Pertemuan-18 & 19

Integral Lipat Dua (Double Integral)

Fungsi: Menghitung isi benda padat

Ambil bidang ⊥== oo yyyy , pada poros y.

Penampang antara benda dan oy mempunyai luas iL (bidang arsir)

Jika ada bidang disamping maka luas bidang:

∫ ∑=

∞→→Δ

Δ=b

a i

nx

Xdxxfn

1i0

f(x) lim)(

Sehingga dapat disimpulkan Isi benda tipis yang tebalnya iyΔ dan luas iL adalah iiii y) yx(L Δ⋅ (luas x lebar),

maka isi keseluruhan: ∑=

∞→→Δ

Δ⋅n

1iii0)y ,(L lim ii

ny

yxi

116 Kalkulus II

Isi benda = ∫b

adyyxL ),(

∫=)(

)(),(2

1

y)F(x, yg

ygyx dxL

Sehingga Isi = dy ),()(

)(

2

1∫ ∫ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛b

a

yg

ygdxyxF → Integral berulang (Iterated Integral]

Isi Benda padat = dy y)F(x, )(

)(

2

1∫∫

yg

yg

b

adx → Double Integral

Contoh:

1. dx dy yx23

1

2

0⋅∫∫

[ ] dx y21

x dx dy yx3

1

222

0

23

1

2

0 ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡== ∫∫∫

332

x 34

dxx4dxx42

0

322

0

22

0==== ∫∫

2. dydx sin yx 1

00 ∫∫π

= [ ] dy ysin21

dy dxx ysin0

1

00 ∫∫∫ππ

=

= 1 ycos21

0=− π

3. Benda padat di bawah bidang z = x + y + 1 dibatasi oleh bidang x = 0, x = 1, y = 1, y = 3

Jawab:

1x0 ≤≤ ; 3y1 ≤≤

dxyyx

yxyx

21 y

dxdy )1(Isi

1

0x

3

1

2

3

1

1

0

∫

∫∫

=

==

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ++=

++=

( )∫

∫

++=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −+−+−=

=

1

0

1

0x

22

dx 2 4 2x

)13()13(21 )13( dxx

( )( ) )01(601

6x dx 6 2x 22

1

0

1

0

2

−+−=

+=+= ∫ x

761 =+=

Integral Lipat Dua 117

4. dx dy )y10x4(2x

x

5

3+∫∫ −

= [ ]∫ −+5

3

2 2

)54( dxyxy xx

= [ ]∫ −++5

3

242 dx )(5)(4 xxxxx

= ∫ −++5

3

2423 dx )x5x5x4x4(

= ∫ −+=−+5

3

5

3

345234

31 dx )45( xxxxxx

( ) ( ) )35(313535 334455 −−−+−=

( ) ( ) ( )271253

27125816252433125 −−

−−+−=

3

985442882 −+=

3

101803

98102783

983426 =−

=−=

= 3393 31

5. Berikan tafsiran fisis dari ∫∫ +R

yx dydx )( 22 , R dibatasi oleh bidang 2xy = , x = 2 dan y = 1 dan

hitunglah integrasinya!

Jawab

Penentuan daerah batas dari gambar di atas, dengan menganggap x konstan/dipegang tetap.

2xy1

2x1

≤≤

≤≤

Batas di atas dapat pula ditulis dalam y yang konstan

2xy = x = 2 →y = 4

yx =

118 Kalkulus II

2

41

≤≤

≤≤

xy

y

Pengintegrasian untuk x yang dipegang konstan.

Batas :

2xy1

2x1

≤≤≤≤

∫

∫∫

=

==

+=

+

2

1x1

32

22

1

2

12

2

)31(

dxdy )(

dxyyx

yx

x

x

yx

2

1

3756

242

1x

6222

1

31

31

211

51 dx

31

3

dx )1(31)1(

xxxxxxx

xxxx

−−+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+−=

∫

∫

=

=

( ) ( ) ( ) ( )

31

318

211128

5132

123112

3112

21112

51 337755

−−

−−

+−

=

−−−−−+−=

105280

105635

105651

38

21127

531

31

37

21127

531

−+=

−+=−−+=

1051006

=

Pengintegrasian untuk y dipegang konstan:

Batas:

Integral Lipat Dua 119

2xy

4y1

≤≤

≤≤

∫

∫∫

=

==

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

+

4

1y

223

2224

1

31

dydx )(

dyxyx

yx

y

yxy

( ) ( )

dy 233

8

dy 2231

2/522/34

1y

2332

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −=

∫

∫

=

=

yyy

yyyy

4

1

332

4

1

1

25

121

23

y72

32

152

38

1

112

21

131

38

25

23

yyyyy

yyyy

−+−=

+−

++

+⋅−= +++

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1128

72164

32132

1523

38

11447214

321144

15214

38 333322

−−−+−−=

−−−+−−−=

1051006

1053810

1054410

105434

105840

7254

3126

15628

=

−+−=−+−=

Terlihat bahwa peninjauan x konstan atau y konstan adalah sama, sebab memang daerah yang dihitung adalah sama.

6. Hitung ∫∫D

dydx y x

Jika D adalah daerah yang dibatasi antara lain xy = ,

y = 0 ; x = 1

Cara I:

Menentukan batas dengan x dipegang konstan

xy0

1x0

≤≤

≤≤

120 Kalkulus II

[ ]6101

61

61

2

21 dx dy xy

33

1

0

321

0

0

21

00

1

0

=−=

==

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅=

∫

∫∫∫

xdxx

dxyxx

x

Cara II:

Menentukan batas dengan y dipegang kontans

1xy

1y02 ≤≤

≤≤

Integral Lipat Dua 121

( ) ( )

( )

61

61

63

21

61

21

21

0161)01(

21

21

61

21

21

dy 21 dy 1

2

21 dy dx y x

6622

1

0

62

51

0

41

0

121

0

11

0 22

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−=−=

⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅=⋅

∫∫

∫∫∫ =

yy

yyyy

dyxyy

yy

Dalam mengerjakan soal-soal di atas serta perumusan isi benda padat kita menggunakan koordinat kartesian.

Macam-macam koordinat yang ada:

1. Koordinat Kartesian

dxdydA ⋅=

A = daerah luas

Sehingga

Isi = luas alas . tinggi

Isi = ∑=

∞→→Δ

Δ⋅n

1i0

y)F(x, lim AnA

Isi = dx ),(),( dyyxFdAyxFyxA ∫∫∫ =

2. Koordinat Polar [silinder]

122 Kalkulus II

ϕ⋅⋅=ϕ⋅⋅=⋅=

ϕ=π⋅πϕ

=∩=

ddrrdrdrdA

dzdrdA

d rr22d

ab dz

Isi = dr drFdAF )y,x(r)y,x(Aϕ⋅= ∫∫∫ ϕ

3. Koordinat Umum [Curvilinier Coordinates] Pada bahasan selanjutnya akan dibuktikan:

dvduvuyxdA ⋅⋅

∂∂

= ),(),(

Atau

dvdu

yxvu

dA ⋅⋅

∂∂

=

),(),(

1

Contoh:

1. Tentukan volume bidang Tetrahedron (segi empat) yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang 3x + 6y + 4z = 12 !

Jawab:

Untuk lebih mudah menentukan batas, kita harus gambar bentuk fisisnya:

Langkah menggambar:

z = 0

3x + 6y = 12 → 2x21

y +−=

Integral Lipat Dua 123

Dibatasi bidang koordinat yang berarti x = 0 dan y = 0

Untuk menentukan z ; x = 0 dan y = 0

4z = 12 → z = 3

fungsi 4

y6x312z

−−=

batas x dan y untuk x dipegang konstan

2x21

y0

4x0

+−≤≤

≤≤

124 Kalkulus II

( )

416161264

43 4

121

43

dx 4241

43

dx 42412

2182

43

dx 2212

212

214

43

443

dxdy )24(43

dxdy 4

6312

4

0

23

24

0

224

0

24

0

221

0

24

0

221

0

4

0

221

0

4

0

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−−++−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

−−=

−−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

=

∫

∫

∫

∫

∫∫

∫∫

+−

+−

+−

==

xxx

xx

xxxxx

xxxx

dxyxyy

yx

yxIsi

x

x

x

yx

2. Hitung volume bagi yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang x = 5 dan y + 2z-4=0 !

Jawab:

24 yz −

=

Integral Lipat Dua 125

( ) 20054 x 4

dx 821

214

21

dxdy )4(21 dx dy

24

5

0

5

0

5

0

4

0

2

4

0

5

0

4

0

5

0

=−==

=−=

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

∫ ∫

∫∫∫∫ =

dxyy

yyIsix

3. Hitung dAe22 yx

A

+∫∫ ; jika A dibatasi oleh r = 1 dan r = 3 ,

0=ϕ dan 4π

=ϕ !

Jawab: ϕ= ddr rdA

3r1 ≤≤ 222 yxr +=

40

π≤ϕ≤

( ) ( )eeerde

drerddr

edAe

rr

r

ryx

−===

⋅==

⋅=

∫

∫∫∫

∫∫∫∫ +

93

1

23

1

3

1

4/

0

r3

1

4/

0

3

1

4/

0

3

1

8824

4er

ddr r

22

22

222

πππ

πϕ

ϕ

π

ππ

4. Hitung ∫∫ +D

yx dA 22 ; jika D adalah bidang yang dibatasi:

r = 0dan ϕsin r , 0=ϕ dan π=ϕ !

Jawab:

22 yxr

ddr r dA

+=

ϕ=

π≤ϕ≤ϕ≤≤

0

sinr0

drrdddr r rsin

0

2

0

sin

00 ∫∫∫∫ϕπϕπ

ϕ=ϕ⋅

ϕϕϕ

ϕϕϕ

π

π πϕ

d sin)cos1(31

d sin31

31

2

0

0

3

0

sin

0

3

⋅−=

==

∫

∫ ∫dr

( )

( ) ( )ϕϕϕ

ϕϕ

ππ

π

cos cos31cos

31

cos )cos1(31

2

00

2

0

dd

d

∫∫

∫

+−=

−−=

126 Kalkulus II

( ) ( )

94

92

32

119111

31cos

91 cos

31

0

3

0

=−=

−−+−−−+−=ππ

ϕϕ

5. Perhatikan gambar

ϕ= sinry

Hitung dA ys∫∫ !

Jawab:

20

) cos (1 2r2

π≤ϕ≤

ϕ+≤≤

ϕ= d ds rdA

∫∫∫∫+

==⋅=

)cos1(2

2

/2

0ddr r dA

ϕπ

ϕϕ

rs

yy

dr r sin )cos1(2

2

2/

0⋅⋅= ∫∫

+

=ϕϕ

ϕπrd

r

drrdr

2)cos1(2

2

2/

0 sin ∫∫

+

==

ϕπϕϕ

ϕϕϕ

πdr

31sin

)cos1(2

2

32/

0 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

+

∫

[ ] ϕ−ϕ+ϕ

= ∫π

d 8)cos22(3

sin 32/

0

= [ ] ϕϕϕϕππ

dd sin831)(coscos22

31 2/

0

32/

0 ∫∫ −+−

( ) 2200

4 cos38cos22

41

21

31 ππ

ϕϕ ++⋅⋅−=

( ) ( ){ }[ ] [ ]0coscos380cos22cos22

241

244

2 −++−+−= ππ

( ) ( ){ }[ ] [ ]0coscos38122022

241

244 −+⋅+−⋅+−= π

[ ] [ ]103842

241 44 −+−−=

Integral Lipat Dua 127

[ ] [ ]13825616

241

−+−−=

322

38

330

3810

38

24240

=−=−=−=

6. Tentukan Isi benda pada di aktan I dibawah paraboloid 22 yxz += dan didalam tabung 922 =+ yx !

Jawab:

Karena kita tahu

3r

9ryx 222

===+

∫∫=D

zIsi dA

( )8

8124

81

481

d481

dr41

drrd

drdr)yx(Isi

2/

0

2/

0

2/

0

3

0

433

0

2/

0

223

0r

2/

0

π=

π⋅=ϕ=ϕ=

ϕ=ϕ=

ϕ⋅+=

ππ

ππ

=

π

=ϕ

∫

∫∫∫

∫∫

Soal:

1. Hitung dsxFs

⋅∫∫ )( jika 2)( =xF pada 3x1 ≤≤ dan 2y0 ≤≤ !

Jawab: 8

2. Gambarkan bagian daerah R di dalam bidang xy yang dibatasi oleh x2y2 = dan y = x !

Cari batas-batas untuk x dan y sehingga tetapkan luas dari R!

128 Kalkulus II

2x0 ≤≤ , untuk x dipegang tetap

x2yx ≤≤

Atau untuk y dipegang konstan

yx

2y

2y02

≤≤

≤≤

Luas = 32

3. Hitung isi benda padat dibatasi oleh bidang z = x + y + 1 dan x = 0, x = 1, y = 1 dan y = 3 .

Jawab: Isi = 7

4. Hitung isi benda padat antara 2yxz 22 ++= dan z = 1 dan terletak antara 1y0 , 11 ≤≤≤≤− x !

Jawab: Isi =3

10

5. Diberikan dydx )(4

1

3

0yx

y

xy+∫∫

−

==

a. Gambarkan tafsiran fisis bendanya ! b. Ubah dalam x dipegang konstan ! Jawab: 90 ;21 2 +−≤≤≤≤ xyx c. Hitung Integrasi!

Jawab: 60241

6. Hitung dydx yx 22

R

+∫∫ , di mana R adalah bidang daerah 222 ayx ≤+ !

Jawab: Dengan koordinat tabung

dydx yx 22

R

+∫∫ = 3 32 aπ

7. Hitung isi bidang–4 yang dibatasi bidang-bidang koordinat dan bidang z = 6 – 2x – 3y !

Jawab: Isi = 6

Koordinat Umum (Curvilinier Coordinate) Sebelum masuk ke pokok bahasan, kita singgung sedikit mengenai vektor.

Integral Lipat Dua 129

Aturan-aturan turunan fungsi berlaku untuk turunan vektor

1. dtBd

dtAd

dtd

±=± )BA(

2. dtBdA

dtAdB

dtd

+=⋅ )BA(

3. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

dtBdAxBx

dtAd

dtd x )BxA(

4. dtAduA

dtduAu

dtd

t ⋅+⋅=⋅ )( )(

)(tu = fungsi skalar

Kita pakai salib sumbu system kanan (aturan tangan kanan)

( )( )

( ) ( )sekalar] [menjadi BA B A B A

B,B,B A,A,ABA

B,B,BB k B B i B

A,A,AA k A A

zzyyxx

zyxzyx

zyxzyx

zyxzyx

→⋅+⋅+⋅=

•=•

=++=

=++=

j

jiA

Aturan Cross Vector (menggunakan kaidah ‘sekrup’]

j k x ij i x k

i- j x ki k x j

k i x jk j x i

0 k x k0 j x j0 i x i

−==

==

−==

===

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )kkBAkBAikBA

kBABAiBA

kiBAiBAiiBA

)B k B B i( x )A k A A ( B x

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

zyxzyx

×+×+×

+×+×+×

+×+×+×=

++++=

j

jjjj

j

jjiA

130 Kalkulus II

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )0BABABA

BA0BAkBA

BAkBA0BA

)B k B B i( x )A k A A ( B x

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

zyxzyx

r

r

r

+−+

+++−

+−++=

++++=

ij

i

j

jjiA

( ) ( ) ( )

yx

yx

zx

zx

zy

zy

xyyxxzzxyzzy

BBAA

kBBAA

BBAA

BABAkBABABABA B x

+−=

−+−−−=

ji

jiA

Atau dapat ditulis dalam bentuk determinan matriks,

zyx

zyx

BBBAAAk

B x ji

A =

Koordinat Umum:

Integral Lipat Dua 131

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

+=

+=

dvdx

dvdyk

dvdxk

dvdyk

dvdyji

dudyjix

dusd

dvdyji

dvsd

dudyji

durd

dudy

dudx

dudy

dudx

dvdx x

dudx

dvsd

dvdx

dudx

Harga mutlak:

dudy

dudx

dudr

dvdx

dvdy

dvdrx ⋅−⋅=

Dapat dibuat bentuk matrik:

),(),(

dvdx

dudx

vuyx

dvdydudy

∂∂

=

dvdu ),(),( ⋅

∂∂

=∴vuyxdA

Pada rumus di atas terlihat bahwa x dan y harus diubah ke variabel u dan v, perubahan x dan y ke u dan v tidak selalu mudah, sehingga terkadang lebih mudah mengubah u dan v menjadi x dan y.

Sehingga dalam hal ini kita perlu invers Determinan Jacoby.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=∂∂

),(),(

1),(),(

yxvuvu

yx didapat dari aturan rantai determinan Jacoby

dvdu

yxvu

dA ⋅⋅

∂∂

=∴

),(),(

1

dxdv

dxdu

dydu

dxdu

),(),(

dydvdydu

dydvdxdv

yxvu

==∂∂

Contoh:

1. Hitung dy dx)yx( 3

D

+∫∫ ; dengan D adalah bidang yang dibatasi oleh:

1yx3yx

=+=+

2yx

1yx=−−=−

132 Kalkulus II

Jawab :

Dengan menggunakan koordinat kartesian sebenarnya kita bisa memecahkannya dengan terlebih dulu membagi menjadi 3 bagian, dan ini memakan waktu yang lama. Lebih cepat menggunakan koordinat umum.

Misal:

2 v 1

3 u 1

vyx

u yx

≤≤−≤≤

⎭⎬⎫

=−=+

21

41

41

21

21

21

21

dvdy

dvdx

dudy

dudx

),(),(

dv du ),(),(

−=−−=−

=

=∂∂

⋅⋅∂∂

=

vuyx

vuyxdA

2vu

y

2vu

x

vux2vyx

uyx

−=

+=

+==−=+

+

dvdu 21

dvdu 21

dA ⋅=⋅−=

( )[ ] [ ] 30181

8313

83

83

23 v

21

du 21)(

44

3

1

433

1

2

133

1

32

1

3

1

3

=−=−=

===

⋅=+

∫∫

∫∫∫∫

−

−==

uduuduu

dvudxdyyxvu

D

2. ∫∫ +D

dydxyx )( 22 ; D daerah yang dibatasi

Integral Lipat Dua 133

3yx

1yx

=⋅=⋅

4yx

2yx22

22

=−

=−

Pada kuadran I

Jawab:

vyx

uxy22 =−

=

x dan y akan dinyatakan dalam fungsi u dan v.

)(x 2 2x-2

2y-x

2xy

dydu

dxdu

),(),(

1 ),(),(

2222 yy

dydvdxdv

yxvuvu

yx

+=−=

==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=∂∂

dvdu)y(x 2

1dyx 22 ⋅⋅

+=⋅∂

[ ][ ]∫∫

∫∫∫

∫∫

==

===

=−===−⋅=

⋅=⋅=

⋅+

+

3

1

3

1

3

1

3

1

4

2

4

2

3

1

2222

213 )24( 21

21

21

dvdu )(x 2

1 )(

uu

uvu

D

ududu

vdududv

yyx

Soal:

1. ∫∫θπ

θsin

0

2

0d drr

Jawab: 94

134 Kalkulus II

2. Tentukan luas dari benda/bidang s, yang adalah daerah di dalam lingkaran θ= cos4r dan luar

lingkaran r = z. [Catatan: Transformasikan ∫∫∫∫ =→= θddr r A dy dxA

Jawab: L= π+34

32

3. Cari luas daerah yang dibatasi oleh xy = 4, xy = 8, 5xy3 = , !15xy3 =

Jawab: L= 3 ln 2

4. Cari luas daerah di dalam kuadran I yang dibatasi oleh 3xy = , 3x4y = , 3yx = , 3y4x =

Jawab: L=81

5. Misal R adalah daerah yang dibatasi x + y = 1, x = 0, y = 0.

Perlihatkanlah bahwa:

∫∫ =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+R 2

1sin dy dx y)(xy)-(x cos

(Misal x – y = u dan x + y = v}

6. Benda padat di kuadran I yang dibatasi oleh tabung 2x tgz = dan bidang-bidang x = y, x = 1 dan y = 0. Cari Isi !

Jawab: Isi = 1 secln 21

7. Buktikan:

21e dx

1

0

1

0)( −

=∫ ∫=

−

=

+

x

x

ydye yx

y

Dengan transformasi x + y = u, y = u.v Catatan: Soal ini ada baiknya jika dikerjakan sesudah membahas koordinat umum.

8. Benda dikuadran I yang dibatasi oleh persamaan 22 y4x936z9 −−= dan bidang-bidang koordinat. Cari Isinya !

Jawab: Isinya = π3

-oo0oo-