1. Să se evalueze un activ financiar derivat al cărui payoff este: , ( )

( )0, ( )c daca Y T c

X Tdaca Y T c

≤⎧= ⎨ >⎩

unde Y(t) este soluţia ecuaţiei: t tdY dt dBα β= +

iar , , si Y(0)cα β sunt nişte constante. Rezolvare: Integrând ecuaţia de dinamică pentru obţinem: ( )Y t

( ) (0) tY t Y t Bα β= + + de unde ( ) [ (0) , ]Y t N Y t tα β+∼

observăm că ( ) ( ) (0)z t [0,1]Y t Y t Nt

αβ− −

= ∼ a cărei funcţie de probabilitate este tabelată.

( )X t fiind preţul uni derivativ, este adevărată relaţia:

2

2( ( ) (0) )

( ) ( ) 2( ) [ ( ) / ( )] ( )2

Y t Y tcr T t Q r T t tcX t e E X T X t e e dY t

t

αβ

β π

− −−

− − − −

−∞

= × = × ∫ 1

Făcând schimbarea de variabilă ( ) (0) ( )( ) ( ) ( )Y t Y t dY tdz t d t dz t dY tt t

α ββ β− −

= = ⇒ × =

şi înlocuind în relaţia pentru ( )X t obţinem:

2 2(0) (0)

( ) ( ) ( )2 21( ) ( ) ( ) [ ]2 2

(0) .

c Y t c Y tt tz z

r T t r T t r T tcX t e e dz t e c e dz t c e N d

c Y tunde dt

α αβ β

π πα

β

− − − −

− −− − − − − −

−∞ −∞

= = × × = ×

− −=

∫ ∫ ×

1 Vezi in curs determinarea preţului unei opţiuni de tip european pornind de la ecuaţia de dinamică Black-Merton-Scholes pentru detalii suplimentare.

2. Se consideră procesele stocastice X(t) şi Y(t) ale căror ecuaţii de dinamică sunt:

dX t = αX t dt− Y t dB t

dY t = αY t dt + X t dB(t) Cerinţe:

a. Demonstraţi că procesul X2(t) + Y2(t) este determinist. b. Determinaţi procesul X(t) şi calculaţi E(X(t)).

REZOLVARE

a. Prin utilizarea lemei lui Itô, dinamica procesului X2(t) se scrie astfel:

dX2 t = 2αX2 t + Y2 t dt− 2X t Y t dB t

Procedând analog, dinamica lui Y2(t) este:

dY2 t = 2αY2 t + X2 t dt + 2Y t X t dB t

Prin însumare, obţinem:

d X2 t + Y2 t = 2α + 1 X2 t + Y2 t dt

Se observă că procesul X2(t) + Y2(t) evoluează conform unei legi în care nu intervine nici un factor stocastic, deci acest proces este unul determinist.

b. Pentru a determina procesul X(t), vom integra pe *0, t+ relaţia ce descrie dinamica acestuia. Se obţine:

X t = X 0 + α X s ds

t

0

− Y s dB s

t

0

Aplicând operatorul de speranţă matematică şi având în vedere că media necondiţionată a integralei stocastice din expresia anterioară este zero, avem:

E X t = X 0 + α E X s ds

t

0

A determina E[X(t)] revine la a rezolva o ecuaţie diferenţială de forma:

f ′ t = P t f t + Q t ,

'( ) ( ) si inmultind cu obtinem:'( ) ( ) 0 si integrand pe (0, ) rezulta:( ) (0) 0.

(0) '( ) ( ) si din '(0) (0) obtinem (0)

aici:(0)( )

'( ) [ ( )] (0)

t

t t

t

t

f t f t ee f t e f t te f t f

XDin f t f t f X f

DeXf t e

f t E X t X

α

α α

α

α

α

α

αα

α

−

− −

−

=

− =

− =

= =

=

= = .teα

=

3. Se consideră o acţiune care nu plăteşte dividende având ecuaţia de dinamică a cursului

dSt = μStdt + σStdBt

Fie un derivativ al acestei acţiuni care are la scadenţă (T) un payoff egal cu ST ST . Determinaţi preţul la

momentul t < T al derivativului. REZOLVARE

Cursul acţiunii descrie un brownian geometric. Prin utilizarea lemei lui Itô, avem:

d lnSt = μ −σ2

2 dt + σdBt

Vom apela la un artificiu ce ne permite trecerea într-un univers neutru la risc. Aplicând teorema lui

Girsanov pentru θ =μ−r

σ, avem1:

dBt∗ = dBt +

μ − r

σdt,

unde Bt

∗ este o mişcare browniană standard sub o probabilitate neutră la risc. Prin înlocuire în ecuaţia de dinamică a logaritmului cursului acţiunii-suport, obţinem:

d lnSt = r −σ2

2 dt + σdBt

∗

Prin integrare pe *t, T+ se obţine:

lnST

St= r −

σ2

2 T − t + σ BT

∗ − Bt∗

Relaţia de mai sus ne arată că lnST

St urmează, într-un univers neutru la risc, o distribuţie normală de

speranţă r −σ2

2 T − t şi varianţă σ2 T − t . Conform unei teoreme elementare de statistică probabilistică,

dacă logaritmul unei variabile este normal distribuit, atunci variabila însăşi este log-normal distribuită. Funcţia de densitate a variabilei aleatoare ce reprezintă cursul acţiunii la scadenţa T a derivativului este:

f ST =1

STσ 2π T − t e

−12 ln

STSt− r−

σ2

2 T−t

σ T−t

2

1 Acest raport, des utilizat în ingineria financiară, se numeşte preţ de piaţă al riscului.

Metoda clasică de evaluare a activelor financiare se bazează pe actualizarea speranţei matematice a

payoff-ului viitor al acestora. Fie D(t, T) preţul la momentul t al derivativului ce va genera payoff-ul ST ST la

scadenţa T. Atunci

D t, T = e−r T−t ST ST ∙

∞

0+

1

STσ 2π T − t e

−12 ln

STSt− r−

σ2

2 T−t

σ T−t

2

dST

Vom face următoarea schimbare de variabilă:

lnST

St= y ⟹ ST = Stey , iar dy =

1

STdST

Evident, limita inferioară de integrare devine −∞. Avem:

D t, T = e−r T−t St Ste32

y 1

σ 2π T − t e

−12 y− r−

σ2

2 T−t

σ T−t

2

dy

∞

−∞

Vom face acum altă schimbare de variabilă, şi anume:

z =y − r −

σ2

2 T − t

σ T − t⟹ dy = dz ∙ σ T − t

Limitele de integrare se păstrează, iar preţul derivativului îmbracă forma:

D t, T = e−r T−t ∙ St St ∙1

2π e

32 zσ T−t+ r−

σ2

2 T−t

∙ e−12

z2

dz

∞

−∞

D t, T = e12 T−t ∙ St St ∙

1

2π e−

12 z2−3zσ T−t+

94σ2 T−t +

38σ2 T−t dz

∞

−∞

D t, T = e18 T−t 4r+3σ2 ∙ St St ∙

1

2π e−

12 z−

32σ T−t

2

dz

∞

−∞

Făcând schimbarea de variabilă z −3

2σ T − t = u, avem:

D t, T = e18 T−t 4r+3σ2 ∙ St St ∙

1

2π e−

12

u2

du

∞

−∞

3

După cum se ştie, 1

2π e−

1

2u2

du∞

−∞= 1. În aceste condiţii, preţul derivativului este:

D t, T = e18 T−t 4r+3σ2 ∙ St St

Cum demonstrăm că acest preţ este “bun”? În ipoteza în care piaţa este descrisă de modelul Black-

Scholes, preţurile instrumentelor financiare tranzacţionate pe piaţă verifică ecuaţia cu derivate parţiale Black-Merton-Scholes. În cazul derivativului nostru, avem:

∂D t, T

∂t+ rSt

∂D t, T

∂St+

1

2σ2St

2∂2D t, T

∂St2 = rD t, T

Prezentăm calculul celor trei derivate parţiale:

∂D t, T

∂t= −

1

8 4r + 3σ2 ∙ e

18 T−t 4r+3σ2 ∙ St St

∂D t, T

∂St=

3

2 St ∙ e

18 T−t 4r+3σ2

∂2D t, T

∂St2 =

3

4 St

∙ e18 T−t 4r+3σ2

Un calcul elementar demonstrează faptul că evaluarea activului financiar este corectă.