Chimica fisica superiore

Modulo 1

Elementi di strutturistica

cristallina II

Sergio Brutti

Reticoli tri-dimensionali I reticoli (primitivi e non) sono raggruppati in base alle relazioni tra

i parametri reticolari ma anche in base all’esistenza di elementi di

simmetria tra i punti reticolai.

Reticolo Simmetrie Parametri reticolari

Triclino Nessuna a≠b≠c α ≠ β ≠ γ ≠90°

Monoclino Un piano m oppure un asse 2 a≠b≠c α = β = 90° ≠ γ

Ortorombico Ogni asse ha un piano m o

un asse 2 o entrambi

a≠b≠c α = β = γ =90°

Esagonale Un asse 6 con o senza un

centro di inversione -1

a=b≠c α=β=90°≠γ=120°

Tetragonale Un asse 4 con o senza un

centro di inversione -1

a=b≠c α = β = γ =90°

Trigonale

Romboedrico

Un asse 3 con o senza un

centro di inversione -1

Trig. a=b≠c α=β=90°≠γ=120°

Romb. a=b=c α = β = γ ≠90°

Cubico 4 assi 3 intersecati con o

senza un centro -1

a=b=c α = β = γ =90°

Reticoli tri-dimensionali Oltre ale tassellazioni primitive è possibile individuare anche

tassellazioni non primitive nello spazio 3D. In totale i sistemi

reticolari primitivi 3D sono 7 e quelli non primitivi 7.

I 14 reticoli 3D possibili sono

detti Reticoli di Bravais.

I reticoli non primitivi

contengono più di un punto

reticolare:

P - primitivi – 1 p.to

C – faccia centrata – 2 p.ti

I – corpo centrato – 2 p.ti

F – facce centrate – 4 p.ti

Reticoli tri-dimensionali I totale quindi possono esistere 14 reticoli tridimensionali detti

Reticoli di Bravais.

Reticoli tri-dimensionali - algebra Analogamente a quanto fatto per i reticoli bi-dimensionali anche nel

caso dei reticoli di Bravais è possibile darne una descrizione

matricale a meno dei versori di una terna cartesiana nello spazio 3D.

z

y

x

wvu

wvu

wvu

c

b

a

zwyvxuc

zwyvxub

zwyvxua

ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

Per un reticolo cubico

semplice

a=b=c α= β=γ=90°

z

y

x

u

u

u

c

b

a

zuyxc

zyuxb

zyxua

ˆ

ˆ

ˆ

00

00

00

ˆˆ0ˆ0

ˆ0ˆˆ0

ˆ0ˆ0ˆ

I vettori reticolari coincidono

con i vettori della cella elementare

Reticoli tri-dimensionali - algebra Esistono altri reticoli trimensionali primitivi oltre a quello cubico.

Per un reticolo ortorombico

semplice

a ≠ b≠c α= β=γ=90°

z

y

x

w

v

u

c

b

a

zwyxc

zyvxb

zyxua

ˆ

ˆ

ˆ

00

00

00

ˆˆ0ˆ0

ˆ0ˆˆ0

ˆ0ˆ0ˆ

In entrambi i casi i vettori reticolari coincidono con i vettori della

cella elementare

z

y

x

v

u

u

c

b

a

zvyxc

zyuxb

zyxua

ˆ

ˆ

ˆ

00

00

00

ˆˆ0ˆ0

ˆ0ˆˆ0

ˆ0ˆ0ˆ

Per un reticolo tetragonale semplice

a=b≠c α= β=γ=90°

Reticoli tri-dimensionali - algebra I reticoli monoclini primitivi hanno una serie di possibili “settings”

ovvero possono essere realizzati formando l’angolo diverso da 90°

tra una qualunque delle 3 coppie di vettori reticolari.

Convenzionalmente:

• Alpha è formato tra b e c.

•Beta è formato tra a e c.

•Gamma è formato tra a e b.

Per un reticolo monoclino

semplice

a≠b≠c α=γ=90°≠β

zwyxwc

zyvxb

zyxua

ˆsinˆ0ˆcos

ˆ0ˆˆ0

ˆ0ˆ0ˆ

In questo caso i vettori reticolari

coincidono con i vettori della cella

elementare

z

y

x

ww

v

u

c

b

a

ˆ

ˆ

ˆ

sin0cos

00

00

Reticoli tri-dimensionali - algebra I reticoli triclini sono solo primitivi.

Per un reticolo triclino semplice

a≠b≠c α ≠ β ≠ γ ≠90°

zwywxwc

zvyvxvb

zuyuxua

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

Dalle precedenti equazioni è immediato

calcolare l’ampiezza dei parametri reticolari

(coincidono con i moduli dei vettori) e gli

angoli (con il metodo del prodotto scalare)

z

y

x

www

vvv

uuu

c

b

a

ˆ

ˆ

ˆ

222

222

222

wwwc

vvvb

uuua

bavuvuuv

cawuwuuw

cbwvwvvw

cos

cos

cos

Reticoli tri-dimensionali - algebra Per un reticolo esagonale

primitivo

I vettori reticolari coincidono

con i vettori di traslazione della

cella elementare

z

y

x

w

uu

uu

c

b

a

zwc

yu

xu

b

yu

xu

a

ˆ

ˆ

ˆ

00

02

32

02

32

ˆ

ˆ2

3ˆ

2

ˆ2

3ˆ

2

I vettori reticolari di celle primitive coincidono con i vettori di

traslazione della cella stessa.

Nel caso di celle non primitive (che contengono più di un punto

reticolare) i vettori reticolari NON coincidono con i vettori di

traslazione della cella.

a=b≠c α= β=90° ≠ γ=120°

Reticoli tri-dimensionali - algebra I reticoli romboedrici sono solo primitivi e possono essere

rappresentati con settings romboedrici o trigonali.

Per un reticolo romboedrico semplice

a=b=c α = β = γ ≠90°

zwywxwc

zvyvxvb

zuyuxua

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

Dalle precedenti equazioni è immediato

calcolare l’ampiezza del parametro

reticolare e l’angolo

z

y

x

www

vvv

uuu

c

b

a

ˆ

ˆ

ˆ

....coscoscos2

222222222

a

vuvuuv

wwwcvvvbuuuaa

Reticoli tri-dimensionali - algebra I reticoli romboedrici sono solo primitivi e possono essere

rappresentati con settings romboedrici o trigonali.

Per un reticolo romboedrico in setting

trigonale (analogo all’esagonale)

a = b ≠ c α = β = 90°≠γ =120°

z

y

x

w

uu

uu

c

b

a

zwc

yu

xu

b

yu

xu

a

ˆ

ˆ

ˆ

00

02

32

02

32

ˆ

ˆ2

3ˆ

2

ˆ2

3ˆ

2

E’ importante sottolineare che il reticoli romboedrico nel suo setting

trigonale è non primitivo.

Questo significa che il medesimo arrangiamento spaziale di punti

reticolari può essere descritto da un reticolo primitivo (romboedrico)

o non primitivo (trigonale).

La differenza tra essi e il sistema esagonale riguarda l’esistenza di

un’asse di simmetria 6 tra i punti reticolari.

Reticoli tri-dimensionali - algebra E’ sempre possibile trasformare un setting romboedrico primitivo in

un setting trigonale non primitivo e vice-versa.

Le due operazioni di trasformazione 3D

per passare da un sistema reticolare

all’altro sono:

trig

trig

trig

rhom

rhom

rhom

31

31

32

31

32

31

31

31

31

c

b

a

c

b

a

Questo significa che una medesima

struttura cristallina può essere

descritta usando indifferentemente

una tassellazione dello spazio 3D

con un setting trigonale (non

primitivo) o romboedrico (primitico). rhom

rhom

rhom

trig

trig

trig

111

011

101

c

b

a

c

b

a

Reticoli non-primitivi

Per un reticolo cubico a corpo

centrato

z

y

xu

c

b

a

cbac

cbab

cbaa

p

p

p

p

p

p

ˆ

ˆ

ˆ

111

111

111

2

2

12

12

1

I vettori reticolari primitivi

I vettori di traslazione della

cella elementare

z

y

x

u

c

b

a

zuc

yub

xua

ˆ

ˆ

ˆ

100

010

001

ˆ

ˆ

ˆ

I vettori reticolari NON coincidono con i vettori di traslazione della

cella elementare. La celle primitiva è ROMBOEDRICA.

a=b=c α= β=γ=90°

Reticoli non-primitivi Per un reticolo tetragonale a

corpo centrato

z

y

x

uv

uv

uvu

c

b

a

cbac

cbab

cbaa

P

P

P

P

P

P

ˆ

ˆ

ˆ

11

11

11

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

I vettori reticolari primitivi

I vettori di traslazione della

cella elementare

z

y

x

uv

u

c

b

a

zvc

yub

xua

ˆ

ˆ

ˆ

00

010

001

ˆ

ˆ

ˆ

I vettori reticolari NON coincidono con i vettori di traslazione della

cella elementare. La cella primitiva è una cella TRICLINA.

a=b≠c α= β=γ=90°

Reticoli non-primitivi Per un reticolo ortorombico a

corpo centrato

I vettori reticolari primitivi

I vettori di traslazione della

cella elementare

z

y

x

uw

uvu

c

b

a

zwc

yvb

xua

ˆ

ˆ

ˆ

00

00

001

ˆ

ˆ

ˆ

a ≠ b≠c α= β=γ=90°

z

y

x

uwuv

uwuv

uwuvu

c

b

a

cbac

cbab

cbaa

P

P

P

P

P

P

ˆ

ˆ

ˆ

1

1

1

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

I vettori reticolari NON coincidono con i vettori di traslazione della

cella elementare. La cella primitiva è una cella TRICLINA

Reticoli tri-dimensionali - algebra

I vettori reticolari NON coincidono con i vettori di traslazione della

cella elementare. La cella elementare è una cella MONOCLINA.

Per un reticolo ortorombico a

faccia centrata

z

y

x

w

vu

vu

c

b

a

cc

bab

baa

p

p

p

ˆ

ˆ

ˆ

00

022

022

2

1

2

1

2

1

2

1

I vettori reticolari primitivi

I vettori di tralsazione della

cella elementare

z

y

x

w

v

u

c

b

a

zwc

yvb

xua

ˆ

ˆ

ˆ

00

00

00

ˆ

ˆ

ˆ

a ≠ b≠c α= β=γ=90°

Reticoli tri-dimensionali - algebra Per un reticolo monoclino a

faccia centrata

z

y

x

ww

vu

vu

c

b

a

cc

bab

baa

p

p

p

ˆ

ˆ

ˆ

cos0cos

022

022

2

1

2

1

2

1

2

1

I vettori reticolari primitivi

I vettori reticolari non primitivi

a≠b≠c α=γ=90°≠β

z

y

x

ww

v

u

c

b

a

ˆ

ˆ

ˆ

sin0cos

00

00

I vettori reticolari NON coincidono con i vettori di traslazione della

cella elementare. La cella primitiva è una cella TRICLINA

Reticoli tri-dimensionali - algebra

Per un reticolo cubico a facce

centrate

z

y

xu

c

b

a

cac

cbb

baa

P

P

P

P

P

P

ˆ

ˆ

ˆ

101

110

011

2

2

12

12

1

I vettori reticolari primitivi

I vettori di traslazione della

cella elementare

z

y

x

u

c

b

a

zuc

yub

xua

ˆ

ˆ

ˆ

100

010

001

ˆ

ˆ

ˆ

a=b≠c α= β=γ=90°

I vettori reticolari NON coincidono con i vettori di traslazione della

cella elementare. La cella primitiva è una cella ROMBOEDRICA

Reticoli tri-dimensionali - algebra

Per un reticolo cubico a facce

centrate

z

y

x

uw

uwuv

uvu

c

b

a

cac

cbb

baa

P

P

P

P

P

P

ˆ

ˆ

ˆ

01

0

01

2

2

12

12

1

I vettori reticolari primitivi

I vettori di tralsazione della

cella elementare

z

y

x

uw

uvu

c

b

a

zwc

yvb

xua

ˆ

ˆ

ˆ

00

00

001

ˆ

ˆ

ˆ

a ≠ b≠c α= β=γ=90°

I vettori reticolari NON coincidono con i vettori di traslazione della

cella elementare. La cella primitiva è una cella TRICLINA

Volume delle celle elementari Il volume di una cella elementare si può calcolare facilmente a

partire dai vettori di traslazione della cella stessa.

sinsinsin abccbaVcell

Per un reticolo triclino primitivo

In termini di algebra matricale:

vuvuwwuwuvwvwvuV

vuvu

wuwu

wvwv

wvucbaV

vuvu

wuwu

wvwv

cb

vuvuz

wuwuy

wvwvx

wvu

wvu

zyx

cb

cbaV

zwyvxuc

zwyvxub

zwyvxua

ˆ

ˆ

ˆˆˆˆ

det

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

Volume delle celle elementari Per sistemi a simmetria maggiore le equazioni si semplificano.

sinsinsin abccbaVcell

Per i vari sistemi reticolari:

1. Cubico

2. Tetragonale

3. Esagonale

3aVcubic

caVtetragonal2

caVhexagonal2

2

3

4. Romboedrico

5. Ortorombico

6. Monoclino

abcV icorthorhomb

33

rhomb sinraV tttrigonal caV

2

2

3

sinmonoclinic abcV

ESERCIZI 4