Effetto delle Punte e problema dell’elettrostatica

2V

1V

20

2

10

121 44 R

QR

QVVV

πεπε====

1

2

22

11

2

1

//

RR

RVRV

EE ==

Effetto delle punte

L’effetto parafulmine

Nel caso del parafulmine, R2 ≅ 6000 Km è il raggio di curvatura della superficie terrestre mentre R1≅ 1 cm può essere assunto come il raggio di curvatura della superficie di un’asta metallica che funge da parafulmine, per cui E1/E2 ≅ 6 108

1

2

2

1

RR

EE

=

1E

2E

Tuoni e fulmini !!!

q+

q+

q− Q qQ +

Generatore di Van der Graaf

Rigidità dielettrica (V/m)

Il valore del campo elettrico massimo oltre il quale avvenga lascarica (FULMINE) prende il nome di RIGIDITA’ DIELETTRICA

6

6

6

6

10)400(2 vetro10)1000(1 mica

10)600(4 aparaffinat carta103 secca aria

⋅÷⋅÷

⋅÷⋅

Esame del 3.10.03

L’elettrodo sferico di un generatore di Van der Graaff ha un diametro d=2m e viene caricato con una corrente di intensità 10 µA. Se l’elettrodo è inizialmente scarico, quanto tempo occorre perché l’intensità del campo elettrico nelle immediate vicinanze dell’elettrodo raggiunga il valore E=2.106 V/m ?

Definiamo prima la corrente elettrica……

La corrente elettrica In una filo di rame in equilibrio elettrostatico tutti i punti hanno il medesimo potenziale e il campo elettrico è nullo. Collegando il filo ai poli di una batteria si fissa una d.d.p. ai suoi i capi, cioè un campo elettrico che accelera le cariche libere del filo, producendo così una corrente elettrica. Ben presto si raggiungono le condizioni di stazionarietà e la corrente diventa costante nel tempo.

i = dQdt

La carica totale che attraversa una sezione A vale:A

tQ

I = [ ] ampereA Cs 1 == −I

Se la carica varia nel tempo in modo non lineare

Valori tipici di correnti elettriche I (A)Circuiti integrati 10-12 - 10-6

Fascio di elettroni (tubo televisivo) 10-3

Lampadina 1Fulmine 104

Cavo superconduttore (A = 1 cm2) 107

Corrente elettrica

E

I

j

v dt

A

v

In un intervallo dt quanti portatori attraversano A?

τqNdQ =

Avdt=τ

dtvAqNdQ ⋅⋅⋅=vAqN

dtdQ

i ⋅⋅==

Esercizio VDG1

L’elettrodo sferico di un generatore di Van der Graaff ha un diametro d=2m e viene caricato con una corrente di intensità 10 µA. Se l’elettrodo è inizialmente scarico, quanto tempo occorre perché l’intensità del campo elettrico nelle immediate vicinanze dell’elettrodo raggiunga il valore E=2.106 V/m ?

== 204 r

QEr πε

V/m1024

62

0

⋅=∆rti

πε

s .222 s 1010

102146

620 ≈

⋅⋅⋅=∆ −

πεt C 022 µ=∆= tiQ

Esercizio VDG2 (22.4.2004)

L’elettrodo sferico di un generatore di Van der Graaffha un diametro d=2m. Se l’elettrodo è inizialmente scarico, quale è la corrente necessaria per caricare in 10ms il generatore perché l’intensità del campo elettrico nelle immediate vicinanze dell’elettrodo raggiunga il valore E=2.106 V/m ?

mA 2.22 A 1010

102143

620 ≈

⋅⋅⋅= −

πεi

Potenziale dovuto ad una carica lineare

( ) 212200 4

14

1

dx

dxr

dqdV

+== λ

πεπε

( )=

+== � �

L

dx

dxdVV

0 21

22041 λ

πε

Una sbarretta lunga L e sottile (spessore<<L) è carica positivamente con densità lineare di carica λ; quanto vale V(P)?

ddLL 22

0ln

4

++=πελ

( )=

+�L

dx

dx

0 21

2204πελ

ln4 0

22

0=�

���

�� ++=

L

dxxπελ

=�

�� −�

���

�� ++ ddLL lnln

422

0πελ

dQ

dLLd

00 44 πεπελ =≈

��

Il punto P è un punto qualsiasi

ϕϕ

ϕ

sincos

),,(),,(

ry

rx

zyxzr

==

=P

=−++

=222

0 )(

14 ςπε

ςλzyx

ddV

P

ςd z

y

x

220 )(

14 ςπε

ςλ−+

=zr

d

2200 )(

14

),(ςπε

ςλ−+

= � zr

dzrV

L

Lz

z

dd

z

−==

−=

=−

2

1

ηη

ηςης

220

14

),(ηπε

ηλ+

= �− r

dzrV

z

Lz

z

Lzr

−++= )ln(

422

0

ηηπελ

22

22

0 )(ln

4 LzrLz

zrz

−++−++=

πελ

Potenziale dovuto ad un disco carico

( )( )''2 dRRdq πσ=

( )( )( ) 2

12200 '

''24

14

1

Rz

dRRr

dqdV

+== πσ

πεπε

=== � rdq

dVVQ 04

1πε

Una disco (R) sottile è carico positivamente con densità superficiale di carica σ; quanto vale V(P) in un punto dell’asse del disco?

( ) =+�−

'''2 0

21

22

0dRRRz

R

εσ

����

�� −+= zRz 22

02εσ

zQ

zR

zRRz

00

2

0

2

444 πεπεσπ

εσ ==≈

��

Energia potenziale elettrica

120

2112 4 r

qqU

πε=

130

3113 4 r

qqU

πε=

230

3223 4 r

qqU

πε=

230

32

130

31

120

21231312 444 r

qqr

qqr

qqUUUUL

πεπεπε++=++==

ij

jN

ijj

N

ii r

qqU

0,11 421

πε��≠==

=

Lavoro richiesto per costruire il sistema di cariche, spostandone ciascuna da una distanza infinita alla posizione finale.

1q 3q

2q

01 =U

Elettrostatica nel vuoto

V−∇=E

0 0

=×∇=⋅∇ EEερ

0

2

ερ−=∇=∇⋅∇=⋅∇− VVE

0

2

ερ−=∇ V

1cV 2cV

02 =∇ V

Eq. di LaplaceEq. di Poisson

In un dielettrico lineare e isotropo [εεεε(x,y,z)]:

ερ−=∇ V2

Con le condizioni al contorno:

Equazioni di Poisson e di Laplace

Unicità soluzioni Eq. Poisson/Laplace

Dimostrazione per assurdo (Laplace): siano V1 e V2 soluzioni che coincidono sul contorno, dove pertanto : V1- V2=0

00 22

12 =∇=∇ VV ( ) 021

2 =−∇ VV

Applichiamo il th. della divergenza a ( ) ( )2121 VVVV −∇−

( ) ( )[ ] ( ) ( )�����∂

⋅−∇−=−∇−⋅∇�ττ

τ dSVVVVdVVVV n21212121

fff ∇⋅+⋅∇=⋅∇ AAAIntroduciamo l’identità:

Se due soluzioni coincidono sul contorno, allora esse sono uguali anche nello spazio delimitato dal contorno

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )��

������

∂⋅−∇−=

−∇+−∇−�

τ

ττττ

dSVVVV

dVVdVVVV

n2121

22121

221

Primo integrale nullo per eq Laplace, soddisfatta da V1 e V2Ultimo integrale nullo, essendo V1= V2 sul contorno

( )[ ]��� =−∇�τ

τ 0221 dVV

V reale ���� Gradiente reale ���� Quadrato >=0

Integrale nullo ���� argomento nullo

( ) 021 =−∇ VV costante21 =− VV

Condizione al contorno ���� costante nullacvd ovunque21 VV =�

Sovrapposizione degli EffettiDividere un problema in più problemi più semplici

Combinare le soluzioni per ottenere la risposta:LINEARITA’ EQ. LAPLACE E POISSON

( )1

21

22

21

221

2

VkkV

VVVV

∇=∇

∇+∇=+∇

Carica su un piano di massa

q+

z

dq+

q−

d

d−

z

≡conduttore

( ))()(

)()(0)()( essendo ,0

41

)0( −+−+

−+ ==��

�

�

��

�

� −+=+== rrr

qrq

VVzVπε

Infatti:

Il metodo appena visto è detto metodo delle immagini e può essere applicato a configurazioni di carica più complicate

conduttore

Compito del 2 luglio 2003

Si calcoli l’espressione del campo elettrico generato da due cariche puntiformi q1 e q2. q1=10µC ed è posta in (0,0.05,0.02) m, mentre q2=- 20µC ed è posta in (0,0.05,-0.02) m. Nel piano y=0 c’è un piano perfettamente conduttore.

z

y

q1

q2

z

y

q1

q2

q1i

q2i

Applicando il principio delle immagini…

2211 qiqiqqi −=−=

Possiamo ricavare dapprima il potenziale:

�

��

−+

−+

−+

−=

21210

21214

1)(

ii

qiqiqqV

rrrrrrrrr

πε

0.02)(0,-0.05,-

.02)(0,-0.05,0

.02)(0,0.05,-0

02)(0,0.05,0.),,(

2

1

2

1

=====

i

i

zyx

rrrrr

Quindi ricavare il campo elettrico

)()( rrE V−∇=