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13Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 250 REAS Y PERÍMETROS DE FIGURAS SENCILLAS Halla el área y el perímetro de las figuras coloreadas de los siguientes ejercicios: 1 a) b) a) A = 5 2 = 25 dm 2 b) A = = 8 cm 2 P = 5 · 4 = 20 dm P = 8 + 5 + 4 = 17 cm 2 a) b) a) A = π · 5 2 78,5 dm 2 b) A = = 60 m 2 P = 2π · 5 31,4 dm P = 15 + 8 + 17 = 40 m 3 a) b) a) A = · 7 = 56 dm 2 b) A = 10 · 5 = 50 mm 2 P = 11 + 9,2 + 5 + 7 = 32,2 dm P = 2 · 10 + 2 · 5 = 30 mm 4 a) b) a) A = = 54 cm 2 b) A = = 75,6 hm 2 P = 9,5 · 4 = 38 cm P = 28 + 15 · 2 = 58 hm 28 · 5,4 2 18 · 6 2 15 hm 28 hm 5,4 hm 6 cm 18 cm 9,5 cm 11 + 5 2 5 mm 10 mm 5 dm 11 dm 7 dm 9,2 dm 15 · 8 2 8 m 17 m 15 m 5 m 8 · 2 2 5 cm 4 cm 2 cm 8 cm 2 cm 5 dm Á Pág. 1 Unidad 13. Áreas y perímetros

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13Soluciones a los ejercicios y problemas

PÁGINA 250

REAS Y PERÍMETROS DE FIGURAS SENCILLAS

Halla el área y el perímetro de las figuras coloreadas de los siguientes ejercicios:

1 a) b)

a) A = 52 = 25 dm2 b) A = = 8 cm2

P = 5 · 4 = 20 dm P = 8 + 5 + 4 = 17 cm

2 a) b)

a) A = π · 52 ≈ 78,5 dm2 b) A = = 60 m2

P = 2π · 5 ≈ 31,4 dm P = 15 + 8 + 17 = 40 m

3 a) b)

a) A = · 7 = 56 dm2 b) A = 10 · 5 = 50 mm2

P = 11 + 9,2 + 5 + 7 = 32,2 dm P = 2 · 10 + 2 · 5 = 30 mm

4 a) b)

a) A = = 54 cm2 b) A = = 75,6 hm2

P = 9,5 · 4 = 38 cm P = 28 + 15 · 2 = 58 hm

28 · 5,42

18 · 62

15 hm

28 hm

5,4 hm

6 cm

18 cm

9,5 cm

11 + 52

5 m

m

10 mm

5 dm

11 dm

7 dm 9,2 dm

15 · 82

8 m17 m

15 m

5 m

8 · 22

5 cm4 cm2 cm

8 cm

2 cm5 dm

Á

Pág. 1

Unidad 13. Áreas y perímetros

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13Soluciones a los ejercicios y problemas

5 a) b)

a) A = · 30 = 1 560 mm2 b) A = = 15,75 cm2

P = 57 + 47 + 2 · 30,4 = 164,8 mm P = 5 · 3 = 15 cm

6 a) b)

a) A = 9 · 4 = 36 dam2 b) A = ≈ 14,13 km2

P = 2 · 9 + 2 · 5 = 28 dam P = + 6 ≈ 9,42 dm

7 a) b)

a) A = = 172,8 cm2 b) A = · 12 = 474 cm2

P = 8 · 6 = 48 cm P = 36 + 20 + 43 + 15 = 114 cm

8 a) b)

a) A = π · 152 – π · 82 ≈ 505,54 m2 b) A = 72 – π · 3,52 ≈ 10,53 mm2

P = 2π · 15 + 2π · 8 ≈ 144,44 m P = 7 · 4 + 2π · 3,5 ≈ 49,98 mm

7 mm

15 m

8 m

43 + 362

8 · 6 · 7,22

12 cm20 cm15

cm

36 cm

43 cm

7,2 cm 6 cm

2π · 32

π · 32

2

6 km

4 dam5 da

m

9 dam

5 · 3 · 2,12

47 + 572

2,1 cm

3 cm

30 mm

57 mm

30,4 mm

47 mm

Pág. 2

Unidad 13. Áreas y perímetros

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13Soluciones a los ejercicios y problemas

9 a) b)

a) A = – ≈ 17,43 km2 b) A = · 120 ≈ 235,5 mm2

P = + 4 + 4 + 9,9 ≈ 22,61 km P = · 120 + 15 + 15 ≈ 61,4 mm

10 a) b)

a) A = – ≈ 0,98 m2

P = + + 0,5 + 0,5 ≈ 4,92 m

b) A = + ≈ 37,12 hm2

P = + 8,6 + 5 + 7 ≈ 28,45 hm

E D I R Y C A L C U L A R Á R E A S Y P E R Í M E T R O S

En cada una de las siguientes figuras coloreadas halla su área y su perímetro. Para ello,tendrás que medir algún elemento (lado, diagonal, radio…).

11 a) b)

a) A = 5,76 cm2 b) A = 4,52 cm2

P = 9,6 cm P = 7,54 cm

1,2 cm2,4 cm

M

2 · π · 54

π · 52

47 · 5

2

2π · 14

2π · 1,54

π · 12

4π · 1,52

4

5 hm 7 hm

8,6 hm1 m

0,5 m

2π · 15360

2 · π · 34

π · 152

360π · 32

47 · 7

2

120°8 mm

3 km

9,9 km

4 km

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13Soluciones a los ejercicios y problemas

12 a) b)

a) A = 4,8 cm2 b) A = 3,5 cm2

P = 8,8 cm P = 8 cm

13 a) b)

a) A = 4,3 cm2 b) A = 1,77 cm2

P = 8,5 cm P = 8,41 cm

PÁGINA 251

14 a) b)

a) A = 7,8 cm2 b) A = 3,3 cm2

P = 11,1 cm P = 7,4 cm

REAS Y PERÍMETROS DE F IGURAS PLANAS

15 Aquí tienes las áreas de varios cuadrados. Di, en cada caso, cuánto mide ellado.

ÁREA DEL CUADRADO LADO

16 cm2 4 cm

225 cm2 15 cm

36 mm2 6 mm

100 dam2 10 dam

ÁREA DEL CUADRADO LADO

16 cm2

225 cm2

36 mm2

100 dam2

Á

1,5 cm

2,2 cm

2,9 cm

3 cm

60°

1,6 cm

1,7

cm

1,6

cm

3,1 cm

1,5 cm

1,7 cm

1,8 cm0,5 cm

2 cm2,2 cm

1,6 cm

2,7 cm

2 cm

3,5 cm2,4 cm

2 cm

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13Soluciones a los ejercicios y problemas

16 Averigua cuánto mide la altura de un rectángulo de 40 m2 de superficie y 5 m de base.

17 Halla el área de un trapecio cuyas bases miden 12 cm y 20 cm, y su altura,10 cm.

A = · 10 = 160 cm2

El área del trapecio es 160 cm2.

18 Las medidas de los lados de un trapecio rectángulo son a = 9 m, b = 5 m,c = 12 m y d = 4 m. Los lados paralelos son a y c. Halla su área.

Área = · 4 = 42 m2

El área del trapecio es 42 m2

19 Las bases de un trapecio isósceles miden 26 cm y 14 cm; la altura, 8 cm, yotro de sus lados, 10 cm. Calcula el perímetro y el área de la figura.

A = · 8 = 160 cm2

P = 26 + 14 + 2 · 10 = 60 cm

20 El área de un triángulo es de 66 cm2; sus lados miden a = 20 cm, b = 11 cmy c = 13 cm. Calcula sus tres alturas y su perímetro.

P = 20 + 11 + 13 = 44 cm

6666 = 20 · a20 8 a20 = — = 3,3 cm20

6666 = 13 · a13 8 a13 = — ≈ 5,08 cm13

6666 = 11 · a11 8 a11 = — = 6 cm1120 m

a20

a11a13 13 m11 m

26 + 142

12 m

9 m

5 m4 m

12 + 92

12 + 202

40a = — = 8 m

5

La altura del rectángulo mide 8 m.

5 m

40 m2 a

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13Soluciones a los ejercicios y problemas

21 Los lados de un triángulo rectángulo miden 15 dm, 8 dm y 17 dm. Calculasu área y la altura sobre la hipotenusa.

A = = 60 dm2

120 = 8 ah = ≈ 7,06 dm

22 Calcula el área y el perímetro de un hexágono regular de 6 mm de lado y 5,2 mm de apotema.

A = = 93,6 mm2

P = 6 · 6 = 36 mm

23 En una circunferencia de 24 cm de radio trazamos una cuerda de 34 cm.Halla el área del segmento circular sabiendo que el ángulo central correspondien-te es de 90°.

ATRIÁNGULO

= = 288 cm2

ACÍRCULO

= π · 242 ≈ 1 808,64 cm2

ASEGMENTO CIRCULAR

= ACÍRCULO

– ATRIÁNGULO

= – 288 = 164,16 cm2

24 Calcula el área de la zona coloreada.

A = 52 + 42 + 32 – = 20 cm2(5 + 4 + 3) · 52

5 cm 4 cm 3 cm

1 808,644

14

24 · 242

24 cm90° O34

cm

6 · 6 · 5,22

12017

17 · ah2

15 · 82

15 dm

17 dm8 dm ah

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13Soluciones a los ejercicios y problemas

25 Calcula el área y el perímetro de las figuras coloreadas.

a)

A = 42 · 31 + 54 · 40 – 52 = 3 437 m2

P = 54 + 40 + 49 + 26 + 42 + 31 + 37 + 35 = 314 m

b) A = ≈ 51,29 cm2

P = + 2 · 7 ≈ 28,65 cm

c) A = 5 · 5 = 25 m2

P = 2 · π · 2,5 · 2 ≈ 31,4 m

2π · 73

π · 72

3

54 m

40 m

49 m

26 m31 m

35 m

5 m

5 m

37 m

42 m

7 cm

54 m

40 m

a)

c)

b)

5 m

2,5 m

49 m31 m

35 m

37 m

Pág. 7

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13Soluciones a los ejercicios y problemas

26 Halla el perímetro y el área de las siguientes figuras:

a)

b)

a) A = · 5 = 440 cm2

P = 2 · 8 · 5 = 80 cm

b) Como el triángulo es equilátero (ya que Aì

= 60°), AB—

= 2BC—

= 10 m.

A = · 60 – ≈ 8,83 m2

P = · 60 + 10 ≈ 20,47 m

PÁGINA 252

27 El perímetro del cuadrado rojo interior es de 32 cm.¿Cuál es el perímetro del cuadrado negro exterior?

Como vemos en la observación, el lado del cuadrado rojo interior es la mitad deldel cuadrado azul. Por el mismo motivo, el lado del cuadrado negro exterior es eldoble del del cuadrado azul. Así, el lado del cuadrado negro es cuatro veces el ladodel cuadrado rojo. El perímetro del cuadrado negro será cuatro veces el perímetrodel cuadrado rojo, es decir, 32 · 4 = 128 cm.

l

lObservación:

2π · 10360

10 · 8,72

π · 102

360

2 · 8 · 112

ìA = 60°

AB = 10 mAC = 8,7 cm

A

BC

OB = 11 cmAB = 8 cm

O

A

B

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13Soluciones a los ejercicios y problemas

28 Halla el área de la parte coloreada sabiendo que el diámetro de la circunfe-rencia grande es de 6 cm.

Radio circunferencia grande: R = 3 cm

Radio circunferencias pequeñas: r = 1 cm

A = π · 32 – 7 · π · 12 = 2π ≈ 6,28 cm2

29 ¿Cuál de los tres triángulos tiene mayor área (azul, naranja o verde)? Justificala respuesta.

Todos los triángulos tienen la misma área ya que la base y la altura son iguales paratodos ellos.

30 A y B son puntos fijos. El punto C puede estar situado en cualquier lugarde la circunferencia.

¿Dónde lo pondrás si quieres que el área del triángulo ABC sea la mayor posible?

Pondremos C en el punto más alto de la circunferenciapara que el área sea lo mayor posible. Esto es porque conla misma base, cuanto mayor sea la altura, mayor será elárea del triángulo.

C

A B

C C

C

A B

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13Soluciones a los ejercicios y problemas

REAS Y PER ÍMETROS UT I L I ZANDO E L T EOREMA DE P ITÁGORAS

En cada una de las siguientes figuras coloreadas halla su área y su perímetro. Para ello,tendrás que calcular el valor de algún elemento (lado, diagonal, apotema, ángulo…). Sino es exacto, halla una cifra decimal.

31 a) b)

a) a = = = 5,5 m

A = = 13,8 m2

P = 2 · 6 + 5 = 17 m

b) x = = = 24 m

A = = 84 m2

P = 24 + 7 + 25 = 56 m

32 a) b)

a) a = = = 12 m

A = 12 · 5 = 60 cm2

P = 12 · 2 + 5 · 2 = 34 cm

b) x = = = 28 m

A = = 2 520 m2

P = 53 · 4 = 212 m

33 a) b)

15 cm99 m

53 m

x

45 m2 · 28 · 90

2

√784√532 – 452

13 cm 5 cm

x

√144√132 – 52

90 m

53 m

5 cm 13 cm

7 m 25 m

x

24 · 72

√576√252 – 72

2,5 m

6 ma

6 · 5,52

√29,75√62 – 2,52

7 m 25 m

5 m

6 m

ÁPág. 10

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13Soluciones a los ejercicios y problemas

a) x 2 + x 2 = 992 8 2x2 = 9 801 8

8 x2 = 4 900,5 8 x = ≈ 70 m

A = 702 = 4 900 m2

P = 70 · 4 = 280 m

b) x = = ≈ 21,2 cm

A = π · 21,22 – π · 152 ≈ 704,7 cm2

P = 2π · 21,2 + 2π · 15 ≈ 227,3 cm

34 a) b)

a) x = = = 48 cm

A = = 5 280 cm2

P = 4 · 73 = 292 cm

b) x = = = 39

A = · 39 = 2 262 cm2

P = 98 + 89 + 18 + 39 = 244 cm

35 a) b)

a) x = = = 40 dam

A = · 40 = 2 480 dam2

P = 71 + 41 · 2 + 53 = 206 dam

b) x = = = 3,2 dm

A = · 3,2 ≈ 21,8 dm2

P = 5,6 + 4 + 8 + 3,2 = 20,8 dm

2,4 dm

5,6 dm

4 dm

x 8 + 5,62

√10,24√42 – 2,42

71 dam

41 dam

53 dam

9 dam

x53 + 71

2

√1 600√412 – 92

8 dm5,6 dm

4 dm

71 dam

41 dam

41 d

am

53 dam

98 cm

89 cm

80 cm

18 cm

x18 + 98

2

√1 521√892 – 802

73 cm

55 cmx

110 · 48 · 22

√2 304√732 – 552

98 cm

89 cm

18 cm

73 cm

110 cm

15 cm

15 cmx

√450√152 + 152

99 m

x

x√4 900,5

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13Soluciones a los ejercicios y problemas

36 a) b)

a) x = = ≈ 8,2 m

A = · 5 = 246 m2

P = 12 · 5 = 60 m

b) x = = = 7 cm

A = = 336 cm2

P = 4 · 25 = 100 cm

PÁGINA 25337 a) b)

a) x = = ≈ 8,7 m

A = · 60 – ≈ 8,8 m2

P = · 60 + 10 ≈ 20,5 m

b) (2x)2 + x2 = 82 8 5x2 = 82 8 x ≈ 3,6 mm

A = – ≈ 13 mm

P = 2 · 8 + 3,6 · 2 = 23,2 mm

38 Calcula la diagonal de un cuadrado de 28 cm de perímetro.

l = 28 : 4 = 7 cm

x = = ≈ 9,9 cm

La diagonal del cuadrado mide 9,9 cm.

7 cm

7 cm

x √98√72 + 72

8 mm

x x

x

x 3,6 · 2 · 3,62

3,6 · 2 · 3,6 · 22

10 m

5 m

x

2π · 10360

10 · 8,72

π · 102

360

√75√102 – 52

8 mm

x x

x

x

10 m60°

25 cm

25 cm24 cm

x

48 · 7 · 22

√49√252 – 242

12 m

6 m

10,2 mx

12 · 8,22

√68,04√10,22 – 62

25 cm

25 cm48 cm

12 m

10,2 m

Pág. 12

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13Soluciones a los ejercicios y problemas

39 Halla el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 42 cm y 40 cm.

l = = = 29 cm

P = 4 · 29 = 116 cm

40 Los lados paralelos de un trapecio rectángulo miden 110 m y 30 m, y el ladooblicuo mide 89 m. Determina su perímetro y su área.

x = = = 39 m

A = · 39 = 2 730 m2

P = 110 + 89 + 30 + 39 = 268 m

41 Halla el área de un triángulo equilátero de 60 dam de perímetro.

l = 60 : 3 = 20 dam

x = = ≈ 17,32 dam

A = = 173,2 dam2

42 Los lados de un triángulo miden 45 cm, 28 cm y 53 cm. Comprueba si es ono un triángulo rectángulo, halla su área y calcula la altura sobre el lado más largo.

532 = 2 809 cm2; 452 + 282 = 2 809 cm2

Como 532 = 452 + 282, es un triángulo rectángulo.

A = = 630 cm2

630 = 53 · ah 8 ah = ≈ 11,9 cm

La altura sobre la hipotenusa mide 11,9 cm.

43 Un hexágono regular está inscrito en una circunferencia de 6 cm de radio.Halla el área del recinto comprendido entre ambas figuras.

63053

45 · 282

10 dam

20 damx

20 · 17,322

√300√202 – 102

110 m

30 m

80 m

89 mx 30 + 1102

√1 521√892 – 802

20 cm

21 c

m l√841√212 + 202

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13Soluciones a los ejercicios y problemas

a = = ≈ 5,2 cm

AHEXÁGONO

= = 93,6 cm2

ACÍRCULO

= π · 62 ≈ 113,04 cm2

ARECINTO

= ACÍRCULO

– AHEXÁGONO

= 19,44 cm2

44 ¿Es regular este octógono?. Calcula su área y su perímetro.

El octógono no es regular ya que algunos lados miden 1 cm y otros ≈ 1,4 cm.

El área de un cuadrado de 1 cm de lado es 1 cm2. El octógono está formado por 5cuadrados de 1 cm2 y cuatro mitades. Esto es:

Área = 5 · 1 + · 1 = 7 cm2

45 Calcula el perímetro y el área de esta figura:

x = = ≈ 10,77 m

ARECTÁNGULO

= 18 · 8 = 144 m2

ATRAPECIO

= · 4 = 52 m2

A 1/2 CÍRCULO= ≈ 25,12 m2

ATOTAL

= ARECTÁNGULO

+ ATRAPECIO

– A 1/2 CÍRCULO= 144 + 52 – 25,12 = 170,88 m2

P = 18 + 8 + 10,77 + + 12 ≈ 61,33 m2π · 42

18 m

10 m

8 m

8 m

4 mx

4 m

π · 42

2

8 + 182

√116√102 + 42

18 m

8 m

8 m12 m

42

√2

1 cm

1 cm

3 cm

6 cm

a

6 · 6 · 5,22

√27√62 – 32

Pág. 14

Unidad 13. Áreas y perímetros

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13Soluciones a los ejercicios y problemas

46 Halla el perímetro y el área de esta figura:

x = = = 24 dm

ATRIÁNGULO

= = 120 dm2

A 1/2 CÍRCULO GRANDE= ≈ 226,08 dm2

A 1/2 CÍRCULO PEQUEÑO= ≈ 39,25 dm2

ATOTAL

= 120 + 226,08 + 39,25 = 385,25 dm2

P = 26 + + ≈ 79,38 dm

47 Calcula las dimensiones y el área de cada una de las siguientes secciones deun cubo:

a) x = = ≈ 4,24 cm

A = 4,24 · 6 = 25,44 cm2

P = 2 · 6 + 2 · 4,24 = 20,48 cm

b) x = = ≈ 6,71 cm

A = 6,71 · 6 = 40,26 cm2

P = 6,71 · 2 + 6 · 2 = 25,42 cmx

6 cm √45√62 + 32

x

6 cm

√18√32 + 32

6 cm

3 cm

3 cm

3 cm 6 cm

6 cm

6 cm6 cma) b)

2π · 122

2π · 52

π · 52

2

26 dm10 dm

x

π · 122

2

24 · 102

√576√262 – 102

26 dm

10 dm

Pág. 15

Unidad 13. Áreas y perímetros

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13Soluciones a los ejercicios y problemas

48 Determina el perímetroy el área de la siguiente figura:

x = = = 3

y = = = 12

z = = = 12,5 m

A① = = 6 m2; A② = = 30 m2; A③ = = 21 m2

A = 6 + 30 + 21 = 57 m2

P = 3,5 + 4 + 3 + 13 + 12,5 = 36 m

49 La figura roja no es un rombo, pero tiene las diagonalesperpendiculares. Justifica que también puedes calcular su áreamediante la fórmula:

ARECTÁNGULO

= D · d = 8 · 15 = 120 m2

Como vemos, A① = A②; A③ = A④; A⑤ = A⑥; A⑦ = A⑧

Por esto el área de la figura roja es la mitad del área del rectángulo. Así:

AFIGURA

= = = = 60 m21202

D · d2

ARECTÁNGULO

2

8 m

15 m

D · d2

3,5 · 122

5 · 122

4 · 32

√156,25√122 + 3,52

√144√132 – 52

√9√52 – 42

13 m4 m

3,5 m

5 m

Pág. 16

Unidad 13. Áreas y perímetros

13 m4 m

3,5 m

5 m

x

z

y

2

3

1

2

d = 8 m

D =

15

m

1

3

6 4

7

8

5

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13Soluciones a los ejercicios y problemas

50 Un salón cuadrado tiene una superficie de 50 m2. Hemos de embaldosarlocon losetas cuadradas de 25 cm de lado (se llaman losetas de 25 Ò 25). ¿Cuántaslosetas son necesarias?

ALOSETA

= 25 · 25 = 625 cm2

ASALÓN

= 50 m2 = 500 000 cm2

Para cubrir el salón se necesitan = 800 losetas.

51 Para cubrir un patio rectangular, se han usado 540 baldosas de 600 cm2

cada una. ¿Cuántas baldosas cuadradas de 20 cm de lado serán necesarias para cu-brir el patio, idéntico, de la casa vecina?

El patio tiene un área de 540 · 600 = 324 000 cm2 = 32,4 m2.

La superficie de una baldosa de 20 cm de lado es 20 · 20 = 400 cm2.

Por tanto, se necesitan = 810 baldosas de 20 cm de lado para cubrir el patio.324 000400

500 000625

Pág. 17

Unidad 13. Áreas y perímetros

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13Soluciones a las actividades de cada epígrafe

PÁGINA 240

Fíjate en los parterres que han colocado los jardineros en el parque in-fantil. Cada uno tiene una forma distinta. Vamos a averiguar la superfi-cie que ocupa cada uno de ellos.

1 Halla el área de la figura A. (Expresa el área en número de cuadraditos).

A 8 24 cuadraditos.

2 Descomponiendo y recomponiendo, halla el área de B, D y E.Calcula el área aproximada de la figura C.

B 8 15 cuadraditos

D 8 24 cuadraditos

E 8 45 – 9 – 12,5 = 23,5 cuadraditos

C

C

Pág. 1

Unidad 13. Áreas y perímetros

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13Soluciones a las actividades de cada epígrafe

La figura C es más pequeña que la figura azul, que tiene un área de 105,5 cuadra-ditos. Además, la figura C es más grande que la figura roja, que tiene un área de 78cuadraditos. Una buena aproximación es calcular la media aritmética de las doscantidades. Así:

C 8 = 91,75 cuadraditos.

PÁGINA 241

ANTES DE COMENZAR, RECUERDA

1 Un gran rollo de alambre pesa 16,72 kg. Un trozo de 80 cm de ese mismoalambre pesa 44 g. ¿Qué longitud tiene el alambre que hay en el rollo?

Como todo el rollo pesa 16,72 kg, se puede dividir en = 380 trozos de44 g cada uno.

Como cada uno de esos trozos mide 80 cm, en total tenemos que el rollo com-pleto mide 80 · 380 = 30 400 cm = 304 m.

2 500 folios tienen un grosor de 5,5 cm. ¿Cuál es el grosor de un folio?

El grosor de un folio será = 0,011 cm = 0,11 mm.

3 Un caminante ha comprobado que su zancada es de 90 cm y que, cuando mar-cha, da 620 pasos en 5 minutos. Va de un pueblo A a otro B en 1 h y 40minutos. ¿Qué distancia hay de A a B?

Como da 620 pasos en 5 minutos, en 1 h 40 min = 100 min, dará:

620 · = 12 400 pasos

Como cada paso son 90 cm, la distancia de A a B será:

12 400 · 90 = 1 116 000 cm = 11,16 km

4 Halla el área de cada una de las siguientes figuras descomponiéndolas y recom-poniendo un rectángulo.

1005

5,5500

16 72044

105,5 + 782

Pág. 2

Unidad 13. Áreas y perímetros

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13Soluciones a las actividades de cada epígrafe

8 A = 6 · 4 = 24 cuadraditos

8 A = 8 · 2 = 16 cuadraditos

8 A = 4 · 3 = 12 cuadraditos

5 Comprueba que estas figuras tienen iguales perímetros pero distintas áreas:

a) Perímetro = 2 · 6 + 2 · 2 = 16 lados de cuadraditos.

Área = 6 · 2 = 12 cuadraditos.

b) Perímetro = 2 · 5 + 2 · 3 = 16 lados de cuadraditos.

Área = 5 · 3 = 15 cuadraditos.

c) Perímetro = 4 · 4 = 16 lados de cuadraditos.

Área = 4 · 4 = 16 cuadraditos.

PÁGINA 242

Cálculo mental 1

Di el área de este rectángulo:

A = 4 · 2,5 = 10 cm2

4 cm

2,5 cm

AB

C

Pág. 3

Unidad 13. Áreas y perímetros

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13Soluciones a las actividades de cada epígrafe

Cálculo mental 2

¿Cuál es el lado de este cuadrado cuya área conocemos?:

l 2 = 81 8 l = = 9 cm

Cálculo mental 3

Halla el área de este paralelogramo:

A = 10 · 3,2 = 32 cm2

Y ahora, ya que conoces el área, ¿sabrías calcular la otra altura? Es decir, la distanciaentre los otros dos lados.

Como el área es 32 cm2, podemos decir que 32 = 4 · a 8 a = = 8 cm.

1 Calcula el perímetro y el área de una habitación rectangular de dimensiones 6,4 my 3,5 m.

Perímetro = 2 · 6,4 + 2 · 3,5 = 19,8 m

Área = 6,4 · 3,5 = 22,4 m2

2 Mide las dimensiones de una página de este libro. ¿Cuántos metros cuadrados depapel se han de necesitar para hacer el libro completo, sin contar las tapas?

El libro mide 22,5 cm de ancho por 29 cm de alto. Además, sin contar las tapas, ellibro tiene 280 páginas. Como se imprime por las dos caras del papel, en realidadtenemos 140 hojas. Así:

Área de una hoja = 22,5 · 29 = 652,5 cm2

Área total = 652,5 · 140 = 91 350 cm2 = 9,135 m2

Se necesitan 9,135 m2 de papel.

324

a4 cm

10 cm

3,2 cm4 cm

10 cm

√81

81 cm2 l ?

Pág. 4

Unidad 13. Áreas y perímetros

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13Soluciones a las actividades de cada epígrafe

3 ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado de 225 cm2 de área?

225 = l 2 8 l = = 15 cm

El lado del cuadrado mide 15 cm.

4 Halla la altura de un rectángulo de 47 m2 de superficie y 4 m de base.

47 = a · 4 8 a = = 11,75 m

La altura mide 11,75 m.

5 Halla el área y el perímetro de estos dos paralelogramos.Observa que, aunque el segundo es un rombo, su área sepuede calcular como la de un paralelogramo cualquiera.

PÁGINA 243

Cálculo mental

• Las diagonales de un rombo miden 6 cm y 10 cm. ¿Cuál es su área?

Área = = 30 cm2. El área del rombo es 30 cm2.

• La diagonal de un cuadrado mide 4 dm. ¿Cuál es su área?

Área = = 8 dm2. El área del cuadrado es 8 dm2.

• Las bases de un trapecio miden 13 cm y 7 cm. Su altura, 10 cm. ¿Cuál es su área?

Área = = 100 cm2. El área del trapecio es 100 cm2.(13 + 7) · 102

4 · 42

6 · 102

Romboide: Área = 6 · 4 = 24 m2

Perímetro = 2 · 6 + 2 · 5 = 22 m

Rombo: Área = 5 · 4 = 20 m2

Perímetro = 5 · 4 = 20 m

4 m

4 m

6 m

5 m

5 m

5 m

a

4 m

47 m2

474

√225

Pág. 5

Unidad 13. Áreas y perímetros

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13Soluciones a las actividades de cada epígrafe

6 Halla el área y el perímetro de las siguientes figuras:

a) Área = = 192 cm2

Perímetro = 4 · 14,4 = 57,6 m

b) Área = = 710 m2

Perímetro = 28 + 20 + 43 + 25 = 116 m

c) Área = = 330 m2

Perímetro = 2 · 13 + 23 + 37 = 86 m

d) Área = 24 · 5 = 120 m2

Perímetro = 4 · 13 = 52 m

7 Una parcela cuadrangular tiene dos lados paralelos de longitudes 37,5 m y 62,4 m.La distancia entre esos lados paralelos es 45 m.

¿Cuál es la superficie de la parcela?

Área = = 2 247,75 m2

El área de la parcela es 2 247,75 m2.

8 Las diagonales de un rombo miden 37 cm y 52 cm. Halla su área.

Área = = 962 cm2

El área del rombo es 962 cm2.

9 La diagonal de un cuadrado mide 15 cm. Halla su área.

Área = = 112,5 cm2

El área del cuadrado es 112,5 cm2.

15 · 152

37 · 522

(37,5 + 62,4) · 452

(23 + 37) · 112

(28 + 43) · 202

24 · 162

a) b)

c) d)

24 m

5 m11 m 13 m13 m

25 m20 m

23 m13 m

28 m

43 m

37 m

14,4 m

d =

16 m

d' = 24 m

Pág. 6

Unidad 13. Áreas y perímetros

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13Soluciones a las actividades de cada epígrafe

PÁGINA 244

Cálculo mental

Halla el área de este triángulo:

Área = = 15 m2

El área del triángulo es 15 m2.

1 Halla el área de esta parcela triangular de la que conocemos unlado, 20 m, y su altura, 13 m.

2 Halla el área de este triángulo.

Área = = 6 000 m2

3 Halla el área de un triángulo equilátero de 40 m de lado y 34,64 m de altura.

Área = = 692,8 m2

El área del triángulo es 692,8 m2.

4 De un triángulo rectángulo conocemos los tres lados: c = 18 cm, c' = 24 cm y h = 30 cm.

a) Calcula su área.

b) ¿Cuánto mide la altura sobre la hipotenusa?

a) Área = = 216 cm2

b) Área = 8 216 = 8 altura = 14,4 cm30 · altura2

h · altura2

18 · 242

40 · 34,642

240 · 502

240 m

50 m

20 · 13Área = —= 130 m2

2

El área de la parcela es 130 m2.

13 m

20 m

6 · 52

5 m

6 m

Pág. 7

Unidad 13. Áreas y perímetros

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13Soluciones a las actividades de cada epígrafe

PÁGINA 245

Cálculo mental

Halla el área y el perímetro de este cuadrilátero irregular.

1 Copia este polígono, continúa descomponiéndolo en triángulos y toma en elloslas medidas necesarias para calcular sus áreas. Halla, así, el área total.

A = + + + + = 16,325 cm2

2 El lado de un octógono regular mide 15 cm, y su apotema, 18 cm. Halla su área.

Área = = 1 080 cm28 · 15 · 182

2,1 · 2,32

2,8 · 2,32

4 · 2,72

4 · 1,72

2,7 · 1,42

1,7 cm

4 cm

2,7 cm

1,4 cm

2,7 cm

2,3 cm

2,3 cm

2,8 cm

2,1

cm

1,7 cm

4 cm

1,4 cm

2,7 cm

3 · 4Área triángulo pequeño = — = 6 m2

2

12 · 5Área triángulo grande = — = 30 m2

2

Área cuadrilátero = 6 + 30 = 36 m2

Perímetro cuadrilátero = 4 + 12 + 13 + 3 = 32 m4 m

3 m

13 m

12 m

5 m

Pág. 8

Unidad 13. Áreas y perímetros

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13Soluciones a las actividades de cada epígrafe

3 Recuerda que en el hexágono regular la longitud del lado es igual a la longitud delradio de la circunferencia circunscrita.

Dibuja un hexágono regular cuyo lado tenga una longitud l = 4 cm.

Comprueba que su apotema mide, aproximadamente, 3,5 cm.

Calcula su área.

Área = = 42 cm2

4 Calcula el área de la siguiente figura:

Área = 60 · 12 = 720 m2

Área = Área = Área = = 80 m2

Área figura = 720 + 3 · 80 = 960 m2

PÁGINA 246

1 Halla la superficie y el perímetro del recinto naranja:

Área = π · 402 – π · 202 = 1 200π ≈ 3 769,9 m2

Perímetro = 2π · 40 + 2π · 20 = 120π ≈ 376,99 m

20 m40

m

20 · 82

432

1

60 m

20 m

8 m

12 m

2 3

1

4

60 m

20 m

12 m

4 cm

3,5 cm 4 cm6 · 4 · 3,5

2

Pág. 9

Unidad 13. Áreas y perímetros

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13Soluciones a las actividades de cada epígrafe

2 Calcula el perímetro y el área de esta figura:

Área = – π · 102 = 100π ≈ 314,16 m2

Perímetro = + 2π · 10 = 40π ≈ 125,66 m

PÁGINA 247

3 Halla el área y el perímetro de esta figura:

Área = · 210 = 9,3π ≈ 29,32 dam2

Perímetro = · 210 + 4 + 4 ≈ 22,66 dam

4 Halla la longitud de un arco de circunferencia de 10 cm de radio y 40° de amplitud.

Longitud del arco = · 40 ≈ 6,98 cm

5 Calcula el área y el perímetro de esta figura:

Área = · 90 – · 90 ≈ 16,49 cm2

Perímetro = · 90 + · 90 + 3 + 3 ≈ 17 cm2π · 2 360

2π · 5 360

π · 22

360π · 52

360

90°

5 cm

2 cm

2π · 10 360

2π · 4 360

π · 42

360

210°

4 dam

2 · π · 20 2

π · 202

2

40 m

Pág. 10

Unidad 13. Áreas y perímetros

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13Soluciones a las actividades de cada epígrafe

6 Calcula el área de un sector circular de 20 cm de radio y 30° de amplitud.

Área = · 30 ≈ 104,72 cm2

PÁGINA 248

1 La diagonal de un rectángulo mide 65 cm y uno de sus lados, 33 cm. Halla su área.

x = = = 56 cm

Área = 33 · 56 = 1 848 cm2

2 El lado de un rombo mide 97 m y una de sus diagonales, 144 m. Halla su área.

x = = = 65 m

La otra diagonal del rombo mide:

2 · 65 = 130 m

Área = = 9 360 m2

3 En un trapecio rectángulo, las bases miden 45 m y 30 m, respectivamente. El ladooblicuo, 17 m. Halla su área.

x = = = 8 m

Área = · 8 = 300 m2

4 Halla el área de un trapecio isósceles cuyas bases miden 8,3 m y 10,7 m, y el otrolado, 3,7 m.

x = = = 3,5 m

Área = · 3,5 = 33,25 cm2

3,7 m

1,2 m

x

10,7 m

8,3 m

8,3 + 10,72

√12,25√3,72 – 1,22

17 m30 m

x

45 m

15 m 45 + 302

√64√172 – 152

x

97 m72 m

144 m

144 · 1302

√4 225√972 – 722

x

33 m65 m √3 136√652 – 332

π · 202

360

Pág. 11

Unidad 13. Áreas y perímetros

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13Soluciones a las actividades de cada epígrafe

PÁGINA 249

5 Halla el área de un triángulo equilátero de lado 15 cm.

a = = ≈ 13 cm

Área = = 97,5 cm2

6 Halla el área de un hexágono regular de 37 cm de lado.

a = = ≈ 32,04 cm

Área = = 3 556,44 cm2

7 Halla el área de un pentágono regular de radio 21 cm, y apotema, 17 cm.

x = Mitad del lado 8 x = = ≈ 12,33 cm

l = 2 · 12,33 = 24,66 cm

Área = = 1 048,05 cm2

8 En una circunferencia de radio 29 cm trazamos una cuerda de 29 cm. Halla el áreadel triángulo con base en esta cuerda y vértice opuesto en el centro de la circun-ferencia.

x = = ≈ 25,11 cm

Área triángulo = ≈ 364,1 cm2x

29 cm 14,5 cm

29 · 25,112

√630,75√292 – 14,52

21 cm

x17 cm 5 · 24,66 · 17

2

√152√212 – 172

18,5 cm

a37 cm

6 · 37 · 32,042

√1 026,75√372 – 18,52

37 cm

15 cm

7,5 cm

a 15 · 132

√168,75√152 – 7,52

Pág. 12

Unidad 13. Áreas y perímetros