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Energía almacenadaen el campo magnético.

Consideremos una espira conductora, modelada mediante la cur-va Γ, por la que circula una corriente estacionaria de intensidad I .Sea Φe

m el �ujo magnético estacionario creado por la espira a travésde su propia super�cie, y sea A(r) el potencial vector magnéticocreado por la espira conductora en todos los puntos del espacio. Laenergía magnética almacenada en la espira conductora viene dadapor:

Um =1

2IΦe

m =I

2

∮

Γ

A(r) · dr =1

2

∮

Γ

IA(r) · dr (1)

donde dr es un vector desplazamiento in�nitesimal de�nido en cadapunto de la espira en el sentido de la corriente.Consideremos ahora un conduc-

tor no �liforme que ocupa un vo-lumen acotado τ en el espacio, yconsideremos un sistema de coor-denadas con origen en el centrogeométrico de τ . Por el conduc-tor circula una corriente estacio-naria de densidad volumétrica decorriente J(r). Sean A(r) y B(r)

el potencial vector magnético y elcampo magnético creados en todoslos puntos del espacio por el con-ductor no �liforme.

Para obtener la energía magnética almacenada en el conductorno �liforme, basta descomponer dicho conductor en tubos de co-

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rriente de sección transversal in�nitesimal que pueden ser tratadoscomo conductores �liformes. Mediante la ecuación (1) se puedeobtener una expresión para la energía magnética in�nitesimal al-macenada en cada uno de esos tubos de corriente, y si se integradicha expresión para todos los tubos de corriente que se puedende�nir en el conductor no �liforme, se llega a que la energía mag-nética almacenada en el conductor vendrá dada por:

Um =1

2

∫

τ

J(r) ·A(r)dτ (2)

Sea ahora τesfera un volumen es-férico centrado en el origen de coor-denadas de radio R → +∞, y seaSesfera la super�cie esférica que limi-ta a τesfera. Dado que J(r) es uncampo vectorial que sólo toma va-lores no nulos en τ (ya que la densi-dad volumétrica de corriente es nulafuera de τ ), podemos extender el do-minio de integración de la ecuación(2) a todo el volumen τesfera, esto es:

Um =1

2

∫

τesfera

J(r) ·A(r)dτ (3)

Por otro lado, dado que la corriente que circula por el conductorno �liforme es estacionaria, se cumple que ∇ × B(r) = µ0J(r), yen consecuencia, la ecuación (3) se puede reescribir:

Um =1

2µ0

∫

τesfera

(∇×B(r)) ·A(r)dτ (4)

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Si ahora hacemos uso de la identidad vectorial ∇ · (A×B) =

(∇×A) ·B−(∇×B) ·A y utilizamos que ∇×A = B, se obtieneque el integrando de la ecuación (4) se puede escribir:

(∇×B) ·A = (∇×A) ·B−∇ · (A×B) = B2 −∇ · (A×B) (5)

y si sustituimos la ecuación (5) en la ecuación (4), se obtiene lasiguiente expresión para la energía magnética almacenada en elconductor no �liforme:

Um =1

2µ0

∫

τesfera

B2dτ − 1

2µ0

∫

τesfera

∇ · (A×B) dτ (6)

Si aplicamos ahora el teorema de la divergencia a la segundaintegral de volumen de la ecuación (6), se llega a que:

∫

τesfera

∇ · (A×B) dτ =

∮

Sesfera

(A×B) · dS (7)

Dado que la super�cie Sesfera está situada en el in�nito, desde lospuntos de Sesfera el conductor no �liforme se va a ver como si fueraun dipolo magnético puntual situado en el origen de coordenadas,con lo cual, se va a cumplir que A]Sesfera

∝ 1R2 y que B]Sesfera

∝ 1R3

(téngase en cuenta que el potencial vector creado por un dipolopuntual decae como el inverso del cuadrado de la distancia al dipo-lo, y el campo magnético, como el inverso del cubo de la distanciaal dipolo). Y como dS]Sesfera

= R2senθdθdϕur, se veri�cará que laintegral de super�cie de la ecuación (7) se anula ya que:

∮

Sesfera

(A×B) · dS ∝ 1

R3−→ 0 si R −→∞ (8)

Si ahora hacemos uso de las ecuaciones (7) y (8) en la ecuación

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(6), la expresión para la energía magnética almacenada por el con-ductor no �liforme puede reescribirse de la siguiente manera:

Um = lımR→∞

(1

2µ0

∫

τesfera

B2dτ

)=

1

2µ0

∫

todo el espacio

B2dτ (9)

La ecuación (9) también se puede escribir:

Um =

∫

todo el espacio

wm(r)dτ (10)

donde el campo escalar wm(r) representa la densidad volumétricade energía magnética, dada por:

wm(r) =1

2µ0B(r) ·B(r) (11)

Aunque la ecuación (9) ha sido deducida para conductores no�liformes, dicha ecuación también permite obtener la energía mag-nética almacenada en conductores laminares y �liformes por losque circulan corrientes estacionarias. No obstante, hay que teneren cuenta que en el caso de los conductores �liformes, la ecuación(9) da un valor in�nito de la energía magnética cuando dichos con-ductores se modelan mediante una curva cuya sección transversaltiene área nula (esto es lógico si se piensa que la energía magnéticade un conductor �liforme también se puede calcular mediante laecuación Um = 1

2LI2 �L es la autoinducción del conductor e I laintensidad que lo atraviesa�, y que L toma un valor in�nito cuandoel conductor �liforme se modela mediante una curva).

Las ecuaciones (2) y (9) son completamente equivalentes a lahora de calcular la energía magnética almacenada en un conductorno �liforme que transporta corrientes estacionarias. Sin embargo,

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mientras que la ecuación (2) parece indicar que la energía estáalmacenada en las corrientes que circulan por el conductor (ya quela integral involucrada en el cálculo de la energía sólo se extiende alvolumen ocupado por el conductor), la ecuación (9) parece indicarque la energía está almacenada en el campo magnético que creanesas corrientes.

La ecuación (9) indica que la energía magnética almacenadapor un conductor que transporta corriente estacionaria (o por unconjunto de conductores que transportan corrientes estacionarias)siempre es una cantidad mayor o igual que cero (Um ≥ 0). Estehecho tiene sus implicaciones.

Consideremos un conjunto de N

espiras por las que circulan corrien-tes estacionarias de intensidadesIi (i = 1, . . . , N) (vea la �gura ad-junta), y supongamos que los �u-jos magnéticos a través de las es-piras valen Φe

mi (i = 1, . . . , N). SeaL = (Lij) (i, j = 1, . . . , N) la matrizinducción del conjunto de espiras ysea Z = (Zij) (i, j = 1, . . . , N) lamatriz inversa de L. La energía magnética del conjunto de espiraspuede calcularse mediante las ecuaciones:

Um =1

2

N∑i=1

N∑j=1

IiLijIj (12)

Um =1

2

N∑i=1

N∑j=1

ΦemiZijΦ

emj (13)

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Dado que Um ≥ 0, las ecuaciones (12) y (13) nos indican que laenergía magnética de un conjunto de espiras es una forma cuadráti-ca de�nida positiva, tanto de las intensidades que circulan por lasespiras como de los �ujos magnéticos a través de las espiras. En elcaso concreto en que sólo tenemos dos espiras, la ecuación (12) sepuede reescribir:

Um =1

2L11I

21 + L12I1I2 +

1

2L22I

22 =

1

2L1I

21 + MI1I2 +

1

2L2I

22

=1

2I22

[L1

(I1

I2

)2

+ 2M

(I1

I2

)+ L2

]

=1

2I22

[(√L1

(I1

I2

)+

M√L1

)2

+

(L2 − M 2

L1

)](14)

Y en particular, si se cumple que I1I2

= −ML1, entonces se cumple

también que(√

L1

(I1I2

)+ M√

L1

)= 0, y en ese caso, la energía

magnética pasa a valer:

Um]I1I2

=−ML1

=1

2I22

(L2 − M 2

L1

)(15)

Ahora bien, cuando I1I2

= −ML1, se debe seguir cumpliendo que

Um ≥ 0. Por tanto, de acuerdo con la ecuación (15), se debe cumplirque:

1

2I22

(L2 − M 2

L1

)≥ 0 =⇒ L2 − M 2

L1≥ 0 =⇒ M 2 ≤ L1L2

=⇒ k2L1L2 ≤ L1L2 =⇒ k2 ≤ 1 =⇒ −1 ≤ k ≤ +1 (16)

con lo cual, queda demostrado que el valor absoluto del coe�cientede acoplamiento entre dos espiras es menor o igual que 1.

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EjemploConsideremos un solenoide

toroidal de sección transversalrectangular. El solenoide se ha cons-truido con un bobinado uniformede N vueltas de un hilo conductorpor el que circula una corrienteestacionaria de intensidad I . Lasección transversal del solenoidees un rectángulo de dimensiones(b − a) × h (vea la �gura adjunta).Si suponemos que el solenoide estácontenido en la región 0 ≤ z ≤ h ytomamos como eje z el eje de revolución del solenoide (vea la �guraadjunta), el campo magnético creado por el solenoide en todos lospuntos del espacio viene dado por:

B =

µ0NI2πρ uϕ a < ρ < b y 0 < z < h

0 en otro casoDe acuerdo con la ecuación (9), la energía magnética almacenada

por el solenoide toroidal valdrá:

Um =1

2µ0

∫

todo el espacio

B2dτ

=1

2µ0

∫ z=h

z=0

∫ ρ=b

ρ=a

∫ ϕ=2π

ϕ=0

µ20N

2I2

4π2ρ2ρdϕdρdz =

µ0

4πN 2I2h ln

(b

a

)(17)

Por otro lado, de acuerdo con la ecuación (12), la energía mag-nética del solenoide toroidal está relacionada con su autoinducción

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L mediante la ecuación:

Um =1

2LI2 (18)

con lo cual, la autoinducción del solenoide toroidal puede calcularsea partir de la energía magnética mediante la ecuación:

L =2Um

I2=

µ0N2h

2πln

(b

a

)(19)

La ecuación (19) proporciona una alternativa para el cálculo de laautoinducción de un conductor en términos de la energía magnéticaalmacenada.