Ec Diferencia Les 12

186 Metodo de separacion de variables

2.8 Solucion de los problemas multidimensionales

1.- El problema bidimensional de autovalores es el problema de Dirichlet en [0, `1] [0, `2]

(vxx + vyy) = v, en [0, `1] [0, `2]v(t, 0, y) = v(t, `1, y) = 0, t [0,+), y [0, `2]v(t, x, 0) = v(t, x, `2) = 0, t [0,+), x [0, `1].

[PA]

Por tanto, si {l}l=0 es la sucesion de autovalores y {vl}l=0 la correspondiente base ortonormal deautofunciones de [PA], la solucion del problema se expresa en la forma

u(t, x, y) =l=0

Tl(t)vl(x, y),

donde para cada l N, Tl es el coeficiente de Fourier de u respecto de vl.Para calcular los autovalores y autofunciones del problema [PA], consideremos los problemas

de autovalores unidimensionales

[P1] (x) = (x); (0) = (`1) = 0,[P2] (y) = (y); (0) = (`2) = 0.

y sean {n}n=1 la sucesion de autovalores y {n}n=1 la correspondiente base ortonormal de auto-funciones del problema [P1] y {m}m=1 la sucesion de autovalores y {m}m=1 la correspondientebase ortonormal de autofunciones del problema [P2]. Sabemos entonces que la sucesion de au-tovalores y la correspondiente base ortonormal de autofunciones del problema [PA] estan dadosrespectivamente por

nm = n + m, vnm(x, y) = n(x)m(y), n,m N.

Como los problemas [P1] y [P2] son problemas de Dirichlet, sus autovalores y autofunciones estandados respectivamente por

n =n2pi2

`21; n(x) =

2`1

sen(npi`1

x), n N;

m =m2pi2

`22; m(y) =

2`2

sen(mpi`2

y), m N.

Por tanto, la sucesion de autovalores y la correspondiente base ortonormal de autofunciones de[PA] estan dados por

nm =pi2

`21`22

(`22n

2 + `21m2), vnm(x, y) =

2`1`2

sen(npi`1

x)

sen(mpi`2

y), n,m N.

Por otra parte, para cada n,m N, Tnm, el coeficiente de Fourier de u respecto de vnm, debe sersolucion del problema de valor inicial T nm(t) + nmTnm(t) =

2`1`2

Fnm(t), Tnm(0) = 2`1`2 fnm,

Solucion de los problemas multidimensionales 187

donde

Fnm(t) = `

0

`0F (t, x, y) sen

(npi`1

x)

sen(mpi`2

y)dx dy

fnm = `

0

`0f(x, y) sen

(npi`1

x)

sen(mpi`2

y)dx dy

lo que implica que

Tnm(t) = enmt2`1`2

(fnm +

t0enmsFnm(s) ds

).

Por tanto la solucion del problema es

u(t, x, y) =4`1`2

n,m=1

enmt(fnm +

t0enmsFnm(s) ds

)sen(npi`1

x)

sen(mpi`2

y)

2.- Como el problema de autovalores tridimensional asociado es el problema de Neumann el el cubo[0, `]3,

(vxx + vyy + vzz) = v;vx(0, y, z) = vx(`, y, z) = 0, y, z [0, `]vy(x, 0, z) = vy(x, `, z) = 0, x, z [0, `]vz(x, y, 0) = vz(x, y, `) = 0, y, z [0, `]

[PA],

si {l}l=0 es la sucesion de autovalores y {vl}l=0 la correspondiente base ortonormal de autofun-ciones de [PA], expresaremos la solucion del problema en la forma

u(t, x, y, z) =l=0

Tl(t)vl(x, y, z),

donde para cada l N, Tl es el coeficiente de Fourier de u respecto de vl.Para calcular los autovalores y autofunciones del problema [PA], consideremos {n}n=1 la suce-

sion de autovalores y {n}n=1 la correspondiente base ortonormal de autofunciones del problemade contorno (problema de Neumann unidimensional)

[P] (x) = (x); (0) = (`) = 0.

Sabemos entonces que la sucesion de autovalores y la correspondiente base ortonormal de autofun-ciones del problema [PA] estan dados respectivamente por

nmk = k + n + m, vknm(x, y, z) = k(x)n(y)m(z), k, n,m N

y como los autovalores y las autofunciones de [P] son

k =k2pi2

`, k N, 0 =

1`, k(x) =

2`

cos(k pi`x), k N,


resulta que la sucesion de autovalores de [PA] esta dada por

knm =pi2

`2(k2 + n2 +m2), k, n,m N

y la correspondiente base ortonormal de autofunciones esta dada por

v000(x, y, z) =1

``;

vk00(x, y, z) =1`

2`

cos(k pi

`x

), k N;

v0n0(x, y, z) =1`

2`

cos(npi

`y

), n N;

v00m(x, y, z) =1`

2`

cos(mpi

`z

), m N;

vkn0(x, y, z) =2

``

cos(k pi

`x

)cos

(npi

`y

), k, n N;

vk0m(x, y, z) =2

``

cos(k pi

`x

)cos

(mpi

`z

), k,m N;

v0nm(x, y, z) =2

``

cos(npi

`y

)cos

(mpi

`z

), n,m N;

vknm(x, y, z) =2

2``

cos(k pi

`x

)cos

(npi

`y

)cos

(mpi

`z

), k, n,m N.

Por otra parte, como para cada k, n,m N, Tknm, el coeficiente de Fourier de u respecto de vknm,debe ser solucion del problema de valor inicial

T knm(t) + knmTknm(t) = 0, Tknm(0) = fknm = `

0

`0

`0f(x, y, z)vknm(x, y, z) dx dy dz,

obtenemos que Tknm(t) = fknmeknmt y por tanto que

u(t, x, y, z) =k=0

n=0

m=0

fknm eknmt vknm(x, y, z),

es decir,

u(t, x, y, z) =k=0

n=0

m=0

fknm e pi2`2

(k2+n2+m2) k(x)n(y)m(z)

Por ultimo, en el caso particular en el que f(x, y, z) = x y z, aplicando el Teorema de Fubini,obtenemos que

fknm = `

0

`0

`0x y z k(x)n(y)m(z) dx dy dz

=

( `0xk(x) dx

)( `0y n(y) dy

)( `0z m(z) dz

)


y por tanto,

f000 =1

``

( `0s ds

)3=`4`

8;

fk00 =1`

2`

( `0s ds

)2( `0x cos

(k pi

`x

)dx

)=`4

2 `4 k2pi2

((1)k 1

), k N;

f0n0 =1`

2`

( `0s ds

)2( `0y cos

(npi

`y

)dy

)=`4

2 `4n2pi2

((1)n 1

), n N;

f00m =1`

2`

( `0s ds

)2( `0z cos

(mpi

`z

)dz

)=`4

2 `4m2pi2

((1)m 1

), m N;

fkn0 =2

``

( `0z dz

)( `0x cos

(k pi

`x

)dx

)( `0y cos

(npi

`y

)dy

)

=`4`

k2n2pi4

((1)k 1

) ((1)n 1

), k, n N;

fk0m =2

``

( `0y dy

)( `0x cos

(k pi

`x

)dx

)( `0z cos

(mpi

`z

)dz

)

=`4`

k2m2pi4

((1)k 1

) ((1)m 1

), k,m N;

f0nm =2

``

( `0x dx

)( `0y cos

(npi

`y

)dy

)( `0z cos

(mpi

`z

)dz

)

=`4`

n2m2pi4

((1)n 1

) ((1)m 1

), n,m N;

fknm =2

2``

( `0x cos

(k pi

`x

)dx

) ( `0y cos

(npi

`y

)dy

)( `0z cos

(mpi

`z

)dz

)

=2 `4

2 `k2n2m2pi6

((1)k 1

) ((1)n 1

) ((1)m 1

), k, n,m N.

3.- El problema bidimensional de autovalores es el problema de Dirichlet en [0, `1] [0, `2]

(vxx + vyy) = v, en [0, `1] [0, `2]v(t, 0, y) = v(t, `1, y) = 0, t [0,+), y [0, `2]v(t, x, 0) = v(t, x, `2) = 0, t [0,+), x [0, `1].

[PA]


u(t, x, y) =l=0

Tl(t)vl(x, y),


donde para cada l N, Tl es el coeficiente de Fourier de u respecto de vl. Como el anteriorproblema de autovalores es el mismo que el del Problema 1, resulta que su sucesion de autovaloresy la correspondiente base ortonormal de autofunciones de [PA] estan dados por

nm =pi2

`21`22

(`22n

2 + `21m2), vnm(x, y) =

2`1`2

sen(npi`1

x)

sen(mpi`2

y), n,m N.

Por otra parte, para cada n,m N, Tnm, el coeficiente de Fourier de u respecto de vnm, debe sersolucion del problema de valor inicial

T nm(t) + nmTnm(t) =2`1`2

Fnm(t), Tnm(0) =2`1`2

fnm, Tnm(0) =

2`1`2

gnm,

donde

Fnm(t) = `1

0

`20

F (t, x, y) sen(npi`1

x)

sen(mpi`2

y)dx dy,

fnm = `1

0

`20

f(x, y) sen(npi`1

x)

sen(mpi`2

y)dx dy,

gnm = `1

0

`20

g(x, y) sen(npi`1

x)

sen(mpi`2

y)dx dy.

Por tanto, si consideramos nm =nm =

pi

`1`2

`22n

2 + `21m2, resulta que

Tnm(t) =2`1`2

1nm

(gnmsen(nmt) + nmfnmcos(nmt) +

t0

sen(nm(t s))Fnm(s) ds).

Por tanto la solucion del problema es

u(t, x, y) =4`1`2

n,m=1

1nm

(gnmsen(nmt) + nmfnmcos(nmt)

)sen(npi`1

x)

sen(mpi`2

y)

+4`1`2

n,m=1

1nm

( t0

sen(nm(t s))Fnm(s) ds)

sen(npi`1

x)

sen(mpi`2

y)

4.- El problema tridimensional de autovalores es el problema de Dirichlet en C = [0, `]3

(vxx + vyy + vzz) = v, en C,v(t, 0, y, z) = v(t, `, y, z) = 0, t [0,+), y, z [0, `],v(t, x, 0, z) = v(t, x, `, z) = 0, t [0,+), x, z [0, `],v(t, x, y, 0) = v(t, x, y, `) = 0, t [0,+), x, y [0, `].

[PA]


u(t, x, y, z) =l=0

Tl(t)vl(x, y, z),


donde para cada l N, Tl es el coeficiente de Fourier de u respecto de vl.Para calcular los autovalores y autofunciones del problema [PA], consideremos {n}n=1 la suce-

sion de autovalores y {n}n=1 la correspondiente base ortonormal de autofunciones del problemade contorno (problema de Dirichlet unidimensional)

[P] (x) = (x); (0) = (`) = 0.

Sabemos entonces que la sucesion de autovalores y la correspondiente base ortonormal de autofun-ciones del problema [PA] estan dados respectivamente por

nmk = k + n + m, vknm(x, y, z) = k(x)n(y)m(z), k, n,m N

y como los autovalores y las autofunciones de [P] son

k =k2pi2

`, k(x) =

2`

sen(k pi`x), k N,

resulta que la sucesion de autovalores y la correspondiente base ortonormal de autofunciones de[PA] estan dados por

nmk =pi2

`2(n2 +m2 + k2), vnmk(x, y, z) =

2`

2`

sen(npi`x)sen(mpi`

y)sen(mpi`

z), n,m, k N

y la correspondiente base ortonormal de autofunciones esta dada por Por otra parte, como paracada k, n,m N, Tknm, el coeficiente de Fourier de u respecto de vknm, debe ser solucion delproblema de valor inicial

T nmk(t)+2rTnmk(t)+nmkTnmk(t) =

2`

2`Fnmk(t), Tnmk(0) =

2`

2`fnmk, T

nmk(0) =

2`

2`gnmk,

donde

Fnmk(t) = `

0

`0

`0F (t, x, y, z) sen

(npi`x)

sen(mpi`y)

sen(kpi`z)dx dy dz

fnmk = `

0

`0

`0f(x, y, z) sen

(npi`x)

sen(mpi`y)

sen(kpi`z)dx dy dz

gnmk = `

0

`0

`0g(x, y, z) sen

(npi`x)

sen(mpi`y)

sen(kpi`z)dx dy dz.

Como Pnmk(X) = (X + r)2 + nmk r2 es el polinomio caracterstico de la EDO que determinaTnmk, la expresion de sus races depende de si nmk es mayor, menor, igual a r2. Por simplicidadsupondremos aqu que `2r2 < 3, de manera que nmk > r2 para cada n,m, k N. As, siconsideramos nmk =

nmk r2, resulta que

Tnmk(t) =2`

2`

ert

nmk((gnmk + rfnmk) sen(nmkt) + nmkfnmkcos(nmkt))

+2`

2`

ert

nmk

t0ersFnmk(s) sen(nmk(t s)) ds


y por tanto la solucion del problema es

u(t, x, y, z) =8 ert

`3

n,m,k=1

(gnmk + rfnmk)

nmksen(nmkt) + fnmkcos(nmkt) sen

(npi

`x)

sen(mpi

`y)

sen(kpi

`z)

+8 ert

`3

n,m.k=1

1

nmk

( t0

ersFnmk(s) sen(nmk(t s)) ds)

sen(npi

`x)

sen(mpi

`y)

sen(kpi

`z)

En particular, si g = 0, f es constante y F (t, x, y, z) = ertx y z, entonces para cada n,m, k Nse tiene que gnmk = 0 y tambien que

fnmk =f `3

pi3n3m3k3

(1 (1)n

) (1 (1)m

) (1 (1)k

)y Fnmk(t) = ert `

6

pi3nmk(1)n+m+k,

de manera que en este caso, la solucion del problema es

u(t, x, y, z) =8 f ert

pi3

n,m,k=1

cnmkn3m3k3nmk

(r sen(nmkt) + nmkcos(nmkt)

)sen(npi

`x)

sen(mpi

`y)

sen(kpi

`z)

8 `3ert

pi3

n,m.k=1

(1)n+m+knmk 2nmk

(1 cos(nmkt)

)sen(npi

`x)

sen(mpi

`y)

sen(kpi

`z),

con cnmk =(1 (1)n

) (1 (1)m

) (1 (1)k

).

5.- Como las condiciones de contorno en las variables x e y son homogeneas, el problema bidimen-sional de autovalores es el problema de Dirichlet en [0, `1] [0, `2]

vxx + vyy = v, en [0, `1] [0, `2],v(0, y, z) = v(`1, y, z) = 0, y [0, `2], z [0, `3],v(x, 0, z) = v(x, `2, z) = 0, x [0, `1], z [0, `3].

[PA]


u(x, y, z) =l=0

Tl(z)vl(x, y),

donde para cada l N, Tl es el coeficiente de Fourier de u respecto de vl.Para calcular los autovalores y autofunciones del problema [PA], consideremos los problemas

de autovalores unidimensionales

[P1] (x) = (x); (0) = (`1) = 0,[P2] (y) = (y); (0) = (`2) = 0.

y sean {n}n=1 la sucesion de autovalores y {n}n=1 la correspondiente base ortonormal de auto-funciones del problema [P1] y {m}m=1 la sucesion de autovalores y {m}m=1 la correspondiente


base ortonormal de autofunciones del problema [P2]. Sabemos entonces que la sucesion de au-tovalores y la correspondiente base ortonormal de autofunciones del problema [PA] estan dadosrespectivamente por

nm = n + m, vnm(x, y) = n(x)m(y), n,m N.

Como los problemas [P1] y [P2] son problemas de Dirichlet, sus autovalores y autofunciones estandados respectivamente por

n = n2pi2

`21; n(x) =

2`1

sen(npi`1

x), n N;

m = m2pi2

`22; m(y) =

2`2

sen(mpi`2

y), m N.


nm = pi2

`21`22

(`22n

2 + `21m2), vnm(x, y) =

2`1`2

sen(npi`1

x)

sen(mpi`2

y), n,m N.

Por otra parte, para cada n,m N, Tnm, el coeficiente de Fourier de u respecto de vnm, debe sersolucion del problema de contorno mixto en [0, `3]

T nm(z) + nmTnm(z) = 0, Tnm(0) =

2`1`2

fnm, Tnm(`3) = 0,

donde fnm = `1

0

`20

f(x, y) sen(npi`1

x)

sen(mpi`2

y)dx dy.

Por tanto, si para cada n,m N consideramos nm =nm = pi

`1`2

`22n

2 + `1m2, entonces

Tnm(z) = 2`1`2

fnmnmch(nm`3)

sh(nm(`3 z)),

lo que implica que

u(x, y, z) = 4`1`2

n,m=1

fnmnmch(nm`3)

sh(nm(`3 z)) sen(npi`1

x)

sen(mpi`2

y)

En particular, si f(x, y) = sen( pi`1x)

sen(3pi`2y)

= sen( pi`1x) sen

( pi`1x)

cos2( pi`2y), entonces para

cada n,m N se tiene que

fnm =

( `10

sen( pi`1x)

sen(npi`1

x)dx

)( `20

sen(3pi`2y)

sen(mpi`2

y)dy

)


lo que implica que fnm = 0 si n 2 o si m 6= 3 y ademas que f13 = `1`24 . En definitiva, en estecaso se tiene que

u(x, y, z) = 113ch(13`3)

sh(13(`3 z)) sen( pi`1x)

sen(3pi`2y)

6.- Como las condiciones de contorno en las variables x e y son homogeneas, el problema deautovalores bidimensional asociado es el siguiente problema mixto Dirichlet-Neumann:

vxx + vyy = v;v(0, y) = vx(`1, y) = 0, y [0, `2];v(x, 0) = vy(x, `2) = 0, x [0, `1].

[PA]Por tanto, si consideraremos {l}l=1 la sucesion de autovalores y {vl}l=1 la correspondiente baseortonormal de autofunciones del problema [PA], expresaremos la solucion del problema en la forma

u(x, y, z) =l=1

Tl(z)vl(x, y),

donde para cada l N, Tl, el coeficiente de Fourier de u respecto de vl, debe ser solucion delproblema de contorno

T l (z) + (l 1)Tl(z) = 0, T l (0) = fl, Tl(`3) = 0,

donde fl = `1

0

`20

(2x `1)vl(x, y) dx dy.

Para calcular los autovalores y autofunciones del problema [PA], consideremos los problemasde autovalores unidimensionales

[P1] (x) = (x); (0) = (`1) = 0,

[P2] (x) = (x); (0) = (`2) = 0.

y sean {n}n=1 la sucesion de autovalores y {n}n=1 la correspondiente base ortonormal de auto-funciones del problema [P1] y {m}m=1 la sucesion de autovalores y {m}m=1 la correspondientebase ortonormal de autofunciones del problema [P2]. Sabemos entonces que la sucesion de au-tovalores y la correspondiente base ortonormal de autofunciones del problema [PA] estan dadosrespectivamente por

nm = n + m, vnm(x, y) = n(x)m(y), n,m N.Como los problemas [P1] y [P2] son del tipo mixto, sus autovalores y autofunciones estan dadosrespectivamente por

n = pi2

4`21(2n 1)2; n(x) =

2`1

sen( pi

2`1(2n 1)x

), n N;

m = pi2

4`22(2m 1)2; m(y) =

2`2

sen( pi

2`2(2m 1) y

), m N.



nm = pi2

4`21`22

(`21(2n 1)2 + `22(2m 1)2

),

vnm(x, y) =2`1`2

sen( pi

2`1(2n 1)x

)sen( pi

2`2(2m 1) y

), n,m N.

Por otra parte, para cada n,m N, Tnm, el coeficiente de Fourier de u respecto de vnm, debeser solucion del problema de contorno

[PC]nm Tnm(z) + (nm 1)Tnm(z) = 0, T nm(0) = fnm, Tnm(`3) = 0

donde fnm =2`1`2

`10

`20

(2x `1) sen(pi

2`1(2n 1)x

)sen

(pi

2`2(2m 1) y

)dx dy.

Como para cada nm < 0, si consideramos

nm =

1 nm = 12 `1`2(4`21`

22 + pi

2(`21(2n 1)2 + `22(2m 1)2

)) 12 ,

la solucion del problema [PC]nm esta dada por

Tnm(z) = Ash(nm(`3 z)

)+Bch

(nm(`3 z)

),

donde A y B deben satisfacer 0 = Tnm(`3) = B, fnm = T nm(0) = Anmch(nm`3). Por tanto,para cada n,m N,

Tnm(z) = fnmnm

sh(nm(`3 z)

)ch(nm`3)

.

Para finalizar,

fnm =2`1`2

( `10

(2x `1) sen(pi

2`1(2n 1)x

)dx

)( `20

sen(pi

2`1(2m 1) y

)dy

)

=8`1`2

(2`1 + pi (2n 1)

)pi3(2n 1)2(2m 1) ,

y por tanto si consideramos cnm =

(2`1 + pi (2n 1)

)(2n 1)2(2m 1)

1nmch(nm`3)

, entonces

u(x, y, z) =16pi3

n=1

m=1

cnmsh(nm(z `3)

)sen

(pi

2`1(2n 1)x

)sen

(pi

2`2(2m 1) y

)


7.- Consideraremos {l}l=0 la sucesion de autovalores y {vl}l=0 la correspondiente base ortonormalde autofunciones del problema de autovalores

((r vr)r +

1rv)

= r v,

v(r, 0) = v(r, 2pi), r (0, a],v(r,pi) = v(r, pi), r (0, a],v(a, ) = 0, [pi, pi],v(r, ) acotada en r = 0

[PA]

y expresaremos la solucion del problema en la forma u(t, r, ) =l=0

Tl(t)vl(r, ), donde para cada

l N y cada t 0, Tl(t) = a

0

pipiu(t, r, ) vl(r, ) r dr d.

Para calcular los autovalores y autofunciones del problema [PA], consideremos primero {n}n=0la sucesion de autovalores y {n}n=0 la correspondiente base ortonormal de autofunciones delproblema de contorno (problema periodico unidimensional)

[P] () = (); (pi) = (pi), (pi) = (pi).

Ahora, para cada n N, consideremos {nm}m=1 la sucesion de autovalores y {nm}m=1 la co-rrespondiente base ortonormal de autofunciones del problema de contorno (problema con puntossingulares regulares )

[P]n (r(r)) +nr(r) = r (r); (a) = 0, acotada en r = 0.

Entonces, la sucesion de autovalores y la correspondiente base ortonormal de autofunciones delproblema [PA] estan dados por

nm, vnm = n()nm(r), n N, m N.

Los autovalores y la base ortonormal de autofunciones del problema [P] son

0 = 0, v0 =

12pi, n = n2, wn() =

1pi

sen(n ), vn() =

1pi

cos(n ), n N.

Para calcular los autovalores del problema [P]n, observemos primero que si es autovalor y es una autofuncion no nula correspondiente a , entonces multiplicando por a ambos lados de laecuacion diferencial que aparece en [P]n e integrando por partes, obtenemos que

a02(r) r dr = a(a)(a) +

a0

((r))2 r dr + n2 a

0

1r2(r) dr

= a

0((r))2 r dr + n2

a0

1r2(r) dr,

lo que implica que > 0.


Por otra parte, observemos que la ecuacion (r(r)) +(n2r r (r)

)= 0 es equivalente a

la ecuacion

r2(r) + r(r) + (r2 n2)(r) = 0,

que mediante el cambio de variable s = r se tranforma en la ecuacion de Bessel de orden n,

es decir en s2x(s) + rx(r) + (r2 n2)x(s) = 0. Sabemos que las soluciones de esta ecuacion queestan acotadas en r = 0 son x(s) = AJn(s), A IR, donde Jn es la funcion de Bessel de orden n.Por tanto, deshaciendo el cambio, las soluciones de la ecuacion (r(r)) +

(n2r r (r)

)= 0

que estan acotadas en r = 0 son todas de la forma (r) = AJn( r). En definitiva, es

autovalor de [P]n sii Jn( a) = 0, es decir sii

a es un cero de Jn. Por tanto, si para cada

n N consideramos {nm}m=1, la sucesion de ceros positivos de Jn, obtenemos que la sucesionde autovalores de [P]n esta dada por {

2nma2}m=1. Ademas, si tomamos anm =

a0J2n

(nma

r

)r dr,

resulta que anm =a2

2J2n+1(nm) y sabemos que el sistema { 1anm Jn(nma r)}m=1 es base ortonormal

en [0, a], respecto del peso p(r) = r.

Esto implica que la sucesion de autovalores y la correspondiente base ortonormal de autofun-ciones del problema [PA], estan determinadas por las expresiones

20ma2

, v0m =1

api J1(0m)

J0(0ma

r), m N,

2nma2

, vnm =

2apiJn+1(nm)

Jn(nma

r)

sen(n), n,m N,2nma2

, wnm =

2apiJn+1(nm)

Jn(nma

r)

cos(n), n,m N.

Por tanto, la solucion del problema se expresa como

u(t, r, ) =1

api

m=1

1J1(0m)

J0(0ma

r)T0m(t)

+

2api

n,m=1

1Jn+1(nm)

Jn(nma

r) (Knm(t) sen(n) + Tnm(t) cos(n)

),

donde para cada n,m N

T 0m(t) +c220ma2

T0m(t) = 0, T0m(0) =1

api J1(0m)

f0m, T0m(0) = 0,

T nm(t) +c22nma2

Tnm(t) = 0, Tnm(0) =

2apiJn+1(nm)

fnm, Tnm(0) = 0,

K nm(t) +c22nma2

Knm(t) = 0, Knm(0) =

2apiJn+1(nm)

fnm, Knm(0) = 0


con

f0m = a

0

pipif(r, ) J0

(0ma

r)r dr d, fnm =

a0

pipif(r, ) Jn

(nma

r)

cos(n) r dr d,

fnm = a

0

pipif(r, ) Jn

(nma

r)

sen(n) r dr d.

Por tanto,

T0m(t) =f0m

api J1(0m)

cos(0ma

ct

),

Tnm(t) =fnm

2apiJn+1(nm)

cos(nma

ct

), Knm(t) =

fnm

2apiJn+1(nm)

cos(nma

ct

)y en definitiva,

u(t, r, ) =1a2pi

m=1

f0mJ21 (0m)

J0(0ma

r)

cos(0ma

ct

)+

2a2pi

n,m=1

1J2n+1(nm)

Jn(nma

r) (fnmsen(n) + fnmcos(n)

)cos

(nma

ct

)

8.- En este caso, f0m = 2pi a

0f(r) J0

(0ma

r)r dr y fnm = fnm = 0 para cada n,m N. Por

tanto,

u(t, r, ) =2a2

m=1

1J21 (0m)

( a0f(r) J0

(0ma

r)r dr

)J0(0ma

r)

cos(0ma

ct

)

Observar que la solucion no depende de y es por tanto una funcion radial.

9.- En esta situacion, 0k = ka, f0m = 0 si m 6= k, mientras que f0k = Api a2 J21 (0k), lo queimplica que

u(t, r, )) = AJ0(kr)cos(kct)

10.- En este caso, f01 = piJ21 (1), f03 = 0.5piJ21 (3), f05 = 0.25piJ

21 (5), mientras que f0m = 0 si

m 6= 1, 3, 5. Por tanto,

u(t, r, ) = J0(1 r) cos(1 ct) 0.5J0(3 r) cos(3 ct) + 0.25J0(5 r) cos(5 ct)


12.- El problema es analogo al Problema 7 y se diferencia de el en la eleccion de las condicionesiniciales. Por tanto, si para cada n N, {nm}m=1 es la sucesion de ceros positivos de Jn yconsideramos anm =

a2

2J2n+1(nm), entonces la solucion del problema se expresa como

u(t, r, ) =12pi

m=1

1a0m

J0(0ma

r)T0m(t)

+1pi

n,m=1

1anm

Jn(nma


),


T 0m(t) +c220ma2

T0m(t) = 0, T0m(0) = 0, T 0m(0) =1

2pia0mg0m,

T nm(t) +c22nma2

Tnm(t) = 0, Tnm(0) = 0, T nm(0) =1pianm

gnm,

K nm(t) +c22nma2

Knm(t) = 0, Knm(0) =, K nm(0) =1pianm

gnm

con

g0m = a

0

pipiJ0(0ma

r)r dr d, gnm =

a0

pipiJn(nma

r)

cos(n) r dr d = 0,

gnm = a

0

pipiJn(nma

r)

sen(n) r dr d = 0.

Esto implica que Tnm = Knm = 0 para cada n,m N y tambien que para cada m N,

T0m =a g0m

c 0m

2pia0msen

(0ma

ct

).

As pues, la solucion del problema esta dada por

u(t, r, ) =1acpi

m=1

g0m0mJ21 (0m)

J0(0ma

r)

cos(0ma

ct

)

Para finalizar, como (sJ1(s))

= sJ0(s), resulta que

g0m = 2pi a

0J0(0ma

r)r dr =

2pi a2

20m

0m0

J0(s) s ds =2pi a2

0mJ1(0m)

y en definitiva que

u(t, r, ) =2ac

m=1

120mJ1(0m)

J0(0ma

r)

cos(0ma

ct

)

13.- Consideremos el problema de autovalores

[P] (r(r)) = r (r); (1) = 0, acotada en r = 0


y sean {n}n=1 y {n}m=1 la sucesion de autovalores y la correspondiente base ortonormal deautofunciones. Entonces la solucion del problema se expresa como u(t, r) =

n=1

Tn(t)n(r), donde

para cada n N, Tn queda unvocamente determinado por el problema de valores iniciales

T n(t) + nTn(t) = 0, Tn(0) = 1

0n(r) r dr.

Por otra parte, [P] coincide con el problema de autovalores [P]0 del Problema 7, de manera quesi {j}j=1 es la sucesion de ceros positivos de J0, entonces los autovalores y la base ortonormalde autofunciones estan dados por 2j y j(r) =

2

J1(j)J0(j r), respectivamente. Como rJ1(r) es

una primitiva de rJ0(r), resulta que 1

0j(r) r dr =

2

jpara cada j N. Por tanto, para cada

j N se tiene que Tj(t) =

2j

e2j t y en definitiva,

u(t, r) = 2j=1

e2j t

1jJ1(j)

J0(j r)

14.- Supongamos la placa del problema anterior con un termino convectivo en la ecuacion

ut = urr +1rur bu

siendo b una constante positiva. Obtener la solucion considerando esta en la forma . Si u(r, t) =v(r, t) ebt, entonces u es solucion del problema sii v es solucion del Problema 13. Por tanto,

v(t, r) = 2j=1

e2j t

1jJ1(j)

J0(j r) y en definitiva,

u(t, r) = 2ebtj=1

e2j t

1jJ1(j)

J0(j r)


((r vr)r +

1rv)

= r v,

v(r, 0) = v(r, 2pi), r (0, R],v(r, 0) = v(r, 2pi), r (0, R],v(R, ) = 0, [0, 2pi],v(r, ) acotada en r = 0

[PA]




l N y cada t 0, Tl(t) = R

0

2pi0

u(t, r, ) vl(r, ) r dr d.

La sucesion de autovalores y la correspondiente base ortonormal de autofunciones del problema[PA], estan determinadas por las expresiones (ver la solucion del Problema 7)

20mR2

, v0m =1

Rpi J1(0m)

J0(0mR

r), m N,

2nmR2

, wnm =

2Rpi Jn+1(nm)

Jn(nmR

r)

sen(n), n,m N,2nmR2

, vnm =

2Rpi Jn+1(nm)

Jn(nmR

r)

cos(n), n,m N.


u(t, r, ) =1

Rpi

m=1

1J1(0m)

J0(0mR

r)T0m(t)

+

2Rpi

n,m=1

1Jn+1(nm)

Jn(nmR


),


T 0m(t) +20mR2

T0m(t) = 0, T0m(0) =1

Rpi J1(0m)

f0m,

T nm(t) +2nmR2

Tnm(t) = 0, Tnm(0) =

2RpiJn+1(nm)

fnm, ,

K nm(t) +2nmR2

Knm(t) = 0, Knm(0) =

2RpiJn+1(nm)

fnm,

con

f0m = R

0

pipif(r, ) J0

(0mR

r)r dr d, fnm =

R0

pipif(r, ) Jn

(nmR

r)

cos(n) r dr d,

fnm = R

0

pipif(r, ) Jn

(nmR

r)

sen(n) r dr d.

Por tanto,

T0m(t) =f0m

Rpi J1(0m)

e20mR2

t,

Tnm(t) =fnm

2RpiJn+1(nm)

e2nmR2

t, Knm(t) =fnm

2apiJn+1(nm)

e2nmR2

t

Por otra parte, para cada n N y cada m N, Tnm el coeficiente de Fourier de u respecto devnm debe ser solucion del problema de valores iniciales

T nm(t) +2nmR2

Tnm(t) = 0, Tnm(0) = fnm,


donde fnm = R

0

2pi0

f(r, ) vnm(r, ) r dr d y por tanto, Tnm(t) = fnm e

2nmt

R2 . Para finalizar,

u(t, r, ) =1

R2pi

m=1

f0mJ21 (0m)

e20mR2

tJ0(0mR

r)

+2

R2pi

n,m=1

1J2n+1(nm)

e2nmR2

tJn(nmR

r)[fnmsen(n) + fnmcos(n)

]

16.- Consideraremos {l}l=0 la sucesion de autovalores y {vl}l=0 la correspondiente base ortonormalde autofunciones del problema de autovalores [PA]

((r vr)r +

1rv)

= r v,

v(r, 0) = v(r, 2pi), r (0, R],v(r, 0) = v(r, 2pi), r (0, R],vr(R, ) = 0, [0, 2pi],v(r, ) acotada en r = 0

[PA]



l N y cada t 0, Tl(t) = R

0

2pi0

u(t, r, ) vl(r, ) r dr d.

Para calcular los autovalores y autofunciones del problema [PA], procederemos de maneraanaloga al caso del problema [PA] en los problemas 7 y 15: consideremos primero {n}n=0 la suce-sion de autovalores y {n}n=0 la correspondiente base ortonormal de autofunciones del problemade contorno (problema periodico unidimensional)

[P] () = (); (0) = (2pi), (0) = (2pi).

Ahora, para cada n N, consideremos {nm}m=1 la sucesion de autovalores y {nm}m=1 la co-rrespondiente base ortonormal de autofunciones del problema de contorno (problema con puntossingulares regulares )

[P]n (r(r)) +nr(r) = r (r); (R) = 0, acotada en r = 0.

Entonces, la sucesion de autovalores y la base ortonormal de autofunciones del problema [PA] estandados por

nm, vnm = n()nm(r), n N, m N.Los autovalores y la base ortonormal de autofunciones del problema [P] son

0 = 0, v0 =

12pi, n = n2, wn() =

1pi

sen(n ), vn() =

1pi

cos(n ), n N.


Para calcular los autovalores del problema [P]n, observemos primero que si es autovalor y es una autofuncion no nula correspondiente a , entonces, integrando por partes y utilizando ahoraque (R) = 0, obtenemos que

R02(r) r dr = R(R)(R) +

R0

((r))2 r dr + n2 R

0

1r2(r) dr

= R

0((r))2 r dr + n2

R0

1r2(r) dr,

lo que implica que 0. Ademas, = 0 solo puede ser autovalor cuando R

0((r))2 r dr + n2

R0

1r2(r) dr = 0,

es decir, cuando se satisface simulltaneamente que n = 0 y que = 0, o de forma equivalentecuando n = 0 y es constante.

El mismo razonamiento que el efectuado en el caso de problema [PA] que las soluciones de la

ecuacion (r(r)) +(n2r r (r)

)= 0 que estan acotadas en r = 0 son todas de la forma

(r) = AJn( r). En definitiva, > 0 es autovalor de [P]n sii J

n( R) = 0, es decir sii

R es

un cero de J n. Por tanto, si para cada n N consideramos {nm}m=1, la sucesion de ceros positivosde J n, obtenemos que la sucesion de autovalores de [P]n esta dada por {

2nmR2}m=1. Ademas, si

tomamos anm = R

0J2n

(nmR

r

)r dr =

R2

2J2n(nm), sabemos que el sistema { 1anm Jn

(nmR r

)}m=1es base ortonormal en [0, R], respecto del peso p(r) = r. Esto implica que la sucesion de autovaloresy la correspondiente base ortonormal de autofunciones del problema [PA], estan determinadas porlas expresiones

0, v00 =1

Rpi,

20mR2

, v0m =1

Rpi J0(0m)

J0(0mR

r), m N,

2nmR2

, wnm =

2Rpi Jn(nm)

Jn(nmR

r)

sen(n), n,m N,2nmR2

, vnm =

2Rpi Jn(nm)

Jn(nmR

r)

cos(n), n,m N.


u(t, r, ) =1

RpiT00(t) +

1Rpi

m=1

1J0(0m)

J0(0mR

r)T0m(t)

+

2Rpi

n,m=1

1Jn(nm)

Jn(nmR


),



T 00(t) = 0, T00(0) =1

Rpif00,

T 0m(t) +20mR2

T0m(t) = 0, T0m(0) =1

Rpi J0(0m)

f0m,

T nm(t) +2nmR2

Tnm(t) = 0, Tnm(0) =

2RpiJn(nm)

fnm, ,

K nm(t) +2nmR2

Knm(t) = 0, Knm(0) =

2RpiJn(nm)

fnm,

con

f00 = R

0

pipif(r, ) r dr d, f0m =

R0

pipif(r, ) J0

(0mR

r)r dr d,

fnm = R

0

pipif(r, ) Jn

(nmR

r)

cos(n) r dr d, fnm = R

0

pipif(r, ) Jn

(nmR

r)

sen(n) r dr d.

Por tanto,

T00 =f0mRpi, T0m(t) =

f0mRpi J0(0m)

e20mR2

t,

Tnm(t) =fnm

2RpiJn(nm)

e2nmR2

t, Knm(t) =fnm

2RpiJn(nm)

e2nmR2

t.

Finalmente,

u(t, r, ) =f00R2pi

+1

R2pi

m=1

f0mJ20 (0m)

e20mR2

tJ0(0mR

r)

+2

R2pi

n,m=1

1J2n(nm)

e2nmR2

tJn(nmR

r)[fnmsen(n) + fnmcos(n)

]

17.- Observemos primero que el problema de contorno planteado se corresponde con el problema[P]0 analizado en el Problema 16. Por tanto, si {j}j=1 es la sucesion de ceros positivos de J 0,entonces los autovalores y la correspondiente base ortonormal de autofunciones esta dados por

0 = 0, 0(r) =

2c, j =

2jc2, j(r) =

2

cJ0(j)J0

(jcr

), j N.

Como ademas J 0 = J1, resulta que {j}j=1 es de hecho la sucesion de ceros positivos de J1.Por otra parte, la solucion del problema se expresa como

u(t, r) =

2cT0(t) +

2c

j=1

1J0(j)

Tj(t) J0(jcr

)


donde T 0(t) = 0, T0(0) =f0

2c

, T j(t) +k2jc2

Tj(t) = 0, Tj(0) =fj

2cJ0(j)

, j N, con

f0 = c

0f(r) r dr, fj =

c0f(r) J0

(jcr

)r dr, j N,

lo que implica que

u(t, r) =2f0c2

+2c2

j=1

fjJ20 (j)

ek2j

c2t J0

(jcr

)

Por tanto, la distribucion estacionaria de temperatura es limtu(t, x) =

2f0c2

En particular, si f(r) = , entonces f0 = c2

2, fj = 0, j N y por tanto u(t, r) = que

coincide con la distribucion estacionaria de temperatura.

18.- Observar que la ausencia de fuentes de calor implica que la temperatura debe mantenerseacotada.

Consideremos el problema de autovalores

[P] (r(r)) = r (r); (1) = 0, acotada en r = 0

y sean {n}n=1 y {n}m=1 la sucesion de autovalores y la correspondiente base ortonormal deautofunciones. Entonces la solucion del problema se expresa como u(r, z) =

n=1

Tn(z)n(r), donde

para cada n N, Tn queda unvocamente determinado por sersolucion del problema

T n (z) + nTn(z) = 0, Tn(0) = 1

0n(r) r dr, Tn acotada.

Por otra parte, el problema [P] coincide basicamente con el problema de autovalores [P] analizado enel Problema 13. Por tanto, si {j}j=1 es la sucesion de ceros positivos de J0, entonces los autovaloresy la base ortonormal de autofunciones de [P] estan dados por 2j y j(r) =

2

J1(j)J0(j r),

respectivamente. Como rJ1(r) es una primitiva de rJ0(r), resulta que 1

0j(r) r dr =

2

jpara

cada j N. Por tanto, para cada j N se tiene que Tj(z) =

2j

ejz y en definitiva,

u(t, r) = 2j=1

1jJ1(j)

ejz J0(j r)



((rur)r +

1ru + r uzz

)= r v, (r, , z) [1, R] [0, 2pi] [0, `]

v(r, 0, z) = u(r, 2pi, z), (r, z) (0, R] [0, `],v(r, 0, z) = u(r, 2pi, z), (r, z) (0, R] [0, `],

v(R, , z) = 0, (, z) [0, 2pi] [0, `],v(r, , 0) = vz(r, , `) = 0, (r, ) (0, R] [0, 2pi],

v(r, , z) acotada en r = 0,

[PA]

y expresaremos la solucion del problema en la forma u(x, y, z) =l=0

Tl(t)vl(x, y, z), donde para

cada l N y cada t 0, Tl(t) = R

0

2pi0

`0u(t, r, , z) vl(r, , z) r dr d dz.

Para calcular los autovalores y las autofunciones de [PA], consideremos el problema de auto-valores unidimensional [PU] (problema mixto Dirichlet-Neumann)

h(z) = h(z); h(0) = h(z) = 0

y tambien el problema de autovalores bidimensional

((r wr)r +

1rw

)= r w,

w(r, 0) = v(r, 2pi), r (0, R],w(r, 0) = w(r, 2pi), r (0, R],w(R, ) = 0, [0, 2pi],w(r, ) acotada en r = 0

[PA]

Sean {m}m=1 la sucesion de autovalores y {hm}m=1 la correspondiente base ortonormal de aut-ofunciones del problema [PU] y {k}k=1 la sucesion de autovalores y {wk}k=1 la correspondientebase ortonormal de autofunciones del problema [PA]. Sabemos entonces que la sucesion de au-tovalores y la correspondiente base ortonormal de autofunciones del problema [PA] estan dadosrespectivamente por

km = k + m, vkm(r, , z) = wk(r, )hm(z), k,m N.

Para calcular los autovalores y autofunciones del problema [PA], consideremos primero {k}=0la sucesion de autovalores y {k}k=0 la correspondiente base ortonormal de autofunciones delproblema de contorno (problema periodico unidimensional)

[P] () = (); (0) = (2pi), (0) = (2pi).


Ahora, para cada k N, consideremos {kn}n=1 la sucesion de autovalores y {kn}n=1 la cor-respondiente base ortonormal de autofunciones del problema de contorno (problema con puntossingulares regulares )

[P]k (r(r)) +kr(r) = r (r); (R) = 0, acotada en r = 0.

Entonces, la sucesion de autovalores y la correspondiente base ortonormal de autofunciones delproblema [PA] estan dados por

kn, kn(r, ) = k()kn(r), k N, n N

y por tanto, la sucesion de autovalores y la correspondiente base ortonormal de autofunciones delproblema [PA] estan dados respectivamente por

knm = kn + m, knm(r, , z) = k()kn(r) hm(z), k N, , n,m N.

La sucesion de autovalores y la correspondiente base ortonormal de autofunciones de [PU], estandadas por

m =pi2

4`2(2m 1)2 h(z) =

2`

sen( pi

2`(2m 1) z

), m N,

mientras que los autovalores y la base ortonormal de autofunciones del problema [P] son

0 = 0, v0 =

12pi, n = n2, wn() =

1pi

sen(n ), vn() =

1pi

cos(n ), n N.Por otra parte, el mismo razonamiento que el efectuado en el Problema 7 muestra que la sucesionde autovalores y la correspondiente base ortonormal de autofunciones del problema [PA], estandeterminadas por las expresiones

20nR2

, v0n =1

Rpi J1(0n)

J0(0nR

r), n N,

2knR2

, wkn =

2Rpi Jk+1(km)

Jk(knR

r)

sen(k), k, n N,2knR2

, vkn =

2Rpi Jk+1(km)

Jk(knR

r)

cos(k), k, n N

donde para cada k N, {kn}n=1 es la sucesion de ceros positivos de Jk. Por tanto, la solucion delproblema se expresa como

u(t, r, , z) =

2R`pi

m,k=1

T0mk(t)J1(0m)

J0(0mR

r)

sen( pi

2`(2k 1) z

)

+2

R`pi

n,m,k=1

(Knmk(t) sen(n) + Tnmk(t) cos(n)

)Jn+1(nm)

Jn(nmR

r)

sen( pi

2`(2k 1) z

),

donde para cada n,m, k N

T 0mk(t) + c20mk T0mk(t) = 0, T0mk(0) =

2

R`pi J1(0m)

f0mk, T0mk(0) = 0,

T nmk(t) + c2nmk Tnmk(t) = 0, Tnm(0) =

2R`piJn+1(nm)

fnmk, Tnmk(0) = 0,

K nmk(t) + c2nmkKnmk(t) = 0, Knmk(0) =

2R`piJn+1(nm)

fnmk, Knmk(0) = 0,


con

f0mk = R

0

pipif(r, ) J0

(0mR

r)

sen( pi

2`(2k 1) z

)r dr d dz,

fnmk = R

0

pipif(r, ) Jn

(nmR

r)

cos(n) sen( pi

2`(2k 1) z

)r dr d dz,

fnmk = R

0

pipif(r, ) Jn

(nmR

r)

sen(n) sen( pi

2`(2k 1) z

)r dr d dz.

Por tanto, si nmk = cnmk =

c

2`R

4`22nm +R2pi2(2k 1)2, resulta que

T0m(t) =f0mk

2

R`pi J1(0m)

cos(0mk t),

Tnm(t) =2fnm

R`piJn+1(nm)

cos(nmk t), Knm(t) =2fnm

R`piJn+1(nm)

cos(nmk t).

Para finalizar,

u(t, r, , z) =2

R2`pi

m,k=1

f0mkJ21 (0m)

cos(0mk t)J0(0mR

r)

sen( pi

2`(2k 1) z

)

+4

R2`pi

n,m,k=1

(fnmksen(n) + fnmkcos(n)

)J2n+1(nm)

cos(nmk t) Jn(nmR

r)

sen( pi

2`(2k 1) z

)

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