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Elementos de geometría en el espacio

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P

t

Elementos de geometría en el espacio Elementos básicos del espacio Los elementos básicos del espacio son: • puntos, denominados con letras mayúsculas, por ejemplo P. • rectas, denominados con letras minúsculas, por ejemplo r. • planos, denominados con letras griegas, por ejemplo α. Posiciones relativas de dos planos en el espacio Dos planos distintos del espacio pueden: • ser paralelos: por ejemplo, los planos β y γ son paralelos. β γ • cortarse en una recta. Por ejemplo, el plano α y el plano β se cortan en la recta r. Cada una de las

zonas en que se divide el espacio cuando dos planos se cortan se denomina ángulo diedro. α r β Posiciones relativas de una recta y un plano en el espacio Un plano y una recta pueden ser: • paralelos; por ejemplo, la recta r es paralela al plano α. • cortarse; la intersección puede ser

o un solo punto; por ejemplo, la recta t corta al plano γ en el punto P. o toda la recta se encuentra incluida en el plano; por ejemplo, la recta s pertenece al plano

β. α s β γ r

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Posiciones relativas de dos rectas en el espacio Dos rectas distintas del espacio pueden: • cortarse en un punto; por ejemplo, las rectas r y s se cortan en el punto P. • ser paralelas; por ejemplo, las rectas t y x son paralelas. • cruzarse, sin cortarse; por ejemplo, las rectas z e y se cruzan. r s La expresión algebraica de los elementos del espacio Un plano del espacio se expresa en forma de una ecuación lineal cuyas soluciones son, precisamente, los puntos del plano: α: ax + by + cz + d = 0 Una recta del espacio se expresa en forma de un sistema de ecuaciones cuyas soluciones son los puntos de la recta:

r: 1 1 1 1

2 2 2 2

00

a x b y c z da x b y c z d

+ + + = + + + =

Las posiciones relativas y la expresión algebraica Dados los planos α: a1x + b1y + c1z + d1 = 0 β: a2x + b2y + c2z + d2 = 0 y las rectas:

r: 3 3 3 3

4 4 4 4

00

a x b y c z da x b y c z d

+ + + = + + + =

s: 5 5 5 5

6 6 6 6

00

a x b y c z da x b y c z d

+ + + = + + + =

Estas son las posibilidades para las posiciones relativas entre rectas y planos depende del rango de la matriz del sistema asociado a las ecuaciones de los elementos, y del rango de la matriz ampliada, de la siguiente manera:

1. Las posibles posiciones relativas entre α y β son: rango(A) \ rango (A*) 1 2

1 compatible indeterminado (es el mismo) incompatible (paralelo)

2 - compatible indeterminado (se cortan en una recta)

Siendo:

1 1 1

2 2 2

a b cA

a b c

=

1 1 1 1*

2 2 2 2

a b c dA

a b c d

=

P α

x

t

z γ

β y

4

2. Las posibles posiciones relativas entre α y r son:

rang( *A ) rang( A )

2 3

2 Sistema compatible indeterminado la recta está contenida en el plano.

Sistema incompatible la recta es paralela al plano.

3 Sistema compatible determinado la recta y el plano se cortan en un punto.

Siendo:

1 1 1

3 3 3

4 4 4

a b cA a b c

a b c

=

1 1 1 1

*3 3 3 3

4 4 4 4

a b c dA a b c d

a b c d

=

3. Las posibles posiciones relativas entre r y s son:

rang( *A ) rang( A )

2 3 4

2 Sistema compatible indeterminado las rectas coinciden.

Sistema incompatible las rectas son paralelas.

3 Sistema compatible determinado las rectas se cortan en un punto.

Sistema incompatible Las rectas se cruzan.

Siendo:

3 3 3

4 4 4

5 5 5

6 6 6

a b ca b c

Aa b ca b c

=

3 3 3 3

4 4 4 4*

5 5 5 5

6 6 6 6

a b c da b c d

Aa b c da b c d

=

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¿Cuáles son los elementos básicos de la geometría del espacio?

Al igual que en el plano, el espacio contiene puntos, rectas y segmentos, que se indican de la misma manera que en el plano. Además, en el espacio también existen los planos, que deben imaginarse como hojas de papel sin límites, sin ondulaciones y si espesor. Normalmente, los planos se designan con letras del alfabeto griego.

Los elementos de la geometría plana (el punto, el segmento, la recta y la semirrecta, así como el ángulo entre dos segmentos) también se encuentran en el espacio de tres dimensiones. Estos elementos se designan de la misma forma que en el plano. Además, en el espacio se pueden definir los planos que se deben imaginar como inmensas hojas de papel sin límites, sin ondulaciones y sin espesor alguno; por eso, un plano tiene dos dimensiones, de la misma manera que una recta tiene una única dimensión (y un punto, ninguna). Normalmente, un plano se acostumbra a designar con una letra griega. Para representar un plano se utiliza, normalmente, una forma trapezoidal, como la de la imagen: α Una propiedad importante de cualquier plano es que si contiene dos puntos, siempre contiene la recta que pasa por estos dos puntos. Un semiplano es la parte de un plano que tiene por extremo una recta. Es difícil representarlo de forma diferente, por eso se deberá subrayar la recta que le sirve de extremo. r

Semiplano limitado por la recta r.

¿Cuáles son las posiciones relativas de los diversos elementos del espacio?

Dos planos distintos del espacio pueden ser, o bien, paralelos, o bien, cortarse en una recta. Un plano y una recta pueden ser paralelos, o bien, cortarse; en este caso, o bien la intersección es un solo punto, o bien toda la recta se encuentra incluida en el plano. Finalmente, dos rectas en el espacio pueden, o bien, cortarse en un punto, o bien, ser paralelas, o bien, pueden cruzarse, sin cortarse

Dos planos distintos del espacio pueden ser, o bien, paralelos, o bien, cortarse en una recta. Por ejemplo, los planos β y γ son paralelos. En cambio, el plano α y el plano β se cortan en la recta r, mientras que el plano γ y el plano α se cortan en la recta s.

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α r β s γ Dos planos que se cortan dividen todo el espacio en cuatro zonas, cada una de las cuales se denomina ángulo diedro. Cuando las cuatro zonas tienen una forma similar, se dice que los planos son perpendiculares, como en el caso de la imagen. Un plano y una recta pueden ser paralelos, o bien, cortarse. En este último caso, o bien la intersección es un solo punto, o bien toda la recta se encuentra incluida en el plano. Así, la recta r es paralela al plano α; la recta s pertenece al plano β; la recta t corta al plano γ en el punto P. α s β γ r Finalmente, dos rectas en el espacio pueden, o bien, cortarse en un punto, o bien, ser paralelas, o bien, pueden cruzarse, sin cortarse. Por ejemplo, las rectas r y s se cortan en el punto P; las rectas t y x son paralelas (porque se encuentran en el mismo plano, α); las rectas z e y se cruzan (porque pertenecen a planos distintos paralelos). s r

P

t

P α

x

t

z γ

β y

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¿Qué es y cómo se calcula el ángulo entre los elementos del espacio?

Dos rectas que se cortan generan cuatro ángulos, con las mismas propiedades que los ángulos entre dos rectas del plano que se cortan. Para definir un ángulo entre dos planos, se debe trazar un tercer plano que sea perpendicular a ambos planos; las rectas que resultan de la intersección de este plano con los dos primeros nos dan los ángulos entre ambos planos. Finalmente, para encontrar un ángulo entre una recta y un plano que se cortan, debe representarse el plano perpendicular al plano dado y que incluya la recta; el ángulo entre la recta de intersección de los planos y la recta original es el ángulo buscado.

Los ángulos entre dos rectas que se cortan se definen de igual manera que los ángulos entre dos rectas del plano que se cortan. En cambio, para definir un ángulo entre dos planos, se debe trazar un tercer plano que sea perpendicular a ambos planos. Por ejemplo, para saber el ángulo que forman los planos γ y δ, debe trazarse el plano β, perpendicular tanto a γ como a δ. La intersección entre β y γ es la recta t; la intersección entre β y δ es s. Los ángulos entre γ y δ serán los ángulos entre t y s. β γ Finalmente, para encontrar un ángulo entre una recta y un plano que se cortan, debe representarse el plano perpendicular al plano dado y que incluya la recta. Por ejemplo, para encontrar un ángulo entre el plano β y la recta t (que se cortan en P), se construye el plano α, perpendicular a β y que contiene t; s es la intersección de ambos planos. Cualquier ángulo formado entre las rectas s y t es un ángulo entre la recta t y el plano β (aunque, a veces, se dice que el ángulo entre la recta y el plano es el menor de estos ángulos, tal como se observa en la imagen). Se dice que una recta es perpendicular a un plano si cualquiera de estos ángulos es de 90º. α β También puede definirse la proyección de una recta sobre un plano utilizando la anterior imagen: se construye un plano perpendicular al plano en cuestión que contenga la recta. La intersección entre ambos planos será la proyección buscada. En el ejemplo, la proyección de la recta t sobre el plano β es la recta s, porque el plano

ángulo

δ

t

s

t

s P

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perpendicular a β que contiene la recta t, es α; además, la intersección entre α y β es, precisamente, s. De forma similar, puede definirse la proyección de un punto sobre un plano como la intersección de la recta perpendicular al plano que pase por el punto, y el plano en cuestión. Por ejemplo, la proyección del punto P sobre el plano α de la imagen es igual al punto Q, porque la recta perpendicular a α que pasa por P es r, y corta al plano α en el punto Q. r

¿Cómo se expresan algebraicamente los elementos del espacio?

Un punto del espacio se expresa mediante una terna, (x, y, z), cada una de los elementos indica una de las coordenadas referidas a cada uno de los tres ejes del sistema de referencia del espacio. Un plano del espacio se expresa mediante una ecuación lineal de tres incógnitas, cuyas soluciones son precisamente todos los puntos del plano. Una recta del espacio se expresa como la intersección de dos planos.

Como es sabido, un sistema de referencia en el espacio consta de 3 ejes: eje X, eje Y y eje Z, tal como se muestra en la imagen,

Un punto en el espacio se expresa mediante una terna que indica las coordenadas de ese punto, que expresan las tres dimensiones del espacio: alto, ancho, profundidad. Así, por ejemplo, el punto P = (1,3,2) se representaría de la siguiente forma:

P

Un plano del espacio se puede expresar a través de una ecuación lineal con tres incógnitas, del tipo:

· P

· Q

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ax + by + cz + d = 0 Las soluciones de esta ecuación forman un plano del espacio, de la misma manera que la solución de una ecuación lineal de dos incógnitas representaba una recta del plano. Por ejemplo, este plano

Que corta al eje Y en el punto (0,2,0), y que es paralelo al plano formado por los ejes X y Z, tiene por ecuación: y = 2 porque todos los puntos que tienen coordenada y igual a 2, pertenecen a dicho plano. Una recta del espacio puede concebirse como la intersección de dos planos. Efectivamente, si cada plano se expresa con una ecuación lineal con 3 incógnitas, la recta intersección, puede expresarse como un sistema de 2 ecuaciones lineales, con 3 incógnitas, cuyas soluciones son, precisamente, todos los puntos de la recta. Por ejemplo, los sistemas de ecuaciones que definen las rectas que forman los ejes de coordenadas son:

00

yz=

= sistema que expresa el eje X.

00

xz=

= sistema que expresa el eje Y.

00

xy=

= sistema que expresa el eje Z.

Es fácil demostrarlo: en el caso del eje X, sus puntos son todos aquellos que tienen las coordenadas z e y igual a 0; de la misma manera, los puntos del eje Y son aquéllos que tienen las coordenadas x y z igual a 0; igualmente, los puntos del eje Z son aquéllos que tienen las coordenadas x e y igual a 0.

¿Cómo se expresan las posiciones relativas entre planos y rectas?

Expresando los planos mediante una ecuación y las rectas mediante un sistema de dos ecuaciones, pueden deducirse las relaciones entre estos elementos examinando las soluciones del sistema de ecuaciones que resulta de combinar todas las ecuaciones de dichos elementos.

Dos planos del espacio se expresan mediante dos ecuaciones lineales con tres incógnitas. Debido a esto, las posiciones relativas de dichos planos deben corresponderse con los tipos de soluciones posibles del sistema: • Si el sistema es compatible indeterminado, es decir, el rango de la matriz del

sistema es igual al rango de la matriz ampliada, en este caso, los planos se cortan. Pueden darse dos situaciones:

o Que dicho rango sea igual a 2. En este caso, la solución del sistema depende de un solo parámetro. Por lo tanto, los dos planos se cortan en una recta.

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o Que dicho rango sea igual a 1. En este caso, ambas ecuaciones son equivalentes, o lo que es lo mismo, ambos planos son iguales.

• Si el sistema es incompatible, es decir, el rango de la matriz del sistema es 1 y el rango de la matriz ampliada es 2 (por lo tanto, son diferentes), en este caso, ambos planos son paralelos.

Por ejemplo, dados estos planos: α: x + y + z = 1 β: x + y + z = –3 γ: 2x + 3y + z = 1 Los planos α y β son paralelos, ya que si se expresan en forma de sistema:

1

3x y zx y z+ + =

+ + = −

y este sistema se expresa de forma matricial:

1 1 1 1

·1 1 1 3

xyz

= −

puede observarse que el rango de la matriz del sistema 1 1 1

1 1 1

es 1, mientras

que el rango de la matriz ampliada 1 1 1 1

1 1 1 3−

es 2. Por lo tanto, el sistema es

incompatible, es decir, no tiene solución. O lo que es lo mismo, los planos no se cortan, o sea, son paralelos. En cambio, los planos β y γ se cortan en una recta, porque el sistema que generan sus ecuaciones:

3

2 3 1x y z

x y z+ + = −

+ + =

es compatible indeterminado y el rango de la matriz del sistema es igual a 2, el mismo valor que el rango de la matriz ampliada. De manera similar, las posiciones relativas de un plano y una recta deben corresponderse con los tipos de soluciones posibles del sistema resultante de agrupar las tres ecuaciones (una del plano y dos de la recta): • Si el sistema es compatible, el plano y la recta se cortan, y pueden darse dos

situaciones: o Que el rango de la matriz y de la ampliada sea igual a 2.

En este caso, el sistema es compatible indeterminado, es decir, la recta se encuentra incluida en el plano.

o Que dicho rango sea igual a 3. En este caso, el sistema tiene una única solución. Por lo tanto, existe un único punto de intersección entre el plano y la recta.

• Si el sistema es incompatible, es decir, el rango de la matriz del sistema es 2 y el rango de la matriz ampliada es 3. En este caso, no existe solución y, por lo tanto, el plano y la recta son paralelos.

Dos rectas del espacio se expresan mediante dos sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas (ambos sistemas deben ser compatibles determinados). Debido a esto, las posiciones relativas de dichas rectas deben corresponderse con los tipos de soluciones posibles del sistema resultante de agrupar las cuatro ecuaciones: • Si el sistema es compatible, es decir, el rango de la matriz del sistema es igual al

rango de la matriz ampliada, en este caso, las rectas se cortan y pueden darse dos situaciones:

o Que dicho rango sea igual a 2. En este caso, el rango del sistema y la ampliada de cuatro

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ecuaciones es el mismo que el rango del sistema y la ampliada de de los sistemas de cada una de las rectas. Así pues, las dos rectas son iguales.

o Que dicho rango sea igual a 3. En este caso, el sistema tiene una única solución. Por lo tanto, este punto debe ser la intersección de ambas rectas. Así pues, las rectas se cortan en un punto.

• Si el sistema es incompatible, es decir, el rango de la matriz del sistema es menor que el rango de la matriz ampliada. Por lo tanto, las rectas no se coinciden en ningún punto. Pueden darse dos casos:

o Que el rango de la matriz del sistema sea 2 y el rango de la matriz ampliada sea 3. En este caso, las rectas son paralelas.

o Que el rango de la matriz del sistema sea 3 y el rango de la matriz ampliada sea 4. En este caso, las rectas se cruzan en el espacio.

Por ejemplo, dadas las rectas:

r:2 2 03 1 0

x y zx y z− + + =

+ + − = s:

6 2 2 05 0

x yx y z

− − = − − + =

Puede observarse que el sistema formado por las 4 ecuaciones:

2 2 03 1 06 2 2 0

5 0

x y zx y zx y

x y z

− + + = + + − = − − = − − + =

es compatible determinado, y su única solución es: x = –1, y = 2, z = 2. Por lo tanto, ambas rectas se cortan en un único punto. Consideremos otro ejemplo: dadas las rectas

t:1

3 2 2x y zx y z+ − =

− + = m:

2 2 2 24 5

x y zx z+ − =

+ =

en este caso, el sistema formado por las 4 ecuaciones:

13 2 22 2 2 24 5

x y zx y zx y zx z

+ − = − + = + − = + =

o sea

1 1 1 13 1 2 2

·2 2 2 24 0 1 5

xyz

− − = −

es incompatible, porque el rango de la matriz asociada al sistema es 2, mientras que el rango de la matriz ampliada es 3. Por lo tanto, ambas rectas son paralelas.

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