El arbelo de Arquímedes y su generalización - Biblioteca de la ... · ΓABCD; es decir, el ´area...

María Marqués Gil

Oscar Ciaurri Ramírez

Facultad de Ciencias, Estudios Agroalimentarios e Informática

Grado en Matemáticas

2014-2015

Título

Director/es

Facultad

Titulación

Departamento

TRABAJO FIN DE GRADO

Curso Académico

El arbelo de Arquímedes y su generalización

Autor/es

© El autor© Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones, 2015

publicaciones.unirioja.esE-mail: [email protected]

El arbelo de Arquímedes y su generalización, trabajo fin de gradode María Marqués Gil, dirigido por Oscar Ciaurri Ramírez (publicado por la Universidad de

La Rioja), se difunde bajo una LicenciaCreative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 3.0 Unported.

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Trabajo Fin de Grado

Grado en Matematicas

El arbelo de Arquımedes y

su generalizacionpor

Marıa Marques Gil

Memoria realizada bajo la direccion delDr. D. Oscar Ciaurri Ramırez

Facultad de Ciencias, Estudios Agroalimentarios e InformaticaUniversidad de La Rioja

Junio 2015

Agradecimientos

Antes de empezar esta memoria, me gustarıa agradecer todo su esfuerzo y dedi-cacion al Dr. D. Oscar Ciaurri Ramırez, profesor del Departamento de Matematicasy Computacion, por ensenarme todo lo que he aprendido y por acogerme como tutorde este trabajo. Tambien me gustarıa dar las gracias a todos los demas profesores quenos han impartido clase, por todos sus esfuerzos y por habernos ensenado y formadodurante estos cuatro anos. Y, por ultimo, agradecer toda la ayuda y apoyo en losmomentos mas difıciles del grado a mis companeros de clase, mis familiares y misamigos.

3

Resumen

En esta memoria vamos a presentar diferentes propiedades relacionadas con el ar-belo de Arquımedes. En el primer capıtulo introduciremos una figura geometrica, quellamaremos arbelo generalizado, que tiene como casos particulares el arbelo clasicoy el salino, otra construccion geometrica tambien atribuida a Arquımedes. Deter-minaremos el area del arbelo generalizado e identificaremos los cırculos gemelos deArquımedes y el cırculo de Pappus. Los resultados y construcciones que incluimos enla memoria generalizan propiedades geometricas ya conocidas sobre el arbelo clasico yel salino. En el segundo capıtulo localizaremos en el arbelo clasico mas cırculos igualesa los gemelos de Arquımedes: el trillizo y el cuatrillizo de Bankoff y los cırculos deWoo; estudiaremos la denominada cadena de Pappus, para la que probaremos la pro-piedad de Gaba; y definiremos y analizaremos el arbelo de oro. Tambien mostraremoscomo es posible probar ciertas desigualdades de medias usando el arbelo. En la partefinal daremos una prueba del que hemos denominado Teorema de Descartes-Soddy yque se utiliza en varias demostraciones a lo largo de la memoria.

5

Abstract

In this report, we show different properties related to the arbelos of Archimedes. Inthe first chapter, we introduce a geometric figure, which we call generalized arbelos,whose particular cases are the classic arbelos and the salinon, another geometricconstruction also attributed to Archimedes. We determine the area of the generalizedarbelos and we identify the Archimedes twin circles and the Pappus circle. Results andconstructions that we use in this report generalize properties already known aboutthe classical arbelos and the salinon. In the second chapter, we locate in the classicalarbelos more circles equal to Archimedes twin circles: the triplet and the quadrupletof Bankoff and the Woo’s circles; we study the chain of Pappus, for which we provethe Gaba property; and we define and analyze the golden arbelos. Moreover, we alsoshow how it is possible to prove certain inequalities of means using the arbelos. In thefinal part, we give a proof of what we have called Descartes-Soddy theorem which isused in several proofs throughout the report.

7

Indice general

Resumen 5

Abstract 7

Introduccion 11

1. El arbelo y su generalizacion 131.1. El area del arbelo generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2. Los cırculos gemelos de Arquımedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3. El cırculo de Pappus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2. Otras propiedades del arbelo clasico 312.1. Mas cırculos iguales a los gemelos de Arquımedes . . . . . . . . . . . . 31

2.1.1. El trillizo de Bankoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.1.2. El cuatrillizo de Bankoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.1.3. Los cırculos de Woo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.2. La cadena de Pappus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.2.1. Propiedad de Gaba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.3. Otras propiedades del arbelo clasico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.3.1. El arbelo y las desigualdades de medias . . . . . . . . . . . . . 462.3.2. El arbelo de oro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3. El Teorema de Descartes-Soddy 53

9

Introduccion

El objeto principal de esta memoria es presentar dos figuras geometricas, el arbeloclasico, que tambien es conocido como arbelo de Arquımedes, y el arbelo generalizado,que es una generalizacion del arbelo clasico, y diferentes propiedades que cumplenambas figuras.

En el primer capıtulo presentaremos el arbelo generalizado, una figura geometri-ca que tiene como casos particulares al arbelo clasico y al salino, que aparecen porprimera vez en el Libro de los lemas. Ademas, con ayuda de dos resultados auxilia-res, veremos que el area del arbelo generalizado es igual al area de un cierto cırculo.Presentaremos, por su elegancia, una demostracion independiente para el caso parti-cular del arbelo clasico y mostraremos el resultado para el caso del salino. Tambienintroduciremos los cırculos gemelos de Arquımedes, dos cırculos inscritos en el ar-belo generalizado, y determinaremos el valor de su diametro. Como caso particularobtendremos el resultado original de Arquımedes sobre dichos cırculos. Finalizare-mos el Capıtulo 1 presentando el cırculo de Pappus para el arbelo generalizado ydeterminando su radio.

En la primera seccion del segundo capıtulo, introduciremos mas cırculos con radioigual al de los gemelos de Arquımedes que se localizan en el arbelo clasico. Aunqueexisten muchos mas, solo trataremos el trillizo y el cuatrillizo de Bankoff y los cırculosde Woo. Primero, daremos dos construcciones del trillizo de Bankoff, veremos queambas son consistentes y probaremos que su radio, efectivamente, coincide con el delos gemelos. Posteriormente, presentaremos la construccion del cuatrillizo de Bankoffy determinaremos el valor de su diametro gracias a la ayuda de dos lemas auxiliares.Para concluir la primera seccion, definiremos los cırculos de Woo que son una familiade cırculos tangentes a ciertas circunferencias y centrados sobre la llamada lınea deSchoch. El contenido de la segunda seccion del Capıtulo 2 estara centrado en la cadenade Pappus, una familia de cırculos inscritos en el arbelo clasico. Determinaremossus radios, la altura de sus centros y veremos como algunos de esos centros estana una misma altura, lo que se conoce como propiedad de Gaba. Finalmente, en laultima seccion, mostraremos como podemos probar ciertas desigualdades de mediascon ayuda del arbelo clasico y definiremos el arbelo de oro.

El ultimo capıtulo de esta memoria se centra en la demostracion del Teoremade Descartes-Soddy, un resultado sobre radios de circunferencias tangentes, usado envarios puntos a lo largo del trabajo. Daremos una breve introduccion historica delmismo, seguida del enunciado del teorema y de su demostracion, que se apoya en doslemas.

11

Capıtulo 1

El arbelo y su generalizacion

Vamos a empezar introduciendo las tres figuras geometricas que seran el objetoprincipal de estudio en este capıtulo, el arbelo, el salino y su generalizacion. Comohemos dicho en la introduccion, las dos primeras, fueron introducidas en el Libro delos lemas, que es una coleccion de quince proposiciones sobre circunferencias tradicio-nalmente atribuida a Arquımedes. La atribucion a Arquımedes se debe a los arabes yes a traves de ellos como ha llegado hasta nosotros el texto griego perdido. La versionarabe del texto es original del matematico Thebit ben-Kora, siglo IX, con anotaciones

Figura 1.1

de Almochtasso-abil-Hassan. El texto arabe fue objeto de dos traducciones latinas, laprimera debida a J. Graeves con notas de S. Forster, editada en Londres en 1659 ya la que se llamo Lemmata, y la segunda realizada por el orientalista A. Ecchellensiscon notas de G. A. Borelli, aparecida en Florencia en 1661, a la que se denomino Li-ber assumptorum, y que forma parte de una edicion de los libros V, VI y VII de lasConicas de Apolonio. La figura 1.1 muestra la portada de esta segunda version.

Thomas L. Heath, en su edicion [10] de las obras de Arquımedes, sugiere que setrata de una recopilacion de proposiciones que pueden ser atribuibles a Arquıme-

13

14 CAPITULO 1. EL ARBELO Y SU GENERALIZACION

des pero compiladas por algun autor griego posterior, ya que el estilo del texto escompletamente distinto del que aparece en otros trabajos del autor y, tambien, por laausencia de continuidad en el contenido de las proposiciones. De lo que no hay duda esde que en esta obra aparecen dos figuras geometricas sobre las que trato Arquımedes:el arbelo y el salino.

El arbelo es una figura geometrica con la siguiente construccion: Sea AB el diame-tro de una semicircunferencia y D un punto sobre el. Consideremos ahora dos semi-circunferencias en el interior de la dada de diametros AD y DB. Entonces la regioncomprendida entre la semicircunferencia mayor y las dos menores es lo que Arquıme-des denomina arbelo. En la parte izquierda de la figura 1.2, podemos ver un ejemplode arbelo. El termino griego ��arbelos�� significa cuchilla de zapatero. En la parte de-recha de la figura 1.2 aparece una imagen de esta herramienta, que nos permite verla similitud entre ella y la figura geometrica.

BAD

Figura 1.2

Para construir el salino comenzamos nuevamente con una semicircunferencia dediametro AB. Sobre AB tomamos dos puntos C yD, de tal manera que AC = DB. Enla semicircunferencia de diametros AB, construimos dos semicircunferencias interioresde diametros AC y DB. Ademas, construimos una semicircunferencia exterior dediametro CD. La region encerrada por las cuatro semicircunferencias es el salino. Enla figura 1.3, podemos ver un ejemplo de salino.

BA C D

Figura 1.3

1.1. EL AREA DEL ARBELO GENERALIZADO 15

Resulta sencillo comprobar que ambas figuras, el arbelo y el salino, pueden versecomo casos particulares de una construccion mas general. Sea AB el diametro de unasemicircunferencia y C y D dos puntos sobre el diametro AB tales que AC ≤ AD.Consideramos las semicircunferencias de diametros AC = d1 = 2r1 y DB = d2 = 2r2interiores a la de diametro AB y la semicircunferencia de diametro CD = d3 = 2r3exterior a la de diametro AB. La region limitada por las cuatro semicircunferenciasla denominamos arbelo generalizado y puede verse en la figura 1.4.

BA C D

Figura 1.4

Sin perdida de generalidad, podemos suponer que r1 > r2. Observamos que sir3 = 0 el arbelo generalizado se convierte en el arbelo clasico y si r1 = r2 se transformaen el salino. En algunas ocasiones, denotaremos el arbelo generalizado construido delmodo anterior por FABCD.

A continuacion, vamos a probar tres resultados sobre el arbelo generalizado quetendran como casos particulares los resultados sobre el arbelo y el salino dados en elLibro de los lemas. La descripcion del arbelo generalizado y los principales resultadosde este capıtulo estan tomados de [4].

1.1. El area del arbelo generalizado

Nuestro primer resultado tiene como objetivo la determinacion del area del ar-belo generalizado. Veremos que dicha area es igual al area de un cierto cırculo, alque llamaremos ΓABCD, que viene dado por la siguiente construccion: En el arbelogeneralizado FABCD , sean O y O2 los centros de las semicircunferencias de diametrosAB y CD respectivamente. Sea P la interseccion de la perpendicular a la lınea ABque pasa por O y la semicircunferencia de diametro AB. Similarmente, denotaremospor Q la interseccion entre la semicircunferencia de diametro CD y la perpendiculara la lınea AB que pasa por O2. La lınea PQ corta al diametro AB en S y la lıneaperpendicular a AB por S corta el borde del arbelo generalizado en los puntos M yL. El cırculo ΓABCD sera el que tenga por diametro el segmento LM y puede verseen la figura 1.5.


BA C D

LP

M Q

O S

O2

ABCD

Figura 1.5

Proposicion 1. El area del arbelo generalizado FABCD es igual al area del cırculoΓABCD; es decir, el area de las regiones sombreadas en las siguientes figuras son lamisma.

BA C D

FABCD

BA C D

L

M

ABCD

Para probar esta proposicion, necesitaremos dos resultados auxiliares que demos-traremos a continuacion. El primero es la Proposicion I del Libro de los lemas y elsegundo resultado es un lema auxiliar que nos permitira usar esa proposicion.

Proposicion 2 (Proposicion I del Libro de los lemas). Sean F y G los centros dedos cırculos tangentes en un punto E. Si AB y CD son diametros paralelos de losrespectivos cırculos, entonces los puntos B,E y D estan alineados.

Demostracion. Veamos en primer lugar el caso en el que los cırculos son externamentetangentes. Para ello consideremos el siguiente diagrama.


B

A

G

F

C

D

r1

r1

r2

r2

E

=⇒

B

A

G

F

C

D

r1

r1

r2

r2

E

2-2

2-2

Como los triangulos DGE y EFB son isosceles, por ser los diametros AB y CDparalelos, los angulos BFE y DGE son iguales y su medida es α; y los angulos FEBy GED son iguales y miden π

2 − α2 . Por lo tanto, B, E y D estan alineados.

Consideremos ahora el caso en el que los cırculos son internamente tangentes.

B

A

G

F

D

C

r1

r1

r2

r2

E

=⇒

B

A

G

F

D

C

r1

r1

r2

r2

E

2-2

2-2

Similarmente al caso anterior, como los triangulos DGE y EFB son isosceles, ya quelos diametros AB y CD son paralelos, los angulos BFE y DGE son iguales, con unacierta medida β. Entonces los angulos FBE y GDE son iguales y miden π

2 − β2 y, por

lo tanto, B, E y D estan alineados.

Lema 3. Sean FABCD un arbelo generalizado y LM el diametro de la circunferenciaΓABCD. Sean X e Y las intersecciones de las lıneas AL y BL con los cırculos de


diametro AC y DB respectivamente. Si O1 y O3 son los centro de los semicırculosde diametros AC y DB, respectivamente, entonces las lıneas O1X, OL, O2M y O3Yson paralelas.

BA

L

M

C S

O2

O1 O3DO

X

Y

Demostracion.

BA

L

CO1 DO

X

En el diagrama anterior, los triangulos AO1X y AOL son isosceles y compartenun angulo, luego son semejantes y, por lo tanto, las lıneas OL y O1X son paralelas.

BA

L

C O3DO

Y


A partir de la figura previa tenemos que los triangulos BO3Y y BOL tambien sonsemejantes ya que son isosceles y comparten un angulo y, por lo tanto, las lıneas OLy O3Y son paralelas.

Veamos, por ultimo, que OL y O2M son paralelas.

BA

L

M

C S

O2

DO

P

Q

En la figura anterior, los triangulos OSP y O2SQ son semejantes ya que son triangulosrectangulos en los que los angulos PSO y QSO2 son iguales. Entonces tenemos larelacion

OS

PO=

O2S

QO2⇒ OS

LO=

O2S

MO2, (1.1)

ya que PO = LO, por ser ambos radios de la semicircunferencia AB, y QO2 = MO2,pues ambos son radios de la semicircunferencia CD. Por tanto, deducimos que lostriangulos OSL y O2SM son semejantes y, de esta forma, OL y O2M son paralelas.

BA

L

M

C S

O2

DO

Ahora ya tenemos las herramientas necesarias para probar la Proposicion 1.

Demostracion de la Proposicion 1. Para comenzar, es claro que la igualdad ��visual��siguiente es cierta.


O

= π2 sin(2α)×

OU W

Z

V

En efecto, basta observar que el area del semicırculo esπr2

2y el area del triangulo es

sinα× UV × UZ

2+

sin(π2 − α)×WV ×WZ

2=

sinα cosα

2(UZ2 + ZW 2)

=sin 2α

4(2r)2 = r2 sin 2α.

Aplicando la Proposicion 2 y el Lema 3, tenemos que los puntos C,M y X soncolineales, y lo mismo ocurre con M,D e Y . Ası, por la observacion anterior,

BA

L

M

C D

X

Y

= π2 sin(2α)×

BA

L

M

C D

X

Y

= π2 sin(2α)× BA

L

M

C D

X

Y

=BA C D

L

M

X

Y

ABCD


En el caso r3 = 0, donde se recupera el arbelo clasico, obtenemos el resultado de laProposicion IV del Libro de los lemas. Este resultado lo enunciamos a continuacion ydamos una prueba del mismo que es esencialmente distinta de la dada para el arbelogeneralizado y que resulta especialmente sencilla y elegante. Esta proposicion diceque el area del arbelo clasico es igual al area de un cierto cırculo con la siguienteconstruccion: Sea AB el diametro de la semicircunferencia mayor del arbelo clasico yAD y DB los diametros de las dos semicircunferencias menores. Sea L la interseccionde la perpendicular a la recta AB que pasa por D y la semicircunferencia de diametroAB. Entonces el cırculo que nos interesa sera el de diametro DL.

Proposicion 4 (Proposicion IV del Libro de los lemas). El area de las regionessombreadas en la siguiente figura es la misma.

BA

L

D

T

BA

L

D

R

Demostracion. Por el Teorema de Pitagoras

T

T1T2

S1 S2

T + T1 + T2 = S1 + S2

T1

S1

R1

S1 = R1 + T1


T2

S2

R2

S2 = R2 + T2

Entonces

T + T1 + T2 = R1 + T1 +R2 + T2,

luego

T = R1 +R2 = R.

Cuando r1 = r2, que es el caso correspondiente al salino, la Proposicion 1 se reduceal resultado de la Proposicion XIV del Libro de los lemas. Este resultado dice que elarea del salino es igual al area de un cierto cırculo con la siguiente construccion: SeaLM el segmento perpendicular a AB por su punto medio y que corta a la semicir-cunferencia de diametro AB en L y a la de diametro DC en M . Entonces el cırculobuscado es el de diametro LM como muestra la figura 1.6.

BA C D

L

M

Figura 1.6

1.2. LOS CIRCULOS GEMELOS DE ARQUIMEDES 23

1.2. Los cırculos gemelos de Arquımedes

La Proposicion V del Libro de los lemas establece que si en el arbelo trazamos laperpendicular al segmento AB por D, que corta a la semicircunferencia de diametroAB en L, y construimos dos cırculos, uno tangente a la recta DL y a las semicircun-ferencias de diametros AB y AD, y otro tangente a la misma recta y a las semicir-cunferencias de diametros AB y DB, ambos son iguales. Ademas, establece que eldiametro de ambos cırculos es la media armonica de r1 = AD

2 y r2 = DB2 . A estos

cırculos se les denomina los gemelos de Arquımedes y pueden verse en la figura 1.7.

BA

L

D

C1

C 2

Figura 1.7

En el caso del arbelo generalizado tambien podemos construir una pareja de cırcu-los que probaremos que son iguales. La construccion en este caso es igual pero cam-biando la recta LD del caso clasico, por la recta LM utilizada en la construccion delcırculo ΓABCD. Los cırculos en este caso se muestran en la figura 1.8.

BA C D

L

M

C1

C 2

Figura 1.8

Proposicion 5. Los cırculos C1 y C2 construidos sobre el arbelo generalizado FABCD

son iguales. Ademas, su diametro es la media armonica de los valores r1+r3 y r3+r2.


Demostracion. Nuestro calculo del radio de C1 esta basado en el siguiente esquema.

BA H

C

G

D

L

M

O1 O O2 O3

S

r1

r

rT

r2

r3

Sea G el centro de C1, r su radio y H la proyeccion de G sobre AB. Aplicando elTeorema de Pitagoras a los triangulos O1HG y OHG deducimos que

O1H2 +HG2 = GO2

1 y OH2 +HG2 = GO2.

Ası, eliminando HG2, se tiene

O1H2 −OH2 = GO2

1 −GO2 ⇒ O1H2 −OH2 = (r1 + r)2 − (rT − r)2, (1.2)

donde rT es el radio de la semicircunferencia de diametro AB; es decir, rT = AB2 .

Analicemos ahora la diferencia O1H2 −OH2 con ayuda del dibujo anterior. Es claro

que

O1H2 −OH2 = (O1H +OH)(O1H −OH)

= (rT − r1)(O1O − 2OH)

= (rT − r1)(rT − r1 − 2(r −OS))

= (rT − r1)(rT − r1 − 2r + 2OS).

Usando la semejanza vista en el Lema 3 entre los triangulos POS yQO2S, donde Py Q son los puntos definidos en la construccion del cırculo ΓABCD, ver (1.1), tenemos

OS

OP=

O2S

O2Q=⇒ OS

O2S=

rTr3

=⇒ OSr3 = rT (OO2 −OS)

=⇒ OS(r3 + rT )= OO2rT

=⇒ OS = OO2rT

rT + r3= rT

r1 − r2rT + r3

,

ya que OO2 = rT − r3 − 2r2 = r1 − r2. Entonces llegamos a

1.2. LOS CIRCULOS GEMELOS DE ARQUIMEDES 25

O1H2 −OH2 = (rT − r1)

(rT − r1 − 2r + 2rT

r1−r2rT+r3

),

que al sustituir en (1.2) da

(rT − r1)(rT − r1 − 2r + 2rT

(r1−r2)rT+r3

)= (r1 + r)2 − (rT − r)2.

Ası, tras sencillas manipulaciones algebraicas, concluimos que

r =(r1 + r3)(r3 + r2)

r1 + 2r3 + r2y

d = 2r =2

1r1+r3

+ 1r3+r2

,

que efectivamente es la media armonica de los valores r1 + r3 y r3 + r2.Para determinar el radio de C2 consideramos el esquema siguiente.

BA H'C

G'

D

L

M

O1 O O2 O3

S

r1

rT

r'

r2

r3

Si G′ es el centro de C2, r′ su radio y H ′ la proyeccion de G′ sobre AB, aplicando

el Teorema de Pitagoras a los triangulos O3H′G′ y OH ′G′ se tiene

O3H′2 +H ′G′2 = G′O2

3 y OH ′2 +H ′G′2 = G′O2,

que, despejando H ′G′2, da

O3H′2 −OH ′2 = G′O2

3 −G′O2 ⇒ O3H′2 −OH ′2 = (r2 + r′)2 − (rT − r′)2. (1.3)

Tratemos ahora la diferencia O3H′2 − OH ′2. Con el esquema previo podemos com-

probar que

O3H′2 −OH ′2 = (O3H

′ +OH ′)(O3H′ −OH ′)

= (rT − r2)(O3O − 2OH ′)


= (rT − r2)(rT − r2 − 2(r′ +OS))

= (rT − r2)(rT − r2 − 2r′ − 2OS).

Usando nuevamente la semejanza de los triangulos POS y QO2S y (1.1), deduci-mos, como ya hemos visto para C1, que

OS = rTr1 − r2rT + r3

y, por tanto,

O3H′2 −OH ′2 = (rT − r2)

(rT − r2 − 2r − 2rT

r1 − r2rT + r4

).

Sustituyendo lo anterior en (1.3) queda

(rT − r2)

(rT − r2 − 2r − 2rT

(r1 − r1)

rT + r3

)= (r2 + r)2 − (rT − r)2,

que se convierte en

r =(r1 + r3)(r3 + r2)

r1 + 2r3 + r2

y

d = 2r =2

1r1+r3

+ 1r3+r2

.

Cuando r3 = 0 tenemos que d = 2r1r2r1+r2

, luego efectivamente es la media armonicade r1 y r2 y se corresponde con el resultado clasico de Arquımedes. Cuando r1 = r2tenemos que r = r1+r3

2 que es la media aritmetica de r1 y r3 y se corresponde a losradios de los cırculos gemelos del salino que mostramos en la figura 1.9.

BA C D

C1 C 2

L

M

Figura 1.9

1.3. EL CIRCULO DE PAPPUS 27

1.3. El cırculo de Pappus

La Proposicion VI del Libro de los lemas afirma que si en el arbelo clasico trazamosun cırculo tangente a las tres semicircunferencias de diametros AB, AD y DB, suradio es

r1r2(r1 + r2)

r21 + r1r2 + r22.

A este cırculo se le conoce como cırculo de Pappus y se puede observar el la figura 1.10.

BAD

Figura 1.10

En el caso del arbelo generalizado tambien se puede construir un analogo delcırculo de Pappus tomando un cırculo tangente a las semicircunferencias de diametrosAB, AC y DB, en la figura 1.11 mostramos un ejemplo particular.

BA C D

U

Figura 1.11

Nuestra siguiente proposicion nos da el radio del cırculo de Pappus del arbelogeneralizado en funcion de los radios r1, r2 y r3.

Proposicion 6. Sea r el radio del cırculo Pappus del arbelo generalizado FABCD,entonces

rTr

=r1

r3 + r2+ 1 +

r3r1 + r2

.


Demostracion. Nuestra prueba se basara en el siguiente esquema.

BA C DO1 O3O

P

H

r1

r

rT

r2

Sea P el centro del cırculo Pappus y H la proyeccion de P sobre la lınea AB.Entonces, aplicando el Teorema de Pitagoras a los triangulos O1HP , OHP y O3HP ,se cumple que

O1H2 +HP 2 = PO2

1, OH2 +HP 2 = PO2 y O3H2 +HP 2 = PO2

3. (1.4)

Despejando HP 2 de la primera y tercera ecuacion llegamos a la relacion

PO21 − PO2

3 = O1H2 −O3H

2,

que en terminos de radios equivale a

(r + r1)2 − (r + r2)

2 = (rT − r1 +OH)2 − (rT − r2 −OH)2

y que, tras algunas manipulaciones, da

OH =(rT + r)(r1 − r2)

rT + r3.

Aplicando el mismo razonamiento a la primera y segunda ecuacion en (1.4) dedu-cimos que

PO21 − PO2 = O1H

2 −OH2,

que en funcion de los radios queda

(r + r1)2 − (rT − r)2 = (rT − r1 +OH)2 −OH

y

OH = rrT + r1rT − r1

− rT .

Finalmente, igualando las dos expresiones para OH

1.3. EL CIRCULO DE PAPPUS 29

rTr

=r1

r2 + r3+ 1 +

r2r1 + r3

.

Para el caso del arbelo clasico, cuando r3 = 0, tenemos que

rTr

=r1r2

+ 1 +r2r1

,

es decir, el resultado de la Proposicion VI del Libro de los lemas, y para el caso delsalino, cuando r1 = r2, tenemos

rTr

= 1 +2r1

r1 + r3.

Capıtulo 2

Otras propiedades del arbeloclasico

En este capıtulo vamos a ver otras propiedades del arbelo clasico. Comenzamosintroduciendo mas cırculos con radio igual al de los gemelos de Arquımedes que sepueden localizar en el arbelo clasico. Bankoff encontro primero dos cırculos igualesa los gemelos de Arquımedes, a los que llamo el trillizo y el cuatrillizo. Mas tarde,en 1999, Dodge, Schoch, Woo y Yiu describieron 29 cırculos iguales a los cırculosgemelos, a los que se denominan los cırculos de Schoch y los cırculos de Dodge, y unafamilia infinita de ellos a los que se conoce como los cırculos de Woo.

Nos centraremos en los cırculos de Bankoff y los de Woo. Tambien analizaremosuna cadena infinita de cırculos inscritos en el arbelo clasico, conocida como cadenade Pappus, ya que el primer cırculo de la cadena es el cırculo de Pappus, y daremosla relacion entre el radio de estos cırculos y la altura a la que estan. Ademas veremosuna propiedad que cumplen estos cırculos.

Finalmente, en la ultima seccion veremos como demostrar algunas desigualdadesde medias usando el arbelo clasico e introduciremos el arbelo de oro.

2.1. Mas cırculos iguales a los gemelos de Arquıme-des

Leon Bankoff en [2] encontro dentro del arbelo clasico otro cırculo con el mismoradio que los cırculos de Arquımedes, de ahı su nombre: cırculo trillizo de Bankoff. Elmismo Bankoff, en un trabajo posterior [6], se pregunto si los cırculos de Arquımedesson unicamente tres. Veremos que no, que en realidad son cuatro.... y muchos mas.Recordemos que el radio de la semicircunferencia de diametro AD lo denotabamospor r1 y el de la de diametro DB por r2. Ası, el radio de la semicircunferencia dediametro AB sera r1 + r2.

31

32 CAPITULO 2. OTRAS PROPIEDADES DEL ARBELO CLASICO

2.1.1. El trillizo de Bankoff

El cırculo trillizo de Bankoff tiene la siguiente construccion: Sea H el punto deinterseccion de la semicircunferencia de diametro AD y la recta perpendicular a ABtrazada desde el centro de la semicircunferencia de diametro AD y sea K el puntode interseccion entre la semicircunferencia de diametro DB y la recta perpendiculara AB trazada desde el centro de la semicircunferencia de diametro DB. Sea J lainterseccion entre el segmento HK y el segmento DL. Entonces el cırculo trillizo deBankoff tiene su centro en el segmento DL y como diametro JD, como muestra lasiguiente figura

BA

L

D

H

K

J

Proposicion 7. El diametro del cırculo trillizo de Bankoff es 2r1r2r1+r2

, el mismo que elde los cırculos gemelos de Arquımedes.

Demostracion. Supongamos que la paralela a AB por K corta a LD en un punto P ya la perpendicular a AB a traves del punto H en I, tal como se muestra en la figura.

BA

L

D

H

K

IP

J

Segun la definicion del cırculo trillizo de Bankoff, es evidente queDJ es el diametrode este cırculo. Denotaremos por x su longitud. Vemos que los triangulos IHK y PJKson semejantes, ya que todos sus angulos son iguales, y, por tanto, tenemos

HI

IK=

JP

PK=⇒ r1 − r2

r1 + r2=

x− r2r2

2.1. MAS CIRCULOS IGUALES A LOS GEMELOS DE ARQUIMEDES 33

=⇒ (x− r2) =r2(r1 − r2)

r1 + r2

=⇒ x =r2(r1 − r2)

r1 + r2+ r2 =

2r1r2r1 + r2

,

como querıamos probar.

En algunas referencias, ver por ejemplo [8], el trillizo de Bankoff se define de lasiguiente forma: Si el cırculo de Pappus de un arbelo clasico es tangente a las semi-circunferencias de diametros AD y DB en M y N , respectivamente, la circunferenciaque pasa por los puntos D, M y N es el cırculo trillizo de Bankoff. Podemos ver estaconstruccion alternativa en la figura 2.1.

BA

N

M

L

D

Figura 2.1

Veamos que las dos definiciones son consistentes, para ello vamos a demostrar elsiguiente lema.

Lema 8. El cırculo trillizo de Bankoff descrito inicialmente, pasa por los puntos My N que son los puntos de contacto del cırculo de Pappus con las semicircunferenciasAD y DB.

Demostracion. Supongamos, sin perdida de generalidad, que r1 + r2 = 1. Con ello, elradio de los cırculos gemelos es r1r2 y el radio del cırculo de Pappus es

r =r1r2(r1 + r2)

r21 + r22 + r1r2=

r1r21− r1r2

.

BA

N

M

L

D

O

O1 O2


Basandonos en el dibujo anterior, tenemos que el triangulo OO1O2, formado por loscentros de los cırculos de diametros AD y DB y el cırculo de Pappus, tiene por ladosr1 + r, r2 + r y r1 + r2 = 1, donde r es el radio del cırculo de Pappus. Luego elsemiperımetro del triangulo OO1O2 es s = 1 + r. Aplicando la formula de Heron, elarea de dicho triangulo cumple

A2 = s(s− r1 − r)(s− r2 − r)(s− 1) = (1 + r)r1r2r.

Ahora bien, el area del triangulo tambien viene dada por A = sR, siendo R el radiode la circunferencia inscrita. Como MND es la circunferencia inscrita en el trianguloOO1O2, su radio cumplira1

A = sR,

elevando al cuadrado e igualando ambas expresiones tenemos

(1 + r)r1r2r = (1 + r)2R2

y, despejando R, nos queda

R2 =r1r2r

1 + r=

r21r22

1−r1r2

1 + r1r21−r1r2

= r21r22,

es decir

R = r1r2,

lo que implica que el cırculo inscrito en el triangulo OO1O2 es el cırculo trillizo deBankoff; es decir, el trillizo pasa por lo punto M , N y D.

La siguiente figura, nos muestra los gemelos de Arquımedes, el trillizo de Bankoffy el cırculo Pappus.

1Usando la notacion a = BC, b = CA y c = AB, esta propiedad se deduce de la siguiente figura

C

A

B

s-b

s-b

s-c

s-c

s-a

s-a

R

R

R

A =1

2

(2R(s− a)

2+ 2

R(s− b)

2+ 2

R(s− c)

2

)= sR

La demostracion de que la circunferencia inscrita divide a los lados en segmentos de longitudess − a, s − b y s − c se vera en el Lema 22 del Capıtulo 3, al desarrollar la prueba del Teorema deDescartes-Soddy.


BA

L

D

2.1.2. El cuatrillizo de Bankoff

Tras haber encontrado el trillizo, Bankoff encontro otro cırculo con el mismo radioque el de los cırculos gemelos. Se trata del maximo cırculo inscrito en el segmentocircular que recorta de la semicircunferencia de diametro AB la recta tangente comuna las dos semicircunferencias de diametros AD yDB. A este cırculo Bankoff lo llamo elcuatrillizo. La figura 2.2 muestra el cırculo cuatrillizo de Bankoff.

BA

L

D

X

Y

Figura 2.2

Notar que el punto de tangencia del cuatrillizo con la semicircunferencia de diame-tro AB sera el punto de corte de la paralela a XY tangente a dicha semicircunferencia.Ademas, su diametro sera la distancia entre el segmento XY y la paralela tangen-te. Veamos ahora como construir el cuatrillizo de Bankoff. Para ello necesitamos elsiguiente lema.

Lema 9. Las rectas AL y BL cortan a las semicircunferencias de diametros AD yDB en los puntos de tangencia de la recta tangente comun.


Demostracion. Nuestra prueba esta basada en la siguiente figura.

BA

L

D

X

Y

Notemos queDY LX es un rectangulo ya que todos sus angulos internos son rectos.Ası tenemos

∠Y XD = ∠Y LD = ∠XAD

y, por el teorema del angulo semiinscrito,2 el angulo ∠Y XD esta semiinscrito al arcoXD y XY es tangente a la semicircunferencia de radio AD en X. Un razonamientosimilar nos permite probar que XY es tangente a la semicircunferencia de diametroDB en Y .

El siguiente lema, nos va a permitir dar una construccion precisa del cırculo cua-trillizo.

Lema 11. El cırculo cuatrillizo de Bankoff es tangente a la semicircunferencia dediametro AB en L, (el punto de corte de dicha circunferencia con la perpendicularpor D al segmento AB) y su diametro es el segmento LM , que es perpendicular aXY pasando por L.

Demostracion. Por la observacion posterior a la definicion del cırculo cuatrillizo deBankoff, basta determinar el punto de tangencia con la semicircunferencia de diametroAB de la recta paralela a XY . Veamos que ese punto es L y habremos concluido. Seat la recta tangente en L a la semicircunferencia de diametro AB. Por el Lema 9, lasrectas AL y BL cortan en X e Y y tenemos el siguiente esquema.

2El Teorema del angulo semiinscrito dice lo siguiente.

Teorema 10. Sean A y B dos puntos de una circunferencia. Si AD y BD son dos segmentostangentes a la semicircunferencia desde un punto exterior D y C otro punto cualquiera de la cir-cunferencia, entonces ∠ACB = ∠DAB. Inversamente, si C es un punto de una circunferencia, Des un punto exterior y ∠ACB = ∠DAB, entonces AD y BD son tangentes a la circunferencia.


BA

L

t

D

X

MY

Por el teorema del angulo semiinscrito los angulos en la figura son iguales y lasrectas XY y t son paralelas.

Ahora ya tenemos todas las herramientas necesarias para demostrar la siguienteproposicion.

Proposicion 12. El diametro del cuatrillizo de Bankoff es 2r1r2r1+r2

, igual al de loscırculos gemelos de Arquımedes.

Demostracion.

BA

L

D

X

M

Y

De la figura anterior podemos deducir que los triangulos ABL e Y XL son semejantes,en consecuencia tenemos la relacion

LM

XY=

LD

AB⇒ LM =

XY × LD

AB.

Como XY = LD (notar que son diagonales del rectangulo DY LX), deducimos que

LM =LD2

AB.

Por la Proposicion 4, que establece que el area del arbelo clasico es igual a la delcırculo de diametro LD, se tiene que

π

2

((AD +DB

2

)2

−(AD

2

)2

−(DB

2

)2)

= π

(LD

2

)2

,


lo que implica1

2(AD +DB)

2 −AD2 −DB2 = LD2,

que es equivalente a AD ×DB = LD2. Por lo tanto, concluimos que

LM =AD ×DB

AB=

2r12r22(r1 + r2)

=2r1r2r1 + r2

.

2.1.3. Los cırculos de Woo

El artıculo [9] de Martin Gardner motivo al entonces estudiante Thomas Schocha descubrir mas cırculos gemelos. De forma independiente, Clayton W. Dodge, de laUniversidad de Maine, Peter Woo, de la Universidad Biola de California, y Paul Yiu,de Florida, tambien investigaron la existencia de otros cırculos con el mismo radioque los cırculos gemelos. En 1999, Dodge, Schoch, Woo y Yiu escribieron un artıculo[6] en el que describen 29 cırculos iguales a los cırculos gemelos, aparte de una familiainfinita de ellos, que presentamos a continuacion.

Los cırculos de Woo son una familia infinita de cırculos arquimedianos en el arbe-lo clasico centrados en la llamada lınea de Schoch. Esta lınea es perpendicular a AB

pasando por un punto K tal que que AK = 2r1 +r1r2(r1−r2)(r1+r2)2

y corta a la semicircun-

ferencia de diametro AB del arbelo en un punto V .Para construir la familia infinita de cırculos de Woo consideramos un numero real

positivo λ y construimos dos familias de semicircunferencias Pλ y Qλ, ambas tangentesal segmento DL, perpendicular a AB pasando por D, estando las semicircunferenciasPλ centradas en AD o en su prolongacion y con radio λr1 y las semicircunferenciasQλ centradas en DB o en su prolongacion y con radio λr2. Entonces el cırculo deWoo Uλ es aquel que es tangente a Pλ y Qλ y esta centrado en la lınea de SchochKV. La siguiente figura muestra algunos cırculos de Woo.

BA

U0

U1

U 2

U4

U7

P2

Q2

P4

Q4

D K

V


En el caso lımite λ = 0 podemos definir el cırculo de Woo U0 como aquel que pasapor D, tiene su centro sobre la lınea de Schoch y tiene radio igual al de los gemelosde Arquımedes.

A continuacion probaremos que cada cırculo de la familia de Woo tiene el mismoradio que los gemelos de Arquımedes, lo que dara consistencia a nuestra definicion deU0. Ademas, daremos un recıproco de este hecho.

Teorema 13 (Teorema de Woo). Para cada λ > 0 el radio del cırculo Uλ de lafamilia de Woo es igual al radio de los gemelos de Arquımedes. Ademas, cada cırculo

centrado en la lınea de Schoch, a una altura mınima de 2(r1r2)32

(r1+r2)2, y con radio el de

los gemelos de Arquımedes es tangente a dos circunferencias Pλ y Qλ con un ciertoλ > 0.

Demostracion.

BA

U

C

D KCP CQ

Usando el esquema anterior, es claro que la recta que une el centro Cλ de uncırculo Uλ con el centro CQλ

de la circunferencia Qλ pasa por el punto de tangenciaentre ambas y lo mismo pasa para el centro CPλ

de la circunferencia Pλ. Denotemospor r el radio del cırculo Uλ. Ası, por el Teorema de Pitagoras,

CPλC2

λ = CλK2 +KC2

Pλy CQλ

C2λ = CλK

2 +KC2Qλ

.

Eliminando CλK2 y usando que los radios de Pλ y Qλ son, respectivamente, λr1

y λr2, se tiene

(r + λr1)2 − (λr1 +DK)2 = (r + λr2)

2 − (λr2 −DK)2,

que implica la relacion

r = DKr2 + r1r1 − r2

.

Como

DK = AK −AD = AK − 2r1 =r1r2(r1 − r2)

(r1 + r2)2, (2.1)

concluimos que


r =r1r2

r1 + r2;

es decir, el radio coincide con el de los gemelos de Arquımedes.

Veamos el inverso. Es evidente que el cırculo mas bajo que podemos tomar centradoen la lınea de Schoch y tangente a dos circunferencias pasando por D debe pasar poreste punto (en este caso estamos considerando dos circunferencias que degeneran enel propio punto), ver figura siguiente.

BA

C0

D K

Ahora aplicando el Teorema de Pitagoras al triangulo C0DK tenemos

DC20 = C0K

2 +DK2.

Como C0K es el radio del cırculo y coincide con el radio de los gemelos de Arquımedes,usando el valor de DK dado en (2.1) resulta

C0K =

√(r1r2

r1 + r2

)2

−(r1r2(r1 − r2)

(r1 + r2)2

)2

=r1r2

(r1 + r2)2

√(r1 + r2)2 − (r1 − r2)2

=2(r1r2)

32

(r1 + r2)2.

Resulta evidente que un cırculo centrado en la lınea de Schoch por encima del valor2(r1r2)

32

(r1+r2)2siempre sera tangente a dos circunferencias Pλ y Qλ′ , con λ, λ′ > 0. Veamos

que λ = λ′ y habremos concluido.

2.2. LA CADENA DE PAPPUS 41

BA

U

C

D KCP CQ '

P

Q '

Aplicando nuevamente el Teorema de Pitagoras a los triangulos CPλKC y CQλ′KC

obtenemos

CPλC2 = CPλ

K2 +KC y CQλ′C2 = CQλ′K

2 +KC.

Eliminando KC entre las dos ecuaciones deducimos que

CPλC2 − CPλ

K2 = CQλ′C2 − CQλ′K

2

es decir,

(r1r2

r1 + r2+ λr1

)2

− (λr1 +DK)2 =

(r1r2

r1 + r2+ λ′r2

)2

− (λ′r2 −DK)2,

donde hemos usado que el cırculo tiene el radio de los gemelos. Ası,

λr1

(r1r2

r1 + r2−DK

)= λ′r2

(r1r2

r1 + r2+DK

)

y usando (2.1) concluimos que

λr12r1r

22

(r1 + r2)2= λ′r2

2r21r2(r1 + r2)2

⇒ λ = λ′.

2.2. La cadena de Pappus

El llamado cırculo de Pappus inscrito en el arbelo clasico es el primero de unasucesion infinita de cırculos, llamada cadena de Pappus, en la que cada cırculo de lacadena es tangente al anterior y a las dos semicircunferencias de diametros AB y ADdel arbelo, como muestra la siguiente figura.


BAD

C0

C1

C 2C3

C4

El siguiente resultado es referido por Pappus como un teorema antiguo y se desconocesu autor. Notemos que la demostracion que vamos a dar no es la que dio Pappus ensu dıa, si no una demostracion mucho mas simple basada en inversion.

Proposicion 14. Si hn es la distancia del centro del n-esimo cırculo de la cadena dePappus a la recta AB y Rn es su radio, entonces se cumple que hn = 2nRn.

Demostracion.

BAD

C0

C1

C2C3

C2'

C1'

C0'

m l

Sea I la inversion con centro A y radio el segmento de tangente desde A al cırculoCn, como muestra la figura anterior en el caso particular n = 3. Por ser Cn ortogonala la circunferencia de inversion, tenemos que I(Cn) = Cn y la recta AB, al pasarpor el centro de inversion, tambien es fija por la inversion I. Las semicircunferenciasde diametros AB y AD se invierten en rectas, ya que ambas pasan por el centro deinversion, y ademas deben ser tangentes a Cn, ası que se transforman en las rectas my l. Finalmente, los cırculos C1, C2, ...., Cn se transforman en una cadena de cırculosentre m y l con el mismo radio ya que son todos tangentes a las semicircunferenciasde diametros AB y AD. Por lo que la figura con su inversion nos quedarıa


BAD

C0

C1

C2C3

C4

C5'

C4'

C2'

C1'

C0'

m l

Donde vemos facilmente que la altura hn del centro del cırculo Cn es n veces eldiametro de dichos cırculos; es decir, hn = 2nRn.

A continuacion vamos a determinar el radio de cada uno de los cırculos de lacadena de Pappus en funcion de los radios de las semicircunferencias AD y DB. Porsimplicidad supondremos que AB = 2 y de esta forma tendremos que AD = 2r1 yDB = 2r2 = 2(1 − r1). La prueba de nuestro resultado se basara en el Teorema deDescartes-Soddy cuya prueba daremos en el Capıtulo 3.

Teorema 15 (Teorema de Descartes-Soddy). Si tres circunferencias son tangentesexteriormente dos a dos, entonces existen otras dos circunferencias tangentes a esastres, una de ellas interiormente y la otra exteriormente. Si r1, r2 y r3 son los radiosde las circunferencias tangentes exteriormente dos a dos y r4 es el radio de una delas dos circunferencias tangentes a las tres anteriores, entonces se tiene

2

(1

r21+

1

r22+

1

r23+

1

r24

)=

(1

r1+

1

r2+

1

r3± 1

r4

)2

.

El signo positivo en la expresion del teorema anterior se corresponde al caso en elque la cuarta circunferencia es tangente exteriormente a las otras tres (es decir, lastres circunferencias iniciales quedan en el exterior de la cuarta), y el signo negativose corresponde al caso en el que la cuarta circunferencia es tangente interiormente alas otras tres (en este caso las tres circunferencias iniciales quedan en el interior de lacuarta).

Proposicion 16. Sea AB = 2, AD = 2r1 y DB = 2(1 − r1), entonces el radio deln-esimo cırculo de la cadena de Pappus viene dado por

Rn =r1(1− r1)

n2(1− r1)2 + r1. (2.2)

Demostracion. Esta formula puede obtenerse de forma iterativa resolviendo la ecua-cion cuadratica generada por el Teorema de Descartes-Soddy. En efecto, como cadacırculo en la cadena de Pappus es tangente al anterior, al de diametro AD = 2r1 y alde diametro AB = 2, llamando


ε = 1r1, ε0 = 1

1−r1y εn = 1

Rn, n > 0,

el Teorema de Descartes-Soddy nos dice que

2(ε2 + ε2n + ε2n+1 + 1) = (ε+ εn + εn+1 − 1)2,

que escrito como ecuacion en εn+1 queda

ε2n+1 − 2(ε+ εn − 1)εn+1 + 2ε2 + 2εn + 2− (ε+ εn − 1)2 = 0.

Tomando la solucion con el signo positivo, obtenemos

εn+1 = ε+ εn − 1 + 2√εεn − ε− εn.

Usemos un argumento de induccion para probar que efectivamente (2.2) se cumple.

Si n = 0, como εεn − ε− εn =1

r1

1

1− r1− 1

r1− 1

1− r1= 0, llegamos a

ε1 = ε+ εn − 1 =1

r1+

1

1− r1− 1 =

r21 − r1 + 1

r1(1− r1)

y, por lo tanto,

R1 =1

ε1=

r1(1− r1)

(r1 − 1)2 + r1.

Supuesta la expresion para Rn, se verifica que

εεn − ε− εn =1

r1

n2(1− r1)2 + r1

r1(1− r1)− 1

r1− n2(1− r1)

2 + r1r1(1− r1)

=n2(1− r1)

2 + r1r21

− 1

r1

=n2(1− r1)

2

r21,

luego

εn+1 = ε+ εn − 1 + 2√εεn − ε− εn

=1

r1+

n2(1− r1)2 + r1

r1(1− r1)− 1 +

2n(1− r1)

r1

=(1− r1)

2 + n2(1− r1)2 + 2n(1− r1)

2 + r1r1(1− r1)

=(n+ 1)2(1− r1)

2 + r1r1(1− r1)

,

lo que concluye la demostracion.


2.2.1. Propiedad de Gaba

Otra propiedad del arbelo relacionada con la cadena de Pappus fue descubiertapor M. G. Gaba y aparecio publicada en The American Mathematical Monthly [7].Esta propiedad establece que la lınea que une ciertos centros de cırculos de la cadenade Pappus es paralela a la recta AB.

Proposicion 17. SiAD

AB=

(k − 1)

k, k > 1, (2.3)

siendo k un numero entero, los centros de al menos un par de cırculos de la cadenade Pappus estaran en una paralela a la recta AB. Los cırculos emparejados de estamanera seran aquellos cuyo numero de orden en la cadena sean divisores de k(k−1).

BAD

C1

C2C3

BAD

C1

C2

C3C4

En el ejemplo mostrado en la parte izquierda de la figura anterior, tenemos k = 3y k(k − 1) = 6. El entero 6 puede factorizarse de dos formas: 1 × 6 y 2 × 3. Portanto, los cırculos emparejados son el primero y el sexto y el segundo y el tercero. Enla parte derecha de la figura vemos el caso k = 4. Entonces k(k − 1) = 12 y como12 = 1× 12 = 2× 6 = 3× 4, tenemos tres pares de cırculos emparejados.

Demostracion. Sin perdida de generalidad, podemos suponer AB = 2. Ası, comoAD = 2r1, de (2.3) se deduce que

1− r1 =1

k. (2.4)

Ahora, sustituyendo el valor de Rn obtenido en la Proposicion 16 en la expresion parahn de la Proposicion 14 y usando (2.4), tenemos que

hn = 2nRn = 2nr1(1− r1)

n2(1− r1)2 + r1=

2nk−1k2

n2

k2 + k−1k

=2n(k − 1)

n2 + k(k − 1).

Ahora, si m y n son distintos, concluimos que

hn = hm ⇐⇒ 2m(k − 1)

m2 + k(k − 1)=

2n(k − 1)

n2 + k(k − 1)

⇐⇒ mn2 +mk(k − 1) = m2n+ nk(k − 1)

⇐⇒ mn = k(k−1).

Luego si mn = k(k − 1) los cırculos m y n estan a la misma altura; es decir, la lıneaque une los centros de cırculos cuyo orden en la cadena de Pappus sean divisores dek(k − 1) es paralela a AB.


2.3. Otras propiedades del arbelo clasico

En esta seccion vamos a ver otras propiedades del arbelo clasico. En la primeraparte utilizaremos el arbelo para demostrar ciertas desigualdades sobre medias y enla segunda analizaremos un arbelo muy particular: el arbelo de oro, en el que laslongitudes AD y DB estan en proporcion aurea.

2.3.1. El arbelo y las desigualdades de medias

Recordemos que dados dos numeros positivos, a y b, se define la media de ordenr ∈ R \ {0} como

Mr(a, b) =

(ar + br

2

) 12

.

Ademas, M0(a, b) =√ab. El siguiente resultado nos va a permitir localizar los valores

de ciertas medias en el arbelo clasico y probar algunas desigualdades sobre ellas.

Teorema 18. Siguiendo la notacion de la figura siguiente, se tiene:

a) OR = OL = M1(AD,DB).

b) DL = M0(AD,DB).

c) LE = M−1(AD,DB).

d) DR = M2(AD,DB).

e) Finalmente,

DB ≤ M−1(AD,DB) ≤ M0(AD,DB) ≤ M1(AD,DB) ≤ M2(AD,DB) ≤ AD.

Ademas, las desigualdades son estrictas cuando AD �= DB .

A O BDO1

L

O2

R

E

Demostracion. Puesto que OL y OR son radios de la semicircunferencia de diametroAB, se tiene

OL = OR =AB

2=

AD +DB

2= M1(AD,DB),

2.3. OTRAS PROPIEDADES DEL ARBELO CLASICO 47

lo que prueba a). Ahora,

OD = OB −DB =AB

2−DB =

AD +DB

2−DB =

AD −DB

2.

Aplicando el Teorema de Pitagoras al triangulo DOL, se deduce que

DL =√OL2 −OD2 =

√(AD +DB

2

)2

−(AD −DB

2

)2

=√AD ·DB = M0(AD,DB)

y b) esta demostrado. Para probar c) usaremos que los triangulos DOL y LED sonsemejantes, ya que tienen todos sus angulos iguales. Entonces tenemos la relacion

LE

LD=

LD

OL⇒ LE =

LD2

OL=

AD ·DB1

2(AD +DB)

=2AD ·DB

AD +DB= M−1(AD,DB).

Para obtener la longitud de DR y probar d), basta aplicar el Teorema de Pitagorasal triangulo DOR. En efecto,

DR =√

OR2 +OD2 =

√(AD +DB

2

)2

+

(AD −DB

2

)2

=

√AD2 +DB2

2= M2(AD,DB).

Las siguientes imagenes prueban las desigualdades centrales de e):

A O BDO1

L

O2

R

E

M−1(AD,DB) = LE ≤ DL = M0(AD,DB)

A O BDO1

L

O2

R

E

M0(AD,DB) = DL ≤ OL = M1(AD,DB)

A O BDO1

L

O2

R

E

M1(AD,DB) = OR ≤ DR = M2(AD,DB)


Para probar las desigualdades de los extremos basta observar que

AD = AO +OD = RO +OD ≥ DR = M2(AD,DB)

y

DB = OB −OD ≤ OB −OE = OL−OE = LE = M−1(AD,DB).

Las igualdades ocurren solo cuando los tres triangulos rectangulos se reducen a unsegmento; es decir, cuando el punto D coincide con el punto O y, por lo tanto, AD =DB.

2.3.2. El arbelo de oro

Leon Bankoff considero en su artıculo [1] un arbelo muy particular. Supuso que elpunto D divide al segmento AB en la razon aurea; es decir, cumpliendo que AD2 =AB · DB. Si volvemos a suponer que AB = 2 y AD = 2r1, esto ocurre cuando

r21 = 1 − r1; es decir, cuando r1 = −1+√5

2 . Llamamos arbelo de oro a este caso tanespecıfico. Vamos a probar una propiedad relacionada con el arbelo de oro pero paraello debemos definir antes dos familias de circunferencias en el.

Si en el arbelo de oro consideramos circunferencias completas en lugar de semi-circunferencias y tomamos las tangentes comunes a las circunferencias de diametrosAD y DB, podemos construir una familia Γn de circunferencias del siguiente modo:Tomamos Γ0 como la circunferencia de diametro DB y cada circunferencia Γn estangente a Γn−1 y a las tangentes comunes mencionadas antes. Algunos elementos dela familia Γn pueden verse en la siguiente figura.

BA

L

D321

0

4

Lema 19. Para cada n ≥ 0, el radio de las circunferencias Γn es sn = (1− r1)rn1 .

Demostracion. Si sn es el radio de las circunferencias Γn tenemos la siguiente figura


r1

s0=1-r1s1

sn

s2

Resulta claro que cada uno de los triangulos del diagrama que aparece a continuacionson semejantes.

r1

s0

sn

z

y

x

De esta formas0r1

=y

x

y, como y = x− r1 − s0,

s0r1

= 1− r1 + s0x

=⇒ r1 + s0x

= 1− s0r1

=⇒ 1

x=

r1 − s0r1

=2r1 − 1

r1

=⇒ x =r1

2r1 − 1.


Ademas,

snr1

=z

x=⇒ sn =

r1x(x− r1 − 2s0 − 2s1 − · · · − 2sn−1 − sn)

=r1x(x− r1 − 2s0 − 2s1 − · · · − sn−1)− (sn−1 + sn)r1

x

= sn−1 − (sn−1 + sn)r1x

, (2.5)

lo que implica que

sn

(1 +

r1x

)= sn−1

(1− r1

x

)y, usando (2.5),

sn = sn−1x− r1x+ r1

= sn−1

r12r1−1 − r1

r12r1−1 + r1

= sn−11− r1r1

= sn−1r1,

pues 1 − r1 = r21 en el arbelo de oro. Como s0 = (1 − r1), inmediatamente se tieneque sn = (1− r1)r

n1 .

En el arbelo de oro consideramos tres circunferencias Δ1,Δ2 y Δ3 definidas de lasiguiente forma:

a) Δ1 es el gemelo de Arquımedes tangente a la circunferencia de diametro AD,

b) Δ2 es tangente a Δ1 y a las circunferencias de diametros AB y AD,

c) Δ3 es tangente a Δ1, a la circunferencia de diametro AD y a la recta DL.

BA

L

D

2

3

321

1

Ası, ya estamos en condiciones de establecer la siguiente proposicion.

Proposicion 20. En el arbelo de oro, las circunferencias Γ1,Γ2 y Γ3 son iguales,respectivamente, a Δ1,Δ2 y Δ3.


Demostracion. Segun el lema previo los radios de Γ1,Γ2 y Γ3 son

s1 = (1− r1)r1, s2 = (1− r1)r21 y s3 = (1− r1)r

31.

Sabemos que el radio de los gemelos de Arquımedes es r1r2r1+r2

, que en este caso, como

r2 = 1− r1, se convierte en r1(1−r1)r1+1−r1

= r1(1− r1). Luego el radio de Δ1 coincide conel de Γ1. Para calcular el radio de Δ2, que denotaremos por P2, usaremos el Teoremade Descartes-Soddy. En este caso, ese resultado implica que

2

(1

r21+

1

r21(1− r1)2+

1

P 22

+ 1

)=

(1

r1+

1

r1(1− r1)+

1

P2− 1

)2

y, de este modo,1

P2=

2(1 +√1− r1)

r1+

r11− r1

=2(1 + r1)

r1+

r11− r1

=2(1− r21) + r21r1(1− r1)

=2− r21

r1(1− r1)=

1 + r1r1(1− r1)

=1

r21(1− r1),

donde hemos usado que r21 = 1 − r1. Ası, P2 = s2 y las circunferencias Δ2 y Γ2 soniguales. Denotando por P3 el radio de Δ3, por el Teorema de Descartes-Soddy, consi-derando la recta DL como una circunferencia de radio infinito, nos da

2

(1

r21+

1

r21(1− r1)2+

1

P 23

)=

(1

r1+

1

r1(1− r1)+

1

P3

)2

,

de donde obtenemos

1

P3=

2(1 +√1− r1)

(1− r1)r1− 1

1− r1=

2(1 + r1)

(1− r1)r1− 1

1− r1

=2 + r1

(1− r1)r1=

1

(1− r1)r31,

ya que, por ser r21 = 1− r1, se tiene que 2 + r1 = 1r21. Por tanto P3 = s3 y las circun-

ferencias Γ3 y Δ3 son identicas, lo que concluye la demostracion.

Capıtulo 3

El Teorema deDescartes-Soddy

Finalmente, en este capıtulo, vamos a dar una demostracion del Teorema deDescartes-Soddy que hemos utilizado en la Proposicion 16 y en la Proposicion 20.Antes de dar la demostracion demos una pequena introduccion historica.

En 1643, Descartes enuncio, en una carta dirigida a la princesa Isabel de Bohe-mia, el resultado que relaciona los radios de cuatro circunferencias tangentes entre sı,conocido hoy como el Teorema de las circunferencias de Descartes. Esa version inicialdel resultado unicamente cubrıa el caso en el que las cuatro circunferencias son tan-gentes exteriormente. En 1937, el matematico aficionado y premio Nobel de quımica,Frederick Soddy redescubrio el Teorema de Descartes incluyendo el caso en el que lascircunferencias sean tangentes interiormente. Este teorema es a veces conocido comoel Teorema de los cırculos besadores, ya que Soddy publico su version de este teoremaen forma de poema, al que titulo The Kiss Precise y que fue publicado en la revistaNature el 20 de junio de 1937:

Cuatro cırculos llegaron a besarse,cuanto menores tanto mas curvados,y es su curvatura tan solo la inversade la distancia desde el centro.Aunque este enigma a Euclides asombrara,ninguna regla empırica es necesaria:al ser las rectas de nula curvaturay ser las curvas concavas tomadas negativas,la suma de cuadrados de las cuatro curvaturases igual a un medio del cuadrado de su suma.

El hecho de que una parte del resultado se deba a Descartes y la otra a Soddy eslo que nos ha llevado a denominarlo Teorema de Descartes-Soddy. Recordemos ahorael enunciado.

Teorema 21 (Teorema de Descartes-Soddy). Si tres circunferencias son tangentesexteriormente dos a dos, entonces existen otras dos circunferencias tangentes a esas

53

54 CAPITULO 3. EL TEOREMA DE DESCARTES-SODDY

tres, una de ellas interiormente y la otra exteriormente. Si r1, r2 y r3 son los radiosde las circunferencias tangentes exteriormente dos a dos y r4 es el radio de una delas dos circunferencias tangentes a las tres anteriores, entonces se tiene

2

(1

r21+

1

r22+

1

r23+

1

r24

)=

(1

r1+

1

r2+

1

r3± 1

r4

)2

.

Recordemos que el signo positivo en la expresion del teorema anterior se corres-ponde al caso en el que la cuarta circunferencia es tangente exteriormente a las otrastres (es decir, las tres circunferencias iniciales quedan en el exterior de la cuarta), yel signo negativo se corresponde al caso en el que la cuarta circunferencia es tangenteinteriormente a las otras tres (en este caso las tres circunferencias iniciales quedan enel interior de la cuarta).

Antes de proceder con la demostracion en sı misma veamos un par de lemas queseran de gran utilidad.

Lema 22. Sean C1, C2 y C3 tres circunferencias tangentes exteriormente y C4 unacircunferencia pasando por los puntos de tangencia de C1, C2 y C3. Sean A, B y Clos centros de C1, C2 y C3 respectivamente, y a = BC, b = CA y c = AB. Si r1, r2, r3y r4 son los radios de C1, C2, C3 y C4, respectivamente, entonces

r1 = s− a, r2 = s− b, r3 = s− c y r4 = r,

donde s es el semiperımetro de ABC y r el radio de la circunferencia inscrita altriangulo ABC. Ademas, se cumple la relacion

1

r2r3+

1

r3r1+

1

r1r2=

1

r24. (3.1)

Demostracion. En primer lugar veamos que la circunferencia inscrita en un trianguloABC divide los lados del triangulo en segmentos de longitud s− a, s− b y s− c. Enefecto, usando la figura siguiente, construida teniendo en cuenta que los segmentostangentes a una circunferencia desde un punto exterior son iguales, se deducen lasrelaciones

x+ y = c, y + z = a, y z + x = b,

que implican

x = s− a, y = s− b y z = s− c.

C

A

By

y

z

z

r

x

x

55

La configuracion de las circunferencias del enunciado es la que aparece en la figurasiguiente.

C

A

B

Qr

P

R

C1

C3C 2

C4

Es evidente que C4 es la circunferencia inscrita al triangulo ABC y, por tanto, suradio es r y, ademas, por la observacion anterior,

r1 = AR = s− a, r2 = BP = s− b y r3 = CQ = s− c.

Veamos que efectivamente se cumple (3.1). Teniendo en cuenta que la formula deHeron asegura que el area del triangulo ABC es

√s(s− a)(s− b)(s− c) y que esa

misma area es igual a s · r, tenemos que r2 = (s−a)(s−b)(s−c)s y entonces

1

r2r3+

1

r3r1+

1

r1r2=

1

(s− b)(s− c)+

1

(s− c)(s− a)+

1

(s− a)(s− b)

=s

(s− a)(s− b)(s− c)=

1

r2=

1

r24.

Lema 23. Sean C1, C2 y C3 tres circunferencias tangentes interiormente (C2 y C3

son interiores a C1) y C4 una circunferencia pasando por los puntos de contactode C1, C2 y C3. Sean A, B, y C los centros de C1, C2 y C3, respectivamente, ya = BC, b = CA y c = AB. Si r1, r2, r3 y r4 son los radios de C1, C2, C3 y C4,respectivamente, entonces

r1 = s, r2 = s− c, r3 = s− b y r4 = ra,

donde s es el semiperımetro de ABC y ra es el radio de la circunferencia exinscritaal triangulo ABC tangente al lado BC. Ademas, se cumple la relacion

1

r2r3− 1

r3r1− 1

r1r2=

1

r24. (3.2)


Demostracion. La situacion descrita en el enunciado aparece recogida en la siguientefigura

R Q

A

B CP

C3

C 2

C1

C 4

Es claro que C4 es la circunferencia exinscrita al triangulo ABC tangente a BC y,por tanto, r4 = ra.

Para determinar los otros radios usaremos la figura siguiente

A

P

B

C

I

T

r

Ia

ra

R Q

57

Es claro que

ABC = ABIa +ACIa −BCIa,

luego, como ya vimos que el area de ABC es s · r, tenemos

s · r =1

2(c · ra + b · ra − a · ra) = ra

2(c+ b− a) = ra(s− a)

y

r

ra=

s− a

s. (3.3)

Puesto que los triangulos ATI y ARIa son semejantes, usando (3.3), se tiene

AT

AR=

TI

RIa=⇒ s− a

AR=

r

ra=⇒ AR = s

De este modo

r1 = AR = s, r2 = BP = BR = AR− c = s− c,

y

r3 = CP = BC −BP = a− s+ c = s− b.

Comprobemos que (3.2) se verifica. Teniendo de nuevo en cuenta (3.3) y quer2s = (s− a)(s− b)(s− c) se deduce que

1

r2r3− 1

r3r1− 1

r1r2=

1

(s− c)(s− b)− 1

(s− c)s− 1

s(s− b)=

b+ c− s

s(s− b)(s− c)

=s− a

s(s− b)(s− c)=

(s− a

r · s)2

=1

r2a=

1

r24.

Ahora ya tenemos las herramientas necesarias para probar el Teorema de Descartes-Soddy.

Demostracion del Teorema de Descartes-Soddy. Antes de comenzar con la demostra-cion introduciremos algo de notacion. Dadas cuatro circunferencias A1, A2, A3 y A4,si son tangentes externamente les asociamos los valores α1, α2, α3 y α4 que son igualesa los inversos de sus radios; y si las circunferencias son tangentes interiormente, losvalores αi seran los mismos pero con un signo negativo para la que rodea a las otrastres.

Sean ahora E1, E2 y E3 las tres circunferencias tangentes dos a dos y E4 lacircunferencia tangente exteriormente, como mostramos en la figura siguiente.


E1

E3

E4

E2

H4

H1

H 2H3

Las cuatro circunferencias se cortan en seis puntos, que tomados de tres en tres definenotras cuatro circunferencias, H1, H2, H3 y H4. Si a las circunferencias Ei y Hi lesasociamos los valores εi y ηi, respectivamente, de la manera que hemos comentado alinicio, las formulas (3.1) y (3.2) de los Lemas 22 y 23, implican las relaciones

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩ε2ε3 + ε3ε1 + ε1ε2 = η24 ,

ε1ε2 + ε2ε4 + ε4ε1 = η23 ,

ε1ε3 + ε3ε4 + ε4ε1 = η22 ,

ε2ε3 + ε3ε4 + ε4ε2 = η21 ,

(3.4)

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩η2η3 + η3η1 + η1η2 = ε24,

η1η2 + η2η4 + η4η1 = ε23,

η1η3 + η3η4 + η4η1 = ε22,

η2η3 + η3η4 + η4η2 = ε21,

(3.5)

Sumando todas las ecuaciones en (3.4) se tiene

2(ε1ε2 + ε1ε3 + ε1ε4 + ε2ε3 + ε2ε4 + ε3ε4) = η21 + η22 + η23 + η24 .

Entonces llegamos a

(ε1 + ε2 + ε3 + ε4)2 = ε21 + ε22 + ε23 + ε24 + 2(ε1ε2 + ε1ε3 + ε1ε4 + ε2ε3 + ε2ε4 + ε3ε4)

= ε21 + ε22 + ε23 + ε24 + η21 + η22 + η23 + η24 . (3.6)

Procediendo del mismo modo con (3.5), podemos concluir que

(η1 + η2 + η3 + η4)2 = ε21 + ε22 + ε23 + ε24 + η21 + η22 + η23 + η24 .

Por tanto,

(ε1 + ε2 + ε3 + ε4)2 = (η1 + η2 + η3 + η4)

2,

59

lo que permite deducir la relacion

ε1 + ε2 + ε3 + ε4 = η1 + η2 + η3 + η4.

Ademas sabemos que

(ε1 + ε2 + ε3 − ε4)(ε1 + ε2 + ε3 + ε4) = (ε1 + ε2 + ε3)2 − ε24

= ε21 + ε22 + ε23 − ε24 + 2(ε1ε2 + ε1ε3 + ε2ε3)

= ε21 + ε22 + ε23 − ε24 + 2η24 .

Ahora, usando (3.5) para eliminar ε2i , tenemos la identidad

(ε1 + ε2 + ε3 − ε4)(ε1 + ε2 + ε3 + ε4) = 2η4(η1 + η2 + η3 + η4),

que, como (ε1 + ε2 + ε3 + ε4) = (η1 + η2 + η3 + η4), implica

ε1 + ε2 + ε3 − ε4 = 2η4.

De manera analoga, llegamos a

ε1 + ε2 − ε3 + ε4 = 2η3,

ε1 − ε2 + ε3 + ε4 = 2η2,

−ε1 + ε2 + ε3 + ε4 = 2η1,

Al elevar al cuadrado las cuatro ecuaciones anteriores, sumandolas, concluimos

ε21 + ε22 + ε23 + ε24 = η21 + η22 + η23 + η24 (3.7)

Finalmente, de (3.6) y (3.7), deducimos que

(ε1 + ε2 + ε3 + ε4)2 = 2(ε21 + ε22 + ε23 + ε24),

que es la identidad que querıamos probar.El caso en el que la circunferencia E4 es tangente interiormente a E1, E2 y E3 es

analogo y omitimos los detalles.

Bibliografıa

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[11] H. Okumura y M. Watanabe, The Archimedean circles of Schoch and Woo, Forum Geometricorum.4 (2004), 27–34.

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