Ejercicios y Problemas adicionales

22/01/2009 EyM 7p -

Electricidad y Magnetismo Ejercicios y Problemas adicionales

Ejercicios y Problemas adicionales

Ejercicio (T2 Feb 2005)

( ) mAavJ sss /ˆ0 ϕωρρ −==rr

( ) ( ) AhadzJn

cteSuperficiednJI s

h

sC s 00ˆˆ

ˆˆ:

ˆ ωρϕϕϕϕ

=−⋅−=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−==

=⋅= ∫∫ lr

Calcule la densidad de corriente y la corriente asociada a un anillo de carga superficial ρscul/m2 con radio a y altura h, que rota a una velocidad angular ω0 rad/s

ρs cul/m2

ω0 rad/s z

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IdHC

=⋅∫ lrr

⎩⎨⎧

=⇒⎩⎨⎧−

=fuera0dentroyaI

Habajoya2Iarribaya2I

H zI0

rr

Calcule la intensidad de campo magnético en el interior de una línea biplaca, cuya sección se ve en la figura, que contiene un material magnético de permeabilidad µ y transporta una corriente I. Desprecie el efecto de bordes y suponga µ>>µ0.

a cada una de las láminas de corriente y aplicando superposición.

A/m

Aplicando la Ley de Amper

µ

a

I

Ib

El grosor de los conductores es despreciable

x

y

C


⎩⎨⎧

=fuera

dentroyaIH

0ˆr

Calcule el coeficiente de autoinducción por unidad de longitud de la línea biplaca, cuya sección se ve en la figura, que contiene un material magnético de permeabilidad µ y transporta una corriente I. Desprecie el efecto de bordes y suponga µ>>µ0.

Por tanto:

El campo era:

µ

a

I

Ib

El grosor de los conductores es despreciable

x

y

HenriosabLab

aI

21dVHB

21IL

21W 2

V

2H µµ =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅== ∫∫∫ l

rr

ll

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Calcule la fuerza que se aplica a la espira cuadrada de lado d situada en el vacío que transporta una corriente I cuando rota a velocidad α=ω0t siendo ω0 rad/s la velocidad de rotación angular. En esa zona está aplicada una inducción magnética de valor xBo

Como cualquier espira cerrada frente a un campo uniforme la fuerza que sufre es nula.

R x y

z

d

ω0

α=ω0t

I

Calcule la f.e.m.i. que aparece en una espira cuadrada de lado d situada en el vacío cuando rota a velocidad α=ω0t siendo ω0 rad/s la velocidad de rotación angular. En esa zona esta aplicada una inducción magnética de valor


xBo

( ) 220 /º90cos mWeberdBSdB

SB −=⋅=Φ ∫∫ αrr

Fije la polaridad en la figura supuesta la espira cargada con una resistencia R.

( )( ) ( ) VdtBdtsenBdtd

dtdimef B 2

0002

00 cos.... ωωω −=−=Φ

−=

+ -Rx y

z

d

ω0

α=ω0t

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Ejercicio (T3 Sep 2005)

Calcule la densidad de corriente y la corriente asociada a un cono de carga superficial ρs cul/m2 con ángulo generatriz θ0 y altura h, que rota a una velocidad angular ω0 rad/s

( ) ( ) mAθrvJ sss /ˆsin 00 ϕωρρ −==rr

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) AhdrrdlnJI s

h

sC s0

20

20cos

0 00 cos2sinˆˆsinˆ 0

θθωρϕϕωθρθ =−⋅−=⋅= ∫∫

r

z

2

ω0 rad/s

θ0 h

ρs cul/m

r

vr


Sea un material con forma de toroide de sección cuadrada de lado a, radios R1 y R2(R1<R2) y permeabilidad µ. Está dispuesto de modo que su eje de rotación coincide con el eje z de un sistema en coordenadas cilíndricas. En su interior aparece una intensidad de campo magnético de valor .

Este toroide se encuentra rodeado por el vacío dondeaparece un campo magnético nulo. Obtenga las densidades de corrientes superficialessobre las paredes del toroide.

ϕρ

ˆcH =r

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−×−=−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−×−=

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−×==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−×=

=−×=z

RccJcczJ

zRccJcczJ

HHnJ

ss

ss

Ss

ˆˆînternaCaraˆˆînferiorCara

ˆˆêxternaCaraˆˆˆsuperiorCaraˆ

1

212

φρ

ρρρ

φρ

φρ

ρρρ

φρ

rr

rr

rrr

( )Ss HHnJ 12ˆ

rrr−×=

R1

I

a

I

R2a

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R1

I

a

I

R2a


Suponiendo que las densidades de corriente del ejercicio anterior están causadas por N espiras (si no conoce el valor de la corriente resuelto en el apartado anterior suponga que vale I). Calcule su coeficiente de autoinducción.

ϕρµµ ˆcHB ==

rr

NIcdcldHC

==⋅=⋅ ∫∫ =πϕρϕϕ

ρπ

ϕ2ˆˆ

2

0

rr

IN

IL espBB 1Φ

=Φ

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Φ=

12ln1

RR

IcaN

IN

L espB µ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅=⋅=Φ ∫ ∫∫∫ = = 1

2lnˆˆ2

1 01 RRcadzdcSdB

R

R

a

zaxaespB µρϕϕρµ

ρ

rr

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

12ln

212ln

212ln

2

RRaN

RR

NccaN

RR

IcaNL

πµ

πµµ

Y ahora aplicando la ley de Ampere:


zB0

xv ˆ0

Represente en la figura, la f.e.m. inducida sobre una espira cuadrada (LxL) que atraviesa una zona, también cuadrada, (3Lx3L) donde se aplica un campo magnético uniforme La espira se mueve a una velocidad constante

Se define el sentido positivo como el que corresponde a una corriente que circulara en el sentido opuesto a las agujas del reloj.

L

zBB 0=r

L

3L

3L

v0

X L/2 L 3L/2 5L/22L-2L -L/2- L-3L/2 X

f.e.m.i.

- 5L/2

B 0 Lv

-B 0 Lv

vdx

ddtdx

dxd

dtdfemi BBB Φ

−=Φ

−=Φ

−=

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Represente la fuerza mecánica que hay que aplicar según el eje X a la espira del problema anterior, suponiendo que su resistencia vale R, para que mantenga la velocidad uniforme . Desprecie el efecto de la autoinducción.

L

zBB 0=r

L

3L

3L

v0

Xldr

ldr

L/2 L 3L/2 5L/22L-2L -L/2-L-3L/2 X

Fmec

-5L/2

IB0L

= RfemiI

∫ ×=LxL

BldIFrr

Problema

Sea un solenoide toroidal de sección transversal rectangular como el mostrado en la figura. El núcleo está formado por un material con una permeabilidad µ >> µ0, el número total de espiras es N y la corriente que circula por ellas es Is.a) Calcule razonadamente la intensidad de campo magnético en todos los puntos del espacio. Verifique que se cumplen las condiciones de discontinuidad o salto. (3p)b) Calcule la energía electromagnética almacenada en todo el espacio. (2p)c) Obtenga el coeficiente de autoinducción del solenoide. (1p)d) Obtenga razonadamente el momento magnético del solenoide. (1p)e) Si en el eje del solenoide hay una corriente filiforme Ih calcule el coeficiente de inducción mutua entre el hilo y el solenoide. (3p)

c

Ih

Is

c

Ih

Is

a) La intensidad de campo magnético, según se indica en la pag. 5-63 y teniendo en cuenta la simetría entorno al eje, solo tiene componente según ϕ que no dependerá de ϕ

( )ϕρϕ ˆ, zHH =r

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En el exterior del solenoide (utilizando como línea de circulación una espira circular plana coaxial en un plano z=cte y como superficie el círculo dentro del plano) se ve que la corriente encerrada es cero y por tanto el campo es cero. Para una línea de Ampere

en el interior del solenoide se obtiene

Problema

sc

NIHldH ==⋅∫ ϕπρ2rr

πρϕ 2sNI

H =y por tanto

El campo presenta discontinuidades en las superficies entre los planos z=0 y z=c y los cilindros ρ=a y ρ=b. Las condiciones de salto son ( ) SS

JHHnrrr

=−× 12

Por tanto en z=0 será ( ) Ss

S

s JNINIzr

=−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−× ρ

πρϕ

πρˆ

20ˆ

2ˆ

( )ρ−sNI

πρ2

En efecto las corrientes van en dirección y la densidad superficial de corriente equivalente es la corriente dividida por el ancho atravesado

( ) Ss

S

s JNINIzr

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−× ρ

πρϕ

πρˆ

2ˆ

20ˆ

ρEn z=c es y se tiene la misma densidad superficial

pero según

Problema

( ) Ss

a

s Jza

NIa

NI r=−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −×

=

ˆ2

ˆ2

0ˆπ

ϕπ

ρρ

( ) Ss

b

s Jzb

NINI r==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−×

=

ˆ2

0ˆ2

ˆπ

ϕπρ

ρρ

En ρ=a resulta

y en ρ=b

que son las densidades superficiales equivalentes a las corrientes existentes.

b) Para calcular la energía almacenada solo hay que integrar en el interior del solenoide y será:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⋅= ∫ ∫ ∫∫∫∫

= = = abcINdzddNIdvHBW s

b

a

c

z

sm ln

222221 222

0 0

2

πµϕρρ

πρµ

ρ

π

ϕ

rr

c) El coeficiente de autoinducción es: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==

abcN

IWL

s

m ln2

2 2

2 πµ

El momento magnético de cada espira es ( )ϕˆ abcInSIm sse −==v

d) Al ir sumando a todas las espiras la suma vectorial resultante es cero si el numero de estas es muy grande 0==∑ emm vr

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Problema

ϕπρµ ˆ2

hIB =r

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅=Φ ∫ ∫

=

=

= abcIdzdI h

c

z

b

a

hB ln

2ˆˆ

201 π

µρϕϕπρµρ

ρ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=Φ=Φ

abcNIN h

BB ln21 πµ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Φ=

abcN

IL

h

Bhs ln

2πµ

e) La inducción creada por el hilo en el interior del solenoide es (aplicando Ampere):

Por tanto el flujo a través de una espira es

y el flujo sobre las N espiras

Finalmente, el coeficiente de inducción mutua vendrá dado por

Ejercicio (Sep-2003)

La figura muestra una línea de transmisión de longitud infinita formada por tres conductores cilíndricos indefinidos de radio a situados en el vacío, con sus ejes paralelos, en el mismo plano (y=0) y una separación D; siendo a<<D. Una corriente I0circula por el conductor central en el sentido z , y retorna distribuyéndose uniformemente por los conductores exteriores. Y

X

Z

D D

0I 20I20I

D Se pide que:

a) Calcule el campo B en el plano y=0 fuera de los conductores. (4p)

Al tratarse de conductores cilíndricos indefinidos el campo fuera de ellos puede calcularse como si fueran líneas de corriente indefinidas.

Al tratarse de corrientes lineales e indefinidas el punto de partida para su cálculo es el campo creado por una corriente filiforme I indefinida situada sobre el eje Z circulando según z ; este resultado se obtiene considerando que por simetría

y aplicando la ley de Ampère a un círculo z=cte centrado en el eje Z :( ) ( )ϕρϕ ˆHrH =rr

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Donde:

( ) ( ) 200

02

ˆ2

ˆ2·

r

rzIIrHrBHldHI

Cr

rrrrrrr

π

µπρφµ

µπρ φ×

===⇒== ∫yyxxr ˆˆˆ +== ρρr

Si la línea de corriente estuviera en , bastaría con hacer un cambio de coordenadas 1rr

( ) ( )2

0

2ˆ

I

I

rrrrzIrB rr

rrrr

−

−×=

πµ

En este problema las líneas están situadas en puntos y el cálculo se limita a puntos con lo que:

xxr II ˆ=r

xxr ˆ=r

( ) ( )( ) y

xxI

yxx

xxIrB

II

I ˆ2

ˆ2

02

0

−=

−

−=

πµ

π

µrr

Ahora sólo falta sustituir los datos de los tres conductores y superponer las contribuciones:

( ) Tˆ1124

00 yDxDxx

IrB ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

−−=

πµrr


b) Represente el resultado anterior. (1p)

d) Calcule el flujo del campo magnético entre el conductor central y el situado en x=D . (1p)

Como los conductores son indefinidos se calcula el flujo por unidad de longitud. Teniendo en cuenta el sentido de la corriente, el sentido positivo para el flujo es :y

( ) ( )[ ]

( ) ( )( ) wb/m2

ln42

ln4

lnlnln24

ˆ·ˆ1124

1

3

300

200

00000

0

aDaaDaDI

aDaD

aaD

aaDI

DxDxxI

dxdzyyDxDxx

I aDa

z

z

aD

aB

−+−

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

=+−−−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

−−=Φ −

+ −

∫ ∫

πµ

πµ

πµ

πµ l

ll

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d) Calcule el coeficiente de autoinducción por unidad de longitud de la línea. (3p)

H 80 πµ=liL H 80 πµ=liL H 80 πµ=liL

A efectos del coeficiente de inducción no se puede despreciar el radio de los conductores ni el campo en su interior, no obstante como a << D el campo en el interior de los conductores se puede considerar igual al de un solo hilo, para el que . En este caso los hilos externos están en paralelo entre si y su conjunto en serie con el central: .

H 80 πµ=liL

H 163 0 πµ=liL

El coeficiente de inducción externo se puede calcular a partir del flujo:

( ) ( )( ) H2

ln4 3

30

aDaaDaDLe −

+−=

πµ

l

El método de los tubos de flujo permite deducir que no es necesario duplicar esta contribución.

Sumando:( ) ( )

( ) H2

ln43

4 3

30

línea ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+−

+=aDa

aDaDLπµ

l


e) La f.em. inducida en esta línea de transmisión debida a una espira circular de radio a, contenida en el mismo plano y=0 y con su centro en xc=2D y por la que circula una corriente I0cosωt en el sentido indicado por la figura (tome como sentido positivo para la f.e.m. el definido para I0). (1p)

En este caso como no hay movimiento dtdIL

dtdimef e

elB

,... −=Φ

−=

El coeficiente de inducción mutua se calcula más fácilmente considerando el flujo creado por la corriente de la línea sobre la espira porque la expresión del campo de la línea es conocido y se puede considerar pequeña la espira:

( ) H 12

ˆ·ˆ2·1 20

, Da

ISnxDBSdB

IL

l

eelS el

lel

e

µ−=≈= ∫∫

rrr

Así pues: V sen12

....2

0 tDaimef ωωµ

=

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Problema

La figura muestra dos líneas bifilares idénticas, construidas con hilos de sección despreciable y colocadas paralelas en el plano XZ. La separación entre los conductores de cada línea es a y la separación entre los ejes de las líneas es D . Por la primera línea (la de la izquierda) circula una corriente de intensidad I0 y ninguna por la otra. Se pide:

a) Calcular la densidad de flujo magnético debido a I0 en los puntos del plano XZ. (3p)b) Indicar el sentido positivo del flujo a través de la segunda línea de acuerdo con los sentidos de circulación definidos en la figura. (1p)c) Calcule el flujo magnético por unidad de longitud a través de la segunda línea. (3p)d) Calcule el coeficiente de inducción mutua por unidad de longitud entre ambas líneas (1p)e) ¿Podría aplicar el resultado anterior al cálculo del coeficiente de inducción entre la primera línea y la espira cuadrada sombreada?. (1p)f) ¿Y entre la espira anterior y la que se podría definir de forma equivalente sobre la primera línea?. (1p)

a

a

X

Y

Z

D

0I

O

Para calcular la densidad de flujo magnético debido a la primera línea bifilar lo más simple es partir del campo creado por una línea indefinida de corriente a lo largo del eje Z, hacer los correspondientes cambios de origen de coordenadas para calcular la contribución de los dos hilos y después sumarlas.El campo creado por una línea de corriente sobre el eje Z:

Problema

a) Calcular la densidad de flujo magnético debido a I0 en los puntos del plano XZ. (3p)

( ) 2

ˆ2

ˆ2 r

rzIIrBLINEA r

rrr ×

==π

ϕπρµ

rr yyxxr ˆˆ +=rdonde es un vector de dos dimensiones definido en un plano z= cte

( ) ( )2

ˆ2

i

ii

rrrrzIrB rr

rrrr

−

−×=

πµ

irr rr irr rr −Si la línea pasa por , basta con sustituir por

( )2

12

ˆˆ 00

1 axyI

xxB−

=π

µrxar ˆ21 −=r 0II = xxr ˆ=rPara la línea y para

( )2

12

ˆˆ 00

2 axyI

xxB+

−=π

µrxar ˆ22 =

r0II −= xxr ˆ=rPara la línea y para

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Problema

Sumando ambas contribuciones: ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+

−=2

12

12

ˆˆ 00

axaxyI

xxBπ

µr

El sentido positivo de flujo a través de la segunda línea bifilar es yn ˆˆ =

b) Indicar el sentido positivo del flujo a través de la segunda línea de acuerdo con los sentidos de circulación definidos en la figura. (1p)

c) Calcule el flujo magnético por unidad de longitud a través de la segunda línea. (3p)

Para calcular el flujo sólo hay que aplicar la expresión a una longitud l y después dividirla entre ella:

( )( )2

00

2

2

00

2

2

00

ln22

2ln2

ˆ2

12

12

ˆ11 0

0

DaDaDI

axaxI

dxdzyaxax

yISdB

aD

aDx

aD

aDx

z

zSB

−+−=

−+

−=

=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−

=⋅=Φ

+

−=

+

−=

+

∫ ∫∫∫

πµ

πµ

πµl

l

rr

ll

l

Problema

d) Calcule el coeficiente de inducción mutua por unidad de longitud entre ambas líneas (1p)

Aplicando la definición: ( )( )

20

11,2 ln

21

DaDaD

IL B

−+−=Φ=

πµ

ll

e) ¿Podría aplicar el resultado anterior al cálculo del coeficiente de inducción entre la primera línea y la espira cuadrada sombreada?. (1p)

( )( )2

01,21, ln

2 DaDaDa

LaLespira−+

−==π

µl

La expresión anterior se puede utilizar porque la sustitución de la segunda línea por una espira cuadrada no afecta el campo generado por la primera línea y el flujo resultante es el correspondiente a una longitud a de línea

Para el caso de dos espiras no se puede aprovechar las expresiones anteriores ya que el campo correspondiente es diferente.

f) ¿Y entre la espira anterior y la que se podría definir de forma equivalente sobre la primera línea?. (1p)

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Ejercicio

cula6dSQ s2

Scubo ss ρρ == ∫∫

cula6QSdD s2

encerradaSesferaρ==⋅∫∫

rr

1.Calcule el flujo del vector de inducción eléctrica causado por una distribución superficial de carga de valor ρs cul/m2 en forma de cubo de lado a sobre una superficie esférica de radio b que rodea totalmente el cubo.

Puesto que la esfera encierra al cubo

La carga superficial asociada al cubo vale:

Ejercicio

La figura muestra una esfera conductora descargada situada entre dos láminas conductoras indefinidas y paralelas a potenciales –V0 y +V0. ¿Cuál será el potencial de la esfera? ¿Por qué?

Entre los planos el potencial debe tomar un valor intermedio a V0 y -V0. Dada la simetría el plano z=o debe estar a potencial V=0. Como el conductor es equipotencial toda la esfera tomara el valor V=0.

0V− 0V+

0=Q

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Ejercicio

Indique el valor, dirección y sentido de la fuerza que aparece entre una superficie plana indefinida de carga superficial uniforme, ρs (ρs>0) y una carga puntual q a una distancia d1.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<−

>==

02

02

0

0

zq

zq

qEFs

s

s

ερερ

ρ

rsρ1d q

Ejercicio

Dada una lámina conductora indefinida puesta a tierra de espesor d con dos cargas puntuales situadas como se muestra en la figura. ¿Qué fuerza se aplica a la carga situada en z=b?

( )z

dbqEqF q ˆ

24 20

2

−−

== − πε

srNewtons

Puesto que la lámina apantalla la carga de z=a, la fuerza es creada únicamente por una carga imagen creada por la carga de z=b

z=0

z=d/2

z=-a

q q

z=b z

z=-d/2

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Ejercicio

La figura muestra una distribución lineal de carga contenida en el plano z=0 y compuesta por un tramo semicircular, que tiene una densidad lineal de carga constante de valor λ1, y dos tramos rectos con λ2 ; el medio es el vacío. Se pide:a) La contribución del tramo semicircular al potencial en los puntos del eje Z (3p)b) La contribución de los tramos rectos al potencial en los puntos del eje Z (3p)c) La relación entre λ1 y λ2 que minimiza el potencial en los puntos del eje z tales que a<<|z| (3p)d) El valor del potencial para la relación entre λ1 y λ2 obtenida en c) para los puntos a<<|z| (1p)Nota: en todos los casos indique las unidades de los resultados en el sistema internacional.

X

Y

1λ2λ

2λa

aa

a

CaxSh

axdx

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+−∫ 1

22

a) al tratarse de una distribución lineal de carga en un medio homogéneo, lineal, isótropo e indefinido se puede aplicar la expresión

( ) ( )∫ ′

′−′

=L

l ldrrrr rr

rr ρ

πεφ

041

Ejercicio

Al tratarse de un tramo semicircular:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

′=′′′=′′′+′′=′

′=′+′′=′

⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤′≤=′=′

ϕϕϕϕϕρρρ

ρρρ

πϕπ

ρ

adldadddld

azzrz

aˆˆˆ

ˆˆˆ

2320

rr

Al pedirse el campo en el eje z: 22ˆ azrrzzr +=′−⇒=rrr

Sustituyendo: ( ) Vaz

aadaz

zz22

0

123

222

1

01

441ˆ

+=′

+= ∫ ε

λϕλπε

φπ

π

b) Nuevamente se trata de una distribución lineal de carga en un medio homogéneo, lineal, isótropo e indefinido, por lo que puede aplicarse el mismo procedimiento anterior, aunque al tratarse de dos tramos analíticamente independientes se debe aplicar para cada uno de ellos y después combinar las soluciones (principio de superposición). Esta tarea se simplifica ya que debido a la simetría entre ambos tramos respecto del plano y=0 ambas contribuciones son iguales y basta calcular una y multiplicarla por 2.

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Ejercicio

Calculando la contribución del tramo superior:

( )( ) ( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

′=′=′′−−=′−=′+′+′=′

′−+′=′+′+′=′

⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤′≤=′=′+′

ydxdldydyxxdyxzzdyydxxdld

yxaxxzzyyxxr

axz

ayx

22ˆˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆ

00

rr

Al pedirse el campo en el eje Z:

( ) ( ) 4222ˆ 222222 azaxzxaxrrzzr ++−′=+′−+′=′−⇒=rrr

( )( )

( )

V2

Sh242

2/Sh2

422Sh

44224

242224

1ˆ

22

1

0

222

1

0

2

022

1

0

2

0222

0

2

0222

2

0

aza

aza

azax

azax

xd

xdazax

zz

aa

a

+=

+=

=+

−′=

++−′

′=

=′++−′

=

−−

−∫

∫

πελ

πελ

πελ

πελ

λπε

φ

Ejercicio

Y sumando las contribuciones de los dos tramos, que resultan ser iguales:

( ) V2

Sh42

2/Shˆ22

1

0

222

1

0

2

aza

azazz

+=

+= −−

πελ

πελφ

c) El potencial para puntos alejados se puede aproximar por su desarrollo multipolar

( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

⋅+= Lr

rr

rr

304

1r

rprqrlej πε

φ

Para minimizarlo hay que anular el término más significativo, el de la carga total, lo que se consigue anulando ésta. En este caso:

( ) C2222 210 2

23

21 adxaddlq

a

LL λπλλϕλρ

π

π

+=+== ∫∫∫

Y para que se anule: 022 21 =+ λπλ

22/01/2009 EyM 7p -


Ejercicio

d) Si se cumple la condición anterior ( ) 304

1r

rprlej r

rrr ⋅=

πεφ

así que habría que calcular pr

pero como por la simetría de la estructura xpp ˆ=r

zzr ˆ=r

( ) 0ˆ =zzlejφ

y

resulta que

Examen Febrero 2008

22/01/2009 EyM 7p -


Ejercicio (T1 Feb 2008)ρ

Calcule en coordenadas cartesianas el operador divergencia aplicado al vector unitario de coordenadas cilíndricas ρ

( ) ( )23

22

2

23

22

22222

ˆˆˆ

ˆˆˆˆ

yx

x

yx

y

zz

yy

xx

yyx

yxyx

x

++

+=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

++

+=

=⋅∇ρ

ρ

Solución:

Ejercicio (T2 Feb 2008)ρ

Razone cuál es la carga total que produce, en un medio vacío y en puntos muy alejados, el siguiente potencial electrostático

( ) ( )2

cosr

krr

θ=Φ

>>

r

Este potencial corresponde al que crea un dipolo eléctrico de momento

zpp ˆ=r zpp ˆ=r zpp ˆ=r

,zpp =r

( ) ( )23 4

cos4 r

prrpr

r πεθ

πε=

⋅=Φ

>>

rrr , por lo que la carga total es nula.

Solución:

22/01/2009 EyM 7p -


Ejercicio (T3 Feb 2008)ρ zpp ˆ=r zpp ˆ=r zpp ˆ=r

Calcule la fuerza que sufre la carga puntual q de la figura situada a una distancia d de la pared plana del hueco semiesférico de la figura dentro de la esfera metálica puesta a masa (potencial nulo).

Solución:La fuerza que sufre la carga q la crean las tres cargas imágenes (ver la figura).

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−+

++

−== 22

022

02

0 4ˆ

4ˆ

44ˆ

dbdxdbq

dbdxdbq

dxqqEqF

πεπεπε

rr[Newtons]

a

b

z

qd

d

‐qqb/d ‐qb/d

b2 /d b2 /d


Las placas de un condensador plano se han alabeado separándose entre sí respecto de su posición original, pero sin cambiar su superficie como indica la figura. Razone si su nueva capacidad es mayor o menor que la original suponiendo una diferencia de potencial constante.

Solución:A potencial constante la separación de las placas por su alabeo disminuye la intensidad de campo, por lo que la carga disminuye a su vez también, y en definitiva la capacidad que es el cociente entre la carga y la diferencia de potencial.

22/01/2009 EyM 7p -



Calcule la resistencia del terminador de línea coaxial (los cilindros de radio a y b son los bornes metalizados, 0<a<b) de la figura formado por el material de conductividad σ.

( )abhC

ln2πε

=

Solución:

Aplicando dualidad y puesto que la capacidad de un condensador cilíndrico con

idénticas armaduras vale , la resistencia solicitada es [Ω]

σε=RC ( )

hab

CR

πσσε

2ln1

==


Calcule la densidad de corriente y la corriente asociada en un disco metálico (en las tapas y en la superficie lateral) de radio a y grosor t que soporta una carga superficial ρs y que rota a una velocidad ω rad/s.

Solución:Según la definición de corriente superficial

[A/m]

⎩⎨⎧−−

==LateralaTapas

vJs

sss ϕωρ

ϕωρρρ

ˆˆrr

222ˆ

2aatdlnJI ssc s ωρωρ +=⋅= ∫r

Por lo que la corriente total valdrá [Amperios]

22/01/2009 EyM 7p -



Caracterice las fuentes de corriente superficial que aparecen en la siguiente distribución de intensidad de campo magnético en el vacío expresada en coordenadas cilíndricas siendo k es una constante.

Solución:

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

>

<≤=

a

akrH

ρ

ρϕρ0

0ˆrr

( ) ( ) zak

akHHnJ

as ˆ0ˆˆˆ 12 −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −×=−×=

=ϕρ

ρ

rrr[A/m]

¿Hay alguna otra corriente? En caso afirmativo cómo es y cuanto vale


Calcule el campo magnético en el interior de una línea biplaca, cuya sección se representa en la figura, que contiene un material de permeabilidad µ>>µ0, que transporta una corriente I. Desprecie el efecto de bordes.

x

y

Solución:La hoja de corriente superior produce un campo magnético

( ) ( )

( )⎩⎨⎧−

=debajoxwIencimaxwI

rHˆ2ˆ2

1rr

( ) ( ) ( ) ( ) 2/

0ˆ

/0

ˆmWeber

fueradentroxwI

rBmAfuera

dentroxwIrH

⎩⎨⎧

=⇒⎩⎨⎧

=µrrrr

La hoja inferior produce un campo opuesto. El campo total es la suma de ambos, de modo que se refuerza en el interior y se cancela fuera:

22/01/2009 EyM 7p -



Razone el signo del coeficiente de inducción mutua entre las dos espiras cuadradas coplanarias de la figura. Los sentidos positivos de la corriente son los definidos en la figura.

Solución:

( )( )0

ˆˆ1_ ≤⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=−=

=⋅=Φ

= ∫∫aAA

aSA A

BB

ABAB ndSSd

nrBBSdB

IIM r

rrrr

ya que las líneas de campo son como las que se dibujan en la figura.


Obtenga la fuerza magnética que aparece entre la línea indefinida (corriente I1) y la espira cuadrada de lado L (corriente I2), ambas coplanarias, tal como muestra la figura.

Solución:

puesto que la componente en z se cancela entre los lados superior e inferior de la espira.

x

z

( ) ( )

( ) ( )

( ) NewtonsxLLd

IdII

xdzxIyzdxxBBldzdzld

zdxx

IyxdxxBBldxdxldBldIF

C

ˆ22

ˆ2

ˆˆˆ

ˆ2

ˆˆˆ

112

0

10

1

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=×=×=

=×=×==×= ∫

πµ

πµ

πµπµ

rrr

rrrrrr

22/01/2009 EyM 7p -


ρ Problema 1(Feb 2008)

Problema 1:La corona circular de la figura, de radio interior a y radio exterior b (0<a<b), situada en el vacío en un plano z=z1, está cargada con una densidad superficial de carga σ1 [C/m2] :

Y

Z

X

az1

b σ1

Y

Z

X

az1

b σ1


a) Calcule la intensidad de campo eléctrico en puntos del eje Z (3p).

zzrzzr

ˆ'ˆ''ˆ

1+==

ρρr

r

( )( ) 22

1

1

''

ˆ'ˆ'ˆ'

ρ

ρρ

+−=−

+−=−

zzrr

zzzzrrrr

rr

''' ϕρρ dddS =

( ) ( )( )( )

( )( )( )

( )( )

b

a

b

a

b

a zz

zzzd

zz

zzzdd

zz

zzzzzE

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−

−−=

+−

−=

+−

−−= ∫∫ ∫

== =22

1

1

0

1

' 23

221

11

0'

2

0' 23

221

11

0 'ˆ

2''

'

ˆ42''

'

'ˆ'ˆ4

1ˆ

ρεσ

ρρρ

σπεπϕρρ

ρ

ρρσ

πε ρρ

π

ϕ

r

( ) ( )

( ) ( )mVz

bzzazzzzzzE /ˆ

112

ˆ22

122

1

10

1

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−−

+−−=

εσr

( ) ( )∫∫ −

−=

S

dSrr

rrrE 31

0 ''

41

rr

rrrr σ

πεPara una distribución superficial de carga, situada en el vacío:

22/01/2009 EyM 7p -


Campo E de una corona circular de carga en el eje Z

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 120

Z(m)

E*2ε

o/σ 1

z1=20 a=2 b=20z1=20 a=2 b>>


( ) ]/[ˆ4 2

0

mVrr

QrEπε

=rr ( )CulombiosabQ 22

1 −= πσ


d) Se sitúa una distribución de idéntica geometría y densidad superficial de carga en z=-z1, Calcule la intensidad de campo eléctrico del conjunto en puntos del eje Z. (1p) ¿Qué relación debe haber entre σ1 y σ2 para que el campo se anule en el origen del sistema de coordenadas? (1p).

La intensidad de campo eléctrico se calcula aplicando el principio de superposición. Así, el campo debido a σ2 es formalmente igual al debido a σ1 sustituyendo σ1 por σ2 y z1 por -z1.

Para que el campo se anule en el origen del sistema de coordenadas, σ1=σ2, ya que la corona situada en z=z1 genera un campo negativo en z=0, mientras que la situada en z=-z1 genera un campo positivo en dicho punto.

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )mVz

bzzazzzz

bzzazzzzzzE /ˆ

112

112

ˆ22

122

1

10

2

221

221

10

1

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−−

++++

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−−

+−−=

εσ

εσr

22/01/2009 EyM 7p -



e) Si σ2=-σ1, calcule la intensidad de campo eléctrico en puntos alejados de la distribución (3p).

Dado que la carga neta de la distribución es nula, en puntos alejados de la distribución, el campo variará como:

siendo

Así:

con , por lo qué:

( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

⋅= p

rrrp

rrE r

rrrrr

230

34

1πε

∫∫='

'S

dSrp σrr

( ) ( )( ) ( ) ][ˆ2ˆ2'22''''ˆ'ˆ''''ˆ'ˆ 22

11

2

11'

2

0'11

'

2

0'11 mCzabzzzddzzddzzp

b

a

b

a

b

a

⋅−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=−+−++= ∫ ∫∫ ∫

= == =

σπρσπϕρρσρρϕρρσρρρ

π

ϕρ

π

ϕ

r

( ) [ ] ]/[ˆˆcos34

13

0

mVzprpr

rE −= θπε

rr θθθ ˆˆcosˆ senrz −=

( ) [ ] ]/[ˆˆcos24 3

0

mVsenrr

prE θθθπε

+=rr


Problema 3:La figura muestra una espira rectangular centrada sobre una línea bifilar indefinida, situadas ambas en el plano Se pide.:

LI

LI

Z

Y

d

a

b

1

2

Indique las unidades de los resultados.

22/01/2009 EyM 7p -



a) Calcule el campo magnético en los puntos del eje Y debido a una corriente que circule por la línea en el sentido indicado en la figura. (4p).

Se parte de que el campo generado por una línea de corriente de intensidad I sobre el eje Z es:

Como

Y si la línea pasa por

Para la línea de la derecha resulta:

Y para la línea de la izquierda:

La superposición de ambas:

ρϕ

πµ

= ˆ2

)( IrB rr

yxIzzyyB

xyyxyy

x ˆ2

)ˆˆ(ˆˆ0

ˆˆ00

πµ

−=+⇒⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=ϕ=ρ⇒<=ϕ−=ρ⇒<

⇒=r

yyr ˆ0=r

0

ˆ2

)ˆˆ(yy

xIzzyyB−π

µ−=+

r

2ˆ

2)ˆˆ(2 dy

xIzzyyB Ld −π

µ−=+

r

2ˆ

2)ˆˆ(2 dy

xIzzyyB Ld +π

µ=+

r

[weber] ˆ2

12

12

)ˆˆ( xdydy

IzzyyB LLínea ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+

=+π

µr


b) Calcule el flujo del campo magnético anterior a través de la espira de acuerdo al sentido de circulación señalado. (2p)

Directamente:

Nota:

c) Calcule el coeficiente de inducción mutua. (1p)

Coeficiente de inducción:

( )

[weber] ln2

12

12

ˆ·ˆ2

12

12

·

2

2

2

2

2

2

2

2,

dbdbaIdy

dydy

dyaI

dydzxxdydy

ISdB

Lb

b

b

b

L

a

az

b

by

L

SespiraLíneaB

espira

LineaEspira

−+

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

+=

=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+

==Φ

∫∫

∫ ∫∫∫

−−

−= −=

πµ

πµ

πµrr

[Henrios] ln,

, dbdba

IL

L

BLineaEspira

LineaEspira

−+

−=Φ

=πµ

0ln2

0ln2

22

22

0

22

0

0

22

22

22

22

22

2

2

)2/(

22

22

0

22

0

0

22

22

22

2/2

2

<−+

−=−−−=−==−

>−+

=++==+

∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫

+

−

−

+−

+

+−

+−

+−

−−=

+

−

−

+−

+

+−

+=

−

dbdb

tdt

tdt

tdt

tdt

tdt

dydy

dbdb

tdt

tdt

tdt

tdt

dydy

db

db

db

db

db

db

db

db

b

b

dyt

db

db

db

db

db

db

dytb

b

444 3444 21

444 3444 21

22/01/2009 EyM 7p -



d) Calcule la f.e.m.i. sobre la espira si IL = I0 sen(ωt).(1p)

e) Si la espira estuviera abierta según se indica en la figura, señale cual sería el borne positivo en el instante t=0. (1p)

En el instante t=0:

Con lo que las cargas positivas serían arrastradas en sentido definido como positivo en la figura: hacia el borne 1, que será el borne positivo.

[V] cosln... 0,,

, tdbdbaI

dtdIL

dt

diemf L

LineaEspiraB

LineaEspiraLineaEspira ω

πωµ

−+

=−=Φ

−=

V 0[V] ln... 00, ≥

−+

== dd

dbaIiemftLineaEspira π

ωµ


f) ¿Cómo influye en el resultado del apartado e) la elección del sentido de circulación tomado en el apartado b)? (1p)

La elección del sentido positivo en el apartado b) afecta al signo de los resultados numéricos de los apartados siguientes, pero los fenómenos físicos no se ven afectados, por lo que el borne positivo del apartado e) es siempre el signo con independencia de dicha elección.

¡No afecta!

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