1. csoport 2. csop 3. csop 4. csop 5. csop 6. csop 7. csop 8. csop 9. csop

Empírikus sűrűségfüggvény meghatározása a mérési adatok

csoportosításával

Csoportosítás megadása:

Δx – csoport szélességxr1 – 1. csoport középpontja

xr1 xr2 xr3 xr4 xr5 xr6 xr7 xr8 xr9

m

1i

m

1irr n )(x nii

n

1i

m

1i

m

1irrrri iiii

n x )(x . x x

m

irr

n

ii ii

n11

r r ii x- x

m

irrr iin

nE

1

1

n

1

m

1

m

1r

2rr

2r

2i n n )x - (x

m

irrr ii

nn

s1

21

A csoportosított adatok átlagos abszolút eltérése:

A csoportosított szórás:

A csoportosított adatok átlaga:

n

1i

m

1irrri ii

n xn

1x x

n

1 x

0

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 r

nrGyakoriság hisztogram

Relatív gyakoriság hisztogram

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 r

nr/n

Empírikus sűrűségfüggvény

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 r

nr/n x dx

16,2

19

31,88

6,1

8,1

87.120

44,37

5,4

2,7+=L 2.74.1006.107

9.10420

6,2097

62

151

s

PxxP

xxP

E

R

x

21,219

2,93

92,120

4,38

8,10420

0,2096

r

r

r

s

E

x

Számolások egyedi adatokkal: Számolások csoportosított adatokkal:

0

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 r

nrGyakoriság hisztogram

Relatív gyakoriság hisztogram

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 r

nr/n

Empírikus sűrűségfüggvény

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 r

nr/n x dx

y f(x) x

Hi

)( iii xfyH

Regresszió analízis

Legyenek egy mérési sorozat elemei az X és Y koordinátán:x1, x2, ...xn;y1, y2, ...yn;keressük azt az f(x) görbét, amely legjobban megközelíti a mérés során kapott ponthalmazt.

A közelítés meghatározására a legkisebb négyzetes hibák módszerétalkalmazzuk.A közelítés lehet lineáris, négyzetes, vagy magasabb fokú polinom,exponenciális, logaritmikus, stb.

n

iii

n

ii

bx

xfyHR

eaxf

cxbxaxf

bxaxf

1

2

1

2

2

)(

....

)(

)(

)(

Keressük R minimumát.

f x a bx( )

0a

R

0

b

R

n

iii bxayR

1

2

Végezzük el a regresszió analízist lineáris közelítésre.

; és

feltételeket vizsgáljuk.

02

02

iii

ii

xbxayb

R

bxaya

R

y n a b x

x y a x b x

i i

i i i i

0

02

y

nb

x

na

a y b x a

i i

xy

x y a x b x

x y y b x x b x

bx y y x

x x x

x y n x y

x n xb

i i i i

i i i i

i i

i i

i i

ixy

2

2

2 2 2

0

0

rn

y f xi ii

n

1 2

1

nyxxyxy

nyyy

y

xyby

n

nK

/

/

2

11

222

2

22

Közelítés pontosságának ellenőrzése:A négyzetes hibák átlagértéke (annál jobb, minél kisebb):

Korrelációs állandó lineáris közelítésre:

K2 = 1 - tökéletes korrelációK2 = 0 - nincs korrelációs egyenes

Számított eredmények hibái

Legyen két mérési sorozatunk (x és y)

I. mérés szerint: x: x1, x2....xi,....xn

II. mérés szerint: y: y1,....y2,....yi,....yk

Keressük a két sorozat összegének eredményét:

zi,j = xi + yj

Képezzük az összeget minden variációban

Számított eredmények hibái

A z sorozat átlaga:

Keressük z a sorozat szórásátAz x és az y sorozat szórását ki tudjuk számolni (n>>1; k>>1):

Ebből:

z = 1

nk (x + y =

1

nk k x + n y =

1

n x +

1

k y = x + y

j=1

k

i j i j1

k

1

n

i=1

n

i j1

k

1

n

)

s = 1

n (x - x)x

2i

2

1

n

s = 1

k (y - y)y

2j

2

1

k

n

i

k

jjiz yyxx

kns

1 1

22 1 222 2 bababa

Számított eredmények hibái Az egyenlet megoldásához használjuk fel azt, hogy

továbbá azt, hogy az átlagból vett eltérések összege zérus.

majd mindezt helyettesítsük be a fenti egyenletbe, ebből meghatározhatjuk a két sorozat összegének szórásnégyzetét:

n

i

k

j

n

1=i

2x

22i s n k )x -(x k = )x - (x

n

i

k

j

k

1j=

2y

2j

2j s n k )y -(yn = )y - (y

ji,

n

1=i

k

1j=jiji 0 = )y -(y )x - (x = )y - (y )x - (x

s = s + sz 2

x2

y2

Teljesen hasonlóan megállapítható két sorozat különbségének átlaga és szórásnégyzete:

Az összeg levezetésénél alkalmazott módszer szerint a következő végeredményt kapjuk:

d = x - yij i i

d = x - y

s = s + sd2

x2

y2

222 2 bababa

= 0

Számított eredmények hibái Általános képlettel:

Terjedelemmel megadott véletlen hiba eredőjének számítása.

2

y

yx

2

x

0yx

2z S

y

z + S S

000

x

z

y y

z +x

x

z

00

00

y,x

y,x

z