresnel-en ekuazioak,373Hamilton-en ekuazio kanonikoak,230–231, 233Lagrange-ren ekuazioak,210–218, 221, 223, 228,

230, 231, 275lehen motako Lagrange-ren ekuazioak,213–217


Maxwell-en ekuazioak,82, 365, 497Ekuazio autonomoa,314Ekuazio diferentziala

bigarren ordenako ekuazio diferentzial arrunta,12, 215, 231

koefiziente konstanteetako ekuazio diferentzial li-neala,25

Ekuazio kanonikoak,230–231, 233Ekuazio karakteristikoa,170, 275Elastikotasuna,418Elastikotasun-modulua,419Elastikotasun-muga,418Elastikotasun-tentsorea,435–436Elektrodinamika

Maxwell-en elektrodinamika,82, 84, 107Weber-en elektrodinamika,242

Elektroia,480Elektroiaren masa,480Elkarrindukzio-koefizientea,299Elongazioa,24, 252, 516Elur-maluta

von Koch-en elur-maluta,316, 322Emaria,444, 453Emari-koefizientea,451Energia

lotura-energia,105, 115pausaguneko energia,105

Energia-dentsitatea,338, 356Energia-diagrama,27Energia elastikoa,20, 435Energia elastikoaren dentsitatea,435Energia-erresonantzia,263Energia mekanikoa,20–21, 226

eboluzio-ekuazioa,21eta ardatz nagusia,136

Energia mekanikoaren eboluzio-ekuazioa,28Energia mekanikoaren kontserbazio-printzipioa,21, 248,

291, 450Energia osoa,104Energia potentziala,17–18, 27, 206, 214

batez besteko energia potentziala,263Hénon eta Heiles-en energia potentziala,304Yukawa-ren energia potentziala,158

Energia potentzial elastikoa,155, 450Energia potentzial eraginkorra,124, 127, 128, 240Energia potentzial grabitatorioa,17Energia potentzial orokortua,214, 242Energia potentzial zentrifugoa,124Energia propioa,105Energiaren fluxua,357Energiaren kontserbazio-printzipioa,109, 110, 113,

114Energiaren transformazioa,106, 116Energia zinetikoa,16, 31, 33, 104, 167, 169, 211

batez besteko energia zinetikoa,263Energia zinetikoaren transformazioa,79

Energia zinetiko intrintsekoa,36Enigma estatikoa

Roberval-en enigma estatikoa,191Entzumen-ataria,341, 406Eragilea

d’Alembert-en eragilea,347nabla eragilea,17, 212, 490–494

Erakarlea,259, 310, 312Erakarle bitxia,314, 317Eraso-angelua,365, 373Eraso normala,373, 380Eraso tangentea,374Eraztunak

Newton-en eraztunak,414Eredua

difrakzio-eredua,393Kelvin-en eredua,362

Eremua,326, 418abiadura-eremua,163, 440–445, 464azelerazio-eremua,442deformazio-eremua,335, 338, 424, 427, 429, 431,

441esfortzu-eremua,335indar-eremua,17tentsio-eremua,335

Eremuaren iturria,497, 498Eremu bektoriala,17, 490Eremu elektrostatikoa,497Eremu eskalarra,17, 490Eremu irrotazionala,18, 495Eremu kontserbatzailea,495Eremu magnetostatikoa,497Eremu solenoidala,495–496Eremu tentsoriala,428, 432Erlatibitatearen printzipioa,10, 84

Einstein-en erlatibitatearen printzipioa,84Galileo-ren erlatibitatearen printzipioa,8

Erlatibitate berezia,4, 10, 81–111, 363, 408Erlatibitate orokorra,55, 99Erlazioa

sakabanatze-erlazioa,302, 334, 344, 406, 413,415

ErradiazioaCherenkov-en erradiazioa,362

Erradiazio-presioa,401Erradioa

biraketa-erradioa,167Eguzkiaren erradioa,481kurbadura-erradioa,7Lurraren erradioa,155, 481

Erreaktantzia,260Erreaktore nuklearra,159Erreferentzia-sistema,2, 35

espazioaren erreferentzia-sistema,176, 179eterraren erreferentzia-sistema,10, 82


laborategiko erreferentzia-sistema,9, 35, 36, 54,67, 113, 147, 156, 507

masa-zentroaren erreferentzia-sistema,35, 38, 46,54, 55, 113, 119, 133, 147, 149, 156, 164,181, 284, 507, 513

solidoaren erreferentzia-sistema,176, 281Erreferentzia-sistema ez-inertziala,64–66, 212, 241Erreferentzia-sistema inertziala,8, 9, 35, 82, 164, 192,

202Erreferentzia-sistema propioa,90Errefrakzioa,364–374

uhin elektromagnetikoen errefrakzioa,372Errefrakzio-angelua,365Errefrakzio bikoitza,354Errefrakzio-indizea,357, 362, 367, 380, 381, 389, 415,

479, 483Errefrakzio-indize absolutua,367, 368Erregela

katearen erregela,19, 514Newton eta Barrow-en erregela,237

Erresistentzia,259, 419, 479konpresioarekiko erresistentzia,419, 484trakzioarekiko erresistentzia,419, 484

Erresonantzia,261–264, 274anplitude-erresonantzia,262energia-erresonantzia,263

Erresonantzia-kurba,262Errodadura-marruskadura,22Erro karakteristikoa,275Erro nagusia,500Errotazionala,18, 491–492, 495Esekidura-distantzia,168Esfortzua,419

ebakidura-esfortzua,422, 432, 445, 452konpresio-esfortzua,419trakzio-esfortzua,419

Esfortzu-birrefringentzia,355Esfortzu-eremua,335Esfortzu normala,335, 419, 431Esfortzu-tentsorea,431–435, 447Eskalarra,5Espazioa

fase-espazioa,231, 253, 310konfigurazio-espazioa,202–203, 231

Espazioaren erreferentzia-sistema,176, 179Espazioaren konoa,179Espazio-denborako tartea,94–99, 111Espazio motako tartea,95–96Espektroa,331Espektro elektromagnetikoa,358Espektro ikusgaia,483Espektrometroa,364, 397Esperimentua

Benzenberg-en esperimentua,70, 73bi zirrikituren esperimentua,375buru-esperimentua,86, 101, 103, 419

Compton-en esperimentua,108Cowan eta Reines-en esperimentua,33Geiger eta Marsden-en esperimentua,145Hafele eta Keating-en esperimentua,93Hertz-en esperimentua,82Ives eta Stilwell-en esperimentua,93, 364Michelson eta Morley-ren esperimentua,82Millikan-en esperimentua,457, 470Rossi eta Hall-en esperimentua,93Rutherford eta Marsden-en esperimentua,49Young-en esperimentua,375, 377, 413

Espiral logaritmikoa,528, 532Estatika analitikoa,208–210Eszentrikotasuna,129, 151Eten-puntua,330Eterraren erreferentzia-sistema,10, 82Etorkizuneko argi-konoa,99Euler-en angelua,58–61, 64, 162Euler-en ekuazioa,448Euler-en ekuazioak,175–181Euler-en formula,499Euler-en teorema,227Euler eta Lagrange-ren ekuazioak,510Eureka,150

FFaktorea

Q faktorea,34kalitate-faktorea,290, 297, 303

Faraday eta Henry-ren legea,350Fasea,25, 253, 255, 329

hasierako fasea,253Fase-abiadura,107, 288, 329, 333, 345, 347, 415, 424,

426, 440Fase-espazioa,231, 253, 310Fase-ibilbidea,231, 233, 243, 253Fase-orbita,233, 243Fasorea,254, 255

abiadura-fasorea,255azelerazio-fasorea,255, 523

FenomenoaGibbs fenomenoa,330

Fermat-en printzipioa,401Fermi,159Film mehea,379Fisioa,105Fluidoa,440Fluidoen mekanika,418Fluido ideala,447–451Fluido konprimiezina,235, 445, 454Fluido likatsua,452–458Fluxua,443, 492, 493, 496

energiaren fluxua,357Fokua,132, 138, 151, 256, 310Foku-parametroa,129, 132, 138, 151Forma cartesiarra

zenbaki konplexuaren forma cartesiarra,498


Forma koadratikoa,227Formalismoa

Hamilton-en formalismoa,230–232Hamilton eta Jacobi-ren formalismoa,192Lagrange-ren formalismoa,231

Forma polarrazenbaki konplexuaren forma polarra,498

FormulaBinet-en formula,126Euler-en formula,499Rutherford-en sakabanatze-formula,145

Fotoelastikoatsuna,355Fotoia,107, 357Fotoiaren maiztasuna,107Fotoi-suziria,114Foucault-en pendulua,67, 71–72Fourier-en analisia,331Fourier-en seriea,264, 290, 329Fourier-en transformazioa,265, 331Fraktala,316Fraunhofer-en difrakzioa,390, 393, 395Fresnel-en difrakzioa,398Fresnel-en ekuazioak,373Frontea

uhin-frontea,99, 361Funtzioa

Bessel-en funtzioa,386, 393, 485Green-en funtzioa,266Heaviside-ren funtzioa,267integral eliptiko osoa,501sakabanatze-funtzioa,321

Funtzio eliptikoa,500–501Funtzio erregularra,218Funtzio homogeneoa,227Funtzionala,508Funtzional egonkorra,509Funtzio orokortua,502

Gg, ikusgrabitate-azelerazioaG, ikusebakidura-moduluaeta Newton-en grabitazio-

-konstanteaGainazala

nodo-gainazala,375uhin-gainazala,365

Gainazal-indarra,437, 458Gainazal-tentsioa,344, 348, 458–461, 479, 485Gainazal-tentsioaren uhina,345Gainazal-uhina,369, 374Gainazelerazioa,12Gainezarmenaren printzipioa,12, 25, 26, 32, 264, 267,

271, 420, 421, 448Gainindargetzea,256Galileo

mekanika galilearra,82Galileo-ren erlatibitatearen printzipioa,8Galileo-ren inertziaren legea,8

Galileo-ren transformazioa,9, 11, 50, 54, 82, 83, 181,360, 363, 401

Gamma izpia,111, 358Garaiera,3Garapena

Taylor-en garapena,30, 104, 147, 152, 292, 490,504

Gasen konstantea,340, 479Gas ideala,340Gauge aldaezintasuna,237Gauss-en legea,350, 497Gauss-en teorema,437, 438, 444, 466, 493Geiger eta Marsden-en esperimentua,145Geometria,2Geometria euklidearra,2Gertaera,83Gibbs fenomenoa,330Giroskopioa,161Glizerina,485Goi-harmonikoa,330Gorputz askearen diagrama,13, 221Gorputz elastikoaren higidura-ekuazioa,436Gorria,483Gorriranzko lerrakuntza,112, 364, 408Grabitatearen eraginpeko higidura,72–73Grabitate-azelerazioa,69–70, 301, 479Grabitate-uhina,345, 413Grabitazio unibertsalaren legea,11, 74, 128Grabitoia,107Gradientea,17, 212, 490–491, 495Gradua

askatasun-gradua,162, 164, 193, 195, 197, 203,214, 521

Green-en funtzioa,266

Hh, ikusorduah, ikusPlanck-en konstanteah, ikusPlanck-en konstante laburtuaHafele eta Keating-en esperimentua,93Hamiltondarra,225–230, 242, 243Hamiltondarra eta energia mekanikoa,226Hamiltondarraren esangura,226–227Hamiltondarraren kontserbazio-printzipioa,227–228,

232–233Hamilton-en ekuazio kanonikoak,230–231, 233Hamilton-en formalismoa,230–232Hamilton-en printzipioa,217–219, 237Hamilton eta Jacobi-ren formalismoa,192Harmonikoa,289, 382

goi-harmonikoa,330lehen harmonikoa,330oinarrizko harmonikoa,330, 382

Harrapatze-sekzio eragile osoa,159Hasierako abiadura,22Hasierako fasea,253Hasierako posizioa,22


Hastapen-baldintza,22, 147, 193, 238, 272, 463Hastapen-baldintzen menpekotasun sentikorra,314Haustura-muga,418Heaviside-ren funtzioa,267Hedatzailea,266Heisenberg-en ziurgabetasunaren printzipioa,332Hektor,150Helizea,243Helmholtz-en teorema,431, 440, 496–498Hénon eta Heiles-en energia potentziala,304Herpolodia,179Hertz-en esperimentua,82Hezurra,484Hidrostatika,445–447Hidrostatikaren oinarrizko legea,446, 463Higidura

biraketa-higidura,64oszilazio-higidura,252translazio-higidura,64

Higidura angeluarra,125Higidura bertikala,70Higidura biperiodikoa,270, 312Higidura-ekuazioa,12, 211, 436, 438, 439, 448

gorputz elastikoaren higidura-ekuazioa,436Higidura erlatiboa,53Higidura erradiala,124Higidura horizontala,70–71Higidura-konstantea,13, 21, 23, 33, 79, 238, 515Higidura kuasiperiodikoa,312Higidura laua,6, 8, 14, 47Higidura oszilakorra,28Higidura zirkularra,8Hiru gorputzen problema,148Hiru gorputzen problema murriztu zirkularra,74, 79,

148Hodia

Pitot-en hodia,463Prandtl-en hodia,468

Hodi zabaleko manometroa,446Hodografoa,160Hohmann-en orbita,153Holografia,397Hooke-ren legea,20, 26, 31, 252, 335, 339, 418–420,

422–424, 435, 473Horia,483Hormigoia,484Hubble-ren konstantea,364Hubble-ren legea,364Hurbilketa lineala,26Hutsaren iragazkortasuna,351, 479, 498Hutsaren permitibitatea,351, 479, 497Huygens-en printzipioa,376

Ii, ikusunitate irudikariaIbilbidea,4, 51, 441

batez besteko ibilbide askea,146, 340

fase-ibilbidea,231, 233, 243, 253Identitatea

Jacobi-ren identitatea,233Identitate matrizea,57, 462Ihes-abiadura,137Ikurra

magnitude-ordenaren ikurra,262Ikusgaia

argi ikusgaia,359Ilargia,$, 481Im , ikusparte irudikariaIndar aldaratzailea,128, 516Indar berreskuratzailea,20Indar bizien teorema,16, 108Indar-dentsitatea,436Indar elastikoaren dentsitatea,437Indar eragilea,203, 226Indar erakarlea,128, 516Indar-eremua,17

dimentsio bakarreko indar-eremua,19Indar-eremu kontserbatzailea,17Indar-eremu zentrala,19, 121–150, 217, 225Indargetzea

gainindargetzea,256Indargetze ahula,256Indargetze-koefizientea,20, 255Indargetze kritikoa,257Indar kontserbatzailea,17–18, 206, 214, 218, 222, 226,

253Indar-legea,127Indar magnetikoa,21Indar-momentua,13, 31Indar newtondarra,128–139Indar normala,21, 197, 200, 210Indar orokorra,265–267Indar orokortua,205–208, 221Indar osoa,11Indar periodikoa,264–265Indar-poloa,14, 19, 122, 132, 138Indarra,11, 31, 108

arraste-indarra,456atoi-indarra,55, 65azimut-indarra,65barne-indarra,32, 164, 437bolumen-indarra,437Coriolis-en indarra,65, 70–72, 148denboraren menpeko indarra,22erlatibitate berezian,108gainazal-indarra,437, 458inertzia-indarra,55, 192, 212itsaspen-indarra,460kanpo-indarra,32, 164, 436Lorentz-en indarra,207lotura-indarra,192, 195, 201, 220, 235, 238, 241marruskadura-indarra,12, 18, 21, 27, 28, 192,

195, 197, 198, 201


tentsioa,13ukipen-indarra,12, 13, 21, 51, 69, 195, 197, 431

Indar sinusoidala,258–259Indar zentrala,14, 19, 121–150, 217, 225, 515Indar zentrifugoa,65, 68, 69, 124, 148Indizea

errefrakzio-indizea,357, 362, 367, 380, 381, 389,415, 483

Indukzioaren legea,350Inertzia-ardatz nagusia,170–174, 482Inertzia-biderkadura,169Inertzia-indarra,55, 192, 212Inertzia-matrizea,169, 181Inertzia-matrizearen balio propioa,170Inertzia-matrizearen bektore propioa,170Inertzia-momentua,165, 169, 426

solido lau mehearen inertzia-momentuak,186Inertzia-momentu nagusia,170–174, 187, 479, 482Inertzia-norabide nagusia,170–174Inertzia-plano nagusia,172Inertzia-tentsorea,168–174, 187, 428Inflexio-puntua,28, 504Infragorria

izpi infragorria,359Ingurune sakabanatzailea,334, 344, 345, 362, 389Inpedantzia,259–261, 343, 409

zeharkako inpedantzia,343Inpedantzia akustiko espezifikoa,406Inpedantzia karakteristikoa,343Inpedantzia mekanikoa,260Integrala

Jacobi-ren integrala,79, 227–228, 232lehen integrala,23lerro-integrala,491

Integral eliptikoa,26, 126, 187, 500–501Integral eliptiko osoa,291, 500–501Integrazioa

zatikako integrazioa,210, 509, 514Intentsitatea,142, 146, 353

aldiuneko intentsitatea,356uhinaren intentsitatea,338

Intentsitatearen islapen-koefizientea,408, 409Intentsitatearen transmisio-koefizientea,408, 409Intentsitate-maila,341Interferentzia,374–381Interferentzia eraikitzailea,375, 380Interferentzia-kolorea,354Interferentzia suntsitzailea,375, 380Iraganeko argi-konoa,99Iragazkia

maiztasun-iragazkia,389Iragazkortasuna,357

hutsaren iragazkortasuna,351, 479, 498Irispidea

Rayleigh-en irispidea,393, 394, 397Irradiantzia,356

Irrati-uhina,359Irudia,367

Lissajous-en irudia,155, 268–270, 272Islapena,364–374

ispilu-islapena,367uhin elektromagnetikoen islapena,372

Islapen-angelua,365Islapen-koefizientea,370–372Islapen lausoa,367Islapen osoa,369Ispilua

Lloyd-en ispilua,410Ispilu-islapena,367Itsaspen-indarra,460Iturria

eremuaren iturria,497, 498Iturri koherenteak,375Ives eta Stilwell-en esperimentua,93, 364Izotza,483, 484Izpia,365

gamma izpia,111, 358X izpia, 358

Izpi infragorria,359Izpi ultramorea,359

JJacobi,160Jacobiarra,235Jacobi-ren identitatea,233Jacobi-ren integrala,79, 227–228, 232Jario egonkorra,445Jario hamiltondarra,235Jario irrotazionala,450Jario konprimiezina,445Jario laminarra,456Jario zurrunbilotsua,456Jarraitutasunaren ekuazioa,444, 445Jaurtigaia,37Jazarpen-kurba,51Jomuga,37Jotze-parametroa,141Jotze-zentroa,186Jupiter,X, 481Jurin-en legea,461

Kk, ikusBoltzmann-en konstantea eta uhin-zenbakiaK0, ikusmesoiaK±, ikusmesoiaKalitate-faktorea,290, 297, 303Kalkulua

aldakuntzen kalkulua,219, 248, 504–511Kanpo-indarra,32, 164, 176, 436Kaos determinista,304, 307Kapilaritatea,461Karbono-zikloa,105Karga


oinarrizko karga,457, 479Karga-dentsitatea,497Katearen erregela,19, 514Kater-en pendulua,186Kausalitatea,95, 97, 98, 100Kautxua,484Kelvin-en eredua,362Kepler-en bigarren legea,123, 150, 515Kepler-en ekuazioa,135Kepler-en hirugarren legea,133, 150, 160Kepler-en legeak,155Kepler-en lehen legea,132, 150Kepler-en orbita,130Kepler-en problema,128–139Kilogramoa,11Kizkur-uhina,345Kobrea,484Koefizientea

anplitudearen islapen-koefizientea,371, 409anplitudearen transmisio-koefizientea,371, 409arraste-koefizientea,456bigarren likatasun-koefizientea,454bolumen-likatasunaren koefizientea,454elkarrindukzio-koefizientea,299emari-koefizientea,451indargetze-koefizientea,20, 255intentsitatearen islapen-koefizientea,408, 409intentsitatearen transmisio-koefizientea,408, 409islapen-koefizientea,370–372likatasun dinamikoaren koefizientea,452, 464likatasun-koefizientea,452, 485likatasun zinematikoaren koefizientea,454marruskadura dinamikoaren koefizientea,21marruskadura estatikoaren koefizientea,22Poisson-en koefizientea,420, 467transmisio-koefizientea,370–372

Koefiziente konstanteetako ekuazio diferentzial linea-la, 25

Koherentzia-luzera,377, 380Kolorea,359, 479, 483

interferentzia-kolorea,354Konbekzio-deribatua,443Konfigurazioa,162, 192, 193, 197, 200, 203, 218Konfigurazio-espazioa,202–203, 231König-en teorema,36Konoa

argi-konoa,98–99espazioaren konoa,179etorkizuneko argi-konoa,99iraganeko argi-konoa,99solidoaren konoa,178

Konplexu konjugatua,499Konpresioarekiko erresistentzia,419, 484Konpresio-esfortzua,419Konprimigarritasun-modulua,339, 421, 463Konstantea

Avogadro-ren konstantea,340, 479Boltzmann-en konstantea,340, 479gasen konstantea,340, 479higidura-konstantea,13, 21, 23, 33, 79, 238, 515Hubble-ren konstantea,364Lamé-ren konstante elastikoak,436Planck-en konstantea,218, 332, 479Planck-en konstante laburtua,233, 357, 479

Konstante berreskuratzailea,20Konstante berreskuratzaile baliokidea,297Konstante fisikoak,479Kontrafasea,271, 274, 279, 284, 523Kontserbazio-printzipioa,33, 215, 224, 232–234

energia mekanikoaren kontserbazio-printzipioa,21, 248, 291, 450

energiaren kontserbazio-printzipioa,109, 110, 113,114

hamiltondarraren kontserbazio-printzipioa,227–228, 232–233

masaren kontserbazio-printzipioa,444momentu angeluarraren kontserbazio-printzipioa,

14, 33, 515momentu linealaren kontserbazio-printzipioa,13,

33, 38, 101, 102, 108–110, 113, 114, 154Koordenatua,487

argi-koordenatua,404Koordenatu ahanzgarria,223Koordenatu cartesiarra,3, 4, 7, 12, 22, 130, 132, 135,

155, 162, 192–194, 203, 210–212, 215, 224,226, 229, 230, 241, 487, 515

Koordenatu esferikoa,44, 183, 192–194, 211, 215,220, 225, 226, 239, 242, 243, 348, 489, 491–494

Koordenatu normala,272, 275Koordenatu orokortua,4, 192–202, 216, 228, 231Koordenatu ortogonala,278Koordenatu polar esferikoa,ikus koordenatu esferi-

koaKoordenatu polar laua,3, 6, 8, 14, 47, 51, 123, 125,

135, 136, 139, 151Koordenatu polar zilindrikoa,ikus koordenatu zilin-

drikoaKoordenatu-sistema,192, 487Koordenatu ziklikoa,223, 232, 238, 240, 243, 519Koordenatu zilindrikoa,166, 174, 182, 192, 193, 224,

226, 241, 449, 469, 488, 491–494Korronte-dentsitatea,443, 498Korronte-lerroa,445Kronecker-en delta,57, 169, 233, 265Kuartzoa,483Kurba

erresonantzia-kurba,262jazarpen-kurba,51loturadun muturrekoa,511muturreko kurba,218, 508–511

Kurbadura,7


Kurbadura-erradioa,7Kurba konikoa,127, 151

LLabaina

Occam-en labaina,104Laborategiko erreferentzia-sistema,35, 36, 54, 67, 113,

147, 156, 507Lagrangearra,214, 218, 242Lagrange-ren biderkatzailea,220–223, 236, 239Lagrange-ren biderkatzaileen metodoa,210Lagrange-ren ekuazioak,210–218, 221, 223, 228, 230,

231, 275bigarren motako Lagrange-ren ekuazioak,210–

213lehen motako Lagrange-ren ekuazioak,213–217

Lagrange-ren formalismoa,231Lagrange-ren puntua,45, 75, 149Lagrange-ren teorema,209Lamé-ren konstante elastikoak,436Lana,16–17, 108Lan birtuala,201Lan birtualen printzipioa,208Laplace, Runge eta Lenz-en bektorea,148, 155Laplace-ren ekuazioa,449Laplacetarra,346, 494Laranja,483Lasaikuntza-denbora,256Latitudea,67Laue-ren diagrama,400Legea

Amontons-en legea,21, 48Ampère eta Maxwell-en legea,351Ampère-ren legea,449, 498antzekotasunaren legea,456Bragg-en legea,403Brewster-en legea,373Coulomb-en legea,11, 22, 128Faraday eta Henry-ren legea,350Galileo-ren inertziaren legea,8Gauss-en legea,350, 497grabitazio unibertsalaren legea,11, 74, 128hidrostatikaren oinarrizko legea,446, 463Hooke-ren legea,20, 26, 31, 252, 335, 339, 418–

420, 422–424, 435, 473Hubble-ren legea,364indar-legea,127indukzioaren legea,350Jurin-en legea,461Kepler-en bigarren legea,123, 150, 515Kepler-en hirugarren legea,133, 150, 160Kepler-en lehen legea,132, 150Malus-en legea,354Newton-en bigarren legea,11, 54, 55, 65, 203,

211, 336, 348, 424, 438, 448Newton-en grabitazio unibertsalaren legea,11,

74, 128

Newton-en hirugarren legea,15, 32, 37, 51, 55,164, 419, 515

Newton-en legea,456–458Newton-en lehen legea,8Ohm-en legea,259Poiseuille-ren legea,452Snell-en legea,367, 373, 401Stokes-en legea,456–458

LegeakKepler-en legeak,155Newton-en dinamikaren legeak,8

Legendre-ren transformazioa,228–231Lehen harmonikoa,330Lehen integrala,23Lehen motako Lagrange-ren ekuazioak,213–217Lehen ordenako maximoa,376Lerrakuntza

gorriranzko lerrakuntza,112, 364, 408urdineranzko lerrakuntza,112, 364

Lerroaaplikazio-lerroa,14, 19korronte-lerroa,445unibertso-lerroa,85

Lerro-integrala,491Lerro zuzentzailea,151Letoia,484Liapunov-en berretzailea,318Likatasuna,449, 452–458Likatasun dinamikoaren koefizientea,452, 464Likatasun-koefizientea,452, 479, 485

bigarren likatasun-koefizientea,454bolumen-likatasunaren koefizientea,454

Likatasun zinematikoaren koefizientea,454Limite orokortua,503Liouville-ren teorema,234Lissajous-en irudia,155, 268–270, 272Lloyd-en ispilua,410Lorentz-en indarra,207Lorentz-en transformazioa,87–89Lorentz eta Fitzgerald-en uzkurdura,90–92Lotura,192–202Loturadun muturra,506–507Loturadun muturrekoa,511Lotura-ekuazioa,194–196, 198, 199, 216, 521Lotura-energia,105, 115Lotura higikorra,239Lotura holonomoa,199–200, 213, 218Lotura holonomo egonkorra,200, 203Lotura holonomo erreonomoa,200Lotura holonomo eskleronomoa,200Lotura holonomo higikorra,200Lotura ideala,201, 213, 218Lotura-indarra,192, 195, 201, 220, 235, 238, 241Lurra,⊕, , 17, 481Lurraren erradioa,155, 481Lurraren gainazala,67–73


Lurraren masa,481Luzera,67

koherentzia-luzera,377, 380uhin-luzera,289, 329, 408

Luzera baliokidea,168Luzera propioa,91Luzeraren uzkurdura,90–92Luzetarako deformazioa,419, 428Luzetarako modulua,422, 436Luzetarako uhina,341, 439

Mme, ikuselektroiaren masamp, ikusprotoiaren masaM⊙, ikusEguzkiaren masaM⊕, ikusLurraren masaMach-en uhina,361Mach-en zenbakia,445, 456Magnitudea

dimentsio gabeko magnitudea,419, 423, 428, 456Magnitude kolektiboa,31Magnitude-ordenaren ikurra,262Magnus efektua,449, 469Maila

intentsitate-maila,341polarizazio-maila,354

Maiztasuna,107, 252, 328ebakidura-maiztasuna,413oinarrizko maiztasuna,289, 382

Maiztasun-iragazkia,389Maiztasun normala,271Makina

Atwood-en makina,196, 215, 241Malgukia,20Malus-en legea,354Manometroa,446

hodi zabaleko manometroa,446Marruskadura,21–22, 264

errodadura-marruskadura,22Marruskadura dinamikoa,21Marruskadura dinamikoaren koefizientea,21Marruskadura estatikoa,22Marruskadura estatikoaren koefizientea,22Marruskadura-indarra,12, 18, 21, 27, 28, 192, 195,

197, 198, 201Marruskadura lehor dinamikoa,192, 195Marruskadura lehorra,22Martitz, , 481Masa,11, 31

alfa partikularen masa,480Eguzkiaren masa,481elektroiaren masa,480Lurraren masa,481mesoiaren masa,480muoiaren masa,480neutroiaren masa,480oinarrizko partikulen masak,479

pausaguneko masa,103pioiaren masa,480protoiaren masa,480tau partikularen masa,480

Masa aldakorra,11, 48, 154Masa atomikoa,49Masa atomikoaren unitatea,479Masa-dentsitatea,165, 336Masa erlatibista,103, 104, 108Masa gabeko partikula,98, 107Masa inertziala,11Masa laburbildua,37, 38, 122Masa molarra,340Masa-momentua,13, 31, 181Masa propioa,103Masaren kontserbazio-printzipioa,444Masa-zentroa,34, 35, 38, 43, 46, 55, 74, 113, 119,

133, 147–149, 156, 163, 164, 168, 175, 177,181, 197, 198, 209, 222, 238, 284, 507, 513

Masa-zentroaren abiadura,119Masa-zentroaren erreferentzia-sistema,35, 38, 46, 54,

55, 113, 119, 133, 147, 149, 156, 164, 181,284, 507, 513

Matrizeabiraketa-matrizea,57, 170identitate matrizea,57, 462inertzia-matrizea,169, 181

Matrize iraulia,57, 169Matrize-notazioa,57Matrize ortogonala,57Maximoa,28, 209, 504

bigarren ordenako maximoa,376difrakzio-maximoa,486lehen ordenako maximoa,376zero ordenako maximoa,376

Maxwell-en ekuazioak,82, 365, 497Maxwell-en elektrodinamika,82, 84, 107Mekanika analitikoa,191Mekanika bektoriala,2Mekanika estatistikoa,235Mekanika galilearra,82Mekanika newtondarra,2Mekanikaren ekuazio orokorra,204Meniskoa,461Menpekotasun sentikorra

hastapen-baldintzen menpekotasun sentikorra,314Merkurio,', 481Merkurioa,485Mesoia,480Mesoiaren masa,480Metodoa

aldagaien banantzearen metodoa,24, 26, 43, 125,153, 291, 382, 389, 415

ebazpen-metodoa,22Lagrange-ren biderkatzaileen metodoa,210

Metroa,3


Michelson eta Morley-ren esperimentua,82Mihiztadura ahula,280Mikrouhina,359Milibarra, 447Millikan-en esperimentua,457, 470Min-ataria,406Minimoa,28, 209, 504Minkowski-ren diagrama,85, 89Modua

bibrazio-modua,285biraketa-modua,285translazio-modua,285

Modulazioaanplitude-modulazioa,333

Modulua,5bolumen-modulua,339, 421, 484, 485ebakidura-modulua,423, 436elastikotasun-modulua,419konprimigarritasun-modulua,339, 421, 463luzetarako modulua,422, 436Young-en modulua,334, 335, 419, 484zenbaki konplexuaren modulua,498zurruntasun-modulua,423

Modu normala,268, 270, 382Modu normal endekatua,281Modu normal nulua,276, 283, 284Molekula,283Momentua

ardatzarekiko inertzia-momentua,165indar-momentua,13, 31inertzia-ardatz nagusia,170–174inertzia-momentua,165, 169, 426inertzia-momentu nagusia,187, 482masa-momentua,13, 31, 181

Momentu angeluar intrintsekoa,36Momentu angeluarra,13, 31, 33, 165Momentu angeluarraren kontserbazio-printzipioa,14,

33, 515Momentu kanonikoa,223–225, 519Momentu lineala,13, 31, 33

erlatibitate berezian,101Momentu linealaren kontserbazio-printzipioa,13, 33,

38, 101, 102, 108–110, 113, 114, 154Momentu linealaren transformazioa,79, 106, 116Momentu lineal elektromagnetikoarendentsitatea,357Momentu orokortua,228, 231Morea,483Mössbauer efektua,111Muga

elastikotasun-muga,418haustura-muga,418osin-muga,311proportzionaltasun-muga,418

Mugalde-baldintza,289, 381–385, 412, 448, 453, 455,465, 469

Multzoa

Cantor-en multzoa,315Muoia,480Muoiaren masa,480Mutur-puntua,27, 209, 504–507

loturadun muturra,506–507Muturreko kurba,218, 508–511

loturadun muturrekoa,511

Nn, ikusneutroia eta errefrakzio-indizeaNA, ikusAvogadro-ren konstanteaNabla eragilea,17, 212, 490–494Navier eta Stokes-en ekuazioa,454Neptuno,[, 481Nestor,150Neutrinoa,11, 33, 105Neutroia,480Neutroiaren masa,480Newton-en bigarren legea,11, 54, 55, 65, 203, 211,

336, 348, 424, 438, 448Newton-en binomioa,104, 285, 290, 376, 402, 427Newton-en dinamikaren legeak,8Newton-en eraztunak,414Newton-en grabitazio unibertsalaren legea,11, 74, 128Newton-en hirugarren legea,15, 32, 37, 51, 55, 164,

419, 515Newton-en legea,456–458Newton-en lehen legea,8Newton-en paradoxa,51Newton-en Principia,8, 155Newton-en problema,150Newton-en sehaska,50Newton eta Barrow-en erregela,237Nicol-en prisma,354Nobel saria,86, 109, 144, 358, 397, 400, 457Nodoa,289, 310, 375, 381Nodo-gainazala,375Nodo-planoa,389Norabidea

inertzia-norabide nagusia,170–174Norabide nagusia,426Noranzkoa

biraketa-noranzkoa,63Normala,21, 197, 200, 210Notazioa,5, 16, 58, 63, 67, 268

bektore-notazioa,212matrize-notazioa,57

Nukleoen dimentsioa,146Nutazioa,175

OO, ikusmagnitude-ordenaren ikurraOccam-en labaina,104Ohm-en legea,259Oinarria

bektore-oinarria,3Oinarrizko aldagaia,228


Oinarrizko harmonikoa,330, 382Oinarrizko karga,457, 479Oinarrizko maiztasuna,289, 382Oinarrizko partikulen masa,479–480Oinarrizko pultsazioa,289Okinaren transformazioa,317Orbita,125

Arenstorf-en orbita,150fase-orbita,233, 243Hohmann-en orbita,153Kepler-en orbita,130

Orbita eliptikoa,131Orbita geoegeonkorra,160Orbita hiperbolikoa,138Orbita homoklinikoa,310Orbita irekia,137Orbita itxia,127, 130Orbita newtondarra,140Orbita parabolikoa,137Orbita-parametroa,481Orbita periodikoa,127, 130Orbitaren ekuazioa,125, 129, 155Orbita zirkularra,127, 131, 158Ordena

difrakzio-maximoaren ordena,393, 396magnitude-ordenaren ikurra,262

Ordenatua,3Ordua,480Oreka,27, 419Oreka-baldintza,27, 208–210, 222, 446, 460, 461Oreka egonkorra,29, 209, 252Oreka erlatiboa,44, 45, 75, 238Oreka ezegonkorra,29Oreka neutroa,284Oreka-puntua,27Orientazioa,56–61, 162Osagaia

bektorearen osagaia,3Osina,311Osin-muga,311Osziladore harmonikoa,20, 24, 30, 178, 233, 252

anplitudea,24Osziladore harmoniko anisotropoa bi dimentsiotan,267–

270Osziladore harmonikoaren ekintza,218Osziladore harmoniko bortxatua,257–267, 536Osziladore harmoniko gainindargetua,26Osziladore harmoniko indargetua,20, 25, 255, 535Osziladore lineala,264Oszilazioa,251Oszilazio bortxatua,273Oszilazio elektrikoa,295Oszilazio ez-lineala,291, 298Oszilazio-higidura,252Oszilazio isokronoak,252Oszilazio mihiztatuak,270

Oszilazio txikia,26, 30, 235, 238, 274

Pp, ikusmomentu lineala, presioa eta protoiaPaketea

uhin-paketea,331–334, 345Paradoxa

bikien paradoxa,111Newton-en paradoxa,51Zenon-en paradoxa,48

Paradoxa hidrostatikoa,469Parametroa

foku-parametroa,129, 132, 138, 151jotze-parametroa,141orbita-parametroa,481

Parseca,480Parte erreala

zenbaki konplexuaren parte erreala,498Parte irudikaria

zenbaki konplexuaren parte irudikaria,498Partikula

masa gabeko partikula,107Partikula askea,8, 9Partikula puntuala,192Partikula-sistema,31–42, 106, 193, 211Pascala,419Patroklo,150Pauli,33Pausaguneko energia,105Pausaguneko masa,103pc, ikusparsecaPendulua,12, 26, 30

Foucault-en pendulua,67, 71Kater-en pendulua,186

Pendulu baliokidea,168Pendulu bikoitza,242, 292Pendulu elastikoa,304Pendulu esferikoa,194, 203, 216, 225Pendulu fisikoa,167Pendulu matematikoa,195, 205–207, 213, 216, 220,

221, 223, 227–231, 233, 236, 252, 253, 291,522

Pendulu matematikoaren periodoa,291Pendulu mihiztatuak,276Pendulu zikloidala,301Periastroa,132Perigeoa,132Perihelioa,132Periodoa,133, 328

pendulu matematikoaren periodoa,291Perizentroa,130, 132

nukleoen dimentsioa,146Permitibitatea,357

hutsaren permitibitatea,351, 479, 497Pioia,480Pioiaren masa,480Pisua,437


Pitot-en hodia,463Planck-en konstantea,218, 332, 479Planck-en konstante laburtua,233, 357, 479Planetoidea,74, 148Planoa

inertzia-plano nagusia,172nodo-planoa,389simetria-planoa,173

Plano aldapatsua,197Plano aldapatsu higikorra,79, 198, 201, 204, 206, 207,

213, 217, 223, 225, 227–233Plasma-uhina,413Platinoa,484Pluton,\, 481Poincaré-ren sekzioa,312Poisea,452Poiseuillea,452Poiseuille-ren legea,452Poisson-en koefizientea,420, 467Poisson-en makoa,233–234Poisson-en puntua,398Polarizatzaile lineala,353Polarizazioa,343, 352, 353Polarizazio-angelua,373Polarizazio eliptikoa,344, 353Polarizazio eskuin-zirkularra,524Polarizazio ezker-zirkularra,524Polarizazio lineala,343, 353Polarizazio-maila,354Polarizazio zirkularra,344, 353Poloa,14, 19, 122

indar-poloa,14, 19, 122, 132, 138Polodia,178Portaera elastikoa,418Portaera plastikoa,418Positroia,105Posizioa,3

hasierako posizioa,22Posizio-bektorea,3Posizio erlatiboa,32, 162Potentzia,16, 31, 108

batez besteko potentzia,263erlatibitate berezian,108

Potentziala,495Potentzial bektoriala,496Potentzial elastiko isotropoa,155Potentzial eskalarra,495Potentzial orokortua,207–208Potentzial-putzua,28Poynting-en bektorea,356Prandtl-en hodia,468Presioa,420, 435, 437, 445, 447

erradiazio-presioa,401Presio dinamikoa,450Presio estatikoa,450Presio hidrostatikoa,420

Presio konstanteko bero espezifikoa,340Presio manometrikoa,446Prezesioa,133, 161, 174–175Priamo,150Primarioa,74, 148Principia

Newton-en Principia,8, 155Printzipioa

akzio eta erreakzioaren printzipioa,15, 32, 37,51, 515

argiaren abiaduraren aldaezintasunaren printzi-pioa,84, 86, 87

Arkimedes-en printzipioa,447baliokidetasunaren printzipioa,55D’Alembert-en printzipioa,203–205denbora minimoaren printzipioa,401Einstein-en erlatibitatearen printzipioa,84ekintza minimoaren printzipioa,218–219, 401energia mekanikoaren kontserbazio-printzipioa,

21, 248, 291, 450erlatibitatearen printzipioa,10, 84Fermat-en printzipioa,401gainezarmenaren printzipioa,12, 25, 26, 32, 264,

267, 271, 420, 421, 448Galileo-ren erlatibitatearen printzipioa,8hamiltondarraren kontserbazio-printzipioa,227–

228, 232–233Hamilton-en printzipioa,217–219, 237Heisenberg-en ziurgabetasunarenprintzipioa,332Huygens-en printzipioa,376kontserbazio-printzipioa,33, 215, 224, 232–234lan birtualen printzipioa,208masaren kontserbazio-printzipioa,444Torricelli-ren printzipioa,209ziurgabetasunaren printzipioa,332

PrismaNicol-en prisma,354

Problemabalio eta bektore propioen problema,170, 173,

462balio eta bektore propio orokortuen problema,

275bi gorputzen problema,36, 74, 122

talka elastikoa,37dimentsio bakarreko problema baliokidea,124,

127, 240dimentsio bakarreko problema kontserbatzailea,

23hiru gorputzen problema,148hiru gorputzen problema murriztu zirkularra,74,

79, 148Kepler-en problema,128–139Newton-en problema,150

Problema antzekoak,456Problema baliokidea,26, 27, 31, 37, 44, 122, 124,

127, 168, 221, 236, 240


Proportzionaltasun-muga,418Protoia,480Protoiaren masa,480P uhina,424Pultsazioa,20, 328, 347, 357

oinarrizko pultsazioa,289Pultsazio normala,271Pultsazio propioa,252Pultsua,331Puntua

atzerapen-puntua,28, 131, 291eten-puntua,330inflexio-puntua,28, 504Lagrange-ren puntua,45, 75, 149loturadun muturra,506–507mutur-puntua,27, 209, 504–507oreka-puntua,27Poisson-en puntua,398zela-puntua,310

Puntu lagrangearra,ikusLagrange-ren puntuaPuntu singularra,218Putzua

potentzial-putzua,28

QQ, ikuskalitate-faktorea etaQ faktoreaQ faktorea,34Quasarra,408

RR, ikusgasen konstanteaR⊙, ikusEguzkiaren erradioaR⊕, ikusLurraren erradioaRayleigh-en irispidea,393, 394, 397Rayleigh-en sakabanatzea,355Re , ikusparte errealaReynolds-en zenbakia,455, 457RLC zirkuitua,257, 262, 290, 295Roberval-en enigma estatikoa,191Röntgen,358Rossi eta Hall-en esperimentua,93Runge eta Lenz-en bektorea,148, 155Rutherford-en sakabanatze-formula,145Rutherford eta Marsden-en esperimentua,49Rutherford eta Soddy-ren desintegrazio-legea,93

SSabela,375Sakabanatzea,355

Compton-en sakabanatzea,108–109Rayleigh-en sakabanatzea,355

Sakabanatze-angelua,37, 109, 141, 156Sakabanatze angeluarra,397Sakabanatze anomaloa,368Sakabanatze-erlazioa,302, 334, 344, 406, 413, 415Sakabanatze-formula

Rutherford-en sakabanatze-formula,145

Sakabanatze-funtzioa,321Sakabanatze kaotikoa,307, 320Sakabanatze newtondarra,141–147Sakabanatze normala,368Sarea

difrakzio-sarea,396Saturno,Y, 481Schrödinger-en uhin ekuazioa,326, 328, 405Segundoa,4Sehaska

Newton-en sehaska,50Sekzioa

Poincaré-ren sekzioa,312Sekzio eragilea,142–147, 159Sekzio eragile diferentziala,142, 156Sekzio eragile osoa,145, 156, 159

harrapatze-sekzio eragile osoa,159Semi-latus rectuma,129Seriea

Fourier-en seriea,264, 290, 329Simetria,51, 166, 224, 225, 243

biraketa-simetria,166Simetria-ardatza,173Simetria-planoa,173Sistema

erreferentzia-sistema,2, 35erreferentzia-sistema ez-inertziala,212espazioaren erreferentzia-sistema,176koordenatu-sistema,192, 487partikula-sistema,106, 193, 211solidoaren erreferentzia-sistema,176, 281

Sistema bakartua,33Sistema Internazionala,3, 4, 11, 84, 341, 419, 452,

459Sistema mekaniko naturala,226, 238, 240, 274, 519Snell-en legea,367, 373, 401Sodioa,483Soinua,338Soinuaren abiadura,340, 479, 485Soka

tentsiopeko soka,341Soka bibrakorraren ekuazioa,288Soka diskretua,285, 300, 406Soka jarraitua,288, 341Solidoaren erreferentzia-sistema,176, 281Solidoaren konoa,178Solido lau mehearen inertzia-momentuak,186Solido zurruna,55, 58, 161, 196Solido zurrunaren abiadura angeluarra,163Solido zurrunaren abiadura-eremua,163Soluzioa

d’Alembert-en soluzioa,328, 404Soluzio iragankorra,258, 273Soluzio iraunkorra,258, 265, 273Sputnik,158Steiner-en teorema,181


Stokes-en legea,456–458Stokes-en teorema,442, 492Substantzia-deribatua,443S uhina,424Suziria

fotoi-suziria,114

TT , ikusenergia zinetikoa eta periodoaTalde-abiadura,333, 389, 415Talka,33

buruz buruko talka,40, 101Talka elastikoa,37, 45Talka superelastikoa,49Talka-uhina,361Tartea,83

argi motako tartea,97–98denbora motako tartea,96–97espazio-denborako tartea,111espazio motako tartea,95–96

Tarte nulua,97–98Taupada,281, 333, 407, 415Tau partikula,480Tau partikularen masa,480Tautokronoa,539Taylor-en garapena,30, 104, 147, 152, 292, 490, 504Tenis-erraketaren teorema,180Tentsioa,13, 335, 419

gainazal-tentsioa,344, 348, 458–461, 485Tentsio-eremua,335Tentsiopeko soka,341Tentsio-tentsorea,ikusesfortzu-tentsoreaTentsorea,169–170

deformazio-tentsorea,426–431, 461elastikotasun-tentsorea,435–436esfortzu-tentsorea,431–435, 447inertzia-tentsorea,168–174, 187, 428tentsio-tentsorea,ikusesfortzu-tentsorea

Tentsore antisimetrikoa,429Tentsore erdidefinitu positiboa,171Tentsore simetrikoa,170, 428, 432Teorema

ardatz paraleloen teorema,174, 181banda-zabaleraren teorema,332Bernoulli-ren teorema,450–451Bertrand-en teorema,133Clausius-en birialaren teorema,137Coriolis-en teorema,63, 176, 185, 212de Moivre-ren teorema,499dibergentziaren teorema,ikusGauss-en teoremaEuler-en teorema,227Gauss-en teorema,437, 438, 444, 466, 493Helmholtz-en teorema,431, 440, 496–498indar bizien teorema,16, 108König-en teorema,36Lagrange-ren teorema,209Liouville-ren teorema,234

Steiner-en teorema,181Stokes-en teorema,442, 492tenis-erraketaren teorema,180Torricelli-ren teorema,450

Tetrabektorea,116Tiro parabolikoa,47, 51, 73Torricelli-ren printzipioa,209Torricelli-ren teorema,450Torua,312Trakzioarekiko erresistentzia,419, 484Trakzio-esfortzua,419Transformazioa

abiaduraren transformazioa,99–101, 107, 116antzekotasun-transformazioa,74, 170, 275azelerazioaren transformazioa,101, 112energiaren transformazioa,106, 116energia zinetikoaren transformazioa,79Fourier-en transformazioa,265, 331Galileo-ren transformazioa,9, 11, 50, 54, 82, 83,

181, 360, 363, 401Legendre-ren transformazioa,228–231Lorentz-en transformazioa,87momentu linealaren transformazioa,79, 106, 116okinaren transformazioa,317

Transformazio-ekuazioa,4, 193–199, 203, 204, 207,210, 214, 226, 521

Translazioa,54–55, 79, 164Translazio-higidura,64Translazio-modua,285Transmisio-ardatza,353Transmisio-koefizientea,370–372Trena

Einstein-en trena,115Tribologia,22Triedro intrintsekoa,7, 47Triedro nagusia,171Troiarra,150Trukatzailea,233Tungstenoa,484Turbulentzia,456Tximeleta efektua,314

Uu, ikusdeformazio unitarioa, deformazio-tentsorea eta

masa atomikoaren unitateaua,ikusunitate astronomikoaUhina,107, 325

bihurdura-uhina,425gainazal-tentsioaren uhina,345gainazal-uhina,369, 374grabitate-uhina,345, 413irrati-uhina,359kizkur-uhina,345luzetarako uhina,341, 439Mach-en uhina,361plasma-uhina,413p uhina,424


s uhina,424talka-uhina,361zeharkako uhina,341, 424, 439

Uhinak egitura periodiko batean,344Uhinaren intentsitatea,338Uhin-bektorea,347Uhin-ekuazioa,288, 328, 346, 347, 385, 424, 426,

439bi dimentsiotan,347hiru dimentsiotan,346koordenatu polarretan,385Schrödinger-en uhin-ekuazioa,326, 328, 405

Uhin elastikoa,334, 439Uhin elektromagnetikoa,349Uhin elektromagnetikoen errefrakzioa,372Uhin elektromagnetikoen islapena,372Uhin elkarzutak,411Uhin erasotzailea,364Uhin errefraktatua,364Uhin esferikoa,348Uhin-frontea,99, 361Uhin-gainazala,365Uhin geldikorra,289, 381–389Uhin-gida,388Uhin harmonikoa,328Uhin islatua,364Uhin kapilarra,345Uhin laua,346Uhin-luzera,289, 329, 408

Compton uhin-luzera,109, 479Uhin monokromatikoa,329Uhin-paketea,331–334, 345Uhin periodikoa,329Uhin-zenbakia,289, 328, 347Ukipen-angelua,460Ukipen-indarra,12, 13, 21, 51, 69, 195, 197, 431Ultramorea

izpi ultramorea,359Ultrasoinua,361Unibertsoaren zabalkuntza,364Unibertso-lerroa,85Unitatea

astronomia-unitatea,480masa atomikoaren unitatea,479

Unitate astronomikoa,480Unitate-bulkada,502Unitate irudikaria,498Ura,483, 485Urano,Z, 481Urdina,483Urdineranzko lerrakuntza,112, 364Urpekaria

Descartes-en urpekaria,470Urrea,484Urtea,480Uzkurdura

Lorentz eta Fitzgerald-en uzkurdura,90–92

VVenturi efektua,451Von Koch-en elur-maluta,316, 322

WWeber-en elektrodinamika,242

XX izpia, 358X izpien difrakzioa,399Xurgapena,354

YY , ikusYoung-en moduluaYoung-en ekuazioa,460Young-en esperimentua,375, 377, 413Young-en modulua,334, 335, 419, 479, 484Yukawa-ren energia potentziala,158

ZZabalkuntza

denboraren zabalkuntza,92–94unibertsoaren zabalkuntza,364

Zabaltze-abiadura,441, 454Zatikako integrazioa,210, 509, 514Zeharkako deformazioa,421Zeharkako inpedantzia,343Zeharkako uhina,341, 424, 439Zeinua,47Zela-puntua,310Zenbakia

Mach-en zenbakia,445, 456Reynolds-en zenbakia,455, 457uhin-zenbakia,289, 328, 347

Zenbaki konplexua,498–500Zenbaki konplexuaren argumentua,498Zenbaki konplexuaren forma cartesiarra,498Zenbaki konplexuaren forma polarra,498Zenbaki konplexuaren modulua,498Zenbaki konplexuaren parte erreala,498Zenbaki konplexuaren parte irudikaria,498Zenbaki konplexu konjugatua,499Zenon-en paradoxa,48Zentroa,253, 310

jotze-zentroa,186masa-zentroa,34, 35, 38, 43, 46, 55, 74, 113,

119, 133, 147–149, 156, 163, 164, 168, 175,177, 181, 197, 198, 209, 222, 238, 284, 507,513

ZeroaBessel-en funtzioaren zeroa,386, 393, 485

Zero ordenako maximoa,376Ziba esferikoa,172Ziba simetrikoa,172, 174, 177–179Zikloa, 256


Bethe-ren zikloa,105karbono-zikloa,105

Zikloidea,301, 536Ziklo limitea, 312, 318, 319Zilarra,484Zirkuitua

RLC zirkuitua,257, 262, 290Zirkulazioa,442, 469, 491, 492, 495Ziurgabetasunaren printzipioa,332

Heisenberg-en ziurgabetasunarenprintzipioa,332Ziurgabetasun-berretzailea,319Zurrunbiloa,456Zurruntasun-modulua,423Zuzentzailea,151

HIZTEGIA

Testuan erabilitako zenbait hitz eta esapide tekniko biltzen dira hurrengo orrietan, irakurleakjakin dezan testu honetan euskaraz ikasten duena nola idazten den inguruko erdaretan eta na-zioarteko fisikaren hizkuntzan. Zerrenda luzeegia ez egiteko, Matematika eta Fisika hiztegietanagertzen diren hainbat adiera ez daude hemen eta gehienok ezagutzen eta erabiltzen ditugunak erekanpoan geratu dira. Orobat, egitura bereko esapideen adibideren bat jartzera mugatu naiz, zerenprintzipioen izenak, esaterako, nola idazten diren jakiteko, nahikoa baita kasuren bat ikustea.

Batzuetan bi aukera utzi ditut. Adibidez, frantsesez «apoastre» esaten da eta gaztelaniaz etaportugaleraz «apoastro», baina ingelesez «aphastron» da eta italieraz «afastro»; irispide garbirikezean, «apoastro» eta «afastro» agertzen dira euskaraz. Aipa dezadan beste kasu bat: frantsesez«section efficace» eta gaztelaniaz «sección eficaz» deitzendena, «cross section» da ingelesez.Gure artean badago «sekzio eragile» erabiltzeko tradizioa, inguruko erdaren eraginez edo; bainanik esango nuke ingelesezko aukerak hobeki azaltzen duela kontzeptua, eta horrexegatik biga-rren aukeratzat «zeharkako sekzio» jarri dut. Egin ditudanaukerei buruz irakurleak duen iritzialagungarria izango litzateke gauzak hobetzeko hurrengo argitaraldian.

57

4H

IZT

EG

IAEuskara Frantsesa Gaztelania Ingelesaabiadura vitesse velocidad speed

velocityabiadura angeluar vitesse angulaire velocidad angular angular velocityabiadura erradial vitesse radiale velocidad radial radial velocityabiadura eskalar vitesse scalaire velocidad escalar scalar velocityabiadura limite vitesse limite velocidad límite limit velocityabiadura orokortu vitesse généralisée velocidad generalizada generalized velocityabiadura-eremu champ de vitesses campo de velocidades velocity fieldabiadura-fasore phaseur de vitesse fasor de velocidad velocity phasorabiaduraren transformazio transformation des vitesses transformación infinitesimal de

velocidadesspeed transformation

abside abside ábside apseabzisa abscisse abscisa abscissaabzisa lerromakur abscisse curviligne abscisa curvilínea curvilinear absciseafelio aphélie afelio aphelionakzio eta erreakzioaren printzipio principe d’action et réaction principio de acción y reacción principle of action and reactionaldaezin erlatibista invariant relativiste invariante relativista relativistic invariantaldaezintasun invariance invariancia invariancealdagai variable variable variablealdagai dinamiko variable dynamique variable dinámica dynamical variablealdagaien banantze séparation des variables separación de variable variable separationaldaketa infinitesimal changement infinitésimal cambio infinitesimal infinitesimal changealdaketa infinitesimal birtual changement infinitésimal virtuel cambio infinitesimal virtual virtual infinitesimal changealdakuntza variation variación variationaldakuntzen kalkulu calcul des variations cálculo de variaciones calculus of variationsaldiberekotasun simultanéité simultaneidad simultaneityalfa partikula particule alpha particular alfa alpha particleAmontons-en lege loi d’Amontons ley de Amontons Amontons’ lawanalizatzaile analyseur analizador analyzerangelu angle ángulo angleangelu kritiko angle critique ángulo crítico critical angleangelu solido angle solide ángulo sólido solid angleanomalia anomalie anomalía anomalyanomalia eszentriko anomalie excentrique anomalía excéntrica eccentric anomalyanplitude amplitude amplitud amplitudeanplitude-erresonantzia résonance an amplitude resonancia de amplitud amplitude resonance

HIZ

TE

GIA

57

5

Euskara Frantsesa Gaztelania Ingelesaantinodo ventre vientre antinodeantzekotasun-transformazio transformation de similitude transformación de semejanza similarity transformationaplikazio-lerro ligne d’application línea de aplicación application lineapoastroafastro

apoastreapoapside

apoastro aphastronapoapsis

apogeo apogée apogeo apogeeapozentro apocentre apocentro apocenterardatz axe eje axisardatz finko axe fixe eje fijo fixed axisardatz nagusi axe principal eje principal principal axisardatz paraleloen teorema théorème des axes parallèles teorema de los ejes paralelos parallel axes theoremardatzerdi nagusi semi-axe principal semieje mayor major semi-axisardatzerdi txiki semi-axe mineur semieje menor minor semi-axisargi motako tarte intervalle du genre lumière intervalo de género luz light-like intervalargiaren abiadura vitesse de la lumière velocidad de la luz speed of lightargiaren abiaduraren aldaezintasunarenprintzipio

principe d’invariance de la vitesse de lalumière

principio de invariancia de la velocidadde la luz

principle of invariance of the lightspeed

argi-kono cône de lumière cono de luz light coneargumentu argument argumento argumentargumentuaren balio nagusi valeur principale de l’argument valor principal del argumento argument principal valuearraste-koefiziente coefficient d’entraînement coeficiente de arrastre drag coefficientaskatasun-gradu degré of liberté grado de libertad degree of freedomatoi-indar force d’entraînement fuerza de arrastre translational forceAtwood-en makina machine d’Atwood máquina de Atwood Atwood’s machineatzerapen-puntu point de retour punto de retroceso return pointautoantzekotasun auto similitude autosemejanza self-similarityazalera-abiadura vitesse aréolaire velocidad areolar areolar velocityazelerazio accélération aceleración accelerationazelerazio angeluar accélération angulaire aceleración angular angular accelerationazelerazio normal accélération normale aceleración normal normal accelerationazelerazio orokortu accélération généralisée aceleración generalizada generalized accelerationazelerazio tangente accélération tangente aceleración tangente tangent accelerationazelerazio zentripeto accélération centripète aceleración centrípeta centripetal accelerationazelerazioaren transformazio transformation des accélérations transformación de las aceleraciones acceleration transformationazimut-indar force azimutale fuerza acimutal azimuthal forcebalio nagusi valeur principale valor principal principal value

57

6H

IZT

EG

IAEuskara Frantsesa Gaztelania Ingelesabalio propio valeur propre valor propio eigenvaluebalio propio orokortu valeur propre généralisée valor propio generalizado generalized eigenvaluebalio propio orokortuen problema problème des valeurs propres

généraliséesproblema de valores propiosgeneralizados

generalized eigenvalue problem

balio propioen problema problème des valeurs propres problema de valores propios eigenvalue problembaliokidetasunaren printzipio principe d’équivalence principio de equivalencia equivalence principlebanaketa distribution distribución distributionbanantzaile séparatrice separatriz separatrixbanda-zabalera largeur de bande ancho de banda bandwidthbarietate egonkor variété stable variedad estable stable manifoldbarne-energia énergie interne energía interna internal energybarne-indar force interne fuerza interna internal forcebarne-islapen oso réflexion interne totale reflexión interna total total internal reflectionbarometro baromètre barómetro barometerbarrunbe erresonante cavité résonante cavidad resonante resonant cavitybatez besteko anomalia anomalie moyenne anomalía media mean anomalybatez besteko ibilbide aske libre parcours moyen recorrido libre medio mean free pathbektore vecteur vector vectorbektore propio vecteur propre vector propio eigenvectorbektore propio orokortu vecteur propre généralisé vector propio generalizado generalized eigenvectorbektore unitario vecteur unitaire vector unitario unit vectorbektore unitario normal vecteur unitaire normal vector unitario normal normal unit vectorbektore unitario tangente vecteur unitaire tangent vector unitario tangente tangent unit vectorbektore-oinarri base vectorielle base vectorial vector basisbenetako anomalia vraie anomalie anomalía verdadera true anomalybereizmen-ahalmen pouvoir de résolution poder de resolución resolution powerBertrand-en teorema théorème de Bertrand teorema de Bertrand Bertrand’s theorembeta desintegrazio désintégration bêta desintegración beta beta disintegrationBethe-ren ziklo cycle de Bethe ciclo de Bethe Bethe cyclebi gorputzen problema problème des deux corps

problème à deux corpsproblema de dos cuerpos two-body problem

biegonkortasun bistabilité biestabilidad bistabilitybihurdura torsion torsión torsionbikien paradoxa paradoxe des jumeaux paradoja de los gemelos twin paradoxBinet-en formula formule de Binet fórmula de Binet Binet’s formulabinormal binormale binormal binormal

HIZ

TE

GIA

57

7

Euskara Frantsesa Gaztelania Ingelesabiraketa rotation rotación rotationbiraketa-angelu angle de rotation ángulo de rotación rotation anglebiraketa-ardatz axe de rotation eje de rotación rotation axisbiraketa-erradio rayon de giration radio de giro radius of gyrationbiraketa-higidura mouvement de rotation movimiento de rotación rotation motionbiraketa-matrize matrice de rotation matriz de rotación rotation matrixbiraketa-simetria symétrie de rotation simetría de rotación rotational symmetrybirialaren teorema théorème du viriel teorema del virial virial theorembirrefringentzia biréfringence birrefringencia birefringencebolumen-moduluakonprimigarritasun-modulu

module de compression módulo de compresión bulk modulus

bortizitate vorticité vorticidad vorticitybulkada impulse impulso impulsionbulkada angeluar impulse angulaire impulso angular angular impulsionburuz buruko talka collision frontale choque frontal head-on collisionCantor-en multzo ensemble de Cantor conjunto de Cantor Cantor setCompton efektu effet Compton efecto Compton Compton effectCompton uhin-luzera longueur d’onde Compton longitud de onda (de) Compton Compton wave lengthCompton-en esperimentu expérimente de Compton experimento de Compton Compton’s experimentCompton-en sakabanatze dispersion de Compton dispersión de Compton Compton scatteringCoriolis-en indar force de Coriolis fuerza de Coriolis Coriolis forceCoriolis-en teorema théorème de Coriolis teorema de Coriolis Coriolis’ theoremCoulomb-en lege loi de Coulomb ley de Coulomb Coulomb’s lawD’Alembert-en printzipio principe de d’Alembert principio de d’Alembert d’Alembert’s principledeformazio déformation deformación straindenbora karakteristiko temps caractéristique tiempo característico characteristic timedenbora motako tarte intervalle du genre temps intervalo de género temporal time-like intervaldenbora propio temps propre tiempo propio proper timedenboraren zabalkuntza dilatation du temps dilatación del tiempo time dilationdentsitate densité densidad densityderibatu oso dérivée totale derivada total total derivativedesfase déphasage desfase phase differencedesintegrazio désintégration desintegración disintegration

decaydesintegrazio-lege loi de désintégration ley de desintegración disintegration lawdesplazamendu birtual déplacement virtuel desplazamiento virtual virtual displacement

57

8H

IZT

EG

IAEuskara Frantsesa Gaztelania Ingelesadesplazamendu infinitesimal déplacement infinitésimal desplazamiento infinitesimal infinitesimal displacementdezibel décibel decibel decibeldibergentzia divergence divergencia divergencedifrakzio diffraction difracción diffractiondifrakzio-eredu patron de diffraction patrón de difracción diffraction patterndifrakzio-sare réseau de diffraction red de difracción diffraction gratingdikroismo dichroism dicroismo dichroismdimentsio bakarreko problemabaliokide

problème unidimensionnel équivalent problema unidimensional equivalente equivalent unidimensional problem

dimentsio bakarreko indar-eremu champ de forces unidimensionnel campo de fuerzas unidimensional unidimensional force fielddimentsio gabeko aldagai variable sans dimensions variable adimensional dimensionless variabledinamika Dynamique dinámica dynamicsDoppler efektu effet Doppler efecto Doppler Doppler effectebakidura cisaillement cortadura

cizalladurashear

ebakidura-esfortzuzeharkako esfortzu

tension de cisaillement tensión de cortaduratensión de cizalladura

shear stress

ebakidura-maiztasun fréquence de coupure frecuencia de corte cutoff frequencyebakidura-moduluzurruntasun-modulu

coefficient de cisaillement coeficiente de rigidez shear moduluscoefficient of rigidity

eboluzio-ekuazio équation d’évolution ecuación de evolución evolution equationeboluzio-ekuazio kolektibo équation d’évolution collective ecuación de evolución colectiva collective evolution equationedukiera capacité capacidad capacityefektu effet efecto effectefektu fotoelektriko effet photoélectrique efecto fotoeléctrico photoelectric effectegoera-ekuazio équation d’état ecuación de estado equation of stateegonkortasun stabilité estabilidad stabilityEinstein-en erlatibitatearen printzipio principe de relativité d’Einstein principio de relatividad de Einstein Einstein’s relativity principleekintza action acción actionekintza minimoaren printzipio principe de moindre action principio de mínima acción principle of least actionekuazio autonomo équation autonome ecuación autónoma autonomous equationekuazio diferentzial équation différentielle ecuación diferencial differential equationekuazio kanoniko équation canonique ecuación canónica canonical equationekuazio karakteristiko équation caractéristique ecuación característica characteristic equationelastikotasun élasticité elasticidad elasticity

HIZ

TE

GIA

57

9

Euskara Frantsesa Gaztelania Ingelesaelastikotasun-modulu module d’élasticité módulo de elasticidad elasticity modulus

modulus of elasticityelastikotasun-muga limite d’élasticité límite de elasticidad elasticity limitelastikotasun-tentsore tenseur d’élasticité

tenseur des modules d’élasticitétensor de elasticidad elasticity tensor

elektrodinamika électrodynamique electrodinámica electrodynamicselektroi électron electrón electronelkarrindukzio-koefiziente coefficient d’induction mutuelle coeficiente de inducción mutua coefficient of mutual inductionelongazio élongation elongación elongationemari débit caudal flowemari-koefiziente coefficient de débit coeficiente de descarga efflux coefficientenergia elastiko énergie élastique energía elástica elastic energyenergia mekaniko énergie mécanique energía mecánica mechanical energyenergia mekanikoarenkontserbazio-printzipio

principe de conservation de l’énergiemécanique

principio de conservación de la energíamecánica

principle of conservation of themechanical energy

energia potentzial énergie potentielle energía potencial potential energyenergia potentzial eraginkor énergie potentielle effective energía potencial efectiva effective potential energyenergia potentzial grabitatorio énergie potentielle gravitationnelle energía potencial gravitatoria gravitational potential energyenergia potentzial orokortu énergie potentielle généralisée energía potencial generalizada generalized potential energyenergia potentzial zentrifugo énergie potentielle centrifuge energía potencial centrífuga centrifugal potential energyenergia propio énergie propre energía propia proper energyenergia zinetiko énergie cinétique energía cinética kinetic energyenergia zinetiko intrintseko énergie cinétique intrinsèque energía cinética intrínseca intrinsic kinetic energyenergia-diagrama diagramme d’énergie diagrama de energía energy diagramenergia-erresonantzia résonance d’énergie resonancia de energía energy resonanceentzumen-atari seuil d’audition umbral de audición hearing thresholderagile diferentzial opérateur différentiel operador diferencial differential operatorerakarle attracteur atractor attractorerakarle bitxi attracteur étrange atractor extraño strange attractoreremu champ campo fielderemu bektorial champ vectoriel

champ de vecteurscampo vectorial vector field

eremu eskalar champ scalaire campo escalar scalar fielderemu irrotazional champ irrotationnel campo irrotacional curl-free field

irrotational fielderemu solenoidal champ solenoidel campo solenoidal solenoidal field

58

0H

IZT

EG

IAEuskara Frantsesa Gaztelania Ingelesaerlatibitate berezi relativité restreinte relatividad especial special relativityerlatibitate orokor relativité générale relatividad general general relativityerlatibitatearen printzipio principe de relativité principio de relatividad principle of relativityerreferentzia-sistema système de référence

référentielsistema de referencia reference frame

erreferentzia-sistema ez-inertzial système de référence non inertiel sistema de referencia no inercial non-inertial reference frameerreferentzia-sistema inertzial système de référence inertiel sistema de referencia inercial inertial reference frameerreferentzia-sistema propio système de référence propre sistema de referencia propio proper reference frameerrefrakzio-indize indice de réfraction índice de refracción refractive index

index of refractionerreguladore régulateur regulador regulatorerresonantzia résonance resonancia resonanceerro karakteristiko racine caractéristique raíz característica characteristic rooterro nagusi racine principale raíz principal principal rooterrotazional rotationnel rotacional curlesekidura-distantzia distance de suspension distancia de suspensión suspension lengthesfortzutentsio

contraint esfuerzotensión

stress

esfortzu-tentsoretentsio-tentsore

tenseur des contraints tensor de esfuerzostensor de tensiones

stress tensor

eskalar scalaire escalar scalarespazio espace espacio spaceespazio motako tarte intervalle du genre espace intervalo de género espacial space-like intervalespazioaren erreferentzia-sistema système de référence de l’espace sistema de referencia espacial space reference frameespazioaren kono cône de l’espace cono espacial space coneespazio-denborako tarte intervalle d’espace-temps intervalo espacio-temporal space-time intervalespektro spectre espectro spectrumespektro ikusgai spectre visible espectro visible visible spectrumespektrometro spectromètre espectrómetro spectrometeresperimentu expérimente experimento experimentestatika analitiko statique analytique estática analítica analytical staticseszentrikotasun excentricité excentricidad eccentricityeter éther éter ethereterraren erreferentzia-sistema système de référence de l’ éther sistema de referencia del éter ether reference frameetorkizuneko argi-kono cône de lumière du futur cono de luz del futuro future light coneEuler eta Lagrange-ren ekuazio équation d’Euler-Lagrange ecuación de Euler-Lagrange Euler-Lagrange equation

HIZ

TE

GIA

58

1

Euskara Frantsesa Gaztelania IngelesaEuler-en angelu angle d’Euler ángulo de Euler Euler angleEuler-en ekuazio équation d’Euler ecuación de Euler Euler’s equationEuler-en formula formule d’Euler fórmula de Euler Euler’s formulaEuler-en teorema théorème d’Euler teorema de Euler Euler’s theoremeuste-indar force de sustentation fuerza de sustentación lift forcefase phase fase phasefase-abiadura vitesse de phase velocidad de fase phase velocityfase-espazio espace des phases espacio de fases phase spacefase-orbita orbite des phases órbita de fases phase orbitfasore faseur fasor phasorfisio fission fisión fissionfluido fluide fluido fluidfluido ideal fluide idéel fluido ideal ideal fluidfluido konprimiezin fluide incompressible fluido incompresible uncompressible fluidfluido likatsu fluide viscose fluido viscoso viscous fluidfluxu flux flujo fluxfoku foyer foco focusfoku-parametro paramètre focale parámetro focal focal parameterforma cartesiar forme cartésienne forma cartesiana Cartesian formforma koadratiko forme quadratique forma cuadrática quadratic formforma polar forme polaire forma polar polar formformalismo formalisme formalismo formalismformula formule fórmula formulafotobiderkatzaile photomultiplieur fotomultiplicador photomultiplierfotoelstikotasun photoélasticité fotoelesticidad photoelasticityfotoi photon fotón Photonfotoiaren maiztasun fréquence du photon frecuencia del fotón photon frequencyfotoi-suziri fusée photonique cohete fotónico photon rocketFoucault-en pendulu pendule de Foucault péndulo de Foucault Foucault’s pendulumFourier-en serie série de Fourier serie de Fourier Fourier seriesFourier-en transformazio transformation de Fourier transformación de Fourier Fourier transformationfraktal fractal fractal fractalfuntzio eliptiko fonction elliptique función elíptica elliptical functionfuntzio erregular fonction régulière función regular regular function

smooth functionfuntzio homogeneo fonction homogène función homogénea homogeneous function

58

2H

IZT

EG

IAEuskara Frantsesa Gaztelania Ingelesafuntzio orokortu fonction généralisée función generalizada generalized functionfuntzional fonctionelle funcional functionalfuntzional egonkor fonctionelle stationnaire funcional estacionario stationary functionalgainazal-tentsio tension superficielle tensión superficial surface tensiongainazelerazio suraccélération sobreaceleración overaccelerationgainezarmenaren printzipio principe de superposition principio de superposición superposition principlegainindargetu suramorti sobreamortiguado overdampedGalileo-ren inertziaren lege loi d’inertie de Galilée ley de inercia de Galileo Galileo’s law of inertiaGalileo-ren transformazio transformation de Galilée transformación de Galileo Galileo transformationgarapen développement desarrollo expansiongauge aldaezintasun invariance jauge invariancia gauge

invariancia de escalainvariancia de medida

gauge invariance

geometria géométrie geometría geometrygeometria euklidear géométrie euclidienne geometría euclídea Euclidean geometrygertaera événement suceso eventgorputz askearen diagrama diagramme du corps libre diagrama del cuerpo libre free body diagram

free-body diagramgorriranzko lerrakuntza décalage vers le rouge corrimiento hacia el rojo redshiftgrabitazio unibertsalaren lege loi de la gravitation universelle ley de gravitación universal law of universal gravitationgrabitate-azelerazio accélération gravitationnelle aceleración de la gravedad gravity acceleration

acceleration of gravitygrabitate-uhin onde gravitationnelle onda gravitacional gravity wavegrabitoi graviton gravitón gravitongradiente gradient gradiente gradientgradu dégrée grado degreeGreen-en funtzio fonction de Green función de Green Green functionHamilton eta Jacobi-ren teoria théorie d’Hamilton-Jacobi teoría de Hamilton-Jacobi Hamilton-Jacobi theoryhamiltondar hamiltonien hamiltoniano hamiltonianHamilton-en ekuazio kanoniko équation canonique d’Hamilton ecuación canónica de Hamilton Hamilton’s canonical equationharrapatze-sekzio eragile section efficace de capture sección eficaz de captura capture cross sectionhastapen-baldintza condition initiale condición inicial initial conditionhastapen-baldintzen menpekotasunsentikor

dépendance sensible des conditionsinitiales

dependencia sensible de lascondiciones iniciales

sensitive dependence on initialconditions

haustura-muga limite de rupture límite de ruptura fracture limithedatzaile propagateur propagador Propagator

HIZ

TE

GIA

58

3

Euskara Frantsesa Gaztelania Ingelesahelize hélice hélice helixherpolodia herpolhodie herpolodia herpolhodehidrostatika hydrostatique hidrostática hydrostatichigidura bertikal mouvement vertical movimiento vertical vertical motionhigidura biperiodiko mouvement bipériodique movimiento biperiódico biperiodic motionhigidura erradial mouvement radiale movimiento radial radial motionhigidura horizontal mouvement horizontal movimiento horizontal horizontal motionhigidura kuasiperiodiko mouvement quasi-périodique movimiento cuasiperiódico quasiperiodic motionhigidura lau mouvement plan movimiento plano flat motionhigidura oszilakor mouvement oscillatoire movimiento oscilatorio oscillating motionhigidura zirkular mouvement circulaire movimiento circular circular motionhigidura-ekuazio équation du mouvement ecuación del movimiento equation of motionhigidura-konstante constante du mouvement constante del movimiento constant of motionhiru gorputzen problema murriztu problème restreint des trois corps problema restringido de tres cuerpos restricted three-body problemhodografo hodographe hodógrafa hodographholografia holographie holografía holographyholograma hologramme holograma hologramhurbilketa lineal approximation linaire aproximación lineal linear approximationhutsaren iragazkortasun perméabilité du vide permeabilidad del vacío permeability of vacuumhutsaren permitibitate permittivité du vide permitividad del vacío permitivity of vacuumibilbide trajectoire trayectoria trajectoryidentitate identité identidad identityidentitate matrize matrice identité matriz identidad identity matrixihes-abiadura vitesse d’échappement velocidad de escape escape velocityindar force fuerza forceindar aldaratzaile force répulsive fuerza repulsiva repulsive forceindar berreskuratzaile force de rappel fuerza recuperadora restoring forceindar bizien teorema théorème des forces vives teorema de las fuerzas vivas theorem of the living forcesindar eragile force extérieure fuerza aplicada

fuerza activaapplied force

indar erakarle force attractive fuerza atractiva attractive forceindar kontserbatzaile force conservative fuerza conservativa conservative forceindar magnetiko force magnétique fuerza magnética magnetic forceindar newtondar force newtonienne fuerza newtoniana Newtonian forceindar normal force normale fuerza normal normal forceindar orokortu force généralisée fuerza generalizada generalized force

58

4H

IZT

EG

IAEuskara Frantsesa Gaztelania Ingelesaindar oso force résultante fuerza resultante resultant forceindar periodiko force périodique fuerza periódica periodic forceindar sinusoidal force sinusoïdale fuerza sinusoidal sinusoidal forceindar zentral force centrale fuerza central central forceindar zentrifugo force centrifuge fuerza centrífuga centrifugal forceindar-eremu champ de forces campo de fuerzas force fieldindar-eremu kontserbatzaile champ de forces conservatives campo de fuerzas conservativas conservative force fieldindar-eremu zentral champ de forces centrales campo de fuerzas centrales central force fieldindargetze amortissement amortiguamiento dampingindargetze kritiko amortissement critique amortiguamiento crítico critical dampingindargetze-koefiziente coefficient d’amortissement coeficiente de amortiguamiento damping coefficientindar-lege loi de forces ley de fuerzas force lawindar-momentu moment de force momento de fuerza torqueindar-polo pôle d’une force polo de una fuerza force centerinertzia-ardatz nagusi axe principal d’inertie eje principal de inercia principal axis of inertiainertzia-biderkadura produit d’inertie producto de inercia product of inertiainertzia-indar force d’inertie fuerza inercial inertial forceinertzia-matrize matrice d’inertie matriz de inercia inertia matrixinertzia-momentu moment d’inertie momento de inercia moment of inertiainertzia-momentu nagusi moment principal d’inertie momento principal de inercia principal moment of inertiainertzia-norabide nagusi direction principale d’inertie dirección principal de inercia principal direction of inertiainertzia-plano nagusi plan principal d’inertie plano principal de inercia principal plan of inertiainertzia-tentsore tenseur d’inertie tensor de inercia inertia tensorinflexio-puntu point d’infection punto de inflexión point of inflectioninfragorri infrarouge infrarrojo infraredingurune sakabanatzaile moyen dispersive medio dispersivo dispersive mediainpedantzia impédance impedancia impedanceintegral eliptiko intégrale elliptique integral elíptica elliptic integralintegral eliptiko oso intégrale elliptique complète integral elíptica completa complete elliptic integralintentsitate intensité intensidad intensityinterferentzia interférence interferencia interferenceinterferentzia eraikitzaile interférence constructive interferencia constructiva constructive interferenceinterferentzia suntsitzaile interférence destructive interferencia destructiva destructive interferenceiraganeko argi-kono cône de lumière du passé cono de luz del pasado past light coneirradiantzia luminance énergétique irradiancia irradianceislapen réflexion reflexión reflection

HIZ

TE

GIA

58

5

Euskara Frantsesa Gaztelania Ingelesaislapen lauso réflexion diffuse reflexión difusa diffuse reflectionislapen-angelu angle de réflexion ángulo de reflexión reflection angleislapen-koefiziente coefficient de réflexion coeficiente de reflexión reflection coefficientispilu-islapen réflexion spéculaire reflexión especular specular reflectionitsaspen-indar force adhérente fuerza adherente adherence forceiturri koherenteak source cohérentes fuentes coherentes coherent sourcesizpi rayon rayo rayJacobi-ren identitate identité de Jacobi identidad de Jacobi Jacobi’s identityJacobi-ren integral integrale de Jacobi integral de Jacobi Jacobi integraljario écoulement flujo flowjario egonkor écoulement stationnaire flujo estacionario steady flowjario irrotazional écoulement irrotationnel

sillage irrotationelflujo irrotacional curl-free flow

irrotational flowjario laminar sillage laminaire flujo laminar laminar flowjario turbulentu sillage turbulent flujo turbulento turbulent flowjarraitutasunaren ekuazio équation de continuité ecuación de continuidad continuity equationjaurtigai projectile proyectil projectilejomuga cible blanco targetjotze-parametro paramètre d’impact parámetro de impacto impact parameterjotze-zentro centre de percussion centro de percusión center of percussionkalitate-faktore facteur de qualité factor de calidad quality factorkanpo-indar force extérieure fuerza exterior external forcekaos chaos caos chaoskaos determinista chaos déterministe caos determinista deterministic chaoskapilaritate capillarité capilaridad capillaritykarbono-ziklo cycle du carbone ciclo del carbono carbon cyclekausalitate causalité causalidad causalitykausalitatearen printzipio principe de causalité principio de causalidad principle of causalityKepler-en problema problème de Kepler problema de Kepler Kepler problemkonbekzio-deribatu dérivée convective derivada convectiva convective derivativekonfigurazio configuration configuración configurationkonfigurazio-espazio espace des configurations espacio de configuración configuration spacekonplexu konjugatu complexe conjugué complejo conjugado complex conjugatekonpresioarekiko erresistentzia résistance à la compression resistencia a la compresión compression resistancekonstante berreskuratzaile constant de rappel constante recuperadora restoring constantkonstante berreskuratzaile baliokide constant de rappel équivalente constante recuperadora equivalente equivalent restoring constant

58

6H

IZT

EG

IAEuskara Frantsesa Gaztelania Ingelesakontrafase contrephase contrafase counterphasekontserbazio-printzipio principe de conservation principio de conservación conservation principlekoordenatu coordonné coordenada coordinatekoordenatu ahanzgarrikoordenatu zikliko

coordonné cyclique coordenada ignorablecoordenada cíclica

ignorable coordinatecyclic coordinate

koordenatu cartesiar coordonné cartésienne coordenada cartesiana Cartesian coordinatekoordenatu esferiko coordonné sphérique coordenada esférica spherical coordinatekoordenatu normal coordonné normale coordenada normal normal coordinatekoordenatu orokortu coordonné généralisée coordenada generalizada generalized coordinatekoordenatu polar esferiko coordonné polaire sphérique coordenada polar esférica spherical polar coordinatekoordenatu polar zilindriko coordonné polaire cylindrique coordenada polar cilíndrica cylindrical polar coordinatekoordenatu ziklikokoordenatu ahanzgarri

coordonné cyclique coordenada cíclicacoordenada ignorable

cyclic coordinateignorable coordinate

koordenatu zilindriko coordonné cylindrique coordenada cilíndrica cylindrical coordinatekoordenatu-sistema système de coordonnés sistema de coordenadas coordinate systemKronecker-en delta delta de Kronecker delta de Kronecker Kronecker deltakurba koniko courbe conique curva cónica conic curvekurbadura courbure curvatura curvaturekurbadura-erradio rayon de courbure radio de curvatura curvature radiuslaborategiko sistema système du laboratoire sistema del laboratorio laboratory systemlagrangear lagrangien lagrangiano LagrangianLagrange-ren biderkatzaile multiplieur de Lagrange multiplicador de Lagrange Lagrange multiplierLagrange-ren formalismo formalisme de Lagrange formalismo lagrangiano Lagrangian formalismLagrange-ren puntupuntu lagrangear

point de Lagrange punto de Lagrange Lagrange pointLagrangian point

Lagrange-ren teorema théorème de Lagrange teorema de Lagrange Lagrange’s theoremlan travail trabajo worklan birtual travail virtuel trabajo virtual virtual worklan birtualen printzipio principe des travaux virtuels principio de los trabajos virtuales principle of virtual worklaplacetar laplacien laplaciano Laplacianlasaikuntza-denbora temps de relaxation tiempo de relajación relaxation timelatitude latitude latitud latitudeLegendre-ren transformazio transformation de Legendre transformación de Legendre Legendre transformationlehen integral intégrale première integral primera first integrallerrakuntza décalage corrimiento shiftlerro zuzentzaile droite directrice recta directriz directrix

HIZ

TE

GIA

58

7

Euskara Frantsesa Gaztelania IngelesaLiapunov-en berretzaile exposant de Liapunov exponente de Liapunov Liapunov exponentlikatasunbiskositate

viscosité viscosidad viscosity

Lissajous-en irudi figure de Lissajous figura de Lissajous Lissajous figureLorentz eta Fitzgerald-en uzkurdura contraction de Lorentz-Fitzgerald contracción de Lorentz-Fitzgerald Lorentz-Fitzgerald contractionLorentz-en indar force de Lorentz fuerza de Lorentz Lorentz forceLorentz-en transformazio transformation de Lorentz transformación de Lorentz Lorentz transformationlotura liaison ligadura constraintlotura holonomo liaison holonome ligadura holónoma holonomic constraintlotura holonomo egonkorlotura holonomo eskleronomo

liaison holonome stationnaire ligadura holónoma estacionarialigadura holónoma esclerónoma

stationary holonomic constraintscleronomic holonomic constraint

lotura holonomo higikorlotura holonomo erreonomo

liaison holonome mobile ligadura holónoma móvilligadura holónoma reónoma

rheonomic holonomic constraint

lotura ideal liaison idéale ligadura ideal ideal constraintlotura-ekuazio équation de liaison ecuación de ligadura constraint equationlotura-energia énergie de liaison energía de ligadura binding energylotura-indar force de liaison fuerza de ligadura constraint forceluzera longitude

longueurlongitud longitude

lengthluzera baliokide longitude équivalente longitud equivalente equivalent lengthluzera propio longueur propre longitud propia proper lengthluzeraren uzkurdura contraction de (la) longueur contracción de (la) longitud length contractionluzetarako deformazio déformation longitudinale deformación longitudinal longitudinal deformationluzetarako uhin onde longitudinale onda longitudinal longitudinal wavemagnitude kolektibo magnitude collective magnitud colectiva collective magnitudemagnitude-ordenaren ikur symbole d’ordre de magnitude símbolo de orden de magnitud order of magnitude symbolmaiztasun fréquence frecuencia frequencymaiztasun normal fréquence normale frecuencia normal normal frequencymaiztasun-iragazki filtre de fréquences filtro de frecuencia frequency filtermanometro manomètre manómetro manometermarruskadura frottement rozamiento frictionmarruskadura lehor dinamiko frottement sec dynamique rozamiento seco dinámico dynamical dry frictionmarruskadura-indar force de frottement fuerza de rozamiento friction forcemasa masse masa massmasa aldakor masse variable masa variable variable massmasa atomiko masse atomique masa atómica atomic mass

58

8H

IZT

EG

IAEuskara Frantsesa Gaztelania Ingelesamasa atomikoaren unitate unité de masse atomique unidad de masa atómica atomic mass unitmasa erlatibista masse relativiste masa relativista relativistic massmasa gabeko partikula particule de masse nulle partículas sin masa massless particlemasa inertzial masse inertielle masa inercial inertial massmasa laburbildu masse réduite masa reducida reduced massmasa propio masse propre masa propia proper massmasa-dentsitate densité de masse densidad de masa mass densitymasa-momentu moment de masse momento de masas mass momentmasa-zentro centre de masse centro de masa center of massmatrize matrice matriz matrixmatrize irauli matrice transposée matriz transpuesta transposed matrixmatrize ortogonal matrice orthogonale matriz ortogonal orthogonal matrixmatrize-notazio notation matricielle notación matricial matrix notationmaximo maximum máximo maximummekanika analitiko mécanique analytique mecánica analítica analytical mechanicsmekanika galilear mécanique galiléenne mecánica galileana Galilean mechanicsmekanika newtondar mécanique newtonienne mecánica newtoniana Newtonian mechanicsmenisko ménisque menisco meniscusmenpekotasun sentikor dépendance sensible dependencia sensible sensitive dependencemesoi méson mesón mesonmikrouhin micro-onde microonda microwaveminimo minimum mínimo minimumMinkowski-ren diagrama diagramme de Minkowski diagrama de Minkowski Minkowski diagrammodu normal mode normal modo normal normal modemodu normal nulu mode normal nul modo normal nulo null normal modemodulu module módulo modulus

magnitudemolekula molécule molécula moleculemomentu moment momento momentummomentu angeluar moment angulaire momento angular angular momentummomentu angeluar intrintseko moment angulaire intrinsèque momento angular intrínseco intrinsic angular momentummomentu angeluarrarenkontserbazio-printzipio

principe de conservation du momentangulaire

principio de conservación del momentoangular

conservation principle of angularmomentum

momentu kanoniko moment canonique momento canónico canonical momentummomentu lineal moment linaire momento lineal linear momentum

HIZ

TE

GIA

58

9

Euskara Frantsesa Gaztelania Ingelesamomentu linealarenkontserbazio-printzipio

principe de conservation du momentlinaire

principio de conservación del momentolineal

conservation principle of linearmomentum

momentu orokortu moment généralisé momento generalizado generalized momentumMössbauer efektu effet Mössbauer efecto Mössbauer Mössbauer effectmugalde-baldintza condition aux limites condición de contorno boundary conditionmultzo ensemble conjunto setmuoi muon muón muonmuturmutur-puntu

extremum extremo extremum

muturreko kurba courbe extrémale curva extremal extremal curveneutrino neutrino neutrino neutrinoneutroi neutron neutrón neutronNewton-en binomio binôme de Newton binomio de Newton Newton’s binomialNewton-en grabitazio unibertsalarenlege

loi de la gravitation universelle deNewton

ley de gravitación universal de NewtonNewton’s law of universal gravitation

nodo nœud nodo nodenorabide direction dirección directionnoranzko sens sentido directionnormal normale normal normalnutazio nutation nutación nutationoinarri base base basisoinarrizko karga charge élémentaire carga elemental elementary chargeoinarrizko maiztasun fréquence fondamentale frecuencia fundamental fundamental frequencyoinarrizko partikulen masa particule élémentaire partícula elemental elementary particleokinaren transformazio transformation du boulanger transformación del panadero baker’s transformationorbita orbite órbita orbitorbita eliptiko orbite elliptique órbita elíptica elliptic orbitorbita hiperboliko orbite hyperbolique órbita hiperbólica hyperbolic orbitorbita homokliniko orbite homoclinique órbita homoclínica homoclinic orbitorbita ireki orbite ouverte órbita abierta open orbitorbita itxi orbite fermée órbita cerrada closed orbitorbita newtondar orbite newtonienne órbita newtoniana Newtonian orbitorbita paraboliko orbite parabolique órbita parabólica parabolic orbitorbita periodiko orbite périodique órbita periódica periodic orbitorbita zirkular orbite circulaire órbita circular circular orbitorbita-parametro paramètre orbital parámetro orbital orbital parameter

59

0H

IZT

EG

IAEuskara Frantsesa Gaztelania Ingelesaordenatu ordonné ordenada ordinateoreka équilibre equilibrio equilibriumoreka egonkor équilibre stable equilibrio estable stable equilibriumoreka ezegonkor équilibre instable equilibrio inestable unstable equilibriumoreka-baldintza condition d’équilibre condición de equilibrio equilibrium conditionoreka-puntu point d’équilibre punto de equilibrio equilibrium pointorientazio orientation orientación orientationosagai composante componente componentosin bassin cuenca basinosin-muga frontière du bassin frontera de la cuenca basin boundaryosziladore harmoniko oscillateur harmonique oscilador armónico harmonic oscillatorosziladore harmoniko bortxatu oscillateur harmonique forcé oscilador armónico forzado forced harmonic oscillator

driven harmonic oscillatorosziladore harmoniko gainindargetu oscillateur harmonique suramorti oscilador armónico sobreamortiguado overdamped harmonic oscillatorosziladore harmoniko indargetu oscillateur harmonique amorti oscilador armónico amortiguado damped harmonic oscillatorosziladore lineal oscillateur linéaire oscilador lineal linear oscillatoroszilazio oscillation oscilación oscillationoszilazio mihiztatu oscillation couplée oscilación acoplado coupled oscillationoszilazio txiki petite oscillation pequeña oscilación small oscillationoszilazio-higidura mouvement oscillatoire movimiento oscilatorio oscillating motionquasar quasar quasar quasarp uhin onde P onda p p(rimary) waveparadoxa paradoxe paradoja paradoxparametro paramètre parámetro parameterparte erreal parte réelle parte real real partparte irudikari parte imaginaire parte imaginaria imaginary partpartikula particule partícula particlepartikula aske particule libre partícula libre free particlepartikula puntual particule ponctuelle partícula puntual point particlepartikula-sistema système de particules sistema de partículas particle systempausaguneko energia énergie en repos energía en reposo rest energypausaguneko masa masse en repos masa en reposo rest masspendulu pendule péndulo pendulumpendulu baliokide pendule équivalent péndulo equivalente equivalent pendulumpendulu bikoitz pendule double péndulo doble double pendulumpendulu esferiko pendule sphérique péndulo esférico spherical pendulum

HIZ

TE

GIA

59

1

Euskara Frantsesa Gaztelania Ingelesapendulu fisiko pendule physique péndulo físico physical pendulumpendulu matematiko pendule mathématique péndulo matemático mathematical pendulumpendulu mihiztatu pendule couplé péndulo acoplado coupled pendulumperiastro périastre

périapsideperiastro periastron

periapsisperigeo périgée perigeo perigeeperihelio périhélie perihelio perihelionperiodo période periodo

períodoperiod

perizentro péricentre pericentro pericenterpioi pion pión pionPlanck-en konstante constante de Planck contante de Planck Planck’s constantPlanck-en konstante laburtu constante de Planck réduite contante de Planck reducida reduced Planck’s constantplanetoide planétoïde planetoide planetoidplano plan plano planplano aldapatsu plan incliné plano inclinado tilted planPoincaré-ren sekzio section de Poincaré sección de Poincaré Poincaré sectionPoisson-en koefiziente coefficient de Poisson coeficiente de Poisson Poisson’s ratioPoisson-en mako crochet de Poisson corchete de Poisson Poisson bracketpolarizatzaile polarisateur polarizador polarizerpolarizazio polarisation polarización polarizationpolarizazio eskuin-zirkular polarisation circulaire droite polarización circular a derechas polarization right-circularpolarizazio ezker-zirkular polarisation circulaire gauche polarización circular a izquierdas polarization left-circularpolo pôle polo centerpolodia polhodie polodia polhodeportaera elastiko comportement élastique comportamiento elástico elastic behaviorportaera plastiko comportement plastique comportamiento plástico plastic behaviorpositroi positron positrón positronposizio position posición positionposizio erlatibo position relative posición relativa relative positionposizio-bektore vecteur de position vector de posición position vectorpotentzia puissance potencia powerpotentzial potentiel potencial potentialpotentzial elastiko potentiel élastique potencial elástico elastic potentialpotentzial elastiko isotropo potentiel élastique isotrope potencial elástico isótropo isotropic elastic potentialpotentzial orokortu potentiel généralisé potencial generalizado generalized potential

59

2H

IZT

EG

IAEuskara Frantsesa Gaztelania Ingelesapotentzial-putzu puit de potentiel pozo potencial potential wellpresio manometriko pression manométrique presión manométrica manometric pressureprezesio précession precesión precessionprimario primaire primaria primaryprintzipio principe principio principleproblema problème problema problemproblema baliokide problème équivalent problema equivalente equivalent problemprotoi proton protón protonpultsazio pulsation pulsación (angular) frequencypultsazio normal pulsation normale pulsación normal frequencypultsazio propio pulsation propre pulsación propia proper frequencypultsu pulse pulse pulsepuntu singular point singulier punto singular singular pointRunge eta Lenz-en bektore vecteur de Runge-Lenz vector de Runge-Lenz Runge-Lenz vectorRutherford eta Soddy-rendesintegrazio-lege

loi de désintégration deRutherford-Soddy

ley de desintegración deRutherford-Soddy

Rutherford-Soddy disintegration law

Rutherford-en sakabanatze-formula formule de dispersion de Rutherford fórmula de dispersión de Rutherford Rutherford’s scattering formulas uhin onde S onda s s(econdary) wavesakabanatze dispersion dispersión scattering

dispersionsakabanatze anomalo dispersion anomale dispersión anómala anomalous dispersionsakabanatze kaotiko dispersion chaotique dispersión caótica chaotic scatteringsakabanatze newtondar dispersion newtonienne dispersión newtoniana Newtonian scatteringsakabanatze-angelu angle de dispersion ángulo de dispersión scattering anglesakabanatze-formula formule de dispersion fórmula de dispersión scattering formulasakabanatze-funtzio fonction de dispersion función de dispersión scattering functionsekzio eragile diferentzial section efficace différentielle sección eficaz diferencial differential cross sectionsekzio eragile oso section efficace totale sección eficaz total total cross sectionsekzio eragilezeharkako sekzio

section efficace sección eficaz cross section

sekzioebaki

section sección section

semi-latus rectum semi-latus rectum semi-latus rectum semi-latus rectumserie série serie seriessimetria symétrie simetría symmetrysimetria-ardatz axe de symétrie eje simetría symmetry axis

HIZ

TE

GIA

59

3

Euskara Frantsesa Gaztelania Ingelesasimetria-plano plan de symétrie plano simetría symmetry plansistema système sistema systemsistema bakartu système isolé sistema aislado isolated systemSistema Internazional Système International Sistema Internacional International Systemsistema mekaniko natural système mécanique naturel sistema mecánico natural natural mechanical systemsolido zurrun solide rigide sólido rígido rigid solidsoluzio iragankor réponse transitoire respuesta transitoria transitory solutionsoluzio iraunkor réponse permanente respuesta permanente steady-state solutionsubstantzia-deribatu dérivée substantive derivada substancial substantive derivativetalde-abiadura vitesse de group velocidad de grupo group velocitytalka choc

collisionchoquecolisión

collision

talka elastiko choc élastique choque elástico elastic collisiontalka superelastiko choc superélastique choque superelástico superelastic collisiontalka-uhin onde de choc onda de choque shock wavetarte intervalle intervalo intervaltarte nulu intervalle nulle intervalo nulo null intervaltaupada battement latido

pulsaciónbeat

tautokrono tautochrone tautocrona tautochroneTaylor-en garapen développement de Taylor desarrollo de Taylor Taylor’s expansiontentsio tension tensión tensiontentsore tenseur tensor tensortentsore antisimetriko tenseur antisymétrique tensor antisimétrico antisymmetric tensortentsore simetriko tenseur symétrique tensor simétrico symmetric tensorteorema théorème teorema theoremteoria théorie teoría theorytiro paraboliko tir parabolique tiro parabólico parabolic shootingTorricelli-ren printzipio principe de Torricelli principio de Torricelli Torricelli’s principletoru tore toro torustransformazio transformation transformación transformationtransformazio-ekuazio équation de transformation ecuación transformación transformation equationtranslazio translation translación translationtranslazio-higidura mouvement de translation movimiento de translación translation motiontransmisio-ardatz axe de transmission eje de transmisión transmission axistransmisio-koefiziente coefficient de transmission coeficiente de transmisión transmission coefficient

59

4H

IZT

EG

IAEuskara Frantsesa Gaztelania Ingelesatriedro intrintseko trièdre intrinsèque triedro intrínseco intrinsic trihedrontriedro nagusi trièdre principal triedro principal principal trihedrontrukatzaile commutateur conmutador commutatorturbulentzia turbulence turbulencia turbulencetximeleta efektu effet papillon efecto mariposa butterfly effectuhin onde onda waveuhin erasotzaile onde incidente onda incidente incident waveuhin errefraktatu onde réfractée onda refractada refracted waveuhin geldikor onde stationnaire onda estacionarias standing wave

stationary waveuhin islatu onde réfléchie onda reflejada reflected waveuhin monokromatiko onde monochromatique onda monocromática monochromatic waveuhin-bektore vecteur d’onde vector de ondas wave vectoruhin-ekuazio équation des ondes ecuación de ondas wave equationuhin-fronte front d’onde frente de onda(s) wavefrontuhin-gida guide d’ondes guía de ondas waveguideuhin-luzera longueur d’onde longitud de onda wavelengthuhin-pakete paquet d’ondes paquete de ondas wave packetuhin-zenbaki nombre d’onde número de ondas wave numberukipen-angelu angle de contact ángulo de contacto contact angleukipen-indar force de contact fuerza de contacto contact forceultrasoinu ultrason ultrasonido ultrasoundunibertso-lerro ligne d’univers línea de universo world-line

world lineunitate unité unidad unitunitate irudikari unité imaginaire unidad imaginaria imaginary unituzkurdura contraction contracción contractionvon Koch-en elur-maluta flocon de von Koch copo de nieve de von Koch von Koch’s snowflakeX izpi rayon X rayo X X-rayYoung-en modulu module de Young módulo de Young Young’s moduluszabalkuntza dilatation dilatación dilationzabaltze-abiadura vitesse d’expansion velocidad de expansión expansion ratezatikako integrazio intégration par parties integración por partes integration by partszeharkako deformazio déformation de cisaillement deformación de cizalladura shear deformationzeharkako uhin onde transversale onda transversal transversal wavezeinu signe signe sign

HIZ

TE

GIA

59

5

Euskara Frantsesa Gaztelania Ingelesazela-puntu point selle punto de silla saddle pointzenbaki konplexu nombre complexe número complejo complex numberZenon-en paradoxa paradoxe de Zénon paradoja de Zenón Zeno’s paradoxzentro centre centro center

centreziba esferiko toupie sphérique trompo esférico spherical topziba simetriko toupie symétrique trompo simétrico symmetric topziklo cycle ciclo cycleziklo limite cycle limite ciclo límite limit cyclezinematika cinématique cinemática kinematicszirkuitu circuit circuito circuitziurgabetasun-berretzaile exposant d’incertitude exponente de incertidumbre uncertainty coefficientzurrunbilo vortex vórtice vortexzurruntasun-modulu module de rigidité módulo de rigidez rigidity modulus

ERANSKINAK · 481 Astroa Ikurra Masa Erradioa Eguzkia ⊙ 1.989× 1030 kg 696 000. km (ekuatoriala)...

Documents

Transcript of ERANSKINAK · 481 Astroa Ikurra Masa Erradioa Eguzkia ⊙ 1.989× 1030 kg 696 000. km (ekuatoriala)...