Ekonometrija 8

Ekonometrija, Osnovne studije

Predavač: Aleksandra Nojković

Struktura predavanja

• Narušavanje pretpostavki KLRM

Heteroskedasticnost

Autokorelacija

Pretpostavke KLRM

1. E(εi) = 0

2. Var(εi) = 2 = const.

3. Cov (εi, εj) = 0 za i različito od j

4. Objašnjavajuće promenljive nisu određenestohastičkim članom

5. εi N(0,2)

6. Ne postoji tačna linearna zavisnostizmeđu objašnjavajućih promenljivih.

Narušavanje pretpostavki KLRM

Šta ako su pretpostavke KVLRM narušene?

Kada dolazi do narušavanja pretpostavki?

Kako se to odražava na ocene parametara i na standardne greške ocena?

Kako se ispituje da li su pretpostavke narušene ili ne?

Šta raditi u slučaju kada su pretpostavke narušene?

Pretpostavka 1: E(εi) = 0

Ukoliko postoji sistematska greška u merenjuzavisne promenljive tada ce ova pretpostavka bitinarušena.

Koristimo reziduale u analizi.

Primenom metoda ONK na model u kojem postojislobodan član uvek se dobija rezultat da je rezidualna suma jednaka nuli, što znaci da je injihova aritmetička sredina nula. Sledstveno, ne možemo zakljuciti da je pretpostavka narušena.

Nema negativnih posledica ako koristimo klasičanmodel u kojem figuriše slobodan član (za E(εi)=k).

Pretpostavka 1: E(εi) = 0 (nastavak)

Uzrok je najčešće neka izostavljena promenljiva.

U slučaju nekorelisanosti sa drugim regresorima, ocenom konstantnog člana modela može se kontrolisati njen uticaj.

U slučaju korelisanosti sa uključenim regresorima, pored ove, narušena je i pretpostavka o nezavisnosti greške i regresora (posledice pristrasne i nekonzistentne ocene).

Pretpostavke KLRM

1. E(εi) = 0

2. Var(εi) = 2 = const.

3. Cov (εi, εj) = 0 za i različito od j

4. Objašnjavajuće promenljive nisu određenestohastičkim članom

5. εi N(0,2)

6. Ne postoji tačna linearna zavisnost izmeđuobjašnjavajućih promenljivih.

Pretpostavka 2: Var(εi) = 2 = const.Homoskedastičnost

Homoskedastičnost: varijansa slučajne greškemodela je konstantna za sve opservacije.

Heteroskedastičnost:

pretpostavka o homoskedastičnosti je narušena, štoznači da se varijanse slučajnih greški razlikuju popojedinim opservacijama:

const)var(...)var()var( 2

n21

....

)var(

)var(

)var(

22

2

2

1

2

2

22

2

11

n

nn

Heteroskedastičnost

Uvod: pojam heteroskedastičnosti

Posledice: kakve su ocene dobijene metodom ONK?

Otkrivanje prisustva heteroskedastičnosti

Rešavanje problema heteroskedastičnosti.

Homosedastične (levo) iheteroskedastične (desno) greške

Posledice primene metoda ONK u prisustvu heteroskedastičnosti

• Primenom metoda ONK na model sa heteroskedastičnimgreškama dobijaju se ocene koje nisu najbolje linearnenepristrasne ocene.

• Ocene su nepristrasne

• Ocene nisu efikasne–njihova varijansa nije najmanjamoguća (pokazati...).

• Posledice:

• Standardne greške ocena nisu precizna meravarijabiliteta ocena.

• Standardne greške ocena najčešće potcenjujustvarnu varijansu ocena parametara modela.

• t-odnosi su nepouzdani.

Kako se otkriva prisustvo

heteroskedastičnosti u modelu?

1. Neformalni (grafički) metodi

2. Formalni metodi (testiranje)

Neformalni (preliminarni) metodi

Grafički prikazi: dijagram rasturanja reziduala (apsolutne

vrednosti reziduala ili njihovih kvadrata) u odnosu na neku odobjašnjavajućih promenljivih ili prema ocenjenoj vrednosti Yi(lin. kombinaciija svih objašnjavajućih promenljivih).

ei

Xi

-

- Goldfeld-Kvantov (engl. Goldfeld-Quandt) test

- Glejzerov (engl. Glejser) test

- Brojš-Pegan-Godfri (engl. Breusch-Pagan-Godfrey) test, više verzija

- Vajtov (engl. White) test.

Testiranje postojanja heteroskedastičnosti

(formalni testovi)

Goldfeld-Quandt-ov test Algoritam:

1. Pretpostavimo da je polazni model oblika:

2. Opservacije poređati prema rastućem redosledu nezavisne promenljive.

3. Izostaviti jedna broj (c) centralnih opservacija (oko četvrtina).

4. Obaviti odvojeno regresije za prvih i poslednjih (n-c)/2 opsrevacija.

5. Statistika testa je:

pri čemu se indeks 1 odnosi na reziduale dobijene za niže

vrednosti regresora, a indeks 2 za više.

Pogodan za modele sa malim brojem param. i velike uzorke.

.22110 iiii XXY

,F~e

eF 2/)k2cn(

2/)k2cn(2

1

2

2

Glejser-ov test

Algoritam:

1. Iz polazne regresije računaju se reziduali ei:

2. Ocenjuju se sledeće regresije:

(parametar h najčešće:1,-1,1/2 i 2).

3. Testa se statistička značajnost ocene parametra c1

primenom t-testa.

4. Upoređuju se koef. determinacije dobijeni za različite vrednosti h, a sam karakter heteroskedastičnostiodređuje se prema regresiji sa najvećim R2.

.10 greškaXcce h

ii

Breusch-Pagan-Godfrey test

Bazira se na testiranju zavisnosti varijanse reziduala od visine svih regresora.

Posmatramo model:

Ako pretpostavimo da je varijansa određena relacijom:

pri čemu su Zji promenljive za koje sumnjamo da utiču na varijansu greške (obično objašnjavajuće promenljive Xji).

Nulta hipoteza da nema hetroskedastičnosti, prema alternativnoj da je varijansa grešaka lin. fun. regresora.

,110

2

kikii ZZ

.X...XY ikiki110i

kjzajedanbarHvsH jk ,...,2,1,0:0: 1210

BPG test (nastavak)

Algoritam:

1. Oceni se polazni model da bi se dobili reziduali.

2. Oceni se pomoćna regresija i izračuna R2:

3. Reč je o asimptotskom LM testu; BP=nR2 statistika χ2 sa k – stepeni slobode.

4. Odbacivanje nulte hipoteze ukazuje na prisustvo heteroskedastičnosti.

Analogno BP testu, predložena je verzija Glejser–ovog LM testa (razlika samo u pomoćnoj regresiji gde se na desnoj strani nalazi apsolutna vrednost ei), odnosno Harvey-Godfrey-ev LM test (pomoćna regresija sa ln(ei2)).

ikikii vZZe 110

2

White-ov test

Osnove testa:

Nulta hipoteza: slucajne greške imaju stabilnu varijansu

Alternativna hipoteza: varijansa slucajne greške je zavisna

od objašnjavajućih promenljivih, njihovih kvadrata i

međuproizvoda.

Algoritam:

1. Pretpostavimo da je polazni model oblika:

2. Ocenjujemo model iz 1., dobijamo reziduale i potom

ocenjujemo pomocnu regresiju:

.22110 iiii XXY

ti2i15

2

i24

2

i13i22i110

2

i vXXXXXXe

White-ov test (nastavak)

3. Nulta hipoteza se svodi na:

4. Odredujemo koeficijent determinacije R2 iz pomocne regresije ipotom ga množimo obimom uzorka n. Whiteova test-statistika: WH=nR2 2 sa k stepeni slobode, gde je k broj objašnjavajućihpromenljivih pomoćne regresije bez slobodnog člana (k=5).

5. Ako je izracunata vrednost test-statistike veca od odgovarjućekriticne vrednosti 2 testa na datom nivou znacajnosti tada se odbacuje nulta hipoteza o odsustvu heteroskedasticnosti.

- Istovetan postupak testiranja se sprovodi i u varijanti testa bez uključivanja nivoa promenljivih i/ili međuproizvoda u pomoćnu regresiju (predloženo za modele sa velikim brojem objašnjavajućihpromenljivih i/ili za male uzorke, na razmatranom primeru k=2 ili k=4).

0...:H 5210

Kako se eliminiše uticaj heteroskedastičnosti (I) ?

• Primenjuje se metod ponderisanih najmanjihkvadrata (metod uopštenih najmanjih kvadrata).

• Ideja: u postupku minimiziranja sume kvadratareziduala, onim rezidualima koji su po apsolutnojvrednosti veći daje se manji ponder i obratno.

Kako se eliminiše uticaj heteroskedastičnosti (II)?

Pretpostavimo da postoji zavisnost varijanseslučajne greške od objašnjavajuće promenljive xt

Sve promenljive modela delimo sa meromvarijabiliteta, xi:

U ovom modelu nova slučajna greška je

Njena varijansa je stabilna:

constk ,var 2 ii kx

i

i

i

i

ii

i

xx

xb

xb

x

y 10

1

.x i

i

.constk

x

kx

x

var

xvar

2

i

2

i

2

i

i

i

i

Kako se eliminiše uticaj heteroskedastičnosti (III)?

Metod ONK se primenjuje na nove reziduale koji se dobijaju tako što se stari reziduali množe sa ponderima

Što su vrednosti objašnjavajuće promenljive xt veće, to je varijabilitet slučajne greške veći, ali je zato udeo reziduala

u ukupnoj sumi reziduala manji.

Time se postiže preciznost u postavljanju prave.

Slično, model je moguće podeliti sa E(Yi), odnosno ocenjenim vrednostima Yi (linearna kombinacija svih promenljivih u modeli).

.1

ix

i

i

x

e

Alternativni pristupi eliminisanja efekata heteroskedastičnosti

1.Koristimo logaritmovane vrednosti podataka.

2.Prilikom računanja standardnih grešaka ocena pravimo korekciju koju je predložio Vajt (engl. White). Na ovaj nacin dobijaju se standardnegreške ocena koje su vece od standardnihgrešaka ocena po metodu ONK. Ovo je najzastupljeniji pristup u empirijskoj analiziposlednjih godina.