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CAMPOS Y ONDAS Vector de Poynting Campos y Ondas FACULTAD DE INGENIERÍA UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA ARGENTINA

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CAMPOS Y ONDAS

Vector de Poynting

Campos y Ondas

FACULTAD DE INGENIERÍAUNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA ARGENTINA

CAMPOS Y ONDAS

CAMPOS Y ONDAS

CAMPOS Y ONDAS

CAMPOS Y ONDAS

HE

J

P

S

CAMPOS Y ONDAS

( ) ( ) 2 2

2 2SCd dv dv

t∂ µ ε∂

⎛ ⎞× ⋅ + ⋅ = − +⎜ ⎟⎝ ⎠∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫E H S E J H E

CAMPOS Y ONDAS

CAMPOS Y ONDAS

Vector de Poynting

. ( )Hz Ho sen t xω β ϕ= − +

. . ( ) . ( )Ey Hz Ey sen t x Ho sen t xω β ω β ξ= = − − +ExH

0 ( )Ey E sen t xω β= −

1 1 .( ) . . ( ) ( ) cos( )2

t T t T

o ot t

Eo HoEy Hz dt E sen t x H sen t x dtT T

ω β ω β ξ ξ+ +

= = − − + =∫ ∫ExH

Onda Plana Progresiva, linealmente polarizada

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Vector de POYNTING en una ONDA PROGRESIVA.

( ) 2 2

2 2SCd d d

t∂ µ ε∂

⎛ ⎞× ⋅ = − +⎜ ⎟⎝ ⎠∫∫ ∫ ∫ ∫E H S H E l. S

dl

dS( )

2 2

2 2µ ε

×=

+

E Hv

H E

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21

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

εµ

H

E

Vector de POYNTING en una ONDA PROGRESIVA.

CAMPOS Y ONDAS

Vector de POYNTING en una ONDA PROGRESIVA.

CAMPOS Y ONDAS

Vector de POYNTING en una ONDA PROGRESIVA.

Vector de POYNTING en una ONDA PROGRESIVA.

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Vector de POYNTING en una ONDA PROGRESIVA.

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VECTOR DE POYNTING EN UNA ONDA ESTACIONARIA.

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VECTOR DE POYNTING EN UNA ONDA ESTACIONARIA.

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VECTOR DE POYNTING EN UNA ONDA ESTACIONARIA.

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P E H t t x xx = −4 2 2 cos sen cos senω ω β β

La expresión del vector de Poynting para esta onda estacionaria pura es la siguiente:

VECTOR DE POYNTING EN UNA ONDA ESTACIONARIA.

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VECTOR DE POYNTING EN UNA ONDA ESTACIONARIA.

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0 100 200 300 400 500 600 700-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

P

P

HE

λ( ) (2 1) 4Max n λ= +E

( ) ( ) 2Max n λ=H

( ) (2 1) 8Max n λ= +P

( ) ( ) 2Min n λ=E

( ) (2 1) 4Min n λ= +H

( ) ( ) 8Min n λ=P

CAMPOS Y ONDAS

Vector de POYNTING en un cable coaxial.

lHSJ dIdC

⋅==⋅ ∫∫∫

rHId π2==⋅∫∫ SJ

2IH

π=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

abV ln

πελ

2

ln

VErbra

=⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

P E H= ×.Pz Er Hϕ=

( ) VIr

dr

ab

VIdrrr

I

abr

VdWb

a

b

aSC=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⋅×= ∫∫∫∫lnln

ππ

22

aHE

E r= λπε2

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CAMPOS Y ONDAS

VECTOR DE POYNTING EN UN HILO CONDUCTOR.

• En un conductor, con conductividad finita, circula una corriente continua, se desarrollaráun campo eléctrico dentro de dicho conductor. Este campo tendrá la misma dirección que la corriente, ya que:

E J= σV E LL z=

El vector intensidad de campo magnético será concéntrico con el conductor, y en la superficie del mismo tendrá el siguiente valor:

aIHπϕ 2

= 0 0zE H r zφ φ= − + +P

H

EJ

aPr

0 0

2L L

z z Lsc

IW E H ds E H a dz V dz VILφ φ π= = = =∫∫ ∫ ∫

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VECTOR DE POYNTING EN UN HILO CONDUCTOR.

• La potencia que fluye hacia adentro del conductor, a través de una capa cilíndrica, de radio r<a, será:

22

aIrI erior

ππ=int

22rH Ia

ϕπ

=P

2

2 2. .22

LL

V r rW I rL V IL a a

ππ

= =

int 22eriorrH Ia

ϕπ

=

E

22.2 . .

.IH r ra

ϕ π ππ

= =∫ H.dl

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APLICACIÓN DEL VECTOR DE POYNTING A CIRCUITOS.

Se considera ahora un circuito• una batería conectada, a través• de un par de conductores perfectos• una carga de resistencia R.• Se supone que toda la f.e.m. está

concentrada en la batería, y que toda la resistencia esta concentrada en la carga.

lE dV ⋅−= ∫ ∫ ⋅= lH dI Circuito

P d d= ⋅ = ⋅∫∫ ∫∫P s S sPotencia

En cualquier punto el vector de Poynting P

P E H= ×

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APLICACIÓN DEL VECTOR DE POYNTING A CIRCUITOS.

• Alrededor de la batería el vector de Poynting es hacia afuera (positivo).

• Alrededor de la resistencia (carga) el vector de Poyntinges hacia adentro (negativo).

• En un plano imaginario ubicado a mitad del circuito, el vector de Poynting va de izquierda (batería) a derecha (carga).

• En la superficie de integración que encierra a la carga, un cilindro conductor

( ) ( ) 1 2. .zP d E H dl dlϕ= × ⋅ = ⋅∫∫ ∫∫E H s

P d d VI= ⋅ ⋅ = −∫ ∫1 2E l H l

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APLICACIÓN DEL VECTOR DE POYNTING A CIRCUITOS.

• Se obtiene la misma potencia en la carga predicha por la teoría de circuitos

• En la teoría de campo, esta potencia es negativa, ya que se dirige hacia el interior de la superficie de integración que encierra a la carga.

• El flujo de potencia se desarrolla en el espacio circundante al circuito, actuando los conductores del circuito como guías para dicha potencia.

• En la anterior figura del circuito se muestran algunas líneas de flujo del vector de Poynting. Resulta evidente que el flujo de potencia se desarrolla en el espacio circundante al circuito, actuando los conductores del circuito como guías para dicha potencia.

• Desde el punto de vista de la teoría circuital, usualmente se dice que los conductores transportan la potencia o que la potencia fluye por los conductores, pero esto no es mas que una simplificación del problema y no representa la situación real.

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APLICACIÓN DEL VECTOR DE POYNTING A CIRCUITOS.

Densidad del vector de Poynting muy intenso

Toda la energía que va a la carga atraviesa las rendijas por donde pasa el coductor