ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL

1. INTEGRALA DEFINITA (RIEMANN)

Fie . b a R, b a, <∈

Definiţia 1.1. Se numeşte diviziune a intervalului [a,b] şi se noteazâ cu Δ o mulţime finită de numere reale x0,x1,...,xn astfel încât

a = x0 < x1 < ... < xn = b.

Definiţia 1.2. Fie 1Δ şi 2 două diviziuni ale intervalului [a,b]. Se spune că Δdiviziunea este mai puţin fină decât diviziunea 1Δ 2Δ şi se notează

21 Δ⊆Δ , dacă orice element al diviziunii 1Δ este element al lui 2Δ

Fie o funcţie si o diviziune Rbaf →],[: Δ = (a = x0 < x1 < ... < xn = b)

a intervalului [a, b] şi un sistem de puncte intermediare [ ]iii xx ,1−∈ξ , pentru orice 1 i≤ ≤ n. Definiţia 1.3. Numărul real notat

∑=

−Δ −=n

iiii xxff

11 ))((),( ζζσ

se numeşte suma Riemann asociată funcţiei f, diviziunii Δ şi sistemului de puncte intermediare iξ .

Definiţia 1.4. 0 funcţie se numeşte integrabilă Riemann daca există I Rbaf →],[: ∈ R cu următoarea proprietate:

oricare ar fi ε > 0, există ( )εδ > 0 astfel încăt pentru orice diviziune

Δ = (a = x0 < x1 < ... < xn = b)

cu norma ( )εδ<Δ şi pentru orice alegere a unui sistem de puncte intermediare [ ]iii xx ,1−∈ξ , 1 i ≤ n, ≤

avem ( ) εξσ <−Δ If i, .Vom nota Idxxfb

a

=∫ )(

Teorema 1.1. Fie o funcţie. Următoarele afirmaţii sunt echivalente: Rbaf →],[:a) f este integrabilă Riemann b) există I ∈ R cu proprietatea că pentru orice şir de diwziuni (Δ n)n 1≥ ale intervalului [a, b], cu nΔ —> 0 şi pentru orice şir de sisteme de puncte inter-

mediare ( ) nnni ki ≤≤≥ 1,1ξ , rezultă că şirul sumelor Riemann ( )( )

1,

≥Δ nnf

nξσ este

convergent la I. Notăm If nn

n

=Δ→Δ),(lim

0ζσ .

Demonstraţie. a=>b. Presupunem că f este integrabilă şi fie . dxxfIb

a∫= )(

Atunci pentru orice ε > 0 există ( )εδ > 0 astfel încât ( ) εξσ <−Δ If i, ,

oricare ar fi diviziunea cu Δ ( )εδ<Δ şi sistemul de puncte intermediare

nii ≤≤1,ξ . Deoarece nΔ —> 0, există n(ε ) ∈ N astfel încât ( )εδ<Δ n , n

n(

∀ ≥

ε ). De aici, pentru orice n ≥ n( ε )avem ( ) εξσ <−Δ If nn

, ,adica

( ) If nn n=Δ∞→

ξσ ,lim

b=>a. Presupunem prin absurd că f nu este integrabilă Riemann. Aceasta înseamnă că

există ε 0 > 0 a.i. oricare ar fi η > 0, există o diviziune Δ cu η<Δ şi un sistem de

puncte intermediare ( Δξ ) astfel încât ( ) 0ΔΔ , εξσ >− If Acum luăm 1,1

≥= nnnη şi obţinem un şir de diviziuni ( ) 1≥Δ nn cu

nn1

<Δ şi un şir

de sisteme de puncte intermediare asociate ( ) 1≥Δ nnζ astfel încât

1,),( 0 ≥∀>−ΔΔ nIf nn

εζσ . Aceasta este o contradicţie, întrucât 0lim =Δ∞→ nn

şi

. În concluzie, f este integrabilă Riemann şi If n

n n≠ΔΔ∞→

),(lim ζσ

Idxxfb

a

=∫ )( .

Observatie. Fie f : [0,1] —> R o funcţie integrabilă Riemann. Atunci

dxxfnkf

n

n

kn ∫∑ =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=∞→

1

01)(1lim .

Considerăm o funcţie mărginită f : [a, b] —> R. Fie Δ = (a = x0 < x1 < . . . < xn = b)

diviziune a intervalului [a,b]. Notăm )(inf],[ 1

xfmii xxxi

−∈= , )(sup

],[xfM

xxxi

∈ 1 ii−

= , . ni ≤≤1

Suma o numim suma Darboux inferioară asociată funcţiei f şi

diviziunii . În mod analog, expresia este numită suma

Darboux superioară asociată funcţiei f şi diviziunii

)()( 11

−=

Δ −= ∑ ii

n

ii xxmfs

Δ )()( 11

−=

Δ −= ∑ ii

n

ii xxMfS

Δ .

Propoziţia 1.1. Fie f : [a, b] —> R o funcţie mărginită. Atunci: a) pentru orice diviziune a intervalului [a, b] şi pentru orice sistem de puncte intermediare (

Δiξ ), 1 i ≤ n avem ≤ )(),()( fSffs i ΔΔΔ ≤≤ ξσ

b) dacă ' este mai fină decăt Δ Δ⊆ΔΔ, ', atunci , )()( ' fsfs ΔΔ ≤ )()(' fSfS ΔΔ ≤c) pentru orice diviziuni ale intervalului [a,b] avem 21 ,ΔΔ )()(

21fSfs ΔΔ ≤

Concluzionam: prin trecere de la o diviziune la alta mai fină, sumele Darboux inferioare cresc, iar sumele Darboux superioare descresc. De asemenea, orice sumă Darboux inferioară este mai mică decăt orice sumă Darboux superioară.

Definiţia 1.5. Numărul real notat cu )(sup)( fsfI ΔΔ

= se numeşte integrala

Darboux inferioară a funcţiei f, iar numărul real )(inf)( fSfI ΔΔ= se numeşte

integrala Darboux superioară a funcţiei f.

Aşadar, pentru orice diviziune Δ a intervalului [a, b] avem inegalităţile

)()()()( fSfIfIfs ΔΔ ≤≤≤ Definiţia 1.6. Fie f : [a, b] —> R o funcţie mărginită. Funcţia f se numeşte integrabilă Darboux dacă pentru orice ε > 0 există ( )εη > 0 astfel încât S (f) - s (f) < Δ Δ ε , oricare ar fi diviziunea Δ a intervalului [a,b] cu )(εη<Δ . Teorema 1.2. Fie f : [a,b] —> R o funcţie mărginită. Atunci f este integrabilă Darboux dacă şi numai dacă f este integrabilă Riemann. Aratam in continuare ca functiile continue si cele monotone pe un interval real inchis si marginit sunt functii integrabile. Teorema 1.3. Orice funcţie monotonă f : [a,b] →R este integrabilă. Demonstraţie. Dacă f este constantă, f(x) = c, ∀x ∈ [a, b], atunci 0)()( =− ΔΔ fsfS , deci f este integrabilă. Presupunem acum că f este crescătoare, deci f(a) < f(b). Fieε > 0. Notăm

( ))()( afbf −

=εεη

Fie o diviziune a intervalului [a, b] cu Δ ( )εη<Δ . Deoarece f este crescătoare, avem

)()(inf 1],[ 1−∈

==−

ixxxi xfxfmii

,

Mi = )()(sup],[ 1

ixxx

xfxfii

=−∈

Atunci

( )( =−−=− −=

ΔΔ ∑ 11

)()( ii

n

iii xxmMfsfS )

[ ]( ) [ ] =−Δ≤−− ∑∑=

−−=

−

n

iiiii

n

iii xfxfxxxfxf

111

11 )()()()(

( ) ( ) εε=−

−<−Δ= )()(

)()()()( afbf

afbfafbf

deci f este integrabilă. Teorema 1.4. Orice funcţie continuă f: [ a , b ] →R este integrabilă. Demonstraţie. Funcţia f este uniform continuă, fiind continuă pe compact. Fie ε

> 0. Atunci există ( )εη > 0 astfel încât [ ]bayxab

yfxf ,,,)()( ∈∀−

<−ε

cu yx − < ( )εη . Fie o diviziune a intervalului [a,b], cu Δ ( )εη<Δ . Cum f este continuă, există , astfel încât [ ]iiii xxvu ,, 1−∈

)(inf)(],[ 1

xfufii xxxi

−∈= , )(sup)(

],[ 1

xfvfii xxx

i−∈

= , 1≤ i n ≤

Avem

( )εη<Δ≤−≤− −1iiii xxvu

deci

ab

vfuf ii −<−

ε)()(

Acum

( )( <−−=− −=

ΔΔ ∑ 11

)()()()( iii

ii xxufvffsfS )n

( ) εεε=−

−=−

−< ∑

=− )(

11 ab

abxx

ab

n

ii

Prin urmare f este integrabilă.

Propoziţia 1.2. Orice funcţie integrabilă f : [a, b] R este mărgmită. →Definiţia 1.7. Fie funcţia ( I interval ). Spunem că f admite primitive pe I dacă există o funcţie astfel încât F este derivabilă pe I si

RRIf →⊂:RIF →: ( ) ( ) ( ) IxxfxF ∈∀= ,' .

Funcţia F se numeşte primitivă a funcţiei f. Se arata cu usurinta ca oricare doua primitive ale unei functii f, difera printr-o constanta, adica există astfel încât

RIf →:RC∈ ( ) ( ) CxFxF += 21 .

Reamintim de asemenea ca o funcţie continuă pe I admite primitive pe I.

Definiţia 1.8.Dacă admite primitive, atunci mulţimea primitivelor lui f se numeşte integrala nedefinită a funcţiei f şi se notează prin . Scriem

.

RIf →:( )∫ dxxf

( ) ( ) CxFdxxf +=∫

Tabel de primitive

1. RxNnCnx

dxxn

n ∈∈++

=+

∫ ,,1

1

;

2. { } ( )∫ ∞∈−−∈++

=+

,0,1,1

1xRaC

axdxx

aa ;

3. ∫ ∗⊂∈+= RIxCxdxx

,ln1 ;

4. ∫ ∈≠>+= RxaaCa

adxax

x ,1,0,ln

;

5. ; ∫ ∈+= RxCedxe xx ,

6. { }∫ >−−⊂∈++−

=−

0,,,ln211

22 aaaRIxCaxax

adx

ax;

7. ∫ ≠∈+=+

0,,1122 aRxC

axarctg

adx

ax;

8. ∫ ≠∈+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++=

+0,,ln1 22

22aRxCaxxdx

ax

9. ( ) (∫ ∞∞−⊂∈+−+=−

,,,ln1 2222

aaIxCaxxdxax

U )

10. ( )∫ >−∈+=−

0,,,arcsin122

aaaxCaxdx

xa

11. ; ∫ ∈+−= RxCxdxx ,cossin

12. ; ∫ ∈+= RxCxdxx ,sincos

13. ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ∈+−∈+=∫ ZkkRxCxtgdx

x,

212,

cos1

2π ;

14. { }∫ ∈−∈+−= ZkkRxCxctgdxx

/,sin

12 π ;

15. ( )∫ ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ∈+−∈+−= ZkkRxCxdxxtg ,

212,cosln π ;

16. { }∫ ∈−∈+= ZkkRxCxdxxctg ,,sinln π ; Reamintim mai jos metoda de integrare prin părţi si prima metodă de schimbare de variabilă. Teorema 1.5. (metoda de integrare prin părţi). Dacă sunt funcţii derivabile cu derivate continue, atunci

RIgf →:,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫−= dxxgxfxgxfdxxgxf ''

Teorema 1.6. (prima metodă de schimbare de variabilă).Fie intervale şi RJI ⊂,RJfJI →→ :,:ϕ funcţii cu proprietăţile :

i ) ϕ derivabilă pe I ; ii ) f admite primitive pe J ( fie F o primitivă a sa ). Atunci ( ) 'ϕϕof admite primitive pe I şi ( )( ) ( ) ( )( ) CxFdxxxf +=∫ ϕϕϕ ' . Exemple. 1) ( )∫ ∫∫ ++=−== Cxxtgxdxxtgxtgxdxxxtgdx

xx cosln'

cos 2

2) ∫−

dxx

x8

3

2. Punem ∫ ∫ +=+=

−=

−⇒== CxCt

t

dt

x

dxxdtdxxtx2

arcsin41

2arcsin

41

241

24,

4

28

334 .

Dintre integralele reductibile la integrale rationale, prezentam substitutiile lui Euler si substitutiile lui Cebisev. Substiţuţiile lui Euler Integralele de tipul ∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++ dxcxbaxxR 2, se reduc la integrale rationale prin substitutiile:

1) Daca a > 0, atunci txacbxax +=++2

2) Daca c > 0, atunci ctxcbxax +=++2

3) Daca , atunci042 >−=Δ cab ( 12 xxtcxbax −=++ ) , unde este o rădăcină a

ecuaţiei . 1x

02 =++ cxbax

Exemplu. I = ∫+− 232 xxx

dx . Suntem in primul caz, deci fie

( )( ) dt

tttdx

ttxtxxx 2

222

32232,

322,23

+++−

=+−

=+=+− . Inlocuind, vom obtine:

∫ ∫ =−

=+− 2

223

22 ttd

xxxdx C

xxx

xxxC

tt

++−+−

−−+−=+

+−

223

223ln

21

22ln

21

2

2

;

Substitutiile lui Cebisev (integrale binome) Integralele de tipul , unde ( ) dxbaxx pnm ⋅+∫ Rba ∈, si Qpnm ∈,, se reduc la integrale

rationale in urmatoarele trei cazuri: Zp∈ , Zn

m∈

+1 saun

mp 1++ Z∈ .

1) Daca , se face substitutia , unde s este cel mai mic multiplu comun al numitorilor lui m si n.

Zp∈ stp =

2) In cazul in care Zn

m∈

+1 , se utilizeaza schimbarea , unde s este

numitorul lui p.

sn zbax =+

3) In sfarsit, daca n

mp 1++ Z∈ , atunci se face substitutia , unde s este

numitorul lui p.

sn zbxa =+ −

Exemplu. Sa se calculeze primitiva dxxxF ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∫

23

32

3 1

Avem Zn

mdecinm ∈+

==1,

23,3 si deci suntem in cazul 2.

Facem substitutia tx =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

21

32

1 .Atunci dttdxxtx ⋅−=⋅−=−

232,1 3

123

2

, de unde obtinem

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−=⋅−−=⋅−=⋅−= ∫∫∫ 97

25

31333975

424434

31

33 tttdtttdttxdttxtxF

Se inlocuieste in final tx =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

21

32

1 .

2. EXTINDEREA INTEGRALELOR. INTEGRALE IMPROPRII In definitia integralei Riemann am presupus ca limitele de integrare sunt finite, iar functia este marginita. Sa presupunem acum ca cel putin una din aceste conditii nu este implinita. Astfel de integrale sunt cunoscute sub numele de integrale generalizate sau integrale improprii.

2.1 Integrale cu limite infinite Definitia 2.1. Fie f integrabila pe orice interval [a,b], cu a<b. Daca: [ ) ,,: Raf →∞

( )∫∞→

b

ab

dxxflim exista si este finita, spunem ca este convergenta si vom nota: ( )∫b

a

dxxf

( ) ( )∫∫ ∞→=

b

ab

b

a

dxxfdxxf lim . O integrala care nu este convergenta spunem ca este divergenta

sau ca nu are sens.

Daca urmatoarele limite exista si sunt finite si atunci

integralele si se numesc convergente si, prin definitie:

( )∫−∞→

b

aa

dxxflim ( )∫−

∞→

b

aa

dxxflim

( )∫∞−

b

dxxf ( )∫∞

∞−

dxxf

( ) ( )∫∫ −∞→∞−

=b

aa

b

dxxfdxxf lim si ( ) ( )∫∫−

∞→

∞

∞−

=a

aa

dxxfdxxf .lim

Daca integralele nu sunt convergente, ele sunt divergente.

Exemple. Sa se studieze natura integralei:

1) .0,0, >>∫∞

axdx

a

αα

Rezolvare. Functia ( ) αxxf 1= este integrabila pe orice interval [a,b] cu a<b. Daca 1≠α

atunci:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

−=⋅

−= −−−∫ 111

111

111

1αααα αα abxx

dx ba

b

a

rezulta ca:

⎪⎩

⎪⎨⎧

>⋅−

<∞=

−∞→ ∫ 1,1

11

1,lim

1 αα

α

αα dc

a

dc

xdxb

ab

Pentru α=1,

( ) .lnlimlnlimlim ∞=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

∞→∞→∞→ ∫ abx

xdx

b

bab

b

ab α

Deci ∫∞

a xdxα este convergenta pentru orice α>1 si este divergenta pentru .10 ≤<α

2) ∫∞

∞− +12xdx

Functia ( )1

12 +

=x

xf este integrabila pe orice interval [-a,a]<(-∞,∞) si

).(12 aarctgarctgaarctgx

xdxa

a

aa −−==

+∫−

− Atunci obtinem:

( )( ) πππ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−=−−=

+ ∞→−

∞→ ∫ 22lim

1lim 2 aarctgarctga

xdx

a

a

aa

Rezulta ca ∫− +

a

a xdx

12 este convergenta.

Criteriul comparatiei. Fie [ ) ,,:, Ragf →∞ integrabile pe orice pe orice interval [a,b], cu a<b. Daca:

1) ,0 gf ≤≤ si este convergenta, atunci si este convergenta. ∫∞

a

dxg dxfa∫∞

2) si este divergenta, atunci si este divergenta. gf ≤≤0 dxfa∫∞

∫∞

a

dxg

Criteriu de convergenta. Fie f :[a,∞ ) o funcţie local integrabilă astfel încât există şi este finită şi nenulă limita .

R→)(lim tftαl

t ∞→=

Atunci integrala este convergentă, dacă dttfa∫∞

)( 1>α si divergentă, dacă 1≤α .

Criteriu de convergenta.Fie f,g : Ra →∞),[ două funcţii cu următoarele proprietăţi: a) f este descrescătoare şi .0)(lim =

∞→tf

t

b) g este continuă şi are o primitivă mărginită.

Atunci integrala este convergentă. dttgtfa∫∞

)()(

Teorema 2.1. (Cauchy – McLaurin). Fie funcţia +→∞ Rf ),1[: descrescătoare. Atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente:

a) integrala este convergentă. dttf∫∞

1

)(

b) seria numerică este convergentă. ∑=

n

knf

1)(

Exercitii. Să se studieze convergenţa următoarelor integrale improprii:

a) ∫∞

+021 x

dx b) ∫∞

2 )(ln αxxdx c) ∫

∞

12 dx

xarctgx d) ( )

dxx

xx∫∞

+1221

ln e) dxxe x∫∞

−

0

f) dxx

x∫∞

∞− +12 g) dxx

xx∫∞

+02 1

h) ∫∞

+12 1xx

dx i) dxx

x∫∞

+02 1

sin

2.2. Integrale ale functiilor nemarginite

Definitia 2.2. Fie f o functie reala integrabila pe orice interval [a+ε,b-ε] cu ε>0, a<b,

nemarginita in a si f(b)<∞. Daca exista si este finita, atunci se

spune ca este convergenta si, prin definitie .

( )∫+

→

b

a

dxxfε

ε 0lim ( )∫

b

a

dxxf

( ) ( )∫∫+

→=

b

a

b

a

dxxfdxxfε

ε 0lim

In caz contrar, integrala estre divergenta sau fara sens. Exemplu. Sa se studieze convergenta integralelor:

∞=−=−=−

=− →

++→→ ∫∫ ε

εε

εεεlnlim)1ln(lim

1lim

1 0

2

1

2100

2

1

xxdx

xdx , deci integrala este divergenta. 1.

2. 22)32(lim3

lim3

3

1

3100

3

1

=−−=−

=− ∫∫

−

+

−

→→

ε

ε

ε

εεx

xdx

xdx deci integrala este convergenta.

3. Integralele ( )∫ −

b

a atdt

α şi ( )∫ −

b

a tbdt

α sunt convergente dacă şi numai dacă 1<α . Pentru

avem ( bax ,∈ ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−−

=−

⋅−

=− −−−∫ 111 )(

1)(

11

1)(

11

1)( αααα αα abxbatat

dtb

x

b

a

.

Apoi 1)(1

11

)(lim −>→ −

⋅−

=−∫ αα α abatdtb

xaxax

dacă şi numai dacă 1<α .

Pentru a doua integrală, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−−

=−

⋅−

=− −−−∫ 111 )(

1)(

11

1)(

11

1)( αααα αα abxbtbtb

dtx

a

x

a

Atunci 1)(1

11

)(lim −<→ −

⋅−

=−∫ αα α ababdtx

abxbx

dacă şi numai dacă α < 1.

4. .3

23∫

− xdx

Functia de sub integrala are limita infinita cand Atunci: .0→x

( ).4923

23

23lim.lim 333

03 20

23 2

0

2

3

033

3

23

−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= +

−−∞→

−

− +−∞→ ∫ ∫∫ ε

ε

ε

ε

εε

xxx

dxx

dxx

dx

Dam in continuare, fara demonstratie, un criteriu de convergenta, cunoscut sub numele de Criteriul comparatiei. Fie [ ) Rbagf →,:, , integrabile pe orice [ ] [ ).,, baxa ⊂ Daca:

1) ,0 gf ≤≤ si este convergenta, atunci si este convergenta. dxgb

a∫ ∫

b

a

dxf

2) si este divergenta, atunci si este divergenta. gf ≤≤0 ∫b

a

dxf dxgb

a∫

Exercitii. Să se studieze convergenţa următoarelor integrale improprii:

a) b) ∫1

0

ln xdx ∫ −+

1

0 1)1( xxdx c) ( )dx

xx

∫ +

1

0 1lnsinβ

α

d) ∫ +

1

0 )12( xxdx

e) ∫−

1

021 x

dx f) ∫2/1

0 )(ln αxxdx g) ∫

1

2/1 )(ln αxxdx h) ∫

−+

2

022 4)1( xx

dx

i) j) dxtgx∫2/

0

π

∫ −

α

α0 coscos xdx k) ∫ −−

1

03 )( xx eex

dx l) ∫1

0 ln xdx .

2.3. Integralele lui Euler

Definitia 2.3. Se numeste integrala gama sau functia gama, integrala generalizata de forma:

( ) ∫∞

−−=Γ0

1 dxexp xp , unde p>0

Teorema 2.2. Integrala gama este convergenta pentru orice p>0. Demonstratie. Intr-adevar, se poate descompune intr-o suma de doua integrale:

si fie si . ∫ −−=1

0

11 dxexI xp ∫

∞−−=

1

12 dxexI xp∫∫∫

∞−−−−

∞−− +=

1

11

0

1

0

1 dxexdxexdxex xpxpxp

Daca 0<p<1 atunci I1 este integrala generalizata, deoarece p-1<0 si . ∞=−−

→

xp

xex 1

0lim

Dar ( ) ( ]1,0,111 ∈∀=≤ −−−− xxxex ppxp si cum

px

pdxxdxx ppp 11limlim

1

0

1

0

100

1

0

1 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==∫ ∫

++→

−

→

−

εεεε

rezulta, in baza criteriului comparatiei, ca I1

este convergenta.

Pentru I2 tinem seama ca: KK +++++=!!2!1

12

nxxxe

nx de unde

!nxe

nx ≥ , deci

( ) 1,!≥∀≤− n

xne n

x . De aici deducam ca ( ) 1,!1

1 ≥∀≤ +−−− x

xnex pn

xp si ( ) Nn∈∀ .

Si, cum putem alege n astfel incat n – p + 1>1, rezulta, daca tinem seama ca ∫∞

1αx

dx este

convergenta pentru 1>α , ca: ∫∞

+−1

1

! dxx

npn este convergenta si, in baza criteriului

comparatiei, si I2 este convergenta. In concluzie, I1 + I2 va fi convergenta. Proprietati ale functiei Γ(p). 1. ( ) 11 =Γ2. ( ) ( ) 0,1 >Γ=+Γ pppp3. ( ) ( ) ∗∈−=Γ Nnnn ,!1Demonstratie.

1. ( ) ( ) ( ) 11limlimlim100

=+−=−===Γ −

∞→

−

∞→

−∞

∞→

− ∫∫ b

b

bo

xb

b

x

b

x eedxedxe

2. ( ) ( ) ( ) =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=−==+Γ ∫∫∫ −−−

∞→

−

∞→

∞−

bxpbxp

b

bxp

b

xp dxexpexdxexdxexp0

10

00

limlim1

. ( )ppdxexpdxexpex xpb

xpbp

bΓ==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= ∫∫

∞−−−−−

∞→0

1

0

1lim

3. Se demonstreaza prin inductie relatia la n. Pentru n = 1 ( ) !011 ==Γ si relatia se verifica. Presupunand ca ( ) ( )!1−=Γ nn sa dovedim ca ( ) !1 nn =+Γ . Avem: ( ) ( ) ( ) !!11 nnnnnn =−=Γ=+Γ Rezulta ca ( ) ( ) ( ) ∗∈∀−=Γ Nnnn ,!1 .

Exemple. Sa se calculeze:

1. ( ) !560

5 =Γ=∫∞

− dxex x

2. ∫∞

−

0

7 2

dxex x

Facem substitutia: , de unde tx =2 dtxdx21

= si

⎩⎨⎧==

00

tx

⎩⎨⎧

∞→∞→

tx

Avem ( ) 3!3214

21

21

0

3 ==Γ== ∫∞

− dtetI t

Alte cateva proprietati ale functiei gama:

4. π=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ

21

5. ( ) ( ) 0,0 >∀>Γ pp

6. ( ) ( ) ( ) ( )1,0,sin

1 ∈∀=−Γ⋅Γ pp

ppπ

π

Definitia 2.4. Se numeste integrala beta sau functia beta,integrala generalizata de forma:

( ) ( )∫ −− −=1

0

11 1, dxxxqp qpβ , unde p >0 si q >0

Se poate demonstra ca si aceasta integrala este convergenta pentru orice p >0 si q >0. Proprietati ale functiei β(p,q). 1. ( ) ( )pqqp ,, ββ =

2. ( ) ( qpqp

pqp ,11

1, −−+

−= ββ ) , daca p >1

3. ( ) ( 1,1

1, −−+

−= qp

qpqqp ββ ) , daca q >1

4. ( ) ( )( )( )( ) ( )( 11

2111, −−−+−+

−−= qp

qpqpqpqp ββ ) , daca p >1 si q >1

5. πβ =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21,

21

6. ( ) ( ) ( )( )qp

qpqp+ΓΓΓ

=,β

Demonstratie.

1. Cu schimbarea de variabila tx =−1 se obtine:

( ) ( ) ( ) (∫ ∫ =−=−−= −−−−1

0

1

0

1111 ,11, pqdtttdtttqp pqqp ββ )

2. Integrand prin parti se obtine ( ) ( ) ( )∫ −−

+−−= −−1

0

210

1 1111, dxxxq

pxxq

qp qpppβ ,

de unde ( ) ( )∫ −−

= −1

0

2 11, dxxxq

pqp qpβ .

Deoarece ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1112122 11111 −−−−−−− −−−=−−=− qpqpqpqp xxxxxxxxx

rezulta ca ( ) ( ) ( )∫∫ −−−− −−

−−−

=1

0

111

0

12 1111, dxxxq

pdxxxq

pqp qpqpβ

adica ( ) ( ) ( qpq

pqpq

pqp ,1,11, βββ )−−−

−= , de unde ( ) ( )qp

qppqp ,1

11, −−+

−= ββ .

3. Analog cu (2). 4. Rezulta din proprietatile 2 si 3, astfel:

( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )1,1

2111,1

11, −−

−+−+−−

=−−+

−= qp

qpqpqpqp

qppqp βββ

5. ( ) πβ =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Γ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21

121

21

21,

21 2

G

Exemple. Sa se calculeze:

1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 216

1!9!7

31

1082

318,2

31

311

1

0

71

0

735 ==ΓΓΓ

==−=− ∫∫ βduuudxxx

unde ⎩⎨⎧

==

⎩⎨⎧

==

==11

,00

,3, 23

ux

ux

dudxxux

2. ( )∫ −=e

dxxxx

I1

43 ln1ln1

Cu schimbarea de variabila tx =ln , integrala devine:

( ) ( ) ( ) ( )( ) !8

!4!39

545,411

0

43 =ΓΓΓ

==−= ∫ βdtttI

3. Să se calculeze următoarele integrale improprii reductibile la integrale euleriene:

a) ∫ −

1

0 ln xdx b) c) dxex

naxm∫∞

−

0

dxex x∫∞

−

0

3

d) ∫∞

+041 x

dx

e) ( )∫

∞

+03 231 xx

dx f) ∫∞

−041 x

dx g) ∫ −

2

0

2

2 τdxx h) ∫

∞

+025 4 )1( xx

dx

i) ∫∞

+025 4 )1( xx

dx j) dxxaxa

∫ −0

224 k) dxxaxa

∫ −0

222 l) dxxx∫ −1

0

2 .

2.4. Integrala Euler -Poisson

Integrala se numeste integrala Euler-Poisson si este des utilizata în teoria

probabilităţilor. Vom demonstra ca

dxeI x∫∞

−=0

2

20

2 π=∫

∞− dxe x .

Consideram inegalitatea cunoscută , cu egalitate numai pentru x=0.

Înlocuind x cu –x

Rxxex ∈∀+≥ ,12, respectiv cu x2 , obţinem 2

2

111

2

xex x

+<<− − , de unde, prin ridicare

la puterea n, rezultă ( )( )

)1,0(,1

112

2 2

∈∀+

<<− − xx

ex nnxn . Integrând, avem

( )( )∫∫∫∫

∞∞−−

+<<<−

02

0

1

0

1

0

2

11

22

nnxnxn

xdxdxedxedxx . Cu schimbarea de variabilă nxt = ,

vom obtine In

dxe nx 1

0

2

=∫∞

− . Vom face apoi schimbarea de variabila tx cos= , de unde

rezultă ( )!)!12(

!)!2(sin12/

0

121

0

2

+==− ∫∫ +

nndttdxx nn

π

. În sfârşit, punând ctgtx = , obţinem

( ) 2!)!22(!)!32(sin

1

2/

0

22

02

ππ

⋅−−

==−

∫∫ −∞

nndtt

xdx n

n , de unde deducem inegalitatile:

( )[ ]( )[ ]

[ ][ ]

2

2

22

2

2

2!)!22()12(!)!32(

12)12(!!12!!2

12⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

−−−

⋅−

<<+−

⋅+

πn

nnnnI

nnn

nn .

Conform formulei lui Wallis, ( )[ ]( )[ ] )12(!!12

!!2lim2 2

2

+−=

∞→ nnn

n

π , rezultă, prin trecerea la limită,

că 4

2 π=I , deci

20

2 π=∫

∞− dxe x .

Observatie. Integrala Euler-Poisson ∫ se poate calcula reducand-o la o integrala

gama, cu schimbarea de variabila . Astfel se obtine:

∞−

0

2

dxe x

2xt =

∫∫∞

−∞

− =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ==

00 221

21

212 πdtetdxe tx