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ECUACIONES DE POISSON Y LAPLACE

Partiendo de:

vD ρ=•∇ (forma punto de Ley de Gauss) (1)

ED ε= (2)

VE ∇−= (3)

por sustitución de (3) en (2) y luego en (1) se tiene:

( ) ( ) vVED ρεε =∇•∇−=•∇=•∇

Ésta es la ecuación de Poisson para un medio NO homogéneo ( cte≠ε ), y se convierte en la ecuación de Laplace para un medio NO homogéneo si 0=vρ . Para una región homogénea (para la cual ε es constante):

ερvVV −=∇=∇•∇ 2 ; ec de Poisson (4)

De la definición de divergencia y gradiente:

2

2

2

2

2

2

zV

yV

xVV

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇•∇ (5)

Si la densidad volumétrica de carga es cero, 0=vρ , pero existen cargas puntuales, lineales y superficiales como fuentes de campo:

02 =∇ V ; ec de Laplace (6) Si se cumple ésta condición para una región específica, se dice que el campo eléctrico es armónico en esa región. Nota: Δ=∇2 en algunos textos. El operador “divergencia del gradiente” (DEL cuadrado) de un escalar se llama Laplaciano

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TEOREMA DE UNICIDAD Dado un volumen v con una superficie cerrada S. Solamente existe una función v(x,y,z) con valores en S (los valores o condiciones de frontera) que satisface la ecuación de Laplace. Aplicación: el teorema de la unicidad permite establecer parámetros acerca del potencial en una región libre de cargas si el potencial sobre la superficie de esa región es conocido. Es así como habrá solo una ecuación del potencial dentro de la región que satisfaga simultáneamente la ecuación de Laplace y las condiciones de frontera (cap. 5) De hecho el concepto puede extenderse a la ecuación de Poisson; así: “Las ecuaciones de Laplace y Poisson pueden resolverse por varios métodos, pero al aplicar las condiciones de frontera específicas LA SOLUCION ES UNICA!!!” DEMOSTRACION DE LA UNICIDAD Para dos campos potencial 1V y 2V soluciones de la ecuación de Laplace y funciones generales de las coordenadas espaciales, donde 0=vρ , se tiene que:

012 =∇ V y 02

2 =∇ V de lo cual:

022

12 =∇=∇ VV

( ) 021

2 =−∇ VV

Las soluciones deben satisfacer las condiciones de frontera, si los valores de las soluciones en la frontera se denotan por bV , dichos valores deben coincidir en la frontera:

bb VV 21 =

021 =− bb VV

En el apéndice A encontramos la identidad vectorial:

( ) VAAVAV ∇•+•∇≡•∇ (identidad 11. pág. 496) (7)

la cual es válida para cualquier escalar V y campo vectorial A ; si hacemos:

( )21 VVV −= y ( )1 2A V V= ∇ −

la ecuación (7) queda como:

3

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )212121212121 VVVVVVVVVVVV −∇•−∇+−∇•∇−≡−∇−•∇ (8)

la expresión (8) debe integrarse sobre el volumen encerrado por las superficies de frontera especificadas:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )dvVVVVdvVVVVdvVVVVvolvolvol∫∫∫ −∇•−∇+−∇•∇−≡−∇−•∇ 212121212121

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ] dvVVdvVVVVdvVVVV

volvolvol∫∫∫ −∇+−∇•∇−≡−∇−•∇

22121212121 (9)

aplicando el teorema de la divergencia al lado izquierdo de (9):

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 0

sup21212121 =•−∇−=−∇−•∇ ∫∫ sdVVVVdvVVVV

vol

la primera integral a la derecha de (9) es cero ya que:

( ) ( ) 0212

21 =−∇=−∇•∇ VVVV

de modo que (9) se reduce a:

( )[ ] 0221 =−∇∫ dvVV

vol

(ver nota al final de pág. 213) (10)

ya que ( )[ ] 02

21 >−∇ VV :

( ) 021 =−∇ VV (11)

para que (11) sea verdadera en todas partes:

cteVV =− 21 En la frontera:

021 =− bb VV

0=cte

por lo tanto:

21 VV =

es decir, las dos soluciones son la misma!!!. El teorema de unicidad también aplica a la ecuación de Poisson.

4

SOLUCION DE POISSON Y LAPLACE Antes de resolver, se debe tener presente los tres elementos que describen que la solución será única:

ερvV −=∇2

Ec. Poisson → material

homogéneo → ε es constante en toda la región a.) La ecuación diferencial apropiada: 02 =∇ V Ec. Laplace → ,material NO

homogéneo en el que 0=vρ

b.) La región o superficie de solución. c.) Las condiciones de frontera. Un problema no tendrá solución única si falta uno de estos elementos. PROCEDIMIENTO DE SOLUCION.

1. Resolver Poisson )0( ≠vρ o Laplace )0( =vρ aplicando: a. Integración directa (o inspección) cuando V solo dependa de una

coordenada (x,y,z,ρ,θ,Φ,r). b. Separación de variables si V no es función de una sola variable. →

Aquí la solución no es única, ya que depende de las constantes de integración desconocidas. 2. Aplicar las condiciones de frontera para determinar la solución única

para V. 3. Luego de obtener V hallar el campo eléctrico aplicando VE ∇−= , y

determinar la densidad de flujo eléctrico por medio de ED ε= . 4.

a. Si se desea encontrar la carga inducida en un conductor, utilizar

∫= dsQ sρ donde Ns D=ρ y ND es la componente del flujo

normal a la superficie del conductor. b. De ser necesario, determinar la capacitancia entre dos

conductores utilizando VQC =

EJEMPLOS DE LA SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE LAPLACE Ejemplo 1 Coordenadas cartesianas donde el potencial es función únicamente de x :

Las superficies equipotenciales son planos

dxVV 0=

dS

VQ

C ε==

0

5

Ejemplo 2 Coordenadas cilíndricas donde el potencial es función únicamente de ρ :

Las superficies equipotenciales son cilindros ( )( )abbVV

lnln

0ρ

=

( )abLC

ln2πε

=

Ejemplo 3 Coordenadas cilíndricas donde el potencial es función únicamente de φ :

Las superficies equipotenciales son planos radiales con su eje en z

αφ

0VV =

6

EJEMPLOS DE LA SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE POISSON

7

La densidad volumétrica de carga que se presenta en la figura anterior parte a) se puede aproximar por medio de:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

ax

axhvv tanhsec2 0ρρ (12)

al resolver la ec de Poisson sujeta a la distribución de carga anterior:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

ax

axh

dxVd v tanhsec2 02

2

ερ

integrando una vez con respecto a x :

10 sec2 C

axha

dxdV v +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

ερ (13)

si se multiplica (13) por –1 se obtiene la expresión para el campo eléctrico:

10 sec2 C

axhaE v

x −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

ερ

puesto que no puede existir campo eléctrico muy lejos de la unión, la condición de frontera para encontrar 1C es que ( ) 0=∞±xE , de modo que 01 =C y:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

axhaE v

x sec2 0

ερ (14)

Al integrar (13):

( ) 21

20 tan4 CeaV axv += −

ερ

se selecciona el origen como referencia de voltaje, 0)0( =V y 4

4 20

2π

ερ aC v−= ,

por lo que:

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −= −

4tan4 1

20 πε

ρ axv eaV (15)

La diferencia de potencial total a través de la unión se obtiene:

επρ 2

00

2 aVVV vxx =−= −∞→∞→ (16)

Para determinar la carga a un lado de la unión:

8

aSdxax

axhSQ vv 00 0 2tanhsec2 ρρ =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫

∞ (17)

Despejando a de (16) y sustituyendo (17):

περ 002 VSQ v= (18)

puesto que ( )0VfQ = , para definir la capacitancia:

dtdVC

dtdQI 0== y

0dVdQC =

realizando la derivada:

aSS

VC v

πε

περ

22 0

0 == (19)

REFERENCIAS Hayt W.: Teoría Electromagnética, McGraw-Hill, 5ª Edición, 1991. Sadiku M.: Elementos de Electromagnetismo, CECSA, 2ª Edición, 2004.