I primi elementi I primi elementi della geometriadella geometria

Istituto Comprensivo “F. Jovine” - Scuola Secondaria di I gradoIstituto Comprensivo “F. Jovine” - Scuola Secondaria di I gradoA.S. 2012-2013 Classi Prime Disciplina: Geometria A.S. 2012-2013 Classi Prime Disciplina: Geometria

Realizzato dal prof. Aurelio NardelliRealizzato dal prof. Aurelio Nardelli

La geometria (dal greco antico γεωμετρία (geometria), composto da γεω, geo = "terra" e μετρία, metria = "misura", tradotto quindi letteralmente come misurazione della terra. È quella parte della matematica che si occupa della forma e dell’estensione delle figure e delle relazioni e trasformazioni che le caratterizzano.

Gli enti geometrici fondamentali

Gli enti geometrici fondamentali

La geometria che si studia nelle scuole medie è opera degli studi dei geometri e filosofi greci, alessandrini (egiziani) e della Magna Grecia.Si chiama euclidea perché Euclide scrisse gli “Elementi” in 13 libri che riassumevano le conoscenze geometriche del tempo.

Gli enti geometrici fondamentali

Gli enti geometrici fondamentali della geometria euclidea

sono punto, linea, piano e spazio

Gli enti geometrici fondamentali

Il punto è il primo degli enti geometrici fondamentali ed è privo di dimensioni.

Il modo migliore per rappresentare il punto (modello) e quello di poggiare leggermente una matita appuntita su un foglio.Per convenzione i punti vengono indicati con una lettera in stampatello maiuscolo.

Gli enti geometrici fondamentaliLa linea è il secondo ente geometrico fondamentale ed ha una sola dimensione: la lunghezza.

Le linee si possono classificare in: aperta, chiusa, semplice, intrecciata

Linea aperta semplice Linea chiusa semplice Linea aperta intrecciata Linea chiusa intrecciata

Per convenzione la linea viene indicata con una lettera minuscola: a, b, c..... Se tutti i punti appartenenti ad una stessa linea sono disposti secondo una stessa direzione otteniamo una linea retta o retta.

Gli enti geometrici fondamentali

Il piano è il terzo ente geometrico fondamentale ed è dotato di due dimensioni: larghezza e lunghezza.

In generale il piano si indica con una lettera minuscola dell'alfabeto greco: α, β, δ.... e si rappresenta graficamente come segue:

β

Gli enti geometrici fondamentali

Lo spazio è il quarto ente geometrico fondamentale ed è dotato di tre dimensioni: larghezza, lunghezza e altezza.

Gli enti geometrici fondamentaliIl rapporto tra gli enti geometrici fondamentali

Un punto può:- appartenere ad una retta o ad un piano (A)- non appartenere ad una retta o ad un piano (B)

r.A

. B

Rispetto ad un piano una retta può:

- giaciere

- intersecare- essere parallela

Due rette complanari (che appartengono ad uno stesso piano) possono essere:coincidenti; incidenti e parallele.

Gli assiomi della geometria

1 - Per un punto passano infinite rette1 - Per un punto passano infinite rette

2 – Per due punti distinti passa una sola retta 2 – Per due punti distinti passa una sola retta

3 – Se una retta ha in comune con un piano due punti 3 – Se una retta ha in comune con un piano due punti allora giace tutta sul pianoallora giace tutta sul piano

Gli assiomi della geometria

4 – Per una retta passano infiniti piani4 – Per una retta passano infiniti piani

5 – Per tre punti distinti non appartenenti ad una stessa retta 5 – Per tre punti distinti non appartenenti ad una stessa retta passa uno e un solo pianopassa uno e un solo piano

ε

. A .B .C

5a – Per una retta ed un punto fuori di essa passa un solo piano5a – Per una retta ed un punto fuori di essa passa un solo piano

5b – Per due rette incidenti passa un solo piano5b – Per due rette incidenti passa un solo piano

ε

. A r

ε

t r

La semiretta e il segmentoLa semiretta è ciascuna delle due parti, infinite, in cui una retta è divisa da un suo punto. Tale punto è detto origine delle due semirette.

Il segmento è la parte di retta compresa tra due suoi punti.I punti A e B si dicono estremi del segmento.

Gli angoliConsideriamo un piano α e due semirette a e b aventi un’origine in comune B.

Si definisce angolo ciascuna delle parti in cui il piano risulta suddiviso dalle due semirette.

Elementi di un angoloConsideriamo l’angolo mostrato in figura

Definiamo vertice il punto di origine delle due semirette

a e b sono i lati dell’angolo

α è l’ampiezza dell’angolo ed è l’unica dimensione che lo caratterizza

Angoli concavi e convessiDalla definizione di piano emerge chiaramente che 2 semirette aventi un origine in comune formano 2 angoli perché il piano viene diviso in due parti

Definiamo convesso l’angolo che non contiene il prolungamento dei sui lati

Definiamo concavo l’angolo che contiene il prolungamento dei sui lati

Angoli consecutiviL’italiano ci dovrebbe venire in soccorso quando parliamo di angoli consecutivi Cosa significa consecutivo? Una cosa è consecutiva ad un’altra quando la segue, quando viene dopo, quandoabbiamo elementi che si susseguono l'un l'altro.Da ciò si deduce che anche gli angoli debbono susseguirsi; ma come può avvenire questo?Due angoli sono consecutivi quando hanno un vertice ed un lato in comune

Angoli adiacenti

Si dicono adiacenti due angoli consecutivi e i cui lati non comuni giacciono sulla stessa retta

Angoli opposti al verticeDue angoli si dicono opposti al vertice se hanno il vertice in comune e se i suoi lati si trovano uno sul prolungamento dell’altro.Due angoli opposti al vertice sono congruenti

BisettriceDefiniamo bisettrice la semiretta che partendo dal suo vertice B divide l’angolo in due parti uguali

Bisettrice

Tipi di angoliPossiamo individuare 5 tipi di angoli di cui 3 notevoli(una cosa è notevole quando ha qualcosa di speciale o particolare).

1 - Angolo giro2 - Angolo piatto3 - Angolo retto4 - Angolo acuto5 - Angolo ottuso

ANGOLO GIRO

Cosa succede se i due lati dell’angolo coincidono?L’angolo convesso sarà nullo e quello concavo avrà ampiezza massima.Chiamiamo questo angolo angolo giro.

ANGOLO PIATTO

Definiamo piatto l’angolo formato da due semirette che sono una il prolungamento dell’altra, cioè che giacciono sulla stessa retta.La sua ampiezza è la metà dell’angolo giro.

ANGOLO RETTOPrendiamo un angolo piatto e tracciamo la sua bisettrice,tale bisettrice divide l’angolo in due parti uguali.

Definiamo retto ciascuno di questi angoli aventi ampiezza pari alla metà dell’angolo piatto.

ANGOLO ACUTO

Un angolo si dice acuto se la sua ampiezza è minore di quella di un angolo retto.

ANGOLO OTTUSO

Un angolo si dice ottuso se la sua ampiezza è maggiore di un angolo retto.

Differenza di angoli

AOD è la somma fra l’angolo AOB e l’angolo CKDAOB + CKD = AODγ = α + β

AO

B

CK

D

AO

B

C

K

D

Dati due angoli AOB e CKD

Per fare la somma di due angoli faccio coincidere i lati non omologhi e i due vertici. Lati non omologhi: sono lati che non occupano la stessa posizione (colore diverso).

Sottomultipli di un angolo

Prendiamo l’angolo AOB e dividiamolo in tre parti uguali.

Com’è l’angolo AOC rispetto all’angolo AOB?

Sapendo che per definizione l’angolo AOC è contenuto 3 volte in AOB come sarà questo angolo?

Se AOC è contenuto 3 volte in AOB sarà un suo sottomultiplo.

Quando un angolo è sottomultiplo di un altro?Un angolo è sottomultiplo di un altro

quando vi è contenuto un numero intero di volte.

Multipli di un angolo Quante volte AOB contiene

AOC? Tre volte per definizione (perché

ho fatto l’operazione di dividere l’angolo in tre parti uguali e quindi l’ho definito in partenza)

Come sarà AOB rispetto ad AOC?

Sarà un suo multiplo.

Quando un angolo è multiplo di un altro?

Un angolo è multiplo di un altro quando lo contiene un numero intero di volte.

Angoli complementari

Consideriamo due angoli AOB e CKD e proviamo a sommare questi due angoli

Dalla somma è uscito un angolo retto

Due angoli si dicono complementari se la loro somma è un angolo retto.

Angoli supplementari

Consideriamo due angoli AOB e CKD e proviamo a sommare questi due angoli

Dalla somma è uscito un angolo piatto

Due angoli si dicono supplementari se la loro somma è un angolo piatto.

Angoli esplementariConsideriamo due angoli AOB e CKD e proviamo a sommare questi due angoli

Dalla somma è uscito un angolo giro

Due Angoli si diconoesplementari se la loro somma è un angolo giro.

Fine